高考数学数列解答题训练(LSLWKJ)

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精品高考复习资料数列解答题100题精校详解

9．已知数列 {an }
的前
n
项之积 Tn
满足条件：①
1
Tn
是首项为
2
的等差数列：②
T2
−
T5
=
1 6
．
（1）求数列{an} 的通项公式；
（2）设数列{bn} 满= 足 bn
n
n +
2
−
an ，其前 n
项和为

Sn
．求证：对任意正整数
n
，都有 0
<
Sn
<
1 4
．
试卷第 2 页，总 25 页
10．已知{an} 为公差不为 0 的等差数列， Sn 是等比数列{bn} 的前 n 项和，若 a2 是 a1 和 a4 的等比中项，
( ) 5．设数列{an} 的前 n 项和为 Sn ，若 Sn + an = n n ∈ N∗ ．
（Ⅰ）证明{an −1} 为等比数列并求数列{an} 的通项公式；
（Ⅱ）设 bn = (2n −1) (1− an ) ，数列{bn} 的前 n 项和为 Tn ，求 Tn ；
（Ⅲ）求证：
1 a1
+
1 a2
（1）求 {an } 的通项公式；
（2）设 b1
=
4 3
，
bn+1
=
−bn
an , n为奇数, + (−2)n , n为偶数
（
n
∈
N*
），求 {bn } 的前
n
项和 Tn
；
（3）在（2）的条件下，若数列{cn}满足 cn =
b2n
+
b2n+1
+

高三数列专题练习30道带答案(完整资料).doc

【最新整理，下载后即可编辑】高三数列专题训练二学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．在公差不为零的等差数列{}n a 中，已知23a =，且137a a a 、、成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，记，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差,50,053=+≠S S d 且1341,,a a a 成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T .3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，，2S ，3S 成等差数列，数列{}n b 满足2n b n =．（1）求数列{}n a 的通项公式；若对任意*n N ∈，不等式恒成立，求λ的取值范围． n a }的公差2d =，其前n 项和为n S ，且等比数列{n b }满足11b a =，24b a =，313b a =．的通项公式和数列{n b }的前n 项和n B ；的前n 项和为n T ，求n T ．5的前n 项和为n S ，且满足()21,2,3,n n S a n =-=．（1（2满足11b =，且1n n n b b a +=+，求数列{}n b 的通项公式；（3）设()3n n c n b =-，求数列{}n c 的前n项和n T ．6．已知差数列等{}n a 的前n 项和n S ，且对于任意的正整数n 满（1）求数列{}n a 的通项公式；（2求数列{}n b 的前n 项和n B .7．对于数列}{n a 、}{n b ，n S 为数列}{n a 的前n 项和，且n a S n S n n n ++=+-+)1(1，111==b a ，231+=+n n b b ，*∈N n .（1（2，求数列}{n c 的前n 项和n T . 8．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且，求数列{}n b 的前n 项和n T ．前n 项和为n S ，且1210n n S S n +---=（*n ∈N ）.（Ⅰ）求证：数列{1}na +为等比数列；（Ⅱ）令n n b na =，求数列{}n b 的前n项和nT . 10．已知各项都为正数的等比数列{}n a 满足是13a 与22a 的等差中项，且123a a a =．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设3log n n b a =，且n S 为数列{}n b 的前n 项和，的前n 项和n T ．11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,2121,2n n n a S a a ==+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2na nb =,求13521...n b b b b +++++．12．设公差不为0的等差数列{}n a 的首项为1，且2514,,a a a 构成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足1n n b a ++=求{}n b 的前n 项和n T ． 13．是等比数列，满足数列{}n b 满足144,22b b ==，且（I （II 1412n n a -++=（1（2，求数列{}n b 的前n 项和n S . 15满足12n n S a a =-，且123,1,a a a +成等差数列．（1（2，求数列{}n b 的前n 项和n T ．16．已知各项都为正数的等比数列{}n a 满足是13a 与22a 的等差中项，且123a a a =.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设3log n n b a =，且n S 为数列{}n b 的前n 项和，求数列的的前n 项和n T . 满足21=a ，11=b ，n n a a 21=+（*∈N n ），（*∈N n ）. ）求n a 与n b ；（2）记数列}{n n b a 的前n 项和为，求n T .18．已知数列}{n a 中，21=a ，数列}{n b 中，其中*∈N n . （1（2）设n S 是数列的前n 项和，求19．已知各项均为正数的数n S ,满足2123724,1,,n n a S n a a a +=++-恰为等比数列（1）求数列 {}n a ,{}n b 的通项公式；（2的前n 项和为n T . 20公比1q < （1（2T n ，若对于任数m 21．已知等差数列{}n a 满足：25a =,前4项和428S =.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若()1n n n b a =-,求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．22．已知公差不为零的等差数列}{n a 中，11a =，且139,,a a a 成等比数列。

高考数列求和专项训练及解答

高考数列求与专项训练及解答一．选择题〔共3小题〕1．数列1，3，5，7，…那么其前n项与S n为〔〕A．n2+1﹣B．n2+2﹣C．n2+1﹣D．n2+2﹣2．项数为奇数等差数列{a n}共有n项，其中奇数项之与为72，偶数项之与为60，那么项数n值是〔〕A．9 B．10 C．11 D．133．等差数列{a n}前n项与为S n，S3=6，S5=15．设数列{}前n项与为T n，假设T n=，那么n=〔〕A．19 B．20 C．21 D．22二．解答题〔共5小题〕4．数列{a n}通项是a n=2n﹣1．〔1〕求数列{a n}前n项与为S n〔2〕设数列前n项与为T n，求T n．5．正项数列满足4S n=a n2+2a n+1．〔1〕求数列{a n}通项公式；〔2〕设b n=，求数列{b n}前n项与T n．6．等比数列{a n}公比q＞0，a1a5=8a2，且3a4，28，a6成等差数列．〔1〕求数列{a n}通项公式；〔2〕记b n=，求数列{b n}前n项与T n．7．在数列{a n}中，a1=1，．〔1〕求a2，a3，a4，猜测a n，无需证明；〔2〕假设数列，求数列{a n}前n项与S n．8．数列{a n}前n项与为S n，a1=1，a n+1=2a n+2n．〔1〕证明数列{}是等差数列，并求出a n；〔2〕求S n；〔3〕令b n=，假设对任意正整数n，不等式b n＜恒成立，求实数m取值范围．2021年10月20日克拉玛****高级中学高中数学组卷参考答案与试题解析一．选择题〔共3小题〕1．数列1，3，5，7，…那么其前n项与S n为〔〕A．n2+1﹣B．n2+2﹣C．n2+1﹣D．n2+2﹣【分析】利用等差数列与等比数列前n项与公式即可得出．【解答】解：S n=1+3+5+…+〔2n﹣1〕++…+=n2+．应选：A．【点评】此题考察了等差数列与等比数列前n项与公式，属于根底题．2．项数为奇数等差数列{a n}共有n项，其中奇数项之与为72，偶数项之与为60，那么项数n值是〔〕A．9 B．10 C．11 D．13【分析】利用项数为奇数等差数列{a n}共有n项，求出奇数项之与，偶数项之与，然后通过比值求解即可．【解答】解：由题意，；∴n=11．应选：C．【点评】此题考察数列求与，数列应用，考察计算能力．3．等差数列{a n}前n项与为S n，S3=6，S5=15．设数列{}前n项与为T n，假设T n=，那么n=〔〕A．19 B．20 C．21 D．22【分析】等差数列{a n}公差设为d，由等差数列通项公式与求与公式，解方程可得首项、公差，求得==﹣，由裂项相消求与可得前n项与T n，解方程可得n值．【解答】解：等差数列{a n}公差设为d，前n项与为S n，S3=6，S5=15，可得3a1+3d=6，5a1+10d=15，解得a1=d=1，即a n=1+n﹣1=n，前n项与为T n=1﹣+﹣+…+﹣=1﹣，由T n=，可得n=20，应选：B．【点评】此题考察等差数列通项公式与求与公式运用，考察数列求与方法：裂项相消求与，考察运算能力，属于中档题．二．解答题〔共5小题〕4．数列{a n}通项是a n=2n﹣1．〔1〕求数列{a n}前n项与为S n〔2〕设数列前n项与为T n，求T n．【分析】〔1〕利用等差数列通项公式求解数列与即可．〔2〕利用错位相减法求解数列与即可．【解答】〔12分〕解：〔1〕∵a n=2n﹣1，∴a1=1，〔2〕①，①减②得：【点评】此题主要考察数列通项公式与前n项与求解，利用错位相减法应用，考察计算能力．5．正项数列满足4S n=a n2+2a n+1．〔1〕求数列{a n}通项公式；〔2〕设b n=，求数列{b n}前n项与T n．〔1〕由，可知当n≥2时，，【分析】两式作差可得a n﹣a n﹣1=2〔n≥2〕，再求出首项，代入等差数列通项公式可得数列{a n}通项公式；〔2〕把数列{a n}通项公式代入b n=，再由裂项相消法求数列{b n}前n项与T n．【解答】解：〔1〕由，可知当n≥2时，，两式作差得a n﹣a n﹣1=2〔n≥2〕，又，得a1=1，∴a n=2n﹣1；〔2〕由〔1〕知，，∴T n=b1+b2+…+b n=【点评】此题考察等差数列通项公式，训练了利用裂项相消法求数列前n项与，是中档题．6．等比数列{a n}公比q＞0，a1a5=8a2，且3a4，28，a6成等差数列．〔1〕求数列{a n}通项公式；〔2〕记b n=，求数列{b n}前n项与T n．【分析】〔1〕利用等差数列以及等比数列通项公式列出方程组，求出数列首项与公比，然后求解数列通项公式；〔2〕化简通项公式，利用错位相减法求解数列与即可．【解答】解：〔1〕由a1a5=8a2得：a1q3=8，即a4=8，又∵3a4，28，a6成等差数列，∴3a4+a6=56，将a4=8代入得：a6=32．从而：a1=1，q=2．∴a n=2n﹣1；〔2〕b n==2n•〔〕n﹣1，T n=2×〔〕0+4×〔〕1+6×〔〕2+…+2〔n﹣1〕•〔〕n﹣2+2n•〔〕n﹣1……………………①T n=2×〔〕1+4×〔〕2+6×〔〕3+…+2〔n﹣1〕•〔〕n﹣1+2n•〔〕n……………………②①﹣②得：T n=2×[〔〕0+2〔〕1+〔〕2+…+〔〕n﹣1]﹣2n•〔〕n=2+2×﹣2n•〔〕n=4﹣〔n+2〕•〔〕n﹣1．∴T n=8﹣〔n+2〕•〔〕n﹣2．【点评】此题考察等差数列以及等比数列应用，数列求与方法，考察转化首项以及计算能力，是中档题．7．在数列{a n}中，a1=1，．〔1〕求a2，a3，a4，猜测a n，无需证明；〔2〕假设数列，求数列{a n}前n项与S n．【分析】〔1〕利用条件通过递推关系式求解a2，a3，a4，猜测a n；〔2〕化简数列，利用裂项消项法求数列{a n}前n项与S n．【解答】解：〔1〕∵a1=1，a n+1=，∴a2==，a3=═，a4=═．猜测：a n=．〔2〕由〔1〕知：b n===2[﹣]，从而s n=b1+b2+…+b n=2[〔1﹣〕+〔﹣〕+…+〔﹣〕]=2[1﹣]=．【点评】此题考察数列求与，数列递推关系式应用，考察计算能力．8．数列{a n}前n项与为S n，a1=1，a n+1=2a n+2n．〔1〕证明数列{}是等差数列，并求出a n；〔2〕求S n；〔3〕令b n=，假设对任意正整数n，不等式b n＜恒成立，求实数m取值范围．【分析】〔1〕两边同除以2n+1，结合等差数列定义与通项公式，即可得到所求；〔2〕运用数列求与方法：错位相减法，结合等比数列求与公式，化简可得所求与；〔3〕求得b n==〔〕n+〔n﹣1〕•〔〕n，讨论b n单调性，求得最大值，可得m2﹣m﹣6＞0，解不等式即可得到所求范围．【解答】解：〔1〕证明：a1=1，a n+1=2a n+2n，可得=+，可得数列{}是首项与公差均为等差数列，可得=n，即a n=n•2n﹣1；〔2〕S n=1•20+2•2+3•22+…+n•2n﹣1，2S n=1•2+2•22+3•23+…+n•2n，相减可得﹣S n=1+2+22+…+2n﹣1﹣n•2n，=﹣n•2n，化简可得S n=1+〔n﹣1〕•2n；〔3〕b n==〔〕n+〔n﹣1〕•〔〕n，b n+1﹣b n=〔〕n+1+n•〔〕n+1﹣〔〕n﹣〔n﹣1〕•〔〕n=，当n=1时，b2﹣b1=；n=2时，b3﹣b2=；即b1＜b2＜b3，当n≥3时，b n+1﹣b n＜0，即b3＞b4＞b5＞…，那么n=3时，b n最大值为b3=，不等式b n＜恒成立，可得＜，即为m2﹣m﹣6＞0，解得m＞3或m＜﹣2．那么m取值范围是〔﹣∞，﹣2〕∪〔3，+∞〕．【点评】此题考察等差数列定义与通项公式、求与公式运用，考察数列求与方法：错位相减法，以及数列单调性运用：解不等式，考察化简整理运算能力，属于中档题．。

高考数学《数列》大题训练50题含答案解析整理版

高考数学《数列》大题训练50题1 ．数列{}的前n 项和为，且满足，.n a n S 11a =2(1)n n S n a =+（1）求{}的通项公式；（2）求和T n =.n a 1211123(1)na a n a ++++L 2 ．已知数列，a 1=1，点在直线上.}{n a *))(2,(1N n a a P n n ∈+0121=+-y x （1）求数列的通项公式；}{n a （2）函数，求函数最小值.)2*,(1111)(321≥∈++++++++=n N n a n a n a n a n n f n且 )(n f 3 ．已知函数(a ，b 为常数)的图象经过点P （1，）和Q （4，8）x ab x f =)(81(1) 求函数的解析式；)(x f (2) 记a n =log 2,n 是正整数，是数列{a n }的前n 项和，求的最小值。

)(n f n S n S 4 ．已知y ＝f (x )为一次函数，且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列，f (8)＝15．求＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的表达式．n S 5 ．设数列的前项和为，且，其中是不等于和0的实常数.{}n a n n S 1n n S c ca =+-c 1-（1）求证: 为等比数列；{}n a （2）设数列的公比，数列满足，试写出的{}n a ()q f c ={}n b ()()111,,23n n b b f b n N n -==∈≥1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭通项公式，并求的结果.12231n n b b b b b b -+++L 6 ．在平面直角坐标系中,已知A n (n,a n )、B n (n,b n )、C n (n -1,0)(n ∈N *)，满足向量与向量共线，且1+n n A A n n C B 点B n (n,b n ) (n ∈N *)都在斜率为6的同一条直线上.(1)试用a 1,b 1与n 来表示a n ;(2)设a 1=a ,b 1=-a ,且12<a ≤15，求数列{a n }中的最小项.7 ．已知数列的前三项与数列的前三项对应相同，且…对任意的{}n a {}n b 212322a a a +++12n n a -+8n =∈n N*都成立，数列是等差数列．1{}n n b b +-（1）求数列与的通项公式；{}n a {}n b （2）问是否存在N *，使得？请说明理由．k ∈(0,1)k k b a -∈8 ．已知数列),3,2(1335,}{11 =-+==-n a a a a nn n n 且中（I ）试求a 2，a 3的值；（II ）若存在实数为等差数列，试求λ的值.}3{,nn a λλ+使得9 ．已知数列的前项和为，若，{}n a n n S ()1,211++=⋅=+n n S a n a n n（1）求数列的通项公式;{}n a （2）令，①当为何正整数值时，：②若对一切正整数，总有，求的n nn S T 2=n 1+>n n T T n m T n ≤m 取值范围。

