【免费下载】指数式与对数式的互化 练习题难题
指数式与对数式的互化 练习题【难题】-推荐下载
指数式与对数式的互化（三）1．若log x=z，则（ ）A．y7=x z B．y=x7z C．y=7•x z D．x=z7y【考点】指数式与对数式的互化．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】先把对数化为指数，再两边乘方，即可得出结论．【解答】解：∵log x=z，∴x z=，两边7次方，得x7z=y，即y=x7z．故选：B．【点评】本题考查了把对数化为指数的运算问题，是基础题目．2．（2014•渝中区校级三模）已知实数a、b满足等式2a=3b，下列五个关系式：①0＜b＜a②a＜b＜0③0＜a＜b④b＜a＜0⑤a=b=0，其中有可能成立的关系式有（ ）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】指数式与对数式的互化．【专题】函数的性质及应用．【分析】画出指数函数y=2x，y=3x，的图象，利用单调性即可得出．【解答】解：如图所示：画出函数y=2x，y=3x，的图象．由图象可知：（1）当x＞0时，若2a=3b，则a＞b；（2）当x=0时，若2a=3b，则a=b=0；（3）当x＜0时，若2a=3b，则a＜b．综上可知：有可能成立的关系式是①②⑤．故选C．【点评】熟练画出指数函数的图象并掌握其单调性是解题的关键．3．（2013春•浦东新区期中）将a2b=N（a＞0，a≠1）转化为对数形式，其中错误的是（ ）A．B．C．D．【考点】指数式与对数式的互化．【专题】规律型．【分析】根据指数式和对数式之间的关系，以及对数的运算法则分别进行判断．【解答】解：根据指数式和对数式之间的关系可得，若a2b=N，则2b=log a N，即，∴A正确．若a2b=N，则（a2）b=N，则，∴B正确．若a2b=N，则（a b）2=N，则，∴C正确．∴D错误．故选D．【点评】本题主要考查指数式和对数式之间互化，要牢记转化公式：a b=N⇔b=loga N． 4．（2013秋•金台区期中）一种放射性元素，每年的衰减率是8%，那么a千克的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）t等于（ ）A．lg B．lg C．D．【考点】指数式与对数式的互化；指数函数的实际应用．【专题】计算题．【分析】设这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）t，可以得出一个方程，得两边取对数，再用换底公式变形，求出t；【解答】解：a千克的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）为t，a（1﹣8%）t=，两边取对数，lg0.92t=lg0.5，即tlg0.92=lg0.5，∴t=故选C；【点评】本题以实际问题为载体，考查指数函数模型的构建，考查解指数方程，属于基础题．5．（2014秋•大兴区期中）已知，则有（ ）A．a2b=cB．a2c=bC．b c=2a D．c2a=b【考点】指数式与对数式的互化．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用指数式与对数式的互化即可得出．【解答】解：∵，∴（a2）c=b，∴a2c=b．故选B．【点评】本题考查了指数式与对数式的互化，属于基础题．6．（2013秋•武侯区校级期末）若a=b2（b＞0且b≠1）则有（ ）A．log2a=b B．log2b=a C．log b a=2D．log a b=2【考点】指数式与对数式的互化．【专题】转化思想．【分析】由a=b2（b＞0且b≠1）⇔log b a=2，可知正确答案．【解答】解：∵a=b2（b＞0且b≠1），∴log b a=2．故选C．【点评】本题考查指数式与对数式的相互转化，比较简单，解题时要细心计算．。
指数式与对数式的互化练习题含答案
指数式与对数式的互化练习题含答案学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________1. 已知2x=3y=m，且1x +1y=2，则m的值为( )A.√2B.√6C.√22D.62. 已知实数a，b满足2a=3，3b=2，则f(x)=a x+x−b的零点所在的区间是()A.(−2, −1)B.(−1, 0)C.(0, 1)D.(1, 2)3. 设＝5b＝m，且-＝2，则m＝（）A. B.10 C. D.4. 设log45＝2m，则4m＝（）A. B.25 C. D.5. 已知2m＝3n＝6，则等于（）A.−1B.2C.3D.16. 若2a=5b=z c，且1a +1b=1c，则z的值可能为( )A.√7B.√10C.7D.107. 已知函数f(x)=x−ae x，且e a=ln b=c，则( )A.f(a)<f(b)<f(c)B.f(b)<f(c)<f(a)C.f(a)<f(c)<f(b)D.f(c)<f(b)<f(a)8. 已知4x =3y =m ，且1x +2y =2，则m =( )A.2B.4C.6D.99. 设2a =34，则(a +2)log 274=（ ） A.2B.1C.23D.13 10. 当生物体死亡后，它机体内的碳14含量会按确定的比率衰减，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．2021年3月23日四川省文物考古研究院联合北京大学对三星堆新发现K4坑的部分炭屑样品使用碳14年代检测方法进行了分析，发现碳14含量衰减为原来的67.90%，则该遗址距今约( )年．（参考数据：log 20.6790=−0.5585）A.3000B.3100C.3200D.330011. 已知2a =3b =k(k ≠1)，且2a +b =ab ，则实数k 的值为（ ）A.6B.9C.12D.1812. 若x log 32＝1，则4x −2−x ＝________．13. 若102x ＝25，则实数x 的值是________．14. 若3m ＝2n ＝6，则＝________．15. 若a =log 23，则2a +2−a =________．16. 已知2x =52y =M ，且1x +1y =2，则M 的值为________.17. 若3m =4n (m,n ≠0)，则log 43=________．（用m ，n 表示）18. 设2x =3y =72，则3x +2y =________.19. 若实数a ，b ，c 满足2a +2b =2a+b ，2a +2b +2c =2a+b+c ，则c 的最大值是________．20. 计算下列各式：(1)(−2018)0+1.5−2×(338)23−0.01−0.5+log 12√324；(2)log 2.56.25+lg 1100+ln √e +21+log 23.21. 计算:(1)√614−(π−1)0−(278)13;(2)lg 4+lg 25−log 28.22.(1)化简√(a 52b 2√ab −1)23√a 4b 2（a ，b >0）；(2)计算(8116)−14+14⋅log √23⋅log 34−log 50.01+2log 512−e 0+7log 713． 23. 已知3a =5b =c ，且1a +1b =2 ，求c 的值.24. 已知函数f(x)＝4x −a2x +b ，当x ＝1时，f(x)有最小值−1；（1）求a ，b 的值；（2）求满足f(x)≤0的x 的集合A ．25. 设0<a <1，且log a x +3log x a −log x y =3，（1）设x =a t (t ≠0)，以a ，t 表示y ；（2）若y的最大值为√2，求a，x．426. 某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲（其覆盖面积为k），这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲的覆盖面积为24m2，三月底测得凤眼莲的覆盖面积为36m2，凤眼莲的覆盖面积y（单位：m2）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型y=ka x(k>0,a>1)与y=px12+k(p>0,k>0)可供选择．(1)试判断哪个函数模型更适合并求出该模型的解析式；(2)求凤眼莲的覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份（参考数据：lg2≈0..3010，lg3≈0.4711）.参考答案与试题解析指数式与对数式的互化练习题含答案一、选择题（本题共计 11 小题，每题 3 分，共计33分）1.【答案】B【考点】指数式与对数式的互化对数及其运算【解析】2x=3y=m>0，可得x=log2m，y=log3m．代入利用对数的运算法则即可得出．【解答】解：∵2x=3y=m>0，∴x=log2m，y=log3m．∴2=1x +1y=1log2m+1log3m=logm 2+logm3=logm 6，∴m2=6，解得m=√6．故选B．2.【答案】B【考点】函数的零点指数式与对数式的互化【解析】根据对数，指数的转化得出f(x)=(log23)x+x−log32单调递增，根据函数的零点判定定理得出f(0)=1−log32>0，f(−1)=log32−1−log32=−1<0，判定即可．【解答】解：∵实数a，b满足2a=3，3b=2，∴a=log23>1，0<b=log32<1，∵函数f(x)=a x+x−b，∴f(x)=(log23)x+x−log32单调递增，∵f(0)=1−log32>0,f(−1)=log32−1−log32=−1<0，∴根据函数的零点判定定理得出:函数f(x)=a x+x−b的零点所在的区间是(−1, 0). 故选B．3.【答案】D【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值指数式与对数式的互化【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】D【考点】指数式与对数式的互化【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答5.【答案】D【考点】指数式与对数式的互化【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答6.【答案】D【考点】对数的运算性质指数式与对数式的互化【解析】设2a=5b=z c=m，得a=log2m，b=log5m，c=log z m，则log m2+log m5= log m z，根据对数的运算即可得解.【解答】解：设2a=5b=z c=m，得a=log2m，b=log5m，c=logzm，因为1a +1b=1c，所以1log2m +1log5m=1log z m，所以logm 2+logm5=logmz，所以logm 10=logmz，所以z=10. 故选D.7.A【考点】指数式、对数式的综合比较指数式与对数式的互化利用导数研究函数的单调性【解析】先利用导数研究函数的单调性可得f(x)在(1+a,+∞)上单调递减，再结合a，b，c的大小关系可得答案【解答】解：f′(x)=e x−e x(x−a)e2x =1+a−xe x，当x>1+a时，f′(x)<0，所以f(x)在(1+a,+∞)上单调递减，且当x>1+a时，f(x)恒大于0，由e a=ln b=c，可知b>0，c>0，设ℎ(x)=e x−x−1，当x>0时，则ℎ′(x)=e x−1≥0，所以当x>0时，e x≥x+1，所以c=e a≥a+1, b=e c≥c+1≥a+2，所以b>c≥a+1，所以0<f(b)<f(c)，又f(a)=0，所以f(a)<f(b)<f(c).故选A.8.【答案】C【考点】指数式与对数式的互化对数与对数运算【解析】应用指数和对数运算关系，得到x=log4m,y=log3m，即可建立关于m的方程，进而求出的值.【解答】解：∵4x=3y=m，∴x=log4m，y=log3m，∴1x =logm4，1y=logm3，∴1x +2y=logm4+2logm3=logm36=2,∴m=6. 故选C. 9.【答案】C指数式与对数式的互化对数的运算性质【解析】此题暂无解析【解答】解：由2a=34，得a=log234，所以(a+2)log274=(log234+2)log274=(log234+log24)log274=log23×log274=lg3lg2×2lg23lg3=23．故选C．10.【答案】C【考点】根据实际问题选择函数类型指数式与对数式的互化【解析】无【解答】解：设生物体死亡后，碳14每年衰减为原来的p，依题意，有(1−p)5730=12，1−p=2−15730；设距今约t年，碳14衰减为原来的(1−p)t=2−t5730=67.90%，结合参考数据：−t5730=log20.6790=−0.5585，可得t≈3200．故选C．11.【答案】D【考点】对数的运算性质指数式与对数式的互化【解析】由2a=3b=k(k≠1)，知a=log2k，b=log3k，故1a =logk2，1b=logk3，由2a+b=ab，知2b +1a=2logk3+logk2=logk18=1，由此能求出k．【解答】解：∵2a=3b=k(k≠1)，∴a=log2k，b=log3k，∴1a =logk2，1b=logk3，∵2a+b=ab，∴2b +1a=2logk3+logk2=logk 9+logk2=logk 18=1，∴k=18．故选D．二、填空题（本题共计 8 小题，每题 3 分，共计24分）12.【答案】263【考点】指数式与对数式的互化【解析】先求出2x＝3，即可求出答案．【解答】x log32＝1，则log32x＝1，∴2x＝3，∴2−x=13，∴4x−2−x＝9−13=263，13.【答案】lg5【考点】指数式与对数式的互化【解析】根据102x＝25即可得出2x＝lg25，然后即可求出x的值．【解答】∵102x＝25，∴2x＝lg25，∴4x＝2lg5，x＝lg2．14.【答案】1【考点】指数式与对数式的互化【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答15.【答案】103【考点】指数式与对数式的互化【解析】根据对数函数的恒等式，求出2a的值，再计算2a+2−a的值．【解答】解：∵a=log23，∴2a=2log23=3，∴2a+2−a=2a+12a=3+1 3=103．故答案为：103．16.【答案】5√2【考点】对数及其运算指数式与对数式的互化【解析】先求出x=log2M,y=log5M2，再根据1x+1y=2求得logM50=2，即可得出答案【解答】解：因为2x=52y=M>0，所以x=log2M,2y=log5M，所以y=log5M2，所以1x +1y=logM2+2logM5=logM2+logM25=logM50=2，所以M2=50，解得M=5√2或−5√2（舍去），所以M=5√2.故答案为：5√2.17.【答案】nm【考点】指数式与对数式的互化换底公式的应用【解析】暂无【解答】解：设3m=4n=a(m,n≠0)，则m=log3a，n=log4a，故log43=log a3log a4=1log3a1log4a=log4alog3a=nm．故答案为：nm．18.【答案】1【考点】指数式与对数式的互化对数的运算性质【解析】无【解答】解：由2x=3y=72，得x=log272，y=log372，即1x =log722，1y=log723.∴3x +2y=3log722+2log723=log729+log728=log7272=1．故答案为：1.19.【答案】2−log23【考点】基本不等式在最值问题中的应用不等式比较两数大小指数式与对数式的互化【解析】由基本不等式得2a+2b≥2√2a2b=2×2a+b2，可求出2a+b的范围，再由2a+2b+2c=2a+b+c=2a+b2c=2a+b+2c，2c可用2a+b表达，利用不等式的性质求范围即可．【解答】解：由基本不等式得2a+2b≥2√2a2b=2×2a+b2，即2a+b≥2√2a2b=2×2a+b2，则a+b≥2，所以2a+b≥4，令t=2a+b，由2a+2b+2c=2a+b+c可得2a+b+2c=2a+b2c，所以2c=tt−1=1+1t−1.因为t≥4，所以1<tt−1≤43，即1<2c≤43，所以0<c≤log243=2−log23.故答案为：2−log23.三、解答题（本题共计 7 小题，每题 10 分，共计70分）20.【答案】解：(1)原式=1+(32)−2×(278)23−(1100)−12+log12254=1+(32)−2×(32)2−10−54=1+1−10−54=−374.(2)log2.56.25+lg1100+ln√e+21+log23=log2.52.52+lg10−2+ln e12+2×2log23=2−2+12+6=13 2.【考点】有理数指数幂的运算性质及化简求值对数与对数运算指数式与对数式的互化对数及其运算有理数指数幂的化简求值【解析】此题暂无解析【解答】1121.【答案】解：(1)原式=√254−1−√2783,=52−1−32,=1−1=0.(2)原式=lg (4×25)−log 223,=lg100−3,=2−3=−1.【考点】有理数指数幂的化简求值指数式与对数式的互化对数及其运算根式与分数指数幂的互化及其化简运算【解析】把分数次幂化为根式得形式，求解.利用对数的和等于积的对数，乘方的对数运算法则解题.【解答】解：(1)原式=√254−1−√2783,=52−1−32,=1−1=0.(2)原式=lg (4×25)−log 223,=lg100−3,=2−3=−1.22.【答案】解：(1)原式=√a 5b 4⋅ab −13a 2b =a 2b a 2b=1．(2)原式=(3424)−14+14⋅4log 23⋅log 32+log 5(100×14)−1+13 =23+1+2−1+13=3．【考点】根式与分数指数幂的互化及其化简运算指数式与对数式的互化【解析】【解答】解：(1)原式=√a 5b 4⋅ab −13a 2b=a2b a2b=1．(2)原式=(3424)−14+14⋅4log23⋅log32+log5(100×14)−1+13=23+1+2−1+13=3．23.【答案】解：由于3a=c，两边取对数得，log c3a=log c c=1，即a logc3=1，∴logc 3=1a；同理可得1b =logc5，∴由1a +1b=2，得logc3+logc5=2，∴logc 15=2，∴c2=15，∵c>0，∴c=√15.【考点】对数的运算性质指数式与对数式的互化【解析】此题暂无解析【解答】解：由于3a=c，两边取对数得，log c3a=log c c=1，即a logc3=1，∴logc 3=1a；同理可得1b =logc5，∴由1a +1b=2，得logc3+logc5=2，∴logc 15=2，∴c2=15，∵c>0，∴c=√15.24.