集合的运算
集合的基本运算
交集的运算性质：
（1） ∩ = ，即任何集合与其本身的交集等于这个集合本身；
（2） ∩ ∅ = ∅，即任何集合与空集的交集等于空集.
若A B，则A B A.
若A B A，则A B.
探究三：补集
思考3：求方程 ሺ − 2)ሺ 2 − 3) = 0 在有理数范围内的解集，在
2 ，，，，
3 4 5 6 ，A {1，，
2 3}，B 5 ，，，
6 7 8 ，则
B
U
A 中元素的个数为( B )
A.4
B.5
解析：
为 5.故选 B.
U
A {4 ，，
5 6} ，B
C.6
U
A {4 ，，
5 6，
7，
8} ，所以 B
D.7
U
A 中元素的个数
4. 已知集合 A 1，
试用集合的运算表示 1 ， 2 的位置关系.
解：平面内直线 1 ， 2 可能有三种位置关系，即相交于一点、平
行或重合.
（1）直线 1 ， 2 相交于一点 P 可表示为 1 ∩ 2 = { 点 ሽ；
（2）直线 1 ， 2 平行可表示为 1 ∩ 2 = ∅；
（3）直线 1 ， 2 重合可表示为 1 ∩ 2 = 1 = 2 .
2. 已知集合 M {x | x 2} ，N {x | 1 x 1 1} ，则( D )
A. M N
B. M
NN
C. M
N R
解析：由题知，集合 N x | 0 x 2 ，所以 M
D. M
NN
N {x | 0 x 2} .故选 D.
3. 已知集合 U 1，
（CU A） B {x | 3 x 4} .
集合的概念及其运算
集合的概念及其运算1、集合中元素的性质：确定性，互异性，无序性2、有n个元素的集合的子集的个数是2n，真子集的个数是2n-13、自然数集N 正整数集N* 整数集Z 有理数集Q 实数集R 复数C4、交集：由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合叫做集合A与B的交集，记为A∩B，即A∩B＝{x｜x∈A，且x∈B}并集：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合叫做集合A与B的并集，记为A∪B，即A∪B＝{x｜x∈A，或x∈B}补集：一般地设S是一个集合，A是S的一个子集(即A S)，由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做集合A在全集S中的补集(或余集)．5、真子集关系对于集合A、B，如果A ⊆ B，并且A≠B，我们就说集合A是集合B的真子集 显然，空集是任何非空集合的真子集1.设集合A={1，2}，则满足A∪B={1,2,3}的集合B的个数是( )A.1B.3C.4D.82.若集合A={x|x2-4x＜0}，则集合A∩Z中元素的个数为( )A.3B.4C.5D.23.已知集合A={a-2,2a2+5a,12},且-3∈A,则a= .4、已知集合A={1，3，5}，B={2，4，6}.定义集合A+B={a+b|a∈A,b∈B},则A+B中元素的个数是( )A.9B.6C.5D.45、满足Φ A⊆{1,2,3}的集合A的个数是( )A.7B.8C.6D.42＞0},N={x|x＞a}.若M⊆N,求实数a的取值范围6、 已知集合M={x|3+2x-x7、已知集合M={x|x2+x-6=0},N={x|ax-1=0}，且M∩N=N,求实数a的值.8、集合A={0,2,a},B={1,a2}.若A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为( )A.0B.1C.2D.49、若A、B、C为三个集合，A∪B＝B∩C，则一定有A. A⊆CB.C⊆AC.A≠CD.A＝∅10、已知集合A＝{y|y＝log2x，x＞1}，B＝{y|y＝（1/2）x，x＞1}，则A∩B等于A. ∅B.{y|0＜y＜1}C.{y|1/2＜y＜1}D.{y|0＜y＜1/211、.设全集U是实数集R，M＝{x|x2＞4}，N＝{x|≥1}，则下图中阴影部分所表示的集合是A.{x|－2≤x＜1}B.{x|－2≤x≤2}C.{x|1＜x≤2}D.{x|x＜2}12、.设集合A＝{5，log2（a2－3a＋6）}，集合B＝{1，a，b}，若A∩B ＝{2}，则集合A∪B的真子集的个数是A.3个B.7个C.12个D.15个13、.设全集U＝R，A＝{x|x＜－3或x≥2}，B＝{x|－1＜x＜5}，则集合{x|－1＜x＜2}是A. （UA）∪（UB）B. U（A∪B）C. （UA）∩BD.A∩B14、定义集合A*B＝{x|x∈A，且xB}，若A＝{1，3，5，7}，B＝{2，3，5}，则A*B的子集个数为10、A.1 B.2 C.3 D.415、.设集合M＝{x|x≤m}，N＝{y|y＝2-x，x∈R}，若M∩N≠，则实数m 的取值范围是A.m≥0B.m＞0C.m≤0D.m＜016、.已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0，a∈R}.（1）若A是空集，求a的取值范围；（2）若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来；命题及其关系充要条件1、2. 用命题的等价性判断：判断p是q的什么条件，其实质是判断“若p，则q”及其逆命题“若q，则p”是真还是假，原命题为真而逆命题为假，p是q的充分不必要条件；原命题为假而逆命题为真，则p是q的必要不充分条件；原命题为真，逆命题为真，则p是q的充要条件；原命题为假，逆命题为假，则p是q的既不充分也不必要条件．3. 原命题为“若P则q，则它的逆命题为若q则p;否命题为若非p则非q,逆否命题为若非q则非p 原命题与它的逆否命题等价，逆命题与它的否命题等价1、写出“面积相等的两个三角形是全等三角形”的逆命题、否命题、逆否命题2、写出“若a>b且c>d，则a+c>b+d”的逆命题、否命题、逆否命题3、设原命题”若p则q”假，而逆命题真，则p是q的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件 D既不充分也不必要条件3、0<x<5是不等式lx-2l<4成立的（）A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件 D既不充分也不必要条件4、1命题：“若x2<1，则－1<x<1”的逆否命题是 ( )A．若x2≥1，则x≥1或x≤－1 B．若－1<x<1，则x2<1C．若x>1或x<－1，则x2>1 D．若x≥1或x≤－1，则x2≥12．已知集合M＝{x|0<x<1}，集合N＝{x|－2<x<1}，那么“a∈N”是“a∈M”的 ( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件。
1.3.1集合的基本运算(并集与交集)
定义
一般地,由既属于集合A又属于集合 B的所有元素组成的集合叫做A与 B的交集.
记作 A∩B 读作 A交 B
即 A∩B={x x∈A,且x∈B}
A
B
A∩B
性质
⑴ A∩A = A A∩φ = φ A∩B =B∩A
⑵ A∪A = A A∪φ = A A∪B = B∪A
例6 设A={x x2+4x=0}, bbbbbcB={x x2+2(a+1)x+a2－1=0},
(1) 若A∩B=B,求a的值．
(2) 若A∪B=B,求a的值．
探究
(A∩B)∩C = A∩( B∩C ) A∩B∩C
(A∪B)∪C= A∪( B∪C ) A∪B∪C
课堂小结
1. 理解两个集合交集与并集的概念 bb和性质. 2. 求两个集合的交集与并集,常用 bbb数轴法和图示法． 3．注意灵活、准确地运用性质解题;
观察集合A,B,C元素间的关系: A={4，5，6，8}， B={3，5，7，8}， C={3，4，5，6，7，8}
定义
一般地,由属于集合A或属于集合B 的所有元素组成的集合叫做A与B
的并集,
记作 A∪B 读作 A并 B
即A∪B={x x∈A,或x∈B}
A
B
A∪B
观察集合A,B,C元素间的关系:
则A∩B= Φ
A∪B= {斜三角形}
例3 设A={x x＞－2},B={x x＜3}, 求A∩B, A∪B．
例4 已知A={2,－1,x2－x+1}, B={2y,－4,x+4}, C={－1,7}
且A∩B=C 求x,y的值及A∪B．
高中数学-集合的基本运算(并集与交集)
A∪B
思考
观察集合A,B,C元素间的关系: A={4，5，6，8}， B={3，5，7，8}， C={5，8}
定义
一般地,由既属于集合A又属于集合B 的所有元素组成的集合叫做A与B的交集.
