数学物理方法-第七章
《数学物理方法》课件第7章
小弦长，与其过点z0的原像曲线在z0处的无穷小弦长之比
的极限，不管曲线的方向如何，都等于|f'(z0)|。换句话说，
一切过z0点的曲线的无穷小弦长都被放大(或缩小)了|f'(z0)|
倍，可知无穷小面积就被放大(或缩小)了|f'(z0)|2倍。这正是
高等数学中定义的面积变换因子雅可比行列式
J
u, x,
k 1
1
2k 13
2k
sin
1 x
cos k
2k
1 at
l
(7.15) 可以验证这个解与用分离变量法得到的结果完全一致。
13
7.2 保角变换法
电学、光学、流体力学和弹性力学中的很多实际问题， 都可以归结为求解平面场的拉普拉斯方程或泊松方程的边 值问题，而这些边值问题中的边界形状通常十分复杂，我 们可以设法先将它转化为简单形状边界的边值问题，然后 求解。本节所介绍的保角变换法就是按照这种思路求解问 题的有效方法。
27
7.2.2 拉普拉斯方程的解
保角变换之所以受人重视，主要是因为拉普拉斯方程 的解在经过一个保角变换后仍然是拉普拉斯方程的解，即：
定理3 在单叶解析函数的变换(保角变换)下，拉普拉 斯方程式仍然变为拉普拉斯方程。
证明 设w＝f(z)＝u(x，y)＋iv(x，y)是一单叶解析函数，
且j(x，y)满足拉普拉斯方程
(7.17)
16
定理1 若f(z)是D上的单值解析函数，且f'(z)≠0(z∈D)， 则变换w＝f(z)在区域D上构成一一对应的变换(或映射)， 并称该变换为D域上的单叶变换，函数w＝f(z)为D域上的 单叶解析函数。
下面我们进一步来研究这种单叶变换的特点。图7.1中， 设z平面上的原像曲线C经单叶变换w＝f(z)变成w平面上的 变像曲线G；在C上的无穷小弦长为Dz，则在Dz上的变像为 Dw，分别记为
数学物理方法课件 第七章
第二篇数学物理方程第七章 数学物理定解问题一、数理方程的概念凡包含未知函数及它的偏导数的方程称为偏微分方程。
一般地说，描写连续体运动规律的方程式都是偏微分方程。
这种将物理规律用偏微分方程表达出来，叫作数学物理方程（P135）。
在数学上，数学物理方程本身（不连带定解条件）叫作泛定方程。
偏微分方程所含有最高偏导数的阶数称为该偏微分方程的阶。
在许多物理问题中，遇到的数学物理方程，如波动方程、输运方程、拉普拉斯方程等都是二阶偏微分方程。
二、二阶偏微分方程的分类 ——P162二个自变数y x ,的二阶偏微分方程的一般形式为G Fu y u E x u D yu C y x u B x u A =+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂22222式中系数G B A ,,, 是y x ,的已知函数或常数。
当0=G 时，则方程称为齐次的；当0≠G 时，则方程称为非齐次的。
二阶偏微分方程可按其系数C B A ,,所满足的条件划分为三类： 1、若042>-AC B 双曲型方程（一维波动方程） 2、若042=-AC B 抛物型方程（一维输运方程） 3、若042<-AC B 椭圆型方程（二维拉普拉斯方程）三、定解条件在数学上，我们把描写系统初始状态的表示式叫做初始条件，把描写系统边界状态的表示式叫做边界条件。
因数理方程满足初始条件和边界条件的解是完全确定的，所以将初始条件、边界条件（及连接条件）统称为定解条件。
这样，问题在数学上的完整提法是：在给定的定解条件下，求解数学物理方程。
这叫作数学物理定解问题或简称为定解问题。
——P135⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧衔接条件边界条件初始条件定解条件数学物理方程泛定方程定解问题)(§7.1 数学物理方程的导出数学物理方程的导出步骤如下：——P135一、波动方程 02=-xx tt u a u（一）均匀弦的微小横振动 ——书P136 1、均匀弦的自由横振动在以下几个条件下推导弦的自由横振动方程：(1)、均匀细弦：弦的线密度ρ为常数；由于是细弦，所以作为一维空间的问题来处理。
数学物理方法第07章习题
第七章 习题答案7.1-1将Helmholtz 方程0=+∆u u λ在柱坐标系中分离变量。
解：01122222=+∂∂+∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=+∆u zuu u u u λϕρρρρρλ 设)()()(),,(z Z R z u ϕφρϕρ=代入上面的方程有:0d d d d d d d d 22222=Φ+Φ+Φ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ΦZ R zZ R RZ R Z λϕρρρρρ 两边同时除以Z R Φ，并移项得：λϕρρρρρ--=ΦΦ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛22222d d 1d d 1d d d d 1z ZZ R R 上式左边与z 无关，右边与ϕρ,无关，令左右两边都等于μ-,即： 右边为：0)(d d d d 12222=-+⇒-=--Z u zZ zZ z λμλ①而左边有：μϕρρρρρ-=ΦΦ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛222d d 1d d d d 1R R 两边同时除以2ρ，并移项得:2222d d 1d d d d m R R =ΦΦ-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ϕμρρρρρ0d d d d 1222222=Φ+Φ⇒=ΦΦ-m mϕϕ②和：22d d d d m R R =+⎪⎪⎭⎫⎝⎛μρρρρρ2222d d d d m R RR =+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+μρρρρρ0d d 1d d 2222=⎪⎪⎭⎫⎝⎛-++R mRR ρμρρρ③Helmholtz 方程在柱坐标系下可分解为①②③三个常微分方程。
7.1-2 将三维热传导方程02=∆-∂∂u a tu 在球坐标系中分离变量。
