二次函数知识点梳理
二次函数知识点梳理
二次函数得基础一、考点、热点回顾二次函数知识点一、二次函数概念:1.二次函数得概念:一般地,形如（就是常数,)得函数,叫做二次函数。
这里需要强调：与一元二次方程类似，二次项系数，而可以为零.二次函数得定义域就是全体实数.２、二次函数得结构特征:⑴等号左边就是函数,右边就是关于自变量得二次式,得最高次数就是２.⑵就是常数,就是二次项系数,就是一次项系数,就是常数项．二、二次函数得基本形式１、二次函数基本形式:得性质:a 得绝对值越大,抛物线得开口越小。
2、得性质:上加下减。
３、得性质：左加右减。
４、得性质:三、二次函数图象得平移在原有函数得基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”.概括成八个字“左加右减,上加下减”.方法二:⑴沿轴平移:向上(下）平移个单位,变成(或）⑵沿轴平移:向左(右）平移个单位,变成（或)四、二次函数与得比较从解析式上瞧,与就是两种不同得表达形式,后者通过配方可以得到前者,即,其中．五、二次函数图象得画法五点绘图法:利用配方法将二次函数化为顶点式,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图、一般我们选取得五点为：顶点、与轴得交点、以及关于对称轴对称得点、与轴得交点，（若与轴没有交点,则取两组关于对称轴对称得点)、画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与轴得交点,与轴得交点、六、二次函数得性质1、当时,抛物线开口向上,对称轴为,顶点坐标为．当时,随得增大而减小；当时,随得增大而增大；当时,有最小值．2、当时,抛物线开口向下,对称轴为,顶点坐标为.当时,随得增大而增大;当时,随得增大而减小;当时,有最大值.七、二次函数解析式得表示方法1、一般式:(,,为常数,)；2、顶点式:(,,为常数,);3、两根式：(，,就是抛物线与轴两交点得横坐标）、注意:任何二次函数得解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有得二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与轴有交点,即时,抛物线得解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式得这三种形式可以互化、八、二次函数得图象与各项系数之间得关系1、二次项系数二次函数中，作为二次项系数,显然．⑴当时,抛物线开口向上，得值越大,开口越小,反之得值越小,开口越大;⑵当时,抛物线开口向下,得值越小,开口越小,反之得值越大,开口越大.总结起来,决定了抛物线开口得大小与方向,得正负决定开口方向,得大小决定开口得大小．2、一次项系数在二次项系数确定得前提下,决定了抛物线得对称轴.⑴在得前提下,当时,，即抛物线得对称轴在轴左侧;当时,,即抛物线得对称轴就就是轴;当时,,即抛物线对称轴在轴得右侧.⑵在得前提下，结论刚好与上述相反，即当时，,即抛物线得对称轴在轴右侧;当时,，即抛物线得对称轴就就是轴;当时,,即抛物线对称轴在轴得左侧.总结起来,在确定得前提下,决定了抛物线对称轴得位置.得符号得判定：对称轴在轴左边则,在轴得右侧则,概括得说就就是“左同右异”总结:3、常数项⑴当时,抛物线与轴得交点在轴上方,即抛物线与轴交点得纵坐标为正;⑵当时，抛物线与轴得交点为坐标原点，即抛物线与轴交点得纵坐标为；⑶当时,抛物线与轴得交点在轴下方,即抛物线与轴交点得纵坐标为负.总结起来,决定了抛物线与轴交点得位置．总之,只要都确定,那么这条抛物线就就是唯一确定得．二次函数解析式得确定：根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法.用待定系数法求二次函数得解析式必须根据题目得特点,选择适当得形式，才能使解题简便.一般来说，有如下几种情况：1、已知抛物线上三点得坐标,一般选用一般式；2、已知抛物线顶点或对称轴或最大(小)值,一般选用顶点式；３、已知抛物线与轴得两个交点得横坐标,一般选用两根式;4、已知抛物线上纵坐标相同得两点，常选用顶点式.九、二次函数图象得对称二次函数图象得对称一般有五种情况,可以用一般式或顶点式表达１、关于轴对称关于轴对称后,得到得解析式就是;关于轴对称后,得到得解析式就是;2、关于轴对称关于轴对称后,得到得解析式就是;关于轴对称后,得到得解析式就是;３、关于原点对称关于原点对称后，得到得解析式就是；关于原点对称后,得到得解析式就是;４、关于顶点对称（即:抛物线绕顶点旋转1８0°)关于顶点对称后,得到得解析式就是;关于顶点对称后,得到得解析式就是.5、关于点对称关于点对称后,得到得解析式就是根据对称得性质,显然无论作何种对称变换，抛物线得形状一定不会发生变化,因此永远不变.求抛物线得对称抛物线得表达式时,可以依据题意或方便运算得原则,选择合适得形式,习惯上就是先确定原抛物线(或表达式已知得抛物线)得顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线得顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线得表达式．十、二次函数与一元二次方程:1、二次函数与一元二次方程得关系（二次函数与轴交点情况）:一元二次方程就是二次函数当函数值时得特殊情况、图象与轴得交点个数：①当时,图象与轴交于两点,其中得就是一元二次方程得两根.这两点间得距离、②当时，图象与轴只有一个交点;③当时,图象与轴没有交点、当时,图象落在轴得上方,无论为任何实数,都有;当时,图象落在轴得下方,无论为任何实数,都有.２、抛物线得图象与轴一定相交,交点坐标为,；3、二次函数常用解题方法总结:⑴求二次函数得图象与轴得交点坐标,需转化为一元二次方程；⑵求二次函数得最大(小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;⑶根据图象得位置判断二次函数中,，得符号,或由二次函数中,,得符号判断图象得位置，要数形结合;⑷二次函数得图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求与已知一点对称得点坐标，或已知与轴得一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标、⑸与二次函数有关得还有二次三项式,二次三项式本身就就是所含字母得二次函数;下面以时为例,揭示二次函数、二次三项式与一元二次方程之间得内在联系:十一、函数得应用二次函数应用。
二次函数知识点梳理
二次函数的基础一、考点、热点回顾二次函数知识点一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质：上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -． 七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称 2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ； 3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少。
二次函数的知识点总结
二次函数的知识点总结一、二次函数的定义二次函数是指一个形如 $y = ax^2 + bx + c$ 的函数，其中 $a$、$b$ 和 $c$ 是常数，且 $a \neq 0$。
