费米分布及玻耳兹曼分布

3.2.1 费米分布函数
它描述了在热平衡状态下，在一个费米粒子系统（如电子系统）中 属于能量E的一个量子态被一个电子占据的概率。
T=0K： 若E<EF，则 f(E)=1； 若E>EF，则 f(E)=0。 T>0K： 若E= EF ， 则f(E) =1/2 ； 若E< EF ， 则f(E) >1/2 ； 若E> EF ， 则f(E) <1/2 ；
第三章 半导体中载流子的统计分布
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本章要点
理解费米分布和玻尔兹曼分布的前提条件，及费米函数的性质。 熟悉导带电子和价带空穴浓度的分析推导过程。 掌握杂质半导体费米能级随杂质浓度和温度的变化关系。 掌握本征、杂质半导体中载流子浓度的计算。 简并半导体的简并化条件及简并情况下载流子浓度的计算。 热平衡态下半导体中载流子浓度满足关系式。
n 042 m h n 33 /2k0 T2 3ex － p E c k 0 T E F 0 x' x1 2e xdx
式中x'=(EC'-EC)/k0T 。
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3.2.3 导带电子浓度和价带空穴浓度
对于实际半导体，导带的能量间隔为几 个eV时，x’的值在几十以上，再依据函 数x1/2e-x随x变化规律(见图3-4)，积分上 限x’可用无穷大来代替。
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引言
热平衡状态: 在一定的温度下，给定的半导体中载 流子的产生和复合同时存在，最后达到一动态平 衡。
热平衡载流子浓度：当半导体处于热平衡状态时， 半导体导带电子浓度和价带空穴浓度都保持恒定 的值，这时的电子或空穴的浓度称为热平衡载流 子浓度。
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3.1 状态密度
4
3.1.1 三维情况下的自由电子运动
exE pF-(E)kT
这时空穴的费米分布函数转化为空穴的玻耳兹曼分布：
fBVEexpEFk0TE
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3.2.2 玻耳兹曼分布函数
非简并系统和简并系统
通常将可以用玻尔兹曼分布描述的系统称为非简并系统，而 必须用费米分布描述的系统称为简并系统。
对于电子系统，当填充的能级的位置都能满足: E-EF>>kT 时，可以用玻尔兹曼分布来计算电子的填充几率， 此时的电子系统是非简并的； 对于空穴系统，当填充的能级的位置都能满足: EF-E>>kT 时，可以用玻尔兹曼分布来计算空穴的填充几率 ，此时的空穴系统是非简并的。
EEF5kT 时 , f(E)0.007 EEF5kT 时 , f(E)0.993
用，费米分布和波耳兹曼分布这两
种统计的结果是相同的。
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3.2.2 玻耳兹曼分布函数
低掺杂半导体中， 载流子统计分布 通常遵顺玻耳兹 曼统计分布。这 种电子系统称为 非简并性系统。
高掺杂半导体， 载流子服从费米 统计，这样的电 子系统称为简并 性系统。
子浓度的乘积保持恒定。
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3.3 本征半导体的载流子浓度
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3.3.1 本征半导体的电中性条件和费米能级的确定
T=0K时，价带中的量子态完全填满，导带完全空着。 本征激发
T>0K后，本征半导体的价带中的电子激发到导带，同时在 价带中产生等量空穴。
本征半导体的电中性条件 本征激发条件下，电子和空穴成对出现，因此导带中电子的 浓度n0应等于价带中空穴的浓度p0，即n0=p0
2、EF 标志了电子填充能级的水平， EF位置越高，则填充在较高 能级上的电子就越多。
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3.2.1 费米分布函数
空穴的费米分布函数：
－ 1
fV(E)1－ fE1＋ exE pk F0 TE
fV(E)与1-f(E)是关于EF是对称的，即为电子-空穴几率对称性。
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3.2.1 费米分布函数
费米能级在能带中的位置： 对于金属晶体，价电子只能部分填满最外的导带，费 米能级位置在导带中。
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3.2.3 导带电子浓度和价带空穴浓度
