第章整数规划割平面法

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割平面法

割平面法

§3割平面法割平面法也是求解整数规划问题常用方法之一。

3.1基本思路用割平面法求解整数规划的基本思路是:先不考虑整数约束条件,求松弛问题的最优解,如果获得整数最优解,即为所求,运算停止。

如果所得到最优解不满足整数约束条件,则在此非整数解的基础上增加新的约束条件重新求解。

这个新增加的约束条件的作用就是去切割相应松弛问题的可行域,即割去松弛问题的部分非整数解(包括原已得到的非整数最优解)。

而把所有的整数解都保留下来,故称新增加的约束条件为割平面。

当经过多次切割后,就会使被切割后保留下来的可行域上有一个坐标均为整数的顶点,它恰好就是所求问题的整数最优解。

即切割后所对应的松弛问题,与原整数规划问题具有相同的最优解。

下面以全整数规划问题的割平面法为例,介绍割平面的求解过程。

3.2求解步骤与举例割平面法的具体求解步骤如下:1.对于所求的整数规划问题(4.2),先不考虑整数约束条件,求解相应的松弛问题(4.6)2.如果该问题无可行解或已取得整数最优解,则运算停止;前者表示原问题也无可行解,后者表示已求得整数最优解。

如果有一个或更多个变量取值不满足整数条件,则选择某个变量建立割平面。

3.增加为割平面的新约束条件,用前面介绍的灵敏分析的方法继续求解,返回1。

下面介绍割平面的建立方法及其求解过程。

例1 求解下列整数规划问题(4.7)解引入松弛变量,写成标准形式:(4.8)对上述模型不考虑整数条件,用单纯形法求解相应松弛问题的最终单纯形表为(表4-2)表4-215/38/3-13/3显然,为非整数解。

为求得整数解,我们想办法在原约束条件的基础下引入一个新的约束条件,以保证一个或几个变量取值为整数。

为此,在表4-2中任选一个取值非整数的变量,如,写出用基变量表示基变量的表达式:(4.9)将上式的所有变量的系数及右端常数均改写成一个整数与一个非负真分数之和的形式。

据此,(4.9)式可以改写成若将带有整数系数的变量整数项留在方程的左边,其余移到方程的右边,则有, (4.10) 由于要求变量取值为正整数,方程(4.10)的左边必为整数。

割平面法

割平面法

31/7=4+3/7 于是,(1)式变为
4 1 3 x4 ( 1 ) x3 (3 ) x5 4 7 7 7

将所有整数项放在等式的左边,非整数值项放 在右边,得
3 4 1 x4 x3 3x5 4 x3 x5 7 7 7

⑶式左边是一个整数值,右边是一个小于1的 数。由于是等式,所以,右边应该是一个小于 或等于0的整数值,即
二、构造割平面约束的方法
在松弛问题的最优表中,设 b的分量bko不是 整数,将其分成整数与非负分数之和,即
bko Nko fko, 其中N ko为不超过bko的最大整数, fko为非负真分数; bko 所在行中的每一个非基 变量xj的系数分成整数与非负分数两部分:
ako , j Nko , j fko , j
1、求出松弛问题的最优解,若全部变量为整数解, 停止计算;否则转2。
2、构造割平面方程 •构造方法 割平面约束具备两个性质: ⑴ 已获得的非整数最优解不满足该线性约束, 从而保证在以后的解中不可能再出现。
⑵ 所有的整数解皆满足该线性约束,从而保 证整数规划问题的最优解始终都保留在每次所 形成的、新的线性规划问题的可行域中。 我们通过下面的例子来说明构造这种线性约束 的思路。
第二节 解纯整数规划的割平面法
一、 割平面方法的基本思想和步骤
二、构造割平面约束的方法
三、示例
一、 割平面方法的基本思想和步骤
•基本思想: 在IP问题的松弛问题中依次引进线性约束(称 Gomory约束或割平面),使问题的可行域逐步缩 小,所割去的区域仅包含问题的部分非整数解;当 规划问题的最优解恰好位于缩小的可行域的一个顶 点时,算法结束。 •求解步骤

