一次函数的面积问题(用过)
一次函数面积
一次函数面积
一次函数面积
一次函数是指在定义域内，函数值随变量变化，沿着等级线增长或下降的函数。
在几何性质上，一次函数是一条线段，在微积分中，一次函数的积分是其面积。
由于一次函数是一条直线，因此其面积计算方法可以使用三角形的面积公式计算，即：
面积=1/2*基底*高；
此外，可以使用微积分的积分公式，如下：
面积=∫（X1，X2）f（X）dx；
其中，X1和X2是一次函数定义域内的端点，f（X）是一次函数表达式。
要计算一次函数的面积，首先必须解决函数的定义域内的端点，然后再使用上述公式计算面积。
比如，若一次函数f（X）=2X+3，计算在（1，5）之间的面积，可以设X1=1，X2=5，则其面积为：
面积=∫（1，5）
2X+3dx=2/2X2+3X|1,5=2/2*25+3*4-2/2*16-3*1=34。
综上，一次函数的面积的计算可以通过三角形面积公式或微积分积分公式来实现，具体方法要根据实际情况选择。
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一次函数之面积问题(与坐标轴围成的面积)(人教版)(含答案)
一次函数之面积问题（与坐标轴围成的面积）（人教版）一、单选题(共8道，每道12分)1.已知一次函数和的图象都经过点A(2，0)，且与y轴分别交于B，C两点，则△ABC的面积是( )A.1B.2C.4D.8答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：坐标线段长互转2.已知一次函数y=kx+(k-3)与一次函数y=2x+b交于点C(1，3)，则两条直线的函数图象与x 轴所围成的三角形的面积是( )A.1B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数与坐标轴围成的图形面积3.已知一次函数y=kx+b的图象经过点B(0，10)，且与正比例函数y=2x的图象相交于点A(2，a)，则这两个函数图象与y轴所围成的三角形的面积是( )A.5B.10C.20D.40答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数与坐标轴围成的图形面积4.已知一次函数y=kx+b的图象经过点(3，-3)，且与直线y=4x-3的交点在x轴上，则此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积为( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数与坐标轴围成的图形面积5.已知一次函数的图象经过点(-2，0)，它与坐标轴围成的三角形面积等于1，则这个一次函数的函数表达式是( )A. B.C.或D.或答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数与坐标轴围成的图形面积6.已知一次函数的图象过点(3，0)，且与两坐标轴围成的三角形面积为3，则一次函数的表达式为( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数与坐标轴围成的图形面积7.若直线y=kx+b与直线y=4x平行，且直线y=kx+b与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则直线y=kx+b与x轴的交点坐标是( ).A.（1，0）B.（1，0）或（-1，0）C.（2，0）D.（2，0）或（-2，0）答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数与坐标轴围成的图形面积8.若直线y=x+k，x=1，x=4和x轴围成的直角梯形的面积等于9，则k的值为( )A. B.C.或D.或答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：一次函数与坐标轴围成的图形面积。
一次函数中的面积问题(3)
一次函数中的面积问题（3）
求解解析式问题 姓名：
例1：已知点A （6，0）及在第一象限的动点P （x ，y ），且2x+y=8，设△OAP 的面积为S ．（1）试用x 表示y ，并写出x 的取值范围；（2）求S 关于x 的函数解析式；（3）△OAP 的面积是否能够达到30？为什么？
对应练习：
1、 如图，直线L ：22
1+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，在y 轴上有一点C （0，4）,动点M 从A 点以每秒1个单位的速度沿x 轴向左移动。
（1）求A 、B 两点的坐标；
（2）求△COM 的面积S 与M 的移动时间t 之间的函数关系式；（3）当t 何值时△COM ≌△AOB ，并求此时M 点的坐标。
2、如图，直线6y kx =+与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ，点E 的坐标为（-8，0），点A 的坐标为（-6，0）。
（1）求k 的值；（2）若点P （x ，y ）是第二象限内的直线上的一个动点，在点P 的运动过程中，试写出△OPA 的面积S 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取
值范围；（3）探究：当点P 运动到什么位置时，△OPA 的面积为278
，并说明理由。
3、如图，直线l 1过A （0，2），B （2，0）两点，直线l 2：y mx b =+过点（－1，0），且把AOB ∆分成两部分，其中靠近原点的那部分是一个三角形，设此三角形的面积为S ，求S 关于m 的函数解析式，及自变量m 的取值范围。
4、如图1，在直角坐标系中，已知点A（6，0），又点B（x，y）•在第一象限内，且x+y=8，设△AOB的面积是S．（1）写出S与x之间的函数关系式，并求出x•的取值范围；（2）画出图象．。
一次函数与面积结合问题解题技巧
一次函数与面积结合问题解题技巧全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：一次函数与面积结合问题解题技巧一次函数是初中数学中最基本的一种函数形式，通常表示为y = kx + b，其中k和b为常数，x为自变量，y为因变量。
面积问题是数学中常见的问题类型之一，需要运用数学知识来求解。
当一次函数与面积结合在一起时，往往需要运用数学知识和解题技巧来解决问题。
本文将为大家介绍一次函数与面积结合问题解题的技巧，并通过实例来解释具体的解题方法。
一、如何将一次函数与面积联系起来在解决一次函数与面积结合问题时，我们需要先找到函数表达式和面积之间的联系。
通常，我们可以通过一次函数的图像和面积来建立它们之间的关系。
若给定一次函数y = 2x + 1，要求计算函数图像在一定区间内与x 轴之间的面积，我们可以先绘制函数的图像，然后找出其与x轴之间的面积。
二、一次函数与矩形面积的关系在一次函数与面积结合问题中，经常会出现与矩形面积有关的题目。
矩形的面积等于长乘以宽，即S = l*w。
如果给定一个矩形的长度为x，宽度为y = kx + b（k和b为常数），我们可以通过一次函数的表达式计算出矩形的面积。
三、利用一次函数的特性解决面积问题如果一个图形可以通过两条一次函数的交点来确定，我们也可以通过两条函数的表达式来求出图形的面积。
四、实例解析为了帮助大家更好地理解一次函数与面积结合问题的解题方法，我们来看一个实例：例：已知一次函数y = 2x + 3和直线y = x + 1的交点A、B、C、D，求由四个点构成的四边形的面积。
解：我们可以通过求解两条直线的交点来确定四个点的坐标。
将两条直线的表达式相等，得到x = -2，将x = -2代入其中一条直线的表达式中，得到交点坐标为(-2, -1)。
接下来，根据交点的坐标，我们可以求得四边形的边长，进而计算出四边形的面积。
将四个点连接起来可以得到一个平行四边形，根据平行四边形面积公式S = 底边长*高得到面积。
一次函数面积问题专题(含答案解析)
一次函數面積問題1、如图，一次函数的图像与X轴交于点B (- 6 , 0),交正比例函数的图像于点A，点A的横坐标为-4，△ ABC的面积为15，求直线OA的解析式。
2、直线y=x+3的图像与X轴、y轴分别交于A B两点，直线a经过原点与线段AB 交于。
，把厶ABO勺面积分为2：1的两部分，求直线a的函数解析式。
3、直线PA是一次函数y=x+n的图像，直线PB是一次函数y=-2x+m (m>n>0的图像，(1) 用m n表示A、B、P的坐标(2) 四边形PQoB勺面积是'，AB=2求点P的坐标4、A AOB的顶点0( 0, 0) A (2, 1)、B (10, 1),直线CDL X 轴且△ AOB面积二等分，若D (m, 0),求m的值5、点B在直线y=-x+1上，且点B在第四象限，点A(2, 0)、0(0, 0),A ABo 的面积为2,求点B的坐标。
