选修2-1空间向量单元测试题(经典)
高中数学选修2-1《空间向量与立体几何》测试题
高二数学空间向量测试题第一卷一 选择题(每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的) 1、在以下命题中：①假设向量a 、b 共线，那么a 、b 所在的直线平行；②假设向量a 、b 所在的直线是异面直线，那么a 、b 一定不共面； ③假设a 、b 、c 三向量两两共面，那么a 、b 、c 三向量一定也共面；④三向量a 、b 、c ，那么空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ． 其中正确命题的个数为 〔 〕A .0 B. 1 C. 2 D. 3 2、空间四边形ABCD 中，,,,c AD b BC a AB ===那么=CD ( )A ．c b a -+B.c b a --C ．c b a +--D ．c b a ++-3、平行四边形ABCD 中，A (4，1，3)、B (2，－5，1)、C (3，7，－5)，那么顶点D 的坐标为( )A ．)1,4,27(-B ．(2，3，1)C ．(－3，1，5)D ．(5，13，－3)4、a ＝(－1，－5，－2)，b ＝(2,2,+x x )，假设b a ⊥，那么x ＝( )A ．0B ．314-C ．－6D ．±65、设a ＝(2,1,-m )，b ＝(n ,4,3-)，假设b a //，那么m ，n 的值分别为( )A ．43，8 B ．43-，—8 C ．43-，8 D ．43，－8 6、向量a (0，2，1)，b (－1，1，－2)，那么a 与b 的夹角为( )A ．0°B ．45°C ．90°D ．180°7、假设斜线段AB 是它在平面α 内的射影长的2倍，那么AB 与α 所成的角为( )A ．60°B ．45°C ．30°D ．120°8、a ＝〔2，－1，3〕，b ＝〔－1，4，－2〕，c ＝〔7，5，λ〕，假设a 、b 、c 三向量共面，那么实数λ等于 〔 〕A ．627 B. 637 C. 647 D. 6579、在正三角形ABC 中，AD ⊥BC 于D ，沿AD 折成二面角B －AD －C 后，AB BC 21=，这时二面角B －AD －C 的大小为( )A ．60°B ．45°C ．90°D ．120°10、矩形ABCD 中，AB ＝1，2=BC ，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝1，那么PC 与平面ABCD 所成的角是( ) A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°11、设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足0,0,0=⋅=⋅=⋅AD AC AD AB AC AB那么△BCD 是 〔 〕 A ．钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 不确定12、P A 、PB 、PC 是从P 点引出的三条射线，每两条的夹角为60°，那么直线PC 与平面APB所成角的余弦值为( )A ．21 B ．36 C ．33 D ．23第二卷二、填空题13、向量a ＝(4，－2，－4)，b ＝(6，－3，2)，那么a 在b 方向上的投影是______． 14、)1,1,2(),2,0,1(==AC AB ，那么平面ABC 的一个法向量为____________．15、∠BOC 在平面α 内，OA 是平面α 的一条斜线，假设∠AOB ＝∠AOC ＝60°，OA ＝OB ＝OC ＝a ，BC ＝2a ，那么OA 与平面α 所成的角是______．16、以下命题中：(1)0=⋅b a 那么a ＝0或b ＝0；(2)==⋅⋅⋅⋅⋅22||||)3();()(q p c b a c b a2)(q p ⋅；(4)假设a 与b c a c b a ⋅⋅⋅⋅-)()(均不为0，那么它们必垂直．其中真命题的序号是______．三、解答题17、如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，1,,AA b AD a AB ==,2,MC AM c ==ND N A 21=，试用基底},,{c b a 表示.MN18、如图，底面ABCD 为矩形，侧棱P A ⊥底面ABCD ，3=AB ，BC ＝1，P A ＝2，求直线AC与PB 所成角的余弦值．19、一条线段夹在一个直二面角的两个面内，它和两个面所成的角都是30°，求这条线段与这个二面角的棱所成的角。
高中数学选修2-1第三章《空间向量与立体几何》单元检测卷含解析
选修2-1第三章《空间向量与立体几何》单元检测题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．空间四个点O 、A 、B 、C ，OA →，OB →，OC →为空间的一个基底，则下列说法不正确的是( ) A ．O 、A 、B 、C 四点不共线 B ．O 、A 、B 、C 四点共面，但不共线 C ．O 、A 、B 、C 四点中任意三点不共线 D ．O 、A 、B 、C 四点不共面2．已知a ＋3b 与7a －5b 垂直，且a －4b 与7a －2b 垂直，则〈a ，b 〉等于( ) A ．30° B ．60° C ．90° D ．45°3．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则向量AB →与AC →的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°4．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1C 1的中心，若AE →＝AA 1→＋xAB →＋yAD →，则x ，y 的值分别为( )A ．x ＝1，y ＝1B ．x ＝1，y ＝12C ．x ＝12，y ＝12D ．x ＝12，y ＝135．设E ，F 是正方体AC 1的棱AB 和D 1C 1的中点，在正方体的12条面对角线中，与截面A 1ECF 成60°角的对角线的数目是( )A ．0B ．2C ．4D ．66．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥ BD →.其中正确的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．47．已知a ＝(－3,2,5)，b ＝(1，x ，－1)且a·b ＝2，则x 的值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．68．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 是( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．不确定9．正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 10．若向量a ＝(2,3，λ)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1，63的夹角为60°，则λ等于( ) A.2312 B.612 C.23612 D ．－2361211．已知OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →取得最小值时，点Q 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，34，13B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，34C.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83D.⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，73 12．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，平面A 1BD 与平面C 1BD 所成二面角的余弦值为( ) A.12 B.32 C.13 D.33第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)13．若向量a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)，满足条件(c －a )·(2b )＝－2，则x ＝________. 14．若A ⎝⎛⎭⎪⎫0，2，198，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－1，58，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，1，58是平面α内的三点，设平面α的法向量a ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝__________.15．平面α的法向量为m ＝(1,0，－1)，平面β的法向量为n ＝(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为__________． 16.在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝AA 1＝2，点D 是A 1C 1的中点，则异面直线AD 和BC 1所成角的大小为________．三、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)如图，已知ABCD —A 1B 1C 1D 1是平行六面体．设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC 1B 1对角线BC 1上的34分点，设MN →＝αAB →＋βAD →＋γAA 1→，试求α、β、γ的值．18.(本小题满分12分)如图，四棱锥S —ABCD 的底面是边长为2a 的菱形，且SA ＝SC ＝2a ，SB ＝SD ＝2a ，点E 是SC 上的点，且SE ＝λa (0<λ≤2)．(1)求证：对任意的λ∈(0,2]，都有BD ⊥AE ；(2)若SC ⊥平面BED ，求直线SA 与平面BED 所成角的大小．19.( 本小题满分12分)已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →. (1)求a 和b 的夹角θ的余弦值；(2)若向量ka ＋b 与ka －2b 互相垂直，求k 的值．20．(本小题满分12分)如图所示，在三棱锥S —ABC 中，SO ⊥平面ABC ，侧面SAB 与SAC 均为等边三角形，∠BAC ＝90°，O 为BC 的中点，求二面角A —SC —B 的余弦值．21.(本小题满分12分)如图，在底面是矩形的四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA＝AB＝2，BC＝4，E是PD的中点．(1)求证：平面PDC⊥平面PAD；(2)求点B到平面PCD的距离．22．(本小题满分12分)如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证： AC ⊥SD ；(2)若SD ⊥平面PAC ，求二面角P —AC —D 的大小；(3)在(2)的条件下，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得BE ∥平面PAC .若存在，求SE ∶EC 的值；若不存在，试说明理由．选修2-1第三章《空间向量与立体几何》单元检测题参考答案【第1题解析】如果O 、A 、B 、C 四点共面，则OA ，OB ，OC 共面，则OA ，OB ，OC 不可能为空间的一个基底.故选B.【第4题解析】AE →＝AA 1→＋A 1E →＝AA 1→＋12(A 1B 1→＋A 1D 1→)＝AA 1→＋12AB →＋12AD →，由空间向量的基本定理知，x ＝y ＝12.故选C.【第5题解析】利用线面角的公式可以求得其中有BD ，11B D ，11,B A C D 四条直线对角线满足题意，由题得C 是正确答案，故选C.【第6题解析】∵AB →·AP →＝－2－2＋4＝0，∴AP ⊥AB ，①正确；∵AP →·AD →＝－4＋4＝0，∴AP ⊥AD ，②正确；由①②知AP →是平面ABCD 的法向量，∴③正确，④错误．故选C. 【第7题解析】32525x x -+-=∴=，故选C.【第8题解析】△BCD 中，BC →·BD →＝(AC →－AB →)·(AD →－AB →)＝AB →2>0.∴∠B 为锐角，同理，∠C ，∠D 均为锐角，∴△BCD 为锐角三角形．故选B. 【第9题解析】建系如图，设AB ＝1，则B (1,0,0)，A 1(0,0,1)，C 1(0,1,1)．∴BA 1→＝(－1,0,1)，A C 1→＝(0,1,1)∴cos 〈BA 1→，A C 1→〉＝＝12·2＝12.∴〈BA 1→，A C 1→〉＝60°，即异面直线BA 1与AC 1所成的角等于60°.故选C.【第11题解析】∵Q 在OP 上，∴可设Q (x ，x,2x )，则QA →＝(1－x ，2－x,3－2x )，QB →＝(2－x,1－x,2－2x )．∴QA →·QB →＝6x 2－16x ＋10，∴x ＝43时，QA →·QB →最小，这时Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83.故选C.【第12题解析】以点D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A 1C →＝(－1,1，－1)，A C 1→＝(－1,1,1)．可以证明A 1C ⊥平面BC 1D ，AC 1⊥平面A 1BD .又cos 〈A C 1→，A 1C →〉＝13，结合图形可知平面A 1BD 与平面C 1BD所成二面角的余弦值为13.故选C.【第13题解析】∵a ＝(1,1，x )，b ＝(1,2,1)，c ＝(1,1,1)，∴c －a ＝(0,0,1－x )，2b ＝(2,4,2)． ∴(c －a )·(2b )＝2(1－x )＝－2，∴x ＝2. 故填2.【第14题解析】AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－3，－74，AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－1，－74，由a ·AB →＝0，a ·AC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝23y z ＝－43y ，x ∶y ∶z ＝23y ∶y ∶⎝ ⎛⎭⎪⎫－43y ＝2∶3∶(－4)．故填2∶3∶(－4)【第15题解析】∵cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n |＝－12·2＝－12，∴〈m ，n 〉＝120°，即平面α与β所成二面角的大小为60°或120°.故填60°或120°. 【第16题解析】建立如图所示坐标系，则AD →＝(－1,1，－2)， B C 1→＝(0,2，－2)， ∴cos 〈AD →，B C 1→〉＝622·6＝32，∴〈AD →，B C 1→〉＝π6.即异面直线AD 和BC 1所成角的大小为π6.故填π6.【第18题答案】（1）证明见解析；（2）SA 与平面BED 所成的角为π6.【第18题解析】(1)证明 连结BD ，AC ，设BD 与AC 交于O .由底面是菱形，得BD ⊥AC . ∵SB ＝SD ，O 为BD 中点， ∴BD ⊥SO . 又AC ∩SO ＝O ， ∴BD ⊥面SAC .又AE ⊂面SAC ，∴BD ⊥AE . (2)解 由(1)知BD ⊥SO ，同理可证AC ⊥SO ，∴SO ⊥平面ABCD .取AC 和BD 的交点O 为原点建立如图所示的坐标系，设SO ＝x ，则OA ＝4a 2－x 2，OB ＝2a 2－x 2. ∵OA ⊥OB ，AB ＝2a ，∴(4a 2－x 2)＋(2a 2－x 2)＝4a 2，解得x ＝a .∴OA ＝3a ，则A (3a,0,0)，C (－3a,0,0)，S (0,0，a )． ∵SC ⊥平面EBD ，∴SC →是平面EBD 的法向量． ∴SC →＝(－3a,0，－a )，SA →＝(3a,0，－a )． 设SA 与平面BED 所成角为α，则sin α＝||||||SC SA SC SA ⋅⋅＝|－3a 2＋a 2|3＋1a·3＋1a ＝12， 即SA 与平面BED 所成的角为π6.(2)ka ＋b ＝(k ，k,0)＋(－1,0,2)＝(k －1，k,2)，ka －2b ＝(k ，k,0)－(－2,0,4)＝(k ＋2，k ，－4)，∴ (k －1，k,2)·(k ＋2，k ，－4) ＝(k －1)(k ＋2)＋k 2－8＝0. 即2k 2＋k －10＝0，∴k ＝－52或k ＝2.【第20题答案】二面角A —SC —B 的余弦值为33. 【第20题解析】以O 为坐标原点，射线OB ，OA ，OS 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立如图所示的空直角坐标系Oxyz .设B (1,0,0)，则C (－1,0,0)，A (0,1,0)，S (0,0,1)，SC 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，12.【第21题答案】（1）证明见解析；（2）455. 【第21题解析】(1)证明 如图，以A 为原点，AD 、AB 、AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则依题意可知A (0,0,0)，B (0,2,0)，C (4,2,0)，D (4,0,0)，P (0,0,2)．∴PD →＝(4,0，－2)，CD →＝(0，－2,0)，PA →＝(0,0，－2)．设平面PDC 的一个法向量为n ＝(x ，y,1)，则⇒⎩⎪⎨⎪⎧ －2y ＝04x －2＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝0x ＝12，所以平面PCD 的一个法向量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，1. ∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥AB ，又∵AB ⊥AD ，PA ∩AD ＝A ，∴AB ⊥平面PAD .∴平面PAD 的法向量为AB →＝(0,2,0)．∵n ·AB →＝0，∴n ⊥AB →.∴平面PDC ⊥平面PAD .(2)由(1)知平面PCD 的一个单位法向量为n |n|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫55，0，255. ∴＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪ 4，0，0 ·⎝ ⎛⎭⎪⎫55，0，255＝455，∴点B 到平面PCD 的距离为455.于是S (0,0，62a )，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，0，0，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22a ，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，0， OC →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，22a ，0， SD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22a ，0，－62a ，∴OC →·SD →＝0.∴OC ⊥SD ，即AC ⊥SD .(2)由题意知，平面PAC 的一个法向量DS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22a ，0，62a ，平面DAC 的一个法向量 OS →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，62a ， 设所求二面角为θ，则cos θ＝＝32， 故所求二面角P —AC —D 的大小为30°.。