2025届高考数学二轮复习-数列题型解答题专项训练【含解析】

2025届高考数学二轮复习-数列题型解答题专项训练一、解答题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()113n n S a =-.（1）求1a ，2a ；（2）证明：数列{}n a 是等比数列.答案：（1）112a =-；214a =（2）数列{}n a 是首项和公比均为12-的等比数列解析：（1）当1n =时，()111113a S a ==-，所以112a =-.当2n =时，()22211123S a a =-+=-，所以214a =.（2）由()113n n S a =-，得()1111(2)3n n S a n --=-≥，所以()111(2)3n n n n n a S S a a n --=-=-≥，所以11(2)2n n a a n -=-≥.又112a =-，所以数列{}n a 是首项和公比均为12-的等比数列.所以数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列.（2）由（1）知()32121n a n n =+-=+.3．在数列{}n a 中,14a =,1431n n a a n +=-+,*n ∈N .（1）设n n b a n =-,求证：数列{}n b 是等比数列;（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .答案：（1）见解析（2）()1412n n n ++-解析：（1）证明：1431,n n a a n +=-+11(1)43114()4,n n n n n b a n a n n a n b ++∴=-+=-+--=-=又111413,b a =-=-=∴数列{}n b 是首项为3、公比为4的等比数列;（2）由（1）可知134n n a n --=⨯,即134n n a n -=+⨯,()()()31411412142n n n n n n n S -++∴=+=--.4．在数列{}n a 中,616a =,点()()1,n n a a n *+∈N 在直线30x y -+=上.（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）若2n n n b a =,求数列{}n b 的前n 项和n T .答案：（1）32n a n =-（2）见解析解析：（1）依题意,130n n a a +-+=,即13n n a a +-=,因此数列{}n a 是公差为3的等差数列,则63(6)32n a a n n =+-=-,所以数列{}n a 的通项公式是32n a n =-.（2）由（1）得(32)2n n b n =-⋅,则132421242(32)2n n T n =⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+⨯,于是23121242(35)2(32)2n n n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯,两式相减得2123112(12))23(222(32)22(312)232n n n n n T n n ++--=+++⋅⋅⋅+--⋅--⋅-=+⋅-1(532)10n n +⋅=--,所以1(35)210n n T n +=-⋅+.5．已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且636S =,1a ,3a ,13a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ,若不等式4n kT <对任意的*n ∈N 都成立,求实数k的取值范围.答案：（1）21n a n =-（2）2k ≥.解析：（1）设等差数列{}n a 公差为d ,由题意1211161536(2)(12)a d a d a a d +=⎧⎨+=+⎩,0d ≠,解得112a d =⎧⎨=⎩,所以12(1)21n a n n =+-=-;（2）由（1）111111()(21)(21)22121n n a a n n n n +==--+-+,所以1111111111(1)()((12323522121221n T n n n =-+-++-=--++,易知n T 是递增的且12n T <,不等式4n k T <对任意的*n ∈N 都成立,则142k ≥,所以2k ≥.6．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足24(1)n S n =+,n +∈N .（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ,若对任意的n +∈N ,不等式25n T a a <-恒成立,求实数a 的取值范围.答案：（1） 1, 1 21, 24n n a n n =⎧⎪=⎨+≥⎪⎩（2）3a ≤-或4a ≥解析：（1）24(1)n S n =+当1n =时,214(11)a =+,即11a =当2n ≥时,由1n n n a S S -=-,故224(1)21n a n n n =+-=+,得214n n a +=.易见11a =不符合该式,故 1 121, 24n n a n n =⎧⎪=⎨+=⎪⎩，（2）由0n a >,易知n T 递增;112145T a a ==当2n ≥时,()()111611821232123n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭.从而41111111281285577921235235n T n n n ⎛⎫=+-+-++-=-< ⎪+++⎝⎭.又由25n T a a <-,故212a a ≤-,解得3a ≤-或4a ≥即实数a 的取值范围为3a ≤-或4a ≥7．记n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知112a =,n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为12的等差数列.（1）求{}n a 的通项公式;（2）设()1nn n b a =-,求{}n b 的前2n 项和2n T .答案：（1）12n a n =（2）2n解析：（1）由n n S a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公差为12的等差数列,且111S a =,则()11111222n n S n n a =+-⨯=+,即()21n n S n a =+,当2n ≥时,112n n S na --=,两式相减可得：()121n n n a n a na -=+-,整理可得11n n a na n -=-,故121121121121212n n n n n a a a n n a a n n a a a n ----=⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯-=-,将1n =代入上式,12n a =,故{}n a 的通项公式为12n a n =.（2）由()1nn n b a =-,则21212342221n n n n a a T b a a a a b b -=-+-+-+-+++=()()()()22121242132122n n n n n a a n a a a a a a a a --++=+++-+++=-()111122*********n nn n ⎡⎤=⨯+⨯-⨯-⨯⎢⎥⎦=-⎣.8．已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列,且11a =,34a =,数列{}n b 中()*221log log n n n b a a n +=+∈N .（1）求数列{}n b 的通项公式;（2）若数列{}n b 的前n 项和为n S ,数列{}n c 满足141n n c S =-,求数列{}n c 的前n 项和n T .答案：（1）21n b n =-（2）21n nT n =+解析：（1）正项等比数列{}n a 的公比为q ,由231a a q =,得24q =,而0q >,解得2q =,于是1112n n n a a q --==,由221log log n n n b a a +=+,得12222log o 21l g n n n n b -=+=-,所以数列{}n b 的通项公式21n b n =-.（2）由（1）知,21n b n =-,显然数列{}n b 是等差数列,21(21)2n n S n n +-=⋅=,2111111(4141(21)(21)22121n n c S n n n n n ====----+-+,所以11111111[(1)()()](1)2335212122121n nT n n n n =-+-++-=-=-+++.9．已知等差数列{}n a 前n 项和为n S ,满足33a =,410S =.数列{}n b 满足12b =,112n n n nb a b a ++=,*n ∈N .（1）求数列{}n a ,{}n b 的通项公式;（2）设数列{}n c 满足()1(1)32n n n n n c a b +-+=,*n ∈N ,求数列{}n c 的前n 项和n T .答案：（1）见解析（2）见解析解析：（1）设数列{}n a 的公差为d ,11234610a d a d +=⎧∴⎨+=⎩,解得11a =,1d =,n a n ∴=.()121n n n b b n ++=,112n n b n b n++∴=,且121b =,所以n b n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列,2n nb n∴=,2n n b n ∴=⋅（2）()()()()1111(1)3211(1)(1)(1)12212212n n n nn n n n n n n c n n n n n n ++++⎛⎫-+--==-+=- ⎪ ⎪+⋅⋅+⋅⋅+⋅⎝⎭,()1111(1)212n n n T n ++∴=---+⋅10．已知各项为正的数列{}n a 的首项为2,26a =,22211122n n n n n n n n a a a a a a a a +++++-=--.（1）求数列{}n a 的通项公式;（2）设数列{}n a 的前n 项和n S ,求数列{}28n n S a +-(其中*n ∈N )前n 项和的最小值.答案：（1）42n a n =-（2）最小值为38-解析：（1）因为22211122n n n n n n n n a a a a a a a a +++++-=--,所以有()()12120n n n n n a a a a a +++++-=,而0n a >,10n n a a +∴+≠,所以2120n n n a a a +++-=,则211121n n n n n n a a a a a a a a +++--=-=-=⋅⋅⋅=-,又12a =,26a =,∴214a a -=,由等差数列定义知数列{}n a 是以2为首项,4为公差的等差数列.∴数列{}n a 的通项公式为42n a n =-.（2）由（1）有2(1)=2+4=22n n n S n n -⨯,()()2282430253n n S a n n n n ∴+-=+-=+-,令280n n S a +->,有4,5,6,n =⋅⋅⋅;280n n S a +-<,有1,2n =;280n n S a +-=,有3n =.所以{}28n n S a +-前n 项和的最小值为()()()()215132252338+-++-=-,当且仅当2n =,3时取到.11．记n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知2n S n =,等比数列{}n b 满足11b a =,35b a =.（1）求{}n a 的通项公式;（2）求{}n b 的前n 项和n T .答案：（1）()*21n a n n =-∈N （2）当3q =时,3122n n T =-;当3q =-时,1(3)44n n T -=-.解析：（1）当1n =时,111a S ==,当2n ≥时,1n n n a S S -=-22(1)n n =--21n =-,因为11a =适合上式,所以()*21n a n n =-∈N .（2）由（1）得11b =,39b =,设等比数列{}n b 的公比为q ,则2319b b q =⋅=,解得3q =±,当3q =时,()113311322n n nT ⋅-==--,当3q =-时,11(3)1(3)1(3)44nn n T ⎡⎤⋅---⎣⎦==---.12．记n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知221nn S n a n+=+.（1）证明：{}n a 是等差数列；（2）若4a ，7a ，9a 成等比数列，求n S 的最小值.答案：（1）证明见解析（2）12n =或13时，n S 取得最小值，最小值为-78解析：（1）由221nn S n a n+=+，得2n n 22S n a n n +=+，①所以2112(1)2(1)(1)n n S n a n n ++++=+++，②②-①，得112212(1)21n n n a n a n a n ++++=+-+，化简得11n n a a +-=，所以数列{}n a 是公差为1的等差数列.（2）由（1）知数列{}n a 的公差为1.由2749a a a =，得()()()2111638a a a +=++，解得112a =-.所以22(1)251256251222228n n n n n S n n --⎛⎫=-+==-- ⎪⎝⎭，所以当12n =或13时，n S 取得最小值，最小值为-78.13．已知数列{}n a 满足11a =，11,,22,n n n a n n a a n n +⎧+⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数，数列{}n b 满足22n n b a =-.（1）求2a ，3a .（2）求证：数列{}n b 是等比数列，并求其通项公式.（3）已知12log n n c b =，求证：122311111n nc c c c c c -+++<.答案：（1）232a =，352a =-（2）证明见解析（3）证明见解析解析：（1）由数列{}n a 的递推关系，知2113122a a =+=，325222a a =-⨯=-.（2）()12221212211112(21)2(21)4(21)12222n n n n n n b a a n a n a n n a ++++=-=++-=+-=-+-=-()211222n n a b =-=.因为12122b a =-=-，所以数列{}n b 的各项均不为0，所以112n n b b +=，即数列{}n b 是首项为12-，公比为12的等比数列，所以1111222n nn b -⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.（3）由（2）知11221log log 2nn n c b n ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.所以12231111n nc c c c c c -+++1111223(1)n n =+++⨯⨯-1111112231n n=-+-++--11n=-1<.14．已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，2a ，3a ，44a -成等差数列.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若21log nn na b a +=，设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：13n T ≤<.答案：（1）2n n a =（2）证明见解析解析：（1）因为2a ，3a ，44a -成等差数列，所以32424a a a =+-，又因为数列{}n a 的公比为2，所以2311122224a a a ⨯=+⨯-，即1118284a a a =+-，解得12a =，所以1222n n n a -=⨯=.（2）由（1）知2nn a =，则221log 1log 2122n n n nn n a n b a +++===，所以2323412222n nn T +=++++，①231123122222n n n n n T ++=++++，②①-②得23111111122222n nn n T ++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭212111111111122221111221122n n n n n n -+++⎛⎫-- ⎪++⎝⎭=+-=+---11112133122222n n n n n +++++=+--=-.所以3332n nn T +=-<.又因为102n n n b +=>，所以{}n T 是递增数列，所以11n T T ≥=，所以13n T ≤<.15．在①221n n b b =+，②212a b b =+，③1b ，2b ，4b 成等比数列这三个条件中选择符合题意的两个条件，补充在下面的问题中，并求解.已知数列{}n a 中，11a =，13n n a a +=，公差不等于0的等差数列{}n b 满足__________，__________求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S .答案：选①②；选②③解析：因为11a =，13n n a a +=，所以{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，所以13n n a -=.方案一：选①②.设数列{}n b 的公差为d ，因为23a =，所以123b b +=.因为221n n b b =+，所以1n =时，2121b b =+，解得123b =，273b =，所以53d =，所以533n n b -=，满足221n n b b =+，所以533n n n b n a -=，所以12123122712533333n n nn b b b n S a a a -=+++=++++，所以2341127125853333333n n n n n S +--=+++++，两式相减，得23111122111532515533109533333336233223n n n n n n n n n S ++++--+⎛⎫=++++-=+--=- ⎪⨯⨯⎝⎭，所以9109443n n n S +=-⨯.方案二：选②③.设数列{}n b 的公差为d ，因为2133a a ==，所以123b b +=，即123b d +=.因为1b ，2b ，4b 成等比数列，所以2214b b b =，即()()21113b d b b d +=+，化简得21d b d =.因为0d ≠，所以11d b ==，所以n b n =，所以13n n n b n a -=，所以120121121233333n n n n b b b n S a a a -=+++=++++，所以123111231333333n n nn n S --=+++++，两式相减，得1231211113132311333333233223n n n n n n n n n S -+⎛⎫=+++++-=--=- ⎪⨯⎝⎭，所以1923443n n n S -+=-⨯.方案三：选①③.设数列{}n b 的公差为d ，因为221n n b b =+，所以1n =时，2121b b =+，所以11d b =+.又1b ，2b ，4b 成等比数列，所以2214b b b =，即()()21113b d b b d +=+，化简得21d b d =.因为0d ≠，所以1b d =，此式与11d b =+矛盾.所以等差数列{}n b 不存在，故不符合题意.。

高考数学《数列》大题训练50题含答案解析

一．解答题（共30小题）1．（2012•上海）已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足．（1）设c n=3n+6，{a n}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值；（2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n≥b k；（3）设，．当b1=1时，求数列{b n}的通项公式．2．（2011•重庆）设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n+b n}的前n项和S n．3．（2011•重庆）设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n（n∈N*）．（Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比数列，求S2和a3．（Ⅱ）求证：对k≥3有0≤a k≤．4．（2011•浙江）已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a（a∈R）设数列的前n项和为S n，且，，成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及S n；（Ⅱ）记A n=+++…+，B n=++…+，当a≥2时，试比较A n 与B n的大小．5．（2011•上海）已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6，b n=2n+7（n∈N*）．将集合{x|x=a n，n∈N*}∪{x|x=b n，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，c3，…，c n，…（1）写出c1，c2，c3，c4；（2）求证：在数列{c n}中，但不在数列{b n}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…；（3）求数列{c n}的通项公式．6．（2011•辽宁）已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=﹣10（I）求数列{a n}的通项公式；（II）求数列{}的前n项和．7．（2011•江西）（1）已知两个等比数列{a n}，{b n}，满足a1=a（a＞0），b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3，若数列{a n}唯一，求a的值；（2）是否存在两个等比数列{a n}，{b n}，使得b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3．b4﹣a4成公差不为0的等差数列？若存在，求{a n}，{b n}的通项公式；若不存在，说明理由．8．（2011•湖北）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5．（I）求数列{b n}的通项公式；（II）数列{b n}的前n项和为S n，求证：数列{S n+}是等比数列．9．（2011•广东）设b＞0，数列{a n}满足a1=b，a n=（n≥2）（1）求数列{a n}的通项公式；（4）证明：对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1．10．（2011•安徽）在数1 和100之间插入n个实数，使得这n+2个数构成递增的等比数列，将这n+2个数的乘积计作T n，再令a n=lgT n，n≥1．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=tana n•tana n+1，求数列{b n}的前n项和S n．11．（2010•浙江）设a1，d为实数，首项为a1，公差为d的等差数列{a n}的前n项和为S n，满足S5S6+15=0．（Ⅰ）若S5=5，求S6及a1；（Ⅱ）求d的取值范围．12．（2010•四川）已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（4﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．13．（2010•四川）已知数列{a n}满足a1=0，a2=2，且对任意m、n∈N*都有a2m﹣1+a2n﹣1=2a m+n﹣1+2（m﹣n）2（1）求a3，a5；（2）设b n=a2n+1﹣a2n﹣1（n∈N*），证明：{b n}是等差数列；（3）设c n=（a n+1﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{c n}的前n项和S n．14．（2010•陕西）已知{a n}是公差不为零的等差数列，a1=1，且a1，a3，a9成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项；（Ⅱ）求数列{2an}的前n项和S n．15．（2010•宁夏）设数列满足a1=2，a n+1﹣a n=3•22n﹣1（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n=na n，求数列的前n项和S n．16．（2010•江西）正实数数列{a n}中，a1=1，a2=5，且{a n2}成等差数列．（1）证明数列{a n}中有无穷多项为无理数；（2）当n为何值时，a n为整数，并求出使a n＜200的所有整数项的和．17．（2009•陕西）已知数列{a n}满足，，n∈N×．（1）令b n=a n+1﹣a n，证明：{b n}是等比数列；（2）求{a n}的通项公式．18．（2009•山东）等比数列{a n}的前n项和为S n，已知对任意的n∈N*，点（n，S n），均在函数y=b x+r（b＞0）且b≠1，b，r均为常数）的图象上．（1）求r的值；（2）当b=2时，记b n=n∈N*求数列{b n}的前n项和T n．19．（2009•江西）数列{a n}的通项，其前n项和为S n，（1）求S n；（2），求数列{b n}的前n项和T n．20．（2009•辽宁）等比数列{a n}的前n项和为s n，已知S1，S3，S2成等差数列，（1）求{a n}的公比q；（2）求a1﹣a3=3，求s n．21．（2009•湖北）已知数列{a n}是一个公差大于0的等差数列，且满足a2a6=55，a2+a7=16（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{a n}和数列{b n}满足等式a n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n．22．（2009•福建）等比数列{a n}中，已知a1=2，a4=16（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若a3，a5分别为等差数列{b n}的第3项和第5项，试求数列{b n}的通项公式及前n项和S n．23．（2009•安徽）已知数列{a n}的前n项和S n=2n2+2n，数列{b n}的前n项和Tn=2﹣b n（Ⅰ）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=a n2•b n，证明：当且仅当n≥3时，c n+1＜c n．24．（2009•北京）设数列{a n}的通项公式为a n=pn+q（n∈N*，P＞0）．数列{b n}定义如下：对于正整数m，b m是使得不等式a n≥m成立的所有n中的最小值．（Ⅰ）若，求b3；（Ⅱ）若p=2，q=﹣1，求数列{b m}的前2m项和公式；（Ⅲ）是否存在p和q，使得b m=3m+2（m∈N*）？如果存在，求p和q 的取值范围；如果不存在，请说明理由．25．（2008•浙江）已知数列{x n}的首项x1=3，通项x n=2n p+np（n∈N*，p，q为常数），且成等差数列．求：（Ⅰ）p，q的值；（Ⅱ）数列{x n}前n项和S n的公式．26．（2008•四川）设数列{a n}的前n项和为S n=2a n﹣2n，（Ⅰ）求a1，a4（Ⅱ）证明：{a n+1﹣2a n}是等比数列；（Ⅲ）求{a n}的通项公式．27．（2008•四川）在数列{a n}中，a1=1，．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）令，求数列{b n}的前n项和S n；（Ⅲ）求数列{a n}的前n项和T n．28．（2008•陕西）已知数列{a n}的首项，，n=1，2，3，…．（Ⅰ）证明：数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的前n项和S n．29．（2008•辽宁）在数列{a n}，{b n}是各项均为正数的等比数列，设．（Ⅰ）数列{c n}是否为等比数列？证明你的结论；（Ⅱ）设数列{lna n}，{lnb n}的前n项和分别为S n，T n．若a1=2，，求数列{c n}的前n项和．30．（2008•辽宁）在数列{a n}，{b n}中，a1=2，b1=4，且a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列．（1）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{a n}，{b n}的通项公式，并证明你的结论；（2）证明：．答案与评分标准一．解答题（共30小题）1．（2012•上海）已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足．（1）设c n=3n+6，{a n}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值；（2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n≥b k；（3）设，．当b1=1时，求数列{b n}的通项公式．考点：数列递推式；数列的函数特性。

2023-2024学年高考数学数列专项练习题(含答案)

