2021年浙江省杭州市拱墅区中考4月数学试题
2021-2022学年浙江省杭州市拱墅区大关中学教育集团九年级(上)月考数学试卷-附答案详解
2021-2022学年浙江省杭州市拱墅区大关中学教育集团九年级（上）月考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.若ab =58，则b−aa等于()A. 35B. 53C. 85D. 582.二次函数y=(x+2)2−1的顶点是()A. (2,−1)B. (2,1)C. (−2,−1)D. (−2,1)3.在一个不透明的盒子中装有20个黄、白两种颜色的乒乓球，除颜色外其它都相同，小明进行了多次摸球实验，发现摸到白色乒乓球的频率稳定在0.2左右，由此可知盒子中黄色乒乓球的个数可能是()A. 2个B. 4个C. 18个D. 16个4.已知⊙O的半径为5，一条弦的弦心距为3，则此弦的长为()A. 6B. 4C. 8D. 15.若A(−4,y1)，B(−1,y2)，C(2,y3)为二次函数y=−(x+2)2+k的图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是()A. y1<y2<y3B. y3<y2<y1C. y3<y1<y2D. y2<y1<y36.如图，AB是半圆O的直径，∠BAC=20°，则∠D的度数是()A. 70°B. 100°C. 110°D. 120°7.如图，已知BD是⊙O的直径，BD⊥AC于点E，∠AOC=100°，则∠OCD的度数是()A. 20°B. 25°C. 30°D. 40°8.如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE//BD，且交AB于点E，GF//AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是()A. ABAE =AGADB. DFCF=DGADC. AEBE=CFDFD. FGAC=EGBD9.已知二次函数y=12(s−1)x2+(t−6)x+1(s≥0,t≥0)，当1≤x≤2时，y随x的增大而减小，则st的最大值为()A. 4B. 6C. 8D. 49410.如图，在△ABC中，∠B=90°，∠BDC=3∠ACD，AD=2，DB=1，则AC的值为()A. 1+√13B. 3√2C. 2+√5D. √19二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11.已知y=2x2−3x+1，当x=1时，函数值为______．12.一枚质地均匀的骰子，每个面标有的点数是1～6，抛掷骰子，点数是3的倍数的概率是______．13.一块直角三角板的30°角的顶点A落在⊙O上，两边分别交⊙O于B、C两点，若弦BC=1，则⊙O的半径为______．14.如图，在△ABC中，AB=5，D、E分别是边AC和AB上的点，且∠ADE=∠B，若AD⋅BC的值为10，则DE的长为______．15.如图，已知等边△ABC内接于⊙O，点M为AB⏜上任意一点(点M不与点A、点B重合)，连结MB、MO，取BC的中点D，取OM的中点E，连结DE，若∠OED=α，则∠MBC的度数为______.(用含α的代数式表示)16.如图，点E、F分别在矩形ABCD的边BC、CD上，DE与AF相交于点P.已知DF=6，AP=5√6.若将矩形ABCD沿AF折叠后，点D恰好与点E重合，则PF=______；△ABE的面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共66.0分）17.(1)已知a=4.5，b=2，c是a，b的比例中项，求c．(2)如图，C是AB的黄金分割点，且AC>BC，AB=4，求AC的长．18.已知二次函数y=x2−2x+a过点(1,1)．(1)求二次函数解析式；(2)把函数图象向下平移2个单位，得到的函数图象与x轴交于A，B两点，求线段AB的长．19.“双十一”购物日中不乏冲动消费者，某数学兴趣小组对消费行为进行调查．按购物数量x(件)分为以下4类：A(x≤3)，B(x=4)，C(x=5)，D(x≥6)，根据调查结果制作了两图统计图(不完整)，已知购买4件商品的消费者中，理性购物人数所占比例为80%．根据图中信息回答下列问题：(1)本次调查的总人数为______人；(2)补全条形统计图．(3)小张在“双十一”共购进7件商品，其中4件服装购自“天猫商城”，3件电子产品购自“京东商城”，由于冲动消费，小张决定从服装和电子产品中各随机选择1件进行退货，已知“天猫商城”购买的4件服装中仅1件支持退货，“京东商城”购买的电子产品中仅2件支持退货．请用列表或树状图的方法，求小张选出的2件商品均能退货的概率．20.某农场拟建一个梯形饲养场ABCD，其中AD，CD分别靠现有墙DM，DN，其余用新墙砌成，墙DM长为9米，墙DN足够长，两面墙形成的角度为135°，新墙DE将饲养场隔成△CDE和矩形ABED两部分．已知新建墙体总长为30米．设AB=x米，梯形饲养场ABCD的面积为S平方米．(1)求S关于x的函数表达式；(2)当x为何值时，饲料场ABCD的面积最大，并求出最大面积．21.如图，在四边形ABCD中，E是AD上的一点，EC//AB，EB//DC．(1)△ABE与△ECD相似吗？为什么？(2)设△ABE的边BE上的高为ℎ1，△ECD的边CD上的高为ℎ2，△ABE的面积为3，△ECD的面积为1．①求ℎ1的值；ℎ2②求△BCE的面积．22.已知二次函数y1=ax2−bx+c，y2=cx2−bx+a，这里a、b、c为常数，且a>0，c<0，a+c≠0．(1)若b=0，令y=y1+y2，求y的函数图象与x轴的交点数；(2)若x=x0时，y1=p，y2=q，若p>q，求x0的取值范围；(3)已知二次函数y1=ax2−bx+c的顶点是(−1,−4a)，且(m−1)a−b+c≤0，m为正整数，求m的值．23.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，以AB为直径的⊙O交AC于点D，点M是AB边上一点(点M不与点A，B重合)，DM的延长线交⊙O于点E，DN⊥DE，且交BC于点N，连结EB，MN．(1)求证：点D是AC的中点；(2)若∠EBA=30°，求∠NMB的度数；(3)若AM=2，MB=4，求DE的长．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵ab =58，∴设a=5k，b=8k，∴b−aa =8k−5k5k=35，故选：A．设a=5k，b=8k，再把a=5k，b=8k代入b−aa求出即可．本题考查了比例的性质，能选择适当的方法求解是解此题的关键，注意：如果ab =cd，那么ad=bc．2.【答案】C【解析】解：∵二次函数y=(x+2)2−1，∴该函数图象的顶点坐标为(−2,−1)，故选：C．根据题目中二次函数的顶点式，可以直接写出该函数的顶点坐标，本题得以解决．本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．3.【答案】D【解析】解：设袋中有黄球x个，由题意得20−x20=0.2，解得x=16．故选：D．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设出未知数列出方程求解．本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是利用黄球的概率公式列方程求解得到黄球的个数．4.【答案】C【解析】解：如图所示：连接OA，∵弦AB的弦心距OC=3，∴OC⊥AB，∴∠ACO=90°，由勾股定理得：AC=√OA2−OC2=√52−32=4，∵OC⊥AB，OC过圆心O，∴AC=BC=4，∴AB=4+4=8，故选：C．画出图形，连接OA，根据勾股定理求出AC，根据垂径定理求出AC=BC，再求出答案即可．本题考查了勾股定理和垂径定理，能熟记垂径定理是解此题的关键，注意：垂直于弦的直径平分这条弦．5.【答案】C【解析】解：∵抛物线y=−(x+2)2+k，∴抛物线的开口向下，对称轴是直线x=−2，∴当x>−2时，y随x的增大而减小，∵A(−4,y1)与点(0,y1)关于直线x=−2对称，且−2<−1<0<2，∴y3<y1<y2．故选：C．求得抛物线对称轴为直线x=−2，然后根据二次函数的对称性和增减性即可得到答案．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．6.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．连接BC，∠D是圆内接四边形ABCD的一个角，根据圆内接四边形的对角互补，只要求出∠B即可，根据AB是直径，则△ABC是直角三角形，根据内角和定理即可求解．【解答】解：连接BC，∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠BAC+∠ABC=90°，∵∠BAC=20°，∴∠ABC=90°−20°=70°，∵∠D+∠ABC=180°，∴∠D=180°−70°=110°，故选：C．7.【答案】B【解析】解：∵BD是⊙O的直径，BD⊥AC，∠AOC=100°，∠AOC=50°，∴∠BOC=12∠BOC=25°，则∠BDC=12∵OD=OC，∴∠OCD=∠BDC=25°．故选：B．∠AOC=50°，再根据圆周角定理可得答案．由垂径定理知∠BOC=12本题主要考查圆周角定理，解题的关键是掌握垂径定理及圆周角定理等知识点．8.【答案】C【解析】解：∵GE//BD ，GF//AC ，∴AE BE =AG DG ，AG DG =CF DF ， ∴AE BE =CF DF ．故选：C ．由GE//BD 、GF//AC 利用平行线分线段成比例，可得出AE BE =AG DG ，AG DG =CF DF ，进而可得出AE BE=CF DF ，此题得解． 本题考查了平行线分线段成比例，利用平行线分线段成比例，找出AE BE =AG DG ，AG DG =CF DF 是解题的关键．9.【答案】C【解析】解：抛物线y =12(s −1)x 2+(t −6)x +1，的对称轴为直线x =6−t s−1， ①当s >1时，抛物线开口向上，∵1≤x ≤2时，y 随x 的增大而减小，∴6−t s−1≥2，即2s +t ≤8．解得t ≤8−2s ，∴st ≤s(8−2s)，∵s(8−2s)=−2(s −2)2+8，∴st ≤8．②当0≤s <1时，抛物线开口向下，∵1≤x ≤2时，y 随x 的增大而减小，∴6−t s−1≤1，即s +t ≤7，解得s ≤7−t ，∴st ≤t(7−t)，t(7−t)=−(t −72)2+494， 当s =t =72时，st 有最大值494，∵0≤s <1，∴此情况不存在．综上所述，st 最大值为8．故选：C．由二次函数解析式求出对称轴直线方程，分类讨论抛物线开口向下及开口向上的s，t的取值范围，将st转化为含一个未知数的整式求最值．本题考查二次函数的性质及最值问题，解题关键是熟练掌握二次函数的性质，注意根据抛物线开口方向分类讨论．10.【答案】A【解析】解：延长BA至E，使AE=AC，连接CE，设AE=AC=a，∴∠E=∠ACE，∵∠CDB=∠CAD+∠ACD=2∠E+∠ACD=3∠ACD，∴∠ACD=∠E，∵∠CDA=∠EDC，∴△CDA∽△EDC，∴CD：ED=AD：CD，∴CD2=ED⋅AD=2(2+a)=4+2a，在Rt△CBD中，CB2=CD2−BD2，在Rt△ACB中，CB2=AC2−AB2，∴CD2−BD2=AC2−AB2，∴4+2a−1=a2−32，解得a1=1+√13，a2=1−√13(舍去)，∴AB=1+√13，故选：A．延长BA至E，使AE=AC，连接CE，设AE=AC=a，通过证明△CDA∽△EDC，列比例式可求得CD2=4+2a，利用勾股定理可得CD2−BD2=AC2−AB2，即可得关于a的方程，解方程可求解a值，即可求得AB的长．本题主要考查相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，利用勾股定理得关于a的方程是解题的关键．11.【答案】0【解析】解：y=2x2−3x+1，当x=1时，y=2×12−3×1+1=0．故答案为：0．根据函数值的求法，直接将x=1代入函数关系式得出即可．此题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题关键．12.【答案】13【解析】解：掷一次骰子，向上的一面出现的点数是3的倍数的有3，6，故骰子向上的一面出现的点数是3的倍数的概率是26=13．故答案为：13．共有6种等可能的结果数，其中点数是3的倍数有3和6，从而利用概率公式可求出向上的一面出现的点数是3的倍数的概率．本题考查了概率公式：随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．13.【答案】1【解析】解：连接OB、OC，如图，∵∠A与∠BOC都对BC⏜，∠A=30°，∴∠BOC=2∠A=60°，∵OB=OC，∴△OBC为等边三角形，∵BC=1，∴OB=BC=1，即⊙O的半径为1．故答案为：1．连接OB、OC，如图，先根据圆周角定理得到∠BOC=60°，则可判断△OBC为等边三角形，从而得到OB=1．本题考查了圆周角定理，判断△OBC为等边三角形是解决问题的关键．也考查了等边三角形的判定与性质．14.【答案】2【解析】解：∵∠ADE=∠B，∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC，∴ADAB =DEBC，即AD⋅BC=AB⋅DE，∵AB=5，AD⋅BC=10，∴DE=2．故答案为：2．根据题意，得∠ADE=∠B，∠A=∠A，可求证△ADE∽△ABC，可得ADAB =DEBC，即AD⋅BC=AB⋅DE，即可求解．本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形对应边长成比例是解决问题的关键．15.【答案】60°+α【解析】解：连接OD，并反向延长，如图，∵D为BC的中点，∴OD⊥BC．∵△ABC是等边三角形，∴DO的延长线经过点A．∵等边△ABC内接于⊙O，∴点O既是三角形的外心也是三角形的内心，∴OB平分∠ABC．∴∠OBC=1×60°=30°．2∵OD⊥BC，OB，∴OD=12∵点E是OM的中点，OM．∴OE=12∵OM=OB，∴OE=OD，∴∠ODE=∠OED=α．∴∠AOM=∠OED+∠ODE=2α．∠AOM，∵∠ABM=12∴∠ABM=α．∴∠MBC=∠ABM+∠ABC=α+60°．故答案为：60°+α．连接OD，并反向延长，利用垂径定理及其推论可得OD⊥BC，根据轴对称图形的性质可得DO的延长线经过点A；利用等边三角形的内心与外心重合，可得∠OBD=30°，利OB，利用已知条件可判定△OED为用30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得OD=12等腰三角形，利用三角形内角和定理的推论可得∠AOM=2α，利用圆周角定理可求∠ABM，结论可求．本题主要考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的性质，圆周角定理，特殊角的三角函数值，垂径定理及其推论，等腰三角形的判定与性质，连接OD，并反向延长，说明直线OD经过点A是解题的关键．16.【答案】√620√5【解析】解：由折叠可知，DP⊥AF，EF=DF，AE=AD，∵∠ADF=90°，∴∠FDP+∠ADP=90°，∠ADP+∠DAP=90°，∴∠FDP=∠DAP，∴△DFP∽△AFD，∴DFAF =FPDF，∵DF=6，AP=5√6，∴PF+5√6=PF6，∴PF=√6，∴AF=6√6，在Rt△ADF中，AD=√AF2−DF2=√(6√6)2−62=6√5，∴AD=AE=6√5，∵∠AEF=90°，∴∠AEB+∠EFC=90°，∠AEB+∠EAB=90°，∴∠EFC=∠EAB，∴△CEF∽△BAE，∴EFAE =CFBE，∵EF=6，∴EFAE =√5，∴BE=√5CF，在Rt△BAE中，AE2=AB2+BE2，∴(6√5)2=(6+CF)2+(√5CF)2，∴CF=4，∴AB=10，EB=4√5，∴S△AEB=12×AB×EB=12×10×4√5=20√5．故答案为：√6，20√5．先证明△DFP∽△AFD，可求PF=√6，AF=6√6，在Rt△ADF中，求出AD=6√5，再证△CEF∽△BAE，得到BE=√6CF，在Rt△BAE中，由勾股定理得(6√5)2=(6+ CF)2+(√5CF)2，求出CF=4，即可求AB=10，EB=4√5，所以S△AEB=12×AB×EB= 20√5．本题考查翻折变换，熟练掌握翻折变换的性质，掌握三角形相似的判定与性质，灵活应用勾股定理是解题的关键．17.【答案】解：(1)∵c是a，b的比例中项，∴c2=ab=4.5×2=9，∴c1=3，c2=−3，∴c为3或−3；(2)∵C是AB的黄金分割点，且AC>BC，AB=4，∴AC=√5−12AB=√5−12×4=2√5−2．【解析】(1)由c是a，b的比例中项，得到c2=ab，代入即可求出答案；(2)由黄金分割点的定义进行计算即可．本题考查了黄金分割点的概念以及比例中项，正确运用黄金比进行计算是解题的关键．18.【答案】解：(1)把(1,1)代入y=x2−2x+a得：1=1−2+a，解得a=2，∴二次函数解析式为y=x2−2x+2；(2)将函数y=x2−2x+2图象向下平移2个单位后所得函数为：y=x2−2x+2−2，即y=x2−2x，在y=x2−2x中，令y=0得x2−2x=0，解得x=0或x=2，∴A(0,0)、B(2,0)或B(0,0)、A(2,0)，∴AB=2．【解析】(1)把(1,1)代入y=x2−2x+a即可得答案；(2)将函数y=x2−2x+2图象向下平移2个单位后得y=x2−2x，可解得A(0,0)、B(2,0)或B(0,0)、A(2,0)，故AB=2．本题考查二次函数图象与x轴交点问题，涉及待定系数法，解题的关键是掌握二次函数相关性质及图象的平移．19.【答案】60【解析】解：(1)理性购物的总人数为12÷30%=40(人)，则B类理性购物人数为40×40%=16，∴B类购物人数为16÷80%=20(人)，本次调查的总人数为15+20+15+10=60(人)，故答案为：60；(2)补全条形统计图为：(3)用1、2、3、4表示购自“天猫商城的4件服装，且4为支持退货的服装；3件电子产品用5、6、7表示，且6、7为支持退货的电子产品，画树状图为：共有12种等可能的结果，其中小张选出的2件商品均能退货的结果有2种，∴小张选出的2件商品均能退货的概率=212=16．(1)由A类的理性购物人数除以它所占的百分比得到理性购物人数的总人数为40人，再由B类理性购物人数所占的百分比可计算出B类理性购物人数为16人，利用购买4件商品的消费者中，理性购物人数所占比例为80%可计算出B类购物人数，然后把四类购物人数相加即可得到本次调查的总人数即可；(2)补全条形统计图即可；(3)画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出2件商品均能退货的结果数，然后根据概率公式求解．本题考查了树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．也考查了统计图．20.【答案】解：(1)∵四边形ABED是矩形，∴AB=DE=x，∠ADE=∠DEC=90°，∵∠ADC=135°，∴∠EDC=∠DCE=45°，∴CE=DE=x，∴BE=30−3x，∴S=x(30−3x)+12x2=−52x2+30x；(2)∵30−3x≤9，∴x≥7，S=−52x2+30x=−52(x−6)2+90，∵当x>6时，S随x的增大而减小，∴当x=7时，S max=87.5，答：当x=7时，饲料场ABCD的面积最大，最大面积为87.5平方米．【解析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握矩形和等腰直角三角形的性质得出函数解析式和二次函数的性质是解题的关键．(1)根据矩形和等腰直角三角形的性质得出AB=DE=CE=x，AD=BE=30−3x，再由矩形和三角形的面积公式可得S关于x的函数解析式；(2)由墙DM长为9米得出x的取值范围，再将函数解析式配方成顶点式，根据二次函数的性质可得最值情况．21.【答案】解：(1)△ABE与△ECD相似，理由如下：∵EC//AB，∴∠A=∠CED，∵EB//DC，∴∠AEB=∠D，∴△ABE∽△ECD；(2)①由(1)得△ABE∽△ECD，∵△ABE的边BE上的高为ℎ1，△ECD的边CD上的高为ℎ2，△ABE的面积为3，△ECD的面积为1，∴(ℎ1ℎ2)2=31，∴ℎ1ℎ2=√3；②过E作EM⊥CD于M，过C作CN⊥BE于N，如图：∵EB//DC，EM⊥CD，CN⊥BE，∴EM=CN，∵△ABE∽△ECD，△ABE的面积为3，△ECD的面积为1，∴(BECD )2=31，∴BECD=√3，即BE=√3CD，∴S△BCES△ECD =12BE⋅CN12CD⋅EM=√3，∴S△BCE1=√3，∴S△BCE=√3．【解析】(1)根据EC//AB，EB//DC证明△ABE与△ECD的两对角对应相等即可；(2)①根据相似三角形面积比等于相似比的平方和相似三角形对应高的比等于相似比即可得到答案；②过E作EM⊥CD于M，过C作CN⊥BE于N，由EB//DC，EM⊥CD，CN⊥BE，得EM=CN，根据△ABE∽△ECD，△ABE的面积为3，△ECD的面积为1，可得BECD=√3，即可求出S△BCE=√3．本题考查相似三角形的判定及性质应用，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理和性质定理，并能熟练应用．22.【答案】解：(1)当b=0时，y=y1+y2=(a+c)x2+(a+c)，令y=0，则(a+c)x2+(a+c)=0，∵a+c≠0，∴x2+1=0，∵△=−4<0，∴方程x2+1=0没有实数根，即抛物线y=(a+c)x2+(a+c)与x轴没有交点；(2)∵a>0，c<0，a+c≠0，∴抛物线y1=ax2−bx+c的开口向上，抛物线y2=cx2−bx+a，开口向下，当x=1时，y1=a−b+c，y2=c−b+a，∴y1=y2，当x=−1时，y1=a+b+c，y2=c+b+a，∴y1=y2，当b<0时，如图1，若p>q，即y1>y2，则x<−1或x>1，即x0<−1或x0>1，当b≥0时，如图2，若p>q，即y1>y2，则x<−1或x>1，即x0<−1或x0>1，综上所述，若p>q，则x0的取值范围为x0<−1或x0>1；(3)∵二次函数y1=ax2−bx+c的顶点是(−1,−4a)，∴y1=ax2−bx+c=a(x+1)2−4a=ax2+2ax−3a，∴b=−2a，c=−3a，∵(m−1)a−b+c≤0，∴(m−1)a+2a−3a≤0，∴a(m−2)≤0，∵a>0，∴m−2≤0，∴m≤2，∴m的最大值为2．【解析】(1)根据题意可得：当b=0时，y=(a+c)x2+(a+c)，由于△=−4<0，可得抛物线y=(a+c)x2+(a+c)与x轴没有交点；(2)分两种情况：当b<0时，如图1，若m>n，则x0<−1或x0>1，当b≥0时，如图2，若m>n，则x0<−1或x0>1，即可得出答案；(3)根据二次函数y1=ax2−bx+c的顶点是(−1,−4a)，可得y1=ax2−bx+c=a(x+1)2+4a=ax2+2ax−3a，可得出a(m−2)≤0，运用不等式性质即可求得答案．本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数图象和性质，中心对称性质，抛物线与坐标轴交点情况，解不等式，熟练运用二次函数图象和性质、中心对称性质和不等式性质是解题关键．23.【答案】(1)证明：连接BD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴BD⊥AC，∵∠ABC=90°，AB=CB，∴AD=CD，∴点D是AC的中点；(2)解：∵∠EBA=30°，∴∠ADE=∠ABE=30°，∵DN⊥DE，∴∠MDN=∠ADB=90°，∴∠MDN−∠MDB=∠AD−∠MDB，即∠BDN=∠ADM=30°，∵∠A=∠DBN=45°，AD=BD，∴△ADM≌△BDN(ASA)，∴DM=DN，∴△MDN是等腰直角三角形，∴∠DMN=45°，∵∠MDN=90°，∠BDN=30°，∴∠BDM=60°，∴∠BMD=180°−∠BDM−∠MBD=180°−60°−45°=75°，∴∠BMN=30°；(3)解：∵△ADM≌△BDN，∴AM=BN，∵AM=2，∴BN=2．∴MN=√42+22=2√5，∵△MDN为等腰直角三角形，∠MDN=90°，∴DN=√22MN=√22×2√5=√10，∵∠E=∠A，∠EMB=∠AMD，∴△EMB∽△AMD，∴EMAM =MBMD，∴EM=√10=4√105，∴DE=EM+DM=4√105+√10=9√105．【解析】(1)连接BD，根据圆周角定理得到∠ADB=90°，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论；(2)根据圆周角定理得到∠ADE=∠ABE=30°，求得∠BDN=∠ADM=30°，根据全等三角形的性质得到DM=DN，求得∠DMN=45°，于是得到答案；(3)根据全等三角形的性质得到AM=BN，根据勾股定理得到MN=√42+22=2√5，根据相似三角形的性质即可得到结论．本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定和性质．。
2021年浙江省杭州市中考数学试卷(附答案详解)
2021年浙江省杭州市中考数学试卷(附答案详解)1.选择题1.将题目中的选项和答案都对齐，删除多余的换行符。
1.−(−2021)=()A。
−2021.B。
2021.C。
−2021.D。
20212.“奋斗者”号载人潜水器此前在马里亚纳海沟创造了米的我国载人深潜记录。
数据用科学记数法可表示为()A。
0.×105.B。
1.0909×104.C。
10.909×103.D。
109.09×1023.因式分解：1−4y2=()A。
(1−2y)(1+2y)。
B。
(2−y)(2+y)。
C。
(1−2y)(2+y)。
D。
(2−y)(1+2y)4.如图，设点P是直线l外一点，yy⊥y，垂足为点Q，点T是直线l上的一个动点，连结PT，则()A。
yy≥2yy。
B。
yy≤2yy。
C。
yy≥yy。
D。
yy≤yy5.下列计算正确的是()A。
√22=2.B。
√(−2)2=−2.C。
√22=±2.D。
√(−2)2=±26.某景点今年四月接待游客25万人次，五月接待游客60.5万人次。
设该景点今年四月到五月接待游客人次的增长率为y(y>0)，则()A。
60.5(1−y)=25.B。
25(1−y)=60.5.C。
60.5(1+y)=25.D。
25(1+y)=60.57.某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等。
某天甲、乙两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是()A。
5/1.B。
4/1.C。
3/1.D。
2/18.在“探索函数y=yy2+yy+y的系数a，b，c与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：y(0,2)，y(1,0)，y(3,1)，y(2,3)。
同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a的值最大为()A。
2/5.B。
2/3.C。
6/5.D。
2/19.已知线段AB，按如下步骤作图：①作射线AC，使yy⊥yy；②作∠yyy的平分线AD；③以点A为圆心，AB 长为半径作弧，交AD于点E；④过点E作yy⊥yy于点P，则AP：yy=()A。
2022年浙江省杭州市拱墅区中考4月数学试题(解析版)
A. 2B. 2 C. 3D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据三角形面积求法，得出△OCB与△ACB同底等高面积相等，再利用切线的性质得出∠COB＝60°，利用三角形的面积求出即可．
∴ ＝ ．
故选：C．
【点睛】此题考查勾股定理以及黄金分割的运用，正确掌握勾股定理是解题的关键．
二．填空题（满分24分，每小题4分）
11.（2020·杭州拱墅区模拟）因式分解：9a3b﹣ab＝_____．
【答案】ab（3a+1）（3a-1）．
【解析】
试题分析：原式提取公因式后，利用平方差公式分解即可．
4.（2020·杭州拱墅区模拟）某篮球运动员在连续7场比赛中的得分（单位：分）依次为23，22，20，20，20，25，18．则这组数据的众数与中位数分别是（）
A.20分，22.5分B.20分，18分
C.20分，22分D.20分，20分
【答案】D
【解析】
【分析】
众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指将一组数据按照大小顺序排列后位于中间的那个数或位于中间位置的两个数的平均数；据此进一步判断即可.