记作 A∩B 读作 A交 B
即 A∩B={x x∈A,且x∈B}
用Venn图表示如下：
AB
A∩B
性质
={x 1＜ x＜2}
。 。。 。
-1 0 1 2 3
练习
1. 已知A={2,－1,x2－x+1}, B={2y,－4,x+4}, C={－1,7}
且A∩B=C 求x,y的值及A∪B．
练习
2. 已知集合A={x －2≤x≤4}, B={x x＞a}
①若A∩B≠φ,求实数a的取值范围; ②若A∩B≠A,求实数a的取值范围．
则A∩B＝ {等腰直角三角形}
例题
例2 设A={x x是A∩B= Φ
A∪B= {斜三角形}
例题 例3 设A={x -1＜ x ＜ 2},B={x 1＜ x＜3},
求A∪B , A∩B． 解： A∪B={x -1＜ x ＜ 2}∪{x 1＜ x＜3}
={x -1＜ x＜3} A ∩ B={x -1＜ x ＜ 2} ∩{x 1＜ x＜3}
集合的 基本运算
并集与交集
思考
观察集合A,B,C元素间的关系: A={4，5，6，8}， B={3，5，7，8}， C={3，4，5，6，7，8}
定义
一般地,由属于集合A或属于集合B的 所有元素组成的集合叫做A与B的并集,
记作 A∪B 读作 A并 B
即A∪B={x x∈A,或x∈B}
用Venn图表示如下：
集合的基本概念与运算方法
集合的基本概念与运算方法在数学中，集合是由一组独立的元素组成的。
理解集合的基本概念和运算方法对于解决各种数学问题至关重要。
本文将介绍集合的基本概念以及常用的运算方法。
一、集合的基本概念1. 集合的定义：集合通常用大写字母表示，集合内的元素用逗号分隔，并放在大括号中。
例如，集合A可以表示为：A = {1, 2, 3, 4}。
2. 元素：一个集合由若干个元素组成，元素是集合的基本单位。
例如，集合A中的元素1、2、3、4便是集合A的元素。
3. 子集：若一个集合A的所有元素都属于另一个集合B，则称集合A为集合B的子集。
用符号表示为A ⊆ B。
例如，集合A = {1, 2}是集合B = {1, 2, 3}的子集。
4. 相等集合：若两个集合A和B拥有相同的元素，则称集合A和集合B相等。
用符号表示为A = B。
二、集合的运算方法1. 并集：若A和B为两个集合，他们的并集就是包含两个集合中所有元素的集合。
用符号表示为A ∪ B。
例如，集合A = {1, 2}和集合B = {2, 3}的并集为A ∪ B = {1, 2, 3}。
2. 交集：若A和B为两个集合，他们的交集就是属于A且属于B的所有元素的集合。
用符号表示为A ∩ B。
例如，集合A = {1, 2}和集合B = {2, 3}的交集为A ∩ B = {2}。
3. 补集：设U为全集，若A为一个集合，则相对于全集U，A的补集为U中不属于A的所有元素组成的集合。
用符号表示为A'。
例如，集合A = {1, 2, 3, 4}相对于全集U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}的补集为A' = {5, 6}。
4. 差集：若A和B为两个集合，他们的差集就是属于A但不属于B的所有元素的集合。
用符号表示为A - B。
例如，集合A = {1, 2, 3, 4}和集合B = {2, 3}的差集为A - B = {1, 4}。
5. 互斥集：若两个集合A和B的交集为空集，则称它们为互斥集。
集合的基本运算
记作： CU A x x U ,且x A .
补集可用Venn图表示为:
U A
CU A
对于任意的一个集合A都有
（1） A (CU A) U
（2） A (CU A)
（3） CU (CU A) A U
CU A
A
例8 设U={x|x是小于7的正整数},A={1，2，3}， B={3，4，5，6}, 求CUA, CUB.
C={x ∣x是实数}；
x是有a,理b 数
x是无c,d理数
xa是,b实,c,数d
集合A
集合B
集合C
集合C是由所有属于集合A或属于集合B的元素组成.
知识要 点
1.并集
一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素 所组成的集合,称为集合A与B的并集,记作A∪B(读
作“A并B”),即 A∪B={x | x∈ A, 或x∈ B}
解:根据题意可知,U={1,2,3,4,5,6}, 所以 CUA={4,5,6} CUB={1,2} .
例9 设U={x|x是三角形},A={x|x是锐角三角 形},
B={x|x是钝角三角
解：A∩B=Φ
形},求A∩B，C∪(A∪B)
A∪B={x|x是锐角三角形或钝角三角形}
C∪(A∪B)={x|x是直角三角形}
例
设平面内直线l1上的点的集合为L1
,
直线l
上点
2
的集合为L2 , 试用集合的运算表示l1, l2的位置关系.
解 : (1)直线l1, l2相交于一点P可表示为
L1∩L2 = {点P};
(2)直线l1
,
l
平行可表示为
2
L1∩L2 = ;
(3)直线l1
集合的概念与运算
集合的概念与运算
一：集合
1.集合的表示：A={a，b，c} 记作a∈A a属于A.
2.特殊的集合：
(1)非负整数集（自然数集）N正整数集N*或N+
(2)整数集Z，有理数集Q，实数集R
(3)集合的表示方法：列举法与描述法
3.集合的三个特性：
(1)无序性，如：A={1，2}，B={2，1}集合A=B
(2)互异性，元素不能重复如：A={2，2}表示为{2}
(3)确定性：元素必须明确
4.不含任何元素的集合叫做空集，记作Φ，Φ是任何集合的子集
5.有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集，2n-2个非空真子集。
6.集合的运算
Ω与Φ分别表示全集和空集
(1).交换律：A∪B=B∪A,A∩B=B∩A
(2).结合律：（A∪B）∪C=A∪（B∪C）可记作A∪B∪C
(3).分配律：（A∩B）∪C=（A∪C）∩（B∪C）
(4).摩根律：B
A⋂
A⋃=B
(5).等幂律：A∪A=A
(6).吸收律：（A∩B）∪A=A
(7).0-1律：A∪Φ=A,A∩Ω=A
(8).互补律：A∪A=Ω
(9).重叠律：A∪(A∩B)=A∪B,A∩(A∪B)=A∩B。
数学集合的概念运算
课前案1．集合与元素(1)集合元素的三个特征：、、．(2)元素与集合的关系是或关系，用符号或表示．(3)集合的表示法：、、．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号2.集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言记法基本关系子集集合A的所有元素都是集合B的元素x∈A⇒x∈BA B或B A 真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于AA⊆B，且存在x0∈B，x0∉AA B或B A 相等集合A，B的元素完全相同A⊆B，B⊆AA＝B 空集不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集任意x，x∉∅，∅⊆A ∅3.集合的基本运算集合的并集集合的交集集合的补集图形语言符号语言A∪B＝A∩B＝∁U A＝(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.(3)补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅．(4)∁U(∁U A)＝A；∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)；∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)．课中案一、目标导引[疑误辨析]判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1){x |y ＝x 2＋1}＝{y |y ＝x 2＋1}＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}．( ) (2)若{x 2，1}＝{0，1}，则x ＝0，1.( ) (3){x |x ≤1}＝{t |t ≤1}．( )(4)对于任意两个集合A ，B ，(A ∩B )⊆(A ∪B )恒成立． ( ) (5)若A ∩B ＝A ∩C ，则B ＝C .( ) [教材衍化]1．(必修1P12A 组T3改编)若集合P ＝{x ∈N |x ≤ 2 021}，a ＝22，则( ) A ．a ∈P B ．{a }∈P C ．{a }⊆P D ．a ∉P2．(必修1P11例9改编)已知U ＝{α|0°<α<180°}，A ＝{x |x 是锐角}，B ＝{x |x 是钝角}，则∁U (A ∪B )＝________．3．(必修1P44A 组T5改编)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为________．[易错纠偏](1)忽视集合中元素的互异性致误； (2)忽视空集的情况致误； (3)忽视区间端点值致误． 1．已知集合A ＝{1，3，m }，B ＝{1，m }，若B ⊆A ，则m ＝________．2．已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}，B ＝{x |2＜x ＜4}，则A ∩B ＝________，A ∪B ＝________，(∁R A )∪B ＝________．3．已知集合M ＝{x |x －2＝0}，N ＝{x |ax －1＝0}，若M ∩N ＝N ，则实数a 的值是________． 二典型例题集合的含义(1)已知集合A ＝{0，1，2}，则集合B ＝{(x ，y )|x ≥y ，x ∈A ，y ∈A }中元素的个数是( ) A ．1 B ．3 C ．6 D ．9(2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A ．92 B ．98 C ．0 D ．0或98(3)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝________．与集合中的元素有关问题的求解步骤1．(2020·温州八校联考)已知集合M＝{1，m＋2，m2＋4}，且5∈M，则m的值为() A．1或－1 B．1或3 C．－1或3 D．1，－1或32．已知集合A＝{x|x∈Z，且32－x∈Z}，则集合A中的元素个数为________．集合的基本关系(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C 的个数( ) A．