在这个表达式中，$x$ 是自变量，$y$ 是因变量，$a$、$b$ 和 $c$ 是系数，其中 $a$ 称为二次项系数，$b$ 称为一次项系数，$c$ 称为常数项。
二、二次函数的性质1. 抛物线形状：二次函数的图像是一个向上或向下开口的抛物线。
2. 开口方向：当 $a > 0$ 时，抛物线开口向上；当 $a < 0$ 时，抛物线开口向下。
3. 对称轴：二次函数图像关于直线 $x = -\frac{b}{2a}$ 对称，这条直线称为抛物线的对称轴。
4. 顶点：抛物线的顶点坐标为 $\left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right)$。
5. 与 X 轴的交点：二次函数与 X 轴的交点称为根，可以通过解方程$ax^2 + bx + c = 0$ 来找到。
三、二次函数的图像1. 顶点式：$y = a(x - h)^2 + k$，其中 $(h, k)$ 是顶点坐标。
2. 交点式：$y = a(x - x_1)(x - x_2)$，其中 $x_1$ 和 $x_2$ 是与 X 轴的交点坐标。
3. 标准式：$y = ax^2 + bx + c$。
四、求解二次方程1. 因式分解法：当能够找到两个数，它们的和等于 $b$，积等于$c$ 时，可以使用因式分解法。
2. 完全平方法：通过配方将二次方程转化为完全平方的形式。
3. 公式法：使用二次公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 -4ac}}{2a}$ 来求解。
五、二次函数的应用1. 物理运动：描述物体在重力作用下的自由落体运动和抛体运动。
2. 优化问题：在商业和工程中，用于寻找最大利润或最小成本。
3. 数据拟合：在统计学中，用于拟合数据点，找到最佳曲线。
《二次函数》知识点知识点总结
《二次函数》知识点知识点总结《二次函数》知识点总结一、二次函数的定义一般地，如果形如 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a、b、c 是常数，a ≠ 0）的函数，那么就叫做二次函数。
其中，x 是自变量，a 叫做二次项系数，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项。
需要注意的是，二次函数的二次项系数 a 不能为 0，如果 a ＝ 0，那么就变成了一次函数。
二、二次函数的图像二次函数的图像是一条抛物线。
当 a ＞ 0 时，抛物线开口向上；当 a ＜ 0 时，抛物线开口向下。
抛物线的对称轴是直线 x ＝ b ／ 2a 。
抛物线的顶点坐标为（b ／ 2a，（4ac b²) ／ 4a）。
三、二次函数的表达式1、一般式：y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a ≠ 0）2、顶点式：y ＝ a(x h)²＋ k（a ≠ 0），其中顶点坐标为（h，k）3、交点式：y ＝ a(x x₁)（x x₂)（a ≠ 0），其中 x₁、x₂是抛物线与 x 轴交点的横坐标四、二次函数的性质1、当 a ＞ 0 时，在对称轴左侧，y 随 x 的增大而减小；在对称轴右侧，y 随 x 的增大而增大。
函数有最小值，当 x ＝ b ／ 2a 时，y 最小值＝（4ac b²) ／ 4a 。
2、当 a ＜ 0 时，在对称轴左侧，y 随 x 的增大而增大；在对称轴右侧，y 随 x 的增大而减小。
函数有最大值，当 x ＝ b ／ 2a 时，y 最大值＝（4ac b²) ／ 4a 。
五、抛物线的平移抛物线的平移实质上是它的顶点（h，k）的移动（点的移动规律）。
向左平移 h 个单位长度，顶点坐标变为（h m，k）；向右平移 m个单位长度，顶点坐标变为（h ＋ m，k）。
向上平移 n 个单位长度，顶点坐标变为（h，k ＋ n）；向下平移 n个单位长度，顶点坐标变为（h，k n）。
六、二次函数与一元二次方程的关系二次函数 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a ≠ 0），当 y ＝ 0 时，就变成了一元二次方程 ax²＋ bx ＋ c ＝ 0（a ≠ 0）。
二次函数知识点梳理
二次函数知识点梳理一、二次函数的定义二次函数是指一个变量的二次多项式函数，其一般形式为 f(x) =ax^2 + bx + c，其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0。
二、二次函数的图像二次函数的图像是一个抛物线。
根据 a 的正负，抛物线开口向上或向下。
a > 0 时，抛物线开口向上；a < 0 时，抛物线开口向下。
三、顶点二次函数的顶点是抛物线的最高点或最低点。
顶点的坐标可以通过公式 (-b/2a, f(-b/2a)) 计算得出。
四、对称轴二次函数的对称轴是一条垂直线，其方程为 x = -b/2a。
对称轴将抛物线分为两部分，这两部分关于对称轴对称。
五、判别式二次函数的判别式是 b^2 - 4ac。
根据判别式的值，可以判断二次函数与 x 轴的交点情况：- 如果判别式 > 0，则有两个实数根。
- 如果判别式 = 0，则有一个实数根（重根）。
- 如果判别式 < 0，则没有实数根。
六、根的性质1. 根的和：如果α 和β 是二次方程 ax^2 + bx + c = 0 的两个根，则α + β = -b/a。
2. 根的积：如果α 和β 是二次方程的两个根，则αβ = c/a。
七、因式分解某些二次函数可以因式分解为 (x - α)(x - β) = 0 的形式，其中α 和β 是函数的根。
八、配方法配方法是求解二次方程的一种方法，通过将二次函数转化为完全平方的形式，从而更容易找到方程的解。
九、二次函数的应用二次函数广泛应用于物理、工程、经济等领域，如描述物体的抛体运动、优化生产成本等。
十、二次不等式二次不等式是形如 ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0 的不等式。
解这类不等式通常需要考虑二次函数的图像和判别式。
十一、复合二次函数复合二次函数是指外层函数是二次函数，内层函数可以是任何实值函数的情况。
这类函数的性质更为复杂，需要结合内外层函数的特点进行分析。
二次函数的相关知识点总结
二次函数的相关知识点总结一、二次函数的概念。
1. 定义。
- 一般地，形如y = ax^2+bx + c(a,b,c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数。
其中x是自变量，a、b、c分别是二次项系数、一次项系数、常数项。
- 例如y = 2x^2+3x - 1，这里a = 2，b=3，c=-1。
二、二次函数的图象。
1. 二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)的图象是一条抛物线。
2. 抛物线的顶点坐标。
- 对于二次函数y = ax^2+bx + c(a≠0)，其顶点坐标公式为(-(b)/(2a),frac{4ac - b^2}{4a})。
- 例如，对于二次函数y=x^2-2x - 3，其中a = 1，b=-2，c=-3。
根据顶点坐标公式，-(b)/(2a)=-(-2)/(2×1)=1，frac{4ac - b^2}{4a}=frac{4×1×(-3)-(-2)^2}{4×1}=(-12 - 4)/(4)=-4，所以顶点坐标为(1,-4)。
3. 抛物线的对称轴。
- 对称轴方程为x =-(b)/(2a)。
4. 抛物线的开口方向。
- 当a>0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
