2009-2013年北京高考真题--线性规划汇编

合集下载

2013年北京高考理科数学试题及答案(排版紧奏形)

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分。

1．已知集合{}1,0,1A =-，{}|11B x x =-≤<，则A B = （）A ．{}0B ．{}1,0-C ．{}0,1D ．{}1,0,1- 2．在复平面内，复数2(2)i -对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．“ϕπ=”是“曲线sin(2)y x ϕ=+过坐标原点” 的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分与不必要条件 4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）A ．1B ．23 C ．1321D ．610987 5．函数()f x 的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线xy e =关于y 轴对称，则()f x =（）A ．1x e+ B ．1x e- C ．1x e-+ D ．1x e--6．若双曲线22221x y a b-=）A.2y x =±B.y =C.12y x =±D.2y x =± 7．直线l 过抛物线C ：24x y =的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于（）A ．43 B ．2 C ．83D．38．设关于x 、y 的不等式组21000x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩所表示的平面区域内存在点00(,)P x y 满足0022x y -=，则m 的取值范围是（）A ．4(,)3-∞B ．1(,)3-∞C ．2(,)3-∞-D ．5(,)3-∞-二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 9．在极坐标系中，点(2,)6π到直线sin 2ρθ=的距离等于。

10．若等比数列{}n a 满足2420a a +=，3540a a +=，则公比q = ；前n 项和n S = 。

11．如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，若3PA =，:9:16PD DB =，则PD = ，AB = 。

北京市高三数学一轮复习试题选编16线性规划理

北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编16：线性规划一、选择题1 ．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）已知,a b 是正数，且满足224a b <+<．那么22a b +的取值范围是（）A ．416(,)55B ．4(,16)5C ．(1,16)D ．16(,4)5【答案】B解：原不等式组等价为2224a ba b <+⎧⎨+<⎩，做出不等式组对应的平面区域如图阴影部分，，22a b +表示区域内的动点(,)P a b 到原点距离的平方，由图象可知当P 在D 点时，22a b +最大，此时222416a b +==，原点到直线220a b +-=的距离最小，即d ==，所以22245a b d +==，即22a b +的取值范围是224165a b <+<，选B ．2 ．（2013届北京丰台区一模理科）已知变量,x y 满足约束条件1101x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则2x ye +的最大值是（）A ．3e B ．2eC ．1D ．4e -【答案】B3 ．（2013北京房山二模数学理科试题及答案）已知,M N 是不等式组1,1,10,6x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-+≥⎪⎪+≤⎩所表示的平面区域内的两个不同的点,则||MN 的最大值是（）A．BC． D ．172【答案】B ．4 ．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题）已知2,,z x y x y=+满足2y xx y x m ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且z 的最大值是最小值的4倍，则m 的值是（）A ．14B ．15C ．16D ．17【答案】A5 ．（北京东城区普通校2013届高三12月联考理科数学）设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+-≥-+01042022x y x y x ,则目标函数x y z 32-=的最大值为（）A ．3-B ．2C ．4D ．5【答案】C 【解析】做出约束条件对应的可行域如图,由23z y x =-得322zy x =+.做直线32y x =,平移直线得当直线322z y x =+经过点(0,2)B 时,直线322zy x =+的截距最大,此时z 最大,所以最大值234z y x =-=,选C ．6 ．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）已知x ，y 满足不等式组0,0,,2 4.x y x y s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩当35s ≤≤时，目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是（）A ．[6,15]B ．[7,15]C ．[6,8]D ．[7,8]【答案】D解：，当3s =时，对应的平面区域为阴影部分，由y x z 23+=得322z y x =-+，平移直线由图象可知当直线经过点C 时，直线322zy x =-+的截距最大，此时3,24x y y x +=⎧⎨+=⎩解得12x y =⎧⎨=⎩，即(1,2)C ，代入y x z 23+=得7z =。

2014届高三数学北京各区模拟分类汇编-线性规划(理)

2013年北京模拟真题--线性规划(理)1（2013东城期末3-6）已知x ，y 满足不等式组0,0,,2 4.x y x y s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩当35s ≤≤时，目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是( )（A ）[6,15]（B ）[7,15] （C ）[6,8]（D ）[7,8]2(2013丰台一模16-4）．已知变量,x y 满足约束条件1101x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则2x ye +的最大值是( )(A) 3e (B) 2e (C) 1 (D) 4e -3（2013顺义二模20-6）.设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤+≥+14,42,22y x y x y x 则yx -32的取值范围是( )A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,42 B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡64,21 C.⎥⎦⎤⎢⎣⎡64,42 D.⎥⎦⎤⎢⎣⎡22,641 4（2013丰台期末5-10）．已知直线y x b =+与平面区域||2,:||2x C y ≤⎧⎨≤⎩的边界交于A 、B 两点，若||22AB >，则b 的取值范围是． 5（2013房山期末7）. 已知函数ln ,0,()1,0,x x f x x x >⎧=⎨--≤⎩D 是由x 轴和曲线()y f x =及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则3z x y =-在D 上的最大值为（） A. 4 B. 3 C. D. 1-6（2013房山二模5）.已知,M N 是不等式组1,1,10,6x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-+≥⎪⎪+≤⎩所表示的平面区域内的两个不同的点，则||MN 的最大值是（） A.342B. 17C. 32D.1727(2013海淀期末1-13). 点(,)P x y 在不等式组 0,3,1x x y y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥+⎩表示的平面区域内，若点(,)P x y 到直线1y kx =-的最大距离为22，则___.k =8（2013海淀一模8-4）.不等式组1,40,0x x y kx y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩表示面积为1的直角三角形区域，则k 的值为（）Ａ.2- B. 1- C. 0 D.19 (2013西城期末2-6)．已知,a b 是正数，且满足224a b <+<．那么22a b +的取值范围是（）（A ）416(,)55（B ）4(,16)5（C ）(1,16) （D ）16(,4)510 （2013朝阳期末4-11）.若关于x ，y 的不等式组0, , 10x y x kx y ⎧⎪⎨⎪-+⎩………（k 是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，则k = .11（2013顺义一模7）.设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤+01,0,4x x y y x 表示的平面区域为D .若圆()()22211:r y x C =+++ ()0>r 不经过区域D 上的点,则r 的取值范围是（）A.[]52,22B.(]23,22C.(]52,23D.()()+∞⋃,5222,012（2013石景山期末6-9)．已知不等式组,,,y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩表示的平面区域S 的面积为4，则=a；若点S y x P ∈),(，则y x z +=2的最大值为．。

近几年全国卷高考文科数学线性规划高考题汇编

线性规划高考题1.[2013.全国卷]设,x y满足约束条件10,10,3,x yx yx-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y=-的最小值是（）A.7-B.6-C.5-D.3-2.[2014.全国卷]设x，y满足的约束条件1010330x yx yx y+-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y=+的最大值为（）3.[2014.全国卷]设1，y满足约束条件,1,x y ax y+≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay=+的最小值为7，则a=（）A．-5 B. 3 C．-5或3 D. 5或-34. [2012.全国卷.T5] 已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=－x+y的取值范围是（）A.(1－3，2) B.(0，2) C.(3－1，2) D.(0，1+3)5.[2010.全国卷.T11]已知ABCD的三个顶点为A（-1，2），B（3，4），C（4，-2），点（x，y）在ABCD的内部，则z=2x-5y的取值范围是（）A.（-14，16）B.（-14，20）C.（-12，18）D.（-12，20）6. [2016.全国卷]设x，y满足约束条件210,210,1,x yx yx-+≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩则z=2x+3y–5的最小值为:7．[2016.全国卷]若x，y满足约束条件103030x yx yx-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则z=x-2y的最小值为8.[2015.全国卷]若x，y满足约束条件50210210x yx yx y+-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩，则2z x y=+的最大值为9.[2015.全国卷] x,y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为10.[2013.全国卷]设,x y满足约束条件13,10xx y≤≤⎧⎨-≤-≤⎩，则2z x y=-的最大值为11. [2011.全国卷.T14]若变量,x y满足约束条件329,69,x yx y≤+≤⎧⎨≤-≤⎩则2z x y=+的最小值为12. [2016.全国1卷.T16]某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料。