解:02=∆-∂∂u a t u 在球坐标系中的表示式为:0sin 1sin sin 1122222222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-∂∂ϕθθθθθu r u r r u r r r a t u设()()()ϕθψϕθ,,,,,⋅=t r R t r u ，代入上述方程有:()0sin sin sin 1,22222222=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂⋅⋅-∂∂ϕψθθψθθθψϕθψr R r R r R r r r a t R方程两边同时除以22ra R ψ并移项有:222222sin 1sin sin 11ϕψθψθψθθθψ∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂-=∂∂-⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂t RRar r R r r R 左右两边互不相关但相等，只能为常数，设为()1+l l 。
数学物理方法课件第七章-----行波法
变量代换
x at
x at
2 u( , ) 0
a a u ( x, t ) 0 x t x t
u f1 ( ) f 2 ( )
行波法解题要领
• 行波法的提法来自于研究行进波。其解题要领为： • （1）引入特征变换，把方程化为变量可积的形式，从 而得到方程的通解； • （2）使用定解条件确定通解中的任意函数（对于常微 分方程为常数），从而得到其特解。 • 注意：由于偏微分方程求解较难，大部分偏微分方程 的通解均不易获得，使用定解条件确定其任意函数或 常数也绝非易事，故行波法也有其较大的局限性。但 是对于研究波动问题，行波法自有其独特的优点(实际 上我们主要只使用它研究波动问题)。因此行波法是求 解数学物理方程的基本的和主要的方法之一。
utt a u xx , ( Ⅰ )u |t 0 ( x) u | ( x) t t 0
2
- x
① ② ③
其中 ( x)和 ( x)为已知函数。
§7.1 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
解： 1 ）做特征变换，求定解问题Ⅰ中方程①的通 () 一、达朗贝尔公式 dx 2 ①的特征方程为： ( ) a2 0 算符分解 dt ①式 dx dx a a u 0 x0 x 即( a )(t a) t dt dt 从而得到两簇特征线 (积分后得到 )如下： x a( ) t 坐标变换： x at c1 , x at c2 做特征变换 x at x at ④
§7.1 行波法—一维波动方程的达朗贝尔解
一、达朗贝尔公式 利用复合函数求导法则，有 u u u u u x x x
数学物理方法课件(北师大版)7
物质。
Q(x)
一、初始条件
• 在初始时刻给定物理量的分布：u(x,t)|t=0=φ(x). 表示t=0 时刻空间所有点的物理量的值是给定的。 • 由于多数运动方程含有对时间的二阶导数，因此我们还需 要知道初始时刻的“速度”分布，即物理量的一阶导数分 布值， ut(x,t)|t=0=ψ(x). • 稳恒状态：当系统的物理量不随时间发生变化，即
• 物理意义：作坐标变换X=x-at, T=t， 则f2(x-at)=f2(X)， 与时间无关！故f2(x-at)描述的是沿x正方向以速度a传播 的行波； • 同样， f1(x+at)描述沿x负方向以速度a传播的行波。 • u=f1(x+at)+f2(x-at)描述以速度a向两个方向传播波的叠加。 • 函数f1和f2是由初始条件决定的，决定沿正方向和负方向 传播的波形，即两个波的形状不会发生改变。 • 当两个波发生重叠时，整体的波形将发生改变。 • 注意到坐标变换实际上是伽利略变换。
B. 在一根均匀弦的中间有一个振动源？
C. 在两种不同材料之间的热传导方程及衔接条件？
§7.3 达朗贝尔公式
• 我们已经获得了一些关于连续介质运动的偏微分方程，以 及定解条件，现在的问题是如何求解这些方程。
• 本课程主要介绍级数求解法、积分求解法、积分变换法。
• 对于常微分方程的一般解法，先从方程本身求出通解，通 解中会含有一些积分常数，然后利用附加条件来确定这些 常数。偏微分方程也可以采用这种方法来求解。 • 我们首先介绍一种特殊的通解方法。
1. u1(x0,t)=u2(x0,t) u1t(x0,t)=u2t(x0,t); 2. u1xx(x0,t)-u2xx(x0,t)=(a12+ a22)u1tt(x0,t) ??
数学物理方法第7章
If we expand f(z) in a Laurent series(assuming f(z) is analytic),
f ( z)
On the unit circle
n
n d z n .
(7.4)
z ei and
i n
f ( z ) f (e )
an bn
1
p
1
pt cos ntdt 0,
p
p
pt sin ntdt p
p
2
p
0
t sin ntdt
p 2 p t cos nt 0 cos ntdt 0 pn 2 ( 1) n1 , n So, the expansion of f(x) reads
x (0,2p )
(7.20)
Both sides of this expansion diverge as x 0 and 2p
7.2 ADVANTAGES, USES OF FOURIER SERIES
Discontinuous Function
One of the advantages of a Fourier representation over some other representation, such as a Taylor series, is that it may represent a discontinuous function. An example id the sawtooth wave in the preceding section. Other examples are considered in Section 7.3 and in the exercises. Periodic Functions Related to this advantage is the usefulness of a Fourier series representing a periodic , that we expand it in functions . If f(x) has a period of 2p , perhaps it is only natural This guarantees that if a series of functions with period 2p , 2p 2 , 2p 3 our periodic f(x) is represented over one interval 0,2p or p , p the representation holds for all finite x.
