2020年高考物理专题复习：天体质量和密度的估算精讲

考点精讲

一、万有引力定律及其应用

1. 内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比、与它们之间距离r 的二次方成反比。

2. 表达式：F ＝2

21r

m Gm ，G 为引力常量：G ＝6.67×10－11

N·m 2/kg 2。 3. 适用条件：

（1）公式适用于质点间的相互作用，当两物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点；

（2）质量分布均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离。

二、天体质量和密度的计算

1. 解决天体（卫星）运动问题的基本思路

（1）天体运动的向心力来源于天体之间的万有引力，即

G 2r

Mm ＝ma n ＝m r v 2＝mω2

r ＝m 2

24T r π； （2）在中心天体表面或附近运动时，万有引力近似等于重力，即G 2R

Mm

＝mg （g 表示天体表面的重力加速度）。 2. 天体质量和密度的计算

（1）利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R 。

由于G 2R

Mm

＝mg ，故天体质量M ＝G gR 2，

天体密度ρ＝33

4R M

V M π=

＝GR g π43。 （2）通过观察卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径r 。

①由万有引力等于向心力，即G 2r Mm

＝m 224T

πr ，得出中心天体质量M ＝2

324GT r π； ②若已知天体半径R ，则天体的平均密度

ρ＝3

3

4R M V M π=＝323

R GT r 3π； ③若天体的卫星在天体表面附近做环绕天体运动，可认为其轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝2

3GT

π

。可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度。

典例精析

例题1 英国物理学家卡文迪许测出万有引力常量G ，因此卡文迪许被人们称为能称出地球质量的人。若已知万有引力常量G ，地球表面处的重力加速度g ，地球半径R ，地球上一个昼夜的时间T 1（地球自转周期），一年的时间T 2（地球公转周期），地球中心到月球中心的距离L 1，地球中心到太阳中心的距离L 2。你能计算出（ ）

A. 地球的质量m 地＝G

gR 2

B. 太阳的质量m 太＝2

2

3

2

24GT L π C. 月球的质量m 月＝2

1

3

1

24GT L π D. 月球、地球及太阳的密度G

gR 2

【考点】天体质量的估测

【思路分析】对地球表面的一个物体m 0来说，应有m 0g ＝

2

R

m Gm 地，所以地球质量m 地＝G gR 2，选项A 正确；对地球绕太阳运动来说，有222

2

224L T m L m Gm π地地太=，则m 太＝2

2

3

2

24GT L π，B 项正确；对月球绕地球运动来说，能求地球质量，不知道月球的相关参量及月球的卫星运动参量，无法求出它的质量和密度，C 、D 项错误。

【答案】AB

【方法规律】如何估测天体质量

1. 利用星球表面物体：需知星球半径和星球表面的重力加速度；

2. 利用卫星估测：需知描述卫星的参数 r a )(v 、、、T ω中的任意两个即可。

一卫星绕某一行星表面附近做匀速圆周运动，其线速度大小为v 。假设宇航员在该行星表面上用弹簧测力计测量一质量为m 的物体重力，物体静止时，弹簧测力计的示数为N 。已知引力常量为G ，则这颗行星的质量为 （ ）

A. GN mv 2

B. GN mv 4

C. Gm

Nv 2

D. Gm

Nv 4

【思路分析】设卫星的质量为m ′

由万有引力提供向心力，得G 2'

R

Mm ＝m ′R v 2

① m ′R

v 2

＝m ′g

②

由已知条件：m 的重力为N 得 N ＝mg

③

由③得g ＝m

N

，代入②得：R ＝N mv 2

代入①得M ＝GN

mv 4

，故B 项正确。

【答案】B

例题2 有一宇宙飞船到了某行星上（该行星没有自转运动），以速度v 贴近行星表面匀速飞行，测出运动的周期为T ，已知引力常量为G ，则可得（ ）

A. 该行星的半径为π

2vT

B. 该行星的平均密度为2

3GT

π

C. 无法求出该行星的质量

D. 该行星表面的重力加速度为2

2

24T

v π 【考点】天体质量和密度的估算

【思路分析】由T ＝v

R π2可得：R ＝π2vT

，A 正确；由2R GMm ＝m R v 2可得：M ＝G T v π23，

C 错误；由M ＝34

πR 3ρ得：ρ＝2

3GT

π，B 正确；由2R GMm ＝mg 得：g ＝T v π2，D 错误。 【答案】AB

【技巧点拨】密度估算技巧

1. 以近地卫星为载体估测：只需知道近地卫星周期；

2. 以普通卫星为载体估测：需知描述卫星的参数 r a )(v 、、、T ω中的任意两个，同时还需知道星球半径；

3. 以星球表面物体为载体估测：需知星球表面的重力加速度及星球的半径。

如图所示，飞行器P 绕某星球做匀速圆周运动，星球相对飞行器的张角为θ，下列说法正确的是（ ）

A. 轨道半径越大，周期越长

B. 轨道半径越大，速度越大

C. 若测得周期和张角，可得到星球的平均密度

D. 若测得周期和轨道半径，可得到星球的平均密度

【思路分析】解题的关键要找出轨道半径r 和星球半径R 的关系，由

22

22

4T

mr r v m r GMm π==可知轨道半径越大，速度越小，周期越长，A 正确，B 错误；由