概率分布列
分布列
2
；⑵
的分布列．
1 1
可得
1
2 的取值为0、1、4、9
P ( 2 0 ) P ( 0 ) ; P ( 2 1) P ( 1) P ( 1) 4 12 3 3
1
P ( 2 4 ) P ( 2 ) P ( 2 )
解: 随机变量ξ的可取值为 1,2,3. 当ξ=1时,即取出的三只球中的最小号码为1,则其它 两只球只能在编号为2,3,4,5的四只球中任取两只,故 有P(ξ=1)= C 42 / C 53 =3/5;
同理可得 P(ξ=2)=3/10;P(ξ=3)=1/10.
因此,ξ的分布列如下表所示
ξ p 1 2 3/5 3/10 3 1/10
1
1
1
P ( 2 9 ) P ( 3 )
2
1 12
4
1 4
12
6
4
∴ 2 的分布列为：
9
1 12
0
1 3
1
1 3
P
课堂练习： 1.设随机变量 的分布列如下：
P
1
1 6
2
1 3
3
1 6
4
1
p
则 p 的值为
i
3
．
2.设随机变量 的分布列为
27
1 P ( i ) a , 3
6
6
6
列成 表的 形式
1
1 6
2
1 6
3
1 6
4
1 6
5
1 6
6
1 6
P
特点：该表不仅列出了随机变量 的所有取值，
概率分布列
随机变量及其分布、数学期望、方差1. 已知(1,2),(,)a b x y =-=，（Ⅰ）若x 是从1,0,1,2-四个数中任取的一个数，y 是从1,0,1-三个数中任取的一个数，求a b ⊥的概率．（Ⅱ）若x 是从区间[1,2]-中任取的一个数， y 是从区间[1,1]-中任取的一个数，求,a b 的夹角是锐角的概率．2. 为了控制甲型H1N1流感病毒传播，我市卫生部防疫部门提供了批号分别为1、2、3、4的4个批号疫苗，供全市所辖的三个区市民注射，为便于观察，每个区只能从中任选一个批号的疫苗进行接种．（I ）求三个区中恰好有两个区选择的疫苗批号相同的概率；（II ）记三个区中选择疫苗批号相同的区的个数为ξ，求ξ的数学期望．3.学校准备从中选出4人到社区举行的大型公益活动进行采访，每选出一名男生，给其所在小组记1分，每选出一名女生则给其所在小组记2分，若要求被选出的4人中理科组、文科组的学生都有．(Ⅰ)求理科组恰好记4分的概率？(Ⅱ)设文科男生被选出的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ．4. 某超市为促销商品,特举办“购物有奖100﹪中奖”活动.凡消费者在该超市购物满10元，享受一次摇奖机会，购物满20元，享受两次摇奖机会，以此类推.摇奖机的结构如图所示，将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中,落入A 袋为一等奖，奖金为2元，落入B 袋为二等奖，奖金为1元．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12． （Ⅰ）求摇奖两次，均获得一等奖的概率；（Ⅱ）某消费者购物满20元，摇奖后所得奖金为X 元，试求X 的分布列与期望；(Ⅲ)若超市同时举行购物八八折让利于消费者活动（打折后不再享受摇奖），某消费者刚好消费20元，请问他是选择摇奖还是选择打折比较划算.AB5. 一个口袋中装有大小相同的n 个红球（5n ≥且n ∈N ）和5个白球，每次从中任取两个球，当两个球的颜色不同时，则规定为中奖． （Ⅰ）试用n 表示一次取球中奖的概率p ；（Ⅱ）记从口袋中三次取球（每次取球后全部放回）恰有一次中奖的概率为m ，求m 的最大值；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，当m 取得最大值时将5个白球全部取出后，对剩下的n 个红球作如下标记：记上i 号的有i 个（1,2,3,4i =），其余的红球记上0号，现从袋中任取一球,X 表示所取球的标号，求X 的分布列、期望．6.设进入某商场的每一位顾客购买甲种商品的概率为0.5，购买乙种商品的概率为0.6，且购买甲种商品与购买乙种商品相互独立，各顾客之间购买商品也是相互独立的。
分布列
1 B. 2
1 C. 3
2 D. 3
问题:在含有5件次品的100件产品中,任取3 件,求取到的次品数X的分布列.
解:∵ X 的可能取值为 0,1,2,3. k 3 k C5 C95 又∵ P ( X k ) (k 0,1, 2, 3) 3 C100 ∴随机变量 X 的分布列是 X 0 1 2 3 0 3 1 2 2 1 3 0 C5 C95 C5 C 95 C5 C 95 C5 C 95 3 3 3 3 P C100 C100 C100 C100
(2) p1 p2 pn 1
2.概率分布还经常用图象来表示.
2.概率分布还经常用图象来表示. p
0.1 O 1 2 3 4 5 6 7 8
我们来认识两个特殊的分布列.
首先,看一个简单的分布列： 在抛掷一枚硬币的试验中: 令X= 1，正面朝上 0，反面朝上
则X的分布列为
离散型随机变量的分布列 抛掷一枚骰子，设得到的点数为X，则 X可能取的值有：
1，2，3，4，5，6
X
1 1 6 2 1 6 3 1 6 4 1 6 5 1 6 6 1 6
p
该表不仅列出了随机变量X的所有取 值．而且列出了X的每一个取值的概率． 称为随机变量X的概率分布列.
1.定义:概率分布（分布列）
设离散型随机变量X可能取的值为 x1 , x2 , , xn X取每一个值xi (i=1,2,…,n) 的概率 P( X xi ) pi
则称表
X P
x1 p1
x2 p2
… …
xn pn
为随机变量X的概率分布列，简称X的分布列. 注:1.离散型随机变量的分布列具有下述两个性质：
(1) pi 0, i 1,2, , n
概率分布列含解析
概率分布列练习题1．打靶时，甲每打10次可中靶8次，乙每打10次可中靶7次，若两人同时射击一个目标，则它们都中靶的概率是()A.35 B.34 C.1225 D.1425答案：D2．三个人独立地破译一个密码，他们能单独译出的概率分别为15，13，14，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译出的概率为( )A.35 B.25 C.160D．不确定答案：A3．已知P(A)＝0.3，P(B)＝0.5，当事件A、B相互独立时，P(A∪B)＝________，P(A|B)＝________.答案0.650.34．加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为170、169、168，且各道工序互不影响，则加工出来的零件的次品率为________．答案：3 705．在一条马路上的A、B、C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆汽车在这条马路上行驶，那么在这三处都不停车的概率是________．答案：35 1926．事件A、B、C相互独立，若P(A·B)＝16，P(B·C)＝18，P(A·B·C)＝18，则P(B)＝________，P(A·B)＝________，P(B＋C)＝__________，P(B|C)＝________.答案：121358127．有一个数学难题，在半小时内，甲能解决的概率是12，乙能解决的概率是13，2人试图独立地在半小时内解决它，则2人都未解决的概率为________，问题得到解决的概率为________．答案：13238．甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6,0.5，现已知目标被击中，则它是被甲击中的概率是()A．0.45 B．0.6 C．0.65 D．0.75 答案：D解析：令事件A、B分别表示甲、乙两人各射击一次击中目标，由题意可知P(A)＝0.6，P(B)＝0.5，令事件C表示目标被击中，则C＝A∪B，则P(C)＝1－P(A)P(B)＝1－0.4×0.5＝0.8，所以P (A |C )＝P (AC )P (C )＝0.60.8＝0.75. 9.设10件产品中有4件不合格，从中任意取出2件，在所取得的产品中发现有一件不合格品，则另一件也是不合格品的概率为 ．答案：15 10．已知随机变量ξ～B (6，13)，则P (ξ≥2)＝( )A.16143B.471729C.473729D.1243 答案 C11．袋中有红、黄、绿色球各一个，每次任取一个，有放回地抽取三次，球的颜色全相同的概率是( )A.227B.19C.29D.127 答案 B12．某电子管正品率为34，次品率为14，现对该批电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则P (ξ＝3)的值为( )A ．C 23(14)2×34B ．C 23(34)2×14 C ．(14)2×34D ．(34)2×14 答案 C13．口袋里放有大小相等的两个红球和一个白球，有放回地每次摸取一个球，定义数列{a n }：a n ＝⎩⎨⎧－1，第n 次摸取红球，1，第n 次摸取白球，如果S n 为数列{a n }的前n 项和，那么S 7＝3的概率为( ) A ．C 57×(13)2×(23)5 B ．C 47×(23)2×(13)5 C ．C 27×(23)2×(13)5 D ．C 37×(13)2×(23)5 答案 C14．某大厦的一部电梯从底层出发后只能在第18、19、20层停靠．若该电梯在底层载有5位乘客，且每位乘客在这三层的每一层下电梯的概率均为13，用ξ表示这5位乘客在第20层下电梯的人数，则P (ξ＝4)＝________.答案 1024315．某单位6个员工借助互联网开展工作，每天每个员工上网的概率是0.5(相互独立)，则一天内至少3人同时上网的概率为________．答案 213216.甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答对其中的6题，乙能答对其中的8题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3题进行测试，至少答对2题才算合格．(1)分别求甲、乙两人考试合格的概率；(2)求甲、乙两人至少有一人考试合格的概率．解析(1)设甲、乙两人考试合格的事件分别为A、B，则P(A)＝C26·C14＋C36C310＝60＋20120＝23，P(B)＝C28·C12＋C38C310＝56＋56120＝141517．2013年初，一考生参加北京大学的自主招生考试，需进行书面测试，测试题中有4道题，每一道题能否正确做出是相互独立的，并且每一道题被考生正确做出的概率都是3 4.(1)求该考生首次做错一道题时，已正确做出了两道题的概率；(2)若该考生至少做出3道题，才能通过书面测试这一关，求这名考生通过书面测试的概率．解析(1)记“该考生正确做出第i道题”为事件A i(i＝1,2,3,4)，则P(A i)＝34，由于每一道题能否被正确做出是相互独立的，所以这名考生首次做错一道题时，已正确做出两道题的概率为P(A1A2A3)＝P(A1)·P(A2)·P(A3)＝34×34×14＝964.(2)记“这名考生通过书面测试”为事件B，则这名考生至少正确做出3道题，即正确做出3道或4道题，故P(B)＝C34×(34)3×14＋C44×(34)4＝189256.18．某射手每次射击击中目标的概率是，且各次射击的结果互不影响。
概率分布列