6直线y=- x+1与X轴y轴分别交点A B,以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ ABC N BAC=90 ,点P( a,])在第二象限，△ ABP勺面积与△ ABC7、如图，已知两直线y=0.5x+2.5和y=-x+1分别与X轴交于A、B两点，这两直线的交点为P(1)求点P的坐标(2)求厶PAB的面积8、已知直线y=ax+b (b>0)与y轴交于点N,与X轴交于点A且与直线y=kx交于点M (2, 3)，如图它们与y轴围成的厶MoN勺面积为5,求(1)这两条直线的函数关系式(2)它们与X轴围成的三角形面积9、已知两条直线y=2x-3和y=5-x(1)求出它们的交点A的坐标(2)求出这两条直线与X轴围成的三角形的面积10、已知直线y=x+3的图像与X轴、y轴交于A B两点，直线I经过原点，与线段AB 交于点。
，把厶AoB的面积分为2：1的两部分，求直线I的解析式。
11、已知直线y=2x+3与直线y=-2x-1与y轴分别交于点A B（1）求两直线交点C的坐标（2）求厶ABe的面积（3）在直线BC上能否找到点P,使得△ APC的面积為6,求出点P的坐标,12、已知直线y=-x+2与X轴、y轴分别交于点A和点B,另一直线y=kx+b（k≠ 0）经过点C（1，0）,且把△ AOB分为两部分，（1）若厶AOB被分成的两部分面积相等，求k和b的值（2）若厶AOB被分成的两部分面积为1：5,求k和b的值13、直线y=- x+3交X, y坐标轴分别为点A B,交直线y=2x-1于点P,直线-Iy=2x-1交X, y坐标轴分别为C。
一次函数面积专题附答案
一次函数面积专题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题1．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 三个顶点的坐标分别是A (1，5)，B (-3，-3)和C (7，2)，求△ABC 的面积．【答案】30 【解析】 【分析】解法1：延长AC 交x 轴于点D ，先求出直线AC 的解析式，从而得出点D 的坐标，再利用=+-ABCAEDBEFCFDSSSS即可．解法2：分别过点A ，B ，C 向坐标轴作垂线，得到矩形BEFG ，然后利用矩形=---ABCBEACFACBGBEFG SS SSS就可得到所求三角形的面积．解法3：分别过点A ，B ，C 向坐标轴作垂线，得到矩形BEFG ，据勾股定理求得45AB =同理可得35AC =55BC =由勾股定理逆定理和三角形的面积公式即可得出答案． 解法4：作AM//y 轴交BC 于M ，先得出直线BC 解析式为1322y x =-，然后得出点M (1，-1)，从而确定水平宽a =10，铅垂高h =6，再利用=+ABCABMACMS SS即可；【详解】解法1：如图2，延长AC 交x 轴于点D ． 因为A (1，5)，C (7，2)，所以直线AC 的解析式为11122y x =-+，所以点D 的坐标为D (11，0)．同理，可以求出点E 3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，点F (3，0)，所以DE =252，EF =92，DF =8，所以1252783044ABCAEDBEFCFDSSSS=+-=+-=．解法2：如图3，分别过点A ，B ，C 向坐标轴作垂线，得到矩形BEFG ． 因为A (1，5)，B (-3，-3)，C (7，2)， 所以E (-3，5)，F (7，5)，G (7，-3)，所以BE =8，BG =10，AE =4，AF =6，CF =3，CG =5， 所以801692530ABCBEACFACBGBEFG SS SSS=---=---=矩形．解法3：如图4，在Rt △ABE 中，因为A (1，5)，B (-3，-3)，E (-3，5)， 所以根据勾股定理求得45AB = 同理可得35AC =55BC = 因为2224580125AC AB BC +=+==， 所以由勾股定理逆定理得90BAC ∠=︒． 所以1145353022ABCSAB AC =⋅=⨯=．解法4：如图5，由B (-3，-3)，C (7，2)容易得到水平宽a =10， 所以直线BC 解析式为1322y x =-． 作AM//y 轴交BC 于M ， 令x =1，代入1322y x =-得y =-1，则M (1，-1)． 此时，可以得到铅垂高h =5+1=6． 所以1211130222ABCABMACMSSSAM h AM h a h =+=⋅+⋅=⋅=．2．如图，已知直线AB 经过A (2，0)，B (0，1)两点，点P 的坐标为(-2，a )，且0<a <2．若△ABP 的面积是1，求a 的值．【答案】1 【解析】 【分析】方法1：先根据A 、B 两点坐标求出直线AB 的解析式为112y x =-+，再过点P 作QN x⊥轴，交直线AB 于点Q ，交x 轴于点N ，利用割补法建立关于a 的方程，求解即可；方法2：设直线BP 交x 轴于点Q ，利用P 、B 两点坐标求出直线PB 的解析式为112a y x -=+，进而求出Q 2,01a ⎛⎫⎪-⎝⎭，利用割补法建立关于a 的方程，求解即可； 方法3：过点O 作AB 的平行线于直线x =-2交于点P ，根据A 、B 两点坐标求出直线AB 的解析式为112y x =-+，由直线OP 与直线AB 平行，且过原点，得到直线OP 的解析式即可求解． 【详解】 方法1：如答图所示，过点P 作QN x ⊥轴，交直线AB 于点Q ，交x 轴于点N ． 设直线AB 的解析式为y kx b =+．将A (2，0)，B (0，1)两点坐标代入可得201k b b +=⎧⎨=⎩，解得121k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩． 则直线AB 的解析式为112y x =-+，令x =-2得y =2，则Q (-2，2)． 由42(2)1ABPAQNPNAPQBSSSSa a =--=---=，解得a =1．方法2：设直线BP 交x 轴于点Q ，直线PB 的解析式为y kx b =+．将P (-2，a)，B (0，1)两点坐标代入可得21k b ab -+=⎧⎨=⎩，解得121a k b -⎧=⎪⎨⎪=⎩． 则直线PB 的解析式为112ay x -=+．a =1时，显然成立； 1a ≠时，令y =0得x =2a 1-，则Q 2,01a ⎛⎫⎪-⎝⎭．如图所示，121212212121ABPABQPQASSSa a a ⎛⎫⎛⎫=-=⨯⨯--⨯⨯-= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭， 解得a =1，又1a ≠，故此时a 不存在．综上得a =1．方法3：如答图所示，过点O 作AB 的平行线于直线x =-2交于点P ，连接AP ，BP ． 因为“平行线间的距离处处相等”，所以△ABP 与△AOB 同底等高，面积都是1． 设直线AB 的解析式为y kx b =+．将A (2，0)，B (0，1)两点坐标代入可得201k b b +=⎧⎨=⎩，解得121k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，则直线AB 的解析式为112y x =-+． 因为直线OP 与直线AB 平行，且过原点，所以直线OP 的解析式为12y x =-．令x =-2得a =1．3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y x b =-+的图象与正比例函数y kx =的图象都经过点()3,1B ．（1）求一次函数和正比例函数的解析式；（2）若点(),P x y 是线段AB 上一点，且在第一象限内，连接OP ，设APO ∆的面积为S ，求面积S 关于x 的函数解析式． 【答案】（1）y =﹣x +4，13y x =；（2）S =2x （0＜x ≤3）． 【解析】 【分析】（1）把B （3，1）分别代入y =﹣x +b 和y =kx 即可得到结论； （2）根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）把B （3，1）分别代入y =﹣x +b 和y =kx 得1=﹣3+b ，1=3k ，解得：b =4，k 13=，∴y =﹣x +4，y 13=x ；（2）∵点P （x ，y ）是线段AB 上一点，∴S 12OA =•xP 142x =⋅⋅=2x （0＜x ≤3）．【点睛】本题考查了两直线相交或平行，三角形面积的求法，待定系数法确定函数关系式，正确的理解题意是解题的关键．4．如图，在平面直角坐标系中，一次函数12y x m =-+的图象1l 分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，正比例函数的图象2l 与1l 交于点()2,4C ．(1)求m 的值及2l 的解析式；(2)若点M 是直线12y x m =-+上的一个动点，连接OM ，当AOM 的面积是BOC 面积的2倍时，请求出符合条件的点M 的坐标；(3)一次函数2y kx =+的图象为3l ，且1l ，2l ，3l 不能围成三角形，直接写出k 的值．