1 B．2 C．3 D．4(2)已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，则实数m的取值范围为________．1．(变条件)在本例(2)中，若A⊆B，如何求解？2．(变条件)若将本例(2)中的集合A改为A＝{x|x<－2或x>5}，如何求解？1．设P＝{y|y＝－x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝2x，x∈R}，则()A．P⊆Q B．Q⊆P C．∁R P⊆Q D．Q⊆∁R P2．(2020·绍兴调研)设A＝{1，4，2x}，B＝{1，x2}，若B⊆A，则x＝________．3．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0<x<5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为________．集合的基本运算(高频考点)集合的基本运算是历年高考的热点，每年必考，常和不等式的解集、函数的定义域、值域等相结合命题，主要以选择题的形式出现．试题多为低档题．主要命题角度有：(1)求集合间的交、并、补运算；(2)已知集合的运算结果求参数．角度一求集合间的交、并、补运算2019·高考全国卷Ⅰ)已知集合U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{2，3，4，5}，B＝{2，3，6，7}，则B∩∁U A=()A．{1，6} B．{1，7} C．{6，7} D．{1，6，7}(2)(2020·浙江高考模拟)设全集U＝R，集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|1<x<3}，则A∪B＝________，∁U(A ∩B)＝________．角度二已知集合的运算结果求参数(1)设集合A＝{x|－1≤x<2}，B＝{x|x<a}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是()A．－1<a≤2 B．a>2 C．a≥－1 D．a>－1(2)设集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝()A．{1，－3} B．{1，0 }C．{1，3} D．{1，5}(1)集合运算的常用方法①若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解．②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到．②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．[提醒]在求出参数后，注意结果的验证(满足互异性)．1．已知集合P＝{x∈R|1≤x≤3}，Q＝{x∈R|x2≥4}，则P∪(∁R Q)＝()A．[2，3] B．(－2，3] C．[1，2) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)2．设全集S＝{1，2，3，4}，且A＝{x∈S|x2－5x＋m＝0}，若∁S A＝{2，3}，则m＝________．核心素养系列 数学抽象——集合的新定义问题定义集合的商集运算为A B ＝{x |x ＝m n ，m ∈A ，n ∈B }．已知集合A ＝{2，4，6}，B ＝{x |x ＝k2－1，k∈A }，则集合BA ∪B 中的元素个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解决集合新定义问题的方法(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在．(2)用好集合的性质．集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．设数集M ＝{x |m ≤x ≤m ＋34}，N ＝{x |n －13≤x ≤n }，且M ，N 都是集合U ＝{x |0≤x ≤1}的子集，定义b －a 为集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，则集合M ∩N 的长度的最小值为________．课后案 [A 组]1．已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{2，4，6，8}，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．42．(2020·温州十五校联合体联考)已知集合A ＝{}x |e x ≤1，B ＝{}x |ln x ≤0，则A ∪B ＝( ) A ．(－∞，1] B ．(0，1] C ．[1，e] D ．(0，e]3．已知全集U ＝A ∪B ＝{x ∈Z |0≤x ≤6}，A ∩(∁U B )＝{1，3，5}，则B ＝( ) A ．{2，4，6} B ．{1，3，5} C ．{0，2，4，6} D ．{x ∈Z |0≤x ≤6} 4．设集合A ＝{1，2，6}，B ＝{2，4}，C ＝{x ∈R |－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C ＝( ) A ．{2} B ．{1，2，4} C ．{1，2，4，6} D ．{x ∈R |－1≤x ≤5} 5．已知全集为R ，集合A ＝{x |x 2－5x －6<0}，B ＝{x |2x <1}，则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{x |2<x <3}B ．{x |－1<x ≤0}C ．{x |0≤x <6}D ．{x |x <－1}6．已知集合A ＝{x |x 2－3x <0}，B ＝{1，a }，且A ∩B 有4个子集，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0，3) B ．(0，1)∪(1，3) C ．(0，1) D ．(－∞，1)∪(3，＋∞) 7．设U ＝{x ∈N *|x ＜9}，A ＝{1，2，3}，B ＝{3，4，5，6}，则(∁U A )∩B ＝( ) A ．{1，2，3} B ．{4，5，6} C ．{6，7，8} D ．{4，5，6，7，8}8．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫5，b a ，a －b ，B ＝{b ，a ＋b ，－1}，若A ∩B ＝{2，－1}，则A ∪B ＝( )A ．{－1，2，3，5}B ．{－1，2，3}C ．{5，－1，2}D ．{2，3，5}9．已知集合P ＝{n |n ＝2k －1，k ∈N *，k ≤50}，Q ＝{2，3，5}，则集合T ＝{xy |x ∈P ，y ∈Q }中元素的个数为( ) A ．147 B ．140 C ．130 D ．11710．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x ＋2>0}，B ＝{x |x －a ≤0}，若∁U B ⊆A ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)11．集合A ＝{0，2，a }，B ＝{1，a 2}，若A ∪B ＝{0，1，2，4，16}，则a 的值为________． 12．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |－1≤x ≤3}，集合B ＝{x |log 2(x －2)<1}，则A ∪B ＝________；A ∩(∁U B )＝________．13．设集合A ＝{n |n ＝3k －1，k ∈Z }，B ＝{x ||x －1|>3}，则B ＝________，A ∩(∁R B )＝________． 14．设全集为R ，集合M ＝{x ∈R |x 2－4x ＋3>0}，集合N ＝{x ∈R |2x >4}，则M ∩N ＝________；∁R (M ∩N )＝________．15．已知集合M ＝{x |x 2－4x <0}，N ＝{x |m ＜x ＜5}，若M ∩N ＝{x |3<x <n }，则m ＝________，n ＝________． 16．设全集U ＝{x ∈N *|x ≤9}，∁U (A ∪B )＝{1，3}，A ∩(∁U B )＝{2，4}，则B ＝________． 17．已知集合A ＝{x |1≤x <5}，C ＝{x |－a <x ≤a ＋3}，若C ∩A ＝C ，则a 的取值范围是________．[B 组]1．已知全集U 为R ，集合A ＝{x |x 2<16}，B ＝{x |y ＝log 3(x －4)}，则下列关系正确的是( ) A ．A ∪B ＝R B ．A ∪(∁U B )＝R C ．(∁U A )∪B ＝R D ．A ∩(∁U B )＝A .2．集合A ＝{x |y ＝ln(1－x )}，B ＝{x |x 2－2x －3≤0}，全集U ＝A ∪B ，则∁U (A ∩B )＝( )A ．{x |x ＜－1或x ≥1}B ．{x |1≤x ≤3或x ＜－1}C ．{x |x ≤－1或x ＞1}D ．{x |1＜x ≤3或x ≤－1} 3．(2020·浙江新高考联盟联考)已知集合A ＝{1，2，m }，B ＝{1，m }，若B ⊆A ，则m ＝________，∁A B ＝________．4．函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈P ，－x ，x ∈M ，其中P ，M 为实数集R 的两个非空子集，规定f (P )＝{y |y ＝g (x )，x ∈P }，f (M )＝{y |y ＝g (x )，x ∈M }．给出下列四个命题：①若P ∩M ＝∅，则f (P )∩f (M )＝∅； ②若P ∩M ≠∅，则f (P )∩f (M )≠∅； ③若P ∪M ＝R ，则f (P )∪f (M )＝R ； ④若P ∪M ≠R ，则f (P )∪f (M )≠R . 其中命题不正确的有________．5．设[x ]表示不大于x 的最大整数，集合A ＝{x |x 2－2[x ]＝3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |18<2x <8，求A ∩B .6．