第三节割平面法

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割平面法——精选推荐

3 割平面法割平面法是通过生成一系列的平面割掉非整数部分来得到最优整数解的方法。

目前，割平面法有分数割平面法，原始割平面法，对偶整数割平面法，混合割平面法等。

我们介绍Gomory割平面法（纯整数规划割平面法）用例子说明割平面法基本思想。

例5-8求下列问题：Max Z=2x 1+ 3x 2s.t.2x 1+4x 2 ≤25x 1≤82x 2 ≤10x 1,x 2 ≥0,且取整数值化成标准问题Max Z=2x 1+ 3x 2s.t.2x 1+4x 2 + x 3 =25x 1+ x 4=82x 2 + x 5 =10x j 0,且取整数值松驰问题(P)Max Z=2x 1+ 3x 2s.t.2x 1+4x 2 + x 3 =25x 1+ x 4=82x 2 + x 5 =10x j 0松驰问题(P)用单纯形法求解得到最优解：B（8，9/4）Z=22（3/4）但不是原问题（IP）的解，（IP）可行域是OABDE内的全部方格点组成。

BD E O 1 2 3 4 5 6 7 A 8 9 10 11 1210987654321X 1X 2引进割平面法l 1: x 1+ x 2=10割去非整数部分FBG l 2: x 1+2x 2=12 割去非整数部分HDGFGB F D E l 1O 1 2 3 4 5 6 7 A 8 9 10 11 1210987654321X 12l 2G B F H D E O 1 2 3 4 5 6 7 A 8 9 10 11 1210987654321X 12GH E O 1 2 3 4 5 6 7 A 8 9 10 11 1210987654321X 12形成新的凸可行域OAGHE （整点凸包），它的极点G （方格点）是原规划（IP ）的最优解（8，2）Z=22。

约束条件：l 1: x 1+ x 2≤10l 2: x 1+2x 2≤12称为割平面。

问题是如何寻找割平面？松驰问题(P)Max Z=2x 1+ 3x 2s.t.2x 1+4x 2 + x 3 =25x 1+ x 4=82x 2 + x 5 =10x j 0初始单纯形表C 2 3 0 0 0bΘC B X B X1X2X3X4X50 X3 2 4 1 0 0 250 X4 1 00 1 0 80 X50 20 0 1 10σC2 3 0C B X B X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 bΘ2 X 1 1 0 0 1 0 8 0 X 5 0 0 -1/2 1 1 11/2 3X 2 0 1 1/4 -1/20 9/4 σ0 -3/4 -1/20 91/4最终单纯形表:最优解（8,9/4,0,0,11/2）Z =91/4C2 3 0C B X B X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 bΘ2 X 1 1 0 0 1 0 8 0 X 5 0 0 -1/2 1 1 11/2 3X 2 0 1 1/4 -1/20 9/4 σ0 -3/4 -1/20 91/4X 2相应的方程：x 2+(1/4)x 3 –(1/2) x 4 =9/4x 2+(1/4)x 3 –(1/2) x 4 =9/4把所有系数分解成整数和非负真分数之和。

整数规划的割平面法计算流程与举例

整数规划的割平面法计算流程与举例下载温馨提示:该文档是我店铺精心编制而成，希望大家下载以后，能够帮助大家解决实际的问题。

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第五章第3节割平面解法

x i + ∑ N ik x k − N i = f i − ∑ f ik x k
k k
(3)
(3) 现在提出变量(包括松弛变量)为整数的条件(当然还有非负的条件). • 这时，上式由左边看必须是整数，但由右边看，因为0＜fi＜1，所以不能为正，即
f i − ∑ f ik x k ≤ 0
k
(4)
由于 x1、x2 的值已都是整数，解题已完成。
做为换入变量，再按原单纯形法进行迭代，得表5 将x3做为换入变量，再按原单纯形法进行迭代，得表5-3。表5-3
cj CB XB 1 x1 1 x2 0 x3 cj-zj b 1 1 1 2
1 x1 1 0 0 0
1 x2 0 1 0 0
0 x3 0 0 1 0
这就是一个切割方程。
• 由(5-4)式，(5-6)式，(5-7)式可知： • ① 切割方程(5-7)式真正进行了切割，至少把非整数最优解这一点割掉了。 • ② 没有割掉整数解，这是因为相应的线性规划的任意整数可行解都满足(5-7)式的缘故。
例
求解下面整数规划
• max z=x1+x2 -x1+x2≤1 3x1+x2≤4 x1，x2≥0 x1，x2 整数
求一个切割方程的步骤： 1 求一个切割方程的步骤： (1) 令xi是相应线性规划最优解中为分数值的一个基变量，由单纯形表的最终表得到
x i + ∑ a ik x k = b i
k
(1)
(2) 将bi和αik都分解成整数部分N与非负真分数f之和，即 • bi=Ni+fi，其中0＜fi＜1 • αik=Nik+fik，其中0≤fik＜1 (2) • 而N表示不超过b的最大整数。代入(1)式得

