高一数学集合的基本运算2
第02讲 集合的运算(7大考点13种解题方法)(解析版)
第02讲集合的运算（7大考点13种解题方法）考点考向集合之间的基本运算如果一个集合包含了我们所要研究的各个集合的全部元素，这样的集合就称为全集，全集通常用字母U 表示；集合的并集集合的交集集合的补集图形符号A ∪B ＝{x |x ∈A ，或x ∈B }A ∩B ＝{x |x ∈A ，且x ∈B }∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }1.由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合叫A 与B 的并集，记作A ∪B ；符号表示为A ∪B ＝{x |x ∈A 或x ∈B }2．并集的性质A ∪B ＝B ∪A ，A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ⊆A ∪B .3.对于两个给定的集合A 、B ，由所有属于集合A 且属于集合B 的元素组成的集合叫A 与B 的交集，记作A ∩B。
符号为A ∩B ＝{x |x ∈A 且x ∈B }。
4.交集的性质A ∩B ＝B ∩A ，A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ⊆A .5、对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记作∁U A 。
符号语言：∁U A ＝{x |x ∈U ，且x ∉A }。
【要点注意】1．A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ⇔A ∪B ＝B ()()UUA B A B U ⇔=∅⇔=痧.2.德▪摩根定律：①并集的补集等于补集的交集，即()=()()U UU A B A B 痧；②交集的补集等于补集的并集，即()=()()U UU AB A B 痧．方法技巧1.求集合并集的两种基本方法：（1）定义法：若集合是用列举法表示的，可以直接利用并集的定义求解；（2）数形结合法：若集合是用描述法表示的由实数组成的数集，则可以借助数轴求解.2.求集合交集的方法为：（1）定义法，（2）数形结合法．（3）若A ，B 是无限连续的数集，多利用数轴来求解．但要注意，利用数轴表示不等式时，含有端点的值用实点表示，不含有端点的值用空心点表示．3.集合基本运算的求解规律(1)离散型数集或抽象集合间的运算，常借用Venn 图求解．(2)集合中的元素若是连续的实数，常借助数轴求解，但是要注意端点值能否取到的情况．(3)根据集合运算求参数，先把符号语言译成文字语言，然后灵活应用数形结合求解．考点精讲考点一：交集题型一：交集的概念及运算1．（2022·浙江衢州·高一阶段练习）已知集合{1,2,3}A =，{2,3,4}B =，则A B =（）A ．{1,2,3,4}B ．{2,3}C ．{1,2}D ．∅【答案】B【分析】根据交集的定义可求A B .【详解】{}2,3AB =，故选：B.2．（2022·全国·高一）已知集合{}22A x x =-<<，{}2,0,1,2B =-，则A B =（）A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}2,0,1,2-D ．{}1,0,1,2-【答案】B【分析】根据集合的交集运算，即可得答案.【详解】因为{}22A x x =-<<，{}2,0,1,2B =-，所以{0,1}A B =，故选:B ．题型二：根据交集的结果求集合或参数3．（2017·浙江·长兴县教育研究中心高一期中）已知集合{}2,3,4,5A =，{}1,B a =，若{}5A B =，则=a （）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【分析】根据集合的交运算结果，即可求得参数值.【详解】因为{}5A B =，故可得{}51,a ∈，则5a =.故选：D.4．（2021·湖北·车城高中高一阶段练习）若集合{}322P x x =<≤，非空集合{}2135Q x a x a =+≤<-，则能使()Q PQ ⊆成立的所有实数a 的取值范围为()A ．(1,9)B ．[1,9]C ．[6,9)D ．(6,9]【答案】D【分析】由()Q P Q ⊆知Q P ⊆，据此列出不等式组即可求解.【详解】∵()Q P Q ⊆，∴P Q Q ⋂=，Q P ⊆，∴21352133522a a a a +<-⎧⎪+>⎨⎪-≤⎩，解得69a <≤，故选：D.题型三：根据交集的结果求集合元素个数5．（2021·河南·襄城县实验高级中学高一阶段练习）已知集合()1,A x y y x ⎧⎫==⎨⎬⎩⎭，(){},B x y y x ==，则AB 中元素的个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【分析】联立方程解得11x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩，得到答案.【详解】1y x y x⎧=⎪⎨⎪=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩或11x y =-⎧⎨=-⎩，故A B 中有两个元素.故选：C.6．（2022·江苏·高一）若集合{}1,2,3,4A B =，{}1,2A B =，集合B 中有3个元素，则A中元素个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．不确定【答案】C【分析】根据条件得到{}1,2,3B =或{}1,2,4B =，进而可得集合A 中元素个数.【详解】{}1,2AB =，则集合B 中必有元素1，2当{}1,2,3B =时，{}1,2,4A =，当{}1,2,4B =时，{}1,2,3A =，故集合A 中元素个数为3.故选：C.考点二：并集题型四：并集的概念及运算1．（多选）（2021·福建·晋江市磁灶中学高一阶段练习）已知集合{|2}A x x =<，{|320}B x x =->，则（）A ．32AB x x ⎧⎫⋂=<⎨⎬⎩⎭B ．A B =∅C ．{}2A B x x ⋃=<D ．A B R=【答案】AC【分析】先求得集合B ，由此确定正确选项.【详解】3{|320}{|}2B x x B x x =->==<，所以32A B x x ⎧⎫⋂=<⎨⎬⎩⎭，{}2A B x x ⋃=<.故选：AC2．（多选）（2021·福建省同安第一中学高一阶段练习）已知集合{|2}A x x =<，{|320}B x x =->，则（）A ．