（2）根据（1）中的结果可以求得喜欢跳绳和乒乓球的人数，从而可以求得“乒乓球”所在扇形的圆心角的度数；
（3）根据（2）中计算出的喜爱跳绳和乒乓球的人数可以将条形统计图补充完整；
（4）根据统计图中的数据可以计算出七年级600名学生中喜欢“乒乓球”的人数有多少．
【详解】解：（1）这次调查活动中，一共调查了：40÷40%＝100名学生，
2021年浙江省杭州市中考数学模拟试卷(含答案解析)
2021年浙江省杭州市中考数学模拟试卷一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；1．（3分）计算下列各式，值最小的是（）A．2×0+1﹣9B．2+0×1﹣9C．2+0﹣1×9D．2+0+1﹣92．（3分）在平面直角坐标系中，点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，则（）A．m＝3，n＝2B．m＝﹣3，n＝2C．m＝2，n＝3D．m＝﹣2，n＝﹣3 3．（3分）如图，P为圆O外一点，P A，PB分别切圆O于A，B两点，若P A＝3，则PB＝（）A．2B．3C．4D．54．（3分）已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，设男生有x人，则（）A．2x+3（72﹣x）＝30B．3x+2（72﹣x）＝30C．2x+3（30﹣x）＝72D．3x+2（30﹣x）＝725．（3分）点点同学对数据26，36，46，5□，52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被黑水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（）A．平均数B．中位数C．方差D．标准差6．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，M为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AM交DE于点N，则（）A．ADAN =ANAEB．BDMN=MNCEC．DNBM=NEMCD．DNMC=NEBM7．（3分）在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（）A．必有一个内角等于30°B．必有一个内角等于45°C．必有一个内角等于60°D．必有一个内角等于90°8．（3分）已知一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a（a≠b），函数y1和y2的图象可能是（）A．B．C．D．9．（3分）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于（）A．a sin x+b sin x B．a cos x+b cos xC．a sin x+b cos x D．a cos x+b sin x10．（3分）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有M 个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（）A．M＝N﹣1或M＝N+1B．M＝N﹣1或M＝N+2C．M＝N或M＝N+1D．M＝N或M＝N﹣1二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分；11．（4分）因式分解：1﹣x2＝．12．（4分）某计算机程序第一次算得m个数据的平均数为x，第二次算得另外n个数据的平均数为y，则这m+n个数据的平均数等于．13．（4分）如图是一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度），已知其母线长为12cm，底面圆半径为3cm，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于cm2（结果精确到个位）．14．（4分）在直角三角形ABC中，若2AB＝AC，则cos C＝．15．（4分）某函数满足当自变量x＝1时，函数值y＝0，当自变量x＝0时，函数值y＝1，写出一个满足条件的函数表达式．16．（4分）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E，H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A′点，D点的对称点为D′点，若∠FPG＝90°，△A′EP的面积为4，△D′PH的面积为1，则矩形ABCD的面积等于．三、解答题：本小题7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（6分）化简：4xx2−4−2x−2−1圆圆的解答如下：4x x2−4−2x−2−1＝4x﹣2（x+2）﹣（x2﹣4）＝﹣x2+2x圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的答案．18．（8分）称量五筐水果的质量，若每筐以50千克为基准，超过基准部分的千克数记为正数，不足基准部分的千克数记为负数，甲组为实际称量读数，乙组为记录数据，并把所得数据整理成如下统计表和未完成的统计图（单位：千克）．实际称量读数和记录数据统计表序号数据12345甲组4852474954乙组﹣22﹣3﹣14（1）补充完成乙组数据的折线统计图．（2）①甲，乙两组数据的平均数分别为x甲，x乙，写出x甲与x乙之间的等量关系．②甲，乙两组数据的方差分别为S甲2，S乙2，比较S甲2与S乙2的大小，并说明理由．19．（8分）如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC．（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC＝2∠B．（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．若∠AQC ＝3∠B，求∠B的度数．20．（10分）方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t（单位：小时），行驶速度为v（单位：千米/小时），且全程速度限定为不超过120千米/小时．（1）求v关于t的函数表达式；（2）方方上午8点驾驶小汽车从A地出发．①方方需在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达B地，求小汽车行驶速度v的范围．②方方能否在当天11点30分前到达B地？说明理由．21．（10分）如图，已知正方形ABCD的边长为1，正方形CEFG的面积为S1，点E在DC 边上，点G在BC的延长线上，设以线段AD和DE为邻边的矩形的面积为S2，且S1＝S2．（1）求线段CE的长；（2）若点H为BC边的中点，连接HD，求证：HD＝HG．22．（12分）设二次函数y＝（x﹣x1）（x﹣x2）（x1，x2是实数）．（1）甲求得当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；乙求得当x=12时，y=−12．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x1，x2的代数式表示）．（3）已知二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点（m，n是实数），当0＜x1＜x2＜1时，求证：0＜mn＜1 16．23．（12分）如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O，OD⊥BC于点D，连接OA．（1）若∠BAC＝60°，①求证：OD=12OA．②当OA＝1时，求△ABC面积的最大值．（2）点E在线段OA上，OE＝OD，连接DE，设∠ABC＝m∠OED，∠ACB＝n∠OED （m，n是正数），若∠ABC＜∠ACB，求证：m﹣n+2＝0．参考答案与试题解析一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的；1．（3分）计算下列各式，值最小的是（）A．2×0+1﹣9B．2+0×1﹣9C．2+0﹣1×9D．2+0+1﹣9【解答】解：A.2×0+1﹣9＝﹣8，B．2+0×1﹣9＝﹣7C．2+0﹣1×9＝﹣7D．2+0+1﹣9＝﹣6，故选：A．2．（3分）在平面直角坐标系中，点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，则（）A．m＝3，n＝2B．m＝﹣3，n＝2C．m＝2，n＝3D．m＝﹣2，n＝﹣3【解答】解：∵点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，∴m＝﹣3，n＝2．故选：B．3．（3分）如图，P为圆O外一点，P A，PB分别切圆O于A，B两点，若P A＝3，则PB＝（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：连接OA、OB、OP，∵P A，PB分别切圆O于A，B两点，∴OA⊥P A，OB⊥PB，在Rt△AOP和Rt△BOP中，{OA=OBOP=OP，∴Rt△AOP≌Rt△BOP（HL），∴PB＝P A＝3，故选：B．4．（3分）已知九年级某班30位学生种树72棵，男生每人种3棵树，女生每人种2棵树，设男生有x人，则（）A．2x+3（72﹣x）＝30B．3x+2（72﹣x）＝30C．2x+3（30﹣x）＝72D．3x+2（30﹣x）＝72【解答】解：设男生有x人，则女生（30﹣x）人，根据题意可得：3x+2（30﹣x）＝72．故选：D．5．（3分）点点同学对数据26，36，46，5□，52进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被黑水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（）A．平均数B．中位数C．方差D．标准差【解答】解：这组数据的平均数、方差和标准差都与第4个数有关，而这组数据的中位数为46，与第4个数无关．故选：B．6．（3分）如图，在△ABC中，点D，E分别在AB和AC上，DE∥BC，M为BC边上一点（不与点B，C重合），连接AM交DE于点N，则（）A．ADAN =ANAEB．BDMN=MNCEC．DNBM=NEMCD．DNMC=NEBM【解答】解：∵DN∥BM，∴△ADN∽△ABM，∴DNBM =AN AM，∵NE∥MC，∴△ANE∽△AMC，∴NEMC =ANAM，∴DNBM =NE MC．故选：C．7．（3分）在△ABC中，若一个内角等于另外两个内角的差，则（）A．必有一个内角等于30°B．必有一个内角等于45°C．必有一个内角等于60°D．必有一个内角等于90°【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A＝∠C﹣∠B，∴2∠C＝180°，∴∠C＝90°，∴△ABC是直角三角形，故选：D．8．（3分）已知一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a（a≠b），函数y1和y2的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：A、由①可知：a＞0，b＞0．∴直线②经过一、二、三象限，故A正确；B、由①可知：a＜0，b＞0．∴直线②经过一、二、三象限，故B错误；C、由①可知：a＜0，b＞0．∴直线②经过一、二、四象限，交点不对，故C错误；D、由①可知：a＜0，b＜0，∴直线②经过二、三、四象限，故D错误．故选：A．9．（3分）如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边（OC⊥OB，点A，B，C，D，O在同一平面内），已知AB＝a，AD＝b，∠BCO＝x，则点A到OC的距离等于（）A．a sin x+b sin x B．a cos x+b cos xC．a sin x+b cos x D．a cos x+b sin x【解答】解：作AE⊥OC于点E，作AF⊥OB于点F，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∵∠ABC＝∠AEC，∠BCO＝x，∴∠EAB＝x，∴∠FBA＝x，∵AB＝a，AD＝b∴FO＝FB+BO＝a•cos x+b•sin x，故选：D．10．（3分）在平面直角坐标系中，已知a≠b，设函数y＝（x+a）（x+b）的图象与x轴有M 个交点，函数y＝（ax+1）（bx+1）的图象与x轴有N个交点，则（）A．M＝N﹣1或M＝N+1B．M＝N﹣1或M＝N+2C．M＝N或M＝N+1D．M＝N或M＝N﹣1【解答】解：∵y ＝（x +a ）（x +b ）＝x 2+（a +b ）x +1， ∴△＝（a +b ）2﹣4ab ＝（a ﹣b ）2＞0，∴函数y ＝（x +a ）（x +b ）的图象与x 轴有2个交点， ∴M ＝2，∵函数y ＝（ax +1）（bx +1）＝abx 2+（a +b ）x +1，∴当ab ≠0时，△＝（a +b ）2﹣4ab ＝（a ﹣b ）2＞0，函数y ＝（ax +1）（bx +1）的图象与x 轴有2个交点，即N ＝2，此时M ＝N ；当ab ＝0时，不妨令a ＝0，∵a ≠b ，∴b ≠0，函数y ＝（ax +1）（bx +1）＝bx +1为一次函数，与x 轴有一个交点，即N ＝1，此时M ＝N +1； 综上可知，M ＝N 或M ＝N +1． 故选：C ．二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分； 11．（4分）因式分解：1﹣x 2＝ （1﹣x ）（1+x ） ． 【解答】解：∵1﹣x 2＝（1﹣x ）（1+x ）， 故答案为：（1﹣x ）（1+x ）．12．（4分）某计算机程序第一次算得m 个数据的平均数为x ，第二次算得另外n 个数据的平均数为y ，则这m +n 个数据的平均数等于mx+ny m+n．【解答】解：∵某计算机程序第一次算得m 个数据的平均数为x ，第二次算得另外n 个数据的平均数为y ，则这m +n 个数据的平均数等于：mx+ny m+n．故答案为：mx+ny m+n．13．（4分）如图是一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度），已知其母线长为12cm ，底面圆半径为3cm ，则这个冰淇淋外壳的侧面积等于 113 cm 2（结果精确到个位）．【解答】解：这个冰淇淋外壳的侧面积=12×2π×3×12＝36π≈113（cm 2）． 故答案为113．14．（4分）在直角三角形ABC 中，若2AB ＝AC ，则cos C ＝√32或2√55． 【解答】解：若∠B ＝90°，设AB ＝x ，则AC ＝2x ，所以BC =√(2x)2−x 2=√3x ，所以cos C =BCAC =√3x2x =√32；若∠A ＝90°，设AB ＝x ，则AC ＝2x ，所以BC =√(2x)2+x 2=√5x ，所以cos C =ACBC =2x √5x=2√55；综上所述，cos C 的值为√32或2√55． 故答案为√32或2√55． 15．（4分）某函数满足当自变量x ＝1时，函数值y ＝0，当自变量x ＝0时，函数值y ＝1，写出一个满足条件的函数表达式 y ＝﹣x +1 ． 【解答】解：设该函数的解析式为y ＝kx +b ，∵函数满足当自变量x ＝1时，函数值y ＝0，当自变量x ＝0时，函数值y ＝1， ∴{k +b =0b =1 解得：{k =−1b =1，所以函数的解析式为y ＝﹣x +1， 故答案为：y ＝﹣x +1．16．（4分）如图，把某矩形纸片ABCD 沿EF ，GH 折叠（点E ，H 在AD 边上，点F ，G 在BC 边上），使点B 和点C 落在AD 边上同一点P 处，A 点的对称点为A ′点，D 点的对称点为D ′点，若∠FPG ＝90°，△A ′EP 的面积为4，△D ′PH 的面积为1，则矩形ABCD 的面积等于 2（5+3√5） ．【解答】解：∵四边形ABC 是矩形， ∴AB ＝CD ，AD ＝BC ，设AB ＝CD ＝x ， 由翻折可知：P A ′＝AB ＝x ，PD ′＝CD ＝x ，∵△A ′EP 的面积为4，△D ′PH 的面积为1， ∴A ′E ＝4D ′H ，设D ′H ＝a ，则A ′E ＝4a ， ∵△A ′EP ∽△D ′PH ， ∴D′H PA′=PD′EA′，∴a x=x 4a，∴x 2＝4a 2，∴x ＝2a 或﹣2a （舍弃）， ∴P A ′＝PD ′＝2a ， ∵12•a •2a ＝1，∴a ＝1， ∴x ＝2，∴AB ＝CD ＝2，PE =√22+42=2√5，PH =√12+22=√5， ∴AD ＝4+2√5+√5+1＝5+3√5， ∴矩形ABCD 的面积＝2（5+3√5）． 故答案为2（5+3√5）三、解答题：本小题7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（6分）化简：4x x 2−4−2x−2−1圆圆的解答如下：4x x 2−4−2x−2−1＝4x ﹣2（x +2）﹣（x 2﹣4）＝﹣x 2+2x圆圆的解答正确吗？如果不正确，写出正确的答案． 【解答】解：圆圆的解答错误， 正确解法：4x x 2−4−2x−2−1=4x(x−2)(x+2)−2(x+2)(x−2)(x+2)−(x−2)(x+2)(x−2)(x+2) =4x−2x−4−x 2+4(x−2)(x+2)=2x−x 2(x−2)(x+2) =−xx+2．18．（8分）称量五筐水果的质量，若每筐以50千克为基准，超过基准部分的千克数记为正数，不足基准部分的千克数记为负数，甲组为实际称量读数，乙组为记录数据，并把所得数据整理成如下统计表和未完成的统计图（单位：千克）．实际称量读数和记录数据统计表序号数据12345甲组4852474954乙组﹣22﹣3﹣14（1）补充完成乙组数据的折线统计图．（2）①甲，乙两组数据的平均数分别为x甲，x乙，写出x甲与x乙之间的等量关系．②甲，乙两组数据的方差分别为S甲2，S乙2，比较S甲2与S乙2的大小，并说明理由．【解答】解：（1）乙组数据的折线统计图如图所示：（2）①x甲=50+x乙．②S甲2＝S乙2．理由：∵S甲2=15[（48﹣50）2+（52﹣50）2+（47﹣50）2+（49﹣50）2+（54﹣50）2]＝6.8．S乙2=15[（﹣2﹣0）2+（2﹣0）2+（﹣3﹣0）2+（﹣1﹣0）2+（4﹣0）2]＝6.8，∴S甲2＝S乙2．19．（8分）如图，在△ABC中，AC＜AB＜BC．（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC＝2∠B．（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q，连接AQ．若∠AQC ＝3∠B，求∠B的度数．【解答】解：（1）证明：∵线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，∴P A＝PB，∴∠B＝∠BAP，∵∠APC ＝∠B +∠BAP ， ∴∠APC ＝2∠B ；（2）根据题意可知BA ＝BQ ， ∴∠BAQ ＝∠BQA ，∵∠AQC ＝3∠B ，∠AQC ＝∠B +∠BAQ ， ∴∠BQA ＝2∠B ，∵∠BAQ +∠BQA +∠B ＝180°， ∴5∠B ＝180°， ∴∠B ＝36°．20．（10分）方方驾驶小汽车匀速地从A 地行驶到B 地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间为t （单位：小时），行驶速度为v （单位：千米/小时），且全程速度限定为不超过120千米/小时．（1）求v 关于t 的函数表达式；（2）方方上午8点驾驶小汽车从A 地出发．①方方需在当天12点48分至14点（含12点48分和14点）间到达B 地，求小汽车行驶速度v 的范围．②方方能否在当天11点30分前到达B 地？说明理由．【解答】解：（1）∵vt ＝480，且全程速度限定为不超过120千米/小时， ∴v 关于t 的函数表达式为：v =480t ，（0≤t ≤4）． （2）①8点至12点48分时间长为245小时，8点至14点时间长为6小时将t ＝6代入v =480t 得v ＝80；将t =245代入v =480t 得v ＝100． ∴小汽车行驶速度v 的范围为：80≤v ≤100．②方方不能在当天11点30分前到达B 地．理由如下：8点至11点30分时间长为72小时，将t =72代入v =480t 得v =9607＞120千米/小时，超速了．故方方不能在当天11点30分前到达B 地．21．（10分）如图，已知正方形ABCD 的边长为1，正方形CEFG 的面积为S 1，点E 在DC边上，点G 在BC 的延长线上，设以线段AD 和DE 为邻边的矩形的面积为S 2，且S 1＝S 2．（1）求线段CE 的长；（2）若点H 为BC 边的中点，连接HD ，求证：HD ＝HG ．【解答】解：（1）设正方形CEFG 的边长为a ， ∵正方形ABCD 的边长为1， ∴DE ＝1﹣a ， ∵S 1＝S 2，∴a 2＝1×（1﹣a ），解得，a 1=−√52−12（舍去），a 2=√52−12， 即线段CE 的长是√52−12； （2）证明：∵点H 为BC 边的中点，BC ＝1， ∴CH ＝0.5，∴DH =√12+0．52=√52， ∵CH ＝0.5，CG =√52−12， ∴HG =√52， ∴HD ＝HG ．22．（12分）设二次函数y ＝（x ﹣x 1）（x ﹣x 2）（x 1，x 2是实数）．（1）甲求得当x ＝0时，y ＝0；当x ＝1时，y ＝0；乙求得当x =12时，y =−12．若甲求得的结果都正确，你认为乙求得的结果正确吗？说明理由．（2）写出二次函数图象的对称轴，并求该函数的最小值（用含x 1，x 2的代数式表示）． （3）已知二次函数的图象经过（0，m ）和（1，n ）两点（m ，n 是实数），当0＜x 1＜x 2＜1时，求证：0＜mn ＜116．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝0；当x＝1时，y＝0；∴二次函数经过点（0，0），（1，0），∴x1＝0，x2＝1，∴y═x（x﹣1）＝x2﹣x，当x=12时，y=−14，∴乙说点的不对；（2）对称轴为x=x1+x2 2，当x=x1+x22时，y=−(x1−x2)24是函数的最小值；（3）二次函数的图象经过（0，m）和（1，n）两点，∴m＝x1x2，n＝1﹣x1﹣x2+x1x2，∴mn＝[−(x1−12)2+14][−(x2−12)2+14]∵0＜x1＜x2＜1，∴0≤−(x1−12)2+14≤14，0≤−(x2−12)2+14≤14，∴0＜mn＜1 16．23．（12分）如图，已知锐角三角形ABC内接于圆O，OD⊥BC于点D，连接OA．（1）若∠BAC＝60°，①求证：OD=12OA．②当OA＝1时，求△ABC面积的最大值．（2）点E在线段OA上，OE＝OD，连接DE，设∠ABC＝m∠OED，∠ACB＝n∠OED （m，n是正数），若∠ABC＜∠ACB，求证：m﹣n+2＝0．【解答】解：（1）①连接OB、OC，则∠BOD=12BOC＝∠BAC＝60°，∴∠OBC＝30°，∴OD=12OB=12OA；②∵BC长度为定值，∴△ABC面积的最大值，要求BC边上的高最大，当AD过点O时，AD最大，即：AD＝AO+OD=3 2，△ABC面积的最大值=12×BC×AD=12×2OB sin60°×32=3√34；（2）如图2，连接OC，设：∠OED＝x，则∠ABC＝mx，∠ACB＝nx，则∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣mx﹣nx=12∠BOC＝∠DOC，∵∠AOC＝2∠ABC＝2mx，∴∠AOD＝∠COD+∠AOC＝180°﹣mx﹣nx+2mx＝180°+mx﹣nx，∵OE＝OD，∴∠AOD＝180°﹣2x，即：180°+mx﹣nx＝180°﹣2x，化简得：m﹣n+2＝0．。
2020-2021学年浙江省杭州市中考数学模拟卷2(原卷版+解析)(1)
2020-2021学年浙江省杭州市中考数学模拟卷2学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题(本题有10小题，每小题4分,共40分每小题只有一个选项是正确的,不选、多选、错选,均不给分)1．（2019·浙江杭州市·九年级其他模拟）已知实数a ，b ，c 在数轴上的对应点位置如右图所示，则（ ）A ．1a <B ．11b >-C ．0a c +>D ．0a b +< 2．（2020·浙江杭州市·九年级期末）2016年国庆长假，杭州共接待游客1578.18万人次，用科学计数法表示1578.18万是（ ）A ．51.5781810⨯B ．61.5781810⨯C ．71.5781810⨯D ．81.5781810⨯ 3．（2018·浙江杭州市·九年级期末）已知：如图，点D 是等腰直角△ABC 的重心，其中△ACB=90°，将线段CD 绕点C 逆时针旋转90°得到线段CE ，连结DE ，若△ABC 的周长为6，则△DCE 的周长为（ ）A ．B ．C ．4D ．4．（2020·浙江杭州市·九年级期末）在样本方差的计算()()()22221210120202010S x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦…中，数学10与20分别表示样本的（ ）A ．样本容量，平均数B ．平均数，样本容量C ．样本容量，方差D ．标准差，平均数5．（2019·浙江杭州市·九年级其他模拟）下列计算正确的是（ ）A ．()()222222a b a b a b +-=-B ．()222a b a b -=- C ．()()22a b a b b a ---=- D ．()222222a b a ab b +=++6．（2019·杭州绿城育华学校中考模拟）关于x 、y 的二元一次方程组59x y k x y k +=⎧⎨-=⎩的解也是二元一次方程236x y +=的解，则k 的值是（ ）． A ．34k =- B ．34k = C ．43k = D ．43k =- 7．（2020·浙江杭州市·九年级期末）在ABC 中，10AB AC ==，72ABC ∠=︒，ABC ∠的角平分线交AC 于点D ，则CD 的长为（ ）A ．5B ．5-C ．15-D ．18．（2018·浙江杭州市·中考模拟）方程2269311x x x x x -+----=0的解的个数为（ ） A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 9．（2020·浙江杭州市·九年级期末）抛物线22y x x =+-与x 轴交于A 、B 两点，A 点在B 点左侧，与y 轴交于点C ．若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上，且以A 、C 、E 、P 为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点E 有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 10．（2019·浙江杭州市·九年级期末）如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，G 是弧BC 上任意一点，线段AG 与DC 交于点F ，连接,,AD GD CG ．若15,AG AF CD ⋅==O 的直径为（ ）A．4B．C D．二、填空题(本题有6小题,每小题5分,共30分)11．（2019·宁波市第二中学中考模拟）分解因式：24-＝____________．a a12．（2020·浙江杭州市·九年级期末）有意义，则x的取值范围是____________ 13．（2020·浙江杭州市·九年级期末）一个布袋里有3个只有颜色不同的球，其中2个红球，1个白球．从布袋里摸出1个球不放回，再摸出1个球，摸出的2个球都是红球的概率是____．14．（2019·浙江杭州市·九年级其他模拟）如图，正ABC内接于圆，将AB沿AB折叠，AC沿AC折叠．若该圆的半径为_________．15．（2019·浙江杭州市·九年级其他模拟）如图，在正方形ABCD中，有面积为4的正、、、分别在边方形EFGH和面积为2的正方形PQMN、点E F P QAB BC CD AD、在边HG上，且组成的图形为轴对称图形，则正、、、上，点M N方形ABCD的面积为__________．16．（2020·浙江杭州市·九年级期末）如图，已知反比例函数y＝﹣1x的图象与直线y＝kx（k＜0）相交于点A、B，以AB为底作等腰三角形，使△ACB＝120°，且点C的位置随着k的不同取值而发生变化，但点C始终在某一函数图象上，则这个图象所对应的函数解析式为__．三、解答题(本题有8小题,共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）17．（2016·浙江杭州市·九年级期末）某中学为了预测本校九年级女生“一分钟跳绳”项目考试情况，从九年级随机抽取部分女生进行该项目测试，并以测试数据为样本，绘制出如图所示的部分频数分布直方图（从左到右依次分为第一小组，第二小组…第六小组，每小组含最小值不含最大值）和扇形统计图．根据统计图提供的信息解答下列问题：（1）补全频数分布直方图；（2）这个样本数据的中位数落在第小组，组距是；（3）若测试九年级女生“一分钟跳绳”次数不低于130次的成绩为优秀，本校九年级女生共有550人，请估计该校九年级女生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数．18．（2021·浙江杭州市·九年级期末）已知二次函数()()1y x m x =+-的图象经过点()2,3-．（1）求这个二次函数的表达式．（2）画出这个函数的图象，并利用图象解决下列问题：△直接写出方程()()13x m x +-=-的解．△当x 满足什么条件时，0y >．19．（2020·浙江杭州市·九年级期末）如图，正方形ABCD 和正方形AEFG 有公共点A ，点B 在线段DG 上，（1）判断DG 与BE 的位置关系，并说明理由；（2）若正方形ABCD 的边长为2，正方形AEFG 的边长为BE 的长．20．（2020·浙江杭州市·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，直线AB分别交x 轴正半轴、y 轴负半轴于点B ，A ，与反比例函数的图象交于点C ，D ，CE x ⊥轴与点E ．cos 5ABO ∠=，AB =1OE =．（1）求直线AB 和反比例函数的解析式；（2）求tan OCD ∠的值．21．（2019·浙江杭州市·九年级期末）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，以BC 为直径的O 交AB 于点D ，过点D 作ADE A ∠=∠，交AC 于点E ．（1）求证：DE 是O 的切线； （2）若315,tan 4BC A ==，求DE 的长．22．（2019·浙江杭州市·九年级其他模拟）如图，已知一个三角形纸片,ABC BC 边的长为8，BC 边上的高为6，B 和C ∠都为锐角，M 为AB 一动点（点M 与点A 、B 不重合），过点M 作//MN BC ，交AC 于点N ，在AMN 中，设MN 的长为x ，MN 上的高为h ．（1）请你用含x 的代数式表示h ．（2）将AMN 沿MN 折叠，使AMN 落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面的点为1A ，1AMN与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？23．（2020·浙江杭州市·九年级其他模拟）如图1，在矩形ABCD中，点E以lcm/s的速度从点A向点D运动，运动时间为t（s），连结BE，过点E作EF△BE，交CD于F，以EF为直径作△O．（1）求证：△1=△2；（2）如图2，连结BF，交△O于点G，并连结EG．已知AB=4，AD=6．△用含t的代数式表示DF的长△连结DG，若△EGD是以EG为腰的等腰三角形，求t的值；（3）连结OC，当tan△BFC=3时，恰有OC△EG，请直接写出tan△ABE的值．2020-2021学年浙江省杭州市中考数学模拟卷2学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题(本题有10小题，每小题4分,共40分每小题只有一个选项是正确的,不选、多选、错选,均不给分)1．（2019·浙江杭州市·九年级其他模拟）已知实数a，b，c在数轴上的对应点位置如右图所示，则（）A ．1a <B ．11b >-C ．0a c +>D ．0a b +<【答案】D解：由图可知： -2＜a ＜-1＜b ＜0＜c ＜1，A 、1a >，故错误，不符合题意；B 、11b<-，故错误，不符合题意； C 、0a c +<，故错误，不符合题意；D 、0a b +<，故正确，符合题意；故选D ．2．（2020·浙江杭州市·九年级期末）2016年国庆长假，杭州共接待游客1578.18万人次，用科学计数法表示1578.18万是（ ）A ．51.5781810⨯B ．61.5781810⨯C ．71.5781810⨯D ．81.5781810⨯【答案】C解：1578.18万=1.57818×107．故选：C ．3．（2018·浙江杭州市·九年级期末）已知：如图，点D 是等腰直角△ABC 的重心，其中△ACB=90°，将线段CD 绕点C 逆时针旋转90°得到线段CE ，连结DE ，若△ABC 的周长为6，则△DCE 的周长为（ ）A ．B ．C ．4D ．【答案】A解：延长CD 交AB 于F ．如图，∵点D 是等腰直角∵ABC 的重心，∵CF 平分AB ，CD=2DF ，∵CF=12AB=12•，∵CD=23CF=3CA ， ∵线段CD 绕点C 逆时针旋转90°得到线段CE ，∵CD=CE ，∵DCE=90°，∵∵CDE 为等腰直角三角形，∵∵CDE∵∵CAB ，∵∵CDE 的周长：∵CAB 的周长=CD ：， ∵∵CDE 的周长=23×6=2．故选A ．4．（2020·浙江杭州市·九年级期末）在样本方差的计算()()()22221210120202010S x x x ⎡⎤=-+-++-⎣⎦…中，数学10与20分别表示样本的（ ）A ．样本容量，平均数B ．平均数，样本容量C ．样本容量，方差D ．