假设导带底的能量为Ec ,而导带顶的能量为Ec’， 则整个导带内的电子浓度为:
n 0E E C C '42 m h n 33 /2e x － E p k 0 T E F E E c1 2 d E
引入变量x＝(E-Ec)/k0T,作代换上式变为：
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3.2.3 导带电子浓度和价带空穴浓度
用类似的处理办法，热平衡状态下，非简并半导体的价带空
穴浓度为：
p0 NVexpEFk0TEV
式中： NV22mPhk30T3/2
称为价带的有效状态密度。
f(EV)expEFk0TEV
其物理意义是：
为空穴占据能量为EV的量子态的几率。
把价带中所有的量子态都集中在价带顶EV，而它的量子态数为NV, 则价带中的空穴浓度就是NV个量子态中包含的空穴数。
g c(E ) d d E Z 4V s (8 m x m * y m * z) h 1 /3 2 (E E C )1 /2
若等能面为旋转椭球面，即 m * xm * ym t; m * zm l
并令： m n *m dns2/3(m lm t2)1/3
则： gc(E)4V(m 2hn 3)3/2(EE C)1/2
费米分布函数与温度的关系
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3.2.1 费米分布函数
温度升高，能量比EF高的量子态被电子占据的概率上升。 EEF5kT 时 , f(E)0.007 EEF5kT 时 , f(E)0.993
可见，温度主要影响费米能级附近的电子状态。
关于费米能级的几个要点： 1、一般可以认为，在温度不太高时，能量大于EF 的电子态基本 上没有被电子占据；能量小于EF 的电子态，基本上被电子所占据， 而电子占据E=EF能态的几率在各种温度下总是1/2；
mdn: 导带底电子状态密效 度质 有量。
对，硅 导带6底 个共 对， 有 称 d mn 状 1.0m 8 0 态 ; 对，锗 s8 ，d mn 0.5m 6 0
3.1.2 状（能）态密度的定义
3.1.3 状（能）态密度的总结
3.1.3 状（能）态密度的总结
3.2 费米能级和载流子的统计分布
exE p-E (F-) kT
即这时电子的费米分布函数转化为电子的玻耳兹曼分布函数：
fBEexpEk0TEF
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3.2.2 玻耳兹曼分布函数
2. 空穴的玻耳兹曼分布函数
类似地，若 EFE kT 时 , ex[p(F E-E)/ kT 1] 此时,空穴的费米分布函数近似为
－ 1
fF V E 1 ＋ ex E p F kT E
热平衡状态下，电子按能量大小，具有一定的统计分布规律性。 电子是费米子，遵从费米分布。
3.2.1 费米分布函数
绝对温度T 下的物体内，电子达到热平衡状态时，一个 能量为Ｅ的独立量子态，被一个电子占据的几率f(E）为：
fnE
1
EEF
电子的费米分布函
1e k0T
K0为玻尔兹曼常数。 EF为一个类似于积分常数的一个待定常数，称为费米能级。
n0 NCexp－ECK0TEF 或 n0 NC fB(EC)
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3.2.3 导带电子浓度和价带空穴浓度
其中： fB(Ec)expEcK0TEF 为电子占据能量为EC的量子态的几率。
此式的物理意义是： 把导带中所有的量子态都集中在导带底Ec，而它对应的量子态 数为Nc，则导带中的电子浓度等于这些量子态中容纳的电子数。
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3.3.1 本征半导体的电中性条件和费米能级的确定
由电中性条件可确定费米能级EF， N cex － pE c K 0T E F N Vex － pE F K 0T E V
由此式可以解出EF，并用Ei表示本征半导体的费米能级，则得：
k Ei＝ EF1 2Ec＋ Ev＋ 1 2 0TlnN N V c
m n *m dns2/3(m lm t2)1/3
mdn: 导带底电子状态密效度质有量 。
设Ec－Ef>>K0T，采用 玻尔兹曼分布函数
fBEexpEk0TEF dN=f(E)gc(E)dE
所以EE+dE间的电子浓度为：
d n d V N 42 m h n 33 /2e x － E p k 0 T E F E E c1 2d E
TlnNV 0 Nc
代入电子或空穴浓度表达式：
n0 Ncexp－EcK0TEF
p0 NVexpEFk0TEV
可算计出本征载流子浓度为:
npnp i
i
0
0N cN V1/e2x － p 2E k0 g T
把Nc和Nv的表示式：
Nc 22mnhk30T3/2
NV22mPhk30T3/2