第7章第3节平面切割

平面立体的截交线是截平面与平面立体表面的交线。
一、平面立体截交线的性质二、平面立体截交线的求法 1．棱柱上截交线的求法 2．棱锥上截交线的求法
济南大学图学教研中心
一、平面立体截交线的性质
二、平面立体截交线的求法平面立体截交线的求法
平面切割体三视图画法及步骤
1.先进行空间分析先进行空间分析——什么样的基本体被何先进行空间分析位置面切割，出现了什么样的截平面和截交线（几边形）。 2.画切割体三视图—— 2.画切割体三视图画切割体三视图——先画基本体三视图，再画截平面的投影（积聚性投影）；找出截交线（非积聚性多边形投影）上的顶点的投影（或交线的投影），最后判可见，连线。
[例题1] 画平面切割体的三视图例题1 例题
[例题2] 求立体切割后的投影例题2 例题
4′ 5′ 1′
3″
6″
（3′）（6′）
2″ 1″
4″ 5″
（2′）
Ⅲ
2
3 ⅥBiblioteka Ⅳ1Ⅱ6
Ⅴ Ⅰ
5
4
[例题3] 求立体截割后的投影例题3 例题
1'（2'） 2" 4" 5" 1"
Ⅱ
10"
3'（4'）
10' （5'）
3"
Ⅳ Ⅺ
Ⅰ Ⅲ
Ⅹ Ⅸ
9' 11' 5 2（4） 11 1（3） 10
（6'）
8' （7'） 6 7
6" 11" 7" 8"
9"
8 9
[例题例题4] 例题

割平面法

§3割平面法割平面法也是求解整数规划问题常用方法之一。

3.1基本思路用割平面法求解整数规划的基本思路是：先不考虑整数约束条件，求松弛问题的最优解，如果获得整数最优解，即为所求，运算停止。

如果所得到最优解不满足整数约束条件，则在此非整数解的基础上增加新的约束条件重新求解。

这个新增加的约束条件的作用就是去切割相应松弛问题的可行域，即割去松弛问题的部分非整数解(包括原已得到的非整数最优解)。

而把所有的整数解都保留下来，故称新增加的约束条件为割平面。

当经过多次切割后，就会使被切割后保留下来的可行域上有一个坐标均为整数的顶点，它恰好就是所求问题的整数最优解。

即切割后所对应的松弛问题，与原整数规划问题具有相同的最优解。

下面以全整数规划问题的割平面法为例，介绍割平面的求解过程。

3.2求解步骤与举例割平面法的具体求解步骤如下：1.对于所求的整数规划问题(4.2)，先不考虑整数约束条件，求解相应的松弛问题（4.6）2.如果该问题无可行解或已取得整数最优解，则运算停止；前者表示原问题也无可行解，后者表示已求得整数最优解。

如果有一个或更多个变量取值不满足整数条件，则选择某个变量建立割平面。

3.增加为割平面的新约束条件，用前面介绍的灵敏分析的方法继续求解，返回1。

下面介绍割平面的建立方法及其求解过程。

例1 求解下列整数规划问题（4.7）解引入松弛变量，写成标准形式：(4.8)对上述模型不考虑整数条件，用单纯形法求解相应松弛问题的最终单纯形表为（表4-2）表4-215/38/3-13/3显然，为非整数解。

为求得整数解，我们想办法在原约束条件的基础下引入一个新的约束条件，以保证一个或几个变量取值为整数。

为此，在表4-2中任选一个取值非整数的变量，如，写出用基变量表示基变量的表达式：(4.9)将上式的所有变量的系数及右端常数均改写成一个整数与一个非负真分数之和的形式。

