第四章_拉普拉斯方程的格林函数法

（2）牛曼内问题有解的充要条件 ）
定理：设u是以Γ为边界的区域Ω内的调和函数，u ∈ C1 (Ω)，则
∫∫ f dS = 0.
∂v ∂u 证明： 在第二格林公式 ∫∫∫ (u ∇ v − v∇ u )dV = ∫∫ (u − v )dS中 ∂n ∂n Ω Γ
2 2
Γ
∂u 取 v = 1, 则可得牛曼问题 = f 有解的必要条件是 ∫∫ f dS = 0 ∂n Γ Γ
' 数学解释：求函数u ( x, y, z )在Γ外部区域Ω内调和，在Ω' =Ω' + Γ上
连续且满足边界条件.
§2 格林公式
高斯定理 : 设Ω是以光滑或者分片光滑闭曲面Γ为边界的 有界区域, P ( x, y , z ), Q ( x, y, z ), R ( x, y, z )在Ω + Γ上连续，在Ω 内具有一阶连续偏导数, 则
连续函数f 吻合，即u Γ = f .
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2）第二边值问题( Neumann 问题/牛氏问题 ) ∇ 2 u = 0, in Ω (其中 n是 Γ 的外法向量, f 是 连续函数 ) ∂u = f ∂n Γ
数学解释： Ω内寻求一个调和函数，它在闭区域Ω上有一阶 在 连续偏导数,即u ∈ C 2 (Ω) I C1 (Ω)，且在边界上满足边界条件。 ，且在边界上满足边界条件。
1 4π
u(M 0 ) = − 1 =− 4π = 1 4π a 2
∫∫ (u (M )
Γ
∂ 1 1 ∂u 1 ( )− )dS = − ∂n r r ∂n 4π
∫∫ (u (M )
Γ
∂ 1 1 ∂u ( )− )dS ∂r r r ∂n
−1 1 ∂u 1 ∫∫ (u (M )( r 2 ) − r ∂n )dS = 4π a 2 Γ
一、格林公式
设u ( x, y, z ), v( x, y, z ) ∈ C 2 (Ω) I C1 (Ω), 令F = u∇v，即 ∂v ∂v ∂v P = u ,Q = u , R = u ∂x ∂y ∂z ∂v 2 代入Guass公式可得 ∫∫∫ u∇ vdV = ∫∫ u dS − ∫∫∫ ∇u ∇vdV ∂n Ω Γ Ω
格林函数法求解场方程得到是积分形式的解 格林函数法求解场方程得到是积分形式的解 积分形式
§1 拉普拉斯方程边值问题的提法
三维Laplace方程 方程: 三维 方程
∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∇ 2u = 2 + 2 + 2 = 0, ( x, y, z ) ∈ Ω ∂x ∂y ∂z
调和函数： 一. 调和函数：
∂u ∫∫ u (M )dS + 4π a ∫∫ ∂n dS Γ Γ 1
∫∫ u (M )dS
Γ
（4）Laplace方程解的唯一性问题 ） 方程解的唯一性问题
定理：狄氏问题在C 2 (Ω) I C 1 (Ω)内解唯一，牛曼问题除相差一个
常数外解也是唯一确定的。
证明：
设u1 , u2为上述两类问题的解，则它们的差v = u1 − u2必是原问题的
取u为调和函数，并假定其在Ω上有一阶连续偏导数，取v = 1/ r 1 1 2 ∂ 1 1 ∂u 由第二格林公式 ∫∫∫ (u∇ − ∇ u )dV = ∫∫ (u ( ) − )dS， r r ∂n r r ∂n Ω− Kε Γ+Γε
2
1 ∂ 1 1 ∂u 注意到∇ u = ∇ = 0, 则 ∫∫ u − dS = 0 r ∂n r r ∂n Γ + Γε
1 v= = ( x − x0 ) 2 + ( y − y0 ) 2 + ( z − z0 ) 2 r
1 函数 除点M 0 ( x0 , y0 , z0 )外处处满足拉氏方程，它对研究三维Laplace r 方程起着重要作用，通常称为三维Laplace方程的基本解。
1
1 因 有奇异点 M 0，所以不能在 Ω 内直接采用 Green 公式。为此， r 我们以 M 0 ( x0 , y 0 , z 0 )为中心，作一个半径为 ε（充分小的正数）的 1 球域 K ε ，球面 Γ ε ,显然函数 在 Ω \ K ε内任意次连续可微。 r
∫∫∫ ∇ v ∇ vdV
Ω
=0
⇒ ∇v ≡ 0 in Ω ⇒ v ≡ C（常数） . 对狄氏问题由边界条件知道C = 0 ⇒ v = 0. 从而狄氏问题有 唯一解；对牛曼问题，解除了相差一个常数外也是唯一确定的。
注：利用调和函数的极值原理，可证狄氏问题在 C 2 (Ω) I C 0 (Ω)
内的解是唯一的。
∆u = 0, r > 1, u r =1 = 1 其中r = x 2 + y 2 + z 2
易知 u = 1, u = 1/ r 都是上述定解问题的解，即解不唯一.为了保证解的唯一性， 通常我们要加一些限制条件.
