整理小学奥数4-1-1几何图形的认识

小学奥数411几何图形的认识第二章习题2-11. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若x n=a,则对任何自然数k，有x n+k=a.证：由，知，，当时，有取，有，，设时（此时）有由数列极限的定义得.2. 试利用不等式说明：若x n=a,则∣x n∣=|a|.考察数列x n=(-1)n，说明上述结论反之不成立.证：而于是，即由数列极限的定义得考察数列，知不存在，而，，所以前面所证结论反之不成立。

3. 利用夹逼定理证明：(1) =0；(2) =0.证：（1）因为而且，，所以由夹逼定理，得.（2）因为，而且，所以，由夹逼定理得4. 利用单调有界数列收敛准则证明下列数列的极限存在.(1) x n=，n=1,2,…；(2) x1=,x n+1＝,n=1,2,….证：（1）因为故x n是单调递减.又因，故x n有下界，由由单调有界数列收敛准则知存在。

（2）因为，不妨设，则故有对于任意正整数n，有，即数列有上界，又，而,，所以即，即数列是单调递增数列。

综上所述，数列是单调递增有上界的数列，故其极限存在。

习题2-21※. 证明：f(x)=a的充要条件是f(x)在x0处的左、右极限均存在且都等于a.证：先证充分性：即证若，则.由及知：,当时，有，当时，有。

取，则当或时，有，而或就是，于是，当时，有，所以.再证必要性：即若，则,由知，，当时，有，由就是或，于是，当或时，有.所以综上所述，f(x)=a的充要条件是f(x)在x0处的左、右极限均存在且都等于a.2. (1) 利用极限的几何意义确定(x2+a),和；(2) 设f(x)= ，问常数a为何值时，f(x)存在.解：（1）因为x无限接近于0时，的值无限接近于a，故.当x从小于0的方向无限接近于0时，的值无限接近于0，故.（2）若存在，则，由（1）知，所以，当时，存在。

3. 利用极限的几何意义说明sin x不存在.解：因为当时，的值在-1与1之间来回振摆动，即不无限接近某一定直线，亦即不以直线为渐近线，所以不存在。

习题2-31. 举例说明：在某极限过程中，两个无穷小量之商、两个无穷大量之商、无穷小量与无穷大量之积都不一定是无穷小量，也不一定是无穷大量.解：例1：当时，都是无穷小量，但由（当时，）不是无穷大量，也不是无穷小量。

例2：当时，与都是无穷大量，但不是无穷大量，也不是无穷小量。

例3：当时，是无穷小量，而是无穷大量，但不是无穷大量，也不是无穷小量。

2. 判断下列命题是否正确：(1) 有界函数与无穷小量之积为无穷小量；(2) 有界函数与无穷大量之积为无穷大量；(3) 有限个无穷小量之和为无穷小量；(4) 有限个无穷大量之和为无穷大量；(5) y=x sin x在(-∞，+∞)内无界，但x sin x≠∞；(6) 无穷大量的倒数都是无穷小量；(7) 无穷小量的倒数都是无穷大量.解：（1）正确，见教材§2.3定理3；（2）错误，例当时，为无穷大量，是有界函数，不是无穷大量；（3）正确，见教材§2.3定理2；（4）错误，例如当时，与都是无穷大量，但它们之和不是无穷大量；（5）正确，因为，正整数k，使，从而，即在内无界，又，无论多么大，总存在正整数k，使，使，即时，不无限增大，即；（6）正确，见教材§2.3定理5；（7）错误，只有非零的无穷小量的倒数才是无穷大量。

零是无穷小量，但其倒数无意义。

3. 指出下列函数哪些是该极限过程中的无穷小量，哪些是该极限过程中的无穷大量.(1) f(x)= ,x→2; (2) f(x)=ln x，x→0+，x→1,x→+∞；(3) f(x)= ,x→0+，x→0-；(4) f(x)= -arctan x,x→+∞;(5) f(x)= sin x,x→∞; (6) f(x)= ，x→∞.解：（1），即时，是无穷小量，所以是无穷小量，因而也是无穷大量。