已知集合A ＝{x |1<x <3}，集合B ＝{x |2m <x <1－m }． (1)当m ＝－1时，求A ∪B ； (2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围； (3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．课后案答题纸1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011. 12. A ∪B ＝________；A ∩(∁U B )＝________．13、 B ＝________，A ∩(∁R B )＝_14. M ∩N ＝________；∁R (M ∩N )＝________． 15. m ＝________，n ＝________．16. B ＝________． 17.B 组1 23. m ＝________，∁A B ＝________．4.5．设[x ]表示不大于x 的最大整数，集合A ＝{x |x 2－2[x ]＝3}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |18<2x <8，求A ∩B .6．已知集合A ＝{x |1<x <3}，集合B ＝{x |2m <x <1－m }． (1)当m ＝－1时，求A ∪B ； (2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围； (3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．。
第10讲 集合的运算 (解析版)
第10讲 集合的基本运算一、 集合的运算 (一)交集文字语言对于两个给定的集合A ，B ，由属于A 又属于B 的所有元素构成的集合，叫做A ，B 的交集，记作A ∩B ，读作“A 交B ”符号语言A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }图形语言阴影部分为A ∩B .例如(1){}{}1,2,3,4,5,3,4,5,6,8A B ==,{}3,4,5AB =(2)}31|{<<=x x A ,}42|{<<=x x B ,}32|{<<=x x B A性质A ∩B ＝B ∩A ，A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅∩A ＝∅，如果A ⊆B ，则A ∩B ＝A【例1】交集（1）已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{－1,2}，则A ∩B 等于( )A ．{1}B ．{2}C ．{－1,2}D ．{1,2,3} 【答案】B【解析】由题得A ∩B ＝{}2（2）已知A ＝{y |y ≤1}，B ＝{x|x ≥0}，则集合A ∩B 等于( )A ．∅B ．{x |x ≤1}C ．{x |0≤x ≤1}D ．{x |0<x <1} 【答案】C,利用数轴，容易得到答案。
这里注意，不少同学会认为是A 答案，为什么不对？ （3）已知集合A ＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈Z}，则A ∩B ＝________. 【答案】{(0,1)，(－1,2)}【解析】A ，B 都表示点集，A ∩B 即是由A 中在直线x ＋y －1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．(4)集合A ＝{x |2k <x <2k ＋1，k ∈Z}，B ＝{x |1<x <6}，求A ∩B ； (4)A ∩B ＝{x |2<x <3或4<x <5}．【变式1】(1)设集合{1,2,3,4}A =，{2,4}B =，则集合A B = .答案：(1)AB ={2,4}(2)集合A ＝{x |－2<x <3}，B ＝{x |x ≤0或x >5}，求A ∩B ； 答案：(2)A ∩B ＝{x |－2<x ≤0}．(3)集合A ＝{(x ，y )|y ＝x ＋2}，B ＝{(x ，y )|y ＝x ＋3}，求A ∩B . 答案：(3)A ∩B ＝∅.(4)设集合{}{}290,30A x x B x x a =-≤=+≥，且{}13A B x x ⋂=≤≤，则a =（ ）A ．1-B ．3-C ．1D ．3【答案】B 【分析】求出集合A ，B ，然后结合交集的结果得到关于a 的方程，求解方程即可确定实数a 的值. 【详解】{}{}29033A x x x x =-≤=-≤≤，3a B x x ⎧⎫=≥-⎨⎬⎩⎭,由{}13A B x x ⋂=≤≤，所以13a-=，即3a =-. 故选：B.（二）并集，阴影部分为A ∈B例如(1){}{}{}1,3,52,3,4,62,3,4,5,6=(2)}31|{<<=x x A ,}42|{<<=x x B ,}41|{<<=x x B A性质A ∈B ＝B ∈A ，A ∈A ＝A ，A ∈∅＝∅∈A ＝A ，如果A ∈B ，则A ∈B ＝B .【例2(1) 设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，则A ∪B =( ) A ．{1,2,3,4} B ．{1,2,3} C ．{2,3,4} D ．{1,3,4} 【答案】A【解析】∈A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，∈A ∈B ＝{1,2,3,4}．故选A. (2) A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |x ≤1或x >3}，求A ∈B . 【解析】如图：由图知A ∈B ＝{x |x <2或x >3}．(3)已知集合2{|20}A x x x =-≥，{|}B x x a =<，且A B =R ，则实数a 的取值范围是 . 【答案】2a ≥ 【分析】先求出集合A ，然后由条件A B =R 结合数轴可得答案. 【详解】由220x x -≥解得0x ≤或2x ≥，则{|0,A x x =≤或}2x ≥，又{|}B x x a =<，若A B =R ， 则2a ≥.故选：D .(4)A ＝{(x ，y )|x ＝2}，B ＝{(x ，y )|y ＝2}．求A ∈B ，并说明其几何意义．【解析】A ∈B ＝{(x ，y )|x ＝2或y ＝2}，其几何意义是直线x ＝2和直线y ＝2上所有的点组成的集合．【变式2】(1)已知集合{}=23A x x -≤≤，{}240B x x x =-≤，则AB = .A ．[]2,4-B ．[]2,0-C ．[]0,3D ．[]4,3-【答案】A 【分析】先解出集合B ,再求A B .【详解】由{}240B x x x =-≤解得：{}04B x x =≤≤，所以A B =[]2,4-.故选：A(2)已知集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫3－x >0，3x ＋6>0，集合B ＝{m |3>2m －1}，求A ∩B ，A ∪B .解 解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，3x ＋6>0，得－2<x <3，则A ＝{x |－2<x <3}，解不等式3>2m －1得m <2， 则B ＝{m |m <2}．用数轴表示集合A 和B ，如图所示，则A ∩B ＝{x |－2<x <2}，A ∪B ＝{x |x <3}．（三）补集 （1）全集定义：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集．记法：全集通常记作U . （2）补集例如(1)}{1,2,3,4,5=U ，{3,4}=A ，{1,2,5}=A C U(2)}51|{<<=x x U ,}32|{<<=x x B ,,21|{≤<=x x A C U 或}53<≤x性质A ∈∈A ＝U ；A ∩∈A ＝∈；∈(∈A )＝A .【例3】(1)设集合U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,2}，则A C U ＝________. 【答案】{3,4,5}(2)若全集U ＝{x ∈R|－2≤x ≤2}，A ＝{x ∈R|－2≤x ≤0}，求A C U 【解析】∈U ＝{x ∈R|－2≤x ≤2}，A ＝{x ∈R|－2≤x ≤0}， ∈A C U ＝{x ∈R|0<x ≤2}.(3)设全集U ＝{x |x 是三角形}，A ＝{x |x 是锐角三角形}，B ＝{x |x 是钝角三角形}，求A ∩B ，)(B A C U ． 【解析】根据三角形的分类可知，A ∩B ＝∈，A ∈B ＝{x |x 是锐角三角形或钝角三角形}，)(B A C U ＝{x |x 是直角三角形}．【变式3】(1)设U ＝{x |x 是小于9的正整数}，A ＝{1,2,3}，B ＝{3，4,5,6}，求A C U ，B C U .【解析】根据题意可知，U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，所以A C U ＝{4,5,6,7,8}，B C U ＝{1,2,7,8}． (2)已知集合U ＝R ，A ＝{x |x 2－x －2≥0}，则A C R ＝________. 【答案】{x |－1<x <2}（四）集合运算的综合【例4】（1）已知全集U ＝R ，A ＝{x |x ≤0}，B ＝{x |x ≥1}，则集合∁U (A ∪B )＝______，(∁U A )∩(∁U B )＝________. 答案 {x |0<x <1} {x |0<x <1}解析 A ∪B ＝{x |x ≤0或x ≥1}，∁U (A ∪B )＝{x |0<x <1}．∁U A ＝{x |x >0}，∁U B ＝{x |x <1}，∴(∁U A )∩(∁U B )＝{x |0<x <1}．（2）设集合A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围是( )A ．－1<a ≤2B ．a >2C ．a ≥－1D ．a >－1 【答案】D【解析】因为A ∩B ≠∅，所以集合A ，B 有公共元素，在数轴上表示出两个集合，如图所示，易知a >－1.故选D 。
集合间的基本运算(交集,并集,补集)非常全面的题型分类