2013高考数学试题分类汇编——复数与线性规划

（2013上海卷）2．设m R ∈，222(1)i m m m +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则________m =（2013四川卷）2．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是（）（A ）A （B ）B （C ）C （D ）D [ (2013上海春季卷)7．复数23i +（i 是虚数单位）的模是(2013上海春季卷)18．若复数12 z z 、满足21z z =，则12 z z 、在复数平面上对应的点12 Z Z 、（）(A) 关于x 轴对称 (B)关于y 轴对称(C) 关于原点对称 (D)关于直线y x =对称（2013安徽卷）1．设i 是虚数单位，_z 是复数z 的共轭复数，若|()>0I x f x =+2=2z zi ，则z =（A ）1+i （B ）1i - （C ）1+i - （D ）1-i -（2013北京卷）2.在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( ) A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D. 第四象限（2013北京卷）8.设关于x ,y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0=2，求得m 的取值范围是 A.4,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B. 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C.2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D.5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭（2013湖北卷）1．在复平面内，复数21iz i=+（i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限（2013广东卷）3．若复数z 满足24iz i =+,则在复平面内,z 对应的点的坐标是( )A . ()2,4B ．()2,4-C ．()4,2-D ．()4,2（2013福建卷）1．已知复数z 的共轭复数12z i =+（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限（2013大纲卷）2．()3=（A ）8- （B ）8 （C ）8i - （D ）8i（2013大纲卷）15．记不等式组0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域为D ，若直线()1y a x =+与D 公共点，则a 的取值范围是 . （2013重庆卷）11．已知复数512iz i=+（i 是虚数单位），则_________z = （2013浙江卷）1．已知i 是虚数单位，则=-+-)2)(1(i iA ．i +-3 B. i 31+- C. i 33+- D.i +-1（2013浙江卷）13．设y kx z +=，其中实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+04204202y x y x y x ，若z 的最大值为12，则实数=k ________。

2014届高考数学专题汇编13：线性规划

专题13：线性规划1.（2012年西城一模理3）若实数x ，y 满足条件0,30,03,x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤≤⎩则2x y -的最大值为（）A ．9B ．3C ．0D ．3-2．（2012年东城一模理3）若实数x ，y 满足不等式组1,2,0,y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则y x z 2-=的最小值为（） A ．27-B ． 2-C ．1D ．253.（2012年丰台一模理2）若变量x ，y 满足约束条件0,21,43,y x y x y ≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩则z=3x+5y 的取值范围是（）A.[3,)+∞B.[-8,3]C.(,9]-∞D.[-8,9]4.（2012年东城11校联考理7）已知约束条件340,210,380,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩若目标函数)0(>+=a ay x z 恰好在点(2,2)处取得最大值，则a 的取值范围为( )A. 310<<aB.31≥a C . 31>a D . 210<<a5．（2012年门头沟一模理13）在平面上有两个区域M 和N ，其中M 满足002y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩，N 由1t x t +≤≤ 确定，当0t =时，M 和N 公共部分的面积是；当01t ≤≤时， M 和N 的公共部分面积的最大值为．6.（2012年朝阳二模理11）若实数,x y 满足10,0,x y x -+≤⎧⎨≤⎩则22x y +的最小值是 .7.（2012年海淀二模理4）若整数,x y 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥+≤-2311y y x y x 则2x y +的最大值是（）A ．1B.5C.2D.38.（2012年昌平二模理13）若变量 x , y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤400x y y x 表示平面区域M ，则当-42≤≤a 时，动直线a y x =+所经过的平面区域M 的面积为_____________.9.（2012年房山二模理）．若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+-≥+30030x y x y x ，则y x z -=2的最大值为（）（A ）9 （B ）8 （C ）7 （D ）610．（2013届北京丰台区一模理科）已知变量,x y 满足约束条件1101x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则2x ye +的最大值是（）A ．3eB ．2eC ．1D ．4e -11．（2013届北京丰台区一模理科）已知,a Z ∈关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是（） A ．13 B ．18 C ．21 D ．2612．（2013届北京海滨一模理科）不等式组1,40,0x x y kx y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩表示面积为1的直角三角形区域，则k 的值为Ａ.2-B ．1-C ．0D ．113．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题）已知2,,z x y x y =+满足2y xx y x m ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且z 的最大值是最小值的4倍，则m 的值是（）A ．14B ．15C ．16D ．1714．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题）设0,0.a b >>若1133a b a b+与的等比中项，则的最小值为（）A ．8B ．4C ．1D ．1415．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）已知x ，y 满足不等式组0,0,,2 4.x y x y s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩当35s ≤≤时，目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是（） A ．[6,15] B ．[7,15] C ．[6,8] D ．[7,8]16．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）已知,a b 是正数，且满足224a b <+<．那么22a b +的取值范围是（）A ．416(,)55B ．4(,16)5C ．(1,16)D ．16(,4)517．（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤+01,0,4x x y y x 表示的平面区域为D .若圆()()22211:r y x C =+++ ()0>r 不经过区域D 上的点,则r 的取值范围是（） A ．[]52,22 B ．(]23,22C ．(]52,23D ．()()+∞⋃,5222,018．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题）已知,x y 满足约束条件24,2400x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，，则zx y =+的最大值为 19．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试数学理试题）已知直线y x b =+与平面区域C:||2,||2x y ≤⎧⎨≤⎩的边界交于A ，B 两点，若AB ≥b 的取值范围是________.20．（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题）若关于x ，y 的不等式组0,,10x y x kx y ⎧⎪⎨⎪-+⎩………（k 是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，则k = . 21．（北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题）点(,)P x y 在不等式组0,3,1x x y y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥+⎩表示的平面区域内，若点(,)P x y 到直线1y kx =-的最大距离为___.k =22．（北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题）已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，，表示的平面区域S 的面积为4，则=a ；若点S y x P ∈),(，则y x z +=2 的最大值为 .。

2009-2013年北京高考真题--导数大题汇编

_________高考题库，荣誉出品__________●-------------------------密--------------封--------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●2009-2013年北京高考真题--导数大题汇编5年高考真题分类汇编-教师卷题号一总分得分△注意事项：1.本系列试题包含2009至2013年北京市高考真题，并经过精心校对。

2.本系列文档包含全部试题分类汇编，命名规律为：2009-2013年北京高考真题--******试题汇编。

3.本系列试题涵盖北京高考所有学科，均有相关实体书出售。

i.、解答题（本大题共5小题，共0分）1.（2013年北京高考真题数学(文)）已知函数2()sin cos f x x x x x （1）若曲线()y f x 在点(,())a f a 处与直线y b 相切，求a 与b 的值。

（2）若曲线()y f x 与直线y b 有两个不同的交点，求b 的取值范围。

【答案解析】解：（1）'()2cos (2cos )f x x x x x x 因为曲线()y f x 在点(,())a f a 处的切线为y b 所以'()0()f a f a b ，即22cos 0sin cos a a a a a a a b ，解得01a b （2）因为2cos 0x 所以当0x 时'()0f x ，()f x 单调递增当0x 时'()0f x ，()f x 单调递减所以当0x 时，()f x 取得最小值(0)1f ，所以b 的取值范围是(1,)2.（2012年北京高考真题数学(文)）。

2013年全国各省市高考真题——线性规划(带答案)

2013年全国各省市文科数学—线性规划1、2013新课标Ⅱ文T3.设,x y 满足约束条件10,10,3,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最小值是（）（A ）7- （B ）6- （C ）5- （D ）3-2、2013四川文T8.若变量,x y 满足约束条件8,24,0,0,x y y x x y +≤⎧⎪-≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩且5z y x =-的最大值为a ，最小值为b ，则a b -的值是（）（A ）48 （B ）30 （C ）24 （D ）16 3、2013天津文T2. 设变量x , y 满足约束条件360,20,30,x y y x y ≥--≤+-⎧-≤⎪⎨⎪⎩则目标函数z = y －2x 的最小值为（）(A) －7 (B) －4 (C) 1 (D) 24、2013福建文T6．若变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+012y x y x ，则y x z +=2的最大值和最小值分别为（）A ．4和3B ．4和2C ．3和2D ．2和05、2013陕西文T7. 若点(x ,y )位于曲线y = |x |与y = 2所围成的封闭区域, 则2x －y 的最小值为（） (A) －6(B) －2(C) 0(D) 26、2013湖北文T9．某旅行社租用A 、B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A 、B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆．则租金最少为 A ．31200元 B ．36000元 C ．36800元 D ．38400元7、2013大纲文T15.若x y 、满足约束条件0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩则z x y =-+的最小值为 .8、2013新课标文T14.设,x y 满足约束条件 13,10x x y ≤≤⎧⎨-≤-≤⎩，则2z x y =-的最大值为______。