32AB x x ⎧⎫⋂=<⎨⎬⎩⎭B ．A B =∅C ．A B R=D ．{}A B 2x x ⋃=<【答案】AD【解析】先化简集合B ，再由交集和并集的概念，即可得出结果.【详解】因为集合{|2}A x x =<，{}33202B x x x x ⎧⎫=->=<⎨⎬⎩⎭，因此32A B x x ⎧⎫⋂=<⎨⎬⎩⎭，{}A B 2x x ⋃=<.故选：AD.题型五：根据并集的结果求集合或参数3．（多选）（2022·湖北武汉·二模）已知集合{}{}1,4,,1,2,3A a B ==，若{}1,2,3,4A B =，则a 的取值可以是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】AB【分析】根据并集的结果可得{}1,4,a {}1,2,3,4，即可得到a 的取值；【详解】解：因为{}1,2,3,4A B =，所以{}1,4,a {}1,2,3,4，所以2a =或3a =；故选：AB4．（多选）（2021·湖南·高一期中）已知集合{}1,4,M x =，{}2,3N =，若{}1,2,3,4M N =U ，则x 的可能取值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】BC【分析】根据题意，结合集合中元素的互异性及两个集合的并集的定义，即可求解.【详解】由题意，集合{}1,4,M x =，{}2,3N =，且{}1,2,3,4M N =U 根据集合中元素的互异性及两个集合的并集的定义，可得2x =或3x =．故选：BC.题型六：根据并集的结果求集合元素个数5．（多选）（2021·广东揭阳·高一期末）若集合{}0,1,2,A x =，2{1,}B x =，A B A ⋃=则满足条件的实数x 为()A ．0B ．1C ．D ．【答案】CD【分析】由A B A ⋃=说明B 是A 的子集，然后利用子集的概念分类讨论x 的取值．【详解】解：由A B A ⋃=，所以B A ⊆．又{}0,1,2,A x =，2{1,}B x =，所以20x =，或22x =，或2x x =．20x =时，集合A 违背集合元素的互异性，所以20x ≠．22x =时，x =或x =2x x =时，得0x =或1x =，集合A 均违背集合元素互异性，所以2x x ≠．所以满足条件的实数x 的个数有2个．故选CD ．【点睛】本题考查了并集及其运算，考查了子集的概念，考查了集合中元素的特性，解答的关键是要考虑集合中元素的互异性，是基本的概念题，也是易错题．考点三：补集、全集题型七：补集的概念及运算1．（2022·广东汕尾·高一期末）全集U =R ，集合{}3A x x =≤-，则 U A =ð______．【答案】{}3x x >-【分析】直接利用补集的定义求解【详解】因为全集U =R ，集合{}3A x x =≤-，所以 U A =ð{}3x x >-，故答案为：{}3x x >-2．（2022·江苏·高一单元测试）若全集S ＝{2,3,4}，集合A ＝{4,3}，则S A ð＝____；若全集S ＝{三角形}，集合B ＝{锐角三角形}，则S B ð＝______；若全集S ＝{1,2,4,8},A ＝∅，则S A ð＝_______；若全集U ＝{1,3,a 2＋2a ＋1}，集合A ＝{1,3}，U A ð＝{4}，则a ＝_______；已知U 是全集，集合A ＝{0,2,4}，U A ð＝{－1,1}，U B ð＝{－1,0,2}，则B ＝_____.【答案】{2}{直角三角形或钝角三角形}{1,2,4,8}1或－3{1,4}【分析】利用补集的定义，依次分析即得解【详解】若全集S ＝{2,3,4}，集合A ＝{4,3}，由补集的定义可得S A ð＝{2}；若全集S ＝{三角形}，集合B ＝{锐角三角形}，由于三角形分为锐角、直角、钝角三角形，故S B ð＝{直角三角形或钝角三角形}；若全集S ＝{1,2,4,8},A ＝∅，由补集的定义S A ð＝{1,2,4,8}；若全集U ＝{1,3,a 2＋2a ＋1}，集合A ＝{1,3}，U A ð＝{4}，故{1,3,4}U U A A =⋃=ð即2214a a ++=，即223(1)(30a a a a +-=-+=），解得=a 1或－3；已知U 是全集，集合A ＝{0,2,4}，U A ð＝{－1,1}，故{1,0,1,2,4}U U A A =⋃=-ð，U B ð＝{－1,0,2}，故B ={1,4}。
集合的基本运算(第2课时集合的补集)课件高一上学期数学人教A版
随堂练习
3.集合 A={x|1<x<3},集合 B={x|x>4 或 x<2},则集合
A∩(∁ RB)等于( A.R C.{x|1<x≤4}
)
√B.{x|2≤x<3}
D.
解析:因为B={x|x>4或x<2},所以∁RB={x|2≤x≤4}, 所以A∩(∁RB)={x|2≤x<3}.故选B.
随堂练习
√D.(∁UM)∩N=
解析:集合 M,N,P 为全集 U 的子集,且满足 M⊆P⊆N,由题 中 Venn 图,得∁UN⊆∁UP,故 A 正确;∁NP⊆∁NM,故 B 正确; (∁UP)∩M= ,故 C 正确;(∁UM)∩N≠ ,故 D 错误.故选 D.
课堂小结
1.全集、补集的概念 2.补集的运算性质 3.交、并、补的简单综合运算；
(2)设全集U={1,2,3,4,5,6,7},集合A={3,4},则∁UA=____ (3)用实数集R和有理数集Q及补集符号∁表示无理数集. 提示:(2)∁RQ.
问题4：一个集合的补集是不是固定不变的？
补集是相对于全集而言的，随着全集的改变而改变
概念辨析
例1、已知全集为U,集合A={1,3,5,7},∁UA={2,4,6}, ∁UB={1,4,6},则集合B= {2,3,5,7; }
概念透析
问题1：用自己的话概括全集、补集的概念
一．全集
文字语言 记法
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有
元素，那__
图示
注意： 通常也把给定的集合称为全集
概念透析
问题1：用自己的话概括全集、补集的概念
二．补集
文字语言 符号语言
对于一个集合 A，由全集 U 中_不__属__于_集合 A 的所有元素组成的集合称为 集合 A 相对于全__集__U__的补集，简称为集合 A 的补集，记作__∁_U_A__
集合的基本运算(第2课时 全集与补集)-高一数学同步优品讲练课件(人教A版2019必修第一册)
因为 B = {−1,0,1,2,3} ，
所以 ∁R A ∩ B = {−1,2,3} ，故选C.
