上海版矩阵与行列式基础练习题
沪教版(上海)高三年级新高考辅导与训练第七章矩阵与行列式、算法初步、复数三、复数
沪教版（上海）高三年级新高考辅导与训练第七章矩阵与行列式、算法初步、复数三、复数学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．已知复数226(310)z m m m m i =--+--.当实数m 为何值时，复数z 为 (1)实数；(2)纯虚数；(3)零.2．设复数z 满足4z R z+∈，且22z -=，求z .3．若z 为虚数，且||1z =，求证11z z -+为纯虚数. 4．已知||1z =.求21z z -+的模的最大值与最小值.5．关于x 的方程()222150x ax a a R --+=∈的两个根分别是α、β，且8αβ+=，求a 的值，并求方程的根. 6．计算下列各题：(1)55(1)(1)11i i i i +-+-+；(2)201920191111i i i i +-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭；；(4) 23201920202320192020i i i i i +++++.7．已知复数()2262153m m z m m i m --=++-+，当m 为何实数时，复数z 是：（1）实数；（2）虚数；（3）纯虚数；（4）对应点在实轴的上方.8．若关于x 的方程22470x zx i -++=有实根，求复数z 的模的最小值和此时z 的值. 9．解答下列各题：(1)已知|2|z -=， |3|4z -=，求z ； (2)已知11z z +-为纯虚数，|1|1z -=，求z . 10．下列方程至少有一个实根，求实数t 的值与相应方程的根.（1）2(2)(2)0x t i x ti ++++=；（2）2(21)(3)0x i x t i --+-=.11．方程21(4)02x m x m --+=的两根为α，β，且||||αβ+=，求实数m 的值.二、单选题12．复数z 满足22|2||1|5z i z ---=，则它在复平面内对应点的轨迹是（ ）. A ．圆B ．直线C ．双曲线D ．椭圆13．复数3z ai =+满足条件|2|2-<z ，则实数a 的取值范围是（ ）. A ．(1,1)-B．(-C ．(2,2)-D．(14．若复数z 满足|34|2z i +-=，则|||z 的最小值和最大值分别是（ ）. A ．1和9B ．4和10C ．5和11D ．3和715．使11+⎛⎫ ⎪-⎝⎭ni i 为正实数的最小自然数n 是（ ）.A ．2B ．4C ．6D ．816．若复数312a ii++（a R ∈，i 为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．-6B ．13C ．32D17．满足条件12011z i ii+=-+的复数z 对应的点在（ ）.A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限三、填空题18．如果复数z 满足关系式2z z i +=+,那么z 等于 ． 19．已知复数z 满足||1z i -=，则|1|z -的取值范围是________. 20．若z a bi =+，21zR z∈+，则实数a ，b 应满足的条件为________. 21．在复数范围内分解因式：44x y +=________.22．方程2(12)2(1)0ax i x a i ++--=有实根，则实数a 的取值为________. 23．复数z 满足0zz z z ++=，则z 对应点的轨迹是________.参考答案1．(1)2m =-或5m =；(2)3m =；(3)2m =-. 【分析】(1)根据z 为实数，则虚部为0，即可求出m ；(2)根据z 为纯虚数，则虚部不为0，而实部为0，即可求出m ； (3)根据z 为零，则实部与虚部同时为零，即可求出m . 【详解】(1)z 为实数的充要条件是z 的虚部为0，即23100m m --=，解得2m =-或5m =，所以当2m =-或5m =时，z 为实数.(2)z 为纯虚数的充要条件是z 的虚部不为0，而实部为0，即22603100m m m m ⎧--=⎨--≠⎩，解得3m =， 所以当3m =时，z 为纯虚数.(3)z 为零的充要条件是z 的实部与虚部同时为零，即22603100m m m m ⎧--=⎨--=⎩，解得2m =-， 所以当2m =-时，0z =. 【点睛】本题主要考查复数的概念，复数的分类，属于基础题.2．4z =，1z =-或1=+z 【分析】设(),z a bi a b R =+∈，利用复数的四则运算将复数4z z+化为一般形式，可得其虚部为零，再由22z -=，可得出关于实数a 、b 的方程组，解出a 、b 的值，由此可得出复数z . 【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则0z ≠，即a 、b 不同时为零，224444a bi z a bi a bi R z a bi a b -+=++=++∈++，2240b b a b∴-=+，① 由22z -=，得()2224a b -+=.②解由①、②所组成的联立方程组()22224024b b a b a b ⎧-=⎪+⎨⎪-+=⎩，解得40a b =⎧⎨=⎩或1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩4z ∴=，1=+z或1z =-.【点睛】本题考查复数的求解，考查复数的概念以及复数的模等基础知识，根据题意列出方程组是解答的关键，考查计算能力，属于中等题. 3．证明见解析 【分析】设(,)z a bi a b R =+∈，可得221a b +=，且0b ≠，代入11z z -+化简即可得证. 【详解】证法1：设(,)z a bi a b R =+∈，则221a b +=，且0b ≠.所以2211(1)(1)11(1)z a bi a bi a bi z a bi a b -+--++-==+++++22221(1)(1)2(1)22()a b a bi a bi bi a b a+-++--==+++. 因为0b ≠，221a b +=，所以1a ≠-，所以11z z -+为纯虚数. 证法2：由||1z =，得1=zz .所以11111111z z zz z z z z z zz z z z -----⎛⎫===-=- ⎪+++++⎝⎭.因为||1z =，z 为虚数，所以1z ≠±，由非零复数z 为纯虚数的充要条件证明了11z z -+为纯虚数. 【点睛】本题主要考查复数的模，复数的代数形式的乘除运算及纯虚数的概念，属于基础题. 4．最大值为3，最小值为0 【分析】设(1,1)z a bi a b =+-≤≤，则221a b +=，代入21z z -+，可得2221(21)z z a -+=-，根据a 的范围即可得最值. 【详解】设(1,1)z a bi a b =+-≤≤，则221a b +=，即221b a =-，222221()()11(2)2(2)z z a bi a bi a b a ab b i a a ab b i-+=+-++=--++-=-+-，∴()222222222212(2)(21)(21)(21)z z a aab b a a b a a -+=-+-=-+-=-，因为11a -≤≤，所以3211a -≤-≤，所以22019z z ≤-+≤， 即21z z -+的模最大为3，最小为零. 【点睛】本题考查复数的代数运算及模的运算，考查学生的计算能力，是基础题.5．当4a =时，方程的根为11x =，27x =；当12a =-时，方程的根为1x =，2x =. 【分析】分0∆≥和∆<0两种情况讨论，在0∆≥时，由8αβ+=结合韦达定理可求得实数a 的值，并可求得原方程的根；在∆<0时，由8αβ+=结合韦达定理求得实数a 的值，进而求得原方程的根. 【详解】对于二次方程()222150x ax a a R --+=∈，()()()244152435a a a a ∆=--=-+.（1）当0∆≥，即5a ≤-或3a ≥时，由韦达定理得2a αβ+=，152a αβ=-.又αβ+==当1520a αβ=->时，即当5a ≤-或1532a ≤<时，则28a αβαβ+=+==，解得4a =，此时原方程为2870x x -+=，该方程的两根分别为11x =，27x =； 当1520a αβ=-≤时，即当152a ≥时，则αβ+===8==，整理得22310a a +-=，解得1a =-±；（2）当∆<0，即53a -<<时，由韦达定理得2a αβ+=，152a αβ=-.28αβα+=====，解得12a =-，此时，原方程为2160x x ++=，解得1x =，2x =.综上，当4a =时，方程的根为11x =，27x =；当12a =-时，方程的根为1x =，2x =. 【点睛】本题考查实系数一元二次方程的求解，考查了韦达定理的应用，考查计算能力，属于中等题. 6．(1)0；(2)2i -；(3)516；(4)10101010i - 【分析】根据复数的乘除运算法则及乘方运算，即可计算出(1)(2)的值；利用复数模的运算性质可求出(3)的值；利用分组求和及i 的运算性质可求出(4)的值. 【详解】(1) 5566232322(1)(1)(1)(1)[(1)][(1)]11(1)(1)(1)(1)11i i i i i i i i i i i i i i +-+-+-+=+=+-+-++---3333(2)(2)44022i i i i -=+=-=.(2)因为21(1)21(1)(1)2i i ii i i i ++===--+，21(1)21(1)(1)2i i i i i i i ---===-++-， 所以20192019201945043201920319111(22221)i i i i i i i i i i ⨯+-=--==+-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-+=⎝⎭=-⎝⎭.(3) ==5454845252516⨯====⨯. (4) 23201920202320192020i i i i i +++++(234)(5678)(2017201820192020)i i i i i i =--++--+++--+(22)(22)(22)+i i i =-+-+-505(22)i =⨯-10101010i =-.【点睛】本题主要考查复数的乘除运算，乘方运算，复数的模的运算性质及i 的运算性质，属于中档题.7．（1）5m =-或3；（2）5m ≠-且3m ≠±；（3）2m =-；（4）3m >或5m <-. 【分析】（1）根据题意得出复数z 的虚部为零，进而可求得实数m 的值； （2）根据题意得出复数z 的虚部不为零，由此可解得实数m 的取值范围； （3）根据题意得出复数z 的实部为零，虚部不为零，由此可解得实数m 的值； （4）根据题意得出复数z 的虚部为正数，由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】（1）若复数z 为实数，则2215030m m m ⎧+-=⎨+≠⎩，解得5m =-或3；（2）若复数z 为虚数，则2215030m m m ⎧+-≠⎨+≠⎩，解得5m ≠-且3m ≠±；（3）若复数z 为纯虚数，则226032150m m m m m ⎧--=⎪+⎨⎪+-≠⎩，解得2m =-；（4）若复数z 在复平面内对应的点位于实轴的上方，则2215030m m m ⎧+->⎨+≠⎩，解得5m <-或3m >.【点睛】本题考查利用复数的类型求参数，解题时要结合已知条件对复数的实部和虚部进行限制，考查计算能力，属于基础题. 8．49755z i ⎛⎫=±+ ⎪⎝⎭，||z最小值为【分析】设z a bi =+，根据复数运算得到224070x ax bx ⎧-+=⎨-=⎩，利用均值不等式计算模的最值得到答案. 【详解】22470x zx i -++=，设z a bi =+，则()22470x a bi x i -+++=，即()22470x ax bx i -++-=，x ∈R ，则224070x ax bx ⎧-+=⎨-=⎩，则2497240a b b -+=，即7247b a b =+，222222272449625484898749b b z a b b b b ⎛⎫=+=++=++≥= ⎪⎝⎭， 当且仅当224962549b b =，即75b =±时等号成立，min z =75b =时，495a =，75b =-时，495a =-，故49755z i ⎛⎫=±+⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了复数的运算，复数的模，均值不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.9．(1)34i ±；(2)12z =± 【分析】(1)设(,)z a bi a b R =+∈代入已知求出复数的模，解方程组即可求出,a b ； (2)设(,)z a bi a b R =+∈代入11z z +-及|1|1z -=化简，联立方程即可求出,a b . 【详解】(1) 设(,)z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，所以|2||(2)|z a bi -=-+=|3||(3)|4z a bi -=--= 所以22(2)17a b -+=，22(3)()16a b -+-= 解得3a =，4b =±，所以34z i =±. (2) 设(,)z a bi a b R =+∈，则2222222211(1)(1)(1)1211(1)(1)(1)(1)z a bi a bi a bi a bi a b biz a bi a bi a bi a b a b +++++---++--====--+-+---+-+ 22222212(1)(1)a b b i a b a b +-=--+-+为纯虚数， 所以2210a b +-=且0b ≠，①由|1|1z -=得|1|1a bi -+=，所以22(1)1a b -+=，②由①②解得12a =，2b =±，所以122z =±. 【点睛】本题主要考查复数的概念，复数代数形式的乘除运算，复数的模及共轭复数，考查运算求解能力，属于中档题.10．（1）t =，1x =22x i =，或t =-1x =，22x i =-；（2）112t =，112x =-，2122x i =- 【分析】（1）根据复数运算得到22020x tx x t ⎧++=⎨+=⎩，解得t =±.（2）根据复数运算得到230210x x t x ⎧++=⎨+=⎩，解得112t =，再代入原方程解得答案.【详解】（1）2(2)(2)0x t i x ti ++++=，则()2202x x t i tx +++=+，则22020x tx x t ⎧++=⎨+=⎩，则222042t t -+=，解得t =±当t =时，(2202x x i +++=+即()20x x i =，解得1x =22x i =-；当t =-(2202x x i +-+=-即()20x x i =，解得1x =，22x i .（2）2(21)(3)0x i x t i --+-=，则2(2103)x x x t i +-+=+，则230210x x t x ⎧++=⎨+=⎩，则12112x t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，当112t =时，2(21014)x x x i ++-=+，即112022x x i ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 故112x =-，2122x i =-. 【点睛】本题考查了复数范围内解方程，意在考查学生的计算能力和应用能力，漏解是容易发生的错误.11．4m =-72m =． 【分析】由韦达定理得出,αβαβ+，把||||αβ+=平方后用,αβαβ+表示并代入后可求得m ．【详解】 由题意若方程有两个实数根，则21(4)402m m ∆=--⨯≥，解得2m ≤或8m ≥， 4m αβ+=-，12m αβ=，又||||αβ+=，∴()2222||||2()227αβααββαβαβαβ+=++=+-+=， 即2(4)7m m m --+=，0m ≥时，2(4)7m -=，4m =4m =+0m <时，2(4)27m m --=，21090m m -+=，解得1m =或9m =．全舍去．所以4m =-若方程是两个虚数根，4m αβ+=-，12m αβ=，设(,)a bi a b R α=+∈，则a bi β=- αβ=2212a b m +=，αβ+==2274a b +=，2272()2m a b =+=．综上4m =-72m =． 【点睛】 本题考查韦达定理，属于基础题，解题时要注意如果是实系数二次方程的实数解，则判别式0≥，如果是虚数根，则可设根为(,)a bi a b R +∈，代入后用实数的知识求解（或用复数相等的定义转化）．12．B【分析】设(,)z x yi x y R =+∈，代入已知式化简整理后，由方程可得轨迹曲线．【详解】设(,)z x yi x y R =+∈，则222222221(2)(1|2)||1|5z i x yi i x yi x y x z y ⎡⎤=+--+-=+--+--⎣-=⎦-， 整理得210x y --=，它是一条直线．故选：B ．【点睛】本题考查复数的几何意义，设(,)z x yi x y R =+∈，代入计算得出轨迹方程，由方程得轨迹是求复平面 上点的轨迹的常用方法．13．D【分析】由模长公式和已知条件可得a 的不等式，解不等式可得.【详解】解：∵3z ai =+满足条件|2|2-<z ，|1|2ai ∴+<2<，平方可得23a <，解得a <<故选：D.【点睛】本题考查复数的模长公式，涉及不等式的解法，属基础题.14．D【分析】 由342z i +-=可得z 在复平面内的轨迹是以()3,4-为圆心，以2为半径的圆，利用z 表示圆上的点到原点的距离,结合圆的几何性质可得结果.【详解】因为复数z 满足，342z i +-=，所以z 在复平面内的轨迹是以()3,4-为圆心，以2为半径的圆， z 表示圆上的点到原点的距离，5=，所以z 的最大值是527+=,z 的最小值是523-=，故选：D.【点睛】本题考查复数的模的几何意义，点的轨迹，复数的模的几何意义是复平面内两点间的距离，所以若z x yi =+，则z a bi --表示点(),x y 与点(),a b 的距离，z a bi r --=表示以(),a b 为圆心，以r 为半径的圆，属于中档题.15．B【分析】 化简得11nn i i i +⎛⎫ ⎪⎭=-⎝，再逐个分析即可.【详解】 因为()()()()111111n n n i i i i i i i ⎡⎤+++⎛⎫⎢⎥ ⎪--+⎝⎭⎣⎦==，又1234,1,,1i i i i i i ==-=-=，故使11+⎛⎫ ⎪-⎝⎭n i i 为正实数的最小自然数n 是4.故选：B【点睛】本题主要考查了n i 的周期性.属于基础题.16．A【解析】解答： ∵()()()()312363212121255a i i a i a a i i i i +-++-==+++-是纯虚数， ∴605{3205a a +=-≠，解得a=−6. 本题选择A 选项.17．A【分析】根据行列式可得(1)(1)(12)0z i i i +--+=，再根据复数的乘除运算即可出复数z ，进而可求出z 即可得到答案.【详解】由已知得(1)(1)(12)0z i i i +--+=，所以(1)3z i i +=+， 所以3(3)(1)4221(1)(1)2i i i i z i i i i ++--====-++-， 所以2z i =+，所以复数z 对应的点坐标为(2,1)在第一象限.故选：A【点睛】本题主要考查二阶行列式的运算，复数的乘除运算及共轭复数，属于基础题.18．34i + 【解析】试题分析：设(,)z a bi a b R =+∈，则z a bi =-，z =2a bi i +=+，所以得：2{1a b ==，解得：3{41a b ==，所以34z i =+． 考点：复数的运算．19．1]【分析】利用复数的几何意义求解，||1z i -=表示复平面内到点(0,1)距离为1的所有复数对应的点，|1|z -表示复平面内到点(1,0)的距离，结合两点间距离公式可求范围.【详解】因为在复平面内，||1z i -=表示到点(0,1)距离为1的所有复数对应的点，即复数z 对应的点都在以(0,1)为圆心，半径为1的圆上；|1|z -表示复数z 对应的点到点(1,0)11=，11=，所以|1|z -的取值范围是1].故答案为：1].【点睛】本题主要考查复数的几何意义，明确几何意义是求解的关键，侧重考查直观想象的核心素养. 20．0b =或221a b +=【分析】 根据复数的运算得出21+z z ()()()222222222212114a a b ab b b a i a b a b +-++--=+--，再由复数是实数的条件得出实数a ，b 应满足的条件.【详解】()22222211()1212z a bi a bi a bi z a bi a abi b a b abi +++===+++++-+-+()()222222212()14ab abi a bi a b a b +--=++-- ()()()22222222222112214a a b b a b i a bi ab a b a b+-++--+=+-- ()()()2222322222212214a a b ab b a b b a b i a b a b+-+++--=+-- ()()()222222222212114a a b ab b b a i a b a b+-++--=+-- 因为21z R z ∈+，故有()2210b b a --=,所以0b =或2210b a --=，即0b =或221a b +=是a ，b 应满足的条件.故答案为：0b =或221a b +=.【点睛】本题考查复数的运算和复数的概念，属于中档题.21．2222x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+---++ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【分析】利用2222()x y x yi +=-分解因式．【详解】2244222222()()22x y x y i x y i x yi x y ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥⎢⎥+=+-=-⋅-⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦2222x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 【点睛】本题考查在复数范围内因式分解．在复数范围内每个n 次多项式都可以分解成n 个一次因式之积．22．0或【分析】根据方程2(12)2(1)0ax i x a i ++--=有实根，设实根为x ，转化为()22220ax x a x a i +-++=，利用复数相等求解.【详解】因为方程2(12)2(1)0ax i x a i ++--=有实根，设实根为x ，则()22220ax x a x a i +-++=， 所以220220ax x a x a ⎧+-=⎨+=⎩， 化简得：()230a a -=，解得0a =或a =故答案为：0或【点睛】本题主要考查复系数方程的解法以及复数相等的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.23．圆2220x y x ++=【分析】设z x yi =+，代入0zz z z ++=整理化简即可.【详解】解：设z x yi =+，则()()()()0x yi x yi x yi x yi +--+++=， 整理得2220x y x ++=，即z 对应点的轨迹是圆2220x y x ++=. 故答案为：圆2220x y x ++=.【点睛】本题考查共轭复数的概念，复数的运算及复数的几何意义，是基础题.。