标准差，平均数【答案】A 解：222212101[(20)(20)(20)]10S x x x =-+-+⋯+-， 所以样本容量是10，平均数是20．故选：A ．5．（2019·浙江杭州市·九年级其他模拟）下列计算正确的是（ ）A ．()()222222a b a b a b +-=-B ．()222a b a b -=- C ．()()22a b a b b a ---=- D ．()222222a b a ab b +=++ 【答案】C解：A 、()()2222232a b a b a ab b +-=+-，故错误，不符合题意； B 、()2222a b a ab b -=-+，故错误，不符合题意；C 、()()22a b a b b a ---=-，故正确，符合题意；D 、()222244a b a ab b +=++，故错误，不符合题意；故选C ． 6．（2019·杭州绿城育华学校中考模拟）关于x 、y 的二元一次方程组59x y k x y k +=⎧⎨-=⎩的解也是二元一次方程236x y +=的解，则k 的值是（ ）． A ．34k =- B ．34k = C ．43k = D ．43k =- 【答案】B解：59①②+=⎧⎨-=⎩x y k x y k ， ∵+∵得：2=14x k ，即=7x k ，把=7x k 代入∵得：75k y k +=，解得：2y k =-，则方程组的解为：=72⎧⎨=-⎩x k y k ， 把=72⎧⎨=-⎩x k y k 代入二元一次方程236x y +=中得： ()27326⨯+⨯-=k k ， 解得：34k =， 故选B.7．（2020·浙江杭州市·九年级期末）在ABC 中，10AB AC ==，72ABC ∠=︒，ABC ∠的角平分线交AC 于点D ，则CD 的长为（ ）A ．5B．5- C．15-D．1【答案】C解：如图，∵AB=AC ，∵ABC=72°，∵∵C=72°，∵∵A=180°-2×72°=36°，∵BD 平分∵ABC ，∵∵ABD=∵CBD=36°，∵AD=BD ，∵BDC=72°，∵BC=BD ，在∵ABC 和∵BCD 中，∵A=∵CBD ，∵ABC=∵C ，∵∵ABC∵∵BCD ，∵AB BC BC CD=， 设CD=x ，则BD=AD=BC=10-x ， ∵101010x x x-=-，解得：x=15+15-故选C ．8．（2018·浙江杭州市·中考模拟）方程2269311x x x x x -+----=0的解的个数为（ ） A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】D解：去分母得：（x -3）2（x+1）+（x -3）=0，分解因式得：（x -3）[（x -3）（x+1）+1]=0，可得x -3=0或x 2-2x -2=0，解得：x=3或经检验x=3与则分式方程的解的个数为3个，故选：D ．9．（2020·浙江杭州市·九年级期末）抛物线22y x x =+-与x 轴交于A 、B 两点，A 点在B 点左侧，与y 轴交于点C ．若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上，且以A 、C 、E 、P为顶点的四边形是平行四边形，则符合条件的点E有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D解：由图象可知，满足条件的A、C、E、P为顶点的四边形是平行四边形有四个，故选：D．⊥于点E，10．（2019·浙江杭州市·九年级期末）如图，AB是O的直径，弦CD ABAD GD CG．若G是弧BC上任意一点，线段AG与DC交于点F，连接,,⋅==O的直径为（）15,AG AF CDA．4B．C D．【答案】C解：连接AC, BD弦CD AB ⊥于点E∴ AC=AD, 12DE CD ==∴=ACD ∠∠AGC=CAF ∠∠CAG∴ ∵ACF∵∵AGC ∴AC AF AG AC= ∴AC 2=15AG AF ⋅=∵ADE 是直角三角形，∵AED ＝90°，∴AE ===,=∠BAD ∠DAE ,∵AED ＝∵AD B=90°∴∵ADE∵∵ABD=AD AE AB AD,2AD AB AE =⋅22AD AB AE === 故答案选：C二、填空题(本题有6小题,每小题5分,共30分)11．（2019·宁波市第二中学中考模拟）分解因式：24a a -＝____________．【答案】a (a －4)解：()24=4a a a a --12．（2020·浙江杭州市·九年级期末）有意义，则x 的取值范围是____________【答案】1x ≥-有意义，则x+1≥0，解得：x≥-1．故答案为：x≥-1．13．（2020·浙江杭州市·九年级期末）一个布袋里有3个只有颜色不同的球，其中2个红球，1个白球．从布袋里摸出1个球不放回，再摸出1个球，摸出的2个球都是红球的概率是____． 【答案】13解：画树状图如下：，一共6种可能，两次都摸到红球的有2种情况，∵摸出的2个球都是红球的概率是21=63故答案为：13． 14．（2019·浙江杭州市·九年级其他模拟）如图，正ABC 内接于圆，将AB 沿AB 折叠，AC 沿AC 折叠．若该圆的半径为_________．【答案】解：∵∵ABC 为正三角形，∵AB 和AC 折叠后交于外接圆圆心O ，∵阴影部分面积为∵BOC 的面积，过O 作OD∵BC ，垂足为D ，∵∵BOC=120°，∵∵OBC=∵OCB=30°，∵OD=12∵S 阴影=12⨯，故答案为：15．（2019·浙江杭州市·九年级其他模拟）如图，在正方形ABCD 中，有面积为4的正方形EFGH 和面积为2的正方形PQMN 、点E F P Q 、、、分别在边AB BC CD AD 、、、上，点M N 、在边HG 上，且组成的图形为轴对称图形，则正方形ABCD 的面积为__________．【答案】274解：如图，连接BD ，交PQ 于R ，交HG 于S ，交EF 于K ，正方形ABCD 中，有面积为4的正方形EFGH 和面积为2的正方形PQMN ，2EH EF ∴==，MQ QP == 又组成的图形为轴对称图形，BD ∴为对称轴，BEF ∴∆、DPQ ∆为等腰直角三角形，四边形EKSH 、四边形MSRQ 为矩形，112EK BK EF ∴===，12DR QR PQ ==2KN EH ==，RS MQ =123BD ∴=++，∴正方形ABCD 的面积221127(3224BD ==⨯+=故答案为：27416．（2020·浙江杭州市·九年级期末）如图，已知反比例函数y ＝﹣1x的图象与直线y ＝kx （k ＜0）相交于点A 、B ，以AB 为底作等腰三角形，使△ACB ＝120°，且点C 的位置随着k 的不同取值而发生变化，但点C 始终在某一函数图象上，则这个图象所对应的函数解析式为__．【答案】y ＝13x解：连接CO ，过点A 作AD ∵x 轴于点D ，过点C 作CE ∵x 轴于点E ，∵反比例函数y ＝1x-的图象与直线y ＝kx （k ＜0）相交于点A 、B ，∵ABC 是以AB 为底作的等腰三角形，∵ACB ＝120°，∵CO ∵AB ，∵CAB ＝30°，则∵AOD +∵COE ＝90°，∵∵DAO +∵AOD ＝90°，∵∵DAO ＝∵COE ，又∵∵ADO ＝∵CEO ＝90°，∵∵AOD ∵∵OCE ， ∵AD OD OA EO CE OC==＝tan60°∵23AOD OCES S ∆∆==∵点A是双曲线y＝1x-在第二象限分支上的一个动点，∵S∵AOD＝12xy⨯＝12∵S∵OCE＝16，即12×OE×CE＝16，∵OE×CE＝13，∵这个图象所对应的函数解析式为y＝13x．故答案为：y＝13x．三、解答题(本题有8小题,共80分.解答需写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）17．（2016·浙江杭州市·九年级期末）某中学为了预测本校九年级女生“一分钟跳绳”项目考试情况，从九年级随机抽取部分女生进行该项目测试，并以测试数据为样本，绘制出如图所示的部分频数分布直方图（从左到右依次分为第一小组，第二小组…第六小组，每小组含最小值不含最大值）和扇形统计图．根据统计图提供的信息解答下列问题：（1）补全频数分布直方图；（2）这个样本数据的中位数落在第小组，组距是；（3）若测试九年级女生“一分钟跳绳”次数不低于130次的成绩为优秀，本校九年级女生共有550人，请估计该校九年级女生“一分钟跳绳”成绩为优秀的人数．【答案】（1）见解析；（2）三，20．（3）该校九年级女生跳绳成绩优秀的人数为231人．解：（1）10÷20%=50，50﹣38=12（人）．频数分布直方图如下，（2）中位数在第三小组，组距是20．故答案分别为三，20．（3）（12+5+4）÷50=42% 550×42%=231（人），答：该校九年级女生跳绳成绩优秀的人数为231人．18．（2021·浙江杭州市·九年级期末）已知二次函数()()1y x m x =+-的图象经过点()2,3-．（1）求这个二次函数的表达式．（2）画出这个函数的图象，并利用图象解决下列问题：△直接写出方程()()13x m x +-=-的解．△当x 满足什么条件时，0y >．【答案】（1）()()51y x x =--；（2）∵12x =，24x =；∵1x <或5x > 解：（1）∵二次函数()()1y x m x =+-的图象经过点()2,3-，∵()()2213m +-=-，解得5m =-，∵()()51y x x =--；（2）由五点法可得如图所示：∵由图像可得：方程23x bx c ++=-的解是12x =，24x =；∵由图象可得，当0y >时，1x <或5x >．19．（2020·浙江杭州市·九年级期末）如图，正方形ABCD 和正方形AEFG 有公共点A ，点B 在线段DG 上，（1）判断DG 与BE 的位置关系，并说明理由；（2）若正方形ABCD 的边长为2，正方形AEFG的边长为BE 的长．【答案】（1）DG BE ⊥，理由见解析；（2+解：（1）DG BE ⊥， 理由如下：四边形ABCD ，四边形AEFG 是正方形，AB AD ∴=，DAB GAE ∠=∠，AE AG =，45ADB ABD ∠=∠=︒，DAG BAE ∴∠=∠，在DAG △和BAE △中，AD AB DAG BAE AG AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DAG BAE SAS ∴≅△△．DG BE ∴=，45ADG ABE ∠=∠=︒，90ABD ABE ∴∠+∠=︒，即90GBE ∠=︒．DG BE ∴⊥；（2）连接GE ，正方形ABCD 的边长为2，正方形AEFG的边长为BD ∴=，4GE =，设BE x =，则BG x =-在Rt BGE △中，利用勾股定理可得：222(4x x +-=，x ∴=BE ∴20．（2020·浙江杭州市·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，直线AB分别交x 轴正半轴、y 轴负半轴于点B ，A ，与反比例函数的图象交于点C ，D ，CE x ⊥轴与点E．cos ABO ∠=，AB =1OE =．（1）求直线AB 和反比例函数的解析式；（2）求tan OCD ∠的值．【答案】（1）112y x =-，32y x =；（2）47解：（1），∵OB=2，根据勾股定理得：OA=1，∵点B （2，0），点A （0，-1），设直线AB 的表达式为y=kx+b ，则021k b b =+⎧⎨-=⎩，解得：121k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∵直线AB ：112y x =-， ∵OE=1， ∵点C 的横坐标为-1，代入直线AB 表达式，得，y=32-， ∵点C 的坐标为（-1，32-）， -1×（32-）=32， ∵反比例函数表达式为：32y x=； （2）过点O 作AB 边上的高OF ，∵AB×OF=OA×OB ，， ∵OE=1，CE=32，2，10， ∵tan∵OCD=47OF FC =．21．（2019·浙江杭州市·九年级期末）如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，以BC 为直径的O 交AB 于点D ，过点D 作ADE A ∠=∠，交AC 于点E ．（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若315,tan 4BC A ==，求DE 的长．【答案】（1）见解析；（2）10解：（1）证明：连接OD ，如图，∵90C ∠=︒，∵90A B ∠+∠=︒，∵OB OD =，∵B ODB ∠=∠，而ADE A ∠=∠，∵90ADE ODB ∠+∠=︒，∵90ODE ∠=︒，∵OD DE ⊥，∵DE 是O 的切线；（2）解：在Rt ABC 中，3tan 4BC A AC ==，∵415203AC =⨯=， ∵ED 和EC 为O 的切线，∵ED DC =，而ADE A ∠=∠，∵DE AE =， ∵1102AE CE DE AC ====， 即DE 的长为10．22．（2019·浙江杭州市·九年级其他模拟）如图，已知一个三角形纸片,ABC BC 边的长为8，BC 边上的高为6，B 和C ∠都为锐角，M 为AB 一动点（点M 与点A 、B 不重合），过点M 作//MN BC ，交AC 于点N ，在AMN 中，设MN 的长为x ，MN 上的高为h ．（1）请你用含x 的代数式表示h ．（2）将AMN 沿MN 折叠，使AMN 落在四边形BCNM 所在平面，设点A 落在平面的点为1A ，1AMN与四边形BCNM 重叠部分的面积为y ，当x 为何值时，y 最大，最大值为多少？【答案】（1）34x h =；（2）x=163时，y 值最大为8． 解：（1）∵MN∵BC∵∵AMN∵∵ABC ∵68h x = ∵34x h =．（2）∵∵AMN∵∵A 1MN∵∵A 1MN 的边MN 上的高为h∵当点A 1落在四边形BCNM 内或BC 边上时211133(04)2248A MN y S MN h x x x x ∆==⋅=⋅=<≤ ∵当A 1落在四边形BCNM 外时，如图（4＜x ＜8）设∵A 1EF 的边EF 上的高为h 1则h 1=2h -6=32x -6 ∵EF∵MN ∵∵A 1EF∵∵A 1MN∵∵A 1MN∵∵ABC∵∵A 1EF∵∵ABC∵121()6A EFABC S h S ∆∆= ∵S ∵ABC =12×6×8=24 ∵223632()24122462AEF x S x x ∆-=⨯=-+ ∵1122233912241224828A MN A EF y S S x x x x x ∆∆⎛⎫=-=--+=-+- ⎪⎝⎭ 所以y=-98x 2+12x -24（4＜x ＜8） 综上所述当0＜x≤4时，y=38x 2，取x=4，y max =6 当4＜x ＜8时，y=-98x 2+12x -24，取x=163，y max =8∵当x=163时，y 值最大y max =8． 23．（2020·浙江杭州市·九年级其他模拟）如图1，在矩形ABCD 中，点E 以lcm/s 的速度从点A 向点D 运动，运动时间为t （s ），连结BE ，过点E 作EF△BE ，交CD 于F ，以EF 为直径作△O ．（1）求证：△1=△2；（2）如图2，连结BF ，交△O 于点G ，并连结EG ．已知AB=4，AD=6． △用含t 的代数式表示DF 的长△连结DG ，若△EGD 是以EG 为腰的等腰三角形，求t 的值；（3）连结OC ，当tan△BFC=3时，恰有OC△EG ，请直接写出tan△ABE 的值．【答案】（1）见解析；（2）∵DF=26t t 4-，∵t 的值为3或（3）tan∵ABE=1 解：（1）∵四边形ABCD 是矩形∵//AD BC ，90A ADC ∠=∠=︒∵1AEB ∠=∠∵EF BE ⊥∵90AEB DEF ∠+∠=︒∵290DEF ∠+∠=︒∵2AEB ∠=∠∵12∠=∠（2）∵∵90A ADC ∠=∠=︒，AEB EFD ∠=∠ ∵ABE DEF △△∽ ∵AB AE ED DF= ∵4AB =，AE t =，6DE t =- ∵46t t DF=- ∵264t t DF -= ∵当EG ED =时∵EGD EDG ∠=∠ ∵EGD EFD ∠=∠，EDG EFG ∠=∠ ∵EFD EFG AEB ∠=∠=∠ ∵A EDF BEF ∠=∠=∠ ∵BAE EDF BEF ∽∽ ∵AE EF DE AB BE AB== ∵AE DE =∵6t t =-∵3t =当GE GD =时，∵GED GDE ∠=∠ ∵EDG BFE ∠=∠，GED BFC ∠=∠ ∵BFE BFC ∠=∠∵90BEF C ∠=∠=︒，BF BF = ∵BEF BCF AAS ≌（）∵6BE BC ==∵222AB AE BE +=∵22246t +=∵t =综上所述，若EGD 是以EG 为腰的等腰三角形，t 的值为3或 （3）1tan ABE ∠=理由：如图2，过O 作OH CD ⊥于H ∵3BC tan BFC CF∠== 设CF a =，3BC a =∵AE t =∵3DE a t =-∵OH CD ⊥，AD CD ⊥∵//OH DE∵OF OE = ∵1322a t OH DE -== ∵//OC EG ，EG FG ⊥∵OC FG ⊥∵3tan COH tan BFC ∠=∠=∵9332a t CH OH -==，732a t FH -= ∵73DF a t =-，83AB a t =- 由ABE DEF △△∽，得: AB AE ED DF = 即83373a t t a t a t-=-- 解得：12t a =，2145t a =∵218386AE t a tan ABE AB a t a a∠====--。
浙江省杭州地区(含周边)重点中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题
浙江省杭州地区（含周边）重点中学2023-2024学年高一下学期4月期中考试数学试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}0,3,4A =，{}0,1,2B =，下列能正确表示图中阴影部分的集合是（ ）A ．{}0B ．{}0,1,2C ．{}3,4D ．{}1,2 2．用一个平面截长方体，如果截面形状是三角形，则该截面三角形不可能是（ ） A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．锐角三角形D ．直角三角形3．已知()2i i z +=，i 为虚数单位，则z =（ ）A ．15B ．13CD 4．已知平面向量()2,0a =r ，()1,1b =-r ，且2ma b a b -=+r r r r ，则m =（ ）A ．1-BCD ．05．下列说法正确的是（ ）A ．过空间中的任意三点有且只有一个平面B ．四棱柱各面所在平面将空间分成27部分C ．空间中的三条直线a ，b ，c ，如果a 与b 异面，b 与c 异面，那么a 与c 异面D ．若直线a 在平面α外，则平面α内一定存在直线与a 平行6．若平面向量m u r ，n r ，p u r 均是非零向量，则“()()m n p m n p ⋅=⋅u r r u r u r r u r ”是“向量m u r 与p u r 共线”的（ ） A ．充要条件B ．充分且不必要条件C ．必要且不充分条件D ．既不充分也不必要条件7．雷峰塔是“西湖十景”之一，中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔．如图，某同学为了测量雷峰塔的高度，在地面C 处时测得塔顶A 在东偏北45°的方向上，向正东方向行走50米后到达D 处，测得塔顶A 在东偏北75°的方向上，仰角为45°，则可得雷峰塔离地面的高度值为（ ）A ．B ．50米C ．25米D ．50米 8．已知函数()()2ln 1,143,1x x f x x x x ⎧+>-⎪=⎨---≤-⎪⎩，若函数()()22312y f x af x a =++-有6个不同的零点，则实数a 的取值可以是（ ）A ．3-B ．3C ．2e -D ．2e二、多选题9．对于ABC V ，有如下说法，其中正确的是（ ）A ．满足条件AB =1AC =，30B =o 的三角形共有两个B ．若sin cos A B =，则ABC V 是直角三角形C ．若222cos cos sin 2A B C ++<，则ABC V 为锐角三角形D ．若ABC V 是锐角三角形，则不等式sin cos A B >恒成立10．已知圆台的轴截面如图所示，其上底面半径为1、下底面半径为2，母线AB 长为2，E 为母线AB 中点，则下列结论正确的是（ ）A ．圆台的高为2B ．圆台的侧面积为6πC ．圆台外接球的体积是32π3D ．在圆台的侧面上，从C 到E 的最短路径的长度为511．关于函数()sin cos 2f x x x =+（x ∈R ），如下结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期是π2B ．函数()f x 的图象关于直线π2x =对称C ．函数()f x 的值域是(]0,2D ．函数()f x 在π3π,24⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减三、填空题12．如图所示，长方形O A B C ''''的边长2O A ''=，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是．13．在ABC V 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，222a c ac b ++=，ABC ∠的角平分线交AC 于点D ，且4BD =，则4a c +的最小值为．14．已知正三角形ABC 的边长为1，P 是平面ABC 上一点，若2225PA PB PC ++=，则P A 的最大值为．四、解答题15．陀螺是中国民间最早的娱乐工具之一．图1是一种木陀螺，可近似地看作是一个圆锥和一个圆柱的组合体，其直观图如图2所示，其中,B C 分别是上、下底面圆的圆心，且339cm AC AB BD ===，现有一箱这种的陀螺共重6300g （不包含箱子的质量），陀螺的密度为35g /cm 6（π取3）(1)试问该箱中有多少个这样的陀螺？(2)如果要给这箱陀螺的每个表面涂上一种特殊的颜料，试问共需涂多少2cm 的颜料？ 16．已知复数1z ，2z 是方程210z z -+=的解，复平面内表示1z 的点A 在第四象限，O 是原点．(1)点A 关于虚轴的对称点为点B ，求向量OB u u u r 对应的复数；(2)将复数2z 对应的向量OC u u u r 绕原点逆时针旋转2π得到向量OD u u u r ，OD u u u r 对应的复数为3z ，求223i z z +的值； 17．如图，在△ABC 中，已知2AC =，3AB =，60BAC ∠=︒，且0GA GB GC ++=u u u r u u u r u u u r r．(1)若AG AC AB λμ=+u u u r u u u r u u u r ，求2λμ+的值(2)求cos AGC ∠．18．已知向量()cos ,1a x =-r，1,2b x ⎫=-⎪⎭r ，函数()()2f x a b a =+⋅-r r r ． (1)求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间；(2)已知ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且满足()1f B =-，如图．（ⅰ）若33c a ==，求ABC V 的面积；（ⅱ）若30CAM ∠=o ，120BCM ∠=o ，CM ，求ACB ∠的值．19．若()(),f x g x 是定义在[],a b 上的增函数，其中[][),0,a b ⊆+∞，存在函数()()()2M x f x =，()()()2N x m g x =⋅，且函数()M x 图像上存在两点,A B ，()N x 图像上存在两点,C D ，其中,A C 两点横坐标相等，,B D 两点横坐标相等，且AB CD u u u r u u u r ∥，则称()f x 在[],a b 上可以对()g x 进行“m 型平行追逐”，即()f x 是()g x 在[],a b 上的“m 型平行追逐函数”. 已知()141x a f x =-+是定义在R 上的奇函数，()22x x g x b -=+⋅是定义在R 上的偶函数． (1)求满足()()83f xg x =的x 的值； (2)设函数()()()()()()22k x n f x g x g x =-+，若不等式()0k x <对任意的[)1,x ∞∈+恒成立，求实数n 的取值范围；(3)若函数()f x 是()g x 在10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的“m 型平行追逐函数”，求正数m 的取值范围．。
()浙江省杭州市中考数学试卷(含答案解析版),文档
2021年浙江省杭州市中考数学试卷一．选择题1．〔3分〕﹣22=〔〕A ．﹣2B ．﹣4C ．2D ．4 2．〔3分〕太阳与地球的平均距离大约是 150000000千米，数据 150000000用科学记数 法表示为〔 〕8 B ．× 9 9 7A ．×10 10C ． ×10D． 15×10 3．〔3分〕如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE∥BC，假设BD=2AD ，那么〔 〕A ．B ．C ．D ． 4．〔3分〕|1+ |+|1 ﹣ |=〔 〕A ．1B ．C ．2D ．2 5．〔3分〕设x ，y ，c 是实数，〔 〕 A ．假设x=y ，那么x+c=y ﹣c B ．假设x=y ，那么xc=ycC ．假设x=y ，那么D ．假设 ，那么2x=3y 6．〔3分〕假设x+5＞0，那么〔 〕A ．x+1＜0B ．x ﹣1＜0C ． ＜﹣1D ．﹣2x ＜12 7．〔3分〕某景点的参观人数逐年增加，据统计， 2021年为万人次，2021年为 万人次．设参观人次的平均年增长率为x ，那么〔 〕 A ．〔1+x 〕B ．〔1﹣x 〕C ．〔1+x 〕2D ．10.8[〔1+x 〕+〔1+x 〕28．〔3分〕如图，在 Rt △ABC 中，∠ABC=90°，AB=2，BC=1．把△ABC 分别绕直线 AB 和BC旋转一周，所得几何体的地面圆的周长分别记作 l 1，l 2，侧面积分别记作 S 1，S 2，那么〔 〕A ．l 1：l 2=1：2，S 1：S 2=1：2B ．l 1：l 2=1：4，S 1：S 2=1：2C ．l 1：l 2=1：2，S 1：S 2=1：4D ．l 1：l 2=1：4，S 1：S 2=1：49．〔3分〕设直线x=1是函数y=ax 2+bx+c 〔a ，b ，c 是实数，且a ＜0〕的图象的对称轴，〔 〕A ．假设m ＞1，那么〔m ﹣1〕a+b ＞0B ．假设m ＞1，那么〔m ﹣1〕a+b ＜0第1页〔共16页〕C．假设m＜1，那么〔m﹣1〕a+b＞0D．假设m＜1，那么〔m﹣1〕a+b＜010．〔3分〕如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，E为AC边的中点，线段B E的垂直平分线交边BC于点D．设BD=x，tan∠ACB=y，那么〔〕A．x﹣y2=3 B．2x﹣y2=9C．3x﹣y2=15D．4x﹣y2=21二．填空题11．〔4分〕数据2，2，3，4，5的中位数是．12．〔4分〕如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径．假设∠ABT=40°，那么∠ATB=．13．〔4分〕一个仅装有球的不透明布袋里共有3个球〔只有颜色不同〕，其中2个是红球，个是白球，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再任意摸出一个球，那么两次摸出都是红球的概率是．14．〔4分〕假设?|m|=，那么m=．15．〔4分〕如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，点D在边AC上，AD=5，DE ⊥BC于点E，连结AE，那么△ABE的面积等于．16．〔4分〕某水果点销售50千克香蕉，第一天售价为9元/千克，第二天降价6元/千克，第三天再降为3元/千克．三天全部售完，共计所得270元．假设该店第二天销售香蕉t千克，那么第三天销售香蕉千克．〔用含t的代数式表示．〕三．解答题17．〔6分〕为了了解某校九年级学生的跳高水平，随机抽取该年级50名学生进行跳高测试，并把测试成绩绘制成如下列图的频数表和未完成的频数直方图〔每组含前一个边界值，不含后一个边界值〕．第2页〔共16页〕某校九年级50名学生跳高测试成绩的频数表组别〔m〕频数～8～12～A～10〔1〕求a的值，并把频数直方图补充完整；〔2〕该年级共有500名学生，估计该年级学生跳高成绩在〔含〕以上的人数．18．〔8分〕在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b〔k，b都是常数，且k≠0〕的图象经过点〔1，0〕和〔0，2〕．1〕当﹣2＜x≤3时，求y的取值范围；2〕点P〔m，n〕在该函数的图象上，且m﹣n=4，求点P的坐标．19．〔8分〕如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．1〕求证：△ADE∽△ABC；2〕假设AD=3，AB=5，求的值．20．〔10分〕在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长第3页〔共16页〕为3．1〕设矩形的相邻两边长分别为x，y．①求y关于x的函数表达式；②当y≥3时，求x的取值范围；〔2〕圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？21．〔10分〕如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上〔不与点B，D重合〕，GE⊥DC 于点E，GF⊥BC于点F，连结AG．〔1〕写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；〔2〕假设正方形ABCD的边长为1，∠AGF=105°，求线段B G的长．22．〔12分〕在平面直角坐标系中，设二次函数y1=〔x+a〕〔x﹣a﹣1〕，其中a≠0．1〕假设函数y1的图象经过点〔1，﹣2〕，求函数y1的表达式；2〕假设一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；〔3〕点P〔x0，m〕和Q〔1，n〕在函数y1的图象上，假设m＜n，求x0的取值范围．23．〔12分〕如图，△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上〔不与点A，B重合〕，点D为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E，射线AO与射线EB交于点F，与⊙O交于点G，设∠GAB=ɑ，∠ACB=β，∠EAG+∠EBA=γ，〔1〕点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：ɑ30°40°50°60°β120°130°140°150°γ150°140°130°120°猜想：β关于ɑ的函数表达式，γ关于ɑ的函数表达式，并给出证明：〔2〕假设γ=135°，CD=3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长．第4页〔共16页〕2021年浙江省杭州市中考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题1．〔3分〕〔2021?杭州〕﹣22=〔〕A．﹣2B．﹣4C．2D．4【解答】解：﹣22=﹣4，应选B．2．〔3分〕〔2021?杭州〕太阳与地球的平均距离大约是150000000千米，数据150000000用科学记数法表示为〔〕A．×108B．×109C．×109D．15×107【解答】解：将150000000用科学记数法表示为：×108．应选A．3．〔3分〕〔2021?杭州〕如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC，假设BD=2AD，那么〔〕A．B．C．D．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，BD=2AD，∴===，那么=，∴A，C，D选项错误，B选项正确，应选：B．4．〔3分〕〔2021?杭州〕|1+|+|1﹣|=〔〕A．1B．C．2D．2【解答】解：原式1++﹣1=2，应选：D．5．〔3分〕〔2021?杭州〕设 x，y，c是实数，〔〕A．假设x=y，那么x+c=y﹣c B．假设x=y，那么xc=yc第5页〔共16页〕C．假设x=y，那么D．假设，那么2x=3y【解答】解：A、两边加不同的数，故A不符合题意；B、两边都乘以c，故B符合题意；C、c=0时，两边都除以c无意义，故C不符合题意；D、两边乘以不同的数，故D不符合题意；应选：B．6．〔3分〕〔2021?杭州〕假设 x+5＞0，那么〔〕A．x+1＜0B．x﹣1＜0 C．＜﹣1D．﹣2x＜12【解答】解：∵x+5＞0，∴x＞﹣5，A、根据x+1＜0得出x＜﹣1，故本选项不符合题意；B、根据x﹣1＜0得出x＜1，故本选项不符合题意；C、根据＜﹣1得出x＜﹣5，故本选项不符合题意；D、根据﹣2x＜12得出x＞﹣6，故本选项符合题意；应选D．7．〔3分〕〔2021?杭州〕某景点的参观人数逐年增加，据统计，2021年为万人次，2021年为万人次．设参观人次的平均年增长率为x，那么〔〕A．〔1+x〕B．〔1﹣x〕C．〔1+x〕2D．10.8[〔1+x〕+〔1+x〕2【解答】解：设参观人次的平均年增长率为x，由题意得：〔1+x〕2，应选：C．8．〔3分〕〔2021?杭州〕如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2，BC=1．把△ABC分别绕直线AB和BC旋转一周，所得几何体的地面圆的周长分别记作l1，l2，侧面积分别记作S1，S2，那么〔〕A．l1：l2=1：2，S1：S2=1：2B．l1：l2=1：4，S1：S2=1：2C．l1：l2=1：2，S1：S2=1：4D．l1：l2=1：4，S1：S2=1：4【解答】解：∵l1=2π×BC=2π，l2=2π×AB=4π，∴l1：l2=1：2，第6页〔共16页〕∵S 1=×2π×=π，S2=×4π×=2π，∴S1：S2=1：2，应选A．