离散型随机变量及其分布1.随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示例1：抛掷一枚均匀骰子一次，随机变量为( )A ．掷骰子的次数B ．骰子出现的点数C ．出现1点或2点的次数D ．以上都不正确例2： 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果⑴一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；⑵某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η2. 离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量 叫做离散型随机变量3．连续型随机变量: 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量 就叫做连续型随机变量4.离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变 量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序 一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出若ξ是随机变量，b a b a ,,+=ξη是常数，则η也是随机变量 并且不改变其属性（离散型、连续型）例：①某寻呼台一小时内收到的寻呼次数ξ； ②长江上某水文站观察到一天中的水位ξ；③某超市一天中的顾客量ξ ξ是连续型随机变量的是（ ）A ．①；B ．②；C ．③；D ．①②③5. 概率分布列:设离散型随机变量ξ可能取得值为 x 1，x 2，…，x 3，…， ξ取每一个值x i （i=1，2，…）的概率为()i i P x p ξ==，则称表例：已知随机变量ξ的概率分布列如下表所示，分别求下列随机变量的概率分布列⑴ η=2ξ+1 ⑵ η=ξ26. 分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足:1)(0≤≤A P ，并且不可能事件的 概率为0，必然事件的概率为1．由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：⑴ P i ≥0，i ＝1，2，...； ⑵ P 1+P 2+ (1)对于离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和即⋅⋅⋅+=+==≥+)()()(1k k k x P x P x P ξξξ例1：设X 是一个离散型随机变量，其分布列为：则q 等于 ( A ．1 B ．1±22 C ．1－22 D ．1＋22例2：已知随机变量X 的分布列为P(X ＝k)＝12k ，k ＝1,2，…，则P(2＜X≤4)等于( )A.316 B.14 C.116 D.5167.两点分布列:在掷一枚图钉的随机试验中，令⎧⎨⎩1，针尖向上；X=0,针尖向下.如果针尖向上的概率为p ，试写出随机变量 X的分布列．解：根据分布列的性质，针尖向下的概率是（1p -) ．于是，随机变量 X 的分布列是像上面这样的分布列称为两点分布列(0一1分布或伯努利分布．)．8. 超几何分布列：一般地，在含有M 件次品的 N 件产品中，任取 n 件，其中恰有X 件次 品数，则事件 {X=k ｝发生的概率为(),0,1,2,,k n k M N MnNC C P X k k m C --===,其中min{,}m M n =，且,,,,n N M N n M N N *≤≤∈．称分布列 例．在含有 5 件次品的 100 件产品中，任取 3 件，试求： ⑴取到的次品数X 的分布列； ⑵至少取到1件次品的概率．巩固提高1.给出下列四个命题：①15秒内，通过某十字路口的汽车的辆数是随机变量；②在一段时间内，候车室内候车的旅客人数是随机变量；③一条河流每年的最大流量是随机变量；④一个剧场共有三个出口，散场后从某一出口退场的人数是随机变量． 其中正确命题的个数是( ) A ．1B ．2C ．3D ．42．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述1次试验的成功次数，则ξ的值可以是( )A ．2B ．2或1C ．1或0D ．2或1或03．随机变量ξ的所有等可能取值为1,2,,n …，若()40.3P ξ<=，则（ ） A ．3n =； B ．4n =； C ．10n =； D ．不能确定 4.抛掷两次骰子，两个点的和不等于8的概率为（ ）A ．1112； B ．3136； C ．536； D ．112 5.如果ξ是一个离散型随机变量，则假命题是( ) A. ξ取每一个可能值的概率都是非负数； B. ξ取所有可能值的概率之和为1；C. ξ取某几个值的概率等于分别取其中每个值的概率之和；D. ξ在某一范围内取值的概率大于它取这个范围内各个值的概率之和6．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数， 则P(ξ＝0)＝( ) A ．0B.12C.13D.237．某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用ξ表示这6人中“三好生”的人数，则下列概率中等于C 35C 37C 612的是( )A ．P(ξ＝2)B ．P(ξ＝3)C ．P(ξ≤2)D ．P(ξ≤3)8．已知随机变量X 的分布列为：P(X ＝k)＝12k ，k ＝1、2、…，则P(2＜X≤4)＝( )A.316B.14C.116D.5169．设随机变量ξ的概率分布为P(ξ＝k)＝ck ＋1，k ＝0、1、2、3，则c ＝____ ____.10．随机变量ξ的概率分布列为P(ξ＝k)＝ck(k ＋1)，k ＝1,2,3,4，其中c 是常数，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜ξ＜52则值为( )A.23B.34C.45D.5611．在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同．一次从中摸出5个球，至少摸到3个红球就中奖．求中奖的概率．12．一盒中放有大小相同的红色、绿色、黄色三种小球，已知红球个数是绿球个数的两倍，黄球个数是绿球个数的一半．现从该盒中随机取出一个球，若取出红球得1分，取出黄球得0分，取出绿球得－1分，试写出从该盒中取出一球所得分数ξ的分布列．13． 写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果 ⑴一袋中装有5只同样大小的白球，编号为1，2，3，4，5现从该袋内随机取出3只球，被取出的球的最大号码数ξ；⑵某单位的某部电话在单位时间内收到的呼叫次数η14． 抛掷两枚骰子各一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数的差为ξ，试问：“ξ> 4”表示的试验结果是什么？15．某一射手射击所得的环数ξ的分布列如下：求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率．16．袋中有8个白球，2个黑球，从中随机地连续取3次球，每次取1个，求：⑴不放回抽样时，取到黑球的个数ξ的分布列；⑵放回抽样时，取到黑球个数η的分布列．17．从装有3个红球、2个白球的袋中随机取出2个球，设其中有ξ个红球，则随机变量ξ的概率分布为18．一个口袋有5个同样大小的球，编号为1、2、3、4、5，从中同时取出3个，以ξ表示取出球最小的号码，求ξ的分布列．19．将4个小球任意地放入5个大的玻璃杯中去，杯子中球的最大个数记为ξ，求ξ的分布列．20．箱中装有10个苹果，其中有6个合格品，4个是次品，从箱子中任意抽取4个苹果，其中的次品数为随机变量ξ，求ξ的分布列．21．盒子中装着标有数字1,2,3,4,5的卡片各2张，从盒子中任取3张卡片，每张卡片被取出的可能性都相等，用ξ表示取出的3张卡片上的最大数字，求：⑴取出的3张卡片上的数字互不相同的概率；⑵随机变量ξ的概率分布．。
概率分布列及期望专题
概率分布列及期望专题类型一、独立重复试验例1、某一中学生心理咨询中心服务电话接通率为43，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心．且每人只拨打一次，求他们中成功咨询的人数ξ的分布列及其期望．练习：根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为,设各车主购买保险相互独立.(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l 种的概率；(Ⅱ)X 表示该地的l00位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数.求X 的期望.类型二、超几何分布例2、研究性学习小组要从6名(其中男生4人，女生2人)成员中任意选派3人去参加某次社会调查．(1)在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率；(2)设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．类型三、耗用子弹数型例3、某射手有3发子弹，射击一次命中概率为，如果命中就停止射击，否则一直到子弹用尽，求耗用子弹数ξ的分布列．练习、某次篮球联赛的总决赛在甲队与乙队之间角逐，采用七局四胜制，即若有一队先胜四场，则此队获胜，比赛就此结束．由于天气原因场地最多使用6次，因甲、乙两队实力相当，每场比赛获胜的可能性相等，问需要比赛的次数ξ的分布列及期望。
类型四、取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列例4、一批零件中有3个合格品与3个不合格品．安装机器时，从这批零件中任取一个．如果每次取出的不合格品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的不合格品数的分布列．练习、在医学生物试验中，经常以果蝇作为试验对象．一个关有6只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有8只蝇子：6只果蝇和2只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔．若用ξ表示剩余果蝇的数量，求ξ的分布列与期望.类型五、古典概型求概率例5、某市公租房房屋位于三个地区，设每位申请人只申请其中一个片区的房屋，且申请其中任一个片区的房屋是等可能的，求该市的任4位申请人中:（Ⅰ）若有2人申请A片区房屋的概率;（Ⅱ）申请的房屋在片区的个数的ξ分布列与期望。
高考数学复习：概率与分布列题型
高考数学复习：概率与分布列题型1.已知随机变量且1211211P X P X P X μμμμ-<+-≥++≤<+=，则（）A．1-B．0C．1D．22.已知随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，若函数()(2)f x P x x ξ=≤≤+是偶函数，则实数μ=（）A．0B．12C．1D．23.随机变量ξ服从正态分布()3,4N ，且()()322P a P a ξξ-≥=≤，则=a （）A．12B．1C．43D．34.设X~N (1，σ2)，其正态分布密度曲线如图所示，且P (X ≥3)=0.0228，那么向正方形OABC 中随机投掷20000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值为（）[附:随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，则P (μ-σ<ξ<μ+σ)=0.6826，P (μ-2σ<ξ<μ+2σ)=0.9544]A．12076B．13174C．14056D．7539题型二：二项分布型求参二项分布：若在一次实验中事件发生的概率为p ()01p <<，则在n 次独立重复实验中恰好发生k 次概率()=p k ξ=()1n kk k n C p p --()0,1,2,,k n =⋯，称ξ服从参数为,n p 的二项分布，记作ξ~(),B n p ，E ξ=npi =D npq .1.在n 次独立重复试验（伯努利试验）中，若每次试验中事件A 发生的概率为p ，则事件A 发生的次数X 服从二项分布(),B n p ，事实上，在伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件A 首次发生时试验进行的次数Y ，显然1()(1)k P Y k p p -==-，1k =，2，3，…，我们称Y 服从“几何分布”，经计算得1EY p =．据此，若随机变量X 服从二项分布1,6B n ⎛⎫⎪⎝⎭时，且相应的“几何分布”的数学期望EY EX <，则n的最小值为（）A．6B．18C．36D．372.已知随机变量X 服从二项分布(,)B n p ，且()9E X =，9()4D X =，则n =（）A．3B．6C．9D．123.设随机变量ξ服从二项分布(),B n p ，若() 1.2E ξ=，()0.96D ξ=，则实数n 的值为__________.题型三：二项分布与正态分布综合离散型随机变量分布列、期望、方差及其性质（1）离散型随机变量ξ的分布列ξ1ξ2ξ3ξ…n ξP1p 2p 3p np ①()11,i p i n i N θ*≤≤≤≤∈;②121n p p p ++= .（2）E ξ表示ξ的期望：1122=+n n p p p E ξξξξ++…，反应随机变量的平均水平，若随机变量ξη，满足=a b ηξ+，则E aE b ηξ=+.（3）D ξ表示ξ的方差：()()()2221122=---n n E p E p E p D ξξξξξξξ+++ ，反映随机变量ξ取值的波动性。
二项分布的分布列公式
二项分布的分布列公式
二项分布是离散型概率分布的一种，用于描述在具有两个可能结果的独立试验中，成功次数的概率分布。
二项分布的分布列公式可以通过概率论和组合数学的知识进行推导。
在一个具有n次独立重复试验的过程中，每次试验的成功概率为p，失败概率为q=1-p。
试验结果成功的次数X，可以取0,1,2,...,n个值。
那么X的概率分布列为：
P(X=k)=C(n,k)*p^k*q^(n-k)
其中，C(n,k)是组合数，表示从n个元素中选择k个元素的组合数。
组合数的计算公式为：
C(n,k)=n!/(k!*(n-k)!)