上海版矩阵与行列式基础练习题
矩阵与行列式习题本试卷共18题，时间60分钟，总分值100分〕班级： ： 一、填空选择题：〔每题3分，共36分〕1、46x A y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13u B v ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且A B =，那么A+AB= 。
2、设231001252437A B -⎛⎫⎛⎫⎪⎪==- ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，那么3A –4B 为 。
3、设A 为二阶矩阵，其元素满足，0a a ji ij =+，i=1，2，j=1，2，且2a a 2112=-，那么矩阵 A= .4、设2442,1221A B -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭則32A B - = ,=AB ，=BA5、假设点A 在矩阵1222-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦对应的变换作用下得到的点为〔3，- 4〕，那么点A 的坐标为 .6、假设202137x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，那么x y +=___________. 7、1212a a b b =1,那么12122233b b a a =-- _____ 。
8、〔1〕行列式z kc c y kb b xka a = ；〔2〕211121__________112-= 9、124221342D -=---，那么21a 的代数余子式21A = 。
10、2413201x x 的代数余子式012=A ，那么代数余子式=21A11、设A 为3阶方阵，且3A =，那么2A -=______________12、如果方程组⎩⎨⎧=++=++0101dy cx by ax 的系数行列式1=d c b a ，那么它的解为二、简答题〔每题8分，共64分〕1、⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=533201A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=013164245B 求()AB .2.1011A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，分别计算23A A 、，猜想*(2)n A n n ≥∈N ，；3. 将以下线性方程组写成矩阵形式，并用矩阵变换的方法求解:⑴ 32110250x y x y --=⎧⎨+-=⎩；⑵111612102113x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.4、函数f(x)=xa x+1111111 ，其中a 是实数，求函数f(x)在区间[2,5]上的最小值。
2020届上海(沪教版)高考考典——第8章-矩阵和行列式初步教师版
第8章矩阵和行列式初步考点解读1.理解矩阵的有关概念（1）矩阵的定义：由m n⨯个数(1,2,3,;1,2,3,)ija i m j n==L L，按一定次序排列成的矩阵表111212122212()nnij m nm m mna a aa a aA aa a a⨯⎛⎫⎪⎪==⎪⎪⎝⎭LLL L L LL，叫做一个m行n列的矩阵，简记为m n⨯矩阵.（2）在一般矩阵中，矩阵中的每个数叫做矩阵的元素；线性方程组11112211211222221122n nn nm m mn n ma x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪++=⎩LLL LL，矩阵A=111212122212nnm m mna a aa a aa a a⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭LLL L L LL叫做一般线性方程组的系数矩阵，A-=11121121222212nnm m ma a a ba a a ba a b⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭LLL L L L LL L叫做一般线性方程组的增广矩阵；如：方程组2538x yx y-=⎧⎨+=⎩对应系数矩阵1231-⎛⎫⎪⎝⎭，其中1行2列的矩阵()()1,2,3,1-叫做系数矩阵的两个行向量；2行1列的矩阵12,31-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭叫做系数矩阵的列向量；（3）当矩阵的行数与列数相等时，该矩阵称为方矩阵，简称方阵；我们把主对角线元素为1、其余元素均为零的方矩阵，如1001⎛⎫⎪⎝⎭，叫做单位矩阵.2.矩阵的运算及其性质（1）矩阵的加法，若111212122212()n n ij m nm m mn a a a a a a A a a a a ⨯⎛⎫⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭L L L L L L L，111212122212()n n ij m n m m mn b b b b b b B b b b b ⨯⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭LL L LL L L，则C A B =+=111112121121212222221122n n n n m m m m mn mna b a b a b a b a b a b a b a b a b +++++++++L LL L L L L.（2）矩阵的加法满足性质: 交换律,结合律.（3）数与矩阵乘法定义：以数k 乘矩阵()ij A a =的每个元素所得的矩阵()ij ka 叫做数k 与矩阵A 相乘的积，记作kA ； （4）设矩阵111211121112212221222122,,a a b b c c A B C a a b b c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.如果它们元素间的关系可以用下列等式表示：1122(1,2;1,2)ij i j i j c a b a b i j =+==，则C 叫做矩阵A 和矩阵B 的积，记作C =AB（5）矩阵A 的初等变换，指的是对A 实施如下变换：3．行列式的有关概念与性质（1）初中代数中，二元线性方程组111222,a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩当12210a b a b -≠时，二元线性方程组有唯一解：1221122112211221c b c b x a b a b a c a c y a b a b -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，为了方便记忆，引入定义a c b d =ad bc -，a c b d 叫做二阶行列式， ad bc -叫做二阶行列式的展开式；设1122a b D a b =，1122x c b D c b =，1122y a c D a c =，则方程组的唯一解可表示为：xy D x D D y D⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. （i ）0D ≠，方程组有唯一解；（ii ）0D =：①x y D D 、中至少有一个不为零，方程组无解； ②0x y D D ==，方程组有无穷多解.（3）三阶行列式的两种展开方法：①按对角线展开.123123123a b c b c a c a b=++321123132a b c b a c a b c---②按一行（或一列）展开.111222333a b ca b ca b c=123231312321213132a b c a b c a b c a b c a b c a b c++---123321322312332()()()a b c b c b a c a c c a b a b=-+-+-(4)把三阶行列式某元素所在的行和列划去，剩下的元素组成的二阶行列式，叫做这个元素的余子式；如果用,i j分别表示某个元素所在的行数和列数，那么这个元素的余子式．补充与提高：行列式运算性质：①把行列式的某一行的所有元素乘以一个数k，等于用k乘以这个行列式；②行列式中某一行所有元素的公因子可以提到行列式记号的外边；③如果行列式中某一行的元素全为0，那么这个行列式的值为0；④交换行列式的任意两行，行列式的绝对值不变，符号相反；⑤如果行列式有两行的对应元素相同，那么这个行列式的值为0；⑥如果行列式有两行的对应元素成比例，那么这个行列式的值为0；⑦如果行列式的某一行的元素都是二项式，那么这个行列式等于把这些二项式各取一项组成相应的行，而其余行不变的两个行列式的和；例如：111222222333a b ca ab bc ca b c'''+++=111222333a b ca b ca b c+111222333a b ca b ca b c'''.注意：红线上三元素的乘积均为正，蓝线上三元素的乘积均为负.乘以(1)i j+-所得的式子，叫做这个元素的代数余子式.（5）三阶行列式D 等于它的任意一行（或列）的所有元素分别和它们的代数余子式的乘积的和.例如：111222333a b c D a b c a b c ==222222a A b B c C ++.(6)三元线性方程组111122223333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，对应系数行列式111222333a b c D a b c a b c =,111222333x d b c D d b c d b c =，111222333y a d c D a d c a d c =，111222333z a b d D a b d a b d =.①当0D ≠时，方程组有唯一解x y z D x D D y D D z D ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩；②当0=0x y D D D =且，时，方程组有无穷多解；③当0x y D D D =且，不全为0时，方程组无解.(7)①三角形的面积公式: △ABC 的三个顶点坐标分别为112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则ABC S =△11223311121x y x y x y .②同一平面上A B C 、、三点共线的充要条件为112233111x y x y x y =0.8.1矩阵的概念例题精讲【例1】写出下列线性方程组的系数矩阵和增广矩阵：（1）3560437x y x y ++=⎧⎨=-⎩（2）214625x z y z x y z -=⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩一个元素的代数余子式通常用这个元素相应的大写字母并附加相同的下标来表示【参考答案】（1）35356,43437-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ （2）1021021014,01462112115--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭8.2矩阵的运算例题精讲【例1】已知矩阵 3 0-2 1A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，矩阵-2 1 2 2B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求矩阵X ，使其满足B X A =-32．【参考答案】813320⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭【例2】已知下列矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3110146,602413,591732C B A ，计算： （1）A(B+C) (2)(B+C)A (3)BA+CA (4)从（1）（2）（3）的计算结果你能得出什么结论？ 【参考答案】（1）1198245⎛⎫ ⎪⎝⎭ （2）151842234610131133---⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪---⎝⎭ （3）151842234610131133---⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪---⎝⎭（4）(B+C)A= BA+CA8.3二阶行列式例题精讲【例1】展开并化简下列行列式： （1）3423- （2）245lg 2lg - 【参考答案】（1）17- （2）2lg 24lg5+【例2】判断m 取什么值时，下列关于x,y 的线性方程组（1）有唯一解？（2）无解？（3）有无穷解？⎪⎩⎪⎨⎧=+-+-=--1)1()1(1)5(22y m x m y m x【参考答案】221(5)(1)(2)(3)1(1)m D m m m m m --==++-+-+221(5)2(1)(2)1(1)x m D m m m ---==-+-+11211y D m m -==++（1）1,2,3m ≠--时，方程组有唯一解； （2）13m =-或 方程组无解； （3）2m =-方程组有无穷解．8.4三阶行列式例题精讲【例1】按要求计算下列行列式（1）直接化简计算行列式D=412101423--的值； （2）按照第一行展开； （3）按照第一列展开． 【参考答案】（1）19D = （2）011110324142421D --=-+（3）01242431214141D ---=-+-【例2】通过对课本知识的学习，我们知道，对于三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333322221111dz c y b x a d z c y b x a d z c y b x a ，其中x ，y ，z是未知数，系数)3,2,1(=i c b a i i i 、、不全为零，当系数行列式D=0时，方程组无解或有无穷多解． 以下是几位同学在D =0的条件下，类比二元一次方程组的解的情况，对三元一次方程组的解的情况的一些探索结论：结论一：当D=0，且0===z y x D D D 时，方程组有无穷多解 结论二：当D=0，且都z y x D D D ,,不为零时，方程组有无穷多解 结论三：当D=0，且0===z y x D D D 时，方程组无解．可惜的是这些结论都不正确，下面分别给出了一些反例，现在请你分析一下，这些给出的方程组分别是哪个错误结论的反例，并说出你的理由．（A ）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++232132032z y x z y x z y x （B ）⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=+0420202y x z y x y x （C ）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++-=+230212z y x z y x y x【参考答案】 （A ）x y z D D D D ====而方程组无解，是结论一的反例． （B ）x y z D D D D ====而方程组无穷多解，是结论三的反例． （C ）0125x y z D D D D ====- 而方程无解，是结论二的反例．过关演练2020年一模汇编——矩阵、行列式一、填空题【宝山2】已知5124=--λλ，则=λ . 【答案】3【解析】由行列式的运算得：524=---)()(λλ，即3=λ【杨浦2】 关于x ，y 的方程组2130x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为【答案】211130-⎛⎫⎪⎝⎭【解析】根据增广矩阵的含义，所以是211130-⎛⎫⎪⎝⎭【长宁，嘉定，金山3】行列式12 31-的值为_______.【答案】7【解析】行列式的化简，12 31-=711--32=⨯⨯）（【浦东4】若关于y x 、的方程组为12x y x y +=⎧⎨-=⎩，则该方程组的增广矩阵为____________．【答案】111112⎛⎫⎪-⎝⎭【解析】矩阵行列式定义【松江6】若关于x y 、的二元一次方程组42mx y m x my m+=+⎧⎨+=⎩无解，则实数m =【答案】2- 【解析】令24401m D m m==-=，2m ∴=±；令22420x m D m m mm+==-=，得0m =或2；令22201y m m D m m m+==--=，得2m =或1-；因为方程组无解，0D ∴=，x D 、y D 不同时为0，2m ∴=-二、选择题【黄浦13】方程2153x x=的解集是（ ） 【A 】{2} 【B 】{2,2}- 【C 】{1,1}- 【D 】{i,i}- 【答案】B【解析】2235,2x x -==±，解集是{2,2}-2020届高三数学一轮复习典型题专项训练6、（2019届嘉定长宁区高三二模）若线性方程组的增广矩阵为2012m n ⎛⎫⎪⎝⎭，则m n +=7、（2019届普陀区高三二模）行列式中第2行第1列元素的代数余子式的值为﹣10，则k＝ ．8、（2019届徐汇区高三二模）函数cos2sin ()3cos x xf x x-=在区间(0,]2π上的最小值为9、（宝山区2018高三上期末）关于x y ，的二元一次方程组x y x y 341310+=⎧⎨-=⎩1、（2019届黄浦区高三二模）行列式1247的值为 2、（2019届闵行松江区高三二模）若x 、y 的方程组10240x my x y n +-=⎧⎨-+=⎩有无穷多组解，则11m n 的值为3、（2019届浦东新区高三二模）若行列式128012x -=，则x =4、（2019届杨浦区高三二模）函数arcsin 211xx y =-的值域是5、（2019届宝山区高三二模）方程sec 301sin x x=的解集为__________的增广矩阵为 （ ）（A ）3411310-⎛⎫⎪-⎝⎭ （B ）3411310⎛⎫ ⎪--⎝⎭ （C ）3411310⎛⎫⎪-⎝⎭ （D ）3411310⎛⎫ ⎪⎝⎭10、（奉贤区2018高三上期末）关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是⎪⎪⎭⎫⎝⎛222111c b a c b a ，则方程组存在唯一解的条件是（ ）．A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛21a a 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21b b 平行 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21a a 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21c c 不平行 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21a a 与⎪⎪⎭⎫⎝⎛21b b 不平行 D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21b b 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21c c 不平行 11、（杨浦区2018高三上期末）已知一个关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是112012-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y += 12、（虹口区2019届高三一模）若复数sin i 1cos iz θθ-=（i 为虚数单位），则||z 的最大值为 13、（宝山区2019届高三上期末（一模））关于,x y 的二元一次方程组的增广矩阵为12-3015⎛⎫⎪⎝⎭，则x y += ．14、（奉贤区2019届高三上期末（一模））下列以行列式表达的结果中，与sin()αβ-相等的是（ ）A.sin sin cos cos αβαβ- B.cos sin sin cos βαβα C. sin sin cos cos αβαβ D. cos sin sin cos ααββ-15、（黄浦区2019届高三上期末（一模））已知三阶行列式123456789，元素8的余子式的值与代数余子式的值之和为16、（闵行区2019届高三上期末（一模））方程110322x =-的解为17、（浦东新区2019届高三上期末（一模））不等式2log 1021x >的解为18、（松江区2019届高三上期末（一模））若增广矩阵为1112m m m m +⎛⎫⎪⎝⎭的线性方程组无解，则实数m 的值为19、（徐汇区2019届高三上期末（一模））若数列{}n a 的通项公式为*2()111n na n N n n=∈+，则lim n n a →∞=___________.20、（杨浦区2019届高三上期末（一模））在行列式274434651xx--中，第3行第2列的元素的代数余子式记作()f x ，则1()y f x =+的零点是参考答案： 二、行列式1、－12、33、34、14[,]22ππ-+ 5、,3x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭6、37、－148、9、C 10、ｃ 11、－16012、1213、－8 14、C 15、0 16、2log 5x = 17、(4,)+∞ 18、－1 19、－1 20、－1。