lim u ( x, y, z ) = 0
r →∞
三维问题
r → ∞时， ( x, y） u 有界 二维问题
3）狄氏外问题 ∇ 2u = 0, in Ω' = R3 \ Ω u = f ,lim u ( x, y, z ) = 0 Γ r →∞
' 数学解释： 求函数u( x, y, z)在Γ外部区域Ω内调和，在Ω' =Ω' + Γ上
连续且满足边界条件.
4）牛曼外问题 ∇ 2u = 0, in Ω' ∂u ∂n' = f , lim u ( x, y, z ) = 0 r →∞ Γ
Laplace方程的连续解，即具有二阶连续偏导数并满足Laplace 方程的连续函数. (1.u ∈ C 2 (Ω) I C 0 (Ω) 2. ∇ 2u = 0)
边值问题的提法： 二. 边值问题的提法：
1）第一边值问题(Dirichlet问题/狄氏问题) ∇ 2u = 0, in Ω uΓ = f 数学解释： 在Ω内寻求一个调和函数u, 它在边界Γ上与已知
____
当ε → 0时，有 lim u = u ( M 0 ), (Q u连续)
∂u ∂u lim 4πε = 0(Q u一阶连续可微， ∴ 有界） ε →0 ∂n ∂n
____
ε →0
1 所 以u (M 0 ) = − 4π 1 =− 4π
∂ 1 1 ∂u ∫∫ (u ∂n r − r ∂n )dS Γ 1 ∂u dS − rMM ∂ n 0
∂P ∂Q ∂R ∫∫∫ ( ∂x + ∂y + ∂z )dV = Ω
∫∫ Pdydz + Qdzdx + Rdxdy
Γ
其中 Γ 取外侧位正向.
由两类曲面积分之间的关系得高斯公式的另一种形式： 由两类曲面积分之间的关系得高斯公式的另一种形式：
∂P ∂Q ∂R ∫∫∫ ( ∂x + ∂y + ∂z )dV Ω =
（3）平均值公式 ）
定理：设函数u ( M )在区域Ω内调和的，M 0 ( x0 , y0 , z0 )为其中任一点，
K a 表示以M 0 ( x0 , y0 , z0 )为中心，以a为半径且完全落在Ω内部的球面， 则成立下面平均值公式 1 u(M 0 ) = 4π a 2
∫∫ udS
Ka
证明:
将调和函数的积分公式应用到K a可得
∫∫ udS
4πε
2
是函数u
1 ∂u 1 ∂u ∂u ∂u ∂u 同理可得∫∫ dS = ∫∫ dS = 4πε , 此处 是 在Γε 上的平均值. r ∂n ∂n ∂n ∂n ε Γε ∂n Γε
∂ 1 1 ∂u ∂u 将两式带入可得∫∫ u − dS + 4π u − 4πε ∂n = 0 ∂n r r ∂n Γ
此公式称为第一格林公式
若令上述公式中 u , v对换，可得 ∂u ∫∫∫ v∇ udV = ∫∫ v ∂n dS − ∫∫∫ ∇u ∇vdV Ω Γ Ω
2
两式相减可得第二格林公式 ∂v ∂u ∫∫∫ (u∇ v − v∇ u )dV = ∫∫ (u ∂n − v ∂n )dS Ω Γ
2 2
二、调和函数的基本性质
满足零边界条件的解，即对于 ∇ 2 v = 0 in Ω ∇ v = 0 in Ω . 狄氏问题： ,牛曼问题: ∂v v Γ = 0 ∂n = 0 Γ
2
在第一格林公式
u ∇ 2 vdV = ∫∫∫
Ω
∫∫ u
Γ
∂v dS − ∫∫∫ ∇ u ∇ vdV ∂n Ω
中取 u = v = u1 − u 2 , 可得
（1）调和函数的积分表达式 ）
定理： 设u为调和函数且在Ω+Γ上有一阶连续偏导，则Ω内任一点
M 0的值为 1 u(M 0 ) = − 4π ∂ 1 ∫∫ u(M ) ∂n rMM Γ 0 1 ∂u dS − rMM ∂n 0