上述公式中，n!表示n的阶乘，表示从1到n的所有正整数的乘积。
这个公式的推导可以通过以下步骤得到：
1.对于n次独立重复试验，成功的次数可以从0到n。
因此，需要对所有可能的取值取求概率。
2.对于任意一个取值k，成功的次数为k的概率为p^k，失败的次数为n-k的概率为q^(n-k)。
3.成功的次数为k的情况有多少种呢？即从n次试验中选择k次成功的组合数为C(n,k)。
4.综合这些因素，乘积C(n,k)*p^k*q^(n-k)即为X等于k的概率。
举个例子，假设有一个硬币，正面朝上的概率为0.6，进行了10次独立重复的抛掷试验。
那么，成功的次数X（即正面朝上的次数）的概率分布列可以通过二项分布的公式计算得到。
以X=5为例：
P(X=5)=C(10,5)*0.6^5*0.4^5
其中，C(10,5)=10!/(5!*(10-5)!)=252
将这些数值代入公式，即可计算出P(X=5)的具体值。
高中数学总结归纳 概率分布列的求解策略
概率分布列的求解策略一、弄清“随机变量的取值”是第一步确定随机变量的取值时，要做到准确无误，特别要注意随机变量能不能取0的情形．另外，还需注意随机变量是从几开始取值，每种取值对应几种情况．搞清这些，是求离散型问题最基本的要求．例1 写出下面随机变量可能的取值，并指出随机变量的试验结果．如从4张已编号（1号～4号）的卡片中任意取出2张，被取出的卡片号数之和． 解：ξ的可能取值为3，4，5，6，7，其中ξ＝3表示取出分别标有1，2的两张卡片；ξ＝4表示取出分别标有1，3的两张卡片；ξ＝5表示取出分别标有1，4或2，3的两张卡片；ξ＝6表示取出分别标有2，4的两张卡片；ξ＝7表示取出分别标有3，4的两张卡片． 二、弄清“事件的类型”是关键随机事件包括互斥事件，独立事件等，在计算相应的概率前要确定事件类型． 例2 某人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，能答对其中的6道题，规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，求答对试题数ξ的概率分布． 分析：答对试题数ξ的可能取值为：0，1，2，3四种情况．解：因343101(0)30C P C ξ===；12643103(1)10C C P C ξ===；21643101(2)2C C P C ξ===；363101(3)6C P C ξ===．所以答对试题数ξ的概率分布列为三、最后“运用排列组合知识求出相应事件的概率”求离散型随机变量的分布列，要求必须正确地求出相应事件的个数，即正确求出相应的排列组合数，也就是正确的计算相应事件的概率，所以必须掌握好排列组合知识． 例3 盒中的零件有9个正品和3个次品，每次取一个零件，如果取出的次品不放回，求在取得正品前已取出的次品数ξ的概率分布．分析：题设中要求取出的次品不放回，应仔细分析每一个ξ所对应的事件的准确含义，再结合排列组合的知识正确计算概率()P ξ．解：ξ的可能取值为0，1，2，3这四个数，而k ξ=表示：共取了1k +次零件，前k 次取得的都是次品，第1k +次才是正品，其中0123k =，，，．当0ξ=时，即第一次取得正品，试验终止，此时，191123(0)4C P C ξ===；当1ξ=时，即第一次取得次品，第二次取得正品，11391112119(1)44C C P C C ξ===·；同理可得1113921111211109(2)220C C C P C C C ξ===··；1113211111211101(3)220C C C P C C C ξ===··．故ξ的分布列为点评：注意题设中“取出的次品不再放回”这一要求，在本题中很容易忽视这点而致误．。
概率论,方差,分布列知识总结
分布列、期望、方差知识总结一、知识结构二、知识点1.随机试验的特点:①试验可以在相同的情形下重复进行；②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果．2.分类随机变量（如果随机试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验的结果的不同而变化，那么这样的变量叫做随机变量．随机变量常用大写字母X、Y等或希腊字母ξ、η等表示。
）离散型随机变量在上面的射击、产品检验等例子中，对于随机变量X可能取的值，我们可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．连续型随机变量对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量.连续型随机变量的结果不可以一一列出.3.离散型随机变量的分布列一般的,设离散型随机变量X可能取的值为x1,x2, ,x i , ,x nX取每一个值xi(i=1,2,）的概率P(ξ=x i）＝P i，则称表为离散型随机变量X 的概率分布，简称分布列性质：①pi≥0, i =1，2，…；②p1 + p2 +…+p n= 1．③一般地，离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和。
4.求离散型随机变量分布列的解题步骤例题：篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，不中得0分，已知某运动员罚球命中的概率为0.7，求他罚球一次的得分的分布列.解：用随机变量X表示“每次罚球得的分值”，依题可知，X可能的取值为：1,0且P（X=1）=0.7，P（X=0）=0.3因此所求分布列为：引出二点分布如果随机变量X的分布列为：其中0<p<1，q=1-p，则称离散型随机变量X服从参数p的二点分布二点分布的应用：如抽取彩票是否中奖问题、新生婴儿的性别问题等.超几何分布一般地, 设总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n(n ≤N)件,这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，则它取值为k 时的概率为()(0,1,2,,)k n k M N MnNC C P X k k m C --===，其中{}min,m M n =,且*,,,,n N M N n M N N ∈≤≤ 则称随机变量X 的分布列为超几何分布列,且称随机变量X 服从参数N 、M 、n 的超几何分布注意：（1）超几何分布的模型是不放回抽样；（2）超几何分布中的参数是N 、M 、n ，其意义分别是总体中的个体总数、N 中一类的总数、样本容量解题步骤：例题、在某年级的联欢会上设计了一个摸奖游戏，在一个口袋中装有10个红球和20个白球，这些球除颜色外完全相同.游戏者一次从中摸出5个球.至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率解：设摸出红球的个数为X,则X 服从超几何分布,其中30,10,5N M n === X 可能的取值为0，1，2，3，4, 5. 由题目可知，至少摸到3个红球的概率为(3)(3)(4)(5)P X P X P X P X ==+=+=≥324150102010201020555303030C C C C C C C C C =++ ≈0.191答：中奖概率为0.191.nNn MN MCC C -0nNn MN MCC C 11--nNm n MN m MCC C --条件概率1.定义：对任意事件A 和事件B ，在已知事件A 发生的条件下事件B 发生的概率，叫做条件概率P(B|A)，读作A 发生的条件下B 的概率2.事件的交（积）:由事件A 和事件B 同时发生所构成的事件D ，称为事件A 与事件B 的交（或积作D=A ∩B 或D=AB3.条件概率计算公式:P(B|A)相当于把A 看作新的基本事件空间,求Ａ∩Ｂ发生的概率:解题步骤：例题、10个产品中有7个正品、3个次品，从中不放回地抽取两个，已知第一个取到次品，求第二取到次品的概率.解：设 A = {第一个取到次品}， B = {第二个取到次品}，所以，P(B|A) = P(AB) / P(A)= 2/9 答：第二个又取到次品的概率为2/9..0)(,)()()|(>=A P A P AB P A B P .1)|(0)()|()(0)A (P ≤≤⋅=>A B P A P A B P AB P （乘法公式）；，则若.151)(21023==⇒C C AB P .103)(=A P相互独立事件2.相互独立事件同时发生的概率公式两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。
概率 分布列 均值
题型二、独立重复试验概率
n次独立重复试验：
在相同的条件下重复做的n次试验 （各次试验的结果不会受到其他试验结果的影响）
若在1 次试验中事件A发生的概率为P，则 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概 率为 Pn k Cnk Pk 1 P nk
高考结合实际应用问题考查n次独立重复 试验中某事件恰好发生k次的概率的计算方法和 化归转化、分类讨论等数学思想方法的应用。
(I) 求q2的值； (II) 求随机变量的数学期望 E (III)试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分 与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。
21
解: （1）设该同学在A处投中为事件A,在B处投中为
事件B,则事件A,B相互独立,且 P(A) 0.25 P( A) 0.75 P(B) q2 P(B) 1 q2
6
3.相互独立事件：
事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响， 则A、B叫做相互独立事件。
它们同时发生的事件为 A B
用概率的乘法公式 PA B PA PB
高考常结合考试、竞赛、上网工作、射击、电 路、交通等问题对事件的判断识别及其概率计算进 行考查。
7
例1.（11山东） 红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A、B、C进行
P( 2) P(DE F ) P(DEF ) P(DEF ) 0.60.5(1 0.5) (1 0.6)0.50.5 0.6(1 0.5)0.5 0.4
P( 3) P(DEF) 0.60.50.5 0.15
故ξ 的分布列为
E 00.110.35 20.4 30.15 1.6
P( 0) P(DE F ) P(D)P(E)P(F ) (1 0.6) (1 0.5) (1 0.5) 0.1 P( 1) P(DE F ) P(DE F ) P(DEF )
概率与分布列
概率与分布列（深圳）17．（本小题满分13分）随机调查某社区80个人，以研究这个社区居民在00:2200:20-时间段的休闲方式与性别的关系，得到下面的数据表：（1）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的男性，设调查的3人在这个时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X ，求X 的分布列和期望；（2）根据以上数据，能否有99%的把握认为“在00:2200:20-时间段的休闲方式与性别相关系”？参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．参考数据：解：（1闲方式的概率为56p =． …………………………………………2分方法一：2161)61()0(303===C X P ，725)65()61()1(213===C X P ，7225)65)(61()2(223===C X P ，216125)65()3(333===C X P ． ……………6分X ∴221637227212160=⨯+⨯+⨯+⨯=∴EX ． ……………………………8分方法二：根据题意可得)65,3(~B X ， ……………………………………4分k k k C k X P )65()61()(33-==∴，3,2,1,0=k ． ……………………………………6分∴25653=⨯==np EX ． …………………………………………8分(2) 提出假设0H ：休闲方式与性别无关系．根据样本提供的22⨯列联表得22()80(10101050)808.889 6.635()()()()602020609n ad bc k a b c d a c b d -⨯⨯-⨯===≈>++++⨯⨯⨯．因为当0H 成立时，635.62≥K 的概率约为01.0，所以我们有99%的把握认为“在00:2200:20-时间段性别与休闲方式相关”． ………………………13分（广州）17．（本小题满分12分）如图4所示的茎叶图记录了甲、乙两个小组（每小组4人）在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以a 表示．已知甲、乙两个小组的数学成绩的平均分相同．（1）求a 的值； （2）求乙组四名同学数学成绩的方差；（3）分别从甲、乙两组同学中各随机选择一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为X ，求随机变量X 的分布列和均值（数学期望）． （温馨提示：答题前请仔细阅读卷首所给的计算公式及其说明．） （1）解：依题意，得11(87899696)(87909395)44a ⨯+++=⨯++++，……………………………1分 解得3a =.