【答案】f(x)=4x−a2x+b=(2x−a2)2+b−a24换元t =2x ∴ y =(t −a 2)2+b −a 24,t ∈(0,+∞)∵ 当x ＝1时，t ＝2∈(0, +∞)，f(x)有最小值−1∴ a 2=2,b −a 24=−1∴ a =4,b =3f(x)＝4x −4×2x +3≤0⇔(2x −3)(2x −1)≤0∴ 1≤2x ≤3∴ 0≤x ≤log 23∴ 集合A ＝{x|0≤x ≤log 23}【考点】二次函数的图象指数型复合函数的性质及应用指数式与对数式的互化二次函数的性质【解析】（1）考虑换元t =2x ∴ y =(t −a 2)2+b −a 24,t ∈(0,+∞)，由题意可得当x ＝1时，即t ＝2∈(0, +∞)，函数有最小值−1，结合二次函数的性质代入可求（2）由f(x)≤0(2可得∴ 1≤2x ≤3，解不等式可求集合A【解答】f(x)=4x −a2x +b =(2x−a 2)2+b −a 24 换元t =2x ∴ y =(t −a 2)2+b −a 24,t ∈(0,+∞)∵ 当x ＝1时，t ＝2∈(0, +∞)，f(x)有最小值−1∴ a 2=2,b −a 24=−1∴ a =4,b =3f(x)＝4x −4×2x +3≤0⇔(2x −3)(2x −1)≤0∴ 1≤2x ≤3∴ 0≤x ≤log 23∴ 集合A ＝{x|0≤x ≤log 23}25.【答案】解：（1）已知 log a x +3log x a −log x y =3即log a x +3log x a −3=log x y利用换底公式有：log a x +3log x a −3=log a y log a x则(log a x )2−3log a x +3=log a y ．设x =a t ，则：t =log a x ．即：t 2−3t +3=log a y ， ∴ y =a t 2−3t+3．（2）∵ y =f(x)有最大值√24，且0<a <1，∴ log a y 有最小值log a√24 当log a x =32时，log a √24=34∴ a =14 此时log 14x =32∴ x =18， 即a =14，x =18为所求 【考点】指数式与对数式的互化对数的运算性质【解析】（1）若设x =a t ，试用a 、t 表示y ．首先对等式log a x +3log x a −log x y =3利用换底公式化简为(log a x )2−3log a x +3=log a y ，然后把x =a t 代入化简即可．（2）先根据（1）所解得的函数y =a t2−3t+3，然后利用二次函数的性质求如果y 有最大值√24时a 和x 的值【解答】解：（1）已知 log a x +3log x a −log x y =3即log a x +3log x a −3=log x y利用换底公式有：log a x +3log x a −3=log a y log a x则(log a x )2−3log a x +3=log a y ．设x =a t ，则：t =log a x ．即：t 2−3t +3=log a y ， ∴ y =a t 2−3t+3．（2）∵ y =f(x)有最大值√24，且0<a <1，∴ log a y 有最小值log a√24 当log a x =32时，log a√24=34 ∴ a =14此时log 14x =32∴ x =18， 即a =14，x =18为所求26.【答案】解：(1)由题意可知，函数y =ka x (k >0, a >1)和函数y =px 12+k (p >0,k >0)在(0, +∞)上都是增函数，随着x 的增加，函数y =ka x (k >0, a >1)的值增加的越来越快，但函数y =px 12+k (p >0,k >0)的值增加的越来越慢．由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，所以函数模型y =ka x (k >0, a >1)符合要求．由题意可知，x =2时，y =24；x =3时，y =36，所以{ka 2=24,ka 3=36,解得{k =323,a =32.故该函数模型的解析式是y =323⋅(32)x ，x ∈N ∗． (2)由(1)可知，y =323⋅(32)x ，x ∈N ∗， 则当x =0时，y =323⋅(32)0=323， 所以元旦放入凤眼莲面积是323m 2.由题意，得323⋅(32)x >10×323， 即(32)x >10，解得x >log 3210=lg 10lg 32=1lg 3−lg 2，又1lg 3−lg 2=10.4711−0.3010≈5.9，所以x ≥6.故凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是6月份．【考点】函数模型的选择与应用指数函数的实际应用指数式与对数式的互化【解析】(Ⅰ)判断两个函数y ＝ka x (k >0, a >1)，y =px 12+q(p >0)在(0, +∞)的单调性，说明函数模型y ＝ka x (k >0, a >1)适合要求．然后列出方程组，求解即可． (Ⅱ)利用 x ＝0时，y =323⋅(32)0=323，元旦放入凤眼莲面积是323m 2，列出不等式转化求解即可．【解答】解：(1)由题意可知，函数y =ka x (k >0, a >1)和函数y =px 12+k (p >0,k >0)在(0, +∞)上都是增函数，随着x 的增加，函数y =ka x (k >0, a >1)的值增加的越来越快，但函数y =px 12+k (p >0,k >0)的值增加的越来越慢．由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，所以函数模型y =ka x (k >0, a >1)符合要求．由题意可知，x =2时，y =24；x =3时，y =36，所以{ka 2=24,ka 3=36,解得{k =323,a =32. 故该函数模型的解析式是y =323⋅(32)x ，x ∈N ∗． (2)由(1)可知，y =323⋅(32)x ，x ∈N ∗， 则当x =0时，y =323⋅(32)0=323， 所以元旦放入凤眼莲面积是323m 2.由题意，得323⋅(32)x >10×323， 即(32)x >10，解得x >log 3210=lg 10lg 32=1lg 3−lg 2，又1lg 3−lg 2=10.4711−0.3010≈5.9，所以x ≥6.故凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是6月份．。
指数与对数运算单元测试题(经典全面,一套涵盖)
指数与对数运算单元测试题(经典全面,一
套涵盖)
本文档为指数与对数运算的单元测试题，旨在全面覆盖该主题的经典问题。
下面是一套经过精心设计的测试题，希望对您的研究和理解有所帮助。
第一部分：指数运算
1. 计算 $2^4$ 的值。
2. 将 $8^{\frac{1}{3}}$ 表达为根式。
3. 解方程 $5^x = 125$，并给出结果。
第二部分：对数运算
4. 计算 $\log_{10} 100$ 的值。
5. 将 $\log_2 16$ 表达为指数形式。
6. 解方程 $\log_3 x = 2$，并给出结果。
第三部分：指数与对数运算的性质
7. 对于任意正数 a 和 b，证明 $\log_a b = \frac{\log_c a}{\log_c b}$。
8. 证明 $a^{\log_a b} = b$。
9. 对于任意正数 a、b 和 c，证明 $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$。
第四部分：指数和对数问题的应用
10. 某种细菌每20分钟翻倍，开始时有100个细菌。
经过多少
分钟后，细菌数量将达到1000个？
11. 若投资本金元，年利率为5%，按复利计算，多少年后本金
将增长到元？
12. 若某物品每年贬值20%，初始价值为元，多少年后其价值
将降至5000元以下？
以上是本套指数与对数运算单元测试题的全部内容。
请按照题
目要求逐个回答，并给出详细解答和计算过程。
祝您顺利完成测试！。
指数函数与对数函数的应用练习题
指数函数与对数函数的应用练习题1. 求解以下指数方程：a) $2^x = 16$解法：首先将指数方程转化为指数的等式形式：$2^x = 16$ 可以表示为 $2^x = 2^4$由指数函数的性质，$a^m = a^n$ 则 $m = n$，因此我们可以得到： $x = 4$所以方程的解为 $x = 4$。
b) $5^{2x-1} = 25$解法：同样地，我们将指数方程转化为指数的等式形式：$5^{2x-1} = 5^2$由指数函数的性质，$a^m = a^n$ 则 $m = n$，因此我们可以得到： $2x-1 = 2$解方程得到：$2x = 3$$x = \frac{3}{2}$所以方程的解为 $x = \frac{3}{2}$。
2. 求解以下对数方程：a) $\log_2(x+4) = 3$解法：首先将对数方程转化为指数的等式形式：$\log_2(x+4) = 3$ 可以表示为 $2^3 = x+4$解方程得到：$8 = x+4$$x = 4$所以方程的解为 $x = 4$。
b) $e^{2\ln(x)} = 1$解法：同样地，我们将对数方程转化为指数的等式形式：$e^{2\ln(x)} = 1$由对数函数的性质，$\log_a(b^m) = m\log_a(b)$，其中 $a$ 为底数，$b$ 为真数，$m$ 为指数。
我们可以得到：$2\ln(x) = \ln(1)$$2\ln(x) = 0$解方程得到：$\ln(x) = 0$$x = e^0$$x = 1$所以方程的解为 $x = 1$。
3. 求以下指数函数的定义域和值域：a) $f(x) = 2^x$解法：对于指数函数 $f(x) = a^x$，定义域为全体实数集 $\mathbb{R}$。
当 $a > 1$ 时，值域为 $(0, +\infty)$，即正实数集；当 $a < 1$ 时，值域为 $(0, 1)$。
所以 $f(x) = 2^x$ 的定义域为 $\mathbb{R}$，值域为 $(0, +\infty)$。
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指数与对数运算1．的大小关系是（ ）0.90.7 1.1log 0.8,log 0.9, 1.1a b c ===A ． B ． C ． D ．c a b >>a b c >>b c a >>c b a>>【答案】A【解析】因为，，，所以，故选A ．0.70log 0.81a <=< 1.1log 0.90b =<0.91.11c =>c a b >>2．三个数20.60.6,ln 0.6,2a b c ===之间的大小关系是（ ）A ．b c a <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．ac b <<【答案】C【解析】，故选C ．20.600.61,ln 0.60,21c a b <<<>∴>>3．设0.012log 3,lna b c ===，则（ ）A ．c a b << B ．a b c << C ．a c b << D ．b a c<<【答案】A【解析】先和0比较，0.0122log log 10,30,ln10a b c =>==>=<= 得到c 最小；再与1比较0.01022log log 21,33a b =<==>，得到b 最大．故选A ．4．若4log 3a =，则22a a -+= ． 【答案】334【解析】，3log 213log 24==a 3log 2=33431322=+=+-a a 5．已知，那么等于（ ）0)](log [log log 237=x 21-xA ．B ．C ．D ．31633342【答案】D 【解析】根据，可得，即，解得，所以0)](log [log log 237=x ()32log log 1x=2log 3x =328x ==，故选择D 11228x --==6．若且则 ， ．1,1,a b >>lg()lg lg ,a b a b +=+11a b +=lg(1)lg(1)a b -+-=【答案】1,0【解析】得lg()lg lg ,a b a b +=+,111a b ab a b+=∴+=lg(1)lg(1)a b -+-=lg(1)(1)lg(1)lg10a b ab a b --=--+==7． 已知是方程01422=+-x x 的两个根，则2(lg ba 的值是 ．lg ,lg ab 【答案】2【解析】由是方程01422=+-x x 的两个根可得：，，lg ,lg a b lg lg 2a b +=1lg lg 2a b ⋅=所以2)(lg ba ()()22lg lg lg lg 4lg lg 2ab a b a b =-=+-⋅=8．解方程：122log (44)log (23)x x x ++=+-【答案】．2x =【解析】解方程则：则：122log (44)log [2(23)]x x x ++=-1442(23)x x x ++=-43240x x -⋅-=则：或（舍）∴．经检验满足方程．24x =21x =-2x =2x =9．解方程（1） （2）231981-=x x 444log (3)log (21)log (3)-=+++x x x 【答案】（1）或；（2）2=x 1=x 0x =【解析】（1） 解得，或2322299,32,320--=∴-=--+=x x x x x x 2=x 1=x （2）440.25log (3)log (21)log (3)x x x -=+++44log (3)log (21)(3)3(21)(3)x x x x x x -=++∴-=++得或，经检验为所求．4=-x 0x =0x =10．计算下列各式的值（1） （2）210321(0.1)2()4--++3log lg 25lg 4+【答案】（1）5（2）72【解析】（1）210321(0.1)2()4--++5221=++=（2）3log lg 25lg 4++27223=+=11．化简求值：（1）；313373329a a a a ⋅÷--（2）；22)2(lg 20lg 5lg 8lg 325lg +++（3）．13063470.001(168--++【答案】（1）1；（2）3；（3）89．【解析】（1）因为有意义，所以，所以原式3-a0>a =。
带标准答案对数与对数函数经典例题
经典例题透析类型一、指数式与对数式互化及其应用1．将下列指数式与对数式互化：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).思路点拨：运用对数的定义进行互化.解：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).总结升华：对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段.举一反三：【变式1】求下列各式中x的值：(1)(2)(3)lg100=x (4)思路点拨：将对数式化为指数式，再利用指数幂的运算性质求出x.解：(1)；(2)；(3)10x=100=102，于是x=2；(4)由.类型二、利用对数恒等式化简求值2．求值：解：.总结升华：对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数.举一反三：【变式1】求的值(a，b，c∈R+，且不等于1，N>0)思路点拨：将幂指数中的乘积关系转化为幂的幂，再进行运算.解：.类型三、积、商、幂的对数3．已知lg2=a，lg3=b，用a、b表示下列各式.(1)lg9 (2)lg64 (3)lg6 (4)lg12 (5)lg5 (6) lg15解：(1)原式=lg32=2lg3=2b(2)原式=lg26=6lg2=6a(3)原式=lg2+lg3=a+b(4)原式=lg22+lg3=2a+b(5)原式=1-lg2=1-a(6)原式=lg3+lg5=lg3+1-lg2=1+b-a举一反三：【变式1】求值(1)(2)lg2·lg50+(lg5)2 (3)lg25+lg2·lg50+(lg2)2解：(1)(2)原式=lg2(1+lg5)+(lg5)2=lg2+lg2lg5+(lg5)2=lg2+lg5(lg2+lg5)=lg2+lg5=1(3)原式=2lg5+lg2(1+lg5)+(lg2)2=2lg5+lg2+lg2lg5+(lg2)2=1+lg5+lg2(lg5+lg2)=1+lg5+lg2=2.【变式2】已知3a=5b=c，，求c的值.解：由3a=c得：同理可得.【变式3】设a、b、c为正数，且满足a2+b2=c2.求证：.证明：.【变式4】已知：a2+b2=7ab，a>0，b>0. 求证：.证明：∵a2+b2=7ab，∴a2+2ab+b2=9ab，即(a+b)2=9ab，∴lg(a+b)2=lg(9ab)，∵a>0，b>0，∴2lg(a+b)=lg9+lga+lgb ∴2[lg(a+b)-lg3]=lga+lgb即.类型四、换底公式的运用4．(1)已知log x y=a，用a表示；(2)已知log a x=m，log b x=n，log c x=p，求log abc x.解：(1)原式=；(2)思路点拨：将条件和结论中的底化为同底.方法一：a m=x，b n=x，c p=x∴，∴；方法二：.举一反三：【变式1】求值：(1)；(2)；(3).解：(1)(2)；(3)法一：法二：.总结升华：运用换底公式时，理论上换成以大于0不为1任意数为底均可，但具体到每一个题，一般以题中某个对数的底为标准，或都换成以10为底的常用对数也可.类型五、对数运算法则的应用5．求值(1) log89·log2732(2)(3)(4)(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)解：(1)原式=.(2)原式=(3)原式=(4)原式=(log2125+log425+log85)(log1258+log254+log52)举一反三：【变式1】求值：解：另解：设=m (m>0).∴，∴，∴，∴lg2=lgm，∴2=m，即.【变式2】已知：log23=a，log37=b，求：log4256=?解：∵∴，类型六、函数的定义域、值域求含有对数函数的复合函数的定义域、值域，其方法与一般函数的定义域、值域的求法类似，但要注意对数函数本身的性质（如定义域、值域及单调性）在解题中的重要作用.6. 求下列函数的定义域：(1)；(2).思路点拨：由对数函数的定义知：x2>0，4-x>0，解出不等式就可求出定义域.解：(1)因为x2>0，即x≠0，所以函数；(2)因为4-x>0，即x<4，所以函数.举一反三：【变式1】求下列函数的定义域.(1) y=(2) y=ln(a x-k·2x)(a>0且a¹1，kÎR).解：(1)因为，所以，所以函数的定义域为(1，)(，2).(2)因为a x-k·2x>0，所以()x>k.[1]当k≤0时，定义域为R；[2]当k>0时，(i)若a>2，则函数定义域为(k，+∞)；(ii)若0<a<2，且a≠1，则函数定义域为(-∞，k)；(iii)若a=2，则当0<k<1时，函数定义域为R；当k≥1时，此时不能构成函数，否则定义域为.【变式2】函数y=f(2x)的定义域为[-1，1]，求y=f(log2x)的定义域.思路点拨：由-1≤x≤1，可得y=f(x)的定义域为[，2]，再由≤log2x≤2得y=f(log2x)的定义域为[，4]. 类型七、函数图象问题7．作出下列函数的图象：(1) y=lgx，y=lg(-x)，y=-lgx；(2) y=lg|x|；(3) y=-1+lgx.