格林函数方法-PPT精选

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]
(RR)2 R0
R02
2RRcos
co cs c o o s ss i sn i c n o ) s(
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三、用格林函数求解一般的边值问题
1. 第一类边值问题求解的格林方法
（1）V内有电荷分布 (x)
(x) 。满足 2
，
S 给定，求V内
（真空情况）
V[ 为2G 格((x xS 林[,)G x 函)( 数x ,2 G (x x0)( () x x （ ),( n x 为 x ) 讨)( x 论 )方2 (G x 便2 ) G x (G x 与 ( ,x (n xx x ,)0互,x d ] x )V 换)]d ）S
格林函数方法
内容提要
一、点电荷密度的函数表示
二、格林函数 三、用格林函数求解一般的边值问题
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本节内容不作考试要求。格林函数方法在求解静电场的 某些问题中非常有用，而且在理论物理的研究中是很重 要的工具。
本节仅研究泊松方程解的格林函数方法。 它与点电荷解 的边值相关，但可以解静电学的许多边值问题。
(x ) 0S(x ) n G (x ,x )d S —— 第一类边值问题
(x )0SG (x ,x ) n(x )d S —— 第二类边值问题
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球坐标中
G (x ,x )410 r40 1 x x （偶函数）
21 4 (x x ) G (x ,x ) r
显然满足点电荷泊松方程。
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（2）上半空间的格林函数
(x r)G(x r,x r)410[1 rr1]
r (xx)2(yy)2(zz)2 r (xx)2(yy)2(zz)2
相应格林函数问题：V0 内x 点上有单位点电荷，
边界上 G(x ,x ) 0解为 (x ) G (x ,x ) S
（2）二者的联系由格林第二公式给出
( 2 2) d V ( ) d S ( ) d
V
S
S n n
设 满足泊松方程，为V内电势
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只要知道 G(x,x)和 ，即可马上得到 (x)
n S
3．格林函数方法求解讨论
（1）G(x,x) 的求解本身也不是一件很容易的事
情。一般只有区域几何形状规则、简单才容易求解。
电象法是求解格林函数的有效方法之一。
（2）格林函数方法也可用来解拉普拉斯方程的
边值问题。由 0
（3）球外空间的格林函数 设点电荷Q = 1 坐标为 P(x,y,z)
观察点为 P(x, y,z)
Rx x2y2z2
R x x2y2z2
R0 R（ R 相当于题中的 a ）
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P P rx x R 2 R 2 2 R R c os
设假想点电荷在 P，它的坐标为 R
格林函数的对称性 G (x ,x ) G (x ,x )（偶函数）
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（1）无界空间中的格林函数 x上单位点电荷在无穷空间中激发的电势
(x ) G (x ,x )1
1
x到 x的距离 40 (x x )2 (y y )2 (z z )2
r(x x )2 (y y )2 (z z )2
空间区域V上的边界条件
S
0
或
常数 n S
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2. 格林函数 G(x,x)
对于静电场的点电荷问题
(x ) G (x ,x ) 称为静电场的格林函数
（ G 2(G x,(x x ),x ) 0或(x G 0 (xx ,x))
常数）
2只对 Sx微商。 n S
设V内电荷分布 已知，
① 给定V边界S上的各点电势 S
② 或给定边界S上法向分量
n S
求V内各点电势值。
—— 第一边值问题 —— 第二边值问题
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一、点电荷密度的 函数表示
1. 处( 于x x) 点上( 的x 单 位x 点)电[一荷般的密( 度x ) Q (x x )]
V( x ) d x V( x x ) d 1 V ( x V )
2．常用公式
V f( x )( x x ) d x f( x ) ( x V )
点电荷的泊松方程：设电势为
2(x)Q(xx) 0
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单位点电荷产生的电势
2(x)(x 0x)
只要知道相应问题的
即可得到 (x)
G(x,x) 和
(x)
S
2．第二类边值问题解的格林函数方法
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（1）求V内V有内电荷(x分)布相应(x格) 林，函S上数问 n 题S 给定，
G(x, x) n
S
常数（
x在S上）
（2） ( x ) V G ( x ,x )( x ) d V 0 S G ( x ,x ) n ( x ) d S S
VG(x,x)2(x)dV
1
0
G(x,x)(x)dV
V
(x)2G(x,x)dV
G(Vx,x) 0
1
0
(x)(xx)dV 1(x)
V
0
S
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∴ (x ) V G (x ,x )(x )d V 0S(x ) n G (x ,x )d S
R
（它在 OP 连线上，题中b对应这里的
2 0
2
R
x
2
0）
R
P Prx R 0 2x R 2R 0 42RR 0 2cos
R 2
R 2
R 2
∵ Q 1Q R 0 Q R 0 (b R 0 2 R R 0 2 )
R R a R
G (x r,x r)(x r)1[
1
40 R 2 R 2 2 R R c o s