- 例如，y = 3x^2+2x - 1中a = 3>0，开口向上；y=-2x^2+5x+3中a=-2 < 0，开口向下。
三、二次函数的性质。
1. 增减性。
- 当a>0时，在对称轴x =-(b)/(2a)左侧，即x<-(b)/(2a)时，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，即x>-(b)/(2a)时，y随x的增大而增大。
- 当a < 0时，在对称轴x =-(b)/(2a)左侧，即x<-(b)/(2a)时，y随x的增大而增大；在对称轴右侧，即x>-(b)/(2a)时，y随x的增大而减小。
2. 最值。
- 当a>0时，抛物线开口向上，函数有最小值，y_min=frac{4ac - b^2}{4a}，此时x =-(b)/(2a)。
二次函数的知识点总结
二次函数的知识点总结一、基本概念1. 二次函数的定义二次函数是一种形式为f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c是实数且a≠0。
其中，a 控制抛物线的开口方向和大小，b控制抛物线在x轴方向的平移，c控制抛物线在y轴方向的平移。
2. 二次函数的图像二次函数的图像是一个称为抛物线的曲线。
当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
3. 二次函数的顶点和对称轴二次函数的图像在抛物线上的最高（或最低）点称为顶点，顶点的横坐标x=-b/2a，即抛物线的对称轴，纵坐标等于f(-b/2a)，即y的最小值或最大值。
4. 二次函数的零点二次函数在x轴上的交点称为零点，满足f(x)=0时的x值。
零点的判别式为Δ=b²-4ac，当Δ>0时，有两个不相等的实根；当Δ=0时，有两个相等的实根；当Δ<0时，无实根。
5. 二次函数的最值当a>0时，二次函数的最小值是顶点的纵坐标；当a<0时，二次函数的最大值是顶点的纵坐标。
二、解析式求解1. 一般形式二次函数的一般形式是f(x) = ax² + bx + c。
通过配方法、完全平方式或因式分解，可以将二次函数转化为标准形式或顶点形式来方便求解相关参数。
2. 标准形式将一般形式的二次函数转化为标准形式f(x) = a(x-h)²+k，其中(h,k)为顶点坐标，a为抛物线的开口方向和大小。
3. 顶点形式将一般形式的二次函数转化为顶点形式f(x) = a(x-p)(x-q)，其中(p,q)为零点的坐标。
4. 判别式通过二次函数的判别式Δ=b²-4ac，可以方便地判断二次函数的零点类型和数量。
三、图像解析1. 抛物线的开口方向二次函数的参数a的正负决定了抛物线的开口方向，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。
2. 抛物线的顶点、对称轴和最值通过二次函数的顶点坐标和对称轴方程，可以方便地求得抛物线的顶点和对称轴，并进而求得最小值或最大值。
二次函数知识点汇总(全)
二次函数知识点一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2.2y ax c=+的性质： 上加下减。
3.()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异”总结：3. 常数项cc>时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑴当0c=时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；⑵当0c<时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．⑶当0总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．总之，只要a b c二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x轴对称2=---；y ax bx cy ax bx c=++关于x轴对称后，得到的解析式是2()2y a x h ky a x h k=---；=-+关于x轴对称后，得到的解析式是()22. 关于y轴对称2=-+；y ax bx cy ax bx c=++关于y轴对称后，得到的解析式是2()2y a x h k=++；=-+关于y轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k3. 关于原点对称2=-+-；y ax bx cy ax bx c=++关于原点对称后，得到的解析式是2()2=-+-；y a x h ky a x h k=-+关于原点对称后，得到的解析式是()24. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：图像参考：y=-2x22y=3(x+4)22y=3x2y=-2(x-3)22-32十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）A B C D3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x，求这条抛物线的解析式。
《二次函数》知识点梳理与总结
《二次函数》知识点梳理与总结
一、定义
二次函数是一类二元多项式函数，其一般形式如下：
f(x)=ax2+bx+c
其中a≠0，且a，b，c为常数。
它是一阶导数连续可微的函数。
二、性质
1．二次函数的图象是一个双曲线，其有两条对称轴，分别为y轴和其他对称轴，其上还有一个坐标原点称为顶点。
2．关于y轴的对称性:f(-x)=f(x)
3．关于其他对称轴的对称性：f(x+b/2a)=f(x-b/2a)
4．关于顶点：顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))
5．当a>0时，双曲线凹，即顶点在第四象限。
6．当a<0时，双曲线凸，即顶点在第一象限。
7．函数的单调性：除两端点外，双曲线上任一点，函数值都在顶点极值线的两侧。
8．二次函数的极值：极值点在二次函数在顶点处，y值为f(-b/2a) 9．函数的凹凸：当a>0时，双曲线是凹函数；当a<0时，双曲线是凸函数。
三、解法
1．利用顶点标准格式求二次函数的顶点：
顶点坐标：(-b/2a，f(-b/2a))
2．利用极值定理求二次函数的极值：
极值点在二次函数在顶点处，y值为f(-b/2a)
3．利用对称性求双曲线的轴的对称性：
1）关于y轴的对称性：f(-x)=f(x)
2）关于其他对称轴的对称性：f(x+b/2a)=f(x-b/2a)。
二次函数知识点梳理
初三数学二次函数知识点一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质：上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a =-时，y 有最大值244ac b a-． 七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴； 当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结： 3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式． 十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况.图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：。