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方法总结 解决集合的混合运算问题时，一般先计算括号内的部分，再计算其他部分.有限
混合运算可借助 Venn 图求解，与不等式有关的集合运算可借助数轴求解.
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巩固训练
1.若全集 U = {1,2,3,4} ，集合 M = {1,2} ， N = {2,3} ，则 M ∪ ∁U N = (
A. {1,2,3}
B. {2}
C. {1,3,4}
1
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D ).
D. {4}
[解析] ∵集合 M = {1,2} ， N = {2,3} ， ∴ M ∪ N = {1,2,3} ，又全集 U = {1,2,3,4} ，∴
∁U M ∪ N = {4} .故选D.
{1,2,3}
4.设全集为 U ， M = {1,2} ， ∁U M = {3} ，则 U = _________.
第一章 集合与常用逻辑用语
1.3 集合的基本运算
榆次一中 数学教研组
课时2 全集与补集
学习目标
1.理解全集、补集的概念.（数学抽象）
2.准确使用补集符号和 Venn 图.（直观想象）
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3.会求补集，并能解决一些集合综合运算的问题.（数学运算）
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自主预习·悟新知
合作探究·提素养
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[答案] 在有理数范围内的解是 {2} ，在无理数范围内的解是 {2, 3, − 3} .
高一数学集合的基本运算
二、集合中元素的个数
用card来表示有限集A中的元素个数. 如:A={a,b,c} 则card(A)=3
即
ห้องสมุดไป่ตู้
有污染性呢！”女厨师Ｃ．娅娜小姐：“呀哈！我要让你们知道什么是壮丽派！什么是震撼流！什么是邪恶疯狂风格！”壮扭公主：“哈哈！小老样，有什么专业都弄 出来瞧瞧！”女厨师Ｃ．娅娜小姐：“呀哈！我让你享受一下『棕光踏妖喷壶神谱』的厉害！”女厨师Ｃ．娅娜小姐忽然秀了一个，颤狼香蕉滚两千八百八十度外加虎 吼球拍转十七周半的招数，接着又整出一个，烟体驼飘踏云翻三百六十度外加乱转一万周的时尚招式。接着像紫宝石色的银脚荒原狼一样大爽了一声，突然使了一套蹲 身抖动的特技神功，身上顿时生出了九只活似灵芝形态的亮橙色脸皮。紧接着把矮胖的淡蓝色肉串似的手指摆了摆，只见九道深深的美如树皮般的黑雾，突然从犹如面 条似的脚中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，浓黑色的大地开始抖动摇晃起来，一种怪怪的熊酣 静味在豪华的空气中萦绕。最后抖起矮小的腿一晃，酷酷地从里面 窜出一道亮光，她抓住亮光飘然地一耍，一件紫溜溜、白惨惨的咒符『棕光踏妖喷壶神谱』便显露出来，只见这个这件玩意儿，一边飘荡，一边发出“喇喇”的奇音！ ……飘然间女厨师Ｃ．娅娜小姐发疯般地念起磨磨叽叽的宇宙语，只见她精悍的胸部中，快速窜出八道光点状的小道，随着女厨师Ｃ．娅娜小姐的转动，光点状的小道 像烟袋一样在食指出色地击打出阵阵光塔……紧接着女厨师Ｃ．娅娜小姐又连续使出五十五道四猿镊子窜，只见她瘦长的屁股中，飘然射出九组甩舞着『绿冰流祖烟枪 肘』的豹鬼状的脖子，随着女厨师Ｃ．娅娜小姐的甩动，豹鬼状的脖子像铜钱一样念动咒语：“八腿咒 喽，竹篮咒 喽，八腿竹篮咒 喽……『棕光踏妖喷壶 神谱』！！！！”只见女厨师Ｃ．娅娜小姐的身影射出一片亮白色金辉，这时从天而降变态地出现了三飘厉声尖叫的墨灰色光兔，似怪影一样直奔深白色银辉而来…… ，朝着壮扭公主粗壮的大腿怪跃过来！紧跟着女厨师Ｃ．娅娜小姐也横耍着咒符像花豹般的怪影一样向壮扭公主怪跃过来壮扭公主忽然弄了一个，爬蛇棕绳滚两千八百 八十度外加兔叫龟壳转十七周半的招数……接着像深灰色的千翅沙漠蛇一样爆呼了一声，突然秀了一个俯卧收缩的特技神功，身上猛然生出了三十只如同钉子一样的鹅 黄色下巴……紧接着把齐整严密的牙齿颤了颤，只见五道轻飘的犹如棋盘般的粉云，突然从神盔模样的棕褐色短发中飞出，随着一声低沉古怪的轰响，深橙色的大地开 始抖动摇晃起来，一种怪怪的天神檀耍嫩憨味在深邃的空气中摇晃！最后耍起刚劲有力、无坚不摧的粗壮手指一嗥，轻飘地从里面流出一道怪影，她抓住怪影悠闲地一 甩，一件怪兮兮、红
最新人教A版高数数学必修一课件：1.3 集合的基本运算第2课时并集与交集
1.3 集合的基本运算
第2课时 补集及综合运算
学习目标 1.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给 定子集的补集 2.能运用Venn图表达补集运算
素养要求 数学运算 直观想象
|自学导引|
补集的概念
1．全集
(1)定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的_所__有__元__素_，那么就称这个集合为全集．
|素养达成|
1．补集定义的理解(体现了数学运算的核心素养)．
(1)补集是相对于全集而存在的，研究一个集合的补集之前一定要明确其所对应的全集．比如，当研 究数的运算性质时，我们常常将实数集R当做全集．