高中数学选修2-1《空间向量与立体几何》测试题
高二数学空间向量测试题第Ⅰ卷一选择题 ( 每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的)1、在下列命题中：①若向量 a、b 共线，则 a、b 所在的直线平行；②若向量 a、b 所在的直线是异面直线，则a、b 一定不共面；③若 a、 b、 c 三向量两两共面，则 a、 b、c 三向量一定也共面；④已知三向量 a、 b、 c，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为p＝x a＋y b＋z c．其中正确命题的个数为（）A .0 B. 1 C. 2 D. 32、空间四边形 ABCD 中， AB a , BC b, AD c, 则CD ( )A．a b c B. a b c C． a b c D ． a b c3、已知平行四边形ABCD 中， A( 4，1， 3) 、B ( 2，－ 5， 1) 、 C( 3， 7，－ 5) ，则顶点 D 的坐标为 ( )7,4, 1) B．( 2， 3， 1) C．( － 3， 1，5) D ．( 5， 13，－ 3) A．(24、a＝ (－ 1，－ 5，－ 2)，b＝( x,2, x 2 )，若a b ，则x＝( )A． 0 B．14C．－ 6 D．±6 35、设a＝( m , 1,2 )，b＝ ( 3, 4, n )，若 a // b ，则m，n的值分别为( )3， 8 B．3 3D ．3A．，— 8 C．，8 ，－ 84 4 4 46、已知向量a (0， 2， 1)，b (－ 1， 1，－ 2) ，则a 与 b 的夹角为( )A． 0°B．45°C．90° D ．180°7、若斜线段 AB 是它在平面内的射影长的2倍，则 AB与所成的角为 ( )A． 60°B．45°C．30° D ．120°8、已知a＝（ 2，－ 1， 3），b＝（－ 1， 4，－ 2），c＝（ 7， 5，λ），若a、b、c三向量共面，则实数λ等于（）A．62B. 6 3C. 6 4D. 657 7 7 79、在正三角形ABC 中， AD⊥ BC 于 D，沿 AD 折成二面角B－ AD －C 后，BC1AB ，这时2 二面角 B－ AD－ C 的大小为 ( )A． 60°B． 45°C． 90°D． 120°10、矩形 ABCD 中， AB ＝ 1， BC 2 ，PA⊥平面 ABCD ，PA＝ 1，则 PC 与平面 ABCD 所成的角是( )A． 30°B． 45°C． 60°D． 90°11、设 A、 B、 C、D 是空间不共面的四点，且满足AB AC 0, AB AD 0, AC AD 0则△ BCD 是（）A ．钝角三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 不确定12、PA、 PB、 PC 是从 P 点引出的三条射线，每两条的夹角为60°，则直线 PC 与平面 APB 所成角的余弦值为 ( )1 6C．3 3A．B．3D．2 3 2第Ⅱ卷二、填空题13、已知向量 a ＝(4，－2，－4)， b ＝(6，－3，2)，则 a 在 b 方向上的投影是______．14、已知 AB(1,0 ,2 ), AC( 2,1,1) ，则平面ABC 的一个法向量为____________．15、∠ BOC 在平面内，OA是平面的一条斜线，若∠AOB ＝∠ AOC ＝ 60°， OA＝ OB＝ OC＝ a， BC＝ 2 a，则 OA 与平面所成的角是______．- 1 -16、下列命题中： ( 1) a b 0 则 a ＝0或 b ＝0；( 2) (a b ) c a2 2(b c ); (3 )| p | | q |( p q) 2；( 4) 若a与 (a b ) c (a c) b 均不为0，则它们必垂直．其中真命题的序号是______．三、解答题17、如图，在平行六面体ABCD－ A1B1 C1D 1中， AB a , AD b, AA1c,2 AM MC ,A1 N 2 ND ，试用基底{ a , b , c}表示MN .18、如图，底面ABCD 为矩形，侧棱PA⊥底面 ABCD ，AB 3 ，BC＝1，PA＝2，求直线AC 与 PB 所成角的余弦值．19、一条线段夹在一个直二面角的两个面内，它和两个面所成的角都是30°，求这条线段与这个二面角的棱所成的角。
高中数学选修2-1 单元测试：空间向量及其应用word版含答案
空间向量及其应用单元测试1.(2017·江苏高考)如图，在平行六面体ABCD A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，且AB ＝AD ＝2，AA 1＝3，∠BAD ＝120°.(1)求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值；(2)求二面角B A 1D A 的正弦值．解：在平面ABCD 内，过点A 作AE ⊥AD ，交BC 于点E .因为AA 1⊥平面ABCD ，所以AA 1⊥AE ，AA 1⊥AD .如图，以{AE ―→，AD ―→，AA 1―→}为正交基底，建立空间直角坐标系A xy .因为AB ＝AD ＝2， AA 1＝3，∠BAD ＝120°，则A (0,0,0)，B (3，－1,0)，D (0,2,0)，E (3，0,0)，A 1(0，0，3)，C 1(3，1，3)． (1)A 1B ―→＝(3，－1，－3)，AC 1―→＝(3，1，3)． 则cos 〈A 1B ―→，AC 1―→〉＝A 1B ―→·AC 1―→|A 1B ―→||AC 1―→|＝3－1－37×7＝－17. 因此异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值为17. (2)可知平面A 1DA 的一个法向量为AE ―→＝(3，0,0)．设m ＝(x ，y ， )为平面BA 1D 的一个法向量，又A 1B ―→＝(3，－1，－3)，BD ―→＝(－3，3,0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ·A 1B ―→＝0，m ·BD ―→＝0，即⎩⎨⎧ 3x －y －3z ＝0，－3x ＋3y ＝0.不妨取x ＝3，则y ＝3， ＝2，所以m ＝(3，3，2)为平面BA 1D 的一个法向量， 从而cos 〈AE ―→，m 〉＝AE ―→·m |AE ―→||m |＝333×4＝34. 设二面角B A 1D A 的大小为θ，则|cos θ|＝34.因为θ∈[0，π]，所以sin θ＝1－cos 2θ＝74. 因此二面角B A 1D A 的正弦值为74. 2．(2017·北京高考)如图，在四棱锥P ABCD 中，底面ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ，点M 在线段PB 上，PD ∥平面MAC ，PA ＝PD ＝6，AB ＝4.(1)求证：M 为PB 的中点；(2)求二面角B PD A 的大小；(3)求直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值．解：(1)证明：如图，设AC ，BD 的交点为E ，连接ME .因为PD ∥平面MAC ，平面MAC ∩平面PDB ＝ME ，所以PD ∥ME .因为底面ABCD 是正方形，所以E 为BD 的中点．所以M 为PB 的中点．(2)取AD 的中点O ，连接OP ，OE .因为PA ＝PD ，所以OP ⊥AD .又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD ＝AD ，OP ⊂平面PAD ，所以OP ⊥平面ABCD .因为OE ⊂平面ABCD ，所以OP ⊥OE .因为底面ABCD 是正方形，所以OE ⊥AD .以O 为原点，以OD ―→，OE ―→，OP ―→为x 轴，y 轴， 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系O xy ，则P (0,0，2)，D (2,0,0)，B (－2,4,0)，BD ―→＝(4，－4,0)，PD ―→＝(2,0，－2)．设平面BDP 的一个法向量为n ＝(x ，y ， )，则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·BD ―→＝0，n ·PD ―→＝0，即⎩⎨⎧ 4x －4y ＝0，2x －2z ＝0.令x ＝1，得y ＝1， ＝ 2.于是n ＝(1,1，2)．又平面PAD 的一个法向量为p ＝(0,1,0)，所以cos 〈n ，p 〉＝n ·p |n ||p |＝12.由题知二面角B PD A 为锐角，所以二面角B PD A 的大小为60°.(3)由题意知M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，2，22，C (2,4,0)， 则MC ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫3，2，－22. 设直线MC 与平面BDP 所成角为α，则sin α＝|cos 〈n ，MC ―→〉|＝|n ·MC ―→||n ||MC ―→|＝269. 所以直线MC 与平面BDP 所成角的正弦值为269. 3.(2017·山东高考)如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD (及其内部)以AB 边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G 是DF 的中点．(1)设P 是CE 上的一点，且AP ⊥BE ，求∠CBP 的大小；(2)当AB ＝3，AD ＝2时，求二面角E AG C 的大小．解：(1)因为AP ⊥BE ，AB ⊥BE ， AB ，AP ⊂平面ABP ，AB ∩AP ＝A ，所以BE ⊥平面ABP .又BP ⊂平面ABP ，所以BE ⊥BP .又∠EBC ＝120°，所以∠CBP ＝30°.(2)以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在的直线为x 轴，y 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由题意得A (0,0,3)，E (2,0,0)，G (1，3，3)，C (－1，3，0)，故AE ―→＝(2,0，－3)，AG ―→＝(1，3，0)，CG ―→＝(2,0,3)，设m ＝(x 1，y 1， 1)是平面AEG 的一个法向量．由⎩⎪⎨⎪⎧m ·AE ―→＝0，m ·AG ―→＝0，可得⎩⎨⎧ 2x 1－3z 1＝0，x 1＋3y 1＝0. 取 1＝2，可得平面AEG 的一个法向量m ＝(3，－3，2)．设n ＝(x 2，y 2， 2)是平面ACG 的一个法向量．由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·AG ―→＝0，n ·CG ―→＝0，可得⎩⎨⎧ x 2＋3y 2＝0，2x 2＋3z 2＝0.取 2＝－2，可得平面ACG 的一个法向量n ＝(3，－3，－2)．所以cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m |·|n |＝9＋3－44×4＝12. 由图知二面角E AG C 为锐角，故所求二面角E AG C 的大小为60°.4．(2016·天津高考)如图，正方形ABCD 的中心为O ，四边形OBEF 为矩形，平面OBEF ⊥平面ABCD ，点G 为AB 的中点，AB ＝BE ＝2.(1)求证：EG ∥平面ADF ；(2)求二面角O EF C 的正弦值；(3)设H 为线段AF 上的点，且AH ＝23HF ，求直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值． 解：依题意，OF ⊥平面ABCD ，如图，以O 为原点，分别以AD ―→，BA ―→，OF ―→的方向为x 轴，y 轴， 轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得O (0,0,0)，A (－1,1,0)，B (－1，－1，0)，C (1，－1，0)，D (1,1,0)，E (－1，－1,2)，F (0,0,2)，G (－1,0，0)．(1)证明：依题意，AD ―→＝(2,0,0)，AF ―→＝(1，－1,2)．设n 1＝(x 1，y 1， 1)为平面ADF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 1·AD ―→＝0，n 1·AF ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2x 1＝0，x 1－y 1＋2z 1＝0，不妨取 1＝1，可得n 1＝(0,2,1)．又EG ―→＝(0,1，－2)，可得EG ―→·n 1＝0.又因为直线EG ⊄平面ADF ，所以EG ∥平面ADF .(2)易证OA ―→＝(－1,1,0)为平面OEF 的一个法向量，依题意，EF ―→＝(1,1,0)，CF ―→＝(－1,1,2)．设n 2＝(x 2，y 2， 2)为平面CEF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ n 2·EF ―→＝0，n 2·CF ―→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2＝0，－x 2＋y 2＋2z 2＝0，不妨取x 2＝1，可得n 2＝(1，－1,1)．因此有cos 〈OA ―→，n 2〉＝OA ―→·n 2| OA ―→|·|n 2|＝－63，于是sin 〈OA ―→，n 2〉＝33. 所以，二面角O EF C 的正弦值为33. (3)由AH ＝23HF ，得AH ＝25AF . 因为AF ―→＝(1，－1,2)，所以AH ―→＝25AF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，－25，45， 进而有H ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，35，45， 从而BH ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25，85，45. 因此cos 〈BH ―→，n 2〉＝BH ―→·n 2|BH ―→|·|n 2|＝－721. 所以直线BH 和平面CEF 所成角的正弦值为721.。
高二数学选修2-1空间向量试卷及答案