证明：为求调和函数在该点的值，构造一个函数
注： 前面两种边值问题都是在Ω内求解拉氏方程，故称此类 方程为内问题。 还有一类问题，例如确定某物体外部的稳恒 温度场, 就归结为在区域外部求调和函数，满足边界条件。 这样的问题称为Laplace方程外问题。
注：对于外问题来说，求解通常都是在无界区域上，
这时需不需要对解加些限制条件呢？看下面一例子。
∫∫ ( P cos(n, x) + Q cos(n, y) + R cos(n, z ))dS .
Γ
其中n为曲面Γ的单位外法向矢量.
令 F = ( P,Q,R )则Gauss公式等价于 公式等价于
∫∫∫ divFdV = ∫∫ F • ndS .
Gauss公式的实质 Gauss公式的实质
Ω Γ
表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲 面上的曲面积分之间的关系. 面上的曲面积分之间的关系.
2 2
∂ 1 ∂ 1 1 在 球 面 Γε上 ， = − = 2 ∂n r ∂r r ε
∂ 1 1 因此可得 ∫∫ u dS = 2 ∫∫ udS = 4π u , 其中u = Γε ε Γε ∂n r Γε 在球面Γε 上的平均值.
____ ____
∂ 1 ∫∫ u ( M ) ∂n rMM Γ 0
注：1） 上式表明对于具有一阶连续偏导的调和函数u而言，它在Ω内 任意一点的值可通过积分表达式用这个函数及其法向导数在边界上 的值来表示。 2） 若 M 0为 Ω外或边界 Γ上的点，类似推导 有
0， M 0在 Ω外 ∂ 1 1 ∂u dS = 2π u ( M 0 )， M 0在 Γ上 − ∫∫ u ( M ) − ∂n rMM 0 rMM 0 ∂n Γ 4π u ( M )， M 在 Ω内 0 0
§3 格林函数
为什么引入格林函数？
调和函数的积分表达式为 1 u(M 0 ) = − 4π ∂ 1 1 ∂u ∫∫ u(M ) ∂n ( rMM ) − rMM ∂n dS Γ 0 0
∂u ∂n
对于狄氏问题或牛曼问题，利用上面公式都不能直接得到想要问 题的解。比如对狄氏问题，只知道边界条件 u Γ ，但不知道 ∂u 。故而我们需要引入格林函数。 ∂n Γ
3） 若 u ∈ C 2 (Ω ) I C 1 (Ω )，且 ∇ 2u =F , 我们可以得 到类似公式
1 u(M 0 ) = − 4π ∂ 1 1 ∂u 1 ∫∫ u ( M ) ∂n ( rMM ) − rMM ∂n dS − 4π Γ 0 0 F (M ) ∫∫∫ rMM dV Ω 0
第四章 拉普拉斯方程的格林函数法
第一节 第二节 第三节 第四节 拉普拉斯方程边值问题的提法 格林公式 格林函数 两种特殊区域的格林函数及狄氏 问题的解
格 林 函 数 法
格林函数:又称点源影响函数，是数学物理中的一个重要概念 格林函数 又称点源影响函数， 又称点源影响函数
格林函数代表一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的 格林函数代表一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产生的 知道了点源的场就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场。 场,知道了点源的场就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场。 知道了点源的场就可以用迭加的方法计算出任意源所产生的场