第七章 Green 函数法 - 数学物理方法
数学物理方法Mathematical Method in Physics西北师范大学物理与电子工程学院豆福全第七章Green函数法Green Function method引言前面几章我们系统的讨论了求解数学物理方法的几种典型方法：分离变量法，行波法以及积分变换法。
分离变量法主要适用于求解各种有界区域内的定解问题，行波法则主要适用于求解无界区域内的波动问题，而积分变换法也主要适用于求解无界区域内的定解问题，然而不受方程类型的限制。
同时，分离变量法，积分变换法这两种方法所给出的解,一般具有无穷级数与无穷积分的形式。
本章介绍求解数学物理方程的另一重要方法——Green函数法。
所不同的是，该法给出的是一种有限积分的解，便于人们进行理论分析与研究。
Green函数的特点是它仅与定解问题所定义的区域的形状及边界条件类型有关，而与定解条件及方程非齐次项所给出的具体形式无关。
特别是一些用分离变量法较难处理的非齐次方程的定解问题，Green函数法更能显示出其优越性。
从物理上看，一个数学物理方程在大多数情况下，往往表示一种特定的“场”和产生这种场的“源”之间的关系。
如热导方程表示的是温度场与点源之间的关系，泊松方程表示的是静电场和电荷分布之间的关系等。
这样，当源被分解成许多点源的叠加时，如果通过某一种方法知道各点源产生的场，然后再利用叠加原理，就可以求出同样边界条件下任意源的场，这种求解数理方程的方法被称为Green函数法，而点源产生的场就是Green函数。
本章首先复习Laplace方程边值问题的几种类型，然后由Green公式建立起Green函数的概念，并通过Green函数得到一般的泊松方程边值问题解的积分表达式，最后在几个特殊区域上讨论Green函数及Laplace方程的第一边值问题具体的求解过程。
7.1 Laplace 方程边值问题7.1.1 内问题Laplace 方程： 2222220u u ux y z∂∂∂++=∂∂∂0u ∆=描述物理中的平衡、稳定等现象，从而变化过程与时间无关，这时不提初始条件，边界条件常用到以下三种：1. 第一边值问题 Dirichlet 问题设曲面P 为空间某一区域Ω的边界，f 是定义在曲面P 上已知连续函数，求一函数(,,)u u x y z =满足Laplace 方程，满足光滑性条件：在区域Ω内有二阶连续偏导数，在Ω=Ω+Γ上连续，且有uf Γ=具有二阶连续偏导数且满足Laplace 方程的函数称为调和函数。
第七章 Green 函数法 - 数学物理方法
数学物理方法Mathematical Method in Physics西北师范大学物理与电子工程学院豆福全第七章Green函数法Green Function method引言前面几章我们系统的讨论了求解数学物理方法的几种典型方法：分离变量法，行波法以及积分变换法。
分离变量法主要适用于求解各种有界区域内的定解问题，行波法则主要适用于求解无界区域内的波动问题，而积分变换法也主要适用于求解无界区域内的定解问题，然而不受方程类型的限制。
同时，分离变量法，积分变换法这两种方法所给出的解,一般具有无穷级数与无穷积分的形式。
本章介绍求解数学物理方程的另一重要方法——Green函数法。
所不同的是，该法给出的是一种有限积分的解，便于人们进行理论分析与研究。
Green函数的特点是它仅与定解问题所定义的区域的形状及边界条件类型有关，而与定解条件及方程非齐次项所给出的具体形式无关。
特别是一些用分离变量法较难处理的非齐次方程的定解问题，Green函数法更能显示出其优越性。
从物理上看，一个数学物理方程在大多数情况下，往往表示一种特定的“场”和产生这种场的“源”之间的关系。
如热导方程表示的是温度场与点源之间的关系，泊松方程表示的是静电场和电荷分布之间的关系等。
这样，当源被分解成许多点源的叠加时，如果通过某一种方法知道各点源产生的场，然后再利用叠加原理，就可以求出同样边界条件下任意源的场，这种求解数理方程的方法被称为Green函数法，而点源产生的场就是Green函数。
本章首先复习Laplace方程边值问题的几种类型，然后由Green公式建立起Green函数的概念，并通过Green函数得到一般的泊松方程边值问题解的积分表达式，最后在几个特殊区域上讨论Green函数及Laplace方程的第一边值问题具体的求解过程。
7.1 Laplace 方程边值问题7.1.1 内问题Laplace 方程： 2222220u u ux y z∂∂∂++=∂∂∂0u ∆=描述物理中的平衡、稳定等现象，从而变化过程与时间无关，这时不提初始条件，边界条件常用到以下三种：1. 第一边值问题 Dirichlet 问题设曲面P 为空间某一区域Ω的边界，f 是定义在曲面P 上已知连续函数，求一函数(,,)u u x y z =满足Laplace 方程，满足光滑性条件：在区域Ω内有二阶连续偏导数，在Ω=Ω+Γ上连续，且有uf Γ=具有二阶连续偏导数且满足Laplace 方程的函数称为调和函数。
数学物理方法答案(完整版)
高等数学 第四册（第三版） 数学物理方法 答案（完整版）第七章 一维波动方程的傅氏解1． 今有一弦，其两端被钉子钉紧，作自由，它的初位移为： 2．(01)()(2)(12)hx x x h x x ϕ≤<⎧=⎨-≤≤⎩，初速度为0，试求其付氏解，其中h 为已知常数。