解：(1)如图(1)；(2)如图(2)；(3)如图(3).类型八、对数函数的单调性及其应用利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.8. 比较下列各组数中的两个值大小：(1)log23.4，log28.5(2)log0.31.8，log0.32.7(3)log a5.1，log a5.9(a>0且a≠1)思路点拨：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成.(1)解法1：画出对数函数y=log2x的图象，横坐标为3.4的点在横坐标为8.5的点的下方，所以，log23.4<log28.5；解法2：由函数y=log2x在R+上是单调增函数，且3.4<8.5，所以log23.4<log28.5；解法3：直接用计算器计算得：log23.4≈1.8，log28.5≈3.1，所以log23.4<log28.5；(2)与第(1)小题类似，log0.3x在R+上是单调减函数，且1.8<2.7，所以log0.31.8>log0.32.7；(3)注：底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性判断大小.解法1：当a>1时，y=log a x在(0，+∞)上是增函数，且5.1<5.9，所以，log a5.1<log a5.9当0<a<1时，y=log a x在(0，+∞)上是减函数，且5.1<5.9，所以，log a5.1>log a5.9 解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小，令b1=log a5.1，则，令b2=log a5.9，则当a>1时，y=a x在R上是增函数，且5.1<5.9所以，b1<b2，即当0<a<1时，y=a x在R上是减函数，且5.1<5.9所以，b1>b2，即.举一反三：【变式1】（2011 天津理7）已知则（）A．B．C．D．解析：另，，，在同一坐标系下作出三个函数图像，由图像可得又∵为单调递增函数，∴故选C.9. 证明函数上是增函数.思路点拨：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对函数单调性比较同底数对数大小的方法.证明：设，且x1<x2 则又∵y=log2x在上是增函数即f(x1)<f(x2)∴函数f(x)=log2(x2+1)在上是增函数.举一反三：【变式1】已知f(log a x)=(a>0且a≠1)，试判断函数f(x)的单调性.解：设t=log a x(x∈R+，t∈R).当a>1时，t=log a x为增函数，若t1<t2，则0<x1<x2，∴f(t1)-f(t2)=，∵0<x1<x2，a>1，∴f(t1)<f(t2)，∴f(t)在R上为增函数，当0<a<1时，同理可得f(t)在R上为增函数.∴不论a>1或0<a<1，f(x)在R上总是增函数.10．求函数y=(-x2+2x+3)的值域和单调区间.解：设t=-x2+2x+3，则t=-(x-1)2+4.∵y=t为减函数，且0<t≤4，∴y≥=-2，即函数的值域为[-2，+∞.再由：函数y=(-x2+2x+3)的定义域为-x2+2x+3>0，即-1<x<3.∴t=-x2+2x+3在-1，1）上递增而在[1，3)上递减，而y=t为减函数.∴函数y=(-x2+2x+3)的减区间为(-1，1)，增区间为[1，3.类型九、函数的奇偶性11. 判断下列函数的奇偶性. (1)(2).(1)思路点拨：首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行.解：由所以函数的定义域为：(-1，1)关于原点对称又所以函数是奇函数；总结升华：此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形.(2)解：由所以函数的定义域为R关于原点对称又即f(-x)=-f(x)；所以函数.总结升华：此题定义域的确定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.类型十、对数函数性质的综合应用12．已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1).(1)若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.思路点拨：与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题.f(x)的定义域为R，即关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R，这是不等式中的常规问题.f(x)的值域为R与ax2+2x+1恒为正值是不等价的，因为这里要求f(x)取遍一切实数，即要求u=ax2+2x+1取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图，我们会发现，使u能取遍一切正数的条件是.解：(1)f(x)的定义域为R，即：关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R，当a=0时，此不等式变为2x+1>0，其解集不是R；当a≠0时，有a>1.∴a的取值范围为a>1.(2)f(x)的值域为R，即u=ax2+2x+1能取遍一切正数a=0或0≤a≤1，∴a的取值范围为0≤a≤1.13．已知函数h(x)=2x(x∈R)，它的反函数记作g(x)，A、B、C三点在函数g(x)的图象上，它们的横坐标分别为a，a+4，a+8(a>1)，记ΔABC的面积为S.(1)求S=f(a)的表达式；(2)求函数f(a)的值域；(3) 判断函数S=f(a)的单调性，并予以证明；(4)若S>2，求a的取值范围.解：(1)依题意有g(x)=log2x(x>0).并且A、B、C三点的坐标分别为A(a，log2a)，B(a+4，log2(a+4))，C(a+8，log2(a+8)) (a>1)，如图.∴A，C中点D的纵坐标为〔log2a+log2(a+8)〕∴S=|BD|·4·2=4|BD|=4log2(a+4)-2log2a-2log2(a+8).(2)把S=f(a)变形得：S=f(a)=2〔2log2(a+4)-log2a-log2(a+8)〕=2log2=2log2(1+).由于a>1时，a2+8a>9，∴1<1+<，又函数y=log2x在(0，+∞)上是增函数，∴0<2log2(1+)<2log2，即0<S<2log2.(3)S=f(a)在定义域(1，+∞)上是减函数，证明如下：任取a1，a2，使1<a1<a2<+∞，则：(1+)-(1+)=16()=16·，由a1>1，a2>1，且a2>a1，∴a1+a2+8>0，+8a2>0，+8a1>0，a1-a2<0，∴1<1+<1+，再由函数y=log2x在(0，+∞)上是增函数，于是可得f(a1)>f(a2)∴S=f(a)在(1，+∞)上是减函数.(4)由S>2，即得，解之可得：1<a<4-4.。
2021高中数学-指数式与对数式的互化(精选试题)
高中数学-指数式与对数式的互化1、若已知不等式2x-1>mx2-1对满足|m|⩽2的一切实数m的取值都成立，则x的取值范围为___________.2、若不等式x2+ax+1⩾0对一切x∈(0，12]成立，则a的最小值为()A.0B.-2C.−52D.-33、已知点P(2，0)，对于抛物线y2=mx上任何一点Q，|PQ|≥2，则m的取值范围是()A.(0，4]B.(-∞，0)∪(0，4]C.[4，+∞)D.(-∞，0)∪[4，+∞)4、已知函数fx=alnx+1-x2，若在区间(0，1)内任取两个实数p,q且p≠q，不等式fp+1-fq+1p-q>1恒成立，则实数a的取值范围是__________.5、若不等式ax2+4x+a>1-2x2对任意实数x均成立，则实数a的取值范围是（）A.a≥2或a≤-3B.a>2或a≤-3C.a>2D.-2a26、已知两条直线l1:y=m和l2:y=82m+1(m>0)，l1与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点A,B,l2与函数y=|log2x|的图象从左至右相交于点C,D.记线段AC和BD在X轴上的投影长度分别为a,b,当m变化时，ab的最小值为（）A.162B.82C.843D.4437、已知函数fx=ex-ae-x，若f’x≥23恒成立，则实数a的取值范围是_________.8、如果对于任意的正实数x，不等式x+ax⩾1恒成立，则a的取值范围是_______.9、已知fx=mx-2mx+m+3,gx=2x-2,若同时满足条件：①∀x∈R,fx0或gx0;②∃x∈-∞-4,fxgx0.则m的取值范围是_______.10、已知∀x∈R，acos2x+bcosx≥-1恒成立，则当a≤0时，a+b的最大值是()A.12B.1C.2D.211、已知函数fx和gx的图象关于原点对称，且fx=x2+2x.(Ⅰ)解关于x的不等式gx≥fx-|x-1|；(Ⅱ)如果对∀x∈R，不等式gx+c≤fx-|x-1|恒成立，求实数c的取值范围.12、已知m∈R,设P:x1和x2是方程x2-ax-2=0的两个实根，不等式|m2-5m-3|≥|x1-x2|对任意实数a∈[-1，1]恒成立，Q:函数fx=x3+mx2+m+43x+6在(-∞，+∞)上有极值，求使P正确且Q正确的的m取值范围.13、已知关于x的方程x2+mx+m+n=0的两根分别为椭圆和双曲线的离心率．记分别以m,n为横纵坐标的点Pmn表示的平面区域为D，若函数y=logax+3a>1的图象上存在区域D上的点，则实数a的取值范围为()A.a>2B.a≥2C.1a2D.1a≤214、不等式|x+1x|≥|a-2|+siny对一切非零实数x，y均成立，则实数a的范围为_______15、在R上定义运算⊕:x⊕y=x1-y若对任意x>2,不等式x-a⊕x≤a+2都成立，则实数a的取值范围是()A.[-1，7]B.(-∞，3]C.(-∞，7]D.(-∞，-1]∪[7，+∞)16、设常数a>0，若9x+a2x≥a+1对一切正实数x成立，则a的取值范围为__________.17、已知两条直线l1：y=m和l2：y=82m+1(m>0)，l1与函数y=∣log2x∣的图象从左至右相交于点A，B，l2与函数y=∣log2x∣的图象从左至右相交于点C，D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b，当m变化时，ba的最小值为（）A.162B.82C.843D.44318、若对任意x>0，xx2+3x+1⩽a恒成立，则a的取值范围是____________.19、已知命题p：方程x2-2+ax+2a=0在-11上有且仅有一解；命题q：存在实数x使不等式x2+2ax+2a≤0成立，若命题``p∧q’’是真命题，则a的取值范围为______________.20、将y=2x的图象()再作关于直线y=x对称的图象，可得到函数y=log2x+1的图象．A.先向左平移1个单位B.先向右平移1个单位C.先向上平移1个单位D.先向下平移1个单位21、函数y=log2x的反函数是（）A.fx=2xB.f(x)=log12xC.fx=x2D.f(x)=(12)x22、设0a1，且logax+3logxa-logxy=3，1设x=att≠0，以a，t表示y；2若y的最大值为24，求a，x.23、若函数y=2x，y=5x与直线l:y=10的交点的横坐标分别为x1和x2，求1x1+1x2的值?24、将下列指数式与对数式互化：(1)53=125；3−2=19；(14)−2=16；(2)log128=−3；lg1000=3.25、方程2x-12|x|=2的解为___________.26、若loga2=m，loga3=n，则a2m-n=________.27、若log2x=3，则x=A.4B.6C.8D.928、一种放射性元素，每年的衰减率是8%，那么a千克的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需要的时间）t等于（）A.lg0.50.92B.lg0.920.5C.lg0.5lg0.92D.lg0.92lg0.529、若非零实数a,b,c满足5a=2b=10c，则ca+cb的值等于(）A.1B.2C.3D.430、解方程：log24x-4=x+log22x+1-5.log2x+12+log4x+1=5的解是_______________.32、2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级特大地震，给人民的生命财产造成巨大损失，里氏地震等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里克特制定的，它同震源中心释放的能量（热能和动能）大小有关.震级M=23lgE−3.2，其中E（焦耳）为地震时以地震波的形式释放出的能量.如果里氏6.0级是放的能量相当于1颗美国在二战投放在广岛的原子弹的能量，那么汶川大地震所释放的能量相当于______颗广岛原子弹.33、已知函数fx=x3+3ax-1，a∈R.(Ⅰ)若函数y=fx的图像在x=1处的切线与直线y=6x+6平行，求实数a的值；(Ⅱ)设函数gx=f’x-6，对满足-1≤a≤1的一切a的值，都有gx0成立，求实数x的取值范围；34、设f(log2x)=x+ax(a是常数).（1）求fx的表达式；（2）如果fx是偶函数，求a的值.（3）当fx是偶函数时，讨论函数fx在区间(0，+∞)上的单调性，并加以证明.35、计算：(sinπ2−π)0+lg2+lg5=________.36、若不等式tt2+9≤a≤t+2t2在t∈(0，2]上恒成立，则a的取值范围是（）A.[16,1]B.[213,1]C.[16,413]D.[16,22]37、已知函数fx=2x+a⋅2-|x|a∈R满足flog21+2=2.若存在x0∈[1，2]，使得不等式2xf(2x)+mf(x)⩾0成立，则实数m的取值范围是()A.[-5，+∞)B.[-17，+∞)C.(-∞，-17]D.(-∞，-15]38、设2a=5b=m,且1a+1b=2,m=__________.39、方程log31+2⋅3x=x+1的解x=__________.40、设ΔABC，P0是边AB上一定点，满足P0B=14AB，且对于边AB 上任一点P，恒有PB→⋅PC→⩾P0B→⋅P0C→，则()A.∠ABC=90∘B.∠BAC=90∘C.AB=ACD.AC=BC41、方程log2(log5x)=1的解为________.42、已知实数a,b满足等式log12021a=log12021b，下列五个关系式：①0ba1；②1ab；③0ab1；④1ba；⑤a=b.其中不可能成立的关系式有()A.1个B.2个C.3个D.4个43、方程log2x+12+log4x+1=5的解是______________.44、fx=ax3-3x+1对于x∈[-1，1]总有fx≥0成立，则a=__________.45、关于x的不等式m+1x2-2m-1x+3m-10的解是一切实数，求实数m 的取值范围.46、若关于x的不等式(2x−1)2kx2的解集中整数恰好有2个，则实数k的取值范围是________.47、已知幂函数fx=x-m2+2m+3(m∈Z)在区间(0，+∞)上是单调增函数，且为偶函数.（1）求函数fx的解析式；（2）设函数gx=2fx-8x+q-1，若gx>0对任意x∈[-1,1]恒成立，求实数q的取值范围.48、已知fx=x2，g(x)=(12)x−m，若对任意x1∈[-1，3]，总存在x2∈[0，2]，使得fx1≥gx2成立，则实数m的取值范围是A.[-354，-∞)B.[14，+∞)C.[-8，+∞)D.[1，+∞)49、若(9，a)在函数y=log2x的图像上，则有关函数f(x)=ax+a－x 性质的描述，正确的是（）A.它是定义域为R的奇函数B.它在定义域R上有4个单调区间C.它的值域为(0，+∞)D.函数y=f(x－2)的图像关于直线x=2对称50、已知a>b>c,且9a-b+1b-c+kc-a≥0,恒成立，则实数k的最大值为（）A.10B.10C.9D.951、已知实数a1，a2，a3，a4满足a1+a2+a3=0，a1a42+a2a4-a2=0，且a1>a2>a3，则a4的取值范围是__________.52、函数f(x)=x2+2x−3,x⩽0,−2+lnx,x>0的零点个数为（）A.3B.2C.1D.053、已知函数fx=x2+alnx，若对任意两个正数x1，x2(x1>x2)，都有f(x1)−f(x2)x1−x2>2成立，则实数a的取值范围是_________.54、关于x的不等式4mx2-2mx-10恒成立的充要条件是m∈(t，0]，则t=_____.55、不等式x2-8x+20mx2+2mx-40的解集为R，则实数m的取值范围为_____.56、已知函数fx=ax2+bx+c,其中a∈N*,b∈N,c∈Z.(1)若b＞2a，且f(sinα)(α∈R)的最大值为2,最小值为-4,求fx 的最小值；(2)若对任意实数x，不等式4x≤f(x)≤2(x2+1)，且存在x0使得fx0＜2x0+1成立，求c的值.57、1如果定义在区间(-1，0)的函数fx=log3ax+1满足f(x)0，求a 的取值范围；2解方程：log33+2⋅3x=2x.58、若当P(m，n)为圆x2+y-12=1上任意一点时，不等式m+n+c⩾0恒成立，则c的取值范围是（）A.−1−2⩽c⩽2−1B.2−1⩽c⩽2+1C.c⩽−2−1D.c⩾2−159、若a>b>c，则使1a-b+1b-c≥ka-c恒成立的最大的正整数k为（）A.2B.3C.4D.560、一元二次不等式2kx2+kx−380对一切实数x都成立，则k的取值范围是（）A.(-3，0)B.(-3，0]C.[-3，0]D.(-∞，-3)∪[0，+∞)fx=1-m2lnx+x2+3-mx(x>0)不存在极值点，则m的取值范围是()A.-11B.-113C.131D.-∞162、若不等式-1na2+-1n+1n对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是（）A.[-2，32)B.(-2，32)C.[-3，32)D.(-3，32)63、已知两条直线l1:y=m和l2:y=82m+1(m>0),l1与函数y=|log2x|的图像从左至右相交于点A，B,l2与函数y=|log2x|的图像从左至右相交于点C,D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b，当m变化时，ba的最小值为()A.162B.82C.843D.44364、已知4a=2，lgx=a，则x=_______.65、设函数fx=3sinπxm，若存在fx的极值点x0满足x02+fx02m2，则m的取值范围是()A.(-∞，-6)∪(6，+∞)B.(-∞，-4)∪(4，+∞)C.(-∞，-2)∪(2，+∞)D.