沪教版(上海)高三年级新高考辅导与训练第七章矩阵与行列式、算法初步、复数二、算法初步
沪教版（上海）高三年级新高考辅导与训练第七章矩阵与行列式、算法初步、复数二、算法初步学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如图是把二进制的数11111化成十进制数的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是( )A ．4i >？B ．5i >？C ．4i ≤？D ．5i ≤？ 2．下面的结论正确的是（ ）A ．一个程序的算法步骤是可逆的B ．一个算法可以无止境地运算下去的C ．完成一件事情的算法有且只有一种D ．设计算法要本着简单方便的原则3．下面对算法描述正确的一项是（ ）A ．算法只能用自然语言来描述B ．算法只能用图形方式来表示C ．同一问题可以有不同的算法D ．同一问题的算法不同，结果必然不同4．下列说法不正确的是（ ）．A ．任何一个算法一定含有顺序结构B ．任何一个算法都可能由顺序结构、条件结构、循环结构构成C ．循环结构中一定包含条件结构D ．条件结构中一定包含循环结构5．计算下列各式中S 的值，能设计算法求解的是（ ）．①12330S =++++…；②12330S =+++++……；③()*123S n n N =++++∈…．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③6．某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内为A ．k ＞4?B ．k ＞5?C ．k ＞6?D ．k ＞7?7．如果执行程序框图，输入正整数n ，m ，满足n m >，那么输出的p 等于（ ）．A ．1C m n -B ．1m n P -C ．C mn D ．mn P二、解答题8．设计算法求：11×2＋12×3＋13×4＋…＋199×100的值，要求画出程序框图．9．用二分法求方程5310x x -+=在(0,1)上的近似解，精确到0.001，写出算法，并画出流程图.10．某电信部门规定：拨打市内电话时，如果通话时间不超过3min，则收取通话费0.20元，如果通话时间超过3min，则超过部分以0.10元/min收取通话费（通话不足1min 时按1min计），试设计一个计算通话费用的算法．（要求写出算法，画出程序框图）11．某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下列问题：（1）写出该城市经过x年后的人口总数关于x的函数关系式；（2）用程序流程图表示计算10年以后该城市人口总数的算法；（3）用程序流程图表示如下算法：计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人．三、填空题12．一个算法步骤如下:第一步,S取0,i取1.第二步,如果i≤10,则执行第三步;否则,执行第六步.第三步,计算S+i并将结果代替S.第四步,用i+2的值代替i.第五步,执行第二步.第六步,输出S.运行以上步骤输出的结果为S=____.13．阅读如图的流程图，若输入的a，b，c分别是21，32，75，则输出的a，b，c 分别是________．14．某算法的程序框图如图所示，则输出量y与输入量x满足的关系式是．15．为调查中学生平均每人每天参加体育锻炼的时间X （单位：min ），按锻炼时间分下列四种情况统计：（1）0~10min ；（2）11~20min ；（3）21~30min ；（4）30min 以上，有10000名中学生参加了此项活动，下图是此次调查中某一项的流程图，若平均每天参加体育锻炼的时间在0~20min 的学生频率是0.15，则输出的结果为________．四、双空题16．已知()|6|f x x =-，以下程序框图表示的是给定x 的值，求其函数值的算法．请将该程序框图补充完整．其中①处应填________，②处应填________．参考答案1．C【分析】根据程序框图依次计算得到答案.【详解】根据程序框图：1,1S i ==；3,2S i ==；7,3S i ==；15,4S i ==；31,5S i ==，结束.故选：C .【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力.2．D【解析】试题分析：根据算法的基本特征，即可得到结论．解：算法需每一步都按顺序进行，并且结果唯一，不能保证可逆，故A 不正确； 一个算法必须在有限步内完成，不然就不是问题的解了，故B 不正确；一般情况下，完成一件事情的算法不止一个，但是存在一个比较好的，故C 不正确； 设计算法要尽量运算简单，节约时间，故D 正确，故选D ．点评：本题考查算法的基本特征，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题． 3．C【解析】试题分析：用算法的定义逐一来分析判断各选项的正确与否．解：算法的特点：有穷性，确定性，顺序性与正确性，不唯一性，普遍性算法可以用自然语言、图形语言，程序语言来表示，故A 、B 不对同一问题可以用不同的算法来描述，但结果一定相同，故D 不对．C 对．故应选C ．点评：考查算法的定义以及算法的表示形式，算法的特征，考查很详细．4．D【分析】根据条件结构中，有些程序，只须进行一次判断就可结束即可得出答案.【详解】解：条件结构中不一定包含循环结构，如有些程序，只须进行一次判断就可结束，循环结构须按照一定条件，反复执行某一处理步骤，这就涉及条件结构，故C 正确，D 不正确. 故选：D.【点睛】本题主要考查对顺序结构、条件结构、循环结构的理解，属于基础题.5．B【分析】根据算法的有限性即可得到答案.【详解】根据算法的有限性可知：②不能设计算法求解，而①③都可以通过有限的步骤求解，输出确定的结果.故选：B【点睛】本题主要考查算法的有限性，属于简单题.6．A【解析】试题分析：由程序框图知第一次运行112,224k S =+==+=，第二次运行213,8311k S =+==+=，第三次运行314,22426k S =+==+=，第四次运行4154,52557k S =+=>=+=，输出57S =，所以判断框内为4?k >，故选C. 考点：程序框图.7．D【分析】该程序的作用是利用循环计算并输出变量P 的值，模拟程序的运行，对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．【详解】解：第一次循环：k ＝1，p ＝1，p ＝()11n m ⨯-+；第二次循环：k ＝2，p ＝()()12n m n m -+⨯-+第三次循环：k ＝3，p ＝()()()123n m n m n m -+⨯-+⨯-+…第m 次循环：k ＝m ，p ＝()()()()121n m n m n m m n m m -+⨯-+⨯⨯-+-⨯-+ 此结束循环，输出p ＝()()()121n m n m n n -+⨯-+⨯⨯-⨯＝m n P故选：D【点睛】解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.8．见解析【详解】这是一个累加求和问题，共99项相加，可设计一个计数变量，一个累加变量，用循环结构实现这一算法；程序框图如下图所示．9．见解析【分析】利用二分法得到算法：取[,]a b 中点01()2b x a =+，判断()0()f a f x 符号，依次进行直到满足精度，再画出流程图得到答案.【详解】算法：第一步：取[,]a b 中点01()2b x a =+，将区间一分为二； 第二步：若()00f x =，则0x 就是方程的根；否则所求根*x 在0x 左侧或右侧； 若()0()0f a f x >，则()*0,x x b ∈，以0x 代替a ； 若()0()0f a f x <，则()*0,x a x ∈，以0x 代替b ； 第三步：若||a b c -<，计算终止，此时*0x x ≈，否则转到第一步.【点睛】本题考查了利用二分法解方程的算法和程序框图，意在考查学生的理解能力和应用能力. 10．见解析【分析】根据题意，列出满足题意的分段函数，然后根据分段函数，设计算法步骤，写出框图即可.【详解】我们用c （单位：元）表示通话费，t （单位：min ）表示通话时间，则依题意有0.2,030.20.1(3),3t c t t <≤⎧=⎨+->⎩．算法步骤如下：第一步，输入通话时间t ；第二步，如果3t ≤，那么0.2c =；否则令0.20.1(3)c t =+-；第三步，输出通话费用c ．程序框图如图所示．【点睛】本题考查分段函数和程序框图，属于基础题.11．（1）()()1001 1.2%x x N y =+∈；（2）见解析；（3）见解析. 【分析】（1）利用指数函数的定义可得出该城市经过x 年后的人口总数关于x 的函数关系式； （2）根据（1）中求得的函数解析式，利用循环结构框图可表示计算10年以后该城市人口总数的算法；（3）根据（1）中所求的函数解析式，即求满足100 1.012120n ⨯≥成立的最小正整数n ，在判断框图就可以设定判断条件为100 1.012120n ⨯<，当条件满足时继续循环；当条件不满足时跳出循环体.由此可利用程序框图来表示算法：计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人.【详解】（1）一年后，该城市的人口数为()1001 1.2%⨯+；二年后，该城市的人口数为()21001 1.2%⨯+；； x 年后，该城市的人口数为()1001 1.2%x ⨯+.因此，该城市经过x 年后的人口总数关于x 的函数关系式为()()1001 1.2%x x N y =+∈；（2）程序框图如下图所示：（3）程序框图如下图所示：【点睛】本题考查函数模型解析式的确定，同时也考查了利用程序框图表示算法，属于中等题. 12．25【解析】运行算法，有S=1+3+5+7+9=25故答案为：25．13．75，21，32【分析】按照流程图运行程序即可得到结果.【详解】按照流程图运行程序，输入21a =，32b =，75c =，则21x =，75a =，32c =，21b =，输出结果为：75a =，21b =，32c =. 故答案为：75，21，32.【点睛】本题考查根据流程图计算输出结果的问题，属于基础题.14．2(1){2(1)x x y x x ≤=-> 【解析】根据框图，当输入的x 的值满足条件1x >时，2y x =-，不满足条件1x >时，2x y =，即当1x ≤时，2x y =.x 的取值范围不同，y 有不同的表达式，故这是一个分段函数.15．8500【分析】分析程序框图，可知输出的S 的值是运动时间超过20分钟的学生人数，结合平均每天参加体育锻炼的时间在0~20分钟的时间的学生的频率是0.15，及总人数是10000，运算即得解【详解】由图可知输出的S 的值是运动时间超过20分钟的学生人数，由于统计总人数是10000，又平均每天参加体育锻炼的时间在0~20分钟的时间的学生的频率是0.15，由于事件“平均每天参加体育锻炼事件超过20分钟的学生”的频率是1-0.15，故运动时间不超过20分钟的学生人数是10000(10.15)8500⨯-=故答案为：8500【点睛】本题考查了程序框图的应用，考查了学生综合分析，逻辑推理，数学运算能力，属于基础题 16．6x ≤ 6y x =-【解析】【分析】根据66()|6|66x x f x x x x -≤⎧=-=⎨->⎩ 即得解. 【详解】由题得66()|6|66x x f x x x x -≤⎧=-=⎨->⎩ ， 所以①处应填：6x ≤；②处应填：6y x =- .故答案为：6x ≤；6y x =-.【点睛】本题主要考查程序框图，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.。
上海版矩阵与行列式基础练习题
上海版矩阵与行列式基础练习题换的方法求解:⑴32110250x y x y --=⎧⎨+-=⎩； ⑵111612102113x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.4、已知函数f(x)=x a x +1111111 ，其中a 是实数，求函数f(x)在区间[2,5]上的最小值。
5、计算D=a a aaa -----1101101的值6. 用行列式解下列方程组：（1）⎩⎨⎧=++=+-0162032y x y x ； （2）⎩⎨⎧=+=++5lg 4lg 301lg 5lg 2y x x y ．7. 若关于x 、y 、z 的方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=++m z x mz m y x z y x 212有唯一解，求m 所满足的条件，并求出唯一解．8. 解关于x 、y 、z 的三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++31z y x a z ay x az y x ，并讨论解的情况．1． (上海 3) 若行列式417 5 x x 38 9中，元素4的代数余子式大于0，则x 满足的条件是______ 2．（2010年高考上海市理科4）行列式的值是 。
3．（2010年上海市春季高考11) 方程的解集为 。
4.(2011·上海)行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d (a ，b ，c ，d ∈{－1,1,2})所有可能的值中，最大的是________．5．(2012年高考上海卷理科3)函数1sin cos 2)(-= x x x f 的值域是 .6．【上海市青浦区2013届高三上学期期末文】若=642531222c b a 222222C c B b A a ++，则2C 化简后的最后结果等于____ _______．7． 【上海市松江区2013届高三上学期期末文】若行列式,021421=-x 则=x ．计数原理(20131220)作业[1]10个人走进只有6把不同椅子的屋子，若每把椅子必须且只能坐一人，共有多少种不同的坐法？[2]从－3，－2，－1,0，1,2，3，4八个数字中任取3个不同的数字作为二次函数c+=2axbxy+的系数a，ｂ，ｃ的取值，问共能组成多少个不同的二次函数？[3]以三棱柱的顶点为顶点共可组成多少个不同的三棱锥？[4]4名男生和3名女生并坐一排，分别回答下列问题：（1）男生必须排在一起的坐法有多少种？（2）女生互不相邻的坐法有多少种？（3）男生相邻、女生也相邻的坐法有多少种？（4）男女生相间的坐法有多少种？（5）女生顺序已定的坐法有多少种？[5]某运输公司有7个车队，每个车队的车均多于4辆，现从这个车队中抽调出10辆车，并且每个车队至少抽调一辆，那么共有多少种不同的抽调方法？[6]用0,1，2，…，9这十个数字组成无重复数字的四位数，若千位数字与个位数字之差的绝对值是2，则这样的四位数共有多少个？7．某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、体育、音乐6节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，一共有多少种不同的排法？8.在7名运动员中选出4人组成接力队，参加4×10 0米接力赛，那么甲、乙两人都不跑中间两棒的安排方法有多少种？9．有5双不同型号的皮鞋，从中任取4只有多少种不同的取法？所取的4只中没有2只是同型号的取法有多少种？所取的4只中有一双是同型号的取法有多少种？10.一个五棱柱的任意两个侧面都不平行，且底面内的任意一条对角线与另一底面的边也不平行，以它的顶点为顶点的四面体有多少个？11.4名男生5名女生，一共9名实习生分配到高一的四个班级担任见习班主任，每班至少有男、女实习生各1名的不同分配方案共有多少种？12.有6本不同的书，分给甲、乙、丙三人.（1）甲、乙、丙三人各得2本，有多少种分法？（2）一人得1本，一人得2本，一人得3本，有多少种分法？（3）甲得1本，乙得2本，丙得3本，有多少种分法？（4）平均分成三堆，每堆2本，有多少种分法？矩阵与行列式(20131220)课后作业答案本试卷共18题，时间60分钟，满分100分）班级：姓名：一、填空选择题：（每题3分，共36分）1、已知46xAy⎛⎫= ⎪⎝⎭，13uBv⎛⎫= ⎪⎝⎭，且A B=，那么A+AB=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛36302026 。
沪教版(上海) 高三年级 新高考辅导与训练 第七章 矩阵与行列式、算法初步、复数 本章测试
沪教版(上海) 高三年级新高考辅导与训练第七章矩阵与行列式、算法初步、复数本章测试一、单选题(★★) 1. 如果执行如图所示的程序框图，那么输出的（）．A．1B．C．D．(★★) 2. 图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形图表示学生人数依次记为A 1、A 2、…A 10（如A 2表示身高（单位：cm）在[150，155 内的人数]．图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160~180cm（含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是A．i<6B．i<7C．i<8D．i<9(★★★) 3. 关于，的方程组，则下列说法错误的是（）．A．一定有解B．可能有唯一解C．可能有无穷多解D．可能无解(★★★) 4. 设为复数，且，则（）．A．B．C．D．为虚数(★) 5. 若复数是纯虚数，则实数的值为（）A．1B．2C．1或2D．-1(★★★) 6. 当时，（）A．1B．-1C．D．(★★) 7. 设，方程的根有（）.A．1个B．2个C．3个D．4个(★★) 8. 设，那么为纯虚数的充要条件是（）A．B．且C．D．且(★) 9. 已知，，则三个不同点，，共线是的（）．A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既非充分又非必要条件(★) 10. 设的共轭复数是，若，，则等于（）A．B．C．D．(★★★) 11. 某店一个月的收入和支出总共记录了个数据，，…，，其中收入记为正数，支出记为负数．该店用下边的程序框图计算月总收入和月净盈利，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的（）．A．，B．，C．，D．，(★★★) 12. 方程在复数集中的解有( )A．2个B．4个C．6个D．8个(★★) 13. 对一元二次方程下列命题中不正确的是（）．A．两根，满足，B．两根，满足C．若，则方程有两个不等实根D．若，则方程有两个等根(★★★) 14. 方程的根的情况是（）．A．有两个不等实根B．有一对共轭虚根C．有一个实根，一个虚根D．有两个不共轭虚根二、填空题(★) 15. 若复数 z 满足z (1+i) =1-i( 是虚数单位)，则其共轭复数=____________ (★★★) 16. 关于，的方程组无实数解，则________．(★) 17. 若行列式中，元素4的代数余子式大于0，则 x满足的条件是________________________ .(★★★) 18. ，，则________．(★★★) 19. 分解因式：________．(★★) 20. ________．(★★) 21. 方程的解为________．(★) 22. 若关于的方程有实根，为虚数单位，则实数的取值为________．(★) 23. 某算法的程序框图如图所示，则输出量与输入量满足的函数关系是________ ．(★★) 24. 若是纯虚数，则实数的值是 _____ ．(★★) 25. 实数取________时，方程组有非零解．(★) 26. 在行列矩阵中，记位于第行第列的数为．当时，________．三、解答题(★) 27. 已知，试求实数，的值．(★★★) 28. 若满足，则判断的形状．(★★★) 29. 设复数集合，求集合中元素的模的范围．(★★) 30. 已知方程有两根，，且，，满足，求实数．(★★) 31. 直线与双曲线交于点，，点的坐标为，求的面积．(★★★)32. 已知分别为中角，，的对边，若满足，试判别的形状．(★★★) 33. 已知复数，，，，，满足，．（1）若所对应点在圆上，求所对应点的轨迹；（2）是否存在这样的直线，对应点在上，所对应点也在直线上？若存在，求出所有这些直线；若不存在，请说明理由．四、双空题(★★) 34. 随机抽取某产品件，测得其长度分别为，则如图所示的程序框图输出的 _______ ，表示的样本的数字特征是 ________ ．（注：框图上（右）中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：=”）。