【答案】(1)5m =，2l 的解析式为2y x =(2)()6,2M 或()142，(3)12k =-或2或1【解析】 【分析】（1）设2l 的解析式为1y k x =，将点C 的坐标代入12,l l 的解析式，即可求解；（2）设1(,5)2M a a -+，进而根据题意列出方程，解方程求解即可；（3）根据题意，则31l l ∥或32l l ∥，进而即可求得k 的值 (1)2l 与1l 交于点()2,4C ．设2l 的解析式为1y k x =，将点C 的坐标代入12,l l 的解析式，可得， 1422m =-⨯+，142k =，解得5m =，12k =，∴2l 的解析式为2y x = (2)设1(,5)2M a a -+，152y x =-+，令0x =，则5y =，令0y =，则10x =()0,5B ∴，()10,0A又()2,4C∴11111525,105522222BOCC AOMM M SBO x S OA y y a =⨯=⨯⨯==⨯=⨯⨯=⨯-+ AOM 的面积是BOC 面积的2倍，∴1552a ⨯-+2=⨯5即1522a -+=解得6a =或14∴()6,2M 或()142， (3)一次函数2y kx =+的图象为3l ，且1l ，2l ，3l 不能围成三角形，∴31l l ∥或32l l ∥当3l 过点C （2,4）时,将点C 坐标代入y =kx ＋2并解得:k =l ,∴12k =-或2或1【点睛】本题考查了一次函数综合，求一次函数解析式，求一次函数与坐标轴围成的三角形面积，一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数的平移，掌握一次函数的性质是解题的关键． 5．如图，在平面直角坐标系中，一次函数332y x =-+与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，过点B 作AB 的垂线，垂线与反比例函数()10my m x=≠交于C 、D 两点，且AB BC =．(1)求反比例函数()10my m x=≠的表达式，及经过点C 、D 的一次函数表达式()20y kx b k =+≠；(2)请直接写出使12y y >的x 取值范围； (3)求出ABD △的面积． 【答案】(1)110y x =，22433y x =- (2)3x <-或05x << (3)656【解析】 【分析】（1）由一次函数y ＝﹣32x +3求得A 、B 的坐标，然后通过证得△ABO ≌△BCF ，求得C（5，2），然后利用待定系数法即可求得函数的解析式； （2）求得D 的坐标，然后根据图象即可求得；（3）利用三角形面积公式，根据S △ABD ＝S △ABE +S △ADE 求得即可． (1)解：∵332y x =-+ 与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，∴A （0，3），B （2，0）， 如图，过点C 作CF ⊥x 轴于点F ，∵AB ⊥CD ，∴∠ABO +∠CBF ＝90°， ∵∠ABO +∠BAO ＝90°， ∴∠BAO ＝∠CBF ， 在△ABO 和△BCF 中，BAO CBF AOB BFC AB BC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ， ∴△ABO ≌△BCF （AAS ）， ∴BF ＝AO ＝3，CF ＝OB ＝2， ∴C （5，2）， ∵反比例函数y 1＝mx（m ≠0）过点C ， ∴m ＝5×2＝10， ∴反比例函数110y x=， 将B （2，0），C （5，2）代入y 2＝kx +b （k ≠0）得2052k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得2343k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴经过点C 、D 的一次函数表达式为22433y x =- ； (2)由102433y xy x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 解得52=⎧⎨=⎩x y 或3103x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩，∴D 横坐标为﹣3．∴y 1＞y 2的x 取值范围：x ＜﹣3或0＜x ＜5； (3)ABD ADE ABE S S S =+△△△ 12D AE x =1·2B AE x + 656=． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．6．如图，已知一次函数1y k x b =+与反比例函数2k y x=的图象交于第一象限内的点()1,6A 和()6,B m ，与x 轴交于点C ．(1)分别求出这两个函数的表达式；(2)①观察图象，直接写出不等式21k k x b x+≥的解集；②请连接OA 、OB ，并计算△AOB 的面积；(3)是否存在坐标平面内的点P ，使得由点O ，A ，C ，P 组成的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)反比例函数的表达式是：y ＝6x ，一次函数表达式是：y ＝﹣x +7 (2)①x ＜0或1≤x ≤6；352(3)存在点P 的坐标为（8，6）或（﹣6，6）或（6，﹣6）使得由点O ，A ，C ，P 组成的四边形是平行四边形【解析】【分析】（1）直接利用待定系数法分别求出一次函数与反比例函数解析式；（2）①利用函数图象结合其交点得出不等式k 1x +b ≥2k x的解集；②如图所示，过点A 作AD ⊥x 轴于D ，过点B 作BE ⊥x 轴于B ，则2==32AOD BOE k S S =△△，再根据=AOB BOE AOD ADEB S S S S ++△△△梯形进行求解即可；（3）利用平行四边形的性质结合当AP 为边和AP 为对角线两种情况分别得出答案即可．(1)解：∵点A （1，6）在反比例函数y ＝2k x 的图象上， ∴6＝21k ， 解得：k 2＝6，∴反比例函数的表达式是：y ＝6x； ∵B （6，m ）在反比例函数y ＝6x的图象上， ∴m ＝66＝1，∴B （6，1），将点A （1，6），B （6，1）代入y ＝k 1x +b ，可得： 11616k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得：117k b =-⎧⎨=⎩， ∴一次函数表达式是：y ＝﹣x +7；(2)解：①∵点A （1，6），B （6，1），∴不等式k 1x +b ≥2k x的解集是：x ＜0或1≤x ≤6； 故答案为：x ＜0或1≤x ≤6；②如图所示，过点A 作AD ⊥x 轴于D ，过点B 作BE ⊥x 轴于B ， ∴2==32AOD BOE k S S =△△， ∵A （1，6），B （6，1），∴OD =1，AD =6，OE =6，BE =1，∴DE =5，∵=AOB BOE AOD ADEB S S S S ++△△△梯形，∴()35===22AOB ADEB AD BE DE S S +⋅△梯形；(3)解：∵C是直线AB与x轴的交点，∴点C的坐标为（7，0），如图3-1所示：当AP为边时，∴AP∥OC，AP＝OC＝7，∵A（1，6），∴P点坐标为：（8，6）或（-6，6）；当AP为对角线时，如图3-2所示，∵AP与OC的中点坐标相同，∴1072260022PPxy++⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，∴66PPxy=⎧⎨=-⎩，∴点P的坐标为（6，-6）；综上所述存在点P的坐标为（8，6）或（﹣6，6）或（6，﹣6）使得由点O，A，C，P 组成的四边形是平行四边形．【点睛】此题主要考查了反比例函数的综合以及待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的性质等知识，正确数形结合分析是解题关键．7．如图，一次函数y=kx+b(k>0)的图象经过点C(−3，0)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为3．(1)求一次函数的解析式；(2)若反比例函数myx的图象与该一次函数的图象交于一、三象限内的A，B两点，且AC=2BC，求m的值．【答案】(1)一次函数的解析式为y=23x+2；(2)m的值为12．【解析】【分析】（1）根据一次函数y=kx+b（k＞0）的图象经过点C（-3，0），得到-3k+b=0①，点C到y轴的距离是3，解方程即可得到结论；（2）如图，作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，则AD∥BE．根据相似三角形的性质得到AD=2BE．设B点纵坐标为-n，则A点纵坐标为2n．求得A（3n-3，2n），B（-3-32 n，-n），根据反比例函数y=mx的图象经过A、B两点，列方程即可得到结论．