（2）从的图像可以看出，，所以，当时，时，是无穷大量；当时，是无穷小量。

（3）从的图可以看出，，所以，当时，是无穷大量；当时，是无穷小量。

（4），当时，是无穷小量。

（5）当时，是无穷小量，是有界函数，是无穷小量。

（6）当时，是无穷小量，是有界变量，是无穷小量。

习题2-41.若f(x)存在，g(x)不存在，问［f(x)±g(x)］,［f(x)·g(x)］是否存在，为什么?解：若f(x)存在，g(x)不存在，则（1）［f(x)±g(x)］不存在。

因为若［f(x)±g(x)］存在，则由或以及极限的运算法则可得g(x)，与题设矛盾。

（2）［f(x)·g(x)］可能存在，也可能不存在，如：，，则，不存在，但［f(x)·g(x)］=存在。

又如：，，则，不存在，而［f(x)·g(x)］不存在。

2. 若f(x)和g(x)均存在，且f(x)≥g(x)，证明f(x)≥g(x).证：设f(x)=A，g(x)=B，则，分别存在，，使得当时，有，当时，有令，则当时，有从而，由的任意性推出即.3. 利用夹逼定理证明：若a1,a2，…，a m为m个正常数，则=A,其中A=max{a1,a2,…，a m}.证：因为，即而，，由夹逼定理得.4※. 利用单调有界数列必存在极限这一收敛准则证明：若x1＝,x2=,…，x n+1=（n=1,2,…），则x n存在，并求该极限.证：因为有今设，则，由数学归纳法知，对于任意正整数n有，即数列单调递增。

又因为，今设，则，由数学归纳法知，对于任意的正整数n有，即数列有上界，由极限收敛准则知存在。

设，对等式两边取极限得，即，解得，（由极限的保号性，舍去），所以.5. 求下列极限：(1) ；(2) ；(3) ; (4) ；(5) .解：（1）原式=；（2）因为，即当时，是无穷小量，而是有界变量，由无穷小量与有界变量的乘积是无穷小量得：；（3）而，；（4）；（5）.6. 求下列极限：(1) ；(2) ；(3) ; (4);(5) ; (6);(7) ; (8)；(9) ；(10) ；(11) .解：（2）（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）（无穷小量与有界函数之积为无穷小量）；（9）；（10）（11）当时，是无穷小量，是有界函数，它们之积是无穷小量，即。

习题2-5求下列极限(其中a＞0,a≠1为常数）：1. ;2. ;3. x cot x;4. ;5. ;6. ;7. ; 8. ; 9. ;10. ; 11. ; 12.;13. ; 14. .解：1. ；2.；3. ；4.；5.；6. ；7.8.令，则，当时，，.9.（利用了第8题结论）；10.；11.；12.；13.令，则，当，，；14.令，则，当，，.习题2-61. 证明：若当x→x0时，(x)→0,β(x)→0,且(x)≠0，则当x→x０时，(x)～β(x)的充要条件是＝０.证：先证充分性.若＝０，则＝0,即，即.也即，所以当时，.再证必要性：若当时，，则，所以＝＝.综上所述，当x→x0时，(x)～β(x)的充要条件是＝０.2. 若β(x)≠0，β(x)=0且存在，证明(x)=0.证：即.3. 证明：若当x→0时，f(x)=(x a)，g(x)=(x b)，则f(x)·g(x)＝()，其中a,b都大于0，并由此判断当x→0时，tan x－sin x是x的几阶无穷小量.证: ∵当x→0时, f(x)=(x a)，g(x)=(x b)∵于是:∵当x→0时, ,∵而当x→0时, ,由前面所证的结论知, ,所以,当x→0时,是x的3阶无穷小量.4. 利用等价无穷小量求下列极限：(1) (b≠0)；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) (a≠b)；(7) ；(8) 设＝100,求f(x).解(8)由,及知必有,即,所以.习题2-7１.研究下列函数的连续性，并画出函数的图形：(1) f(x)= (2) f(x)＝解: (1)∵ f(x)在x=0处右连续,又∵ f(x)在x=1处连续.又∵ f(x)在x=2处连续.又f(x)在(0,1),(1,2)显然连续,综上所述, f(x)在[0,2]上连续.图形如下:图2-1(2)∵ f(x)在x=1处连续.又故∵ f(x)在x=-1处间断, x=-1是跳跃间断点.又f(x)在显然连续.综上所述函数f(x)在x=-1处间断,在上连续.图形如下:图2-22. 说明函数f(x)在点x0处有定义、有极限、连续这三个概念有什么不同?又有什么联系?答：（1）函数f(x)在点x0处有定义表明自变量x可取x0值，且当x=x0时，存在确定的对应规则，有一个确定的函数值，但这个函数值不一定等于f(x0)。