解：所求问题是一维波动方程的混合问题：2(12,0)(0,)(,)0(0)(01)(,0)(2)(12)(,0)0tt xx t u a u x t u t u l t t hx x u x h x x u x ⎧=<<>⎪==≥⎪⎪≤≤⎧⎨=⎨⎪-≤≤⎩⎪⎪=⎩，根据前面分离变量解法得其傅氏解为：1(,)(cossin )sin n n n n at n at n xu x t C D l l l πππ∞==+∑。
其中，122201228()sin [sin (2)sin ]222l n n n n hC d h d h d l l n πξπξπξϕξξξξξξπ==+-=⎰⎰⎰，0n D =，于是所求傅氏解为：2218(,)cos sin n h n at n xu x t n l l πππ∞==∑2.将前题之初始条件改为：(1)(10)()(1)(01)h x x x h x x ϕ+-≤≤⎧=⎨-≤≤⎩，试求其傅氏解。
解：所求问题为一维波动方程的混合问题：211((1)sin (1)sin n n l l l h d h d πξπξξξξξ--=++-⎰⎰n c 012222211(sinsinsin )n n n h d d d πξπξπξξξξξ--=++⎰⎰⎰2282sin h n n ππ=22821(,)sin cossinh n n at n x lln n u x t ππππ∞=∴=∑。
3今有一弦，其两端0x =和x l =为钉所固定，作自由摇动，它的初位移为0。
初速度为[](2()0(2,c x x x βϕβ≤≤⎧=⎨∉⎩，其中c 为常数，0,l αβ<<<试求其傅氏解。
数学物理方法第七章 (2)
6
0.5
用数理方程研究物理问题的步骤
1、写出定解问题 泛定方程：数理方程(一般规律) 定解条件：初始、边界、衔接条件(个性)
2、求解 求解方法：行波法、分离变量法、积分变换法、格林函数法、保角变 换法、复变函数法、变分法
3 、分析解答
物理意义 适定性：存在 唯一 稳定
7
0.6
学习方法与考核方式
对于数学物理方程部分，注意以下几点： 1、注意考虑物理系统中涉及到的物理定理、定律以及偏微分方程 ； 2、注意研究将偏微分方程转化为常微分方程的方法，或能够利用已有的常 微分方程知识进行求解的方法； 3、注意将解出的结果进行讨论，给予其物理意义的解释。 4、快速多遍，抓大放小，厘清脉络，掌握典型。 组成：平时成绩30%；期终成绩70% 方式：闭卷考试 内容：典型题，有范围。 共同学习，互相促进!
8
第7章 数学物理方程定解问题
7.1数学物理方程的导出 7.2定解条件 7.3数学物理方程的分类 (自学*） 7.4达朗贝尔公式、定解问题
9
本章基本要求、教学内容及重点
基本要求： 1．了解定解问题的提法； 2．了解几种常见的数学物理方程的导出； 3．熟悉几种常见的边界条件和初始条件的表示形式； 4．能对两个自变数的线性偏微分方程进行分类； 5．了解行波法的意义，行波的物理意义，熟练运用达朗贝尔公式。 教学内容： §7.1．数学物理方程的导出。（均匀弦的微小横振动，均匀杆的纵振动，均匀薄膜的微
受迫振动
f ( x, t ) F ( x, t ) /
15
7.1.3波动方程
例：一长为l的均匀柔软轻绳，其一端固定在竖直轴上，绳子以角速度转动， 试推导此绳相对于水平线的横振动方程
dm dx
数学物理方法课件：第7章 数学物理方程定解问题
第七章 数学物理方程定解问题
§7.1 三类数学物理方程的导出 §7.2 定解条件 §7.3 数学物理方程的分类(自学） §7.4 达朗贝公式、定解问题
§7.1 三类数学物理方程的导出
（一）、梯度矢量
i
j
k
x y z
(i
j
k
) (i
j
k
)
x y z x y z
2 x2
2 y 2
2 z 2
令
2 2 2 x2 y2 z2
2 2 2 x2 y2 z2
记
utt
2u t 2
ut
u t
有时记
2
2 x2
2 y 2
u xx
2u x 2
2 2 2 3 x2 y2 z2
（二）、三类数学物理方程的导出
1、弦的横振动
弦的横向位移为 u(x,t)
dm ds T2 cos2 T1 cos1 0
(qx xdx qx x )dydzdt
qx dxdydzdt x
z
dx
y
dz
dy
(x, y, z)
x
x 方向净流入量为
qx dxdydzdt x
(D u )dxdydzdt x x
y 方向净流入量为
(D u )dxdydzdt y y
z 方向净流入量为 (D u )dxdydzdt z z
y
F (x,t)
M2
M1
1
T2
2
T2 sin 2 T1 sin 1 dmutt
T1
x
x+x
x
T2 sin 2 T1 sin 1 dsutt
T2 cos2 T1 cos1 0
《数学物理方法》第七章 贝塞尔函数
§7.1.4 研究波的问题时，方程的通解常用汉克 尔函数表示 1.汉克尔函数的定义
既然Jv(x)和Nv(x)是贝塞尔方程的线性无关的
易见级数解y1(x)的收敛范围是0≤|x|<∞; 10
5. 另一个特解
