分类讨论问题的原因初探
第41课 分类讨论型问题
题型二
根据图形的不同形状而分类
根据审题可以发现符合条件的图形不止一个 ，此时需 要根据不同形状的图形进行分类，这类题目在动点问题中 比较常见， 随着动点的位置改变， 图形的形状也发生改变．
【典例 2】 (2016· 大连)如图 41-2①，在△ABC 中，∠C＝90° ，线 段 DE 在射线 BC 上，且 DE＝AC，线段 DE 沿射线 BC 运动， 开始时，点 D 与点 B 重合，点 D 到达点 C 时运动停止，过点 D 作 DF＝DB，与射线 BA 相交于点 F，过点 E 作 BC 的垂线，与 射线 BA 相交于点 G．设 BD＝x，四边形 DEGF 与△ABC 重叠 部分的面积为 S，S 关于 x 的函数图象如图 41-2②所示(其中 0 ＜x≤1，1＜x≤m，m＜x≤3 时，函数的表达式不同)．
3．分类讨论的一般步骤：①确定分类对象；②进行 合理分类(理清分类的“界限”，选择分类的标准，并做 到不重复、不遗漏)；③逐类进行讨论；④归纳作出结 论．
4．分类讨论是中学数学中常用的一种数学思想方 法，也是各地近年来中考命题的热点之一，因此我们在 研究问题的解法时，需认真审题，全面考虑，对可能存 在的各种情况进行讨论，做到不重、不漏、条理清晰．
题型一
根据概念性质而分类
在审题时发现有些概念和性质有多种可能性 ，符合条 件的情形不止一个时，就需要进行分类讨论，分类讨论要 注意做到不重不漏．
【典例 1】
(2016· 鄂州)如图 41-1，AB＝6，O 是 AB 的 ．
中点， 直线 l 经过点 O， ∠1＝120° ， P 是直线 l 上一点． 当 △APB 为直角三角形时，AP＝
【解析】 (1)∵CD＝AB＝6，∴点 P 与点 C 重合， ∴点 P 的坐标为(3，4)．
分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用探究
分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用探究一、分类讨论思想的基本概念分类讨论思想是指将问题或事物按某种特定的标准进行分类，然后依次讨论各个类别中的具体内容，最后综合分类的结果来得出结论的一种思维方法。
在数学解题中，分类讨论思想常常用于分析不同情况下的解题方法，进而得出最终的解题结论。
在解决一个较为复杂的数学问题时，我们可以先将问题进行分类，然后分别讨论各个类别中的解题方法，最后再将各个类别的解题结果进行合并，得出最终的解题结论。
1. 引导学生灵活分类在初中数学解题教学中，教师可以通过引导学生灵活分类来启发学生的思维，帮助他们更好地理解和掌握解题方法。
在解决“集合”的问题时，教师可以要求学生根据不同的条件将集合进行分类，然后分别讨论各个分类的特点和解题方法，最后再将各个分类的解题结果进行总结。
通过这种方式，学生可以更加清晰地理解集合的概念和解题方法，从而提高他们的解题能力。
2. 激发学生的探究兴趣3. 提高学生的综合分析能力4. 培养学生的逻辑思维能力三、思考与建议分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用，为提高学生的解题能力和思维能力提供了有益的启示。
在实际教学中，教师们还需要注意以下几点：1. 灵活运用分类讨论思想在初中数学解题教学中，教师需要根据具体的教学内容和学生的实际情况，灵活运用分类讨论思想来解决数学问题。
只有灵活运用分类讨论思想，才能更好地激发学生的学习兴趣，提高他们的解题能力。
2. 注重引导学生分析问题3. 多种方式引导学生实践分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用，有助于提高学生的解题能力和思维能力。
教师们需要灵活运用分类讨论思想，注重引导学生分析问题，通过多种方式引导学生实践，从而更好地提高学生的解题能力和思维能力。
相信随着教师们不断的探索和实践，分类讨论思想的应用将会为初中数学解题教学带来新的活力和效果。
初探分类讨论思想在初中数学教学中的应用
初探分类讨论思想在初中数学教学中的应用摘要：所谓分类讨论，就是在研究和解决数学问题时，当问题所给对象不能进行统一研究，我们就需要根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象区分为不同种类，然后逐类进行研究和解决，最后综合各类结果得到整个问题的解决，这一思想方法，我们称之为“分类讨论的思想”。
数学思想方法作为数学教学的重要组成部分，学生在中学时代所学的有些数学知识，可能一生中都没有实际用到的机会，然而，渗透在教学中的数学思想及方法却会成为一种行为习惯和意识，在学生跨出校门后，长期指导着他们的工作和生活。
可以说，敏锐的思维，严密的逻辑与幼年时所接受的数学教育，特别是数学思想方法的熏陶，是密不可分的。
分类思想作为数学思想方法中的一种，渗透于整个初中的数学教材体系中。
通过分类可以使大量看似纷繁复杂的事物条理化、系统化，从而为我们深入研究学习创造条件，提供便利可行的途径。
分类思想不仅在数学知识的概念学习中十分重要，而且在参数讨论、数学证明、有关概率的计算中也起到了催化剂的作用。
因此，对初中数学教学中分类思想的应用进行整理，对分类思想在学生思维上起到的作用进行研究，不仅能够加深对数学思想方法渗透于教学的理解和应用，更对提高教学效率，优化教学方法有着积极的指导作用。
关键词：分类讨论思想，方法，应用，初中数学作为数学教师，如何提高课堂效率，改变以往的题海战术是一个必须研究的课题。
从学生实际情况出发，着重研究了数学思想方法中的分类思想，从六年级时的在教学中渗透与孕育，到七年级的初步形成，再到八年级的简单应用；从代数到几何；从后进生到学习能力较强的学生，做了分类尝试和分析，发现分类思想在不同时期不同学生身上所产生的影响，认为分类思想方法在教材中的应用，极大地提高了学生思维的条理性和逻辑性，对于增强他们的口头表达能力也有所裨益。
一、分类思想方法的孕育点1.代数孕育点⑴有理数的意义在有理数的学习中，应使学生掌握有理数的两种分类：⑵绝对值一个数的绝对值，用一句话表述显然是办不到的，如果把这个数分为正数、零和负数三类就能正确表述了：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。
浅析分类讨论思想在高中数学解题中的应用
浅析分类讨论思想在高中数学解题中的应用分类讨论思想是指在解决问题时，根据问题的性质和条件，将问题进行分类讨论，从而找到问题的解决方法。
在高中数学解题中，分类讨论思想是非常重要的，可以帮助学生更好地理清问题，找到解决问题的方法。
本文将从分类讨论思想的原理，分类讨论思想在高中数学解题中的具体应用等方面进行浅析。
一、分类讨论思想的原理分类讨论思想的应用主要包括以下几个步骤：1. 理清问题的条件和特点，将问题进行分类。
在解决问题之前，首先要理解问题的条件和特点，然后将问题进行分类，找到各个分类之间的联系和差异。
这样可以使得问题更加清晰，有利于找到解决问题的方法。
3. 对各个分类的解题方法进行整合。
在对每个分类的问题进行讨论和解决之后，可以对各个分类的解题方法进行整合。
这样可以得到一个综合的解题方法，有利于解决问题。
在高中数学中，分类讨论思想是非常重要的，在解决各种问题时都有着重要的应用。
下面将分别以代数、几何和概率统计为例，介绍分类讨论思想在高中数学解题中的具体应用。
1. 代数在代数中，分类讨论思想常常应用于方程和不等式的解题中。
对于一元一次方程ax+b=cx+d，可以根据a和c是否相等，将方程分为a=c和a≠c两种情况进行讨论和解决。