（2）函数f(x)在点x0有极限表明当自变量x无限趋近x0时，函数值无限趋近一个常数（极限值），有极限不要求函数f(x)在点x0处有定义，且极限值不一定是f( x0)。

（3）函数f(x)在点x0处连续表明，f(x)必须在点x0处有定义且有极限，且当时的极限值必须是f( x0)。

3.函数在其第二类间断点处的左、右极限是否一定均不存在?试举例说明.解:函数在其第二类间断点处的左、右极限不一定均不存在.例如是其的一个第二类间断点,但即在处左极限存在,而,即在处右极限不存在.4.求下列函数的间断点，并说明间断点的类型：(1) f(x)= ；(2) f(x)＝；(3) f(x)= ；(4) f(x)= ；(5) f(x)= .解: (1)由得x=-1, x=-2∵ x=-1是可去间断点,x=-2是无穷间断点.(2)由sin x=0得,k为整数.∵ x=0是跳跃间断点.(4)由x2-4=0得x=2,x=-2.∵ x=2是无穷间断点,x=-2是可去间断点.(5) 在x=0无定义故x=0是f(x)的可去间断点.5.适当选择a值，使函数f(x)= 在点x=0处连续.解: ∵f(0)=a,要f(x)在x=0处连续,必须.即a=1.6※.设f(x)= ，讨论f(x)的连续性.解:所以, f(x)在上连续,x=0为跳跃间断点.7. 求下列极限：(1) ；(2) ；(3) ln(x-1); (4) arcsin；(5) (ln x)x.解:习题2-81. 证明方程x5-x4-x2-3x=1至少有一个介于1和2之间的根.证: 令,则在[1,2]上连续,且,由零点存在定理知至少存在一点使得.即,即方程至少有一个介于1和2之间的根.2. 证明方程ln（１＋e x）-2x=0至少有一个小于1的正根.证: 令,则在上连续,因而在[0,1]上连续,且由零点存在定理知至少存在一点使得.即方程至少有一个小于1的正根.3※. 设f(x)∵C（-∞，+∞），且f(x)=A, f(x)=B,A·B＜0，试由极限及零点存在定理的几何意义说明至少存在一点x0∵（－∞,＋∞），使得f(x0)＝０.证: 由A·B<0知A与B异号,不防设A>0,B<0由,及函数极限的保号性知,,使当,有,使当时,有.现取,则,,则,且,由题设知在上连续,由零点存在定理,至少存在一点使,即至少存在一点使.4.设多项式P n(x)＝x n+a1+…+a n.，利用第3题证明：当n为奇数时，方程P n(x)=0至少有一实根.证:,由极限的保号性知.,使当时有,此时与同号,因为n为奇数,所以(2X)n与(-2X)n异号,于是与异号,以在上连续,由零点存在定理,至少存在一点,使,即至少有一实根.整理丨尼克本文档信息来自于网络，如您发现内容不准确或不完善，欢迎您联系我修正；如您发现内容涉嫌侵权，请与我们联系，我们将按照相关法律规定及时处理。