9．〔3分〕〔2021?杭州〕设直线2x=1是函数y=ax+bx+c〔a，b，c是实数，且a＜0〕的图象的对称轴，〔〕A．假设m＞1，那么〔m﹣1〕a+b＞0B．假设m＞1，那么〔m﹣1〕a+b＜0C．假设m＜1，那么〔m﹣1〕a+b＞0D．假设m＜1，那么〔m﹣1〕a+b＜0【解答】解：由对称轴，得b=﹣2a．〔m﹣1〕a+b=ma﹣a﹣2a=〔m﹣3〕a当m＜1时，〔m﹣3〕a＞0，应选：C．10．〔3分〕〔2021?杭州〕如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D．设BD=x，tan∠ACB=y，那么〔〕2222A．x﹣y=3 B．2x﹣y=9C．3x﹣y=15D．4x﹣y=21【解答】解：过A作AQ⊥BC于Q，过E作EM⊥BC于M，连接DE，∵BE的垂直平分线交BC于D，BD=x，∴BD=DE=x，∵AB=AC，BC=12，tan∠ACB=y，==y，BQ=CQ=6，AQ=6y，∵AQ⊥BC，EM⊥BC，第7页〔共16页〕∴AQ∥EM，∵E为AC中点，∴CM=QM=CQ=3，EM=3y，DM=12﹣3﹣x=9﹣x，在Rt△EDM中，由勾股定理得：x2=〔3y〕2+〔9﹣x〕2，2即2x﹣y=9，应选B．二．填空题11．〔4分〕〔2021?杭州〕数据2，2，3，4，5的中位数是3．【解答】解：从小到大排列为：2，2，3，4，5，位于最中间的数是3，那么这组数的中位数是3．故答案为：3．12．〔4分〕〔2021?杭州〕如图，AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径．假设∠ABT=40°，那么∠ATB= 50°．【解答】解：∵AT切⊙O于点A，AB是⊙O的直径，∴∠BAT=90°，∵∠ABT=40°，∴∠ATB=50°，故答案为：50°13．〔4分〕〔2021?杭州〕一个仅装有球的不透明布袋里共有3个球〔只有颜色不同〕，其中2个是红球，1个是白球，从中任意摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再任意摸出一个球，那么两次摸出都是红球的概率是．【解答】解：根据题意画出相应的树状图，所以一共有9种情况，两次摸到红球的有4种情况，第8页〔共16页〕∴两次摸出都是红球的概率是，故答案为：．14．〔4分〕〔2021?杭州〕假设?|m|=，那么m=3或﹣1．【解答】解：由题意得，m﹣1≠0，那么m≠1，〔m﹣3〕?|m|=m﹣3，∴〔m﹣3〕〔?|m|﹣1〕=0，m=3或m=±1，∵m≠1，m=3或m=﹣1，故答案为：3或﹣1．15．〔4分〕〔2021?杭州〕如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，点D在边AC上，AD=5，DE⊥BC于点E，连结AE，那么△ABE的面积等于78．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，∴BC==25，△ABC的面积= AB?AC=×15×20=150，AD=5，∴CD=AC﹣AD=15，∵DE⊥BC，∴∠DEC=∠BAC=90°，又∵∠C=∠C，∴△CDE∽△CBA，∴，即，解得：CE=12，BE=BC﹣CE=13，∵△ABE的面积：△ABC的面积=BE：BC=13：25，∴△ABE的面积=×150=78；故答案为：78．16．〔4分〕〔2021?杭州〕某水果点销售50千克香蕉，第一天售价为9元/千克，第二天降第9页〔共16页〕价6元/千克，第三天再降为3元/千克．三天全部售完，共计所得270元．假设该店第二天销售香蕉t千克，那么第三天销售香蕉30﹣千克．〔用含t的代数式表示．〕【解答】解：设第三天销售香蕉x千克，那么第一天销售香蕉〔50﹣t﹣x〕千克，根据题意，得：9〔50﹣t﹣x〕+6t+3x=270，那么x==30﹣，故答案为：30﹣．三．解答题17．〔6分〕〔2021?杭州〕为了了解某校九年级学生的跳高水平，随机抽取该年级50名学生进行跳高测试，并把测试成绩绘制成如下列图的频数表和未完成的频数直方图〔每组含前一个边界值，不含后一个边界值〕．某校九年级50名学生跳高测试成绩的频数表组别〔m〕频数～8～12～A～10〔1〕求a的值，并把频数直方图补充完整；〔2〕该年级共有500名学生，估计该年级学生跳高成绩在〔含〕以上的人数．【解答】解：〔1〕a=50﹣8﹣12﹣10=20，；第10页〔共16页〕〔2〕该年级学生跳高成绩在〔含〕以上的人数是：500×=300〔人〕．18．〔8分〕〔2021?杭州〕在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b〔k，b都是常数，且k≠0〕的图象经过点〔1，0〕和〔0，2〕．1〕当﹣2＜x≤3时，求y的取值范围；2〕点P〔m，n〕在该函数的图象上，且m﹣n=4，求点P的坐标．【解答】解：设解析式为：y=kx+b，将〔1，0〕，〔0，﹣2〕代入得：，解得：，∴这个函数的解析式为：y=﹣2x+2；〔1〕把x=﹣2代入y=﹣2x+2得，y=6，把x=3代入y=﹣2x+2得，y=﹣4，∴y的取值范围是﹣4≤y＜6．〔2〕∵点P〔m，n〕在该函数的图象上，∴n=﹣2m+2，∵m﹣n=4，∴m﹣〔﹣2m+2〕=4，解得m=2，n=﹣2，∴点P的坐标为〔2，﹣2〕．19．〔8分〕〔2021?杭州〕如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF=∠GAC．〔1〕求证：△ADE∽△ABC；〔2〕假设AD=3，AB=5，求的值．【解答】解：〔1〕∵AG⊥BC，AF⊥DE，∴∠AFE=∠AGC=90°，∵∠EAF=∠GAC，∴∠AED=∠ACB，∵∠EAD=∠BAC，∴△ADE∽△ABC，〔2〕由〔1〕可知：△ADE∽△ABC，第11页〔共16页〕∴=由〔1〕可知：∠AFE=∠AGC=90°，∴∠EAF=∠GAC，∴△EAF∽△CAG，∴，=20．〔10分〕〔2021?杭州〕在面积都相等的所有矩形中，当其中一个矩形的一边长为1时，它的另一边长为3．〔1〕设矩形的相邻两边长分别为x，y．①求y关于x的函数表达式；②当y≥3时，求x的取值范围；〔2〕圆圆说其中有一个矩形的周长为6，方方说有一个矩形的周长为10，你认为圆圆和方方的说法对吗？为什么？【解答】解：〔1〕①由题意可得：xy=3，那么y=；②当y≥3时，≥3解得：x≤1；2〕∵一个矩形的周长为6，∴x+y=3，x+=3，整理得：x2﹣3x+3=0，b2﹣4ac=9﹣12=﹣3＜0，∴矩形的周长不可能是6；∵一个矩形的周长为10，∴x+y=5，x+=5，（整理得：x2﹣5x+3=0，（b2﹣4ac=25﹣12=13＞0，（∴矩形的周长可能是10．（（21．〔10分〕〔2021?杭州〕如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上〔不与点B，D重合〕，GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连结AG．（1〕写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；（2〕假设正方形ABCD的边长为1，∠AGF=105°，求线段BG的长．第12页〔共16页〕222【解答】解：〔1〕结论：AG=GE+GF．理由：连接CG．∵四边形ABCD是正方形，∴A、C关于对角线BD对称，∵点G在BD上，∴GA=GC，∵GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，∴∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°，∴四边形EGFC是矩形，∴CF=GE，222在Rt△GFC中，∵CG=GF+CF，222∴AG=GF+GE．2〕作BN⊥AG于N，在BN上截取一点M，使得AM=BM．设AN=x．∵∠AGF=105°，∠FBG=∠FGB=∠ABG=45°，∴∠AGB=60°，∠GBN=30°，∠ABM=∠MAB=15°，∴∠AMN=30°，AM=BM=2x，MN=x，222在Rt△ABN中，∵AB=AN+BN，∴1=x2+〔2x+x〕2，解得x=，∴BN=，∴BG=BN÷cos30°=．22．〔12分〕〔2021?杭州〕在平面直角坐标系中，设二次函数y1=〔x+a〕〔x﹣a﹣1〕，其中a第13页〔共16页〕0．1〕假设函数y1的图象经过点〔1，﹣2〕，求函数y1的表达式；2〕假设一次函数y2=ax+b的图象与y1的图象经过x轴上同一点，探究实数a，b满足的关系式；3〕点P〔x0，m〕和Q〔1，n〕在函数y1的图象上，假设m＜n，求x0的取值范围．【解答】解：〔1〕函数y1的图象经过点〔1，﹣2〕，得a+1〕〔﹣a〕=﹣2，解得a=﹣2，a=1，函数y1的表达式y=〔x﹣2〕〔x+2﹣1〕，化简，得y=x2﹣x﹣2；函数y1的表达式y=〔x+1〕〔x﹣2〕化简，得y=x2﹣x﹣2，综上所述：函数y1的表达式y=x2﹣x﹣2；2〕当y=0时x2﹣x﹣2=0，解得x1=﹣1，x2=2，y1的图象与x轴的交点是〔﹣1，0〕〔2，0〕，当y2=ax+b经过〔﹣1，0〕时，﹣a+b=0，即a=b；当y2=ax+b经过〔2，0〕时，2a+b=0，即b=﹣2a；〔3〕当P在对称轴的左侧时，y随x的增大而增大，〔1，n〕与〔0，n〕关于对称轴对称，由m＜n，得x0＜0；当时P在对称轴的右侧时，y随x的增大而减小，由m＜n，得x0＞1，综上所述：m＜n，求x0的取值范围x0＜0或x0＞1．23．〔12分〕〔2021?杭州〕如图，△ABC内接于⊙O，点C在劣弧AB上〔不与点A，B重合〕，点D为弦BC的中点，DE⊥BC，DE与AC的延长线交于点E，射线AO与射线EB交于点F，与⊙O交于点G，设∠GAB=ɑ，∠ACB=β，∠EAG+∠EBA=γ，〔1〕点点同学通过画图和测量得到以下近似数据：ɑ30°40°50°60°β120°130°140°150°γ150°140°130°120°猜想：β关于ɑ的函数表达式，γ关于ɑ的函数表达式，并给出证明：〔2〕假设γ=135°，CD=3，△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，求⊙O半径的长．【解答】解：〔1〕猜想：β=α+90°，γ=﹣α+180°连接OB，∴由圆周角定理可知：2∠BCA=360°﹣∠BOA，∵OB=OA，∴∠OBA=∠OAB=α，∴∠BOA=180°﹣2α，∴2β=360°﹣〔180°﹣2α〕，第14页〔共16页〕∴β=α+90°，∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴OE是线段BC的垂直平分线，BE=CE，∠BED=∠CED，∠EDC=90°∵∠BCA=∠EDC+∠CED，∴β=90°+∠CED，∴∠CED=α，∴∠CED=∠OBA=α，O、A、E、B四点共圆，∴∠EBO+∠EAG=180°，∴∠EBA+∠OBA+∠EAG=180°，∴γ+α=180°；〔2〕当γ=135°时，此时图形如下列图，∴α=45°，β=135°，∴∠BOA=90°，∠BCE=45°，由〔1〕可知：O、A、E、B四点共圆，∴∠BEC=90°，∵△ABE的面积为△ABC的面积的4倍，∴，∴，设CE=3x，AC=x，由〔1〕可知：BC=2CD=6，∵∠BCE=45°，CE=BE=3x，∴由勾股定理可知：〔3x〕2+〔3x〕2=62，x=，BE=CE=3，AC=，AE=AC+CE=4，在Rt△ABE中，由勾股定理可知：22+〔42，AB=〔3〕〕∴AB=5，∵∠BAO=45°，∴∠AOB=90°，在Rt△AOB中，设半径为r，由勾股定理可知：22 AB=2r，∴r=5，∴⊙O半径的长为5．第15页〔共16页〕第16页〔共16页〕。
浙江杭州拱墅锦绣育才2024-2025学年九年级数学第一学期开学经典试题【含答案】
浙江杭州拱墅锦绣育才2024-2025学年九年级数学第一学期开学经典试题题号一二三四五总分得分A 卷（100分）一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求）1、（4分）下列四个图案中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2、（4分）如图，已知D 、E 分别是△ABC 的AB 、AC 边上的一点，DE ∥BC ，△ADE 与四边形DBCE 的面积之比为1：3，则AD ：AB 为（）A ．1：4B ．1：3C ．1：2D ．1：53、（4分）把二次函数y=3x 2的图象向左平移2个单位,再向上平移1个单位,所得到的图象对应的二次函数关系式是（）A ．y=3（x-2）2+1B ．y=3（x+2）2-1C ．y=3（x-2）2-1D ．y=3（x+2）2+14、（4分）如图，正方形ABCD 的对角线相交于点O，点O 又是正方形A 1B 1C 1O 的一个顶点，且这两个正方形的边长都为1．若正方形A 1B 1C 1O 绕点O 转动，则两个正方形重叠部分的面积为（）A ．16B ．4C ．1D ．15、（4分）若分式23xx -无意义，则x 等于()A ．﹣32B ．0C ．23D ．326、（4分）计算：结果在（）A ．2.5与3之间B ．3与3.5之间C ．3.5与4之间D ．4与4.5之间7、（4分）下列各点中，不在反比例函数12y x=图象上的点是（）A ．()3,4P -B ．()3,4P C ．()2,6P D ．()2,6P --8、（4分）如图，在直角坐标系中，一次函数25y x =-+的图象1l 与正比例函数的图象2l 交于点(,3)M m ，一次函数2y kx =+的图象为3l ，且1l ，2l ，3l 能围成三角形，则在下列四个数中，k 的值能取的是（）A ．﹣2B ．1C ．2D ．3二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）9、（4分）某高科技开发公司从2013年起开始投入技术改进资金，经过技术改进后，其产品的生产成本不断降低，具体数据如下表：请你认真分析表中数据，写出可以表示该变化规律的表达式是____________.10、（4分）如图，在平行四边形ABCD中，，，，则平行四边形ABCD的面积为___________.11、（4分）计算：3-2=；12、（4分）＝_____；||＝_____．13、（4分）如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD、△ABE、△BCF，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB=AC，∠BAC=1200时，四边形AEFD是正方形．其中正确的结论是．（请写出正确结论的番号）．三、解答题（本大题共5个小题，共48分）14、（12分）解不等式组112789xx x+⎧⎪⎨⎪-≤⎩，并在数轴上把解集表示出来．15、（8分）如图，射线OA 的方向是北偏东20°，射线OB 的方向是北偏西40°，OD 是OB的反向延长线，OC 是∠AOD 的平分线。
2021年浙江省杭州市拱墅区中考数学二模试卷
2021年浙江省杭州市拱墅区中考数学二模试卷一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在下列运动图形的简笔画中，可以看作轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．用科学记数法表示0.0000000314为（）A．0.314×10﹣9B．3.14×10﹣9C．3.14×10﹣8D．3.14×10﹣73．如图，已知点E、F分别是△ABC的边AB、AC的点，且EF∥BC，点D是BC边上的点，AD与EF交于点H，则下列结论中，错误的是（）A ．＝B ．＝C ．＝D ．＝4．⊙O的弦AB长为8cm，弦AB的弦心距为3cm，则⊙O的半径为（）A．4cm B．5cm C．8cm D．10cm5．两条平行直线被第三条直线所截，内错角的平分线（）A．互相重合B．互相平行C．相交D．互相垂直6．如图，这是根据某班40名同学一周的体育锻炼情况绘制的条形统计图，根据统计图提供的信息，可得到该班40名同学一周参加体育锻炼时间的众数、中位数分别是（）A．8，9B．8，8.5C．16，8.5D．16，97．你听说过著名的牛顿万有力定律吗？任何两个物体之间都有吸引力，如果设两个物体的质量分别为m1，m2，它们之间的距离是d，那么它们之间的引力就是f ＝（g为常数），人在地面上所受的重力近似地等于地球对人的引力，此时d就是地球的半径R ．天文学家测得地球的半径约占木星半径的，地球的质量约占木星质量的，则站在地球上的人所受的地球重力约是他在木星表面上所受木星重力的（）A ．倍B ．倍C．25倍D．4倍8．如图，△ABC中，∠A＝120°，若BM，CM分别是△ABC的外角平分线，则∠M的余弦值是（）A ．B ．C ．D ．9．在平面直角坐标系中，已知反比例函数y ＝（k≠0）满足：当x＜0时，y随x的增大而减小．若该反比例函数的图象与直线y＝﹣x +k都经过点P，且OP ＝，，则满足条件的实数k的值有（）A．0个B．1个C．2个D．无法确定10．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC、AB上一点，且AF＝BE，AE与DF交于点G，连接CG．若CG＝BC，则AF：FB的比为（）A．1：1B．1：2C．1：3D．1：4二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分．11．若二次根式有意义，实数则x 的取值范围是．12．已知a+b＝4，a﹣b＝1，则a2+b2＝．13．某城市用电收费实行阶梯电价，收费标准如表所示，用户5月份交电费45元，则所用电量为度．月用电量不超过12度的部分超过12度且不超过18度的部分超过18度的部分收费标准（元/度） 2.00 2.50 3.0014．某班40名学生分成5个学习小组，前四组的频数分别为13、10、6、7，则第5组的频率为．15．黄金分割比符合人的视觉习惯，在人体躯干和身高的比例上，肚脐是理想的黄金分割点，即比例越接近0.618越给人以美感．张女土身高165cm，若她下半身的长度（脚底到肚脐的高度）与身高的比值是0.60，为尽可能达到匀称的效果，她应该选择约厘米的高跟鞋看起来更美．（结果保留整数）16．如图，点O是△ABC的内心，AO的延长线交△ABC的外接圆于点D，交BC于点E，设＝a，则＝（用含a的代数式表示）三、解答题：本大题有7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（1）解方程：x2+4x＝0；（2）解不等式组：．18．在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，记顶点都是整点的三角形为整点三角形．如图，已知整点A（1，3），B（3，4），请在所给网格上按要求画整点三角形．（1）在图1中画一个△OBP，使得点P的横纵坐标之和等于5，且点在它的外部．（2）在图2中画个△OBQ，使得点Q的横、纵坐标的平方和等于17，且点A在它的内部.19．某校在防疫期间开设A，B，C三个测体温通道．早晨，小丽与小聪任意选择一个通道进入校园．（1）求小丽通过A通道进入校园的概率；（2）利用画树状图或列表的方法，求小丽和小聪从两个不同通道进入校园的概率（要求画出树状图或表格）．20．如图，某型号动车由一节车头和若干节车厢组成，每节车厢的长度都相等．已知该型号动车挂8节车厢以38米/秒的速度通过某观测点用时6秒，挂12节车厢以41米秒的速度通过该观测点用时8秒．（1）车头及每节车厢的长度分别是多少米？（2）小明乘坐该型号动车匀速通过某隧道时，如果车头进隧道5秒后他也进入了隧道，此时车内屏幕显示速度为180km/h，请问他乘坐的时几号车厢？21．如图，在△ABC中，D、E分别是边AC、BC的中点，F是BC延长线上一点，∠F＝∠B．长.（1）若AB＝10，求FD的长；（2）若AC＝BC，求证：△CDE∽△DFE．22．平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+c 的顶点为（，﹣），它的图象与x轴交于点A，B（点A在点B左侧）．（1）若AB＝5，交y轴于点C，点C在y轴负半轴上．①求二次函数的解析式；②若自变量x的值增加4时，对应的函数值y增大，求满足题意的自变量x的取值范围．（2）当1≤x≤1时，函数值y有最小值为﹣a2，求a的值（其中a为二次函数的二次项系数）．23．已知，AB为⊙O的直径，点CD在⊙O 上，＝，连接AD，OC．（1）如图1，求证：AD∥OC；（2）如图2，过点C作CE⊥AB于点E，求证：AD＝2OE；（3）如图3，在（2）的条件下，点F在OC上，且OF＝BE，连接DF并延长交⊙O于点G，过点G作GH⊥AD于点H，连接CH，若∠CFG＝135°，CB＝3，求CH的。
浙江省杭州市拱墅区公益中学2022年中考数学模试卷含解析
2021-2022中考数学模拟试卷注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。
2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。
3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，菱形ABCD 中，E. F 分别是AB 、AC 的中点，若EF=3，则菱形ABCD 的周长是（ ）A ．12B ．16C ．20D ．242．如图，在等腰直角三角形ABC 中，∠C=90°，D 为BC 的中点，将△ABC 折叠，使点A 与点D 重合，EF 为折痕，则sin ∠BED 的值是（ ）A ．35B ．34C ．23D ．573．如图所示，在△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，将△ABC 绕点A 逆时针旋转，使点C 落在线段AB 上的点E 处，点B 落在点D 处，则BD 两点间的距离为（ ）A ．2B ．22C 10D ．54．已知一组数据：12，5，9，5，14，下列说法不正确的是（ ）A ．平均数是9B ．中位数是9C ．众数是5D ．极差是55．如图，在正方形ABCD 中，AB ＝12x x ，P 为对角线AC 上的动点，PQ ⊥AC 交折线A ﹣D ﹣C 于点Q ，设AP ＝x ，△APQ 的面积为y ，则y 与x 的函数图象正确的是（ ）A．B．C．D．6．2016的相反数是（）A．12016-B．12016C．2016-D．20167．在代数式3mm-中，m的取值范围是（）A．m≤3B．m≠0C．m≥3D．m≤3且m≠08．﹣18的相反数是（）A．8 B．﹣8 C．18D．﹣189．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），顶点坐标（1，n）与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），则下列结论：①3a+b<0；②-1≤a≤-；③对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为( )A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，△ABC 中，AD 是中线，BC=8，∠B=∠DAC，则线段AC 的长为（）A．43B．42C．6 D．411．如图，已知反比函数kyx=的图象过Rt△ABO斜边OB的中点D，与直角边AB相交于C，连结AD、OC，若△ABO的周长为426+，AD=2，则△ACO的面积为（）A．12B．1 C．2 D．412．如图，已知△ABC，△DCE，△FEG，△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一直线上，且AB=2，BC=1．连接AI，交FG于点Q，则QI=（）A．1 B．616C．666D．43二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展．预计达州市2018年快递业务量将达到5.5亿件，数据5.5亿用科学记数法表示为_____．14．如图，小量角器的零度线在大量角器的零度线上，且小量角器的中心在大量角器的外缘边上．如果它们外缘边上的公共点P在小量角器上对应的度数为65°，那么在大量角器上对应的度数为_____度（只需写出0°～90°的角度）．15．计算：（﹣12）﹣2﹣2cos60°=_____．16．如图，已知AB∥CD，F为CD上一点，∠EFD=60°，∠AEC=2∠CEF，若6°＜∠BAE＜15°，∠C的度数为整数，则∠C的度数为_____．17．在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点P在AB上．若将△DAP沿DP折叠，使点A落在矩形对角线上的处，则AP的长为__________．18．图，A，B是反比例函数y=kx图象上的两点，过点A作AC⊥y轴，垂足为C，AC交OB于点D．若D为OB的中点，△AOD的面积为3，则k的值为________．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）在学习了矩形这节内容之后，明明同学发现生活中的很多矩形都很特殊，如我们的课本封面、A4 的打印纸等，这些矩形的长与宽之比都为2：1，我们将具有这类特征的矩形称为“完美矩形”如图（1），在“完美矩形”ABCD 中，点P 为AB 边上的定点，且AP＝AD．求证：PD＝AB．如图（2），若在“完美矩形“ABCD 的边BC 上有一动点E，当BECE的值是多少时，△PDE 的周长最小？如图（3），点Q 是边AB 上的定点，且BQ＝BC．已知AD＝1，在（2）的条件下连接DE 并延长交AB 的延长线于点F，连接CF，G 为CF 的中点，M、N 分别为线段QF 和CD 上的动点，且始终保持QM＝CN，MN 与DF 相交于点H，请问GH 的长度是定值吗？若是，请求出它的值，若不是，请说明理由．20．（6分）某学校要开展校园文化艺术节活动，为了合理编排节目，对学生最喜爱的歌曲、舞蹈、小品、相声四类节目进行了一次随机抽样调查(每名学生必须选择且只能选择一类)，并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．请你根据图中信息，回答下列问题：(1)求本次调查的学生人数，并补全条形统计图；(2)在扇形统计图中，求“歌曲”所在扇形的圆心角的度数；(3)九年一班和九年二班各有2名学生擅长舞蹈，学校准备从这4名学生中随机抽取2名学生参加舞蹈节目的编排，那么抽取的2名学生恰好来自同一个班级的概率是多少？21．（6分）解方程：3x2﹣2x﹣2＝1．22．（8分）计算：2sin60°+|3﹣3|+（π﹣2）0﹣（12）﹣123．（8分）如图，在△ABC，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，且BF是⊙O的切线，BF 交AC的延长线于F．（1）求证：∠CBF=12∠CAB．（2）若AB=5，sin∠CBF=55，求BC和BF的长．24．（10分）如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P 是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P做x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）已知点F（0，12），当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平行四边形？（3）点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．25．（10分）小明随机调查了若干市民租用共享单车的骑车时间t（单位：分），将获得的数据分成四组，绘制了如下统计图（A：0＜t≤10，B：10＜t≤20，C：20＜t≤30，D：t＞30），根据图中信息，解答下列问题：这项被调查的总人数是多少人？试求表示A组的扇形统计图的圆心角的度数，补全条形统计图；如果小明想从D组的甲、乙、丙、丁四人中随机选择两人了解平时租用共享单车情况，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲的概率．26．（12分）先化简，后求值：22321113x x xx x-++⋅---，其中21x=．27．（12分）为响应“植树造林、造福后人”的号召，某班组织部分同学义务植树180棵，由于同学们的积极参与，实际参加的人数比原计划增加了50%，结果每人比原计划少栽了2棵，问实际有多少人参加了这次植树活动？参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1、D【解析】根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出AD，再根据菱形的周长公式列式计算即可得解.【详解】E、F分别是AC、DC的中点，∴EF是ADC的中位线，∴2236AD EF==⨯=，∴菱形ABCD的周长44624AD==⨯=．故选：D.【点睛】本题主要考查了菱形的四边形都相等，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，求出菱形的边长是解题的关键.2、A【解析】∵△DEF是△AEF翻折而成，∴△DEF≌△AEF，∠A=∠EDF，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠EDF=45°，由三角形外角性质得∠CDF+45°=∠BED+45°，∴∠BED=∠CDF，设CD=1，CF=x，则CA=CB=2，∴DF=FA=2-x，∴在Rt△CDF中，由勾股定理得，CF2+CD2=DF2，即x2+1=（2-x）2，解得x=34，∴sin∠BED=sin∠CDF=35 CFDF=．故选：A．3、C【解析】解：连接BD．在△ABC中，∵∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=2．∵将△ABC绕点A逆时针旋转，使点C落在线段AB上的点E处，点B落在点D处，∴AE=4，DE=3，∴BE=2．在Rt△BED中，BD=22221310BE DE+=+=．故选C．点睛：本题考查了勾股定理和旋转的基本性质，解决此类问题的关键是掌握旋转的基本性质，特别是线段之间的关系．题目整体较为简单，适合随堂训练．4、D【解析】分别计算该组数据的平均数、中位数、众数及极差后即可得到正确的答案平均数为（12+5+9+5+14）÷5=9，故选项A正确；重新排列为5，5，9，12，14，∴中位数为9，故选项B正确；5出现了2次，最多，∴众数是5，故选项C正确；极差为：14﹣5=9，故选项D错误．故选D5、B【解析】∵在正方形ABCD 中, AB =∴AC ＝4，AD ＝DC ＝DAP ＝∠DCA ＝45o ，当点Q 在AD 上时，PA ＝PQ ，∴DP=AP=x,∴S ＝211·22PQ AP x = ； 当点Q 在DC 上时，PC ＝PQCP ＝4－x,∴S ＝221111·(4)(4)(168)482222PC PQ x x x x x x =--=-+=-+； 所以该函数图象前半部分是抛物线开口向上，后半部分也为抛物线开口向下,故选B.【点睛】本题考查动点问题的函数图象，有一定难度，解题关键是注意点Q 在AP 、DC 上这两种情况．6、C【解析】根据相反数的定义“只有符号不同的两个数互为相反数”可知：2016的相反数是-2016.故选C.7、D【解析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案．【详解】由题意可知：300m m -≥⎧⎨≠⎩解得：m≤3且m≠0故选D ．【点睛】本题考查二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件，本题属于基础题型．8、C【解析】互为相反数的两个数是指只有符号不同的两个数，所以18的相反数是18，故选C．9、D【解析】利用抛物线开口方向得到a＜0，再由抛物线的对称轴方程得到b=-2a，则3a+b=a，于是可对①进行判断；利用2≤c≤3和c=-3a可对②进行判断；利用二次函数的性质可对③进行判断；根据抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n-1有两个交点可对④进行判断．【详解】∵抛物线开口向下，∴a＜0，而抛物线的对称轴为直线x=-=1，即b=-2a，∴3a+b=3a-2a=a＜0，所以①正确；∵2≤c≤3，而c=-3a，∴2≤-3a≤3，∴-1≤a≤-，所以②正确；∵抛物线的顶点坐标（1，n），∴x=1时，二次函数值有最大值n，∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，所以③正确；∵抛物线的顶点坐标（1，n），∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n-1有两个交点，∴关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，所以④正确．故选D．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．10、B【解析】由已知条件可得ABC DAC ~,可得出AC BC DC AC =,可求出AC 的长． 【详解】解：由题意得：∠B =∠DAC ，∠ACB=∠ACD,所以ABC DAC ~，根据“相似三角形对应边成比例”，得AC BC DC AC=，又AD 是中线，BC =8，得DC=4,代入可得AC=42,故选B.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质．灵活运用相似的性质可得出解答．11、A【解析】在直角三角形AOB 中，由斜边上的中线等于斜边的一半，求出OB 的长，根据周长求出直角边之和，设其中一直角边AB =x ，表示出OA ，利用勾股定理求出AB 与OA 的长，过D 作DE 垂直于x 轴，得到E 为OA 中点，求出OE 的长，在直角三角形DOE 中，利用勾股定理求出DE 的长，利用反比例函数k 的几何意义求出k 的值，确定出三角形AOC 面积即可．