据此，(4.9)式可以改写成若将带有整数系数的变量整数项留在方程的左边，其余移到方程的右边，则有， (4.10) 由于要求变量取值为正整数，方程(4.10)的左边必为整数。

割平面法-经典

解纯整数规划的割平面法
割平面法的基础仍然是用解LP的方法去解整数规划问题. 其基本的步骤是: (1) 把约束条件中所有的系数整数化; (2) 不考虑决策变量的整数约束条件, 增加线性约束条件 (cutting plane), 使得原可行域中切割掉一部分,这部分只包含非整数部分,但没有切割掉任何整数可行解;
1 3 x3 x4 0 4 4 4 3 即 3x 3 x 4 3
上式就是所要求的一个切割方程(割平面).
引入松驰变量x5, 从而可得到一等式约束条件,将所得等
式约束加入到原标准化的松驰问题之中, 得到如下新的松驰问题.
max s .t . z x1 x 2 x1 x 2 x 3 3x 1 x 2 x4 1 4
k k
(3) 由变量(包括松驰变量)的非负整数条件, 从而可得
f i - f ik x k 0
k
上式即为所要求的切割方程割平面法是Gomory在1958年提出的, 当时引起了人们广泛注意, 但至今完全用它解决实际问题仍是少数, 因为其收敛性很慢. 但若下其它方法(如分枝定界法)配合使用,
3x 3 x 4 x 5 3 x1 , x 2 , x 3 , x4 , x5 0
将所得等式约束加入到原标准化的松驰问题的最优单纯
形表之中,得 cj 1 1 0 0 0
CB
1
XB
b
x1
1
x2
0
x3
-1/4
x4 x5
1/4 0
x1 3/4
1
0
x2 7/4
x5 -3
0
0 0
1
0 0
(3) 求解上面的LP问题,若所得的最优解为整数, 则该解也

割平面法-运筹学整数规划

第二节分枝定界法(Branch and Bound method)
引言：穷举法对小规模的问题可以。大规模问题则不行。
一、基本思想和算法依据
基本思想是：先求出相应的线性规划最优解，若此解不符合整数条件，则其目标函数的值就是整数规划问题最优值的上界，而任意满足整数条件的可行解的目标函数值将是其下界（定界），然后将相应的线性规划问题进行分枝，分别求解后续的分枝问题。如果后续分枝问题的最优值小于上述下界, 则剪掉此枝; 如果后续某一分枝问题的最优解满足整数条件，且其最优值大于上述下界，则用其取代上述下界，继
s .t
2 x1 x1 , x 2
x2 0
6
x1 , x 2取整数
19
解: 1 求解相应的线性规划得
cj
4
CB
XB
b
x1
0
x3
20
4
0
x4
6
2
检验数
0
4
0
x3
8
0
4
x4
3
1
检验数
-12
0
3
x2
8 /3
0
4
x1
5 /3
1
检验数
-4 4 /3
0
3
0
0
x2
x3
x4
5
1
0
1
0
1
3
0
0
3
1
-2
1 /2
-3x3 - x4 -3 引得入松弛变量x5，将其加入到原规划的约束条件中，利用上述最终1表5
cj
1
CB
XB
b
x1
0
x3
1

1整数规划的基本特点§2分枝定界法§3割平面法§4分配问题及其解法

将松弛变量加到G1中得到LP问题G2:
G2： max z 3x1 2 x 2 2 x1 3x 2 x3 14 2 x1 x 2 x 4 9 1 1 1 s.t. x3 x 4 x5 2 2 2 1 1 x5 x 6 2 2 x j 0( j 1,,6)
第一步：把问题中所有约束条件的系数均化为整数，若不考虑变量的整数约束，可写出一般的线性规划问题G0：
G 0： max z 3 x1 2 x 2 2 x1 3 x 2 14 s.t. 2 x1 x 2 9 x1 , x 2 0
用单纯形法求得上述问题的最终单纯形表如下：
第5章整数规划
§1 §2 §3 §4 §5 整数规划的基本特点分枝定界法割平面法分配问题及其解法整数规划的应用举例
§3 割平面法
• 这是求解整数规划问题最早提出的一种方法， 1958年由Gomory提出。 • 他的基本思想是在整数规划问题的松弛问题中依次引进线性约束条件，是可行域逐步缩小。但每次切割只割去问题的部分非整数解，直到使问题的目标函数值达到最优的整数点成为缩小后可行域的一个顶点，这样即可用线性规划问题的方法找出这个最优解。 • 具体步骤如下：
迭代基变次数量 CB x2 x1 2 3 Cj-Zj
x1 3 0 1 0
x2 2 1 0 0
x3 0 1/2 -1/4 -1/4
x4 0 -1/2 3/4 -5/4 b 5/2 13/4
比值 bi/aij
第二步：找出非整数解变量中分数部分最大的一个基变量，并写下这一行的约束 1 1 1 x3 x4 2 2 2 2 将上式中所有常数写成整数与一个正分数值之和得 x2 1 1 1 x2 (0 ) x3 (1 ) x4 (2 ) 2 2 2 分数项移到等式右端，整数项移到等式左端得到 1 1 1 x2 x4 2 x3 x4 2 2 2 右端也必须取整数值，又因x2 , x4 0，因此有 1 1 1 x3 x4 0 2 2 2 加上松弛变量后得Gomory约束 1 1 1 x3 x4 x5 0 2 2 2