(2)补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算，还是一种数学思想． (3)从符号角度来看，若x∈U，A U，则x∈A和x∈∁UA二者必居其一．
U (2)记法：全集通常记作________．
2．补集
对于一个集合 A，由全集 U 中_不__属__于__集__合__A___的所有元素组成 文字语言 的集合称为集合 A 相对于全集 U 的补集，记作___∁_U_A___
符号语言
∁UA＝_{_x_|x_∈__U__且__x_∉_A_}__
图形语言
A．{1,4}
B．{1}
C．{4}
D．∅
【答案】A
【解析】∁UA＝{0,1,4}，B∩(∁UA)＝{1,4}．故选A．
2．(题型2)已知集合A＝{x|x＋1>0}，B＝{－2，－1,0,1}，则(∁RA)∩B＝
A．{－2，－1}
B．{－2}
()
C．{－1,0,1}
D．{0,1}
【答案】A
5．(题型2)已知全集U＝{x|－5≤x≤3}，A＝{x|－5≤x<－1}，B＝{x|－1≤x<1}，求∁UA，∁UB， (∁UA)∩(∁UB)．
高一数学集合知识点全总结
高一数学集合知识点全总结一、集合的概念集合是具有某种特定性质的事物的总体或类别。
集合中具体的元素称为集合的成员。
集合的表示方法有三种：列举法、描述法和集合的图示法。
1. 列举法：集合A = {a, b, c, d, e}2. 描述法：集合A = {x|x具有某种特定的性质}3. 图示法：通常用Venn图来表示，也可以用数轴、区间等形式表示。
二、集合的基本运算1. 并集设A和B是两个集合，A和B的并集，记作A∪B，是一个集合C，C中的元素是A和B 中所有元素的集合，即C={x | x∈A或x∈B}。
2. 交集设A和B是两个集合，A和B的交集，记作A∩B，是一个集合C，C中的元素是A和B 中共有元素的集合，即C={x | x∈A且x∈B}。
3. 差集设A和B是两个集合，A和B的差集，记作A-B，是一个集合C，C中的元素是属于A 但不属于B的所有元素的集合，即C={x | x∈A,x∉B}。
4. 补集A的补集，记作Ā，是一个集合C，C中的元素是不属于A的所有元素的集合，即C={x | x∈U,x∉A}，其中U为全集。
5. 交叉并集设A和B是两个集合，A和B的交叉并集，记作A⊕B，是一个集合C，C中的元素是A 和B中所有元素的集合减去A和B的交集，即C={x | x∈A或x∈B,但x∉A∩B}。
6. 笛卡尔积对于两个集合A和B，在数学上，A和B的笛卡尔积，记作AxB，是一个集合C，C中的元素是由A和B中的每个元素按一定次序组成的。
写作C={(a,b)|a∈A,b∈B}以上的集合运算规则和公式需要通过具体的例题来进行练习和理解。
三、集合的关系1. 包含关系若集合A的每个元素都是集合B的元素，则A是B的子集，记作A⊆B或B⊇A。
特别地，空集是每个集合的子集。
2. 相等关系若集合A和B有相同的元素，则A等于B，记作A=B。
3. 差集和补集的关系若A⊆B，则A-B=BĀ。
四、集合论的重要定理1. 德摩根定理对于任意两个集合A和B，有以下两个等式成立：A∪B = AĀ∩BĀA∩B = AĀ∪BĀ2. 韦恩图定理对于任意三个集合A、B和C，有以下等式成立：A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)3. 分配率对于任意三个集合A、B和C，有以下等式成立：A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C)A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)以上定理是在集合论中非常重要的定理，需要通过具体的例题来进行理解和应用。
高中数学第一章集合与函数概念1.1.3集合的基本运算第二课时补集及综合应用课件新人教A版必修1
知识探究
1.全集 一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这 个集合为全集.通常记作 U .
2.补集
自然语言 符号语言
不属于集合A
对于一个集合A,由全集U中
的所有
元∁素UA 组{x成|.x的∈集U,合且称x∉为A}集合A相对于全集U的补集,记作
∁UA=
.
图形语言
探究:若集合A是全集U的子集,x∈U,则x与集合A的关系有几种? 答案:若x∈U,则x∈A或x∈∁UA,二者必居其一. 【拓展延伸】 德·摩根定律 设集合U为全集,集合A,B是集合U的子集. (1)如图(1),∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB);
误区警示 (1)利用数轴求集合的交、并、补集运算时需注意点的虚实情况 的变化. (2)通过改变原不等式的不等号方向取补集时,要防止漏解.如 A={x| 1 <0},
x
∁RA≠{x| 1 ≥0}={x|x>0}.应先求出 A={x|x<0},再求∁RA={x|x≥0}. x
即时训练2-1:(1)设全集U={1,2,3,4,5},若A∩B={2},(∁U A)∩B={4},(∁U A)
当
B={2}时,
a 5
1 a
2, 2,
解得 a=3,综上所述,所求 a 的取值范围为{a|a≥3}.
题型四 易错辨析——概念认识不到位致误
【例4】 设全集U={2,3,a2+2a-3},A={|2a-1|,2},∁UA={5},求实数a的值.
错解:因为∁UA={5}, 所以5∈U,且5∉A, 所以a2+2a-3=5,且|2a-1|≠5, 解得a=2或a=-4. 故实数a的值为2或-4. 纠错:以上求解过程忽略了验证“A⊆U”这一隐含条件.