2023-2024学年高考数学数列小专题一、单选题1．已知等比数列的前项和为，且，则数列的前项和为（）{}n a n n S 11n n a S +=+{}2n a n A ．B ．413n -213n -C ．D ．41n-21n-2．已知函数在上的最小值为，最大值为，且在等差数列中，2log y x =[]16,256m M {}n a ，则（）24,a m a M ==10a =A ．17B ．18C ．20D ．243．数列满足，（），，若数列是递减数{}n a 18a =11nn n a a na +=+*n ∈N 112nn n b a λ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭{}n b 列，则实数的取值范围是（）λA ．B ．C ．D ．8,7⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭7,8⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭8,7⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭7,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭4．等差数列中的，是函数的极值点，则{}n a 2a 2024a ()32642024=-+-f x x x x （）81013log =a A ．B ．C ．3D ．133-13-5．已知数列的前项和为，且等比数列满足，若，则{}n c n n S {}n a 2log n n c a =2364a a =（）9S =A ．3B ．4C ．5D ．66．已知数列是公比为q （）的正项等比数列，且，若，则{}n b 1q ≠10122ln 0b =()241f x x =+（）()()()122023f b f b f b +++=A ．4069B ．2023C ．2024D ．40467．已知等比数列的前项和为，若，则（）{}n a n n S 132n n S λ+=⨯+λ=A ．B ．C ．D ．33-66-8．已知数列的前4项分别为，，，，则该数列的一个通项公式可以为132-354+578-7916+（）n a =A ．2121(1)2nn n n -++-B ．12121(1)2n n n n +-++-C ．12121(1)2n n n n--++-D ．2121(1)2nnn n -++-二、多选题9．已知是等比数列的前项和，且，则下列说法正确的是（）n S {}n a n 11(2)n n S a -=+-A ．2a =-B ．中任意奇数项的值始终大于任意偶数项的值{}n S C ．的最大项为，最小项为{}n S 13S =232S =D ．12231011201612a a a a a a ⎛⎫+++=- ⎪⎝⎭ 10．数列中，，则（）{}n a 1112,1,n na a n a ++=+=∈N A ．202412a =B ．12320221011a a a a +++⋅⋅⋅+=C ．12320242a a a a ⋅⋅⋅=-D ．122334202220231011a a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=-11．已知数列满足，，为的前项和，则（）{}n a 126a =132n n a a +=-n S {}n a n A ．为等比数列{}1n a +B ．的通项公式为{}n a 4131n n a -=-C ．为递减数列{}n aD ．当或时，取得最大值4n =5n =n S 12．等差数列的前n 项和为，若，，则（）{}n a n S 79a =443S a =A ．的公差为1B ．的公差为2{}n a {}n a C ．D ．418S =20232025a =三、填空题13．在等比数列中，，则．{}n a 12563,6a a a a +=+=910a a +=14．某网店统计了商品近30天的日销售量，日销售量依次构成数列，已知，且A {}n a 120a=，则商品近30天的总销量为 .()()111nn n a a n ++-=+-∈N A 15．在数列与中，已知，则{}n a {}n b ()1111112,2,2n n n n n n n n a b a b a b a b a b ++++==+=+=．2023202311a b +=16．已知数列满足．且，若，则{}n a 1265n n a a n ++=+13a =()1nn n b a =-．1232024b b b b ++++=答案：1．A【分析】根据关系得出等比数列求出，最后再根据等比数列前项和计算求解,n n a S 12n n a -=n 即可.【详解】因为，所以当时，，两式相减，得，11n n a S +=+2n ≥11n n a S -=+12n n a a +=所以数列从第2项起是公比为2的等比数列．又数列是等比数列，所以．{}n a {}n a 212a a =由，解得，所以数列是首项为1，公比为2的等比数列，所以21111a S a =+=+11a ={}n a ，12n n a -=所以，所以数列是首项为1，公比为4的等比数列，()212124n n n a --=={}2na 所以数列的前项和为．{}2n a n 1441143n n --=-故选:A ．2．C【分析】利用对数函数单调性先求出函数最小值为，最大值为，再由等差数列通项公式m M 求解.【详解】因为函数在上单调递增，2log y x =[]16,256所以，，2log 164m ==2log 2568M ==所以，所以等差数列的公差，244,8a a =={}n a 42842422a a d --===-所以．()10210248220a a d =+-=+⨯=故选：C ．3．D【分析】将取倒数结合累加法求得，再利用数列单调递减列不等式11nn n a a na +=+()22118n n a -=并分离参数，求出新数列的最大值即可求得答案【详解】由题意，，两边取倒数可化为，所以，11nn n a a na +=+1111n n n n na n a a a ++==+21111a a -=，，由累加法可得，，因为32112a a -=1111--=-n n n a a ()()11111212n n n n a a --=++⋅⋅⋅+-=，所以，18a =()()212111288n n n n a --=+=所以，因为数列是递减数列，故，即()221111282nn n n n b a λλ⎡⎤-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦{}n b 1n n b b -<，整理可得，()()2212123118282n n n n λλ-⎡⎤⎡⎤--⎛⎫⎛⎫+<+⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，因为，，所以2254842017288n n n λ⎛⎫--+ ⎪-+-⎝⎭>=2n ≥*n ∈N ，故.22max 5548428722888n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-⨯-+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪==⎪ ⎪⎝⎭7,8λ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭故选:D.4．A【分析】利用导数求出函数的两个极值点，再利用等差数列性质求出即可计算得解.()f x 1013a 【详解】由求导得：，()32642024=-+-f x x x x 2()3124f x x x '=-+有，即有两个不等实根，2124340∆=-⨯⨯>()0f x '=12,x x 显然是的变号零点，即函数的两个极值点，12,x x ()f x '()f x 依题意，，在等差数列中，，24122024a x a x ++=={}n a 22024101322a a a +==所以.38101321log log 23a ==故选：A 5．D【分析】设等比数列的公比为，根据题意，求得，结合对数运算性质有{}n a q 354a =，即可求解．9925log S a =【详解】设等比数列的公比为，{}n a q因为，()2235365524a a a a q a q ===所以9128212228299log log log log S c c a c c a a a =++++++=++ ．()9321289252log log log 46a a a a a ==== 故选：D.6．D【分析】由等比数列的性质可得，由，可得1202322022202311b b b b b b ⋅=⋅==⋅= ()241f x x =+，故有，即可计()14f x f x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭()()()()()()1202322022202314f b f b f b f b f b f b +=+==+= 算.()()()122023f b f b f b +++ 【详解】由数列是公比为q （）的正项等比数列，故，{}n b 1q ≠0n b >，故，()210121012120232ln ln ln 0b b b b ==⋅=120231b b ⋅=即有，1202322022202311b b b b b b ⋅=⋅==⋅= 由，则当时，()241f x x =+0x >有，()2222214444411111x f x f x x x x x ⎛⎫+=+=+= ⎪+++⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭故，()()()()()()1202322022202314f b f b f b f b f b f b +=+==+= 故()()()()()()()12202312023220222f b f b f b f b f b f b f b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++=++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ，()()()()202312023120238092f b f b f b f b ⎡⎤⎡⎤++=+=⎣⎦⎣⎦故.()()()1220234046f b f b f b +++= 故选：D.7．D【分析】根据题意，求得，结合等比数列的定义，得到，即可求解.12,2n na n a +=≥212a a =【详解】由，132n n S λ+=⨯+当时，，可得，2n ≥1132(32)32n n nn n n a S S λλ+--==⨯+-⨯+=⋅12,2n na n a +=≥当时，，1n =21132a S λ==⨯+因为数列为等比数列，可得，解得.{}n a 222132232a a λ⨯==⨯+6λ=-故选：D.8．D【分析】观察数列的项的特点，找到各项之间的规律，即可写出一个通项公式，结合选项，即得答案.【详解】观察可知，该数列的前面整数部分为奇数，后面分数部分正负相间，首项的分21n +数部分为负，分母为，分子为，2n 21n-故该数列的一个通项公式可以为，2121(1)2nn n n a n -=++-故选：D 9．BCD【分析】由等比数列的前项和公式可得，可判断选项A ；根据的解析式判断奇数项n 2a =n S 与偶数项的公式，从而判断BC ；由得到的通项公式，从而表示出的通项公式n S n a 1n n n b a a +=即可判断D.【详解】由题可知，此时等比数列的公比，所以设前项和公式应为：1q ≠n ，n n S A q A =-⋅+，A 错误；12,22nn S a a ⎛⎫=-⋅-+∴= ⎪⎝⎭因此，1112,1222122,2nn n n n S n --⎧+⎪⎪⎛⎫=-⋅-+=⎨⎪⎝⎭⎪-+⎪⎩为奇数为偶数可得中，奇数项递减，且始终大于2，最大值为，{}n S 13S =偶数项递增，且始终小于2，最小值为，因此BC 正确；232S =由可得，令，n S 23122n n a -⎛⎫=-- ⎪⎝⎭23121919422n n n n n b a a -+-⎛⎫==-=-⎪⎝⎭所以，故D 正确1012231011121020911124611214a a a a a a b b b ⎛⎫-- ⎪⎛⎫⎝⎭+++=+++==- ⎪⎝⎭- 故选：BCD 10．ABD【分析】根据递推公式可得数列是以3为周期的周期数列，再逐个选项判断即可.{}n a 【详解】由题意得：，234512341111111,11,12,1,22a a a a a a a a =-==-=-=-==-=⋅⋅⋅数列是以3为周期的周期数列．∴{}n a 对于A ，，A 正确；202467432212a a a ⨯+===对于B ，，B 正确；()1232022123367467410112a a a a a a a +++⋅⋅⋅+=++=⨯=对于C ，，C 错误；()6741232024123202320241a a a a a a a a a ⋅⋅⋅==对于D ，由递推关系式知：，11n n n a a a +=-()()()12233420222023122022111a a a a a a a a a a a ∴+++⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-，D 正确．12320222022101120221011a a a a =+++⋅⋅⋅+-=-=-故选：ABD ．11．AC【分析】利用构造法得，判断出为首项为，公比为的等比数列，()1311n n a a ++=+{}11n a ++2713判断A 选项；利用等比数列通项公式求出通项公式，判断B 选项；根据函数是减函数，1n a +判断C 选项；令，解得，判断D 选项.n a =4n =【详解】因为，所以，即，，132n n a a +=-1331n n a a ++=+()1311n n a a ++=+11113n na a ++=+又因为，所以，所以为首项为，公比为的等比数列，A 正确；126a =1127a +={}11n a ++2713B 错误；C 正确；D 错误.故选：AC 12．ACD【分析】列出方程组，求出等差数列的公差和首项，判断A ，B ；根据等差数列通项公式以及前n 项和公式即可判断C ，D.【详解】设的公差为d ，由，，得，{}n a 79a =443S a =111694639a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩解得，故A 正确，B 错误；131a d =⎧⎨=⎩，，C ，D 正确.414618S a d =+=2023120222025a a d =+=故选：ACD 13．12【分析】根据等比数列的通项公式可得结果.【详解】设等比数列的公比为，，所以，{}n a q ()44561236a a q a a q +=+==42q =所以，()4910562612a a q a a +=+=⨯=故12.14．1020【分析】根据题目所给递推关系找到数列的规律，进而求和.【详解】当时，，当时，，21n k =-221k k a a -=2n k =2122k k a a +=+，∴21212k k a a +-=+中奇数项是公差为2，首项为20的等差数列，{}n a ∴∴1232930a a a a a +++++ ()135292a a a a =++++ .151421520210202⨯⎛⎫=⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭商品近30天的总销量为.∴A 1020故答案为.102015．1【分析】由已知计算可得为常数列，进而可得结果.1111n n a b +++11{}n n a b +【详解】由题意知，，()111111211112n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b a b a b +++++++++===+所以为常数列，即，11{}n n a b +11111111122n n a b a b +=+=+=所以．20232023111a b +=故1.16．2024【分析】利用构造法与迭代法求得，从而利用并项求和法即可得解.21n a n =+【详解】因为，所以，1265n n a a n ++=+()12(1)1221n n a n a n +-+-=---又，则，13a =12113210a -⨯-=--=所以()[]12112(1)1(2)21(2)2(1)1n n n a n a n a n +--+-=---=----=，()1(2)2110n a =--⨯-=故，则，210n a n --=21n a n =+所以，()()11(21)nnn n b a n =-=-+则的各项分别为，{}n b 3,5,7,9,11,13,--- 所以()()()()12320243579111340474049b b b b ++++=-++-++-+++-+ .210122024=⨯=故2024关键点点睛：本题解决的关键在于将推递关系式化得，从而()12(1)1221n n a n a n +-+-=---求得，由此得解.n a。

全国卷新高考《数列》专题训练与答案解析

《数列》专题训练1、已知数列{}n a 中，112a =，前n 项和为n S ，且1lg(1)lg(1)lg (2)n n n S S a n --+-=≥．（1）求证：数列11n S ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列；（2）求数列{}n a 的通项公式.2、设数列{}n a 各项为正数，且214a a =，212()n n n a a a n N *+=+∈. （1）求证：数列{}3log (1)n a +为等比数列；（2）令321log (1)n n b a -=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求使345n T >成立时n 的最小值．3、设数列{}n a 是公比为正数的等比数列，且12a =，324a a =+. 数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列 .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n n n c n a b =•+，求数列{}n c 的前n 项和n S .4、已知数列{}n a 中，11=a ，)(31*+∈+=N n a a a n n n ．（1）求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+211n a 为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若(31)2n n n n n b a =-••，求数列{}n b 的前n 项和n T ．5、设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足)(12*∈+=N n a S n n ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n an n a b 2)1(•+=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．6、已知数列{}n a 是首项为1的单调递增的等比数列，且3455,,3a a a 成等差数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设数列21n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ，求证：3n S <．7、设数列{}n a 满足1252,14a a a =+=，且对任意n N *∈，函数212()()n n n f x a x a a x ++=-+满足'(1)0f =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1(1)(1)n n n b a a =-+，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：12n S <．8、已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且124,,S S S 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令14sin 2n n n n a n b a a π+=，求数列{}n b 的前n 项和为n T .9、数列}{n a 的前n 项和n S 满足12a a S n n -=，且321,1,a a a +成等差数列. （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设11++=n n n n S S a b ，求数列}{n b 的前n 项和n T .《数列》专题训练答案解析1、已知数列{}n a 中，112a =，前n 项和为n S ，且1lg(1)lg(1)lg (2)n n n S S a n --+-=≥．（1）求证：数列11n S ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列；（2）求数列{}n a 的通项公式．解：（1）证明：11lg(1)lg(1)lg[(1)(1)]lg (2)n n n n n S S S S a n ---+-=--=≥ ∴11(1)(1)n n n n n S S a S S ----==-111111(1)(1)(1)11111(1)(1)(1)(1)n n n n n n n n n n S S S S S S S S S S -----------∴-===------- ∴数列{}n a 是首项为1121S =--，公差为1-的等差数列．（2）由（1）知，12(1)(1)11n n n S =-+-⨯-=---，则1n n S n =+ 当2n ≥时，1111(1)n n n n n a S S n n n n --=-=-=++ 又112a =适合上式 1(1)n a n n ∴=+. 2、设数列{}n a 各项为正数，且214a a =，212()n n n a a a n N *+=+∈.（1）求证：数列{}3log (1)n a +为等比数列；（2）令321log (1)n n b a -=+，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求使345n T >成立时n 的最小值．解：（1）证明：22313333333log (1)log (12)log (1)2log (1)2log (1)log (1)log (1)log (1)n n n n n n n n n a a a a a a a a a ++++++====++++ 且2211114220()a a a a a a ==+⇒==或舍去∴数列{}3log (1)n a +是首项为31log (1)1a +=，公比为2的等比数列．（2）由（1）知，13log (1)2n n a -+=，则2111321log (1)24n n n n b a ----=+== 11444nn n n b b +-∴==，则{}n b 是首项为1，公比为4的等比数列．1(14)4134541036143n n n n T ⨯--∴==>⇒>- 又5610244103644096=<<=，且n N +∈6n ∴≥，则使345n T >成立时n 的最小值为6．3、设数列{}n a 是公比为正数的等比数列，且12a =，324a a =+. 数列{}n b 是首项为1，公差为2的等差数列 .（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n n n c n a b =⋅+，求数列{}n c 的前n 项和n S .解：（1）设{}n a 的公比为q ，则0q >.111211222()214a a a q q a q a q ===⎧⎧⎧∴⇒⎨⎨⎨==-=+⎩⎩⎩或舍去1222n n n a -∴=⨯=，即2n n a =.（2）由已知，得1(1)221n b n n =+-⨯=-，则221n n c n n =⋅+-2(121)(223)(221)n n S n n ∴=⨯++⨯++⋅+-2(1222+2)[13(21)]n n n =⨯+⨯+⋅++++-设231122232(1)22n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ ① 则23412122232(1)22n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ ②-①②，得12322222n n n T n +-=-⋅++++ 212222212n n n +-⨯=-⋅+- 112242n n n ++=-⋅-+1(1)22n n +=-⋅-1(1)22n n T n +∴=-⋅+112(121)(1)22(1)222n n n n n S n n n +++-∴=-⋅++=-⋅++4、已知数列{}n a 中，11=a ，)(31*+∈+=N n a a a n n n ．（1）求证：数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+211n a 为等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）若(31)2n n n n n b a =-⋅⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．解：（1）证明：111311113()2223111111222n n n n n n a a a a a a +++++===+++ ∴数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+211n a 是首项为111322a +=，公比为3的等比数列． 111333222n n n a -∴+=⨯=，则231n n a =-. （2）由（1）知，121(31)()2312nn n n n n b n -=-⋅⋅=⋅- 01221111111()2()3()(1)()()22222n n n T n n --∴=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ ① 12311111111()2()3()(1)()()222222n n n T n n -∴=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ ② -①②，得21111111()()()22222n n n T n -=-⋅++++ 1111()12221()1212n n n --⨯=-⋅+- 111()12()22n n n =-⋅+-⨯ 12(2)()2n n =-+⋅ 14(24)()2n n T n ∴=-+⋅. 5、设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足)(12*∈+=N n a S n n ．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若(1)2n an n b a =+⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T ．解：（1）21n n S a =+ 2421n n n S a a ∴=++ ①当1n =时，211114421S a a a ==++，解得11a =当2n ≥时，2111421n n n S a a ---=++ ②①-②，得2211422n n n n n a a a a a --=-+-111()()2()0n n n n n n a a a a a a ---∴+--+=11()(2)0n n n n a a a a --∴+--=又10n n a a -+> 12(2)n n a a n -∴-=≥∴数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列．1(1)221n a n n ∴=+-⨯=-，即21n a n =-.（2）由（1）知，21(211)24n n n b n n -=-+⋅=⋅ 1231142434(1)44n n n T n n -∴=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ ① 23414142434(1)44n n n T n n +∴=⨯+⨯+⨯++-⋅+⋅ ②-①②，得123344444n n n T n +-=-⋅++++ 214444414n n n +-⨯=-⋅+- 1116144433n n n ++=-⋅-+⨯ 114()433n n +=-⋅- 1114()4399n n T n +∴=-⋅+. 6、已知数列{}n a 是首项为1的单调递增的等比数列，且3455,,3a a a 成等差数列．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设数列21n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ，求证：3n S <．解：（1）设{}n a 的公比为q ，则1q >.3455,,3a a a 成等差数列 435523a a a ∴⨯=+ 324211*********a q a q a q q q ∴=+⇒-+=解得13()3q q ==或舍去，则13n n a -=. （2）由（1）知，11211(21)()33n n n n ---=-⋅ 01221111111()3()5()(23)()(21)()33333n n n S n n --∴=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅ ① 12311111111()3()5()(23)()(21)()333333n n n S n n -∴=⨯+⨯+⨯++-⋅+-⋅ ② -①②，得21211111(21)()22()2()33333n n n S n -=--⋅+⨯+⨯++⨯ 111122()13331(21)()1313n n n -⨯-⨯⨯=--⋅+- 111(21)()13()33n n n =--⋅+-⨯ 12(22)()3n n =-+⋅ 13(33)()33n n S n ∴=-+⋅<. 7、设数列{}n a 满足1252,14a a a =+=，且对任意n N *∈，函数212()()n n n f x a x a a x ++=-+满足'(1)0f =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1(1)(1)n n n b a a =-+，记数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：12n S <．解：（1）212()()n n n f x a x a a x ++=-+ '12()2()n n n f x a x a a ++∴=-+ '12(1)20n n n f a a a ++∴=--=，即122n n n a a a ++=+，则数列{}n a 是等差数列． 1111224142a a a d a d d ==⎧⎧∴⇒⎨⎨+++==⎩⎩ 2(1)22n a n n ∴=+-⨯=，即2n a n =.（2）由（1）知，1111()(21)(21)22121n b n n n n ==--+-+ 111111[(1)()()]23352121n S n n ∴=-+-++--+ 111(1)2212n =-<+12n S ∴<. 8、已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且124,,S S S 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令14sin 2n n n n a n b a a π+=⋅，求数列{}n b 的前n 项和为n T . 解：（1）设{}n a 的公差为d ，则2d =.124,,S S S 成等比数列 2214S S S ∴=⋅2111(2)(46)a d a a d ∴+=⋅+，即11221d a a ==⇒= 1(1)221n a n n ∴=+-⨯=-，即21n a n =-.（2）由（1）知，14(21)11sin (1)()(21)(21)22121n n n n b n n n n π+-=⋅=-+-+-+ ①当n 为奇数时， 111111111(1)()()()()3355723212121n T n n n n =+-+++--+++---+ 12212121n n n +=+=++ ②当n 为偶数时，111111111(1)()()()()3355723212121n T n n n n =+-+++-++-+---+ 1212121n n n =-=++ 22,21221n n n n T n n n +⎧⎪⎪+∴=⎨⎪⎪+⎩为奇数，为偶数. 9、数列}{n a 的前n 项和n S 满足12a a S n n -=，且321,1,a a a +成等差数列．（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设11++=n n n n S S a b ，求数列}{n b 的前n 项和n T . 解：（1）12a a S n n -= ①11当2n ≥时，1112n n S a a --=- ② -①②，得122n n n a a a -=-，即12(2)n n a n a -=≥ 212a a ∴=，32124a a a == 123,1,a a a +成等差数列 2132(1)a a a ∴+=+ 11112(21)42a a a a ∴+=+⇒=∴数列}{n a 是首项为2，公比为2的等比数列 1222n n n a -∴=⨯=，即2n n a =.（2）由（1）知，2n n a =，122222n n n S +=⨯-=-11212211(22)(22)2222n n n n n n b +++++∴==----- 233412111111()()()222222222222n n n T ++∴=-+-++------- 211222n +=--。

数列(解答题)(解析版)-五年(2018-2022)高考数学真题分项汇编(全国通用)