割平面法_精品文档

从而
fi-ΣfijXj≤0
⑸
取⑸式作为切割方程。因为任何整数可行解都满足这个方程，所以把它加到原问题的约束中，它能够对原可行域进行切割，而不会切割掉整数解。
例3 用割平面法求解
maxZ=x1+x2 -x1+x2≤1 3xx1,1x+2x≥20≤，4 整数
解：将问题标准化得
maxZ=x1+x2
⑴
-x1+x2=1
1
D B（1，1）
x3 =1+x1-x2 x4=4 -3x1-x2 代入切割方程得
-1 0
3x1+x2=4
3（1+x1-x2）+（4-3x1-x2）≥3
1
x1
即 x2≤1，将此切割方程加入原约束中，就等于切掉原可行域得
A1B部分，如图。显然在A1B区域不含整数解点，对原可行域切割的结果是产生了一
下面讨论切割方程的求法。
设与整数规划相对应的线性规划最优解中基变量XBi=（B-1b)i不是整数，将最优单纯形表中该基变量对应的行还原成约束方程，即
XBi +ΣaijXj=（B-1b)i
⑴
将（B-1b)i，aij都分解成整数与非负真分数之和的形式，即
（B-1b)i=Ni+fi 其中0＜ fi ＜1 ⑵
aij=Nij+fij
其中0≤ fij ＜1 ⑶
这里Ni、Nij是整数，将⑵、 ⑶代入⑴，得
XBi +Σ（Nij+fij）Xj=Ni+fi
即
XBi +ΣNijXj-Ni=fi-ΣfijXj
⑷
当诸Xi都是整数时， ⑷式左端是整数，所以右端亦应是整数，但右

第七章3-割平面法

第三节割平面法
CB 1 1 0
Cj→ XB X1 X2 X3 Cj-Zj
b 1 1 1
1 x1 1 0 0 0
1 x2 0 1 0 0
0 x3 0 0 1 0
0 x4 1/3 0 -1 -1/3
0 x5 1/12 1/4 -1/3 -1/6
第三节割平面法
切割示意图如下： x2
x2 由于（ x 1， x 2）的值已都是整数，解题已完成。
第三节割平面法
割平面算法这个方法的基础仍然是用解线性规划的方法去解整数规划问题。首先不考虑变量x 是整数这一条件，整数规划问题。首先不考虑变量 i 是整数这一条件，但增加线性约束条件（用几何术语称为割平面）但增加线性约束条件（用几何术语称为割平面）从原可行域中切割掉一部分，这部分只包含非整数解，但可行域中切割掉一部分，这部分只包含非整数解，没有切割掉任何整数可行解。没有切割掉任何整数可行解。这个方法就是怎样找到适当的割平面（不见得一次就找到）适当的割平面（不见得一次就找到），使切割后最终得到这样的可行域，它的一个有整数坐标的极点（得到这样的可行域，它的一个有整数坐标的极点（顶恰好是问题的最优解。点）恰好是问题的最优解。
f i − ∑ f ik x k ≤ 0
k
第三节割平面法
这就是一个切割方程。这就是一个切割方程。由以上三式可知：由以上三式可知：（ 1）切割方程真正进行了切割，至少把非整数）切割方程真正进行了切割，最优解这一点割掉了。最优解这一点割掉了。（ 2）没有割掉整数解，这是因为相应的线性规）没有割掉整数解，划的任意整数可行解都满足切割方程的缘故。划的任意整数可行解都满足切割方程的缘故。