(1)解：∵一次函数y=kx+b（k＞0）的图象经过点C（-3，0），∴-3k+b=0①，点C到y轴的距离是3，∵k＞0，∴b＞0，∵一次函数y=kx+b的图象与y轴的交点是（0，b），∴12×3×b=3，解得：b=2．把b=2代入①，解得：k=23，则函数的解析式是y=23x+2．故这个函数的解析式为y=23x+2；(2)解：如图，作AD⊥x轴于点D，BE⊥x轴于点E，则AD∥BE．∵AD∥BE，∴△ACD∽△BCE，∴AD ACBE BC=2，∴AD=2BE．设B点纵坐标为-n，则A点纵坐标为2n．∵直线AB的解析式为y=23x+2，∴A（3n-3，2n），B（-3-32n，-n），∵反比例函数y=mx的图象经过A、B两点，∴（3n-3）•2n=（-3-32n）•（-n），解得n1=2，n2=0（不合题意舍去），∴m=（3n-3）•2n=3×4=12．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，一次函数、反比例函数图象上点的坐标特征，难度适中．正确求出一次函数的解析式是解题的关键．8．如图，反比例函数kyx=的图象与一次函数12y x=-的图象分别交于M，N两点，已知点M（－2，m）．(1)求反比例函数的表达式；(2)点P为y轴上的一点，当点P的坐标为(5时，求△MPN的面积．【答案】(1)2 yx =-(2)5【解析】【分析】（1）把M（-2，m）代入函数式y=-12x中，求得m的值，从而求得M的坐标，代入y=kx可求出函数解析式；（2）根据反比例函数与正比例函数的中心对称性求得N的坐标，然后利用S△MPN=S△MOP+S△NOP求得即可．(1)解：∵点M（-2，m）在一次函数y=-12x的图象上，∴m=-12×（-2）=1．∴M（-2，1）．∵反比例函数y=kx的图象经过点M（-2，1），∴k=-2×1=-2．∴反比例函数的表达式为y=-2x；(2)解：∵反比例函数y=kx的图象与一次函数y=-12x的图象分别交于M，N两点，M（-2，1），∴N（2，-1），∵点P为y轴上的一点，点P的坐标为（0，5），∴OP=5，∴S△MPN=S△MOP+S△NOP=12×5×2+12×5×2=25．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，本题利用了待定系数法求函数解析式以及利用中心对称求两个函数的交点，三角形的面积等知识．9．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k≠0）与反比例函数ymx（m≠0）的图象相交于A，B两点，过点A作AD⊥x轴于点D，AO＝5，OD：AD＝3：4，B点的坐标为（﹣6，n）(1)求一次函数和反比例函数的表达式；(2)求△AOB的面积；(3)P是y轴上一点，且△AOP是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的P点坐标．【答案】(1)y23=x+2，y12x=；(2)△AOB的面积S9=；(3)P点坐标为：（0，8）或（0，5）或（0，﹣5）或（0，258）【解析】【分析】（1）设OD=3a，AD=4a，则AO=5a=5，解得：a=1，故点A（3，4），故反比例函数的表达式为：y=12x，故B（-6，2），将点A、B的坐标代入一次函数表达式，即可求解；（2）△AOB的面积S=12×OM×（xA-xB）=12×2×（3+6）=9；（3）分AP=AO、AO=PO、AP=PO三种情况，分别求解即可．(1)解：AO＝5，OD：AD＝3：4，设：OD＝3a，AD＝4a，则AD＝5a＝5，解得：a＝1，故点A（3，4），则m＝3×4＝12，故反比例函数的表达式为：y12x=，故B（﹣6，﹣2），将点A、B的坐标代入一次函数表达式y＝kx+b得：4326k bk b=+⎧⎨-=-+⎩，解得：232kb⎧=⎪⎨⎪=⎩，故一次函数的表达式为：y23=x+2；(2)解：设一次函数y23=x+2交y轴于点M（0，2），∵点A（3，4），B（﹣6，﹣2），∴△AOB的面积S12=⨯OM×（xA﹣xB）12=⨯2×（3+6）＝9；(3)解：设点P（0，m），而点A、O的坐标分别为：（3，4）、（0，0），AP2＝9+（m﹣4）2，AO2＝25，PO2＝m2，当AP＝AO时，9+（m﹣4）2＝25，解得：m＝8或0（舍去0）；当AO＝PO时，同理可得：m＝±5；当AP＝PO时，同理可得：m258 =；综上，P点坐标为：（0，8）或（0，5）或（0，﹣5）或（0，258）．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，等腰三角形的判定与性质，利用形数结合解决此类问题，是非常有效的方法．10．如图，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=mx(m≠0)的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为(−3，4)，点B的坐标为(6，n)．(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；(2)连接OB，求△AOB的面积；(3)在x轴上是否存在点P，使△APC是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)反比例函数的解析式为y=-12x；一次函数的解析式为y=-23x+2；(2)S△AOB=9；(3)存在．P点坐标为（-3，0）、（-173，0）．【解析】【分析】（1）先把A（-3，4）代入反比例函数解析式得到m的值，从而确定反比例函数的解析式为y =-12x；再利用反比例函数解析式确定B 点坐标为（6，-2），然后运用待定系数法确定所求的一次函数的解析式为y =-23x +2； （2）先依据一次函数求得点C 的坐标，进而得到△AOB 的面积；（3）过A 点作AP 1⊥x 轴于P 1，AP 2⊥AC 交x 轴于P 2，可得P 1点的坐标为（-3，0）；再证明Rt △AP 2P 1∽Rt △CAP 1，利用相似比计算出P 1P 2的长度，进而得到OP 2的长度，可得P 2点的坐标为（-173，0），于是得到满足条件的P 点坐标． (1)解：将A （-3，4）代入y =m x ，得m =-3×4=-12， ∴反比例函数的解析式为y =-12x ； 将B （6，n ）代入y =-12x，得6n =-12， 解得n =-2，∴B （6，-2）， 将A （-3，4）和B （6，-2）分别代入y =kx +b （k ≠0），得3462k b k b -+=⎧⎨+=-⎩， 解得232k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴所求的一次函数的解析式为y =-23x +2； (2)解：当y =0时，-23x +2=0， 解得：x =3，∴C （3，0），∴S △AOC =12×3×4=6，S △BOC =12×3×2=3， ∴S △AOB =6+3=9；(3)解：存在．过A 点作AP 1⊥x 轴于P 1，AP 2⊥AC 交x 轴于P 2，如图，∴∠AP 1C =90°，∵A 点坐标为（-3，4），∴P 1点的坐标为（-3，0）；∵∠P 2AC =90°，∴∠P 2AP 1+∠P 1AC =90°，而∠AP 2P 1+∠P 2AP 1=90°，∴∠AP 2P 1=∠P 1AC ，∴Rt △AP 2P 1∽Rt △CAP 1， ∴11211AP PP CP AP =，即12464PP =， ∴P 1P 2=83， ∴OP 2=3+83=173， ∴P 2点的坐标为（-173，0）， ∴满足条件的P 点坐标为（-3，0）、（-173，0）． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，解决问题的关键是了解反比例函数图象上点的坐标特征和待定系数法确定函数解析式；会运用三角形相似知识求线段的长度．。
一次函数中的面积问题
一次函数中的面积问题（专题）例1：已知一次函数 ，求该函数图象与坐标轴围成的图形的面积.（针对性训练1）已知一次函数 ，求该函数图象与坐标轴围成的图形的面积.例2：若直线 与两坐标轴所围成的图形面积为4，求该直线的解析式.（针对性训练2）若直线 与两坐标轴所围成的图形面积为6，求该直线的解析式.例3：已知一次函数图像经过（0，2）且与两坐标轴围成的三角形面积为1，求一次函数的 解析式.（针对性训练3）已知一次函数图像经过（0，-2）且与两坐标轴围成的三角形面积为3， 求一次函数的解析式.4、如图所示一次函数 的图象经过A（2，4）和B （0，2）两点，且与x 轴相交于C 点，连接AO 。
