三角形中位线定理和证明方法
三角形中位线定理的证明
备课偶得——三角形中位线定理的再证明王贵林 皖南陵县烟墩镇烟墩中心初级中学 241313 三角形中位线定理：三角形的中位线平行第三边且等于第三边长的半。
关于它的证明方法，课本上给出了一种证法。
笔者在备课中发现它的证法有8种之多，而且非常有趣，这里写出来与同仁共享，企斧正。
已知：如图1，△ABC 中，D 、E 分别为AB 、AC 的中点，求证：D E ∥BC且证法一、（构造法）如图2，延长DE 到F ，使EF=DE ，连结AF 、CF 、 DC∵E 为AC 中点 ∴AE=CE ∵EF=DE ∴四边形ADCF为平行四边形 ∴CF AD ∵D 为AB 中点 ∴AD=BD∴BD CF ∴四边形DBCF 为平行四边形∴DF BC ∴DE=EF ∴DE ∥BC 且证法二、（构造法）如图3，过CF 作CF ∥AB 交DE 的延长线于F ，则 ∠A=∠ACF ∵E 为AC 中点 ∴AE=CF∴△AD E ≌△CFE （ASA ） ∴CF=AD ∵D 为AB 中点 ∴AD=BD ∴CF=BD ∵CF ∥BD ∴CF BD∴四边形DBCF 为平行四边形 ∴DF BC ∴△ADE ≌△CFE∴DE=EF ∴D E ∥BC 且证法三、（同一法）如图4，过D 作D E ′∥BC ，交AC 于E ′，过E ′作E ′F ∥AB ，交BC 于F ，则∠B=∠ADE ′=∠E ′FC ，∠AE ′D=∠C 四边形DBFE ′是平行四边形 ∴E ′F=BD ∵D 为AB 中点 ∴AD=BD ∴E ′F=AD ∴△ADE ′≌△E ′FC （AAS ） ∴AE ′=CE ′即E ′为AC 中点 ∵E 为AC 中点∴E 与E ′重合即DE ∥BC ，△ADE ≌△EFC ，四边形DBFE 为平行四边形 ∴DE=CF DE=BF即 ∴DE ∥BC 且图1 BCADE图2BCADEF图3BCAD EFC图4BADEF E ′ 图5BCADE12DE BC =12DE BC =12DE BC =12DE BC =12DE BC =证法四、（相似法）如图5，∵D 、E 分别为AB 、AC 中点 ∴ ∵∠A=∠A∴△AD E ∽△ABC ∴ ∠ADE=∠B ∴DE ∥BC 且证法五、（旋转拼图法）如图6，以AC 的中点E 为中心，将△ABC 绕点E 旋转180°得△ACF ，取CF 中点G ，连结EG 、DG ，则四边形ABCF 为平行四边形∴AF BC ∵D 、G 分别为AB 、CF 的中点 ∴AD FG ∴四边形ADGF 为平行四边形∴DG AF BC ∵CF ∥AB ∴∠DAE=∠GCE ∴△ADE ≌△CGE （SAS ）∴∠AED=∠CEG ∴D 、E 、G 在一条直线上 ∴DE ∥BC ∵△ADE ≌△CGE∴DE=EG ∴ ∴DE ∥BC 且证法六、（面积法）如图7，取BC 中点F ，连结AF 、EF ，分别过A 、E 作A H ⊥BC ，EG ⊥BC ，垂足分别为H 、G ，过D 作DM ⊥BC 于M ，则∴ ∵F 为BC 中点 ∴ 同理 ∴DM EG ∴四边形DMGE 为矩形∴DE ∥BC 同理 EF ∥AB ∴四边形DBFE 为平行四边形∴DE=BF ∵ ∴DE ∥BC 且 证法七、（解析法）如图8，以点B 为坐标原点，建立如图所示平面直角坐标系，不妨设A （a ，b ）C （c ，0）（c ＞0）则，D （ ），E （ ）则DE ∥x 轴，DE= ∵BC=c ∴DE ∥BC 且证法八、（三角法）如图9，取BC 中点F ，连结EF ，设AB=2c ，AC=2b BC=2a ，∠A=α则AD=c ，AE=b ，在△ADE 中，在△ABC 中，图6B CADEFG 图7BCM ADE12AD AE AB AC ==12DEADBC AB ==12DE BC =12DE BC =12DE BC =,ABF ACF AEF CEF S S S S ==14CEF