2019年沪教版高二必修三第九章矩阵与行列初步单元练习题.doc
a b B. a cC. a dd eb db eD .c2019年沪教版高二必修三第九章矩阵与行列初步单元练习题一、单选题x + 5y = 01关于，『的二元一次方程组h + 3y = 4的系数行列式°为（）0 5 1 0 1 5 6 0 A B. C.D. 4 32 4 23 5 4x+5y=02关于” 丁的二元一次方程组h + 3y = 4'其中行列式°为（）0 51 0 0 5 0 5 AB. C.D. -4 3 2 44 3 -4 3 3.展开式为加-be 的行列式是（ ）« = （«!，a,）,Z? =（Z2P ^2）,c = （q,c 2）,则此线性方程组有无穷多组解的充要条件是（） A.Q + /?+C =0 B.a 、b 、c 两两平行C. Q //Z?D. a 、b 、c 方向都相同（_ 345.若线性方程组的增广矩阵是（；::；），解为「［菊，则b 2-b r 的值为（ ）V — 21A.l B 2C.3D.48 1 66.三阶行列式3 5 7 中，元素9的代数余子式的值为（ )4 9 2A.38B -38C.360D.-360(\n7.设A=是一个二阶方程，100个A 的乘积A 100=（）2- /丿4.己知关于兀、y 的二元一次线性方程组的增广矩A. 2" AB.3"AC.2100AD.3100A[3加12•增广矩阵为’切1 贝\\m+n13•行列式-2 1 Acosx Asinx 114.用行列式讨论关于x, y的方程x+my = -6(m 一2)x + 3 y +2m = 0的解的情x + 5 v = 08关于」『的二次一次方程组h + 3y = 4'其中行列式°为<)A .05 B.10 C.5 D.5 -4324434-3二、填空题4 19.行列式2§的值为一•log “ X -1 110.设a>0, azl,行列式2 0 1中第3行第2列的元素的代数余子1 2 -3式记作儿函数y = /(x)的反函数经过点(1,2),贝ijx _____________________ .-5 6 711.三阶行列式4 2X 1中元素-5的代数余子式为/(%),则方程f(x) = 0的解为0 3 1一\ X = 1的二元-次方程组的实数解是丄2三、解答题0.5A0 (A>0)按第一列展开得73M n-2M21+M31,COSX记函数f(x) = M n +M2l,且/(X)的最大值是4.⑴求4；(2)将函数y = f(x)的图像向左平移誇个单位，再将所得图像上各点的横坐标扩大为原(JT J \jT \来的2倍，纵坐标不变，得到函数y = g(x)的图像，求g(x)在[-右，在-J上的值域.参考答1. c【解关于x，y的二元一次方程组［：+牛=°的系数行列式D =:［2x + 3y = 0 2C【解x + 5y = 0关升的二元-次方程组］2+尸4的系数行列式:B【解ab,=ac-bd,错误; de bd=ad-be_ ad正确；=ac-bdb c故选C.故选C.ba错误；,=bc-ad,错d c误，故选B.4. B【解析】试题分析：由题意，二元一次线性方程组有无穷多组解等价于方程组中未知数的系数与常数项对应成比例a = (a l,a2),b =(Z^,Z?2),c =(q,c2),所以a、b、c两两平行，答案为B. 考点：二元线性方程组的增广矩阵的涵义.5. C【解析】【分析】由题意得5x|i + gh1 = 10, 2x|i + gh2 = 8,解方程即可得到所求值.【详解】由题意得5x^ + 1^^ = 10, 2><善 + 綁2 = 8,解得加=2, Z>2 = 5,则b2— b T = 3,故选C.【点睛】本题主要考查了线性方程组的解法，以及增广矩阵的概念，考查运算能力，属于中档题.6. B【解析】【分析】元素9为@2，先求得M32，然后由(-1)心M..求得代数余子式.【详解】依题意«32 =9,陆2 = ；=38，所以元素9的代数余子式的值为(-l)3+2M32 =-38. 故选：B.【点睛】本小题主要考查三阶行列式的代数余子式的求法，属于基础题.7. B【解析】【分析】根据矩阵乘法的定义运算。
沪教版(上海)高二第一学期新高考辅导与训练第9章矩阵和行列式初步本章复习题
沪教版（上海）高二第一学期新高考辅导与训练第9章矩阵和行列式初步本章复习题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．二元一次方程组35,27x y x y +=⎧⎨-+=⎩的增广矩阵是___________． 2．方程3223x x x =-的实数解是________．3．若ABC 的三个顶点坐标为(1,3),(1,2),(3,7)A B C -，其面积为________． 4．设5x π=，计算：cos2sin 2sin3cos3x xx x =________．5．若关于,x y 的二元一次方程组420x my m mx y m +=-⎧⎨++=⎩有无穷多组解，则m =______． 6．将122313122313a b a b a b b a b a b a ++---表示成一个三阶行列式为________． 7．函数2211sin cos y x x=的最大值是_________． 8．计算：222111x yz x y z =__________．二、双空题9．若121A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，(111)B =-，410C a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，()168b AB C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则a =______，b =______． 10．已知矩阵0110A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，矩阵23B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，向量23⎛⎫ ⎪⎝⎭经过矩阵A 变换为向量AB =_______，变换后的向量与原向量关于直线__________对称．三、单选题11．三阶行列式的两行成比例的是这个行列式的值为零的（ ）A ．充分条件B ．充要条件C ．必要条件D ．非充分非必要条件12．若31110101x ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则x 的值是（ ）． A ．1 B ．1- C ．13- D ．1313．已知1110D a b c k de f ==≠，则222222a b c d e f =（ ）． A ．2k B ．4k C ．8k D ．64k14．已知,,A B C 是33⨯阶矩阵，m R ∈，则下列结论中错误的是（ ）．A ．ABC C B A ++=++B ．ABC CBA = C ．mA A m =⋅D ．()m A B mA mB +=+四、解答题 15．已知矩阵3210A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，2530B ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，120123C ⎛⎫= ⎪--⎝⎭，计算： （1）2A B -；（2）AB ；（3）AC ．16．关于,x y 的二元一次方程组2,231x ay x y a +=⎧⎨-=+⎩有唯一一组正解，求实数a 的取值范围．17．用矩阵变换的方法解方程组：1240233x y z x y z x y z ++=⎧⎪-++=⎨⎪+-=-⎩.18．已知矩阵111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，定义其转置矩阵112111222212n n n nnn a a a a a a A a a a '⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭．若123123123a a a A b b b c c c ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，写出A 的转置矩阵A '，并求行列式||A 与A '．说明两者有什么关系．19．已知()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ．求证：,,A B C 三点共线的充要条件是11 22 33110 1x yx yx y．参考答案1．315127⎛⎫ ⎪-⎝⎭【分析】利用增广矩阵的定义求解.【详解】由增广矩阵的定义得：二元一次方程组35,27x y x y +=⎧⎨-+=⎩的增广矩阵是315127⎛⎫ ⎪-⎝⎭， 故答案为：315127⎛⎫ ⎪-⎝⎭【点睛】本题主要考查增广矩阵，属于基础题.2．1-或6【分析】根据二阶行列式的计算得出关于x 的二次方程，由此可得出实数x 的值.【详解】()233636223x x x x x x x =--=--=-，即2560x x --=，解得1x =-或6. 因此，方程3223x x x =-的实数解是1-或6.故答案为：1-或6.【点睛】本题考查二阶行列式的计算，同时也考查了一元二次方程的求解，考查计算能力，属于基础题.3．6【分析】先求出三角形的三条边长，再由余弦定理求出三角形的一个内角的余弦值，进一步求出正弦值，由三角形的面积公式可得答案.【详解】由(1,3),(1,2),(3,7)A B C -则AB ==AC ==BC ==所以222cos2AB AC BCA AB AC +-===⋅则sin A ===所以11sin 622ABC S AB AC A =⋅⋅== 故答案为：6【点睛】本题考查两点间的距离公式，余弦定理求角，同角关系和求三角形的面积公式，属于基础题. 4．1- 【分析】根据公式化简整理即可.【详解】解：cos 2sin 2cos 2cos3sin 2sin3cos5cos 1sin3cos3x x x x x x x x x π=-===-，故答案为：1-.【点睛】考查行列式的运算；基础题.5．2-【分析】根据两直线重合的条件，求得m 的【详解】依题意二元一次方程组4200x my m mx y m +-+=⎧⎨++=⎩有无穷多组解，即两个方程对应的直线重合，由41m m ⨯=⨯解得2m =或2m =-.当2m =时，二元一次方程组为42020220220x y x y x y x y +=+=⎧⎧⇒⎨⎨++=++=⎩⎩，两直线不重合，故2m =不符合题意.当2m =-时，二元一次方程组为4240220220220x y x y x y x y -+=-+=⎧⎧⇒⎨⎨-+-=-+=⎩⎩，两直线重合，符合题意.综上所述，m 的值为2-.故答案为：2-【点睛】本小题主要考查二元一次方程组有无穷多组解的条件，属于基础题.6．112233111a b a b a b - 【分析】根据三阶行列式的计算公式，求得其三阶行列式.【详解】依题意，122313122313a b a b a b b a b a b a ++---()()231213231312111111a b a b b a b a a b b a ⨯+-=⨯+⨯⨯⨯-⨯⨯-⨯-⨯⨯⨯⨯-112233111a b a b a b =-. 故答案为：112233111a b a b a b - 【点睛】本小题主要考查三阶行列式的计算，属于基础题.7．1【分析】根据行列式的运算性质和三角函数的恒等变换，化简得22cos sin cos 2y x x x =-=，结合余弦函数的性质，即可求解【详解】 根据行列式的运算性质，可得222211=cos sin cos 2sin cos y x x x x x =-=又由[]cos21,1x ∈-，所以函数的最大值为1.故答案为：1.【点睛】本题主要考查了行列式的运算性质，以及余弦函数的性质的应用，其中解答中熟记行列式的运算性质，结合余弦函数的性质求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8．()()()z y y x z x ---【分析】根据三阶行列式的计算方法，计算出所求结果.【详解】原式222222111111y z z x x y z y x z y x =⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯ ()()()222yz z y x z y x z y =-+---()()()()2yz z y x z y x z y z y =-+--+-()()2z y yz x xz xy =-+--()()()z y y x z x =---故答案为：()()()z y y x z x ---【点睛】本小题主要考查三阶行列式的计算，属于基础题.9．6 8【分析】利用矩阵与矩阵的乘法原则进行，先计算111222111AB -⎛⎫ ⎪==- ⎪ ⎪-⎝⎭，再计算14()28214a a B C a A -⎛⎫ ⎪== ⎝-⎭-⎪⎪与已知比较得解.【详解】121A ⎛⎫ ⎪∴= ⎪ ⎪⎝⎭，(111)B =-,410C a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭11112(111)2221111AB -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪∴=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，2821111414()222111410a a B a a A C --⎛⎫⎛-⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪∴-=-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭又()168b AB C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭1428216148a b a a -=⎧⎪∴-=⎨⎪-=⎩，6{8a b =∴= 故答案为：6；8【点睛】本题考查矩阵与矩阵的乘法.矩阵与矩阵的乘法运算规则(1) 行数与（左矩阵）相同，列数与（右矩阵）相同，相乘才有意义(2)ij C 由A 的第i 行元素与B 的第j 列元素对应相乘，再取乘积之和10．32⎛⎫ ⎪⎝⎭y x = 【分析】根据a b x ax by c d y cx dy +⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭即可求解,由几何意义可知对称情况. 【详解】根据矩阵对向量的变换可得201103⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭021*******⨯+⨯⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⨯+⨯⎝⎭⎝⎭,它的几何意义是向量23⎛⎫ ⎪⎝⎭经过矩阵A 变换得到的向量与原向量关于y x =对称.故答案为：32⎛⎫ ⎪⎝⎭；y x =. 【点睛】本题考查矩阵与向量乘法的运算及其意义，考查计算能力，属于基础题.11．A【分析】分别判断充分性和必要性，判断得到答案.【详解】三阶行列式的两行成比例，通过线性变换可以让某一行全为0，则行列式的值为零，充分性； 三阶行列式的值为零，行列式的两行不一定成比例，比如：111121141，非必要.故选：A【点睛】本题考查了充分非必要条件，意在考查学生的推断能力.12．D【分析】由矩阵的乘法运算法则先求出3101x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，再由矩阵相等求出x 的值.【详解】 3111112113110101010101010101x x x x x x x =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以31x =，得13x =故选：D【点睛】本题考查矩阵的乘法运算和根据矩阵相等求参数，属于基础题.13．B【分析】利用行列式的计算规则进行求解，先化简111D ab c d e f =，再化简222222a bc d e f，可得结果. 【详解】因为1110D ab c k def==≠， 所以111b c a c a b k bf ec af cd ae bd efdfde=⨯+⨯+⨯=-+-+-；所以222222a bc de f =222222222b c ac a b e f dfde⨯+⨯+⨯()()()4444bf ec af cd ae bd k =-+-+-=，故选：B. 【点睛】本题主要考查行列式的计算，明确行列式的计算规则是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 14．B 【分析】根据矩阵的运算规则，矩阵满足加法交换律，数乘矩阵交换律、分配律，不满足矩阵乘法的交换律，即可选出答案. 【详解】根据矩阵的运算规则，矩阵满足加法交换律，A 正确；数乘矩阵交换律、分配律，故CD 正确；不满足矩阵乘法的交换律，故B 错误. 故选：B. 【点睛】本题考查了矩阵的运算规则，属于容易题.15．（1）18250A B --⎛⎫-= ⎪⎝⎭ （2）01525AB ⎛⎫= ⎪--⎝⎭（3）1106120AC -⎛⎫= ⎪--⎝⎭ 【分析】（1）根据矩阵加减运算法则求解； （2）根据矩阵乘法运算法则求解； （3）根据矩阵乘法运算法则求解. 【详解】 （1）32253210182103010605042A B --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎝=⎭⎭； （2）3225322(3)35200151030120(3)150025AB ；（3）32120312(1)3222302(3)=10123(1)10(1)(1)202(1)00(3)AC ⨯+⨯-⨯+⨯⨯+⨯-⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪ ⎪----⨯+⨯--⨯+⨯-⨯+⨯-⎝⎭⎝⎭⎝⎭1106120-⎛⎫= ⎪--⎝⎭【点睛】本题考查矩阵加减运算以及乘法运算，考查基本分析求解能力，属基础题.16．1,12a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭【分析】对a 进行分类讨论， 当12a =-时，该二元一次方程组明显无解， 当12a ≠-时，利用行列式可求得，232213321a a x a ay a ⎧++=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，然后，利用0,0x y >>，可得23202133021a a a a a ⎧++>⎪⎪+⎨-⎪>⎪+⎩然后，求解该不等式组即可求出a 的取值范围. 【详解】11221aa =---当12a =-时，该二元一次方程组明显无解， 当12a ≠-时， 由已知得，2231x ay x y a +=⎧⎨-=+⎩，利用行列式得到223113212121122313312121a a a a x a a a ay a a ⎧⎪+-++⎪==⎪+⎪-⎪⎨⎪⎪+-==⎪+⎪⎪-⎩，所以232213321a a x a ay a ⎧++=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，由于,x y 的二元一次方程组2,231x ay x y a +=⎧⎨-=+⎩有唯一一组正解， 故有23202133021a a a a a ⎧++>⎪⎪+⎨-⎪>⎪+⎩，化简得()()221320(21)(1)0a a a a a ⎧+++>⎪⎨+-<⎪⎩，又2320a a ++>，故再次整理不等式组可得，210(21)(1)0a a a +>⎧⎨+-<⎩，解得112a -<<，故实数a 的取值范围为：1,12a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查利用行列式解二元一次方程组，以及解二元一次不等式方程组的问题，属于中档题.17．10711787x y z ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩.【分析】写出方程组的增广矩阵，然后通过矩阵变换求方程组的解. 【详解】111111111111511240035101332313013514160033⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪-→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---- ⎪⎝⎭⎝⎭-- ⎪⎝⎭110110100111177511111010100103377888001001001777⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪→-→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴原方程组的解为10711787x y z ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩.【点睛】本题考查用矩阵变换的方法解方程组，利用矩阵变换解线性方程组的一般过程为：写出方程组的增广矩阵，通过矩阵变换使系数矩阵变成单位矩阵，则增广矩阵的最后一个列向量给出了方程组的解；考查运算求解能力，是基础题.18．111222333a b c A a b c a b c '⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭；()()()123322133131221||A a b c b c a bc b c a bc b c =---+-；()()()123322133131221A a b b b c a b c b c a b c b c '=---+-； ||A A '=【分析】根据转置矩阵的定义即可写出A 的转置矩阵A '，根据行列式的公式计算即可得出||A ，A '进而得出关系． 【详解】A 的转置矩阵111222333a b c A a b c a b c '⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，231312123231312||b b b b b b A a a a c c c c c c =-+=()()()123322133131221a b c b c a b c b c a b c b c ---+-．()()()221111123123322133131221333322b c b c b c A a a a a b b b c a b c b c a b c b c b c b c b c '=-+=---+-．由上面计算知，||A A '= 【点睛】本题考查根据已知转置矩阵定义求转置矩阵，考查三阶行列式的计算，属于基础题. 19．见解析 【分析】根据向量共线的坐标公式以及行列式的运算性质证明即可. 【详解】因为()2121,AB x x y y =--，()3131,AC x x y y =-- 所以,,A B C 三点共线()()()()()213121312323//AB AC x x y y y y x x x y y x ⇔⇔--=--⇔-()()11221111122131132233332233100101x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y +-+-=⇔+-=⇔= 【点睛】本题主要考查了行列式的初步应用以及由坐标解决三点共线问题，属于中档题.。