割平面法-经典

割平面法-经典
解纯整数规划的割平面法
割平面法的基础仍然是用解LP的方法去解整数规划问题. 其基本的步骤是: (1) 把约束条件中所有的系数整数化; (2) 不考虑决策变量的整数约束条件, 增加线性约束条件 (cutting plane), 使得原可行域中切割掉一部分,这部分只 包含非整数部分,但没有切割掉任何整数可行解;
1 3 x3 x4 0 4 4 4 3 即 3x 3 x 4 3
上式就是所要求的一个切割方程(割平面).
引入松驰变量x5, 从而可得到一等式约束条件,将所得等
式约束加入到原标准化的松驰问题之中, 得到如下新的 松驰问题.
max s .t . z x1 x 2 x1 x 2 x 3 3x 1 x 2 x4 1 4
k k
(3) 由变量(包括松驰变量)的非负整数条件, 从而可得
f i - f ik x k 0
k
上式即为所要求的切割方程 割平面法是Gomory在1958年提出的, 当时引起了人们广 泛注意, 但至今完全用它解决实际问题仍是少数, 因为其 收敛性很慢. 但若下其它方法(如分枝定界法)配合使用,
3x 3 x 4 x 5 3 x1 , x 2 , x 3 , x4 , x5 0
将所得等式约束加入到原标准化的松驰问题的最优单纯
形表之中,得 cj 1 1 0 0 0
CB
1
XB
b
x1
1
x2
0
x3
-1/4
x4 x5
1/4 0
x1 3/4
1
0
x2 7/4
x5 -3
0
0 0
1
0 0
(3) 求解上面的LP问题,若所得的最优解为整数, 则该解也

割平面法

割平面法

《线性规划》课程设计题目:割平面法及其数值实现院系:数理科学与工程学院应用数学系专业:数学与应用数学姓名学号:*** 1********* 1********* 1********* 1******指导教师:***日期:2015 年 6 月11 日整数规划与线性规划有着密不可分的关系,它的一些基本算法的设计都是从相应的线性规划的最优解出发的。

整数规划问题与我们的实际生活有着密切的联系,如合成下料问题、建厂问题、背包问题、投资决策问题、旅行商问题、生产顺序表问题等都是求解整数模型中的著名问题。

所以要想掌握生活中这些解决问题的方法,研究整数规划是必然的路径。

用于解决整数规划的方法主要有割平面法,分支定界法,小规模0-1规划问题的解法,指派问题和匈牙利法。

本文重要对整数规划中经常用的割平面法加以介绍及使用Matlab 软件对其数值实现。

割平面法从线性规划问题着手,在利用单纯型法的时候,当约束矩阵中出现分数,给出一种"化分为整"的方法。

然后在割平面方法来解决整数线性规划的理论基础上,把"化分为整"的方法进行到底,直到求解出最有整数解。

关键词:最优化;整数规划;割平面法;数值实现;最优解;Matlab软件。

AbstractThe integer programming are closely related to the linear programming. Some of the basic algorithms of the former are designed from the optimal solution of the corresponding linear programming. What’s more, our daily life has a close relationship with it as well, such as synthesis problem, plant problem, knapsack problem, investment decision problem, traveling salesman problem and production sequence table problems. They are famous questions in solving integer model. So, to study the integer programming is the inevitable way to master the methods of solving these problems in life. The methods used in solving the integer programming include cutting plane method, branch and bound method, and solving the problem of small-scale 0-1 programming, assignment problem and Hungarian method. In this paper, we introduce the cutting plane method and use Matlab to get its numerical implementation in the integer programming.Cutting plane method, giving us a "integrated" method when we meet the constraint matrix scores in the use of simplex method, starts from the linear programming problem. Then, based on the theory of cutting plane method to solve the integer linear programming, we use “integrated” method until the most integer solution is solved.Keywords:Optimization; Integer programming; Cutting plane method; Numerical implementation; Optimal solution; Matlab software.第一章问题描述 (2)1.1 整数规划问题概述 (2)1.2 整数规划的基本定理 (2)第二章求解整数规划问题的割平面法 (3)2.1 基本思想 (3)2.2 算法步骤 (3)2.3 算法流程图 (5)第三章数值实验 (6)3.1算例 (6)3.2 数值实现 (7)总结 (8)参考文献……………………………………………………………………………附录…………………………………………………………………………………第一章 问题描述1.1 整数规划问题概述规划中的变量(全部或部分)限制为整数,称为整数规划简称为IP 问题。