AA 1DCB B 1C 1图高二数学（选修2-1）空间向量试题姓名：_________班级：________ 得分：________一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共60分）． 1．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成的角的大小为（ ）A ．60°B ．90°C ．105°D ．75°2．如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝411B A ，则BE 1与DF 1所成角的余弦值是（ ）A ．1715 B ．21 C ．178 D ．23 3．如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA =90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC =CA =CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是（ ）A ．1030 B ．21 C ．1530 D ．1015 4．正四棱锥S ABCD -的高2SO =，底边长2AB =，则异面直线BD 和SC 之间的距离（ ）A ．515 B ．55 C ．552 D ．105 5．已知111ABC A B C -是各条棱长均等于a 的正三棱柱，D 是侧棱1CC 的中点．点1C 到平面1AB D 的距离（ ）A ．a 42 B ．a 82 C ．a 423 D ．a 22 6．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，则平面1AB C 与平面11A C D 间的距离（ ）A ．63 B ．33 C ．332 D ．23 图图7．在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝21PA ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值（ ）A ．621B ．338 C60210 D ．302108．在直三棱柱111C B A ABC -中，底面是等腰直角三角形，90=∠ACB ，侧棱21=AA ，D ，E分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面AB D 上的射影是ABD ∆的重心G ．则B A 1与平面AB D 所成角的余弦值（ ）A ．32 B ．37C ．23 D ．73 9．正三棱柱111C B A ABC -的底面边长为3，侧棱3231=AA ，D 是C B 延长线上一点，且BC BD =，则二面角B AD B --1的大小（ ）A ．3π B ．6πC ．65πD ．32π10．正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面边长为22，侧棱长为4，E ，F 分别为棱AB ，CD 的中点，G BD EF =⋂．则三棱锥11EFD B -的体积V （ ）A ．66 B ．3316 C ．316D ．1611．有以下命题：①如果向量b a ,与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么b a ,的关系是不共线； ②,,,O A B C 为空间四点，且向量OC OB OA ,,不构成空间的一个基底，则点,,,O A B C 一定共面；③已知向量c b a ,,是空间的一个基底，则向量c b a b a ,,-+也是空间的一个基底。
高中数学选修2-1 第三章《空间向量与立体几何》单元测试题(含答案)
这时Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫43，43，83.答案：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．若A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，则当|AB →|取最小值时，x 的值等于________．解析：AB →＝(1－x,2x －3，－3x ＋3)，则 |AB →|＝1－x2＋2x －32＋－3x ＋32＝14x 2－32x ＋19＝14⎝⎛⎭⎪⎫x －872＋57，故当x ＝87时，|AB →|取最小值．答案：8714．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线BC 1与平面A 1BD 夹角的正弦值是________． 解析：如图，以DA 、DC 、DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A (1,0,0)，B (1,1,0)，C 1(0,1,1)， 易证AC 1→是平面A 1BD 的一个法向量．AC 1→＝(－1,1,1)，BC 1→＝(－1,0,1)． cos 〈AC 1→，BC 1→〉＝1＋13×2＝63. 所以BC 1与平面A 1BD 夹角的正弦值为63.答案：63设AC ∩BD ＝N ，连结NE ，则N ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，0，E (0,0,1)， ∴NE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1. 又A (2，2，0)，M ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，22，1， ∴AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－22，1. ∴NE →＝AM →，且NE 与AM 不共线．∴NE ∥AM .又NE ⊂平面BED ，AM ⊄平面BDE ，∴AM ∥平面BDE .(2)设P (t ，t,0)(0≤t ≤2)，则PF →＝(2－t ，2－t,1)，CD →＝(2，0,0)．又∵PF →与CD →所成的角为60°，|2－t ·2|2－t2＋2－t 2＋1·2＝12， 解之得t ＝22，或t ＝322(舍去)． 故点P 为AC 的中点．22．(本小题满分12分)如图，在圆锥PO 中，已知PO ＝2，⊙O 的直径AB ＝2，C 是AB 的中点，D 为AC 的中点．。
高中数学选修2-1测试题—空间向量
高中数学选修2-1测试题—空间向量班别：_________ 姓名：__________ 学号：_____ 评分：________ 一.选择题：(10小题共40分)1.已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O,下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一 定共面的是 ( ) A.OC OB OA OM ++= B.OC OB OA OM --=2C.OC OB OA OM 3121++=D.OC OB OA OM 313131++=2.直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若====B A C CC b CB a CA 11,,,则 ( )A.c b a -+B.c b a +-C.c b a ++-D.c b a -+-3.若向量λμλμλ且向量和垂直向量R b a n b a m ∈+=,(,、则)0≠μ ( )A.n m //B.n m ⊥C.n m n m 也不垂直于不平行于,D.以上三种情况都可能4.以下四个命题中,正确的是 ( ) A.若OB OA OP 3121+=,则P 、Ａ、Ｂ三点共线B.设向量},,{c b a 是空间一个基底，则{a +b ，b +c ，c +a }构成空间的另一个基底C.c b a c b a ⋅⋅=⋅)(D.△ABC 是直角三角形的充要条件是0=⋅AC AB 5.对空间任意两个向量b a o b b a //),(,≠的充要条件是( )A.b a =B.b a -=C.a b λ=D.b a λ= 6.已知向量b a b a 与则),2,1,1(),1,2,0(--==的夹角为( )A.0°B.45°C.90°D.180°7.在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为AC 与BD 的交点，若c A A b D A a B A ===11111,,， 则下列向量中与M B 1相等的是 ( ) A.c b a 212121++-B.c b a 212121++C.c b a +-2121 D.-c b a +-21218.已知的值分别为与则若μλμλλ,//),2,12,6(),2,0,1(b a b a -=+= ( )A.21,51 B.5，2 C.21,51--D.-5，-2 9.已知的数量积等于与则b a k j i b k j i a 35,2,23+-=-+= ( )A.-15B.-5C.-3D.-110.在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN所成角的余弦值是( )A.52-B.52C.53D.1010二.填空题: (4小题共16分)11.若A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),c(m+3,n-3,9)三点共线，则m+n= . 12.已知A （0，2，3），B （-2，1，6），C （1，-1，5），若a AC a AB a a 则向量且,,,3||⊥⊥=的坐标为 .13.已知b a ,是空间二向量，若b a b a b a 与则,7||,2||,3||=-==的夹角为 .14.已知点G 是△ABC 的重心，O 是空间任一点，若的值则λλ,OG OC OB OA =++为 . 三.解答题:(10+8+12+14=44分)15.如图：ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AD ，M 、N 分别是PC 、AB 中点， (1)求证：MN ⊥平面PCD ；(2)求NM 与平面ABCD 所成的角的大小.16.一条线段夹在一个直二面角的两个面内，它和两个面所成的角都是300，求这条线段与这个二面角的棱所成的角的大小.17.正四棱锥S —ABCD 中，所有棱长都是2，P 为SA 的中点，如图. (1)求二面角B —SC —D 的大小；(2)求DP 与SC 所成的角的大小.18.如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，底面△ABC 中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA 1=2，M 、N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点； (1)求;的长BN(2)求;,cos 11的值><CB BA (3).:11M C BA⊥求证(4)求CB 1与平面A 1ABB 1所成的角的余弦值.高中数学选修2-1测试题(10)—空间向量(1)参考答案DDBB DCDA AB 11.0 12.(1，1，1) 13.60014.3 15.(1)略 (2)45016.45017.(1) 13-(2) π18.(1)3 (2)3010(3) 略 (4)3101018.如图，建立空间直角坐标系O —xyz.（1）依题意得B （0，1，0）、N （1，0，1） ∴|BN |=3)01()10()01(222=-+-+-.（2）依题意得A 1（1，0，2）、B （0，1，0）、C （0，0，0）、B 1（0，1，2） ∴1BA ={－1，－1，2}，1CB ={0，1，2，}，1BA ·1CB =3，|1BA |=6，|1CB |=5∴cos<1BA ，1CB >=30101||||1111=⋅⋅CB BA CB BA .（3）证明：依题意，得C 1（0，0，2）、M （21,21，2），B A 1={－1，1，2}，M C 1={21,21，0}.∴B A 1·M C 1=－2121++0=0，∴B A 1⊥M C 1，∴A 1B ⊥C 1M.评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件.图选校网高考频道专业大全历年分数线上万张大学图片大学视频院校库(按ctrl 点击打开)选校网（）是为高三同学和家长提供高考选校信息的一个网站。
选修2-1空间向量单元测试卷
第三章 单元测试卷第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知A (2，－4，－1)，B (－1,5,1)，C (3，－4,1)，令a ＝CA →，b ＝CB →，则a ＋b 对应的点为( )A ．(5，－9,2)B ．(－5,9，－2)C ．(5,9，－2)D ．(5，－9，－2)答案 B2．已知a ＝(－3,2,5)，b ＝(1，x ，－1)且a ·b ＝2，则x 的值是( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6答案 C解析 (－3)×1＋2x ＋5×(－1)＝2，解得x ＝5.3．已知三点A (0,1,1)，B (1,2,1)，C (1,1,2)，则a ＝AB →与b ＝AC →的夹角为( )A.π2B.π3 C.π6 D.π4 答案 B4．在以下命题中，不正确的个数为( ) ①|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件； ②若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λ·b ；③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝2OA →－2OB →－OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面；④若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一个基底；⑤|(a ·b )c |＝|a |·|b |·|c |. A ．2 B ．3 C ．4 D ．5答案 C5．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E 为上底面A 1B 1C 1D 1的中心，若AE →＝AA 1→＋xAB →＋yAD →，则x ，y 的值分别为( )A ．x ＝1，y ＝1B ．x ＝1，y ＝12 C ．x ＝12，y ＝12 D ．x ＝12，y ＝1 答案 C6．若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，则能使l ∥α的是( )A ．a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0)B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1)C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1)D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1) 答案 D解析 A ：a ·n ＝－2≠0；B ：a·n ＝1＋5≠0； C ：a·n ＝－1≠0；D ：a·n ＝－3＋3＝0.7．已知A (1，－2,11)，B (6，－1,4)，C (4,2,3)，则△ABC 是( )A ．锐角三角形B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形答案 C解析 ∵BA →·BC →＝(－5，－1,7)·(－2,3，－1)＝10－3－7＝0，∴∠ABC ＝90°.8．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．若|a |＝3，且a 分别与AB →，AC →垂直，则向量a 为( )A ．(1,1,1)B ．(－1，－1，－1)C ．(1,1,1)或(－1，－1，－1)D ．(1，－1,1)或(－1,1，－1) 答案 C9．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 的中点，则DB 1与CM 所成角的余弦值等于( )A.12B.1515C.23D.21015答案 B解析 以D 为坐标原点，DA →，DC →，DD 1→分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为1，则D (0,0,0)，B 1(1,1,1)，C (0,1,0)，M (1，12，0)，则cos<DB 1→CM →>＝DB 1→·CM→|DB 1→||CM →|＝(1，1，1)·(1，－12，0)3×1＋14＝1515.∴DB 1与CM 的夹角的余弦值为1515. 10.如图，在直二面角α－l －β中，A ，B ∈l ，AC ⊂α，AC ⊥l ，BD ⊂β，BD ⊥l ，AC ＝6，AB ＝8，BD ＝24，则线段CD 的长是( )A ．25B ．26C ．27D ．28答案 B11．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为( )A.23B.33C.23D.63 答案 D解析 BB 1与平面ACD 1所成角等于DD 1与平面ACD 1所成的角，在三棱锥D －ACD 1中，由三条侧棱两两垂直得点D 在底面ACD 1内的射影为等边△ACD 1的垂心即中心H ，则∠DD 1H 为DD 1与平面ACD 1所成角，设正方体棱长为a ，则cos ∠DD 1H ＝63a a ＝63，故选D.12．在直角坐标系中，A (－2,3)，B (3，－2)，沿x 轴把直角坐标系折成120°的二面角，则AB 的长度为( )A. 2 B ．211 C ．3 2 D ．4 2答案 B解析 作AM ⊥x 轴于M ，BN ⊥x 轴于N .则AM ＝3，BN ＝2，MN ＝5.又AB →＝AM →＋MN →＋NB →， ∴AB →2＝AM →2＋MN →2＋NB →2＋2(AM →·MN →＋AM →·NB →＋MN →·NB →)． 又AM ⊥MN ，MN ⊥NB ，，<AM →，NB →>＝60°， 故AB →2＝9＋25＋4＋6＝44. ∴AB ＝|AB →|＝211.故选B.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知A ，B ，C ，D 是平面上四点，O 是空间任一点，{a n }为等差数列，若OA →＝a 1OB →＋a 8OC →＋a 15OD →，求a 8＝________.答案 13解析 ∵A ，B ，C ，D 共面， ∴a 1＋a 8＋a 15＝3a 8＝1，∴a 8＝13.14．在四面体OABC 中，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，D 为BC 的中点，E 为AD 中点，则OE →＝________.(用a ，b ，c 表示)答案 12a ＋14b ＋14c15．