…………………………………………………………………………………………………2分（2）解：根据已知条件，能够求得两组同学数学成绩的平均分都为92x =.……………………………3分所以乙组四名同学数学成绩的方差为()()()()222221879293929392959294s ⎡⎤=-+-+-+-=⎣⎦. ……………………………5分（3）解：分别从甲、乙两组同学中各随机选择一名同学，共有4416⨯=种可能的结果．……………6分所以X 的所有可能取值为0，1，2，3，4，6，8，9.…………………………………………………8分 由表可得1(0)16P X ==，2(1)16P X ==，1(2)16P X ==，4(3)16P X ==， 图4 甲组 乙组 8 9 7 a 3 5 7 9 6 62(4)16P X ==，3(6)16P X ==，1(8)16P X ==，2(9)16P X ==. 所以随机变量随机变量X 的数学期望为121423012346161616161616EX =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯12891616+⨯+⨯…………………………11分6817164==.…………………………………………………………………………………………12分（揭阳）17. （本小题满分12分）某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数ξ依次为1,2,,8…，其中5ξ≥为标准A ，3ξ≥为标准B ，产品的等级系数越大表明产品的质量越好，已知某厂执行标准B 生产该产品，且该厂的产品都符合相对应的执行标准．从该厂生产的产品中随机抽取30件，相对应的等级系数组成一个样本，数据如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7该行业规定产品的等级系数7ξ≥的为一等品，等级系数57ξ≤<的为二等品，等级系数35ξ≤<的为三等品．（1）试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；（2）从样本的一等品中随机抽取2件，求所抽得2件产品等级系数都是8的概率． 17．解：（1）由样本数据知，30件产品中等级系数7ξ≥有6件，即一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件-----------------------------------------------------------3分 ∴样本中一等品的频率为60.230=，故估计该厂生产的产品的一等品率为0.2；-------4分二等品的频率为90.330=，故估计该厂生产的产品的二等品率为0.3；---------------5分三等品的频率为150.530=，故估计该厂生产的产品的三等品的频率为0.5．-----------6分……………………10分（2）样本中一等品有6件，其中等级系数为7的有3件，等级系数为8的也有3件，--7分记等级系数为7的3件产品分别为1C 、2C 、3C ，等级系数为8的3件产品分别为1P 、2P 、3P .则从样本的一等品中随机抽取2件的所有可能为：121323(,),(,),(,),C C C C C C 12(,),P P 1323(,),(,)P P P P ,11121321(,),(,),(,),(,),C P C P C P C P 2223(,),(,)C P C P ,3132(,),(,),C P C P 33(,)C P .共15种，-------------------------------10分记从“一等品中随机抽取2件，2件等级系数都是8”为事件A ，则A 包含的基本事件有 12(,),P P 1323(,),(,)P P P P 共3种，-------------------------11分故所求的概率31()155P A ==.-------------------------------------------------12分（东莞）18．（本小题满分14分）甲，乙两人实行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛实行到有一人比对方多2分或打满6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为1()2p p >，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为59． （1）求p 的值；（2）设ξ表示比赛停止时比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和数学期望E ξ． 解 （1）当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止，故225(1)9p p +-=， 解得13p =或23p =． 又12p >，所以23p =．…………………6分 （2）依题意知ξ的所有可能取值为2，4，6．5(2)9P ξ==，5520(4)(1)9981P ξ==-⨯=， 52016(6)198181P ξ==--=，所以随机变量ξ的分布列为：所以ξ的数学期望2469818181E ξ=⨯+⨯+⨯=．………………12分（仲元）9．某市有A 、B 两所示范高中响应政府号召，对该市甲、乙两个教育落后地区展开支教活动．经上级研究决定：向甲地派出3名A 校教师和2名B 校教师，向乙地派出3名A 校教师和3名B 校教师．因为客观原因，需从拟派往甲、乙两地的教师中各自任选一名互换支教地区．（Ⅰ）求互换后两校派往两地区教师人数不变的概率；（Ⅱ）求互换后A 校教师派往甲地人数ξ的分布列和数学期望． 解：（Ⅰ）记“互换后派往两地区的两校的教师人数不变”为事件E ，有以下两种情况：①互换的是A 校的教师，记此事件为1E ，则1133111563()10C C P E C C =⋅=；②互换的是B 校的教师，记此事件为2E ，则1132211561()5C C P E C C =⋅=．则互换后派往两地区的两校的教师人数不变的概率为12311()()()1052P E P E P E =+=+=．（Ⅱ）ξ的可能取值为2,3,4．113311563(2)10C C P C C ξ==⋅=；11113332111156561(3)2C C C C P C C C C ξ==⋅+⋅=；113211561(4)5C C P C C ξ==⋅=．故ξ的分布列为：数学期望3234102510E ξ=⨯+⨯+⨯=．11． 深圳市某校中学生篮球队假期集训，集训前共有6个篮球，其中3个是新球（即没有用过的球）， 3 个是旧球（即至少用过一次的球）．每次训练，都从中任意取出2 个球，用完后放回．（Ⅰ）设第一次训练时取到的新球个数为，求的分布列和数学期望；（Ⅱ）求第二次训练时恰好取到一个新球的概率．（Ⅱ）设“从6个球中任意取出2个球，恰好取到一个新球”为事件B ． 则“第二次训练时恰好取到一个新球”就是事件B A B A B A 210++．而事件B A 0、B A 1、B A 2互斥， 所以，)()()()(210210B A P B A P B A P B A B A B A P ++=++．由条件概率公式，得253535151|()()(261313000=⨯=⨯==C C C A B P A P B A P ），…9分 2581585353|()()(261412111=⨯=⨯==C C C A B P A P B A P ），……10分151315151|()()(261511222=⨯=⨯==C C C A B P A P B A P ）．………11分所以，第二次训练时恰好取到一个新球的概率为7538151258253)(210＝++=++B A B A B A P ．…12分21．（06安徽卷）在添加剂的搭配使用中，为了找到最佳的搭配方案，需要对各种不同的搭配方式作比较。
概率与分布列
概率与分布列概率与分布列是统计学中非常重要的两个概念。
概率是指某个事件发生的可能性，而分布列则是表示事件发生的可能性分布情况。
在现实生活和科学研究中，我们经常会遇到需要计算概率和分布列的情况，因此掌握这两个概念是必不可少的。
一、概率概率是指某个事件发生的可能性大小，通常用一个介于0和1之间的数来表示。
其中，0表示该事件不可能发生，1表示该事件一定会发生，而0和1之间的数则表示该事件有一定概率发生。
我们可以通过概率的计算来预测事件的发生情况，从而更好的做出决策。
例如，我们可以通过掷骰子的概率来预测在6次掷骰子中，得到6点的次数有多少。
假设我们用P(x)表示得到x点的概率，那么掷一次骰子得到6点的概率是1/6，即P(6)=1/6。
在6次掷骰子中，得到6点的次数可以是0次、1次、2次、3次、4次、5次或6次，因此我们可以用如下公式计算得到6点的次数的概率分布情况：P(0)=（5/6）^6≈0.33P(1)=6×（1/6）×（5/6）^5≈0.41P(2)=15×（1/6）^2×（5/6）^4≈0.22P(3)=20×（1/6）^3×（5/6）^3≈0.07P(4)=15×（1/6）^4×（5/6）^2≈0.01P(5)=6×（1/6）^5×（5/6）≈0.001P(6)（得到6点6次）≈10^-6可以看出，得到6点的概率最大的情况是1次，其概率为0.41。
而得到6点的概率最小的情况则是6次，其概率非常小，只有10^-6。
二、分布列分布列是指将所有可能的事件及其概率列出来的表格。
在实际生活中，我们经常需要根据分布列来做出决策。
例如，我们可能需要根据某个产品的销售情况来预测未来的销售情况，并决定是否生产更多的产品来满足市场需求。
当我们需要绘制分布列时，通常需要知道每个事件发生的概率以及事件的数量。
例如，我们可以用下表表示掷骰子得到不同点数的概率分布情况：|点数|概率||---|---||1|1/6||2|1/6||3|1/6||4|1/6||5|1/6||6|1/6|在分布列中，我们可以看出掷骰子得到不同点数的概率分布情况，并且可以根据分布列来预测某个事件的发生情况。
概率分布列--归纳
概率分布列的性质
n
①0 Pi 1② Pi 1 i 1
概率分布列的种类
• 1、两点分布 • 2、超几何分布 • 3、二项分布 • 4、几何分布—试验n次，第k次才首次成功
的概率分布列 • 5、相互独立的两个事件发生次数X的分布
列
1、两点分布
• 一个盒子中大小相同的2白球，3个黑球， 从中任取一个小球记取到白球得1分，取到 黑球得0分，求随机变量得分X的分布列。
5、相互独立的两个事件发生次数的 分布列
甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9 个，其中 甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为 2、 3 、4 ，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均 为 3，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球． （I）若左右手各取一球，求两只手中所取的球 颜色不同的概率；
（II）若左右手依次各取两球，称同一手中两球 颜色相同的取法为成功取法，记两次取球的成功 取法次数为随机变量X ，求 X的分布列和数学期 望
本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。 某自行车租车点的收费标准是每车租车时间不超过两小时免费， 超过两小时的部分每小时收费2元（不足1小时的部分按1小时计算）。 有甲、乙两人相互独立来该租车点租车骑游（各租一车一次）。
设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为 1 ，1 ； 42
两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为 1 ，1 ； 24
2、超几何布
• 一个盒子中有大小相同的2个白球，3个黑 球，从中任取两个小球，求取到白球个数X 的分布列。
3、二项分布
• 一个盒子中大小相同的2白球，3个黑球， 有放回的从中任取一个小球，取3次。记取 到白球得1分，取到黑球得0分，求随机变 量得分X的分布列。
分布列概率的三大最值问题(解析版)