1.3集合的基本运算第二课时学案学生版
第一章集合与常用逻辑用语1.3 集合的基本运算第2课时补集及综合运用【学习目标】1．能从教材实例中抽象出全集和补集的含义，准确翻译和使用补集符号和Venn图．．(数学抽象) 2．掌握有关的术语和符号，并会用它们正确进行集合的补集运算．(数学运算)3．会用Venn图、数轴解决集合综合运算问题．(直观想象)【使用说明及学法指导】1.预学指导：精读教材的内容，完成预学案，找出自己的疑惑；2.探究指导：小组成员依次发表观点，有组织，有记录，有展示，有点评；3.展示指导：规范审题，规范书写，规范步骤，规范运算；4.检测指导：课堂上定时训练，展示答案；5.总结指导：回扣学习目标，总结本节内容.【预学案】知识点1 全集1．概念：如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为_______.2．记法：通常记作U.思考1：在集合运算问题中，全集一定是实数集吗？知识点2 补集思考2：怎样理解补集？预学自测：1．已知集合A＝{x|x<－5或x>7}，则∁R A＝( )A．{x|－5<x<7} B．{x|－5≤x≤7}C．{x|x<－5}∪{x|x>7} D．{x|x≤－5}∪{x|x≥7}2.(2019·贵州遵义市高一期末测试)已知集合U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,3,4}，B＝{2,4}，则(∁U A)∪B＝( )A．{2,4,5} B．{1,3,4} C．{1,2,4} D．{2,3,4,5}3．(2019·浙江，1)已知全集U＝{－1,0,1,2,3}，集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，则(∁U A)∩B＝( ) A．{－1} B．{0,1} C．{－1,2,3} D．{－1,0,1,3}4．设全集U＝Z，A＝{x∈Z|x<4}，B＝{x∈Z|x≤2}，则∁U A与∁U B的关系是___________.5．已知全集U，集合A＝{1,3,5,7,9}，∁UA＝{2,4,6,8}，∁U B＝{1,4,6,8,9}，求集合B．【我的疑惑】_____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________________【探究案】探究一：补集的基本运算例1 (1)已知全集为U，集合A＝{1,3,5,7}，∁U A＝{2,4,6}，∁U B＝{1,4,6}，则集合B＝_________.(2)已知全集U＝{x|x≤5}，集合A＝{x|－3≤x<5}，则∁U A＝_______________.【对点练习】❶ (1)设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁U A＝( ) A．∅B．{2} C．{5} D．{2,5}(2)已知全集U＝{x|1≤x≤5}，A＝{x|1≤x＜a}，若∁U A＝{x|2≤x≤5}，则a＝_____.探究二：交集、并集、补集的综合运算例2 已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2＜x＜3}，B＝{x|－3≤x≤2}，求A∩B，(∁U A)∪B，A∩(∁U B)．【对点练习】❷ (1)已知集合U＝{1,2,3,4}，A＝{1,3}，B＝{1,3,4}，则A∪(∁U B)＝________；(2)设U＝R，A＝{x|x＞0}，B＝{x|x＞1}，则A∩(∁U B)＝( )A．{x|0≤x＜1} B．{x|0＜x≤1}C．{x|x＜0} D．{x|x＞1}探究三：与补集相关的参数值的求解例3 已知集合A＝{y|y>a2＋1或y<a}，B＝{y|2≤y≤4}，若A∩B≠∅，求实数a的取值范围．【对点练习】❸若集合A＝{x|ax2＋3x＋2＝0}中至多有1个元素，则实数a的取值范围为________.误区警示忽视空集的特殊性例4 已知A＝{x∈R|x<－2或x>3}，B＝{x∈R|a≤x≤2a－1}，若A∪B＝A，则实数a的取值范围为_____________.【检测案】1．(2020·吉林乾安七中高一期末测试)已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)＝( )A．{1,3,4} B．{3,4} C．{3} D．{4}2．如图，I是全集，A，B，C是它的子集，则阴影部分所表示的集合是( )A．(∁I A∩B)∩C B．(∁I B∪A)∩CC．(A∩B)∩(∁I C) D．(A∩∁I B)∩C3．设全集U＝{n∈N|1≤n≤10}，A＝{1,2,3,5,8}，B＝{1,3,5,7,9}，则(∁U A)∩B＝________.4．已知U＝{1,2,3,4,5,6,7}，A＝{2,4,5}，B＝{1,3,5,7}，求A∩(∁U B)，(∁U A)∩(∁U B)．5．设S＝{x|x是平行四边形或梯形}，A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是矩形}，求B∩C，∁S B，∁S A．【课堂小结】。
集合的基本运算(2)课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
小结
用你喜欢的方式总结本节课的知识，并准备展示给大家
作业
作业: 课本P13 练习1、2题
习题1.3 第1,2,3题 第4,5,6题 （选做）
祝你学习进步
{x∈R|(x-2)(x2-3)=0}={2, 3, - 3}
回顾
从小学到初中,数的研究范围逐步地扩充，你能概括出数域
逐步扩大的范围吗？
在高中阶
段,数的研
究范围将
进一步扩
充.
定义
一般地,如果一个集合含有所研究问题中涉及的所 有元素,那么就称这个集合为全集(universe set),通常 记作U.
(7)（CUA） (CUB)= CU(A B);
(3) CUU= ;
当堂检测
1、已知U={1,2,3,4,5,6,7}，A={2,4,5}，B={1,3,5,7}， 求A (CUB)，(CUB) (CUA).
2、设S={x|x是平行四边形或梯形｝，A={x|x是平行四边形}，B= ｛x|x是菱形｝，C={x|x是矩形}，求B C，CAB，CSA.
1.3 集合的基本运算（2）
补集
思考
在研究问题时,我们经常需要确定研究 对象的范围.
比如:在分解因式或解方程时，在不同 数域的范围内，得到的结果是不同的.
例如：方程(x-2)(x2-3)=0的解集,在有理数范围内只有一 个解2,即
｛x∈Q|(x-2)(x2-3)=0}={2}
在实数范围内有三个解:2, 3, - 3,即
应用
例6 设全集U=｛x|x是三角形｝，A={x|x是锐角三角
形}，B=｛x|x是钝角三角形｝，求 A B，CU( A B ).
应用、总结
练习3. 图中U是全集，A，B是U的两个子集，用阴影表示：
高一数学集合的基本运算
一、全集与补集
在不同范围研究同一个问题，可能有 不同的结果。
如方程(x-2)(x2-3)=0的解集
在有理数范围内只有一个解，即 A={x∈Q|(x-2)(x2-3)=0}={2}, 在实数范围内有三个解 2, 即 :B={x∈R|(x2)(x2-3)=0}={2, 3, 3 }。
例4.学校先举办了一次田径运动 会,某班有8名同学参赛,又举办了一 次球类运动会,这个班有12名学生参 赛,两次运动会都参赛的有3人,两次 运动会中,这个班共有多少名同学参 赛?
探索:
对有限集A,B,C你能发现card(A∪B∪C), card(A), card(B), card(C), card(A∩B), card(A∩C), card(C∩B), card(A∩B∩C)之 间的关系吗?