专题13数列（解答题）1．【2022年全国甲卷】记为数列的前n项和．已知2+=2+1．(1)证明：是等差数列；(2)若4,7,9成等比数列，求的最小值．【答案】(1)证明见解析；(2)−78．【解析】【分析】（1）依题意可得2+2=2B+，根据=1,=1−K1,≥2，作差即可得到−K1=1，从而得证；（2）由（1）及等比中项的性质求出1，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得．(1)解：因为2+=2+1，即2+2=2B+①，当≥2时，2K1+−12=2−1K1+−1②，①−②得，2+2−2K1−−12=2B+−2−1K1−−1，即2+2−1=2B−2−1K1+1，即2−1−2−1K1=2−1，所以−K1=1，≥2且∈N*，所以是以1为公差的等差数列．(2)解：由（1）可得4=1+3，7=1+6，9=1+8，又4，7，9成等比数列，所以72=4⋅9，即1+62=1+3⋅1+8=−12，所以=−13，所以=−12+=122−252=−−6258，所以，当=12或=13时min=−78．2．【2022年新高考1卷】记为数列的前n项和，已知1=是公差为13的等差数列．(1)求的通项公式；(2)证明：11+121<2．【答案】(1)=(2)见解析【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得=1r23，得到=的关系得到当≥2时，=−K1=−进而得：r1K1，利用累乘法求得==1也成立，得到的通项公式=（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到11+12+⋯+1=21−.(1)∵，∴1=1=1,∴11=1,是公差为13的等差数列，∴=1+−1=r23,∴=∴当≥2时，∴=−K1=3−整理得：−1=+1K1,即K1=r1K1,∴=1×21×32×…×K1K2=1×32×43×…×K2×r1K1=显然对于=1也成立，∴的通项公式=(2)1==2,∴11+12+⋯+1=21++⋯=21−<23．【2022年新高考2卷】已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且2−2=3−3=4−4．(1)证明：1=1；(2)求集合=+1,1≤≤500中元素个数．【答案】(1)证明见解析；(2)9．【解析】【分析】（1）设数列的公差为，根据题意列出方程组即可证出；（2）根据题意化简可得=2K2，即可解出．(1)设数列的公差为，所以，1+−21=1+2−411+−21=81−1+3，即可解得，1=1=2，所以原命题得证．(2)由（1）知，1=1=2，所以=+1⇔1×2K1=1+−1+1，即2K1=2，亦即=2K2∈1,500，解得2≤≤10，所以满足等式的解=2,3,4,⋯,10，故集合U =+1,1≤≤500中的元素个数为10−2+1=9．4．【2021年甲卷文科】记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知210,3n a a a >=，且数列是等差数列，证明：{}n a 是等差数列.【答案】证明见解析.【解析】【分析】的公差d ，进一步写出的通项，从而求出{}na 的通项公式，最终得证.【详解】∵数列是等差数列，设公差为d(n +-=()n *∈N∴12n S a n =，()n *∈N ∴当2n ≥时，()221111112n n n a S S a n a n a n a -=-=--=-当1n =时，11121=a a a ⨯-，满足112n a a n a =-，∴{}n a 的通项公式为112n a a n a =-，()n *∈N ∴()()111111221=2n n a a a n a a n a a --=----⎡⎤⎣⎦∴{}n a 是等差数列.【点睛】在利用1n n n a S S -=-求通项公式时一定要讨论1n =的特殊情况.5．【2021年甲卷理科】已知数列{}n a 的各项均为正数，记n S 为{}n a 的前n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{}n a 是等差数列：②数列是等差数列；③213aa =．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【答案】证明过程见解析【解析】【分析】,n n a S 的关系求出n a ，利用{}n a 是等差数列可证213a a =；也可分别设出公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系，进行证明.an b =+，结合,n n a S 的关系求出n a ，根据213a a =可求b ，然后可证{}n a 是等差数列；也可利用前两项的差求出公差，然后求出通项公式，进而证明出结论.【详解】选①②作条件证明③：[方法一]：待定系数法+n a 与n S 关系式(0)an b a =+>，则()2n S an b =+，当1n =时，()211a S a b ==+；当2n ≥时，()()221n n n a S S an b an a b-=-=+--+()22a an a b =-+；因为{}n a 也是等差数列，所以()()222a b a a a b +=-+，解得0b =；所以()221n a a n =-，21a a =，故22133a a a ==.[方法二]：待定系数法设等差数列{}n a 的公差为d，等差数列的公差为1d ，1(1)n d =+-，将1(1)2n n n S na d -=+1(1)n d -，化简得())2222211111222d d n a n d n d n d ⎛⎫+-=+-+ ⎪⎝⎭对于n +∀∈N 恒成立．则有21211112,240,d d a d d d ⎧=⎪⎪-=-⎨-=，解得112d d a ==．所以213a a =．选①③作条件证明②：因为213a a =，{}n a 是等差数列，所以公差2112d a a a =-=，所以()21112n n n S na d n a -=+=，)1n +所以是等差数列.选②③作条件证明①：[方法一]：定义法(0)an b a =+>，则()2n S an b =+，当1n =时，()211a S a b ==+；当2n ≥时，()()221n n n a S S an b an a b-=-=+--+()22a an a b =-+；因为213a a =，所以()()2323a a b a b +=+，解得0b =或43a b =-；当0b =时，()221,21n a a a a n ==-，当2n ≥时，2-1-2n n a a a =满足等差数列的定义，此时{}n a 为等差数列；当43a b =-4=3an b an a =+-03a=-<不合题意，舍去.综上可知{}n a 为等差数列.[方法二]【最优解】：求解通项公式因为213a a ===也为等差数列，所以公差1d ==()11n d =-=，故21n S n a =，当2n ≥时，()()221111121n n n a S S n a n a n a -=-=--=-，当1n =时，满足上式，故{}n a 的通项公式为()121n a n a =-，所以()1123n a n a -=-，112n n a a a --=，符合题意.【整体点评】这类题型在解答题中较为罕见，求解的关键是牢牢抓住已知条件，结合相关公式，逐步推演，选①②时，法一：利用等差数列的通项公式是关于n的一次函数，直接设出(0)an b a =+>，平方后得到n S 的关系式，利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩得到{}n a 的通项公式，进而得到213a a =，是选择①②证明③的通式通法；法二：分别设出{}n a 与{}n S 的公差，写出各自的通项公式后利用两者的关系，对照系数，得到等量关系1d =12d a =，进而得到213a a =；选①③时，按照正常的思维求出公差，表示出n S进行证明；选②③时，法一：利用等差数列的通项公式是关于n的一次函数，直接设出(0)an b a =+>，结合,n n a S 的关系求出n a ，根据213a a =可求b ，然后可证{}n a 是等差数1d ==的通项公式，利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，求出{}n a 的通项公式，进而证明出结论.6．【2021年乙卷文科】设{}n a 是首项为1的等比数列，数列{}n b 满足3nn na b =．已知1a ，23a ，39a 成等差数列．（1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）记n S 和n T 分别为{}n a 和{}n b 的前n 项和．证明：2nn S T <．【答案】（1）11(3n n a -=，3n nn b =；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用等差数列的性质及1a 得到29610q q -+=，解方程即可；（2）利用公式法、错位相减法分别求出,n n S T ，再作差比较即可.【详解】（1）因为{}n a 是首项为1的等比数列且1a ，23a ，39a 成等差数列，所以21369a a a =+，所以211169a q a a q =+，即29610q q -+=，解得13q =，所以11()3n n a -=，所以33n n n na nb ==.（2）[方法一]：作差后利用错位相减法求和211213333n n n n nT --=++++ ，012111111223333-⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭n n S ，230121123111112333323333n n n n S n T -⎛⎫⎛⎫-=++++-++++=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 012111012222333---++++ 111233---+n n n n ．设0121111101212222Γ3333------=++++ n n n ，⑧则1231111012112222Γ33333-----=++++ n n n ．⑨由⑧-⑨得1121113312111113322Γ132********--⎛⎫--- ⎪⎛⎫⎝⎭=-++++-=-+- ⎪⎝⎭- n n n n nn n ．所以211312Γ432323----=--=-⨯⨯⨯n n n n n n ．因此10232323--=-=-<⨯⨯n n n n nS n n nT ．故2nn S T <．[方法二]【最优解】：公式法和错位相减求和法证明：由（1）可得11(1313(1)12313n n n S ⨯-==--，211213333n n n n nT --=++++ ，①231112133333n n n n nT +-=++++ ，②①-②得23121111333333n n n n T +=++++- 1111(1)1133(1)1323313n n n n n n ++-=-=---，所以31(14323n n nn T =--⋅，所以2n n S T -=3131(1)(1043234323n n n n n n ----=-<⋅⋅，所以2nn S T <.[方法三]：构造裂项法由（Ⅰ）知13⎛⎫= ⎪⎝⎭n n b n ，令1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭nn c n ，且1+=-n n n b c c ，即1111()[(1)]333αβαβ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n n n n ，通过等式左右两边系数比对易得33,24αβ==，所以331243nn c n ⎛⎫⎛⎫=+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．则12113314423nn n n n T b b b c c +⎛⎫⎛⎫=+++=-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，下同方法二．[方法四]：导函数法设()231()1-=++++=- n nx x f x x x x x x，由于()()()()()()1221'111'11(1)'1(1)1n n n n nx x x x x x x x nx n x x x x +⎡⎤⎡⎤⎡⎤----⨯--+-+⎣⎦⎣⎦⎢==---⎢⎥⎣⎦，则12121(1)()123(1)+-+-+=++++='- n nn nx n x f x x x nxx ．又1111333-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n n n b n n ，所以2112311111233333n n n T b b b b n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++++=+⨯+⨯++⋅=⎢⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦12111(1)11133333113n nn n f +⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⋅=⨯ ⎪⎝⎭⎛⎫- ⎪⎝⎭'13113311(1)4334423n nnn n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，下同方法二．【整体点评】本题主要考查数列的求和，涉及到等差数列的性质，错位相减法求数列的和，考查学生的数学运算能力，是一道中档题，其中证明不等式时采用作差法，或者作商法要根据式子得结构类型灵活选择，关键是要看如何消项化简的更为简洁.（2）的方法一直接作差后利用错位相减法求其部分和，进而证得结论；方法二根据数列的不同特点，分别利用公式法和错位相减法求得,n n S T ,然后证得结论,为最优解；方法三采用构造数列裂项求和的方法，关键是构造1()3αβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭nn c n ，使1+=-n n n b c c ，求得n T 的表达式，这是错位相减法的一种替代方法，方法四利用导数方法求和，也是代替错位相减求和法的一种方法.7．【2021年乙卷理科】记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n b 为数列{}n S 的前n 项积，已知212n nS b +=．（1）证明：数列{}n b 是等差数列;（2）求{}n a 的通项公式．【答案】（1）证明见解析；（2）()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩.【解析】【分析】（1）由已知212n n S b +=得221n n n b S b =-,且0n b ≠，取1n =,得132b =,由题意得1212222212121n n n b b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=---,消积得到项的递推关系111221n n n n b bb b +++=-,进而证明数列{}n b 是等差数列;（2）由（1）可得n b 的表达式,由此得到n S 的表达式,然后利用和与项的关系求得()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩.【详解】（1）[方法一]：由已知212n n S b +=得221n n n b S b =-,且0n b ≠，12n b ≠,取1n =,由11S b =得132b =,由于n b 为数列{}n S 的前n 项积，所以1212222212121n n n b b b b b b b ⋅⋅⋅⋅=---,所以1121121222212121n n n b b b b b b b +++⋅⋅⋅⋅=---，所以111221n n n nb bb b +++=-,由于10n b +≠所以12121n n b b +=-，即112n n b b +-=,其中*n N ∈所以数列{}n b 是以132b =为首项，以12d =为公差等差数列;[方法二]【最优解】：由已知条件知1231-⋅=⋅⋅⋅⋅ n n n b S S S S S ①于是11231(2)--=⋅⋅⋅⋅≥ n n b S S S S n ．②由①②得1nn n b S b -=．③又212n nS b +=，④由③④得112n n b b --=．令1n =，由11S b =，得132b =．所以数列{}n b 是以32为首项，12为公差的等差数列．[方法三]：由212n n S b +=，得22=-nn n S b S ，且0n S ≠，0n b ≠，1n S ≠．又因为111--=⋅⋅=⋅ n n n n n b S S S S b ，所以1122-==-n n n n b b S S ，所以()1111(2)2222212---=-==≥---n n n n n n n S S b b n S S S ．在212n n S b +=中，当1n =时，1132==b S ．故数列{}n b 是以32为首项，12为公差的等差数列．[方法四]：数学归纳法由已知212n n S b +=，得221n n n b S b =-，132b =，22b =，352=b ，猜想数列{}n b 是以32为首项，12为公差的等差数列，且112n b n =+．下面用数学归纳法证明．当1n =时显然成立．假设当n k =时成立，即121,21+=+=+k k k b k S k ．那么当1n k =+时，11112++⎛⎫==+ ⎪⎝⎭k k k b b S k 331(1)1222k k k k ++⋅==+++．综上，猜想对任意的n ∈N 都成立．即数列{}n b 是以32为首项，12为公差的等差数列．（2）由（1）可得，数列{}n b 是以132b =为首项，以12d =为公差的等差数列，()3111222n nb n ∴=+-⨯=+,22211n n n b nS b n+==-+,当n =1时，1132a S ==,当n ≥2时,()121111n n n n n a S S n n n n -++=-=-=-++,显然对于n =1不成立,∴()3,121,21n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥+⎪⎩.【整体点评】（1）方法一从212n n S b +=得221n n n b S b =-，然后利用n b 的定义，得到数列{}n b 的递推关系，进而替换相除消项得到相邻两项的关系，从而证得结论；方法二先从n b 的定义，替换相除得到1nn n b S b -=，再结合212n n S b +=得到112n n b b --=，从而证得结论，为最优解；方法三由212n n S b +=，得22=-n n n S b S ，由n b 的定义得1122-==-n n n n b b S S ，进而作差证得结论；方法四利用归纳猜想得到数列112n b n =+，然后利用数学归纳法证得结论．（2）由（1）的结论得到112n b n =+，求得n S 的表达式,然后利用和与项的关系求得{}n a 的通项公式；8．【2021年新高考1卷】已知数列{}n a 满足11a =，11,,2,.n n n a n a a n ++⎧=⎨+⎩为奇数为偶数（1）记2n n b a =，写出1b ，2b ，并求数列{}n b 的通项公式；（2）求{}n a 的前20项和.【答案】（1）122,5,31n b b b n ===-；（2）300.【解析】【分析】(1)方法一：由题意结合递推关系式确定数列{}n b 的特征，然后求和其通项公式即可；(2)方法二：分组求和，结合等差数列前n 项和公式即可求得数列的前20项和.【详解】解：（1）[方法一]【最优解】：显然2n 为偶数，则21222212,1n n n n a a a a +++=+=+，所以2223n n a a +=+，即13n n b b +=+，且121+12b a a ===，所以{}n b 是以2为首项，3为公差的等差数列，于是122,5,31n b b b n ===-．[方法二]：奇偶分类讨论由题意知1231,2,4a a a ===，所以122432,15b a b a a ====+=．由11n n a a +-=（n 为奇数）及12n n a a +-=（n 为偶数）可知，数列从第一项起，若n 为奇数，则其后一项减去该项的差为1，若n 为偶数，则其后一项减去该项的差为2．所以*23()n n a a n N +-=∈，则()11331n b b n n =+-⨯=-．[方法三]：累加法由题意知数列{}n a 满足*113(1)1,()22nn n a a a n +-==++∈N ．所以11213(1)11222b a a -==++=+=，322433223(1)3(1)11212352222b a a a a a --==++=+=+++=++=+=，则222121222111()()()121221+n n n n n n b a a a a a a a a a ---==-+-+-+=+++++++ 12(1)131n n n =+-+=-⨯．所以122,5b b ==，数列{}n b 的通项公式31n b n =-．（2）[方法一]：奇偶分类讨论20123201351924620++++++++()()S a a a a a a a a a a a a =+=+++ 1231012310(1111)b b b b b b b b =-+-+-++-+++++ 110()102103002b b +⨯=⨯-=．[方法二]：分组求和由题意知数列{}n a 满足12212121,1,2n n n n a a a a a -+==+=+，所以2122123n n n a a a +-=+=+．所以数列{}n a 的奇数项是以1为首项，3为公差的等差数列；同理，由2221213n n n a a a ++=+=+知数列{}n a 的偶数项是以2为首项，3为公差的等差数列．从而数列{}n a 的前20项和为：201351924260()()S a a a a a a a a =+++++++++ 1091091013102330022⨯⨯=⨯+⨯+⨯+⨯=．【整体点评】(1)方法一：由题意讨论{}n b 的性质为最一般的思路和最优的解法；方法二：利用递推关系式分类讨论奇偶两种情况，然后利用递推关系式确定数列的性质；方法三：写出数列{}n a 的通项公式，然后累加求数列{}n b 的通项公式，是一种更加灵活的思路.(2)方法一：由通项公式分奇偶的情况求解前n 项和是一种常规的方法；方法二：分组求和是常见的数列求和的一种方法，结合等差数列前n 项和公式和分组的方法进行求和是一种不错的选择.9．【2021年新高考2卷】记n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，若35244,a S a a S ==．（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）求使n n S a >成立的n 的最小值．【答案】(1)26n a n =-；(2)7.【解析】【分析】(1)由题意首先求得3a 的值，然后结合题意求得数列的公差即可确定数列的通项公式；(2)首先求得前n 项和的表达式，然后求解二次不等式即可确定n 的最小值.【详解】(1)由等差数列的性质可得：535S a =，则：3335,0a a a =∴=，设等差数列的公差为d ，从而有：()()22433a a a d a d d =-+=-，()()()41234333322S a a a a a d a d a a d d =+++=-+-++-=-，从而：22d d -=-，由于公差不为零，故：2d =，数列的通项公式为：()3326n a a n d n =+-=-.(2)由数列的通项公式可得：1264a =-=-，则：()()214252n n n S n n n -=⨯-+⨯=-，则不等式n n S a >即：2526n n n ->-，整理可得：()()160n n -->，解得：1n <或6n >，又n 为正整数，故n 的最小值为7.【点睛】等差数列基本量的求解是等差数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等差数列的有关公式并能灵活运用.10．【2020年新课标1卷理科】设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项．（1）求{}n a 的公比；（2）若11a =，求数列{}n na 的前n 项和．【答案】（1）2-；（2）1(13)(2)9n n n S -+-=.【解析】【分析】（1）由已知结合等差中项关系，建立公比q 的方程，求解即可得出结论；（2）由（1）结合条件得出{}n a 的通项，根据{}n na 的通项公式特征，用错位相减法，即可求出结论.