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝2，AD ＝1，且AB ，AD ，AA 1夹角都是60°，则AC 1→·BD 1→＝________.答案 316.如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝AA 1＝2，点D 是A 1C 1的中点，则异面直线AD 和BC 1所成角的大小为________．答案 π6三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知a ＝(1,2，－2)． (1)求与a 共线的单位向量b ；(2)若a 与单位向量c ＝(0，m ，n )垂直，求m ，n 的值．思路分析 (1)若a 与b 共线，则b ＝(λ，2λ，－2λ)，根据|b |＝1，可求得λ；(2)若a ⊥c ，则a ·c ＝0且|c |＝1，注意讨论解的情况．解析 (1)设b ＝(λ，2λ，－2λ)，而b 为单位向量， ∴|b |＝1，即λ2＋4λ2＋4λ2＝9λ2＝1.∴λ＝±13. ∴b ＝(13，23，－23)或b ＝(－13，－23，23)．(2)由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧ a ·c ＝0，|c |＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧1×0＋2m －2n ＝0，m 2＋n 2＋02＝1.解得⎩⎨⎧m ＝22，n ＝22或⎩⎨⎧m＝－22，n ＝－22.18．(12分)如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，侧棱AA 1＝2，CA ＝2，D 是CC 1的中点，试问在A 1B上是否存在一点E 使得点A 1到平面AED 的距离为263？解析 以CA ，CB ，CC 1所在直线为x 轴，y 轴和z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (2,0,0)，A 1(2,0,2)，D (0,0,1)，B (0,2,0)，设BE →＝λBA 1→，λ∈(0,1)，则E (2λ，2(1－λ)，2λ)．又AD →＝(－2,0,1)，AE →＝(2(λ－1)，2(1－λ)，2λ)， 设n ＝(x ，y ，z )为平面AED 的法向量，则⎩⎨⎧n ·AD →＝0，n ·AE →＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋z ＝0，2(λ－1)x ＋2(1－λ)y ＋2λz ＝0. 取x ＝1，则y ＝1－3λ1－λ，z ＝2，即n ＝(1，1－3λ1－λ，2)．由于d ＝|AA 1→·n ||n |＝263，∴263＝45＋(1－3λ1－λ)2.又λ∈(0,1)，解得λ＝12.所以当点E 为A 1B的中点时，A 1到平面AED 的距离为263. 19．(12分)如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝4，点E 在CC 1上且C 1E ＝3EC .(1)证明：A 1C ⊥平面BED ； (2)求二面角A 1－DE －B 的余弦值．解析 (1)以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，射线DC 为y 轴的正半轴，射线DD 1为z 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系D －xyz .依题设B (2,2,0)，C (0,2,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,4)．DE →＝(0,2,1)，DB →＝(2,2,0)，A 1C →＝(－2,2，－4)，DA 1→＝(2,0,4)． 因为A 1C →·DB →＝0，A 1C →·DE →＝0， 故A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DE . 又BD ∩DE ＝D ， 所以A 1C ⊥平面BED .(2)设向量n ＝(x ，y ，z )是平面DA 1E 的法向量，则 n ⊥DE →，n ⊥DA 1→. 故2y ＋z ＝0,2x ＋4z ＝0.令y ＝1，则z ＝－2，x ＝4，所以n ＝(4,1，－2)． 设θ等于二面角A 1－DE －B 的平面角， cos<n ，A 1C →>＝n ·A 1C →|n ||A 1C →|＝1442.所以二面角A 1－DE －B 的余弦值为1442.20.(12分)如图，已知点P 在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的对角线BD ′上，∠PDA ＝60°.(1)求DP 与CC ′所成角的大小；(2)求DP 与平面AA ′D ′D 所成角的大小．解析(1)如图所示，以D 为原点，DA 为单位长建立空间直角坐标系D －xyz .则DA →＝(1,0,0)，CC ′→＝(0,0,1)．连接BD ，B ′D ′.在平面BB ′D ′D 中，延长DP 交B ′D ′于H .设DH →＝(m ，m,1)(m >0)，由已知<DH →，DA →>＝60°，由DA →·DH →＝|DA →||DH →|cos<DH →，DA →>，可得2m ＝2m 2＋1.解得m ＝22或m ＝－22(舍)，所以DH →＝(22，22，1)．因为cos<DH →，CC ′→>＝22×0＋22×0＋1×11×2＝22，所以<DH →，CC ′→>＝45°，即DP 与CC ′所成的角为45°.(2)平面AA ′D ′D 的一个法向量是DC →＝(0,1,0)，因为cos<DH →，DC →>＝22×0＋22×1＋1×01×2＝12， 所以<DH →，DC →>＝60°.可得DP 与平面AA ′D ′D 所成的角为30°.21.(12分)如图所示，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是边长的1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CD 的中点，P A ⊥底面ABCD ，P A ＝2.(1)证明：平面PBE ⊥平面P AB ；(2)求平面P AD 和平面PBE 所成二面角(锐角)的余弦值．解析(1)如图所示，以A 为原点，建立空间直角坐标系，则相关各点的坐标分别是A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (32，32，0)，D (12，32，0)，P (0,0,2)，E (1，32，0)．因为BE →＝(0，32，0)，平面P AB 的一个法向量是n 0＝(0,1,0)，所以BE →和n 0共线．从而BE ⊥平面P AB .又因为BE ⊂平面PBE ，故平面PBE ⊥平面P AB .(2)易知PB →＝(1,0，－2)，BE →＝(0，32，0)，P A →＝(0,0，－2)，AD →＝(12，32，0)．设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面PBE 的一个法向量，则由⎩⎨⎧n 1·PB →＝0，n 1·BE →＝0得⎩⎨⎧ x 1＋0×y 1－2z 1＝0，0×x 1＋32y 1＋0×z 1＝0.所以y 1＝0，x 1＝2z 1，故可取n 1＝(2,0,1)．设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面P AD 的一个法向量，则由⎩⎨⎧n 2·P A →＝0，n 2·AD →＝0得⎩⎨⎧ 0×x 2＋0×y 2－2z 2＝0，12x 2＋32y 2＋0×z 2＝0.所以z 2＝0，x 2＝－3y 2，故可取n 2＝(3，－1,0)．于是cos<n 1，n 2>＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝235×2＝155. 故平面P AD 和平面PBE 所成二面角(锐角)的余弦值为155.22．(12分)如图所示，设动点P 在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，记D 1P D 1B ＝λ.当∠APC 为钝角时，求λ的取值范围．解析 由题设可知，以DA →，DC →，DD 1→为单位正交基底，建立如右图所示的空间直角坐标系D －xyz ，则有A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)．由D 1B →＝(1,1，－1)，得D 1P →＝λD 1B →＝(λ，λ，－λ)，所以P A →＝PD 1→＋D 1A →＝(－λ，－λ，λ)＋(1,0，－1)＝(1－λ，－λ，λ－1)，PC →＝PD 1→＋D 1C →＝(－λ，－λ，λ)＋(0,1，－1)＝(－λ，1－λ，λ－1)．显然∠APC 不是平角，所以∠APC 为钝角等价于cos ∠APC＝cos<P A →，PC →>＝P A →·PC →|P A →||PC →|<0， 这等价于P A →·PC →<0.即(1－λ)(－λ)＋(－λ)(1－λ)＋(λ＋1)2＝(λ－1)(3λ－1)<0，解得13<λ<1.1因此，λ的取值范围为(3，1)．。
空间向量测试题(选修2-1人教A)
空间立体几何测试一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.若A ，B ，C ，D 为空间不同的四点，则下列各式为零向量的是 ①AB →＋2BC →＋2CD →＋DC →；②2AB →＋2BC →＋3CD →＋3DA →＋AC →； ③AB →＋CA →＋BD →；④AB →－CB →＋CD →＋AD →.( ) A.①② B.②③ C.②④ D.①④2.已知向量a ＝(2,4,5)、b ＝(3，x ，y )分别是直线l 1、l 2的方向向量，若l 1∥l 2，则( ) A.x ＝6，y ＝15 B.x ＝3，y ＝152C.x ＝3，y ＝15D.x ＝6，y ＝152 3.已知空间三点O (0,0,0)，A (－1,1,0)，B (0,1,1)，在直线OA 上有一点H 满足BH ⊥OA ，则点H 的坐标为( ) A.(－2,2,0) B.(2，－2,0)C.⎝⎛⎭⎫－12，12，0 D.⎝⎛⎭⎫12，－12，0 4.若向量(1,0，z )与向量(2,1,0)的夹角的余弦值为25，则z 等于( ) A.0 B.1 C.－1 D.25.在以下命题中，不正确的个数为( ) ①|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件； ②若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝2OA →－2OB →－OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面； ④若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一个基底； ⑤|(a ·b )·c |＝|a |·|b |·|c | A.5 B.4 C.3 D.26.若直线l 的方向向量为b ，平面α的法向量为n ，则可能使l ∥α的是( ) A.b ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0) B.b ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1) C.b ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1)D.b ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)7.已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5).若|a |＝3，且a 分别与AB →，AC →垂直，则向量a 为( ) A.(1,1,1)B.(－1，－1，－1)或(1,1,1)C.(－1，－1，－1)D.(1，－1,1)或(－1,1，－1)8.已知空间不同的四点O ，A ，B ，P ，满足OP →＝mOA →＋nOB →，其中m ＋n ＝1，则( )A.点P 一定在直线AB 上B.点P 一定不在直线AB 上C.点P 可能在直线AB 上，也可能不在直线AB 上D.AP →与AB →的方向一定相同9.已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)， AP →＝(－1,2，－1).对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的个数是( ) A.1 B.2 C.3D.410.已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点E ，F 分别是BC 、AD 的中点，则AE →·AF →的值为( ) A.34a 2 B.12a 2 C.14a 2D.a 211.已知三棱锥S －ABC 中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ， SA ＝3，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为( )A.34 B.54 C.74D.3412.直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，若∠BAC ＝90°，AB ＝AC ＝AA 1，则异面直线BA 1与AC 1所成的角等于( ) A.90° B.60° C.45°D.30°二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.将答案填在题中的横线上) 13.若A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，则当|AB →|取最小值时，x 的值等于________.14.在空间四边形OABC 中，若OB ＝OC ，∠AOB ＝∠AOC ＝π3，则cos 〈OA →，BC →〉的值是________.15.已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 共面，则λ＝________16.如图，在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE ＝3ED ，以{AB →，AC →，AD →}为基底，则GE →＝________.三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)如图所示，已知ABCD －A ′B ′C ′D ′是平行六面体.(1)化简12AA ′→＋BC →＋23AB →，并在图形中标出化简结果的向量；(2)设M 是底面ABCD 的中心，N 是侧面BCC ′B ′的对角线BC ′上的点，且BN ∶NC ′＝3∶1，设MN →＝αAB →＋βAD →＋γAA ′→，试求α，β，γ的值， 18.(本小题满分12分)如图，直三棱柱ABC －A ′B ′C ′，∠BAC＝90°，AB ＝AC ＝λAA ′，点M ，N 分别为A ′B 和B ′C ′的中点. (1)证明：MN ∥平面A ′ACC ′；(2)若二面角A ′－MN －C 为直二面角，求λ的值.19.(本小题满分12分)如图，四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB ＋AD ＝4，CD ＝2，∠CDA ＝45°.(1)求证：平面P AB ⊥平面P AD ；(2)若AB ＝AP ，直线PB 与平面PCD 所成的角为30°，求线段AB 的长.20.(本小题满分12分)如图，在四面体ABCD 中，平面ABC ⊥平面ACD ，AB ⊥BC ，AD ＝CD ，∠CAD ＝30°，若二面角C －AB －D 为60°，求异面直线AD 与BC 所成的角的余弦值.21.(本小题满分13分)如图，在三棱锥P －ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，PO ⊥平面ABC ，垂足O 落在线段AD 上，已知BC ＝8，PO ＝4，AO ＝3，OD ＝2.(1)证明：AP ⊥BC ；(2)在线段AP 上是否存在点M ，使得二面角A －MC －B 为直二面角？若存在，求出AM 的长；若不存在，请说明理由.22.(本小题满分13分)如图所示，平面ABDE ⊥平面ABC ，△ABC 是等腰直角三角形，AC ＝BC ＝4，四边形ABDE 是直角梯形，BD ∥AE ，BD ⊥BA ，BD ＝12AE ＝2，O ，M 分别为CE ，AB 的中点.(1)求直线CD 与平面ODM 所成角的正弦值；(2)能否在ME 上找一点N ，使得ON ⊥平面ABDE ？若能，请指出点N 的位置，并加以证明；若不能，请说明理由1解析： ①中，原式＝AB →＋2BD →＋DC →＝AB →＋BD →＋BD →＋DC →＝AD →＋BC →，不符合题意；②中，原式＝2(AB →＋BC →＋CD →＋DA →)＋(AC →＋CD →＋DA →)＝0；③中，原式＝CD →，不符合题意；④中，原式＝(AB →－AD →)＋(CD →－CB →)＝0.故选C.答案： C2解析： ∵l 1∥l 2，∴a ∥b ，则32＝x 4＝y 5，∴x ＝6，y ＝152. 答案： D3解析： 由OA →＝(－1,1,0)，且点H 在直线OA 上，可设H (－λ，λ，0)，则BH →＝(－λ，λ－1，－1).又BH ⊥OA ，∴BH →·OA →＝0，即(－λ，λ－1，－1)·(－1,1,0)＝0，即λ＋λ－1＝0，解得λ＝12，∴H ⎝⎛⎭⎫－12，12，0，故选C. 答案： C4解析： 由题知(1，0，z )·(2，1，0)1＋z 25＝25，21＋z 25＝25，1＝1＋z 2，∴z ＝0. 答案： A5解析： ①|a |－|b |＝|a ＋b |⇒a 与b 的夹角为π，故是充分不必要条件，故不正确；②b需为非零向量，故不正确；③因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；④由基底的定义知正确；⑤由向量的数量积的性质知，不正确，故选B.