这样可以使得问题更加清晰，有利于找到解决问题的方法。
2. 几何3. 概率统计三、总结分类讨论思想在高中数学解题中有着重要的应用价值，对学生的数学学习和解题能力有着积极的促进作用。
希望通过对分类讨论思想在高中数学解题中的浅析，能够使学生更加深入地理解和掌握分类讨论思想，提高解决数学问题的能力，更好地应用数学知识解决实际问题。
初中数学教学中分类讨论思想探析-最新教育文档
初中数学教学中分类讨论思想探析分类讨论是初中数学中常用的数学思想方法之一。
在新课改的大环境下，要想在初中数学教学中，使学生真正地掌握分类讨论的方法,教师要对这种方法的意义和重要性等方面有详细的认识和了解，并对其应用的策略与方法熟练掌握、不断探索创新.一初中数学教学中分类讨论的必要性在新课改中，强调了对学生综合能力的培养，学生总体素质和能力的提高是教学的重点。
对有关的数学问题进行分割，将其按种类进行划分，然后对其进行逐个的解答，这个过程称为分类讨论.做好分类讨论的教学工作,符合新课改的要求，有利于学生整体素质和能力的提高.在进行分类讨论时，最基本的要求就是做到尽量不要将知识点重复讲解，也不要遗漏重要的知识。
在初中数学教学中运用分类讨论的办法，能够有效地提高学生的创新能力和探究能力,在这一点上与新课改的要求是一致的。
分类讨论对于学生思维的培养有着积极的作用,能够提高学生思维逻辑的有序性和严谨性，使学生能够对遇到的问题进行全方位的仔细分析,对其进行更深一步的探究,同时还能使学生的思维更加连贯。
虽然在初中数学中的分类讨论有很多的好处,但是其对于学生来说，具体学习和掌握起来有很大的难度.通过多年的教学工作和学生的学习效果来看,很多学生还是做不好分类讨论，表现为对分类讨论运用得不够，在进行分类讨论的过程中，对于问题的考虑不够全面,使得在考试中这方面问题的得分率不高。
对导致这种现象的原因进行分析，主要是在实际的初中数学的教学中,教师对于分类讨论思想的强调和讲解不够，学生不能够熟练地运用分类讨论思想。
数学问题究其本质是一样的，只是在某些具体问题上存在着差异，在对这些数学问题进行分类时，导致需要进行分类讨论的原因主要有以下几种:第一，数学中相关概念的不同,例如对于绝对值的定义，我们将其分为小于零、等于零和大于零这三个具体的情况；对于求含有字母的绝对值的问题时，也要进行分类讨论；此外还包括对实数进行分类等等.第二，某些数学公式、定理以及性质等在进行变换时存在着特定的约束限制条件，这时候也需要进行分类讨论，如对一元二次方程根的解决。
高中数学思想----分类讨论思想
分类讨论思想[思想方法解读] 分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．1．中学数学中可能引起分类讨论的因素：(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等．(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{a n }的前n 项和公式等．(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等．(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等．(5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等．2．进行分类讨论要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论．其中最重要的一条是“不重不漏”．3．解答分类讨论问题时的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不重不漏、分类互斥(没有重复)；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论．体验高考1．(2015·山东)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤23，1 B ．[0,1]C.⎣⎡⎭⎫23，＋∞ D ．[1, ＋∞)答案 C解析 由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a <1.当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1.综上，a ≥23，故选C. 2．(2015·湖北)将离心率为e 1的双曲线C 1的实半轴长a 和虚半轴长b (a ≠b )同时增加m (m >0)个单位长度，得到离心率为e 2的双曲线C 2，则( )A ．对任意的a ，b ，e 1>e 2B ．当a >b 时，e 1>e 2；当a <b 时，e 1<e 2C ．对任意的a ，b ，e 1<e 2D ．当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2 答案 D解析 由题意e 1＝a 2＋b 2a 2＝1＋⎝⎛⎭⎫b a 2；双曲线C 2的实半轴长为a ＋m ，虚半轴长为b ＋m ，离心率e 2＝a ＋m 2＋b ＋m2a ＋m 2＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2. 因为b ＋m a ＋m －b a ＝m a －b a a ＋m，且a >0，b >0，m >0，a ≠b ， 所以当a >b 时，m a －b a a ＋m >0，即b ＋m a ＋m >b a. 又b ＋m a ＋m>0，b a >0， 所以由不等式的性质依次可得⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2>⎝⎛⎭⎫b a 2， 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2>1＋⎝⎛⎭⎫b a 2， 所以1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋m a ＋m 2>1＋⎝⎛⎭⎫b a 2，即e 2>e 1；同理，当a <b 时，m a －b a a ＋m<0，可推得e 2<e 1. 综上，当a >b 时，e 1<e 2；当a <b 时，e 1>e 2.3．(2015·天津)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F (－c,0)，离心率为33，点M 在椭圆上且位于第一象限，直线FM 被圆x 2＋y 2＝b 24截得的线段的长为c ，|FM |＝433. (1)求直线FM 的斜率；(2)求椭圆的方程；(3)设动点P 在椭圆上，若直线FP 的斜率大于2，求直线OP (O 为原点)的斜率的取值范围．解 (1)由已知有c 2a 2＝13， 又由a 2＝b 2＋c 2，可得a 2＝3c 2，b 2＝2c 2.设直线FM 的斜率为k (k ＞0)，F (－c,0)，则直线FM 的方程为y ＝k (x ＋c )．由已知，有⎝ ⎛⎭⎪⎫kc k 2＋12＋⎝⎛⎭⎫c 22＝⎝⎛⎭⎫b 22， 解得k ＝33. (2)由(1)得椭圆方程为x 23c 2＋y 22c2＝1， 直线FM 的方程为y ＝33(x ＋c )， 两个方程联立，消去y ，整理得3x 2＋2cx －5c 2＝0，解得x ＝－53c ，或x ＝c . 因为点M 在第一象限，可得点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫c ，233c . 由|FM |＝c ＋c 2＋⎝⎛⎭⎫233c －02＝433. 解得c ＝1，所以椭圆的方程为x 23＋y 22＝1. (3)设点P 的坐标为(x ，y )，直线FP 的斜率为t ，得t ＝y x ＋1，即y ＝t (x ＋1)(x ≠－1)． 与椭圆方程联立，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝t x ＋1，x 23＋y 22＝1， 消去y ，整理得2x 2＋3t 2(x ＋1)2＝6，又由已知，得t ＝6－2x 23x ＋12＞2， 解得－32＜x ＜－1或－1＜x ＜0. 设直线OP 的斜率为m ，得m ＝y x ，即y ＝mx (x ≠0)，与椭圆方程联立，整理得m 2＝2x 2－23. ①当x ∈⎝⎛⎭⎫－32，－1时，有y ＝t (x ＋1)＜0， 因此m ＞0，于是m ＝2x 2－23，得m ∈⎝⎛⎭⎫23，233. ②当x ∈(－1,0)时，有y ＝t (x ＋1)＞0，因此m ＜0，于是m ＝－2x 2－23， 得m ∈⎝⎛⎭⎫－∞，－233. 综上，直线OP 的斜率的取值范围是⎝⎛⎭⎫－∞，－233∪⎝⎛⎭⎫23，233. 高考必会题型题型一 由概念、公式、法则、计算性质引起的分类讨论例1 设集合A ＝{x ∈R |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x ∈R |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，a ∈R }，若B ⊆A ，求实数a 的取值范围．解 ∵A ＝{0，－4}，B ⊆A ，于是可分为以下几种情况．(1)当A ＝B 时，B ＝{0，－4}，∴由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋1＝－4，a 2－1＝0， 解得a ＝1.(2)当B A 时，又可分为两种情况．①当B ≠∅时，即B ＝{0}或B ＝{－4}，当x ＝0时，有a ＝±1；当x ＝－4时，有a ＝7或a ＝1.又由Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足条件；②当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得a <－1.综合(1)(2)知，所求实数a 的取值范围为a ≤－1或a ＝1.点评 对概念、公式、法则的内含及应用条件的准确把握是解题关键，在本题中，B ⊆A ，包括B ＝∅和B ≠∅两种情况．解答时就应分两种情况讨论，在关于指数、对数的运算中，底数的取值范围是进行讨论时首先要考虑的因素．变式训练1 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n －1(p 是常数)，则数列{a n }是( )A ．等差数列B ．等比数列C ．等差数列或等比数列D ．以上都不对答案 D解析 ∵S n ＝p n －1，∴a 1＝p －1，a n ＝S n －S n －1＝(p －1)p n －1(n ≥2)，当p ≠1且p ≠0时，{a n }是等比数列；当p ＝1时，{a n }是等差数列；当p ＝0时，a 1＝－1，a n ＝0(n ≥2)，此时{a n }既不是等差数列也不是等比数列．题型二 分类讨论在含参函数中的应用例2 已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a 在x ∈[0,1]上有最大值2，求a 的值．解 函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，对称轴方程为x ＝a .(1)当a <0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ，∴1－a ＝2，∴a ＝－1.(2)当0≤a ≤1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1，∴a 2－a ＋1＝2，∴a 2－a －1＝0，∴a ＝1±52(舍)． (3)当a >1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，∴a ＝2.综上可知，a ＝－1或a ＝2.点评 本题中函数的定义域是确定的，二次函数的对称轴是不确定的，二次函数的最值问题与对称轴息息相关，因此需要对对称轴进行讨论，分对称轴在区间内和对称轴在区间外，从而确定函数在给定区间上的单调性，即可表示函数的最大值，从而求出a 的值．变式训练2 已知函数f (x )＝2e x －ax －2(x ∈R ，a ∈R )．(1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线方程；(2)求x ≥0时，若不等式f (x )≥0恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f (x )＝2e x －x －2，f ′(x )＝2e x －1，f ′(1)＝2e －1，即曲线y ＝f (x )在x ＝1处的切线的斜率k ＝2e －1，又f (1)＝2e －3，所以所求的切线方程是y ＝(2e －1)x －2.(2)易知f ′(x )＝2e x －a .若a ≤0，则f ′(x )>0恒成立，f (x )在R 上单调递增；若a >0，则当x ∈(－∞，ln a 2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 当x ∈(ln a 2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． 又f (0)＝0，所以若a ≤0，则当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≥f (0)＝0，符合题意．若a >0，则当ln a 2≤0，即0<a ≤2时，则当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≥f (0)＝0，符合题意．当lna 2>0，即a >2， 则当x ∈(0，ln a 2)时，f (x )单调递减， f (x )<f (0)＝0，不符合题意．综上，实数a 的取值范围是(－∞，2]．题型三 根据图形位置或形状分类讨论例3 在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，y ＋x ≤s ，y ＋2x ≤4下，当3≤s ≤5时，z ＝3x ＋2y 的最大值的变化范围是( )A ．[6,15]B ．[7,15]C ．[6,8]D ．[7,8]答案 D解析 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝s ，y ＋2x ＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4－s ，y ＝2s －4， 取点A (2,0)，B (4－s,2s －4)，C (0，s )，C ′(0,4)．①当3≤s <4时，可行域是四边形OABC (含边界)，如图(1)所示，此时，7≤z max <8.②当4≤s ≤5时，此时可行域是△OAC ′，如图(2)所示，z max ＝8.综上，z ＝3x ＋2y 最大值的变化范围是[7,8]．