二次函数的所有知识点
二次函数的所有知识点二次函数是高中数学中重要的内容之一，它涉及到许多重要的知识点。
下面我将分享一些关于二次函数的重要知识点。
1. 二次函数的定义：二次函数是具有形式f(x) = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a ≠ 0。
其中，a决定了二次函数的开口方向，正值会使函数开口向上，负值会使函数开口向下；b决定了二次函数的位置，正值会使函数向左移动，负值会使函数向右移动；c是二次函数的常数项，它决定了二次函数与y轴的交点。
2. 顶点和对称轴：二次函数的顶点是函数图像的最高点（如果开口向上）或最低点（如果开口向下），顶点的坐标可以通过公式x = -b/(2a)和y = f(-b/(2a))计算得到。
对称轴是过顶点且垂直于x轴的直线，它可以通过公式x = -b/(2a)获得。
3. 零点和因式分解：二次函数的零点是函数图像与x轴的交点，也就是方程f(x) = 0的解。
我们可以使用求根公式x = (-b ± √(b^2-4ac))/(2a)来求解二次函数的零点。
另外，二次函数也可以通过因式分解的方式求解零点，即将二次函数表示为两个一次函数的乘积形式。
4. 判别式与函数图像的性质：在求解二次函数的零点时，判别式D = b^2 - 4ac起到了重要的作用。
当判别式为正时，二次函数有两个不同的实根，图像与x轴有两个交点；当判别式为零时，二次函数有一个实根，图像与x轴有一个交点；当判别式为负时，二次函数没有实根，图像与x轴没有交点。
通过判别式可以判断二次函数的零点个数和函数图像的性质。
5. 最值与增减性：二次函数的最值可以通过顶点坐标得到，如果二次函数开口向上，则最小值为顶点的纵坐标；如果开口向下，则最大值为顶点的纵坐标。
关于函数的增减性，二次函数的增减性取决于a的正负性，当a > 0时，二次函数是上升的，当a < 0时，二次函数是下降的。
6. 对称性与轴对称图形：二次函数具有轴对称性，即关于对称轴对称。
二次函数必背知识点(精辟)
二次函数必背知识点_ _冲刺中考21. 定义：一般地，如果y ax bx c（a,b,c是常数，a 0），那么y叫做x的二次函数22. 二次函数y ax的性质（1）抛物线y ax2的顶点是坐标原点，对称轴是y轴.（2）函数y ax2的图像与a的符号关系.①当a 0时抛物线开口向上顶点为其最低点;②当a 0时抛物线开口向下顶点为其最高点（3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为y ax2（a 0）.3•二次函数y ax bxc的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线24.二次函数y ax bx c用配方法可化成：yb , 4ac b22a，4aa相等，抛物线的开口大小、形状相同②平行于y轴（或重合）的直线记作x h.特别地，y轴记作直线x 0.方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同2a x h k的形式，其中5•二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：① 2 2y ax ；② y ax k :③2 2 2y a x h :④ y a x h k :⑤ y ax bx c.6•抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点①a的符号决定抛物线的开口方向：当 a 0时，开口向上；当a 0时，开口向下;7.顶点决定抛物线的位置•几个不同的二次函数, 如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口8.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1 ）公式法：y ax2bx c2b2a4ac b24a2（2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y a x h k 的形式，得到顶点为（h , k ）,对称轴是直线x h .（3 ）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失29•抛物线y ax bx c 中，a,b,c 的作用2（1） a 决定开口方向及开口大小，这与 y ax 中的a 完全一样.（2）b 和a 共同决定抛物线对称轴的位置 •由于抛物线y ax 2 bx c 的对称轴是直线x—，故：①b 0时，对称轴为y 轴；②一0 （即a 、b 同号）时，对称轴2a ab在y 轴左侧；③一 0 （即a 、b 异号）时，对称轴在 y 轴右侧•a2（3） c 的大小决定抛物线 y ax bx c 与y 轴交点的位置•2当x 0时，y c ，二抛物线y ax bx c 与y 轴有且只有一个交点（0, c ）: ①c 0 ,抛物线经过原点；②c 0,与y 轴交于正半轴；③ c 0 ,与y 轴交于负半顶点是（ ―,4ac b），对称轴是直线x2a 4ab 2a以上三点中，当结论和条件互换时, 仍成立.如抛物线的对称轴在Ky 轴右侧，则一 a0.11. 用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：y ax2 bx c•已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式.（2）顶点式：y ax h? k.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式（3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标x i、X2，通常选用交点式：y ax x1x x2.12. 直线与抛物线的交点2（1）y轴与抛物线y ax bx c得交点为（0, c）.2（2）与y轴平行的直线x h与抛物线y ax bx c有且只有一个交点2（h, ah bh c）.（3 ）抛物线与x轴的交点二次函数y ax2 bx c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2，是对应一元2二次方程ax bx c 0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点0 抛物线与x轴相交；②有一个交点（顶点在x轴上）0 抛物线与x轴相切；③没有交点0 抛物线与x轴相离.（4）平行于x轴的直线与抛物线的交点同（3）一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 k ，则横坐标是ax 2 bx c k 的两个实数根•（5）—次函数 y kx n k 0的图像I 与二次函数 y ax bx c a 0的图像Gy kx n的交点，由方程组厂2的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解y ax bx c时 I 与G 有两个交点；②方程组只有一组解时 I 与G 只有一个交点；③方程组无解时 I 与G 没有交点.2A X i,0，B X 2,0，由于X i 、X 2是方程ax bx c 0的两个根，故bc x 1 x 2 ,x 1 x 2 aa考点一、二次函数的概念和图像（3~8分）1、二次函数的概念2一般地，如果y ax bx c （a, b, c 是常数，a 0），那么y 叫做x 的二次函数。
二次函数知识点归纳总结
二次函数知识点归纳总结二次函数是高中数学中的一个重要内容，也是数学建模和解几何问题的重要工具。