同理，令r=r2=-v，可得另一特解
级数解y2(x)的收敛范围是0<|x|<∞
11
§7.1.2 当vn(整数)，方程的通解是贝塞尔函 数J±v(x)的线性组合 (1)贝塞尔函数J±v(x)的定义． 若在特解y1(x)中取
便得到v阶贝塞尔函数(3.4节)，
若在特解y2(x)中取 即得一阶贝塞尔函数(3.4节)
(7.1.10) (7.1.11)
12
图7.1 自变量为实数时头几个Jv(x)的函时Jv(x)与J-v(x)是线性无关的。 实际上，当x→0时
因为当x → 0时，级数只保留n=0项．易见
23
(5) 结论． 当v不为整数和零时，由Nn(x)的定义式可见，
它是Jv(x)和J-v(x)的线性组合。 既然Jv(x)与J-v(x)线性无关，所以Nn(x)与
Jv(x)也是线性无关的。
由此可见，无论v是否整数和零，贝塞尔方程 的解均可表示为
y(x) = C1Jv(x)十C2Nv(x) (7.1.23)
①汪德新．理论物理学导论第二卷：电动力 学．北京：科学出版社，2005．157-163
②汪德新．理论物理学导论第三卷：量子力 学．武汉：湖北科学技术出版社，2003.316323
2
§7. 1 贝塞尔方程与贝塞尔函数
本节首先用级数解法求解贝塞 尔方程，得到两个特解 Jn(x)和J-n(x) ，称为第一类贝塞 尔函数，简称贝塞尔函数．
19
数学物理方法课件：7-数学物理定解问题
，a是弦的振动传播速度，则
utt a2uxx 0 (7.1.6)
如果，弦受到线密度为F(x,t) 的横向 力作用，弦 y方向方程应为：
T2ux xdx T1ux x F(x,t)dx (dx)utt
则弦的受迫振动方程为：
u
T2
B
α2
α1
C
T1 A
o x x+dx x
utt
a2uxx
F ( x, t )
y,
z, t )dxdydzdt
所以三维热传导方程为
cut
x
k
u x
y
k
u y
z
k
u z
F ( x,
y,
z,t)
17
三维 热传导方程
cut
x
k
u x
y
k
u y
z
k
u z
F ( x,
y,
z,t)
➢对于均匀物体，k、c、 ρ是常数
ut a23u f (x, y, z,t)
k k
x u
y u
k ux k uy k uz
z
15
确定物理量：温度的空间和时间分布u(x, y, z, t)
确定研究微元：x, x dxy, y dyz, z dz dV
数学物理方法课件 第七章
第二篇数学物理方程第七章 数学物理定解问题一、数理方程的概念凡包含未知函数及它的偏导数的方程称为偏微分方程。
一般地说，描写连续体运动规律的方程式都是偏微分方程。
这种将物理规律用偏微分方程表达出来，叫作数学物理方程（P135）。
在数学上，数学物理方程本身（不连带定解条件）叫作泛定方程。
偏微分方程所含有最高偏导数的阶数称为该偏微分方程的阶。
在许多物理问题中，遇到的数学物理方程，如波动方程、输运方程、拉普拉斯方程等都是二阶偏微分方程。
二、二阶偏微分方程的分类 ——P162二个自变数y x ,的二阶偏微分方程的一般形式为G Fu y u E x u D yu C y x u B x u A =+∂∂+∂∂+∂∂+∂∂∂+∂∂22222式中系数G B A ,,, 是y x ,的已知函数或常数。
当0=G 时，则方程称为齐次的；当0≠G 时，则方程称为非齐次的。
二阶偏微分方程可按其系数C B A ,,所满足的条件划分为三类： 1、若042>-AC B 双曲型方程（一维波动方程） 2、若042=-AC B 抛物型方程（一维输运方程） 3、若042<-AC B 椭圆型方程（二维拉普拉斯方程）三、定解条件在数学上，我们把描写系统初始状态的表示式叫做初始条件，把描写系统边界状态的表示式叫做边界条件。
因数理方程满足初始条件和边界条件的解是完全确定的，所以将初始条件、边界条件（及连接条件）统称为定解条件。
这样，问题在数学上的完整提法是：在给定的定解条件下，求解数学物理方程。
这叫作数学物理定解问题或简称为定解问题。
——P135⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧衔接条件边界条件初始条件定解条件数学物理方程泛定方程定解问题)(§7.1 数学物理方程的导出数学物理方程的导出步骤如下：——P135一、波动方程 02=-xx tt u a u（一）均匀弦的微小横振动 ——书P136 1、均匀弦的自由横振动在以下几个条件下推导弦的自由横振动方程：(1)、均匀细弦：弦的线密度ρ为常数；由于是细弦，所以作为一维空间的问题来处理。
数学物理方法第七章
x dx
相对伸长
u x
x
u x
x
x dx
F
x dx
x
由虎克定律，B两端的 张应力（单位横截面 的力）分别为
u ( x)
u ( x dx)
A
B
C
u u u B段运动方程为 YS ) 2 x dx YS x ( Sdx x x t Y u x x dx u x x utt dx
u(x) u+u u 0 1
F B
T2 受力分析和牛顿运动定律： 2
沿x-方向，不出现平移
T2 cos 2 T1 cos 1 0
T1 x
x+x
（ 1）
沿垂直于x-轴方向