【详解】在Rt △AOB 中，AD =2，AD 为斜边OB 的中线，∴OB =2AD =4，由周长为6，得到AB +AO 6，设AB =x ，则AO 6-x ，根据勾股定理得：AB 2+OA 2=OB 2，即x 2+（6-x ）2=42，整理得：x 26x +4=0，解得x 1，x 2∴AB ，OA ，过D 作DE ⊥x 轴，交x 轴于点E ，可得E 为AO 中点，∴OE =12OA =12（假设OA ，与OA ，求出结果相同），在Rt △DEO 中，利用勾股定理得：DE 12)），∴k =-DE •OE =-12)）×12）=1. ∴S △AOC =12DE •OE =12， 故选A ．【点睛】本题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：勾股定理，直角三角形斜边的中线性质，三角形面积求法，以及反比例函数k 的几何意义，熟练掌握反比例的图象与性质是解本题关键．12、D【解析】解：∵△ABC 、△DCE 、△FEG 是三个全等的等腰三角形，∴HI =AB =2，GI =BC =1，BI =2BC =2，∴AB BI =24=12BC AB ，=12，∴AB BI =BC AB ．∵∠ABI =∠ABC ，∴△ABI ∽△CBA ，∴AC AI =AB BI．∵AB =AC ，∴AI =BI =2．∵∠ACB =∠FGE ，∴AC ∥FG ，∴QI AI =GI CI =13，∴QI =13AI =43．故选D ． 点睛：本题主要考查了平行线分线段定理，以及三角形相似的判定，正确理解AB ∥CD ∥EF ，AC ∥DE ∥FG 是解题的关键．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13、5.5×1．【解析】分析：科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．详解：5.5亿=5 5000 0000=5.5×1， 故答案为5.5×1． 点睛：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．14、1．【解析】设大量角器的左端点是A，小量角器的圆心是B，连接AP，BP，则∠APB=90°，∠ABP=65°，因而∠PAB=90°﹣65°=25°，在大量角器中弧PB所对的圆心角是1°，因而P在大量角器上对应的度数为1°．故答案为1．15、3【解析】按顺序先进行负指数幂的运算、代入特殊角的三角函数值，然后再进行减法运算即可.【详解】（﹣12）﹣2﹣2cos60°=4-2×1 2=3，故答案为3.【点睛】本题考查了实数的运算，涉及了负指数幂、特殊角的三角函数值，熟练掌握相关的运算法则是解题的关键.16、36°或37°．【解析】分析：先过E作EG∥AB，根据平行线的性质可得∠AEF=∠BAE+∠DFE，再设∠CEF=x，则∠AEC=2x，根据6°＜∠BAE＜15°，即可得到6°＜3x-60°＜15°，解得22°＜x＜25°，进而得到∠C的度数．详解：如图，过E作EG∥AB，∵AB∥CD，∴GE∥CD，∴∠BAE=∠AEG，∠DFE=∠GEF，∴∠AEF=∠BAE+∠DFE，设∠CEF=x，则∠AEC=2x，∴x+2x=∠BAE+60°，∴∠BAE=3x-60°，又∵6°＜∠BAE＜15°，∴6°＜3x-60°＜15°，解得22°＜x＜25°，又∵∠DFE是△CEF的外角，∠C的度数为整数，∴∠C=60°-23°=37°或∠C=60°-24°=36°，故答案为：36°或37°．点睛：本题主要考查了平行线的性质以及三角形外角性质的运用，解决问题的关键是作平行线，解题时注意：两直线平行，内错角相等．17、32或94【解析】①点A落在矩形对角线BD上，如图1，∵AB=4，BC=3，∴BD=5，根据折叠的性质，AD=A′D=3，AP=A′P，∠A=∠PA′D=90°，∴BA′=2，设AP=x，则BP=4﹣x，∵BP2=BA′2+PA′2，∴（4﹣x）2=x2+22，解得：x=32，∴AP=32；②点A落在矩形对角线AC上，如图2，根据折叠的性质可知DP⊥AC，∴△DAP∽△ABC，∴AD AB AP BC=，∴AP=AD BCAB=334⨯=94．故答案为32或94．18、1．【解析】先设点D坐标为（a，b），得出点B的坐标为（2a，2b），A的坐标为（4a，b），再根据△AOD的面积为3，列出关系式求得k的值．解：设点D坐标为（a，b），∵点D为OB的中点，∴点B的坐标为（2a，2b），∴k=4ab，又∵AC⊥y轴，A在反比例函数图象上，∴A的坐标为（4a，b），∴AD=4a﹣a=3a，∵△AOD的面积为3，∴×3a×b=3，∴ab=2，∴k=4ab=4×2=1．故答案为1“点睛”本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，以及运用待定系数法求反比例函数解析式，根据△AOD的面积为1列出关系式是解题的关键．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19、（1）证明见解析（2）222（32【解析】（1）根据题中“完美矩形”的定义设出AD与AB，根据AP=AD，利用勾股定理表示出PD，即可得证；（2）如图，作点P关于BC的对称点P′，连接DP′交BC于点E，此时△PDE的周长最小，设AD=PA=BC=a，表示出AB与CD，由AB-AP表示出BP，由对称的性质得到BP=BP′，由平行得比例，求出所求比值即可；（3）GH=2，理由为：由（2）可知BF=BP=AB-AP，由等式的性质得到MF=DN，利用AAS得到△MFH≌△NDH，利用全等三角形对应边相等得到FH=DH，再由G为CF中点，得到HG为中位线，利用中位线性质求出GH的长即可．【详解】（1）在图1中，设AD=BC=a，则有AB=CD=2a，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，∵PA=AD=BC=a，∴PD=22AD PA+=2a，∵AB=2a，∴PD=AB；（2）如图，作点P关于BC的对称点P′，连接DP′交BC于点E，此时△PDE的周长最小，设AD=PA=BC=a，则有2a，∵BP=AB-PA，∴2a-a，∵BP′∥CD，∴2222BE BP a aCE CD a--===；（3）2，理由为：由（2）可知BF=BP=AB-AP，∵AP=AD，∴BF=AB-AD ，∵BQ=BC ，∴AQ=AB-BQ=AB-BC ，∵BC=AD ，∴AQ=AB-AD ，∴BF=AQ ，∴QF=BQ+BF=BQ+AQ=AB ，∵AB=CD ，∴QF=CD ，∵QM=CN ，∴QF-QM=CD-CN ，即MF=DN ，∵MF ∥DN ，∴∠NFH=∠NDH ，在△MFH 和△NDH 中，{MFH NDHMHF NHD MF DN∠∠∠∠＝＝＝ ，∴△MFH ≌△NDH （AAS ），∴FH=DH ，∵G 为CF 的中点，∴GH 是△CFD 的中位线，∴GH=12CD=122⨯×2=2． 【点睛】此题属于相似综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线性质，平行线的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质是解本题的关键．20、（1）共调查了50名学生；统计图见解析；（2）72°；（3）.【解析】（1）用最喜爱相声类的人数除以它所占的百分比即可得到调查的总人数,先计算出最喜欢舞蹈类的人数，然后补全条形统计图；（2）用360°乘以最喜爱歌曲类人数所占的百分比得到“歌曲”所在扇形的圆心角的度数；（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出抽取的2名学生恰好来自同一个班级的结果数，然后根据概率公式求解．【详解】解：(1)14÷28%＝50， ∴本次共调查了50名学生．补全条形统计图如下．(2)在扇形统计图中，“歌曲”所在扇形的圆心角的度数为360°×＝72°.(3)设一班2名学生为数字“1”，“1”，二班2名学生为数字“2”，“2”，画树状图如下．共有12种等可能的结果，其中抽取的2名学生恰好来自同一个班级的结果有4种，∴抽取的2名学生恰好来自同一个班级的概率P ＝＝.【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n ，再从中选出符合事件A 或B 的结果数目m ，然后利用概率公式计算事件A 或事件B 的概率．也考查了统计图．21、121717x x +-== 【解析】先找出a ，b ，c ，再求出b 2-4ac=28，根据公式即可求出答案．【详解】解：x 22-2-43-2±⨯⨯（）（） =173 即121717x x +-==∴原方程的解为12x x ==. 【点睛】 本题考查对解一元二次方程-提公因式法、公式法，因式分解法等知识点的理解和掌握，能熟练地运用公式法解一元二次方程是解此题的关键．22、1【解析】根据特殊角的三角函数值、零指数幂的运算法则、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质进行化简，计算即可．【详解】原式﹣1=1． 【点睛】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．23、（1）证明略；（2）BC=52，BF=320. 【解析】试题分析：（1）连结AE.有AB 是⊙O 的直径可得∠AEB=90°再有BF 是⊙O 的切线可得BF ⊥AB ，利用同角的余角相等即可证明；（2）在Rt △ABE 中有三角函数可以求出BE ，又有等腰三角形的三线合一可得BC=2BE,过点C 作CG ⊥AB 于点G .可求出AE,再在Rt △ABE 中，求出sin ∠2，cos ∠2.然后再在Rt △CGB 中求出CG ，最后证出△AGC ∽△ABF 有相似的性质求出BF 即可.试题解析：（1）证明：连结AE.∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠AEB=90°，∴∠1+∠2=90°.∵BF 是⊙O 的切线，∴BF ⊥AB ， ∴∠CBF +∠2=90°.∴∠CBF =∠1.∵AB=AC ，∠AEB=90°， ∴∠1=21∠CAB. ∴∠CBF=21∠CAB.（2）解：过点C 作CG ⊥AB 于点G .∵sin ∠CBF=55，∠1=∠CBF ， ∴sin ∠1=55. ∵∠AEB=90°，AB=5. ∴BE=AB·sin ∠1=5.∵AB=AC ，∠AEB=90°， ∴BC=2BE=52.在Rt △ABE 中，由勾股定理得5222=-=BE AB AE .∴sin ∠2=552，cos ∠2=55. 在Rt △CBG 中，可求得GC=4，GB=2. ∴AG=3.∵GC ∥BF ， ∴△AGC ∽△ABF. ∴ABAG BF GC =， ∴320=⋅=AG AB GC BF . 考点：切线的性质，相似的性质，勾股定理.24、（1）y=﹣12x 2+32x+2；（2）m=﹣1或m=3时，四边形DMQF 是平行四边形；（3）点Q 的坐标为（3，2）或（﹣1，0）时，以点B 、Q 、M 为顶点的三角形与△BOD 相似．【解析】分析：（1）待定系数法求解可得；（2）先利用待定系数法求出直线BD 解析式为y=12x-2，则Q （m ，-12m 2+32m+2）、M （m ，12m-2），由QM ∥DF 且四边形DMQF 是平行四边形知QM=DF ，据此列出关于m 的方程，解之可得；（3）易知∠ODB=∠QMB ，故分①∠DOB=∠MBQ=90°，利用△DOB ∽△MBQ 得12DO MB OB BQ ==，再证△MBQ ∽△BPQ 得BM BP BQ PQ =，即214132222m m m -=-++，解之即可得此时m 的值；②∠BQM=90°，此时点Q 与点A 重合，△BOD ∽△BQM′，易得点Q 坐标．详解：（1）由抛物线过点A （-1，0）、B （4，0）可设解析式为y=a （x+1）（x-4），将点C （0，2）代入，得：-4a=2，解得：a=-12， 则抛物线解析式为y=-12（x+1）（x-4）=-12x 2+32x+2； （2）由题意知点D 坐标为（0，-2）， 设直线BD 解析式为y=kx+b ，将B （4，0）、D （0，-2）代入，得：402k b b +⎧⎨-⎩＝＝，解得：122k b ⎧⎪⎨⎪-⎩＝＝， ∴直线BD 解析式为y=12x-2， ∵QM ⊥x 轴，P （m ，0），∴Q （m ，-12m 2+32m+2）、M （m ，12m-2）， 则QM=-12m 2+32m+2-（12m-2）=-12m 2+m+4， ∵F （0，12）、D （0，-2）， ∴DF=52， ∵QM ∥DF ，∴当-12m 2+m+4=52时，四边形DMQF 是平行四边形， 解得：m=-1（舍）或m=3，即m=3时，四边形DMQF 是平行四边形； （3）如图所示：∵QM∥DF，∴∠ODB=∠QMB，分以下两种情况：①当∠DOB=∠MBQ=90°时，△DOB∽△MBQ，则21=42 DO MBOB BQ==，∵∠MBQ=90°，∴∠MBP+∠PBQ=90°，∵∠MPB=∠BPQ=90°，∴∠MBP+∠BMP=90°，∴∠BMP=∠PBQ，∴△MBQ∽△BPQ，∴BM BPBQ PQ=，即214132222mm m-=-++，解得：m1=3、m2=4，当m=4时，点P、Q、M均与点B重合，不能构成三角形，舍去，∴m=3，点Q的坐标为（3，2）；②当∠BQM=90°时，此时点Q与点A重合，△BOD∽△BQM′，此时m=-1，点Q的坐标为（-1，0）；综上，点Q的坐标为（3，2）或（-1，0）时，以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似．点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及分类讨论思想的运用．【详解】请在此输入详解！25、（1）50；（2）108°；（3）12．【解析】分析：（1）根据B组的人数和所占的百分比，即可求出这次被调查的总人数，从而补全统计图；用360乘以A组所占的百分比，求出A组的扇形圆心角的度数，再用总人数减去A、B、D组的人数，求出C组的人数；（2）画出树状图，由概率公式即可得出答案．本题解析：解：(1)调查的总人数是：19÷38%＝50(人)．C组的人数有50－15－19－4＝12(人)，补全条形图如图所示．(2)画树状图如下．共有12种等可能的结果，恰好选中甲的结果有6种，∴P (恰好选中甲)＝61122=．点睛：本题考查了列表法与树状图、条形统计图的综合运用．熟练掌握画树状图法，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．26、21x -2 【解析】 分析：先把分值分母因式分解后约分，再进行通分得到原式=21x -，然后把x 的值代入计算即可． 详解：原式=311x x x -+-（）（）•213x x （）+-﹣1 =11x x +-﹣11x x -- =21x - 当x 2+1时，原式211+-2． 点睛：本题考查了分式的化简求值：先把分式化简后，再把分式中未知数对应的值代入求出分式的值．27、45人 【解析】解：设原计划有x 人参加了这次植树活动依题意得：18018021.5x x=+ 解得 x=30人经检验x=30是原方程式的根实际参加了这次植树活动1.5x=45人答实际有45人参加了这次植树活动．。
2021年浙江省杭州市中考数学试题(word版,含答案解析)
2021年浙江省杭州市中考数学试卷一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分。
1．（3分）(2021)(--= ) A ．2021-B ．2021C ．12021-D ．120212．（3分）“奋斗者”号载人潜水器此前在马里亚纳海沟创造了10909米的我国载人深潜记录．数据10909用科学记数法可表示为( ) A ．50.1090910⨯B ．41.090910⨯C ．310.90910⨯D ．2109.0910⨯3．（3分）因式分解：214(y -= ) A ．(12)(12)y y -+B ．(2)(2)y y -+C ．(12)(2)y y -+D ．(2)(12)y y -+4．（3分）如图，设点P 是直线l 外一点，PQ l ⊥，垂足为点Q ，点T 是直线l 上的一个动点，连结PT ，则( )A ．2PT PQB ．2PT PQC ．PT PQD ．PT PQ5．（3分）下列计算正确的是( ) A 222B 2(2)2-=-C 222=±D 2(2)2-±6．（3分）某景点今年四月接待游客25万人次，五月接待游客60.5万人次．设该景点今年四月到五月接待游客人次的增长率为(0)x x >，则( ) A ．60.5(1)25x -=B ．25(1)60.5x -=C ．60.5(1)25x +=D ．25(1)60.5x +=7．（3分）某轨道列车共有3节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等．某天甲、乙两位乘客同时乘同一列轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是( )A ．15B ．14 C ．13D ．128．（3分）在“探索函数2y ax bx c =++的系数a ，b ，c 与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点：(0,2)A ，(1,0)B ，(3,1)C ，(2,3)D ．同学们探索了经过这四个点中的三个点的二次函数图象，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中a 的值最大为( )A ．52B ．32C ．56D ．129．（3分）已知线段AB ，按如下步骤作图：①作射线AC ，使AC AB ⊥；②作BAC ∠的平分线AD ；③以点A 为圆心，AB 长为半径作弧，交AD 于点E ；④过点E 作EP AB ⊥于点P ，则:(AP AB = )A ．5B ．1:2C ．3D ．210．（3分）已知1y 和2y 均是以x 为自变量的函数，当x m =时，函数值分别是1M 和2M ，若存在实数m ，使得120M M +=，则称函数1y 和2y 具有性质P ．以下函数1y 和2y 具有性质P 的是( )A ．212y x x =+和21y x =--B ．212y x x =+和21y x =-+C ．11y x=-和21y x =--D ．11y x=-和21y x =-+二、填空题：本大题有6个小题，每小题4分，共24分。
浙江省各市各区2021年中考模拟数学试题汇编：一次函数解答题(解析版)
浙江省各市各区2021年中考模拟数学试题汇编：一次函数解答1．（2021•西湖区校级三模）如图，公路上依次有A，B，C三个汽车站，上午8时，小明骑自行车从A，B两站之间距离A站8km处出发，向C站匀速前进，他骑车的速度是每小时16.5km，若A，B两站间的路程是26km，B，C两站的路程是15km．（1）设小明出发x小时后，离A站路程为ykm，请写出y与x之间的关系式．（2）小明在上午9时是否已经经过了B站？（3）小明大约在什么时刻能够到达C站？2．（2021•宁波模拟）一天早晨，小甬从家出发匀速步行到学校，小甬出发一段时间后，他的妈妈发现小甬忘带了一件必需的学习用品，于是立即下楼骑自行车，沿小甬行进的路线，匀速去追小甬．妈妈追上小甬将学习用品交给小甬后，立即沿原路线匀速返回家里，但由于路上行人渐多，妈妈返回时骑车的速度只是原来速度的一半．小甬继续以原速度步行前往学校．妈妈与小甬之间的距离y（米）与小甬从家出发后步行的时间x（分）之间的关系如图所示（小甬和妈妈上、下楼以及妈妈交学习用品给小甬耽搁的时间忽略不计）．（1）根据图象直接写出在小甬出发几分钟后妈妈追上小甬；（2）求小甬去学校的速度以及妈妈追上小甬前的速度；（3）当妈妈刚回到家时，求小甬离学校的距离．3．（2021•瓯海区模拟）体育中考对球类需求很大，某商店用1600元购进20个同种型号篮球和10个同种型号排球，每一个篮球的进价比排球的进价多20元．（1）求每一个篮球和排球的进价各是多少元？（2）由于篮球和排球畅销，该商店计划用2800元（全部用完）购进篮球和排球，总数不超过60个，篮球的销售单价为100元，排球的销售单价为70元，若篮球、排球全部售出，则应如何进货才能使利润最大，并求出最大利润．（利润＝售价﹣进价）（3）考虑到学生对足球也有需求，若该商店用2800元（全部用完）购进篮球、排球和足球，且篮球数量是排球数量的2倍，已知每一个足球进价为35元，则该店至少可以购进三类球共多少个？4．（2021•西湖区校级二模）如图是小明“探究拉力F与斜面高度h关系”的实验装置，A、B是水平面上两个固定的点，用弹簧测力计拉着重为6N的木块分别沿倾斜程度不同的斜面BC向上做匀速直线运动，经测算，在弹性范围内，沿斜面的拉力F（N）是高度h（m）的一次函数．实验结果如图1、图2所示：（1）求出F与h之间的函数表达式；（2）如图3，若该装置的高度h为0.22m，求测量得到拉力F；（3）若弹簧测力计的最大量程是5N，求装置高度h的取值范围．5．（2021•拱墅区模拟）已知关于x的一次函数y＝2ax+x﹣a+1（a为常数，且a≠0）．（1）当自变量1对应的函数值为5时，求a的值；（2）对任意非零实数a，一次函数的图象都经过点Q，请求点Q的坐标．6．（2021•西湖区校级二模）一次函数y＝ax﹣a+1（a为常数，且a＜0）．（1）若点（2，﹣3）在一次函数y＝ax﹣a+1的图象上，求a的值；（2）当﹣1≤x≤2时，函数有最大值2，求a的值．7．（2021•金东区二模）如图1，在矩形ABCD中，动点P沿着边AB从点A运动到点B，同时动点Q沿着边BC，CD从点B运动到点D，它们同时到达终点，若点Q的运动路程x与线段BP的长y满足y＝﹣x+8，BD与PQ交于点E．（1）求AB，BC的长．（2）如图2，当点Q在CD上时，求．（3）将矩形沿着PQ折叠，点B的对应点为点F，连接EF，当EF所在直线与△BCD的一边垂直时，求BP的长．8．（2021•萧山区二模）如图，直线l 1：y ＝x +1与直线l 2：y ＝mx +n 相交于点P （1，b ）． （1）直接写出不等式x +1＞mx +n 的解集； （2）直接写出方程组的解；（3）直线l 3：y ＝nx +m 是否也经过点P ？请说明理由．9．（2021•龙湾区二模）某游泳馆有以下两种购票方式：一是普通门票每张30元；二是置办年卡（从购买日起，可持年卡使用一年）．年卡每张m 元（480≤m ≤550，m 为整数），且年卡持有者每次进入时，还需购买一张固定金额的入场券．设市民在一年中去游泳馆x 次，购买普通门票和年卡所需的总费用分别为y 1（元）和y 2（元）． （1）如图1，若m ＝480，当x ＝20时，两种购票方式的总费用y 1与y 2相等． ①分别求y 1，y 2关于x 的函数表达式．②要使市民办年卡比购买普通门票的总费用至少节省144元，则该市民当年至少要去游泳馆多少次？（2）为增加人气，该游泳馆推出了每位顾客n （n ＜30）次免费体验活动，如图2．某市民发现在这一年进游泳馆的次数达到30次（含免费体验次数）时，两种购票方式的总费用y 1与y 2相等，求所有满足条件的m 的值．10．（2021•宁波模拟）周日上午8：00小聪从家里出发，骑公共自行车前往离家5千米的新华书店，1小时后小聪爸爸从家里出发，沿同一条路以25千米/时的速度开车去接小聪，一起买好书后接上小聪按原速度返回家中，已知小聪在书店停留的时间比爸爸多0.7小时，两人离家的路程y（千米）与小聪所用的时间x（小时）之间的函数关系如图所示，根据图象回答下列问题：（1）求爸爸在新华书店停留的时间及小聪骑自行车的速度；（2）求小聪爸爸开车返回途中，y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（3）问上午几时小聪爸爸离家路程为2.5千米．11．（2021•上城区一模）某校九年级开展了一次数学竞赛，赛后购买总金额为480元的奖品，对获奖学生进行奖励．设有x名学生获奖，奖品均价y元．（1）写出y关于x的函数表达式；（2）该年级共有学生400人，①若未获奖学生数是获奖学生数的4倍多25人，求奖品的均价；②若获奖学生不超过该年级学生总数的25%，且不低于学生总人数的15%，求奖品均价的取值范围．12．（2021•西湖区一模）已知一次函数y＝k（x﹣3）（k≠0）．（1）求证：点（3，0）在该函数图象上．（2）若该函数图象向上平移2个单位后过点（4，﹣2），求k的值．（3）若k＜0，点A（x1，y1），B（x2，y2）在函数图象上，且y1＜y2，判断x1﹣x2＜0是否成立？请说明理由．13．（2021•宁波模拟）甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，甲车匀速前往B地，到达B 地立即以另一速度按原路匀速返回到A地，乙车匀速前往A地．设甲、乙两车距A地的路程为y（千米），甲车行驶的时间为x（小时），y与x之间的函数图象如图所示．（1）求甲车返回时y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（2）在甲车返回到A地的过程中，当x为何值时，甲、乙两车相距190千米？14．（2021•鹿城区一模）下表是某奶茶店的一款奶茶近两天的销售情况．销售情况销售数量（单位：杯）销售收入（单位：元）小杯大杯第一天20 30 460第二天25 25 450（1）问这款奶茶小杯和大杯的销售单价各是多少元？（2）已知这款奶茶小杯成本4元/杯，大杯成本5元/杯，奶茶店每天只能供应80杯该款奶茶，其中小杯不少于10杯，求该款奶茶一天的最大利润．（销售利润＝销售收入﹣成本）（3）为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完杯型后可以自主选择加料或者不加料．小明恰好用了208元购买该款奶茶，其中小杯不加料的数量是总杯数的，则小明这款奶茶大杯加料的买了杯．15．（2021•下城区一模）某列“复兴号”高铁从A站出发，以350km/h的速度向B站匀速行驶（途中不停靠），设行驶的时间为t（h），所对应的行驶路程为s（km）．（1）写出s关于t的函数表达式．（2）已知B站距离A站1400km，这列高铁在上午7点时离开A站．①几点到达B站？②若C站在A站和B站之间，且B，C两站之间的距离为300km，借助所学的数学知识说明：列车途经C站时，已过上午10点．16．（2021•滨江区一模）在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b（k，b都是常数，且k ≠0）的图象经过点（1，0）和（0，﹣1）．（1）当﹣1＜x≤2时，y的取值范围．（2）已知点P（m，n）在该函数的图象上，且m+n＝5，求点P的坐标．17．（2021•西湖区二模）一辆汽车从甲地出发前往相距350千米的乙地，在行驶了100千米后，因降雨，汽车每行驶1千米的耗油量比降雨前多0.02升．如图中的折线ABC反映了该汽车行驶过程中，油箱中剩余的油量y（升）与行驶的路程x（千米）之间的函数关系．（1）当0≤x≤100时，求y关于x的函数解析式（不需要写出定义域）；（2）当汽车到达乙地时，求油箱中的剩余油量．18．（2021•宁波一模）时下少儿编程是一个很热门的项目，需要有良好的数学逻辑思维，某次由编程控制的两辆模型车沿同一路线同时从A点出发驶向B点，途中乙车按照程序设定停车一段时间，然后以一定的速度匀速驶向B点，甲车从A到B点速度始终保持不变，如图所示是甲、乙两车之间的距离y（分米）与两车出发时间x（分钟）的函数图象．根据相关信息解答下列问题：（1）点M的坐标表示的实际意义是什么？（2）求出MN所表示的关系式，并写出乙车停车后再出发的速度．（3）求停车前两车的速度以及a的值．19．（2021•宁波模拟）在第24届中国（昆明泛亚）兰花博览会上，镇海接过中国兰花博览会会旗，成为2015年中国第25届兰花博览会的举办地．为了让这些兰花走向世界，镇海区政府决定组织21辆汽车装运扑地兰、蕙兰、春剑兰这三种兰花共120吨，参加兰花博览会，现有A型、B型、C型三种汽车可供选择．已知每种型号汽车可同时装运2种兰花，且每辆车必须装满．根据下表信息，解答问题．每辆汽车运载量（吨）每辆汽车的运费（元）扑地兰蕙兰春剑兰A型车 2 2 1500B型车 4 2 1800C型车 1 6 2000 （1）设A型汽车安排x辆，B型汽车安排y辆，求y与x之间的函数关系式．（2）如果三种型号的汽车都不少于4辆，车辆安排有几种方案？并写出每种方案．（3）为节约运费，应采用（2）中哪种方案？并求出最少运费．20．（2021•瑞安市一模）如图，直线y＝﹣x+b与x轴，y轴分别交于A，B两点，点A 的坐标为（6，0）．在x轴的负半轴上有一点C（﹣4，0），直线AB上有一点D，且CD ＝OD．（1）求b的值及点D的坐标；（2）在线段AB上有一个动点P，点P的横坐标为a，作点P关于y轴的对称点Q，当点Q落在△CDO内（不包括边界）时，求a的取值范围．21．（2021•宁波模拟）甲、乙两人分别从公园长廊在同一直线上的A、B两地同时出发，相向匀速慢跑，甲以6m/s的速度慢跑到B地后，立即按原速返回，乙在第一次相遇后将速度提高到原来的1.5倍，之后匀速慢跑到A地，且乙到达A地后立即以提速后的速度返回，直到两人再次相遇时停止．甲、乙两人之间的路程y（m）与慢跑时间x（s）之间的函数图象如图所示．（1）乙在两人第一次相遇前的速度为m/s，乙到A地的时间为s．（2）求乙从A地返回B地时y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）直接写出两次相遇时乙距出发地的路程．22．（2021•海曙区模拟）某款轿车每行驶100千米的耗油量y升与其行驶速度x千米/小时之间的函数关系图象如图所示，其中线段AB的表达式为y＝﹣x+13（25≤x≤100），点C的坐标为（140，14），即行驶速度为140千米/小时时该轿车每行驶100千米的耗油量是14升．（1）求线段BC的表达式；（2）如果从甲地到乙地全程为260千米，其中有60千米限速50千米/小时的省道和200千米限速120千米/小时的高速公路，那么在不考虑其他因素的情况下，这款轿车从甲地行驶到乙地至少需要耗油多少升？23．（2021•瓯海区模拟）温州市开展“明眸皓齿”工程以后，某商店准备购进A，B两种护眼灯，已知每台护眼灯的进价A种比B种多40元，用2000元购进A种护眼灯和用1600元购进B种护眼灯的数量相同．（1）A，B两种护眼灯每台进价各是多少元？（2）该商店计划用不超过14550元的资金购进A，B两种护眼灯共80台，A，B两种护眼灯的每台售价分别为300元和200元．①若这两种护眼灯全部售出，则该商店应如何进货才能获得最大利润？最大利润是多少？②若该商店捐赠8台护眼灯给温州市社会福利院，且剩余的护眼灯全部售出，现要使得80台护眼灯的利润率等于20%，则该商店应购进A，B两种护眼灯各多少台？（利润率＝×100%）24．（2021•宁波模拟）如图，一辆货车和一辆轿车先后从甲地开往乙地，线段OA表示货车离开甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系；折线BCD表示轿车离开甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的函数关系，请根据图象解答下列问题：（1）求线段CD所在直线的函数表达式．（2）货车出发多长时间两车相遇？此时两车距离乙地多远？25．（2021•拱墅区二模）用充电器给某手机充电时，其屏幕的起始画面如图①．经测试，在用快速充电器和普通充电器对该手机充电时，其电量E（单位：%）与充电时间t（单位：h）的函数图象分别为图②中的线段AB、AC．根据以上信息，回答下列问题：（1）在目前电量20%的情况下，用充电器给该手机充满电时，快速充电器比普通充电器少用多少小时？（2）求线段AB、AC对应的函数表达式；（3）已知该手机正常使用时耗电量为每小时10%，在用快速充电器将其充满电后，正常使用ah，接着再用普通充电器将其充满电（假设充电过程中不耗电），其“充电﹣耗电﹣充电”的时间恰好是6h，求a的值．参考答案1．【分析】（1）首先表示出小明出发x小时后所行驶的路程，再加上8km就是离A站的路程；（2）小明8时出发到9时行驶了1小时，计算出小明此时距离A站的路程，与AB两站之间的路程进行比较即可；（3）根据题意可得方程16.5x+8＝26+15，解方程即可．【解答】解：（1）小明出发x小时后所行驶的路程是16.5xkm，离A站的路程为：y＝16.5x+8，∴y与x之间的关系式为y＝16.5x+8；（2）当x＝1时，y＝16.5+8＝24.5＜26，∴上午9时小明还没有经过B站，答：上午9时小明还没有经过B站；（3）解方程16.5x+8＝26+15，得x＝2，8+2＝10，故小明大约在上午10时到达C站．答：小明大约在上午10时到达C站．2．【分析】（1）由图象直接求出妈妈追上小甬的时间；（2）先求出小甬的速度，再求出小甬步行15分钟的路程，从而求出妈妈追上小甬前的速度；（3）由题意可知妈妈回去时的速度，求出妈妈回家所用时间，从而求出小甬所用时间和路程即可．【解答】解：（1）∵y表示妈妈与小甬之间的距离，当y＝0时，妈妈追上小甬，∴小甬出发15分钟后妈妈追上小甬；（2）∵小甬的速度始终不变，∴小甬的速度为：＝40（米/分），小甬步行15分中的路程为：15×40＝600（米），∵妈妈花了5分钟追上小甬，∴妈妈追上小甬前的速度为：＝120（米/分），答：小甬去学校的速度40米/分，妈妈追上小甬前的速度120米/分；（3）∵妈妈返回时骑车的速度只是原来速度的一半，∴妈妈回家的速度为：＝60（米/分），妈妈回家用时：＝10（分），小甬此时一共走了：10+5+10＝25（分），小甬走的路程：25×40＝1000（米），1200﹣1000＝200（米），∴妈妈刚回到家时，小甬离学校的距离为200米，答：妈妈刚回到家时，小甬离学校的距离为200米．3．【分析】（1）设每一个篮球的进价是x元，则每一个排球的进价是（x﹣20）元，根据题意列方程求解即可；（2）设购进篮球m个，排球n个，现根据商店计划用2800元（全部用完）购进篮球和排球，总数不超过60个得出m的取值范围，再根据利润＝售价﹣进价列出利润w关于m 的函数关系式，根据函数的性质求值即可；（3）设购进排球x个，则篮球2x个，足球y个，由60•2x+40•x+35y＝2800，得出y＝80﹣x，再根据x、y是整数求出y的最小值，从而得出结论．