【数学】2009年高考真题北京卷(理)解析版

2009年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至9页，共150分。

考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题共40分）注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将答题卡上的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔填写，用2B 铅笔将准考证号对应的信息点涂黑。

2．每小题选出答案后，将答题卡上对应题目的答案选中涂满涂黑，黑度以盖住框内字母为准，修改时用橡皮擦除干净。

在试卷上作答无效。

一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．在复平面内，复数(12)z i i =+对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B【解析】本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系.属于基础知识的考查. ∵(12)22z i i i i i =+=+=-+，∴复数z 所对应的点为()2,1-，故选B.2．已知向量a 、b 不共线，c k =a +b (k ∈R),d =a -b,如果c //d ，那么（） A ．1k =且c 与d 同向 B ．1k =且c 与d 反向 C ．1k =-且c 与d 同向 D ．1k =-且c 与d 反向【答案】D【解析】本题主要考查向量的共线（平行）、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算的考查. 取a()1,0=，b()0,1=，若1k =，则c =a +b ()1,1=，d =a -b ()1,1=-，显然，a 与b 不平行，排除A 、B.若1k =-，则c =-a +b ()1,1=-，d =-a +b ()1,1=--，即c //d 且c 与d 反向，排除C ，故选D.3．为了得到函数3lg10x y +=的图像，只需把函数lg y x =的图像上所有的点（）A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度【答案】C【解析】本题主要考查函数图象的平移变换. 属于基础知识、基本运算的考查. A ．()()lg 31lg103y x x =++=+，B ．()()lg 31lg103y x x =-+=-，C ．()3lg 31lg10x y x +=+-=， D ．()3lg 31lg10x y x -=--=.故应选C. 4．若正四棱柱1111ABCD A BC D -的底面边长为1，1AB 与底面ABCD 成60°角，则11AC到底面ABCD 的距离为（）A． B ．1CD【答案】D【解析】本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念. （第4题解答图）属于基础知识、基本运算的考查.依题意，160B AB ︒∠=，如图，11tan60BB ︒=⨯，故选D.5．“2()6k k Z παπ=+∈”是“1cos 22α=”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题主要考查三角函数的基本概念、简易逻辑中充要条件的判断. 属于基础知识、基本运算的考查.当2()6k k Z παπ=+∈时，1cos 2cos 4cos 332k ππαπ⎛⎫=+==⎪⎝⎭，反之，当1cos 22α=时，有()2236k k k Z ππαπαπ=+⇒=+∈，或()2236k k k Z ππαπαπ=-⇒=-∈，故应选A.6．若5(1,a a b =+为有理数），则a b += （）A ．45B ．55C ．70D ．80【答案】C【解析】本题主要考查二项式定理及其展开式. 属于基础知识、基本运算的考查.∵(5123450123455555551CC C CC C+=+++++120242292=++++=由已知，得41a +=+412970a b +=+=.故选C.7．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（）A ．324B ．328C ．360D ．648 【答案】B【解析】本题主要考查排列组合知识以及分类计数原理和分步计数原理知识. 属于基础知识、基本运算的考查.首先应考虑“0”是特殊元素，当0排在末位时，有299872A =⨯=（个），当0不排在末位时，有111488488256A A A ⋅⋅=⨯⨯=（个），于是由分类计数原理，得符合题意的偶数共有72256328+=（个）.故选B. 8．点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2y x =于,A B 两点，且|||PA AB =，则称点P 为“点”，那么下列结论中正确的是（）A ．直线l 上的所有点都是“点”B ．直线l 上仅有有限个点是“点”C ．直线l 上的所有点都不是“点”D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“点”【答案】A【解析】本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力. 属于创新题型.本题采作数形结合法易于求解，如图，设()(),,,1A m n P x x -，则()2,22B m x n x ---，∵2,A B y x =在上， ∴2221(2)n m n x m x ⎧=⎨-+=-⎩（第8题解答图）消去n,整理得关于x 的方程22(41)210x m x m --+-= （1）∵222(41)4(21)8850m m m m ∆=---=-+>恒成立， ∴方程（1）恒有实数解，∴应选A.2009年普通高等学校招生全国统一考试数学（理工农医类）（北京卷）第Ⅱ卷（共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上。

2013北京高考数学试题及详解

2013北京高考理科数学试题第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题。

每小题5分，共40分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1.已知集合A={－1，0，1}，B={x|－1≤x＜1}，则A∩B= ( )A.{0}B.{－1，0}C.{0，1}D.{－1,0,1}【答案】B【难度】容易【点评】本题考查集合之间的运算关系，即包含关系.在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算.在高考精品班数学（理）强化提高班中有对集合相关知识的总结讲解.2.在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )A.第一象限B. 第二象限C.第三象限D. 第四象限【答案】D【解析】【难度】容易【点评】本题考查复数的计算。

在高二数学（理）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。

在高考精品班数学（理）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。

3.“φ=π”是“曲线y=sin(2x＋φ)过坐标原点的” ( )A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】. 【难度】容易【点评】本题考察简易逻辑关系，.在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，例题中有完全相同类型题目的计算.在高考精品班数学（理）强化提高班中有对集合、简易逻辑相关知识的总结讲解.4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为 ( )A.1B.23 C.1321D.610987【答案】C【解析】【难度】中等【点评】本题算法初步。

在高二数学（理）强化提高班上学期，第一章《算法初步》有详细讲解，其中第02讲有完全相似的题目。

在高考精品班数学（理）强化提高班中有对程序框图题目相关的总结讲解。

5.函数f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y=e x关于y 轴对称，则f(x)= ( )A.1e x +B. 1e x -C. 1e x -+D. 1e x -- 【答案】D 【解析】【难度】中等【点评】本题考查分段函数值域求解。

(word完整版)近几年全国卷高考文科数学线性规划高考题

线性规划高考题1.[2013.全国卷2.T3]设,x y满足约束条件10,10,3,x yx yx-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，则23z x y=-的最小值是（）A.7-B.6-C.5-D.3-2.[2014.全国卷2.T9]设x，y满足的约束条件1010330x yx yx y+-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y=+的最大值为（）A.8B.7C.2D.13.[2014.全国卷1.T11]设1，y满足约束条件,1,x y ax y+≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay=+的最小值为7，则a=（）A．-5 B. 3 C．-5或3 D. 5或-34. [2012.全国卷.T5] 已知正三角形ABC的顶点A(1,1)，B(1,3)，顶点C在第一象限，若点（x，y）在△ABC内部，则z=－x+y的取值范围是（）A.(1－3，2)B.(0，2)C.(3－1，2)D.(0，1+3)5.[2010.全国卷.T11]已知Y ABCD的三个顶点为A（-1，2），B（3，4），C（4，-2），点（x，y）在Y ABCD的内部，则z=2x-5y的取值范围是（）A.（-14，16）B.（-14，20）C.（-12，18）D.（-12，20）6. [2016.全国卷3.T13]设x，y满足约束条件210,210,1,x yx yx-+≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩则z=2x+3y–5的最小值为7．[2016.全国卷2.T14]若x，y满足约束条件103030x yx yx-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则z=x-2y的最小值为8.[2015.全国卷2.T14]若x，y满足约束条件50210210x yx yx y+-≤⎧⎪--≥⎨⎪-+≤⎩，则2z x y=+的最大值为9.[2015.全国卷1.T15] x,y满足约束条件，则z=3x+y的最大值为10.[2013.全国卷1.T14]设,x y满足约束条件13,10xx y≤≤⎧⎨-≤-≤⎩，则2z x y=-的最大值为11. [2011.全国卷.T14]若变量,x y 满足约束条件329,69,x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩则2z x y =+的最小值为12. [2016.全国1卷.T16]某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料。