ABCS S =12CF BC =111242CF EG BC AH =⨯12DM AH =12BF CF BC==12DE BC =12EG AH =,22a b,22a cb +222a ca c +-=12DE BC =222222cos 2cos AD AE A bc c b DE AD AE α=+-=+-222222cos 2(2)(2)cos (2)(2)AB AC A c b c b BC ACAB α=+-=+-⨯⨯∴ ∴BC=2DE ∵F 为BC 的中点 ∴DE=BF 同理 EF=BD ∴四边形DBFE 为平行四边形∴DE ∥BF 即DE ∥BC 且图9BCAD EF 224(2cos )bc c b α=+-224BC DE =12DE BC =。
三角形中位线定理的几种证明方法及教学中需要说明的地方
三角形中位线定理的证明及其教学说明一、三角形中位线定理的几种证明方法，则，，使，连结CF法1：如图所示，延长中位线DE至F DFFCBCFD 是平行四边形，BD，则四边形BC有ADFC，所以。
因为1DE，所以．BC 2，有F，则作FC交DE的延长线于法2C因为，DFBC。
为平行四边形，AD，那么BDFC ，则四边形BCFD1．所以DEBC 2，连接CF、DC、AF，则四边形ADCF至法3：如图所示，延长DEF，使BD，那么四边形BCFDCFAD，所以FC为平行四边形，为平行四边形，有1BC．DE，所以BCDF 。
因为2法4：如图所示，过点E作MN∥AB，过点A作AM∥BC，则四边形ABNM为平行四边形，易证，从而点E是MN的中点，易证四边形ADEM和BDEN都CENAEM 1。
DEDE∥BC，即DE=AM=NC=BN为平行四边形，所以，BC2法5：如图所示，过三个顶点分别向中位线作垂线．二、教学说明1、三角形中位线定理的另外一种猜想过程：“二维”转化为“一维”在引导学生探索三角形中位线定理时，由于学生画出中位线后，就不难直观地发现平行关系，难的是发现数量关系，我联想到在此之前认识线段中点时的一道典型例题，挖掘它与原有知识的内在联系，从而作如下探索引导。
⑴如图，A为线段BC(或线段BC的延长线)上的任意一点，D、E分别是AB、AC 的中点，线段DE与BC有什么关系？A BEDC图⑴：⑵如果点A不在直线BC上，图形如何变化？上述结论仍然成立吗?AEDBC图⑵：,上时A的顶点运动到直线BC说明：学生观察（几何画板制作的）课件演示：当△ABC上，这样由“二维”转化为“一维”，学生就不难猜想性质的BC 中位线DE也运动到如果教师直接叫学.两方面，特别是数量关系，而想到去度量、验证和猜想，水到渠成.生去度量角度和长度，是强扭的瓜不甜、教学重点：本课重点是掌握和运用三角形中位线定理。
2第一，要知道中位线定理的作用：可以证明两条直线平行及线段的倍分关系，计算边长或中位线的长。
三角形中位线定理及推论
三角形中位线定理及推论一、三角形中位线定理三角形中位线定理是指在任意三角形中，连接一个顶点与对边中点的线段称为中位线，三条中位线交于一点，且该点与三个顶点的距离相等。
具体表述为：三角形三条中位线的交点与三个顶点的距离相等。
以三角形ABC为例，连接顶点A与边BC的中点D，顶点B与边AC 的中点E，顶点C与边AB的中点F，根据中位线定理可知，中位线AD、BE和CF三条线段交于一点G，并且AG=BG=CG。
中位线定理的证明可以通过向量法或平面几何法进行，这里我们选择平面几何法证明。
证明思路如下：1. 连接顶点A与边BC的中点D，假设点G是中位线AD与中位线BE 的交点；2. 连接顶点B与边AC的中点E；3. 通过顶点C以平行于边AB的直线与中位线AD交于点H；4. 由平行线的性质可知，AH=CH；5. 进一步，由三角形的对应边成比例可得：AH/AD=CH/CF；6. 由于AH=CH，所以AD=CF；7. 同样地，由中位线定理可得：BE=CF；8. 综上所述，AD=BE=CF，即证明了中位线定理。