【解答】解：（1）设每一个篮球的进价是x元，则每一个排球的进价是（x﹣20）元，依题意得：20x+10（x﹣20）＝1600，解得：x＝60（元），则x﹣20＝60﹣20＝40（元），答：每一个篮球的进价是60元，每一个排球的进价是40元；（2）设购进篮球m个，排球n个，由题意得：，解得：m≥20，利润w＝（100﹣60）m+（70﹣40）n＝40m+30n＝40m+30×＝﹣5m+2100，∵﹣5＜0，∴当m＝20时，w有最大值，最大值为：﹣5×20+2100＝2000（元），答：篮球的进货量不小于20，当进篮球20个时利润最大，最大利润为2000元；（3）设购进排球x个，则篮球2x个，足球y个，由题意得：60•2x+40•x+35y＝2800，解得：y＝80﹣x，∵y＞0，∴80﹣x＞0，解得：x＜，∵x是7的整数倍时，y是整数，∴当x取最大值14时，y有最小值16，此时，篮球有2×14＝28，则该店至少购进三种球为：28+14+16＝58（个），答：该店至少购进三种球58个．4．【分析】（1）先设出拉力F与高h的函数关系式为：F＝kh+b，用待定系数法求出函数解析式；（2）把h＝0.22m代入（1）中解析式即可：（3）根据弹簧测力计的最大量程是5N可得F≤5，从而求出h的取值范围．【解答】解：（1）∵在弹性范围内，沿斜面的拉力F（N）是高度h（m）的一次函数，∴设拉力F与高h的函数关系式为：F＝kh+b，由图1、图2知函数经过（0.1，2）和（0.2，3）两点，可得：，解得：，∴拉力F与高h的函数关系式为：F＝10h+1，答：拉力F与高h的函数关系式为：F＝10h+1；（2）由（1）知：当h＝0.22m时，F＝10×0.22+1＝3.2（N），答：测量得到拉力F为3.2N；（3）∵F≤5，∴10h+1≤5，解得：h≤0.4（m），∴高度h的取值范围为：0＜h≤0.4，答：装置高度h的取值范围：0＜h≤0.4．5．【分析】（1）把x＝1，y＝5代入y＝2ax+x﹣a+1即可求得a＝3；（2）当x＝时，y＝2ax+x﹣a+1＝a+﹣a+1＝，即可得到点Q（，）．【解答】解：（1）把x＝1，y＝5代入y＝2ax+x﹣a+1（a为常数，且a≠0）得，5＝2a+1﹣a+1，解得a＝3；（2）∵当x＝时，y＝2ax+x﹣a+1＝a+﹣a+1＝，∴对任意非零实数a，一次函数的图象都经过点（，），∴Q（，）．6．【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征把（2，﹣3）代入y＝ax﹣a+1中可求出a的值；（2）a＜0时，y随x的增大而减小，所以当x＝﹣1时，y有最大值2，然后把x＝﹣1代入函数关系式可计算对应a的值．【解答】解：（1）把（2，﹣3）代入y＝ax﹣a+1得2a﹣a+1＝﹣3，解得a＝﹣4；（2）∵a＜0时，y随x的增大而减小，则当x＝﹣1时，y有最大值2，把x＝﹣1代入函数关系式得 2＝﹣a﹣a+1，解得a＝﹣，所以a＝﹣．7．【分析】（1）当x＝0时，y＝8，此时P点和A点重合，则AB＝8．当y＝0时，x＝14，则BC＝14﹣8＝6；（2）矩形ABCD中，AB∥CD，得△BEP∽△DQE，得＝＝＝；（3）①点Q在BC上时，如图1，EF⊥OC，先说明BE＝BQ，由（2）得，BE＝BD＝，得BQ＝，由点Q的运动路程x与线段BP的长y满足y＝﹣x+8，求出y＝﹣＝；②点Q在OC上时，EF⊥BC，图2，证明BP＝BE＝；③点Q在OC上时，EF⊥BD，如图3，由翻折得∠FEP＝∠BEP＝45°，以点D为原点，CD 为x轴建立平面直角坐标系，易得点E坐标（），以DE为直角边，在下方构建等腰直角△EDG，过点E、G分别作y轴垂线，垂足为M、N，得△MED≌△NDG，得ME＝ON＝，MO＝NG＝，点G坐标为（，﹣），用待定系数法求得EQ的关系式为：y＝7x﹣，当y＝6时，y＝7x﹣＝6，解得x＝，即可求解；④点Q在DC上时，EF⊥CD，如图4，先说明△BME∽△BAD，得，求出BM＝AB＝，ME＝AD＝，在Rt△FMP中，（）2+（﹣m）2＝m2，解得m＝．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝8，此时P点和A点重合，则AB＝8．当y＝0时，x＝14，则BC＝14﹣8＝6；（2）∵矩形ABCD中，AB∥CD，∴△BEP∽△DQE，∴＝＝＝；（3）①点Q在BC上时，如图1，EF⊥OC，∵矩形ABCD中，CB⊥OC，∴EF∥BQ，∴∠BQE＝∠FEQ，由翻折可得∠BEQ＝∠FEQ，∴∠BEQ＝∴∠BQE，∴BE＝BQ，由（2）得，BE＝BD＝，∴BQ＝，∵点Q的运动路程x与线段BP的长y满足y＝﹣x+8，∴y＝﹣＝；②点Q在OC上时，EF⊥BC，如图2，∴EF∥AB，∴∠BPE＝∠FEP，由翻折得∠BEP＝∠FEP，∴∠BPE＝∠BEP，∴BP＝BE＝；③点Q在OC上时，EF⊥BD，如图3，由翻折得∠FEP＝∠BEP＝45°，以点D为原点，CD为x轴建立平面直角坐标系，易得点E坐标（），以DE为直角边，在下方构建等腰直角△EDG，过点E、G分别作y轴垂线，垂足为M、N，得△MED≌△NDG，∴ME＝ON＝，MO＝NG＝，∴点G坐标为（，﹣），用待定系数法求得EQ的关系式为：y＝7x﹣，当y＝6时，y＝7x﹣＝6，解得x＝，∴BP＝8﹣＝；④点Q在DC上时，EF⊥CD，如图4，∵矩形ABCD中，AB∥CD，∴FE⊥AB，由翻折可得FE＝BE＝，PB＝FP，设PB＝FP＝m，∵EF∥AD，∴△BME∽△BAD，∴，∴BM＝AB＝，ME＝AD＝，∴FM＝，在Rt△FMP中，（）2+（﹣m）2＝m2，解得m＝．综上，PB＝或或或．8．【分析】（1）根据点P （1，b ）即可得到结论；（2）直接把（1，b ）代入y ＝x +1可得b 的值方程组的解就是两函数图象的交点；（3）根据l 2：y ＝mx +n 过点P （1，2）可得2＝m +n ，如果y ＝nx +m 经过点P 则点P 的坐标满足函数解析式，代入可得m +n ＝2，进而可得答案．【解答】解：（1）∵直线l 1：y ＝x +1与直线l 2：y ＝mx +n 相交于点P （1，b ）， ∴x +1＞mx +n 的解集为x ＞1；（2）把（1，b ）代入y ＝x +1可得：b ＝1+1＝2，∵直线l 1：y ＝x +1与直线l 2：y ＝mx +n 相交于点P （1，2）， ∴方程组的解为；（3）直线l 3：y ＝nx +m 经过点P ，理由：∵l 2：y ＝mx +n 过点P （1，2），∴2＝m +n ，将P （1，2）代入l 3：y ＝nx +m ，可得，m +n ＝2，因此直线l 3：y ＝nx +m 经过点P ．9．【分析】（1）①根据题意可以得到y 1，y 2关于x 的函数表达式；②由①中的函数表达式根据办年卡比购买普通门票的总费用至少节省144元可得关于x 的不等式，解不等式即可得出答案；（2）先设y 1＝30x +a ，y 2＝6x +b ，根据x ＝n 时y 的值求出a ，b ，再根据x ＝30时，y 1＝y 2，求出n 的取值范围，然后分情况求值即可．【解答】解：（1）①由题意得：y 1＝30x ，设y 2＝480+kx ，∵m ＝480，当x ＝20时，两种购票方式的总费用y 1与y 2相等，∴480+20k ＝30×20，解得：k ＝6，∴y 1＝30x ，y 2＝6x +480；②由市民办年卡比购买普通门票的总费用至少节省144元，得：30x ﹣6x ﹣480≥144，解得：x ≥26，∴该市民当年至少要去游泳馆26次，答：该市民当年至少要去游泳馆26次．（2）设y 1＝30x +a ，当x ＝n 时，y ＝0，∴a ＝﹣30n ，∴y 1＝30x ﹣30n ，设y 2＝6x +b ，当x ＝n 时，y ＝m ，∴b ＝m ﹣60，∴y 2＝6x +m ﹣60n ，∵x ＝30时，y 1＝y 2，∴900﹣30n ＝180+m ﹣6n ，∴m ＝720﹣24n ，∵480≤m ≤550，∴480≤720﹣24n ≤550， ∴≤n ≤10，∴n 可取8，9，10，当n ＝8时，m ＝720﹣24×8＝528，当n ＝9时，m ＝720﹣24×9＝504，当n＝10时，m＝720﹣24×10＝480，∴m的值为528或504或480．答：m的值为528或504或480．10．【分析】（1）根据函数图象中的数据，可以计算出小聪骑自行车的速度及爸爸在新华书店停留的时间；（2）根据函数图象中的数据和题意，可以得到小聪爸爸开车返回途中，y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；（3）根据（2）中的结果和图象，可以得到上午几时小聪爸爸离家路程为2.5千米．【解答】解：（1）由图象可得，小聪爸爸从家里出发到新华书店的途中时间：5÷25＝0.2∴爸爸在新华书店停留的时间：1.6﹣1﹣0.2＝0.4（小时），小聪在新华书店停留的时间为：0.4+0.7＝1.1（小时），小聪骑自行车的速度为：5÷（1.6﹣1.1）＝10（千米/小时），即小聪爸爸在新华书店停留的时间为0.4，小聪骑自行车的速度是10千米/小时；（2）设途中，y关于x的函数表达式为y＝kx+b，小聪爸爸开车返回用0.2小时，即小聪从家里出发到返回家中的时间为：1.6+0.2＝1.8（小时），则，解得，，即小聪爸爸开车返回途中，y关于x的函数表达式是y＝﹣25x+45（1.6≤x≤1.8）；（3）由（2）知，小聪爸爸从书店返回家中用的时间为0.2小时，8+1+0.1＝9.1（时），8+1.6+0.1＝9.7（时），故上午9.1时或9.7时，小聪爸爸离家路程为2.5千米．11．【分析】（1）由学生人乘以奖品均价等于奖品总价列出方程，从而求出y关于x的函数表达式；（2）①由未获奖学生数是获奖学生数的4倍多25人列方程，求出x，再求y；②由获奖学生不超过该年级学生总数的25%，且不低于学生总人数的15%，列不等式，求出奖品均价得取值范围．【解答】解：（1）由题意得：x•y＝480，∴y＝；（2）①∵有x 名学生获奖，则有（400﹣x ）名学生未获奖，∴400﹣x ＝4x +25，解得：x ＝75（人），∴y ＝6.4（元）；②由题意得：400×15%≤x ≤400×25%，即60≤x ≤100，由（1）知y 与x 成反比， ∴≤y ≤，即4.8≤y ≤8，∴奖品均价的取值范围为：4.8≤y ≤8．12．【分析】（1）令x ＝3，得y ＝0即可得证；（2）一次函数y ＝k （x ﹣3）图象向上平移2个单位得y ＝k （x ﹣3）+2，将（4，﹣2）代入可得k ；（3）由y 1＜y 2列出x 1、x 2的不等式，根据k ＜0可得答案．【解答】解：（1）在y ＝k （x ﹣3）中令x ＝3，得y ＝0，∴点（3，0）在y ＝k （x ﹣3）图象上；（2）一次函数y ＝k （x ﹣3）图象向上平移2个单位得y ＝k （x ﹣3）+2，将（4，﹣2）代入得：﹣2＝k （4﹣3）+2，解得k ＝﹣4；（3）x 1﹣x 2＜0不成立，理由如下：∵点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在y ＝k （x ﹣3）图象上，∴y 1＝k （x 1﹣3），y 2＝k （x 2﹣3），∴y 1﹣y 2＝k （x 1﹣x 2），∵y 1＜y 2，∴y 1﹣y 2＜0，即k （x 1﹣x 2）＜0，而k ＜0，∴x 1﹣x 2＞0，∴x 1﹣x 2＜0不成立．13．【分析】（1）根据题意求出m 、n 的值，再利用待定系数法求解即可；（2）根据题意列方程解答即可．【解答】解：（1）m＝300÷（180÷1.5）＝2.5，n＝300÷[（300﹣180）÷1.5]＝3.75，设甲车返回时y与x之间的函数关系式为y＝kx+b，根据题意得：，解得，∴甲车返回时y与x之间的函数关系式是y＝﹣100x+550（2.5≤x≤5.5）；（2）乙车的速度为：（300﹣180）÷1.5＝80（千米/时），甲车返回时的速度为：300÷（5.5﹣2.5）＝100（千米/时），根据题意得：80x﹣100（x﹣2.5）＝190，解得x＝3．答：当x＝3时，甲、乙两车相距190千米．14．【分析】（1）设小杯奶茶销售单价为a元，大杯奶茶销售单价为b元，根据题意列方程组解答即可；（2）设售出小杯奶茶m杯，总利润为w元，根据题意求出w与m的关系式，再根据一次函数的性质解答即可；（3）设小杯不加料奶茶为p杯，其中小杯加料与大杯加料奶茶共q杯，则大杯加料奶茶为（2p﹣q）杯，根据题意列方程解答即可．【解答】解：（1）设小杯奶茶销售单价为a元，大杯奶茶销售单价为b元，根据题意，得，解得，答：小杯奶茶销售单价为8元，大杯奶茶销售单价为10元；（2）设售出小杯奶茶m杯，总利润为w元，则w＝4m+5（80﹣m）＝﹣m+400，∵m≥10，k＝﹣1＜0，∴w随m的增大而减小，∴当m＝10时，w的最小值为390元；（3）设小杯不加料奶茶为p杯，其中小杯加料和大杯不加料共q杯，则大杯加料奶茶为（2p﹣q）杯，根据题意，得：8p+10q+12（2p﹣q）＝208，整理，得：16p﹣q＝104，解得，∴2p﹣q＝6，即小明这款奶茶大杯加料的买了6杯．故答案为：6．15．【分析】（1）由路程＝速度×时间，直接求出s关于t的函数表达式；（2）①由（1）的解析式求出当s＝1400时t的值，再加上7就即可；②求出A、C两站的距离，由①的方法即可判断．【解答】解：（1）由题意知，s＝350t；（2）①由（1）得：1400＝350t，解得：t＝4，7+4＝11（点），∴“复兴号”在上午7点离开A站，11点到达B站；②∵C站在A站和B站之间，且B，C两站之间的距离为300km，∴C站距离A站1100km，，设列车从A站到C站所用时间为t1，则1100＝350t1＝，解得：t17+＞10，故列车途经C站时，已过上午10点．16．【分析】（1）由一次函数图象经过点的坐标，即可得出关于k，b的方程，解之即可得出一次函数的解析式，分别代入x＝﹣1和x＝2，求出与之对应的y值，再利用一次函数的性质即可求出当﹣1＜x≤2时，y的取值范围．（2）由一次函数图象上点的坐标特征及m+n＝5，即可求出m，n的值，进而可得出点P 的坐标．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k，b都是常数，且k≠0）的图象经过点（1，0）和（0，﹣1），∴，解得：，∴一次函数的解析式为y＝x﹣1．当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣1＝﹣2，当x＝2时，y＝2﹣1＝1．∵k＝1＞0，∴y随x的增大而增大，∴当﹣1＜x≤2时，﹣2＜y≤1．（2）∵点P（m，n）在该函数的图象上，且m+n＝5，∴，解得：，∴点P的坐标为（3，2）．17．【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）分别求出前100千米与后250千米的耗油量，再根据减法的意义列式计算即可．【解答】解：（1）设当0≤x≤100时，y关于x的函数解析式为y＝kx+b，根据题意，得：，解得，∴y＝﹣x+50；（2）由题意可知，前100千米耗油量为10升，后250千米的耗油量为：250×（0.1+0.02）＝30（升），油箱中的剩余油量为：50﹣10﹣30＝10（升）．18．【分析】（1）观察图象结合题意分析可得答案；（2）设MN所表示的关系式为y＝kx+b，用待定系数法求解得解析式；再用路程除以相应的时间可得速度；（3）设出发时甲的速度为v分米/分钟，乙速度为（v﹣20）分米/分钟，根据乙车设定停车后的（2.5﹣2）分钟甲车行驶的路程加上乙车停车后甲乙两车所产生的距离等于90分米减去40分米，列出关于v的方程，解得v的值，则乙车速度也可求得，然后用40+70×0.5计算即可得出a的值．【解答】解：（1）点M的坐标表示的实际意义是：当行驶4分钟时，甲车到达B地（终。
2024杭州中考数学试卷
2024年浙江省杭州市中考二模数学试题一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1．如果小滨向东走3m 记作3m +，那么他向西走6m 可记作（）A ．6m-B ．6m+C ．3m-D ．3m+2．2023年第十九届亚洲运动会在杭州举行，运动员们赛出了风格，赛出了水平，取得了优异成绩．运动会的领奖台可以近似地看成如图所示的立体图形，则它的左视图是（）A ．B ．C ．D ．3．下列运算中，正确的是（）A ．()22ab ab -=-B ．325a a a +=C ．5210a a a ⋅=D ．523a a a ÷=4．计算：=（ ）A ．-B ．-C ．D 5．如图，E 是ABCD 对角线BD 上一点，满足3ED BE =，连结AE 并延长交BC 于点F ，则:AD BF =（）A ．2:1B ．3:1C ．4:1D ．6:16．一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售量如下表所示．尺码/cm 2222.52323.52424.525销售量/双12511731基于表中数据，对鞋店下次进货最具参考意义的是（）A ．平均数B ．中位数C ．众数D ．方差7．如图，折扇的骨柄OA 长为7，折扇扇面宽度AB 是折扇骨柄长的47，折扇张开的角度为120，则这把折扇扇面面积为（）A ．8π3B ．10π3C ．40π3D ．80π38．如图，已知反比例函数ky x=图象的一支曲线经过OABC 对角线OB ，AC 的交点D ，且点B 的坐标为()4,3-，则k =（）A ．3B ．3-C ．6D ．6-9．如图，在Rt ABC △中，90ABC ∠=，12BC =，BA BC <，点D 为AC 的中点，线段BD 的垂直平分线l 交边BC 于点E ．设BE x =，tan C y =，则（）A ．233x y -=B ．2237x y -=C ．23315x y -=D ．24315x y -=10．已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象经过点()4,2A k --，()2,B k -，()2,C k ．当01m x m ≤≤≤+时，该函数有最大值p 和最小值q ，则p q -（）A ．有最大值124B ．无最大值C ．有最小值124D ．无最小值二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．11．因式分解：224y x -=________．12．将一把直尺与一块三角板在同一平面内按如图所示的方式放置，若1130∠=，则2∠的度数为________．13．某校901班共有50名学生，平均身高为m 厘米，其中30名男生的平均身高为n 厘米，则20名女生的平均身高为________厘米．14．如图，一建筑物外墙上嵌有一排一模一样的垂直于墙壁的钢管，这些钢管的下面有一个一边靠墙的长方体水池，水从钢管流出的水都成抛物线，若以钢管的出水口点O 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，且抛物线的函数表达式都为214y x =-．若露在墙壁外面的钢管的长度0.2OA =米（钢管的直径长度忽略不计），钢管离水池水面的高度1AB =米．要使钢管中流出的水都落在水池里，那水池宽至少是________米．15．如图，平面直角坐标系中三个点的坐标为()1,1A ，()2,4B ，()3,1C ．则ABC △的内切圆半径长为________．16．勾股定理的证明方法多样．如图正方形ABCD 是由小正方形EFGH 和四个全等的直角三角形无缝密铺组成．延长FG 交以AD 为直径的圆于点I （点I 在AD 的上侧），连结IA ，ID ．分别以IA ，ID 为边向外作正方形IAKJ ，IDLM ．已知ICD △的面积为2，正方形IAKJ 的面积为1，则正方形EFGH 的面积为________．三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本题满分6分）（1）解方程：221x x +=（2）解不等式：741136x x -<+．18．（本题满分6分）如图是两辆某品牌小汽车平行停放的平面示意图．已知右边小汽车车门OA 为1.2米，车门打开最大角度AOB ∠为68 ．当两辆小汽车水平距离为0.8米时，请问能否保证右边小汽车在打开车门最大角时不碰到左边小汽车？请说明理由．（结果精确到0.1米，参数考据：sin680.93≈，cos680.37≈，tan68 2.48≈）19．（本题满分8分）化简24224a a a a a a-⎛⎫+⋅⎪+-⎝⎭．下面是小滨、小江两位同学的部分运算过程．小滨：原式()()()()()()222422224a a a a a a a a a a ⎛⎫-+-=+⋅=⎪ ⎪+--+⎝⎭小江：原式22442424a a a a a a a a--=⋅+⋅=+- （1）小滨解法的依据是________（填序号）；小江解法的依据是________（填序号）．①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法交换律；④乘法对加法的分配律．（2）已知)21a =-，先化简题中代数式，再求代数式的值．20．（本题满分8分）某学校给初一全体学生开设了A ，B ，C ，D 四门拓展性课程，为了了解学生对这四门课程的喜好情况，学校随机抽取了60名初一学生进行“你最喜爱的拓展性课程（必选且只选一种）”问卷调查，根据调查结果绘制条形统计图和扇形统计图，部分信息如下：（1）求扇形统计图中“C”对应扇形的圆心角的大小．（2）依据本次调查的结果，估计全体480名初一学生最喜欢D 课程的人数为多少？（3）现从“最喜爱A 课程”的甲、乙、丙、丁四名学生中任选两人，来分享他们的理由，请用画树状图或列表求恰好甲、乙被选到的概率．21．（本题满分10分）设函数11k y x=，函数22y k x b =+（1k ，2k ，b 是常数，10k ≠，20k ≠）．若函数1y 和函数2y 的图象交于点()2,1A n +，点()4,2B n -．（1）求点A ，B 的坐标．（2）求函数1y ，2y 的表达式．（3）当12y y >时，直接写出x 的取值范围．22．（本题满分10分）如图1，矩形111A BC D 是矩形ABCD 以点B 为旋转中心，按顺时针方向旋转角度为x所得的图形，其中090x <≤．连结BD ，1BD ，1CC ．已知4AB =，2BC =．图1图2图3（1）求1BCC ∠的度数（用含x 的代数式表示）．（2）如图2，当1BD 经过点C 时，求1CD CD的值．（3）如图3，当1BA 平分1DBD ∠时，求1CC 的长．23．（本题满分12分）如图1是一个含有两个斜坡截面的轴对称图形，两个斜坡材质等各方面都一样．一个黑球从左斜坡顶端由静止滚下后沿水平木板AB 直线运动，其中118cm AB =．从黑球运动到A 点处开始，用频闪照相机、测速仪测量并记录黑球在木板上的运动时间t （单位：s ）、运动速度v （单位：cm /s ）、滑行距离y （单位：cm ）的数据．记录的数据如表：运动时间t /s 0246810…运动速度()/cm /s v 12108642…运动距离/cmy 02240546470…图1图2图3（1）根据表格中的数值分别在图2、图3的平面直角坐标系中画出v 关于t ，y 关于t 的函数图象，并分别求出v 关于t ，y 关于t 的函数表达式．（2）①求黑球在水平木板AB 上滚动的最大距离．②黑球从左斜坡顶端由静止滚下到A 点开始计时，运动到2秒的同时，有一个除颜色外其余与黑球完全相同的白球，从右斜坡顶端由静止滚下到点B 处，两球会在水平木板AB 的某个位置相遇吗？若能相遇，请求出相遇点P 到A 点的距离；若不能相遇，请说明理由．24．（本题满分12分）图1图2图3（1）如图1，PQ 是O 的直径，直线l 是O 的切线，Q 为切点．A ，B 是直线l 上两点（不与点Q 重合，且在直径PQ 的两侧），连结PA ，PB 分别交于O 点C ，点D ．连结DQ ．求证：PCD PBA ∽△△．（2）将图1中的直线l 沿着QO 方向平移，l 与OQ 交于点M ，如图2．结论PCD PBA ∽△△否仍成立？若成立，请证明；若不成立，说明理由．（3）在（1）的条件下，连结QC ，得如图3，当tan 2CPD ∠=，2PA PB =时，求QDQC 的值．参考答案一、选择题（每小题3分，共30分）12345678910ACDBBCCBAB二、填空题（每小题3分，共18分）11．()()22y x y x +-12．4013．532m n-14．2.215．13-16．913三、解答题17．（本题满分6分）（1）解221x x +=两边同时加1得22111x x ++=+配方得()212x +=（或代入求根公式22x -±=）直接开平方法得1x +=11x =，11x =-（2）解因为741136x x -<+，两边同乘以6得：14416x x <-+，移项、合并同类项得：105x <，得12x <．18．（本题满分6分）解：过点A 作AC OB ⊥，垂足为点C ，在Rt ACO △中，因为40AOC ∠= ， 1.2AO =米，所以sin AC AO AOC =⋅∠．1.20.93≈⨯1.116 1.1=≈，因为两辆小汽车水平距离为1.1米大于0.8米，所以右边小汽车在打开车门时会碰到左边小汽车．19．（本题满分8分）（1）②；④（2）化简，得原式12a =，将)21a =代入，求得代数式的值为32-．1分20．（本题满分8分）解（1）喜欢A 课程的人数为6025%15⨯=（人）．喜欢C 课程的人数为602115618---=（人），所以1836010860⨯= ．（2）64804860⨯=（人），所以最喜欢D 类套餐的人数约为48人．（3）画树状图如图，共有12种等可能的结果，其中甲、乙被选到的结果有2种，所以甲、乙被选到的概率为21 126=．21．（本题满分10分）解（1） 函数1y的图象经过()2,1A n+，点()4,2B n-，()()12142k n n∴=+=-，5n∴=，∴点()2,6A，点()4,3B，（2）把点()2,6A代入11kyx=得112k=，即112yx=．把()2,6A，点()4,3B代入22y k x b=+，得232k=-，9b=，即2392y x=-+．（3）根据图象，可知02x<<或4x>．22．（本题满分10分）图1图2（1）由题意可知，1BC BC=，1CBC x∠= ．11802xBCC-⎛⎫∠= ⎪⎝⎭．（2）在矩形111A BC D中，1190BC D∠=，由勾股定理得1BD=，因为1BD经过点C，所以12CD=-，所以1512CD CD -=．（3）过点B 作1BH CC ⊥，根据旋转，可知11DBD CBC ∠=∠，1BC BC =，因为1BA 平分1DBD ∠，所以111DBA A BD β∠=∠=，因1BH CC ⊥，则1CBH C BH β∠=∠=，1CH C H =，所以1112sin 25A D CH CB BD β===，（或证1l BHC BAD ∽△△，得比例式）所以255CH =，因此1455CC =．方法二：连接1A D ，证111BA D BA D ≌△△，再证D ，1A ，1D 三点共线，11BCC BDD ∽△△23．（本题满分12分）（1）画图正确由图象猜测v 是t 一次函数，y 是t 的二次函数．取表中任意取一点，如点()2,10代入12v mt =+，得12v t =-+．再把其它点坐标带入上述函数表达式成立，所以v 与t 的函数表达式为12v t =-+取表中任取两点()2,22，()6,54代入2y at bt =+得21122y t t =-+．再把其它点坐标带入上述函数表达式成立，所以y 与t 的函数表达式为21122y t t =-+（2）①因为0v ≥，所以120t ≥>．又因为对称轴为直线12t =，且开口向下，所以当12t =时，y 最大值为72cm ．②当2t ≥时，1y 表示白球在木板BA 上滑行的距离，则()()21121222y t t =--+-．令1118y y +=，得()()22111221221822t t t t -+--+-=．得2261440t t -+=．解得18t =，218t =（不合，舍去），代入211264cm 2y t t =-+=，即在距离A 点64cm 处相遇．24．（本题满分12分）（1）因为PQ 是直径，所以90PDQ ∠=．因为直线l 切O 于点Q ，所以PQ AB ⊥，90PQB ∠=．所以PQD PBQ ∠=∠-又因为PQD PCQ ∠=∠，所以PBQ PCQ ∠=∠，（或连CQ ，证PDC PAQ ∠=∠，又APB CPD ∠=∠，所以PCD PBA ∽△△，（2）结论仍然成立．设QD 交l 于点F ．因为直线l 向左平移时始终垂直于PQ ，AB 是直径，所以90QMF QDB ∠=∠=，又MFQ DFB ∠=∠所以Q DBF ∠=∠又因为Q PCD ∠=∠所以PCD DFB ∠=∠又APB CPD ∠=∠，所以PCD PBA ∽△△（或连CQ ，证PDC PAQ ∠=∠，）（3）方法（一）由（1）可知PCD PBA ∽△△，所以52PD PA PC PB ==设2PC a =，则5PD a =，因为tan 2DPF ∠=，则4CG a =，则25PG a =，所以5DG PG PD a=-=因为四边形PCQD 是圆内接四边形，所以DQG DPC ∠=∠，而tan 2QGF ∠=，所以1522DQ DG a ==由勾股定理得52QG a =所以53422CQ CG QG a a a =-=-=552332a DQ CQ a ==方法（二）过点B ，作BE PA ⊥于E ，又因为tan 2DPF ∠=，所以2BE PE =，设PE a =，则2BE a =，所以5PB a=因为52PA PB =所以52a PA =，32a AE =在EBA 中由勾股定理得52aAB =因为PQ BA ⊥，设AQ x =，则52a BQ x =-，由勾股定理得2222PA AQ PB BQ -=-，即()222255522a a x x a x ⎛⎫⎛⎫--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得32a x AQ ==所以BQ a=由因为VAPQVBPQ S PAgCQ AQ S PBgDQ BQ ==即53g 225g CQ a a a DQ =所以53DQ CQ =。
浙江省杭州拱墅区四校联考2021-2022学年中考一模数学试题含解析