分布列概率的三大最值问题题型解密题型一：二项分布的转化为数列问题求最值①当p 给定时，可得到函数f (k )=C k n p k(1−p )n −k ,k =0,1,2,⋅⋅⋅n ，这个是数列的最值问题.p k p k −1=C n k p k (1−p )n −k C k −1n p k −1(1−p )n −k +1=(n −k +1)p k (1−p )=k (1−p )+(n +1)p −k k (1−p )=1+(n +1)p −kk (1−p ).分析：当k <(n +1)p 时，p k >p k −1，p k 随k 值的增加而增加；当k >(n +1)p 时，p k <p k −1，p k 随k 值的增加而减少.如果(n +1)p 为正整数，当k =(n +1)p 时，p k =p k −1，此时这两项概率均为最大值.如果(n +1)p 为非整数，而k 取(n +1)p 的整数部分，则p k 是唯一的最大值.注：在二项分布中，若数学期望为整数，则当随机变量k 等于期望时，概率最大.【精选例题】1某人在11次射击中击中目标的次数为X ，若X ~B 11,0.8 ，若P X =k 最大，则k =()A.7B.8C.9D.10【答案】C 【详解】因为P X =k =C k n p k1-p n -k ，若P X =k 最大，则P X =k ≥P X =k +1 P X =k ≥PX =k -1，化简得：np +p -1≤k ≤np +p ，k ∈N .代入已知数值得：8.6≤k≤9.6，所以k =9时P X =k 最大.故选：C .2(多选题)下列选项中正确的是()A.已知随机变量X 服从二项分布B 10,12，则D 2X =5B.口袋中有大小相同的7个红球、2个蓝球和1个黑球，从中任取两个球，记其中红球的个数为随机变量X ，则X 的数学期望E X =75C.抛掷一枚质地均匀的骰子一次，所得的样本空间为Ω=1,2,3,4,5,6 ，令事件A =2,3,4 ，事件B =1,2 ，则事件A 与事件B 相互独立D.某射击运动员每次射击击中目标的概率为0.8，则在9次射击中，最有可能击中的次数是7次【答案】BC 【详解】A 选项，X ~B 10,12 ，D X =10×12×1-12 =52，D 2X =4D X =10，A 错误；B 选项，X 服从超几何分布，N =10，M =7，n =2，E X =np =n ⋅M N=2×710=75；C选项，P A =12，P B =13，AB ={2}，P AB =16=P A P B ，A ，B 相互独立；D 选项，设9次射击击中k 次概率P X =k =C k9⋅0.8k⋅0.29-k最大，则C k 9⋅0.8k ⋅0.29-k ≥C k -19⋅0.8k -1⋅0.210-kC k 9⋅0.8k ⋅0.29-k ≥C k +19⋅0.8k +1⋅0.28-k ，解得7≤k ≤8，P (X =7)=P (X =8)同时最大，故k =7或8，D 错误．故选：BC ．3高中生的数学阅读水平与其数学阅读认知、阅读习惯和方法等密切相关．为了解高中生的数学阅读现状，调查者在某校随机抽取100名学生发放调查问卷，在问卷中对于学生每周数学阅读时间统计如下：时间(x 小时/周)00<x ≤0.50.5<x ≤1x >1人数20403010(1)为了解学生数学阅读时间偏少的原因，采用样本量比例分配的分层随机抽样从这100名学生中随机抽取10名学生，再从这10人中随机抽取2名进行详细调查，求这2名学生中恰有一人每周数学阅读时间大于0.5小时的概率；(2)用频率估计概率，从该校所有学生中随机抽取10名学生，用P X =k 表示这10名学生中恰有k k ∈N ,0≤k ≤10 名学生数学阅读时间在0,0.5 小时的概率，求P X =k 取最大值时对应的k 的值．【答案】(1)815；(2)4【分析】(1)抽取的10人中，周阅读时间大于0.5小时的有4人，小于等于0.5小时的有6人，故恰有一人每周数学阅读时间大于0.5小时的概率为C 14C 16C 210=815(2)周阅读时间在0,0.5 小时的频率为25，故概率为25，则k ~B 10,25，所以P (k )=C k1025 k3510-k，由P (k )≥P (k +1)P (k )≥P (k -1) 得：C k 1025 k3510-k≥C k +11025k +1359-kC k 1025 k 35 10-k ≥C k -11025 k -13511-k，化简得C k 1035 ≥C k +11025 Ck 1025 ≥C k -11035；解得175≤k ≤225，又k ∈Z ，故k =4，【题型专练】1(多选题)某同学共投篮12次，每次投篮命中的概率为0.8，假设每次投篮相互独立，记他投篮命中的次数为随机变量X ，下列选项中正确的是()A.X ~B 12,0.8B.E X =9.6C.D 2X =3.84D.该同学投篮最有可能命中9次【答案】AB 【详解】由二项分布的定义可知，X ~B 12，0.8 ，E X =12×0.8=9.6，D 2X =22D X =4×12×0.81-0.8 =7.68，故AB 正确，C 错误；设该同学投篮最有可能命中m 次，则P (X =m )≥P (X =m +1)P (X =m )≥P (X =m -1) C m 120.8m 0.212-m ≥C m +1120.8m +10.211-m C m 120.8m 0.212-m ≥C m -1120.8m -10.213-m ，即475≤m ≤525，因为m 为正整数，所以m =10，故D 错误；故选：AB2若随机变量X 服从二项分布B 15,14，则使P X =k 取得最大值时，k =．【答案】3或4【详解】依题意0≤k ≤15,k ∈N ，依题意P X =k =C k15⋅14k⋅1-1415-k=C k15⋅14k ⋅315-k 415-k =1415⋅C k 15⋅315-k ，P X =0 =1415⋅C 015⋅315=3415,P X =1 =1415⋅C 115⋅314=5×3415，P X =15 =1415，P X =15 <P X =0 <P X =1 ，所以P X =0 、P X =15 不是P X =k的最大项，当1≤k ≤14时，由1415⋅C k 15⋅315-k ≥1415⋅C k -115⋅316-k1415⋅C k 15⋅315-k ≥1415⋅C k +115⋅314-k，整理得C k 15≥3C k -1153C k 15≥C k +115 ，即15!k !×15-k !≥3×15!k -1 !×16-k !3×15!k !×15-k !≥15!k +1 !×14-k !，整理得1k≥316-k315-k ≥1k +1，16-k ≥3k3k +3≥15-k ⇒3≤k ≤4，所以当k 为3或4时，P X =k 取得最大值.故答案为：3或43已知随机变量X ∼B 6,0.8 ，若P X =k 最大，则D kX +1 =．【答案】24【详解】由题意知：P X =k =C k 6⋅0.2 6-k ⋅(0.8)k ，要使P X =k 最大，有C k 6⋅0.2 6-k ⋅0.8 k ≥C k -16⋅0.2 7-k ⋅0.8 k -1C k 6⋅0.2 6-k ⋅0.8 k ≥C k +16⋅0.2 5-k ⋅0.8 k +1 ，化简得0.8×7-k k ≥0.20.2≥0.8×6-k k +1，解得235≤k ≤285，故k =5，又D (X )=6×0.8×0.2=0.96，故D kX +1 =D 5X +1 =52D (X )=24.故答案为：24.4一年之计在于春，一日之计在于晨，春天是播种的季节，是希望的开端．某种植户对一块地的n 个坑进行播种，每个坑播3粒种子，每粒种子发芽的概率均为12，且每粒种子是否发芽相互独立．对每一个坑而言，如果至少有两粒种子发芽，则不需要进行补播种，否则要补播种．则当n =时，有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为．【答案】 5或6516【详解】对一个坑而言，要补播种的概率P =C 03123+C 13123=12，所以补播种坑的数量服从B n ,12，则3个坑要补播种的概率为C 3n 123⋅12n -3=C 3n12n．要使C 3n12n最大，只需C 3n 12 n ≥C 2n 12nC 3n12 n≥C 4n12n ，解得5≤n ≤7，当n =5或n =6，C 35125=C 36126=516>C 37127=35128.所以，当n =5或n =6时有3个坑要补播种的概率最大，最大概率为516．故答案为：5或6，516.5小区为了加强对“新型冠状病毒”的防控，确保居民在小区封闭期间生活不受影响，小区超市采取有力措施保障居民正常生活物资供应.为做好甲类生活物资的供应，超市对社区居民户每天对甲类生活物资的购买量进行了调查，得到了以下频率分布直方图.(1)从小区超市某天购买甲类生活物资的居民户中任意选取5户.若抽取的5户中购买量在[3,6](单位：kg )的户数为2户，从5户中选出3户进行生活情况调查，记3户中需求量在[3,6](单位：kg )的户数为ξ，求ξ的分布列和期望；(2)将某户某天购买甲类生活物资的量与平均购买量比较，当超出平均购买量不少于0.5kg 时，则该居民户称为“迫切需求户”，若从小区随机抽取10户，且抽到k 户为“迫切需求户”的可能性最大，试求k 的值.【答案】(1)答案见解析；(2)k =3.【详解】(1)随机变量ξ所有可能的取值为0，1，2.则P ξ=0 =C 33C 35=110，P ξ=1 =C 23C 12C 35=35，P ξ=2 =C 13C 22C 35=310，ξ012P ξ11035310所以E ξ =1×35+2×310=65.(2)根据频率分布直方图可知，每天对甲类生活物资的需求平均值为1.5×0.10+2.5×0.30+3.5×0.25+4.5×0.20+5.5×0.15=3.5(kg )，则购买甲类生活物资为“迫切需求户”的购买量为4,6 ，从小区随机抽取中随机抽取一户为“迫切需求户”的概率为p =0.20+0.15=0.35.若从小区随机抽取10户，且抽到X 户为“迫切需求户”，则X ~B 10,0.35 ，若k 户的可能性最大，则P X =k =C k 10p k1-p10-k，k =0,1,⋅⋅⋅,10，P X =k ≥PX =k -1 P X =k ≥PX =k +1，得C k 100.35 k 0.65 10-k ≥C k -1100.35 k -10.65 11-kC k 100.35 k 0.65 10-k ≥C k +1100.35 k +10.659-k ，即711-k ≥13k13k +1 ≥710-k，解得2.85≤k ≤3.85，由于k ∈N ∗，故k =3.题型二：二项分布的转化为导数问题求最值当k 给定时，可得到函数f (p )=C k n p k (1−p )n −k ,p ∈(0,1)，这个是函数的最值问题，这可以用导数求函数最值与最值点.分析：f '(p )=C kn kp k −1(1−p )n −k −p k (n −k )(1−p )n −k −1=C k n p k −1(1−p )n −k −1k (1−p )−(n −k )p =C k n p k −1(1−p )n −k −1(k −np ).当k =1,2,⋯,n −1时，由于当p <k n 时，f '(p )>0，f (p )单调递增，当p >kn时，f '(p )<0，f (p )单调递减，故当p =k n 时，f (p )取得最大值，f (p )max =f kn.又当p →0,f (p )→1，当p →0时，f (p )→0，从而f (p )无最小值.【精选例题】1(2018年全国1卷)．某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为p (0<p <1)，且各件产品是否为不合格品相互独立．(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f (p ),求f (p )的最大值点p 0；(2)现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以(1)中确定的p 0作为p 的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用．(i )若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X ，求EX ;(ii )以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？解析：(1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f p =C 220p 21-p 18.因此f p =C 2202p 1-p18-18p 21-p 17 =2C 220p 1-p 171-10p .令f p =0，得p =0.1.当p ∈0,0.1 时，fp >0；当p ∈0.1,1 时，fp <0.所以f p 的最大值点为p 0=0.1；(2)由(1)知，p =0.1.(i )令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y ∼B 180,0.1 ，X =20×2+25Y ，即X =40+25Y .所以EX =E 40+25Y =40+25EY =490.(ii )如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于EX >400，故应该对余下的产品作检验.2设离散型随机变量X 和Y 有相同的可能取值，它们的分布列分别为P X =a k =x k ，P Y =a k =y k ，x k >0，y k >0，k =1,2,⋯,n ,n k =1x k =nk =1y k =1．指标D (X ‖Y )可用来刻画X 和Y 的相似程度，其定义为D (X ‖Y )=nk =1x k lnx ky k．设X ~B (n ,p ),0<p <1．(1)若Y ~B (n ,q ),0<q <1，求D (X ‖Y )；(2)若n =2,P (Y =k -1)=13,k =1,2,3，求D (X ‖Y )的最小值；(3)对任意与X 有相同可能取值的随机变量Y ，证明：D (X ‖Y )≥0，并指出取等号的充要条件【答案】(1)np lnp (1-q )q (1-p )+n ln 1-p 1-q ；(2)ln3-32ln2；(3)证明见解析【详解】(1)不妨设a k =k ，则x k =C k n p k (1-p )n -k ,y k =C k n q k(1-q )n -k .