下面是关于二次函数的知识点的归纳总结。
一、基本概念1. 二次函数的定义：二次函数是形如f(x) = ax^2 + bx + c (a ≠ 0) 的函数，其中 a、b、c 是常数。
2.二次函数的图象：二次函数的图象是一个抛物线，开口方向取决于a的正负性，顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。
3.对称轴：二次函数的对称轴是与图象关于x轴对称的直线，其方程为x=-b/2a。
4. 零点：二次函数的零点是函数图象与 x 轴的交点，可以通过求解二次方程 ax^2 + bx + c =0 来得到。
5.最值：二次函数的最值取决于a的正负性，当a>0时，函数取最小值；当a<0时，函数取最大值。
二、二次函数的变形与性质1.平移变换：二次函数可以通过平移变换来改变其图象的位置。
平移变换的一般形式是f(x)→f(x-h)+k，其中h和k是任意实数。
2.缩放变换：二次函数可以通过缩放变换来改变其图象的形状。
缩放变换的一般形式是f(x)→af(x)，其中a是非零实数。
3.纵坐标平移：二次函数可以通过纵坐标平移来改变其图象的位置。
纵坐标平移的一般形式是f(x)→f(x)+k，其中k是任意实数。
4.二次函数的奇偶性：如果a是偶数，则二次函数是偶函数；如果a是奇数，则二次函数是奇函数。
5.顶点坐标的性质：顶点坐标(-b/2a,f(-b/2a))是二次函数的最值点，当a>0时是最小值，当a<0时是最大值。
三、二次函数的方程与不等式1. 二次方程的解：二次方程 ax^2 + bx + c =0 的解可以通过求根公式 x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a) 来得到。
2. 解的判别式：二次方程 ax^2 + bx + c =0 的解的判别式是 D =b^2 - 4ac，根据判别式的值可以判断方程有几个实数解。
高一二次函数知识点的梳理总结
高一二次函数知识点的梳理总结二次函数是数学中的一个重要概念，在高中的数学研究中占据着重要的地位。
下面将对高一阶段的二次函数知识点进行梳理总结。
1. 二次函数的定义和性质- 二次函数的定义：二次函数是指形如$f(x) = ax^2 + bx + c$的函数，其中$a$、$b$、$c$是常数，且$a \neq 0$。
- 二次函数的图像：二次函数的图像通常是一个平面上的抛物线，其开口方向和$a$的正负有关。
- 二次函数的顶点：二次函数的顶点是抛物线的最低点或最高点，记作$(h, k)$，其中$h$为顶点的横坐标，$k$为顶点的纵坐标。
2. 二次函数的图像特征- 开口方向：当$a > 0$时，抛物线开口向上；当$a < 0$时，抛物线开口向下。
- 对称轴：二次函数的对称轴是一个垂直于$x$轴的直线，其方程为$x = -\frac{b}{2a}$。
- 最值：当抛物线开口向上时，最低点是顶点，最小值为$k$；当抛物线开口向下时，最高点是顶点，最大值为$k$。
3. 二次函数的零点和方程- 零点：二次函数的零点是使得$f(x) = 0$成立的$x$值，可以通过解二次方程$ax^2 + bx + c = 0$来求得。
- 判别式：二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的判别式为$\Delta = b^2 - 4ac$，根据判别式可以判断二次方程的解的情况。
- 当$\Delta > 0$时，方程有两个不相等的实数根。
- 当$\Delta = 0$时，方程有两个相等的实数根。
- 当$\Delta < 0$时，方程无实数根。
4. 二次函数的变形和平移- 影响因素：二次函数的系数$a$、$b$、$c$可以对函数图像进行变形和平移。
- 垂直方向平移：令二次函数的表达式为$f(x) = ax^2 + bx + c + d$，则整个函数图像在$y$轴方向上平移$d$个单位。
- 水平方向平移：令二次函数的表达式为$f(x) = a(x - h)^2 + k$，则整个函数图像在$x$轴方向上平移$h$个单位。
二次函数知识点汇总(全)
二次函数知识点（第一讲）、二次函数概念:1. 二次函数的概念：一般地，形如y=aχ2∙bx ∙c （ a , b , C是常数，a =O ）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数 a = 0 ,而b ,c可以为零•二次函数的定义域是全体实数.2. 二次函数y =aχ2∙bx C的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量X的二次式，X的最高次数是2 .⑵a ,b ,c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，C是常数项.二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：y =aχ2的性质：a的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. y =aχ2 C的性质：（上加下减）23. y =a (x —h )的性质：(左加右减)a 的符号 开口方向顶点坐 标 对称 轴性质a >0向上(h ,0) X=hx>h 时，y 随X 的增大而增大；Xeh 时，y 随X 的增大而减小；X = h 时，y 有最小值0 .a cθ向下(h ,0) X=hx>h 时，y 随X 的增大而减小；XVh 时，y 随X 的增大而增大；X = h 时，y 有最大值0 .24. y=a(x —h)+k 的性质:a 的符号 开口方向顶点坐 标 对称 轴性质a >0向上(h, k ) X=hx>h 时，y 随X 的增大而增大；XCh 时，y 随X 的增大而减小；x=h 时，y 有最小值k .a v0向下 (h, k ) X=hXAh 时，y 随X 的增大而减小；XVh 时，y 随X 的增大而增大；X = h 时，y 有最大值k .三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式 y =a X -∙h j 亠k ，确定其顶点坐标 h , k ； ⑵ 保持抛物线y =aχ2的形状不变，将其顶点平移到h ，k 处，具体平移方法如下：2. 平移规律在原有函数的基础上 h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”概括成八个字“左加右减, 上加下减”.y=ax 2* y=ax 2+k向上(k>0)【或下(k<0)] y=a (x-h)2向右(h>0)【或左(h<0)] 平移|k|个单位y=a(x-h)2+k向上(k>0)【或向下(k<0)】平移Ikl 个单位向上(k>0)【或下(k<0)]平移|k 个单位向右(h>0)【或左(h<0)] 平移Kl 个单位向右(h>0)【或左(*0)] 平移Ikl 个单位平移∣k ∣个单位方法二：⑴y = ax 2 bx c 沿y 轴平移：向上(下)平移 m 个单位，y = ax 2 ∙ bx ∙ c 变成2 卜 2y = ax bx C m (或 y = ax bx c - m )⑵y =ax 2 ∙ bx C 沿轴平移：向左(右)平移 m 个单位，y = ax 2 bx C 变成2 卜 2y = a(x m) b(x m) c (或 y = a(x _ m) b(x _ m) c )四、二次函数y =a X _h i 亠k 与y =aχ2 bx c 的比较2从解析式上看，y =a X _h ］亠k 与y =aχ2 ∙ bx C 