2021-2022中考数学模拟试卷注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分） 1．下列计算正确的是（ ）A ．a 3•a 3=a 9B ．（a+b ）2=a 2+b 2C ．a 2÷a 2=0D ．（a 2）3=a 6 2．下列运算正确的是（ ） A ．()a b c a b c -+=-+ B ．()2211x x =++ C ．()33a a -=D ．235236a a a =⋅3．到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形（ ）的交点． A ．三个内角平分线 B ．三边垂直平分线 C ．三条中线D ．三条高4．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠B=60°，⊙O 的半径为4，则AC 的长等于（ ）A ．43B ．63C ．23D ．85．下列条件中不能判定三角形全等的是( ) A ．两角和其中一角的对边对应相等 B ．三条边对应相等 C ．两边和它们的夹角对应相等D ．三个角对应相等6．如图是一个空心圆柱体，其俯视图是( )A．B．C．D．7．如图是一个正方体展开图，把展开图折叠成正方体后，“爱”字一面相对面上的字是（）A．美B．丽C．泗D．阳8．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是()A．AC=AB B．∠C=12∠BOD C．∠C=∠B D．∠A=∠B0D92x有意义，则实数x的取值范围是（）A．x＞0 B．x≥0C．x≠0D．任意实数10．在下列条件中，能够判定一个四边形是平行四边形的是( )A．一组对边平行，另一组对边相等B．一组对边相等，一组对角相等C．一组对边平行，一条对角线平分另一条对角线D．一组对边相等，一条对角线平分另一条对角线二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11．写出一个经过点（1，2）的函数表达式_____．12．若关于x的不等式组><2x ax⎧⎨⎩恰有3个整数解，则字母a的取值范围是_____．13．分解因式: 22a b ab b-+=_________.14．如图1，AB是半圆O的直径，正方形OPNM的对角线ON与AB垂直且相等，Q是OP的中点.一只机器甲虫从点A出发匀速爬行，它先沿直径爬到点B，再沿半圆爬回到点A，一台微型记录仪记录了甲虫的爬行过程.设甲虫爬行的时间为t，甲虫与微型记录仪之间的距离为y，表示y与t的函数关系的图象如图2所示，那么微型记录仪可能位于图1中的（）A．点M B．点N C．点P D．点Q15．如图，两个三角形相似，AD=2，AE=3，EC=1，则BD=_____．16．阅读下面材料：在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题：已知：∠ACB是△ABC的一个内角．求作：∠APB＝∠ACB．小明的做法如下：如图①作线段AB的垂直平分线m；②作线段BC的垂直平分线n，与直线m交于点O；③以点O为圆心，OA为半径作△ABC的外接圆；④在弧ACB上取一点P，连结AP，BP．所以∠APB＝∠ACB．老师说：“小明的作法正确．”请回答：（1）点O为△ABC外接圆圆心（即OA＝OB＝OC）的依据是_____；（2）∠APB＝∠ACB的依据是_____．17．月球的半径约为1738000米，1738000这个数用科学记数法表示为___________．三、解答题（共7小题，满分69分）18．（10分）我市某中学举行“中国梦•校园好声音”歌手大赛，高、初中部根据初赛成绩，各选出5名选手组成初中代表队和高中代表队参加学校决赛．两个队各选出的5名选手的决赛成绩如图所示．根据图示填写下表；平均数（分）中位数（分）众数（分）初中部85高中部85 100（2）结合两队成绩的平均数和中位数，分析哪个队的决赛成绩较好；计算两队决赛成绩的方差并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．19．（5分）某商场将每件进价为80元的某种商品原来按每件100元出售，一天可售出100件．后来经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销量可增加10件．（1）求商场经营该商品原来一天可获利润多少元？（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元．①若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？②求出y与x之间的函数关系式，并通过画该函数图象的草图，观察其图象的变化趋势，结合题意写出当x取何值时，商场获利润不少于2160元．20．（8分）已知二次函数y=a（x+m）2的顶点坐标为（﹣1，0），且过点A（﹣2，﹣12）．（1）求这个二次函数的解析式；（2）点B（2，﹣2）在这个函数图象上吗？（3）你能通过左，右平移函数图象，使它过点B吗？若能，请写出平移方案．21．（10分）如图所示，AB是⊙O的一条弦，DB切⊙O于点B，过点D作DC⊥OA于点C，DC与AB相交于点E．（1）求证：DB=DE；（2）若∠BDE=70°，求∠AOB的大小．22．（10分）（定义）如图1，A，B为直线l同侧的两点，过点A作直线1的对称点A′，连接A′B交直线l于点P，连接AP，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”．（运用）如图2，在平面直坐标系xOy中，已知A（2，），B（﹣2，﹣）两点．（1）C（4，），D（4，），E（4，）三点中，点是点A，B关于直线x=4的等角点；（2）若直线l垂直于x轴，点P（m，n）是点A，B关于直线l的等角点，其中m＞2，∠APB=α，求证：tan=；（3）若点P是点A，B关于直线y=ax+b（a≠0）的等角点，且点P位于直线AB的右下方，当∠APB=60°时，求b的取值范围（直接写出结果）．23．（12分）校园空地上有一面墙，长度为20m，用长为32m的篱笆和这面墙围成一个矩形花圃，如图所示．能围成面积是126m2的矩形花圃吗？若能，请举例说明；若不能，请说明理由．若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积能达到170m2吗？请说明理由．24．（14分）某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同．求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？参考答案一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）1、D.【解析】试题分析：A、原式=a6，不符合题意；B、原式=a2+2ab+b2，不符合题意；C、原式=1，不符合题意；D、原式=a6，符合题意，故选D考点：整式的混合运算2、D【解析】由去括号法则：如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反；完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b2；单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式进行计算即可．【详解】解：A、a-（b+c）=a-b-c≠a-b+c，故原题计算错误；B、（x+1）2=x2+2x+1≠x²+1，故原题计算错误；C、（-a）3=3a ≠3a,故原题计算错误；D、2a2•3a3=6a5，故原题计算正确；故选：D．【点睛】本题考查了整式的乘法，解题的关键是掌握有关计算法则．3、B【解析】试题分析：根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等解答．解：到三角形三个顶点的距离相等的点是三角形三边垂直平分线的交点．故选B．点评：本题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．4、A【解析】解：连接OA，OC，过点O作OD⊥AC于点D，∵∠AOC=2∠B，且∠AOD=∠COD=12∠AOC，∴∠COD=∠B=60°；在Rt△COD中，OC=4，∠COD=60°，∴33∴3故选A．【点睛】本题考查三角形的外接圆；勾股定理；圆周角定理；垂径定理．5、D【解析】解:A、符合AAS，能判定三角形全等；B、符合SSS，能判定三角形全等；；C、符合SAS，能判定三角形全等；D、满足AAA，没有相对应的判定方法，不能由此判定三角形全等；故选D．6、D【解析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．【详解】该空心圆柱体的俯视图是圆环，如图所示：故选D．【点睛】本题考查了三视图，明确俯视图是从物体上方看得到的图形是解题的关键.7、D【解析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．【详解】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“爱”字一面相对面上的字是“阳”；故本题答案为：D.【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形是解题的关键．8、B【解析】先利用垂径定理得到弧AD=弧BD，然后根据圆周角定理得到∠C=12∠BOD，从而可对各选项进行判断．【详解】解：∵直径CD⊥弦AB，∴弧AD =弧BD，∴∠C=12∠BOD．故选B．【点睛】本题考查了垂径定理和圆周角定理，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．9、C【解析】根据分式和二次根式有意义的条件进行解答．【详解】解：依题意得：x2≥1且x≠1．解得x≠1．故选C．【点睛】考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件．解题时，注意分母不等于零且被开方数是非负数．10、C【解析】A、错误．这个四边形有可能是等腰梯形．B、错误．不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行．C、正确．可以利用三角形全等证明平行的一组对边相等．故是平行四边形．D、错误．不满足三角形全等的条件，无法证明相等的一组对边平行．故选C．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）11、y=x+1（答案不唯一）【解析】本题属于结论开放型题型，可以将函数的表达式设计为一次函数、反比例函数、二次函数的表达式．答案不唯一．【详解】解：所求函数表达式只要图象经过点(1,2)即可,如y=2x，y=x+1，…答案不唯一.故答案可以是：y=x+1(答案不唯一).【点睛】本题考查函数，解题的关键是清楚几种函数的一般式.12、﹣2≤a＜﹣1．【解析】先确定不等式组的整数解，再求出a的范围即可．【详解】∵关于x的不等式组><2x ax⎧⎨⎩恰有3个整数解，∴整数解为1，0，﹣1，∴﹣2≤a＜﹣1，故答案为：﹣2≤a＜﹣1．【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解的应用，能根据已知不等式组的解集和整数解确定a的取值范围是解此题的关键．13、【解析】先提取公因式b，再利用完全平方公式进行二次分解．解答：解：a1b-1ab+b，=b（a1-1a+1），…（提取公因式）=b（a-1）1．…（完全平方公式）14、D【解析】D．试题分析：应用排他法分析求解：若微型记录仪位于图1中的点M，AM最小，与图2不符，可排除A.若微型记录仪位于图1中的点N，由于AN=BM，即甲虫从A到B时是对称的，与图2不符，可排除B.若微型记录仪位于图1中的点P，由于甲虫从A到OP与圆弧的交点时甲虫与微型记录仪之间的距离y逐渐减小；甲虫从OP与圆弧的交点到A时甲虫与微型记录仪之间的距离y逐渐增大，即y与t的函数关系的图象只有两个趋势，与图2不符，可排除C.故选D．考点：1.动点问题的函数图象分析；2.排他法的应用.15、1【解析】根据相似三角形的对应边的比相等列出比例式，计算即可．【详解】∵△ADE∽△ACB，∴AEAB=ADAC，即32BD+=231+，解得：BD=1．故答案为1．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的对应边的比相等是解题的关键．16、①线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；②等量代换同弧所对的圆周角相等【解析】（1）根据线段的垂直平分线的性质定理以及等量代换即可得出结论．（2）根据同弧所对的圆周角相等即可得出结论．【详解】（1）如图2中，∵MN垂直平分AB，EF垂直平分BC，∴OA=OB，OB=OC（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等），∴OA=OB=OC（等量代换）故答案是：（2）∵AB AB，∴∠APB=∠ACB（同弧所对的圆周角相等）．故答案是：（1）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等和等量代换；（2）同弧所对的圆周角相等．【点睛】考查作图-复杂作图、线段的垂直平分线的性质、三角形的外心等知识，解题的关键是熟练掌握三角形外心的性质．17、1.738×1【解析】解：将1738000用科学记数法表示为1.738×1．故答案为1.738×1．【点睛】本题考查科学记数法—表示较大的数，掌握科学计数法的计数形式，难度不大．三、解答题（共7小题，满分69分） 18、（1） 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 初中部 85 85 85 高中部8580100（2）初中部成绩好些（3）初中代表队选手成绩较为稳定 【解析】解：（1）填表如下： 平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 初中部 85 85 85 高中部8580100（2）初中部成绩好些．∵两个队的平均数都相同，初中部的中位数高， ∴在平均数相同的情况下中位数高的初中部成绩好些． （3）∵，222222S 7085100851008575858085160=-+-+-+-+-=高中队（）（）（）（）（），∴2S 初中队＜2S 高中队，因此，初中代表队选手成绩较为稳定．（1）根据成绩表加以计算可补全统计表．根据平均数、众数、中位数的统计意义回答． （2）根据平均数和中位数的统计意义分析得出即可． （3）分别求出初中、高中部的方差比较即可．19、（1）一天可获利润2000元；（2）①每件商品应降价2元或8元；②当2≤x≤8时，商店所获利润不少于2160元． 【解析】：（1）原来一天可获利：20×100=2000元；（2）①y=（20-x）（100+10x）=-10（x2-10x-200），由-10（x2-10x-200）=2160，解得：x1=2，x2=8，∴每件商品应降价2或8元；②观察图像可得20、（1）y=﹣12（x+1）1；（1）点B（1，﹣1）不在这个函数的图象上；（3）抛物线向左平移1个单位或平移5个单位函数，即可过点B；【解析】（1）根据待定系数法即可得出二次函数的解析式；（1）代入B（1，-1）即可判断；（3）根据题意设平移后的解析式为y=-12（x+1+m）1，代入B的坐标，求得m的植即可．【详解】解：（1）∵二次函数y=a（x+m）1的顶点坐标为（﹣1，0），∴m=1，∴二次函数y=a（x+1）1，把点A（﹣1，﹣12）代入得a=﹣12，则抛物线的解析式为：y=﹣12（x+1）1．（1）把x=1代入y=﹣12（x+1）1得y=﹣92≠﹣1，所以，点B（1，﹣1）不在这个函数的图象上；（3）根据题意设平移后的解析式为y=﹣12（x+1+m）1，把B（1，﹣1）代入得﹣1=﹣12（1+1+m）1，解得m=﹣1或﹣5，所以抛物线向左平移1个单位或平移5个单位函数，即可过点B．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质以及图象与几何变换．21、（1）证明见解析；（2）110°．【解析】分析：（1）欲证明DB=DE，只要证明∠BED=∠ABD即可；（2）因为△OAB是等腰三角形，属于只要求出∠OBA即可解决问题；详解：（1）证明：∵DC⊥OA，∴∠OAB+∠CEA=90°，∵BD为切线，∴OB⊥BD，∴∠OBA+∠ABD=90°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∴∠CEA=∠ABD，∵∠CEA=∠BED，∴∠BED=∠ABD，∴DE=DB．（2）∵DE=DB，∠BDE=70°，∴∠BED=∠ABD=55°，∵BD为切线，∴OB⊥BD，∴∠OBA=35°，∵OA=OB，∴∠OBA=180°-2×35°=110°．点睛：本题考查圆周角定理、切线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．22、（1）C（2）（3）b＜﹣且b≠﹣2或b＞【解析】（1）先求出B关于直线x=4的对称点B′的坐标，根据A、B′的坐标可得直线AB′的解析式，把x=4代入求出P点的纵坐标即可得答案；（2）如图：过点A作直线l的对称点A′，连A′B′，交直线l于点P，作BH⊥l于点H，根据对称性可知∠APG=A′PG，由∠AGP=∠BHP=90°可证明△AGP∽△BHP，根据相似三角形对应边成比例可得m=根据外角性质可知∠A=∠A′=，在Rt△AGP中，根据正切定义即可得结论；（3）当点P位于直线AB的右下方，∠APB=60°时，点P在以AB为弦，所对圆周为60°，且圆心在AB下方，若直线y=ax+b（a≠0）与圆相交，设圆与直线y=ax+b（a≠0）的另一个交点为Q根据对称性质可证明△ABQ是等边三角形，即点Q为定点，若直线y=ax+b（a≠0）与圆相切，易得P、Q重合，所以直线y=ax+b（a≠0）过定点Q，连OQ，过点A、Q分别作AM⊥y轴，QN⊥y轴，垂足分别为M、N，可证明△AMO∽△ONQ，根据相似三角形对应边成比例可得ON、NQ的长，即可得Q点坐标，根据A、B、Q的坐标可求出直线AQ、BQ的解析式，根据P与A、B重合时b的值求出b的取值范围即可.【详解】（1）点B关于直线x=4的对称点为B′（10，﹣），∴直线AB′解析式为：y=﹣，当x=4时，y=，故答案为：C（2）如图，过点A作直线l的对称点A′，连A′B′，交直线l于点P作BH⊥l于点H∵点A和A′关于直线l对称∴∠APG=∠A′PG∵∠BPH=∠A′PG∴∠APG=∠BPH∵∠AGP=∠BHP=90°∴△AGP∽△BHP∴，即，∴mn=2，即m=，∵∠APB=α，AP=AP′，∴∠A=∠A′=，在Rt△AGP中，tan（3）如图，当点P位于直线AB的右下方，∠APB=60°时，点P在以AB为弦，所对圆周为60°，且圆心在AB下方若直线y=ax+b（a≠0）与圆相交，设圆与直线y=ax+b（a≠0）的另一个交点为Q 由对称性可知：∠APQ=∠A′PQ，又∠APB=60°∴∠APQ=∠A′PQ=60°∴∠ABQ=∠APQ=60°，∠AQB=∠APB=60°∴∠BAQ=60°=∠AQB=∠ABQ∴△ABQ是等边三角形∵线段AB为定线段∴点Q为定点若直线y=ax+b（a≠0）与圆相切，易得P、Q重合∴直线y=ax+b（a≠0）过定点Q连OQ，过点A、Q分别作AM⊥y轴，QN⊥y轴，垂足分别为M、N∵A（2，），B（﹣2，﹣）∴OA=OB=∵△ABQ是等边三角形∴∠AOQ=∠BOQ=90°，OQ=，∴∠AOM+∠NOD=90°又∵∠AOM+∠MAO=90°，∠NOQ=∠MAO∵∠AMO=∠ONQ=90°∴△AMO∽△ONQ∴,∴，∴ON=2，NQ=3，∴Q点坐标为（3，﹣2）设直线BQ解析式为y=kx+b将B、Q坐标代入得，解得，∴直线BQ的解析式为：y=﹣，设直线AQ的解析式为：y=mx+n，将A、Q两点代入，解得，∴直线AQ的解析式为：y=﹣3，若点P与B点重合，则直线PQ与直线BQ重合，此时，b=﹣，若点P与点A重合，则直线PQ与直线AQ重合，此时，b=，又∵y=ax+b（a≠0），且点P位于AB右下方，∴b＜﹣且b≠﹣2或b＞.【点睛】本题考查对称性质、相似三角形的判定与性质、根据待定系数法求一次函数解析式及锐角三角函数正切的定义，熟练掌握相关知识是解题关键.23、（1）长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米；（1）若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到172m1．【解析】（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（31﹣1x）米，再根据矩形面积公式列方程求解即可得到答案. （1）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣1y）米，再根据矩形面积公式列方程，求得方程无解，即假设不成立.【详解】（1）假设能，设AB的长度为x米，则BC的长度为（31﹣1x）米，根据题意得：x(31﹣1x)=116，解得：x1=7，x1=9，∴31﹣1x=18或31﹣1x=14，∴假设成立，即长为18米、宽为7米或长为14米、宽为9米．（1）假设能，设AB的长度为y米，则BC的长度为（36﹣1y）米，根据题意得：y(36﹣1y)=172，整理得：y1﹣18y+85=2．∵△=(﹣18)1﹣4×1×85=﹣16＜2，∴该方程无解，∴假设不成立，即若篱笆再增加4m，围成的矩形花圃面积不能达到172m1．24、（1）甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元；（2）他们最多可购买11棵乙种树苗．【解析】（1）可设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元，根据等量关系：用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，列出方程求解即可；（2）可设他们可购买y棵乙种树苗，根据不等关系：再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，列出不等式求解即可．【详解】（1）设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元，依题意有，解得：x=30，经检验，x=30是原方程的解，x+10=30+10=40，答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元；（2）设他们可购买y棵乙种树苗，依题意有30×（1﹣10%）（50﹣y）+40y≤1500，解得y≤11，∵y为整数，∴y最大为11，答：他们最多可购买11棵乙种树苗．【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，弄清题意，找准等量关系与不等关系列出方程或不等式是解决问题的关键.。
浙江省杭州市2024年中考数学试卷(含答案)
浙江省 2024 年中考数学试卷
阅卷人 得分
一、选择题（每题 3 分）
1．以下四个城市中某天中午 12 时气温最低的城市是（ ）
北京
济南
太原
郑州
0℃
-1℃
-2℃
3℃
A．北京
B．济南
C．太原
2．5 个相同正方体搭成的几何体主视图为（ ）
D．郑州
A．
B．
C．
D．
3．2024 年浙江经济一季度 GDP 为 201370000 万元，其中 201370000 用科学记数法表示为（ ）
时间
里程分段 速度档 跑步里程
小明 16：00~16：50 不分段 NhomakorabeaA档
4000 米
第一段
B档
1800 米
第一次休息
小丽 16：10~16：50 第二段
B档
1200 米
第二次休息
第三段
C档
1600 米
（1）求 ，t，h 各档速度（单位：米/分）； （2）求小丽两次休息时间的总和（单位：分）；
（3）小丽第二次休息后，在 分钟时两人跑步累计里程相等，求 的值．
（A）科普讲座 （B）科幻电影
（C）AI 应用
（D）科学魔术
如果问题 1 选择 C．请继续回答问题 2．
2021-2022学年浙江省杭州市拱墅区大关中学教育集团七年级(下)期中数学试题及答案解析
2021-2022学年浙江省杭州市拱墅区大关中学教育集团七年级（下）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 图中的小船通过平移后可得到的图案是( ) A. B. C. D.2. 已知人体红细胞的平均直径是0.00072 cm ，用科学记数法可表示为( )A. 7.2×10−3cmB. 7.2×10−4cmC. 7.2×10−5cmD. 7.2×10−6cm3. 下列4对数值中是方程2x −y =1的解的是( )A. {x =1y =−1.B. {x =−1y =−1.C. {x =2y =3.D. {x =0y =14. 下列各式计算结果正确的是( )A. a 2+a 3=2a 5B. a 2⋅a 3=a 6C. (a2)3=a5D. (−a)2⋅a3=a55. 如图，说法正确的是( )A. ∠A和∠1是同位角B. ∠A和∠2是内错角C. ∠A和∠3是同旁内角D. ∠A和∠B是同旁内角6. 若(x+5)(2x−n)=2x2+mx−15，则( )A. m=−7,n=3B. m=7,n=−3C. m=−7,n=−3D. m=7,n=37. 如图，在下列给出的条件中，不能判定AC//DE的是( )A. ∠1=∠AB. ∠A=∠3C. ∠3=∠4D. ∠2+∠4=180°8. 对x，y定义一种新运算“※”，规定：x※y=mx+ny(其中m，n均为非零常数)，若1※1=4，1※2=3.则2※1的值是( )A. 3B. 5C. 9D. 119. 如图，用四个长和宽分别为a，b(a>b)的长方形拼成面积是64的大正方形，中间围成的小正方形的面积是S，( )A. 若S=4，则ab=8B. 若S=16，则ab=10C. 若ab=12，则S=16D. 若ab=14，则S=410. 如图a//b，c与a相交，d与b相交，下列说法：①若∠1=∠2，则∠3=∠4；②若∠1+∠4=180°，则c//d；③∠4−∠2=∠3−∠1；④∠1+∠2+∠3+∠4=360°，正确的有( )A. ①③④B. ①②③C. ①②④D. ②③二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）11. 3−1=______．12. 已知二元一次方程3x+y=1，用含有x的代数式表示y，得y=______ ．13. 如图，已知∠1=∠2=∠3=50°，则∠4=______．14. 若a−2b+2=0，a+2b−5=0，则a2−4b2=______．15. 将一块三角板ABC(∠BAC=90°,∠ABC=30°)按如图方式放置，使A，B两点分别落在直线m，n上，对于给出的五个条件：①∠1=25.5°，∠2=55°30′；②∠1+∠2=90°；③∠2=2∠1；④∠ACB=∠1+∠3；⑤∠ABC=∠2−∠1.能判断直线m//n的有______.(填序号)16. 关于x ，y 的二元一次方程ax +by =c(a,b,c 是常数)，b =a +1，c =b +1，对于任意一个满足条件的a ，此二元一次方程都有一个公共解，这个公共解为______．三、解答题（本大题共7小题，共66.0分。
【中考冲刺】2021年浙江省杭州市中考数学模拟试卷(附答案)
6．如图，在 中，作 ，分别交 于点 ．若要使 与四边形 的面积相等，则 与 的比为（）
A． B． C． D．
7．下列函数图象经过变换后，过原点的是（）
A． 向右平移3个单位B． 向左平移3个单位
C． 向上平移1个单位D． 关于x轴作轴对称变换
8．如图，点 均在以 为直径的 上，其中 ，则 （）
绝密★启用前
【中考冲刺】2021年浙江省杭州市中考数学模拟试卷（附答案）
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．下列事件中，属于必然事件的是（）
A．小明买彩票中奖
B．在—个只有红球的盒子里摸球，摸到了白球
C．任意抛掷一只纸杯，杯口朝下
D．任选三角形的两边，其差小于第三边
先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的增减性即可得到答案．
【详解】
解：抛物线 的开口向下，
对称轴是直线
当 ＞ 时，y随x的增大而减小，
∵ 为抛物线 上的三个点，
∴点 关于对称轴 的对称点是 ，
＜ ＜
∴ ＜ ＜ ，
故答案为 ＜ ＜ ．
【点睛】
本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的增减性，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
本题考查圆周角定理、含30°角的直角三角形、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
11．8
【分析】Байду номын сангаас
由 可得 再利用相似三角形的性质可得答案．
【详解】
解：
，
经检验： 符合题意．
故答案为：
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
2024年浙江省杭州市拱墅区中考数学一模试题
2024年浙江省杭州市拱墅区中考数学一模试题一、单选题1．下列各数是负整数的是（ ） A ．2−B ．12−C ．π−D ．()2−−2．在平面直角坐标系中，点()12−，在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．下列计算正确的是（ ） A ．235a a a +=B ．()236a a =C ．623÷a a a =D ．236a a a ⋅=4．已知3a ＞﹣6b ，则下列不等式一定成立的是（ ） A ．a +1＞﹣2b ﹣1 B ．﹣a ＜bC ．3a +6b ＜0D ．ab＞﹣25．已知四边形ABCD 为平行四边形，（ ） A ．若AB BC =，则该四边形为矩形 B ．若AC BD =，则该四边形为菱形 C ．若B C ∠=∠，则该四边形为菱形 D ．若AC BD =，则该四边形为矩形6．对某校901班和902班的学生“最喜爱的球类体育项目”进行统计，分别绘制了扇形统计图（如图），下列说法正确的是（ ）A ．901班中最喜欢足球的人数比902班中最喜欢足球的人数少B ．901班中最喜欢篮球的人数和902班中最喜欢篮球的人数一样多C ．901班中最喜欢足球的人数比最喜欢篮球的人数多D ．902班中最喜欢篮球的人数和最喜欢足球的人数一样多7．20位同学在植树节这天共种了52棵树苗，其中男生每人种3棵，女生每人种2棵．求男生有多少人？设男生有x 人，则可列方程为（ ） A ．23(20)52x x +−= B ．32(20)52x x +−= C ．23(52)20x x +−=D ．32(52)20x x +−=8．如图，点A ，点B ，点C 在O 上，连接OA OC AB AC BC ，，，，．若135B ∠=︒，4AC =，则AC 的长为（ ）A．π B C ．2D ．9．如图，在正方形ABCD 中，点E 在边AD 上（不与点A ，点D 重合），连接BE ，作线段BE 的中垂线与BC 的延长线交于点F ，连接EF 与CD 交于点G ，设EDk AE =，CF m AE=，则（ ）A ．212m k =B ．12m k =C ．12m k =D ．12m k =−10．已知二次函数2y ax bx c =++（其中a ，b ，c 是常数，且0a >）的图象过点()1,m ，()2,c ，()3,n （）A ．若1c m −>，则4n m −>B ．若1c m −>，则3n m −<C ．若1c m −<，则5n m −<D ．若1c m −<，则3n m −>二、填空题11．因式分解：29a −=12．一只不透明的布袋中装有白、红、黑三种不同颜色的球，其中白球有3个，红球有4个，黑球有m 个，这些球除颜色外完全相同．若从袋子中任意取一个球，摸到黑球的概率为12，则m = ．13．如图，若,3130,220a b ︒︒∠=∠=//，则∠1的度数为 ．14．如图，AB 是O 的直径，点C 是O 上的一点，连接AC ，BC ，AD 是O 的切线，连接OD ．若OD 平分AC ，=60B ∠︒，2BC =，则OD = ．15．某水果店搞促销活动，对某种水果打8折出售，若用40元钱买这种水果，可以比打折前多买2斤，则该水果打折前的单价为 元/斤．16．如图，在矩形纸片ABCD 中，点E 在边BC 上（不与点B ，点C 重合），连接AE ，将ABE沿直线AE 折叠，使得点B 落在点F 处，若ECF BAE ∠=∠，53EC BE =，则AEBE = ．三、解答题17．以下是圆圆解方程13132x x +−−=的解答过程． 解：去分母，得()()21331x x +−−=． 去括号，得22361x x +−−=． 移项，合并同类项，得5x =．圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程．18．某校随机抽取50位学生测试劳动素养，并将测试结果分别绘制成如图所示的扇形统计图和未完成的频数分布直方图（每组不含前一个边界值，含后一个边界值）．已知测试综合得分大于70分的学生劳动素养为优良．(1)补全频数分布直方图．(2)该校共有1000名学生，估计劳动素养为优良的人数．19．如图，在等腰直角三角形ABC 中，AB BC =，AO 平分BAC ∠，以AC 为腰作等腰三角形ACD ，使AC CD =，且CD 交AO 的延长线于点D ，(1)求证：BC CD ⊥． (2)设ABk CD=，求k 的值． 20．在直角坐标系内，反比例函数ky x=的图象过点()()()112233A x y B x y C x y ，，，，，． (1)若123x x y =−=，求证：320x y +=．(2)若32211x x x x −=−=，128y y −=，3116y y −=，求该函数的表达式．21．如图，在矩形ABCD 中，点E 在AD 边上（不与点A ，D 重合），连接BE ，CE ．(1)若点E 是AD 边的中点．求证：BE CE =． (2)设ABE α∠=，CED β∠=，AEk ED=． ①求证：tan tan k αβ⋅=． ②若1tan 2α=，BC CE =，求k 的值．22．某公园有一个喷水池，中心的可升降喷头垂直于地面，喷出的水柱形状呈抛物线．如图是喷水池喷水时的截面图，以喷水池中心O 为原点，水平方向为x 轴，1米为1个单位长度建立平面直角坐标系，设喷头A 的坐标为()()00c c ≥，，抛物线的函数表达式中二次项系数为a ．(1)当水柱都满足水平距离为4米时，达到最大高度为6米． ①若1c =，求第一象限内水柱的函数表达式（无需写取值范围）． ②求含c 的代数式表示a ．(2)为了美化公园，对喷水设备进行改造，使a 与c 之间满足184099a c −+=，且当水平距离为6米时，水柱达到最大高度．求改造后水柱达到的最大高度．23．问题情境：在探索多边形的内角与外角关系的活动中，同学们经历了观察、猜想、实验、计算、推理、验证等过程，提出了问题，请解答． （1）若四边形的一个内角的度数是α．①求和它相邻的外角的度数（用含α的代数式表示）； ②求其它三个内角的和（用含α的代数式表示）．（2）若一个n 边形(3)n >，除了一个内角，其余内角的和为920︒，求n 的值． 深入探究：（3）探索n 边形(3)n >的一个外角与和它不相邻的(n )1−个内角的和之间满足的等量关系，说明理由．24．如图，点A ，B ，C ，D ，E 在O 上顺次排列，已知AB BC ABD BCE =∠=∠，．(1)求证：BD CE =；(2)若直线AE 过圆心O ，设BCE ∠的度数为α，CD 的度数为β．β=时，求α的值；①当60②探索α和β满足的等量关系．。
2020-2021学年浙江省杭州市拱墅区育才中学七年级(上)期中数学试卷