2013年北京高考数学(理)

2013年高考北京卷数学（理科）本试卷分为第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。

满分150分。

考试时间120分钟。

第I 卷（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合{-1,0,1}=A ，1}-1|{<≤=B x x ，则=B A ( ))(A {0} )(B {-1,0} )(C {0,1} )(D {-1,0,1}答案：)(B解析：利用交集的定义求解，}01-{，=B A 2.在复平面内，复数2i -2）（对应的点位于（）)(A 第一象限 )(B 第二象限 )(C 第三象限 )(D 第四象限答案：)(D解析：i i i i 4344222-=+-=）（-，对应的复平面内的坐标为），（43- 3.“πϕ=”是“曲线）（ϕ+=x 2sin y 过坐标原点”的（） )(A 充分不必要条件 )(B 必要不充分条件 )(C 充分必要条件 )(D 既不充分也不必要条件答案：)(A解析：πϕ=时，-sin2x sin y =+=）（ϕx 2，过原点，但是函数过原点的时候ϕ可以取其它值。

4.执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（）)(A 1 )(B 32)(C 2113)(D 987610答案：)(C 解析：5.函数)(x f 的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线x e y =关于y 轴对称，则=)(x f（）)(A 1+x e )(B 1-x e )(C 1+-x e )(D 1--x e答案：)(D解析：依题意，)(x f 向右平移一个单位后得到的函数应该是x e y -=，于是)(x f 相当于x e y =向左平移一个单位的结果，所以1)(--=x e x f6.若双曲线12222=-bya x 的离心率为3，则其渐近线方程为（）)(A .x y 2±= )(B x y 2±= )(C x y 21±= )(D x y 22±= 答案：)(B主离心率为3，可知a c 3=，所以我们有a b 2=，渐近线方程为x x ab y 2±=±=.7.直线l 过抛物线y x C 4:2=的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于)(A 34)(B 2 )(C 38 )(D 3216 答案：)(C解析：l 的方程是1=y ，所求面积相当于一个矩形面积减去一个积分值： 38)12(24424203202=⋅-=⎰-=x dx x S 8.设关于x ，y 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>-<+>+-00012m y m x y x ，，表示的平面区域内存在点），（00y x P ，满足2200=-y x ，求得m 的取值范围是)(A )34,(∞- )(B ），（31∞- )(C ），（32-∞- )(D ），（35-∞- 答案：)(C解析：本题线性规划图示要使可行域存在，必有12+-<m m ，要求可行域内包含直线121-=x y 上的点，只要边界点)21(m m --，在直线11-=x y 的上方，且)(m m ，-在直线11-=x y的下方，解不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--<-->--<111212121m m m m m m 得32-<m 第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