点评 几类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类讨论(1)二次函数对称轴的变化；(2)函数问题中区间的变化；(3)函数图象形状的变化；(4)直线由斜率引起的位置变化；(5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；(6)立体几何中点、线、面的位置变化等．变式训练3 设点F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，点P 为椭圆上一点，已知点P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且||PF 1＞||PF 2，求||PF 1||PF 2的值． 解 若∠PF 2F 1＝90°，则||PF 12＝|PF 2|2＋||F 1F 22，又∵||PF 1＋||PF 2＝6，||F 1F 2＝25，解得||PF 1＝143，||PF 2＝43，∴||PF 1||PF 2＝72. 若∠F 1PF 2＝90°，则||F 1F 22＝||PF 12＋||PF 22，∴||PF 12＋(6－||PF 1)2＝20，又|PF 1|>|PF 2|，∴||PF 1＝4，||PF 2＝2，∴||PF 1||PF 2＝2. 综上知，||PF 1||PF 2＝72或2. 高考题型精练1．若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是( )A ．(0,1)∪(1，＋∞)B ．(0,1)C ．(1，＋∞)D.⎝⎛⎭⎫0，12 答案 D解析 方程|a x －1|＝2a (a >0且a ≠1)有两个实数根转化为函数y ＝|a x －1|与y ＝2a 有两个交点．①当0<a <1时，如图(1)，∴0<2a <1，即0<a <12. ②当a >1时，如图(2)，而y ＝2a >1不符合要求．综上，0<a <12. 2．x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0.若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为( )A.12或－1 B ．2或12C ．2或1D ．2或－1答案 D解析 如图，由y ＝ax ＋z 知z 的几何意义是直线在y 轴上的截距，故当a >0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝2；当a <0时，要使z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则a ＝－1.3．抛物线y 2＝4px (p >0)的焦点为F ，P 为其上的一点，O 为坐标原点，若△OPF 为等腰三角形，则这样的点P 的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．6答案 C解析 当|PO |＝|PF |时，点P 在线段OF 的中垂线上，此时，点P 的位置有两个；当|OP |＝|OF |时，点P 的位置也有两个；对|FO |＝|FP |的情形，点P 不存在．事实上，F (p,0)，若设P (x ，y )，则|FO |＝p ，|FP |＝x －p 2＋y 2，若x －p 2＋y 2＝p ，则有x 2－2px ＋y 2＝0，又∵y 2＝4px ，∴x 2＋2px ＝0，解得x ＝0或x ＝－2p ，当x ＝0时，不构成三角形．当x ＝－2p (p >0)时，与点P 在抛物线上矛盾．∴符合要求的点P 一共有4个．4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x <1的值域为________． 答案 (－∞，2)解析 当x ≥1时，12()log f x x =是单调递减的，此时，函数的值域为(－∞，0]；当x <1时，f (x )＝2x 是单调递增的，此时，函数的值域为(0,2)．综上，f (x )的值域是(－∞，2)．5．已知集合A ＝{x |1≤x <5}，C ＝{x |－a <x ≤a ＋3}．若C ∩A ＝C ，则a 的取值范围是________． 答案 (－∞，－1]解析 因为C ∩A ＝C ，所以C ⊆A .①当C ＝∅时，满足C ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，得a ≤－32； ②当C ≠∅时，要使C ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧ －a <a ＋3，－a ≥1，a ＋3<5，解得－32<a ≤－1.综上，a 的取值范围是(－∞，－1]．6．已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋3－a ，若x ∈[－2,2]时，f (x )≥0恒成立，求a 的取值范围．解 要使f (x )≥0恒成立，则函数在区间[－2,2]上的最小值不小于0，设f (x )的最小值为g (a )．(1)当－a 2<－2，即a >4时，g (a )＝f (－2)＝7－3a ≥0， 得a ≤73，故此时a 不存在． (2)当－a 2∈[－2,2]，即－4≤a ≤4时，g (a )＝f ⎝⎛⎭⎫－a 2＝3－a －a 24≥0，得－6≤a ≤2，又－4≤a ≤4，故－4≤a ≤2.(3)当－a 2>2，即a <－4时，g (a )＝f (2)＝7＋a ≥0， 得a ≥－7，又a <－4，故－7≤a <－4，综上得－7≤a ≤2.7．已知ax 2－(a ＋1)x ＋1<0，求不等式的解集．解 若a ＝0，原不等式等价于－x ＋1<0，解得x >1.若a <0，原不等式等价于(x －1a)(x －1)>0， 解得x <1a或x >1. 若a >0，原不等式等价于(x －1a)(x －1)<0. ①当a ＝1时，1a ＝1，(x －1a)(x －1)<0无解； ②当a >1时，1a <1，解(x －1a )(x －1)<0得1a<x <1； ③当0<a <1时，1a >1，解(x －1a )(x －1)<0得1<x <1a. 综上所述：当a <0时，解集为{x |x <1a或x >1}； 当a ＝0时，解集为{x |x >1}；当0<a <1时，解集为{x |1<x <1a}； 当a ＝1时，解集为∅；当a >1时，解集为{x |1a<x <1}． 8．已知首项为32的等比数列{a n }不是递减数列，其前n 项和为S n (n ∈N *)，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝S n －1S n(n ∈N *)，求数列{T n }的最大项的值与最小项的值． 解 (1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列， 所以S 5＋a 5－S 3－a 3＝S 4＋a 4－S 5－a 5，即4a 5＝a 3，于是q 2＝a 5a 3＝14. 又{a n }不是递减数列且a 1＝32，所以q ＝－12. 故等比数列{a n }的通项公式为a n ＝32×⎝⎛⎭⎫－12n －1＝(－1)n －1·32n . (2)由(1)得S n ＝1－⎝⎛⎭⎫－12n ＝⎩⎨⎧ 1＋12n ，n 为奇数，1－12n ，n 为偶数.当n 为奇数时，S n 随n 的增大而减小，所以1<S n ≤S 1＝32， 故0<S n －1S n ≤S 1－1S 1＝32－23＝56. 