运筹学3.2割平面算法

jS
i 0,1,L , m
若对所有的 i 0,1,L , m, bi均为整数 STOP ! x0已经是( IP )的最优解
XJTU
第三章整数线性规划
OR
否则, 至少存在某一个l : 0 l m,使得bl不是整数 .
xBl aljxj bl
jS
诱导(生成)方程
bl bl fl , 0 fl 1, alj alj flj, 0 alj 1, j S
称为割平面条件)
费用减小
o o
o
o
o o
ox1 o
oo ox2 o
x0
该割平面条件将(P0)的可行域割掉一部分, 且使这个非整数
向量 x0恰好在被割掉的区域内
但原( IP )的任一可行解均未被切割掉
新的松弛问题改进的松弛问题 ( P1 )
XJTU
第三章整数线性规划
OR
按上述增加约束、逐步迭代的过程中, 若某步所得的松弛
令 h 1 , 1
bl
jS
alj
xj
1
bl
jS
1
al j x j
1
xBl
0
引入松弛变量 Sl 0
Sl
jS
alj
xj
bl
整数割平面
XJTU
第三章整数线性规划
导出有效不等式的方法 :
取整方法
合并方法
同余方法
超加函数法
OR
§ 3.3 分解算法
它对应的是新松弛问题的一个原始基本解, 但不可行 .
XJTU
第三章整数线性规划
OR
Gomory 割平面算法计算步骤 :
S 1 : (用单纯形法)求解整数规划问题( IP )的松弛问题( P0) 若( P0)没有最优解, STOP ! ( IP )也没有最优解 .

5.3 割平面法

它就是图5-5中域它就是图中域 R的顶点，但不的顶点A，的顶点合于整数条件。合于整数条件。
现设想，如能找到像CD那样的直线去切割域R(图5-6)，现设想，如能找到像CD那样的直线去切割域图 6)，那样的直线去切割域R( 去掉三角形域ACD，那么具有整数坐标的C (1，1)就去掉三角形域ACD，那么具有整数坐标的C点(1，1)就是域R′的一个极点的一个极点，是域R′的一个极点，如在域R′上求解上求解① 如在域上求解①～④，而得到的最优解又恰巧在C点而得到的最优解又恰巧在点, 就得到原问题的整数解，就得到原问题的整数解，所以解法的关键关键: 所以解法的关键就是怎样构造一个这样的割平面” ， “割平面”CD，它就是一个新的约束。它就是一个新的约束。尽管它可能不是唯一的，尽管它可能不是唯一的，也可能不是一步能求到的。也可能不是一步能求到的。下面给出本例完整的求解过程：下面给出本例完整的求解过程：
割平面法的计算步骤：割平面法的计算步骤：对应的松弛问题( 1、用单纯形法求解( IP )对应的松弛问题( LP )：用单纯形法求解( 没有可行解，也没有可行解， ⑴. 若( LP )没有可行解，则( IP )也没有可行解，停止计算。停止计算。有最优解，并符合( 的整数条件， ⑵. 若( LP )有最优解，并符合( IP )的整数条件，的最优解即为( 的最优解，则( LP )的最优解即为( IP )的最优解，停止计算。停止计算。有最优解，但不符合( 的整数条件， ⑶.若( LP )有最优解，但不符合( IP )的整数条件，转入下一步。转入下一步。
在原问题的前两个不等式中增加非负松弛变量x 在原问题的前两个不等式中增加非负松弛变量 3、 x4，使两式变成等式约束：使两式变成等式约束： -x1+x2+x3 =1 ⑥ 3x1+x2 +x4=4 ⑦ 不考虑条件⑤ 用单纯形表解题，见表5-2。不考虑条件⑤，用单纯形表解题，见表。