(-∞，-1)∪(1，+∞)66、若不等式x2-kx+k-1>0对x∈(1，2)恒成立，则实数k的取值范围是_______________.67、已知b>0，log5b=a，lgb=c，5d=10，则下列等式一定成立的是（）A.d=acB.a=cdC.c=adD.d=a+c68、函数f(x)=log2(1+1x)(x>0)的反函数f-1x=（）A.12x−1(x>0)B.12x-1x≠0C.2x-1x∈RD.2x−1(x>0)69、已知函数fx=eax-x,其中a≠0.(1)若对一切x∈R,fx≥1恒成立，求a的取值集合；(2)在函数fx的图象上取定两点A(x1，fx1)，B(x2，fx2)(x1x2)，记直线AB的斜率为k，问：是否存在x0∈(x1，x2),使f’x0>k成立？若存在，求x0的取值范围；若不存在，请说明理由.70、已知fx=|ax+1|a∈R，不等式f(x)⩽3的解集为{x|−2⩽x⩽1}. （Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若|f(x)−2f(x2)|⩽k恒成立，求k的取值范围.71、已知4a=2，lgx=a，则x=________.72、当0x⩽12时，4xlogax，则a的取值范围是（）A.(0,22)B.(22,1)C.(1,2)D.(2,2)73、已知函数fx=|2x-1|+|2x+a|，gx=x+3.(1)当a=-2时，求不等式fxgx的解集；(2)设a>-1，且当x∈[−a2，12)时，f(x)⩽g(x)，求a的取值范围.74、方程4x-2x+1-3=0的解是______________.75、设常数a≥0，函数fx=2x+a2x-a,（1）若a=4，求函数y=fx的反函数y=f-1x;（2）根据a的不同取值，讨论函数y=fx的奇偶性，并说明理由.76、函数f(x)=log2(1+1x)(x>0)的反函数f-1x=()A.12x−1(x>0)B.12x-1x≠0C.2x-1x∈RD.2x−1(x>0)77、设函数fx=xn+bx+c(n∈N+，b，c∈R)（1）设n≥2，b=1，c=-1，证明：fx在区间(12，1)内存在唯一的零点；（2）设n为偶数，|f-1|≤1，|f1|≤1，求b+3c的最小值和最大值；（3）设n=2，若对任意x1，x2∈[-1，1]，有|fx1-fx2|≤4，求b的取值范围.78、函数y=ln(x3+1)(x>−1)的反函数是()A.y=1-ex3(x>−1)B.y=ex-13(x>−1)C.y=1-ex3x∈RD.y=ex-13x∈R79、设a为实常数，y=fx是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)=9x+a2x+7.若fx≥a+1对一切x≥0成立，则a的取值范围为_____________.80、方程93x-1+1=3x的实数解为______________.81、方程33x−1+13=3x-1的实数解为x=__________.82、已知函数fx=x2，g(x)=(12)x−m，若对任意x1∈[0,2]，存在x2∈[1,2]，使得f(x1)⩾g(x2)，则实数m的取值范围是()A.(−∞,−72]B.(−∞,14]C.[12,+∞)D.[14,+∞)83、现有某种细胞100个，其中有占总数12的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过1010个？(参考数据：lg3=0.477,lg2=0.301).84、函数fx=x2+2x-3,x≤0-2+lnx,x>0，的零点个数为()A.3B.2C.1D.085、若函数fx=x2+ax+1x在区间(12，+∞)内是增函数，则实数a的取值范围是()A.[-1，0]B.[-1，+∞)C.[0，3]D.[3，+∞)86、设函数f(x)=x3−92x2+6x−a.（1）对于任意实数x,f′(x)⩾m恒成立，求m的最大值；（2）若方程fx=0有且仅有一个实根，求a的取值范围.87、不等式x2−2x+3⩽a2−2a−1在R上的解集是∅，则实数a的取值范围是_______.88、已知函数fx=ex-x2,若∀x∈[1,2],不等式−m⩽f(x)⩽m2−4恒成立，则实数m的取值范围是（）A.(-∞,1-e]B.[1-e,e]C.[-e,e+1]D.[e,+∞]89、已知数列{an}的各项取倒数后按原来的顺序构成等差数列，各项都是正数的数列{xn}满足x1=3,x1+x2+x3=39,xnan=xn+1an+1=xn+1an+2，则xn=__________.90、（本小题满分10分）选修4——5：不等式选讲已知关于x的不等式∣2x-a∣+∣x+3∣≥2x+4的解集为A.(Ⅰ)若a=1，求A；(Ⅱ)若A=R，求a的取值范围.x的不等式∣2x-a∣+∣x+3∣≥2x+4的解集为A.(I)若a=1，求A；II若A=R，求a的取值范围.92、对于x∈R，式子1kx2+kx+1恒有意义，则常数k的取值范围是_____.93、已知不等式x2-x-m+1>0.1当m=3时解此不等式；2若对于任意的实数x，此不等式恒成立，求实数m的取值范围.94、对于x∈R，式子1kx2+kx+1恒有意义，则常数k的取值范围是_______.95、已知不等式x2-x-m+1>0.（1）当m=3时解此不等式；（2）若对于任意的实数x,此不等式恒成立，求实数m的取值范围.96、已知函数fx=x2+lg a+2x+lg b满足f-1=-2,且对一切实数x 都有f(x)⩾2x,求实数a,b的值.97、已知函数fx=x2+2x+a，gx=fxx(1)若不等式fx0的解集是{x|ax1}，求a的值；(2)若x0,a=4，求函数gx的最大值；(3)若对任意x∈[1，+∞)，不等式fx>0恒成立，求实数a的取值范围.98、若关于x的不等式2x2-8x-4-a>0在1x4内有解，则实数a的取值范围是()A.a-4B.a>-4C.a>-12D.a-1299、设函数fx=|2x+1|-|x-3|（1）求函数y=fx的最小值；（2）若f(x)≥ax+a2−72恒成立，求实数a的取值范围.100、已知函数fx=x2+lg a+2x+lg b满足f-1=-2，且对于任意x∈R，恒有f(x)⩾2x成立.(1)求实数a，b的值；(2)解不等式fxx+5.101、函数f(x)=(x−a)2,x⩽0x+1x+a,x>0，若当x∈[-|a|-1，|a|]，f(x)⩾f(0)恒成立，则实数a的取值范围为__________.102、已知flog2x-1=x-1，(Ⅰ)求fx的解析式；(Ⅱ)求函数fx(x∈[0，1])的值域.103、已知fx=2x2+bx+c,不等式fx0的解集是(0，5).（1）求fx的解析式；（2）若对于任意x∈[-1，1],不等式fx+t≤2恒成立，求t的取值范围.104、已知函数fx=ax2+bx-lnx,a,b∈R.（I）当a=b=1时，求函数y=fx的图象在点(1，f1)处的切线方程；（II）若a0且b=2-a，试讨论fx的单调性；（III）若对任意的b∈[-2，-1]，均存在x∈(1,e)使得函数y=fx图象上的点落在1xey0所表示的平面区域内，求实数a的取值范围.105、已知不等式x2-x-m+1>0.（1）当m=3时解此不等式；（2）若对于任意的实数x，此不等式恒成立，求实数m的取值范围.106、若log7log3log2x=0，则x−12为（）A.123B.133C.12D.24107、已知函数fx=-x3+ax2+b(a，b∈R).（1）若函数y=fx的图像在任意两个不同的点的连线的斜率小于1，求证：3a3；（2）若x∈[0，1]，且函数fx的图像上任意一点处的切线的斜率为k，试证明|k|⩽1的充要条件为1⩽a⩽3.108、若命题“∃x0∈R，使得x02+mx0+2m-30”为假命题，则实数m 的取值范围是（）A.[2，6]B.[-6，2]C.(2，6)D.(-6，-2)109、已知命题p:“∃x0∈{x|-1x1},x02-x0-m=0(m∈R)”是真命题，设实数m的取值集合为M.(1)求集合M；(2)设关于x的不等式x-ax+a-20(a∈R)的解集为N，若“x∈N”是“x∈M”的必要条件，求实数a的取值范围.110、函数f(x)=112x4−12ax2，若fx的导函数f’x在R上是增函数，则实数a的取值范围是（）A.a≤0B.a≥0C.a0D.a>0111、已知函数fx=13x3+bx2+cx+d,设曲线y=fx在与x轴交点处的切线为y=4x-12，f’x为x的导函数，满足f’2-x=f’x.（I）求fx；（II）设gx=xf’x,m>0,求函数gx在[0，m]上的最大值；（III）设hx=lnf’x，若对一切x∈[0，1]，不等式hx+1-th2x+2恒成立，求实数t的取值范围.112、实数x,y满足x-y+1≥0x-2yx-2y+6≤0,若t≤y+2x恒成立，则t的取值范围是（）A.t≤13B.t≤-5C.t≤-13D.t≤5113、已知函数fx=x2-8x+6lnx.（Ⅰ）如果fx在区间(m,m+12)上是单调函数，求实数m的取值范围；（Ⅱ）若对任意k∈[-1,1],函数y=kx-a(这里a3),其中0x≤6的图象总在函数fx的图象的上方，求实数a的取值范围.114、已知函数fx=|x-1|,gx=-|x+3|+a,其中a∈R.(1)解关于x的不等式gx>6;(2）若函数y=2fx的图象恒在函数y=gx的图象的上方，求实数a的取值范围.115、已知函数gx=ax2-4ax+b(a>0)在区间[0，1]上有最大值1和最小值-2，设f(x)=g(x)x.(1)求a,b的值；(2)若不等式f(2x)−k⋅2x⩾0在x∈[-2，2]上有解，求实数k的取值范围.116、已知函数fx=|x-1|+|x+3|，x∈R.(1)解不等式fx≤5;(2)若不等式m2—3mf(x)对∀x∈R都成立，求实数m的取值范围.117、已知fx=|x-2|+|x-4|.(Ⅰ)求不等式fx≥x2-2的解集；(Ⅱ)若不等式fx>t2-2对于任意x∈R恒成立，求实数t的取值范围.118、已知fx=|x-2|+|x-4|.（Ⅰ）求不等式fx≥x2-2的解集；（Ⅱ）若不等式fx>t2-2对于任意x∈R恒成立，求实数t的取值范围.119、已知实数x,y满足axay(0a1)，则下列关系式恒成立的是()A.1x2+1>1y2+1B.lnx2+1>lny2+1C.sin x>sin yD.x3>y3120、对于R上可导的任意函数fx，若满足(x−1)f′(x)⩾0，则必有()A.f0+f32f1B.f(0)+f(3)⩽2f(1)C.f(0)+f(3)⩾2f(1)D.f0+f3>2f1fx=x2-2x+5.（1）是否存在实数m0，使不等式m0+fx>0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；（2）若存在一个实数x0，使不等式m-fx0>0成立，求实数m的取值范围.122、已知集合P={log2x4，3}，Q={x，y}，若P∩Q={2}，则P∪Q等于（）A.{2，3}B.{2，3，x，y}C.{1，-1，2，3}D.{1，2，3}123、若fx=-12x2+blnx+2在(-1,+∞)上是减函数，则b的取值范围是___________.124、已知向量a=(cosθ，sinθ),θ∈[0，π],b=(3，-1).若|2a-b|m 恒成立,则实数m的取值范围是()A.[4，+∞)B.(4，+∞)C.(2，+∞)D.(4，10)125、“存在x∈R，使x2+ax-4a0，为假命题”是“-16≤a≤0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件126、已知函数fx=|2x-1|+|2x+a|，gx=x+31当a=-2时，求不等式fxgx的解集；2设a>-1，且当x∈[−a2,12)时，fx≤gx，求a的取值范围.127、已知函数fx=xlnx-2ax,a∈R.（1）若fx≤2x(0x1)恒成立，求a的最小值；（2）若函数fx有两个极值点，求a的取值范围.128、已知函数fx=ex(e是自然对数的底数，e=2.71828...).(1)证明：对∀x∈R，不等式fx≥x+1恒成立；(2)数列lnnn2(n∈N*)的前n项和为Tn，求证：Tnn22n+1.129、已知函数fx=ex（e是自然对数的底数，e=2.71828…）. （1）证明：对∀x∈R，不等式fx≥x+1恒成立；（2）数列lnnn2n∈N*的前n项和为Tn，求证Tnn22n+1.130、已知函数fx=|2x+1|+|2x-3|.（1）求不等式fx≤6的解集；（2）若关于x的不等式fx|a-1|的解集非空，求实数a的取值范围. 131、已知函数fx=-x2+ax+b2-b+1,(a,b∈R)，函数fx+1是偶函数，若当x∈[-1，1]时，fx>0恒成立，则b的取值范围是（）A.-1b0B.b>2或b-1C.b>2D.b-1132、已知不共线的向量a→,b→满足|a→|=2|b→|，且关于x的函数fx=-2x3+3|a→|x2+6a→⋅b→x+5在R上单调递减，则向量a→,b→的夹角的取值范围是（）A.[0,π6]B.[0,π3]C.(0,π3]D.[2π3,π]133、已知fx=exx,gx=-x-12+a2,若x>0时，∃x1,x2∈R,使得fx2≤g(x1）成立，则实数a的取值范围是___________.134、若命题”∃x∈R,有x2-mx-m≤0”是假命题，则实数m的取值范围是_________.135、已知命题P:函数y=loga1-2x在定义域上单调递增；命题Q:不等式a-2x2+2a-2x-40对任意实数x恒成立.若P∨Q是真命题，求实数a的取值范围.136、设函数fx=|2x+1|-|x-3|.（1）求函数y=fx的最小值；（2）若fx≥ax+a2-72恒成立，求实数a的取值范围.137、命题p:m2-m-6≤0;命题q:不等式4x2+4m+2x+1≥0对x∈R恒成立，如果命题p∧q为真，求实数m的取值范围.138、已知数列an为等差数列，其中a1=1,a7=13.（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足bn=1an⋅an−1,Tn为数列bn的前n项和，当不等式λTnn+8⋅(−1)n(n∈N∗)恒成立时，求实数λ的取值范围.139、已知fx=2x+1+12x-1，且对于任意x∈[1，3]，不等式fx>|x-2|+m 恒成立，则m的取值范围是A.(-∞，-4]B.(−12，+∞)C.(-∞，−98)D.(-∞，107)140、在R上定义运算⨂：x⨂y=x1-y.若不等式x-a⨂x+a1对任意实数x成立，则()A.-1a1B.0a2C.-12a32D.-32a12141、已知函数fx=1+x2-2ln1+x，若在定义域内存在x0，使得不等式fx0-m≤0成立，则实数m的最小值是__________.142、已知关于x的不等式|2x-1|-|x-1|≤log2a.（1）当a=8时，求不等式解集.（2）若不等式有解，求a的范围.143、设log22cosα=-1，则sin2αtanα=___________.144、（12分）已知函数fx=mx+lnx，其中m为常数，e为自然对数的底数.（1）当m=-1时，求fx的最大值；（2）若fx在区间(0，e]上的最大值为-3，求m的值；（3）当m-1时，设g(x)=lnxx+12，试证明函数y=|fx|的图像恒在函数y=g(x)图像的上方.145、已知命题p:存在一个实数x，使ax2+ax+10.当a∈A时，非p 为真命题，求集合A.146、设函数fx=|2x+1|-|x-2|(1)求不等式fx>2的解集；(2)若∀x∈R，fx≥t2-112t恒成立，求实数t的取值范围.147、设函数y=fx的图象与y=2x+a的图象关于直线y=-x对称,且f-2+f-4=1,则a=()A.-1B.1C.2D.4148、若a=log43，则2a+2-a=_______.149、若”∀x∈[0，π4]，tanx≤m“是真命题，则实数m的最小值为__________.150、已知p：对任意m∈[-1，1]，不等式a2-5a-3≥m2+8恒成立；q：存在x∈R，使不等式x2+ax+20成立.若p是真命题，q是假命题，求a的取值范围.R的函数f(x)=a+14x+1是奇函数.（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）判断fx的单调性并证明；（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式ft2-2t+f2t2-k0恒成立，求k的取值范围.152、1.对数的概念2.对数与指数之间的关系关系如下表：3.对数的基本性质153、如果a3=N(a>1且a≠1)，则有（）A.log3N=aB.log3a=NC.logNa=3D.logaN=3154、判断下列指数式转化成对数式中，正确的是（）A.3x=1→x=log31B.10x=25→x=lg5C.4x=16→x=log46D.5x=6→x=log65155、设2a=5b=m，且1a+1b=2，则m=（）A.10B.10C.20D.100156、如果N=a2(a>0且a≠1),则有（）A.log2N=aB.log2a=NC.logNa=2D.logaN=2157、把log232=5化成指数式_________.。
指数函数与对数函数专项练习(含答案)
指数函数与对数函数专项练习(含答案)指数函数与对数函数专项练习1 设232555322555a b c===（）,（），（），则a，b，c的大小关系是[ ]（A）a＞c＞b （B）a＞b＞c （C）c＞a＞b （D）b＞c＞a2 函数y=ax2+ bx与y= ||log b a x (ab ≠0，| a |≠| b |)在同一直角坐标系中的图像可能是[ ]3.设525b m==，且112a b+=，则m=[ ]（A10（B）10 （C）20 （D）1004.设a=3log2,b=In2,c=125-,则[ ]A. a<b<cB. b<c<aC.c<a<b D . c<b<a5 .已知函数()|lg|f x x=.若a b≠且，()()f a f b=，则a b+的取值范围是[ ](A)(1,)+∞ (B)[1,)+∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞ 6.函数()()2log 31x f x =+的值域为[ ]A.()0,+∞ B. )0,+∞⎡⎣ C.()1,+∞ D. )1,+∞⎡⎣7.下列四类函数中，个有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）”的是 [ ] （A ）幂函数 （B ）对数函数 （C ）指数函数 （D ）余弦函数8. 函数y=log2x 的图象大致是[ ]PS(A) (B) (C)(D) 8.设554a log 4b log c log ===25，（3），，则[ ](A)a<c<b (B) b<c<a (C) a<b<c (D) b<a<c9.已知函数 1()log (1),f x x =+若()1,f α= α=[ ](A)0 (B)1 (C)2 (D)3 10.函数y =[ ]（A ）[0,+∞） (B) [0,4] (C) [0,4) (D) (0,4) 11.若372logπlog 6log 0.8a b c ===，，，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c a b >>D ．b c a >>12.下面不等式成立的是( )A ．322log 2log 3log 5<< B ．3log 5log 2log 223<<C ．5log 2log 3log 232<<D ．2log 5log 3log 322<<13.若01x y <<<，则( )A ．33yx< B ．log3log 3xy < C ．44loglog x y<D ．11()()44xy<14.已知01a <<，log log a a x =+，1log 52a y =，log log a a z =，则（ ）A ．x y z >>B ．z y x >>C ．y x z >>D ．z x y >> 15.若13(1)ln 2ln ln x ea xb xc x-∈===，，，，，则（ ）A ．a <b <cB ．c <a <bC ． b <a <cD ． b <c <a 16.已知函数()log (21)(01)xaf x b a a =+->≠，的图象如图所示，则a b ，满足的关系是（ ）A ．101ab -<<< B ．101b a-<<<C ．101b a -<<<- D ．1101ab --<<<18. 已知函数)1(122>-+=a a ay x x在区间[－1,1]上的最大值是14，求a 的值.19.已知m x f x+-=132)(是奇函数，求常数m 的值；20.已知函数f(x)＝11+-x x a a (a>0且a ≠1).(1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的奇偶性；(3)讨论f(x)的单调性.指数函数与对数函数专项练习参考答案1）A【解析】25y x=在0x>时是增函数，所以a c>，2 () 5xy=在0x>时是减函数，所以c b>。