当n 为偶数时，S n 随n 的增大而增大，所以34＝S 2≤S n <1， 故0>S n －1S n ≥S 2－1S 2＝34－43＝－712. 综上，对于n ∈N *，总有－712≤S n －1S n ≤56. 所以数列{T n }最大项的值为56，最小项的值为－712. 9．已知a 是实数，函数f (x )＝x (x －a )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)设g (a )为f (x )在区间[0,2]上的最小值． ①写出g (a )的表达式；②求a 的取值范围，使得－6≤g (a )≤－2. 解 (1)函数的定义域为[0，＋∞)，f ′(x )＝3x －a 2x(x >0)．若a ≤0，则f ′(x )>0，f (x )有单调递增区间[0，＋∞)．若a >0，令f ′(x )＝0，得x ＝a 3， 当0<x <a 3时，f ′(x )<0， 当x >a 3时，f ′(x )>0. f (x )有单调递减区间[0，a 3]， 有单调递增区间(a 3，＋∞)． (2)①由(1)知，若a ≤0，f (x )在[0,2]上单调递增，所以g (a )＝f (0)＝0.若0<a <6，f (x )在[0，a 3]上单调递减， 在(a 3，2]上单调递增， 所以g (a )＝f (a 3)＝－2a 3a 3. 若a ≥6，f (x )在[0,2]上单调递减，所以g (a )＝f (2)＝2(2－a )．综上所述，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0，a ≤0，－2a 3a 3，0<a <6，22－a ，a ≥6.②令－6≤g (a )≤－2.若a ≤0，无解．若0<a <6，解得3≤a <6.若a ≥6，解得6≤a ≤2＋3 2.故a 的取值范围为3≤a ≤2＋3 2.10．已知函数f (x )＝a ln x －x ＋1(a ∈R )．(1)求f (x )的单调区间；(2)若f (x )≤0在(0，＋∞)上恒成立，求所有实数a 的值．解 (1)f ′(x )＝a x －1＝a －x x(x >0)， 当a ≤0时，f ′(x )<0，∴f (x )的减区间为(0，＋∞)；当a >0时，由f ′(x )>0得0<x <a ，由f′(x)<0得x>a，∴f(x)递增区间为(0，a)，递减区间为(a，＋∞)．(2)由(1)知：当a≤0时，f(x)在(0，＋∞)上为减函数，而f(1)＝0，∴f(x)≤0在区间x∈(0，＋∞)上不可能恒成立；当a>0时，f(x)在(0，a)上递增，在(a，＋∞)上递减，f(x)max＝f(a)＝a ln a－a＋1，令g(a)＝a ln a－a＋1，依题意有g(a)≤0，而g′(a)＝ln a，且a>0，∴g(a)在(0,1)上递减，在(1，＋∞)上递增，∴g(a)min＝g(1)＝0，故a＝1.。
分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用探究
分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用探究1. 引言1.1 研究背景通过分类讨论思想，学生可以将一个复杂的数学问题拆分成若干个简单的子问题，然后逐个解决，最终将所有子问题的解合并起来得到原问题的解。
这种思维方式不仅有助于提高学生的逻辑思维能力和问题解决能力，也可以帮助他们培养自主学习的能力。
在初中数学解题教学中，分类讨论思想的应用具有重要意义。
目前对于分类讨论思想在初中数学解题教学中的具体应用以及效果尚未有系统的研究和总结。
有必要对分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用进行深入探讨，以期能够更好地指导和促进学生的数学学习。
1.2 研究意义分类讨论思想在初中数学解题教学中的应用具有重要的理论和实践意义。
分类讨论思想是数学思维的重要组成部分，能够帮助学生提高逻辑思维能力和解决问题的能力。
通过研究分类讨论思想在初中数学解题中的应用，可以有效促进学生的思维发展和学习兴趣，提高学生的数学学习成绩。
分类讨论思想在数学解题中的重要性不容忽视。
在解决数学问题时，通过分类讨论思想可以将复杂的问题分解为简单的子问题，从而更好地理解和解决问题。
分类讨论思想可以帮助学生建立起正确的解题思路，提高解题的效率和准确性。
研究分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用实例，可以为教师提供更多的教学方法和策略，帮助他们更好地引导学生学习数学，促进教学质量的提升。
分类讨论思想的应用也可以激发学生的学习兴趣，使数学教学更加生动有趣。
研究分类讨论思想在初中数学解题教学中的应用具有重要的意义，有助于提高学生的数学学习能力和素养，对于促进数学教育的发展具有积极的推动作用。
1.3 研究方法对于研究方法的选择，本研究将采用文献研究和案例分析相结合的方式。
通过文献研究的方式，我们将梳理和分析分类讨论思想在初中数学解题教学中的应用现状、相关理论和实践经验，深入了解其在教学实践中的具体表现和影响。
通过案例分析的方法，我们将选取一些典型的学生解题案例，分析其中的分类讨论思想运用情况，探讨其在解题过程中的作用和价值，以及可能存在的问题和改进空间。
课题 对需要分类讨论问题的研究
课题对需要分类讨论问题的研究【教学目标】1．通过对分类讨论问题的分析，使学生对分类讨论中应注意的问题有比较系统的认识，提高学生学习数学的效率；2．通过对分类讨论问题的分析、整理和总结，培养学生抽象概括和归纳的能力；3．通过学生的学习活动，倡导自主探索、合作交流等学习方式，充分发挥学生学习的主动性。
【教学重点】1．分类讨论的原因。
基本上有两种：解决问题有困难，需要就有关量的不同取值进行讨论；用同一种方法无法解决问题的全部，需要按照问题的各个部分的情况分别求解；2．分类讨论的标准。
需要注意分类的时候不重不漏；3．分类讨论问题的最终结果应如何表达，即若干类之间是何种关系。
【教学难点】1．分类时机的把握。
确定在解题过程中的什么时机进行分类讨论，才有利于解决问题；2．分类标准的确定。
如何分类，直接关系到解决问题的效率和可操作性。
【教学方式】探究式【教学手段】实物投影演示【教学过程】一、课前准备思考问题：分类讨论中我们应注意什么问题？学生通过对学习中遇到的分类讨论问题的收集和整理，就自己解决分类讨论问题的体会进行小结，然后将班级同学分成若干学习小组，组内同学互相交流，一起探讨，最终整理得出分类讨论中应注意的具有共性的问题，并探讨如何解决这些问题，给出本组的解决问题的方法，最后在课堂上推选同学进行交流。
二、新课1．学生交流学生将前期关于“分类讨论中应注意的问题”整理出的资料进行展示，和全班同学交流，主要从这四个方面进行交流：（1）分类讨论的原因有哪些；（2）分类的标准如何确定；（3）分类讨论问题的最终结果如何表达；（4）容易出现错误的地方是什么。
在同学展示本组的体会时，其他同学可以做补充或者提问。
（在每个小组展示完毕后，由同学和教师对该组同学展示的资料进行点评）2．总结概括学生展示完自己的体会后，由教师和同学一起把各组同学提出的具有共性的问题提炼出来，并一起探讨和寻找相应的解决问题的方法。
3．解题实践就具体分类讨论问题，同学一起随堂解题，体验分类讨论中应注意的问题。
分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用探究
分类讨论思想在初中数学解题教学中的运用探究在初中数学解题教学中，分类讨论思想是一种常用的运用探究方法。