组合优化中的割平面法高效实现方案

组合优化中的割平面法高效实现方案组合优化问题是在给定一组约束条件下，寻找最优解或者近似最优解的问题。

割平面法（Cutting Plane Method）是一种常用的解决组合优化问题的方法。

本文将介绍割平面法的基本原理，并提出一种高效实现方案。

一、割平面法基本原理割平面法是一种分步优化策略，通过逐步增加割平面约束来逼近求解组合优化问题的最优解。

其基本思想是在每一步迭代中，利用已经得到的可行解，构造一个新的割平面约束，将问题的可行域进一步缩小，从而得到更加接近最优解的解。

割平面法的核心是如何构造有效的割平面约束。

常用的割平面约束包括线性不等式约束、支撑平面约束和锥形约束等。

这些约束可以通过问题的特定结构和性质进行构造，从而提高算法的效率和收敛速度。

二、高效实现方案为了提高割平面法的实现效率，以下是一种高效的实现方案：1. 初始解的选择割平面法需要一个初始解作为起点。

可以利用问题的特点或者其他启发式算法得到一个较好的初始解。

这有助于缩小求解空间，提高算法的收敛速度。

2. 割平面约束的选择在每一步迭代中，需要选择合适的割平面约束来进一步缩小可行域。

可以利用启发式方法或者问题的特性来选择约束。

例如，可以选择与当前可行解相对应的割平面约束，或者选择与目标函数线性化程度较高的割平面约束。

3. 割平面约束的有效性检验在选择割平面约束后，需要验证该约束是否有效。

一般可以通过求解一个子问题来判断约束是否能够把当前可行域进一步缩小。

如果约束是无效的，则需要重新选择割平面约束。

4. 割平面约束的添加与求解一旦确定了有效的割平面约束，需要将其添加到问题的约束集合中，并重新求解问题。

可以使用线性规划等方法来求解问题，得到一个新的可行解。

然后，再次选择合适的割平面约束，并进行有效性检验，直到满足终止条件。

5. 收敛判据与终止条件割平面法通常需要设置终止条件以避免无限循环。

可以通过设置最大迭代次数、目标函数改进的阈值或者目标函数值的变化率来判断算法是否收敛。

割平面法

运筹学
第四章整数规划
§3 割平面法
割平面法是1958年美国学者R.E.Gomory提出的求解纯整数规纯划的一种比较简便的方法，其基本思想是：先不考虑变量的整数限制求解线性规划，如果得到的解不是整数解，则不断增加适当的约束，割掉原可行域不含整数解的一部分，最终得到一个具有若干整数顶点的可行域，而这些顶点中恰有一个顶点是原问题的整数解。割平面法的基本步骤：步骤1 不考虑变量的整数限制，求解相应的线性规划问题，如果该问题无解，或最优解已是整数解，则停止计算，否则转下一步。步骤2 对上述线性规划的可行域进行“切割”，去掉不含整数解的一部分可行域，即增加适当的线性约束，然后转步骤1。
C CB 0 0 XB X3 X4 B-1b 1 4 0
1 X1 -1 3 1
1 X2 1 1 1
0 X3 1 0 0
0 X4 0 1 0
σ … …
1 1 X1 X2
…
3/4 7/4
…
1 0 0
…
0 1 0
…
-1/4 3/4 -1/2
…
1/4 1/4 -1/2
σ
表中x1=3/4，不是整数，将表中第一行还原成方程，即 x1-1/4x3+1/4x4=3/4 因为3/4=0+3/4，-1/4=-1+3/4，1/4=0+1/4 所以有 x1-x3=3/4-3/4x3-1/4x4 因而有切割方程： 3/4x3+1/4x4 ≥ 3/4 即 3x3+x4 ≥3 引入松弛变量x5，得方程 -3x3-x4+x5=-3 将新约束方程加到原最优表下面（切割），求得新的最优解如下：
C CB 1 1 0 XB X1 X2 X5 B-1b 3/4 7/4 -3