二、集合中元素的个数
用card来表示有限集A中的元素个数. 如:A={a,b,c} 则card(A)=3
问题：
学校小卖部进了两次货,第一次进的货是 圆珠笔,钢笔,橡皮,笔记本,方便面,汽水共6 种,第二次进的货是圆珠笔,铅笔,火腿肠,方 便面共4种,两次一共进了几种货物?
公式：
card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)
利用Venn图: card(A∪B∪C)=card(A)+ card(B)+ card(C) - card(A∩B)- card(A∩C)- card(C∩B)+ card(A∩B∩C)
B
A
A∩B A∩B∩C A∩C C B∩C
作业布置
1.教材P12 9,10 B组 4 2 补．某班有学生55人,其中音乐爱好 者34人,体育爱好者43人,还有4人既 不爱好体育也不爱好音乐,班级中既爱 好体育又爱好音乐的有多少人?
高一数学必修一集合的基本运算
高一数学必修一集合的基本运算1. 什么是集合？1.1 集合的概念哎，说到集合，你可能会想，它到底是什么呢？其实啊，集合就是把一堆有共同特点的东西，像一个大箱子，装在一起。
比如说，你把所有的苹果放在一个篮子里，这个篮子就是一个集合，里面的苹果就是这个集合的元素。
简简单单，但它可是数学中最基础的概念之一呢！1.2 集合的表示方法集合的表示方法也很简单，我们可以用花括号来表示集合。
比如，集合A={1, 2, 3}，这就表示集合A里有1、2、3这几个元素。
还有一种表示方式叫做描述法，比如“所有小于5的自然数”，这也是一个集合。
是不是很直观呢？2. 集合的基本运算2.1 并集好了，我们来聊聊集合的运算。
首先是“并集”。
假如你有两个集合，一个是A={1, 2, 3}，另一个是B={3, 4, 5}。
把这两个集合合起来，去掉重复的元素，就得到了它们的并集。
也就是说，A∪B={1, 2, 3, 4, 5}。
想象一下，像你把两个不同的书架上的书，搬到一个新的书架上，这样你就能看到所有的书了，这就是并集的意思。
2.2 交集接下来是“交集”。
交集就是找出两个集合里都出现的元素。
以刚刚的集合A和B为例，它们的交集是A∩B={3}。
就像你和朋友都喜欢吃巧克力饼干，那这个巧克力饼干就是你们的“交集”，两个人都喜欢。
2.3 补集然后是“补集”。
补集有点意思，它就是原集合的“反面”。
比如，集合A是{1, 2, 3}，在全集U（假设全集是{1, 2, 3, 4, 5}）中，A的补集就是那些不在A中的元素。
也就是说，A的补集是{4, 5}。
就像你从整个果篮里挑出没有苹果的部分，那就是补集。
3. 集合的关系3.1 包含关系集合之间还有“包含关系”。
一个集合A包含在集合B里，意思是A里的所有元素都在B里面。
比如，A={1, 2}，B={1, 2, 3}，那么A就包含在B里，写作A⊆B。
就像你是一个大家庭的成员，你肯定也属于家庭的每个小分组。
高中数学(人教B版)必修第一册：集合的基本运算【精品课件】
可以表示为：
{(x，y) | y=0}∩{(x，y) | x=0}={(0,0)}.
从定义可以看出，A∩B表示由集合A，B按照指定的法则构造出
一个新集合，因此“交”可以看成集合之间的一种运算，通常称为
交集运算.
交集运算具有以下性质，对于任意两个集合A，B，都有：
sF=M，
sM=F.
例如，如果U={1，2，3，4，5，6}，A={1，3，5}，则
UA={2，4，6}.
注意，此时UA仍是U的一个子集，因此U（UA）也是有意
义的，此例中的U（UA）={1，3，5}=A.
事实上，给定全集U及其任意一个子集A，补集运算具有如下
性质：
A∪(UA)=U；
英语成绩低于70分的所有同学组成的集合为N，
需要去参加意见征求会的同学组成的集合为P，
可以看出，集合P中的元素，要么属于集合M，要么属于集合
N.
一般地，给定两个集合A，B，由这两个集合的所有元素组成的
集合，称为A与B的并集，记作A∪B，读作“A并B”.
两个集合的并集可用图（1）或（2）所示的阴影部分形象地表
可以看出，集合S 中的元素既属于集合P，又属于集合M.
一般地，给定两个集合A，B，由既属于A又属于B的所有元素
（即A和B的公共元素）组成的集合，称为A与B的交集，记作A∩B，
读作“A交B ”.两个集合的交集可用下图所示的阴影部分形象地表
示.
因此，上述情境与问题中的集合满足P∩M=S.
例如，{1，2，3，4，5}∩{3，4，5，6，8}={3，4，5}；
A∪B＝A，试求实数m的取值范围．
解析：∵A∪B＝A，∴B⊆A.
1.3 集合的基本运算第2课时课件高一上学期数学人教A版
∁UA=
.
➢ 合作探究 ——究其根本，把握核心
解析:(1)(方法一)∵A={1,3,5,7},∁UA={2,4,6}, ∴U={1,2,3,4,5,6,7}. 又∁UB={1,4,6},∴B={2,3,5,7}.
(方法二)满足题意的Venn图如图所示. 由图可知B={2,3,5,7}. (2)将全集U和集合A分别表示在数轴上,如图所示.
U AB
（1）
U AB
（2）
➢ 课堂小结
P13练习 1. 已知U={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}，A={2, 4, 5}，B={1, 3, 5, 7}，求A∩(∁UB)， (∁U A)∩(∁U B). 解：
2. 设S={x|x是平行四边形或梯形}，A={x|x是平行四边形}，B={x|x是菱形}， C={x|x是矩形}，求B∩C，∁SB，∁S A.
【例2】设全集U={x|x是三角形}，A={x|x是锐角三 角形}，B={x|x是钝角三角形}，求A∩B，∁U(A∪B).
解：根据三角形的分类可知 A∩B＝∅.