割平面法 运筹学整数规划

割平面法 运筹学整数规划
第三章
整数规划(Integer Programming)
分类:1. 纯整数线性规划(Pure Integer Linear Programming) 2. 混合整数线性规划(Mixed Integer Linear Programming) 3. 0-1型整数线性规划(Zero-One Integer Linear Programming)
割平面解法(Cutting Plane Approach) 第三节 割平面解法
割平面法是1958年美国学者R. E. Gomory提出的。 基本思想是:先不考虑变量的取整数约束,求解相应的线性规 划,然后不断增加线性约束条件(即割平面),将原可行域割掉不 含整数可行解的一部分,最终得到一个具有整数坐标顶点的可行域, 而该顶点恰好是原整数规划问题的最优解。 例:求解
Z=40x1+90x2 LP-1 9x1+7x2=56 7x1+20x2=70 LP-2
第二步:分枝与定界过程。 • 将其中一个非整数变量的解,比如x1, 进行分枝,即 x1≤ 4.81 =4, x1≥ 4.81 =5 并分别加入LP问题的约束条件中, 得两个子LP规划问题LP-1, LP-2, 分 别求解此两个子线性规划问题, 其最优解分别是 LP-1: x1=4, x2=2.1, Z1=349 LP-2: x1=5, x2=1.57, Z2=341
二、具体步骤(以例子说明)
max Z = 40 x 1 + 90 x 2 9 x 1 + 7 x 2 ≤ 56 7 x + 20 x ≤ 70 1 2 x1 , x 2 ≥ 0 x 1 , x 2取整数
s .t
解:
第一步:先不考虑整数约束条件,求解相应的线性规划问题,得最 优解和最优值如下 x1=4.81, x2=1.82, Z=356 此解不满足整数解条件。定出整数规划问题目标函数的上下界。上 界为 Z=356;用观察法可知x1=0,x2=0是可行解,从而其整数规划问题目 标函数的下界应为0,即 0≤ Z* ≤356

第三节 割平面法

第三节 割平面法
3.3 割平面法
割平面法的基本思想是:首先不考虑 整数条件,增加另外的约束条件,把原来 的可行域切掉一部分,被切掉的部分不包 含任何整数可行解. 经过有限次的切割, 最终得到某个顶点的坐标恰好是整数,并
且是问题的最优解.
例如 求解整数规划问题
max Z x1 x2 x1 x2 1 3 x1 x2 4 x1 , x2 0 x , x 为整数 1 2
32 7 3 11 7
1 0 0
0 1 0
0 0 1
17 0 17
-1 7 1 -22 7
表3-4
S
-59 0 0 0 -1 -8
x1 x2 x3
fi 0
32 7 3 11 7
1 0 0
0 1 0
0 0 1
17 0 17
-1 7 1 -22 7
以 x1 为来源行得割平面不等式:
j m 1
x2
割平面
1
C (1, 1)
3 7 x1 , x2 = 4 4 max Z 10 4
1
x1
回到一般问题上:
整数规划(A)
max S c j x j a
j 1 n ij n
松弛问题(B)
max S c j x j a
j 1 n j 1 ij n
加入松弛变量 y1 ,得割平面方程
7 22 x3 1 22 x4 y1 1 2
将割平面方程表达的约束条件加到单纯形表 的最后一行,并把松弛变量补到最后一列
表3-3
S
-63 92 72 1 2 0 1 0 0 0 0 1 0 - 28 11 -1 22 7 22 -7 22 -15 11 3 22 1 22 -1 22 0 0 0 1

割平面法求解整数规划问题实验报告

割平面法求解整数规划问题实验报告

运筹学与最优化MATLAB 编程实验报告割平面法求解整数规划问题一、 引言:通过对MATLAB 实践设计的学习,学会使用MATLAB 解决现实生活中的问题。

该设计是在MATLAB 程序设计语言的基础上,对实际问题建立数学模型并设计程序,使用割平面法解决一个整数规划问题。

经实验,该算法可成功运行并求解出最优整数解。

二、 算法说明:割平面法有许多种类型,本次设计的原理是依据Gomory 的割平面法。

Gomory 割平面法首先求解非整数约束的线性规划,再选择一个不是整数的基变量,定义新的约束,增加到原来的约束中,新的约束缩小了可行域,但是保留了原问题的全部整数可行解。

算法具体设计步骤如下:1、首先,求解原整数规划对应的线性规划,*)(min x c x f =⎩⎨⎧≥≤0..x bAx t s ,设最优解为x*。

2、如果最优解的分量均为整数,则x*为原整数规划的最优解;否则任选一个x*中不为整数的分量,设其对应的基变量为x p ,定义包含这个基变量的切割约束方程con jj ij p b x r x =+∑,其中x p 为非基变量。