沪教版(上海)高二第一学期新高考辅导与训练第9章矩阵和行列式初步9.4(1)三阶行列式
沪教版（上海）高二第一学期新高考辅导与训练第9章矩阵和行列式初步9.4（1）三阶行列式学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．用对角线法则计算行列式：00xy zyxzx--． 2．把41032241D -=--按第一行展开． 3．解方程：111130002x x --=.4．计算：cos cos 0cos 0cos 0cos cos αβγβγα---． 5．计算下列行列式的值：（1）102941320-；（2）102101320-；（3）102840320． 根据计算结果，并观察行列式，你可以得到怎样更一般的结论？二、双空题6．行列式302647219--中，7的余子式为_______，代数余子式为__________．三、填空题7．把51024132---按第二列展开为____________________． 8．用对角线法则计算行列式：10231245-=-____________．9．把22111133332232x y x y x y x y x y x y +-表示成一个三阶行列式为____________． 10．已知(1,1),(1,2),(2,4)A B C -，则ABC 的面积为___________．参考答案1．322x xz xy ++ 【分析】直接利用三阶行列式运算法则计算得到答案. 【详解】()()322200()0()00x y zy x x y z z y xz xy x zx-=+⋅⋅-+⋅⋅------⋅-322x xz xy =++． 【点睛】本题考查了三阶行列式的计算，属于简单题. 2．3202034(1)0412124⎛⎫⨯+-⨯-+⨯ ⎪----⎝⎭【分析】直接根据行列式运算法则计算得到答案. 【详解】4103202030324(1)0412124241-⎛⎫=⨯+-⨯-+⨯ ⎪----⎝⎭--． 【点睛】本题考查了行列式的展开式，属于简单题. 3．1x =或4x = 【分析】根据三阶行列式的计算方法，先得到21111305402x x x x--=-+-，再解一元二次方程，即可得出结果. 【详解】因为111301013130022002x x x x x x ------=-+22(3)2(3)54x x x x x =-+--=-+-，所以方程111130002x x--=可化为2540x x -+-=，即2540x x -+=， 解得：1x =或4x =. 【点睛】本题主要考查解三阶行列式对应的方程，熟记三阶行列式的计算方法即可，属于基础题型. 4．0 【分析】直接根据三阶行列式运算法则计算得到答案. 【详解】()()()cos cos 0cos 0cos cos 0cos cos 0cos cos 0cos 0cos cos αβγβααγγββγα-=⋅⋅-+⋅⋅-+⋅⋅--- ()()()0cos cos cos cos cos cos 0βγααγβ--⋅⋅--⋅-⋅-=.【点睛】本题考查了三阶行列式的计算，属于简单题. 5．（1）14 （2）6 （3）8；结论见详解； 【分析】根据三阶行列式的计算方法，分别计算这三个行列式，再根据计算结果进行合情推理，即可得出结论. 【详解】（1）()102419194941102202181214203032320---=⨯-⨯+⨯=-+-=； （2）1020111101011022022620303232---=⨯-⨯+⨯=-+⨯=；（3）()10240808484010200216128203032320=⨯-⨯+⨯=-+⨯-=；由计算结果可得：102102102102941101018403203203201803204+++-=-+=-； 由此可得一般结论如下：设行列式的某一行（或列）的元素都可以写成两项的和那么这个行列式等于把这些两项和各取一项作为相应的行（或列），其余行（或列）不变的两个行列式的和，即111213111213111213212122222323212223212223313233313233313233a a a a a a a a abc b c b c b b b c c c a a a a a a a a a +++=+.【点睛】本题主要考查计算三阶行列式，以及数与式的合情推理，属于常考题型. 6．3021- 3021--【分析】根据余子式与代数余子式的概念，直接可得出结果. 【详解】由题意，7的余子式为3021-，因为7处在第2行第3列，所以其代数余子式为：()23303012121+-=---.故答案为：3021-；3021--.【点睛】本题主要考查求行列式的余子式与代数余子式，熟记概念即可，属于基础题型.7．510215050241(1)4032322132-⎛⎫⎛⎫=-⨯-+⨯+⨯- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭--【分析】根据行列式的计算方法，直接展开，即可得出结果. 【详解】把51024132---按第二列展开为： 510215050241(1)4032322132-⎛⎫⎛⎫=-⨯-+⨯+⨯- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭--.故答案为：510215050241(1)4032322132-⎛⎫⎛⎫=-⨯-+⨯+⨯- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭--.【点睛】本题主要考查三阶行列式的展开，熟记行列式的计算方法即可，属于基础题型. 8．23 【分析】利用行列式的对角线法则直接求解. 【详解】()()()()10203113501220423241150023245-=⨯-⨯-+⨯⨯+⨯⨯-⨯-⨯-⨯⨯--⨯⨯=-故答案为：23 【点睛】本题主要考查三阶行列式展开式的求法以及行列式的对角线法则，还考查了运算求解的能力，属于基础题.9．112233312x y x y x y --【分析】直接利用三阶行列式的运算法则计算得到答案. 【详解】11221111223333223333212x y x y x y x y x y x y x y x y x y +-=--.故答案为：112233312x y x y x y --. 【点睛】本题考查了三阶行列式的计算，属于简单题. 10．72【分析】直接利用行列式计算面积公式计算得到答案. 【详解】111117121242414222241ABCS =-=-+-+-=△. 故答案为：72. 【点睛】本题考查了根据行列式计算三角形面积，属于简单题.。
沪教版(上海)高二第一学期新高考辅导与训练第9章矩阵和行列式初步9.3二阶行列式
沪教版（上海）高二第一学期新高考辅导与训练第9章矩阵和行列式初步9.3二阶行列式学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．展开并化简下列行列式：221111m m m m m m --++++.2．利用行列式解方程组：24,35 2.x y x y +=⎧⎨-=⎩3．利用行列式解此方程组：30,3(2)0.mx y x m y m +-=⎧⎨++-=⎩4．不等式22032x x >-的解集为__________.5．求和：()*111111112462111111113214n n N n ++++∈+.6．利用行列式解下列方程组： （1）3114523x y x y +=⎧⎨+=⎩；（2）410761510x y x y +=⎧⎨+=⎩；（3）3456810x y x y +=⎧⎨+=⎩. 7．利用行列式解方程组：(1)0,240.m x y m x my -++=⎧⎨++=⎩二、双空题8．展开并化简下列行列式： （1）52101-=__________；（2）sin cos sin cos ααββ=____________.三、填空题9．将代数式256a a -+用行列式表示为___________.10．计算12121211221212a a a a a ab c b c b b c c =+++是否正确？______________.11．已知2075x=-，则x =________.12．已知关于,x y 的方程组()222(1)1,(1)1a x a y a a x a y a ⎧--+=+⎪⎨-+=-⎪⎩有唯一解，则实数a 的取值范围是__________.四、单选题13．设二元一次方程组为1112220,0.a xb yc a x b y c ++=⎧⎨++=⎩若x Dx D =，则x D 为（ ）.A ．1212b bc c -B ．1122b c b c -C ．1122c b c b -- D ．1122b c b c --14．已知互不相同的三个实数,,{1,2,3}x y z ∈，则行列式0x y z可能的值有（ ）. A ．3个 B ．4个C ．5个D ．6个参考答案1．2- 【分析】直接利用行列式的运算求解. 【详解】()()222211(1)1(1)111m m m m m m m m m m m m --+=-⋅++-+⋅-++++,()()33112m m =--+=-.【点睛】本题主要考查行列式的化简，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2．24111011x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩【分析】分别取得,,x y D D D 的值，进而得到方程组的解，得到答案. 【详解】由方程组24352x y x y +=⎧⎨-=⎩，可得121135D ==--，422425x D ==--，141032y D ==-，所以原方程组的解是24111011x y D x D D y D ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩. 【点睛】本题主要考查了用行列式解方程组问题，其中解答中熟记行列式的运算法则，以及求解方程组的解法是解答的关键，着重考查推理与运算能力. 3．答案不唯一，具体见解析 【分析】利用行行列式求出D ，Dx ，Dy ，然后讨论m 的取值即可求解. 【详解】原方程组化为3,3(2).mx y x m y m +=⎧⎨++=⎩则2123(3)(1)32m D m m m m m ==+-=+-+，31262(3)2x D m m m m ==+=++，239(3)(3)3y mD m m m m==-=+-.①当3m ≠-且1m ≠时，0D ≠，原方程组有唯一解；2,13.1x y D x D m D m y D m ⎧==⎪⎪-⎨-⎪==⎪-⎩②当1m =时，0,0x D D =≠，原方程组无解；③当3m =-时，0x y D D D ===，原方程组有无穷多解.此时方程组为33,3 3.x y x y -=-⎧⎨-=-⎩令()x t t R =∈，则方程组的解为,()33x t t R y t =⎧∈⎨=+⎩.【点睛】本题考查行列式计算、利用行列式求解方程组，考查基本分析求解能力，属基础题. 4．()(),13,-∞-+∞【分析】利用二阶行列式可得出关于x 的二次不等式，解出该不等式即可. 【详解】()22226032x x x x =-->-，整理得2230x x -->，解得1x <-或3x >.因此，原不等式的解集为()(),13,-∞-+∞.故答案为：()(),13,-∞-+∞.本题考查二阶行列式的计算，同时也考查了一元二次不等式的求解，考查计算能力，属于基础题. 5．(21)2(1)n n n -++【分析】根据行列式的运算，求得111112112111n n n n ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭+，再结合裂项法求和，即可求解. 【详解】由行列式的运算，可得11111121112(1)2111n n n n n n ⎛⎫=-=-- ⎪++⎝⎭+，所以原式111111122231n n n ⎛⎫=-+-+⋯+-- ⎪+⎝⎭11(21)1212(1)n n n n n -+⎛⎫=--= ⎪++⎝⎭. 【点睛】本题主要考查了行列式的运算，以及数列的裂项求和的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.6．（1）23x y =⎧⎨=⎩；（2）原方程组无解；（3）()534x t t R t y =⎧⎪∈⎨-=⎪⎩.【分析】（1）计算出0D ≠、x D 、y D ，由此可得出原方程组的解为xy D x D D y D⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩； （2）计算出系数行列式0D =，且0x D ≠，0y D ≠，据此可判断出原方程组无解； （3）计算出0x y D D D ===，据此可判断出原方程组有无穷多解，令x t =，求得y ，由此可得原方程组的解.（1）13745D ==-，11314235x D ==-，11121423y D ==-，故14272137x y D x D D y D -⎧===⎪⎪-⎨-⎪===⎪-⎩；（2）4100615D ==，710501015x D ==≠，4720610y D ==-≠，故原方程组无解；（3）34068D ==，540108x D ==，350610y D ==，故原方程组有无穷多解.令x t =，则原方程组的解为()534x t t R t y =⎧⎪∈⎨-=⎪⎩.【点睛】本题考查利用行列式求解二元一次方程组的解，考查计算能力，属于基础题. 7．答案不唯一，具体见解析 【分析】利用行行列式求出D ，x D ，y D ，然后讨论m 的取值即可求解. 【详解】2112(2)(1)2m D m m m m m-==--=-+，214(2)(2)4x m D m m m m-==-+=-+--，1242(2)24y m m D m m --==-+=---，（1）当1m ≠-且2m ≠时，0D ≠，原方程组有唯一解2,121m x m y m +⎧=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩，（2）当1m =-时，0,60y D D ==≠，原方程组无解， （3）当2m =时，0x y D D D ===，原方程组有无穷多解.此时方程组为2020x y x y ++=⎧⎨++=⎩，令()x t t R =∈，则方程组的解为,()2.x t t R y t =⎧∈⎨=--⎩【点睛】本题考查了利用行列式求二元一次方程组，考查了计算能力，属于基础题. 8．25 sin()αβ- 【分析】利用二阶行列式的计算公式以及两角差的正弦公式即可求解. 【详解】 （1）()525121052025101-=⨯--⨯=+=.（2）()sin cos sin cos cos sin sin sin cos αααβαβαβββ=-=-.故答案为：25；sin()αβ- 【点睛】本题考查了行列式的化简、二倍角的正弦公式，属于基础题. 9．235a a --【分析】先化简256(5)3(2)a a a a -+=--⨯-，再写出所求行列式. 【详解】 因为a b a d b c c d=⨯-⨯，256(5)(2)3a a a a -+=---⨯，所以代数式256a a -+用行列式表示为235a a --.故答案为：235a a --.【点睛】本题主要考查行列式，意在考查学生对该知识的理解掌握水平. 10．正确 【分析】直接利用行列式的运算求解. 【详解】因为()()121222111122=++++-a a a b c a b c b c b c ， 12122121-=+-a b a c a b a c ，而1212122112211212-=++-a a a a a b a b a c a c b b c c ， 所以12121211221212a a a a a abc b c b b c c =+++. 故答案为：正确 【点睛】本题主要考查行列式的计算，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 11．107-【分析】根据二阶行列式可得出关于x 的等式，解方程即可. 【详解】2107075xx =--=-，解得107x =-. 故答案为：107-. 【点睛】本题考查二阶行列式的计算，同时也考查了一次方程的求解，考查计算能力，属于基础题. 12．1()a a R ≠-∈把方程组()222(1)1(1)1a x a y a a x a y a ⎧--+=+⎪⎨-+=-⎪⎩中的两个方程对应两条直线，结合两直线的位置关系，即可求解. 【详解】由方程组()222(1)1(1)1a x a y a a x a y a ⎧--+=+⎪⎨-+=-⎪⎩中的两个方程对应两条直线，则方程组的解就是两直线的交点，要使得两直线只有一个交点，则满足22(2)(1)(1)0a a a a -+-+≠， 即2(1)0a -+≠，解得1()a a R ≠-∈. 故答案为：1()a a R ≠-∈. 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解法，以及两直线位置关系的应用，其中解答中把方程组的解转化为两直线的位置关系是解答的关键，注重考查转化思想，以及计算能力. 13．C 【分析】直接解方程组得到x 的值，再将其解转化为行列式可得x D 的值. 【详解】解：给方程组中第1式、第2式分别乘以21,b b 得12121221212100a b x b b y c b a b x b b y c b ++=⎧⎨++=⎩， 两式相减得，12211221()()0a b a b x c b c b -+-=，当12210a b a b -≠时，1122211211122122c b c b c b c b x a b a b a b a b ---==-， 所以1122x c b D c b -=-【点睛】此题考查的是利用二阶行列式表示二元一次方程组的解，属于基础题. 14．A 【分析】 先计算行列式0x y z，再根据互不相同的三个实数,,{1,2,3}x y z ∈确定可能取值.【详解】x xz y z=,而互不相同的三个实数,,{1,2,3}x y z ∈ 所以2,3,6,xz =，即可能的值有3个 故选：A. 【点睛】本题考查行列式计算，考查基本分析求解能力，属基础题.。
行列式习题及答案