答案： B6解析： 若l ∥α，则b ·n ＝0，将各选项代入，知D 正确. 答案： D7解析： 设a ＝(x ，y ，z )，AB →＝(－2，－1,3)，AC →＝(1，－3,2) 则⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋z 2＝3，－2x －y ＋3z ＝0，x －3y ＋2z ＝0，解得a ＝(1,1,1)或(－1，－1，－1).答案： B8解析： 由m ＋n ＝1，知m ＝1－n ，故OP →＝(1－n )OA →＋nOB →＝OA →－nOA →＋nOB →，则OP →－OA →＝n (OB →－OA →)，即AP →＝nAB →，所以点A ，P ，B 共线.故选A.答案： A9解析： AB →·AP →＝－2－2＋4＝0，∴AP ⊥AB ，①正确； ∴AP →·AD →＝－4＋4＝0，∴AP ⊥AD ，②正确； AP →是平面ABCD 的法向量，∴③正确；④错误. 答案： C10解析： 如右图，AE →＝12(AB →＋AC →)，AF →＝12AD →，AE →·AF →＝14(AB →·AD→＋AC →·AD →)＝14(a 2cos 60°＋a 2cos 60°)＝14a 2. 答案： C11解析： 建系如图，则S (0,0,3)，A (0,0,0)，B (3，1,0)，C (0,2,0). ∴AB →＝(3，1,0)，SB →＝(3，1，－3)，SC →＝(0,2，－3). 设面SBC 的法向量为n ＝(x ，y ，z ). 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·SB →＝3x ＋y －3z ＝0.n ·SC →＝2y －3z ＝0.令y ＝3，则z ＝2，x ＝3，∴n ＝(3，3,2).设AB 与面SBC 所成的角为θ，则sin θ＝|n ·AB →||n ||AB →|＝3＋34×2＝34.答案： D .12解析： 建系如图，设AB ＝1，则B (1,0,0)，A 1(0,0,1)，C 1(0,1,1)，A (0,0,0). ∴BA 1→＝(－1,0,1)，AC 1→＝(0,1,1).∴cos 〈BA 1→，AC 1→〉＝BA 1→·AC 1→|BA 1→||AC 1→|＝12·2＝12.∴〈BA 1→，AC 1→〉＝60°，即异面直线BA 1与AC 1所成的角等于60°. 答案： B13解析： AB →＝(1－x,2x －3，－3x ＋3)，则 |AB →|＝(1－x )2＋(2x －3)2＋(－3x ＋3)2 ＝14x 2－32x ＋19＝14⎝⎛⎭⎫x －872＋57， 故当x ＝87时，|AB →|取最小值.答案： 8714解析： cos 〈OA →，BC →〉＝OA →·BC →|OA →||BC →|＝OA →·(OC →－OB →)|OA →||BC →|＝|OA →||OC →|cos π3－|OA →||OB →|cosπ3|OA →||BC →|＝0.答案： 015解析： 由已知可发现a 与b 不共线，由共面向量定理可知，要使a ，b ，c 共面，则必存在实数x ，y ，使得c ＝xa ＋yb ，即⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝7－x ＋4y ＝53x －2y ＝λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝337y ＝177λ＝657.答案：65716解析： GE →＝AE →－AG →＝AD →＋DE →－23AM →＝AD →＋14DB →－13(AB →＋AC →)＝AD →＋14AB →－14AD →－13AB →－13AC →＝－112AB →－13AC →＋34AD →.答案： －112AB →－13AC →＋34AD →17解析： (1)先在图形中标出12AA ′→，为此，可取AA ′→的中点E ，则12AA ′→＝EA ′→.∵AB →＝D ′C ′→，在D ′C ′上取点F ，使D ′F ＝23＝D ′C ′，∴23AB →＝23D ′C ′→＝D ′F →. 又BC →＝A ′D ′→，从而有12AA ′→＋BC →＋23AB →＝EA ′→＋A ′D ′→＋D ′F →＝EF →，如图所示. (2)MN →＝MB →＋BN →＝12DB →＋34BC ′→＝12(DA →＋AB →)＋34(BC →＋CC ′→)＝12(－AD →＋AB →)＋34(AD →＋AA ′→)＝12AB →＋14AD →＋34AA ′→.∴α＝12，β＝14，γ＝34.18解析： (1)证明：证法一：连接AB ′，AC ′，由已知∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，三棱柱ABC －A ′B ′C ′为直三棱柱，所以M 为AB ′的中点.又因为N 为B ′C ′的中点，所以MN ∥AC ′.又MN ⊄平面A ′ACC ′，AC ′⊂平面A ′ACC ′，因此MN ∥平面A ′ACC ′.证法二：取A ′B ′的中点P ，连接MP ，NP .而M ，N 分别为AB ′与B ′C ′的中点，所以MP ∥AA ′，PN ∥A ′C ′，所以MP ∥平面A ′ACC ′，PN ∥平面A ′ACC ′.又MP ∩NP ＝P ，因此平面MPN ∥平面A ′ACC ′.而MN ⊂平面MPN ，所以MN ∥平面A ′ACC ′.(2)以A 为坐标原点，分别以直线AB ，AC ，AA ′为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系O －xyz ，如图所示. 设AA ′＝1，则AB ＝AC ＝λ，于是A (0,0,0)，B (λ，0,0)，C (0，λ，0)，A ′(0,0,1)，B ′(λ，0,1)，C ′(0，λ，1)，所以M ⎝⎛⎭⎫λ2，0，12，N ⎝⎛⎭⎫λ2，λ2，1. 设m ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A ′MN 的法向量. 由⎩⎪⎨⎪⎧m ·A ′M →＝0，m ·MN →＝0得⎩⎨⎧λ2x 1－12z 1＝0，λ2y 1＋12z 1＝0.可取m ＝(1，－1，λ).设n ＝(x 2，y 2，z 2)是平面MNC 的法向量，由⎩⎪⎨⎪⎧n ·NC →＝0，n ·MN →＝0得⎩⎨⎧－λ2x 2＋λ2y 2－z 2＝0，λ2y 2＋12z 2＝0，可取n ＝(－3，－1，λ).因为A ′－MN －C 为直二面角，所以m ·n ＝0. 即－3＋(－1)×(－1)＋λ2＝0，解得λ＝2(负值舍去). .19解析： (1)证明：因为P A ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，所以P A ⊥AB . 又AB ⊥AD ，P A ∩AD ＝A ，所以AB ⊥平面P AD . 又AB ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面P AD.(2)以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系(如图). 在平面ABCD 内，作CE ∥AB 交AD 于点E ，则CE ⊥AD . 在Rt △CDE 中，DE ＝CD ·cos 45°＝1.CE ＝CD ·sin 45°＝1.设AB ＝AP ＝t ，则B (t,0,0)，P (0,0，t ).由AB ＋AD ＝4，得AD ＝4－t .所以E (0,3－t,0)，C (1,3－t,0)，D (0,4－t,0)，CD →＝(－1,1,0)，PD →＝(0,4－t ，－t ).①设平面PCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由n ⊥CD →，n ⊥PD →，得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0(4－t )y －tz ＝0.取x ＝t ，得平面PCD 的一个法向量n ＝(t ，t,4－t ).又PB →＝(t,0，－t )，故由直线PB 与平面PCD 所成的角为30°得 cos 60°＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·PB →|n |·|PB →|，即|2t 2－4t |t 2＋t 2＋(4－t )2·2t 2＝12， 解得t ＝45或t ＝4(舍去，因为AD ＝4－t >0)，所以AB ＝45.20解析： 如图，取AC 的中点F ，作FM ⊥AB ，交AB 于M ， 已知平面ABC ⊥平面ACD易知FC ，FD ，FM 两两垂直，以F 为原点，射线FM ，FC ，FD 分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系F －xyz .不妨设AD ＝2，由CD ＝AD ，∠CAD ＝30°，∴A (0，－3，0)，C (0，3，0)，D (0,0,1)，AD →＝(0，3，1)，k ＝(0,0,1)是平面ABC 的法向量. 已知二面角C －AB －D 为60°故可取平面ABD 的单位法向量n ＝(l ，m ，n ) 使得〈n ，k 〉＝60°，从而n ＝12.由n ⊥AD →得3m ＋n ＝0，m ＝－36.由l 2＋m 2＋n 2＝1得l ＝±63.设点B 的坐标为(x ，y,0)，由AB →⊥BC →，n ⊥AB →，取l ＝63，有⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝363x －36(y ＋3)＝0.解得⎩⎨⎧x ＝469y ＝739或⎩⎨⎧x ＝0y ＝－3(舍去). 易知l ＝－63与坐标系的建立方式不合，舍去. ∴点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫469，739，0.所以CB →＝⎝⎛⎭⎫469，－239，0，从而cos 〈AD →，CB →〉＝AD →·CB →|AD →||CB →|＝3×⎝⎛⎭⎫－2393＋1⎝⎛⎭⎫4692＋⎝⎛⎭⎫－2392＝－36. 故异面直线AD 与BC 所成的角的余弦值为36.21解析： (1)证明：如图，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系，则O (0，0,0)， A (0，－3,0)，B (4,2,0)，C (－4，2,0)，P (0,0,4)，AP →＝(0,3,4)，BC →＝(－8,0,0). 由此可得AP →·BC →＝0， ∴AP →⊥BC →，即AP ⊥BC .(2)假设在线段AP 上存在点M ，使得二面角A －MC －B 为直二面角，设PM →＝λP A →，λ≠1，PM →＝λ(0，－3，－4)，BM →＝BP →＋PM →＝BP →＋λP A →＝(－4，－2－3λ，4－4λ)，AC →＝(－4,5,0)，BC →＝(－8,0,0).设平面BMC 的法向量n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面APC 的法向量n 2＝(x 2，y 2，z 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧ BC →·n 1＝0BM →·n 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0z 1＝2＋3λ4－4λy 1，可取n 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1，2＋3λ4－4λ.由⎩⎪⎨⎪⎧AP →·n 2＝0AC →·n 2＝0，得⎩⎨⎧x 2＝54y 2z 2＝－34y 2，可取n 2＝(5,4，－3)，由n 1·n 2＝0，得λ＝25，故AM ＝3.综上所述，存在点M 符合题意，AM ＝3.22解析： ∵BD ⊥BA ，又平面ABDE ⊥平面ABC ，平面ABDE ∩平面ABC ＝AB ，BD ⊂平面ABDE ，∴BD ⊥平面ABC .∵BD ∥AE ，∴AE ⊥平面ABC .如图所示，以点C为坐标原点，分别以CA ，CB 为x 轴，y 轴，过点C 且与平面ABC 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系.∵AC ＝BC ＝4，∴C (0,0,0)，A (4,0,0)，B (0,4,0)，D (0,4,2)，E (4,0,4)，O (2,0,2)，M (2,2,0).(1)CD →＝(0,4,2)，OD →＝(－2,4,0)，MD →＝(－2,2,2).设平面ODM 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则由n ⊥OD →，n ⊥MD →，可得⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4y ＝0－2x ＋2y ＋2z ＝0，令x ＝2，得y ＝1，z＝1，∴n ＝(2,1,1).设直线CD 与平面ODM 所成角为θ，则sin θ＝|n ·CD →||n ||CD →|＝|(2，1，1)·(0，4，2)|22＋12＋12·02＋42＋22＝66×25＝3010.∴直线CD 与平面ODM 所成角的正弦值为3010.(2)假设ME 上存在一点N ，使得ON ⊥平面ABDE ，设N (a ，b ，c )，则MN →＝(a －2，b －2，c )，NE →＝(4－a ，－b,4－c ).∵点N 在ME 上，∴MN →＝λNE →(λ∈R)，即(a －2，b －2，c )＝λ(4－a ，－b,4－c )，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －2＝λ(4－a )b －2＝λ(－b )c ＝λ(4－c )，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4λ＋2λ＋1b ＝2λ＋1c ＝4λλ＋1，∴N ⎝ ⎛⎭⎪⎫4λ＋2λ＋1，2λ＋1，4λλ＋1.∵BD ⊂平面ABDE ，∴ON →⊥BD →，即ON →·BD →＝0，又ON →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2λλ＋1，2λ＋1，2λ－2λ＋1，BD →＝(0,0,2)，∴4λ－4λ＋1＝0，解得λ＝1，∴MN →＝NE →，即当N 是ME 的中点时，ON ⊥平面ABDE .。
高二数学选修21空间向量试卷及答案
AA 1 DCB B 1C 1图高二数学（选修2-1）空间向量试题宝鸡铁一中司婷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内（每小题5分，共60分）．1．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB ＝2BB1，则AB 1与C 1B 所成的角的大小为（）A ．60°B ．90°C ．105°D ．75°2．如图，ABCD —A 1B 1C 1D 1是正方体，B 1E 1＝D 1F 1＝411B A ，则BE 1与DF 1所成角的余弦值是（）A ．1715B ．21C ．178D ．233．如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA =90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC =CA =CC 1，则BD1与AF 1所成角的余弦值是（）A ．1030B ．21C ．1530D ．10154．正四棱锥S ABCD 的高2SO ，底边长2AB，则异面直线BD 和SC 之间的距离（）A ．515B ．55 C ．552D ．1055．已知111ABCA B C 是各条棱长均等于a 的正三棱柱，D 是侧棱1CC 的中点．点1C 到平面1AB D 的距离（）A ．a42B ．a82C ．a423D ．a226．在棱长为1的正方体1111ABCDA B C D 中，则平面1AB C 与平面11A C D 间的距离（）A ．63B ．33 C ．332D ．23图图7．在三棱锥P －ABC 中，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝21PA ，点O 、D 分别是AC 、PC 的中点，OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值（）A ．621B ．338C60210 D．302108．在直三棱柱111C B A ABC 中，底面是等腰直角三角形，90ACB，侧棱21AA ，D ，E 分别是1CC 与B A 1的中点，点E 在平面AB D 上的射影是ABD 的重心G ．则BA 1与平面AB D 所成角的余弦值（）A ．32B ．37C ．23D ．739．正三棱柱111C B A ABC的底面边长为3，侧棱3231AA ，D 是C B 延长线上一点，且BC BD，则二面角B ADB 1的大小（）A ．3B ．6C．65D ．3210．正四棱柱1111D C B A ABCD中，底面边长为22，侧棱长为4，E ，F 分别为棱AB ，CD 的中点，G BDEF ．则三棱锥11EFD B 的体积V （）A ．66B ．3316 C ．316D ．1611．有以下命题：①如果向量b a,与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么b a,的关系是不共线；②,,,O A B C 为空间四点，且向量OC OB OA ,,不构成空间的一个基底，则点,,,O A B C 一定共面；③已知向量c b a ,,是空间的一个基底，则向量c b a b a ,,也是空间的一个基底。
高二数学选修21第3章空间向量与立体几何单元测试题(含答案)
高二数学选修2-1第3章空间向量与立体几何单元测试题（含答案）空间向量是解立体几何的一种常用方法，以下是第3章空间向量与立体几何单元测试题，希望对大家有帮助。