A∪B＝{x|x是锐角三角形或钝角三角形}， ∴ ∁U(A∪B)＝{x|x是直角三角形}．
➢ 合作探究 ——究其根本，把握核心
探究二：交集、并集与补集的混合运算
➢ 探究与发现
探究一：补集的简单运算
问题：A、∁UA、U三个集合之间的关系是什么？
①A⊆U； ②∁UA是一个集合，且∁UA⊆U； ③∁UA是由U中所有不属于A的元素构成的集合;
④∁UA∩A=∅,∁UA∪A=U
➢ 探究与发现
探究一：补集的简单运算
例1(1)已知全集为U,集合
A={1,3,5,7},∁UA={2,4,6},∁UB={1,4,6},则集合B= ; (2)已知全集U={x|x≤5},集合A={x|-3≤x<5},则
高中数学1-3集合的基本运算第2课时全集补集的运算课时作业新人教A版必修第一册
第2课时全集、补集的运算必备知识基础练1．[2022·北京怀柔高一期末]设全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{2，4，6}，那么∁U A＝( )A.{2} B．{3，5}C.{1，3，5} D．{1，4，6}2．已知集合U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{2，3，5}，N＝{4，5}，则∁U(M∪N)＝( )A.{2，3，4，5} B．{5}C.{1，6} D．{1，2，3，4，6}3．[2022·江苏无锡高一期末]已知全集U＝{1，2，3，4，5}，A＝{2，3}，B＝{1，3}，则∁U(A∩B)＝( )A.{3} B．{4，5}C.{1，2，4，5} D．{1，2，3，5}4．已知集合M＝{1，2，3}，N＝{3，4}，全集I＝{1，2，3，4，5}，则M∪(∁I N)＝( )A.{1，2，4} B．{1，2，3，5}C.{1，2，4，5} D．I5．[2022·山东菏泽高一期末]已知集合U＝{x∈N|0<x<8}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，则下列结论错误的是( )A.A∩B＝{3} B．A∪B＝{1，2，3，4，5，6}C.∁U A＝{4，5，6，7，8} D．∁U B＝{1，2，7}6．已知集合A＝{x|x>3}，B＝{x|x≥6}，则∁A B＝( )A.{x|x≤3} B．{x|3<x<6}C.{x|3≤x≤6} D．{x|x>6}7．已知全集U＝{0，1，2}，且∁U A＝{2}，则A＝________.8．已知全集U＝{1，2，3，4，5}，且A＝{2，3，4}，B＝{1，2}，则A∩(∁U B)＝________．关键能力综合练1．[2022·福建漳州高一期末]正确表示图中阴影部分的是( )A.(∁U A)∪B B．(∁U A)∪(∁U B)C.∁U(A∪B) D．∁U(A∩B)2．[2022·广东汕头高一期末]集合A＝{x|1<x<3}，集合B＝{x|x>4或x<2}，则集合A ∪(∁R B)＝( )A.R B．{x|2≤x<3}C.{x|1<x≤4} D．∅3．[2022·辽宁锦州高一期末]已知全集U＝R，A＝{x|x≤3}，B＝{x|x<－3}，则A∩(∁U B)＝( )A.{x|x＜－3}B.{x|－3<x<3}C.{x|－3≤x≤3}D.{x|x≤3}4．对于全集U的子集M，N，若M是N的真子集，则下列集合中必为空集的是( )A.(∁U M)∩N B．M∩(∁U N)C.(∁U M)∩(∁U N) D．M∩N5．[2022·广东东莞高一期末](多选)图中阴影部分的集合表示正确的是( )A.N∩(∁U M) B．M∩(∁U N)C.[∁U(M∩N)]∩N D．(∁U M)∩(∁U N)6．设集合A＝{x|1<x<4}，B＝{x|－1≤x≤3}，则A∩∁R B＝________．7．设全集U＝{2，3，a2＋2a－3}，A＝{2，3}，∁U A＝{5}，则a＝________．8．若U＝{n|n是小于9的正整数}，A＝{n∈U|n是奇数}，B＝{n∈U|n是3的倍数}，则(∁U A)∩(∁U B)＝________9．已知集合U＝{x|1≤x≤7}，A＝{x|2≤x<5}，B＝{x|3<x≤7}．(1)求A∩B；(2)求(∁U A)∪B.10．[2022·北京高一期末]已知集合A＝{x|－2<x<3}，B＝{x|3x≤a}．(1)求集合∁R A；(2)当a＝1时，求A∩B；(3)若B∪(∁R A)＝R，求a的取值范围．核心素养升级练1．集合A＝{1，2，4}，B＝{x|x2∈A}，将集合A，B分别用如图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为4的是( )2．设U＝R，集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2－(m＋1)x＋m＝0}，若(∁U A)∩B＝∅，则实数m＝________．3．[2022·山东济宁高一期末]已知全集为R，集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|x<m或x>2m ＋1，m>0}．(1)当m＝2时，求A∩B；(2)若A⊆∁R B，求实数m的取值范围．第2课时全集、补集的运算必备知识基础练1．答案：C解析：由全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{2，4，6}，所以∁U A＝{1，3，5}．2．答案：C解析：因为U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{2，3，5}，N＝{4，5}，所以M∪N＝{2，3，4，5}，所以∁U(M∪N)＝{1，6}．3．答案：C解析：A∩B＝{2，3}∩{1，3}＝{3}，又U＝{1，2，3，4，5}则∁U(A∩B)＝{1，2，4，5}．4．答案：B解析：由题意得∁I N＝{1，2，5}，所以M∪(∁I N)＝{1，2，3，5}．5．答案：C解析：因为集合U＝{x∈N|0<x<8}＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，所以A∩B＝{3}，A∪B＝{1，2，3，4，5，6}，∁U A＝{4，5，6，7}，∁U B＝{1，2，7}．