【详解】（1）设{}n a 的公比为q ，1a 为23,a a 的等差中项，212312,0,20a a a a q q =+≠∴+-= ，1,2q q ≠∴=- ；（2）设{}n na 的前n 项和为n S ，111,(2)n n a a -==-，21112(2)3(2)(2)n n S n -=⨯+⨯-+⨯-++- ，①23121(2)2(2)3(2)(1)(2)(2)n n n S n n --=⨯-+⨯-+⨯-+--+- ，②①-②得，2131(2)(2)(2)(2)n nn S n -=+-+-++---1(2)1(13)(2)(2)1(2)3n n n n n ---+-=--=--，1(13)(2)9nn n S -+-∴=.【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算、等差中项的性质，以及错位相减法求和，考查计算求解能力，属于基础题.11．【2020年新课标3卷理科】设数列{an }满足a 1=3，134n n a a n +=-．（1）计算a 2，a 3，猜想{an }的通项公式并加以证明；（2）求数列{2nan }的前n 项和Sn ．【答案】（1）25a =，37a =，21n a n =+，证明见解析；（2）1(21)22n n S n +=-⋅+.【解析】【分析】（1）方法一：（通性通法）利用递推公式得出23,a a ，猜想得出{}n a 的通项公式，利用数学归纳法证明即可；（2）方法一：（通性通法）根据通项公式的特征，由错位相减法求解即可．【详解】（1）［方法一］【最优解】：通性通法由题意可得2134945a a =-=-=，32381587a a =-=-=，由数列{}n a 的前三项可猜想数列{}n a 是以3为首项，2为公差的等差数列，即21n a n =+．证明如下：当1n =时，13a =成立；假设()n k k *=∈N 时，21k a k =+成立.那么1n k =+时，1343(21)4232(1)1k k a a k k k k k +=-=+-=+=++也成立.则对任意的*n N ∈，都有21n a n =+成立；［方法二］：构造法由题意可得2134945a a =-=-=，32381587a a =-=-=．由123,5a a ==得212a a -=．134n n a a n +=-，则134(1)(2)n n a a n n -=--≥，两式相减得()1134n n n n a a a a +--=--．令1n n n b a a +=-，且12b =，所以134n n b b -=-，两边同时减去2，得()1232n n b b --=-，且120b -=，所以20n b -=，即12n n a a +-=，又212a a -=，因此{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，所以21n a n =+．［方法三］：累加法由题意可得2134945a a =-=-=，32381587a a =-=-=．由134n n a a n +=-得1114333n n n n n a a n +++-=-，即2121214333a a -=-⨯，3232318333a a -=-⨯， (111)4(1)(2)333n n n n n a a n n ---=--⨯≥．以上各式等号两边相加得1123111412(1)33333n nn a a n ⎡⎤-=-⨯+⨯+-⨯⎢⎥⎣⎦ ，所以1(21)33n n n a n =+⋅．所以21(2)n a n n =+≥．当1n =时也符合上式．综上所述，21n a n =+．［方法四］：构造法21322345,387a a a a =-==-=，猜想21n a n =+．由于134n n a a n +=-，所以可设()1(1)3n n a n a n λμλμ++++=++，其中,λμ为常数．整理得1322n n a a n λμλ+=++-．故24,20λμλ=--=，解得2,1λμ=-=-．所以()112(1)13(21)3211n n n a n a n a +-+-=--=⋅⋅⋅=-⨯-．又130a -=，所以{}21n a n --是各项均为0的常数列，故210n a n --=，即21n a n =+．（2）由（1）可知，2(21)2n n n a n ⋅=+⋅［方法一］：错位相减法231325272(21)2(21)2n n n S n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅ ，①23412325272(21)2(21)2n n n S n n +=⨯+⨯+⨯++-⋅++⋅ ，②由①-②得：()23162222(21)2n n n S n +-=+⨯+++-+⋅ ()21121262(21)212n n n -+-=+⨯-+⋅⨯-1(12)22n n +=-⋅-，即1(21)22n n S n +=-⋅+.［方法二］【最优解】：裂项相消法112(21)2(21)2(23)2n n n n n n n a n n n b b ++=+=---=-，所以231232222n n n S a a a a =++++ ()()()()2132431n n b b b b b b b b +=-+-+-++- 11n b b +=-1(21)22n n +=-+．［方法三］：构造法当2n ≥时，1(21)2n n n S S n -=++⋅，设11()2[(1)]2n n n n S pn q S p n q --++⋅=+-+⋅，即122n n n pn q p S S ----=+⋅，则2,21,2pq p -⎧=⎪⎪⎨--⎪=⎪⎩，解得4,2p q =-=．所以11(42)2[4(1)2]2n n n n S n S n --+-+⋅=+--+⋅，即{}(42)2n n S n +-+⋅为常数列，而1(42)22S +-+⋅=，所以(42)22n n S n +-+⋅=．故12(21)2n n S n +=+-⋅．［方法四］：因为12(21)2222422n n n n n nn a n n n -=+=⋅+=⋅+，令12n n b n -=⋅，则()()231()0,11n nx x f x x x x x x x-=++++=≠- ，()121211(1)()1231(1)nn n n x x nx n x f x x x nx x x +-'⎡⎤-+-+=++++==⎢⎥--⎢⎥⎣⎦' ，所以12n b b b +++L 21122322n n -=+⋅+⋅++⋅ 1(2)12(1)2n n f n n +==+-+'⋅．故234(2)2222nn S f =++'+++ ()1212412(1)212n n nn n +-⎡⎤=+⋅-++⎣⎦-1(21)22n n +=-+．【整体点评】（1）方法一：通过递推式求出数列{}n a 的部分项从而归纳得出数列{}n a 的通项公式，再根据数学归纳法进行证明，是该类问题的通性通法，对于此题也是最优解；方法二：根据递推式134n n a a n +=-，代换得134(1)(2)n n a a n n -=--≥，两式相减得()1134n n n n a a a a +--=--，设1n n n b a a +=-，从而简化递推式，再根据构造法即可求出n b ，从而得出数列{}n a 的通项公式；方法三：由134n n a a n +=-化简得1114333n n n n n a a n+++-=-，根据累加法即可求出数列{}n a 的通项公式；方法四：通过递推式求出数列{}n a 的部分项，归纳得出数列{}n a 的通项公式，再根据待定系数法将递推式变形成()1(1)3n n a n a n λμλμ++++=++，求出,λμ，从而可得构造数列为常数列，即得数列{}n a 的通项公式．（2）方法一：根据通项公式的特征可知，可利用错位相减法解出，该法也是此类题型的通性通法；方法二：根据通项公式裂项，由裂项相消法求出，过程简单，是本题的最优解法；方法三：由2n ≥时，1(21)2nn n S S n -=++⋅，构造得到数列{}(42)2n n S n +-+⋅为常数列，从而求出；方法四：将通项公式分解成12(21)2222422n n n n n nn a n n n -=+=⋅+=⋅+，利用分组求和法分别求出数列{}{}12,2n n n -⋅的前n 项和即可，其中数列{}12n n -⋅的前n 项和借助于函数()()231()0,11n nx x f x x x x x x x-=++++=≠- 的导数，通过赋值的方式求出，思路新颖独特，很好的简化了运算．12．【2020年新课标3卷文科】设等比数列{an }满足124a a +=，318a a -=．（1）求{an }的通项公式；（2）记n S 为数列{log 3an }的前n 项和．若13m m m S S S +++=，求m ．【答案】（1）13-=n n a ；（2）6m =.【解析】【分析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意，列出方程组，求得首项和公比，进而求得通项公式；（2）由（1）求出3{log }n a 的通项公式，利用等差数列求和公式求得n S ，根据已知列出关于m 的等量关系式，求得结果.【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意，有1121148a a q a q a +=⎧⎨-=⎩，解得113a q =⎧⎨=⎩，所以13-=n n a ；（2）令313log log 31n n n b a n -===-，所以(01)(1)22n n n n n S +--==，根据13m m m S S S +++=，可得(1)(1)(2)(3)222m m m m m m -++++=，整理得2560m m --=，因为0m >，所以6m =，【点睛】本题考查等比数列通项公式基本量的计算，以及等差数列求和公式的应用，考查计算求解能力，属于基础题目.13．【2020年新高考1卷（山东卷）】已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记m b 为{}n a 在区间*(0,]()m m ∈N 中的项的个数，求数列{}m b 的前100项和100S ．【答案】（1）2n n a =；（2）100480S =.【解析】【分析】（1）利用基本元的思想，将已知条件转化为1,a q 的形式，求解出1,a q ，由此求得数列{}n a 的通项公式.（2）方法一：通过分析数列{}m b 的规律，由此求得数列{}m b 的前100项和100S .【详解】（1）由于数列{}n a 是公比大于1的等比数列，设首项为1a ，公比为q ，依题意有31121208a q a q a q ⎧+=⎨=⎩，解得解得12,2a q ==，或1132,2a q ==(舍)，所以2n n a =，所以数列{}n a 的通项公式为2n n a =.（2）［方法一］：规律探索由于123456722,24,28,216,232,264,2128=======，所以1b 对应的区间为(0,1]，则10b =；23,b b 对应的区间分别为(0,2],(0,3]，则231b b ==，即有2个1；4567,,,b b b b 对应的区间分别为(0,4],(0,5],(0,6],(0,7]，则45672b b b b ====，即有22个2；8915,,,b b b 对应的区间分别为(0,8],(0,9],,(0,15] ，则89153b b b ==== ，即有32个3；161731,,,b b b 对应的区间分别为(0,16],(0,17],,(0,31] ，则1617314b b b ==== ，即有42个4；323363,,,b b b 对应的区间分别为(0,32],(0,33],,(0,63] ，则3233635b b b ====L ，即有52个5；6465100,,,b b b L 对应的区间分别为(0,64],(0,65],,(0,100] ，则64651006b b b ====L ，即有37个6．所以23451001222324252637480S =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．［方法二］【最优解】：由题意，2n m ≤，即2log n m ≤，当1m =时，10b =．当)12,21k k m +⎡∈-⎣时，,m b k k *=∈N ，则()()()()1001234573233636465100S b b b b b b b b b b b b =++++++++++++++ 0122438416532637480=+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．［方法三］：由题意知)1,2,2k k m b k m +⎡=∈⎣，因此，当1m =时，10b =；[2,4)m ∈时，1m b =；[4,8)m ∈时，2m b =；[8,16)m ∈时，3m b =；[16,32)m ∈时，4m b =；[32,64)m ∈时，5m b =；[64,128)m ∈时，6m b =．所以1001234100S b b b b b =+++++ 0(11)(222)(666)=++++++++++ 0122438416532637480=+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．所以数列{}n b 的前100项和100480S =．【整体点评】（2）方法一：通过数列{}n a 的前几项以及数列{}m b 的规律可以得到12100,,,b b b 的值，从而求出数列{}m b 的前100项和，这是本题的通性通法；方法二：通过解指数不等式可得数列{}m b 的通项公式，从而求出数列{}m b 的前100项和，是本题的最优解；方法三，是方法一的简化版．14．【2020年新高考2卷（海南卷）】已知公比大于1的等比数列{}n a 满足24320,8a a a +==．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求112231(1)n n n a a a a a a -+-+⋯+-.【答案】（1）2nn a =；（2）2382(1)55n n +--【解析】【分析】(1)由题意得到关于首项、公比的方程组，求解方程组得到首项、公比的值即可确定数列的通项公式；(2)首先求得数列(){}111n n n a a -+-的通项公式，然后结合等比数列前n 项和公式求解其前n 项和即可.【详解】(1)设等比数列{}n a 的公比为q (q >1)，则32411231208a a a q a q a a q ⎧+=+=⎨==⎩，整理可得：22520q q -+=，11,2,2q q a >== ，数列的通项公式为：1222n nn a -=⋅=.(2)由于：()()()1121111122112n n n n n n n n a a --++-+=-⨯⨯=--，故：112231(1)n n n a a a a a a -+-+⋯+-35791212222(1)2n n -+=-+-+⋯+-⋅()()3223221282(1)5512n n n +⎡⎤--⎢⎥⎣⎦==----.【点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，等差数列与等比数列求和公式是数列求和的基础.15．【2019年新课标1卷文科】记Sn 为等差数列{an }的前n 项和，已知S 9=－a 5．（1）若a 3=4，求{an }的通项公式；（2）若a 1>0，求使得Sn ≥an 的n 的取值范围．【答案】（1）210n a n =-+；（2）110()n n *≤≤∈N .【解析】【分析】（1）首项设出等差数列的首项和公差，根据题的条件，建立关于1a 和d 的方程组，求得1a 和d 的值，利用等差数列的通项公式求得结果；（2）根据题意有50a =，根据10a >，可知0d <，根据n n S a >，得到关于n 的不等式，从而求得结果.【详解】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，根据题意有111989(4)224a d a d a d ⨯⎧+=-+⎪⎨⎪+=⎩，解答182a d =⎧⎨=-⎩，所以8(1)(2)210n a n n =+-⨯-=-+，所以等差数列{}n a 的通项公式为210n a n =-+；（2）由条件95S a =-，得559a a =-，即50a =，因为10a >，所以0d <，并且有5140a a d =+=，所以有14a d =-，由n n S a ≥得11(1)(1)2n n na d a n d -+≥+-，整理得2(9)(210)n n d n d -≥-，因为0d <，所以有29210n n n -≤-，即211100n n -+≤，解得110n ≤≤，所以n 的取值范围是：110()n n *≤≤∈N【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有等差数列的通项公式，等差数列的求和公式，在解题的过程中，需要认真分析题意，熟练掌握基础知识是正确解题的关键.16．【2019年新课标2卷理科】已知数列{an }和{bn }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-.（1）证明：{an +bn }是等比数列，{an –bn }是等差数列；（2）求{an }和{bn }的通项公式.【答案】（1）见解析；（2）1122nn a n =+-，1122nnb n =-+．【解析】【分析】(1)可通过题意中的1434n n n a a b +-=+以及1434n n n b b a +-=-对两式进行相加和相减即可推导出数列{}n n a b +是等比数列以及数列{}n n a b -是等差数列；(2)可通过(1)中的结果推导出数列{}n n a b +以及数列{}n n a b -的通项公式，然后利用数列{}n n a b +以及数列{}n n a b -的通项公式即可得出结果．【详解】(1)由题意可知1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-，111a b +=，111a b -=，所以1144323442n n n n n n n n a b a b b a a b ++=+=--+++-，即()1112n n nn a b ab ++++=，所以数列{}n n a b +是首项为1、公比为12的等比数列，()112n n n a b -+=，因为()11443434448n n n n n n n n a b a b b a a b ++---=+-=-+-，所以112n n n n a b a b ++=-+-，数列{}n n a b -是首项1、公差为2的等差数列，21n n a b n -=-．(2)由(1)可知，()112n n n a b -+=，21n n a b n -=-，所以()111222nn nn n n a ab a b n =++-=+-，()111222n n n n n n b a b a b n 轾=+--=-+臌．【点睛】本题考查了数列的相关性质，主要考查了等差数列以及等比数列的相关证明，证明数列是等差数列或者等比数列一定要结合等差数列或者等比数列的定义，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档题．17．【2019年新课标2卷文科】已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，1322,216a a a ==+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和.【答案】（1）212n n a -=；（2）2n S n =.【解析】【分析】(1)本题首先可以根据数列{}n a 是等比数列将3a 转化为21a q ，2a 转化为1a q ，再然后将其带入32216a a =+中，并根据数列{}n a 是各项均为正数以及12a =即可通过运算得出结果；(2)本题可以通过数列{}n a 的通项公式以及对数的相关性质计算出数列{}n b 的通项公式，再通过数列{}n b 的通项公式得知数列{}n b 是等差数列，最后通过等差数列求和公式即可得出结果．【详解】(1)因为数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，32216a a =+，12a =，所以令数列{}n a 的公比为q ，2231=2a a q q =，212a a q q ==，所以22416q q =+，解得2q =-(舍去)或4，所以数列{}n a 是首项为2、公比为4的等比数列，121242n n n a --=⨯=．(2)因为2log n n b a =，所以21n b n =-，+121n b n =+，12n n b b +-=，所以数列{}n b 是首项为1、公差为2的等差数列，21212n n S n n +-=´=．【点睛】本题考查数列的相关性质，主要考查等差数列以及等比数列的通项公式的求法，考查等差数列求和公式的使用，考查化归与转化思想，考查计算能力，是简单题．18．【2018年新课标1卷文科】已知数列{}n a 满足11a =，()121n n na n a +=+，设nn a b n=．（1）求123b b b ，，；（2）判断数列{}n b 是否为等比数列，并说明理由；（3）求{}n a 的通项公式．【答案】（1）11b =，22b =，34b =；（2）{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列．理由见解析；（3）12n n a n -=⋅.【解析】【分析】（1）根据题中条件所给的数列{}n a 的递推公式()121n n na n a +=+，将其化为()121n n n a a n++=，分别令1n =和2n =，代入上式求得24a =和312a =，再利用nn a b n=，从而求得11b =，22b =，34b =；（2）利用条件可以得到121n na a n n+=+，从而可以得出12n n b b +=，这样就可以得到数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列；（3）借助等比数列的通项公式求得12n na n-=，从而求得12n n a n -=⋅.【详解】（1）由条件可得()121n n n a a n++=．将1n =代入得，214a a =，而11a =，所以，24a =．将2n =代入得，323a a =，所以，312a =．从而11b =，22b =，34b =；（2）{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得121n na a n n+=+，即12n n b b +=，又11b =，所以{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列；（3）由（2）可得11122n n nn a b n--==⨯=，所以12n n a n -=⋅．【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有根据数列的递推公式确定数列的项，根据不同数列的项之间的关系，确定新数列的项，利用递推关系整理得到相邻两项之间的关系确定数列是等比数列，根据等比数列通项公式求得数列{}n b 的通项公式，借助于{}n b 的通项公式求得数列{}n a 的通项公式，从而求得最后的结果.19．【2018年新课标2卷理科】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值．【答案】（1）an =2n –9，（2）Sn =n 2–8n ，最小值为–16．【解析】【详解】分析：（1）根据等差数列前n 项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果，（2）根据等差数列前n 项和公式得n S 的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.详解：（1）设{an }的公差为d ，由题意得3a 1+3d =–15．由a 1=–7得d =2．所以{an }的通项公式为an =2n –9．（2）由（1）得Sn =n 2–8n =（n –4）2–16．所以当n =4时，Sn 取得最小值，最小值为–16．点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.20．【2018年新课标3卷理科】等比数列{}n a 中，15314a a a ==，．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．【答案】（1）()12n n a -=-或12n n a -=.（2）6m =.【解析】【详解】分析：（1）列出方程，解出q 可得；（2）求出前n 项和，解方程可得m ．详解：（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1n n a q -=．由已知得424q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =．故()12n n a -=-或12n n a -=．（2）若()12n n a -=-，则()123nn S --=．由63m S =得()2188m -=-，此方程没有正整数解．若12n n a -=，则21nn S =-．由63m S =得264m =，解得6m =．综上，6m =．点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和前n 项和公式，属于基础题．。