2013年高考数学真题-北京卷(理)答案

数学试题答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【分析】找出A与B的公共元素，即可确定出两集合的交集．【解答】解：∵A＝{﹣1，0，1}，B＝{x|﹣1≤x＜1}，∴A∩B＝{﹣1，0}．故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．【分析】化简复数为代数形式，求出复数对应点的坐标，即可判断复数对应点所在象限．【解答】解：复数（2﹣i）2＝4﹣4i+i2＝3﹣4i，复数对应的点（3，﹣4），所以在复平面内，复数（2﹣i）2对应的点位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，考查计算能力．3．【分析】按照充要条件的定义从两个方面去求①曲线y＝sin（2x+φ）过坐标原点，求出φ的值，②φ＝π时，曲线y＝sin（2x+φ）过坐标原点．【解答】解：φ＝π时，曲线y＝sin（2x+φ）＝﹣sin2x，过坐标原点．但是，曲线y＝sin（2x+φ）过坐标原点，即O（0，0）在图象上，将（0，0）代入解析式整理即得sinφ＝0，φ＝kπ，k∈Z，不一定有φ＝π．故“φ＝π”是“曲线y＝sin（2x+φ）过坐标原点”的充分而不必要条件．故选：A．【点评】本题考查充要条件的判定，用到的知识是三角函数的图象特征．是基础题．4．【分析】从框图赋值入手，先执行一次运算，然后判断运算后的i的值与2的大小，满足判断框中的条件，则跳出循环，否则继续执行循环，直到条件满足为止．【解答】解：框图首先给变量i和S赋值0和1．执行，i＝0+1＝1；判断1≥2不成立，执行，i＝1+1＝2；判断2≥2成立，算法结束，跳出循环，输出S的值为．故选：C．【点评】本题考查了程序框图，考查了直到型结构，直到型循环是先执行后判断，不满足条件执行循环，直到条件满足结束循环，是基础题．5．【分析】首先求出与函数y＝e x的图象关于y轴对称的图象的函数解析式，然后换x为x+1即可得到要求的答案．【解答】解：函数y＝e x的图象关于y轴对称的图象的函数解析式为y＝e﹣x，而函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y＝e x的图象关于y轴对称，所以函数f（x）的解析式为y＝e﹣（x+1）＝e﹣x﹣1．即f（x）＝e﹣x﹣1．故选：D．【点评】本题考查了函数解析式的求解与常用方法，考查了函数图象的对称变换和平移变换，函数图象的平移遵循“左加右减，上加下减”的原则，是基础题．6．【分析】通过双曲线的离心率，推出a、b关系，然后直接求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：由双曲线的离心率，可知c＝a，又a2+b2＝c2，所以b＝a，所以双曲线的渐近线方程为：y＝＝±x．故选：B．【点评】本题考查双曲线的基本性质，渐近线方程的求法，考查计算能力．7．【分析】先确定直线的方程，再求出积分区间，确定被积函数，由此利用定积分可求直线l与抛物线围成的封闭图形面积．【解答】解：抛物线x2＝4y的焦点坐标为（0，1），∵直线l过抛物线C：x2＝4y的焦点且与y轴垂直，∴直线l的方程为y＝1，由，可得交点的横坐标分别为﹣2，2．∴直线l与抛物线围成的封闭图形面积为＝（x﹣）＝．故选：C．【点评】本题考查封闭图形的面积，考查直线方程，解题的关键是确定直线的方程，求出积分区间，确定被积函数．8．【分析】先根据约束条件画出可行域．要使可行域存在，必有m＜﹣2m+1，要求可行域包含直线y＝x﹣1上的点，只要边界点（﹣m，1﹣2m）在直线y＝x﹣1的上方，且（﹣m，m）在直线y＝x﹣1的下方，从而建立关于m的不等式组，解之可得答案．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，要使可行域存在，必有m＜﹣2m+1，要求可行域包含直线y＝x﹣1上的点，只要边界点（﹣m，1﹣2m）在直线y＝x﹣1的上方，且（﹣m，m）在直线y＝x﹣1的下方，故得不等式组，解之得：m＜﹣．故选：C．【点评】平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．【分析】先将点的极坐标化成直角坐标，极坐标方程化为直角坐标方程，然后用点到直线的距离来解．【解答】解：在极坐标系中，点化为直角坐标为（，1），直线ρsinθ＝2化为直角坐标方程为y＝2，（，1），到y＝2的距离1，即为点到直线ρsinθ＝2的距离1，故答案为：1．【点评】本题关键是直角坐标和极坐标的互化，体现等价转化数学思想．10．【分析】利用等比数列的通项公式和已知即可得出，解出即可得到a及q，再利用等比数1列的前n项和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 2+a 4＝a 2（1+q 2）＝20①a 3+a 5＝a 3（1+q 2）＝40②∴①②两个式子相除，可得到＝＝2即等比数列的公比q ＝2，将q ＝2带入①中可求出a 2＝4则a 1＝＝＝2∴数列{a n }时首项为2，公比为2的等比数列．∴数列{a n }的前n 项和为：S n ＝＝＝2n +1﹣2．故答案为：2，2n +1﹣2．【点评】熟练掌握等比数列的通项公式和等比数列的前n 项和公式是解题的关键．11．【分析】由PD ：DB ＝9：16，可设PD ＝9x ，DB ＝16x ．利用切割线定理可得PA 2＝PD •PB ，即可求出x ，进而得到PD ，PB ．AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，利用切线的性质可得AB ⊥PA ．再利用勾股定理即可得出AB ．【解答】解：由PD ：DB ＝9：16，可设PD ＝9x ，DB ＝16x ．∵PA 为圆O 的切线，∴PA 2＝PD •PB ，∴32＝9x •（9x +16x ），化为，∴．∴PD ＝9x ＝，PB ＝25x ＝5．∵AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，∴AB ⊥PA ．∴＝＝4．故答案分别为，4．【点评】熟练掌握圆的切线的性质、切割线定理、勾股定理是解题的关键．12．【分析】求出5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号的组数，然后分给4人排列即可．【解答】解：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4×＝96种．故答案为：96．【点评】本题考查排列组合以及简单的计数原理的应用，正确分组是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．13．【分析】以向量、的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系，得到向量、、的坐标，结合题中向量等式建立关于λ、μ的方程组，解之得λ＝﹣2且μ＝﹣，即可得到的值．【解答】解：以向量、的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系可得＝（﹣1，1），＝（6，2），＝（﹣1，﹣3）∵∴，解之得λ＝﹣2且μ＝﹣因此，＝＝4故答案为：4【点评】本题给出向量用向量、线性表示，求系数λ、μ的比值，着重考查了平面向量的坐标运算法则和平面向量基本定理及其意义等知识，属于基础题．14．【分析】如图所示，取B 1C 1的中点F ，连接EF ，ED 1，利用线面平行的判定即可得到C 1C ∥平面D 1EF ，进而得到异面直线D 1E 与C 1C 的距离．【解答】解：如图所示，取B 1C 1的中点F ，连接EF ，ED 1，∴CC 1∥EF ，又EF ⊂平面D 1EF ，CC 1⊄平面D 1EF ，∴CC 1∥平面D 1EF ．∴直线C 1C 上任一点到平面D 1EF 的距离是两条异面直线D 1E 与CC 1的距离．过点C 1作C 1M ⊥D 1F ，∵平面D 1EF ⊥平面A 1B 1C 1D 1．∴C 1M ⊥平面D 1EF ．过点M 作MP ∥EF 交D 1E 于点P ，则MP ∥C 1C ．取C 1N ＝MP ，连接PN ，则四边形MPNC 1是矩形．可得NP ⊥平面D 1EF ，在Rt△D 1C 1F 中，C 1M •D 1F ＝D 1C 1•C 1F ，得＝．∴点P 到直线CC 1的距离的最小值为．故答案为【点评】熟练掌握通过线面平行的性质即可得到异面直线的距离是解题的关键．三、解答题共6小题，共50分．解答应写出文字说明，演算步骤15．【分析】（Ⅰ）由条件利用正弦定理和二倍角公式求得cos A 的值．（Ⅱ）由条件利用余弦定理，解方程求得c 的值，再进行检验，从而得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由条件在△ABC 中，a ＝3，，∠B ＝2∠A ，利用正弦定理可得，即＝．解得cos A ＝．（Ⅱ）由余弦定理可得a 2＝b 2+c 2﹣2bc •cos A ，即9＝+c 2﹣2×2×c ×，即c 2﹣8c +15＝0．解方程求得c ＝5，或c ＝3．当c ＝3时，此时a ＝c ＝3，根据∠B ＝2∠A ，可得B ＝90°，A ＝C ＝45°，△ABC 是等腰直角三角形，但此时不满足a 2+c 2＝b 2，故舍去．