集合间的基本运算一、并集(1)文字语言：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A 与B的并集.(2)符号语言：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}.(3)图形语言；如图所示.二、交集交集的三种语言表示：(1)文字语言：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B 的交集.(2)符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}.(3)图形语言：如图所示.三、并集与交集的运算性质题型一 并集及其运算例1 (1)设集合M ＝{4,5,6,8}，集合N ＝{3,5,7,8}，那么M ∪N 等于( ) A.{3,4,5,6,7,8} B.{5,8} C.{3,5,7,8} D.{4,5,6,8}(2)已知集合P ＝{x |x ＜3}，Q ＝{x |－1≤x ≤4}，那么P ∪Q 等于( ) A.{x |－1≤x ＜3} B.{x |－1≤x ≤4} C.{x |x ≤4}D.{x |x ≥－1} (3).已知集合=A {}31<≤-x x ，=B {}52≤<x x ，则B A ⋃=（ ）A .{}32<<x xB .{}51≤≤-x xC .{}51<<-x xD .{}51≤<-x x变式练习1 已知集合A ＝{x |(x －1)(x ＋2)＝0}；B ＝{x |(x ＋2)(x －3)＝0}，则集合A ∪B 是( ) A.{－1,2,3}B.{－1，－2,3}C.{1，－2,3}D.{1，－2，－3}2.若集合=A {}x ,3,1，=B {}2,1x ，B A ⋃={}x ,3,1，则满足条件的实数x 有（ ）A .1个B .2个C .3个D .4个题型二 交集及其运算例2 (1)设集合M ＝{m ∈Z |－3<m <2}，N ＝{n ∈Z |－1≤n ≤3}，则M ∩N 等于( ) A.{0,1} B.{－1,0,1} C.{0,1,2}D.{－1,0,1,2}(2)若集合A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |x >2}，则A ∩B 等于( ) A.{x |2<x ≤3} B.{x |x ≥1} C.{x |2≤x <3} D.{x |x >2}变式练习2(1)设集合A ＝{x |x ∈N ，x ≤4}，B ＝{x |x ∈N ，x >1}，则A ∩B ＝________. (2)集合A ＝{x |x ≥2或－2<x ≤0}，B ＝{x |0<x ≤2或x ≥5}，则A ∩B ＝________.（3）.设集合=M {}23<<-∈m Z m ，{}31≤≤-∈=n Z n N ，则N M ⋂=( ) A .{}1,0 B .{}1,0,1- C .{}2,1,0 D .{}2,1,0,1-（4）.集合=A {}121+<<-a x a x ，=B {}10<<x x ，若=⋂B A ∅，求实数a 的取值范围.题型三已知集合的交集、并集求参数例3已知集合A＝{x|2a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1，或x＞5}，若A∩B＝∅，求实数a的取值范围变式练习3设集合M＝{x|－3≤x＜7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠∅，则实数k的取值范围为________.例4设集合A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|x2＋x＋a＝0}，若A∪B＝A，求实数a 的取值范围.变式练习4设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，集合B＝{x|2x2－ax＋2＝0}，若A∪B ＝A，求实数a的取值范围.例5 (1)设集合A＝{(x，y)|x－2y＝1}，集合B＝{(x，y)|x＋y＝2}，则A∩B 等于( )A.∅B.{53，13}C.{(53，13)} D.{x＝53，y＝13}(2)已知集合A＝{y|y＝x2－2x－3，x∈R}，B＝{y|y＝－x2＋2x＋13，x∈R}，求A∩B.变式练习5（1）设集合A＝{y|y＝x2－2x＋3，x∈R}，B＝{y|y＝－x2＋2x＋10，x∈R}，求A∪B；（2）设集合A ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1，x ∈R }，集合B ＝{(x ，y )|y ＝－x 2＋2x ＋34，x ∈R }，求A ∩B .6.设集合A ＝{x |x 2＝4x }，B ＝{x |x 2＋2(a －1)x ＋a 2－1＝0}． (1)若A ∩B ＝B ，求a 的取值范围； (2)若A ∪B ＝B ，求a 的值．课后练习 一、选择题1.设集合A ＝{－1,0，－2}，B ＝{x |x 2－x －6＝0}，则A ∪B 等于( ) A.{－2} B.{－2,3} C.{－1,0，－2}D.{－1,0，－2,3}2.已知集合M ＝{x |－1≤x ≤1，x ∈Z }，N ＝{x |x 2＝x }，则M ∩N 等于( ) A.{1} B.{－1,1} C.{0,1}D.{－1,0,1}3.已知集合M ＝{0,1,2,3,4}，N ＝{1,3,5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( )A.2个B.4个C.6个D.8个4.已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N等于( )A.{x|x<－5或x>－3}B.{x|－5<x<5}C.{x|－3<x<5}D.{x|x<－3或x>5}三、解答题5.已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|2a≤x≤a＋3}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围.6.已知集合A＝{x|x2－px＋15＝0}和B＝{x|x2－ax－b＝0}，若A∪B＝{2,3,5}，A∩B＝{3}，分别求实数p，a，b的值.7.(1)已知集合A＝{－4,2a－1，a2}，B＝{a－5,1－a,9}，若A∩B＝{9}，求a的值；(2)若P＝{1,2,3，m}，Q＝{m2,3}，且满足P∩Q＝Q，求m的值.四、全集(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集.(2)记法：全集通常记作U.五、补集对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，记作∁U A符号语言为∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}图形语言为六、补集的性质①A∪(∁U A)＝U；②A∩(∁U A)＝∅；③∁U U＝∅，∁U∅＝U，∁U(∁U A)＝A；④(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B)；⑤(∁U A )∪(∁U B )＝∁U (A ∩B ).题型一 补集运算例1 (1)设全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,2}，则∁U A 等于( ) A.{1,2} B.{3,4,5} C.{1,2,3,4,5}D.∅(2)若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≥1}，则∁U A ＝________.变式练习 1 已知全集U ＝{x |x ≥－3}，集合A ＝{x |－3＜x ≤4}，则A C U ＝________.2.已知全集U ＝{x |1≤x ≤5}，A ＝{x |1≤x ＜a }，若∁U A ＝{x |2≤x ≤5}，则a ＝________.题型二 补集的应用例2 设全集U ＝{2,3，a 2＋2a －3}，A ＝{|2a －1|,2}，∁U A ＝{5}，求实数a 的值.变式练习2若全集U＝{2,4，a2－a＋1}，A＝{a＋4,4}，∁U A＝{7}，则实数a＝________.题型三并集、交集、补集的综合运算例3 已知全集U＝{x|－5≤x≤3}，A＝{x|－5≤x<－1}，B＝{x|－1≤x<1}，求∁U A，∁U B，(∁U A)∩(∁U B).变式练习3设全集为R，A＝{x|3≤x＜7}，B＝{x|2＜x＜10}，求∁R(A∪B)及(∁R A)∩B.题型四利用Venn图解题例4 设全集U＝{不大于20的质数}，A∩∁U B＝{3,5}，(∁U A)∩B＝{7,11}，(∁U A)∩(∁UB)＝{2,17}，求集合A，B.变式练习4全集U＝{x|x<10，x∈N*}，A⊆U，B⊆U，(∁U B)∩A＝{1,9}，A∩B＝{3}，(∁U A)∩(∁U B)＝{4,6,7}，求集合A，B.变式练习5已知集合A＝{x|x2－4ax＋2a＋6＝0}，B＝{x|x<0}，若A∩B≠∅，求a的取值范围.课后作业一、选择题1.已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)等于( )A.{1,3,4}B.{3,4}C.{3}D.{4}2.已知全集U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{3,4,5}，B＝{1,3,6}，则A∩(∁U B)等于( )A.{4,5}B.{2,4,5,7}C.{1,6}D.{3}3.设全集U＝{a，b，c，d，e}，集合M＝{a，c，d}，N＝{b，d，e}，那么(∁U M)∩(∁N)等于( )UA.∅B.{d }C.{a ，c }D.{b ，e }4.已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |1<x <2}，且A ∪(∁R B )＝R ，则实数a 的取值范围是( )A.{a |a ≤1}B.{a |a <1}C.{a |a ≥2}D.{a |a >2}5.设全集是实数集R ，M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{x |x <1}，则(∁R M )∩N 等于( )A.{x |x <－2}B.{x |－2<x <1}C.{x |x <1}D.{x |－2≤x <1}6.已知集合A ＝{x |－4≤x ≤－2}，集合B ＝{x |x －a ≥0}，若全集U ＝R ，且A ⊆∁U B ，则a 的取值范围为________.7.设U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，(∁U A )∩B ＝{3,7}，(∁U B )∩A ＝{2,8}，(∁U A )∩(∁U B )＝{1,5,6}，则集合A ＝________，B ＝________.8.已知全集U ＝R ，A ＝{x ||3x －1|≤3}，B ＝{x |⎩⎨⎧ 3x ＋2>0，x －2<0}，求∁U (A ∩B ).9.已知集合A ＝{x |3≤x <6}，B ＝{x |2<x <9}.(1)分别求∁R (A ∩B )，(∁R B )∪A ；(2)已知C ＝{x |a <x <a ＋1}，若C ⊆B ，求实数a 的取值范围.10.已知A ＝{x |－1＜x ≤3}，B ＝{x |m ≤x ＜1＋3m }.(1)当m ＝1时，求A ∪B ；(2)若B ⊆∁R A ，求实数m 的取值范围.11.已知集合{}31<≤-=x x A ；{}242-≥-=x x x B .（1）求B A ⋂；（2）若集合{}02>+=a x x C ，满足C C B =⋃,求实数a 的取值范围.12.设集合A ＝{x |x 2＝4x }，B ＝{x |x 2＋2(a －1)x ＋a 2－1＝0}．(1)若A ∩B ＝B ，求a 的取值范围；(2)若A ∪B ＝B ，求a 的值．。