T2 sin 2 T1 sin 1 F ( x, t )dx ( dx )utt
在微小振动近似下：
如立方体内无源和汇 dt时间内粒子增加数为
u dxdydzdt (u t dt u t )dxdydz du x , y , z dxdydz t u dxdydz t
u u u ( D )dxdydz ( D )dxdydz ( D )dxdydz x x y y z z u u u u { [ ( D ) ( D ) ( D )]}dxdydz 0 t x x y y z z
7.1 数学物理方程的导出
步骤：
1、明确要研究的物理量是什么？
从所研究的系统中划出任一微元，分析邻近部 分与它的相互作用。 2、研究物理量遵循哪些物理规律？ 3、按物理定律写出数理方程（泛定方程）。
波动方程的导出
（一）均匀弦微小横振动方程 设：均匀柔软的细弦沿x轴绷紧，在平衡位置附
数学物理方法 第7章 定解问题
2
2
T
，
f ( x, y, t )
1
F ( x, y, t ) 。
该方程称为二维波动方程。当 F ( x , y , t ) 0 时，膜自 由振动
【小结】
均匀弦的微小振动和均匀杆的纵振动满足一维波动方 程，均匀薄膜的微小振动方程是二维波动方程
( t ) dt r ( t ) 1 p ( t ) dt ， r ( t dt ) r ( t ) r m ( t ) dt p ( t ) F ( t ) dt p ( t dt ) p ( t ) p
因此，只要知道质点的受力情况就能由前一时刻的运动状态求 出下一时刻的运动状态，这样的推演过程就是求解常微分方程
2 u u xx u yy 、 u u xx u yy u zz 。常数 a 具有速度
量纲，以后将看到 a 就是波速。
二、输运方程
1．扩散方程
u t D ( u ) 0 ，或 u t a u 0 （其中 a
2
2
。 D）
2．热传导方程
u 0 ，这是拉普拉斯方程。
3．静电场方程 由麦克斯韦方程，静电场满足两方程
1 E (r )
0
E 0， 由于 E 0 ，因此存在电势函数 u ，使得 E u 。
静电势满足
u 1
0
(r )
这是一个有源稳定场方程，称为泊松方程。
u
x0
u
xl
0
t 0，
此为第一类齐次边界条件。
《数学物理方法》第7章_11-2009级
当v＝n时 为Nn(x)
21
(4) 诺伊曼函数 n(x)与贝塞尔函数Jn(x)线性无关 诺伊曼函数N 与 线性无关 为了证明这一点，只要考查 为了证明这一点，只要考查x=0时两者的取值 时两者的取值 即可．由式(7.1.10) 即可．由式 (7.1.10)
代入上式, 是否为零, 将x=0代入上式 无论 是否为零 Jn(x)都是有界的 代入上式 无论n是否为零 J0(0) ＝1，当n=0 (7.1.17) ， Jn(0) ＝0，当n≥1 (7.1.18) ， ≥
34
贝塞尔函数的积分公式可以用来计算包 含贝塞尔函数的一些积分． 含贝塞尔函数的一些积分．
【例7.2.1】试计算积分 】
先用式(7.2-3)表示 0(bx)为 表示J 解 先用式 表示 为
指数函数的虚部是θ的奇函数，积分后为零． 指数函数的虚部是θ的奇函数，积分后为零．
35
代入原积分并交换积分次序
①汪德新．理论物理学导论第二卷：电动力 汪德新．理论物理学导论第二卷： 北京：科学出版社， 学．北京：科学出版社，2005．157-163 ． 汪德新．理论物理学导论第三卷： ②汪德新．理论物理学导论第三卷：量子力 武汉：湖北科学技术出版社， 学．武汉：湖北科学技术出版社，2003.316323
2
§7. 1 贝塞尔方程与贝塞尔函数
5
2.指标方程 指标方程
将式(7.1.2)代入方程 代入方程(7.1.1) ，可得 将式 代入方程
的最低次幂x 由x的最低次幂 ρ的系数为零，即有 的最低次幂 的系数为零， (ρ2−v2)C0=0 因C00，即得指标方程ρ2−v2=0．由此得指标 ． ρ1=v ρ2=-v (7.1.4)
6
3.系数递推公式 系数递推公式
数学物理方法第七章
小振动很小, cos 1, T1 T2 T
sin
• • •
T1
x
X X+ΔX
2 变为 :
1 3 u tg . 3! x
u 2u u T x 2 .3 t x x x x x 2 2u 2 u 当x 0, 3变为 2 a 0.4 2 t x 2 T a
2u 可得 : 0.3
解得 ; u x, t f1 x at f 2 x at , 4
x at x at
1 1 u x, t x at x at 2 2a
d .5
•
得出 : j 0.1 t
• ν为单位体积单位时间内的产生率.
(三) 输运方程
• 输运现象主要包括：热传导与扩散现象. • 对热传导与扩散现象由实验得出的唯象理论 是相同的,对扩散问题其物质浓度u(x,y,z,t)与 扩散的物质流q之间关系为: • q =－D▽u (1) （其中D为常数） • 同样对热传导问题其温度分布u(x,y,z,t)与热流 q之间关系为: • q =－k ▽u (2) （其中k为常数） • 且在仅是热传导与扩散时,热能与某种物质的 质量守恒,把（1）与（2）代入连续性方程可 得出输运方程. • ut －a2Δu= 0 （3）
• (5)式为达朗贝尔公式.