（1）求此一次函数的解析式；（2）求AOC ∆的面积.b kx y +=121+-=x y b x y +=2231-=x y b x y --=321-5、已知直线 和直线 相交于点P ，且直线分别交x 轴、 轴于点A ，B ，直线 交 轴于点C ，如图所示（1）求点P 的坐标；（2）求PCA ∆的面积.6、如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数的图象 分别与x 轴、y 轴和直线4=x 交于点A ，B ，C ，直线4=x 与x 轴交于点D ，梯形OBCD （O 为坐标原点）的面积为10，若点A 的横坐标为 ，求这个一次函数的解析式.7、直线 过点A （0，2），B （2，0），直线 ： 过点C （1，0），且把分成两部分，其中靠近原点的那部分是一个三角形，设此三角形的面积为S ，求S 关于m 的函数解析式.643+-=x y 243-=x y 643+-=x y 243-=x y y y bkx y +=1l 2l bmx y +=AOB ∆。
沪教版八年级 一次函数中的面积问题,带答案
1．能由一次函数的知识求有关图形的面积；2．能由已知图形的面积解决一次函数的有关问题； 3．体会一次函数的有关面积问题的解决思路．（此环节设计时间在10—15分钟）回顾上次课的预习思考内容，要求学生先画出一次函数的大致图形再解题．1．直线1y x =--与x 轴相交于点 ，与y 轴相交于点 ，与坐标轴围成的三角形面积为 ．2．一次函数的图像经过(3，5)，(—4，—9)，则此一次函数的解析式为 ，一次函数与坐标轴围成的三角形面积为 ．3．直线34y x =-+与直线21y x =-相交于P ，直线34y x =-+与x 轴相交于点A ，直线21y x =- 与x 轴相交于点B ，交点P 的坐标为 ，△ABP 面积为 ． 参考答案：1．（—1，0），（0，—1），12； 2．21y x =-，14； 3．4(,0)3，1(,0)2，（1，1），512； 归纳总结：一次函数与坐标轴围成的面积可以推到出相应公式：22b S k∆=（此环节设计时间在50-60分钟）案例1：问题1：如图，已知直线l ：22y x =-+与直线m ：y x =交于点T ，求直线l 和直线m 与x 轴所围成的图形面积。
参考答案：解：由题意：(3,0),(0,3)A B - ∴1922AOBS OA OB =⋅= ∴11113232BOC AOBSOB C D S =⋅==∴11C D = 代入3y x =+得1(1,2)C -， 设直线l 的解析式：y kx = 代入1(1,2)C -得2k =- ∴直线l 的解析式2y x =- 同理：2(2,1)C -,∴直线l 的解析式12y x =-试一试：已知直线2y x =-+与x 轴、y 轴分别交于A 点和B 点，另一条直线(0)y kx b k =+≠经过点C （1，0），且把△AOB 分成两部分。
若△AOB 被分成的两部分面积比为1：5，求k 和b 的值.参考答案：22,33k b =-=或2,2k b ==-此环节设计时间在30分钟左右（20分钟练习＋10分钟互动讲解）。
数学人教版八年级下册专题复习：一次函数与面积问题(学生用)
专题复习：一次函数与面积问题一、忆1.直线y=2x+1与y=2x-3的位置关系是： .2.直线y=2x+5与y=0.5x+5的交点坐标是： .3.直线直线y=x-1与直线y= -0.5 x+2交点坐标是： .4.直线y=x-1与y轴的交点坐标为，与x轴的交点坐标为，此直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 .5.一次函数图象经过点（0，2）和（4，0），这个一次函数的解析式为： .二、思例1(根据一次函数求面积)：直线y=x-1交x轴、y轴于点A、B，直线y=-0.5x+2交x轴、y轴于点C、点D，两直线交于点P.(1)你能求出哪些点的坐标?哪些线段的长?哪些图形的面积?(2) 求点O到直线AB的距离OM的长吗？(提示:点的横,纵坐标对求图形面积时用到的底边,高的作用. )例2(根据面积求一次函数表达式)：一次函数y=kx+b 交y=2x 于点A(1,m),交x 轴于点B ，且S △AOB =4.(1)求一次函数y=kx+b 的解析式.(2) 你能求过点(－4，0)且平行于0A 的直线解析式吗？(提示:面积中出现的底,高对点的横,纵坐标的确定作用,分类讨论,数形结合)三、练1.点P 是一次函数y=-2x+8的图象上一点，如果图象与x 轴交于Q 点，且△OPQ 的面积等于6，则P 点的坐标为 . y=-2x+82.如图：正方形ABCD 边长为4，将此正方形置于坐标系中点A 的坐标为（1，0).(1)过点C 的直线 3834-=x y 与x 轴交与E, 求S 四边形AECD ； (2)直线l 经过点E 且将正方形ABCD 分成面积相等的两部分，求直线l 的解析式.四、获---说说自己的收获五、延---复习题单针对训练。
专题07 一次函数中的面积问题精讲(解析版)
专题07 一次函数中的面积问题精讲一、平面直角坐标系中面积的几种求法面积问题是中考的一个重点知识点，考查方式灵活多样，很多题目有创新性，能很好考查学生的灵活运用知识的能力.我们除了要熟知常见图形的面积公式外，在平面直角坐标系中还要懂得以下几种面积的方法： 方法一、割补法割补方法不仅仅只有一种，要灵活使用.方法二、铅垂高、水平宽法=21=2ABC ABC S CD OAS CE OB⨯⨯⨯⨯△△ 二、典型例题选讲题1. 如图1-1所示，把Rt △ABC 放在直角坐标系内，其中∠CAB =90°，BC =5，点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0）．将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线y =2x ﹣6上时，线段BC 扫过的面积为（ ）图1-1A ．4B ．8C ．16D ．12 【答案】C .【解析】如图1-2所示．图1-2设C 点移动到直线y =2x ﹣6上的点为C ’. ∵点A 、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0）， ∴AB =3．∵∠CAB =90°，BC =5，∴在Rt △ABC 中，由勾股定理得：AC =4． ∴A ′C ′=4．∵点C ′在直线y =2x -6上， ∴2x -6=4，解得 x =5．即OA ′=5， ∴CC ′=5-1=4．∴四边形BB ’C ’C 是平行四边形，面积 =4×4=16． 即线段BC 扫过的面积为16，故答案为：C .题2. 已知一次函数2y x a =+与y x b =-+的图象都经过A （2-，0），且与y 轴分别交于B 、C 两点，则△ABC 的面积为 （ ）．A ． 4B ． 5C ． 6D ． 7 【答案】C .【解析】因为y =2x +a 与y =-x +b 的图象都经过A (-2,0), 所以0=2×（-2）+a ， 解得：a =4， 又因为0=2+b 解得：b =-2y =2x +4、y =-x -2与y 轴分别交于B 、C 两点 ∴B (0.4)，C (0,-2)，三角形ABC 的面积=2×6÷2=6. 故答案为：C .题3. (河北中考)如图3-1所示，在平面直角坐标系xOy 中，A (0，5)，直线x ＝－5与x 轴交于点D ，直线y ＝－38x －398与x 轴及直线x ＝－5分别交于点C ，E .点B ，E 关于x 轴对称，连接AB . (1)求点C ，E 的坐标及直线AB 的解析式； (2)若S ＝S △CDE ＋S 四边形ABDO ，求S 的值；(3)在求(2)中S 时，嘉琪有个想法：“将△CDE 沿x 轴翻折到△CDB 的位置，而△CDB 与四边形ABDO 拼接后可看成△AOC ，这样求S 便转化为直接求△AOC 的面积，如此不更快捷吗？”但大家经反复验算，发现S △AOC ≠S ，请通过计算解释他的想法错在哪里．图3-1【答案】见解析【解析】解：（1）y ＝－38x －398，令y ＝0，有0＝－38x －398，解得：x ＝－13，即C (－13，0)．令x ＝－5，则有y ＝－38×(－5)－398＝－3，即E (－5，－3)．∵点B ，E 关于x 轴对称， ∵B (－5，3)． ∵A (0，5)，∵设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋5， ∵－5k ＋5＝3， ∵k ＝25，∵直线AB 的解析式为y ＝25x ＋5.（2）由（1）知E (－5，－3)， ∵DE ＝3. ∵C (－13，0)，∵CD ＝－5－(－13)＝8， ∵S ∵CDE ＝12CD ·DE ＝12.由题意知OA ＝5，OD ＝5，BD ＝3， ∵S 四边形ABDO ＝12(BD ＋OA )·OD ＝20，∵S ＝S ∵CDE ＋S 四边形ABDO ＝12＋20＝32.（3）由（2）知S ＝32，在∵AOC 中，OA ＝5，OC ＝13， ∵S ∵AOC ＝12OA ·OC ＝652＝32.5，∵S ≠S ∵AOC .理由：由(1)知直线AB 的解析式为y ＝25x ＋5，令y ＝0，则0＝25x ＋5，∵x ＝－252≠－13，∵点C 不在直线AB 上，即点A ，B ，C 不在同一条直线上， ∵S ∵AOC ≠S .题4. 