二、三角形中位线推论基于中位线定理，我们可以得出一些有关三角形的推论。
1. 三角形中位线长度关系推论根据中位线定理，三角形三条中位线的交点与三个顶点的距离相等，即AG=BG=CG。
由此可得，中位线上的点距离顶点的距离是相等的。
进一步推论，三角形中位线的长度满足以下关系：AG=2GD，BG=2GE，CG=2GF。
2. 三角形中位线与三角形面积推论由三角形中位线定理可知，三条中位线交于一点G。
以G为顶点，三边中点分别为D、E、F，连接DG、EG和FG。
我们可以发现，连接G与三角形顶点的线段将三角形分成了六个小三角形，而这些小三角形的面积相等。
因此，我们可以推论得到：三角形中位线所分割的三个小三角形的面积相等。
3. 三角形中位线与三角形高度推论在三角形中，如果我们将中位线作为底边，那么与之对应的高度就是顶点到底边中点的距离。
如何证明三角形中位线定理
如何证明三角形中位线定理
三角形中位线定理是指一个三角形中，连接三角形的三个顶点和中点所形成的三角形，它们的面积之比为4:1。
这个定理可以通过多种方法来证明，下面我将从几何和代数两个角度来进行证明。
首先，我们从几何角度来证明。
我们可以利用平行四边形面积定理来证明三角形中位线定理。
首先，连接三角形的一个顶点和对边的中点，得到一个平行四边形。
根据平行四边形面积定理，平行四边形的面积等于对角线的一半乘以高。
然后，我们可以利用平行四边形的性质和三角形的性质进行推导，最终可以得出三角形中位线定理成立。
其次，我们从代数角度来证明。
我们可以利用向量的方法来证明三角形中位线定理。
首先，我们可以假设三角形的顶点坐标分别为A(x1, y1)，B(x2, y2)，C(x3, y3)。
然后，利用向量的加法和数量积的性质，我们可以求出三角形的中位线向量。
接着，通过向量的运算，我们可以得出中位线所形成的三角形的面积。
最终，我们可以证明三角形中位线定理成立。
综上所述，通过几何和代数两个角度的证明，我们可以证明三
角形中位线定理成立。
这样的全面证明可以更加深入地理解和掌握这一定理。
三角形的中位线知识、方法总结
三角形的中位线知识、方法总结
三角形中位线是连接三角形两边中点的线段。
一个三角形有三条中位线，这个定义有双重性，既是性质，也是判定。
需要注意的是，三角形中位线与中线是不同的，中线是连接一个顶点和它对边中点的线段，而中位线是连接三角形两边中点的并且与底边平行且等于底边一半的线段。
三角形中位线定理表明，三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
这个定理可以用来证明平行关系、倍分关系，以及转移线段和转移角。
常用的辅助线是连接中点和构造中位线，可以分离基本图形，如全等和平行四边形。
可以用两种证明方法证明三角形中位线定理。
第一种方法是延长中位线，构造一个全等三角形，证明出两边平行，从而得出结论。
第二种方法是连接四边形的对角线，证明出中点四边形是平行四边形，从而得出结论。
中点三角形是由原三角形的三边中点顺次连接而成的新三角形。
中点三角形的各个边长分别是原三角形三边长的一半，
且分别平行，角的度数与原三角形分别相等。
四个三角形都全等，中点三角形周长是原三角形的周长的一半，面积是原三角形面积的四分之一。
中点三角形与原三角形不仅相似，而且位似。
中点四边形是由任意四边形各边中点顺次连接而成的四边形。
不管原四边形的形状如何改变，中点四边形的形状始终是平行四边形。
可以连接对角线，构造中位线，证明出中点四边形是平行四边形。
证明三角形中位线判定定理
证明三角形中位线判定定理证明三角形中位线判定定理证明：已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。
求证DE平行于BC且等于BC/2过C作AB的平行线交DE的延长线于G点。
