数学物理方法-第七章
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2u T2 sin 2 T1 sin 1 dm. 2 dx..utt t 2u （ dm .ds .dx; utt 2 是介质元 P 的横向加速度） t 对于微小横向振动, 2 ,1 充分小，所以有 u cos 2 cos 1 1 , u x tg sin , x T2 cos 2 T1 cos 1 0 可化为 T2 T1 T 则
3.传输线方程
考虑沿 X 轴方向的两条平行传输线,设单位长度的电感为 L ,电阻 为 R ,两线之间的电容为 C ,电漏(电阻的导数)为 G 。 由基尔霍夫定律可得 i dV Rdx i Ldx t （KVL，电压降低，电压定理）
V 电流定理 di Gdx V Cdx. （KCL） t 即 Vx ( Ri Lit ), (1) ； ix (GV CVt ), (2)
2u 2u 即 T 2 dx F ( x, t )dx dx 2 x t T 2u 2u 2 所以 2 T 2 F ( x, t ) t x
相应变为即 utt u xx
2
F ( x, t )
f ( x, t )
(6)
方程中不依赖wk.baidu.com所求物理量 u 的项叫做自由项. 自由项不等于零的方程叫做非齐次波动方程，否则称为齐次 偏微分方程.上式是一个二阶线性非齐次偏微分方程.
(9)
理想传输线方程与前面讲过的无限长弦线波动方程(4)式 的数学形式是一样的.故可统称为波动方程.
4. 热传导方程
一根均匀细杆,沿着 X 轴方向摆放.实验表明,单位时间内传 过杆上 x 处单位横截面积的热量 q (热流密度)与 x 处温度梯度成 正比而反向:
u qx k ku x (一维热传导傅里叶定律) x
§7-1方程的建立
1.一维波动方程
一根质地均匀的柔软细弦,列出弦的横振动方程， 如图所示.把弦线看作由许多微小的介质段(称为 介质元)连接而成,位于 x 处长度为 dx 的 介质元 P 是其中的任意一段.可以看出质 点。当弦线上有波强足够小的横波传过时, 介质元做垂直于 X 轴的振幅微小的横向振 动, 介质元振动位移是位置 x 和时间 t 的函 数,记作 u(x,t). 取弦的平衡位置为 x 轴， 即 u(x,t)是坐标为 x 的弦上一点在 t 时刻的横向位移（垂直于 x 轴） 由于介质元没有 X 轴方向的运动,它在 X 轴方向所受合力
(12)
上式 q
ku 中的热流密度 q 是矢量,
矢量算符 叫做
Nabla 算符, 在三维直角坐标中
i j k . x y z
根据能量守恒定律和 Fourier 定律推导各向同性均匀材料 中的热传导方程。 某种各向同性材料内部有一个小矩形体,热传导方程位于 ( x, y, z ) 点的小六面体，体积是 V xyz 。 根据 Fourier 定律,在 t 时间内沿 X 轴流入矩形体的热量 是 (qx ) x yz.t ,流出的热量 (qx ) x x yz.t , u u (qx ) x yz t (qx ) x x yz t [(k ) x x (k ) x ]yz t x x 净增热量为 2u u k 2 x.yz t (k )V t x x x
第七章 定解问题
• 学时：4 • 主要内容
– 几种典型的二阶线性偏微分方程的建立 – 方程的定解条件
• 重点和要求
– 典型方程 – 定解条件
作业题：P:121: P:128: P:134: 补充题目：
1, 3. 1 1.(1),(2), (3),(5).判断方程的类型即可.