它通过将问题进行分类，分析各个情况下的特点和解题方法，从而帮助学生更好地理解和解决问题。
一、分类讨论思想的基本原理分类讨论思想是一种将问题分解成几个互不相同的情况进行研究的方法，每个情况都有其独特的特点和解题方法。
通过对每种情况进行探究，可以全面地了解问题的性质和解题思路。
分类讨论思想具有以下基本原理：1. 将问题进行分类：将问题中的关键条件进行分类，将其分为几个不同的情况。
2. 分析每个情况的特点：对每个情况进行详细的分析，了解其特点和规律。
3. 寻找每个情况的解题方法：根据每个情况的特点和规律，寻找相应的解题方法。
4. 综合各个情况的解法：将各个情况的解法进行综合，得出最终的解题方法。
1. 解决复杂的实际问题：分类讨论思想在解决复杂的实际问题中具有重要作用。
在解决几何问题时，可以将问题分为几种情况，从而得到不同情况下的解题方法。
2. 深化对知识的理解：通过分类讨论思想，学生需要对问题的各个方面进行详细的分析和探究，这有助于学生深化对知识的理解。
解决一元二次方程的问题时，可以将问题分为有实数解、无实数解和有重根的情况，进一步理解和运用一元二次方程的性质和解题方法。
3. 培养综合运用知识的能力：分类讨论思想要求学生能够综合运用已学知识，寻找适当的解题方法。
通过分类讨论，学生可以培养综合运用知识的能力，提高解决问题的能力。
4. 培养逻辑思维和分析问题的能力：分类讨论思想要求学生具有良好的逻辑思维和问题分析能力。
通过分类讨论，学生可以学会将问题进行分类和分析，提高解决问题的能力。
三、分类讨论思想的教学方法1. 引导学生积极思考：在教学中，教师可以通过提问等方式，引导学生积极思考问题，提出自己的见解和想法。
2. 激发学生的兴趣：教师可以通过讲解具体问题、举例说明等方式，激发学生对数学解题的兴趣，增强学生的求知欲望。
分类讨论的起因
例说数学解题中引起分类讨论的原因分类讨论的数学思想方法是中学数学的基本思想方法之一，它是数学教学中的重点、难点，也是历年来高考的常考、必考内容.搞清引起分类讨论的原因，确定分类讨论的分界点标准，是掌握好分类讨论这一数学思想方法的关键.本文试就引起分类讨论的原因，通过分析、举例应用进行探讨，以便从中找到解决分类讨论问题的基本方法.1、由数学概念引起的分类讨论我们知道数学概念都是在一定范围内定义的，这一范围就是应用它的条件，如绝对值、不等式、二次函数、指数、对数等概念，都有限制条件，凡是涉及到相关问题，当不能直接解答时，一般都应以所定义的概念来进行分类讨论，并且讨论时要注意概念所受的限制． 例1、(2005﹒浙江)已知函数f (x )和g (x )的图象关于原点对称，且f (x )＝x 2＋2x ． (Ⅰ)求函数g (x )的解析式；(Ⅱ)解不等式g (x )≥f (x )－|x －1|；(Ⅲ)若h (x )＝g (x )－λf (x )＋1在[－1，1]上是增函数，求实数λ的取值范围． 解：（I ）解答略g(x)＝22x x -+.(II)由()()|1|g x f x x ≥--可得：22|1|0x x --≤，此时解此不等式就需要根据绝对值的意义来分类讨论去掉绝对值符号。
当x ≥1时，2210x x -+≤，此时不等式无解。
当1x <时，2210x x -+≤∴112x -≤≤因此，原不等式的解集为[-1,12]. (III) 2()(1)2(1) 1.h x x x λλ=-++-+因为二次项系数带有参数λ，故需对λ的取值进行讨论。
① 当1λ=-时，()h x ＝41x +在[-1,1]上是增函数，∴1λ=-②当1λ≠-时，对称轴的方程为11x λλ-=+ (i) 当1λ<-时，11λλ-+1≤-，解得1λ<-。
(ii) 当1λ>-时，11λλ-+≥1时，解得10λ-<≤ 综上,0λ≤解题点评：解绝对值不等式最常用的方法就是利用“零点分区间法”划分分类讨论的层次，去掉绝对值，把它转化为不含绝对值的不等式。
分类讨论问题初探
D B C A D B CA 1O y xM(3,1)3分类讨论问题初探浙江省义乌市北苑学校 王荣钱分类问题属于开放题型中的结论开放型和条件开放型。
由于它对学生能力培养效果比较明显，普遍被采用，在考查中也常用来作能力检测题。
分类问题主要内容分三大块：对图形位置的讨论；对最佳、最值方案的讨论、对参数的讨论等。
在复习中须抓住它的关键——分类，做到分类的内容正确、方法得当、完整无缺、不重分不漏分。
在分类问题中可以运用整体思想、数形结合思想、构造思想、化归思想等。
解分类题的主要步骤是：1、看清特征，确定分域点；2、优选分类顺序；3、选择适当的分类标准。
下面就与图有关的可能出现分类讨论的题型作一些探索。
这些问题一般属几何与函数内容。
一、已知条件中不给图的问题例1：已知等腰三角形二边长为3㎝、4㎝，求这个等腰三角形周长。
解： 4 4 3 3 ①若以3㎝长为等腰三角形的底，则周长为11㎝；②若以4㎝长为等腰三角形的底，则周长为10㎝。
3 4 启示：本题已知中因不附图，所以就可能产生两种情况，就要进行分类讨论。
求等腰三角形内角时类似问题，用类方法解决。
例2：已知△ABC 中，AB=AC ，D 是AC 上一点，∠ABD=2∠DBC 是等腰三角形，求∠A 的度数。
解：①若∠A 是顶角，则AB 是腰，另一腰必为AC ，此时，D 与C 重，不合题意；②若∠A 是底角，AB 是底边，则AD 和BD 为腰，如下图1所示，可求得∠A=45°。
图1 图2③若∠A 是底角，AB 是腰，则AB 和BD 是△ABD 的腰，如图2所示，可求得∠A=72°。
启示：本题已知图中因为“不附图”，所以就可能产生三种情况，就需进行分类讨论。
每当几何题已知条件不附图时，在分析中就要考虑是否存在多种情况分类讨论。
例3：在反比例函数y=3x图象上有一点M ，其横坐标为3， 在x 轴上求一点N ，使△OMN （O 为原点）为直角三角形。
浅谈初中数学中的分类讨论思想
浅谈初中数学中的分类讨论思想分类讨论是人们常用的重要思想方法，无论是在生产活动、科学实验中，还是在日常的生活中，都常常需要用到它。
这里我们重点研究初中数学中的分类讨论思想。
1. 分类讨论思想的意义有关初中数学中分类讨论的原因本文归纳了以下几个方面：由于问题涉及到分类讨论思想的有关概念而需要对其进行分类讨论；由于问题的题设和结论有多种可能情况而需要对其进行分类讨论；由于问题中含有的参变量的不同取值会导致不同结果而需要对其进行分类讨论；由于问题中几何图形的不确定而需要对其进行分类讨论。
2. 分类的四大原则2.1 同一性原则。
分类应按同一标准进行，即每次分类不能同时使用几个不同的分类根据。
2.2 互斥性原则。
分类后的每个子项应当互不相容，即做到各子项相互排斥，也就是分类后不能有一些事物既属于这个子项，又属于另一个子项。
2.3 相称性原则。
分类应当相称，即划分后子项外延的总和（并集），应当与母项的外延相等。
2.4 层次性原则。
分类有一次分类和多次分类之分。
一次分类是对被讨论对象只分类一次；多次分类是把分类后所得的子项作为母项，再进行分类，直至满足需要为止。
3. 分类讨论的步骤用分类讨论思想解决问题的一般步骤是：3.1 先明确需讨论的对象及讨论对象的取值范围。
3.2 正确选择分类的标准，进行合理分类。
3.3 逐类讨论解决。
3.4 归纳并作出结论。
4. 归纳需要分类讨论的几种常见例子掌握用分类讨论思想解题的关键，在于搞清楚哪些情况下会引起分类讨论。
下面就引起分类讨论的一些常见情况作一归纳：4.1 由于问题涉及到分类讨论思想的有关概念而需要对其进行分类讨论。
有些数学概念是分类定义的（如实数的绝对值），所以应用这些概念解题时，就需进行分类讨论。