已知一次函数的图象过点(0,3)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为3, 则其表达式为( ) A . y ＝1.5x ＋3B . y ＝－1.5x ＋3C . y ＝1.5x ＋3或y ＝－1.5x ＋3D . y ＝1.5x －3或y ＝－1.5x －3【答案】C .【解析】解：设该一次函数与x 轴的交点坐标为（a ,0）， 由题意得：1332a ⨯⨯=， 解得：a =±2， 当a =2时，设直线解析式为y =kx +3，将（2,0）代入，求得k =-1.5； 同理求得，当a =-2时，k =1.5.所以函数解析式为：y ＝1.5x ＋3或y ＝－1.5x ＋3，故答案为C .题5. 如图5-1所示，已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象经过A (－2，－1)，B (1，3)两点，并且交x 轴于点C ，交y 轴于点D .图5-1(1)求该一次函数的解析式；(2)求∵AOB 的面积． 【答案】见解析.【解析】解：(1)把A (－2，－1)，B (1，3)代入y ＝kx ＋b ，得：⎩⎪⎨⎪⎧－2k ＋b ＝－1，k ＋b ＝3. 解得⎩⎨⎧k ＝43，b ＝53.∵一次函数的解析式为y ＝43x ＋53.(2)把x ＝0代入y ＝43x ＋53，得y ＝53，∵D 点坐标为(0，53)．∵S ∵AOB ＝S ∵AOD ＋S ∵BOD ＝12×53×2＋12×53×1＝52.题6. 已知，一次函数y kx b =+的图像与正比例函数13y x =交于点A ，并与y 轴交于点(0,4)B -，△AOB 的面积为6，则kb = 【答案】203-或4. 【解析】解：因为一次函数y kx b =+的图像与y 轴交于点(0,4)B -， ∴b =－4，OB =4， 设A 点横坐标为a ， 因为△AOB 的面积为6， 所以162a OB ⨯⨯=, 即a =3或－3，点A 的坐标为（3,1）或（－3，－1） 将A 点坐标代入4y kx =-，得： k =53或－1 所以kb = 203-或4. 故答案为：203-或4.题7. 如图7-1所示,点G ，D ，C 在直线a 上,点E ,F ,A ,B 在直线b 上,若a ∥b ,Rt △GEF 从如图所示的位置出发,沿直线b 向右匀速运动,直到EG 与BC 重合.运动过程中△GEF 与矩形ABCD 重合部分的面积（S ）随时间（t ）变化的图象大致是（ ）图7-1A B C D【解析】根据题意可得：①F、A重合之前没有重叠面积；②F、A重叠之后，重叠部分面积逐渐增大，且增加的速度越来越快；③△EFG完全进入且F与B重合之前，重叠部分的面积是三角形的面积，不变，④F与B重合之后，重叠部分的面积逐渐减小，减小的速度越来越慢，直至最后重叠部分的面积为0．综上所述，只有B选项图形符合．故答案为：B．题8. 如图8-1所示，已知直线y=2x+3与直线y=-2x-1.(1)求两直线交点C的坐标;(2)求∵ABC的面积.(3)在直线BC上能否找到点P,使得S∵APC=6，若能，请求出点P的坐标，若不能请说明理由。
一次函数中割补法求面积
一次函数中割补法求面积今天咱们聊聊一次函数中的割补法求面积。
这可不是高深莫测的数学难题，别急，慢慢来，保证你看了不困，反而还能让你心头一亮，哦原来是这么一回事！有些同学一听到“割补法”就开始皱眉头，觉得是个不折不扣的数学怪物。
其实不然，这方法就像拆盲盒一样，拆开了之后你会发现其实也没那么复杂，反而有点意思。
割补法顾名思义，是用来求面积的。
不过，这个“割”和“补”可不是咱们平时说的切割和补充。
它指的其实是一种通过把一个图形分割成更小的部分，再通过加法或者减法来计算面积的方式。
你想象一下，一个大大的矩形，里面有一些小的三角形或者其他形状，咱们把这些小部分拆开，先算出它们的面积，再加到一起，得到总面积。
听起来是不是有点像拼拼图呢？不着急，我们一步步来捋清楚。
好啦，咱们接着说一次函数，啥是一次函数呢？其实它就是那种画出来是直线的函数，像是 y = 2x + 3 这种，横坐标和纵坐标之间的关系很直接，变化得很规律。
给你个直白的例子：你上学的路上，走得越快，越早到校。
你走得慢，迟到的几率就大，跟一次函数差不多，一条直线，关系简单明了。
如果把这个函数图画出来，得到的就是一条斜斜的直线。
然后，咱们要做的事就是找出这条直线与坐标轴围成的“地盘”——也就是面积。
这时候，割补法就派上用场了。
别看它名字高大上，实际上，它不过是把面积分割成小块，逐一计算后再加在一起。
你能不能想象，一块大蛋糕，你用刀切成很多小块，然后每一块的面积都算出来，最后把这些小块的面积加起来，最终得到整块蛋糕的面积？这个思路就像割补法一样。
举个例子，你想计算一次函数 y = 2x + 3 在某个区间上的面积。
假设区间是从 x = 0 到 x = 2。
咱们得先画出这条直线。
横轴是 x 轴，纵轴是 y 轴，两个轴相交的地方是原点（0, 0）。
这时候直线 y = 2x + 3 就会穿过原点左侧，然后不断上升。
你画好这条直线后，找到它和 x 轴的交点。
咱们知道，x = 0 时，y 的值是 3，因为 y = 2(0) + 3 = 3。
一次函数面积问题专题(含答案解析)
一次函數面積問題1、如图，一次函数的图像与*轴交于点B〔-6，0〕，交正比例函数的图像于点A，点A的横坐标为-4，△ABC的面积为15，求直线OA的解析式。
2、直线y=*+3的图像与*轴、y轴分别交于A、B两点，直线a经过原点与线段AB交于C，把△ABO的面积分为2：1的两局部，求直线a的函数解析式。
3、直线PA是一次函数y=*+n的图像，直线PB是一次函数y=-2*+m〔m>n>0〕的图像，〔1〕用m、n表示A、B、P的坐标〔2〕四边形PQOB的面积是，AB=2，求点P的坐标4、△AOB的顶点O〔0，0〕、A〔2，1〕、B〔10，1〕，直线CD⊥*轴且△AOB面积二等分，假设D〔m，0〕，求m的值5、点B在直线y=-*+1上，且点B在第四象限，点A〔2，0〕、O〔0，0〕，△ABO的面积为2，求点B的坐标。
6、直线y=-*+1与*轴y轴分别交点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC， BAC=90°，点P〔a，〕在第二象限，△ABP的面积与△ABC 面积相等，求a的值.7、如图，两直线y=0.5*+2.5和y=-*+1分别与*轴交于A、B两点，这两直线的交点为P〔1〕求点P的坐标〔2〕求△PAB的面积8、直线y=a*+b〔b>0〕与y轴交于点N，与*轴交于点A且与直线y=k*交于点M 〔2，3〕，如图它们与y轴围成的△MON的面积为5，求〔1〕这两条直线的函数关系式〔2〕它们与*轴围成的三角形面积9、两条直线y=2*-3和y=5-*〔1〕求出它们的交点A的坐标〔2〕求出这两条直线与*轴围成的三角形的面积10、直线y=*+3的图像与*轴、y轴交于A、B两点，直线l经过原点，与线段AB 交于点C，把△AOB的面积分为2：1的两局部，求直线l的解析式。
11、直线y=2*+3与直线y=-2*-1与y轴分别交于点A、B〔1〕求两直线交点C的坐标〔2〕求△ABC的面积〔3〕在直线BC上能否找到点P，使得△APC的面积為6，求出点P的坐标，假设不能请说明理由。
一次函数中的面积问题
一次函数中的面积问题姓名:
一、一条直线与坐标轴围成的面积
1、直线AB：y=3x-5与坐标轴围成的三角形面积
2、直线与y轴交于点A（0，4），与两坐标轴围成的三角形面积为5，求此直线的解析式
3、直线与x轴交于点A（-2，0），与两坐标轴围成的三角形面积为3，求此直线的解析式
4、
二、铅锤求面积问题
的面
积
2、
x
y
(-2,2)
(3,-2) -3
(1,3)
O
A
C B
三、两直线与坐标轴围成的面积
1、直线y=3x+5和直线y=-2x+1与x轴分别交与A、B两点，并且两直线相交与点C,（1）求△ABC的面积，（2）求四边形CDOB的面积
三、三条直线围成三角形面积
面
2、直线AB：y=x+5与y轴交于点D，直线AC：y=3x+3与直线交于A，交x轴于C，连接DC，求ADC
积
2、直线y=-x+2与x轴、y轴分别交于点A和点B，另一直线y=kx+b（k≠0）经过点C （1，0），且把△AOB分为两部分，（1）若△AOB被分成的两部分面积相等，求k和b的值（2）若△AOB被分成的两部分面积为1：5，求k和b的值。
一次函数面积问题
一次函数面积问题
一次函数是指形如y = kx + b 的函数，其中k 和 b 是常数。
如果我们将这个函数画成图像，可以得到一条直线。
一次函数的面积问题通常指的是求解一条直线与坐标轴所围成的面积。
具体来说，如果我们有一个一次函数y = kx + b，我们可以将其表示为一条直线。
这条直线与x 轴和y 轴交于两个点，分别为(0, b) 和(-b/k, 0)。
这两个点就是直线所围成的矩形的两个顶点，我们可以计算出这个矩形的面积。
矩形的面积等于矩形的长乘以宽。
在这个问题中，矩形的长就是直线与x 轴的交点的x 坐标的绝对值，即|-b/k|。