方程解的稳定性
• 当方程的初始条件有一个很小的偏差 时,最终方程解的变化也是很小的.则称方程 的解是稳定的. • 设方程有两组初始条件 ut |t 0 1 x . u |t 0 1 x . vt |t 0 2 x . v |t 0 2 x . 当 2 x 1 x , 2 x 1 x , 两组解之差 : u x, t vx, t
数学物理方法第7章
ut a (u xx u yy u zz ) 0
2
ut a u 0
2
一维
ut a u xx 0
2
有源或汇的情况：
(1)扩散源强度（单位时间内单位体积中产生的粒子数或 单位时间内浓度的增量）为 F=(x,y,z,t) 与 u 无关
ut a u F ( x, y, z, t )
q Du
D 为扩散系数，负号表示扩 散方向与浓度梯度相反
u u u q D( i j k) x y z
u qx D x
u qy D y
u qz D z
u qx D x
dt 时间流入六面 体x方向左表面 的流量为 流出x方向右表面 的流量为 净流入 量为
同理以 R L 作用于(3)式， 作用于(4)式 x t
相减后消去 j，得到：
LCvtt vxx ( LG RC )vt RGv 0
LCjtt jxx ( LG RC ) jt RGj 0
LCvtt vxx ( LG RC )vt RGv 0
2
u Y x
x
u Y x
x dx
Yu xx utt
2
记
a Y /
2
utt a u xx 0
杆的纵振动方程
若受到外加纵向力的作用，每单位长度单位截面所受 纵向力为F(x,t),则：
u YS x
u 2u x dx YS x ( Sdx ) F ( x, t ) ( Sdx ) 2 x t
ut a u F ( x, y, z, t )
2
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u k 2 u 0 ,其中 叫做传导率或扩散率. t c
2 2 2 标量算符 Laplace 算符三维直角坐标系中 2 2 2 2 . x y z
如果材料中有热源,如有电流通过,有化学反应,或有放射性物质, 在单位时间单位体积内产生的热量为 (r , t ) ,则
是常数，(7.1.11）可以改写成
utt a u xx
2
（7.1.12）
其中 a
2
Y
2
a u xx 2 （2）杆的受迫振动方程跟弦的受迫振动方程（7.1.9）utt a u xx u 这与弦振动方程（7.1.8）具有完全相同的形式． tt
完全一样， 只是其中 f ( x, t ) 应是杆的单位长度上单位 横截面积所受纵向外力.
2U 2U 2U 2 2 0 2 x y z
称这个方程为拉普拉斯方程.
(7.3.2)
2. 稳定温度分布 导热物体内的热源分布和边界条件不随时间变化 故热传导方程中对时间的偏微分项为零，从而热传导方程 （7.2.1)，(7.2.2) 即为下列拉普拉斯方程和泊松方程.
从以上两式中消去电流 i , (1) 式对 x 求偏导，(2) 式对 t 求偏导，并 利用 (2) 式可得到关于电势的方程
V xx LCVtt ( LG RC )Vt RGV 0 （7)
V xx LCVtt ( LG RC )Vt RGV 0
若消去电势 V , (1) 式对 t 求偏导， (2) 式对 x 求偏导，并 利用 (1) 式可得到关于电流 i 的方程
同理, 沿 Y 轴方向和沿 Z 轴方向流入矩形体的净热量分别是 u u (k )Vt . (k )Vt , z z y y 设矩形体的质量密度为 ,比热为
c ,则有
u u u Q cmu cV .u (k ) (k ) (k ) V t x x y y z z 2u 2u 2u k ( 2 2 2 )V t (净热量之和) x y z
第二部分 数学物理方程
数学物理方程，通常是指从物理学及其它各门自然科学和技术科 学中所产生的偏微分方程，有时也包括与此有关的常微分方程和 微分方程。 例如：静电场和引力势满足的Laplace方程或 Possion方程 热传导问题和扩散问题中的热传导方程 波的传播所满足的波动方程 描写电磁场运动变化的Maxwell方程组 作为微观物质运动基本规律的Schrodinger方程 这些方程多指的是二阶线性偏微分方程。 数学物理方程指的是偏微分方程。 在一般的工程技术领域里,出现最多的是几种典型的二阶线性偏 微分方程. 这些典型的二阶线性偏微分方程就是我们这门课研究 的主要内容. 第七章要研究的问题是: 几种典型的二阶线性偏微分方程的建立, 方程的定解条件.要研究二阶线性偏微分方程,首先要建立方程. 我们来讨论几种典型方程的建立.