行列式习题及答案【篇一：上海版教材矩阵与行列式习题(有答案)】lass=txt>姓名成绩一、填空题cos1.行列式?3sincos?6sinac?3bd?6的值是 .2.行列式（a,b,c,d?{?1,1,2}）的所有可能值中，最大的是 .?2x?0?3.将方程组?3y?z?2写成系数矩阵形式为 .?5x?y?3?4.若由命题a:“2x31-x20”能推出命题b:“x?a”，则a的取值范围是．?a1x?b1y?c15.若方程组?的解为x?1,y?2，则方程组ax?by?c?222?2b1x?5a1y?3c1?0的解为x? ，y? . ?2bx?5ay?3c?022?26.方程2x4x2?0的解集为.?39?2x1 y1x3 y3?4x1 y1x2 y27.把x2 y2x3 y3表示成一个三阶行列式为. 8.若?abc的三个顶点坐标为a(1,?2),b(?2,3),c(?4,?5)，其面积为 .2x9.在函数f?x???x1?x2?1x中x3的系数是 x110.若执行如图1所示的框图，输入x1?1,x2?2,x3?4,x4?8,则输出的数等于111.矩阵的一种运算???ab??x??ax?by??ab??????????,该运算的几何意义为平面上的点在矩阵的作用下(x,y)????????cd??y??cx?dy??cd??1a???的作用下变换成曲线x?y?1?0，则a?b的b1??变换成点(ax?by,cx?dy)，若曲线x?y?1?0在矩阵??值为 .12.在集合?1,2,3,4,5?中任取一个偶数a和奇数b构成以原点为起点的向量???a,b?.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形，记所有作成的平行四边形的个数为n，其中面积不超过．．．4的平行四边形的个数为m，则m?n二.选择题13.系数行列式d?0是三元一次方程组无解的（） a. 充分非必要条件 b. 必要非充分条件c. 充分必要条件d. 既非充分也非必要条件 14.下列选项中错误的是（）. a.abccacbdd??caddbb.abcd?dcbac.a?3cb?3d?acbdd.???a?c?b?d15.若a,b,c表示?abc的三边长，aa2且满足ba?b?ca?b?c?0， a?b?cb2c2c则?abc是（）.a. 等腰三角形b. 直角三角形c. 等腰直角三角形d. 等边三角形 16. 右边（图2）的程序框图输出结果s?（） a．20 b. 35 c. 40 d .45 2图2三、解答题：1?|x|?5?1??mx?217. 已知p：矩阵?|x|?1的某个列向量的模不小于，行列式q：2?01?余子式的值不小于2.若p是q成立的充分条件，求实数m的取值范围. ．．．．18.已知等比数列{an}的首项a1?1，公比为q，（1）求二阶行列式?10?24?3中元素?1的代数1a1a2a3a4的值；（2）试就q的不同取值情况，讨论二元一次方程组??a1x?a3y?3何时无解，何时有无穷多解？?a2x?a4y??2119.已知函数f(x)?0sinxsinx0xsinx0的定义域为?0,2m???，最大值为4.试求函数g(x)?msinx?2cosx?2??（x?r）的最小正周期和最值．320. 将等差数列an?2n?1(n?n)中n2个项依次排列成下列n行n列的方阵,在方阵中任取一个元素,记为x1,划去x1所在的行与列,将剩下元素按原来得位置关系组成(n-1)行(n-1)列方阵,任取其中一元素x2,划去x2所在的行与列?,将最后剩下元素记为xn,记sn?x1?x2??xn，求lim*n??sn的值。
2020届上海(沪教版)高考考典——第8章-矩阵和行列式初步教师版
第8章矩阵和行列式初步考点解读1.理解矩阵的有关概念（1）矩阵的定义：由m n⨯个数(1,2,3,;1,2,3,)ija i m j n==L L，按一定次序排列成的矩阵表111212122212()nnij m nm m mna a aa a aA aa a a⨯⎛⎫⎪⎪==⎪⎪⎝⎭LLL L L LL，叫做一个m行n列的矩阵，简记为m n⨯矩阵.（2）在一般矩阵中，矩阵中的每个数叫做矩阵的元素；线性方程组11112211211222221122n nn nm m mn n ma x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b++=⎧⎪++=⎪⎨⎪⎪++=⎩LLL LL，矩阵A=111212122212nnm m mna a aa a aa a a⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭LLL L L LL叫做一般线性方程组的系数矩阵，A-=11121121222212nnm m ma a a ba a a ba a b⎛⎫⎪⎪⎪⎪⎝⎭LLL L L L LL L叫做一般线性方程组的增广矩阵；如：方程组2538x yx y-=⎧⎨+=⎩对应系数矩阵1231-⎛⎫⎪⎝⎭，其中1行2列的矩阵()()1,2,3,1-叫做系数矩阵的两个行向量；2行1列的矩阵12,31-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭叫做系数矩阵的列向量；（3）当矩阵的行数与列数相等时，该矩阵称为方矩阵，简称方阵；我们把主对角线元素为1、其余元素均为零的方矩阵，如1001⎛⎫⎪⎝⎭，叫做单位矩阵.2.矩阵的运算及其性质（1）矩阵的加法，若111212122212()n n ij m nm m mn a a a a a a A a a a a ⨯⎛⎫⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭L L L L L L L，111212122212()n n ij m n m m mn b b b b b b B b b b b ⨯⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭LL L LL L L，则C A B =+=111112121121212222221122n n n n m m m m mn mna b a b a b a b a b a b a b a b a b +++++++++L LL L L L L.（2）矩阵的加法满足性质: 交换律,结合律.（3）数与矩阵乘法定义：以数k 乘矩阵()ij A a =的每个元素所得的矩阵()ij ka 叫做数k 与矩阵A 相乘的积，记作kA ； （4）设矩阵111211121112212221222122,,a a b b c c A B C a a b b c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.如果它们元素间的关系可以用下列等式表示：1122(1,2;1,2)ij i j i j c a b a b i j =+==，则C 叫做矩阵A 和矩阵B 的积，记作C =AB（5）矩阵A 的初等变换，指的是对A 实施如下变换：3．行列式的有关概念与性质（1）初中代数中，二元线性方程组111222,a x b y c a x b y c +=⎧⎨+=⎩当12210a b a b -≠时，二元线性方程组有唯一解：1221122112211221c b c b x a b a b a c a c y a b a b -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，为了方便记忆，引入定义a c b d =ad bc -，a c b d 叫做二阶行列式， ad bc -叫做二阶行列式的展开式；设1122a b D a b =，1122x c b D c b =，1122y a c D a c =，则方程组的唯一解可表示为：xy D x D D y D⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. （i ）0D ≠，方程组有唯一解；（ii ）0D =：①x y D D 、中至少有一个不为零，方程组无解； ②0x y D D ==，方程组有无穷多解.（3）三阶行列式的两种展开方法：①按对角线展开.123123123a b c b c a c a b=++321123132a b c b a c a b c---②按一行（或一列）展开.111222333a b ca b ca b c=123231312321213132a b c a b c a b c a b c a b c a b c++---123321322312332()()()a b c b c b a c a c c a b a b=-+-+-(4)把三阶行列式某元素所在的行和列划去，剩下的元素组成的二阶行列式，叫做这个元素的余子式；如果用,i j分别表示某个元素所在的行数和列数，那么这个元素的余子式．补充与提高：行列式运算性质：①把行列式的某一行的所有元素乘以一个数k，等于用k乘以这个行列式；②行列式中某一行所有元素的公因子可以提到行列式记号的外边；③如果行列式中某一行的元素全为0，那么这个行列式的值为0；④交换行列式的任意两行，行列式的绝对值不变，符号相反；⑤如果行列式有两行的对应元素相同，那么这个行列式的值为0；⑥如果行列式有两行的对应元素成比例，那么这个行列式的值为0；⑦如果行列式的某一行的元素都是二项式，那么这个行列式等于把这些二项式各取一项组成相应的行，而其余行不变的两个行列式的和；例如：111222222333a b ca ab bc ca b c'''+++=111222333a b ca b ca b c+111222333a b ca b ca b c'''.注意：红线上三元素的乘积均为正，蓝线上三元素的乘积均为负.乘以(1)i j+-所得的式子，叫做这个元素的代数余子式.（5）三阶行列式D 等于它的任意一行（或列）的所有元素分别和它们的代数余子式的乘积的和.例如：111222333a b c D a b c a b c ==222222a A b B c C ++.(6)三元线性方程组111122223333a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，对应系数行列式111222333a b c D a b c a b c =,111222333x d b c D d b c d b c =，111222333y a d c D a d c a d c =，111222333z a b d D a b d a b d =.①当0D ≠时，方程组有唯一解x y z D x D D y D D z D ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩；②当0=0x y D D D =且，时，方程组有无穷多解；③当0x y D D D =且，不全为0时，方程组无解.(7)①三角形的面积公式: △ABC 的三个顶点坐标分别为112233(,),(,),(,)A x y B x y C x y ，则ABC S =△11223311121x y x y x y .②同一平面上A B C 、、三点共线的充要条件为112233111x y x y x y =0.8.1矩阵的概念例题精讲【例1】写出下列线性方程组的系数矩阵和增广矩阵：（1）3560437x y x y ++=⎧⎨=-⎩（2）214625x z y z x y z -=⎧⎪+=⎨⎪-+=⎩一个元素的代数余子式通常用这个元素相应的大写字母并附加相同的下标来表示【参考答案】（1）35356,43437-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ （2）1021021014,01462112115--⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭8.2矩阵的运算例题精讲【例1】已知矩阵 3 0-2 1A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，矩阵-2 1 2 2B ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求矩阵X ，使其满足B X A =-32．【参考答案】813320⎛⎫-⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭【例2】已知下列矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=3110146,602413,591732C B A ，计算： （1）A(B+C) (2)(B+C)A (3)BA+CA (4)从（1）（2）（3）的计算结果你能得出什么结论？ 【参考答案】（1）1198245⎛⎫ ⎪⎝⎭ （2）151842234610131133---⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪---⎝⎭ （3）151842234610131133---⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪---⎝⎭（4）(B+C)A= BA+CA8.3二阶行列式例题精讲【例1】展开并化简下列行列式： （1）3423- （2）245lg 2lg - 【参考答案】（1）17- （2）2lg 24lg5+【例2】判断m 取什么值时，下列关于x,y 的线性方程组（1）有唯一解？（2）无解？（3）有无穷解？⎪⎩⎪⎨⎧=+-+-=--1)1()1(1)5(22y m x m y m x【参考答案】221(5)(1)(2)(3)1(1)m D m m m m m --==++-+-+221(5)2(1)(2)1(1)x m D m m m ---==-+-+11211y D m m -==++（1）1,2,3m ≠--时，方程组有唯一解； （2）13m =-或 方程组无解； （3）2m =-方程组有无穷解．8.4三阶行列式例题精讲【例1】按要求计算下列行列式（1）直接化简计算行列式D=412101423--的值； （2）按照第一行展开； （3）按照第一列展开． 【参考答案】（1）19D = （2）011110324142421D --=-+（3）01242431214141D ---=-+-【例2】通过对课本知识的学习，我们知道，对于三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++333322221111dz c y b x a d z c y b x a d z c y b x a ，其中x ，y ，z是未知数，系数)3,2,1(=i c b a i i i 、、不全为零，当系数行列式D=0时，方程组无解或有无穷多解． 以下是几位同学在D =0的条件下，类比二元一次方程组的解的情况，对三元一次方程组的解的情况的一些探索结论：结论一：当D=0，且0===z y x D D D 时，方程组有无穷多解 结论二：当D=0，且都z y x D D D ,,不为零时，方程组有无穷多解 结论三：当D=0，且0===z y x D D D 时，方程组无解．可惜的是这些结论都不正确，下面分别给出了一些反例，现在请你分析一下，这些给出的方程组分别是哪个错误结论的反例，并说出你的理由．（A ）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++232132032z y x z y x z y x （B ）⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=+0420202y x z y x y x （C ）⎪⎩⎪⎨⎧=++=++-=+230212z y x z y x y x【参考答案】 （A ）x y z D D D D ====而方程组无解，是结论一的反例． （B ）x y z D D D D ====而方程组无穷多解，是结论三的反例． （C ）0125x y z D D D D ====- 而方程无解，是结论二的反例．过关演练2020年一模汇编——矩阵、行列式一、填空题【宝山2】已知5124=--λλ，则=λ . 【答案】3【解析】由行列式的运算得：524=---)()(λλ，即3=λ【杨浦2】 关于x ，y 的方程组2130x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为【答案】211130-⎛⎫⎪⎝⎭【解析】根据增广矩阵的含义，所以是211130-⎛⎫⎪⎝⎭【长宁，嘉定，金山3】行列式12 31-的值为_______.【答案】7【解析】行列式的化简，12 31-=711--32=⨯⨯）（【浦东4】若关于y x 、的方程组为12x y x y +=⎧⎨-=⎩，则该方程组的增广矩阵为____________．【答案】111112⎛⎫⎪-⎝⎭【解析】矩阵行列式定义【松江6】若关于x y 、的二元一次方程组42mx y m x my m+=+⎧⎨+=⎩无解，则实数m =【答案】2- 【解析】令24401m D m m==-=，2m ∴=±；令22420x m D m m mm+==-=，得0m =或2；令22201y m m D m m m+==--=，得2m =或1-；因为方程组无解，0D ∴=，x D 、y D 不同时为0，2m ∴=-二、选择题【黄浦13】方程2153x x=的解集是（ ） 【A 】{2} 【B 】{2,2}- 【C 】{1,1}- 【D 】{i,i}- 【答案】B【解析】2235,2x x -==±，解集是{2,2}-2020届高三数学一轮复习典型题专项训练6、（2019届嘉定长宁区高三二模）若线性方程组的增广矩阵为2012m n ⎛⎫⎪⎝⎭，则m n +=7、（2019届普陀区高三二模）行列式中第2行第1列元素的代数余子式的值为﹣10，则k＝ ．8、（2019届徐汇区高三二模）函数cos2sin ()3cos x xf x x-=在区间(0,]2π上的最小值为9、（宝山区2018高三上期末）关于x y ，的二元一次方程组x y x y 341310+=⎧⎨-=⎩1、（2019届黄浦区高三二模）行列式1247的值为 2、（2019届闵行松江区高三二模）若x 、y 的方程组10240x my x y n +-=⎧⎨-+=⎩有无穷多组解，则11m n 的值为3、（2019届浦东新区高三二模）若行列式128012x -=，则x =4、（2019届杨浦区高三二模）函数arcsin 211xx y =-的值域是5、（2019届宝山区高三二模）方程sec 301sin x x=的解集为__________的增广矩阵为 （ ）（A ）3411310-⎛⎫⎪-⎝⎭ （B ）3411310⎛⎫ ⎪--⎝⎭ （C ）3411310⎛⎫⎪-⎝⎭ （D ）3411310⎛⎫ ⎪⎝⎭10、（奉贤区2018高三上期末）关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是⎪⎪⎭⎫⎝⎛222111c b a c b a ，则方程组存在唯一解的条件是（ ）．A ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛21a a 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21b b 平行 B ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21a a 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21c c 不平行 C ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21a a 与⎪⎪⎭⎫⎝⎛21b b 不平行 D ．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21b b 与⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21c c 不平行 11、（杨浦区2018高三上期末）已知一个关于x 、y 的二元一次方程组的增广矩阵是112012-⎛⎫⎪⎝⎭，则x y += 12、（虹口区2019届高三一模）若复数sin i 1cos iz θθ-=（i 为虚数单位），则||z 的最大值为 13、（宝山区2019届高三上期末（一模））关于,x y 的二元一次方程组的增广矩阵为12-3015⎛⎫⎪⎝⎭，则x y += ．14、（奉贤区2019届高三上期末（一模））下列以行列式表达的结果中，与sin()αβ-相等的是（ ）A.sin sin cos cos αβαβ- B.cos sin sin cos βαβα C. sin sin cos cos αβαβ D. cos sin sin cos ααββ-15、（黄浦区2019届高三上期末（一模））已知三阶行列式123456789，元素8的余子式的值与代数余子式的值之和为16、（闵行区2019届高三上期末（一模））方程110322x =-的解为17、（浦东新区2019届高三上期末（一模））不等式2log 1021x >的解为18、（松江区2019届高三上期末（一模））若增广矩阵为1112m m m m +⎛⎫⎪⎝⎭的线性方程组无解，则实数m 的值为19、（徐汇区2019届高三上期末（一模））若数列{}n a 的通项公式为*2()111n na n N n n=∈+，则lim n n a →∞=___________.20、（杨浦区2019届高三上期末（一模））在行列式274434651xx--中，第3行第2列的元素的代数余子式记作()f x ，则1()y f x =+的零点是参考答案： 二、行列式1、－12、33、34、14[,]22ππ-+ 5、,3x x k k Z ππ⎧⎫=-+∈⎨⎬⎩⎭6、37、－148、9、C 10、ｃ 11、－16012、1213、－8 14、C 15、0 16、2log 5x = 17、(4,)+∞ 18、－1 19、－1 20、－1。
沪教版(上海)高三年级新高考辅导与训练第七章矩阵与行列式、算法初步、复数本章测试