∵CG∥AD∴∠A=∠ACG∵∠AED=∠CEG、AE=CE、∠A=∠ACG(用大括号) ∴△ADE≌△CGE (A.S.A)∴AD=CG(全等三角形对应边相等)∵D为AB中点∴AD=BD∴BD=CG又∵BD∥CG∴BCGD是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)∴DG∥BC且DG=BC∴DE=DG/2=BC/2∴三角形的中位线定理成立在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。
证明三角形中位线判定定义在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
2DE//BC，DE=BC/2，则D是AB的中点，E是AC的中点。
证明：∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC∴AD:AB=AE:AC=DE:BC=1:2∴AD=AB/2，AE=AC/2，即D是AB中点，E是AC中点。
在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。
2D是AB的中点，DE//BC，则E是AC的中点，DE=BC/2证明：取AC中点E，连接DE，则有AD=BD，AE=CE∴DE是三角形ABC的中位线∴DE∥BC又∵DE∥BC∴DE和DE重合(过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行)∴E是中点，DE=BC/2注意：在三角形内部，经过一边中点，且等于第三边一半的线段不一定是三角形的中位线!证明三角形中位线判定性质延长DE到点G，使EG=DE，连接CG∵点E是AC中点∴AE=CE∵AE=CE、∠AED=∠CEG、DE=GE∴△ADE≌△CGE (S.A.S)∴AD=CG、∠G=∠ADE∵D为AB中点∴AD=BD∴BD=CG∵点D在边AB上∴DB∥CG∴BCGD是平行四边形∴DE=DG/2=BC/2∴三角形的中位线定理成立：向量DE=DA+AE=(BA+AC)/2=BC/2∴DE//BC且DE=BC/2三角形的中位线平行于第三边(不与中位线接触)，并且等于第三边的一半。
三角形中位线定理的几种证明方法及教学中需要说明的地方
三角形中位线定理的证明及其教学说明以下内容作者为：青岛第四中学杨瀚书老师一、 三角形中位线定理的几种证明方法法1： 如图所示，延长中位线DE 至F ，使，连结CF ，则，有ADFC ，所以FCBD ，则四边形BCFD 是平行四边形，DF BC 。
因为 ，所以DEBC 21．法2C 作交DE 的延长线于F ，则，有FCAD ，那么FCBD ，则四边形BCFD 为平行四边形，DFBC 。
因为 ，所以DEBC 21．法3：如图所示，延长DE 至F ，使 ，连接CF 、DC 、AF ，则四边形ADCF 为平行四边形，有ADCF ，所以FCBD ，那么四边形BCFD 为平行四边形，DF BC 。
因为 ，所以DEBC 21．法4：如图所示，过点E 作MN ∥AB ，过点A 作AM ∥BC ，则四边形ABNM 为平行四边形，易证CEN AEM ∆≅∆，从而点E 是MN 的中点，易证四边形ADEM 和BDEN 都为平行四边形，所以DE=AM=NC=BN ，DE ∥BC ，即DEBC 21。
法5：如图所示，过三个顶点分别向中位线作垂线．二、教学说明1、三角形中位线定理的另外一种猜想过程：“二维”转化为“一维”在引导学生探索三角形中位线定理时，由于学生画出中位线后，就不难直观地发现平行关系，难的是发现数量关系，我联想到在此之前认识线段中点时的一道典型例题，挖掘它与原有知识的内在联系，从而作如下探索引导。