一、填空题1.判断下列各命题的真假：①向量AB的长度与向量BA的长度相等;②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反;③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同;④两个有公共终点的向量，一定是共线向量;⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中假命题的个数为________.2.已知向量AB，AC，BC满足|AB|=|AC|+|BC|，则下列叙述正确的是________.(写出所有正确的序号)①AB=AC+BC②AB=-AC-BC③AC与BC同向;④AC与CB同向.3.在正方体ABCD-A1B1C1D中，向量表达式DD1-AB+BC化简后的结果是________.4.在平行六面体ABCD-A1B1C1D中，用向量AB，AD，AA1来表示向量AC1的表达式为___________________________________________________ _____________________.5.四面体ABCD中，设M是CD的中点，则AB+12(BD+BC)化简的结果是________.6.平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G，H，P，Q分别是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中点，下列结论中正确的有________.(写出所有正确的序号)① +GH+PQ② -GH-PQ③ +GH-PQ④ -GH+PQ=0.7.如图所示，a,b是两个空间向量，则AC与AC是________向量，AB与BA是________向量.8.在正方体ABCD-A1B1C1D中，化简向量表达式AB+CD+BC+DA 的结果为________.二、解答题9.如图所示，已知空间四边形ABCD，连结AC，BD，E，F，G 分别是BC，CD，DB的中点，请化简(1)AB+BC+CD，(2)AB+GD+EC，并标出化简结果的向量.10.设A是△BCD所在平面外的一点，G是△BCD的重心.求证：AG=13(AB+AC+AD).能力提升11.在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD 的中点，AE的延长线与CD交于点F.若AC=a，BD=b，则AF=______________________.12.证明：平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分.解析①真命题;②假命题，若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的;③真命题;④假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反;⑤假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段.2.④解析由|AB|=|AC|+|BC|=|AC|+|CB|，知C点在线段AB上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以AC与CB同向.3.BD1解析如图所示，∵DD1=AA1，DD1-AB=AA1-AB=BA1，BA1+BC=BD1，DD1-AB+BC=BD1.4.AC1=AB+AD+AA1解析因为AB+AD=AC，AC+AA1=AC1，所以AC1=AB+AD+AA1.5.AM解析如图所示，因为12(BD+BC)=BM，所以AB+12(BD+BC)=AB+BM=AM.6.①解析观察平行六面体ABCDA1B1C1D1可知，向量EF，GH，PQ 平移后可以首尾相连，于是EF+GH+PQ=0.7.相等相反8.0解析在任何图形中，首尾相接的若干个向量和为零向量.9.解 (1)AB+BC+CD=AC+CD=AD.(2)∵E，F，G分别为BC，CD，DB的中点.BE=EC，EF=GD.AB+GD+EC=AB+BE+EF=AF.故所求向量AD，AF，如图所示.10.证明连结BG，延长后交CD于E，由G为△BCD的重心，知BG=23BE.∵E为CD的中点，BE=12BC+12BD.AG=AB+BG=AB+23BE=AB+13(BC+BD)=AB+13[(AC-AB)+(AD-AB)]=13(AB+AC+AD).11.23a+13b解析 AF=AC+CF=a+23CD=a+13(b-a)=23a+13b.12.证明如图所示，平行六面体ABCDABCD，设点O是AC的中点，则AO=12AC=12(AB+AD+AA).设P、M、N分别是BD、CA、DB的中点.则AP=AB+BP=AB+12BD=AB+12(BA+BC+BB)=AB+12(-AB+AD+AA)=12(AB+AD+AA).同理可证：AM=12(AB+AD+AA)AN=12(AB+AD+AA).由此可知O，P，M，N四点重合.故平行六面体的对角线相交于一点，且在交点处互相平分.第3章空间向量与立体几何单元测试题的全部内容就是这些，查字典数学网预祝大家新学期可以取得更好的成绩。
(完整word版)高中数学选修2-1第三章空间向量测试题
1 .2 .3 .4. 选修2-1第三章空间向量检测题（一）、选择题（每小题5分，共60分）已知向量2A. 3在长方体A.AD i 5. a = (2,—3,5)与向量b= (3,人号）平行，则X=（9B.2ABCD—A1B1C1D1 中，A B+ B C+ C C1 —D7C1 等于(B.AC1C.ADD.AB若向量a= (1, m,2), b= (2, —1,2)，若8 rcos〈a, b〉= 9,贝" m的值为（）A . 2 B.—2 C.—2或552 D. 2或—55已知空间向量a= (1,1,0), b= (—1,0,2), (0,1,2)已知A,共面的是（则与向量a+ b方向相反的单位向量的坐标是（）1 B. (0,—1,—2) C. (0, ，5, D . (0，- 15,-B, C三点不共线，对平面ABC内任一点0,下列条件中能确定M与点A , B , C 一定) A.O M = O A+OB + O C B.O M= 2OA —OB —OtC.OM = 0A + joB + 100D.OM = 1(5A + 1(5B+1(5C6•如图，已知空间四边形OABC，其对角线为OB, AC , M , N分别是对边0A , BC的中点，点G在线段MN上，且MG = 2GN ,现用基向量0A , OB , Oc表示向量，设0G=xOA+yOB+zOC ,则x, y, z的值分别是（1 A . x= 3,1y=3,1z= 31 1B. x=3, y= 3,c. x= 3,1y =6,1Z= 31 1D. x=6, y=11Z= 37•如图所示，已知三棱锥A—BCD, O BCD内一点，则AO + AD）是0 BCD的重心的（）G NB1(A B+A CA •充分不必要条件B •必要不充分条件C •充要条件D •既不充分也不必要条件E8已知平行六面体 ABCD — A i B i C i D i 中，若ABCD 是边长为2 的正方形，AA i = 1，/ A i AD = Z A i AB=60°贝V BD i 的长为（）A . 3B. .' 7C. . 13D . 99•如图所示，在直三棱柱 ABC — A i B i C i 中，AB = BC = AA i ,Z ABC = 90° 点E , F 分别是棱AB , BB i 的中点，则直线 EF 与BC i 所成的角是（ ） A . 45°B . 60°C . 90°D . i20°iO .把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A , B , C , D 四点为顶点的 三棱锥的体积最大时，直线BD 与平面ABC 所成的角的大小为（）A . 90 °B . 60 °C . 45 °D . 30 °ii.如图所示，在三棱锥 P —ABC 中，/ APB =Z BPC =Z APC = 90° M 在厶 ABC 内，/ MPA = 60° / MPB = 45° 则/ MPC 的度数为（ ）A . i50°B . 45°C . 60°D . i20°i2 .已知直二面角 a — PQ — 3, A € PQ , B € a, C € 3, CA = CB ，/ BAP =45° ,直线CA 和平面a 所成的角为30° ,那么二面角 B — AC — P 的正 切值为（）i3.已知四面体 ABCD 中，AB = a — 2c , CD = 5a + 6b — 8c , AC , BD 的中点分别为 E , F ,则 =14. 在直三棱柱 ABC — A i B i C i 中，/ ACB = 90 ° / BAC = 30 ° , BC = 1 , AA1 = ： 6 , M 是 CC i 的 中点，则异面直线 AB i 与A i M 所成角的大小为 _____________ .15. 已知平行六面体 ABCD — A i B i C i D i 中，ABCD 是边长为 a 的正方形，AA i = b , / A i AB =Z A i AD = I20 °,贝U AC i 的长为 __________ .i6.如图，平面 ABCD 丄平面ABEF ,四边形ABCD 是正方形，四题号 i2 3456789I0iiI2答案B . 3C.|、填空题（每小题5分，共20分）iD .3Ci边形ABEF是矩形，且AF = 2AD = a, G是EF的中点，贝U GB与平面AGC所成角的正弦值为__________ .8已知平行六面体ABCD —A i B i C i D i中，若ABCD是边长为 2 的正方形，AA i= 1，/ A i AD = Z A i AB三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17. (10 分)已知A(1，- 2,11), B(6 , - 1,4), C(4,2,3), D(12,7 12)，证明:A, B, C, D 四点共面.18. (12分)如图，已知点P在正方体ABCD —A1B1C1D1的体对角线BD1上，/ PDA = 60 °(1)求DP与CC1所成角的大小；⑵求DP与平面AA1D1D所成角的大小.19. (12分)如图所示，已知正方体ABCD —A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点.(1)求证A1E丄BD ; (2)若平面A1BD丄平面EBD，试确定E点的位置.20.(12分)如图，四边形 PDCE 为矩形，四边形 ABCD 为梯形，平面 PDCE 丄平面ABCD ，/ BAD21.(12分)如图所示，在四棱锥P — ABCD 中，底面ABCD 是矩形, AB = 1 , BM 丄 PD 于点 M.(1)求证AM 丄PD ; (2)求直线CD 与平面ACM 所成的角的余弦值.22.(12分)如图所示，在四棱锥 P — ABCD 中，底面是边长为 2^3的菱形，且/ BAD = 120 ° PA 丄 平面ABCD , PA = 2 6, M , N 分别为PB , PD 的中点.(1)证明MN //平面ABCD ; (2)过点A 作AQ 丄PC ,垂足为点Q ,求二面角A — MN — Q 的平面角的 余弦值.1=/ ADC = 90° AB = AD = 2CD = a , PD = >/2a.(1)若M 为PA 的中点，求证： AC //平面 MDE ; (2)求平面PAD 与平面 PBC所成锐二面角的大小.PA 丄平面 ABCD , PA = AD = 2,第三章单兀质量评估(一■)1. C T a // b ,「. b = ma(m € R),2= Y= 15，得入——7 8 92AB + BC + CC i — D 1C 1 = AC 1 — D iG = AC 1 + CD 1 = AD 1. ab = 6-m |a 匸.m 2 + 5 |b| = 3, cos 〈a，b 〉=|a||b|=3 m 2 + 57 C8 A BD 1=BA +AD + DTD 1 = E B A +BC + BB 1, |BD 1|2= BD 12 = (BA + BC + BB 1)2= |BA|2 + |BC|2 + |BB 1|2 + 2BA BC + 2BA BIB 1 + 2BC BIB 1 = 4 + 4+1 + 1 10+ 2X 2X 1 X ( — 2 + 2X 2X 1X 2= 9, |就|= 3, 即卩 BD 1 的长为 3.2. A3. C 8 =9解得、 2m = — 2 或 m = 55.由已知得a + b = (0,1,2)且|a + b|= 5,则与向量a +b 方向相反 1 1的单位向量为一 5(°,1,2)= (0,-5,-5. D16. D 连接ON , T M , N 分别是对边OA , BC 的中点，二OM = -Q A , 1 Oh=2(O B + O C),OG = oM + MG = oM + 3MN = oM + 3(O~N - oM) = 30M +X 舟0^+|x ^(OB +OC) = 6O A +3O B +^OC ,二x = 6, y = z = 3.故选 D.4. D.故选D.9. B以点B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设各棱长为2, 则E(0,1,0), F(0,0,1), G(2,0,2), B(0,0,0),则EF = (0, - 1,1), BC i = (2,0,2),2 i••• cos <EF, BC I〉=頁2迄=2，二〈EF, BC i>= 60° A直线EF 与BC i 所成的角为60°10. C 翻折后A, B, C, D四点构成三棱锥的体积最大时，平面ADC 丄平面BAC,设未折前正方形对角线的交点为O,则/ DBO即为BD与平面ABC所成的角，大小为45°11. CAB如右图所示，过M作MH丄面PBC于H，贝S MH // AP,「./ MPH =12. A 在平面B 内过点C 作CO 丄PQ 于O ,连接OB.又a 丄B,则OC X OB , OC X OA ,又 CA = CB ,所以△ AOC ^A BOC , 故 OA = OB.又 / BAP = 45°所以OA X OB.以O 为原点，分别以OB , OA , OC 所在直线 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(如图).不妨设AC = 2,由/ CAO = 30°,知OA = 3, OC = 1.在等腰直角三角 形 OAB 中，/ ABO =/ BAO = 45° 贝卩 OB = OA = 3，所以 B( 3, 0,0), A(0, 一3, 0), C(0,0,1), AB = ( .3,- , 3, 0), AC = (0,— 3, 1)，设平tt m AC = — V 3y +z = 0面ABC 的法向量为n 1 = (x , y , z),由_ _ ，取x = 1,n 1 AB = V 3x —V 3y = 0则y = 1,z =Q 3,所以n 1= (1,1,3),易知平面B 的一个法向量为n 尸(1,0,0), 则 cos < n 1, n 2>= |；||：2厂丁5：〔二中，又二面角 B — AC — P 为锐角，由此可得二面角B — AC — P 的正切值为2.13. 3a + 3b — 5c30° 二 cos45 = cos / HPB cos30 °6 ~3，cos / HPC =cos / HPB•••/ MPC= 60° 又 cos / HPC cos30解析：A 1M = 0，— 3，— ~2 ， cos <AB 1， A 1M 〉= 0，二〈AB 1， A 1M 〉= n即直线AB 1与A 1M 所成角为扌15/, 2a 2 + b 2— 2ab如图所示，取BC 的中点M ,连接EM , MF ,则EF = EM + M F = 2A B +1(a —2c) + 2(5a + 6b — 8c) = 3a + 3b — 5c.14. 扌解析：由条件知AC , BC , CG 两两垂直， 图，以C 为原点，CB ，CA ，CC i 分别为x 轴, 轴，z轴建立空间直角坐标系，则B(1,0,0),A(0, 3 0)，B i (1,0，.'6)，M 0，0,屮，几(0，3'6)，A解析：设AB= a，AD = b，A/A1 = c，则|a|= |b|= a，|c|=b ,• • AkC i = AB + B C + cC i = a + b + c ,• • |AC i |2 = (a + b + c)2 = 2a 2 + b 2 — 2ab ,「. |/AC i |= 2a 2 + b 2 — 2ab.'616可解析：如图，以A 为原点建立空间直角坐 标系，则 A(0,0,0), B(0,2a,0), C(0,2a,2a), G(a ,a,0), F(a,O,O), AG = (a , a,0), AC = (0,2a,2a),BG = (a , — a,0),设平面AGC 的一个法向量为n i = (x i ,AG n i = 0 y i,i)，由—AC n i = 0AGC 所成的角为B,则 |BG n i |=2a _^6 |BG||n i | ；2a x 3 3i7.证明：AB = (5,i ,— 7), AC = (3,4,— 8), AD = (ii,9,— 23)，设AD = X AB +yAC ,5X + 3y = ii得 x +4y = 9 ,—7X — 8y = — 23解得 X = i , y = 2.ax i + ay i = 0 2ay i + 2a = 0 ，则 x i = 1 y i = — i,故n i = (i ,— i,i).设GB 与平面 sin 0=所以AD = AB+2AC,则AD, AB, AC为共面向量，又A B,A D, AC有公共点A,因此A, B, C, D四点共面.18. 解:如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1, 则DA = (1,0,0), CC i = (0,0,1),连接BD, B i D i，在矩形BB i D i D 中，延长DP交B1D1于H点.