第四章 指数函数与对数函数【压轴题专项训练】(解析版)
第四章指数函数与对数函数【压轴题专项训练】一、单选题1．下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（）A ＝（－x ）12（x ＞0）B ＝y 13（y ＜0）C ．x12－y 23（x ＞0，y ＞0）D ．x 13－ （x ≠0）【答案】C 【分析】根据根式和分数指数幂的转化关系判断选项.【详解】对于A x 12，故A 错误；对于B ，当y ＜00，y 13＜0，故B 错误；对于C ，x12－y 23（x ＞0，y ＞0），故C 正确；对于D ，x 13－ （x ≠0），故D 错误.故选：C2．已知433a =，234b =，1325c =，则（）A ．b a c <<B ．c b a<<C ．b c a<<D ．a b c<<【答案】C 【分析】将式子转化为以13为指数的幂的形式，再根据幂函数的性质判断可得；【详解】解：()41143333381a ===，()21123334416b ===，1325c =，又因为幂函数13y x =在()0,x ∈+∞为单调增函数，所以a c b >>.故选：C 【点睛】本题幂函数的性质及指数幂的运算，属于中档题.3．下列各函数中，是指数函数的是（）A ．(3)xy =-B ．3xy =-C ．13x y -=D ．13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】D【分析】利用指数函数的定义，形如：()0,1xy a a a =>≠即可求解.【详解】解：根据指数函数的定义知，()0,1xy a a a =>≠，A 选项底数错误，B 选项系数错误，C 选项指数错误；D 正确.故选：D 【点睛】本题考查了指数函数的定义，需掌握住指数函数的定义，即可求解.4．函数211()2x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间为（）A ．(],0-∞B ．[)0,+∞C ．()1,-+∞D ．(),1-∞-【答案】A 【分析】根据复合函数的单调性”同增异减”计算可得；【详解】解：令21t x =-，则12ty ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为12ty ⎛⎫= ⎪⎝⎭为单调递减函数，且函数21t x =-在(],0-∞上递减，所以函数211()2x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调递增区间为(],0-∞.故选：A 【点睛】本题考查指数型复合函数的单调性，属于基础题.5．若2log a b c =则（）A ．2b a c =B ．2c a b =C ．2c b a =D ．2a c b=【答案】B 【分析】利用对数式化指数式的方法求解即可.【详解】根据对数的定义，()22log ca b c a b =⇔=，即2c a b =故选：B.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关指数式与对数式的互化问题，正确解题的关键是指对式的互化公式.6．已知x ，y ，z 都是大于1的正数，0m >，log 24x m =，log 40y m =，log 12xyz m =，则log z m 的值为（）A ．160B ．60C ．2003D ．320【答案】B 【分析】根据换底公式将log 24x m =，log 40y m =，log 12xyz m =，化为1log 24m x =，1log 40m y =，1log 12m xyz =，再根据同底数的对数的加减法运算即可得解.【详解】解：因为log 24x m =，log 40y m =，log 12xyz m =，所以1log 24m x =，1log 40m y =，1log 12m xyz =，即1log log log 12m m m x y z ++=，∴11111log log log 1212244060m m m x y z =--=--=，∴log 60z m =．故选：B ．7．函数()f x ）A ．[)1,+∞B ．2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．2,13⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【分析】根据对数的真数大于零，以及偶次根式下被开方数大于等于零，即可列出不等式组解出．【详解】由题可得，()13320log 320x x ->⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得213x <≤．所以函数()f x 的定义域是2,13⎛⎤⎥⎝⎦．故选：D ．【点睛】本题主要考查函数定义域的求法以及对数函数的性质应用，属于容易题．8．已知235log log log 1x y z ==>，则2x，3y ，5z 的大小排序为（）A ．235x y z<<B ．325y x z <<C ．523z x y <<D ．532z y x<<【答案】D 【分析】方法一：首先设235log log log 1x y z k ===>，利用指对互化，表示2x，3y ，5z ，再利用对数函数的图象判断大小；方法二：由条件可知2351log 1log 1log 0x y z -=-=-<，再利用对称运算，以及对数函数的图象和性质，比较大小.【详解】方法一：设235log log log 1x y z k ===>.则122k x-=，133ky -=，155k z -=，又10k -<，所以111235k k k --->>，可得532z y x<<.方法二：由235log log log 1x y z ==>.得2351log 1log 1log 0x y z -=-=-<，即235235log log log 0x y z==<，可得532z y x<<.故选：D 【点睛】关键点点睛：本题考查由条件等式，比较大小，本题的关键是熟悉指对数运算公式，变形，以及指数和对数函数的图象.9．下面对函数121()log ,()2xf x xg x ⎛⎫== ⎪⎝⎭与()12h x x -=在区间()0,∞+上的衰减情况说法正确的是()A ．()f x 衰减速度越来越慢，()g x 衰减速度越来越快，()h x 衰减速度越来越慢B ．()f x 衰减速度越来越快，()g x 衰减速度越来越慢，()h x 衰减速度越来越快C ．()f x 衰减速度越来越慢，()g x 衰减速度越来越慢，()h x 衰减速度越来越慢D ．()f x 衰减速度越来越快，()g x 衰减速度越来越快，()h x 衰减速度越来越快【答案】C 【分析】在平面直角坐标系中画出它们的图象后可得正确的选项.【详解】画出三个函数的图像如下图，由图像可知选C.因为三个函数都是下凸函数．故选：C.【点睛】当图像是一条直线的减函数时，是匀减速函数．当图像为上凸的增函数时减小速度是越来越快的．当图像为下凸的减函数时（如本题）减小速度是越来越慢的．10．已知函数221,0()2,0x x f x x x x ⎧->=⎨--≤⎩，若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围（）A ．()1,0-B ．[]1,0-C ．（0，1）D ．[]0,1【答案】C 【分析】函数()()g x f x m =-有3个零点，所以()()0g x f x m =-=有三个实根，即直线y m =与函数()y f x =的图象有三个交点，作出图象，即可求出实数m 的取值范围．【详解】因为函数()()g x f x m =-有3个零点，所以()()0g x f x m =-=有三个实根，即直线y m =与函数()y f x =的图象有三个交点．作出函数()y f x =图象，由图可知，实数m 的取值范围是(0,1)．二、多选题11．已知函数(),()22x x x xf xg x ππππ---+==，则(),()f x g x 满足A ．()()()()f x g x g x f x -+-=-B ．()()x f x g x π--=C ．(2)2()()f x f x g x =D ．22[()][()]1f x g x -=【答案】AC 【分析】把函数式直接代入检验．【详解】A 正确，()()2x x f x f x ππ---==-，()()2x xg x g x ππ-+-==，所以()()()()f x g x g x f x -+-=-；B 不正确，()()2222x x x x xx f x g x ππππππ-----+--=-==-；C 正确，()()()22222222x x x x x xf x f xg x ππππππ-----+==⋅⋅=；D 不正确，()()22222222x x x x x x x x f x g x ππππππππ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-=-=+⎡⎤ ⎪ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎤⎣⎦⎝⎝⎡⎭⎭2212222x x x x x xππππππ---⎛⎫-+--=⋅=- ⎪⎝⎭．故选AC ．【点睛】本题考查指数函数的概念，考查幂的运算．属于基础题型．12．已知{}2,0,1,2,3a ∈-，则函数()()22e xf x a b =-+为减函数的实数a 的值可以是（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】AB由题意可得220a -<，结合已知条件即可求解.【详解】由函数()()22e xf x a b =-+为减函数，得220a -<，即a <<又{}2,0,1,2,3a ∈-，所以只有0a =，1a =满足题意.故选：AB.13．（多选）已知23a=，3log 2b =，则（）A ．2a b +>B ．1ab =C ．82339b b -+=D ．()911log 122a b a++=【答案】ABD 【分析】先求出2log 3a =，即可求出ab =1，再基本不等式判断A ，D 项先将原式化简即可；直接计算可判断C ．【详解】由23a=，得2log 3a =．23log og 31l 2ab =⨯=，故B 正确；由a ，0b >，且a b ¹得2a b +>，故A 正确；33331log log 2log 2log 2215333333222b b --+=+=+=+=，故C 错误；()3339111211log 2log log log 122222a b ab a a a a a a +++++===+=+，故D 正确．故选ABD ．14．下列点中，既在指数函数x y a =图象上，也在对数函数log a y x =的图象上的点可以是（）A ．(1,1)B ．(2,2)C ．(2,4)D ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭【答案】BD 【分析】根据题意，结合指数函数与对数函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，若点(1,1)在函数x y a =图象上，解得1a =，此时对数函数log a y x =不成立，不符合题意；对于B 中，若点(2,2)在函数x y a =图象上，解得a =y x =也过点(2,2)，所以符合题意；对于C 中，若点(2,4)在函数x y a =图象上，解得2a =，此时对数函数2log y x =不成立，不符合题意；对于D 中，若点11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭在函数x y a =图象上，解得116a =，此时对数函数116log y x=也过点11,42⎛⎫⎪⎝⎭，所以符合题意.故选：BD 三、填空题15．已知对数函数()2(1)()1log ,m f x m m x +=--则(27)f =_______.【答案】3【分析】根据对数函数的定义建立不等式，解之求得对数函数的解析式，再代入计算可得答案.【详解】因为()f x 是对数函数，故2111011m m m m ⎧--=⎪+>⎨⎪+≠⎩，解得2m =，所以()3log f x x =，()327log 273f ==.故答案为：3.16．已知下列函数：①y ＝log 12(－x )(x ＜0)；②y ＝2log 4(x －1)(x ＞1)；③y ＝ln x (x ＞0)；④()2log a a y x +=，(x ＞0，a 是常数)．其中为对数函数的是________(只填序号)．【答案】③【分析】根据对数函数满足log a y x =，且0a >，1a ≠判定即可【详解】由对数函数的定义知，①②不是对数函数；对于③，ln x 的系数为1，自变量是x ，故③是对数函数；对于④，底数221124a a a ⎛⎫+=+- ⎪⎝⎭，当12a =-时，底数小于0，故④不是对数函数．故答案为：③17．函数若函数()f x =的定义域是[)1,+∞，则a 的取值范围是________．【答案】()1,+∞【分析】结合指数函数性质可得．【详解】∵0x a a -≥，∴x a a ≥，∴当1a >时，1≥x ．故函数定义域为[)1,+∞时，1a >．故答案为：(1,)+∞．18．若a ＝2，b ＞0，则111211223332212a b a a b a a b b a b---⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值为________．【答案】【分析】根据指数的运算公式以及立方差公式化简整理代入数据即可求出结果.【详解】原式331311322a b a b --⎛⎫⎛⎫=++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭331311322a b a b --⎛⎫⎛⎫=++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭331122a b a b --=++-322a=3222=⨯=故答案为：四、解答题19．已知11x x --=，其中0x >，求122121x x xx x x x---+-的值．【答案】1【分析】将11x x --=化为21x x =+，利用平方差公式分解因式后，代入21x x =+可得结果.【详解】由11x x --=可知21x x =+，所以1111222221122()()11x xx x x x x xx x x x x x x x --+--=--++--=211x x x x x -=++=1.20．已知a ，b ，c 满足346a b c ==.当a ，b ，c 均为正数，求证：221c a b=+.【答案】证明见解析【分析】设346a b c k ===，转化为对数，再利用换底公式证明.【详解】设346a b c k ===，所以346log ,log ,log a k b k c k ===，其中0k >，所以6222lg 6lg 36log lg lg c k k k ===，3421212lg 3lg 4lg 36log log lg lg lg a b k k k k k+=+=+=，所以221c a b=+.21．求函数22log (321)y x x =--的定义域．【答案】{}|1xx>【分析】根据对数的真数大于零，偶次方根的被开方数非负，分母不为零，得到不等式组，解得即可；【详解】解：由函数22log (321)y x x =--，可知23210210x x x ⎧-->⎨->⎩，解23210x x -->，即()()3110x x +->得1x >或13x <-，解210x ->得12x >；综上可得1x >.所以函数的定义域为：{|1}x x >.22．在一个风雨交加的夜里，从某水库闸门到防洪指挥所的电话线路发生了故障，这是一条长为10km ，大约有200根电线杆的线路，设计一个能迅速查出故障所在的方案，维修线路的工人师傅最多检测几次就能找出故障地点所在区域(精确到100m 范围内)?【答案】至多只要检测7次.【分析】结合二分法即可得到100002n≤100，解不等式即可求出结果.【详解】解：如图，工人师傅首先从中点C检测，用随身带的话机向两端测试，发现AC段正常，可见故障在BC段；再从线段BC的中点D检测，发现BD段正常，可见故障在CD段；再从CD段的中点E检测；……；由此类推，每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，可以算出经过n次检测，所剩线路的长度为100002nm，则有100002n≤100，即2n≥100，又26＝64，27＝128，故至多只要检测7次就能找到故障地点所在区域．。
指数-对数试题及答案
