10.列方程解应用题──有趣的行程问题(含答案)+

10.列方程解应用题──有趣的行程问题

知识纵横

数学是一门具有广泛应用性的科学,我国著名数学家华罗庚先生曾说过:“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之谜、日用之繁，无处不用数学”. 数学应用题的类型很多,比较简单的是方程应用题,又以一元一次方程应用题最为基础,方程应用题种类繁多,以行程问题最为有趣而又多变.

行程问题的三要素是:距离(s)、速度(v)、时间(t),•行程问题按运动方向可分为相遇问题、追及问题;按运动路线可分为直线形问题、环形问题等.

熟悉相遇问题、追及问题等基本类型的等量关系是解行程问题的基础；而恰当设元、恰当借助直线图辅助分析是解行程问题的技巧.

例题求解

【例1】某人乘船由A 地顺流而下到B 地,然后又逆流而上到C 地,共乘船4小时,已知船在静水中的速度为每小时7.5千米,水流速度为每小时2.5千米,若A 、C 两地的距离为10千米,则A 、B 两地的距离为_____千米. (重庆市竞赛题) 思路点拨 等量关系明显,关键是考虑C 地所处的位置. 解:20或

20

3

提示:C 可在AB 之间或AB 之外 【例2】如图,某人沿着边长为90米的正方形,按A →B →C →D →A ……方向,•甲以A 以64米/分的速度,乙从B 以72米/分的速度行走,当乙第一次追上甲时在正方形的(• ). A.AB 边上 B.DA 边上

C.BC 边上

D.CD 边上 (安徽省竞赛题)

思路点拨 本例是一个特殊的环形的追及问题,注意甲实际在乙的前面 3×90=270(米)处

.

乙

甲D

C

B

A

解:选B 提示:乙第一次追上甲用了

2707分钟,72×270

7

=7×360+267×90

【例3】父亲和儿子在100米的跑道上进行赛跑,已知儿子跑5步的时间父亲能跑6步,儿子跑7步的距离与父亲跑4步的距离相等.现在儿子站在100米的中点处,•父亲站在

100米跑道的起点处同时开始跑,问父亲能否在100米的终点处超过儿子?并说明理由. (2002年重庆市竞赛题)

思路点拨:把问题转化为追及问题,即比较父亲追上儿子时,•儿子跑的路程与50的大小,为了理顺步长、路程的关系,需增设未知数,这是解题的关键.

解:设儿子每步跑x 米,父亲每步跑y 米,单位时间内儿子跑5步,父亲跑6步,设t 个单位时间父亲追上儿子,则有5tx+50=6ty,把4y=7x 代入得5tx+50=6t ·74x,解得tx=505.5

,•则赶上时,儿子跑了5tx=

505.5×5 =501.1

<50,故父亲能够在100米的终点前赶上儿子. 【例4】钟表在12点钟时三针重合,经过多少分钟秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分? (2000年湖北省数学竞赛选拨赛试题)

思路点拨 先画钟表示意图,运用秒针分别与时针、•分针所成的角相等建立等量关系,关键是要熟悉与钟表相关的知识.

解:

1440

1427

分 提示:设经过x 分钟秒针第一次将分针和时针所夹的锐角平分,因为秒针、分针、时针的速度分别为360度/分、6度/分、0.5度/分,显然x 的值大于1•小于2,所以有6x-360(x-1)=360(x-1)-0.5x,解得x=

1440

1427

. 【例5】七年级93年同学在4位老师的带领下准备到离学校33千米处的某地进行社会调查,可是只有一辆能坐25人的汽车.为了让大家尽快地到达目的地,•决定采用步行与乘车相结合的办法.如果你是这次行动的总指挥,你将怎样安排他们乘车,•才能使全体师生花最短的时间到达目的地?最短的时间是多少?(师生步行的速度是5千米/时,汽车的速度是55千米/时,上、下车时间不计).

思路点拨 人和车同时出发,由车往返接运,如能做到人车同时到达目的地,•则时间最短,而实现同时到达目的地的关键在于平等地享用交通工具,这样,•各组乘车的路程一

B

A

样,步行的路程也就一样.

解:要使全体师生到达目的地花的时间最短,就应让每一个学生或老师都乘到汽车,并且使他们乘车的时间尽可能地长. 97人分成四组①、②、③、④.

实线表示汽车行驶路线,虚线表示步行路线.

设允许每组乘车的最长时间为t•小时.图中AC=55t,CB=33-55t.

汽车从C 到D(E 到F,G 到H 也一样) 用去的时间为

555555t t -+=5

6

t(小时)

汽车到达C 处后,三次回头,又三次向B 处开.共用去时间3×56t+36t=112

t. 这也是第一组从C 到B 步行所用的时间,所以有33-5t=

11

2

t ×5 解得t=25小时.所以全体师生从学校到目的地去的最短时间为25

+2

33551555

5

-⨯

=

(小时).

学力训练

一、基础夯实

1.甲、乙两人骑自行车,同时从相距65千米的两地相向而行,甲的速度为每小时17.5千米,乙的速度为每小时15千米,则经过________小时,甲、乙两人相距3

2.5•千米. 2.某人以4千米/小时的速度步行由甲地到乙地,然后又以6千米/•小时的速度从乙地返回甲地,那么此人往返一次的平均速度是_____千米/小时.

3.汽车以每小时72千米的速度笔直地开向寂静的山谷,驾驶员揿一声嗽叭,4•秒后听到回

响,已知声音的速度是每秒340米,•听到回响时汽车离山谷的距离是______米. (第15届江苏省竞赛题)

4.现在是4点5分,再过_____分钟,分针和时针第一次重合.