设DH = (m, m,1)(m>0),〈DH , DA> = 60° 则DA DH = DA|DH|cos 〈DH , DA >,可得2m= 2m2+1,得m^-^,所以DH =(承孑,1).(1) cos〈D H , CC1 > = DH C C1 = 1，所以〈D H , CC1 > = 45°,即IDH11CC1I 72DP与CC1所成的角为45°DH DC(2) 平面AA1D1D 的一个法向量为DC = (0,1,0), co〈DH , DC> = ——|DH||DC| 1=2,所以〈DH , DC > = 60°故DP与平面AA1D1D所成的角为30°19. (1)证明：如图所示，以D为原点，DA,D C,D D I所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为a,则A(a,O,O), B(a, a,0)，C(0，a,0),A i(a,0，a)，C i(0，a，a)，设E(0，a，e)，则A i E=(—a，a，e —a)，BD = (—a，—a,0)，A i E BD =—a (—a) + a (-a) + (e- a) 0=0，A A i E丄BD，贝A i E丄BD.(2)解：当E为CC i的中点时，平面A i BD丄平面EBD.由题意可得DE=BE，••• E0 丄BD.同理A i O丄BD，/ A i OE为二面角A i - BD —E的平面角，EO ==^23a，A i O = ^Ja2+^|2a2 = ^a，A i E2= ^/2a)2+ p 29 9=4a2，二EO2+ A i O2= 4a2= A i E2，：/ A i OE = 90° •平面A i BD 丄平面EBD.20 .解：T四边形PDCE是矩形，且平面PDCE丄平面ABCD，平面PDCE A平面ABCD = CD，二PD 丄平面ABCD，贝S PD丄AD，PD丄DC，又/ ADC =90° • PD，AD，DC两两垂直.以D为原点，分别以DA，DC，DP所在直线为x,y,z 轴建立如图所示的空间直角坐标系.由已知，得D(0,0,0),A(a,O,O), P(0,0, 2a), E(0,2a , 2a), C(0,2a,0), B(a , a,0).(1) T M 为 PA 的中点，二 M(|, 0,今),则AC = (— a,2a,0), DM = (2, 0,手)，DE = (0,2a , 2a).设平面MDE 的法向量为m = (x , y , z),m DE = 0 2y + 2z = 0取 m = (2,1,— 2).而AC m = (— a) 2 + 2a + 0= 0,且 AC?平面 MDE ,••• AC //平面 MDE.⑵平面 FAD 的一个法向量 n i = (0,1,0), PC = (0,2a ,—2a), PB = (a , a , — 2a).设平面PBC 的法向量为 七=(x °, y °, %),则有取 n 2 = (1,1, 2).设平面PAD 与PBC 所成锐二面角的大小为0,则有..n 1 n 2 . 1cos = |cos 〈n 1, n 2〉ITjn^= 2, m DM = 0x + 2z =0由题意得则0= 60°•平面PAD与平面PBC所成锐二面角的大小为60°21 . (1)证明：T PA丄平面ABCD, AB?平面ABCD,••• FA X AB.v AB 丄AD , AD A FA = A 」.AB 丄平面 FAD.v PD?平面 FAD ,• AB 丄PD.v BM 丄 PD , AB A BM = B ,. PD 丄平面 ABM.v AM?平面 ABM ,. AM 丄 PD.⑵解：如右图所示，以点A 为坐标原点，AB , AD , AP 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系 Axyz ，则 A(0,0,0)，P(0,0,2)，B(1,0,0)，C(1,2,0),D(0,2,0), M(0,1,1)，贝SAC = (1,2,0)，AM = (0,1,1)，CD = (-1,0,0).设平面ACM 的一个法向量为n = (x , y , z),由n 丄AC , n 丄AM 可得 平面ACM 所成的角为a,贝卩sin a= CD n = 乂6，二COS a= W3，.・.直线ICDII n| 3 3CD 与平面ACM 所成的角的余弦值为 §.22. (1)证明：连接BD ，因为M , N 分别为PB , PD 的中点，所以MN 是厶PBD 的中位线，所以MN // BD.又因为MN?平面ABCD ,所以MN //平 面 ABCD.x + 2y = 0,y +z = 0, 令 z = 1,得 x = 2, y =- 1,. n = (2,- 1,1).设直线 CD 与(2)解法1:连接AC 交BD 于0,以0为原点，OC, OD 所在直线为x 轴、y 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz,如图所示.在菱形ABCD 中，/ BAD =120° 得 AC = AB = 2书，BD = ^3AB = 6,又因为 PA 丄平面 ABCD ，所 以FA X AC ,在直角三角形 FAC 中，AC = 2,3, FA = 2 6, AQ 丄PC ,得 QC = 2, PQ = 4•由此知各点坐标如下:A(- 3, 0,0), B(0,— 3,0), C( 3, 0,0), D(0,3,0), P(— 3, 0,2 6), M -于，-1, 6 , N — f, |, .6 , Q -f, 0,響•设m = (x i , y i , z i )为平面AMN 的一个法向量，AM = 于，—3, 6 , AN =彊 2 6 ,由 m 丄 AM , m 丄AN 知 y 2, Z 2)为平面 QMN 的一个法向量， QM = -563,— 2, , QN =取 z i = — 1,得 m = (2 2, 0,— 1).设 n = (X 2,5/3 3丄0一—T x2—2y2+T Z2= 0,n丄QN知—，-5/3 3 卡门帝X2 + 刃2 + -^2= °MN —Q的平面角的余弦值为解法2:如图所示，在菱形ABCD中，/ BAD = 120°得AC= AB = BC= CD = DA，BD = ,'3AB.又因为PA丄平面ABCD，所以PA X AB, FA X AC, FA X AD，所以FB= FC= FD，所以△ FBC^^ PDC.而M , N 分别是1 1PB, PD的中点，所以MQ = NQ,且AM = 2PB = 2PD= AN.取线段MN的中点E,连接AE, EQ,贝S AE X MN , QE X MN,所以/ AEQ为二面角A —MN —Q 的平面角，由AB= 2.3 PA= 2：6,故在△ AMN 中，AM = AN1 3X/3=3, MN =尹D = 3,得AE=〒.在直角三角形PAC中，AQ X PC,得AQ=2 2, QC= 2, PQ= 4,在厶PBC 中，cos/ BPC= PB［黑/' '得MQ = *PM2+ PQ2—2PM PQcos Z BPC= '5.在等腰三角形MQN 中，MQ =NQ= ：5, MN= 3,得QE = \MQ2—ME2=,11 , 亠3 3“ 4 “2 .在△ AEQ 中，AE=〒,QE= 2, AQ3于•由n丄QM,取Z2=5,得n = (2 '2, 0,5).故cos〈m,n —归*|m||n|=药，所以一面角 A —所以二面=6, P4玄2AE QE=2 2 得cos/ AEQ = AE"：严二AQ =雰,33 33。
选修2-1空间向量单元测试题(一)
第三章 单元质量评估(一)时限：120分钟满分：150分第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．在空间四边形ABCD 中，连接AC 、BD ，若△BCD 是正三角形，且E 为其中心，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →的化简结果为( )A.AB → B ．2BD → C ．0D ．2DE→ 解析：如图，F 是BC 的中点，E 是DF 的三等分点，∴32DE →＝DF →.∵12BC →＝BF →，则AB →＋12BC →－32DE →－AD →＝AB →＋BF →－DF →－AD →＝AF →＋FD→－AD →＝AD →－AD →＝0. 答案：C2．在以下命题中，不．正确的个数为( ) ①|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件；②若a ∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；③对空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝ 2OA→－2OB →－OC →，则P ，A ，B ，C 四点共面； ④若{a ，b ，c }为空间的一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一个基底；⑤|(a ·b )·c |＝|a |·|b |·|c |. A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：①|a |－|b |＝|a ＋b |⇒a 与b 的夹角为π，故是充分不必要条件，故不正确；②b 需为非零向量，故不正确；③因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；④由基底的定义知正确；⑤由向量的数量积的性质知，不正确．答案：C3．已知A 、B 、C 、D 为四个不同点，且AB →＋BC →＋CD →＋DA →＝0，则( )A ．A 、B 、C 、D 四点必共面B ．A 、B 、C 、D 四点构成一个空间四边形 C ．A 、B 、C 、D 四点必共线D ．A 、B 、C 、D 四点的位置无法确定解析：共线、共面和构成一个空间四边形三种情况都可能出现，故选D.答案：D4．如图，在四面体ABCD 中，已知AB→＝b ，AD →＝a ，AC →＝c ，BE →＝12EC →，则DE→＝( )A ．－a ＋23b ＋13cB ．a ＋23b ＋13c C ．a －23b ＋13c D.23a －b ＋13c解析：DE →＝DA →＋AB →＋BE →＝DA →＋AB →＋13(AC →－AB →)＝－a ＋23b ＋13c ，故选A.答案：A5．已知向量a ＝(1，x,1)，b ＝(2,1，－1)，a ·b >0，则函数y ＝x 2＋4x －1的值域是( )A ．(－∞，3)B ．(－∞，－3)C ．(－4，＋∞)D ．(－∞，－4)解析：由a ·b >0，得2＋x －1>0，解得x >－1.而函数y ＝x 2＋4x －1在(－1，＋∞)上是增函数，∴y >(－1)2＋4×(－1)－1，即y >－4.答案：C6．已知a ＝(－1，－5，－2)，b ＝(x,2，x ＋2)，若a ⊥b ，则x 的值为( )A ．0B ．－143C ．－6D ．±6解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝(－1，－5，－2)·(x,2，x ＋2)＝－x －10－2x －4＝－3x －14＝0，∴x ＝－143，故选B.答案：B7．已知点A (－3,4,3)，O 为坐标原点，则OA 与坐标平面yOz 所成角的正切值为( )A.34B.35C.53D ．1解析：A 点在面yOz 上射影为B (0,4,3)且|OB |＝5，所以OA 与平面yOz 所成角θ满足tan θ＝|AB ||OB |＝35.答案：B8．已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )A ．90°B ．60°C ．30°D ．0°解析：(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2＝(cos 2α＋sin 2α＋1)－(sin 2α＋1＋cos 2α)＝0，∴(a ＋b )⊥(a －b )． 答案：A9．如图所示，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1＝AB ＝AC ，AB ⊥AC ，M 是CC 1的中点，Q 是BC 的中点，P 是A 1B 1的中点，则直线PQ 与AM 所成的角为( )A.π6B.π4C.π3D.π2解析：以A 为坐标原点，AB 、AC 、AA 1所在直线为x 、y 、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AA 1＝AB ＝AC ＝2，则AM →＝(0,2,1)，Q (1,1,0)，P (1,0,2)，QP →＝(0，－1,2)，所以QP →·AM →＝0，所以QP 与AM 所成角为π2.答案：D10．已知A (1,1,1)，B (2,2,2)，C (3,2,4)，则△ABC 的面积为( ) A. 3 B ．2 3 C. 6D.62解析：∵A (1,1,1)，B (2,2,2)，C (3,2,4)， ∴AB→＝(1,1,1)，AC →＝(2,1,3)， ∴cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →|·|AC →|＝2＋1＋33·14＝427，∴sin 〈AB →，AC →〉＝77， ∴S △ABC ＝12|AB →|·|AC →|·sin 〈AB →，AC →〉 ＝12×3×14×77＝62，故选D. 答案：D11．如图，在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上的一点，且A 1G ＝λ(0≤λ≤1)，则点G 到平面D 1EF 的距离为( )A. 3B.22 C.23D.55解析：∵A 1B 1∥EF ，点G 在A 1B 1上，∴点G 到平面D 1EF 的距离即为点A 1到平面D 1EF 的距离，即是点A 1到D 1E 的距离．∵D 1E ＝52，由三角形面积可得所求距离为1×1252＝55，故选D.答案：D12．如图，已知点P 为菱形ABCD 外一点，且P A ⊥平面ABCD ，P A ＝AD ＝AC ，点F 为PC 中点，则二面角C —BF —D 的正切值为( )A.36 B.34 C.33D.23 3解析：如图，连接BD ，AC ∩BD ＝O ，连接OF ，以O 为原点，OB 、OC 、OF 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设P A ＝AD ＝AC ＝1，则BD ＝3，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，12， C ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，0，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，0.结合图形可知，OC →＝⎝⎛⎭⎪⎫0，12，0，且OC →为平面BDF 的一个法向量，由BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，0，FB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，－12，可求得平面BCF 的一个法向量n ＝(1，3，3)． ∴cos 〈n ·OC →〉＝217，sin 〈n ，OC →〉＝277， ∴tan 〈n ，OC →〉＝233. 答案：D第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)13．若a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，则与a ＋b 同方向的单位向量是________．解析：∵a ＋b ＝(0,1,2)，∴|a ＋b |＝5，∴与a ＋b 同方向的单位向量是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，15，25，即⎝ ⎛⎭⎪⎫0，55，255. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，55，255 14．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，若E 为矩形ABCD 的中心，设A 1E →＝A 1A →＋xA 1B 1→＋yA 1D 1→，则x ＝________，y ＝________.解析：∵A 1E →＝A 1A →＋AE →＝A 1A →＋12AC → ＝A 1A →＋12A 1B 1→＋12A 1D 1→，∴x ＝y ＝12. 答案：12 1215．已知a ＝(3,1,5)，b ＝(1,2，－3)，向量c 与z 轴垂直，且满足a ·c ＝9，b ·c ＝－4，则c ＝________.解析：设c ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧(0，0，1)·(x ，y ，z )＝z ＝0，(3，1，5)·(x ，y ，z )＝3x ＋y ＋5z ＝9，(1，2，－3)·(x ，y ，z )＝x ＋2y －3z ＝－4.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝225，y ＝－215，z ＝0，所以c ＝(225，－215，0)．答案：(225，－215，0)16．如图所示，已知正四面体A —BCD 中，AE ＝14AB ，CF ＝14CD ，则直线DE 和BF 所成的角的余弦值为________．解析：ED →＝EA →＋AD →＝14BA →＋AD →， BF →＝BC →＋CF →＝BC →＋14CD →， cos 〈ED →，BF →〉＝ED →·BF →|ED →|·|BF →|＝(14BA →＋AD →)·(BC →＋14CD →)(14BA →＋AD →)2·(BC →＋14CD →)2＝413.