达朗贝尔公式的推导过程与理解
所以 T (u u ) dx.u 变为 T (u u ) Tu dx .u dx x2 x1 tt x2 x1 xx tt
即
.utt Tu xx 0
u tt u xx 0
2
（一维齐次波动方程）(4)
上式叫做一维齐次波动方程,是一个二阶线性齐次偏微分方程. 以后将知道,方程中的 就是波速. 注： 为弦的振动传播速度 （即单位长度的质量）
i xx LCitt ( LG RC )it RGi 0
(8)
以上两式叫做传输线方程或电报方程. 电阻 R 和电导 G 很小的传输线叫做理想传输线 (近似于高频情况). 在上两式中令 R 0, G 0 ,得理想传输线方程或高频传 输线方程 V xx
LCVtt i xx LCitt
u u u u 2 u 2u 2u (k ) (k ) (k ) k ( 2 2 2 ) 令 t 0 得, c t x x y y z z x y z 各向同性均匀材料, 导热率 k 与位置无关, k u 上式简化为 2 u 0 ,其中 t c 这就是各向同性均匀材料中的热传导方程 (热传导方程) （13）
是常数，(7.1.11）可以改写成
utt a u xx
2
（7.1.12）
其中 a
2
Y
2
a u xx 2 （2）杆的受迫振动方程跟弦的受迫振动方程（7.1.9）utt a u xx u 这与弦振动方程（7.1.8）具有完全相同的形式． tt
完全一样， 只是其中 f ( x, t ) 应是杆的单位长度上单位 横截面积所受纵向外力.
从以上两式中消去电流 i , (1) 式对 x 求偏导，(2) 式对 t 求偏导，并 利用 (2) 式可得到关于电势的方程
V xx LCVtt ( LG RC )Vt RGV 0 （7)
V xx LCVtt ( LG RC )Vt RGV 0
若消去电势 V , (1) 式对 t 求偏导， (2) 式对 x 求偏导，并 利用 (1) 式可得到关于电流 i 的方程
u k 2 u 0 ,其中 叫做传导率或扩散率. t c
2 2 2 标量算符 Laplace 算符三维直角坐标系中 2 2 2 2 . x y z
如果材料中有热源,如有电流通过,有化学反应,或有放射性物质, 在单位时间单位体积内产生的热量为 (r , t ) ,则
2U 2U 2U 2 2 0 2 x y z
称这个方程为拉普拉斯方程.
(7.3.2)
2. 稳定温度分布 导热物体内的热源分布和边界条件不随时间变化 故热传导方程中对时间的偏微分项为零，从而热传导方程 （7.2.1)，(7.2.2) 即为下列拉普拉斯方程和泊松方程.
2u 0 若 f 0 ,则有 （Laplace 方程） (16) 这两个方程在《电动力学》中将学习到。
稳定分布的方程
1 静电场的电势方程
直角坐标系中泊松方程为
2U 2U 2U 2 2 2 x y z 0
(7.3.1)
若空间 V 中无电荷，即电荷密度 0 ，上式成为
则 T2 sin 2 T1 sin 1 dxu tt 可化为
T (u x 2 u x1 ) u tt dx .
T (u x 2 u x1 ) dx.utt .
u x 2 u x1 (u x 2 u x1 ) 2u 由于 u xx 2 lim x 0 , x x dx T 2 即 u x 2 u x1 u xx .dx ，并令 （ 为波速）
第二部分 数学物理方程
数学物理方程，通常是指从物理学及其它各门自然科学和技术科 学中所产生的偏微分方程，有时也包括与此有关的常微分方程和 微分方程。 例如：静电场和引力势满足的Laplace方程或 Possion方程 热传导问题和扩散问题中的热传导方程 波的传播所满足的波动方程 描写电磁场运动变化的Maxwell方程组 作为微观物质运动基本规律的Schrodinger方程 这些方程多指的是二阶线性偏微分方程。 数学物理方程指的是偏微分方程。 在一般的工程技术领域里,出现最多的是几种典型的二阶线性偏 微分方程. 这些典型的二阶线性偏微分方程就是我们这门课研究 的主要内容. 第七章要研究的问题是: 几种典型的二阶线性偏微分方程的建立, 方程的定解条件.要研究二阶线性偏微分方程,首先要建立方程. 我们来讨论几种典型方程的建立.