是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到五、二次函数y =aχ2 bx c 图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数y =aχ2 bx C 化为顶点式y=a(x-h)2 ∙k ，确定其开口方 向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图 •一般我们选取的五点为： 顶点、与y 轴的交点O, c 、以及O,c 关于对称轴对称的点 2h ，C 、与X 轴的交点x 1, 0，X 2，O (若与X 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点)画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 X 轴的交点，与y 轴的交点•六、二次函数y =ax 2 bx c 的性质随X 的增大而增大；当 ^-―时，y 随X 的增大而减小；当X b 时,2a2a七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式： y =ax bx c ( a , b , C 为常数，a =O )；2.顶点式： y =a(x-h) k ( a , h , k 为常数，a =O )；3.两根式： y =a(x -x ι)(x -X 2) ( a =O , X i , X 2是抛物线与X 轴两交点的横坐标)前者，即y =a,其中Ta24ac — b 4a1.当a O 时，抛物线开口向上，对称轴为X b,顶点坐标为2ab 4ac-b 2— ，2a 4a当X 时，y 随X 的增大而减小；当X^ 时,2a2a最小值4ac "2 .4ay随X 的增大而增大；当X=E 时，y 有2.当a ：：：0时，抛物线开口向下, X =-b,顶点坐标为( b 4ac-b 2•当X ：：」时,I ■—, 2a2a 4a2ay 有最大值4ac - b 2 4a对称轴为 y注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式， 但并非所有的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与X 轴有交点，即b 2_4ac_o 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数 解析式的这三种形式可以互化•八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数y =aχ2 ∙ bx ∙ c 中，a 作为二次项系数，显然 a 厂0 .⑴当a 0时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大； ⑵ 当a ：：：0时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大. 总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向， a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小.2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴. ⑴在a 0的前提下，当b 0时，一卫：：：0 ,即抛物线的对称轴在 y 轴左侧;2a当b =0时，一丄=0 ,即抛物线的对称轴就是 y 轴；2a当b <0时，—b .0,即抛物线对称轴在 y 轴的右侧.2a⑵ 在a <0的前提下，结论刚好与上述相反，即当b 0时，—卫∙0 ,即抛物线的对称轴在 y 轴右侧；2a当b =0时，—b =O ,即抛物线的对称轴就是 y 轴；2a当b <0时，一P ：：： 0 ,即抛物线对称轴在 y 轴的左侧.2a总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置.Kab 的符号的判定：对称轴X —在y 轴左边则ab • 0,在y 轴的右侧则ab ：：： 0 ,概括的说就2a是“左同右异” 总结： 3. 常数项C总结起来，C 决定了抛物线与y 轴交点的位置.总之，只要a, b , C 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的.二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法•用待定系数法求二次函数的解析式必 须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便•一般来说，有如下几种情况：⑴当C 0时，抛物线与 y 轴的交点在X 轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正; ⑵当C =0时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0 ; ⑶当C <0时，抛物线与 y 轴的交点在X 轴下方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负.1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与X轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于X轴对称y = aX ∙ bx关于X轴对称后，得到的解析式是y - -aχ2 -bx -C ;2 2y=ax-h］亠k关于X轴对称后，得到的解析式是y - -a X -h k ;2. 关于y轴对称^aX bx关于y轴对称后，得到的解析式是y =aχ2 -bx ∙ c ;2 2y=ax-h「k关于y轴对称后，得到的解析式是y = a X^i ^k ;3. 关于原点对称y = ax2 bx C关于原点对称后，得到的解析式是y =-aχ2∙ bx-c ;2 2y = a X- h ■关于原点对称后，得到的解析式是y - -a X ∙ h k ;4.关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）y=aX ∙ bx关汙顶点对称后，得到的解析式是y»bx c 卫;2a2y =a x-h k关于顶点对称后，得到的解析式是2y = -a X - h j 亠k •5. 关于点m, n对称2 2y =a X -h i亠k关于点m , n 对称后，得到的解析式是y = -a x ■ h —2m i亠2n —k根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变•求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式.十、二次函数与一元二次方程:1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与X轴交点情况）：一元二次方程ax2 bx C 0是二次函数y=aχ2 bx G当函数值y =O时的特殊情况• 图象与X轴的交点个数：①当厶-b2 -4ac 0时，图象与X轴交于两点Axl，0 , B X2 , 0 （X^-X2），其中的X i，X2是一元次方程ax2 bx C =0 a十0的两根.这两点间的距离②当=0时，图象与X轴只有一个交点；③当.—：：0时，图象与X轴没有交点•1'当a 0时，图象落在X轴的上方，无论X为任何实数，都有y ∙0 ;2'当a ：：：0时，图象落在X轴的下方，无论X为任何实数，都有y：：：0 .2.