集合的基本概念与运算
集合的基本概念与运算集合是数学中一个基本的概念，它描述了一组对象构成的整体。
在集合论中，集合是由元素组成的，而元素可以是任何事物，可以是数值、符号、人、动物等。
本文将介绍集合的基本概念以及常见的运算。
一、集合的基本概念集合可以用大括号{}来表示，元素在大括号内用逗号分隔。
例如，集合A可以表示为A={1,2,3}，其中的元素为1,2和3。
一个集合中的元素是无序的，表示一个集合的方式只是列出其中的元素，并不考虑元素的先后顺序。
在集合中，元素的个数称为集合的基数。
例如，集合A={1,2,3}的基数为3。
当一个集合中的元素个数为有限个时，该集合称为有限集；当一个集合中的元素个数为无限个时，该集合称为无限集。
二、集合的关系1. 相等关系当两个集合的所有元素完全相同时，它们是相等的。
例如，考虑集合A={1,2,3}和B={2,3,1}，虽然它们的元素顺序不同，但它们包含的元素是相同的，因此A和B是相等的。
2. 包含关系当一个集合的所有元素都是另一个集合的元素时，该集合被称为另一个集合的子集。
例如，考虑集合A={1,2,3}和B={1,2,3,4}，所有A 中的元素也都属于B，因此A是B的子集。
3. 空集一个没有任何元素的集合被称为空集，用符号∅表示。
三、集合的运算1. 并集运算给定两个集合A和B，它们的并集表示为A∪B，包含了A和B中所有的元素。
例如，若A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A∪B={1,2,3,4,5}。
2. 交集运算给定两个集合A和B，它们的交集表示为A∩B，包含了同时属于A和B的元素。
例如，若A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A∩B={3}。
3. 差集运算给定两个集合A和B，它们的差集表示为A-B，包含了属于A但不属于B的元素。
例如，若A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A-B={1,2}。
4. 补集运算给定一个集合U作为全集，集合A的补集表示为A'，包含了属于全集U但不属于A的元素。
集合间的基本运算
集合间的基本运算一、知识概述1交集的定义一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合，叫做A, B的交集记作 A ' B （读作‘ A 交B'），即卩 A 1 B= {x|x 已A,且B} 2、并集的定义一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A, B的并集.记作：A」B （读作’A并B'），即卩A」B ={x|x三A,或B}.3、补集：一般地，设S是一个集合，A是S的一个子集（即…=1 ）,由S中所有不属于A的元素组成的集合，叫做S中子集A的补集（或余集），记作。
貝, 即［/ ={小胡且入¥ 2}性质：％/）二月“J©乓0二用全集：如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集，全集通常用S, U表示+4、运算性质：（1） I I 「I 'I ；（2）I — -「'；（3）I . ；（4）T __「T 1 -；（5）、二一匚 _「丄一「* 二：.（6）「厂_「；：「：冷」'J'：,二、例题讲解例1、设集合A={ —4, 2m- 1, m2} , B={9, m-5, 1 —m},又A B={9}，求实数m的值.解：I A B={9}，二2m—1=9或m2=9,解得m=5或m=3或m=—3.若m=5 贝U A={—4, 9, 25} , B={9, 0,—4}与A B={9}矛盾；若m=3则B中元素m—5=1—m=—2,与B中元素互异矛盾；若m=-3,则A={ —4,—7, 9} , B={9,—8, 4}满足 A B={9}.二m=- 3.例2、设A={x|x 2+ ax+ b=0}, B={x|x 2+ ex + 15=0},又A B={3, 5} , A A B={3}, 求实数a , b , e的值.解：v A A B={3}，二3 € B，二32+ 3e+ 15=0,••• e= —8,由方程x2—8x+ 15=0 解得x=3 或x=5.••• B={3 , 5}.由A二（A」B）={3 , 5}知,3€ A, A （否则5€ A A B,与A G B={3}矛盾)故必有A={3},.••方程x2+ ax+ b=0有两相同的根3.由韦达定理得3+ 3=—a, 3 3=b,即a=—6, b=9, c=—8.例3、已知A={x|x 3+ 3x2+ 2x >0} , B={x|x 2+ ax+ b< 0},且A G B={x|0 v x< 2}, A U B={ x | x > —2},求a、b 的值.解：A={x| —2v x v—1 或x>0},设B= [x i, X2]，由A G B= (0, 2]知X2= 2,且—1<xW 0,①由A U B= (—2 ,+x)知一2w X1w —1. ②由①②知X i =—1, X2 = 2,a=—( X1+ X2)=—1, b= X1X2= —2.例4、已知A={x|x 2—ax+ a2—19=0}, B={x|x 2—5x + 8=2}, C={x|x 2+ 2x —8=0}. 若E =A G B,且A G C=] , 求a 的值.解：—3)(x —2)=0}={3 , 2},•- B={x|(xC={x|(x + 4)(x —2)=0}={ —4 , 2},又••• E =AG B,又••• A G C==,•可知-4^A, 2^A, 3€ A.• •由9—3a+ a —19=0 ,解得a=5或a=—2.①当a=5 时，A={2, 3}，此时A H C={2} ，矛盾，二a^ 5;②当a=—2时，A={—5, 3}，此时A H C山，A H B={3}工它，符合条件.综上①②知a=—2.例5、已知全集U={不大于20的质数} ,M N是U的两个子集，且满足MA （•门）={3，5},（「r）H N={7，19},（」'）H（ •「）={2，17}，求M N.解：用图示法表示集合U, M N （如图），将符合条件的元素依次填入图中相应的区域内，由图可知：M={3, 5, 11, 13}, N={7, 11, 13, 19}.点评：本题用填图的方法使问题轻松地解决，但要注意的是在填图时，应从已知区域填起，从已知区域推测未知区域的元素.特别提示：下列四个区域:对应的集合分别是:①一q : ::②一-r 二：③―_ 5 ■':④一I一、选择题1下列命题中，正确的是（）A. 若U=R 祐u,匸B. 若U为全集，①表示空集，则-①=①；C. 若A=｛1，①,｛2｝｝，则｛2｝二A;D. 若A=｛1，2，3｝，B=｛x|x 二A｝，则A€ B.3 IM= ｛工 |畝迄忑€ 血¥_｝= （x l 也｝『2、设数集 ' - …且MN都是集合｛x|0 < x< 1｝的子集，如果把b—a叫做集合｛x|a <x< b｝的“长度”，那么集合Mn N 的“长度”的最小值是（）1 2A. - B .」丄5C. 1- D .一3、设M N是两个非空集合，定义M与N的差集为M—N=｛x|x € M且x己N｝，则M—（M—N）等于（）A. N B . MA NC. MU N D . M 4、已知全集：=R，集合朴11"弔刀和严砂亠■“ L的关系的韦恩（Venn）图如下图所示，贝U阴影部分所示的集合的元素共有（）B . 2个 D .无穷个1、 - ••匚 I -①=U, {2} € A, {2}单独看是一个集合，但它又是A 中的一个元素.3 £2、集合M 的“长度”为-，集合N 的“长度”为」，而集合—+ — — 1{x|0 <x < 1}的“长度”为1,故MAN 的“长度”最小值为4」3、M-N={x|x €“且x^N}是指图（1）中的阴影部分.同样M-（ M- N ）是指图（2）中的阴影部分.4、t 图形中的阴影部分表示的是集合 =；，由；解得集合‘"一—二一，而N 是正奇数的集合；-「，故选B.二、填空题 5、已知集合A={x|x 2— 3x + 2=0}，集合B={x|ax — 2=0}（其中a 为实数），且A U B=A 则集合 C={a|a 使得 A U B=A}= ______________ . 5、｛0, 1, 2｝解析：A=｛1, 2｝，由 A U B=A 得 匪 A.••• 1€ A,即得 a=2;或 2€ A,即得 a=1 ;或 B=©，此时 a=0.••• C=｛0, 1, 2｝.A. 3个C. 1个⑴6、非空集合S^｛1 ,2,3,4,5｝，且若a€ S,则6-a€ S,这样的S共有________ 个.6、6解析：S=｛1, 5｝或｛2 , 4｝或⑶，或｛1 , 3, 5｝，或｛2 , 4 , 3｝，或｛1 , 5 , 2 , 4｝.三、解答题7、设集合卫=｛込加7-①，吕―^ —另1—^,9｝(1)若■■-丄)，求实数a的值.(2)若.''■,求实数a的值.7、解：(1)：9 三’1 '',二9 A.则a2=9或.解得a=±3或5.当时，'' ■' ■ ' - '-（舍）当a =—3时，卫={9,一兀一4},£=〔一出4,9〕(符合)当a = 5时，乂={25,9, —= {0,—4,9〕(符合).综上知一 ?或“一-.(2)由(1)知•，一二8已知全集U= R,叮•二•….