⑴如图，A为线段BC(或线段BC的延长线)上的任意一点，D、E分别是AB、AC 的中点，线段DE与BC有什么关系？AB C图⑴：⑵如果点A不在直线BC上，图形如何变化？上述结论仍然成立吗?C图⑵：说明：学生观察（几何画板制作的）课件演示：当△ABC的顶点A运动到直线B C上时,中位线DE也运动到BC上，这样由“二维”转化为“一维”，学生就不难猜想性质的两方面，特别是数量关系，而想到去度量、验证和猜想，水到渠成.如果教师直接叫学生去度量角度和长度，是强扭的瓜不甜.2、教学重点：本课重点是掌握和运用三角形中位线定理。
三角形中位线定理的几种证明方法及教学中需要说明的地方
三角形中位线定理的证明及其教学说明以下内容作者为:青岛第四中学杨瀚书老师一、 三角形中位线定理的几种证明方法法1： 如图所示,延长中位线DE 至F ，使 ，连结CF ，则,有ADFC,所以FC BD ，则四边形BCFD 是平行四边形，DFBC 。
因为，所以DEBC 21．法2:如图所示,过C 作交DE 的延长线于F ，则,有FCAD ，那么FC BD ，则四边形BCFD 为平行四边形，DF BC 。
因为 ，所以DEBC 21．法3：如图所示,延长DE 至F ，使 ,连接CF 、DC 、AF,则四边形ADCF 为平行四边形，有AD CF ，所以FC BD,那么四边形BCFD 为平行四边形，DFBC 。
因为，所以DEBC 21．法4：如图所示,过点E 作MN ∥AB ，过点A 作AM ∥BC,则四边形ABNM 为平行四边形，易证CEN AEM ∆≅∆，从而点E 是MN 的中点，易证四边形ADEM 和BDEN 都为平行四边形，所以DE=AM=NC=BN ，DE ∥BC ，即DEBC 21。
法5：如图所示，过三个顶点分别向中位线作垂线．二、教学说明1、三角形中位线定理的另外一种猜想过程：“二维”转化为“一维”在引导学生探索三角形中位线定理时，由于学生画出中位线后，就不难直观地发现平行关系,难的是发现数量关系，我联想到在此之前认识线段中点时的一道典型例题,挖掘它与原有知识的内在联系，从而作如下探索引导。
⑴如图，A 为线段BC(或线段BC 的延长线)上的任意一点，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，线段DE 与BC 有什么关系?ABC图⑴:⑵如果点A 不在直线BC 上，图形如何变化？上述结论仍然成立吗？A 运动到直线BC 上时，中位线DE ",学生就不难.2第一，要知道中位线定理的作用:可以证明两条直线平行及线段的倍分关系,计算边长或中位线的长。
第二,要知道中位线定理的使用形式，如: ∵ DE 是△ABC 的中位线∴ DE ∥BC ，BC DE 21第三,让学生通过部分题目进行训练，进而掌握和运用三角形中位线定理.题1 如图4。
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三角形中位线定理和证明方法
三角形中位线定理是三角形的中位线平行于第三边（不与中位线接触），并且等于第三边的一半。
三角形中位线定理及证明
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边（不与中位线接触），并且等于第三边的一半。
证明：已知△ABC中，D，E分别是AB，AC两边中点。
求证DE平行于BC且等于BC/2
过C作AB的平行线交DE的延长线于G点。
∵CG∥AD
∴∠A=∠ACG
∵∠AED=∠CEG、AE=CE、∠A=∠ACG（用大括号）
∴△ADE≌△CGE （A.S.A)
∴AD=CG(全等三角形对应边相等)
∵D为AB中点
∴AD=BD
∴BD=CG
又∵BD∥CG
∴BCGD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
∴DG∥BC且DG=BC
∴DE=DG/2=BC/2
∴三角形的中位线定理成立
逆定理
逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。