当c ＝5时，求得cos B ＝＝，cos A ＝＝，∴cos2A ＝2cos 2A ﹣1＝＝cos B ，∴B ＝2A ，满足条件．综上，c ＝5．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理，以及二倍角公式的应用，注意把c ＝3舍去，这是解题的易错点，属于中档题．16．【分析】（Ⅰ）由图查出13天内空气质量指数小于100的天数，直接利用古典概型概率计算公式得到答案；（Ⅱ）由题意可知X 所有可能取值为0，1，2，得出P （X ＝0），P （X ＝1），p （x ＝2）及分布列与数学期望；（Ⅲ）因为方差越大，说明三天的空气质量指数越不稳定，由图直接看出答案．【解答】解：设A i 表示事件“此人于5月i 日到达该地”（i ＝1，2， (13)依据题意P （A i ）＝，A i ∩A j ＝∅（i ≠j ）（Ⅰ）设B 表示事件“此人到达当日空气质量优良”，则P （B ）＝…（3分）（Ⅱ）X 的所有可能取值为0，1，2P （X ＝0）＝，P （X ＝1）＝，P （X ＝2）＝…（6分）∴X 的分布列为X 012P…（8分）∴X 的数学期望为E （X ）＝…（11分）（Ⅲ）从5月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．…（13分）【点评】本题考查了正确理解题意及识图的能力、古典概型的概率计算、随机变量的分布列及数学期望与方差，考查了数形结合的思想方法及审题与计算的能力．17．【分析】（I ）利用AA 1C 1C 是正方形，可得AA 1⊥AC ，再利用面面垂直的性质即可证明；（II ）利用勾股定理的逆定理可得AB ⊥AC ．通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角；（III ）设点D 的竖坐标为t ，（0＜t ＜4），在平面BCC 1B 1中作DE ⊥BC 于E ，可得D ，利用向量垂直于数量积得关系即可得出．【解答】（I ）证明：∵AA 1C 1C 是正方形，∴AA 1⊥AC ．又∵平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，平面ABC ∩平面AA 1C 1C ＝AC ，∴AA 1⊥平面ABC ．（II ）解：由AC ＝4，BC ＝5，AB ＝3．∴AC 2+AB 2＝BC 2，∴AB ⊥AC ．建立如图所示的空间直角坐标系，则A 1（0，0，4），B （0，3，0），B 1（0，3，4），C 1（4，0，4），∴，，．设平面A 1BC 1的法向量为，平面B 1BC 1的法向量为＝（x 2，y 2，z 2）．则，令y 1＝4，解得x 1＝0，z 1＝3，∴．，令x 2＝3，解得y 2＝4，z 2＝0，∴．＝＝＝．∴二面角A 1﹣BC 1﹣B 1的余弦值为．（III ）设点D 的竖坐标为t ，（0＜t ＜4），在平面BCC 1B 1中作DE ⊥BC 于E ，可得D ，∴＝，＝（0，3，﹣4），∵，∴，∴，解得t ＝．∴．【点评】本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的性质定理、通过建立空间直角坐标系利用法向量求二面角的方法、向量垂直与数量积得关系等基础知识与基本方法，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．18．【分析】（Ⅰ）求出切点处切线斜率，代入代入点斜式方程，可以求解；（Ⅱ）利用导数分析函数的单调性，进而分析出函数图象的形状，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵∴∴l 的斜率k ＝y ′|x ＝1＝1∴l 的方程为y ＝x ﹣1证明：（Ⅱ）令f （x ）＝x （x ﹣1）﹣lnx ，（x ＞0）曲线C 在直线l 的下方，即f （x ）＝x （x ﹣1）﹣lnx ＞0，则f ′（x ）＝2x ﹣1﹣＝∴f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，又f （1）＝0∴x ∈（0，1）时，f （x ）＞0，即＜x ﹣1x ∈（1，+∞）时，f （x ）＞0，即＜x ﹣1即除切点（1，0）之外，曲线C 在直线l 的下方【点评】本题考查的知识点是导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，是导数的综合应用，难度中档．19．【分析】（I ）根据B 的坐标为（2，0）且AC 是OB 的垂直平分线，结合椭圆方程算出A 、C 两点的坐标，从而得到线段AC 的长等于．再结合OB 的长为2并利用菱形的面积公式，即可算出此时菱形OABC 的面积；（II ）若四边形OABC 为菱形，根据|OA |＝|OC |与椭圆的方程联解，算出A 、C 的横坐标满足＝r 2﹣1，从而得到A 、C 的横坐标相等或互为相反数．再分两种情况加以讨论，即可得到当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能为菱形．【解答】解：（I ）∵四边形OABC 为菱形，B 是椭圆的右顶点（2，0）∴直线AC 是BO 的垂直平分线，可得AC 方程为x ＝1设A （1，t ），得，解之得t ＝（舍负）∴A 的坐标为（1，），同理可得C 的坐标为（1，﹣）因此，|AC |＝，可得菱形OABC 的面积为S ＝|AC |•|BO |＝；（II ）∵四边形OABC 为菱形，∴|OA |＝|OC |，设|OA |＝|OC |＝r （r ＞1），得A 、C 两点是圆x 2+y 2＝r2与椭圆的公共点，解之得＝r 2﹣1设A 、C 两点横坐标分别为x 1、x 2，可得A 、C 两点的横坐标满足x 1＝x 2＝•，或x 1＝•且x 2＝﹣•，①当x 1＝x 2＝•时，可得若四边形OABC 为菱形，则B 点必定是右顶点（2，0）；②若x 1＝•且x 2＝﹣•，则x 1+x 2＝0，可得AC 的中点必定是原点O ，因此A 、O 、C 共线，可得不存在满足条件的菱形OABC 综上所述，可得当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能为菱形．【点评】本题给出椭圆方程，探讨了以坐标原点O 为一个顶点，其它三个顶点在椭圆上的菱形问题，着重考查了菱形的性质、椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．20．【分析】（Ⅰ）根据条件以及d n ＝A n ﹣B n 的定义，直接求得d 1，d 2，d 3，d 4的值．（Ⅱ）设d 是非负整数，若{a n }是公差为d 的等差数列，则a n ＝a 1+（n ﹣1）d ，从而证得d n ＝A n ﹣B n ＝﹣d ，（n ＝1，2，3，4…）．若d n ＝A n ﹣B n ＝﹣d ，（n ＝1，2，3，4…）．可得{a n }是一个不减的数列，求得d n ＝A n ﹣B n ＝﹣d ，即a n +1﹣a n ＝d ，即{a n }是公差为d 的等差数列，命题得证．（Ⅲ）若a 1＝2，d n ＝1（n ＝1，2，3，…），则{a n }的项不能等于零，再用反证法得到{a n }的项不能超过2，从而证得命题．【解答】解：（Ⅰ）若{a n }为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列，∴d 1＝A 1﹣B 1＝2﹣1＝1，d 2＝A 2﹣B 2＝2﹣1＝1，d 3＝A 3﹣B 3＝4﹣1＝3，d 4＝A 4﹣B 4＝4﹣1＝3．（Ⅱ）充分性：设d 是非负整数，若{a n }是公差为d 的等差数列，则a n ＝a 1+（n ﹣1）d ，∴A n ＝a n ＝a 1+（n ﹣1）d ，B n ＝a n +1＝a 1+nd ，∴d n ＝A n ﹣B n ＝﹣d ，（n ＝1，2，3，4…）．必要性：若d n ＝A n ﹣B n ＝﹣d ，（n ＝1，2，3，4…）．假设a k 是第一个使a k ﹣a k ﹣1＜0的项，则d k ＝A k ﹣B k ＝a k ﹣1﹣B k ≥a k ﹣1﹣a k ＞0，这与d n ＝﹣d ≤0相矛盾，故{a n }是一个不减的数列．∴d n ＝A n ﹣B n ＝a n ﹣a n +1＝﹣d ，即a n +1﹣a n ＝d ，故{a n }是公差为d 的等差数列．（Ⅲ）证明：若a 1＝2，d n ＝1（n ＝1，2，3，…），首先，{a n }的项不能等于零，否则d 1＝2﹣0＝2，矛盾．而且还能得到{a n }的项不能超过2，用反证法证明如下：假设{a n }的项中，有超过2的，设a m 是第一个大于2的项，由于{a n }的项中一定有1，否则与d 1＝1矛盾．当n ≥m 时，a n ≥2，否则与d m ＝1矛盾．因此，存在最大的i 在2到m ﹣1之间，使a i ＝1，此时，d i ＝A i ﹣B i ＝2﹣B i ≤2﹣2＝0，矛盾．综上，{a n }的项不能超过2，故{a n }的项只能是1或者2．下面用反证法证明{a n }的项中，有无穷多项为1．若a k 是最后一个1，则a k 是后边的各项的最小值都等于2，故d k ＝A k ﹣B k ＝2﹣2＝0，矛盾，故{a n }的项中，有无穷多项为1．综上可得，{a n }的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．【点评】本题主要考查充分条件、必要条件的判断和证明，等差关系的确定，用反证法和放缩法证明数学命题，属于中档题．。