丄v 0・，_ = “ V呗亠」或x >5 —「一：,，若- J，求实数⑴的取值范围8解：依题设可知全集】=三且打丨■■-0 =0月=缶1一2三工W5)，「月=仗冲+1=工w2喘_1}，由题设分类如下：①若'，贝U m^ 1>2mn 1= mV 2.②若加工0，则m^ i<2mn 1,且I®用一1« 5，解得2< 3.由①②可得：me 3.•••实数m的取值范围为{m|mc 3}.9、已知全集U={|a -1|，(a - 2)(a -1)，4，6}.(1)若-八「•求实数a的值;(2)若：4 '求实数a的值.9、解：(1)t L •厂一；' 且多U,•••|a - 1|=0,且(a - 2)(a - 1)=1 ,或|a -1|=1 ,且(a - 2)(a -1)=0 ;第一种情况显然不成立，在第二种情况中由|a -1|=1得a=0或a=2, --a=2.(2)依题意知|a - 1|=3 ,或(a - 2)(a - 1)=3,若|a -1|=3 ,则a=4, 或a=-2；若(a —2)(a —1)=3，贝U -经检验知a=4时，(4 —2)(4 —1)=6，与元素的互异性矛盾.二a=- 2或亠 .10、设集合A =｛：：广「二1｝, B 屮 | ...... - ,*｝，若A B=B求实数二的值.10、解：先化简集合A=J '.由A】B=B则F A,可知集合B可为二:，或为｛0｝，或｛- 4｝，或".(i) 若B』：，则贝:，解得立＜-：；(ii) 若- - B,代入得-- =0=应=1 或：'=一-,当丸=1时，B=A符合题意；当：』=-1时，B=｛0｝二A,也符合题意.（iii）若一4^B,代入得工上L = 口=7或“ =1,当：』=1时，已经讨论，符合题意；当屯=7时，B={- 12,—4}，不符合题意.综上可得，^ =1或立€-1.11、已知集合A={x|x —4m灶2计6=0}，B={x|x V 0}，若A A B M，求实数m的取值范围.= ^ | A = (-4jK)3-4(2^ 4-5)^ 0} = (/w | 或朋11、解：设全集 ' 」m皂U,< 珂4- x- = 4^ 鼻0,若方程X2—4mx+ 2m^ 6=0的两根x’，x?均非负，贝卩山忑八载以―D胆沖一••• {m|- }关于U的补集是{m|m<—1}，二实数m的取值范围是{m|m<—1}.1、（全国I，1）设集合A={4，5, 7,9}，B={3,4,乙8, 9}，全集U=A U B，则集合・⑺厂启）中的元素共有（）A. 3个B. 4个C. 5个D. 6个答案：A解析：2、（福建，2）已知全集U=R,集合A={x|x2—2x>0}，则干」等于（）A. {x|0 < x< 2}B. {x|0<x<2}C. {x|x<0 或x>2} D . {x|x < 0 或x > 2}答案：A解析：■/ x2—2x>0，二x（x —2）>0，得x<0 或x>2,••• A={x|x<0 或x>2}，[ 4 ；. ■ i•.3、（山东，1）集合A={0 , 2, a}, B={1 , a2}.若A U B={0, 1, 2, 4, 16}，则a 的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 4答案：D解析：T A U B={0, 1, 2, a, a2}，又A U B={0, 1, 2, 4, 16}, • {a , a2}={4 , 16} , • a=4 ,故选D.集合中的交、并、补等运算，可以借助图形进行思考。
集合的性质与运算知识点总结
集合的性质与运算知识点总结在数学中，集合是由一些确定的对象组成的聚集体。
集合理论是数学的重要分支之一，它研究了集合的性质、运算和关系。
本文将对集合的性质和运算进行总结，帮助读者更好地理解和应用集合的知识。
一、集合的性质1. 包含关系：对于两个集合A和B，若A中的每个元素都是B中的元素，则称A是B的子集，记作A⊆B。
如果A是B的子集且B是A的子集，则称A和B相等，记作A=B。
2. 空集：不含任何元素的集合称为空集，记作∅或{}。
对于任意集合A，有∅⊆A。
3. 并集：给定两个集合A和B，所有属于A或属于B的元素的集合称为A和B的并集，记作A∪B。
4. 交集：给定两个集合A和B，所有既属于A又属于B的元素的集合称为A和B的交集，记作A∩B。
5. 差集：给定两个集合A和B，所有属于A但不属于B的元素的集合称为A和B的差集，记作A-B或者A\B。
6. 补集：对于给定的集合U和A，U中属于而A中不属于的元素组成的集合称为A关于U的补集，记作A'。
7. 幂集：对于给定的集合A，所有A的子集所构成的集合称为A的幂集，记作P(A)。
二、集合的运算1. 并运算：对于给定的集合A和B，A与B的并集是包含A和B 中所有元素的集合，即A∪B={x|x∈A或x∈B}。
2. 交运算：对于给定的集合A和B，A与B的交集是同时属于A和B的元素组成的集合，即A∩B={x|x∈A且x∈B}。
3. 差运算：对于给定的集合A和B，A与B的差集是属于A但不属于B的元素组成的集合，即A-B={x|x∈A且x∉B}。
4. 对称差运算：对于给定的集合A和B，A与B的对称差集是属于A或属于B但不同时属于A和B的元素组成的集合，即A△B=(A-B)∪(B-A)。
5. 补运算：对于给定的集合U和A，A的补集是在全集U中属于而A中不属于的元素组成的集合，即A'={x|x∈U且x∉A}。
三、集合的性质定理1. 交换律：对于任意两个集合A和B，有A∪B=B∪A，A∩B=B∩A。
集合的基本概念与运算
集合的基本概念与运算在数学领域中，集合是一种包含对象的集合体。
这些对象可以是数字、字母、符号、单词、人或任何其他事物。
集合的概念和运算是数学中重要的基础，本文将介绍集合的基本概念以及常见的集合运算。
一、集合的基本概念集合是由一组对象组成的，并且这些对象是无序的。
用大写字母表示集合，例如A、B、C等，而用小写字母表示集合中的元素，例如a、b、c等。
如果元素a属于集合A，我们可以表示为a∈A。
如果元素x不属于集合A，我们可以表示为x∉A。
在确定一个集合的时候，我们可以列举其中的元素，也可以使用描述集合中元素的特征或性质。
例如，可以表示“大于0的整数”为集合A，可以表示“A={x|x>0, x∈Z}”。
这样即可定义出集合A。
二、集合的基本运算1. 并集运算当我们希望将两个或多个集合合并成一个新的集合时，我们可以使用并集运算。
用符号∪表示并集。
对于集合A和集合B，A∪B表示包含所有属于集合A或属于集合B的元素的新集合。
例如，如果A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A∪B={1,2,3,4,5}。
2. 交集运算交集运算是指将两个集合中共有的元素组成一个新集合。
用符号∩表示交集。
对于集合A和集合B，A∩B表示包含所有既属于集合A又属于集合B的元素的新集合。
例如，如果A={1,2,3}，B={3,4,5}，则A∩B={3}。
3. 差集运算差集运算是指从一个集合中减去另一个集合中的元素。
用符号\表示差集运算。
对于集合A和集合B，A\B表示包含属于集合A但不属于集合B的元素的新集合。
例如，如果A={1,2,3,4}，B={3,4,5}，则A\B={1,2}。
4. 补集运算在集合理论中，我们还可以定义补集运算。
对于给定的全集U和集合A，A的补集表示U中所有不属于A的元素。
用符号A'或A表示补集。
例如，如果U为全集，A为集合A。
则A'表示U中所有不属于集合A的元素的集合。
三、集合的扩展运算除了基本的集合运算外，还存在集合的扩展运算。
集合的运算
集合的运算
集合的运算是：交集、并集、相对补集、绝对补集、子集。
集合简称集，是集合论的主要研究对象。
现代的集合一般被定义为：由一个或多个确定的元素所构成的整体。
集合交换律：A∩B=B∩A、A∪B=B∪A
集合结合律：（A∩B)∩C=A∩（B∩C)、（A∪B)∪C=A∪（B∪C)
集合分配律：A∩（B∪C)=(A∩B)∪（A∩C)、A∪（B∩C)=(A∪B)∩（A∪C)
集合的特性
1、确定性
给定一个集合，任给一个元素，该元素或者属于或者不属于该集合，二者必居其一，不允许有模棱两可的情况出现。
2、互异性
一个集合中，任何两个元素都认为是不相同的，即每个元素只能出现一次。
有时需要对同一元素出现多次的情形进行刻画，可以使用多重集，其中的元素允许出现多次。
3、无序性
一个集合中，每个元素的地位都是相同的，元素之间是无序的。
集合上可以定义序关系，定义了序关系后，元素之间就可以按照序关系排序。
但就集合本身的特性而言，元素之间没有必然的序。
第三讲 集合的基本运算
第三讲集合的基本运算【学习目标】1．理解交集的概念，会用符号、维恩图表示交集，并会求简单集合的交集。
2．掌握交集与并集的相关性质，并会应用。
3．理解并集的概念，会用符号、维恩图表示并集，并会求简单集合的并集。
4．了解全集、补集的意义，正确理解符号∁U A的含义，会求已知全集条件下集合A的补集。
5．会求解集合的交、并、补的集合问题。
6．能正确利用补集的意义求解一些具体问题。
【基础知识】一、交集1．概念：一般地，给定两个集合A、B，由既属于集合A又属于集合B的所有元素(即A和B的公共元素)组成的集合，称为A与B的交集。
2．符号语言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}(读作“A交B”)3．图形表示：4．注意事项：(1)运算结果：A∩B是一个集合，由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成；(2)关键词“所有”：概念中的“所有”两字的含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B 的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于A∩B”；(3)∅情形：当集合A与B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅．二、并集1．概念：一般地，给定两个集合A、B，由这两个集合的所有元素组成的集合，称为集合A与B的并集。