2025高考数学解答题：数列及其综合应用(6大题型)

解答题：数列及其综合应用目录题型一等差数列与等比数列证明 1题型二分组转化法求数列的前n 项和 2题型三裂项相消法求数列的前n 项和 3题型四错位相减法求数列的前n 项和 4题型五数列与不等式综合问题 5题型六数列中的探究问题 7必刷大题 9等差数列与等比数列证明大题典例1.(23-24高三下·内蒙古包头·三模)已知数列a n 的前n 项和为S n ，a 1=3，S n =1+a n +1．(1)证明：数列S n -1 是等比数列，并求S n ；(2)求数列1a n的前n 项和T n ．2.(24-25高三上·上海·期中)某人购买某种教育基金，今年5月1日交了10万元，年利率5%，以后每年5月1日续交2万元，设从今年起每年5月1日的教育基金总额依次为a1，a2，a3，⋯⋯.(1)写出a2和a3，并求出a n+1与a n之间的递推关系式；(2)求证：数列a n+40为等比数列，并求出数列a n的通项公式.3.(24-25高三上·山东淄博·月考)记S n为数列a n的前n项和，已知S n=a n2+n2+1，n∈N*．(1)求a1+a2，并证明a n+a n+1是等差数列；(2)求S2n．题型二分组转化法求数列的前n项和大题典例4.(24-25高三上·北京·月考)已知a n是各项均为正数的等比数列，a1=1，且a1，a2，-3a3成等差数列．(1)求a n的通项公式；(2)求数列a n-n的前n项和S n．5.(24-25高三上·河北衡水·月考)已知数列a n的前n项和为S n，a1=13，a n+1=a n-8,n为奇数3a n,n为偶数．(1)证明：数列a2n-1-12为等比数列；(2)若S2n+1=16n+1469，求n的值．6.(24-25高三上·海南海口·月考)已知数列a n是公差为3的等差数列，数列b n满足b1=1，b2= 13，a nb n+1+b n+1=nb n，(1)求数列a n，b n的通项公式；(2)求数列(-1)n a n+b n的前2n项和S2n．题型三裂项相消法求数列的前n项和大题典例7.(24-25高三上·湖北·期中)记S n是等差数列a n的前n项和，a1=2，且a2-2，a3-4，a4-6成等比数列.(1)求a n和S n；(2)若b n S n=2，求数列b n的前20项和T20.8.(24-25高三上·广东深圳·模拟预测)若一个数列从第二项起，每一项与前一项的差值组成的新数列是一个等差数列，则称这个数列是一个“二阶等差数列”，已知数列a n是一个二阶等差数列，其中a1= 1,a2=3,a3=6．(1)求a4及a n的通项公式；(2)设b n=8a n-4n8a n-4n-1，求数列b n的前n项和S n．9.(24-25高三上·宁夏石嘴山·月考)已知数列a n的首项为1，且a n+1=2a n n∈N∗.(1)求数列a n的通项公式；(2)若b n=2n-1a n+1a n+1+1，求数列b n的前n项和T n.题型四错位相减法求数列的前n项和大题典例10.(24-25高三上·广东广州·模拟预测)已知数列a n的前n项和公式为S n=3n2-2n，数列b n满足b1=a1.(1)求数列a n的通项公式；(2)若a n=2n b n+1-b n，求数列b n的通项公式.11.(24-25高三上·贵州贵阳·月考)已知数列a n满足：a n=2n-10，数列b n满足：b1+b25+b352+⋯+b n5n-1=5n,n∈N*.(1)求数列a n的前15项和S15；(2)求数列a nb n的前n项和Tn.12.(24-25高三上·湖北·期中)已知a n是公差不为0的等差数列，a4=21，且a1，a2，a5成等比数列，数列b n满足：b n+1=4b n-3，且b1=2a1-1.(1)求a n和b n的通项公式；(2)若T n为数列a nb n-1的前n项和，求Tn.题型五数列与不等式综合问题大题典例13.(23-24高三下·河北邢台·二模)已知数列a n的前n项和为S n，且S n=2a n-1,n≥1．(1)求数列a n的通项公式；(2)求证：1S1+1S2+1S3+⋯+1S n<2．14.(24-25高三上·吉林·模拟预测)已知数列a n 的首项a 1=45，且满足a n +1=4a n a n +3，设b n =1a n-1．(1)求证：数列b n 为等比数列；(2)若1a 1+1a 2+1a 3+⋯+1a n>2024，求满足条件的最小正整数n ．15.(24-25高三上·辽宁·开学考试)已知S n 为数列a n 的前n 项和，T n 为数列b n 的前n 项和，a n +2=2a n +1-a n ,b n =2a n +1,n 为奇数2a n-1,n 为偶数,b 4=8,S 5=15.(1)求a n 的通项公式；(2)若T 2n -S 2n <2025，求n 的最大值；(3)设c n =1T 2n -S 2n ，证明：12≤ni =1c i <34.数列中的探究问题大题典例16.(23-24高三下·福建·模拟预测)已知数列a n的前n项和为S n，a1=1，数列b n满足S na n=b n，且a n,b n均为正整数.(1)是否存在数列a n，使得b n是等差数列？若存在，求此时的S n；若不存在，说明理由；(2)若b n>b n-1，求a n的通项公式.变式训练17.(24-25高三上·天津·月考)已知等比数列a n的前n项和为S n，且a n+1=2S n+2n∈N*．(1)求数列a n的通项公式；(2)在a n与a n+1之间插入n个数，使这n+2个数组成一个公差为d n的等差数列．(i)求数列d n的通项及2n-1k=1(k+1)d k；(ii)在数列d n中是否存在3项d m,d k,d p(其中m，k，p成等差数列)成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由．18.(24-25高三上·江苏无锡·期中)在下面n行、n列n∈N*的表格内填数：第一列所填各数自上而下构成首项为1，公差为2的等差数列a n；第一行所填各数自左向右构成首项为1，公比为2的等比数列b n；其余空格按照“任意一格的数是它上面一格的数与它左边一格的数之和”的规则填写.设第2行的数自左向右依次记为c1,c2,c3,⋯,c n.第1列第2列第3列⋯第n列第1行1222⋯2n-1第2行359第3行510⋯⋯第n行2n-1(1)求数列c n通项公式;(2)对任意的m∈N∗，将数列a n中落入区间b m,c m内项的个数记为d m，①求d1和d10的值;②设数列a m⋅d m的前m项和T m；是否存在m∈N*，使得9T m+2=5m⋅3m-1，若存在，求出所有m 的值，若不存在，请说明理由.必刷大题刷模拟1.(24-25高三上·贵州铜仁·模拟预测)已知正项等差数列a n满足：a1=1且a1，a3，2a7-1成等比数列.(1)求数列a n的通项公式；(2)若数列b n满足：b n=2a n，n∈N*，求数列a n+b n的前n项和T n.2.(24-25高三上·江苏镇江·模拟预测)已知数列a n满足a1=1，a n+1=a n,n为奇数a n+4,n为偶数(1)记b n=a2n，写出b1，b2，证明数列{b n}是等差数列，并求数列{b n}的通项公式；(2)求a n的前20项和．3.(24-25高三上·湖南长沙·月考)已知数列a n的前n项和为S n，a1=1，满足2S n=na n+1．(1)求a n；(2)若b n=3n⋅a n，求数列b n的前n项和T n．4.(24-25高三上·江西上饶·月考)设函数f x =3x2x +3，数列a n 满足a 1=1，且a n +1=f a n ,n ∈N *.(1)求证：数列1a n是等差数列；(2)令b n =a n -1⋅a n n ≥2 ,b 1=3,S n =b 1+b 2+⋯+b n ，若S n <m -20152对一切n ∈N *成立，求最小正整数m 的值.5.(24-25高三上·江苏泰州·期中)已知数列a n 为等差数列，公差d ≠0，前n 项和为S n ，a 2为a 1和a 5的等比中项，S 11=121.(1)求数列a n 的通项公式；(2)是否存在正整数m ，n 3<m <n ，使得1a 3，1a m ，1a n成等差数列？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，请说明理由；(3)求证：数列∑n +1i =21S i<23.6.(24-25高三上·山东青岛·月考)已知数列a n的前n项和S n=131-a nn∈N∗．若2+b n=3log14a n，且数列c n满足c n=a n⋅b n．(1)求证：数列b n是等差数列；(2)求证：数列c n的前n项和T n<2 3；(3)若c n≤14t2+t-1对一切n∈N∗恒成立，求实数t的取值范围．刷真题7.(2024·全国·高考真题)已知等比数列a n的前n项和为S n，且2S n=3a n+1-3.(1)求a n的通项公式；(2)求数列S n的前n项和.8.(2024·全国·高考真题)记S n为数列a n的前n项和，已知4S n=3a n+4．(1)求a n的通项公式；(2)设b n=(-1)n-1na n，求数列b n的前n项和T n．9.(2024·上海·高考真题)若f x =log a x(a>0,a≠1)．(1)y=f x 过4,2，求f2x-2<f x 的解集；(2)存在x使得f x+1、f ax、f x+2成等差数列，求a的取值范围．10.(2024·天津·高考真题)已知a n为公比大于0的等比数列，其前n项和为S n，且a1=1,S2=a3-1．(1)求a n的通项公式及S n；(2)设数列b n满足b n=k,n=a kb n-1+2k,a k<n<a k+1，其中k∈N*．(ⅰ)求证：当n=a k+1k∈N*,且k>1时，求证：b n-1≥a k⋅b n；(ⅱ)求S ni=1b i．解答题：数列及其综合应用目录题型一等差数列与等比数列证明 1题型二分组转化法求数列的前n 项和 3题型三裂项相消法求数列的前n 项和 5题型四错位相减法求数列的前n 项和 6题型五数列与不等式综合问题 9题型六数列中的探究问题 11必刷大题 14等差数列与等比数列证明大题典例1.(23-24高三下·内蒙古包头·三模)已知数列a n 的前n 项和为S n ，a 1=3，S n =1+a n +1．(1)证明：数列S n -1 是等比数列，并求S n ；(2)求数列1a n的前n 项和T n ．【答案】(1)证明见解析，S n =2n +1；(2)T n =43-12n -1【解析】(1)因为S n =1+a n +1，又a n +1=S n +1-S n ，所以S n +1-2S n +1=0，整理得S n +1-1=2S n -1 ．由题意得S 1-1=a 1-1=2，所以数列S n -1 是以2为首项，2为公比的等比数列，故S n -1=2n ，即S n =2n +1．(2)由(1)可a n =3,n =12n -1,n ≥2，当n =1时，T 1=1a 1=13，当n ≥2时，1a n =12 n -1，所以T n =13+121+122+⋅⋅⋅+12n -1，T n =13+121-12 n -11-12=43-12n -1.当n =1，代入T n =43-12n -1=13满足公式，综上，T n =43-12n -1解法指导判断数列是否为等差货等比数列的策略1、将所给的关系进行变形、转化，以便利用等差数列和等比数列的概念进行判断；2、若要判断一个不是等差(等比)数列，则只需说明某连续三项(如前三项)不是等差(等比)数列即可。

【高考专项】2020年高考数学数列解答题专项练习40题(含答案详解)

2020年高考数学数列解答题专项练习40题1、数列{a n}的前n项和为S n，,且成等差数列.(1)求a1的值，并证明为等比数列;(2)设，若对任意的，不等式恒成立，试求实数的取值范围.2、已知数列{a n}的前n项和，{b n}是等差数列，且（1）求数列{b n}的通项公式；（2）令求数列{c n}的前n项和.3、已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差，且成等比数列．(1)求数列{a n}的通项公式;(2)令,求数列{c n}的前n项和.4、已知数列{a n}满足，.（1）证明数列{a n+1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）令，求数列{b n}的前n项和5、已知数列{a n}前n项和为。

（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列；求数列的前n项和。

6、设数列{a n}的前n项和为S n，若．(1)求出数列{a n}的通项公式；(2)已知，数列{b n}的前n项和记为，证明：．7、已知等差数列{a n}满足，，数列{b n}满足.（1）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（2）求数列的前n项和.8、正项数列{a n}的前n项和为S n，且．（1）试求数列{a n}的通项公式；（2）设，求{b n}的前n项和为.（3）在（2）的条件下，若对一切恒成立，求实数m的取值范围.9、已知等差数列{a n}的公差d≠0，它的前n项和为S n，若，且a2，a6，a18成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为，求证：．10、等差数列{a n}中，已知，且为递增的等比数列.（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}的通项公式（），求数列{b n}的前n项和S n.11、已知等比数列{a n}的前n项和为S n，且是S n与2的等差中项，等差数列中，，点在一次函数的图象上．（1）求数列{a n},{b n}的通项和；（2）设，求数列{c n}的前n项和．12、已知公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，，且成等比数列.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若，数列{b n}的前n项和为，求.13、记为各项为正数的等比数列{a n}的前S n项和，已知.（1）求数列{a n}的通项公式;（2）令，求的前n项和.14、设数列{a n}的前n项和为S n，已知3S n=4－4，．（1)求数列{a n}的通项公式；(2）令，求数列{b n}的前n项和Tn.15、已知数列{a n}的各项均为正数，对任意，它的前n项和S n满足，并且，，成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，为数列{b n}的前n项和，求．16、已知数列{a n}的前n项和为S n，且，．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）当时，求证：数列的前n项和．17、已知数列为等差数列，且，．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明：．18、已知{a n}是各项均为正数的等比数列，{b n}是等差数列，且，，；求：（1）{a n}和{b n}的通项公式；（2）设，，求数列{c n}的前n项和．19、已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足：，．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{b n}是等差数列，且，求非零常数．20、等差数列{a n}中，，．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求的值．21、已知等差数列{a n}的前n项的和为S n，(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设(3)设，表示不超过的最大整数，求{c n}的前1000项的和22、S n为数列{a n}的前n项和.已知，.（1）求{a n}的通项公式；（2）设，求数列{b n}的前项和.23、已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=2S n+1，其中S n为{a n}的前n项和，n∈N*．（1）求a n；（2）若数列{b n}满足b n=，{b n}的前n项和为T n，且对任意的正整数n都有T n ＜m，求m的最小值．24、已知数列{a n}，a=1，=a-n²-n-（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明++…+＜（n∈N）.25、已知数列{a n}的首项a1=a（a>0），其前n项和为S n，设（）．（1）若a2=a+1，a3=2a2，且数列{b n}是公差为3的等差数列，求S2n；（2）设数列{b n}的前n项和为T n，满足T n=n2．①求数列{a n}的通项公式；②若对且n≥2，不等式恒成立，求a的取值范围．26、设数列{a n}的各项均为不等的正整数，其前n项和为S n，我们称满足条件“对任意的m,n∈N*. 均有”的数列{a n}为“好”数列．（1）试分别判断数列{a n}，{b n}是否为“好”数列，其中，，n∈N*，并给出证明；（2）已知数列{c n}为“好”数列．①若c2017=2018，求数列{c n}的通项公式；②若c1=p，且对任意给定正整数p,s（s>1），有c1,c2,c3成等比数列，求证：t≥s2．27、已知数列{a n}的各项均为正数，，前n项和为S n，且，为正常数．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记，（）．求证：①；②．28、已知数列{a n}满足…．（1）求，，的值；（2）猜想数列{a n}的通项公式，并证明．29、等差数列{a n}的公差为正数，，其前n项和为S n；数列{b n}为等比数列，，且．(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)设，求数列{c n}的前n项和．30、设数列{a n}的前n项和为S n，已知，（）．（1）求证：数列{a n}为等比数列；（2）若数列{b n}满足：，．①求数列{b n}的通项公式；②是否存在正整数n，使得成立？若存在，求出所有n的值；若不存在，请说明理由．31、已知数列{a n}的前n项和S n，且，数列是首项为1，公比为的等比数列. （1）若数列{a n+b n}是等差数列，求该等差数列的通项公式；（2）求数列{a n+n+b n}的前项和.32、已知等比数列{a n}中，.（1）求{a n}的通项公式；（2）设，求数列的前项和.33、已知数列{a n}为等差数列，S n为{a n}的前n项和，.数列为等比数列且.（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）记，其前n项和为，求证：.34、已知数列{a n}的前n项和为S n，满足（1）求证：数列{a n+2}为等比数列；（2）求数列{a n}的通项；（3）若数列{b n}满足为数列的前n项和，求.35、已知各项均为正数的数列{a n},满足且.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)设,若的前n项和为S n,求S n；(3)在（2）的条件下,求使成立的正整数n的最小值．36、设数列{a n}的前n项和，数列满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{a n}的前n项和．37、已知数列{a n}满足，且．（1）求证：数列是等差数列，并求出数列{a n}的通项公式；（2）令，求数列{b n}的前n项和S n38、已知{a n}是等比数列，满足，且成等差数列（1）求数列{a n}的通项公式（2）设，数列{b n}的前项和为，求正整数k的值，使得对任意n≥2均有g（k）≥g（n）39、已知二次函数f(x)=3x2－2x.，数列{a n}的前n项和为，点均在函数的图像上。

高三数列专题练习30道带答案复习课程

高三数列专题练习30道带答案高三数列专题训练二学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．在公差不为零的等差数列{}n a 中，已知23a =，且137a a a 、、成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，记292n nb S =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．2．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，公差,50,053=+≠S S d 且1341,,a a a 成等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a b 是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{}n b 的前n 项和n T .3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，218a =，且1116S +，2S ，3S 成等差数列，数列{}n b 满足2n b n =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =⋅，若对任意*n N ∈，不等式121212n n c c c S λ+++≥+-…恒成立，求λ的取值范围．4．已知等差数列{n a }的公差2d =，其前n 项和为n S ，且等比数列{n b }满足11b a =，24b a =，313b a =．（Ⅰ）求数列{n a }的通项公式和数列{n b }的前n 项和n B ；（Ⅱ）记数列{1nS }的前n 项和为n T ，求n T ． 5．设数列（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足11b =，且1n n n b b a +=+，求数列{}n b 的通项公式；（3）设()3n n c n b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 6．已知差数列等{}n a 的前n 项和n S ，且对于任意的正整数n满足1n a =+.（1）求数列{}n a的通项公式；（2）设11n n n b a a +=, 求数列{}n b 的前n 项和n B .7．对于数列}{n a 、}{n b ，n S 为数列}{n a 的前n 项和，且n a S n S n n n ++=+-+)1(1，111==b a ，231+=+n n b b ，*∈N n .（1）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式；（2）令)1()(2++=n n n b n n a c ，求数列}{n c 的前n 项和n T .8．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且1212112()a a a a +=+， 34534511164()a a a a a a ++=++．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设21()n n nb a a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 9．已知数列{}n a 的首项11a =，前n 项和为nS ，且1210n n S S n +---=（*n ∈N ）.（Ⅰ）求证：数列{1}n a +为等比数列；（Ⅱ）令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T .10．已知各项都为正数的等比数列{}n a 满足312a 是13a 与22a 的等差中项，且123a a a =．（Ⅱ）设3log n n b a =，且n S 为数列{}n b 的前n 项和，求数列12{}nnS S +的前n 项和n T ．11．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,2121,2n n n a S a a ==+．（1）求数列{}n a的通项公式；（2）若2n a n b =,求13521...n b b b b +++++．12．设公差不为0的等差数列{}n a 的首项为1，且2514,,a a a 构成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足*121211,2n n n b b b n N a a a +++=-∈，求{}n b 的前n 项和n T ．13．已知数列{}n a 是等比数列，满足143,24a a ==，数列{}n b 满足144,22b b ==，且{}n n b a -是等差数列.（I ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）求数列{}n b 的前n 项和。