2013年北京市高考数学试卷（理科）

2013年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，则A∩B=（）A．{0}B．{﹣1，0}C．{0，1}D．{﹣1，0，1}2．（5分）在复平面内，复数（2﹣i）2对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）“φ=π”是“曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1 B． C． D．5．（5分）函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x关于y轴对称，则f（x）=（）A．e x+1B．e x﹣1 C．e﹣x+1D．e﹣x﹣16．（5分）若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±2x B． C． D．7．（5分）直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于（）A． B．2 C． D．8．（5分）设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0=2，求得m的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在极坐标系中，点（2，）到直线ρsinθ=2的距离等于．10．（5分）若等比数列{a n}满足a2+a4=20，a3+a5=40，则公比q=；前n 项和S n=．11．（5分）如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，若PA=3，PD：DB=9：16，则PD=，AB=．12．（5分）将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是．13．（5分）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若（λ，μ∈R），则=．14．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为．三、解答题共6小题，共50分．解答应写出文字说明，演算步骤15．（13分）在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求c的值．16．（13分）如图是预测到的某地5月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择5月1日至5月13日中的某一天到达该市，并停留2天（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；（Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．18．（13分）设l为曲线C：y=在点（1，0）处的切线．（Ⅰ）求l的方程；（Ⅱ）证明：除切点（1，0）之外，曲线C在直线l的下方．19．（14分）已知A，B，C是椭圆W：上的三个点，O是坐标原点．（Ⅰ）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；（Ⅱ）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．20．（13分）已知{a n}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为A n，第n项之后各项a n+1，a n+2…的最小值记为B n，d n=A n﹣B n．（Ⅰ）若{a n}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列（即对任意n∈N*，a n+4=a n），写出d1，d2，d3，d4的值；（Ⅱ）设d是非负整数，证明：d n=﹣d（n=1，2，3…）的充分必要条件为{a n}是公差为d的等差数列；（Ⅲ）证明：若a1=2，d n=1（n=1，2，3，…），则{a n}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．2013年北京市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，则A∩B=（）A．{0}B．{﹣1，0}C．{0，1}D．{﹣1，0，1}【分析】找出A与B的公共元素，即可确定出两集合的交集．【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，B={x|﹣1≤x＜1}，∴A∩B={﹣1，0}．故选：B．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．（5分）在复平面内，复数（2﹣i）2对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【分析】化简复数为代数形式，求出复数对应点的坐标，即可判断复数对应点所在象限．【解答】解：复数（2﹣i）2=4﹣4i+i2=3﹣4i，复数对应的点（3，﹣4），所以在复平面内，复数（2﹣i）2对应的点位于第四象限．故选：D．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的几何意义，考查计算能力．3．（5分）“φ=π”是“曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】按照充要条件的定义从两个方面去求①曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点，求出φ的值，②φ=π时，曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点．【解答】解：φ=π时，曲线y=sin（2x+φ）=﹣sin2x，过坐标原点．但是，曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点，即O（0，0）在图象上，将（0，0）代入解析式整理即得sinφ=0，φ=kπ，k∈Z，不一定有φ=π．故“φ=π”是“曲线y=sin（2x+φ）过坐标原点”的充分而不必要条件．故选：A．【点评】本题考查充要条件的判定，用到的知识是三角函数的图象特征．是基础题．4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1 B． C． D．【分析】从框图赋值入手，先执行一次运算，然后判断运算后的i的值与2的大小，满足判断框中的条件，则跳出循环，否则继续执行循环，直到条件满足为止．【解答】解：框图首先给变量i和S赋值0和1．执行，i=0+1=1；判断1≥2不成立，执行，i=1+1=2；判断2≥2成立，算法结束，跳出循环，输出S的值为．故选：C．【点评】本题考查了程序框图，考查了直到型结构，直到型循环是先执行后判断，不满足条件执行循环，直到条件满足结束循环，是基础题．5．（5分）函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x关于y轴对称，则f（x）=（）A．e x+1B．e x﹣1 C．e﹣x+1D．e﹣x﹣1【分析】首先求出与函数y=e x的图象关于y轴对称的图象的函数解析式，然后换x为x+1即可得到要求的答案．【解答】解：函数y=e x的图象关于y轴对称的图象的函数解析式为y=e﹣x，而函数f（x）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y=e x的图象关于y 轴对称，所以函数f（x）的解析式为y=e﹣（x+1）=e﹣x﹣1．即f（x）=e﹣x﹣1．故选：D．【点评】本题考查了函数解析式的求解与常用方法，考查了函数图象的对称变换和平移变换，函数图象的平移遵循“左加右减，上加下减”的原则，是基础题．6．（5分）若双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（）A．y=±2x B． C． D．【分析】通过双曲线的离心率，推出a、b关系，然后直接求出双曲线的渐近线方程．【解答】解：由双曲线的离心率，可知c=a，又a2+b2=c2，所以b=a，所以双曲线的渐近线方程为：y==±x．故选：B．【点评】本题考查双曲线的基本性质，渐近线方程的求法，考查计算能力．7．（5分）直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围成的图形的面积等于（）A． B．2 C． D．【分析】先确定直线的方程，再求出积分区间，确定被积函数，由此利用定积分可求直线l与抛物线围成的封闭图形面积．【解答】解：抛物线x2=4y的焦点坐标为（0，1），∵直线l过抛物线C：x2=4y的焦点且与y轴垂直，∴直线l的方程为y=1，由，可得交点的横坐标分别为﹣2，2．∴直线l与抛物线围成的封闭图形面积为=（x﹣）|=．故选：C．【点评】本题考查封闭图形的面积，考查直线方程，解题的关键是确定直线的方程，求出积分区间，确定被积函数．8．（5分）设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0=2，求得m的取值范围是（）A． B． C． D．【分析】先根据约束条件画出可行域．要使可行域存在，必有m＜﹣2m+1，要求可行域包含直线y=x﹣1上的点，只要边界点（﹣m，1﹣2m）在直线y=x﹣1的上方，且（﹣m，m）在直线y=x﹣1的下方，从而建立关于m的不等式组，解之可得答案．【解答】解：先根据约束条件画出可行域，要使可行域存在，必有m＜﹣2m+1，要求可行域包含直线y=x﹣1上的点，只要边界点（﹣m，1﹣2m）在直线y=x﹣1的上方，且（﹣m，m）在直线y=x﹣1的下方，故得不等式组，解之得：m＜﹣．故选：C．【点评】平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．（5分）在极坐标系中，点（2，）到直线ρsinθ=2的距离等于1．【分析】先将点的极坐标化成直角坐标，极坐标方程化为直角坐标方程，然后用点到直线的距离来解．【解答】解：在极坐标系中，点化为直角坐标为（，1），直线ρsinθ=2化为直角坐标方程为y=2，（，1），到y=2的距离1，即为点到直线ρsinθ=2的距离1，故答案为：1．【点评】本题关键是直角坐标和极坐标的互化，体现等价转化数学思想．10．（5分）若等比数列{a n}满足a2+a4=20，a3+a5=40，则公比q=2；前n项和S n=2n+1﹣2．【分析】利用等比数列的通项公式和已知即可得出，解出即可得到a1及q，再利用等比数列的前n项和公式即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q，∵a2+a4=a2（1+q2）=20①a3+a5=a3（1+q2）=40②∴①②两个式子相除，可得到==2即等比数列的公比q=2，将q=2带入①中可求出a2=4则a1===2∴数列{a n}时首项为2，公比为2的等比数列．∴数列{a n}的前n项和为：S n===2n+1﹣2．故答案为：2，2n+1﹣2．【点评】熟练掌握等比数列的通项公式和等比数列的前n项和公式是解题的关键．11．（5分）如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，若PA=3，PD：DB=9：16，则PD=，AB=4．【分析】由PD：DB=9：16，可设PD=9x，DB=16x．利用切割线定理可得PA2=PD•PB，即可求出x，进而得到PD，PB．AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，利用切线的性质可得AB⊥PA．再利用勾股定理即可得出AB．【解答】解：由PD：DB=9：16，可设PD=9x，DB=16x．∵PA为圆O的切线，∴PA2=PD•PB，∴32=9x•（9x+16x），化为，∴．∴PD=9x=，PB=25x=5．∵AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，∴AB⊥PA．∴==4．故答案分别为，4．【点评】熟练掌握圆的切线的性质、切割线定理、勾股定理是解题的关键．12．（5分）将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是96．【分析】求出5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号的组数，然后分给4人排列即可．【解答】解：5张参观券全部分给4人，分给同一人的2张参观券连号，方法数为：1和2，2和3，3和4，4和5，四种连号，其它号码各为一组，分给4人，共有4×=96种．故答案为：96．【点评】本题考查排列组合以及简单的计数原理的应用，正确分组是解题的关键，考查分析问题解决问题的能力．13．（5分）向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若（λ，μ∈R），则=4．