所以D (X ‖Y )=ni =1C k np k1-pn -klnp k 1-p n -k q k 1-q n -k =ln p (1-q )q (1-p )⋅n k =0k C k n p k (1-p )n -k+n ln 1-p 1-q ⋅n k =0C k n p k (1-p )n -k =np lnp (1-q )q (1-p )+n ln 1-p1-q .(2)当n =2时，P (X =2)=p 2,P (X =1)=2p (1-p ),P (X =0)=(1-p )2，记f (p )=D (X ‖Y )=p 2ln3p 2+2p (1-p )ln6p (1-p )+(1-p )2ln3(1-p )2=p 2ln p 2+2p (1-p )ln2p (1-p )+(1-p )2ln (1-p )2+ln3，则f (p )=4p ln p +2p +(2-4p )[ln2p (1-p )+1]-4(1-p )ln (1-p )-2(1-p )=2[ln p -ln (1-p )+(1-2p )ln2]，令g (p )=ln p -ln (1-p )+(1-2p )ln2，则g (p )=1p +11-p-2ln2>0，令φp =1p +11-p -2ln2，则φ p =2p -1p 21-p2，当0<p <12时，φ p <0，φp 单调递减；当12<p <1时，φ p >0，φp 单调递增；所以φp >φ12 =4-2ln2>0，则g (p )单调递增，而g 12=0，所以f(p )在0,12 为负数，在12,1 为正数，则f (p )在0,12 单调递减，在12,1 单调递增，所以D (X ‖Y )的最小值为ln3-32ln2.(3)令h x =ln x -x +1，则h x =1x -1=1-xx ，当0<x <1时，h x >0，h x 单调递增；当x>1时，h x <0，h x 单调递减；所以h x ≤h 1 =0，即ln x -x +1≤0，当且仅当x =1时，等号成立，则当x >0时，ln x ≤x -1，所以ln 1x ≤1x -1，即ln x ≥1-1x ，故D (X ‖Y )=nk =1x k ln x k y k ≥nk =1x k 1-y kx k=n k =1x k -y k =n k =1x k -nk =1y k =0，当且仅当对所有的k ,x k =y k 时等号成立.【跟踪训练】1某超市推出了一项优惠活动，规则如下：规则一：顾客在本店消费满100元，返还给顾客10元消费券；规则二：顾客在本店消费满100元，有一次抽奖的机会，每次中奖，就会有价值20元的奖品．顾客每次抽奖是否中奖相互独立．(1)某顾客在该超市消费了300元，进行了3次抽奖，每次中奖的概率均为p ．记中奖2次的概率为f (p )，求f (p )取得最大值时，p 的值p 0．(2)若某顾客有3次抽奖的机会，且中奖率均为p 0，则该顾客选择哪种规则更有利？请说明理由．【答案】(1)p 0=23；(2)选择规则二更有利，理由见解析【详解】(1)由题意知，3次抽奖有2次中奖的概率f p =C 23p 21-p =-3p 3+3p 2(0<p <1)，则f p=-9p 2+6p =-9p p -23 ．当p ∈0,23 时，f ′(p )>0，则f (p )单调递增，当p ∈23,1 时，f ′(p )<0，则f (p )单调递减．所以当p =23时，f (p )取得最大值，则p 0=23．(2)①该顾客选择规则一，其获利为30元；②该顾客选择规则二，由第一问知p 0=23，则其中奖次数X 服从二项分布B 3,23 ，所以E (X )=3×23=2，所以该顾客获得奖品金额的期望值为2×20=40(元)．因为40>30，所以该顾客选择规则二更有利．2某单位为了激发党员学习党史的积极性，现利用“学习强国”APP 中特有的“四人赛”答题活动进行比赛，活动规则如下：一天内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，第一局获胜得3分，第二局获胜得2分，失败均得1分，小张周一到周五每天都参加了两局“四人赛”活动，已知小张第一局和第二局比赛获胜的概率分别为p (0<p <1)，12，且各局比赛互不影响.(1)若p =23，记小张一天中参加“四人赛”活动的得分为X ，求X 的分布列和数学期望；(2)设小张在这5天的“四人赛”活动中，恰有3天每天得分不低于4分的概率为f p ，试问当p 为何值时，f p 取得最大值.【答案】(1)分布列见解析，E (X )=236；(2)p =35【详解】(1)由题可知，X 的可能取值为2，3，4，5.因为p =23，所以P (X =2)=13×12=16，P (X =3)=13×12=16，P (X =4)=23×12=13，P (X =5)=23×12=13.故X 的分布列为X 2345P16161313E (X )=2×16+3×16+4×13+5×13=236.(2)设一天得分不低于4分为事件A ，则P (A )=p 2+p 2=p ，则f (p )=C 35p 3(1-p )2=10p 3(1-p )2,0<p <1，则f (p )=30p 2(1-p )2-20p 3(1-p )=10p 2(1-p )(3-5p ).当0<p <35时，f (p )>0；当35<p <1时，f (p )<0所以f (p )在0,35 上单调递增，在35,1 上单调递减，故当p =35时，f (p )取得最大值.题型三：超几何分布的概率最值将从(a +b )件产品中取出n 件产品的可能组合全体作为样本点，总数为C na +b .其中，次品出现k 次的可能为C ka C n −k b.令N =a +b ，则所求概率为h k (N )=C k a C n −k N −aC nN即h k (N )h k (N −1)=C k a C n −k N −aC n N C k a C n −k N −1−aC n N −1=N 2−aN −nN +anN 2−aN −nN +kN .令h k (N )h k(N −1)=λ,则当an >kN 时，λ>1；当an <kN 时，λ<1，即当N <an k 时，h k (N )是关于N 的增函数；当N >ank时，h k (N )是关于N 的减函数.所以当N =an k时，h k (N )达到最大值.【精选例题】1设随机变量X ∼H (10,M ,1000)(2≤M ≤992且M ∈N ∗)，H (2;10,M ,1000)最大时，E (X )=()A.1.98B.1.99C.2.00D.2.01【答案】C 【详解】随机变量X ∼H (10,M ,1000)，则H 2;10,M ,1000 =P X =2 =C 2M C 81000-MC 101000，因H (2;10,M ,1000)最大，则有H (2;10,M ,1000)≥H (2;10,M +1,1000)H (2;10,M ,1000)≥H (2;10,M -1,1000) ，即C 2M C 81000-M C 101000≥C 2M +1C 8999-MC 101000C 2M C 81000-MC 101000≥C 2M -1C 81001-MC 101000，M (M -1)2⋅(1000-M )!8!(992-M )!≥M (M +1)2⋅(999-M )!8!(991-M )!M (M -1)2⋅(1000-M )!8!(992-M )!≥(M -1)(M -2)2⋅(1001-M )!8!(993-M )!，整理得(M -1)(1000-M )≥(M +1)(992-M )M (993-M )≥(M -2)(1001-M ) ，解得199.2≤M ≤200.2，而M ∈N ∗，则M =200，所以E (X )=10M 1000=10×2001000=2.00.故选：C 2(2023届四省联考)一个池塘里的鱼的数目记为N ，从池塘里捞出200尾鱼，并给鱼作上标识，然后把鱼放回池塘里，过一小段时间后再从池塘里捞出500尾鱼，X 表示捞出的500尾鱼中有标识的鱼的数目．(1)若N =5000，求X 的数学期望；(2)已知捞出的500尾鱼中15尾有标识，试给出N 的估计值(以使得P (X =15)最大的N 的值作为N 的估计值)．解析：(1)依题意X 服从超几何分布，且N =5000,M =200,n =500，故E (X )=N ×Mn=500×2005000=20．(2)当N <685时，P (X =15)=0，当N ≥685时，P (X =15)=C 15200C 485N -200C 500N ，记a (N )=C 15200C 485N -200C 500N ，则a (N +1)a (N )=C 485N +1-200C 500N C 500N +1C 485N -200=(N +1-500)(N +1-200)(N +1)(N +1-200-485)=(N -499)(N -199)(N +1)(N -684)=N 2-698N +499×199N 2-683N -684．由N 2-698N +499×199>N 2-683N -684，当且仅当N <499×199+68415≈6665.7，则可知当685≤N ≤6665时，a (N +1)>a (N )；当N ≥6666时，a (N +1)<a (N )，故N =6666时，a (N )最大，所以N 的估计值为6666．【跟踪训练】12023年中央一号文件指出,艮旋要复兴,乡村必振兴.为助力乡村振兴,某电商平台准备为某地的农副特色产品开设直播带货专部.(公众号浙江省高中数学)直播前,此平台用不同的单价试销,并在购买的顾客中进行体验调本向卷.已知有N (N >30)名热心参与问卷的顾客,此平台决定在直播中专门为他们设置两次抽奖活迹次抽奖都是由系统独立、随机地从这N 名顾客中抽取20名顾客,抽中顾客会有礼品赠送,若直拱时这N 名顾客都在线,记两次抽中的顾客总人数为X (不重复计数).(1)若甲是这N 名顾客中的一人,且甲被抽中的概率为925，求N ;(2)求使P (X =30)取得最大值时的整数N .解析：(1)记A =“甲被抽中”,A i =“第i 次被抽中”(i =1,2),则P (A )=P A 1A 2 =C 20N -1C 20N ⋅C 20N -1C 20N=N -20N ⋅N -20N =1625,解得：N =100(2)由于P (X =30)=C 20N C 10N -20C 1020C 20N C 20N =C 10N -20C 1020C 20N ，记f (N )=C 10N -20C 20N,即求f (N )在何时取到最大值，下面讨论f (N )的单调性：f (N +1)f (N )=C 10N -19C20N C 20N +1C 10N -20=(N -19)!10!(N -29)!N !20!(N -20)!(N +1)!20!(N -19)!10!(N -30)!=(N -19)(N -19)(N +1)(N -29)≥1解得N ≤39，所以，当N =39或40时,P (X =30)取到最大值.考点过关练1随着春季学期开学，郴州市市场监管局加强了对学校食堂食品安全管理，助力推广校园文明餐桌行动，培养广大师生文明餐桌新理念，以“小餐桌”带动“大文明”，同时践行绿色发展理念.郴州市某中学食堂每天都会提供A ，B 两种套餐供学生选择(学生只能选择其中的一种)，经过统计分析发现：学生第一天选择A 套餐的概率为23，选择B 套餐的概率为13.而前一天选择了A 套餐的学生第二天选择A 套餐的概率为14，选择B 套餐的概率为34；前一天选择B 套餐的学生第二天选择A 套餐的概率为12，选择B 套餐的概率也是12，如此往复.记同学甲第n 天选择B 套餐的概率为P n .(1)求同学甲第二天选择B 套餐的概率；(2)证明：数列P n -35为等比数列；(3)从该校所有学生中随机抽取100名学生统计第二天选择去A 餐厅就餐的人数X ，用P X =k 表示这100名学生中恰有k 名学生选择去A 餐厅就餐的概率，求P X =k 取最大值时对应的k 的值.【答案】(1)23；(2)证明见解析；(3)33【分析】(1)根据题意结合全概率公式运算求解；(2)根据题意结合全概率公式可得P n +1=-14P n +34，结合等比数列的定义分析证明；(3)根据题意分析可得X ∼B 100,13，结合二项分布的概率公式列式求解.【详解】(1)设B 1=“第1天选择B 套餐”，B 2=“第2天选择B 套餐”，则B 1=“第1天不选择B 套餐”.根据题意可知：P B 1 =23,P B 1 =13,P B 2∣B 1 =12,P B 2∣B 1 =34.由全概率公式可得P B 2 =P B 1 P B 2∣B 1 +P B 1 P B 2∣B 1 =13×12+23×34=23.(2)设B n =“第n 天选择B 套餐”，则P n =P B n ,P Bn =1-P n ，根据题意P B n +1∣B n =12,P B n +1∣B n =34.由全概率公式可得P n +1=P B n +1 =P B n P B n +1∣B n +P B n P B n +1∣Bn =12P n +341-P n =-14P n +34，整理得P n +1-35=-14P n -35 ，且P 1-35=-415≠0，所以P n -35 是以-415为首项，-14为公比的等比数列.