u u u cV u (k ) (k ) (k ) V t V t x x y y z z k 2u V t V t 变为【上式两边同时除于 V ，并令 t 0 化简得到】 u u 1 2 ，即 [k u ]. 2 u f ( r , t ) t t c
同理, 沿 Y 轴方向和沿 Z 轴方向流入矩形体的净热量分别是 u u (k )Vt . (k )Vt , z z y y 设矩形体的质量密度为 ,比热为
c ,则有
u u u Q cmu cV .u (k ) (k ) (k ) V t x x y y z z 2u 2u 2u k ( 2 2 2 )V t (净热量之和) x y z
其中负号表示热流的方向和温度变化的方向正好相反，即热 量由高温流向低温。 比例系数 k 叫做导热率, u x 是温度 u ( x, t ) 的梯度. 导热率 k 与材料性质有关,也与温度有关.若温度变化幅度不大, 对于一定的材料, k 可视为常数. 如果是三维空间材料中的热传导, 傅里叶定律是
q ku
T2 cos 2 T1 cos 1 0 （ T1 ,T2 为介质元两端所受的张力）(1)
T2 cos 2 T1 cos 1 0 设弦线质量密度为,介质元 P 做微小的横向振动时, 其长度 dx 的变化可忽略不计,则其质量为 dx , 可得介质元 P（在两个端点 x 与 x+dx 都受到张力 的作用）所受横向合力是:
T
，为弦的线密度
若弦线横向振动时,作用于弦线单位长度上的横向力(可以包括 重力)为 F ( x, t ) ，则
T2 sin 2 T1 sin 1 dxu tt 式应改为
T2 sin 2 T1 sin 1 F ( x, t ) dx dxutt （在竖直方向上） (5)
2、 均匀杆的纵振动
B 段的运动方程为
YS ux
x dx
具体见课本 111页
u x YS dx ( Sdx)utt x （7.1.10）
YS ux
x
Y为杨氏模量，S为杆的 横截面积.
可得
utt Yu xx 0
（7.1.11）
这就是杆的纵振动方程．
讨论 (1) 对于均匀杆， Y 和
k (r , t ) 其中, , f (r , t ) c c
(14)
u u 2 2 u f (r , t ) 两式中, 在上面 u 0 t , t
只要将温度 u 改为分子浓度,导热率 k 改为扩散率, 将 f 理解为物质产出率,这两式就是分子扩散方程. 扩散： 物质因空间浓度不均匀而引起从浓度高处到低处 的运动，u 为分子的浓度，浓度梯度为 u . 热传导的物理本质：热量的传递。 扩散的物理本质：粒子的运动。但满足同一微分方程。 u 0 , 在一定条件下， 当材料内温度分布达到稳定时, t f 2 则温度分布满足 u (Poisson 方程)（15）
3.传输线方程
考虑沿 X 轴方向的两条平行传输线,设单位长度的电感为 L ,电阻 为 R ,两线之间的电容为 C ,电漏(电阻的导数)为 G 。 由基尔霍夫定律可得 i dV Rdx i Ldx t （KVL，电压降低，电压定理）
V 电流定理 di Gdx V Cdx. （KCL） t 即 Vx ( Ri Lit ), (1) ； ix (GV CVt ), (2)
2u 2u 即 T 2 dx F ( x, t )dx dx 2 x t T 2u 2u 2 所以 2 T 2 F ( x, t ) t x
相应变为即 utt u xx
2
F ( x, t )
f ( x, t )
(6)
方程中不依赖wk.baidu.com所求物理量 u 的项叫做自由项. 自由项不等于零的方程叫做非齐次波动方程，否则称为齐次 偏微分方程.上式是一个二阶线性非齐次偏微分方程.
(9)
理想传输线方程与前面讲过的无限长弦线波动方程(4)式 的数学形式是一样的.故可统称为波动方程.