矩形的宽就是直线与y 轴的交点的y 坐标的绝对值，即|b|。
因此，我们可以将这个矩形的面积表示为：
```
A = |-b/k| * |b|
```
需要注意的是，如果直线的斜率k 是正数，那么这个矩形的面积就是正值。
如果直线的斜率k 是负数，那么这个矩形的面积就是负值，但是我们通常会取其绝对值。
这就是一次函数面积问题的解法。
需要注意的是，这个问题只适用于一次函数，对于其他类型的函数，可能需要使用其他的方法来计算面积。
一次函数中的面积问题
一次函数中的面积问题学情分析：本文介绍了一次函数关于面积问题的研究方法和重点，重点是一次函数与面积的综合结合与运用，以及对于动点问题与一次函数的熟练结合与把握。
文章介绍了如何利用面积求解析式，以及如何求解含参数问题的面积。
文章还提供了三个典型例题，以帮助读者更好地理解。
研究目标与考点分析：研究目标：1、关于一次函数的面积问题利用面积求解析式；2、利用解析式求面积以及对于动点问题学会熟练的解决。
考点分析：1、一次函数的解析式与面积的充分结合。
研究重点：1、一次函数与面积的综合结合与运用；2、对于动点问题与一次函数的熟练结合与把握。
研究方法：讲练结合练巩固。
研究内容与过程：一、本节内容导入本节内容主要介绍了一次函数相关的面积问题，包括规则图形和不规则图形的求解方法，以及含参数问题的求解方法。
文章强调了在求解过程中，需要注意坐标的正负和线段的非负性。
二、典例精讲本节提供了三个典型例题，分别介绍了如何利用面积求解析式，如何求解含参数问题的面积，以及如何求解四边形的面积。
文章强调了在解题过程中，需要注意分类讨论和建立方程的思想。
本文介绍了一次函数关于面积问题的研究方法和重点，重点是一次函数与面积的综合结合与运用，以及对于动点问题与一次函数的熟练结合与把握。
文章介绍了如何利用面积求解析式，以及如何求解含参数问题的面积。
文章还提供了三个典型例题，以帮助读者更好地理解。
在研究过程中，需要注意分类讨论和建立方程的思想。
同时，需要注意坐标的正负和线段的非负性。
通过讲练结合练，可以更好地巩固所学知识。
1、已知直线y=-x+2与x轴、y轴分别交于A点和B点，另一条直线y=kx+b(k≠0)经过点C(1,m)，且将△AOB分成两部分。
1）若△AOB被分成的两部分面积相等，则k=-2，b=2.2）若△AOB被分成的两部分面积比为1：5，则k=-5，b=7.2、已知一次函数y=-2/3x+3的图像与y轴、x轴分别交于点A、B，直线y=kx+b经过OA的三分之一点D，且交x轴的负半轴于点C，如果S△AOB=S△DOC，求直线y=kx+b的解析式。
一次函数与面积结合问题解题技巧
一次函数与面积结合问题解题技巧全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：一次函数与面积结合问题解题技巧在数学中，一次函数是最基础的函数之一，它的图像是一条直线。
而面积则是一个二维概念，通常用来描述平面图形的大小。
一次函数与面积结合起来，可以帮助我们解决一些实际问题，例如求直线与X轴之间的面积、寻找最优解等。
在本文中，我们将介绍一些一次函数与面积结合问题的解题技巧。
一、基本概念在解决一次函数与面积结合问题时，首先需要了解一些基本概念。
一次函数的一般形式为y = kx + b，其中k为斜率，b为截距。
斜率表示函数的变化率，截距表示函数与Y轴的交点。
面积的计算公式为S = 底* 高，对于矩形和平行四边形，底和高即为长度和宽度；对于三角形，则一般取底边和高为两边。
二、求直线与X轴之间的面积当我们需要求一次函数与X轴之间的面积时，可以通过以下步骤进行：1. 找出函数与X轴的交点，即解方程kx + b = 0，得到交点的横坐标x0；2. 确定两个交点间的区间[a,b]，其中a为交点的横坐标的较小值，b为较大值；3. 计算函数在区间[a,b]上的积分，即∫[a,b] (kx + b)dx；4. 根据积分的结果，确定函数与X轴之间的面积。
对于函数y = 2x + 3，我们需要求函数图像在[1,3]上与X轴之间的面积。
解方程2x + 3 = 0，得到交点的横坐标为-3/2；然后计算∫[1,3] (2x + 3)dx = x^2 + 3x，将上限和下限代入，得到面积为10.5。
三、寻找最优解在一些实际问题中，我们需要找到最优解，即使得面积最大或最小的情况。
在这种情况下，我们可以通过一次函数的性质来解决问题。
假设我们需要用一根长度为L的绳子围成一个长方形，求这个长方形的面积最大值。
设长方形的长为x，宽为y，则面积为xy。
根据题意，有2x + 2y = L，即x + y = L/2，可以将y表示为y = L/2 - x。
将y代入面积公式中，得到S = x(L/2 - x) = Lx/2 - x^2。
一次函数面积问题专题(含答案)
一次函數面積問題1、如图，一次函数的图像与x轴交于点B（-6，0），交正比例函数的图像于点A，点A的横坐标为-4，△ABC的面积为15，求直线OA的解析式。
2、直线y=x+3的图像与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线a经过原点与线段AB交于C，把△ABO的面积分为2：1的两部分，求直线a的函数解析式。
3、直线PA是一次函数y=x+n的图像，直线PB是一次函数y=-2x+m（m>n>0）的图像，（1）用m、n表示A、B、P的坐标（2）四边形PQOB的面积是，AB=2，求点P的坐标4、△AOB的顶点O（0，0）、A（2，1）、B（10，1），直线CD⊥x轴且△AOB面积二等分，若D（m，0），求m的值5、点B在直线y=-x+1上，且点B在第四象限，点A（2，0）、O（0，0），△ABO 的面积为2，求点B的坐标。
6、直线y=-x+1与x轴y轴分别交点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC， BAC=90°，点P（a，）在第二象限，△ABP的面积与△A BC 面积相等，求a的值.7、如图，已知两直线y=0.5x+2.5和y=-x+1分别与x轴交于A、B两点，这两直线的交点为P（1）求点P的坐标（2）求△PAB的面积8、已知直线y=ax+b（b>0）与y轴交于点N，与x轴交于点A且与直线y=kx交于点M（2，3），如图它们与y轴围成的△MON的面积为5，求（1）这两条直线的函数关系式（2）它们与x轴围成的三角形面积9、已知两条直线y=2x-3和y=5-x（1）求出它们的交点A的坐标（2）求出这两条直线与x轴围成的三角形的面积10、已知直线y=x+3的图像与x轴、y轴交于A、B两点，直线l经过原点，与线段AB交于点C，把△AOB的面积分为2：1的两部分，求直线l的解析式。
11、已知直线y=2x+3与直线y=-2x-1与y轴分别交于点A、B（1）求两直线交点C的坐标（2）求△ABC的面积（3）在直线BC上能否找到点P，使得△APC的面积為6，求出点P的坐标，若不能请说明理由。
一次函数面积的常见求法
一次函数面积的常见求法讲我们以一次函数中的面积问题为切入点，来看看其背后蕴含的丰富解法．一．问题分析我们知道，一次函数的图像是一条直线，其与坐标轴围成一个三角形，若要求这个“坐标三角形”的面积，则只要知道其与x轴，y轴的交点坐标即可，难度不大，故不展开．但如果有两条直线相交，你会求它们与坐标轴围成的三角形面积吗？甚至如果有三条直线相交，你能求出这三条直线围成的三角形面积吗？本讲就主要研究后2类问题及其变式．二．实例感悟(1)两线与一轴即有两条直线相交，分别求两直线与x轴，y轴围成的三角形面积．例1：已知直线y1＝－x＋3与y2＝x＋1，求两直线与坐标轴围成的三角形面积．分析：显然，我们要先求出5个关键点的坐标，y1与x轴交点A的坐标，与y轴交点B的坐标，y2与x轴交点C的坐标，与y轴交点D的坐标，以及y1与y2的交点E的坐标．并确定△CEA是两直线与x轴围成的三角形，△DEB是两直线与y 轴围成的三角形．小结：我们发现，三角形的底和高是可以不断变化的，如果两个点均在x轴上，则用横坐标相减的绝对值表示两点间的距离，若两个点均在y轴上，则用纵坐标相减的绝对值表示两点间的距离，当然，明确左右和上下的情况下，右减左和上减下，可保证为正．变式1：直线y1＝k1x＋b1(k1＞0)和直线y2＝k2x＋b2(k2＜0)相交于点(－2，0)，且两直线与y轴所围成的三角形面积是4，求b1－b2．解析：变式2：在平面直角坐标系中，一条直线经过A(－1，5)，B(－2，a)，C(3，－3)三点，这条直线与y轴交于点D，求△OBD的面积．解析：同样操作，先将这条直线的解析式求出，从而知道点B的坐标，与y轴交点D 的坐标，画出草图，谁为高，谁为底，一目了然．变式3：直线y＝kx＋3(k＜0)与x轴，y轴分别交于A，B两点，OB：OA＝3：4，点C 为直线上一动点，若△AOC面积为4，求点C坐标．分析：首先，可知点B坐标(0，3)，OB＝3，则OA＝4，再根据k＜0，确定图像经过一二四象限，A(4，0)，从而可求直线AB的解析式，画出图像，我们发现，△AOC 以AO为底，则高要用点C纵坐标的绝对值来表示．