选修2-1空间向量单元测试题(经典)

第三章 单元质量评估(二)

时限：120分钟

满分：150分

第Ⅰ卷(选择题 共60分)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)

1．已知空间四边形ABCD ，G 是CD 的中点，连接AG ，则AB →＋12(BD →＋BC →

)＝( )

A.AG →

B.CG →

C.BC

→ D.12BC →

解析：在△BCD 中，因为G 是CD 的中点，所以BG →＝12(BD →＋BC →)，从而AB →＋12(BD →＋BC →)＝AB

→＋BG →＝AG →，故选A. 答案：A

2．设l 1的方向向量为a ＝(1,2，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－2,3，m )，若l 1⊥l 2，则m 等于( )

A ．1

B ．2 C.1

2

D ．3

解析：∵l 1⊥l 2，

∴a ·b ＝0，代入可解得m ＝2. 答案：B

3．已知i ，j ，k 为单位正交基底，a ＝3i ＋2j －k ，b ＝i －j ＋2k ，

则5a 与3b 的数量积等于( )

A ．－15

B ．－5

C ．－3

D ．－1

解析：∵i ，j ，k 两两垂直且|i |＝|j |＝k |＝1，∴5a ·3b ＝(15i ＋10j －5k )·(3i －3j ＋6k )＝45－30－30＝－15.

答案：A

4．已知二面角α—l —β的大小为60°，m ，n 为异面直线，且m ⊥α，n ⊥β，则m ，n 所成的角为( )

A ．30°

B ．60°

C ．90°

D ．120°

解析：设m ，n 的方向向量分别为m ，n .

由m ⊥α，n ⊥β知m ，n 分别是平面α，β的法向量． ∵|cos 〈m ，n 〉|＝cos60°＝12，∴〈m ，n 〉＝60°或120°. 但由于两异面直线所成的角的范围为⎝ ⎛

⎦⎥⎤0，π2， 故异面直线m ，n 所成的角为60°. 答案：B

5．已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(－2，－4，－6)，|c |＝14，若(a ＋b )·c ＝7，则a 与c 的夹角为( )

A ．30°

B ．60°

C ．120°

D ．150°

解析：设向量a ＋b 与c 的夹角为α，因为a ＋b ＝(－1，－2，－

3，)，|a ＋b |＝14，cos α＝(a ＋b )·c |a ＋b ||c |

＝1

2，

所以α＝60°.

因为向量a ＋b 与a 的方向相反，所以a 与c 的夹角为120°.故选C.

答案：C

6．如图，空间四边形OABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝2GN .设OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ，y ，z 的值分别为( )

A.13，13，13

B.13，13，16

C.13，16，13

D.16，13，13

解析：∵MG ＝2GN ，∴MG →＝23MN →. 故OG →＝OM →＋MG →＝OM →＋23(ON →－OM →) ＝13OM →＋23ON →＝13×12OA →＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤

12(OB →＋OC →)

＝16OA →＋13OB →＋13OC →

.

答案：D

7．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( )

A.55

B.53

C.255

D.35

解析：不妨设CB ＝1，则CA ＝CC 1＝2.由题图知，A 点的坐标为(2,0,0)，B 点的坐标为(0,0,1)，B 1点的坐标为(0,2,1)，C 1点的坐标为(0,2,0)．

所以BC 1→＝(0,2，－1)，AB 1

→＝(－2,2,1)． 所以cos 〈BC 1→，AB 1→〉＝0×(－2)＋2×2＋(－1)×135

＝55. 答案：A

8．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是CD ，CC 1

的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成角的大小是( )

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．90°

解析：如图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．设该正方体的棱长为2，则A 1(2,0,2)，M (0,1,0)，N (0,2,1)．∴A 1M →＝(－2,1，－2)，DN →＝(0,2,1)，∴cos 〈A 1M →，DN →〉＝A 1M →·DN →|A 1

M →|·|DN →|

＝0.∴异面直线A 1M 与DN 所成角的大小是90°.

答案：D

9．如图所示，在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2

3a ，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )

A ．相交

B ．平行

C ．垂直

D ．不能确定

解析：在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， ∵|A 1B |＝|AC |＝2a ， ∴A 1M →＝13A 1B →，AN →＝13AC →，

MN →＝MA 1→＋A 1A →＋AN →＝－13A 1B →＋A 1A →＋AN → ＝－13A 1A →－13A 1B 1→＋A 1

A →＋13AD →＋13A 1

B 1→ ＝23A 1A →＋13AD →＝23B 1B →＋13B 1

C 1→

. 因此MN →，B 1B →，B 1C 1→共面． 又∵MN ⊄平面BB 1C 1C ， ∴MN ∥平面BB 1C 1C . 答案：B

10．正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都相等，则AC 1和平面BB 1C 1C 所成角的余弦值为( )