3、令][ij ij ij r r r -=,][con con con b b b -=,其中[]为高斯函数符号,表示不大于某数的最大整数。

将切割约束方程变换为∑∑-=-+jjij con con jj ij p x r b b x r x ][][,由于0<ij r <1,0<con b <1,所以有1<-∑jj ij con x r b ,因为自变量为整数,则∑-jj ij con x r b 也为整数,所以进一步有0≤-∑jj ij con x r b 。

4、将切割方程加入约束方程中,用对偶单纯形法求解线性规划⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≤-≤=∑00..,*)(min x x r b b Ax t s x c x f j j ij con ,然后在转入步骤2进行求解,直到求出最优整数解停止迭代。

6第六章 整数规划(3-4节)

6第六章 整数规划(3-4节)

max z 7 x1 9 x 2 6 x1 3 x 2 x 3 x 4 35 7 x1 x 2 x 、x 0, 整 数 1 2
x 3 6 x1 3 x 2 x 4 35 7 x1 x 2
第36页
将上式代入割平面约束:
优解为止。
第2页
一、割平面的概念
通过举例来阐述割平面的概念 。
例:
maxz 7 x1 9 x 2 x1 3 x 2 6 7 x1 x 2 35 x 、x 0, 整 数 1 2
第3页
x1
C 3
2 D
B A 4
5
7
x2
可行域:ABCD
1 1 最优解:C点,其坐标为 ( x1 , x2 ) (4 ,3 ) 2 2
第27页
解:(1)利用单纯型法求解原问题的松弛问题 B :
cj
CB XB b
7
x1
9
x2
0
x3
0
x4
θi
9
7
x2
x1
7/2
9/2
0
1
1
0
7/22
-1/22
1/22
3/22
c j– z j
0
0
-28/11 -15/11
第28页
(2)构造割平面约束 x1 = 9/2 = 4 + 1/2 x2 = 7/2 = 3 + 1/2
N
4
5
7
x2 Q
割去的部分 EFGCE 中不包含任何整数解。
第6页
新增加的线性约束条件切割掉了原问题可行域的一
部分,但该可行域内不包含任何整数可行解,所有

整数规划的割平面法计算流程与举例

整数规划的割平面法计算流程与举例

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割平面法_精品文档

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从而
fi-ΣfijXj≤0

取⑸式作为切割方程。因为任何整数可行解都满足这个方程,所以 把它加到原问题的约束中,它能够对原可行域进行切割,而不会切 割掉整数解。
例3 用割平面法求解
maxZ=x1+x2 -x1+x2≤1 3xx1,1x+2x≥20≤,4 整数
解:将问题标准化得
maxZ=x1+x2

-x1+x2=1
1
D B(1,1)
x3 =1+x1-x2 x4=4 -3x1-x2 代入切割方程 得
-1 0
3x1+x2=4
3(1+x1-x2)+(4-3x1-x2)≥3
1
x1
即 x2≤1,将此切割方程 加入原约 束中,就等于切掉原可行域得
A1B部分,如图。 显然在A1B区域不含整数解点,对原可行域切割的结果是产生了一
下面讨论切割方程的求法。
设与整数规划相对应的线性规划最优解中基变量XBi=(B-1b)i不 是整数,将最优单纯形表中该基变量对应的行还原成约束方程,即
XBi +ΣaijXj=(B-1b)i

将(B-1b)i,aij都分解成整数与非负真分数之和的形式,即
(B-1b)i=Ni+fi 其中0< fi <1 ⑵
aij=Nij+fij
其中0≤ fij <1 ⑶
这里Ni、Nij是整数,将⑵、 ⑶代入⑴,得
XBi +Σ(Nij+fij)Xj=Ni+fi