有些数学概念在下定义时已经对所考虑的对象的范围作了限制（如二次方程，求二次项系数不为零），当解题过程的变换需要突破这些限制时，就必须分类讨论。
例如：解方程|4x-4|-|2x+2|=14解：当x≥1时, 原方程化为(4x-4)-(2x+2)=14, x=10当-1≤x≤1时，原方程化为4 - 4x-2x-2=14，x=-2, 应舍去.当x≤-1时，原方程化为4-4x+2x+2=14, x=-4∴x=10或-4说明: 若在x的某个范围内求解方程时,若求出的未知数的值不属于此范围内，则这样的解不是方程的解“应舍去”. 绝对值概念是一个需要分类讨论的概念，要讲清这一概念应从绝对值的几何意义说起，也就是一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与原点的距离。
初中数学教学中渗透分类讨论思想初探
初中数学教学中渗透分类讨论思想初探【摘要】新课标指出：“数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。
”作为数学教师，不仅仅要让学生真正理解和掌握基本的数学知识与技能，还需要让学生掌握基本的数学思想和方法。
现行数学教材的编排是沿知识的纵向展开的，数学思想方法只是蕴涵在数学知识的体系之中，没有明确的揭示和总结。
这样就产生了如何处理数学思想方法教学的问题。
数学思想方法的构建有三个阶段：潜意识阶段、明朗和形成阶段、深化阶段。
教学应以贯彻渗透性原则为主线，结合落实反复性、系统性和明确性的原则．它们相互联系，相辅相成，共同构成数学思想方法教学的指导思想。
【关键词】初中数学；数学教学；分类讨论,渗透；探究方法；构建数学学习离不开思维，数学探索需要通过思维来实现，在初中数学教学中逐步渗透数学思想方法，培养思维能力，形成良好的数学思维习惯，既符合新的课程标准，也是进行数学素质教育的一个切入点。
所谓数学分类讨论方法，就是将数学对象分成几类，分别进行讨论来解决问题的一种数学方法。
有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性。
分类讨论思想，贯穿于整个中学数学的全部内容中。
因此，在数学教学中应注重对学生进行分类讨论思想方法的培养。
1. 营造宽松的课堂气氛，培养学生的学习兴趣学习是一种个性化行为。
作为教师，应当在课堂教学环境中创设一个有利于张扬学生个性的“场所”，让学生的个性在宽松、自然、愉悦的氛围中得到释放，展现生命的活力。
（1）让学生成为课堂的主人。
人的能力并不是靠“听”会的，而是靠“做”会的，只有动手操作和积极思考才能出真知。
因此，我们不能让学生在课堂上做“听客”和“看客”，要让学生做课堂的主人，动口、动手、又动脑，亲身参与课堂和实践，包括知识的获取、新旧知识的联系，知识的巩固和应用的全过程。
教师在教学活动中应主动参与、积极引导、耐心辅助，与学生平等合作、努力探研，充分发挥教师的主导作用，真正地把学生解放出来，使学生真正成为课堂上的主人。
分类讨论的原因_方法及应用
分析 集合 B 易求 , 集合 A 中含有参数 a , 既要考察不等式是否有解及解的情况 , 又要 考察 A 与 B 的交集 . 解 : B = { x | x 2 - x - 2 < 0 } = { x | - 1 < x < 2} ;
2 2 A = { x | x - ( 2 a + 1) x + a + a - 2 ≤ 0}
x 的系数是 a , 该不等式是二次不等式还是一次不等式由 a 是否为 0 确定 . 对
2
于二次不等式 ( a ≠ 0) , 既要考虑抛物线的开口方向 , 又要考虑 因而要分类讨论 . 解 :原不等式可化为 ax 2 + ( a - 2) x - 2 ≥ 0.
( 1) 当 a = 0 时 , x ≤- 1 . ( 2) 当 a ≠ 0 时 , 原不等式可化为 ( ax - 2) ( x + 1) ≥ 0.
去;
( 3) 当
2
< - 1 , 即 a < - 2 时 , f ( x ) 在 [ - 1 , 1 ]上
要结合其他数学思想方法 ;
( 3) 审题时不仅要重视
是增函数 , f ( - 1) = 1 + a + 3 = - 3 , 所以 a = - 7 . 综上所述 , 实数 a 的值为 ± 7.
( 责任编辑 朱 宁)
f ( x) = xa
2
- 1 ( n = 1) ,
2
+3-
a
2
4
, 由于 a 的值不定 , f ( x ) 在 [ - 1 , 1 ] 上的单调性随之
而定 . 解 : f ( x ) = x 2 - ax + 3 =
分类讨论初探
一路下来，我们共同回顾了所 学知识，又解决了一些问题，你一 定有很多收获，希望你能与同学、 与父母分享。
取何值时，△PTO是等腰三角形？
（1）动点T在原点左侧.
y
当TO=OP时，△PTO是等腰三角形. 1
P
∴点T(-.5 ,0)
（2）动点T在原点右侧.
T1
o1
图1
2
x y
1
Pห้องสมุดไป่ตู้
① 当TO=PO时，△PTO是等腰三角形.
o
T2 12
x
∴点T( 5,0)
y 图2
② 当TP=PO时，△PTO是等腰三角形.1
P
已知⊙Ｏ的半径为５ｃｍ，弦ＡＢ∥ＣＤ，ＣＤ
＝６ｃｍ，ＡＢ＝８ｃｍ，求ＡＢ和ＣＤ的距离。
解：连接OA、OC，并过点O作OE⊥CD交
C E D CD、AB
于点E、F
A
F
B ∵ OE⊥CD ∴CE=DE=3
O
又∵ＡＢ∥ＣＤ， OE⊥CD
∴OF⊥AB ∴AF=EF=4
∵在RT△OCE中，OC=5，CE=3 ∴OE=4
同理OF=3 ∴EF=OE+OF=4+3=7
即ＡＢ和ＣＤ的距离为7
所以AB与CD 的距离是1或 7
五、根据图形的位置变化进行分类讨论
已知⊙Ｏ的半径为５ｃｍ，弦ＡＢ∥ＣＤ，ＣＤ ＝６ｃｍ，ＡＢ＝８ｃｍ，求ＡＢ和ＣＤ的距离。
有同学做 出的答案 是1，你认 为对吗？
分析：两平行弦的位 置关系有两种: ＡＢ、 ＣＤ在圆心O的同侧, ＡＢ、ＣＤ在圆心O 的异侧.
思想的重要性。
分类讨论的概念
分类是基本逻辑方法之一.依据数学研究 对象本质属性的相同点和差异点，将数学 对象分为不同种类的数学思想叫做分类的 思想。“物以类聚，人以群分”。将事物 进行分类，然后对划分的每一类分别进行 研究和求解的方法叫做分类讨论的方法。
分类讨论的五大诱因
我们对 图 形 的 形 状 和 位 置 有 个 更 清 楚 的交
代, 因此它也是分类讨论的一个诱因.
x \ 0,
例 4 在约束条件 y \ 0, 下, y + x [ s,
y + 2x [ 4
当 3 [ s [ 5时, z = 3x + 2y 的最大值的
变化范围是 ( ).
( A ) [ 6, 15 ]
1 3
,
所以由几何概率公式得
P
(A
)
=
1 3
.
变式 1 在半径 为 1 的 圆内 一条 直径上
过任意一点作垂直于直径的弦 (如图 2 ), 求弦 长超过圆内接等边三角形边长的概率.
车工, 3人仅会钳工, 另外 3人 车工钳 工都会, 现需选出 6人完 成一件 工作, 需要 车工、钳工 各 3人, 问有多少种选派方案?
( B) [ 7, 15]
( C) [ 6, 8]
( D ) [ 7, 8]
解 由方程组 x + y = s, 求得 x = 4 y + 2x = 4,
s, y = 2s - 4, 得交点为 A ( 2, 0 ), B ( 4 - s, 2s 4 ), C ( 0, s), Cc( 0, 4 ).
( 1) 当 3 [ s < 4 时 可 行 域 是 四 边 形 OABC, 此时, 7 [ z < 8.