1．已知函数()13log 02 0x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪≤⎩，，，若()12f a >，则实数a 的取值范围是（ ） A.30 ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭， B.(]1 0-， C.31 ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭， D.()31 00 ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭U ，， 2．函数()()21616log x x f x x -=-的图像大致为（ ）A ．B ．C ．D ．3．函数()()1log 2830,1a y x a a =+->≠且的图象恒过定点A ，若点A 的横坐标为0x ，函数024x xy a -=+的图象恒过定点B ，则B 点的坐标为（ ）A ．()27,3--B ．()27,5-C ．()3,5-D ．()2,5-4．函数()f x 的图象关于y 轴对称，且对任意x R ∈都有()()3f x f x +=-，若当35 22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则()2017f =（ ） A ．14- B ．14 C.4- D ．4 5．设0.43a =，3log 0.4b =，30.4c =，则 a b c ，，的大小关系为（ ） A ．a c b >> B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>6．已知0.6122log 5log 313a b c d -====，，，，那么（ ） A ．a c b d <<< B ．a d c b <<< C ．a b c d <<< D ．a c d b <<< 7．已知函数()f x 是奇函数，当0x >时，()x f x a =（0a >且1a ≠），且12(log 4)3f =-，则a 的值为（ ） A ． 32 B 3 C. 3 D ．9 8．函数y ＝)21(|x|的图象是（ ）9．已知函数)(x f y =与函数x e y =互为反函数，函数)(x g y =的图象与函数)(x f y =关于x 轴对称，1)(-=a g ，则实数a 的值（ ）A.e -B.e 1- C.e 1D.e10．若函数(),()f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足()()2xf xg x -=，则有（ ）A.(2)(3)(0)f f g <<B.(0)(3)(2)g f f <<C.(2)(0)(3)f g f <<D.(0)(2)(3)g f f <<11．设实数30.1231log ,2,0.92a b c ===，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A.a c b <<B.c b a <<C.b a c <<D.a b c <<12．已知函数x x f 5)(=，若3)(=+b a f ，则=⋅)()(b f a f （ ）.4 C 13．已知函数x x x f 411212)(+++= 满足条件1))12((log =+a f ，其中1>a ，则=-))12((log a f （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 14．若()10x f x =，则()3f =（ ） A ．3log 10 B ．lg 3 C ．310 D ．103 15．函数)2(log 1)(2-=x x f 的定义域是（ ） A.)2,(-∞ B.),2(+∞ C.),3()3,2(+∞Y D.),4()4,2(+∞Y 16．已知()212()x x f x log a a =--的值域为 R ，且()f x在(3,1-上是增函数，则a 的范围是（ ）A.20a -≤≤B.02a ≤≤C.40a -≤≤D.42a -≤≤-17．函数()12log ,12,1x x x f x x ≥⎧⎪=⎨⎪<⎩的值域为 _________． 18．已知1173a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，7log 4b =，用a 、b 表示49log 48为 ． 19．若2312a b ==，则21a b += ． 20．已知函数()22x x f x -=-，若不等式()()230f x ax a f -++>对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是 .21．若函数12(log )x y a =在R 上是减函数，则实数a 取值集合是22．函数212()log (45)f x x x =--的单调递减区间为23．⑴计算：20.52031103522216274--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；⑵计算：5log 350.5551log 352log log log 14550+--+．24．已知定义域为R 的函数a bx f x x ++-=+122)(是奇函数.（1）求b a ,的值；（2）判断函数)(x f 的单调性，并用定义证明；（3）当]3,21[∈x 时，0)12()(2>-+x f kx f 恒成立，求实数k 的取值范围.25．（1）已知32121=+-x x ，计算：37122++-+--x x x x ；（2）求232021)5.1()833()96.0()412(--+---.26．不使用计算器，计算下列各题：（1）()20.5312110510.7521627---⎛⎫⎛⎫+-÷+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）()70log 23log lg 25lg 479.8+++-．27．已知()()()22log 1log 1f x x x =--+．（1）求函数()f x 的定义域；（2）判断函数()f x 的奇偶性并证明；（3）求使()0f x >的x 的取值集合．28．已知函22()log (1),()log (31)f x x g x x =+=+数. （1）求出使()()g x f x ≥成立的x 的取值范围； （2）当[0,)x ∈+∞时，求函数()()y g x f x =-的值域.参考答案1．C【解析】 试题分析：由题意，得131log 20x x ⎧>⎪⎨⎪>⎩或1220x x ⎧>⎪⎨⎪≤⎩，解得0a <或10a -<≤，即实数a 的取值范围为 1 ⎛- ⎝⎭，故选C. 考点：分段函数2．A【解析】试题分析：函数的定义域为{}0≠x x ，()()()x f x x f x x -=--=--2log 1616，故函数()x f 为奇函数，其图象关于原点对称，故应排除B 、C ；41521log 16162122121-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f ， 341log 16164124141-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-f ，由⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛4121f f ，则排除D ；故选A. 考点：函数的图象.3．B【解析】试题分析：当281,27x x +==-时,1log 133a y =-=-,所以点A 0(27,3),27x --=-,这时2724x y a +=+,所以当227,5x y =-=,即B ()27,5-．选B ．考点：1．对数函数的图象；2．指数函数的图象．4．A【解析】试题分析：因为函数()f x 对任意x R ∈都有()()3f x f x +=-，所以()()()63f x f x f x +=-+=，函数()f x 是周期为6的函数，()()()2017336611f f f =⨯+=，由()()3f x f x +=-可得()()()2321f f f -+=--=，因为函数()f x 的图象关于y 轴对称，所以函数()f x 是偶函数，()()2112224f f ⎛⎫-=== ⎪⎝⎭，所以()2017f =()1f =()2f --=14-，故选A.考点：1、函数的解析式；2、函数的奇偶性与周期性.5．A【解析】试题分析：由指数函数的性质可得，0.431a =>，300.41c <=<，由对数函数的性质得3log 0.40b =<，所以 a b c ，，的大小关系为a c b >>，故选A.考点：1、指数函数的性质；2、对数函数的性质.6．B【解析】试题分析：由幂函数的性质可知()0.630,1d -=∈，再由对数的运算性质可知2log 50a =-<，而()2log 31,2b =∈，又1c =，综合以上可知a d c b <<<，故选B ． 考点：1、对数函数及其性质；2、幂函数及其性质．7．B【解析】 试题分析：因为21221(log 4)(log )(2)34f f f a ==-=-=-，所以23a =，a =0a >，所以a = B.考点：1.函数的奇偶性；2.函数的表示与求值.8．C【解析】试题分析：由函数解析式可知函数为偶函数，当0x ≥时12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭时函数为减函数，所以在0x <时函数为增函数，所以C 图像正确考点：指数函数图像及性质9．D【解析】试题分析：由反函数可知()ln f x x =，函数)(x g y =的图象与函数)(x f y =关于x 轴对称()ln g x x ∴=- ()ln 1g a a a e ∴=-=-∴=考点：函数图像的对称性10．D【解析】试题分析：函数()(),f x g x 分别是R 上的奇函数、偶函数()()()(),f x f x g x g x ∴-=--=，由()()2x f x g x -=得()()()()()()222x x x f x g x f x g x f x g x ------=∴--=∴+=-，解方程组得()()2222,22x x x xf xg x -----==，代入计算()()()2,3,0f f g 比较大小可得()()()023g f f <<考点：函数奇偶性及函数求解析式11．A【解析】 试题分析：()30.1231log 1,21,0.90,12a b c a c b =<=>=∈∴<< 考点：函数性质比较大小12．A【解析】试题分析：()353()()5553a b a b a b f a b f a f b +++=∴=∴⋅===g考点：函数求值13．B【解析】试题分析：xx x f 411212)(+++=Θ x x x f --411212)(+++=-∴ 3411212411212)()(=+++++++=-+∴--x x x x x f x f )12(log )12(log --=+a a Θ3)]12([log )]12([log =-++∴a a f f2)]12([log =-∴a f故答案选B考点：函数求值.14．B【解析】试题分析:由函数的对应关系可得310=x,解之得3lg =x ,应选B.考点：函数概念的本质及对数的运算.15．C【解析】 试题分析：要使函数有意义，需满足()2202log 20x x x ->⎧∴>⎨-≠⎩且3x ≠，所以函数定义域为),3()3,2(+∞Y考点：函数定义域16．B【解析】试题分析:由题设0)(2≥--=a ax x x u 在)31,3(--上恒成立且⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-->≥+=∆0)31(312042u a a a ,解之得20≤≤a .故应选B.考点：二次函数对数函数的图象和性质的综合运用.17．(),2-∞【解析】试题分析：当1x ≥时,1212()log log 10f x x =≤=,此时值域为(],0-∞；当1x <时,10()222x f x <=<=．此时值域为(0,2),故函数的值域为(],0(0,2)-∞U ,即(),2-∞．考点：函数的值域．18．22a b + 【解析】 试题分析：由1173a ⎛⎫= ⎪⎝⎭可以得出7log 3a =，而由7log 4b =可以得到72log 2b =，所以49log 48()7714log 2log 32=+772log 4log 3222b a ++==，即用a 、b 表示49log 48为22a b +，故答案填22a b +． 考点：1、指数式与对数式的互化；2、对数的运算性质．19．1【解析】试题分析：由题意得23log 12,log 12a b ==，则121211log 2,log 3a b ==， 所以()2121212212log 2log 3log 231a b+=+=⨯=. 考点：对数运算及其应用.【方法点晴】此题主要考查指数与对数互化，以及对数运算性质等有关方面的知识与技能，属于中低档题型.在此题的解决过程中，由条件中指数式转化为对数式，即232312log 12,log 12a b a b ==⇒==，利用对数运算的换底公式得121211log 2,log 3a b ==，代入式子得1212212log 2log 3a b+=+，再利用对数的运算性质，从而问题可得解.20．()2 6-，【解析】试题分析：()22x xf x -=-为奇函数且为R 上增函数，所以()()()()()()222230333f x ax a f f x ax a f f x ax a f x ax a -++>⇒-+>-⇒-+>-⇒-+>-对任意实数x 恒成立，即24(3)026a a a ∆=-+<⇒-<<考点：利用函数性质解不等式恒成立【思路点睛】(1)运用函数性质解决问题时，先要正确理解和把握函数相关性质本身的含义及其应用方向.(2)在研究函数性质特别是奇偶性、周期、对称性、单调性、最值、零点时，要注意用好其与条件的相互关系，结合特征进行等价转化研究.如奇偶性可实现自变量正负转化，周期可实现自变量大小转化，单调性可实现去f “”，即将函数值的大小转化自变量大小关系21．），（121 【解析】 试题分析：因为函数12(log )x y a =在R 上是减函数 所以12121log log 1log 1log 021212121<<⇒<<⇒<<a a a 考点：指数函数的单调性；对数函数的单调性.22．()+∞,5【解析】试题分析：由2450x x -->得1x <-或5x >，函数可由()212log ,45f t t t x x ==--复合而成，其中()12log f t t =为减函数，245t x x =--的增区间为()+∞,5，所以函数212()log (45)f x x x =--的单调递减区间为()+∞,5考点：复合函数单调性23．⑴0；⑵5．【解析】试题分析：对问题⑴，根据有理指数幂的运算法则，即可求得代数式20.52031103522216274--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值；对问题⑵，根据对数恒等式、对数的运算法则即可求出5log 350.5551log 352log log log 14550+-+的值． 试题解析：⑴原式12238164922162716-⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 9990488=--=． …………………………6分 ⑵原式()512log 355014log 23=⨯÷++，3135=-+=． ………………………………12分考点：1、指数以及指数式的运算；2、对数以及对数式的运算．24．（1） 2=a ，1=b ;（2）证明见解析；（3） )1,(--∞．【解析】试题分析：（1）寻找关于a,b 的两个方程如).1()1(,0)0(f f f -=-=（2）根据)(x f 的单调性定义证明.（3）由)(x f 单调递减则2121)()(x x x f x f >⇔<且21,x x 满足)(x f 的定义域，将问题转化为关于参数a 的不等式.试题解析：（1）∵)(x f 在定义域为R 是奇函数.所以0)0(=f ，即021=++-ab ，∴1=b . 又由)1()1(f f -=-，即a a +--=++-411121，∴2=a ，检验知，当2=a ，1=b 时，原函数是奇函数.（2）由（1）知121212221)(1++-=+-=+x x x x f ，任取R x x ∈21,，设21x x <，则 )12)(12(22121121)()(21212112++-=+-+=-x x x x x x x f x f ，因为函数x y 2=在R 上是增函数，且21x x <，所以02221<-x x ，又0)12)(12(21>++x x ，∴0)()(12<-x f x f 即)()(12x f x f <，∴函数)(x f 在R 上是减函数.（3）因)(x f 是奇函数，从而不等式0)12()(2>-+x f kx f 等价于)21()12()(2x f x f kx f -=--<，因)(x f 在R 上是减函数，由上式推得x kx 212-<，即对一切]3,21[∈x 有：221xx k -<恒成立， 设x x x x x g 12)1(21)(22⋅-=-=，令]2,31[,1∈=t x t ，则有,2)(2t t t g -=]2,31[∈t ，∴1)1()()(min min -===g t g x g ，∴1-<k ，即k 的取值范围为)1,(--∞.考点：1、函数的奇偶性；2、函数的单调性；3、含参量问题的取值范围．【易错点晴】本题主要考查的是函数的奇偶性、函数的单调性、含参量问题的取值范围，属于难题.对于含参量不等式问题要注意进行灵活变形，转化为)()(x h m x g m <>或的形式，从而max )(x g m > .)(min x h m <或25．（1）4;（2）.21 【解析】试题分析：由,32121=+-x x 两边平方得,71=+-x x 再对它两边平方得472=+-x x 代入所求式子中计算.（2）由公式n m n ma a=和n n n b a ab ⋅=)(进行各项的化简. 试题解析：（1）∵92)(122121=++=+--x x xx ，∴71=+-x x ； 同理492)(2221=++=+--xx x x ，∴4722=+-x x ，所以原式437747=+-=. （2）原式21)23()23(21)23()23(123)23()827(1)49(122)32(323221=+-=+--=+--=----⨯--. 考点：1、分式的化简；2、分数指数幂的运算．26．（1）94（2）132【解析】试题分析：（1）利用指数幂的运算法则即可得出；（2）利用对数的运算法则即可得出． 试题解析：（1）原式20.523814279999116364416164⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-÷+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）原式323100313log 3lg lg 4212lg 4lg 43422=++++=+-++= 考点：指数幂的运算，对数的运算27．（1）()1,1-（2）()f x 为奇函数；证明见解析（3）{}|10x x -<<【解析】试题分析：（1）函数()f x 的定义域需满足1010x x +>⎧⎨->⎩解之可得；（2）因为定义域关于原点对称，故由奇函数的定义判断并证明即可；（3）由()0f x >得()()22log 1log 1x x ->+，利用函数的单调性并结合函数的定义域即可求得x 的取值集合． 试题解析：（1）由题可得：1010x x +>⎧⎨->⎩，解得11x -<<，函数()f x 的定义域为()1,1-（2）因为定义域关于原点对称，又()()()()22log 1log 1f x x x f x -=+--=-， 所以()f x 为奇函数；（3）由()0f x >得()()22log 1log 1x x ->+，所以11x x ->+，得0x <，而11x -<<，解得10x -<<，所以使()0f x >的x 的取值集合是{}|10x x -<<．考点：函数的定义域，奇偶性，单调性等有关性质28．（1）[0,)+∞（2）2[0,log 3）【解析】试题分析：（1）将不等式()()g x f x ≥代入后，结合函数2log y x =的单调性可得到关于x 的不等式，进而得到x 的取值范围；（2）将函数式化简22log (3)1y x =-+，通过[0,)x ∈+∞得到对数真数的取值范围，从而得到函数的值域试题解析：（1）∵22log (31)log (1)x x +≥+∴31010311x x x x +>⎧⎪+>⎨⎪+≥+⎩解得：0x ≥∴x 的取值范围为[0,)+∞ --------6分 （2）2222312log (31)log (1)log log (3)11x y x x x x +=+-+==-++ ∵0x ≥ ∴21331x ≤-<+ 又∵2log y x =在(0,)+∞上单调递增 ∴2220log (3)log 31x ≤-<+ ∴函数的值域为2[0,log 3） ---------12分 考点：对数函数单调性解不等式；函数单调性与值域。