XBi +ΣNijXj-Ni=fi-ΣfijXj

当诸Xi都是整数时, ⑷式左端是整数,所以右端亦应是整数,但右

运筹学3.2割平面算法

运筹学3.2割平面算法
jS
i 0,1,L , m
若对所有的 i 0,1,L , m, bi均为整数 STOP ! x0已经是( IP )的最优解
XJTU
第三章 整数线性规划
OR
否则, 至少存在某一个l : 0 l m,使得bl不是整数 .
xBl aljxj bl
jS
诱导(生成)方程
bl bl fl , 0 fl 1, alj alj flj, 0 alj 1, j S
称为割平面条件)
费 用 减 小
o o
o
o
o o
ox1 o
oo ox2 o
x0
该割平面条件将(P0)的可行域割掉一部分, 且使这个非整数
向量 x0恰好在被割掉的区域内
但原( IP )的任一可行解均未被切割掉
新的 松弛问题 改进的松弛问题 ( P1 )
XJTU
第三章 整数线性规划
OR
按上述增加约束、逐步迭代的过程中, 若某步所得的松弛
令 h 1 , 1
bl
jS
alj
xj
1
bl
jS
1
al j x j
1
xBl
0
引入松弛变量 Sl 0
Sl
jS
alj
xj
bl
整数割平面
XJTU
第三章 整数线性规划
导出有效不等式的方法 :
取整方法
合并方法
同余方法
超加函数法
OR
§ 3.3 分解算法
它对应的是新松弛问题的一个原始基本解, 但不可行 .
XJTU
第三章 整数线性规划
OR
Gomory 割平面算法计算步骤 :
S 1 : (用单纯形法)求解整数规划问题( IP )的松弛问题( P0) 若( P0)没有最优解, STOP ! ( IP )也没有最优解 .

割平面法求解整数规划技巧

割平面法求解整数规划技巧

割平面法求解整数规划技巧割平面法是一种经典的求解整数规划问题的方法,它可以通过不断添加约束来逼近整数解,并最终找到最优解。

下面将介绍一些割平面法求解整数规划问题的技巧。

1. 初始化问题:割平面法的第一步是用线性松弛来求解相应的线性规划问题。

线性松弛问题忽略了约束条件中的整数要求,将其转化为一个线性函数的最优化问题。

通过求解线性松弛问题,可以获得一个最优解,并作为整数规划问题的一个可行解。

2. 添加割平面约束:如果线性松弛问题的最优解不是整数解,割平面法会添加一个新的约束条件来限制解的空间。

这个新的约束条件可以通过不等式来表示,例如 x1 + x2 ≤ 3。

通过添加这个不等式,割平面法将整数规划问题的可行区域缩小,从而更有可能得到一个整数解。

3. 求解线性松弛更新问题:添加割平面约束后,需要重新求解线性松弛问题,得到新的最优解。

如果新的最优解是整数解,则整数规划问题得到解决。

如果新的最优解不是整数解,则继续添加割平面约束,并重复这个步骤,直到找到整数解为止。

4. 割平面生成技巧:割平面法的关键在于如何选择适当的割平面约束。

以下是一些常用的割平面生成技巧:- Gomory割割平面:Gomory割是一种经典的割平面约束生成方法。

它利用线性规划的单纯形表达式中的非整数系数生成新的约束。

对于每个非整数系数cij,可以将其转化为一个新的不等式约束 cij xj ≤∑(cij - xi), 其中 xi 表示已经确定的整数变量的取值。

- 0-1割平面:0-1割平面方式适用于含有0-1变量(即只能取0或1值)的整数规划问题。

它可以通过适当选择0-1变量的线性组合来生成割平面约束。

- 最小割边集生成割平面:对于某些特殊问题,可以使用图论中的最小割边集生成割平面约束。

这种方法适用于有图结构的整数规划问题,通过找到图中的最小割边集,可以生成割平面约束来缩小解的空间。

5. 割平面法的终止条件:割平面法在每次迭代中都会找到一个更好的整数解并更新线性松弛问题。

运筹学_16 割平面法

运筹学_16 割平面法
16. 割平面法
cture 16.
ZHU Tong School of Automobile Chang’an University 朱 彤 汽车学院 长安大学
Chang’an University
5. 整数规划代数解法 • 除了一半一半的分,还有没有别的办法? • 还可一刀一刀的割:割平面法
Chang’an University
5. 整数规划代数解法
step 2 : 选择不满足整数条件的
1 1 3 基变量所在行: x1 x3 x4 4 4 4
整数规划 Integer Programming
Chang’an University
5. 整数规划代数解法
1 1 3 x1 x3 x4 4 4 4
整数规划 Integer Programming
Chang’an University
5. 整数规划代数解法
基变量 原始价值系数
基变量
Cj 1 1 0 0 b
CB
XB
变量系数
1 1
检验行σ
x2
x1
0 1
0
1 0
0
3/4 -1/4
-1/2
1/4 1/4
-1/2
7/4 3/4
5/2
整数规划 Integer Programming
整数规划 Integer Programming
Chang’an University
5. 整数规划代数解法
基变量 价值系数 基变量
Cj
1
XB x2
x1 x5 0 1 0 0
1
0
变量系数
0
0
b
CB 1 1 0
检验行σ 整数规划

第章 整数规划(割平面法)

第章 整数规划(割平面法)