解答：(2)三线两相交即三条直线两两相交，求出三条直线围成的三角形面积．其实，这个问题可以转化为给出平面直角坐标系内任意三点的坐标，求出以这三个点为顶点的三角形的面积．由于此时的三角形的底边均为倾斜的，这就需要用到一种全新的方法——铅垂法，或称宽高法来求三角形的面积．例2：已知直线OA经过一三象限，A为第一象限内一定点，动点B不在直线OA上，且BA，BO不与y轴平行，求S△OAB分析：显然，这时候的三角形OAB的底并不在x轴，y轴上，即便求出底边长，高依旧是倾斜的，十分难算，因此，我们可以考虑割补法．如果采用补，补成一个矩形，减去周围三个小三角形的面积那也是可以的，但在今后，尤其是初三求二次函数图像上三点围成三角形面积最值时，点的坐标不能确定，就无法适用，所以今天重点介绍铅锤法．什么是铅锤法呢，就以例2来说，我们可以过点B作一条铅锤线，即作BD⊥x 轴，与OA交于点C，则△OAB的面积就可以看作是△OBC与△ABC的面积之和或面积之差，此时，铅垂线BC反而转化为底边，再过点A作AE⊥x轴，则OA水平方向上的距离：即OE的长，可以看作OD与DE的和，或差，此时OD 反而看作△OBC的高，DE看作△ABC的高，则△OAB的面积即可看成是解答：为了让大家更直观的理解，将6种情况全部展示如下，后三种与前三种类似，故只给图，“无字证明”，可对照消化．以上几种情况，属于用多题一解进行验证，均选取OA水平方向的OE长为水平宽，过点B作铅锤线，以B点与OA交点C之间的距离作为铅锤高，从而得出了宽高公式，说的再透些，那么，这个公式能否通过一题多解来验证呢，答案当然是可以的，就以第一种情况为例．以上三图，O、A、B三点的位置均不变，我们可以选取任意两点横坐标之差的绝对值作为水平宽，过第三个点作铅垂线，与之前两点所在直线交于一点，第三个点与这个交点纵坐标之差的绝对值作为铅锤高，则问题均可圆满解决．例2：已知A(－1，3)，B(1，1)，C(2，2)，求S△ABC解析：本题是最基本的练习，现用宽高法的三种不同形式都计算一遍来检验下．分析：本题解法较多，我们重点来研究铅锤法．显然，这样的点Q有2个，在射线AB 上，或者射线AC上．因为点A的坐标可以确定，那么OA的水平宽可以确定，又因为三角形面积确定，则铅锤高也确定，则问题最后转化为一个方程即可解决．解答：小结：从2种情况综合来看，我们不难发现，铅锤高的长度，就是两直线解析式的差的绝对值，这个结论在初三还会有更大作用．当然，本题还可以先求出△OAB的面积，从而求出OBQ1的面积，确定Q1的坐标，同理，求出△AOC的面积，从而求出△OCQ2的面积，确定Q2的坐标．最后，你发现Q1，Q2关于A对称了吗？Q1A＝Q2A，A是它们俩的中点哦．。
一次函数之面积问题(讲义及答案)
一次函数之面积问题（讲义）➢知识点睛1.坐标系中处理面积问题，要寻找并利用横平竖直的线，通常有以下三种思路：①公式法（规则图形）；②割补法（分割求和、补形作差）；③转化法（例：同底等高）．2.坐标系中面积问题的处理方法举例①割补法——铅垂法求面积：B()2APB B AS PM x x=⋅⋅-△②转化法——借助平行线转化：l1l2如图，满足S△ABP=S△ABC的点P都在直线l1，l2上．➢精讲精练1.如图，在平面直角坐标系中，已知A(2，3)，B(4，2)，则△AOB的面积为___________．2.如图，点A，B在直线74y kx=+上，点A的坐标为(-1，3)，点B的横坐标为3，则△AOB的面积为___________．3.如图，直线y=-x+4与x轴、y轴分别交于点A，B，点P的坐标为(-2，2)，则S△PAB=___________．4.如图，一次函数y=kx+5的图象经过点A(1，4)，点B是一次函数y=kx+5的图象与正比例函数23y x的图象的交点，则△AOB的面积为___________．5.如图，直线l1：y=x+1与x轴、y轴分别交于点A，B，直线l2：y=kx-2与x轴、y轴分别交于点C，D，直线l1，l2相交于点P．若S△APD=92，则k的值为__________．6.如图，在平面直角坐标系中，已知A(2，4)，B(6，6)，C(8，2)，则四边形OABC的面积为___________．7.如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，1)，点B(8，4)，点C(m，2m-3)在直线AB上方，若△ABC的面积为9，则m的值为________．8.如图，直线l1：y=x与直线l2：y=-2x+3相交于点A，点B在直线l1上，且横坐标为4．C为l2上的一个动点，且在点A的左侧，若△ABC的面积为18，则点C的坐标为__________．9.如图，直线112y x=-+与x轴、y轴分别交于点A，B，点C的坐标为(1，2)，点P为坐标轴上一点，若S△ABP =S△ABC，则点P的坐标为__________．10.如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=2x+4的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，过点A的直线交y轴正半轴于点M，且点M为线段OB的中点．（1）求直线AM的函数解析式；（2）若点P是直线AM上一点，使得S△ABP =S△AOB，请直接写出点P的坐标．【参考答案】1. 42.7 23.84.55.5 26.247. 48.(-3，9)9.(0，52)，(5，0)，(-1，0)，(0，12-)10.（1）直线AM的函数解析式为y=x+2；（2）P1(2，4)，P2(-6，-4)。
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y
y=2x
y=k’x
A’
A
x
O
B
2 8 2 8 m、k、b的值分别为2、 、 或2、 、 5 5 3 3
2 8 y=- x 3 3
思考（）：直线y=2x将BOC分成的两个小三角形 1 面积之比是多少？
思考（2）：将直线y=2x绕点O旋转，使其将BOC分成 面积之比为3:5的两部分，求旋转后的直线解析式。
例1 已知：如图,直线y=x-1交x轴、y轴于点A、B， 直线y=-0.5 x+2交x轴、y轴于点C、D，两直线交于 点P。
一次函数中的面积问题
AC (2)将△PAC中的线段___ y=-0.5x+2 3 3 作为底,它的长度为___, 1 2 △PAC的高为___,面积为____。 BD (3)将△PBD中的线段___ o 3 B 作为底,它的长度为___, 2 3 △PBD的高为___,面积为____。
解： 点A(1,m)在直线y=2x上 m 2 1 2 点A坐标为（ ， 1 2）
过A作AM x轴于M，则AM 2
y
y=2x
A
1 1 SAOB OB AM OB 2 OB 2 2 S AOB 4, OB 4 B
y=kx+b
┐OBiblioteka Mx B(4, 0)或(4, 0)
y
（1，0） （0，-1） （4，0） (1)写出各点坐标:A______、B______、C______、 （0，2） （2，1） D______、P______。
y=x-1
D
P
A
C
x
续下页
S△COD S△PAC (4) S四边形PAOD=_____-_____
5 2 =_____
S△PAC S△BAC (5) S△PBC=_____+_____ S△CBD S△PBD 3 S△PBC=_____-_____=_____
当直线y kx b过点A(1, 2), B ( 4, 0)时 2 2 k b k 5 由 得 0 4k b b 8 5
当直线y kx b过点A(1, 2), B (4, 0)时 2 2 k b k 3 由 得 0 4 k b b 8 3
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如何求平面直角坐标系中的 图形的面积？
１．如果三角形有一边在坐标轴上（或平行 于坐标轴），直接用面积公式求面积．
２．如果三角形任何一边都不在坐标轴上， 也不平行于坐标轴，则需分割为几个有边在 坐标轴上的三角形面积之和（或差）． ３．四边形面积常转化为若干个三角形面积 之和（或差）．
例2 已知：直线y=2x和y=kx+b交于点A(1,m),直线y=kx+b交x轴于 点B，且S△AOB=4。求m,k,b的值。
思考 (4)：若点A(x,y)在直线 BC上运动呢？
课堂小结
一、知识要点 1.求三角形面积的一般方法 (1)有一边在坐标轴上的三角形 (2)任何一边都不在坐标轴上,也不平行于坐标轴的 三角形 2.四边形面积常转化为三角形面积之和或差 3.已知三角形面积求解析式,要注意多种情况 4.动点问题要充分考虑各种运动情况 二、思考策略 1.数形结合 2.转化
谢谢！
想一想：可以不求点A'坐标而得解析式吗？
思考 (3)：当点A(x,y)在线段 BC上 运动时，写出△AOB的面积s与 C x的函数关系式，并写出自变量 的取值范围。 O 当点A运动到什么位置时，△AOB的 面积为3？ 是否存在某一位置，使△AOB的面积为6？
y
A
x
2 B 8 y x 3 3