指数与对数练习题
指数与对数练习题指数与对数练习题在数学中，指数和对数是两个重要的概念。
它们在各个领域都有广泛的应用，如科学、工程、金融等。
本文将通过一些练习题来帮助读者巩固和加深对指数和对数的理解。
一、指数题1. 计算以下指数表达式的值：a) 2^3 = 2 × 2 × 2 = 8b) 5^2 = 5 × 5 = 25c) 10^0 = 1d) (-3)^4 = (-3) × (-3) × (-3) × (-3) = 812. 计算以下指数表达式的值，并将结果写成科学计数法形式：a) 6^5 = 6 × 6 × 6 × 6 × 6 = 7776 = 7.776 × 10^3b) 0.5^4 = 0.5 × 0.5 × 0.5 × 0.5 = 0.0625 = 6.25 × 10^-2c) 2^(-3) = 1/(2^3) = 1/8 = 0.125 = 1.25 × 10^-1二、对数题1. 计算以下对数的值：a) log2(8) = 3，因为2^3 = 8b) log10(100) = 2，因为10^2 = 100c) ln(e) = 1，因为e^1 = e2. 计算以下对数的值，并将结果写成小数形式：a) log3(27) = 3，因为3^3 = 27b) log5(125) = 3，因为5^3 = 125c) log7(49) = 2，因为7^2 = 49三、指数和对数的性质指数和对数有一些重要的性质，下面是其中的一些例子：1. 指数的乘法性质：对于任意的正整数a和b，以及任意实数x，有(a^b)^x =a^(b×x)。
这意味着指数的幂可以进行合并。
2. 对数的乘法性质：对于任意的正整数a和b，以及任意实数x，有log_a(b×x) = log_a(b) + log_a(x)。
指数与对数运算练习题
指数运算与对数运算练习题基础题1、用根式的形式表示下列各式)0(>a（1）51a = （2）34a = （3）35a -= （4）32a -=2、用分数指数幂的形式表示下列各式： （1）34y x = （2）)0(2>=m mm（3=（4= ； （5）a a a = ； 3、求下列各式的值（1）238= ；（2）12100-= ； （3）31()4-= ；（4）3416()81-=（5）122[(]-= （6）(1221⎡⎤⎢⎥⎣⎦= （7）=3264一、选择题1、以下四式中正确的是（ ）A 、log 22=4B 、log 21=1C 、log 216=4D 、log 221=41 2、下列各式值为0的是（ ）A 、10B 、log 33C 、（2－3）°D 、log 2∣－1∣ 3、251log 2的值是（ ）A 、－5B 、5C 、51 D 、－51 4、若m ＝lg5－lg2，则10m 的值是（ ）A 、25 B 、3 C 、10 D 、1 5、设N ＝3log 12＋3log 15，则（ ） A 、N ＝2 B 、N ＝2 C 、N ＜－2 D 、N ＞2 6、在)5(log 2a b a -=-中，实数a 的范围是（ ）A 、 a >5或a <2B 、 25<<aC 、 23<<a 或35<<aD 、 34<<a7、 若log [log (log )]4320x =，则x -12等于（ ） A 、 142 B 、122 C 、 8 D 、 48、334log的值是（ ） A 、 16 B 、 2 C 、 3 D 、 49、 nn ++1log （n n －＋1）等于（ ） A 、1 B 、－1 C 、2 D 、－2二、填空题10、用对数形式表示下列各式中的x10x =25：＿＿＿＿； 2x ＝12：＿＿＿＿；4x =61：＿＿＿＿ 11、lg1+lg0.1+lg0.01=_____________ 12、Log 155=m,则log 153=________________13、14lg 2lg 2+-＋∣lg5－1∣＝＿＿＿＿＿＿＿＿＿ 14．（1）．12aa-=, 则 log 12 3= （2）．6log 18log )3(log 2626+= ． （3）____________50lg 2lg 5lg 2=⋅+；（4）5log 38log 932log 2log 25333-+- =________ （5）25lg 50lg 2lg 20lg 5lg -⋅-⋅=__________15 、若lg2＝a ，lg3＝b ，则log 512＝________ 19、 3a ＝2，则log 38－2log 36＝________16、 若2log 2,log 3,m n a a m n a +===_______ 21、 lg25+lg2lg50+(lg2)2= 三、解答题17、求下列各式的值⑴2log 28 ⑵3log 39 ⑶252log 1⑷373log 118、求下列各式的值⑴lg10－5⑵lg0.01 ⑶log 281⑷log 27181 提升题4.化简（1）=••1274331a a a （2）=÷•654323a a a （3）=÷-•a a a 9)(34323 （4）322aa a •= （5）3163)278(--b a = （7）()0,05354215658≠≠÷⋅⎪⎪⎭⎫⎝⎛--b a b a b a =5.计算（1）43512525÷-(2) （3）210319)41()2(4)21(----+-⋅- (4) ()5.0212001.04122432-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛--（5）48373271021.097203225.0+-⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛--π（6）24130.753323(3)0.04[(2)]168----++-+6.解下列方程 （1）1318x- = （2）151243=-x （3）1321(0.5)4x x --= 7.(1).已知11223a a-+=，求下列各式的值（1）1a a -+= ；（2）22a a -+=（2）.若13a a -+=，求下列各式的值：（1）1122a a -+= ；（2）22a a -+= ； (3).使式子34(12)x --有意义的x 的取值范围是 _. (4).若32a =，135b -=,则323a b -的值= . 8、求lg 25+lg2·lg25+lg 22的值 9、化简计算：log 2251·log 381·log 591 10、 化简：()()24525log 5+log 0.2log 2+log 0.5. 11、 若()()lg lg 2lg 2lg lg x y x y x y -++=++，求x y的值．12、 .已知 2log 3 = a ， 3log 7 = b ，用 a ，b 表示42log 56. 13、计算，（1）0.21log 35-； （2）4912log 3log 2log ⋅- （3）（log 25+log 4125）5log 2log 33⋅。
高中数学第四章指数函数与对数函数重点易错题(带答案)
高中数学第四章指数函数与对数函数重点易错题单选题1、若√4a 2−4a +1=√(1−2a)33，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[12,+∞)B ．(−∞,12]C ．[−12,12]D ．R 答案：B分析：根据根式与指数幂的运算性质，化简得到√(2a −1)2=√(1−2a)33，即可求解. 根据根式和指数幂的运算性质，因为√4a 2−4a +1=√(1−2a)33， 可化为√4a 2−4a +1=√(1−2a)33，即√(2a −1)2=√(1−2a)33， 可得|2a −1|=1−2a ，所以1−2a ≥0，即a ≤12．故选：B.2、已知函数f(x)=3|x|+x 2+2，则f(2x −1)>f(3−x)的解集为（ ） A ．(−∞,43)B ．(43,+∞)C ．(−2,43)D ．(−∞,−2)∪(43,+∞)答案：D分析：根据函数奇偶性可得f(x)为偶函数，根据解析式直接判断函数在[0,+∞)上的单调性，则可结合奇偶性与单调性解不等式得解集.解：因为f(x)=3|x|+x 2+2，则x ∈R所以f(−x)=3|−x|+(−x)2+2=3|x|+x 2+2=f(x)，则f(x)为偶函数，当x ⩾0时，f(x)=3x +x 2+2，又y =3x ，y =x 2+2在[0,+∞)上均为增函数，所以f(x)在[0,+∞)上为增函数，所以f(2x −1)>f(3−x)，即|2x −1|>|3−x|，解得x <−2或x >43，所以f(2x −1)>f(3−x)的解集为(−∞,−2)∪(43,+∞). 故选：D.3、函数f(x)={a x ,(x <0)(a −2)x +3a,(x ≥0)，满足对任意x 1≠x 2，都有f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2<0成立，则a 的取值范围是（ ）A．a∈(0,1)B．a∈[13,1)C．a∈(0,13]D．a∈[13,2)答案：C分析：根据条件可知f(x)在R上单调递减，从而得出{0<a<1a−2<03a⩽1，解出a的范围即可．解：∵f(x)满足对任意x1≠x2，都有f(x1)−f(x2)x1−x2<0成立，∴f(x)在R上是减函数，因为f(x)={a x,(x<0)(a−2)x+3a,(x≥0)∴{0<a<1a−2<0(a−2)×0+3a⩽a0，解得0<a⩽13，∴a的取值范围是(0,13]．故选：C．4、已知函数y=a x、y=b x、y=c x、y=d x的大致图象如下图所示，则下列不等式一定成立的是（）A．b+d>a+c B．b+d<a+c C．a+d>b+c D．a+d<b+c答案：B分析：如图，作出直线x=1,得到c>d>1>a>b，即得解.如图，作出直线x=1,得到c>d>1>a>b，所以b+d<a+c.故选：B5、在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压.为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（）A．10名B．18名C．24名D．32名答案：B分析：算出第二天订单数，除以志愿者每天能完成的订单配货数即可.由题意，第二天新增订单数为500+1600−1200=900，900=18，故至少需要志愿者18名.50故选：B【点晴】本题主要考查函数模型的简单应用，属于基础题.6、函数y=log2(2x−x2)的单调递减区间为（）A．(1,2)B．(1,2]C．(0,1)D．[0,1)答案：A分析：先求出函定义域，再通过换元法利用复合函数“同增异减”的性质得到结果由2x −x 2>0，得0<x <2， 令t =2x −x 2，则y =log 2t ，t =2x −x 2在(0,1)上递增，在(1,2)上递减， 因为y =log 2t 在定义域内为增函数，所以y =log 2(2x −x 2)的单调递减区间为(1,2)， 故选：A7、化简√−a 3·√a 6的结果为（ ） A ．−√a B ．−√−a C ．√−a D ．√a 答案：A分析：结合指数幂的运算性质，可求出答案. 由题意，可知a ≥0，∴√−a 3·√a 6=(−a )13⋅a 16=−a 13⋅a 16=−a 13+16=−a 12=−√a .故选：A.8、已知2a =5,log 83=b ，则4a−3b =（ ） A ．25B ．5C ．259D ．53 答案：C分析：根据指数式与对数式的互化，幂的运算性质以及对数的运算性质即可解出． 因为2a =5，b =log 83=13log 23，即23b =3，所以4a−3b =4a 43b=(2a )2(23b )2=5232=259．故选：C. 多选题9、若实数a ,b 满足2a +3a =3b +2b ,则下列关系式中可能成立的是（ ） A ．0<a <b <1B ．b <a <0C ．1<a <b D ．a =b 答案：ABD解析：根据题目实数a ,b 满足2a +3a =3b +2b ,设f (x )=2x +3x ,g (x )=3x +2x ,画出函数图象,逐段分析比较解：因为实数a,b满足2a+3a=3b+2b.设f(x)=2x+3x,g(x)=3x+2x由图象可知①当x<0时,f(x)<g(x),所以2a+3a=3b+2b,即b<a<0,故B正确和②当x=0时,f(x)=g(x),所以2a+3a=3b+2b,即a=b=0,故D正确③当0<x<1时,f(x)>g(x),所以2a+3a=3b+2b,即0<a<b<1,故A正确④当x=1时,f(x)=g(x),所以2a+3a=3b+2b,即a=b=1,故D正确⑤当x>1时,f(x)<g(x),所以2a+3a=3b+2b,即1<b<a,故C错误.故选：ABD小提示：本题考查指数函数的图象和根据函数值大小比较指数,属于中档题.10、已知a>b>1>c>0，则（）A．1a−c >1b−cB．log c(a−c)>log c(b−c)C．(a−c)c−1<(b−c)c−1D．(1−c)a−c<(1−c)b−c分析：由条件可知a −c >b −c >0，再利用函数的单调性，判断选项. 因为a −c >b −c >0，A ：故1a−c <1b−c ，A 错误；B ：y =log c x 为减函数，故B 错误；C ：幂函数y =x c−1在(0,+∞)上为减函数，故C正确；D ：函数y =(1−c )x 为减函数，故D 正确. 故选：CD11、若函数y =a x −(b +1)（a >0且a ≠1）的图像过第一、三、四象限，则必有（ ）． A ．0<a <1B ．a >1C ．b >0D ．b <0 答案：BC分析：对底数a 分情况讨论即可得答案.解：若0<a <1，则y =a x −(b +1)的图像必过第二象限，而函数y =a x −(b +1)（a >0且a ≠1）的图像过第一、三、四象限，所以a >1．当a >1时，要使y =a x −(b +1)的图像过第一、三、四象限，则b +1>1，即b >0． 故选：BC小提示：此题考查了指数函数的图像和性质，属于基础题.12、若f (x )满足对定义域内任意的x 1,x 2，都有f (x 1)+f (x 2)=f (x 1⋅x 2)，则称f (x )为“好函数”，则下列函数是“好函数”的是（ ）A ．f (x )=2xB ．f (x )=(12)xC ．f (x )=log 12x D ．f (x )=log 3x答案：CD分析：利用“好函数”的定义，举例说明判断A ，B ；计算判断C ，D 作答.对于A ，函数f (x )定义域为R ，取x 1=1,x 2=2，则f (x 1)+f (x 2)=6，f (x 1⋅x 2)=4， 则存在x 1,x 2，使得f (x 1)+f (x 2)≠f (x 1⋅x 2)，A 不是；对于B ，函数f (x )定义域为R ，取x 1=1,x 2=2，则f (x 1)+f (x 2)=34，f (x 1⋅x 2)=14， 则存在x 1,x 2，使得f (x 1)+f (x 2)≠f (x 1⋅x 2)，B 不是；对于C ，函数f (x )定义域{x|x >0}内任意的x 1,x 2，f (x 1)+f (x 2)=log 12x 1+log 12x 2=log 12(x 1x 2)=f (x 1⋅x 2)，对于D ，函数f (x )定义域{x|x >0}内任意的x 1,x 2，f (x 1)+f (x 2)=log 3x 1+log 3x 2=log 3(x 1x 2)=f (x 1⋅x 2)，D 是． 故选：CD13、下列运算（化简）中正确的有（ ）． A ．(a 16)−1⋅(a−2)−13=a 12B ．(x a −1y)a⋅(4y −a )=4x C ．[(1−√2)2]12−(1+√2)−1+(1+√2)0=3−2√2D ．2a 3b 23⋅(−5a 23b 13)÷(4√a 4b 53)=−52a 73b −23 答案：ABD分析：根据指数幂的运算法则逐一验证即可 对于A ：(a 16)−1⋅(a −2)−13=a −16+23=a12，故A 正确；对于B ：(x a −1y)a⋅(4y −a )=4x 1a ×a y a−a =4xy 0=4x ，故B 正确； 对于C ：[(1−√2)2]12−(1+√2)−1+(1+√2)0=[(√2−1)2]12−1+√2+1=√2−1−(√2−1)+1=1，故C 错误；对于D ：2a 3b 23⋅(−5a 23b 13)÷(4√a 4b 53)=[2×(−5)÷4]a3+23−43b23+13−53=−52a 73b −23，故D 正确；故选：ABD 填空题14、已知5a =2，5b =3，则log 2594=___________（用a ､b 表示）. 答案：b −a ##−a +b分析：根据对数的运算性质可得log 2594=log 53−log 52，再由指对数关系有a =log 52，b =log 53，即可得答案.由log 2594=log 532=log 53−log 52，又5a =2，5b =3，∴a=log52，b=log53，故log2594=b−a.所以答案是：b−a.15、已知函数f(x)是指数函数，且f(2)=9，则f(12)=______．答案：√3分析：依题意设f(x)=a x（a>0且a≠1），根据f(2)=9即可求出a的值，从而求出函数解析，再代入计算可得.解：由题意，设f(x)=a x（a>0且a≠1），因为f(2)=9，所以a2=9，又a>0，所以a=3，所以f(x)=3x，所以f(12)=√3．所以答案是：√316、当x∈[k−12,k+12),k∈Z时，f(x)=k.若函数g(x)=xf(x)−mx−1没有零点，则正实数m的取值范围是___________.