割平面法求解整数规划问题:Max Z=3x1+2x22x1+3x2≤144x1+2x2≤18x1,x2≥0,且为整数解:首先,将原问题的数学模型标准化,这里标准化有两层含义:(1)将不等式转化为等式约束,(2)将整数规划中所有非整数系数全部转化为整数,以便于构造切割平面。

从而有:Max Z=3x1+2x22x1+3x2+x3=142x1+x2+x4=9x1,x2≥0,且为整数利用单纯形法求解,得到最优单纯形表,见表1:表1最优解为:x1=13/4, x2=5/2, Z=59/4根据上表,写出非整数规划的约束方程,如:x2+1/2x3-1/2x4=5/2 (1)将该方程中所有变量的系数及右端常数项均改写成“整数与非负真分数之和”的形式,即:(1+0)x2+(0+1/2)x3+(-1+1/2)x4=2+1/2把整数及带有整数系数的变量移到方程左边,分数及带有分数系数的变量称到方程右边,得:x2 - x4-2 =1/2-(1/2x3+1/2x4) (2)由于原数学模型已经“标准化”,因此,在整数最优解中,x2和x4也必须取整数值,所以(2)式左端必为整数或零,因而其右端也必须是整数。

又因为x3,x4≥0,所以必有:1/2-(1/2x3+1/2x4)<1由于(2)式右端必为整数,于是有:1/2-(1/2x3+1/2x4)≤0 (3)或x3+x4≥1 (4)这就是考虑整数约束的一个割平面约束方程,它是用非基变量表示的,如果用基变量来表示割平面约束方程,则有:2x1+2x2≤11 (5)从图1中可以看出,(5)式所表示的割平面约束仅割去线性规划可行域中不包含整数可行解的部分区域,使点E(3.5,2)成为可行域的一个极点。

图1在(3)式中加入松弛变量x5,得:-1/2x3-1/2x4+x5=-1/2 (6)将(6)式增添到问题的约束条件中,得到新的整数规划问题:Max Z=3x1+2x22x1+3x2+x3=142x1+x2+x4=9-1/2x3-1/2x4+x5=-1/2x i 0,且为整数,i=1,2,…,5该问题的求解可以在表1中加入(6)式,然后运用对偶单纯形法求出最优解。

割平面法

割平面法
运 筹 学
第四章 整数规划
§3 割平面法
割平面法是1958年美国学者R.E.Gomory提出的求解纯整数规 纯 划的一种比较简便的方法,其基本思想是:先不考虑变量的整数限 制求解线性规划,如果得到的解不是整数解,则不断增加适当的约 束,割掉原可行域不含整数解的一部分,最终得到一个具有若干整 数顶点的可行域,而这些顶点中恰有一个顶点是原问题的整数解。 割平面法的基本步骤: 步骤1 不考虑变量的整数限制,求解相应的线性规划问题,如 果该问题无解,或最优解已是整数解,则停止计算,否则转下一步。 步骤2 对上述线性规划的可行域进行“切割”,去掉不含整数 解的一部分可行域,即增加适当的线性约束,然后转步骤1。
C CB 0 0 XB X3 X4 B-1b 1 4 0
1 X1 -1 3 1
1 X2 1 1 1
0 X3 1 0 0
0 X4 0 1 0
σ … …
1 1 X1 X2

3/4 7/4

1 0 0

0 1 0

-1/4 3/4 -1/2

1/4 1/4 -1/2
σ
表中x1=3/4,不是整数,将表中第一行还原成方程,即 x1-1/4x3+1/4x4=3/4 因为3/4=0+3/4,-1/4=-1+3/4,1/4=0+1/4 所以有 x1-x3=3/4-3/4x3-1/4x4 因而有切割方程: 3/4x3+1/4x4 ≥ 3/4 即 3x3+x4 ≥3 引入松弛变量x5,得方程 -3x3-x4+x5=-3 将新约束方程加到原最优表下面(切割),求得新的最优解如下 :
C CB 1 1 0 XB X1 X2 X5 B-1b 3/4 7/4 -3

【运筹学】割平面法课件

【运筹学】割平面法课件

问题:如何寻找割平面?
增加的约束方程须满足什么条件才能使: 1、割掉松弛规划的最优解 2、保留所有的整数解
二、割平面法
对整数规划问题 IP:max z CX
s.t
AX b X 0
x j为整数
其松弛问题L0 max z CX
s.t
AX X
b 0
设L0的
最优
解X