4. 热传导方程
一根均匀细杆,沿着 X 轴方向摆放.实验表明,单位时间内传 过杆上 x 处单位横截面积的热量 q (热流密度)与 x 处温度梯度成 正比而反向:
u qx k ku x (一维热传导傅里叶定律) x
§7-1方程的建立
1.一维波动方程
一根质地均匀的柔软细弦,列出弦的横振动方程， 如图所示.把弦线看作由许多微小的介质段(称为 介质元)连接而成,位于 x 处长度为 dx 的 介质元 P 是其中的任意一段.可以看出质 点。当弦线上有波强足够小的横波传过时, 介质元做垂直于 X 轴的振幅微小的横向振 动, 介质元振动位移是位置 x 和时间 t 的函 数,记作 u(x,t). 取弦的平衡位置为 x 轴， 即 u(x,t)是坐标为 x 的弦上一点在 t 时刻的横向位移（垂直于 x 轴） 由于介质元没有 X 轴方向的运动,它在 X 轴方向所受合力
(12)
上式 q
ku 中的热流密度 q 是矢量,
矢量算符 叫做
Nabla 算符, 在三维直角坐标中
i j k . x y z
根据能量守恒定律和 Fourier 定律推导各向同性均匀材料 中的热传导方程。 某种各向同性材料内部有一个小矩形体,热传导方程位于 ( x, y, z ) 点的小六面体，体积是 V xyz 。 根据 Fourier 定律,在 t 时间内沿 X 轴流入矩形体的热量 是 (qx ) x yz.t ,流出的热量 (qx ) x x yz.t , u u (qx ) x yz t (qx ) x x yz t [(k ) x x (k ) x ]yz t x x 净增热量为 2u u k 2 x.yz t (k )V t x x x
第七章 定解问题
• 学时：4 • 主要内容
– 几种典型的二阶线性偏微分方程的建立 – 方程的定解条件
• 重点和要求
– 典型方程 – 定解条件
作业题：P:121: P:128: P:134: 补充题目：
1, 3. 1 1.(1),(2), (3),(5).判断方程的类型即可.
达朗贝尔公式的推导过程与理解
所以 T (u u ) dx.u 变为 T (u u ) Tu dx .u dx x2 x1 tt x2 x1 xx tt
即
.utt Tu xx 0
u tt u xx 0
2
（一维齐次波动方程）(4)
上式叫做一维齐次波动方程,是一个二阶线性齐次偏微分方程. 以后将知道,方程中的 就是波速. 注： 为弦的振动传播速度 （即单位长度的质量）
i xx LCitt ( LG RC )it RGi 0
(8)
以上两式叫做传输线方程或电报方程. 电阻 R 和电导 G 很小的传输线叫做理想传输线 (近似于高频情况). 在上两式中令 R 0, G 0 ,得理想传输线方程或高频传 输线方程 V xx
LCVtt i xx LCitt
u u u u 2 u 2u 2u (k ) (k ) (k ) k ( 2 2 2 ) 令 t 0 得, c t x x y y z z x y z 各向同性均匀材料, 导热率 k 与位置无关, k u 上式简化为 2 u 0 ,其中 t c 这就是各向同性均匀材料中的热传导方程 (热传导方程) （13）
是常数，(7.1.11）可以改写成
utt a u xx
2
（7.1.12）
其中 a
2
Y
2
a u xx 2 （2）杆的受迫振动方程跟弦的受迫振动方程（7.1.9）utt a u xx u 这与弦振动方程（7.1.8）具有完全相同的形式． tt
完全一样， 只是其中 f ( x, t ) 应是杆的单位长度上单位 横截面积所受纵向外力.
从以上两式中消去电流 i , (1) 式对 x 求偏导，(2) 式对 t 求偏导，并 利用 (2) 式可得到关于电势的方程
V xx LCVtt ( LG RC )Vt RGV 0 （7)
V xx LCVtt ( LG RC )Vt RGV 0
若消去电势 V , (1) 式对 t 求偏导， (2) 式对 x 求偏导，并 利用 (1) 式可得到关于电流 i 的方程
u k 2 u 0 ,其中 叫做传导率或扩散率. t c
2 2 2 标量算符 Laplace 算符三维直角坐标系中 2 2 2 2 . x y z
如果材料中有热源,如有电流通过,有化学反应,或有放射性物质, 在单位时间单位体积内产生的热量为 (r , t ) ,则
2U 2U 2U 2 2 0 2 x y z
称这个方程为拉普拉斯方程.
(7.3.2)
2. 稳定温度分布 导热物体内的热源分布和边界条件不随时间变化 故热传导方程中对时间的偏微分项为零，从而热传导方程 （7.2.1)，(7.2.2) 即为下列拉普拉斯方程和泊松方程.
2u 0 若 f 0 ,则有 （Laplace 方程） (16) 这两个方程在《电动力学》中将学习到。
稳定分布的方程
1 静电场的电势方程
直角坐标系中泊松方程为
2U 2U 2U 2 2 2 x y z 0
(7.3.1)
若空间 V 中无电荷，即电荷密度 0 ，上式成为
则 T2 sin 2 T1 sin 1 dxu tt 可化为
T (u x 2 u x1 ) u tt dx .