2020-2021学年浙江省杭州市拱墅区育才中学七年级（上）期中数学试卷一、选择题：每小题3分，共30分1．（3分）以下列实数中，5的倒数是（）A．B．C．5D．﹣52．（3分）下列计算正确的是（）A．6﹣（﹣6）＝0B．（﹣2）2＝﹣4C．2×（﹣3）＝6D．﹣2÷（﹣4）＝3．（3分）2006年义乌市实现地区生产总值352.06亿元．352.06亿元用科学记数法表示为（单位：元）（）A．3.5206×109B．3.5206×1010C．3.5206×1011D．35.206×1094．（3分）“的平方根是±”用数学式表示为（）A．＝±B．＝C．±＝±D．﹣＝﹣5．（3分）a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，﹣a，b，﹣b按照从小到大的顺序排列（）A．﹣b＜﹣a＜a＜b B．﹣a＜﹣b＜a＜b C．﹣b＜a＜﹣a＜b D．﹣b＜b＜﹣a＜a 6．（3分）下列各题中合并同类项，结果正确的是（）A．2a2+3a2＝5a2B．2a2+3a2＝6a2C．4xy﹣3xy＝1D．2x3+3x3＝5x67．（3分）已知关于x的一元一次方程（a+3）x|a|﹣2+6＝0，则a的值为（）A．3B．﹣3C．±3D．±28．（3分）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，问共有多少人，多少辆车？设共有x人（）A．﹣9B．+2＝C．﹣2＝D．+9 9．（3分）已知关于x的方程a（2x﹣1）＝6x﹣4无解，则a的值为（）A．﹣4B．0C．3D．410．（3分）如图，将一个长方形ABCD分成4个长方形，其中②与③的大小形状相同，则①与④两个小长方形的周长和为（）A．22.5B．22C．21.5D．20二、填空题：每题4分，共24分11．（4分）若一个数和它的算术平方根相等，则这个数是．12．（4分）请用“＜”符号将下面实数﹣32，，﹣|﹣6|，连接起来．13．（4分）已知|x|＝3，|y|＝2，且x+y＞0．14．（4分）某商品进价为1530元，按商品标价的九折出售时，利润率是12%．若设商品的标价为x元．15．（4分）当x＝2时，代数式px3+qx+1的值是2018，则当x＝﹣2时，代数式px3+qx﹣3的值是．16．（4分）计算机按照如图所示的程序计算，若开始输入x的值为27，第一次得到的结果为9，…第2020次得到的结果为．三、解答题：7小题，共66分17．计算：（1）；（2）．18．解下列方程：（1）2x﹣7＝﹣5（2﹣x）；（2）．19．（1）先化简再求值：，其中x＝﹣3，y＝2．（2）若代数式（2x2+ax﹣2y+4）﹣（2bx2﹣3x+4y﹣3）的值与字母x的取值无关，求代数式﹣2b+4ab的值．20．（1）如果x是3+的整数部分，y是3+，求x﹣y+的平方根．（2）当m为何值时，关于x的方程5m+4x＝7+x的解与方程＝1的解互为相反数．21．如图所示，用三种大小不同的5个正方形和一个长方形（阴影部分）拼成长方形ABCD，最小的正方形的边长为x厘米．（1）用含x的代数式分别表示FG和DG；（2）求长方形ABCD的周长（用含x的代数式表示），并求当x＝4厘米时长方形ABCD 的周长．22．为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用“阶梯收费”3，则应缴水费：2×6+3×（8﹣6）＝18（元）．（1）某用户3月用水15m3应缴水费多少元？（2）已知某用户4月份缴水费21元，求该用户4月份的用水量；（3）如果某用户5、6月份共用水20m3（6月份用水量超过5月份用水量），共交水费54元，则该户居民5、6月份各用水多少立方米？月用水量单价不超过6m3的部分2元/m3超过6m3不超过10m3的部分3元/m3超过10m3的部分6元/m323．如图1，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，a（b﹣6）2＝0．（1）求a，b的值；（2）若点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC，请在数轴上找一点C，求C点表示的数；（3）如图，一小球甲从点A处以2个单位/秒的速度向左运动；同时另一个小球乙从点B 处以3个单位/秒的速度也向左运动（秒）．①分别表示出t（秒）时甲、乙两小球在数轴上所表示的数（用含t的代数式表示）；②求甲、乙两小球相距两个单位时所经历的时间．2020-2021学年浙江省杭州市拱墅区育才中学七年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：每小题3分，共30分1．（3分）以下列实数中，5的倒数是（）A．B．C．5D．﹣5【解答】解：5的倒数是．故选：B．2．（3分）下列计算正确的是（）A．6﹣（﹣6）＝0B．（﹣2）2＝﹣4C．2×（﹣3）＝6D．﹣2÷（﹣4）＝【解答】解：A、6﹣（﹣6）＝12；B、（﹣3）2＝4，故选项错误；C、3×（﹣3）＝﹣6；D、﹣7÷（﹣4）＝．故选：D．3．（3分）2006年义乌市实现地区生产总值352.06亿元．352.06亿元用科学记数法表示为（单位：元）（）A．3.5206×109B．3.5206×1010C．3.5206×1011D．35.206×109【解答】解：352.06亿＝352.06×108＝3.520 5×1010元．故选：B．4．（3分）“的平方根是±”用数学式表示为（）A．＝±B．＝C．±＝±D．﹣＝﹣【解答】解：“的平方根是±＝±．故选：C．5．（3分）a，b是有理数，它们在数轴上的对应点的位置如图所示，﹣a，b，﹣b按照从小到大的顺序排列（）A．﹣b＜﹣a＜a＜b B．﹣a＜﹣b＜a＜b C．﹣b＜a＜﹣a＜b D．﹣b＜b＜﹣a＜a 【解答】解集：观察数轴可知：b＞0＞a，且b的绝对值大于a的绝对值．在b和﹣a两个正数中，﹣a＜b，绝对值大的反而小．因此，﹣b＜a＜﹣a＜b．故选：C．6．（3分）下列各题中合并同类项，结果正确的是（）A．2a2+3a2＝5a2B．2a2+3a2＝6a2C．4xy﹣3xy＝1D．2x3+3x3＝5x6【解答】解：A、正确；B、2a2+6a2＝5a4；C、4xy﹣3xy＝xy；D、8x3+3x6＝5x3．故选：A．7．（3分）已知关于x的一元一次方程（a+3）x|a|﹣2+6＝0，则a的值为（）A．3B．﹣3C．±3D．±2【解答】解：∵方程（a+3）x|a|﹣2+4＝0是关于x的一元一次方程，∴，解得a＝7．故选：A．8．（3分）《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，问共有多少人，多少辆车？设共有x人（）A．﹣9B．+2＝C．﹣2＝D．+9【解答】解：依题意，得：．故选：B．9．（3分）已知关于x的方程a（2x﹣1）＝6x﹣4无解，则a的值为（）A．﹣4B．0C．3D．4【解答】解：方程a（2x﹣1）＝8x﹣4，整理得：（2a﹣5）x＝a﹣4，由方程无解，得到2a﹣3＝0．故选：C．10．（3分）如图，将一个长方形ABCD分成4个长方形，其中②与③的大小形状相同，则①与④两个小长方形的周长和为（）A．22.5B．22C．21.5D．20【解答】解：设②、③长和宽为y、x，则①的周长为：2x+2（3.5﹣y）＝2x﹣7y+11，④的周长为：2y+2（8.5﹣x）＝2y﹣4x+11．∴①和④的周长和为22．故选：B．二、填空题：每题4分，共24分11．（4分）若一个数和它的算术平方根相等，则这个数是1或0．【解答】解：∵1的算术平方根为1，4算术平方根都为0．∴这个数是1或4．故答案为：1或0．12．（4分）请用“＜”符号将下面实数﹣32，，﹣|﹣6|，连接起来﹣32＜﹣|﹣6|＜＜．【解答】解：（1）﹣32＝﹣2，＝3，＝4．∴﹣37＜﹣|﹣6|＜＜．故答案为：﹣52＜﹣|﹣6|＜＜．13．（4分）已知|x|＝3，|y|＝2，且x+y＞00或12．【解答】解：∵|x|＝3，|y|＝2，∴x＝±3，y＝±2，又∵x+y＞0，∴当x＝8，y＝2时；当x＝3，y＝﹣3时．14．（4分）某商品进价为1530元，按商品标价的九折出售时，利润率是12%．若设商品的标价为x元1904元．【解答】解：设该商品的标价为x元，则实际售价为0.9x元，根据利润＝实际售价﹣进价＝进价×利润率，则有：3.9x﹣1530＝1530×12%，解得x＝1904．故该商品的标价为1904元．故答案为：1904元．15．（4分）当x＝2时，代数式px3+qx+1的值是2018，则当x＝﹣2时，代数式px3+qx﹣3的值是﹣2020．【解答】解：当x＝2时，8p+2q+1＝2018，所以8p+7q＝2017，当x＝﹣2时，﹣8p﹣3q﹣3＝﹣2017﹣3＝﹣2020．故答案为：﹣2020．16．（4分）计算机按照如图所示的程序计算，若开始输入x的值为27，第一次得到的结果为9，…第2020次得到的结果为3．【解答】解：把x＝27代入得：27×＝2，把x＝9代入得：9×＝3，把x＝8代入得3×＝1，把x＝1代入得：3+2＝3，把x＝4代入得：3×＝1，把x＝1代入得：8+2＝3，依此类推，∵（2020﹣8）÷2＝1009⋯1，∴第2020次输出的结果为4．故答案为3．三、解答题：7小题，共66分17．计算：（1）；（2）．【解答】解：（1）原式＝﹣9﹣2+8＝﹣8；（2）原式＝﹣12×+（﹣12）×（﹣）﹣＝﹣2+4+2﹣＝4．18．解下列方程：（1）2x﹣7＝﹣5（2﹣x）；（2）．【解答】解：（1）2x﹣7＝﹣8（2﹣x），去括号，得2x﹣3＝﹣10+5x，移项，得2x﹣5x＝7﹣10，合并同类项，得﹣3x＝﹣3，系数化为1，得x＝1；（2），去分母，得6（x+3）＝3（4x﹣3）+12，去括号，得2x+4＝6x﹣9+12，移项，得5x﹣6x＝12﹣9﹣4，合并同类项，得﹣4x＝﹣3，系数化为7，得x＝．19．（1）先化简再求值：，其中x＝﹣3，y＝2．（2）若代数式（2x2+ax﹣2y+4）﹣（2bx2﹣3x+4y﹣3）的值与字母x的取值无关，求代数式﹣2b+4ab的值．【解答】解：（1）原式＝x2﹣6xy﹣3y2﹣2x6+7xy﹣2y6＝﹣x2+xy﹣4y3，当x＝﹣3，y＝2时6+（﹣3）×2﹣7×22＝﹣8﹣6﹣16＝﹣31；（2）（2x7+ax﹣2y+4）﹣（5bx2﹣3x+4y﹣3）＝2x4+ax﹣2y+4﹣2bx2+3x﹣7y+3＝（2﹣6b）x2+（a+3）x﹣6y+7，∵代数式（2x2+ax﹣2y+4）﹣（6bx2﹣3x+4y﹣3）的值与字母x的取值无关，∴2﹣6b＝0，a+3＝3，解得：a＝﹣3，b＝1，∴a2﹣5b+4ab＝×（﹣3）2﹣5×1+4×（﹣2）×1＝﹣2﹣12＝﹣．20．（1）如果x是3+的整数部分，y是3+，求x﹣y+的平方根．（2）当m为何值时，关于x的方程5m+4x＝7+x的解与方程＝1的解互为相反数．【解答】解：（1）∵，∴，，∴x＝6，y＝3+，∴＝6﹣+，∴x﹣y+的平方根为±5．（2）方程＝8两边同时乘以10，解得：x＝﹣9．∵关于x的方程5m+6x＝7+x的解与方程＝1的解互为相反数，故关于x的方程5m+5x＝7+x的解为x＝9．将x＝8代入方程5m+4x＝3+x中，解得m＝﹣4．21．如图所示，用三种大小不同的5个正方形和一个长方形（阴影部分）拼成长方形ABCD，最小的正方形的边长为x厘米．（1）用含x的代数式分别表示FG和DG；（2）求长方形ABCD的周长（用含x的代数式表示），并求当x＝4厘米时长方形ABCD 的周长．【解答】解：（1）根据图形可知：FG＝（x+3）cm，DG＝HF＝3x﹣EF＝（4x﹣3）cm；（2）长方形的宽为：x+3+7x﹣3＝4x（cm），长为：2x+x+3＝4x+6（cm），则长方形ABCD的周长为：[4x+（4x+8）]×2＝16x+6（cm），当x＝8时，16x+6＝16×4+6＝70（cm）．22．为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用“阶梯收费”3，则应缴水费：2×6+3×（8﹣6）＝18（元）．（1）某用户3月用水15m3应缴水费多少元？（2）已知某用户4月份缴水费21元，求该用户4月份的用水量；（3）如果某用户5、6月份共用水20m3（6月份用水量超过5月份用水量），共交水费54元，则该户居民5、6月份各用水多少立方米？月用水量单价不超过6m3的部分2元/m3超过6m3不超过10m3的部分3元/m3超过10m3的部分6元/m3【解答】解：（1）应缴水费2×6+2×（10﹣6）+6×（15﹣10）＝54（元）．故某用户4月用水15m3应缴水费54元；（2）2×8+3×4＝24（元），该用户8月份缴水费21元，21＜24，设该户居民4月份用水xm3 （x＜10），根据题意得出：4×2+3（x﹣8）＝21，解得：x＝9．故该用户4月份的用水量为5m3；（3）①当5月份用水不超过3m3时，设5月份用水xm4，则6月份用水（20﹣x）m3，根据题意得出：8x+2×6+8×4+6（20﹣x﹣10）＝54，解得：x＝5.5＞6，不符合题意舍去．②当8月份用水超过6m3时，但不超过10m8时，设5月份用水xm3，则5×6+3（x﹣6）+2×6+5×4+6（20﹣10﹣x）＝54，解得：x＝4＜10，符合题意，20﹣x＝20﹣8＝12．③当5月份用水超过10m5时，根据6月份用水量超过5月份用水量，故不合题意．故该户居民8月份用水量为8立方米，6月份用水量为12立方米．23．如图1，在数轴上A点表示数a，B点表示数b，a（b﹣6）2＝0．（1）求a，b的值；（2）若点A与点C之间的距离表示为AC，点B与点C之间的距离表示为BC，请在数轴上找一点C，求C点表示的数；（3）如图，一小球甲从点A处以2个单位/秒的速度向左运动；同时另一个小球乙从点B 处以3个单位/秒的速度也向左运动（秒）．①分别表示出t（秒）时甲、乙两小球在数轴上所表示的数（用含t的代数式表示）；②求甲、乙两小球相距两个单位时所经历的时间．【解答】解：（1）∵|a+2|+（b﹣6）3＝0，∴a+2＝6，b﹣6＝0，解得a＝﹣5，b＝6；（2）设数轴上点C表示的数为c．∵AC＝2BC，∴|c﹣a|＝8|c﹣b|，即|c+2|＝2|c﹣8|．∵AC＝2BC＞BC，∴点C不可能在BA的延长线上，则C点可能在线段AB上和线段AB的延长线上．①当C点在线段AB上时，则有﹣2≤c≤6，得c+2＝2（7﹣c），解得c＝；②当C点在线段AB的延长线上时，则有c＞6，得c+7＝2（c﹣6），解得c＝14．故当AC＝4BC时，C点表示的数为；（3）①∵甲球运动的路程为2t，OA＝6，∴在数轴上所表示的数为：﹣2t﹣2；∵乙球运动的路程为7t，OB＝6，∴在数轴上所表示的数为：6﹣8t；②依题意有|﹣2t﹣2﹣（8﹣3t）|＝2，解得t＝5或10．故甲、乙两小球相距两个单位时所经历的时间为6或10秒．。
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2021年浙江省杭州市拱墅区中考4月数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．－6的绝对值是（ ）A ．-6B ．6C ．- 16D ．162．下列运算正确的是（ ）A ．222()a b a b +=+B ．33334a a a +=C ．()32626a a -=D ．22()()b a a b b a +-=- 3．如图所示，点A 是半径为2的⊙O 外一点，OA ＝4，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，弦BC ∥OA ，连接AC ，则图中阴影部分的面积为（ ）A ．2B ．C ．3D 4．某篮球运动员在连续7场比赛中的得分（单位：分）依次为23，22，20，20，20，25，18．则这组数据的众数与中位数分别是（ ）A ．20分，22.5分B ．20分，18分C ．20分，22分D ．20分，20分5．一个长方形操场的长比宽长70米，根据需要将它扩建，把它的宽增加20米后，它的长就是宽的1.5倍.若设扩建前操场的宽为x 米，则下列方程正确的是( ) A ． 1.5(7020)x x =-+B ．70 1.5(20)x x +=+C ．70 1.5(20)x x +=-D ．70 1.5(20)x x -=+6．如图，已知一组平行线a ∥b ∥c ，被直线m 、n 所截，交点分别为A 、B 、C 和D 、E 、F ，且AB ＝1.5，BC ＝2，DE ＝1.8，则EF ＝（ ）A ．4.4B ．4C ．3.4D ．2.47．如图, 在△ABC 中, 50,130,240A ∠=︒∠=︒∠=︒, ∠D 的度数是（）A ．110︒B ．120︒C ．130︒D ．140︒8．函数 y ＝ax ﹣a 的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．9．抛物线2y x bx c =++的对称轴为直线1x =，且经过点(1,0)-.若关于x 的一元二次方程20x bx c t ++-=（t 为实数）在14x -<<的范围内有实数根，则t 的取值范围是（ ）A ．40t -≤<B ．45t -≤<C ．05t <<D ．05t ≤< 10．如图，△ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝2CB ，以C 为圆心，CB 为半径作弧交AC 于点D ，以A 为圆心，AD 长为半径画弧交AB 于点E ，则:AE AB 的值是（ ）A ．12 B C ．12 D ．12二、填空题11．因式分解：339a b ab-=____________________．12．在不透明纸箱中放有除了标注数字不同其他完全相同的3张卡片，上面分别标注有数字为1、2、3，从中摸出一张，放回搅匀再摸第二张，两次抽得的数字之和为奇数的概率为_____．13．方程2144xx x--=--的解是__________．14．某扇形的弧长为πcm，面积为3πcm2，则该扇形的半径为_____cm15．关于x的不等式组3515-12xx a->⎧⎨≤⎩有2个整数解，则a的取值范围是____________.16．矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC边上一点，连接DE，把△DCE沿DE 折叠，使点C落在点C′处，当△BEC′为直角三角形时，BE的长为_____．三、解答题17．先化简，再求值：224144124x x xx x-++÷-，其中14x=-.18．某校为了在七年级600名学生中顺利开展“四点半”课堂，采用随机抽样的方法，从喜欢乒乓球、跳绳、篮球、绘画四个方面调查了若干名学生，并绘制了条形统计图和扇形统计图，请结合两幅统计图，回答下列问题：（1）这次调查活动中，一共调查了名学生；（2）“乒乓球”所在扇形的圆心角是度；（3）请补全条形统计图；（4）根据本次调查情况，请你估计七年级600名学生中喜欢“乒乓球”的人数有多少？19．如图，AB是⊙O的直径，点C在圆O上，BE⊥CD垂足为E，CB平分∠ABE，连接BC（1）求证：CD 为⊙O 的切线；（2）若cos ∠CAB ，CE AD 的长．20．如图，四边形ABCD 是平行四边形，点F 在BA 的延长线上，连接CF 交AD 于点E ． （1）求证：△CDE ∽△F AE ；（2）当E 是AD 的中点且BC ＝2CD 时，直接写出图中所有与∠F 相等的角．21．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数1y k x b =+的图象与反比例函数2k y x=（0x >）的图象交于(),1A m m +，()3,1B m m +-两点．（1）求m 的值；（2）求出一次函数与反比例函数的表达式；（3）过点(),0P a 作x 轴的垂线，与直线1y k x b =+和函数2k y x=（0x >）的图象的交点分别为点M ，N ，当点M 在点N 下方时，写出a 的取值范围．22．一个函数y ＝2x +3与二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象交于A （m ，5）和B （3，n ）两点，且点B 是抛物线的顶点．（1）求二次函数的解析式；（2）请在给出的平面直角坐标系中画出一次函数和二次函数的简图（无需列表），并根据简图写出：当x满足时，两个函数的值都随x的增大而增大？当x满足时，二次函数的函数值大于零？当x满足是，二次函数的值大于一次函数的值？23．已知：△ABC与△ABD中，∠CAB＝∠DBA＝β，且∠ADB＋∠ACB＝180°．提出问题：如图1，当∠ADB＝∠ACB＝90°时，求证：AD＝BC；类比探究：如图2，当∠ADB≠∠ACB时，AD＝BC是否还成立？并说明理由．综合运用：如图3，当β＝18°，BC＝1，且AB⊥BC时，求AC的长．参考答案1．B【分析】在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值.【详解】负数的绝对值等于它的相反数，所以-6的绝对值是6故选B【点睛】考点：绝对值.2．B【分析】根据整式的乘除运算及合并同类项依次判断各选项即可.【详解】A 、222()+2ab a b a b +=+，故A 选项错误；B 、33334a a a +=，故B 选项正确；C 、()32628a a -=-，故C 选项错误；D 、22()()b a a b ab +-=-，故D 选项错误；故选B.【点睛】 本题是对整式乘除的考查，熟练掌握整式乘除计算及合并同类项是解决本题的关键. 3．D【分析】根据三角形面积求法，得出△OCB 与△ACB 同底等高面积相等，再利用切线的性质得出∠COB ＝60°，利用三角形的面积求出即可．【详解】解：连接OB ，OC ，∵AB 是圆的切线，∴∠ABO ＝90°，在直角△ABO 中，OB ＝2，OA ＝4，∴∠OAB ＝30°，∠AOB ＝60°，∵OA ∥BC ，∴∠CBO ＝∠AOB ＝60°，且S 阴影部分＝S △BOC ，∴△BOC 是等边三角形，边长是2，∴图中阴影部分的面积＝12⨯故选：D ．【点睛】本题主要考查了三角形面积的计算，以及切线的性质，正确证明△BOC 是等边三角形是解题的关键．4．D【分析】众数是指一组数据中出现次数最多的数；中位数是指将一组数据按照大小顺序排列后位于中间的那个数或位于中间位置的两个数的平均数；据此进一步判断即可.【详解】数据排列为18，20，20，20，22，23，25，则这组数据的众数为20，中位数为20，故选：D ．【点睛】本题主要考查了众数与中位数的定义，熟练掌握相关概念是解题关键.5．B【分析】先表示出操场的长，再根据“把它的宽增加20米后，它的长就是宽的1.5倍”列出方程即可．【详解】解：若设扩建前操场的宽为x 米，则它的长为70x +米，根据题意70 1.5(20)x x +=+，故选:B ．本题考查了一元一次方程的应用．解决本题的关键是找到等量关系．长=扩建后宽×1.5． 6．D【分析】直接利用平行线分线段成比例定理对各选项进行判断即可．【详解】解：∵a ∥b ∥c ， ∴AB DE BC EF=, ∵AB ＝1.5，BC ＝2，DE ＝1.8, ∴1.5 1.82EF= , ∴EF=2.4 故选：D ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例,掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是关键．7．B【分析】先根据角的和差、三角形的内角和定理求出DBC DCB ∠+∠的度数，再根据三角形的内角和定理即可．【详解】由三角形的内角和定理得180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒50A ∠=︒18050130ABC ACB ∴∠+∠=︒-︒=︒12130240ABC DBC ACB DCB ∠=∠+∠⎧⎪∠=∠+∠⎪⎨∠=︒⎪⎪∠=︒⎩ 123040130DBC DCB DBC DCB ∴∠+∠+∠+∠=︒+︒+∠+∠=︒60DBC DCB ∴∠+∠=︒再由三角形的内角和定理得180D DBC DCB ∠+∠+∠=︒则18060120D ∠=︒-︒=︒【点睛】本题考查了角的和差、三角形的内角和定理，熟记三角形的内角和定理是解题关键．8．C【解析】【分析】将y=ax-a化为y= a(x-1)，可知图像过点(1,0),进行判断可得答案.【详解】解：一次函数y=ax-a=a(x-1)过定点(1,0),而选项A 、B、D中的图象都不过点(1,0), 所以C 项图象正确.故本题正确答案为C.【点睛】本题主要考查一次函数的图象和一次函数的性质.9．B【分析】根据题意，可以得到该抛物线的解析式，然后根据题意，即可求得t的取值范围．【详解】解：∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=1，且经过点（-1，0），∴1210bb c⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩，得23bc=-⎧⎨=-⎩，即y=x2-2x-3，∵关于x的一元二次方程x2+bx+c-t=0（t为实数）在-1＜x＜4的范围内有实数根，∴一元二次方程x2-2x-3=t（t为实数）在-1＜x＜4的范围内有实数根，∴12-2×1-3≤t＜42-2×4-3，即-4≤t＜5，故选：B．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．10．C【分析】设AB ＝2a ，BC ＝a ，则AC ，利用勾股定理求得AE 的长，即可得出AE ：AB 的值．【详解】∵BC ⊥AB ，∴∠ABC ＝90°，设AB ＝2a ，BC ＝a ，则AC ，∵CD ＝BC ＝a ，∴AD ＝AC ﹣CD 1）a ，∵AE ＝AD ，∴AE 1）a ，∴AE AB ． 故选：C ．【点睛】此题考查勾股定理以及黄金分割的运用，正确掌握勾股定理是解题的关键．11．()()3131ab ab ab +-【分析】先提取公因式ab ，再利用平方差公式继续分解．【详解】解：()()()33229913131a b ab ab a b ab ab ab -=-=+-， 故答案为：()()3131ab ab ab +-．【点睛】此题主要考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．12．49【分析】列表得出所有等可能的情况结果，再得出和是奇数的情况数，即可求出所求的概率．【详解】解：列表如下：则所有可能的结果有9个，其中和为奇数的有4种结果，∴两次抽得的数字之和为奇数的概率为49， 故答案为：49． 【点睛】此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的事件；解题时还要注意是放回试验还是不放回试验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．13．x=3．【详解】解：21044x x x--=-- 21+044x x x -=-- 210x +-=解得：x=3经检验：x=3是原方程的解故答案为：x=3．14．6【分析】根据扇形的面积公式S＝12lR，可得出R的值．【详解】解：∵扇形的弧长为πcm，面积为3πcm2，扇形的面积公式S＝12lR，可得R＝2661Sππ==故答案为6．【点睛】本题考查了扇形面积的求法，掌握扇形面积公式是解答本题的关键.15．8⩽a<13；【解析】【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围．【详解】解不等式3x−5>1，得：x>2，解不等式5x−a⩽12,得：x⩽125a+，∵不等式组有2个整数解，∴其整数解为3和4，则4⩽125a+<5，解得：8⩽a<13，故答案为：8⩽a<13【点睛】此题考查一元一次不等式组的整数解，掌握运算法则是解题关键16．2或5．【分析】分情况讨论：当∠BC′E＝90°时，如图1；当∠BEC′＝90°时，如图2，分别利用矩形的性质和勾股定理进行计算即可．【详解】解：如图1，当∠BC′E＝90°时，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝BC＝8，∴BD＝10，∵把△DCE沿DE折叠，使点C落在点C′处，∴∠DC′E＝∠C＝90°，∵∠BC′E＝90°，∴B，C′，D三点共线，∴DC′＝DC＝6，∴BC′＝4，BE＝8﹣C′E，∵BC′2+EC′2＝BE2，∴42+C′E2＝（8﹣C′E）2，解得C′E＝3，∴BE＝8﹣3＝5；如图2，当∠BEC′＝90°时，在矩形ABCD中，AB＝CD＝6，AD＝BC＝8，∵把△DCE沿DE折叠，使点C落在点C′处，∴∠DC′E＝∠C＝90°，∵∠BEC′＝90°，∴∠CEC′＝90°，∵CD＝C′D，∴四边形ECDC′是正方形，∴C′E＝CE＝CD＝6，∴BE＝8－6＝2．综上所述，当△BEC′为直角三角形时，BE的长为2或5，故答案为：2或5．【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、正方形的判定和性质以及勾股定理等知识，分类讨论各种可能的情况是全面解决问题的关键．17．42x x -+，14. 【分析】根据分式的除法法则把原式进行化简，再把x 的值代入进行计算即可．【详解】原式=()()22121212422()1()x x xxx x x +-⋅=--++，当x=−14时,原式=14. 【点睛】此题考查分式的化简求值，解题关键在于掌握运算法则.18．（1）100；（2）108；（3）补图见解析；（4）180人【分析】（1）根据喜欢篮球的人数和篮球所占的百分比可以求得本次调查的学生人数；（2）根据（1）中的结果可以求得喜欢跳绳和乒乓球的人数，从而可以求得“乒乓球”所在扇形的圆心角的度数；（3）根据（2）中计算出的喜爱跳绳和乒乓球的人数可以将条形统计图补充完整；（4）根据统计图中的数据可以计算出七年级600名学生中喜欢“乒乓球”的人数有多少．【详解】解：（1）这次调查活动中，一共调查了：40÷40%＝100名学生， 故答案为：100；（2）喜欢跳绳的学生有：100×20%＝20（人），喜欢乒乓球的学生有：100﹣20﹣40﹣10＝30（人），“乒乓球”所在扇形的圆心角是：360°×30100＝108°， 故答案为：108；（3）由（2）知，喜欢跳绳的学生有20人，喜欢乒乓球的学生有30人，补全的条形统计图如下图所示；（4）600×30100＝180（人），答：七年级600名学生中喜欢“乒乓球”的有180人．【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．19．（1）见解析；（2）AD=6．【分析】（1）连接OC，根据等边对等角，以及角平分线的定义，即可证得∠OCB＝∠EBC，则OC∥BE，从而证得OC⊥CD，即CD是⊙O的切线；（2）根据勾股定理和相似三角形的判定和性质即可得到结论．【详解】证明：（1）连接OC．∵OC＝OB，∴∠ABC＝∠OCB，又∵∠EBC＝∠ABC，∴∠OCB＝∠EBC，∴OC∥BE，∵BE⊥CD，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（2）设AB＝x，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴直角△ABC中，AC＝AB•cos∠CAB，∴BCx，∵∠BCE+∠BCO＝∠CAB+∠ABC＝90°，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠CAB＝∠BCE，∵∠E＝∠ACB＝90°，∴△ACB∽△CEB，∴ACCE＝ABBC，5，∴x＝2，∴AB＝2，BC＝5，∵△ACB∽△CEB，∴∠CAB =∠ECB= cos∠CAB=CE BC∴BE＝∵OC∥BE，∴△DOC∽△DBE，∴OCBE＝ODBD，AD+，∴AD．【点睛】本题考查了切线的判定，三角函数以及圆周角定理，相似三角形的判定及性质等，证明切线的问题常用的思路是转化成证明垂直问题．20．（1）见解析；（2）图中所有与∠F相等的角为∠DCE、∠BCF、∠AEF、∠DCE，理由见解析【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形就可以证明△CDE∽△FAE；（2）根据（1）和E是AD的中点可以得到△CDE≌△FAE，然后根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质即可得出答案．【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠DCE＝∠F，∠CDE＝∠F AE，∴△CDE∽△F AE；（2）解：图中所有与∠F 相等的角为∠DCE 、∠BCF 、∠AEF 、∠DCE ，理由如下： 由（1）得：∠DCE ＝∠F ，∵△CDE ∽△F AE ，DE ＝EA ，∴△CDE ≌△F AE ，∴CD ＝AF ，∴BF ＝2CD ，∵BC ＝2CD ，AD ＝BC ＝2AE ＝2DE ，∴BF ＝BC ，AF ＝AE ，CD ＝DE ，∴∠F ＝∠BCF ，∠AEF ＝∠F ，∠DEC ＝∠DCE ．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定和平行四边形的性质是解题的关键． 21．（1）3m =；（2）263y x =-+，12y x=（0x >）；（3）0<<3a 或6a >． 【分析】（1）根据=k xy 可求m ；（2）根据（1）中m 的值求出A 和B 点坐标，运用待定系数法即可求一次函数和反比例函数解析式；（3）观察图象，以A ，B 点作为分界点，利用数形结合的思想求解．【详解】解：（1）由反比例函数概念可得()()()131m m m m +=+-，解得3m =．（2）∵m=3，∴()3,4A ，()6,2B ， 将点()3,4A ，()6,2B 代入1y k x b =+得1134,62,k b k b +=⎧⎨+=⎩解得12,36,k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ 所以一次函数的解析式为263y x =-+．由23412k =⨯=，可得反比例函数的解析式为12y x=（0x >）． （3）∵两函数的交点坐标是A （3，4），B （6，2），∴当点M 在点N 下方时，a 的取值范围是0＜a ＜3或a ＞6．【点睛】本题主要考查一次函数与反比例综合，求一次函数和反比例函数解析式．（1）中能根据=k xy 求出m 的值是解题关键；（2）中掌握用待定系数法求一次函数和反比例函数解析式的方法是解题关键；（3）中主要用到数形结合思想，注意结合图形，分段进行分析． 22．（1）y ＝﹣x 2+6x ；（2）作图见解析，x ＜3，0＜x ＜6，1＜x ＜3．【分析】（1）把A （m ，5）和B （3，n ）分别代入y ＝2x ＋3中解得m ＝1，n ＝9，所以求得A （1，5），B （3，9），用顶点式表示出来二次函数的解析式为y ＝a （x−3）2＋9，把A （1，5）代入上式得a ＝−1，求出二次函数解析式；（2）根据描点的方法和函数图象的对称性作图即可；根据图形的和函数的单调性求得当x ＜3时，当0＜x ＜6时，二次函数的函数值大于零；一次函数与二次函数的值都随x 的增大而增大；当1＜x ＜3时，二次函数大于一次函数值．【详解】解：（1）把A （m ，5）和B （3，n ）分别代入y ＝2x +3中，解得m ＝1，n ＝9，∴A （1，5），B （3，9），∵点B （3，9）是抛物线的顶点，设二次函数的解析式为y ＝a （x ﹣3）2+9，∴a ＝﹣1，∴二次函数解析式为y ＝﹣（x ﹣3）2+9＝﹣x 2+6x ；（2）一次函数图象和二次函数图象如图所示；从图象上观察：当x ＜3时，一次函数与二次函数的值都随x 的增大而增大；当0＜x ＜6时，二次函数的函数值大于零；当1＜x ＜3时，二次函数大于一次函数值．故答案为：x ＜3，0＜x ＜6，1＜x ＜3．【点睛】主要考查了待定系数法求函数的解析式和二次函数的性质及其作图．要注意：当a ＜0时，图象开口向下，在对称轴的左侧y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧y 随x 的增大而减小． 23．（1）见解析；（2）仍然成立，理由见解析；（31【分析】（1）证明△DBA ≌△CAB 即可；（2）作∠BEC ＝∠BCE ，BE 交AC 于E ，证明△DBA ≌△EAB 即可；（3）作∠BEC ＝∠BCE ，BE 交AC 于E ，由（2）得，AD ＝BC ＝BE ＝1，通过角之间的关系可求得EF ＝BE ＝1，再证△CBE ∽△CFB ，根据相似三角形的对应边成比例求解即可．【详解】（1）在△BDA 和△CAB 中90ADB ACB CAB DBAAB BA ∠∠︒⎧⎪∠∠⎨⎪=⎩＝＝＝ ∴△DBA ≌△CAB(AAS)；（2）结论仍然成立．理由：作∠BEC ＝∠BCE ，BE 交AC 于E ．∵∠ADB ＋∠ACB ＝∠AEB ＋∠BEC ＝180°∴∠ADB＝∠AEB．又∠CAB＝∠DBA，AB=BA∴△DBA≌△EAB(AAS)，∴BE＝AD，∵∠BEC＝∠BCE，∴BC＝BE，∴AD＝BC．（3）作∠BEC＝∠BCE，BE交AC于E,由（2）得，AD＝BC＝BE＝1在Rt△ACB中，∠CAB＝18°∴∠C＝72°，∠BEC＝∠C＝72°由∠CFB＝∠CAB＋∠DBA＝36°∴∠EBF＝∠CEB－∠CFB＝36°∴EF＝BE＝1在△BCF中，∠FBC＝180°－∠BFC－∠C＝72°∴∠FBC＝∠BEC，∠C＝∠C∴△CBE∽△CFB∴CBCE＝CFCB令CE＝x，∴1＝x(x＋1)解之，x＝1 2∴CF＝1 2由∠FBC＝∠BEC∴BF＝CF．又AF＝BF∴AC＝2CF 1【点睛】本题考查的是三角形的全等及相似，根据已知的数量关系及图形特点正确的添加辅助线的是解答的关键．。