沪教版（上海）高三年级新高考辅导与训练第七章矩阵与行列式、算法初步、复数本章测试学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．如果执行如图所示的程序框图，那么输出的S （）．A．1 B．101100C．99100D．98992．图1是某县参加2007年高考的学生身高条形统计图，从左到右的各条形图表示学生人数依次记为A1、A2、…A10（如A2表示身高（单位：cm）在[150，155)内的人数]．图2是统计图1中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图．现要统计身高在160~180cm（含160cm，不含180cm）的学生人数，那么在流程图中的判断框内应填写的条件是A ．i<6B ．i<7C ．i<8D ．i<93．关于x ，y 的方程组2(21)212ax a y a a x ay a⎧+-=+-⎨+=⎩，则下列说法错误的是（ ）．A ．一定有解B ．可能有唯一解C ．可能有无穷多解D ．可能无解 4．设z 为复数，且||1z =，则（ ）．A ．21z =B ．21z =C ．1z R z +∈D ．1z z+为虚数 5．若复数2(32)(1)a a a i -++-是纯虚数，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．2C ．1或2D ．-1 6．当z =时，100501z z ++=（ ） A ．1 B ．-1 C ．i D ．i -7．设z C ∈，方程2||0+=z z 的根有（ ）.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 8．设(),z a bia b R =+∈，那么11z z -+为纯虚数的充要条件是（ ） A ．1a = B ．1a =且0b ≠C ．1z =D ．1z =且0b ≠ 9．已知()11,AB x y =，()22,AC x y =，则三个不同点A ，B ，C 共线是11220x y x y =的（ ）．A ．充要条件B ．充分非必要条件C ．必要非充分条件D ．既非充分又非必要条件 10．设z 的共轭复数是z ，若4z z +=，·8z z =，则z z 等于 （ ） A ．i B ．i - C ．1± D ．i ±11．某店一个月的收入和支出总共记录了N 个数据1a ，2a ，…，N a ，其中收入记为正数，支出记为负数．该店用下边的程序框图计算月总收入S 和月净盈利V ，那么在图中空白的判断框和处理框中，应分别填入下列四个选项中的（ ）．A ．0A >，V S T =-B ．0A <，V S T =-C ．0A >，V S T =+D ．0A <，V S T =+12．方程25||60-+=z z 在复数集中的解有( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个13．对一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 下列命题中不正确的是（ ）．A ．两根1x ，2x 满足12b x x a +=-，12c x x a =B ．两根1x ，2x满足12x x -=C ．若240b ac ∆=->，则方程有两个不等实根D ．若240b ac ∆=-=，则方程有两个等根14．方程2(2)10x i x i +-+++=的根的情况是（ ）．A ．有两个不等实根B ．有一对共轭虚根C ．有一个实根，一个虚根D ．有两个不共轭虚根二、填空题15．若复数 z 满足z (1+i) =1-i(i 是虚数单位)，则其共轭复数z =____________16．关于x ，y 的方程组242x my m mx y ⎧+=⎨+=⎩无实数解，则m =________． 17．若行列式4 5 1 37 8 9xx 中，元素4的代数余子式大于0，则x 满足的条件是________________________ .18．111a b c A c b a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，111a c B b b c a ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则AB BA -=________．19．分解因式：4224x x y y ++=________．20=________．21．方程2z z z =-的解为________．22．若关于x 的方程2(2)2(1)0x a i x a i ++-+=有实根，i 为虚数单位，则实数a 的取值为________．23．某算法的程序框图如图所示，则输出量y 与输入量x 满足的函数关系是________．24．若22(1)(32)x x x -+++是纯虚数，则实数x 的值是_____．25．实数k 取________时，方程组45803407950x y z x y kz x y z --=⎧⎪-+=⎨⎪--=⎩有非零解．26．在n 行n 列矩阵12321234113451212321n n n n n n n n n n --⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭……………………………中，记位于第i 行第j 列的数为(,1,2,,)ij a i j n =…．当9n =时，11223399a a a a ++++=…________．三、解答题27．已知(1)(3)153x y i i i++-=++，试求实数x ，y 的值． 28．若ABC 满足222111sin sin sin 0sin sin sin A B C A B C=，则判断ABC 的形状．29．设复数集合{||2|2}{||2||4|}M z z i z z i z i =-+≤⋂--=-+，求集合M 中元素z 的模的范围．30．已知方程210()x px p R ++=∈有两根α，β，且α，β，满足||1αβ-=，求实数p ．31．直线y x =与双曲线221x y -=交于点B ，C ，点A的坐标为1)+，求ABC 的面积．32．已知,,a b c 分别为ABC 中角A ，B ，C 的对边，若,,a b c 满足1110a b c bc ca ab=，试判别ABC 的形状．33．已知复数z =x +yi ，w =x ′+y ′i ，z 0=1−mi(m >0)，z ，w ，z 0满足w =z̅0z̅，|w|=2|z|．（1）若z 所对应点(x,y)在圆x 2+y 2−4x =0上，求w 所对应点的轨迹；（2）是否存在这样的直线l ，z 对应点在l 上，w 所对应点也在直线l 上？若存在，求出所有这些直线；若不存在，请说明理由．四、双空题34．随机抽取某产品n 件，测得其长度分别为12,,,n a a a ，则如图所示的程序框图输出的s =_______，表示的样本的数字特征是________．（注：框图上（右）中的赋值符号“=”也可以写成“←”“：=”）参考答案1．C【分析】根据程序框图，读出该程序框图实现的功能为求数列的前99项和，再利用裂项求和法即可求得结果.【详解】 分析程序框图，其功能为求111112233499100S =++++⨯⨯⨯⨯ 又111111112233499100S =-+-+-++- 1991100100=-=. 故选：C.【点睛】 本题考查根据程序框图读取其实现的功能，以及裂项求和求数列的前n 项和，属基础题. 2．C【解析】考查算法的基本运用．现要统计的是身高在160-180cm 之间的学生的人数，即是要计算A 4、A 5、A 6、A 7的和，故流程图中空白框应是i<8，当i<8时就会返回进行叠加运算，当i8将数据直接输出，不再进行任何的返回叠加运算，此时已把数据A 4、A 5、A 6、A 7叠加起来送到S 中输出，故选C ．3．D【分析】方程组消去x ，可得22(21)21a a y a a -+=-+，分1,1a a =≠讨论，即得解 【详解】关于x ，y 的方程组2(21)21(1)2(2)ax a y a a x ay a ⎧+-=+-⎨+=⎩ 由2x ay a +=，可得222ax a y a += (3)()()()2231:2121a a y a a --+=-+当1a =时，为恒等式，有无穷多解；当1a ≠时，1,y x a ==，有唯一解故选：D【点睛】本题考查了含参二元一次方程组的求解，考查了学生综合分析，分类讨论，数学运算能力，属于中档题4．C【分析】设,(,)z a bi a b R =+∈，由||1z =，可得221a b +=，令,22a b ==，可得A ，B 不正确，分析可得112z a bi a R z a bi+=++=∈+，即得解 【详解】设,(,)z a bi a b R =+∈ ，则22||11z a b ==∴+=2222()2z a bi a b abi =+=-+，当,22a b ==时，21z i =≠，故A 不正确；2222()2z a bi a b abi =-=--，当,22a b ==时，21z i =-≠，故B 不正确； 112()()a bi z a bi a bi a bi a bi a R z a bi a bi a bi -+=++=++=++-=∈++-，故C 正确，D 不正确；故选：C【点睛】本题考查了复数的概念和运算，考查了学生概念理解，综合分析，数学运算能力，属于中档题5．B【解析】由得12a =或，且101a a -≠≠得，2a ∴=．6．D【分析】根据100501z z ++的结构特点，先由z =，得到()2212-==-i z i ，再代入100501z z ++求解.【详解】因为z =所以()221,2-==-i z i所以()()()2550250100,1=-=-=-=-=-z i i z i i ，所100501++=-z z i ， 故选：D 【点睛】本题主要考查了复数的基本运算，还考查了周期性的应用，运算求解的能力，属于基础题. 7．C 【分析】将z 表示为复数的形式代入方程，利用复数相等即可求解. 【详解】设(,)z a bi a b R =+∈，代入方程得220,20,a b ab ⎧⎪-=⎨=⎪⎩ 解得0,0a b ==或±1，所以方程2||0+=z z 的根有3个. 故答案选：C 【点睛】本题主要考查利用换元法求方程的根及复数相等的概念，属于基础题. 8．D 【分析】先由题意，根据复数的运算得到()222211211-+-+=+++z a b bi z a b ，再由11z z -+为纯虚数，得到221020a b b ⎧+-=⎨≠⎩，进而可得出结果.【详解】 因为(),z a bia b R =+∈，所以()()()()11111111a bi a bi z a bi z a bi a bi a bi -++---+==++++++- ()2222121+-+=++a b bia b ，又11z z -+为纯虚数，所以221020a b b ⎧+-=⎨≠⎩ ，即1z =且0b ≠. 故选：D 【点睛】本题主要考查复数是纯虚数的充要条件，熟记复数的运算法则，以及复数的类型即可，属于常考题型. 9．A 【分析】结合二阶行列式的计算，根据充分条件与必要条件的定义判断即可． 【详解】解：∵()11,AB x y =，()22,AC x y =， 由A ，B ，C 共线得，//AB AC ， ∴12210x y x y -=，又由11220x y x y =得，12210x y x y -=，∴三个不同点A ，B ，C 共线是11220x y x y =的充要条件，故选：A ． 【点睛】本题主要考查行列式的运算，考查充分条件与必要条件的判断，属于基础题． 10．D 【解析】：设2z bi =+，由8z z ⋅=得248, 2.b b +==±()2222.88i z z i z ±===±选D.11．C 【分析】直接根据程序框图表示的意义得到答案. 【详解】程序框图的第一空表示判断是收入还是支出，填写0A >； 第二个空表示求月净盈利，填写V S T =+. 故选：C. 【点睛】本题考查了完善程序框图，意在考查学生的理解能力和推断能力. 12．C 【分析】设z a bi =+，代入方程，化简后按0a =或0b =进行分类讨论，由此求得方程的解，进而得出正确选项. 【详解】设z a bi =+，代入方程得()2560a bi +-=，化简得22620a b abi --+=①， 所以0a =或0b =，当0a =时，由①得22560560b b b b --+=⇒+-=， 即()()610101b b b b +-=⇒-=⇒=±，对应的复数为z i =±.当0b =时，由①得()()2560230a a a a -+=⇒--=，解得2a =±或3a =±，对应的复数为2z =±、3z =±. 综上所述，共有6个解. 故选：C 【点睛】本小题主要考查方程在复数范围内的解，属于中档题. 13．C 【分析】由题意结合韦达定理、求根公式的适用范围可判断A 、B 、D ，举出反例可判断C ，即可得解. 【详解】对于A ，韦达定理在复数系数的一元二次方程中依然成立，故A 正确；对于B ，对于复数系数的一元二次方程，求根公式依然适用，所以两根1x ，2x满足12x x -=B 正确；对于C ，若方程2450x ix ++=，241620360b ac ∆=-=--=-<，但其两根分别为1x i =，25x i =-，故C 错误；对于D ，对于复数系数的一元二次方程，求根公式依然适用，所以当240b ac ∆=-=时，方程有两个等根，故D 正确. 故选：C. 【点睛】本题考查了复数范围内一元二次方程根的情况的判断，关键是熟练掌握知识点，属于基础题. 14．D 【分析】设1x 、2x 为方程()2210x i x i +-+++=的两个根，由韦达定理可排除A 、B ；若1x 为实数，由复数相等的条件可得211121010x x x ⎧-+=⎨+=⎩，由该方程无解即可排除C ；即可得解.【详解】设1x 、2x 为方程2(2)10x i x i +-+++=的两个根， 则由韦达定理可得122x x i +=-，121x x i =+，所以1x 、2x 不可能为两个不等实根，也不可能是一对共轭虚根，故排除A 、B ； 若1x 为实数，则()2211111(2)12110x i x i x x x i +-+++=-+++=，则可得211121010x x x ⎧-+=⎨+=⎩，此方程无解，所以原方程无实数根，故排除C.故该方程只有两个不共轭虚根. 故选：D. 【点睛】本题考查了复数范围内一元二次方程的根的情况的讨论，考查了复数相等的条件，关键是掌握韦达定理的适用条件，属于中档题. 15．i 【解析】()()()21121112i i iz i i i i ---====-++-，则z i =.16．2- 【分析】先根据方程组中x ，y 的系数及常数项计算出D ,x D ,y D ，进而讨论方程组无解的条件得出结果. 【详解】解：列出行列式系数：114a =，12a m =，21b m =， 21a m =，221a =，22b =，则()()244221m D m m m m ==-=+-，()222212x m m D m m m m ==-=-，()()232482422y m D m m m m m ==-=-++，当0D =，0x D ≠时，原方程组无解，即当2m =-时，成立， 则当2m =-时，方程组无实数解. 故答案为：2-.【点睛】本题考查行列式解方程组，考查运算能力，属于中档题. 17．83x >【解析】 根据题意可得()()1119240x +-->，解不等式83x >.18．222222222222232b ac a b c b c ab ac b c a c bcac b a b c b c ab c a c bc b ac ⎛⎫-++---+-- ⎪--++--- ⎪ ⎪----⎝⎭【分析】直接利用矩阵的运算法则计算得到答案. 【详解】111111111111a b c a c a c a b c AB BA c b a b b b b c b a c a c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪-=- ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22222222222222232a b c ac b a a b c a b c a ac c b ab c c a a b c ac b a bc b b b c ab c b b a b c a b bc a a c a c c +++++⎛⎫⎛⎫+++++++++⎪ ⎪=+++-+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++++⎝++⎝⎭⎭222222222222232b ac a b c b c ab ac b c a c bc ac b a b c b c ab c a c bc b ac ⎛⎫-++---+-- ⎪=--++--- ⎪ ⎪----⎝⎭. 故答案为：222222222222232b ac a b c b c ab ac b c a c bcac b a b c b c ab c a c bc b ac ⎛⎫-++---+-- ⎪--++--- ⎪ ⎪----⎝⎭. 【点睛】本题考查了矩阵的计算，意在考查学生的计算能力和对于矩阵运算的理解和掌握.19．11112222x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+------ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【分析】由题意转化条件得()()42242222x x y y x x y y =+-++，令220x xy y ++=，求得x y =后，即可得22xy x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，同理可分解22x xy y -+，即可得解.【详解】由题意()()422442242222222x x y y x x y y x y yxy x ++=++-=+-()()2222x y x xy xy y =++-+，令220x xy y ++=，可得122y x y-±-±===，则22xy x y x y x y ⎛⎫⎛⎫++= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，同理22xy x y x y x y ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎝=⎭+⎭-⎪，所以422411112222x x y y x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+--++=---- ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：11112222x y x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+------ ⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查了复数范围内因式分解及实系数一元二次方程的求解与应用，考查了运算求解能力，属于中档题. 20．6258【分析】1048134i ii--=，再由复数模的概念运算即可得解. 【详解】设()1,z a bi a b R =+∈，()2,c di R z c d =+∈，则()()()12z z a bi c di ac bd bc ad i =++=-++， 所以12z z ==12z z ==⋅，()104104881346258i ii⋅--===. 故答案为：6258. 【点睛】本题考查了复数模的概念与性质的应用，考查了复数的乘法运算与运算求解能力，解题关键是把握复数乘积的模等于模的乘积，属于基础题. 21．0或1i -± 【分析】设(),z a bi a b R =+∈，则=-z a bi ，根据2z z z =-，得到2222-+=-a b abi bi ，利用复数相等求解. 【详解】设(),z a bi a b R =+∈，则z a bi =-， 因为2z z z =-，所以2222-+=-a b abi bi ，所以22022a b ab b⎧-=⎨=-⎩，解得00b a =⎧⎨=⎩或11b a =⎧⎨=-⎩或11b a =-⎧⎨=-⎩，所以0,1,1==-+=--z z i z i 故答案为：0或1i -± 【点睛】本题主要考查复数的代数形式的乘法运算以及复数相等，还考查了运算求解的能力，属于基础题.22．0或1 【分析】将方程整理为()22220ax a x x a i +--=+，复数为0，则实部与虚部都为零，列方程求解即可. 【详解】解：设x 为方程2(2)2(1)0x a i x a i ++-+=的实根，代入整理得：()22220ax a x x a i +--=+， 220220x ax a x a ⎧+-=∴⎨-=⎩，解得0a =或1a =.故答案为：0或1. 【点睛】本题考查复数相等，注意复数为0，则实部与虚部都为零，是基础题.23．2,221,2x x y x x ⎧<=⎨+≥⎩【分析】由题意结合条件结构程序框图根据输入量x 的取值范围选择合理路径即可得解. 【详解】由题意，若2x <，则2xy =；若2x ≥，21y x =+.所以输出量y 与输入量x 满足的函数关系是2,221,2x x y x x ⎧<=⎨+≥⎩. 故答案为：2,221,2x x y x x ⎧<=⎨+≥⎩. 【点睛】本题考查了条件结构程序框图的应用，关键是对于条件结构的熟练掌握，属于基础题. 24．1 【分析】复数为纯虚数时，实部为0，虚部不为0，求解相应的方程与不等式，即可确定x 的值． 【详解】因为22(1)(32)x x x -+++i 是纯虚数，x ∈R ，所以2210320x x x ⎧-=⎨++≠⎩，解得：1x =.故答案为1 【点睛】本题主要考查了复数的基本概念及其应用，其中解答中熟记复数概念与分类，准确列出方程组是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题． 25．3 【分析】由题意结合线性齐次方程组解的情况可得458340795k ---=--，解方程即可得解.【详解】若方程组45803407950x y z x y kz x y z --=⎧⎪-+=⎨⎪--=⎩有非零解，则458340795k ---=--即()()()42095157827280k k +-+--+=，解得3k =. 故答案为：3. 