高中数学教与学 o 学习指导 o
分类讨论的五大诱因
2009 年
吴维平 (浙江省湖州中学, 313000)
在解决数学 问题 时, 如 果问 题所 给 对象
不能进行统一 处 理时, 我们 就 需要 根 据数 学 对象本质属性 的 相同 点 和不 同 点, 将 对象 区 分为不同种类, 然后逐 类进 行解决, 从而 达到
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高中代数分类讨论问题的原因初探
分类讨论思想作为高考数学一种必考的数学思想，在高中数学教学中的地位可谓举足轻重，然而很多同学对分类讨论思想在什么情况下要用到，怎么样去使用分类讨论思想都还不甚了解。
笔者在多年的高中数学教学中对该思想进行了一些梳理，以求起到抛砖引玉的作用。
我认为造成高中代数分类讨论的常见的情形大体有如下几种。
1、 研究指数函数和对数函数性质时对底数必须分类讨论
例如：已知f(x)＝a a 2－1
(a x －a －x )(a>0且a≠1)．讨论f(x)的单调性
解：当a>1时，a 2－1>0，y ＝a x 为增函数，y ＝a －x 为减函数，从而y ＝a x －a －x 为增函数，所以f(x)为增函数．
当0<a<1时，a 2－1<0，y ＝a x 为减函数，y ＝a －x 为增函数，从而y ＝a x －a －x 为减函数，所以f(x)为增函数．
故当a>0，且a ≠1时，f(x)在定义域内单调递增．
总结：本题中指数函数的底数是字母a ，因此对字母a 进行讨论成为首先要解决的问题。
因为当a>1时和当0<a<1时指数函数的单调性是不同的，因此必须对底数进行分类讨论。
2、 研究方程的根时对含参的系数必须进行讨论
例如：已知函数f(x)＝ax ＋a －1x ＋1－2a(a>0)，若f(x)≥ln x 在 [1，
＋∞)上恒成立，求a 的取值范围．
解：令g(x)＝f(x)－ln x ＝ax ＋a －1x ＋1－2a －ln x ，
x ∈[1，＋∞)，则g(1)＝0，g ′(x)＝a －a －1x 2－1x ＝ ax 2－x －(a －1)x 2＝a (x －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1－a a x 2，
①当1－a a >1时，0<a<12，则1<x<1－a a ，
故g ′(x)<0，g(x)是减函数，
所以g(x)<g(1)＝0，即f(x)<ln x ，
故f(x)≥ln x 在[1，＋∞)上不恒成立．
②当1－a a ≤1时，a ≥12，则x>1，故g ′(x)>0，g(x)是增函数，g(x)>g(1)＝0，即f(x)>ln x ，
故当x ≥1时，f(x)≥ln x 恒成立．
综上所述，所求a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭
⎪⎫12，＋∞. 总结：本题中若令g ′(x)＝0，得x=1－a a 或x=1,由于给定区间为[1，
＋∞)，故1－a a 与1必须进行大小比较，因此出现了对a 进行讨论。
3、 研究等比数列求和问题时必须对公比是否为1进行讨论
例如：求数列1,1＋a,1＋a ＋a 2，…，1＋a ＋a 2＋…＋a n －1的前n 项和S n .（a ≠0）
解： 若a ＝1，则通项a n ＝1＋1＋…＋1＝n ，
于是S n ＝1＋2＋…＋n ＝n n ＋12
； 若a≠1，则通项a n ＝1＋a ＋…＋a n －1＝1－a n 1－a ＝11－a
(1－a n )，
于是S n＝1－a 1－
a
＋
1－a2
1－a
＋…＋
1－a n
1－a
＝
1
1－a
[n－(a＋a2＋…＋a n)]＝
1
1－a⎣
⎢
⎡
⎦
⎥
⎤
n－
a(1－a n)
1－a。
总结：本题中出现的数列通项中出现了字母a，求通项时就牵涉到等比数列求和，因此对公比a进行讨论成为必然，因为若不对公比a进行讨论就无法利用等比数列的求和公式。
4、研究集合之间的关系时对是否为空集必须进行讨论
例如：已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1<x<2m－1}，若B⊆A，求实数m的取值范围．
解当B＝φ时，有m＋1≥2m－1，则m≤2.
当B≠φ时，若B⊆A，如图．
则
⎩⎪
⎨
⎪⎧m＋1≥－2，
2m－1≤7，
m＋1<2m－1，
解得2<m≤4.
综上，m的取值范围为m≤4.
总结：本题中B⊆A，则B＝φ或B≠φ，要分两种情况讨论
5、研究二次函数性质时对对称轴或区间必须进行讨论
例如：求函数y＝x2－2ax－1在x∈[0,2]时的值域．
解由已知可得，函数的图象开口向上，对称轴为x＝a.
①当a<0时，y min＝f(0)＝－1.
y max ＝f(2)＝4－4a －1＝3－4a.
所以函数的值域为[－1,3－4a]．
②当0≤a ≤1时，y min ＝f(a)＝－(a 2＋1)，y max ＝f(2)＝3－4a ，所以
函数的值域为[－(a 2＋1)，3－4a]．
③当1<a ≤2时，y min ＝f(a)＝－(a 2＋1)，y max ＝f(0)＝－1，
所以函数的值域为[－(a 2＋1)，－1]．
④当a>2时，y min ＝f(2)＝3－4a ，y max ＝f(0)＝－1，
所以函数的值域为[3－4a ，－1]．
总结：本题中因为给出的二次函数图象开口向上，对称轴为x ＝a.显然对称轴x ＝a 的位置与给定区间的位置关系决定了a 必须与区间的端点0与2及区间的中点1进行大小比较。
6、 研究不等式的解集时对根的大小必须进行讨论
例如：求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R)的解集
解 ∵12x 2－ax ＞a 2，∴12x 2－ax －a 2＞0，
即(4x ＋a)(3x －a)＞0，令(4x ＋a)(3x －a)＝0，
得：x 1＝－a 4，x 2＝a 3
. ①a ＞0时，－a 4＜a 3，解集为⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＜－a 4或x ＞a 3； ②a ＝0时，x 2＞0，解集为{x|x ∈R 且x≠0}；
③a ＜0时，－a 4＞a 3，解集为⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＜a 3或x ＞－a 4. 综上所述：当a ＞0时，不等式的解集为⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＜－a 4或x ＞a 3； 当a ＝0时，不等式的解集为{x|x ∈R 且x≠0}；
当a ＜0时，不等式的解集为⎩
⎨⎧⎭⎬⎫x|x ＜a 3或x ＞－a 4. 总结：本题中求解出一元二次方程的根－a 4和a 3
以后需要写出一元二次不等式的解集，由－a 4和a 3
的大小关系自然得到对字母a 必须进行分类讨论。
造成分类讨论的原因有很多，以上仅仅列举了几种较为常见的产生分类讨论的几种情况。
实际上产生分类讨论的原因还有很多其他情形。
这需要在解题时仔细去琢磨，去领会。
望城一中 彭学军
2013年11月28日。