(3)第二天选择A 类套餐的概率P A =23×14+13×12=13由题意可得：同学甲第二天选择A 类套餐的概率为13，则不选择A 类套餐的概率为23，所以X ∼B 100,13 ，则P X =k =C k10013k⋅23100-k,k =0,1,2,⋯,100，当P X =k 取最大值时，则P X =k ≥P X =k +1P X =k ≥P X =k -1，即C k 10013 k⋅23100-k≥C k +110013 k +1⋅2399-kCk 10013 k ⋅23 100-k ≥C k -110013 k -1⋅23101-k，解得32.6≤k ≤33.6，且k ∈N ，所以k =33.2某研究所研究某一型号疫苗的有效性，研究人员随机选取50只小白鼠注射疫苗，并将白鼠分成5组，每组10只，观察每组被感染的白鼠数.现用随机变量X i i =1,2,⋯,5 表示第i 组被感染的白鼠数，并将随机变量X i 的观测值x i i =1,2,⋯,5 绘制成如图所示的频数分布条形图.若接种疫苗后每只白鼠被感染的概率为p p ∈0,1 ，假设每只白鼠是否被感染是相互独立的.记A i 为事件“X i =x i i =1,2,⋯,5 ”.(1)写出P A 1 (用p 表示，组合数不必计算)；(2)研究团队发现概率p 与参数θ(0<θ<1)之间的关系为p =12θ2-56θ+1945.在统计学中，若参数θ=θ0时的p 值使得概率P A 1A 2A 3A 4A 5 最大，称θ0是θ的最大似然估计，求θ0.【答案】(1)P A 1 =C 210p 2(1-p )8；(2)13【分析】(1)由题知随机变量X 1∼B 10,p ，然后利用二项分布的概率公式求解；(2)设事件A =A 1A 2A 3A 4A 5，再根据频数分布图和二项分布的概率公式可求出P (A )，令g p =ln P A ，化简后利用导数可求出其最大值，并求出此时的p ，代入p =12θ2-56θ+1945中可求得θ0.【详解】(1)由题知随机变量X 1∼B 10,p ，所以P A 1 =C 210p 2(1-p )8.(2)设事件A =A 1A 2A 3A 4A 5，由题图可知x 1=2,x 2=1,x 3=1,x 4=3,x 5=3，则P A =C 210p 2(1-p )8 ⋅C 110p (1-p )9 2⋅C 310p 3(1-p )7 2，即P A =C 110 2C 210 C 310 2p 10(1-p )40.设g p =ln P A =ln C 110 2C 210 C 310 2 +10ln p +40ln 1-p ,p ∈0,1 ，则g p =10p -401-p=10-50pp 1-p ，所以当0<p <15时，g p >0，所以g p 在0,15上单调递增；当15<p <1时，g p <0，所以g p 在15,1 上单调递减；所以当p =15时，g p 取得最大值，即P A 取得最大值，所以12θ20-56θ0+1945=15，即9θ20-15θ0+4=0，解得θ0=13或θ0=43，因为0<θ0<1，所以θ0=13.【点睛】关键点点睛：此题考查二项分布的概率公式的应用，考查独立事件的概率，考查导数的应用，第(2)问解题的关键是根据二项分布的概率公式表示出P A 1A 2A 3A 4A 5 ，然后构造函数，利用导数求出其最大值，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题.3N 95型口罩是新型冠状病毒的重要防护用品，它对空气动力学直径≥0.3μm 的颗粒的过滤效率达到95%以上．某防护用品生产厂生产的N 95型口罩对空气动力学直径≥0.3μm 的颗粒的过滤效率服从正态分布N 0.97,9.025×10-5 ．(1)当质检员随机抽检10只口罩，测量出一只口罩对空气动力学直径≥0.3μm 的颗粒的过滤效率为93．6%时，他立即要求停止生产，检查设备和工人工作情况．请你根据所学知识，判断该质检员的要求是否有道理，并说明判断的依据．(2)该厂将对空气动力学直径≥0.3μm 的颗粒的过滤效率达到95．1%以上的N 95型口罩定义为“优质品”．(ⅰ)求该企业生产的一只口罩为“优质品”的概率；(ⅱ)该企业生产了1000只这种N 95型口罩，且每只口罩互相独立，记X 为这1000只口罩中“优质品”的件数，当X 为多少时可能性最大(即概率最大)？【答案】(1)生产的口罩出现过滤效果在3σ之外的值，发生的可能性很小，一旦发生，应该停止生产(2)(ⅰ)0.9772；(ⅱ)当k =978时，P X =k 取得最大值【解析】(1)已知过滤效率服从N 0.97,9.025×10-5 ．而90.25×10-6=9.5×10-3 2，所以σ=9.5×10-3=0.0095，则0.936<0.97-0.0095×3=0.9415，即生产的口罩出现过滤效果在3σ之外的值，发生的可能性很小，一旦发生，应该停止生产．(2)(ⅰ)不妨记“N 95口罩的过滤效果”为Y ，则一只口罩为“优质品”的概率为P Y >0.951 =P Y >0.97-2σ =1-12-P 0.97-2σ<Y <0.97+2σ 2=0.9772．(ⅱ)依题意X ~B 1000,0.9772 ，记n =1000，p =0.9772，则P X =k =C k n p k1-p n -kk =0,1,2,⋯,1000 ．问题等价于求当k 取何值时P X =k =C k n p k 1-p n -k 取得最大值．(解法1)由C k n p k1-p n -k≥C k -1np k -11-p n -k +1,C k n p k1-p n -k ≥Ck +1n p k +11-p n -k -1,化简得p k ≥1-pn +1-k ,1-p n -k ≥pk +1,即n +1 p -1≤k ≤n +1 p ，从而1001p -1≤k ≤1001p ，解得k =978．(解法2)由于对0<p <1，P X =k P X =k -1 =n -k +1 p k 1-p =1+n +1 p -kk 1-p ，因此：当k <n +1 p时，P X =k >P X =k -1 ；当k =n +1 p 时，P X =k =P X =k -1 ；当k >n +1 p 时，P X =k <P X =k -1 ．由以上分析知，P X =k 在0,n +1 p 上单调递增，在n +1 p ,n 上单调递减．代入数据得n +1 p =1001×0.9772=978.1772，而k 是正整数，所以P X =978 >P X =977 且P X =979 <P X =978 ，故当k =978时，P X =k 取得最大值．4汽车尾气排放超标是全球变暖、海平面上升的重要因素．我国近几年着重强调可持续发展，加大在新能源项目的支持力度，积极推动新能源汽车产业发展，某汽车制造企业对某地区新能源汽车的销售情况进行调查，得到下面的统计表：年份t20172018201920202021年份代码x x =t -201612345销量y /万辆1012172026(1)统计表明销量y 与年份代码x 有较强的线性相关关系，求y 关于x 的线性回归方程，并预测该地区新能源汽车的销量最早在哪一年能突破50万辆；(2)为了解购车车主的性别与购车种类(分为新能源汽车与传统燃油汽车)的情况，该企业心随机调查了该地区200位购车车主的购车情况作为样本其中男性车主中购置传统燃油汽车的有w 名，购置新能源汽车的有45名，女性车主中有20名购置传统燃油汽车．①若w =95，将样本中购置新能源汽车的性别占比作为概率，以样本估计总体，试用(1)中的线性回归方程预测该地区2023年购置新能源汽车的女性车主的人数(假设每位车主只购买一辆汽车，结果精确到千人)；②设男性车主中购置新能源汽车的概率为p ，将样本中的频率视为概率，从被调查的所有男性车主中随机抽取5人，记恰有3人购置新能源汽车的概率为f p ，求当w 为何值时，f p 最大．附：y =b x +a 为回归方程，b =ni =1x i y i -nxyni =1x 2i -nx2，a =y -b x ．【答案】(1)y =4x +5，2028年；(2)①15.5万人；②w =30【分析】(1)根据所给数据，结合线性回归的公式求解方程，再令y >50求解即可；(2)①计算该地区购置新能源汽车的车主中女性车主的频数与总人数求解即可；②根据二项分布的概率公式可得f (p )=C 35p 3(1-p )2=10p 5-2p 4+p 3 ，再求导分析f (p )的最大值即可.【详解】(1)解：由题意得x =1+2+3+4+55=3，ni =1x i y i =1×10+2×12+3×17+4×20+5×26=295，y =10+12+17+20+265=17，ni =1x 2i =12+22+32+42+52=55．所以b =ni =1x i y i -nx ⋅yni =1x 2i -nx2=295-5×3×1755-45=4，a =y -b x =17-4×3=5．所以y 关于x 的线性回归方程为y =4x +5，令y =4x +5>50，得x >11.25，所以最小的整数为12，2016+12=2028，所以该地区新能源汽车的销量最早在2028年能突破50万辆．(2)解：①由题意知，该地区200名购车者中女性有200-95-45=60名，故其中购置新能源汽车的女性车主的有60-20=40名．所购置新能源汽车的车主中，女性车主所占的比例为4040+45=817．所以该地区购置新能源汽车的车主中女性车主的概率为817．预测该地区2023年购置新能源汽车的销量为33万辆，因此预测该地区2020年购置新能源汽车的女性车主的人数为817×33≈15.5万人②由题意知，p =45w +45,0≤w ≤135，则f (p )=C 35p 3(1-p )2=10p 5-2p 4+p 3f (p )=105p 4-8p 3+3p 2 =10p 25p 2-8p +3 =10p 2(p -1)(5p -3)当p ∈0,35时，知f p >0所以函数f (p )单调递增当p ∈35,1时，知f p <0所以函数f (p )单调递减所以当p =35,f p 取得最大值f 35 =C 3535 31-35 2=216625．此时45w +45=35，解得w =30，所以当w =30时f (p )取得最大值216625．5学习强国中有两项竞赛答题活动，一项为“双人对战”，另一项为“四人赛”．活动规则如下：一天内参与“双人对战”活动，仅首局比赛可获得积分，获胜得2分，失败得1分；一天内参与“四人赛”活动，仅前两局比赛可获得积分，首局获胜得3分，次局获胜得2分，失败均得1分．已知李明参加“双人对战”活动时，每局比赛获胜的概率为12；参加“四人赛”活动(每天两局)时，第一局和第二局比赛获胜的概率分别为p ，13．李明周一到周五每天都参加了“双人对战”活动和“四人赛”活动(每天两局)，各局比赛互不影响．(1)求李明这5天参加“双人对战”活动的总得分X 的分布列和数学期望；(2)设李明在这5天的“四人赛”活动(每天两局)中，恰有3天每天得分不低于3分的概率为f p ．求p 为何值时，f p 取得最大值．【答案】(1)分布列见解析，E X =7.5(分)；(2)p =25【分析】(1)X 可取5，6，7，8，9，10，求出对应随机变量的概率，从而可求出分布列，再根据期望公式求出数学期望即可；(2)先求出一天得分不低于3分的概率，再求出恰有3天每天得分不低于3分的概率为f p ，再根据导出求出函数f p 的单调区间，即可得出答案.【详解】(1)解：X 可取5，6，7，8，9，10，P X =5 =C 05·125=132，P X =6 =C 15×12×124=532，P X =7 =C 25·12 2×123=516，P X =8 =C 35·123×122=516，P X =9 =C 45·124×12=532，P X =10 =C 55·125=132，分布列如下：X5678910P132532516516532132所以E X =5×132+6×532+7×516+8×516+9×532+10×132=7.5(分)；(2)解：设一天得分不低于3分为事件A ，则P A =1-1-p 1-13 =1-231-p =2p +13，则恰有3天每天得分不低于3分的概率f p =C 352p +13 3⋅1-2p +13 2=402432p +1 31-p 2，0<p <1则f p =40243×62p +1 21-p 2-40243×22p +1 31-p=402432p +1 21-p 4-10p ，当0<p <25时，f p >0，当25<p <1时，f p <0，所以函数f p 在0,25上递增，在25,1 上递减，所以当p =25时，f p 取得最大值.6某市居民用天然气实行阶梯价格制度，具体见下表：阶梯年用气量(立方米)价格(元/立方米)第一阶梯不超过228的部分 3.25第二阶梯超过228而不超过348的部分3.83第三阶梯超过348的部分4.70从该市随机抽取10户(一套住宅为一户)同一年的天然气使用情况，得到统计表如下：居民用气编号12345678910年用气量(立方米)95106112161210227256313325457(1)求一户居民年用气费y (元)关于年用气量x (立方米)的函数关系式；(2)现要在这10户家庭中任意抽取3户，求抽到的年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数的分布列与数学期望；(3)若以表中抽到的10户作为样本估计全市居民的年用气情况，现从全市中依次抽取10户，其中恰有k 户年用气量不超过228立方米的概率为P k ，求P k 取最大值时的值．