【分析】以向量、的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系，得到向量、、的坐标，结合题中向量等式建立关于λ、μ的方程组，解之得λ=﹣2且μ=﹣，即可得到的值．【解答】解：以向量、的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系可得=（﹣1，1），=（6，2），=（﹣1，﹣3）∵∴，解之得λ=﹣2且μ=﹣因此，==4故答案为：4【点评】本题给出向量用向量、线性表示，求系数λ、μ的比值，着重考查了平面向量的坐标运算法则和平面向量基本定理及其意义等知识，属于基础题．14．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在线段D1E上，点P到直线CC1的距离的最小值为．【分析】如图所示，取B1C1的中点F，连接EF，ED1，利用线面平行的判定即可得到C1C∥平面D1EF，进而得到异面直线D1E与C1C的距离．【解答】解：如图所示，取B1C1的中点F，连接EF，ED1，∴CC1∥EF，又EF⊂平面D1EF，CC1⊄平面D1EF，∴CC1∥平面D1EF．∴直线C1C上任一点到平面D1EF的距离是两条异面直线D1E与CC1的距离．过点C1作C1M⊥D1F，∵平面D1EF⊥平面A1B1C1D1．∴C1M⊥平面D1EF．过点M作MP∥EF交D1E于点P，则MP∥C1C．取C1N=MP，连接PN，则四边形MPNC1是矩形．可得NP⊥平面D1EF，在Rt△D1C1F中，C1M•D1F=D1C1•C1F，得=．∴点P到直线CC1的距离的最小值为．故答案为【点评】熟练掌握通过线面平行的性质即可得到异面直线的距离是解题的关键．三、解答题共6小题，共50分．解答应写出文字说明，演算步骤15．（13分）在△ABC中，a=3，b=2，∠B=2∠A．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求c的值．【分析】（Ⅰ）由条件利用正弦定理和二倍角公式求得cosA的值．（Ⅱ）由条件利用余弦定理，解方程求得c的值，再进行检验，从而得出结论．【解答】解：（Ⅰ）由条件在△ABC中，a=3，，∠B=2∠A，利用正弦定理可得，即=．解得cosA=．（Ⅱ）由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即9=+c2﹣2×2×c×，即c2﹣8c+15=0．解方程求得c=5，或c=3．当c=3时，此时a=c=3，根据∠B=2∠A，可得B=90°，A=C=45°，△ABC是等腰直角三角形，但此时不满足a2+c2=b2，故舍去．当c=5时，求得cosB==，cosA==，∴cos2A=2cos2A﹣1==cosB，∴B=2A，满足条件．综上，c=5．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理，以及二倍角公式的应用，注意把c=3舍去，这是解题的易错点，属于中档题．16．（13分）如图是预测到的某地5月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择5月1日至5月13日中的某一天到达该市，并停留2天（Ⅰ）求此人到达当日空气质量优良的概率；（Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）【分析】（Ⅰ）由图查出13天内空气质量指数小于100的天数，直接利用古典概型概率计算公式得到答案；（Ⅱ）由题意可知X所有可能取值为0，1，2，得出P（X=0），P（X=1），p（x=2）及分布列与数学期望；（Ⅲ）因为方差越大，说明三天的空气质量指数越不稳定，由图直接看出答案．【解答】解：设A i表示事件“此人于5月i日到达该地”（i=1，2， (13)依据题意P（A i）=，A i∩A j=∅（i≠j）（Ⅰ）设B表示事件“此人到达当日空气质量优良”，则P（B）=…（3分）（Ⅱ）X的所有可能取值为0，1，2P（X=0）=，P（X=1）=，P（X=2）=…（6分）∴X的分布列为X012P…（8分）∴X的数学期望为E（X）=…（11分）（Ⅲ）从5月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．…（13分）【点评】本题考查了正确理解题意及识图的能力、古典概型的概率计算、随机变量的分布列及数学期望与方差，考查了数形结合的思想方法及审题与计算的能力．17．（14分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．（Ⅰ）求证：AA1⊥平面ABC；（Ⅱ）求证二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B，并求的值．【分析】（I）利用AA1C1C是正方形，可得AA1⊥AC，再利用面面垂直的性质即可证明；（II）利用勾股定理的逆定理可得AB⊥AC．通过建立空间直角坐标系，利用两个平面的法向量的夹角即可得到二面角；（III）设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得D，利用向量垂直于数量积得关系即可得出．【解答】（I）证明：∵AA1C1C是正方形，∴AA1⊥AC．又∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C=AC，∴AA1⊥平面ABC．（II）解：由AC=4，BC=5，AB=3．∴AC2+AB2=BC2，∴AB⊥AC．建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（0，0，4），B（0，3，0），B1（0，3，4），C1（4，0，4），∴，，．设平面A1BC1的法向量为，平面B1BC1的法向量为=（x2，y2，z2）．则，令y1=4，解得x1=0，z1=3，∴．，令x2=3，解得y2=4，z2=0，∴．===．∴二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值为．（III）设点D的竖坐标为t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得D，∴=，=（0，3，﹣4），∵，∴，∴，解得t=．∴．【点评】本题综合考查了线面垂直的判定与性质定理、面面垂直的性质定理、通过建立空间直角坐标系利用法向量求二面角的方法、向量垂直与数量积得关系等基础知识与基本方法，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．18．（13分）设l为曲线C：y=在点（1，0）处的切线．（Ⅰ）求l的方程；（Ⅱ）证明：除切点（1，0）之外，曲线C在直线l的下方．【分析】（Ⅰ）求出切点处切线斜率，代入代入点斜式方程，可以求解；（Ⅱ）利用导数分析函数的单调性，进而分析出函数图象的形状，可得结论．【解答】解：（Ⅰ）∵∴∴l的斜率k=y′|x=1=1∴l的方程为y=x﹣1证明：（Ⅱ）令f（x）=x（x﹣1）﹣lnx，（x＞0）曲线C在直线l的下方，即f（x）=x（x﹣1）﹣lnx＞0，则f′（x）=2x﹣1﹣=∴f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，又f（1）=0∴x∈（0，1）时，f（x）＞0，即＜x﹣1x∈（1，+∞）时，f（x）＞0，即＜x﹣1即除切点（1，0）之外，曲线C在直线l的下方【点评】本题考查的知识点是导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，是导数的综合应用，难度中档．19．（14分）已知A，B，C是椭圆W：上的三个点，O是坐标原点．（Ⅰ）当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积；（Ⅱ）当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由．【分析】（I）根据B的坐标为（2，0）且AC是OB的垂直平分线，结合椭圆方程算出A、C两点的坐标，从而得到线段AC的长等于．再结合OB的长为2并利用菱形的面积公式，即可算出此时菱形OABC的面积；（II）若四边形OABC为菱形，根据|OA|=|OC|与椭圆的方程联解，算出A、C的横坐标满足=r2﹣1，从而得到A、C的横坐标相等或互为相反数．再分两种情况加以讨论，即可得到当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能为菱形．【解答】解：（I）∵四边形OABC为菱形，B是椭圆的右顶点（2，0）∴直线AC是BO的垂直平分线，可得AC方程为x=1设A（1，t），得，解之得t=（舍负）∴A的坐标为（1，），同理可得C的坐标为（1，﹣）因此，|AC|=，可得菱形OABC的面积为S=|AC|•|BO|=；（II）∵四边形OABC为菱形，∴|OA|=|OC|，设|OA|=|OC|=r（r＞1），得A、C两点是圆x2+y2=r2与椭圆的公共点，解之得=r2﹣1设A、C两点横坐标分别为x1、x2，可得A、C两点的横坐标满足x1=x2=•，或x1=•且x2=﹣•，①当x1=x2=•时，可得若四边形OABC为菱形，则B点必定是右顶点（2，0）；②若x1=•且x2=﹣•，则x1+x2=0，可得AC的中点必定是原点O，因此A、O、C共线，可得不存在满足条件的菱形OABC综上所述，可得当点B不是W的顶点时，四边形OABC不可能为菱形．【点评】本题给出椭圆方程，探讨了以坐标原点O为一个顶点，其它三个顶点在椭圆上的菱形问题，着重考查了菱形的性质、椭圆的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．20．（13分）已知{a n}是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为A n，第n项之后各项a n+1，a n+2…的最小值记为B n，d n=A n﹣B n．（Ⅰ）若{a n}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列（即对任意n∈N*，a n+4=a n），写出d1，d2，d3，d4的值；（Ⅱ）设d是非负整数，证明：d n=﹣d（n=1，2，3…）的充分必要条件为{a n}是公差为d的等差数列；（Ⅲ）证明：若a1=2，d n=1（n=1，2，3，…），则{a n}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．【分析】（Ⅰ）根据条件以及d n=A n﹣B n 的定义，直接求得d1，d2，d3，d4的值．（Ⅱ）设d是非负整数，若{a n}是公差为d的等差数列，则a n=a1+（n﹣1）d，从而证得d n=A n﹣B n=﹣d，（n=1，2，3，4…）．若d n=A n﹣B n=﹣d，（n=1，2，3，4…）．可得{a n}是一个不减的数列，求得d n=A n﹣B n=﹣d，即a n+1﹣a n=d，即{a n}是公差为d的等差数列，命题得证．（Ⅲ）若a1=2，d n=1（n=1，2，3，…），则{a n}的项不能等于零，再用反证法得到{a n}的项不能超过2，从而证得命题．【解答】解：（Ⅰ）若{a n}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列，∴d1=A1﹣B1=2﹣1=1，d2=A2﹣B2=2﹣1=1，d3=A3﹣B3=4﹣1=3，d4=A4﹣B4=4﹣1=3．（Ⅱ）充分性：设d是非负整数，若{a n}是公差为d的等差数列，则a n=a1+（n ﹣1）d，∴A n=a n=a1+（n﹣1）d，B n=a n+1=a1+nd，∴d n=A n﹣B n=﹣d，（n=1，2，3，4…）．必要性：若d n=A n﹣B n=﹣d，（n=1，2，3，4…）．假设a k是第一个使a k﹣a k﹣1＜0的项，则d k=A k﹣B k=a k﹣1﹣B k≥a k﹣1﹣a k＞0，这与d n=﹣d≤0相矛盾，故{a n}是一个不减的数列．∴d n=A n﹣B n=a n﹣a n+1=﹣d，即a n+1﹣a n=d，故{a n}是公差为d的等差数列．（Ⅲ）证明：若a1=2，d n=1（n=1，2，3，…），首先，{a n}的项不能等于零，否则d1=2﹣0=2，矛盾．而且还能得到{a n}的项不能超过2，用反证法证明如下：假设{a n}的项中，有超过2的，设a m是第一个大于2的项，由于{a n}的项中一定有1，否则与d1=1矛盾．当n≥m时，a n≥2，否则与d m=1矛盾．因此，存在最大的i在2到m﹣1之间，使a i=1，此时，d i=A i﹣B i=2﹣B i≤2﹣2=0，矛盾．综上，{a n}的项不能超过2，故{a n}的项只能是1或者2．下面用反证法证明{a n}的项中，有无穷多项为1．若a k是最后一个1，则a k是后边的各项的最小值都等于2，故d k=A k﹣B k=2﹣2=0，矛盾，故{a n}的项中，有无穷多项为1．综上可得，{a n}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．【点评】本题主要考查充分条件、必要条件的判断和证明，等差关系的确定，用反证法和放缩法证明数学命题，属于中档题．。