抛物线y =aχ2 bx C的图象与y轴一定相交，交点坐标为（0，C）;3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与X轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数y =aχ2∙ bx ∙ c中a，b，C的符号，或由二次函数中a，b，C的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与X轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax2 bx C（^--=0）本身就是所含字母X的二次函数；下面以a 0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：Δ>0抛物线与X轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根A =0抛物线与X轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根A <0抛物线与X轴无交占二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.AB = X2 - X i I =b 4ac二次函数考查重点与常见题型1. 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如:已知以X为自变量的二次函数y = (m「2)x2∙ m2「m「2的图像经过原点，则m的值是___________2 .综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如：如图，如果函数y =kx ∙ b的图像在第一、二、三象限内，那么函数3. 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如：5已知一条抛物线经过(0,3) , (4,6)两点，对称轴为X ,求这条抛物线的解析式。
二次函数知识点归纳总结
二次函数知识点归纳总结一、基本概念：1. 二次函数的定义：二次函数是指具有形式f(x) = ax^2 + bx + c 的函数，其中a、b、c为常数，且a不等于零。
2.二次函数图像的一般特征：二次函数的图像为抛物线，开口方向由a的正负确定。
3.二次函数的平面坐标系：二次函数的图像在平面直角坐标系中的形状、位置以及与坐标轴的焦点有关。
二、顶点坐标与开口方向：1.顶点坐标：二次函数的顶点坐标可通过化简函数式得到，即x=-b/(2a)得到x坐标，再代入函数式计算得到y坐标。
2.开口方向：二次函数开口向上当且仅当a大于零，开口向下当且仅当a小于零。
三、对称轴与焦点：1.对称轴：二次函数的对称轴是垂直于x轴的直线，其方程为x=-b/(2a)。
2.焦点：二次函数的焦点与平面坐标系画图时的焦点位置有关。
四、性质与变化规律：1.奇偶性：二次函数的奇偶性由二次项的系数a的奇偶性决定，即，若a为奇数，则函数为奇函数；若a为偶数，则函数为偶函数。
2.正负性：二次函数的正负性由函数值的正负决定，其函数值与x的值、a的符号以及顶点坐标的y值正负有关。
3.单调性与极值：二次函数的单调性与开口方向有关，开口向上的二次函数在对称轴两侧单调递增，开口向下的二次函数在对称轴两侧单调递减。
二次函数的极值即为顶点值。
4.过点性质：给定两点，可以通过这两点在函数上的坐标计算出唯一确定的二次函数的函数式。
5.零点求解：二次函数的零点即为函数与x轴的交点，可以使用因式分解、配方法、求根公式等方法求解。
五、两点式与标准式：1.两点式：已知二次函数经过两点，可以利用两点式直接写出函数的函数式。
2.标准式：将二次函数的一般式化简成标准式，即f(x)=a(x-h)^2+k 的形式，能够直接得到函数的顶点坐标。
六、函数图像：1.函数图像绘制：根据顶点坐标、对称轴方程、开口方向以及函数值的正负性，可以绘制出二次函数的图像。
2.辅助判断：利用辅助判断函数的图像与坐标轴的交点，确定函数的变化规律。
二次函数必备知识点
二次函数必备知识点
二次函数是一个非常重要的数学概念，其定义是形如y=ax²+bx+c（其中a, b, c为常数，且a≠0）的函数。
以下是二次函数的一些必备知识点：
1. 顶点和对称轴：二次函数的顶点可以通过公式法或配方法找到。
公式法是将二次函数的一般式化为顶点式，从而得到顶点的坐标和对称轴的方程。
配方法是先将二次函数的一般式化为完全平方的形式，从而得到顶点的坐标和对称轴的方程。
2. 开口方向和开口大小：二次函数的开口方向由系数a决定，a>0时，开口方向向上；a<0时，开口方向向下。
而a的绝对值决定开口大小，a的绝对值越大开口就越小，a的绝对值越小开口就越大。
3. 最值：对于开口向上的二次函数，其最小值出现在顶点处；对于开口向下的二次函数，其最大值出现在顶点处。
4. 二次函数与一元二次方程的关系：一元二次方程的根是使二次函数值为0的x的值。
因此，一元二次方程的解与二次函数的零点有关。
5. 应用题：在实际问题中，经常会涉及到求最值、判断规则、建立模型等问题，这些问题都可以通过二次函数来解决。
例如，在物理中，加速度、速度和位移之间的关系可以用二次函数表示；在经济中，成本、收入和利润之间的关系也可以用二次函数表示。
以上是二次函数的一些必备知识点，掌握这些知识点可以帮助我们更好地理解和应用二次函数。
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二次函数的基础一、考点、热点回顾二次函数知识点一、二次函数概念：1.二次函数的概念:一般地,形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数,0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似,二次项系数0a ≠,而b c ，可以为零.二次函数的定义域是全体实数.２． 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2. ⑵ a b c ，，是常数,a 是二次项系数，b 是一次项系数,c 是常数项. 二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质: a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2． 2y ax c =+的性质:上加下减。
３． ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4. ()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移在原有函数的基础上“h 值正右移,负左移;k 值正上移,负下移”. 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上(下)平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移:向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2)四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者,即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭,其中2424b ac b h k a a -=-=，. 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法:利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向,对称轴,顶点，与x 轴的交点,与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1． 当0a >时，抛物线开口向上,对称轴为2bx a =-,顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，. 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时,y 随x 的增大而增大;当2bx a=-时,y 有最小值244ac b a-.2. 当0a <时，抛物线开口向下,对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，.当2bx a <-时,y 随x 的增大而增大;当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时,y 有最大值244ac b a -.七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ,b ,c 为常数,0a ≠)； 2. 顶点式：2()y a x h k =-+(a ,h ，k 为常数,0a ≠）；3． 两根式:12()()y a x x x x =--(0a ≠，1x ,2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标).注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时,抛物线的解析式才可以用交点式表示.二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠.⑴ 当0a >时，抛物线开口向上,a 的值越大，开口越小,反之a 的值越小,开口越大; ⑵ 当0a <时,抛物线开口向下,a 的值越小,开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来,a 决定了抛物线开口的大小和方向,a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． ２. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下,当0b >时，02ba-<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时,02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴; 当0b <时,02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即 当0b >时,02ba->,即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴; 当0b <时,02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来,在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ,在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异” 总结：3． 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶ 当0c <时,抛物线与y 轴的交点在x 轴下方,即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负.总结起来,c 决定了抛物线与y 轴交点的位置. 总之，只要a b c ，，都确定,那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式,才能使解题简便．一般来说,有如下几种情况：１． 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；２． 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小)值，一般选用顶点式; 3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式; ４. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式．九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；２． 关于y 轴对称 2y ax bx c =++关于y 轴对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后,得到的解析式是2y ax bx c =-+-; ()2y a x h k =-+关于原点对称后,得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称(即:抛物线绕顶点旋转１８0°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后,得到的解析式是()2y a x h k =--+． 5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+- 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变.求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线(或表达式已知的抛物线)的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式. 十、二次函数与一元二次方程：1． 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）:一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况． 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时,图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时,图象与x 轴没有交点．1' 当0a >时,图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数,都有0y >； 2' 当0a <时,图象落在x 轴的下方,无论x 为任何实数，都有0y <.２. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0,)c ; ３. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程;⑵ 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ,c 的符号,或由二次函数中a ,b ,c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标．⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少。