(完整版)高中数学数列练习题及答案解析

高中数学数列练习题及答案解析第二章数列1 ．{an} 是首项a1＝1，公差为d＝3的等差数列，如果an＝005，则序号n 等于．A ．667B．668C．669D．6702 ．在各项都为正数的等比数列{an} 中，首项a1 ＝3，前三项和为21 ，则a3＋a4＋a5＝．A ．33B．7C．84D．1893 ．如果a1 ，a2，⋯，a8 为各项都大于零的等差数列，公差d≠ 0，则．A ．a1a8> a4a5B．a1a8< a4a5C．a1＋a8< a4＋a5D．a1a8＝a4a54 ．已知方程＝0 的四个根组成一个首项为｜m－n｜等于．A ．1B．313C．D．8421 的等差数列，则5 ．等比数列{an} 中，a2＝9，a5＝243，则{an} 的前4项和为.A ．81B ．120C ．1D．1926 ．若数列{an} 是等差数列，首项a1 > 0，a003＋a004> 0，a003· a004< 0，则使前n 项和Sn> 0 成立的最大自然数n 是．A ．005B．006C．007D．0087 ．已知等差数列{an} 的公差为2，若a1 ，a3，a4 成等比数列, 则a2＝．A ．－4B．－6C．－8D．－108 ．设Sn 是等差数列{an} 的前n 项和，若A ．1B．－1 C．2D．1a2?a1 的值是．b2a5S5 ＝，则9＝．a3S599 ．已知数列－ 1 ，a1 ，a2，－ 4 成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则A ．11111B．－C．－或D．2222210 ．在等差数列{an} 中，a n≠ 0，an－ 1 －an＋an＋1＝0，若S2n－1＝38，则n＝．第 1 页共页A ．38B．20 C．10D．9二、填空题11 ．设 f ＝ 12?x ，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得 f ＋ f ＋⋯＋ f ＋⋯＋f ＋ f 的值为12．已知等比数列{an} 中，若a3·a4·a5＝8，则a2·a3·a4·a5·a6＝．若a1 ＋a2＝324，a3＋a4＝36，则a5＋a6＝．若S4＝2，S8＝6，则a17＋a18＋a19＋a20＝.82713 ．在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为．314 ．在等差数列{an} 中，3＋2＝24，则此数列前13 项之和为.15 ．在等差数列{an} 中，a5＝3，a6＝－2，则a4＋a5＋⋯＋a10＝.16 ．设平面内有n 条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用 f 表示这n 条直线交点的个数，则f＝；当n> 4时，f ＝．三、解答题17 ．已知数列{an} 的前n 项和Sn＝3n2－2n，求证数列{an} 成等差数列.已知第页共页111b?cc?aa?b ，，成等差数列，求证，，也成等差数列. abcabc18 ．设{an} 是公比为q 的等比数列，且a1，a3，a2 成等差数列．求q 的值；设{bn} 是以 2 为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为Sn，当n≥2时，比较Sn 与bn 的大小，并说明理由．19 ．数列{an} 的前n 项和记为Sn，已知a1＝1，an＋1＝求证：数列{20 ．已知数列{an} 是首项为a且公比不等于 1 的等比数列，Sn 为其前n 项和，a1 ，2a7，3a4 成等差数列，求证：12S3，S6，S12－S6 成等比数列.第页共页n?2Sn ．nSn} 是等比数列．n第二章数列参考答案一、选择题1 ．C解析：由题设，代入通项公式an＝a1＋d，即005＝1＋3，∴n＝699．2 ．C解析：本题考查等比数列的相关概念，及其有关计算能力．设等比数列{an} 的公比为q，由题意得a1＋a2＋a3＝21，即a1 ＝21 ，又a1 ＝3，∴1＋q＋q2＝7．解得q＝ 2 或q＝－3，∴ a3＋a4＋a5＝a1q2＝3× 22× 7＝84．．B．解析：由a1 ＋a8＝a4＋a5，∴排除C．又a1· a8＝a1＝a12＋7a1d，a12＋7a1d ＋12d2> a1· a8．a4· a5＝＝3 ．C解析：解法 1 ：设a1＝中两根之和也为2，∴ a1＋a2＋a3＋a4＝1＋6d＝4，∴ d＝∴ 11735，a1＝，a4＝是一个方程的两个根，a1＝，a3＝是另一个方程的两个根．44441111 ，a2＝＋d，a3＝＋2d，a4＝＋3d，而方程x2－2x ＋m＝0 中两根之和为2，x2－2x＋n＝04444715，分别为m或n，1616第页共页∴｜m－n｜＝1 ，故选C．解法2：设方程的四个根为x1 ，x2，x3，x4，且x1 ＋x2＝x3＋x4＝2，x1·x2＝m，x3·x4＝n．由等差数列的性质：若?＋s＝p＋q，则a?＋as＝a p＋aq，若设x1 为第一项，x2 必为第四项，则x2＝差数列为1357，，，，444715 ，n＝，16161 ．7，于是可得等4∴ m＝∴｜m－n｜＝5 ．B解析：∵a2＝9，a5＝243，a5243＝q3＝＝27，a29∴ q＝3，a1q＝9，a1 ＝3，3 －35240∴ S4＝＝＝120． 1 －326 ．B解析：解法1：由a003＋a004> 0，a003· a004< 0，知a003和a004 两项中有一正数一负数，又a1 > 0，则公差为负数，否则各项总为正数，故a003> a004，即a003> 0，a004< 0.∴ S006＝∴ S007＝40062＝40062> 0，0074007·＝·2a004<0，2故006 为Sn> 0 的最大自然数. 选B．解法2：由a1> 0，a003＋a004> 0，a003·a004< 0，0 ，a004< 0，∴ S003 为Sn 中的最大值．∵ Sn 是关于n 的二次函数，如草图所示，∴ 003 到对称轴的距离比004 到对称轴的距离小，∴ 4007 在对称轴的右侧．同解法 1 的分析得a003>根据已知条件及图象的对称性可得006 在图象中右侧第页共页零点B的左侧，007，4第二章数列2 ．在各项都为正数的等比数列{an} 中，首项a1 ＝3，前三项和为21 ，则a3＋a4＋a5＝．A ．3B．7C．8D．1894 ．已知方程＝0 的四个根组成一个首项为｜m－n｜等于．A ． 1B ． 1 的等差数列，则4C．1D．5 ．等比数列{an} 中，a2＝9，a5＝243，则{an} 的前4项和为.A ．81B ．120C ．1D．1926 ．若数列{an} 是等差数列，首项a1 > 0，a003＋a004> 0，a003· a004< 0，则使前n 项和Sn> 0 成立的最大自然数n 是．A ．00B．00C．00D．0087 ．已知等差数列{an} 的公差为2，若a1 ，a3，a4 成等比数列, 则a2＝．A ．－B．－C．－D．－108 ．设S n 是等差数列{an} 的前n 项和，若A ． 1B ．－1a5S5＝，则9＝．a3S5C．D． 1a2?a1 的值是．b29 ．已知数列－1，a1 ，a2，－ 4 成等差数列，－1，b1，b2，b3，－ 4 成等比数列，则A ． 1B ．－ 1C ．－11 或D． 1二、填空题12 ．已知等比数列{an} 中，若a3·a4·a5＝8，则a2·a3·a4·a5·a6＝．若a1 ＋a2＝324，a3＋a4＝36，则a5＋a6＝．若S4＝2，S8＝6，则a17＋a18＋a19＋a20＝.13 ．在等差数列{an} 中，3＋2＝24，则此数列前13 项之和为.14 ．在等差数列{an} 中，a5＝3，a6＝－2，则a4＋a5＋⋯＋a10＝.三、解答题15 ．已知数列{an} 的前n 项和Sn＝3n2－2n，求证数列{an} 成等差数列.已知18 ．设{an} 是公比为q? 的等比数列，且a1 ，a3，a2成等差数列．求q 的值；设{bn} 是以 2 为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为Sn，当n≥2时，比较Sn 与bn 的大小，并说明理由．111b?cc?aa?b ，，成等差数列，求证，，也成等差数列.abcabc19 ．数列{an} 的前n 项和记为Sn，已知a1 ＝1，an＋1＝求证：数列{n?2Sn ．nSn} 是等比数列．n20 ．已知数列{an} 是首项为a 且公比不等于1的等比数列，Sn 为其前n 项和，a1 ，2a7，3a4 成等差数列，求证：12S3，S6，S12－S6 成等比数列.第二章数列参考答案一、选择题1 ．C解析：由题设，代入通项公式an＝a1＋d，即005＝1＋3，∴n＝699．2 ．C解析：本题考查等比数列的相关概念，及其有关计算能力．设等比数列{an} 的公比为q，由题意得a1＋a2＋a3＝21，即a1＝21，又a1 ＝3，∴1＋q＋q2＝7．解得q＝ 2 或q＝－3，∴ a3＋a4＋a5＝a1q2＝3× 22× 7＝84．3 ．B．解析：由a1 ＋a8＝a4＋a5，∴排除C．又a1 · a8＝a1 ＝a12＋7a1d，∴ a4· a5＝＝a12＋7a1d ＋12d2> a1· a8．4 ．C解析：解法 1 ：设a1＝两根之和也为2，∴a1＋a2＋a3＋a4＝1＋6d＝4，∴ d＝∴1111，a2＝＋d，a3＝＋2d，a4＝＋3d，而方程x2－2x＋m＝0 中两根之和为2，x2－2x＋n ＝0 中444411735，a1＝，a4＝是一个方程的两个根，a1 ＝，a3＝是另一个方程的两个根．4444715，分别为m或n，16161 ，故选C．∴｜m－n｜＝解法2：设方程的四个根为x1 ，x2，x3，x4，且x1 ＋x2＝x3＋x4＝2，x1·x2＝m，x3·x4＝n．由等差数列的性质：若?＋s＝p＋q，则a?＋as＝ap ＋aq，若设x1 为第一项，x2 必为第四项，则x2＝数列为7，于是可得等差41357，，，，444715 ，n＝，16161 ．∴m＝∴｜m－n｜＝5 ．B解析：∵a2＝9，a5＝243，a5243＝q3＝＝27，a29∴ q＝3，a1q＝9，a1 ＝3，3 －35240∴ S4＝＝＝120．1 －326 ．B解析：解法1：由a003＋a004> 0，a003· a004< 0，知a003和a004 两项中有一正数一负数，又a1 > 0，则公差为负数，否则各项总为正数，故a003> a004，即a003> 0，a004< 0.∴ S006＝∴ S007＝40062＝40062> 0，0074007·＝·2a004<0，2故006 为Sn> 0 的最大自然数. 选B．解法2：由a1> 0，a003＋a004> 0，a003· a004< 0，同a004 < 0，∴ S003 为Sn 中的最大值．∵ Sn 是关于n 的二次函数，如草图所示，∴ 003 到对称轴的距离比004 到对称轴的距离小，∴ 4007 在对称轴的右侧．解法 1 的分析得a003> 0，根据已知条件及图象的对称性可得006 在图象中右侧都在其右侧，Sn> 0 的最大自然数是006．7 ．B解析：∵{an} 是等差数列，∴a3＝a1＋4，a4＝a1＋6，又由a1 ，a3，a4 成等比数列，∴ 2＝a1 ，解得a1 ＝－8，∴ a2＝－8＋2＝－6．8 ． A 零点 B 的左侧，007，00899?a5S95 解析：∵9＝＝＝·＝ 1 ，∴选A．5?a3S55929 ．A解析：设d和q 分别为公差和公比，则－4＝－1＋3d且－4＝q4，∴ d＝－ 1 ，q2＝2，第二章数列1 ．{an} 是首项a1＝1，公差为d＝3的等差数列，如果an＝005，则序号n 等于．A ．66B．66C．66D．6702 ．在各项都为正数的等比数列{an} 中，首项a1 ＝3，前三项和为21 ，则a3＋a4＋a5＝．A ．3B．7C．8D．1893 ．如果a1 ，a2，⋯，a8 为各项都大于零的等差数列，公差d≠ 0，则．A ．a1a8> a4a B．a1a8< a4a C．a1＋a8< a4＋aD．a1a8＝a4a54 ．已知方程＝0 的四个根组成一个首项为｜m－n｜等于．A ． 1B ． 1 的等差数列，则4C．1D．5 ．等比数列{an} 中，a2＝9，a5＝243，则{an} 的前4项和为.A ．81B ．120C ．1D．1926 ．若数列{an} 是等差数列，首项a1 > 0，a003＋a004> 0，a003· a004< 0，则使前n项和Sn> 0 成立的最大自然数n 是．A ．00B．00C．00D．0087 ．已知等差数列{an} 的公差为2，若a1 ，a3，a4 成等比数列, 则a2＝．A ．－B．－C．－D．－108 ．设Sn 是等差数列{an} 的前n 项和，若A ． 1B ．－1a5S5＝，则9＝．a3S5C．D． 1a2?a1 的值是．b29 ．已知数列－1，a1 ，a2，－ 4 成等差数列，－1，b1，b2，b3，－ 4 成等比数列，则A ． 1B ．－ 1C ．－11 或D． 1210 ．在等差数列{an} 中，an≠ 0，an－ 1－an＋an＋1＝0，若S2n－1＝38，则n＝．A ．3B．20 C．10 D．9二、填空题第 1 页共页11 ．设 f ＝12x? ，利用课本中推导等差数列前n 项和公式的方法，可求得 f ＋ f ＋⋯＋ f ＋⋯＋f＋ f 的值为.12 ．已知等比数列{an} 中，若a3·a4·a5＝8，则a2·a3·a4·a5·a6＝．若a1 ＋a2＝324，a3＋a4＝36，则a5＋a6＝．若S4＝2，S8＝6，则a17＋a18＋a19＋a20＝.82713 ．在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为．314 ．在等差数列{an} 中，3＋2＝24，则此数列前13 项之和为.15 ．在等差数列{an} 中，a5＝3，a6＝－2，则a4＋a5＋⋯＋a10＝.16 ．设平面内有n 条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用 f 表示这n 条直线交点的个数，则f＝；当n> 4时，f＝．三、解答题17 ．已知数列{an} 的前n 项和S n＝3n2－2n，求证数列{an} 成等差数列.已知18 ．设{an} 是公比为q? 的等比数列，且a1 ，a3，a2成等差数列．求q 的值；设{bn} 是以 2 为首项，q 为公差的等差数列，其前n 项和为Sn，当n≥2 时，比较Sn 与bn 的大小，并说明理由．第页共页111b?cc?aa?b ，，成等差数列，求证，，也成等差数列. abcabc19 ．数列{an} 的前n 项和记为Sn，已知a1 ＝1，an＋1＝求证：数列{20 ．已知数列{an} 是首项为 a 且公比不等于1 的等比数列，Sn 为其前n 项和，a1 ，2a7，3a4 成等差数列，求证：12S3，S6，S12－S6 成等比数列.n?2Sn ．nSn} 是等比数列．n第二章数列第页共页参考答案一、选择题1 ．C解析：由题设，代入通项公式an＝a1＋d，即005＝1＋3，∴n＝699．2 ．C解析：本题考查等比数列的相关概念，及其有关计算能力．设等比数列{an} 的公比为q，由题意得a1＋a2＋a3＝21，即a1 ＝21 ，又a1 ＝3，∴1＋q＋q2＝7．解得q＝ 2 或q＝－3，∴ a3＋a4＋a5＝a1q2＝3× 22× 7＝84．3 ．B．解析：由a1 ＋a8＝a4＋a5，∴排除C．又a1· a8＝a1＝a12＋7a1d，∴ a4· a5＝＝a12＋7a1d ＋12d2> a1· a8．4 ．C解析：解法 1 ：设a1＝两根之和也为2，∴a1＋a2＋a3＋a4＝1＋6d＝4，∴ d＝∴1111，a2＝＋d，a3＝＋2d，a4＝＋3d，而方程x2－2x＋m＝0 中两根之和为2，x2－2x ＋n＝0中444411735，a1＝，a4＝是一个方程的两个根，a1 ＝，a3＝是另一个方程的两个根．4444715，分别为m或n，16161 ，故选C．∴｜m－n｜＝解法2：设方程的四个根为x1 ，x2，x3，x4，且x1 ＋x2＝x3＋x4＝2，x1· x2＝m，x3· x4＝n．由等差数列的性质：若?＋s＝p＋q，则a?＋as＝ap＋aq，若设x1 为第一项，x2 必为第四项，则x2＝数列为7，于是可得等差41357，，，，444715 ，n＝，1616第页共页∴ m＝∴｜m－n｜＝5 ． B 1．解析：∵a2＝9，a5＝243，a5243＝q3＝＝27，a29∴ q＝3，a1q＝9，a1 ＝3，3 －35240∴ S4＝＝＝120．1 －326 ．B解析：解法1：由a003＋a004> 0，a003· a004< 0，知a003和a004 两项中有一正数一负数，又a1 > 0，则公差为负数，否则各项总为正数，故a003> a004，即a003> 0，a004< 0.∴ S006＝∴ S007＝40062＝40062> 0，0074007·＝·2a004<0，2故006 为Sn> 0 的最大自然数. 选B．解法2：由a1> 0，a003＋a004> 0，a003· a004< 0，同a004 < 0，∴ S003 为Sn 中的最大值．∵ Sn 是关于n 的二次函数，如草图所示，∴ 003 到对称轴的距离比004 到对称轴的距离小，∴ 4007 在对称轴的右侧．解法 1 的分析得a003> 0，根据已知条件及图象的对称性可得006 在图象中右侧都在其右侧，Sn> 0 的最大自然数是006．7 ．B解析：∵{an} 是等差数列，∴a3＝a1＋4，a4＝a1＋6，又由a1 ，a3，a4 成等比数列，∴ 2＝a1 ，解得a1 ＝－8，∴ a2＝－8＋2＝－6．8 ．A第页共页零点B的左侧，007，008。

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浙江省高考数学数列解答题专项洲练【A 组】1、已知实数列｛a”｝是等比数列，其中a 7 = 1,且為，«5+1 ©成等差数列. (I) 求数列⑺”｝的通项公式；(II) 数列｛a”｝的前"项和记为 S”，证明：S” <128(n = 1,2,3,-). 解：(I )设等比数列｛a”｝的公比为q(qwR),由 =a x c[ = 1, 得 a 、= q ©, 从而 a 4 = a^3 = q 〔, a 5 = a x q A = q?, a 6 = a^q' = q '. 因为a* iz 5 +1 ©成等差数列，所以a 4+a 6= 2(a 5 +1),即 q-3+q-1 =2(q-2+l),+1) = 2((/"+1). 所以 q =㊁■故 a” = a&z = q~6 q n l= 642、记等差数列｛%｝的前n 项和为S”，已知fl 2 +a 4 =6,S 4 =10. (I )求数列MJ 的通项公式;(II)令b” = a n • 2H (n eN*),求数列他｝的前n 项和T n .解：(I )设等差数列｛a”｝的公差为d,由o 2 + o 4 = 6,S 4 = 10 ,可得彳 + 2d = 3 % — 1d =1 2% + 4d = 6a n = e + (" —l)d = 1 + (“一1)=",故所求等差数列｛a”｝的通项公式为a” =n (II)依题意,b n = a n -2n = n -2n,.••7；=勺+$+•••+ /?” -1X2+2X22+3X23 +••• + (n-l)-2,,_1 + n-2"27；, =1X22+2X23+3X24+ …-1) • 2" + “ • 2川，••.-7；=(2 + 22+23+--- + 2"'1+ 2")_”• 2"T = ； £ -«-2"+1 = (l-n)-2n+1 -2 7；=(”一l)・2"+i+2.3、数列｛a”｝的前"项和为=l,a”+i = 2S n(n e N*)(l)求数列｛a”｝的通项a”； (II)求数列｛na n｝的前"项和T”.解：(I)解法一：T a”+] = 2S”，.■.S n+l-S n=2S n,• S卄i _ 2 S”又T S] =67] =1.数列｛S”｝是首项为1,公式为3的等比数列,S” =3n+1(n e N*).当Q2 时,a” =2S…+1 =2-3"-2(n>2),1, n = 1a = < ,[2-3"-2,n>2解法二：a n+1 = 2S n①a” =2S”_](">2)②.•.当n>2时，①一②得a”+i - a” =2a”.•.啦=3a”又= 2S] = 2t?] = 2a n =2-3n_2(/7>2)1, n — \故 a” =< 2-3n ~-,n>2(2)町=% + 2色 + 3他 + …+ na*,当 “ =1时,7； =1；当/? >2时,7； =1 + 4-3°+6-3' +■•• + 2/7-3"-2, ................... ① 37；; =3 + 4-3'+6-32 +■•• + 2/?-3"_1 , ............. ②①一②得：—2T” =—2 + 4 + 2 3*(+32 +■•• + 3n_2)-2/7-3n_1—2"・3"T=—1 + (1 —2")・3门•■- T n = — + (n - —)3,,_l (n > 2).4、数列仏｝中，。