答案：[1,43)∪[85,2)分析：将问题转化为函数f(x)与ℎ(x)=1x+m图象的交点问题，结合图象得出正实数m的取值范围. 当x=0时，g(0)=−1≠0当x≠0时，xf(x)−mx−1=0可化为f(x)=1x+m作出函数f(x)与ℎ(x)=1x+m的图象由图可知当x <0时，要使得函数g(x)=xf(x)−mx −1没有零点 必须满足−1≤ℎ(−12)<0，解得1≤m <2当x >0时，要使得函数g(x)=xf(x)−mx −1没有零点必须满足1≤ℎ(32)<2或者2≤ℎ(52)<3，解得13≤m <43或85≤m <135综上，m ∈[1,43)∪[85,2) 所以答案是：[1,43)∪[85,2)小提示：关键点睛：解决本题的关键在于将问题转化为函数图象的交点问题，结合数形结合的思想方法解决问题. 解答题17、给出下面两个条件：①函数f (x )的图象与直线y =−1只有一个交点；②函数f (x )的两个零点的差的绝对值为2.在这两个条件中选择一个，将下面问题补充完整，使函数f (x )的解析式确定. 已知二次函数f (x )=ax 2+bx +c 满足f (x +1)−f (x )=2x −1，且______. (1)求f (x )的解析式；(2)若对任意x ∈[19,27]，2f (log 3x )+m ≤0恒成立，求实数m 的取值范围；(3)若函数g (x )=(2t −1)f (3x )−2×3x −2有且仅有一个零点，求实数t 的取值范围. 答案：(1)选①f (x )=x 2−2x ，选②f (x )=x 2−2x (2)(−∞,−16] (3){−√3+12}∪(12,+∞) 分析：（1）利用已知条件求出a 、b 的值，可得出f (x )=x 2−2x +c .选①，由题意可得出f (1)=−1，可得出c 的值，即可得出函数f (x )的解析式； 选②，由根与系数的关系求出c 的值，即可得出函数f (x )的解析式；（2）ℎ=log 3x ，ℎ∈[−2,3]，由参变量分离法可得出m ≤[−2f (ℎ)]min ，结合二次函数的基本性质可求得实数m 的取值范围；（3）令n =3x >0，所以关于n 的方程(2t −1)f (n )−2n −2=0有且仅有一个正实根，对实数t 的取值进行分类讨论，结合二次函数的零点分布可得出关于实数n 的不等式组，综合可解得实数t 的取值范围. （1）解：因为二次函数f (x )=ax 2+bx +c 满足f (x +1)−f (x )=2x −1，f (x +1)−f (x )=a (x +1)2+b (x +1)+c −ax 2−bx −c =2ax +a +b =2x −1， 所以{2a =2a +b =−1，解得{a =1b =−2，所以f (x )=x 2−2x +c .选①，因为函数f (x )的图象与直线y =−1只有一个交点，所以f (1)=1−2+c =−1，解得c =0， 所以f (x )的解析式为f (x )=x 2−2x .选②，设x 1、x 2是函数f (x )的两个零点，则|x 1−x 2|=2，且Δ=4−4c >0，可得c <1， 由根与系数的关系可知x 1+x 2=2，x 1x 2=c ，所以|x 1−x 2|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√4−4c =2，解得c =0， 所以f (x )的解析式为f (x )=x 2−2x . （2）解：由2f (log 3x )+m ≤0，得m ≤−2f (log 3x )，当x ∈[19,27]时，log 3x ∈[−2,3]，令ℎ=log 3x ，则ℎ∈[−2,3]，所以对任意x ∈[19,27]，2f (log 3x )+m ≤0恒成立，等价于m ≤−2f (ℎ)在ℎ∈[−2,3]上恒成立， 所以m ≤[−2f (ℎ)]min =−2f (−2)=−16，所以实数m 的取值范围为(−∞,−16]. （3）解：因为函数g (x )=(2t −1)f (3x )−2×3x −2有且仅有一个零点，令n =3x >0，所以关于n 的方程(2t −1)f (n )−2n −2=0有且仅有一个正实根， 因为f (x )=x 2−2x ，所以(2t −1)n 2−4tn −2=0有且仅有一个正实根， 当2t −1=0，即t =12时，方程可化为−2n −2=0，解得n =−1，不符合题意；当2t −1>0，即t >12时，函数y =(2t −1)x 2−4tx −2的图象是开口向上的抛物线，且恒过点(0,−2)， 所以方程(2t −1)n 2−4tn −2=0恒有一个正实根；当2t −1<0，即t <12时，要使得(2t −1)n 2−4tn −2=0有且仅有一个正实根，{�=16t 2+8(2t −1)=02t 2t−1>0，解得t =−√3+12. 综上，实数t 的取值范围为{−√3+12}∪(12,+∞).18、大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵．记鲑鱼的游速为V (m/s)，鲑鱼的耗氧量的单位数为Q ，研究中发现V 与log 3Q 100成正比，且当Q ＝900时，V ＝1.（1）求出V 关于Q 的函数解析式；（2）计算一条鲑鱼的游速是1.5 m/s 时耗氧量的单位数．答案：（1）V =12log 3Q 100；（2）2700个单位．分析：（1）根据成正比的性质，结合代入法进行求解即可；（2）利用代入法，结合对数与指数式互化公式进行求解即可.解：（1）设V ＝k ·log 3Q 100，∵当Q ＝900时，V ＝1，∴1＝k ·log 3900100， ∴k ＝12，∴V 关于Q 的函数解析式为V =12log 3Q 100;（2）令V ＝1.5，则1.5=12log 3Q 100⇒log 3Q 100=3⇒Q 100=33=27，∴Q ＝2 700，即一条鲑鱼的游速是1.5 m/s 时耗氧量为2700个单位．。
(完整版)对数运算练习题(含答案).docx
对数运算练习题1.将下列指数式改为对数式：（1）12316 _________________（ 2）814x __________________ 42.将下列对数式改为指数式：（1）log483（ 2）log1x 5 ______________ ___________________423. 3log33log37149___________ 24log3 4 log3124.log a x2log a n log a p ，则x___________ log a m25. lg 0.0622lg 61_____________ lg 66. 下列指数式与对数式互化不正确的一组是（）A 10011与 log 2711 1与 lg10B27 3333 11与51C log392与 923D log 5 557. 已知log x16 2 ，则 x 的值为（）A 4B4C4D 1 48. 下列各等式中，正确运用对数运算性质的是（）A lg x2 y z lg x 2lg z B lg x2 y z2lg y2lg z lg y lg xC lg x2 y z2lg x lg y2lg zD lg x2 y z2lg x lg y 1lg z9. 以下运算中结果正确的是2（）A log102log 10 5 1B log 4 6log 4 21 log 4 32131log 2 8C log52lg x lg y2lg z D3 log 2 8 3 35310. 已知a log 3 2 ，那么 log 3 82log 3 6 ，用 a 表示是（）A a2B5a2C 3a12D3a a21 a11.计算：11lg9lg 240（1）lg 4 lg5lg20 lg522（ 2）2lg 27lg3613512. 已知log a2x,log a 3y ，求 a2 x y的值13. 设在海拔x米处的大气压强是yPa ，已知 y ce kx，其中 c, k 为常数，若沿海某地元旦那天，在海平面的大气压强为 1.01105 Pa ，100米高空的大气压强是0.90 105 Pa ，求8000米高空的大气压强（结果保留 4 为有效数字）答案： 1. （1）log11623（2）log81x44 352. （ 1）448（ 2）1x23.34.m15.n2 p6.C7.B8.D9.A10.A11.(1)2(2)112.1213.4.015 104 Pa。
指数式与对数式经典练习及答案
[基础巩固]1．(多选)下列指数式与对数式的互化，正确的一组是( )A ．e 0＝1与ln 1＝0C ．log 24＝2与412 ＝2D ．log 55＝1与51＝5解析 指数式与对数式的互化中，其底数都不变，指数式中的函数值与对数式中的真数相对应，对于C ，log 24＝2⇔22＝4，而412 ＝2⇔log 42＝12.故选ABD. 答案 ABD2．已知log 381＝x ，则x 等于( )A ．－8B ．8C ．4D ．－4 解析 由题意得，(3)x ＝81, 3x 2 ＝34，x ＝8.答案 B3.的值为( ) A ．6B ．72C ．8D ．37解析＝2×4＝8.答案 C4．log 6[log 4(log 381)]＝________.解析 令t ＝log 381，则3t ＝81＝34，∴t ＝4，即log 381＝4.原式＝log 6(log 44)＝log 61＝0.答案 05．若a >0，a 23 ＝49 ，则log 23a 的值等于________． 解析 ∵a 23 ＝49 ，a >0，∴a ＝⎝⎛⎭⎫49 32 ＝⎝⎛⎭⎫23 3 . 设log 23a ＝x ，∴⎝⎛⎭⎫23 x＝a .∴x ＝3. 答案 36．计算：[能力提升]7．(多选)以下四个选项，正确的是( )A ．lg(lg 10)＝0B ．ln(ln e)＝0C ．若10＝lg x ，则x ＝10D ．若e ＝ln x ，则x ＝e 2解析 lg(lg 10)＝lg 1＝0，故A 正确； ln(ln e)＝ln 1＝0，故B 正确；若10＝lg x ，则x ＝1010，故C 错误； 若e ＝ln x ，则x ＝e e ，故D 错误．答案 AB8．已知x ＝log 23，则23x －2－3x2x －2－x＝________. 解析 由x ＝log 23，得2x ＝3,2－x ＝13， 所以23x －2－3x 2x －2－x ＝33－⎝⎛⎭⎫1333－13＝919.答案 919 9．＝4＋12＋32＝6. 答案 610．已知log 2(log 3(log 4x ))＝0，且log 4(log 2y )＝1.求x ·y 34 的值． 解析 ∵log 2(log 3(log 4x ))＝0，∴log 3(log 4x )＝1，∴log 4x ＝3，∴x ＝43＝64.由log 4(log 2y )＝1，知log 2y ＝4，∴y ＝24＝16.因此x ·y 34 ＝64 ×1634 ＝8×8＝64.[探索创新]11．已知log a b ＝log b a (a >0，且a ≠1；b >0，且b ≠1)．求证：a ＝b 或a ＝1b. 证明 设log a b ＝log b a ＝k ，则b ＝a k ，a ＝b k ，∴b ＝(b k )k ＝. ∵b >0，且b ≠1，∴k 2＝1，即k ＝±1.当k ＝－1时，a ＝1b； 当k ＝1时，a ＝b .∴a ＝b 或a ＝1b，命题得证．。
对数与指数函数练习题及解析
对数与指数函数练习题及解析题目：对数与指数函数练习题及解析正文：本文将为读者提供一些对数与指数函数的练习题，并给出详细的解析过程，帮助读者更好地掌握这一部分知识。
练习题一：计算下列对数值：1. log2(8)2. log5(25)3. ln(e)4. log9(81)解析：1. log2(8) = log(8)/log(2) = 32. log5(25) = log(25)/log(5) = 23. ln(e) = 14. log9(81) = log(81)/log(9) = 2练习题二：求解下列指数方程：1. 2^x = 162. 3^(2x-1) = 273. e^x = 10解析：1. 2^x = 16，可以写成2^x = 2^4，由指数对数关系可得x = 42. 3^(2x-1) = 27，可以写成3^(2x-1) = 3^3，由指数对数关系可得2x-1 = 3，解得x = 23. e^x = 10，可以写成e^x = e^ln(10)，由指数对数关系可得x = ln(10)练习题三：计算下列对数方程的解：1. log2(x) = 32. log5(x) = -1解析：1. log2(x) = 3，可以写成2^3 = x，解得x = 82. log5(x) = -1，可以写成5^(-1) = x，解得x = 1/5练习题四：给定函数f(x) = log2(x)，求解f(x)的图像在x轴上的截距点。
解析：对于f(x) = log2(x)，当x = 2^0 = 1时，f(x) = log2(1) = 0，因此f(x)的图像在x轴上的截距点为(1, 0)。
练习题五：给定函数f(x) = e^x，求解f(x)的图像在y轴上的截距点。
解析：对于f(x) = e^x，当x = 0时，f(x) = e^0 = 1，因此f(x)的图像在y轴上的截距点为(0, 1)。
通过以上练习题及解析，读者可以加深对数与指数函数的理解，并在解题过程中掌握相关的计算方法和技巧。
指数与对数函数计算练习题
指数与对数函数计算练习题题目一：已知一个指数函数的定义域为实数集，它的底数是2，当自变量为3时，函数值为8，请问此指数函数的解析式是什么？解析：由已知条件可得到指数函数的解析式：f(x) = 2^x将x=3代入解析式中可得到函数值为8，即：2^3 = 8因此，此指数函数的解析式为：f(x) = 2^x题目二：已知一个对数函数的定义域为正实数集，它的底数为10，当函数值为3时，求对应的自变量是多少？解析：由题意可得到对数函数的解析式：f(x) = log10(x)将函数值为3代入解析式中可得到：log10(x) = 3根据对数的定义可知，底数10的对数函数将10的多少次方等于x，即10^3 = x因此，对应的自变量为1000。
题目三：已知一个指数函数的解析式为f(x) = 3^x，求函数的定义域。
解析：由指数函数的定义可知，底数必须大于0且不等于1。
因此，在此例中底数为3，满足定义的要求。
另外，在指数函数中，并没有对自变量x的限制，它的定义域是整个实数集。
题目四：已知一个对数函数的解析式为f(x) = log2(x)，求函数的定义域。
解析：由对数函数的定义可知，必须满足x大于0才能进行求解。
在此例中，底数为2，满足定义的要求。
同时，根据对数的定义可知，对数函数的定义域是正实数集。
因此，函数的定义域为正实数集。
题目五：已知一个指数函数的解析式为f(x) = 2^x，求函数的值域。
解析：指数函数的值域是整个正实数集，因为当自变量x为任意实数时，底数2的x次方都是正实数。
题目六：已知一个对数函数的解析式为f(x) = log3(x)，求函数的值域。
解析：对数函数的值域是整个实数集，因为不论底数是多少，对数函数的结果都可以取到所有实数。
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指数式与对数式的互化（三）
1．若log x=z，则（ ）
A．y7=x z B．y=x7z C．y=7•x z D．x=z7y
【考点】指数式与对数式的互化．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】先把对数化为指数，再两边乘方，即可得出结论．
【解答】解：∵log x=z，
∴x z=，
两边7次方，得x7z=y，
即y=x7z．
故选：B．
【点评】本题考查了把对数化为指数的运算问题，是基础题目．
2．（2014•渝中区校级三模）已知实数a、b满足等式2a=3b，下列五个关系式：
①0＜b＜a
②a＜b＜0
③0＜a＜b
④b＜a＜0
⑤a=b=0，
其中有可能成立的关系式有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】指数式与对数式的互化．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】画出指数函数y=2x，y=3x，的图象，利用单调性即可得出．
【解答】解：如图所示：画出函数y=2x，y=3x，的图象．
由图象可知：
（1）当x＞0时，若2a=3b，则a＞b；
（2）当x=0时，若2a=3b，则a=b=0；
（3）当x＜0时，若2a=3b，则a＜b．
综上可知：有可能成立的关系式是①②⑤．
故选C．
【点评】熟练画出指数函数的图象并掌握其单调性是解题的关键． 3．（2013春•浦东新区期中）将a 2b =N （a ＞0，a ≠1）转化为对数形式，其中错误的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【考点】指数式与对数式的互化．【专题】规律型．【分析】根据指数式和对数式之间的关系，以及对数的运算法则分别进行判断．【解答】解：根据指数式和对数式之间的关系可得，若a 2b =N ，则2b=log a N ，即，∴A 正确．若a 2b =N ，则（a 2）b =N ，则，∴B 正确．若a 2b =N ，则（a b ）2=N ，则，∴C 正确．∴D 错误．故选D ．【点评】本题主要考查指数式和对数式之间互化，要牢记转化公式：a b =N ⇔b=log a N ． 4．（2013秋•金台区期中）一种放射性元素，每年的衰减率是8%，那么a 千克的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）t 等于（ ）
A ．lg
B ．lg
C ．
D ．【考点】指数式与对数式的互化；指数函数的实际应用．【专题】计算题．【分析】设这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）t ，可以得出一个方程，得两边取对数，再用换底公式变形，求出t ；【解答】解：a 千克的这种物质的半衰期（剩余量为原来的一半所需的时间）为t ，
a （1﹣8%）t =，两边取对数，lg0.92t =lg0.5，即tlg0.92=lg0.5，
∴t=
故选C；
【点评】本题以实际问题为载体，考查指数函数模型的构建，考查解指数方程，属于基础题．
5．（2014秋•大兴区期中）已知，则有（ ）
A．a2b=cB．a2c=bC．b c=2a D．c2a=b
【考点】指数式与对数式的互化．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】利用指数式与对数式的互化即可得出．
【解答】解：∵，∴（a2）c=b，∴a2c=b．
故选B．
【点评】本题考查了指数式与对数式的互化，属于基础题．
6．（2013秋•武侯区校级期末）若a=b2（b＞0且b≠1）则有（ ）
A．log2a=b B．log2b=a C．log b a=2D．log a b=2
【考点】指数式与对数式的互化．
【专题】转化思想．
【分析】由a=b2（b＞0且b≠1）⇔log b a=2，可知正确答案．
【解答】解：∵a=b2（b＞0且b≠1），
∴log b a=2．
故选C．
【点评】本题考查指数式与对数式的相互转化，比较简单，解题时要细心计算．。