割平面法的解题步骤__补充说明

割平面法的解题步骤补充说明1. 引言1.1 概述:本文将介绍割平面法的解题步骤。

割平面法是一种常用的解决几何、优化和约束问题的数学工具。

通过确定割平面方程、求解割线与图形交点坐标以及确定割线与图形交点个数及位置关系，可以有效地求解各种复杂问题。

1.2 文章结构:本文主要分为四个部分：引言、割平面法的解题步骤、实例分析和结论。

在引言中，将简要介绍本文主题并提供一个概览。

然后，在割平面法的解题步骤部分，我们将详细讨论该方法的具体步骤。

接着，在实例分析部分，我们将通过三个不同领域的实例来展示割平面法在实际问题中的应用。

最后，在结论中，我们将总结该方法的优势和局限性，并对未来研究进行展望。

1.3 目的:本文旨在帮助读者了解割平面法并掌握其解题步骤。

通过阅读本文，读者将了解如何使用割平面法来解决各种几何、优化和约束问题，并对该方法在未来研究中的潜力和局限性有更深入的了解。

2. 割平面法的解题步骤：2.1 理解割平面法:割平面法是一种通过不断添加割平面（即直线或超平面）来逼近解集的方法。

它常用于几何问题中，以及某些最优化问题和约束条件下的求解过程中。

该方法通过将多个割线与待求图形进行交点计算，进而获得关于交点位置和数量的信息。

2.2 准备工作:在使用割平面法之前，我们需要先明确待求图形的性质和要求。

具体而言，在开始解题之前，我们应该详细了解如下内容：- 待求图形的类型和特征：对于几何问题，需要明确图形的类型（例如圆、矩形等）以及边界条件或限制。

- 目标函数或约束函数：对于最优化问题和带有约束条件的问题，需要定义目标函数和约束函数，并了解这些函数与待求图形之间的关系。

- 约束条件：如果存在限制条件，则需要明确这些约束对应的方程式或不等式。

2.3 步骤一：确定割平面方程:通过观察待求图形及其特征，并结合已知信息，我们可以推导出一条直线或超平面的方程。

这个割线将帮助我们定位图形的交点，从而逐步逼近解集。

为了确定割平面方程，我们可以采取不同的方法。

运筹学3.2 割平面算法-PPT文档资料

割平面法为一种松弛方法 !
关键 : 如何生成割平面, 不同的构造方法将产生不同的算法 .
XJTU
第三章整数线性规划
OR
Gomory 分数割平面算法
可行解为 x 0 : 设用单纯形法求解( IP )的松弛问题( P 0 )所得的最优基本
x
0
基 B A , ,A B B 1 m

基变量 x , ,x B B 1 m
b b f , 0 f 1 , a a f , 0 aj 1 , S l l l l l j l j l j l j
由变量的非负性生成方程变为 : 左边取值必为整数值
ax a x
j S lj j j S
S 2 : 任选 x 0 的一个非整数值分量 b ) , 按上述方式 l (0l m
构造割平面方程 fljxj s fl .
j S
S 3 : 将此割平面方程加到松弛问题( P 0 )得新的松弛问题.
用对偶单纯形法求解这个新的松弛问题. 若其最优解为整数向量, 则STOP, 它亦为( IP )的最优解. 否则, 用这个最优解代替 x 0 , 转S 2 .
lj j
j b x B lj x l a l
j S

j x a b B ljx l l
j S
从诱导方程中减去该不等式
XJTU
j S l j l j
第三章整数线性规划
j l l
OR
a b b a x
§ 3.2
割平面算法
XJTU
第三章整数线性规划
OR
1958 R.E.Gomory 提出割平面(cutting plane)的概念

§3.2Gomory割平面法

§3.2Gomory割平⾯法§3.2 G o m o r y 割平⾯法1、G o m o r y 割平⾯法的基本思想≥=为整数向量x x bAx t s xc T 0..min （P ） ≥=0..min x b Ax t s x c T （P 0）称（P 0）为（P ）的松弛问题。

记（P ）和（P 0）的可⾏区域分别为D 和D 0 , 则（1）0D D ?；（2）若（P 0）⽆可⾏解，则（P ）⽆可⾏解；（3）（P 0）的最优值是（P ）的最优值的⼀个下界；（4）若（P 0）的最优解 0x 是整数向量，则 0x 是（P ）的最优解。

基本思想：（1）⽤单纯形法求解松弛问题（P 0），若（P 0）的最优解 0x 是整数向量，则 0x 是（P ）的最优解。

计算结束。

(2) 若（P 0）的最优解 0x 不是整数向量，则对松弛问题（P 0）增加⼀个线性约束条件（称它为割平⾯条件），新增加的约束条件将（P 0）的⾏区域D 0割掉⼀块，且这个⾮整数向量 0x 恰在被割掉的区域内，⽽原问题（P ）的任何⼀个可⾏解（格点）都没有被割去。