高考数学解答题专项训练—数列

高考数学解答题专项训练——数列学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1、已知数列{}n a 满足12a =，112n n n a a a ++=.(1)证明：11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭与为等差数列.(2)记数列{}ln n a 的前n 项和为n S ，证明：ln n S n >.2、已知递增等差数列{}n a ，且31a =，4a 是3a 和7a 的等比中项.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}2n n a +的前n 项和n S .3、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1646,2a a a +==.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最大值及相应的n 的值.4、已知数列{}n a 满足11a =，22a =，2122n n n a a a ++=-+.（1）设1n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等差数列；（2）求数列{}n a 的通项公式.5、记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,已知22S =,36S =-.(1)求{}n a 的通项公式;(2)求n S ,并判断1n S +,n S ,2n S +是否成等差数列.6、已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和,14,a =公差40,d a >是2a 与8a 的等比中项.(1)求数列{}n a 的通项公式;⑵求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .7、已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，12a =，32216a a =+.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和.8、数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知20,243n n n n a a a S >+=+．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和9、在等差数列{}n a 中,13a =,其前n 项和为n S ,等比数列{}n b 的各项均为正数,11b =,公比为q ,且2212b S +=,22S q b =.(1).求n a 与n b ;(2)证明：1211123n S S S +++<L .10、已知数列{}n a 和{}n b 满足11111,0,434,43 4.n n n n n n a b a a b b b a ++===---+=(1).证明：{}n n a b +是等比数列，{}–n n a b 是等差数列；(2).求{}n a 和{}n b 的通项公式.11、记n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知221n n S n a n+=+.（1）证明：{}n a 是等差数列；（2）若4a ，7a ，9a 成等比数列，求n S 的最小值.12、已知数列{}n a 的各项均为正数，记n S 为{}n a 的前n 项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列{}n a 是等差数列；②数列是等差数列；③213a a =.注：若选择不同的组合分別解答，则按第一个解答计分.13、记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n b 为数列{}n S 的前n 项积，已知212n nS b +=.（1）证明：数列{}n b 是等差数列.（2）求{}n a 的通项公式.14、设{}n a 是公比不为1的等比数列，1a 为2a ，3a 的等差中项．(1)求{}n a 的公比；(2)若11a =，求数列{}n na 的前n 项和.参考答案1、答案：(1)见解析(2)见解析解析：证明：(1)因为112n n n a a a ++=，所以112n n a a +=-，所以11111n n n n a a a a +--=-=，所以1111111111n n n n n n a a a a a a +-+===+----，所以111111n n a a +-=--.因为12a =，所以1111a =-，故数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是首项为1，公差为1的等差数列.(2)由(1)知11n n a =-，所以1n n a n +=.因为1ln lnln(1)ln n n a n n n +==+-，所以123ln ln ln ln n nS a a a a =++++ ln 2ln1ln 3ln 2ln 4ln 3ln(1)ln n n =-+-+-+++- ln(1)ln n n =+>.2、答案：（1）251n a n -==(2)21422n n n +-+-解析：（1）在递增等差数列{}n a 中，设公差0d >243731a a a a ⎧=⋅⎪∴⎨=⎪⎩21111(3)(2)(6)21a d a d a d a d ⎧+=++⎪∴⎨+=⎪⎩132a d =-⎧⎨=⎩251n a n ∴-==(2)()(3)(1)(25)248.2n n S n =-+-⋯⋯+-+++⋯+-325)2(12)212n n n +=--+-（21422n n n +=-+-3、答案：（1）1(1)102n a n d a n ==--+（2）20解析：（1）在等差数列{}n a 中，∵1646,2a a a +==,∴1125632a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得182a d =⎧⎨=-⎩，∴1(1)102n a n d a n ==--+；（2）∵18,2a d ==-，1(1)2n n n S na d -=+∴1(1)(1)8(2)22n n n n n S na d n --=+=+-29n n =-+，∴当4n =或5n =时，n S 有最大值是204、答案：（1）由2122n n n a a a ++=-+，得2112n n n n a a a a +++-=-+，即12n n b b +-=.又1211b a a =-=，故数列{}n b 是以1为首项，2为公差的等差数列.（2）由（1）知()12121n b n n =+-=-，即121n n a a n +-=-.于是当2n ≥时，()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-++-+ ()()()2112212111n n =--+--++⨯-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ ()()2123111n n =++++---+⎡⎤⎣⎦ ()()111222n n n +-⨯-⎡⎤⎣⎦=⨯-+222n n =-+，当1n =时，显然11a =也适合上式.综上，数列{}n a 的通项公式为222n a n n =-+.解析：5、答案：(1)设{}n a 的公比为q .由题设可得()()12112 16a q a q q ⎧+=⎪⎨++=-⎪⎩，解得2q =-，12a =-.故{}n a 的通项公式为()2n n a =-.(2)由(1)可得()()111221133nn n n a q S q +-==-+--.由于()()321214222212123333n n n n n n n n S S S +++++⎡⎤-+=-+-=-+-=⎢⎥⎣⎦，故1n S +，n S ，2n S +成等差数列.解析：6、答案：解：（1）4a 是2a 与8a 的等比中项，2428,a a a ∴=即2111(3)()(7).a d a d a d +=++又14,a =2(43)(4)(47),d d d ∴+=++解得4d =或0.d =0,d > 4.d ∴=∴数列{}n a 的通项公式1(1)4()n a a n d n n *=+-=∈N .（2）21()22,2n n n a a S n n +==+ 211111(),2221n S n n n n ∴==+++121111111(12223n n T S S S ∴=++⋅⋅⋅+=⨯-+-11)().122n n n n n *+⋅⋅⋅+-=∈++N 解析：7、答案：(1)121242n n n a --=⨯=(2)2n 解析：(1)设{}n a 的公比为q ，由题设得22416q q =+，即2280q q --=.解得2q =-（舍去）或4q =.因此{}n a 的通项公式为121242n n n a --=⨯=.(2)由(1)得2(21)log 221n b n n =-=-，因此数列{}n b 的前n 项和为21321n n +++-= .8、答案：（1）由2243n n n a a S +=+，知2111243n n n a a S ++++=+，得()2211124n n n n n a a a a a +++-+-=，即()()()2211112n n n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=-+，由于0n a >，可得12n n a a +-=，又2111243a a a +=+，解得11a =-（舍去），13a =，所以{}n a 是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为21n a n =+．（2）由21n a n =+，知()()111111212322123n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪++++⎝⎭．设数列{}n b 的前n 项和为n T ，则()121111111235572123323n n n T b b b n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++= ⎪ ⎪ ⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L L ．解析：9、答案：(1).设等差数列{}n a 的公差为d .∵222212b S S q b +==⎧⎪⎨⎪⎩,∴6126q d d q q ++=+=⎧⎪⎨⎪⎩,解得3q =或4q =-(舍),∴3d =.故33(1)3n a n n =+-=,(1)3n n b -=(2).证明：∵(33)3(1)22n n n n n S ++==，∴122113(1)31n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，∴121112121121113232331n S S S n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，211111132231n n ⎛⎫=-+-++- ⎪+⎝⎭ 21131n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭，∵1n ≥，∴101n >+，从而1111n -<+，∴2121313n ⎛⎫-< ⎪+⎝⎭，即1211123n S S S +++< 解析：10、答案：(1).由题设得114()2()n n n n a b a b +++=+，即111()2n n n n a b a b +++=+．又因为11a b l +=，所以{}n n a b +是首项为1，公比为12的等比数列．由题设得114()4()8n n n n a b a b ++-=-+，即112n n n n a b a b ++-=-+．又因为11–a b l =，所以{}n n a b -是首项为1，公差为2的等差数列．(2).由(1)知，112n n n a b -+=，21n n a b n -=-．所以111[()()]222n n n n n n a a b a b n =++-=+-，111[()()]222n n n n n n b a b a b n =+--=-+．解析：11、答案：（1）证明见解析（2）-78解析：（1）由221n n S n a n+=+，得222n n S n a n n +=+①，所以2112(1)2(1)(1)n n S n a n n ++++=+++②，②-①，得112212(1)21n n n a n a n a n ++++=+-+，化简得11n n a a +-=，所以数列{}n a 是公差为1的等差数列.（2）由（1）知数列{}n a 的公差为1.由2749a a a =，得()()()2111638a a a +=++，解得112a =-.所以22(1)251256251222228n n n n n S n n --⎛⎫=-+==-- ⎪⎝⎭，所以当12n =或13时，n S 取得最小值，最小值为-78.12、答案：选择①③作为条件：已知{}n a 是等差数列，213a a =.设数列{}n a 的公差为d ，则2113a a a d ==+，得12d a =，所以211(1)2n n n S na d n a -=+=.因为数列{}n a 的各项均为正数，所以=，(n =+=是等差数列.选择①②作为条件：已知{}n a 是等差数列，是等差数列.设数列{}n a 的公差为d ，则211(1)1222n n n d S na d n d a n -⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭.因为数列是等差数列，所以数列的通项公式是关于n 的一次函数，则102d a -=，即12d a =，所以2113a a d a =+=.选择②③作为条件：已知数列是等差数列，213a a =，所以11S a =，21214S a a a =+=.设数列的公差为d ，0d >d -=-=，得21a d =(1)n d nd =+-=，所以22n S n d =，所以2222221(1)2(2)n n n a S S n d n d d n d n -=-=--=-≥，是关于n 的一次函数，所以数列{}n a 是等差数列.解析：13、答案：（1）当1n =时，11b S =，由11212b b +=，解得132b =.当2n ≥时，由题知1n n n b S b -=，代入212n n S b +=，可得1212n n nb b b -+=，所以112n n b b --=，所以{}n b 是以32为首项，12为公差的等差数列.（2）由题意，得11132a S b ===.由（1）可得312(1)222n n b n +=+-⨯=.由212n nS b +=，可得21n n S n +=+.当2n ≥时，12111(1)n n n n n a S S n n n n -++=-=-=-++，显然1a 不满足该式，所以3(1),21(2).(1)n n a n n n ⎧=⎪⎪=⎨⎪-≥⎪+⎩解析：14、答案：(1)2q =-；(2)1(31)(2)99n n n S +-=-.解析：(1)设{}n a 的公比为q ，由题设得1232a a a =+，即21112a a q a q =+.所以220q q +-=，解得1q =(舍去)，2q =-.故{}n a 的公比为2-.(2)记n S 为{}n na 的前n 项和.由(1)及题设可得，1(2)n n a -=-.所以112(2)(2)n n S n -=+⨯-++⨯-L ，21222(2)(1)(2)(2)n n n S n n --=-+⨯-++-⨯-+⨯-L .可得2131(2)(2)(2)(2)n n n S n -=+-+-++--⨯-L 1(2)(2)3nn n --=-⨯-.所以1(31)(2)99n n n S +-=-.。

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高考数学数列解答题训练1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且1,641≠=q a 公比（Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设n n a b 2log =，求数列.|}{|n n T n b 项和的前2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中.154=a（Ⅰ）求321,,a a a ；（Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且有12a =，11353n n n n S a a S --=-+(2)n ≥ （1）求数列n a 的通项公式；（2）若(21)n n b n a =-，求数列n a 的前n 项的和n T 。

4.已知数列{n a }满足11=a ，且),2(22*1N n n a a n n n ∈≥+=-且．（Ⅰ）求2a ，3a ；（Ⅱ）证明数列{nna 2}是等差数列；（Ⅲ）求数列{n a }的前n 项之和n S5.已知数列{}n a 满足31=a ，1211-=--n n n a a a . （1）求2a ，3a ，4a ；（2）求证：数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并写出{}n a 的一个通项。

6.数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，*12()n n a S n +=∈N（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ；（Ⅱ）求数列{}n na 的前n 项和n T7.22,,4,21121+=-===++n n n n n b b a a b a a . 求证： ⑴数列{b n +2}是公比为2的等比数列；⑵n a n n 221-=+；⑶4)1(2221-+-=++++n n a a a n n .8.已知各项都不相等的等差数列}{n a 的前六项和为60，且2116a a a 和为的等比中项. （1）求数列}{n a 的通项公式n n S n a 项和及前；（2）若数列}1{,3),(}{11nn n n n b b N n a b b b 求数列且满足=∈=-*+的前n 项和T n .9.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，123,22a a ==，且113210n n n S S S +--++=，其中*2,n n N ≥∈. ①求证数列{}1n a -是等比数列；②求数列{}n a 的前n 项和n S .10.已知n S 是数列{n a }的前n 项和，并且1a =1，对任意正整数n ，241+=+n n a S ；设,3,2,1(21=-=+n a a b n n n ）.（I ）证明数列}{n b 是等比数列，并求}{n b 的通项公式；（II ）设}log log 1{,32212++⋅=n n n n n C C T b C 为数列的前n 项和，求n T .高考数列解答题参考答案1.解析：(1)设该等差数列为{}n c ，则25a c =，33a c =，42a c=533222()c c d c c -==-∴2334()2()a a a a -=-即：223111122a q a q a q a q -=- ∴12(1)q q q -=-，1q ≠， ∴121,2q q ==，∴1164()2n a -= (2)121log [64()]6(1)72n n b n n -==--=-，{}n b 的前n 项和(13)2n n n S -=∴当17n ≤≤时，0n b ≥，∴(13)2n n n n T S -==（8分）当8n ≥时，0n b <，12789n n T b b b b b b =+++----789777()()2n n n S b b b S S S S S =-+++=--=-(13)422n n -=-∴(13)(17,)2(13)42(8,)2n n n n n T n n n n -⎧≤≤∈⎪⎪=⎨-⎪-≥∈⎪⎩**N N2.解：（1）由151241=+=-a a a n n 及知,1234+=a a 解得：,73=a 同理得.1,312==a a（2）由121+=-n n a a 知2211+=+-n n a a)1(211+=+-n n a a {}1+∴n a 构成以211=+a 为首项以2为公比的等比数列； 112)1(1-⋅++∴n n a a ；,21n n a =+∴ .12-=∴n n a 为所求通项公式（3）12-=nn a123......n n S a a a a ∴=++++123(21)(21)(21)......(21)n =-+-+-++-123(222......2)nn =++++-n n ---=21)21(2.221n n --=+3.解：由11335(2)n n n n S S a a n ---=-≥，12n n a a -∴=，又12a =，112n n a a -=， {}n a ∴是以2为首项，12为公比的等比数列，122112()()222n n n n a ---∴=⨯== 2(21)2n n b n -=-，1012123252(21)2n n T n --∴=⨯+⨯+⨯++-⋅ （1）012111232(23)2(21)22n n n T n n ---=⨯+⨯++-⋅+-⋅ （2）（1）—（2）得0121122(222)(21)22n n n T n ---=++++--⋅即：1111112[1(2)]2(21)26(23)2212n n n n T n n ------=+--⋅=-+⋅- ，212(23)2n n T n -∴=-+⋅4．解：（Ⅰ）622212=+=a a ，2022323=+=a a ．（Ⅱ）),2(22*1N n n a a n n n ∈≥+=-且， ∴),2(122*11N n n a a n n n n ∈≥+=--且，即),2(122*11N n n a a n n n n ∈≥=---且． ∴数列}2{nn a 是首项为21211=a ，公差为1=d 的等差数列．（Ⅲ）由（Ⅱ）得,211)1(21)1(212-=⋅-+=-+=n n d n a nn ∴n n n a 2)21(⋅-=． )2(2)21(2)211(2252232212)1(2)21(2252232211432321+⋅-+⋅--++⋅+⋅+⋅=⋅-++⋅+⋅+⋅=n n n n n n n S n S 1322)21(2221)2()1(+⋅--++++=--n n n n S 得12)21(2222132-⋅--++++=+n nn12)21(21)21(21-⋅----=+n n n 32)23(-⋅-=n n ． ∴32)32(+⋅-=n n n S ．5.解：（1）79,57,35432===a a a （2）证明：由题设可知N n a a n n ∈≠≠,10且1211-=--n n n a a a()()()()111111--=---⇒--n n n n a a a a 111111=---⇒-n n a a ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∴11n a 是以21为首项，1为公差的等差数列故2112111-=-+=-n n a n 12121122-+=+-=∴n n n a n6.解：（Ⅰ）12n n a S +=，12n n n S S S +∴-=，1n nS S +∴= 又111S a ==，∴数列{}n S 是首项为1，公比为3的等比数列，1*3()n n S n -=∈N当2n ≥时，21223(2)n n n a S n --==≥，21132n n n a n -=⎧∴=⎨2⎩，，，≥．（Ⅱ）12323n n T a a a na =++++，当1n =时，11T =；当2n ≥时，0121436323n n T n -=++++，…………①12133436323n n T n -=++++，………………………②-①②得：12212242(333)23n n n T n ---=-+++++-213(13)222313n n n ---=+--11(12)3n n -=-+-1113(2)22n n T n n -⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭≥ 又111T a ==也满足上式， 1113(2)22n n T n n -⎛⎫∴=+- ⎪⎝⎭≥7.解： ⑴ )2(221+=++n n b b 2221=++∴+n n b b2121=-=a a b 62222=+=b b数列{b n +2}是首项为4公比为2的等比数列；⑵由⑴知 112242+-=⨯=+n n n b 221-=∴+n n b 2211-=-++n n n a a22212-=-∴a a 22323-=-a a……221-=--n n n a a上列（n-1）式子累加：n a nn 2)222(232-+++=-n a n n 221-=∴+⑶2)1(2)222(13221+-+++=++++n n a a a n n . 4)1(2221-+-=+++∴+n n a a a n n8.解：（1）设等差数列}{n a 的公差为d ，则⎩⎨⎧+=+=+21111)5()20(,60156d a d a a d a 解得⎩⎨⎧==.5,21a d32+=∴n a n .)4(2)325(+=++=n n n n S n（2）由).,2(,111*--+∈≥=-∴=-N n n a b b a b b n n n n n n112211121112,()()()(1)(14)3(2).3,n n n n n n n n b b b b b b b b a a a b n n n n b -----≥=-+-++-+=++++=--++=+=当时对也适合))(2(*∈+=∴N n n n b n ).211(21)2(11+-=+=∴n n n n b n)211123(21)2114121311(21+-+-=+-++-+-=n n n n T n )2)(1(4532+++=n n nn9.解：①113210n n n S S S +--++=⇒112()1n n n n S S S S +--=--⇒121(2)n n a a n +=-≥又123,22a a ==也满足上式，∴*121()n n a a n N +=-∈⇒112(1)n n a a +-=-（*n N ∈）∴数列{}1n a -是公比为2，首项为1112a -=的等比数列（2）由①，1211222n n n a ---=⨯=221n n a -⇒=+ 于是12...n n S a a a =+++()()()()1012212121...21n --=++++++++()112222 (2)n n --=++++212n n -=+10.解析：（I ）),2(24,2411≥+=∴+=-+n a S a S n n n n 两式相减：),2(4411≥-=-+n a a a n n n*),(2)2(2,2)(42,2),2)((41111121111N n b a a b a a a a a b a a b n a a a n n n n n n n n n n n n n n n n ∈=-=--=-=∴-=∴≥-=∴++++++++-+,21=∴+nn b b }{n b ∴是以2为公比的等比数列， ,325,523,24,2112121121=-==+=∴+=+-=b a a a a a a a b 而 *)(231N n b n n ∈⋅=∴-（II ）,231-==n n n b C ,)1(12log 2log 1log log 11222212+=⋅=⋅∴+++n n C C n n n n 而,111)1(1+-=+n n n n .111)111()4131()3121()211(+-=+-++-+-+-=∴n n n T n。