等腰三角形中的分类讨论问题归类

六、和方程问题的综合讨论
例 7.
已知 ΔABC 的两边 AB，AC 的长是关于 x 的一元二次方程
x 2 (2k 3)x k 2 3k 2 0 的两个实数根，第三边 BC 长为 5。
（1） k 为何值时，ΔABC 是以 BC 为斜边的直角三角形？
（2） k 为何值时，ΔABC 是等腰三角形，并求 ΔABC 的周长。
当 k 3 时，原方程的解为 x1 5, x2 4 ，等腰 ΔABC 的三边长分别为 5，5，4，周 长为 14。当 k 4 时，原方程的解为 x1 6, x2 5 ，等腰 ΔABC 的三边长分别为
5，5，6，周长为 16。
所以当 k 3 或 k 4 时，ΔABC 是等腰三角形，周长分别为 14 或 16。
度数。 简析：依题意可画出图 1 和图 2 两种情形。图 1 中顶角为 45°，图 2 中顶角为 135°。
例 5. 为美化环境，计划在某小区内用 30m2 的草皮铺设一块一边长为 10 m 的等腰三
角形绿地，请你求出这个等腰三角形绿地的另两边长。
简析：在等腰 ΔABC 中，设 AB=10 m ，作 CD⊥AB 于 D，由
1
∠B=∠C= （180°－40°）=70°。
2
如图 2，当交点在腰 CA 的延长线上时，ΔABC 为钝角三有形，此时可求得
1
∠BAC=140°，所以∠B=∠C= （180°－140°）=20°
2
故这个等腰三角形的底角为 70°或 20°。 说明：这里的图 2 最容易漏掉，求解时一定要认真分析题意，画出所有可能的图形， 这样才能正确解题。
x
1 2
x y
12, 9.
解得
x y
6, 9,
或
x y
8,
即当腰长是
5.
6cm
时，底边长是
9cm；当腰长是
8cm
hing at a time and All things in their being are good for somethin
时，底边长是 5cm。 说明：这里求出来的解应满足三角形三边关系定理。 四、遇高需讨论 例 4. 等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为 45°，求这个等腰三角形的顶角的
简析：（1）略。
hing at a time and All things in their being are good for somethin
（2）若 ΔABC 是等腰三角形，则有 AB=AC，AB=BC，AC=BC 这三种情形。方程
x 2 (2k 3)x k 2 3k 2 0 可化为 (x k 2)(x k 1) 0 ，即 x1 k 2 ， x2 k 1 ，显然 x1 x2 ，即 AB AC 。当 AB=BC 或 AC=BC 时，5 是方程 x 2 (2k 3)x k 2 3k 2 0 的根。当 x 5 时，代入原方程可得 k 2 7k 12 0 ， 解得 k1 3 ， k2 4 。
如下图，当 AB 为腰且 ΔABC 为钝角三角形时，
AB BC 10m ， BD BC 2 CD 2 8(m) ， 所以 AD 18m, AC CD 2 AD 2 6 10(m) 。
hing at a time and All things in their being are good for somethin
hing at a time and All things in their being are good for somethin
初中数学等腰三角形的分类讨论
等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形，就是因为这种特殊性，在具体处理问
题时往往又会出现错误，因此，同学们在求解有关等腰三角形的问题时一定要注意分类讨
三、遇中线需讨论
例 3. 若等腰三角形一腰上的中线分周长为 9cm 和 12cm 两部分，求这个等腰三角形的
底和腰的长。
简析：已知条件并没有指明哪一部分是 9cm，哪一部分是 12cm，因此，应有两种情形。
若设这个等腰三角形的腰长是
x
cm，底边长为
y
cm，可得
x
1 2
x
9,
或
1 2
x
y
12,
x 1 2
论。那么在什么情况下应该分类讨论呢？本文分以下几种情形讲述。
一、遇角需讨论
例 1. 已知等腰三角形的一个内角为 75°则其顶角为（ ）
A. 30°
B. 75°
C. 105°
D. 30°或 75°
简析：75°角可能是顶角，也可能是底角。当 75°是底角时，则顶角的度数为
180°－75°×2=30°；当 75°角是顶角时，则顶角的度数就等于 75°。所以这个等腰三角
说明：三角形的高是由三角形的形状决定的，对于等腰三角形，当顶角是锐角时，腰 上的高在三角形内；当顶角是钝角时，腰上的高在三角形外。
五、遇中垂线需讨论 例 6.在 ΔABC 中，AB=AC，AB 的中垂线与 AC 所在直线相交所得的锐角为 50°，则 底角∠B=____________。 简析：按照题意可画出如图 1 和如图 2 两种情况的示意图。 如图 1，当交点在腰 AC 上时，ΔABC 是锐角三角形，此时可求得∠A=40°，所以
S ABC
源自文库
1 AB CD 2
30 ，可得 CD=6 m 。如下图，当 AB 为底边时，AD=DB=5 m ，所
以 AC BC CD 2 AD 2 61(m) 。
如下图，当 AB 为腰且 ΔABC 为锐角三角形时，
AB AC 10m ，所以 AD AC 2 CD 2 8(m) ， BD 2m, BC CD 2 BD2 2 10(m) 。
形的顶角为 30°或 75°。故应选 D。
说明：对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论，
先确定这个已知角是顶角还是底角，再运用三角形内角和定理求解。
二、遇边需讨论 例 2. 已知等腰三角形的一边等于 5，另一边等于 6，则它的周长等于_________。 简析：已知条件中并没有指明 5 和 6 谁是腰长谁是底边的长，因此应由三角形的三边 关系进行分类讨论。当 5 是等腰三角形的腰长时，这个等腰三角形的底边长就是 6，则此 时等腰三角形的周长等于 16；当 6 是腰长时，这个三角形的底边长就是 5，则此时周长等 于 17。故这个等腰三角形的周长等于 16 或 17。 说明：对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪是底哪是腰时，应在符合 三角形三边关系的前提下分类讨论。