6．答案：B解析：∵A＝{x|x>3}，B＝{x|x≥6}，∴∁A B＝{x|3<x<6}．7．答案：{0，1}解析：因为全集U＝{0，1，2}，且∁U A＝{2}，则A＝{0，1}．8．答案：{3，4}解析：全集U＝{1，2，3，4，5}，且A＝{2，3，4}，B＝{1，2}，则∁U B＝{3，4，5}，则A∩(∁U B)＝{3，4}．关键能力综合练1．答案：C解析：由题意图中阴影部分为：∁U(A∪B).2．答案：C解析：由题意，集合B＝{x|x>4或x<2}，可得∁R B＝{x|2≤x≤4}，又由A＝{x|1<x<3}，所以A∪(∁R B)＝{x|1<x≤4}．3．答案：C解析：由题意，∁U B＝{x|x≥－3}，所以A∩(∁U B)＝{x|－3≤x≤3}．4．答案：B解析：集合U ，M ，N 的关系如图，由图形看出，只有(∁U N )∩M 是空集．5．答案：AC解析：由已知阴影部分在集合N 中，而不在集合M 中，故阴影部分所表示的元素属于N ，不属于M (属于M 的补集)，即可表示为N ∩(∁U M )或[∁U (M ∩N )]∩N .6．答案：{x |3＜x ＜4}解析：因为B ＝{x |－1≤x ≤3}, 所以∁R B ＝{x |x <－1或x >3}，所以A ∩∁R B ＝{x |3<x <4}．7．答案：－4或2解析：因为U ＝{2，3，a 2＋2a －3}，A ＝{2，3}，所以∁U A ＝{a 2＋2a －3}，因为∁U A ＝{5}，所以a 2＋2a －3＝5，解得：a ＝2或－4，经检验，均符合要求．8．答案：{2，4，8}解析：∵U ＝{n |n 是小于9的正整数}，A ＝{n ∈U |n 是奇数}，B ＝{n ∈U |n 是3的倍数}， ∴U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，则A ＝{1，3，5，7}，B ＝{3，6}，∴∁U A ＝{2，4，6，8}，∁U B ＝{1，2，4，5，7，8}，∴(∁U A )∩(∁U B )＝{2，4，8}．9．解析：(1)由A ＝{x |2≤x <5}，B ＝{x |3<x ≤7}，得A ∩B ＝{x |3<x <5}；(2)由U ＝{x |1≤x ≤7}，A ＝{x |2≤x <5}，得∁U A ＝{x |1≤x <2或5≤x ≤7}， 故(∁U A )∪B ＝{x |1≤x <2或3<x ≤7}． 10．解析：(1)由题意，A ＝{x |－2<x <3}， 故∁R A ＝{x |x ≥3或x ≤－2}．(2)当a ＝1时，B ＝{x |3x ≤1}＝{x |x ≤13}， 故A ∩B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－2<x ≤13. (3)由(1)∁R A ＝{x |x ≥3或x ≤－2}，B ＝{x |3x ≤a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≤a 3， 若B ∪(∁R A )＝R ，则a 3≥3，解得a ≥9.核心素养升级练1．答案：C解析：因为A ＝{1，2，4}，B ＝{x |x 2∈A }，所以B ＝{－2，－2，－1，1，2，2}， 记U ＝A ∪B ＝{－2，－2，－1，1，2，2，4}，对于A 选项，其表示A ∩(∁U B )＝{4}，不满足；对于B 选项，其表示∁U (A ∩B )＝{－2，－2，－1，2，4}，不满足；对于C 选项，其表示(∁U A )∩B ＝{－2，－2，－1，2}，满足；对于D 选项，其表示A ∩B ＝{1，2}，不满足．2．答案：1或2解析：由题得集合A ＝{1，2}，当m ＝1时，B ＝{1}；当m ≠1时，B ＝{1，m }．所以当m ＝1时，(∁U A )∩B ＝∅，符合题意；当m ≠1时，(∁U A )∩B ＝∅，所以m ＝2.综合得m ＝1或m ＝2.3．解析：(1)当m ＝2时，B ＝{x |x <2或x >5}，又A ＝{x |1≤x ≤2}，所以A ∩B ＝{x |1≤x <2}；(2)因为B ＝{x |x <m 或x >2m ＋1，m >0}，所以∁R B ＝{x |m ≤x ≤2m ＋1}，又A ⊆∁R B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≤12≤2m ＋1，解得12≤m ≤1. 所以实数m 的取值范围12≤m ≤1.。
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妈妈感觉，孩子虽然已经这样了，可是这个男孩是不是有着某种爱好和天赋呢？一直报道这两母子的记者认为孩子那么喜欢画车，，并且总是过目不忘，于是他决定说服妈妈带着男孩到《帮助微力 量》栏目，希望让这穷困的家庭有一些经济来源，希望孩子真的是被鉴定有画画天赋的。于是，周四的晚上，他们走进了这个栏目，主持人在采访妈妈的同时，孩子被送到另一个房间拿起彩色画笔画着 汽车手，哽咽着说，大姐今年才48岁，可是手上却出现了老人斑。妈妈以前是个多么漂亮的女孩啊，可是现在，为了养育这个孩子，如今却得了精神衰弱。有一个秘密， 妈妈打算一辈子也不说出来。可是记者却觉得说出来能让孩子得到更多人的帮助。十几年前，有一位妙龄女孩在公园的河堤上散步，突然，她听见了断断续续的婴儿的哭声，寻着哭声音走去，发现在石 凳上有一个男婴。女孩四处打听孩子生母的下落，可是没人来认领。于是女孩和丈夫决定收养这个孩子。对这对没有生育能力的夫妇来说，这个男婴的从天而降是多么大的喜讯呀。可是到了孩子二三岁 的时候，他们发现这个孩子不会说话，不会走路，吃完了东西也是吐出来的。于是便去医院检查。医生诊断为自闭症。这无疑是晴天霹雳。妈妈没有放弃，还是用自己无限的爱心与耐心抚育着这个不正 常的孩子。有天，丈夫拿着公文包离开了家。没说去哪里。过了好几天，他也没有回来。妻子知道丈夫是永远也不会回来了。于是妻子向父母兄弟朋友求助，可是他们都觉得这孩子是一个觉得的负担， 坚决拒于门外。得不到任何人理解的妻子决定卖了房子，辞去工作，母子俩相依为命。一直，母亲都是独自抚养这可怜的孩子，一直寻医问药。这位少女就是上文提到的妈妈，这个孩子就是喜欢画车的 男孩。