【点睛】本题考查了根据线性齐次方程组解的情况求参数值，考查了行列式的计算，属于基础题. 26．45 【分析】由题意列出该矩阵，即可得解. 【详解】由题意可知，当9n =时，矩阵为123456789234567891345678912456789123567891234678912345789123456891234567912345678⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭， 所以1122339913579246845a a a a +++⋯+=++++++++=.故答案为：45.【点睛】本题考查了矩阵中一些特殊元素和的计算，解题的关键就是列出矩阵，属于基础题. 27．1x =，11y =【分析】把已知条件化简为(1)(3)i=28x y i ++-+，即可得出答案.【详解】 解：因为(1)(3)153x y i i i++-=++， 所以()()(1)(3)i 1i 53i 28x y i ++-=+⋅+=+，所以12{38x y +=-=，解得1{11x y ==.所以，1x =，11y =.【点睛】本题主要考查复数的运算，考查学生的计算能力，属于基础题.28．ABC 为等腰三角形【分析】根据三阶行列式的运算和正弦定理角化边可得到三边满足的关系式，由此确定三边关系.【详解】2222222111sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin A B C B C C A A B B A A B C=++-22sin sin sin sin 0C B A C --=，由正弦定理得：2222220bc ab ca ba cb ac ++---=，故()()()()20b c a c a b a c ca a c -++-+-=，整理得到()()20c a b c a b ca ⎡⎤-+--=⎣⎦即()()()0c a c b b a ---=，a b ∴=或a c =或b c =，ABC ∴为等腰三角形.【点睛】本题考查利用正弦定理角化边判断三角形形状的问题，涉及到三阶行列式的运算；关键是能够利用正弦定理对于齐次方程进行边角转化.29． 【分析】利用复平面内两点间的距离公式和图形解决即可.【详解】解：设z x yi =+，则()22(1)z i x y i -+=-++=因为|2|2z i -+≤2≤，所以()222(1)4x y -++≤.因为|2||4|z i z i --=-+，所以()()()()|21||41|x y i x y i -+-=-++= 所以()()22222(1)4(1)x y x y -+-=-++，所以3y x =-.所以{||2|2}{||2||4|}M z z i z z i z i =-+≤⋂--=-+()(){}(){}22,2(1)4,3x y x y x y y x =-++≤=-所以，M 的轨迹是圆22(2)(1)4x y -++=内的线段3y x =-上的点构成的集合（包括边界上的点）.所以集合M 中元素z 的模表示圆22(2)(1)4x y -++=内的线段3y x =-上的点构成的集合（包括边界上的点）与坐标原点之间的距离.设d 表示圆22(2)(1)4x y -++=内的线段3y x =-上的点构成的集合（包括边界上的点）与坐标原点之间的距离，3y x =-与22(2)(1)4x y -++=的公共点为A B 、则min 2d ===， 由3y x =-与22(2)(1)4x y -++=联立解方程得21x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩21x y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩.则()21A，()21B .所以OA =OB =所以max d =所以2d ⎡∈⎢⎣. 所以M 中元素z的模的范围为2⎡⎢⎣. 【点睛】本题主要考查复数的几何意义与复数的运算，属于中档题.30．p =p =【分析】根据韦达定理，表示出,αβαβ+，结合||1αβ-=讨论αβ-为实数和虚数两种情况，即可求得p 的值.【详解】方程210()x px p R ++=∈的两根α、β， 由韦达定理可知,1p αβαβ，因为||1αβ-=， 则αβ-为实数时，1αβ-=，αβ-为虚数时，i αβ-=±，当1αβ-=时，可得1αβ-==，1=，解得p = 当i αβ-=±时，可得i αβ-==±，代入241p -=-，解得p =综上可知，p =p =【点睛】本题考查了式系数一元二次方程的解法，注意两个根为实数或虚数两种情况，属于基础题. 31．2【分析】由题意联立方程组可得(B ，(2,C -，进而可得(1,1)AB =-，(3,1)AC =--，再利用111231ABCS -=--△即可得解. 【详解】由221y x x y ⎧=⎪⎨⎪-=⎩，得2114x =,解得2x =±,不妨设(B ，(2,C -， 则(1,1)AB =-，(3,1)AC =---，∴1112231ABC S -===+--【点睛】本题考查了利用矩阵行列式求三角形面积的应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 32．等腰三角形【分析】根据三阶行列式的计算方法，再因式分解可得()()()0b c a c b a ---=即可判断.【详解】因为1110a b c bc ca ab =，即1110b c a c a b ca ab bc ab bc ca ⨯-⨯+⨯=，故2222220ab ac a b bc a c b c --++-=，即()()()2220ab b a c b a c a b -+-+-=，()()()()20ab c b a b a b a c +---+=，即()()20ab c bc ac b a +---=，()()()0b c a c b a ---=.故a b =或a c =或b c =.故ABC 为等腰三角形.【点睛】 本题主要考查了三阶行列式的计算、因式分解求三角形形状的问题等.属于中档题.33．（1）w 所对应点的轨迹是以(2,2√3)为圆心，4为半径的圆；（2）存在且有两条y =−√3x 或y =√33x ． 【解析】【分析】（1）先根据w =z̅0z̅，|w|=2|z|，得到|z 0|=2，进而求得z 0，然后将z =x +yi ，w =x ′+y ′i ，代入w =z 0z̅，利用复数相等，得到x =x ′+√3y ′4，y =−y ′+√3x ′4，再代入x 2+y 2−4x =0求解.（2）设l 存在且为y =kx +b ．由x ′+y ′i =(1+√3i)⋅(x −yi)，得到x ′=x +√3y ，y ′=√3x −y ．根据w 对应点在l 上，代入y ′=kx ′+b ，利用待定系数法求解.【详解】（1）因为w =z̅0z̅，|w|=2|z|，所以|z 0|=2，所以m =√3．由w =z 0z̅，得x ′+y ′i =(1+√3i)(x −yi)．所以x −yi = ′′1+3i =x ′+√3y ′4+y ′−√3x ′4i ． ∴x =x ′+√3y ′4，y =−y ′+√3x ′4．∵x 2+y 2−4x =0，∴(x ′+√3y ′4)2+(−y ′+√3x ′4)2−4(x ′+√3y ′4)=0． 化简，得x ′2+y ′2−4x ′−4√3y ′=0，即(x ′−2)2+(y ′−2√3)2=16．所以w 所对应点的轨迹是以(2,2√3)为圆心，4为半径的圆；（2）由x ′+y ′i =(1+√3i)⋅(x −yi)，得x ′=x +√3y ，y ′=√3x −y ．假设满足条件的直线l 存在，则斜率存在，设为y =kx +b ．因为w 对应点在l 上，得y ′=kx ′+b ，即√3x −y =k(x +√3y)+b ．∴y =(√3−k √3k+1)x √3k+1．所以{√3−k 3k+1=k √3k+1=b ．解方程组，得b =0，k =−√3,√33， 所以这样的直线l 存在且有两条y =−√3x 或y =√33x ． 【点睛】本题主要考查复数的运算，复数的相等，复数的几何意义以及轨迹问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.34．s =；平均数 【解析】 s =；平均数。
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矩阵与行列式习题本试卷共18题，时间60分钟，满分100分）班级： 姓名： 一、填空选择题：（每题3分，共36分）1、已知46x A y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13u B v ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且A B =，那么A+AB= 。
2、设231001252437A B -⎛⎫⎛⎫⎪⎪==- ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，则3A –4B 为 。
3、设A 为二阶矩阵，其元素满足，0a a ji ij =+，i=1，2，j=1，2，且2a a 2112=-，那么矩阵 A= .4、设2442,1221A B -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭則32A B - = ,=AB ，=BA5、若点A 在矩阵1222-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦对应的变换作用下得到的点为（3，- 4），那么点A 的坐标为 .6、若202137x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则x y +=___________. 7、1212a a b b =1,则12122233b b a a =-- _____ 。
8、（1）行列式z kc c y kb b xka a = ；（2）211121__________112-= 9、已知124221342D -=---，则21a 的代数余子式21A = 。
10、已知2413201x x 的代数余子式012=A ，则代数余子式=21A11、设A 为3阶方阵，且3A =，则2A -=______________12、如果方程组⎩⎨⎧=++=++0101dy cx by ax 的系数行列式1=d c b a ，那么它的解为二、简答题（每题8分，共64分）1、已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=533201A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=013164245B 求()AB .2. 已知1011A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，分别计算23A A 、，猜测*(2)n A n n ≥∈N ，；3. 将下列线性方程组写成矩阵形式，并用矩阵变换的方法求解:⑴ 32110250x y x y --=⎧⎨+-=⎩；⑵111612102113x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.4、已知函数f(x)=xa x+1111111 ，其中a 是实数，求函数f(x)在区间[2,5]上的最小值。
5、计算D=aa a a a -----111101的值6. 用行列式解下列方程组：（1）⎩⎨⎧=++=+-0162032y x y x ； （2）⎩⎨⎧=+=++5lg 4lg 301lg 5lg 2y x x y ．7. 若关于x 、y 、z 的方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=++m z x m z m y x z y x 212有唯一解，求m 所满足的条件，并求出唯一解．8. 解关于x 、y 、z 的三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++31z y x a z ay x az y x ，并讨论解的情况．1． (上海 3) 若行列式417 5 x x 3 8 9中，元素4的代数余子式大于0，则x 满足的条件是______2．（2010年高考上海市理科4）行列式的值是 。
3．（2010年上海市春季高考11) 方程的解集为。
4.(2011·上海)行列式⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d (a ，b ，c ，d ∈{－1,1,2})所有可能的值中，最大的是________．5．(2012年高考上海卷理科3)函数1sin cos 2)(-= x x x f 的值域是 .6．【上海市青浦区2013届高三上学期期末文】若=642531222c b a 222222C c B b A a ++，则2C 化简后的最后结果等于____ _______．7． 【上海市松江区2013届高三上学期期末文】若行列式,021421=-x 则=x ．计数原理(20131220)作业[1]10个人走进只有6把不同椅子的屋子，若每把椅子必须且只能坐一人，共有多少种不同的坐法？[2]从－3，－2，－1,0，1,2，3，4八个数字中任取3个不同的数字作为二次函数+y+=2的系数a，ｂ，ｃ的取值，问共能组成多少个不同的二次函数？bxaxc[3]以三棱柱的顶点为顶点共可组成多少个不同的三棱锥？[4] 4名男生和3名女生并坐一排，分别回答下列问题：（1）男生必须排在一起的坐法有多少种？（2）女生互不相邻的坐法有多少种？（3）男生相邻、女生也相邻的坐法有多少种？（4）男女生相间的坐法有多少种？（5）女生顺序已定的坐法有多少种？[5]某运输公司有7个车队，每个车队的车均多于4辆，现从这个车队中抽调出10辆车，并且每个车队至少抽调一辆，那么共有多少种不同的抽调方法？[6]用0,1，2，…，9这十个数字组成无重复数字的四位数，若千位数字与个位数字之差的绝对值是2，则这样的四位数共有多少个？7．某一天的课程表要排入语文、数学、英语、物理、体育、音乐6节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，一共有多少种不同的排法？8. 在7名运动员中选出4人组成接力队，参加4×100米接力赛，那么甲、乙两人都不跑中间两棒的安排方法有多少种？9．有5双不同型号的皮鞋，从中任取4只有多少种不同的取法？所取的4只中没有2只是同型号的取法有多少种？所取的4只中有一双是同型号的取法有多少种？10.一个五棱柱的任意两个侧面都不平行，且底面内的任意一条对角线与另一底面的边也不平行，以它的顶点为顶点的四面体有多少个？11. 4名男生5名女生，一共9名实习生分配到高一的四个班级担任见习班主任，每班至少有男、女实习生各1名的不同分配方案共有多少种？12.有6本不同的书，分给甲、乙、丙三人.（1）甲、乙、丙三人各得2本，有多少种分法？（2）一人得1本，一人得2本，一人得3本，有多少种分法？（3）甲得1本，乙得2本，丙得3本，有多少种分法？（4）平均分成三堆，每堆2本，有多少种分法？矩阵与行列式(20131220)课后作业答案本试卷共18题，时间60分钟，满分100分）班级： 姓名： 一、填空选择题：（每题3分，共36分）1、已知46x A y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，13u B v ⎛⎫= ⎪⎝⎭，且A B =，那么A+AB= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛36302026 。
2、设231001252437A B -⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪==- ⎪⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，则3A –4B 为 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----402396810。
3、设A 为二阶矩阵，其元素满足，0a a ji ij =+，i=1，2，j=1，2，且2a a 2112=-，那么矩阵 A= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-0110 . 4、设2442,1221A B -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ 則32A B - = ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---47162 ,AB 00 ，=BA ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--631265、若点A 在矩阵1222-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦对应的变换作用下下得到的点为（3，- 4），那么点A 的坐标为(7,5) .6、若202137x y -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则x y +=1_. 7、1212a a b b =1,则12122233b b a a =-- ____6_ 。
8、（1）行列式z kc c y kb b xka a = 0；（2）211121__________112-= 6. 9、已知124221342D -=---，则21a 的代数余子式21A = -12 。
10、已知2413201x x 的代数余子式012=A ，则代数余子式=21A 411、设A 为3阶方阵，且3A =，则2A -=__-24___12、如果方程组⎩⎨⎧=++=++0101dy cx by ax 的系数行列式1=d c b a ，那么它的解为⎩⎨⎧-=-=a c y db x __其中ad-bc=1_二、简答题（每题8分，共64分）1、已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=533201A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=013164245B 求()AB .解：AB=⎪⎪⎭⎫⎝⎛---32354221 2. 已知1011A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，分别计算23A A 、，猜测*(2)n A n n ≥∈N ，；解：A 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101n ;A 3=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1301;A n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛101n3. 将下列线性方程组写成矩阵形式，并用矩阵变换的方法求解:⑴ 32110250x y x y --=⎧⎨+-=⎩；⑵111612102113x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 解：（1）⎪⎪⎭⎫⎝⎛-5111223⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-−−−−→−+-⨯25311211321)2()1()1(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛−→−⎪⎪⎭⎫⎝⎛−→− X=3,y=-1;(2)x=1,y=2,z=3.4、已知函数f(x)=xa x+1111111 ，其中a 是实数，求函数f(x)在区间[2,5]上的最小值。
解：f(x)=x 2-x;x ∉[2,5]⇒ f(x)在[2,5]上↑⇒f min =f(2)=2。
5、计算D=aa a a a-----111101的值解：D=1-a+a 2-a36. 用行列式解下列方程组：（1）⎩⎨⎧=++=+-0162032y x y x ； （2）⎩⎨⎧=+=++5lg 4lg 301lg 5lg 2y x x y ．解：(1)D=10,D x =-20,D y =5,x=-2,y=1/2; (2)x=1/10,y=100.7. 若关于x 、y 、z 的方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=+=++=++m z x m z m y x z y x 212有唯一解，求m 所满足的条件，并求出唯一解．解：唯一解⇒D=m 2-1≠0 ⇒ m ≠ ±1;m m m x +-+=11222,y=1-2m,z=11+m .8. 解关于x 、y 、z 的三元一次方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=++=++31z y x a z ay x az y x ，并讨论解的情况．解：D=1-a 2, D x =4-4a 2,D y =-a 2+4a-3, D z =4a-4, (1)若a ≠ ±1,则D ≠ 0，方程有唯一解：x=4, 13+-=a a y .14+-=a z . (2)若a=1,则D=D x =D y =D z =0，方程有无穷多组解； (3) 若a=-1,则D=0,但D y ≠0，方程无解。
2． (上海 3) 若行列式9873154xx中，元素4的代数余子式大于0，则x 满足的条件是___438≠>x x 且___； 2．（2010年高考上海市理科4）行列式的值是 0 。
3．（2010年上海市春季高考11) 方程的解集为 {-3，2} 。