2u T2 sin 2 T1 sin 1 dm. 2 dx..utt t 2u （ dm .ds .dx; utt 2 是介质元 P 的横向加速度） t 对于微小横向振动, 2 ,1 充分小，所以有 u cos 2 cos 1 1 , u x tg sin , x T2 cos 2 T1 cos 1 0 可化为 T2 T1 T 则
(12)
上式 q
ku 中的热流密度 q 是矢量,
矢量算符 叫做
Nabla 算符, 在三维直角坐标中
i j k . x y z
根据能量守恒定律和 Fourier 定律推导各向同性均匀材料 中的热传导方程。 某种各向同性材料内部有一个小矩形体,热传导方程位于 ( x, y, z ) 点的小六面体，体积是 V xyz 。 根据 Fourier 定律,在 t 时间内沿 X 轴流入矩形体的热量 是 (qx ) x yz.t ,流出的热量 (qx ) x x yz.t , u u (qx ) x yz t (qx ) x x yz t [(k ) x x (k ) x ]yz t x x 净增热量为 2u u k 2 x.yz t (k )V t x x x
i xx LCitt ( LG RC )it RGi 0
(8)
以上两式叫做传输线方程或电报方程. 电阻 R 和电导 G 很小的传输线叫做理想传输线 (近似于高频情况). 在上两式中令 R 0, G 0 ,得理想传输线来自程或高频传 输线方程 V xx
LCVtt i xx LCitt
§7-1方程的建立
1.一维波动方程
一根质地均匀的柔软细弦,列出弦的横振动方程， 如图所示.把弦线看作由许多微小的介质段(称为 介质元)连接而成,位于 x 处长度为 dx 的 介质元 P 是其中的任意一段.可以看出质 点。当弦线上有波强足够小的横波传过时, 介质元做垂直于 X 轴的振幅微小的横向振 动, 介质元振动位移是位置 x 和时间 t 的函 数,记作 u(x,t). 取弦的平衡位置为 x 轴， 即 u(x,t)是坐标为 x 的弦上一点在 t 时刻的横向位移（垂直于 x 轴） 由于介质元没有 X 轴方向的运动,它在 X 轴方向所受合力
u u u u 2 u 2u 2u (k ) (k ) (k ) k ( 2 2 2 ) 令 t 0 得, c t x x y y z z x y z 各向同性均匀材料, 导热率 k 与位置无关, k u 上式简化为 2 u 0 ,其中 t c 这就是各向同性均匀材料中的热传导方程 (热传导方程) （13）
k (r , t ) 其中, , f (r , t ) c c
(14)
u u 2 2 u f (r , t ) 两式中, 在上面 u 0 t , t
只要将温度 u 改为分子浓度,导热率 k 改为扩散率, 将 f 理解为物质产出率,这两式就是分子扩散方程. 扩散： 物质因空间浓度不均匀而引起从浓度高处到低处 的运动，u 为分子的浓度，浓度梯度为 u . 热传导的物理本质：热量的传递。 扩散的物理本质：粒子的运动。但满足同一微分方程。 u 0 , 在一定条件下， 当材料内温度分布达到稳定时, t f 2 则温度分布满足 u (Poisson 方程)（15）
则 T2 sin 2 T1 sin 1 dxu tt 可化为
T (u x 2 u x1 ) u tt dx .
T (u x 2 u x1 ) dx.utt .
u x 2 u x1 (u x 2 u x1 ) 2u 由于 u xx 2 lim x 0 , x x dx T 2 即 u x 2 u x1 u xx .dx ，并令 （ 为波速）
第七章 定解问题
• 学时：4 • 主要内容
– 几种典型的二阶线性偏微分方程的建立 – 方程的定解条件
• 重点和要求
– 典型方程 – 定解条件
作业题：P:121: P:128: P:134: 补充题目：
1, 3. 1 1.(1),(2), (3),(5).判断方程的类型即可.
达朗贝尔公式的推导过程与理解
(9)
理想传输线方程与前面讲过的无限长弦线波动方程(4)式 的数学形式是一样的.故可统称为波动方程.
4. 热传导方程
一根均匀细杆,沿着 X 轴方向摆放.实验表明,单位时间内传 过杆上 x 处单位横截面积的热量 q (热流密度)与 x 处温度梯度成 正比而反向:
u qx k ku x (一维热传导傅里叶定律) x
T2 cos 2 T1 cos 1 0 （ T1 ,T2 为介质元两端所受的张力）(1)
T2 cos 2 T1 cos 1 0 设弦线质量密度为,介质元 P 做微小的横向振动时, 其长度 dx 的变化可忽略不计,则其质量为 dx , 可得介质元 P（在两个端点 x 与 x+dx 都受到张力 的作用）所受横向合力是:
u u u cV u (k ) (k ) (k ) V t V t x x y y z z k 2u V t V t 变为【上式两边同时除于 V ，并令 t 0 化简得到】 u u 1 2 ，即 [k u ]. 2 u f ( r , t ) t t c
3.传输线方程
考虑沿 X 轴方向的两条平行传输线,设单位长度的电感为 L ,电阻 为 R ,两线之间的电容为 C ,电漏(电阻的导数)为 G 。 由基尔霍夫定律可得 i dV Rdx i Ldx t （KVL，电压降低，电压定理）
V 电流定理 di Gdx V Cdx. （KCL） t 即 Vx ( Ri Lit ), (1) ； ix (GV CVt ), (2)
所以 T (u u ) dx.u 变为 T (u u ) Tu dx .u dx x2 x1 tt x2 x1 xx tt
即
.utt Tu xx 0
u tt u xx 0
2
（一维齐次波动方程）(4)
上式叫做一维齐次波动方程,是一个二阶线性齐次偏微分方程. 以后将知道,方程中的 就是波速. 注： 为弦的振动传播速度 （即单位长度的质量）
其中负号表示热流的方向和温度变化的方向正好相反，即热 量由高温流向低温。 比例系数 k 叫做导热率, u x 是温度 u ( x, t ) 的梯度. 导热率 k 与材料性质有关,也与温度有关.若温度变化幅度不大, 对于一定的材料, k 可视为常数. 如果是三维空间材料中的热传导, 傅里叶定律是
q ku
2u 2u 即 T 2 dx F ( x, t )dx dx 2 x t T 2u 2u 2 所以 2 T 2 F ( x, t ) t x
相应变为即 utt u xx