T (u x 2 u x1 ) dx.utt .
u x 2 u x1 (u x 2 u x1 ) 2u 由于 u xx 2 lim x 0 , x x dx T 2 即 u x 2 u x1 u xx .dx ，并令 （ 为波速）
第二部分 数学物理方程
数学物理方程，通常是指从物理学及其它各门自然科学和技术科 学中所产生的偏微分方程，有时也包括与此有关的常微分方程和 微分方程。 例如：静电场和引力势满足的Laplace方程或 Possion方程 热传导问题和扩散问题中的热传导方程 波的传播所满足的波动方程 描写电磁场运动变化的Maxwell方程组 作为微观物质运动基本规律的Schrodinger方程 这些方程多指的是二阶线性偏微分方程。 数学物理方程指的是偏微分方程。 在一般的工程技术领域里,出现最多的是几种典型的二阶线性偏 微分方程. 这些典型的二阶线性偏微分方程就是我们这门课研究 的主要内容. 第七章要研究的问题是: 几种典型的二阶线性偏微分方程的建立, 方程的定解条件.要研究二阶线性偏微分方程,首先要建立方程. 我们来讨论几种典型方程的建立.
u u u cV u (k ) (k ) (k ) V t V t x x y y z z k 2u V t V t 变为【上式两边同时除于 V ，并令 t 0 化简得到】 u u 1 2 ，即 [k u ]. 2 u f ( r , t ) t t c
同理, 沿 Y 轴方向和沿 Z 轴方向流入矩形体的净热量分别是 u u (k )Vt . (k )Vt , z z y y 设矩形体的质量密度为 ,比热为
c ,则有
u u u Q cmu cV .u (k ) (k ) (k ) V t x x y y z z 2u 2u 2u k ( 2 2 2 )V t (净热量之和) x y z
其中负号表示热流的方向和温度变化的方向正好相反，即热 量由高温流向低温。 比例系数 k 叫做导热率, u x 是温度 u ( x, t ) 的梯度. 导热率 k 与材料性质有关,也与温度有关.若温度变化幅度不大, 对于一定的材料, k 可视为常数. 如果是三维空间材料中的热传导, 傅里叶定律是
q ku
T2 cos 2 T1 cos 1 0 （ T1 ,T2 为介质元两端所受的张力）(1)
T2 cos 2 T1 cos 1 0 设弦线质量密度为,介质元 P 做微小的横向振动时, 其长度 dx 的变化可忽略不计,则其质量为 dx , 可得介质元 P（在两个端点 x 与 x+dx 都受到张力 的作用）所受横向合力是:
T
，为弦的线密度
若弦线横向振动时,作用于弦线单位长度上的横向力(可以包括 重力)为 F ( x, t ) ，则
T2 sin 2 T1 sin 1 dxu tt 式应改为
T2 sin 2 T1 sin 1 F ( x, t ) dx dxutt （在竖直方向上） (5)
2、 均匀杆的纵振动
B 段的运动方程为
YS ux
x dx
具体见课本 111页
u x YS dx ( Sdx)utt x （7.1.10）
YS ux
x
Y为杨氏模量，S为杆的 横截面积.
可得
utt Yu xx 0
（7.1.11）
这就是杆的纵振动方程．
讨论 (1) 对于均匀杆， Y 和
k (r , t ) 其中, , f (r , t ) c c
(14)
u u 2 2 u f (r , t ) 两式中, 在上面 u 0 t , t
只要将温度 u 改为分子浓度,导热率 k 改为扩散率, 将 f 理解为物质产出率,这两式就是分子扩散方程. 扩散： 物质因空间浓度不均匀而引起从浓度高处到低处 的运动，u 为分子的浓度，浓度梯度为 u . 热传导的物理本质：热量的传递。 扩散的物理本质：粒子的运动。但满足同一微分方程。 u 0 , 在一定条件下， 当材料内温度分布达到稳定时, t f 2 则温度分布满足 u (Poisson 方程)（15）