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3.3.1 本征半导体的电中性条件和费米能级的确定
代入得：
Ei＝1 2EC＋ Ev＋3k40Tlnm m* n * p
m*p mn* Ei在禁带中线之上 m*p mn* Ei在禁带中线
m*p mn* Ei在禁带中线之下
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3.2.3 导带电子浓度和价带空穴浓度
讨论 1. 导带中的电子浓度和价带中的空穴浓度取决于温度T和
费米能级EF的位置。 2. 温度的影响来源于两个方面，一是Nc和NV随温度变化。
二是玻耳曼分布函数中的指数随温度变化。
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3.2.4 载流子浓度乘积
半导体中载流子浓度的乘积为：
n 0 p 0 N C N V e x － E p C k 0 T E V N C N V e x － k p E 0 T g
先考虑导带: E E+dE内的量子态数: dZ=gc(E)dE; 电子占据能量为E的量子态的概率: f(E); 则E E+dE内的所有量子态上的电子数为: dN=f(E)gc(E)dE
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3.2.3 导带电子浓度和价带空穴浓度
对旋转椭球形等能面:
gc(E)4V(m 2hn 3)3/2(EEc)1/2
3.1.1 三维情况下的自由电子运动
3.1.2 状（能）态密度的定义
3.1.2 状（能）态密度的定义
3.1.2 状（能）态密度的定义
3.1.2 状（能）态密度的定义
3.1.2 状（能）态密度的定义
3.1.2 状（能）态密度的定义
3.1.2 状（能）态密度的定义
假定有s个相同椭球，可得到状态密度：
对于半导体晶体，价电子填满了价带，最外的导带是 空的，费米能级位置在禁带内，且随其中的杂质种类、杂 质浓度以及温度的不同而改变。
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3.2.2 玻耳兹曼分布函数
1. 电子的玻耳兹曼分布函数 EEF kT 时 , ex[p (EF)-/E k T1 ]
此时,电子的费米分布函数近似为
－ 1
fFE 1 ＋ ex E p k E T F
把Nc、NV的表示式代入，并代入h和k0值，再引入自由电子质量 m0，上式可以写为：
n0p02.3 3130 1m m nm 0 2 p 3/T 23ex － pkE 0T g
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3.2.4 载流子浓度乘积
讨论 1. 电子和空穴浓度乘积与费米能级无关，也与掺杂无关，
取决于不同材料的禁带宽度及其状态密度有效质量。 2. 在特定温度下，对于确定的半导体材料，热平衡下载流
x e 利用积分公式
1/2 xdx
2
0
得到导带中电子浓度为：
n022m n h k3 0T3/2ex － pE C k 0T E F
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3.2.3 导带电子浓度和价带空穴浓度
令
Nc 22mnhk30T3/2
称NC导带的有效状态密度，Nc正比于T3/2，是温度的函数。
因此，导带电子浓度可表示为:
3.2.2 玻耳兹曼分布函数
意义：当粒子系统中的微粒子非常稀少时，粒子必须遵守的泡 利不相容原理自动失去意义。即系统中每一个量子态不存在多 于一个粒子占据的可能性。
除去在EF附近的几个kT处的量子态
外，在 EEFkT处，量子态为 电子占据的几率很小。即在 EEFkT 的条件下，泡里不相容原理失去作
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3.2.3 导带电子浓度和价带空穴浓度
电子按量子态分 布(费米或玻耳兹 曼分布)
载流子 浓度： 单位体积内的 载流子数
量子态按能量的分布 (状态密度)
处理方法：先求出E~E+dE范围内电子数，再通过整个能带积分,积分 值应等于总电子数的条件, 求出电子浓度。
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3.2.3 导带电子浓度和价带空穴浓度
对硅、锗和砷化镓有：
； ； S:m m i* n * p 0 .55G :m m e * n * p 0 .66Ga :m m * n * p A 7 .0 s
这三种半导体材料，EF约在禁带中线附近1.5kT的范围内。
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3.3.2 本征载流子浓度
把费米能级表示式:
k Ei＝ 1 2Ec＋ Ev＋ 1 2