【答案】(1)y = 3.25x ,x ∈0,2283.83x -132.24,x ∈228,3484.7x -435,x ∈348,+∞；(2)分布列见解析，数学期望为910；(3)6．【分析】(1)由表格中的数据结合题意，即可求得一户居民年用气费y (元)关于年用气量x (立方米)的函数关系式；(2)由题意知10户家庭中年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户有3户，得到随机变量ξ可取0,1,2,3，利用超几何分布求得相应的概率，得到随机变量的分布列，进而求得期望；(3)由P k =C k1035k2510-k，列出不等式组由C k 1035 k2510-k≥C k +11035k +12510-k -1Ck 1035 k 25 10-k≥C k -11035 k -12510-k +1 ，求得k 的值，即可求解.【详解】(1)由题意，当x ∈0,228 时，y =3.25x ；当x ∈228,348 时，y =3.83x -132.24；当x ∈348,+∞ 时，y =4.7x -435，所以年用气费y 关于年用气量x 的函数关系式为y = 3.25x ,x ∈0,2283.83x -132.24,x ∈228,3484.7x -435,x ∈348,+∞.(2)由题知10户家庭中年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户有3户，设取到年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数为ξ，则ξ可取0,1,2,3，则P ξ=0 =C 37C 310=724，P ξ=1 =C 27C 13C 310=2140，P ξ=2 =C 17C 23C 310=740，P ξ=3 =C 33C 310=1120，故随机变量ξ的分布列为：ξ0123P72421407401120所以E ξ =0×724+1×2140+2×740+3×1120=910.(3)由题意知P k =C k1035k2510-kk =0,1,2,3⋯,10 ，由C k 1035 k2510-k≥C k +11035k +12510-k -1C k 1035 k 25 10-k ≥C k -11035 k -12510-k +1，解得285≤k ≤335，k ∈N *，所以当k =6时，概率P k 最大，所以k =6.【点睛】本题主要考查了分段函数模型的性质及其应用，以及离散型随机变量的分布列与期望的求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.7某小区为了加强对“新型冠状病毒”的防控，确保居民在小区封闭期间生活不受影响，小区超市采取有力措施保障居民正常生活物资供应.为做好甲类生活物资的供应，超市对社区居民户每天对甲类生活物资的购买量进行了调查，得到了以下频率分布直方图.(1)从小区超市某天购买甲类生活物资的居民户中任意选取5户.①若将频率视为概率，求至少有两户购买量在3,4 (单位：kg )的概率是多少？②若抽取的5户中购买量在3,6 (单位：kg )的户数为2户，从5户中选出3户进行生活情况调查，记3户中需求量在3,6 (单位：kg )的户数为ξ，求ξ的分布列和期望；(2)将某户某天购买甲类生活物资的量与平均购买量比较，当超出平均购买量不少于0.5kg 时，则称该居民户称为“迫切需求户”，若从小区随机抽取10户，且抽到k 户为“迫切需求户”的可能性最大，试求k 的值.【答案】(1)①47128；②详见解析；(2)k =3.【解析】(1)事件“从小区超市购买甲类物资的居民户中任意选取1户，购买量在[3，4)”发生的概率为p =14．①记事件“从小区超市购买甲类物资的居民户中任意选取5户，则至少有两户购买量在[3，4)”为A ，利用独立重复实验的概率求解即可．②随机变量ξ所有可能的取值为0，1，2．求出概率得到分布列，然后求解期望．(2)每天对甲类物资的购买量平均值，求出从小区随机抽取中随机抽取一户为“迫切需求户”的概率为p =0.35，判断X ~B (10,0.35)，通过若k 户的可能性最大，列出不等式组，求解k 即可．【详解】(1)由题意，事件“从小区超市购买甲类生活物资的居民户中任意选取1户，购买量在3,4 ”发生的概率为p =14.①记事件“从小区超市购买甲类生活物资的居民户中任意选取5户，则至少有两户购买量在3,4 ”为A ，则P A =1-C 15141-144-1-145=47128.②随机变量ξ所有可能的取值为0，1，2.则。
分布列知识点与应用举例
1.一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为： x 1，x 2，…，xi ，…，xn X 取每一个xi (i =1，2，…，n )的概率P (X =xi )=Pi ，则称表：为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列. 2、分布列的构成：（1）列出了离散型随机变量X 的所有取值； （2）求出了X 的每一个取值的概率； （3）列表小结：定值 求概率 列表3、分布列的性质: 4.两点分布列 如果随机变量X 的分布列为两点分布列，就称X 服从两点分布，而称p =P(X =1)为成功概率。
5.超几何分布列:(离散型分布列的一种)一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品数，则事件{X=k}发生的概率为：,,.....,2,1,0,)(m k C C C k X P nNk n MN k M ===--则称分布列 为超几何分布列6.独立重复试验与二项分布列（1）独立重复试验：在相同条件下重复做n 次的试验（2）二项分布：在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p,那么在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为：n k p p C k X P k n kk n ,.....,2,1,0,)1()(=-==-，此时称随机变量X 服从二项分布，记为：),(p n B X --0,1,2,i p i ≥=⋅⋅⋅（1）1211ni n i p p p p ==++⋅⋅⋅+=∑（2）（1）一般地,若离散型随机变量X 的概率分布列为则称：n n ini i p x p x p x px X E +++==∑=.......)(22111为X 的数学期望或均值即：离散型随机变量的数学期望即为随机变量取值与相应概率分别相乘后相加。
（1）若离散型随机变量Y=aX+b,则E(Y)=E(aX+b)=b X aE +)( （2）两点分布列的期望：p X E =)( （3）二项分布列的期望：np X E =)(8.方差标准差：若离散型随机变量X 的概率分布列为则称：n n i ni i p EX x p EX x p EX x p EX x X D 222212121)(.......)()()()(-++-+-=-=∑=为随机变量的方差。
分布列公式
分布列公式
分布列公式是EX=np，分布列表示概率在所有的可能发生的情况中的分布。
A、B、C、D分别表示四个不同的事件，P为对应的概率，（0≤p≤1）对于任意一个分布列，所有概率之和为1，也写作100%。
概率亦称“或然率”，它是反映随机事件出现的可能性大小。
随机事件是指在相同条件下，可能出现也可能不出现的事件。
例如，从一批有正品和次品的商品中，随意抽取一件，“抽得的是正品”就是一个随机事件。
设对某一随机现象进行了n次试验与观察，其中A事件出现了m次，即其出现的频率为m/n。
经过大量反复试验，常有m/n越来越接近于某个确定的常数（此论断证明详见伯努利大数定律）。
该常数即为事件A出现的概率，常用P(A)表示。
(完整版)分布列概念
1. 分布列定义：设离散型随机变量所有可能取得的值为x 1,x 2,…,x 3,…x n ,若取每一个值x i (i=1,2,…，n)的概率为，则称表为随机变量的概率分布，简称的分布列. 离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质：（1）P i ≥0,i=1,2，…，n ；（2）P 1+P 2+…+P n =1 要点四、两类特殊的分布列 1. 两点分布像上面这样的分布列称为两点分布列． 要点诠释：(1)若随机变量X 的分布列为两点分布, 则称X 服从两点分布,而称P(X=1)为成功率. (2)两点分布又称为0-1分布或伯努利分布(3)两点分布列的应用十分广泛,如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生婴儿的性别；投篮是否命中等等；都可以用两点分布列来研究. 2. 超几何分布一般地，在含有件次品的件产品中，任取件，其中恰有件次品，则则事件 {X=k ｝发生的概率为, 其中，且．称分布列为超几何分布列．如果随机变量 X 的分布列为超几何分布列，则称随机变量 X 服从超几何分布ξξi i P x P ==)(ξξξM N n X (),0,1,2,,k n kM N MnNC C P X k k m C --===L min{,}m M n =,,,,n N M N n M N N *≤≤∈要点一、条件概率的概念 1.定义设、为两个事件，且，在已知事件发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率。
用符号表示。
读作：发生的条件下B 发生的概率。
要点诠释在条件概率的定义中，事件A 在“事件B 已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的，应该说，每一个随机试验都是在一定条件下进行的．而这里所说的条件概率，则是当试验结果的一部分信息已知，求另一事件在此条件下发生的概率．2．P （A ｜B ）、P （AB ）、P （B ）的区别P （A ｜B ）是在事件B 发生的条件下，事件A 发生的概率。
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高考数学离散型随机变量解答题考点预测知识点回顾
1．离散型随机变量的期望：
（1）若离散型随机变量的概率分布为
--- ---
--- ---
则称为的数学期望（平均值、均值）
简称为期望。
①期望反映了离散型随机变量的平均水平。
②是一个实数，由的分布列唯一确定。
③随机变量是可变的，可取不同值。
④是不变的，它描述取值的平均状态。
（2）期望的性质：
①
②
③若，则
④若，则
2．离散型随机变量的方差
（1）离散型随机变量的方差：设离散型随机变量可能取的值为且这些
值的概率分别为
则称……；为的方差。
①反映随机变量取值的稳定与波动。
②反映随机变量取值的集中与离散的程度。
③是一个实数，由的分布列唯一确定。
④越小，取值越集中，越大，取值越分散。
⑤的算术平均数叫做随机变量的标准差，记作。
注：在实际中经常用期望来比较两个类似事件的水平，当水平相近时，再用方差比较两个类似事件的稳定程度。
（2）方差的性质：
①②
③若，则
④若，则
⑤
考点预测
考点1：比赛类问题
例1.两个排球队进行比赛采用五局三胜的规则，即先胜三局的队获胜，比赛到此也就结束，假设按原定队员组合，较强队每局取胜的概率为0.6，若前四局出现2比2的平局情况，较强队就换人重新组合队员，则其在决赛局中获胜的概率为0.7，设比赛结束时的局数
为.
（Ⅰ）求的概率分布；（Ⅱ）求E.
例2.甲、乙两人玩投篮游戏，规则如下：两人轮流投篮，每人至多投2次，甲先投，若有人投中即停止投篮，结束游戏，已知甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为求：（1）乙投篮次数不超过1次的概率；
（2）记甲、乙两人投篮次数和为ξ，求ξ的分布列和数学期望.
考点3：选课类问题
例3.甲乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.6，被甲或乙解出的概率为0.92。
求：
（1）求该题被乙独立解出的概率。
（2）求解出该题的人数ξ的数学期望和方差。
例4.某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响.已知某学生只选修甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积<, SPAN>.
（Ⅰ）记“函数为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率；
（Ⅱ）求的分布列和数学期望.
考点4：交通类问题
例5.春节期间，小王用私家车送4位朋友到三个旅游景点去游玩，每位朋友在每一个景点下车的概率均为，用表示4位朋友在第三个景点下车的人数，求：
（Ⅰ）随机变量的分布列；（Ⅱ）随机变量的期望.
例6.在一个盒子里放有6张卡片，上面标有数字1，2，3，4，5，6，现在从盒子里每次任意取出一张卡片，取两片.
（I）若每次取出后不再放回，求取到的两张卡片上数字之积大于12的概率；
（II）在每次取出后再放回和每次取出后不再放回这两种取法中，得到的两张卡片上的最大数字的期望值是否相等？请说明理由.
考点6：信息类问题
例
7.如图，A、B两点由5条连线并联，它们在单位时间内能通过的最大信息量依次为2，
3，4，3，2，现记从中任取三条线且在单位时间内都通过的最大信息总量为. （Ⅰ）写出最大信息总量的分布列；
（Ⅱ）求最大信息总量的数学期望.。