0

整数

不妨设
X 0 b10 ,bi0 ,bm0 ,0,0
0 f im j 1
X1 X2 X3 X4 X5 X6
b
j 1,2,n m
0 0 -0.5 0 0 -1.5 z-9 x2 0 1 0.5 0 0 -0.5 1 x4 0 0 -1.75 1 0 3.25 5.5
x5 0 0 -1 0 1 1 3
nm
fim j xm j fi0
j 1
bi0 fi0
对源方程:xi aim1xm1 aim j xm j ain xn bi0
nm
xi aim j xm j bi0 j 1
[aim j ] f im j 0 f im j 1
bi0 fi0
0 fi0 1
nm
xi
( aim j fim j ) xm j bi0 fi0
L0 (x1 3)得L1:
max z 8x1 5x2
2x1 3x2 12
s.t
2x1 x2 x1 3 x1 0, x2
6 0
割平面
IP的可行解 IP的可行解
L0的整数解 L1的整数解
2x1 3x2 12
L1的最优解:x1 3, x2 2 得IP的最优解:x1 3, x2 2

第5章 整数-割平面法与0-1整数规划

第5章 整数-割平面法与0-1整数规划

(5 − 8)
2. 相互排斥的约束条件
在本章开始的例1 在本章开始的例1中,关于运货的体积限制为 • (55x1+4x2≤24 (5-9) • 今设运货有车运和船运两种方式,上面的条件系 今设运货有车运和船运两种方式, 用车运时的限制条件, 用车运时的限制条件,如用船运时关于体积的限 制条件为 • 10) 7x1+3x2≤45 (5-10) • 这两条件是互相排斥的。为了统一在一个问题中, 这两条件是互相排斥的。为了统一在一个问题中, 引入0 变量y 引入0-1变量y,令
3 3 1 − x3 + x4 ≤ 0 4 4 4
3 3 1 − x3 + x4 ≤ 0 4 4 4
- 3 x 3 - x 4 ≤ -3 ⑧ 这就得到一个切割方程( 这就得到一个切割方程 ( 或称为切割约 将它作为增加约束条件,再解例3 束),将它作为增加约束条件,再解例3。 • 引入松弛变量x5,得到等式 引入松弛变量x • -3x3-x4+x5=-3 • 将新的约束方程加到表5-2的最终计算表, 将新的约束方程加到表5 的最终计算表, 得表5 得表5-3。
cj CB XB 1 x1 1 x2 0 x3 cj-zj b 1 1 1 2 1 x1 1 0 0 0 1 x2 0 1 0 0 0 x3 0 0 1 0 0 x4 1/3 0 1/3 -1/3 0 x5 -1/12 1/4 -1/3 -1/6
由于 x1、x2 的值已都是整数,解题已完成。
注意: 注意: 新得到的约束条件⑧ 如用x 表示, 新得到的约束条件⑧ -3x3-x4≤-3如用x1、x2表示, 由⑥、⑦式得 3(1+x1-x2)+(4-3x1-x2)≥3 • x2≤1 这就是(x1,x2)平面内形成新 平面内形成新 这就是 平面内 的可行域,即包括平行于x 的可行域,即包括平行于x1 轴的直线x =1和这直线下的 轴的直线x2=1和这直线下的 可行区域,整数点也在其中, 可行区域,整数点也在其中, 没有切割掉。 没有切割掉。直观地表示在 图5 - 7 中。

求解整数规划常用的方法有分枝定界法和割平面法

求解整数规划常用的方法有分枝定界法和割平面法


满足该约束条件的可 行解可写成矩阵形式
0 0 0 1
10
定理:从(cij)矩阵的每行(或每列)减或加一个常数 c ui(vj)构成新矩阵 ij , c ij c ij ui v j ,则对应


c ij
的(xij) 最优解与原问题(cij) 的最优解相同。 -1 (cij’)
上周内容回顾
法。 这两种方法的共同特点:通过增加附加约束,使 整数最优解最终成为线性规划的一个顶点,于是整 个问题就可使用单纯形法找到这个整数最优解;它 们的相异之处是附加约束条件的选取原则及方法不 同。
求解整数规划常用的方法有分枝定界法和割平面
1
整数线性规划模型的求解——割平面法
基本思想
割平面法的基础仍然是用解线性规划的方法去解 整数规划问题。首先不考虑变量为整数这一条件,但 增加线性约束条件(几何术语,称为割平面),使得 原可行解域中切掉一部分,这部分只包含非整数解, 但没切割掉任何整数可行解。切除的结果使整数解可 能成为顶点。 关键:如何找到割平面约束方程,使切割后最终 得到这样的可行解域,它的一个整数坐标的顶点恰好 是问题的最优解。
1 2 0 2 1 2 0 2
0 0 1 0 0 1 ◎ 0
0
0 0 1 2 0 ◎ 0 1 2