记增加了割平⾯的问题为（P 1），称（P 1）为（P 0）的改进的松弛问题。

（3）⽤对偶单纯形法求解（P 1），若（P 1）的最优解 1x 是整数向量，则 1x是（P ）的最优解。

计算结束。

否则转（2）割平⾯的⽣成：对给定的（P ），⽤单纯形法求解它的松弛问题（P 0），得到（P 0）的最优基本可⾏解 0x ，设它对应的基为 ),,(1m B B A A B Λ=， m B B x x ,,1Λ为 0x 的基变量，记基变量的下标集合为 S ，⾮基变量的下标集合为 S 。

则松弛问题（P 0）的最优单纯形表为∑∈=+Sj j j z x z 0ξm i b x a x Sj i j ij B i ,,1,Λ==+∑∈（3.2.1）为了使符号简便，令000,,0z b a z x j j B ===ξ。

割平面法例题及讲解

割平面法例题及讲解割平面法是一种求解整数线性规划问题的有效方法。

以下是使用割平面法求解整数线性规划问题的步骤和例题：首先，让我们简要介绍一下割平面法的概念。

割平面法的基本思想是在原始可行域的基础上，通过添加割平面来缩小可行域，直到找到整数最优解。

割平面是通过考察非整数最优解的某一分量，并构造一个线性约束条件来得到的。

接下来，我们通过一个具体的例题来演示割平面法的应用。

例题：目标函数：最大化 Z = 3x1 + 4x2约束条件：1. x1 + x2 <= 42. x1 + 2x2 <= 63. x1, x2 属于整数集合首先，我们不考虑整数约束，使用单纯形法求解线性规划问题。

得到最优解为：x1 = 2, x2 = 1, Z = 11。

这个解不是整数解，因此我们需要使用割平面法来找到整数最优解。

观察最优解的x1分量为2，它不是整数。

我们可以根据x1的取值构造一个割平面：x1 >= 3。

这意味着我们可以添加一个线性约束条件来限制x1的值大于等于3。

现在，我们再次使用单纯形法求解线性规划问题，同时考虑新添加的割平面。

得到新的最优解为：x1 = 3, x2 = 1, Z = 14。

这个解是整数解，满足问题的整数约束条件。

通过上述步骤，我们成功地使用割平面法找到了整数最优解。

总结：割平面法是一种求解整数线性规划问题的有效方法。

它通过在原始可行域上添加割平面来缩小可行域，直到找到整数最优解。

在应用割平面法时，需要注意选择正确的变量和对应的线性约束条件来构造割平面。

此外，在使用单纯形法求解线性规划问题时，需要注意处理变量的取值范围和整数约束条件。

【运筹学】割平面法课件

问题：如何寻找割平面？
增加的约束方程须满足什么条件才能使： 1、割掉松弛规划的最优解 2、保留所有的整数解
二、割平面法
对整数规划问题 IP：max z CX
s.t
AX b X 0
x j为整数
其松弛问题L0 max z CX
s.t
AX X
b 0
设L0的
最优
解X
不
0
是
整数
解
不妨设
X 0 b10 ,bi0 ,bm0 ,0,0
0 f im j 1
X1 X2 X3 X4 X5 X6
b
j 1,2,n m
0 0 -0.5 0 0 -1.5 z-9 x2 0 1 0.5 0 0 -0.5 1 x4 0 0 -1.75 1 0 3.25 5.5
x5 0 0 -1 0 1 1 3
nm
fim j xm j fi0
j 1
bi0 fi0
对源方程：xi aim1xm1 aim j xm j ain xn bi0
nm
xi aim j xm j bi0 j 1
[aim j ] f im j 0 f im j 1
bi0 fi0
0 fi0 1
nm
xi
( aim j fim j ) xm j bi0 fi0
L0 (x1 3)得L1：
max z 8x1 5x2
2x1 3x2 12
s.t
2x1 x2 x1 3 x1 0, x2
6 0
割平面
IP的可行解 IP的可行解
L0的整数解 L1的整数解
2x1 3x2 12
L1的最优解：x1 3, x2 2 得IP的最优解：x1 3, x2 2

第三节 割平面法

割平面法——精选推荐

整数规划的割平面法计算流程与举例

第五章第3节 割平面解法

第7章第3节 平面切割

割平面法

割平面法-经典

割平面法-运筹学整数规划

1整数规划的基本特点§2分枝定界法§3割平面法§4分配问题及其解法

割平面法_精品文档

第七章3-割平面法

运筹学3.2割平面算法

5.3 割平面法

组合优化中的割平面法高效实现方案

割平面法

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