2．符号语言：A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}(读作“A并B”)3．图形表示：4．注意事项：(1)两个集合的并集、交集还是一个集合．(2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B 可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素．(3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成的，而非部分元素组成．5．并集与交集的运算性质并集的运算性质交集的运算性质A∪B＝B∪AA∩B＝B∩A A∪A＝A A∩A＝AA∪∅＝A A∩∅＝∅A⊆B⇔A∪B＝BA⊆B⇔A∩B ＝A三、全集1．概念：在研究集合与集合之间的关系时，如果所要研究的集合都是某一给定集合的子集，那么称这个给定的集合为全集．2．记法：全集通常记作U．3．全集并不是一个含有任何元素的集合，仅包含所研究问题中涉及的所有元素．四、补集1．概念：如果集合A是全集U的一个子集，则由U中不属于A的所有元素组成的集合，称为A在U中的补集，记作∁U A。
离散数学---集合的基本运算
E
A
B
广义的并集
集合的并(union)：集合A和B的并AB定义 为：AB = {x | xA或者xB}，集合的并可 推广到多个集合，设A1, A2, …, An都是集合， 它们的并定义为：
A1A2∪…An = {x | 存在某个i，使得xAi}
广义的交集
集合的交(intersection)：集合A和B的并AB定义 为：AB = {x | xA而且xB}，集合的交也可推广 到多个集合，设A1, A2, …, An都是集合，它们的交 定义为：
集合的化简
化简((ABC)(AB))-((A(B-C))A) 证明:原集合=(AB)-A(吸收律)
=(AB)A =(AA)(BA)(分配律)
=(BA) =BA
(互补律) (同一律)
集合包含的性质
• AE •如果ABC，则AC •ABAA∪B •AB A∪B=B AB=A ~B ~A
利用集合等式证明
求证：A-(B∪C)=(A-B)∩(A-C)
(A-B)∩(A-C)＝A∩~B∩A∩~C =A∩~B∩~C =A∩~(B∪C) =A-(B∪C)
证明吸收律A（AB）=A
证明：A（AB） =（A）（AB） =A（B） =A =A
已知AB=AC,AB=AC,求证B=C
6、零一律 A∩=，A∪E=E
（A∩B）=A∪B
7、补余律 A∩A=，A∪A=E
10、双重否定律（A）=A
8、吸收律 A∪（A∩B）=A
注：A-B=A∩B
A∩（A∪B）=A
集合相等的证明的方法
一、利用集合的定义证明； 二、利用集合等式证明；（常用） 三、利用谓词公式证明； 四、用集合成员表。（略）
即AB={xxA且x BxB且x A}
集合的概念与运算
集合的概念与运算
集合是指具有某种特定性质的事物的总体，可以简称为集。
组成集合的事物称为该集合的元素，也可简称为元。
根据元素的性质，集合可分为有限集和无限集；根据元素的互异性，集合可分为单元素集和非单元素集。
集合的运算包括交集、并集、差集等。
交集是指两个集合中共有的元素组成的集合；并集是指两个集合中所有的元素组成的集合；差集是指在一个集合中去掉另一个集合中的所有元素后剩下的元素组成的集合。
在进行集合运算时，需要注意以下几点：
1. 明确集合中元素的性质或满足的条件，这是确定集合的关键。
2. 确保在用列举法表示集合时，其中的元素不能重复出现，因为集合中的元素必须是互异的。
3. 集合中的元素的次序没有先后之分，即顺序不影响集合的定义和运算结果。
4. 对于空集，任何元素都不属于空集，空集是任何集合的子集。
了解和掌握集合的概念和运算规则，有助于更好地理解和应用数学、逻辑等学科的知识，解决实际问题。
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（ A ∪ B ）∪ C =
{ 1，2，3，4，5 } ， ， ， ，
是奇数}， 是偶数}， 例2 (2) 已知 A = {x | x 是奇数 ， B = {x | x 是偶数 ， Z = {x | x 是整数 ， 是整数}， 求 A ∪ Z， B ∪ Z， A ∪ B ． ， ，
奇数 整 数
偶数
菱形
练习3 已知 A = {x | x 是菱形 ，B = {x | x 是矩形 ， 是菱形}， 是矩形}， 练习 求 A∩B． ． 是菱形}∩{x | x 是矩形 是矩形} 解：A∩B = {x | x 是菱形 = {x | x 是正方形 ． 是正方形}．
菱形
正 方 形
矩形
例4 已知 A ={ (x，y) | 4 x＋y = 6 }， ， ＋ ， B ={ (x，y) | 3 x＋2 y = 7 }． ， ＋ ． 求 A ∩ B． ． 解：A∩B = {(x，y) | 4 x＋y = 6 } ， ＋ ∩{(x，y) | 3 x＋2 y = 7 } ， ＋ 4 x＋y = 6 ＋ = (x，y) ， = {(1，2)}． ， ． 3 x＋2 y = 7 ＋ 4 x＋y = 6 ＋ O x 3 x＋2 y = 7 ＋ y
集合的并
3．并集的性质 ． (1) A ∪ B ＝ B∪A；
(2) ( A ∪ B ) ∪ C ＝ A ∪( B ∪ C )； ； (3) A ∪ A = A ； (4) A ∪ ∅ = ∅ ∪ A = A ．
想一想： 想一想： 如果 A ⊆ B ，那么 A ∪ B ＝ B ．
集合的并
已知： 例 1 (2) 已知： A = { 1，2，3 }，B = { 3，4，5 }， ， ， ， ， ， ， C = { 5，3 }． ， ． 则 A∪ B = B∪C= { 1，2，3，4，5 } ， ， ， ， { 3，4，5 } ， ， ； ； ．
A
B
B A
A (B)
A
B
集合的交
根据交集的定义和图示，填写交集的性质 根据交集的定义和图示，填写交集的性质. (1) A ∩ B ＝ B∩A； ＝ A ∩( B ∩ C )； ；
(2) ( A ∩ B )∩ C (3) A ∩ A =
A ； ∅ ；
(4) A ∩ ∅ = ∅ ∩ A =
想一想： 想一想： 如果 A ⊆ B ，| x 是整数 = {x | x 是奇数 = A； 是整数} 是奇数} 解： A∩Z = {x | x 是奇数 ； B∩Z = {x | x 是偶数 是偶数}∩{x | x 是整数 = {x | x 是偶数 = B； 是整数} 是偶数} ； A∩B = {x | x 是奇数 是奇数}∩{x | x 是偶数 = ∅． 是偶数}
例3 已知 C = { x | x≥1 }，D = { x | x＜5 }， ， ＜ ， 求 C ∩ D； C ∪ D． ； ．
1
5
x
解： C ∩ D = { x︱1 ≤x＜ 5 } ； ︱ ＜ C ∪ D = R． ．
练习1 已知 A = {x | x 是锐角三角形}， 练习 是锐角三角形 ， B = {x | x 是钝角三角形 ． 是钝角三角形}． 求 A∩B ，A∪B． ∪ ． 锐角三角形 斜三角形 三角形 钝角三角形 直角三角形 是锐角三角形}∩{x | x 是钝角三角形 是钝角三角形} 解：A∩B = {x | x 是锐角三角形 = ∅； A∪B = {x | x 是锐角三角形 ∪{x | x 是钝角三角形 ∪ 是锐角三角形}∪ 是钝角三角形} = {x | x 是斜三角形 ． 是斜三角形}．
我校食堂买菜的品种 第一天买菜品种为集合 A 第二天买菜品种为集合 B
冬瓜 鲫鱼 黄瓜 虾 茄子
黄瓜 虾
猪肉 土豆
毛豆 芹菜
问1 问2
两天所买相同菜的品种为集合 C ， 由哪些元素组成？ 则集合 C 由哪些元素组成？ 两天买过的所有菜的品种为集合 D ， 由哪些元素组成？ 则集合 D 由哪些元素组成？
A ．
集合的交
已知： 例1 (1) 已知：A = { 1，2，3 }，B = { 3，4，5 }， ， ， ， ， ， ， C = { 5，3 }． ， ． 则： A ∩ B = B∩C= {3} { 3，5 } ， ； ； {3} ．
（ A ∩ B ）∩ C =
是奇数}， 是偶数}， 例2 (1) 已知 A = {x | x 是奇数 ， B = {x | x 是偶数 ， Z = {x | x 是整数 ， 是整数}， 求 A ∩ Z， B ∩ Z， A ∩ B ． ， ，
请观察：集合 C 中的元素与集合 A，集合 B 中的元素 请观察： ， 有什么关系？ 有什么关系？ C
A
冬瓜 鲫鱼 黄瓜 虾 茄子
猪肉 毛豆 土豆 芹菜
B
观察得出： 观察得出：集合 C 是由既属于集合 A，又属于集合 B ， 元素组成的． 的所有 公 共 元素组成的．
集合的交
交集： 交集：给定两个集合 A，B，由既属于 A 又属 于B 的所 ， ， 公共元素构成的集合 构成的集合， 有公共元素构成的集合，叫做 A，B 的交集． ， 的交集． 记作 A ∩ B ， 读作 “ A 交 B ”． ． 请用阴影表示出 “ A∩B ”
是奇数} 是整数} 是整数} 解： A ∪ Z = {x | x 是奇数 ∪ {x | x 是整数 = {x | x 是整数 = Z ； B ∪ Z = {x | x 是偶数 ∪ {x | x 是整数 = {x | x 是整数 = Z ； 是偶数} 是整数} 是整数} A ∪ B = {x | x 是奇数 ∪ {x | x 是偶数 = {x | x 是整数 = Z ． 是奇数} 是偶数} 是整数}
练习2 是平行四边形}， 练习 已知 A = {x | x 是平行四边形 ， B = {x | x 是菱形 ， 是菱形}， 求 A∩B； A∪B． ； ∪ ． 是平行四边形}∩{x | x 是菱形 是菱形} 解：A∩B = {x | x 是平行四边形 = {x | x 是菱形 = B； 是菱形} ； A∪B = {x | x 是平行四边形 ∪{x | x 是菱形 ∪ 是平行四边形}∪ 是菱形} = {x | x 是平行四边形 = A． 是平行四边形} ． 平 行 四 边 形
(1，2) ，
集合 集合 集 集合 合 1.1.4 集合的运算（一） 集合的运算（
1．子集与真子集的区别是什么？ ．子集与真子集的区别是什么？ 真子集： 的子集， 真子集：如果集合 A 是集合 B 的子集，并且 B 中 至少有一个元素不属于 A，那么集合 A ， 的真子集． 叫做集合 B 的真子集． 2．什么是空集？ ．什么是空集？ 不含任何元素的集合叫做空集． 不含任何元素的集合叫做空集．
集合的并
集合的并． 自学教材 P 14 ~ 15 —— 集合的并．
1. 并集的定义． 并集的定义． 2. 并集的图示． 并集的图示． 3. 并集的性质． 并集的性质．
集合的并
1．并集的定义 ． 给定两个集合 A ，B ，由属于 A 或属 于 B 的 所有元素构成的集合， 所有元素构成的集合，叫做 A，B 的并集． 构成的集合 ， 的并集． 记作 A∪B , ∪ 读作 “ A 并 B ”． ． 2．并集的图示 ． 请用阴影表示出 “ A ∪ B ”． ． A B A B A A(B)