5 4 0 3 5 4 ◎ 0 3
1 2 0 2 1 2 0 2
0 1 ◎ 0
0 √ 0 √
5
(3)定界 上界:以每个后继问题为一分支,标明求解的结果, 与其他问题解的结果比较,找出目标函数值最大者作 为IP新的上界z’。 下界:从已符合整数条件的分支中,找出目标函数最 大者作为新的下界,若无符合条件者,则取z =0。 (4)比较和剪枝 (a)该枝无可行解; (b)该枝已得到整数最优解; (c)该枝得到非整数最优解,且目标函数值小于 z。 在求解的各分支的线性规划中,若其值大于 z,即z*> z但不符合整数条件则返回(2)继续分 6 枝直到z=z*= z’。
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第章整数规划割平面法 This manuscript was revised on November 28, 2020
割平面法
求解整数规划问题:
Max Z=3x1+2x2
2x1+3x214
4x1+2x218
x1,x20,且为整数
解:首先,将原问题的数学模型标准化,这里标准化有两层含义:(1)将不等式转化为等式约束,(2)将整数规划中所有非整数系数全部转化为整数,以便于构造切割平面。

从而有:Max Z=3x1+2x2
2x1+3x2+x3=14
2x1+x2+x4=9
x1,x20,且为整数
利用单纯形法求解,得到最优单纯形表,见表1:
表1
最优解为:x1=13/4, x2=5/2, Z=59/4
根据上表,写出非整数规划的约束方程,如:x2+1/2x3-1/2x4=5/2 (1)
将该方程中所有变量的系数及右端常数项均改写成“整数与非负真分数之和”的形式,即:(1+0)x2+(0+1/2)x3+(-1+1/2)x4=2+1/2
把整数及带有整数系数的变量移到方程左边,分数及带有分数系数的变量称到方程右边,得:
x2 - x4-2 =1/2-(1/2x3+1/2x4) (2)由于原数学模型已经“标准化”,因此,在整数最优解中,x2和x4也必须取整数值,所以(2)式左端必为整数或零,因而其右端也必须是整数。

又因为x3,x40,所以必有:
1/2-(1/2x3+1/2x4)<1
由于(2)式右端必为整数,于是有:
1/2-(1/2x3+1/2x4)0 (3)

x3+x41 (4)
这就是考虑整数约束的一个割平面约束方程,它是用非基变量表示的,如果用基变量来表示割平面约束方程,则有:
2x1+2x211 (5)
从图1中可以看出,(5)式所表示的割平面约束仅割去线性规划可行域中不包含整数可行解的部分区域,使点E,2)成为可行域的一个极点。

图1
在(3)式中加入松弛变量x5,得:
-1/2x3-1/2x4+x5=-1/2 (6)
将(6)式增添到问题的约束条件中,得到新的整数规划问题:
Max Z=3x1+2x2
2x1+3x2+x3=14
2x1+x2+x4=9
-1/2x3-1/2x4+x5=-1/2
x i 0,且为整数,i=1,2,…,5
该问题的求解可以在表1中加入(6)式,然后运用对偶单纯形法求出最优解。

具体计算过程见表2:
表2
由此得最优解为:x1=7/2, x2=2, z=58/4
该最优解仍不满足整数约束条件,因而需进行第二次切割。

为此,从表2中抄下非整数解x1的约束方程为:
x1+x4-1/2x5 = 7/2
按整数、分数归并原则写成:
x1+x4-x5-3 = 1/2-1/2x50 (7)这就是一个新的割平面方程,用基变量来表示,得:
x1+x25 (8)
在(7)中加入松弛变量x6,得:
-1/2x5+x6=-1/2 (9)将(9)式增添到前一个问题的约束条件中去,得到又一个新的整数规划问题,对它求解可以在表2中加入(7)式,然后运用对偶单纯形法求出最优解。

具体计算过程见表3:
表3
由此得最优解为:x1=4, x2=1,z=14。

该最优解符合整数条件,因此也是原整数规划问题的最优解。

从图1中可以看出,由(8)式表示的割平面约束,不仅割去线性规划可行域中剩下的不含整数解域,而且使最优整数解x1=4, x2=1(即图2中的G点),成为新的线性规划可行域的一个极点。

图2。

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