答案：413三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(10分)如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别在DB 、D 1C 上，且DE ＝D 1F ＝23a ，其中a 为正方体棱长．求证：EF ∥平面BB 1C 1C .证明：如图，建立空间直角坐标系， 则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，a 3，0，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 3，2a 3，故EF →＝⎝⎛⎭⎪⎫－a 3，0，2a 3.又AB →＝(0，a,0)显然为平面BB 1C 1C 的一个法向量，而AB →·EF→ ＝(0，a,0)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－a3，0，2a 3＝0， ∴AB→⊥EF →. 又∵E ∉平面BB 1C 1C ，∴EF ∥平面BB 1C 1C .18．(12分)如图，已知点P 在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的对角线BD 1上，∠PDA ＝60°.(1)求DP 与CC 1所成角的大小； (2)求DP 与平面AA 1D 1D 所成角的大小．解：如图，以D 为原点，DA 为单位长建立空间直角坐标系Dxyz .则DA →＝(1,0,0)，CC 1→＝(0,0,1)．连接BD ，B 1D 1. 在平面BB 1D 1D 中，延长DP 交B 1D 1于H . 设DH→＝(m ，m,1)(m >0)， 由已知〈DH →，DA →〉＝60°，由DH →·DA →＝|DA →||DH →|cos 〈DA →，DH →〉， 可得2m ＝2m 2＋1.解得m ＝22，所以DH →＝(22，22，1)． (1)因为cos 〈DH →，CC 1→〉＝22×0＋22×0＋1×11×2＝22， 所以〈DH →，CC 1→〉＝45°. 即DP 与CC 1所成的角为45°.(2)平面AA 1D 1D 的一个法向量是DC→＝(0,1,0)． 因为cos 〈DH →，DC →〉＝22×0＋22×1＋1×01×2＝12，所以〈DH →，DC →〉＝60°，可得DP 与平面AA 1D 1D 所成的角为30°.19．(课标全国卷Ⅰ)如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，CA ＝CB ，AB ＝AA 1，∠BAA 1＝60°.(1)证明：AB⊥A1C；(2)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB＝CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．解：(1)取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B.因为CA＝CB，所以OC⊥AB.由于AB＝AA1，∠BAA1＝60°，故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1＝O，所以AB⊥平面OA1C.又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.(2)由(1)可知OC⊥AB，OA1⊥AB.又平面ABC ⊥平面AA 1B 1B ，交线为AB ，所以OC ⊥平面AA 1B 1B ，故OA ，OA 1，OC 两两相互垂直．以O 为坐标原点，OA→的方向为x 轴的正方向，|OA →|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O －xyz .由题设知A (1,0,0)，A 1(0，3，0)，C (0,0，3)，B (－1,0,0)． 则BC →＝(1,0，3)，BB 1→＝AA 1→＝(－1，3，0)，A 1C →＝(0，－3，3)．设n ＝(x ，y ，z )是平面BB 1C 1C 的法向量， 则⎩⎨⎧n ·BC →＝0，n ·BB 1→＝0.即⎩⎨⎧x ＋3z ＝0，－x ＋3y ＝0.可取n ＝(3，1，－1)．故cos 〈n ，A 1C →〉＝n ·A 1C →|n ||A 1C →|＝－105. 所以A 1C 与平面BB 1C 1C 所成角的正弦值为105.20．(12分)如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1的中点．(1)求直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值；(2)在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？证明你的结论．解：设正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为1.如图所示，以AB →，AD →，AA 1→为单位正交基底建立空间直角坐标系． (1)依题意，得B (1,0,0)，E (0,1，12)，A (0,0,0)，D (0,1,0)，所以BE →＝(－1,1，12)，AD →＝(0,1,0)．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，因为AD ⊥平面ABB 1A 1，所以AD →是平面ABB 1A 1的一个法向量，设直线BE 与平面ABB 1A 1所成的角为θ，则sin θ＝|BE →·AD →||BE →|·|AD →|＝132×1＝23.即直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值为23. (2)依题意，得A 1(0,0,1)， BA 1→＝(－1,0,1)，BE →＝(－1,1，12)．设n ＝(x ，y ，z )是平面A 1BE 的一个法向量， 则由n ·BA 1→＝0，n ·BE →＝0， 得⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋z ＝0，－x ＋y ＋12z ＝0.所以x ＝z ，y ＝12z .取z ＝2，得n ＝(2,1,2)．设F 是棱C 1D 1上的点，则F (t,1,1)(0≤t ≤1)， 又B 1(1,0,1)，所以B 1F →＝(t －1,1,0)． 而B 1F ⊄平面A 1BE ，于是B 1F ∥平面A 1BE ⇔B 1F →·n ＝0⇔(t －1,1,0)·(2,1,2)＝0⇔2(t －1)＋1＝0⇔t ＝12⇔F 为C 1D 1的中点．这说明在棱C 1D 1上存在点F (C 1D 1的中点)，使B 1F ∥平面A 1BE . 21．(12分)如图，在四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°.(1)求证：BD⊥平面P AC；(2)若P A＝AB，求PB与AC所成角的余弦值；(3)当平面PBC与平面PDC垂直时，求P A的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.又∵P A⊥平面ABCD，∴P A⊥BD，∴BD⊥平面P AC.(2)设AC∩BD＝O，∵∠BAD＝60°，P A＝AB＝2，∴BO＝1，AO＝CO＝ 3.如图，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标，则P (0，－3，2)，A (0，－3，0)，B (1,0,0)，C (0，3，0)，∴PB→＝(1，3，－2)，AC →＝(0,23，0)． 设PB 与AC 所成角为θ，则cos θ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪PB →·AC →|PB →||AC →|＝622×23＝64.(3)由(2)，知BC→＝(－1，3，0)． 设P (0，－3，t )(t >0)， 则BP→＝(－1，－3，t )． 设平面PBC 的法向量m ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧BC →·m ＝0，BP→·m ＝0，∴⎩⎨⎧－x ＋3y ＝0，－x －3y ＋tz ＝0.令y ＝3，则x ＝3，z ＝6t .∴平面PBC 的法向量为m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3，3，6t .同理，平面PDC 的法向量为n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，3，6t .∵平面PBC ⊥平面PDC ， ∴m ·n ＝0，即－6＋36t 2＝0， 解得t ＝6，∴P A ＝ 6. 故P A 的长为 6.22．(12分)如图，在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2，AB ＝1，点N 是BC 的中点，点M 在CC 1上，设二面角A 1—DN —M 的大小为θ.(1)当θ＝90°时，求AM 的长； (2)当cos θ＝66时，求CM 的长．。
高二第三章空间向量单元测试
选修2-1第三章空间向量与立体几何检测题一．选择题：（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知向量00b a、是与非零向量b a 、同方向的单位向量，则下列各式中正确的是（ ）A 、00b a =B 、00b a =或00b a -=C 、10=aD 、||||00b a=2.在空间直角坐标系中，已知点p (x,y,z )，那么下列说法正确．．的是（ ） A ．点p 关于x 轴对称的坐标是(),,x y z - B ．点p 关于yoz 平面对称的坐标是(),,x y z -- C ．点p 关于y 轴对称点的坐标是(),,x y z - D ．点p 关于原点对称点的坐标是(),,x y z --- 3．已知向量与则),2,1,1(),1,2,0(--==的夹角为（ ）A ．0°B ．45°C ．90°D ．180°4． 三棱柱111C B A ABC -中，M 、N 分别是1BB 、AC 的中点，设=，=，=1，则等于（ ）A ．)(21++ B ．)(21-+ C ．)(21+ D ．)(21-+5．在空间直角坐标系中，),3,1,4(),4,0,3(),5,0,1(),3,2,1(D C B A -则直线CD AB 与的位置关系是 （ ）A ．平行B ．垂直C ．相交但不垂直D ．无法确定6．已知正方体ABCD －A`B`C`D`，E 是底面A`B`C`D`的中心，c z b y a x c b AA a++====312121，则（ ）A 、2312===z y x ，，B 、21211===z y x ，，C 、12121===z y x ，，D 、322121===z y x ，，7．下面可以作为空间向量的一组基底是 （ ）A ．)5,2,4(),2,0,3(),3,2,1(===B ．)2,1,0(),4,2,0(),1,2,1(-=-=-=C ．)1,1,0(),1,0,1(),0,1,1(-===c b aD ．)5,2,4(),6,4,2(),3,2,1(===c b a 8．在下列命题中：①若共线，则所在的直线平行；②若所在的直线是异面直线，则一定不共面；③若三向量两两共面，则三向量一定也共面；④已知三向量，则空间任意一个向量总可以唯一表示为z y x ++=．其中正确命题的个数为（ ）A ． 0B ．1C ． 2D ．39．在平行六面体ABCD －A`B`C`D`中，AB ＝1，AD ＝2，AA`＝3，∠BAD ＝90°，∠BAA`＝∠DAA`＝60°，则AC`的长为（ ）A 、13B 、23C 、33D 、4310．已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，则点B 到平面EFG 的距离为（ ） A ．1010 B ． 11112 C ． 53 D ． 1二．填空题：（3×6＝21分）11．已知点M C B A ),10,3,4(),5,6,2(),7,3,5(是AB 的中点，则=MC12．若(1,1,0),(1,0,2),a b a b ==-+则同方向的单位向量是_________________.13．已知,是空间二向量，若与则,7||,2||,3||=-==的夹角为 14．=(x ,2,1), =(-3,x 2,-5),且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围为 。
选修2-1空间向量单元测试
空间向量单元测试（一）本试卷分第Ⅰ卷和第II 卷两部分.共150分.第Ⅰ卷（选择题，共50分）一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．在下列命题中：①若a 、b 共线，则a 、b 所在的直线平行；②若a 、b 所在的直线是异 面直线，则、一定不共面；③若、、三向量两两共面，则、、三向量一定 也共面；④已知三向量a 、b 、c ，则空间任意一个向量p 总可以唯一表示为 z y x ++=．其中正确命题的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2D ．32．在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量1D A 、1D C 、11C A 是 （ ）A ．有相同起点的向量B ．等长向量C ．共面向量D ．不共面向量 3．若向量λμλμλ且向量和垂直向量R b a n b a m ∈+=,(,、则)0≠μ （ ）A ．n m //B ．n m ⊥C ．也不垂直于不平行于,D ．以上三种情况都可能4．已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－1，4，－2），c ＝（7，5，λ），若a 、b 、c 三向量共 面，则实数λ等于 （ ）A ．627B ．637C ．647D ．6575．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CC ===1,,， 则1A B = （ ）A ．a +b －cB ．a －b +cC ．－a +b +cD ．－a +b －c6．已知++＝，||＝2，||＝3，||＝19，则向量与之间的夹角><,为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．以上都不对7．若a 、b 均为非零向量，则b a =⋅是a 与b 共线的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件8．已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的 中线长为 （ ）A ．2B ．3C ．4D ．5 9．已知与则35,2,23+-=-+= （ ）A ．－15B ．－5C ．－3D ．－110．已知(1,2,3)OA =，(2,1,2)OB =，(1,1,2)OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（ ） A ．131(,,)243B ．123(,,)234C ．448(,,)333D ．447(,,)333第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）11．若A(m＋1，n－1,3)，B(2m,n,m－2n)，C(m＋3,n－3,9)三点共线，则m+n= ．12．已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若BD＝xAB yAC zAS++，则x＋y＋z＝．13．在空间四边形ABCD中，AC和BD为对角线，G为△ABC的重心，E是BD上一点，BE＝3ED，以｛AB，AC，AD｝为基底，则GE＝．14．设|m|＝1，|n|＝2，2m＋n与m－3n垂直，a＝4m－n，b＝7m＋2n，则<a,b>＝．三、解答题（本大题满分76分）15．(12分) 如图，一空间四边形ABCD的对边AB与CD，AD与BC都互相垂直，用向量证明：AC与BD也互相垂直．16．（12分））如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是DC的中点，取如图所示的空间直角坐标系．（1）写出A、B1、E、D1的坐标；（2）求AB1与D1E所成的角的余弦值．17．（12分）如图，已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，P A ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、 PC 的中点．（1）求证：EF ∥平面P AD ； （2）求证：EF ⊥CD ；（3）若∠PDA ＝45︒，求EF 与平面ABCD 所成的角的大小．18．（12分）在正方体1111D C B A ABCD -中，如图Ｅ、Ｆ分别是 1BB ，ＣＤ的中点，（1）求证：⊥F D 1平面ADE ； （219．（14分）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是正方形，侧棱⊥PD 底面ABCD ，DC PD =，E 是PC 的中点，作PB EF ⊥交PB 于点F. （1）证明 ∥PA 平面EDB ； （2）证明⊥PB 平面EFD ；（3）求二面角D -PB -C 的大小．20．（14分）如图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA 1=2，D 、E 分别是CC 1与A 1B 的中点，点E 在平面ABD 上的射影是△ABD 的垂心G. （1）求A 1B 与平面ABD 所成角的正弦； （2）求点A 1到平面AED 的距离.空间向量单元测验（二）本卷满分150分，时间120分钟一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1、已知向量a = (2, 4, 5) , b = (3, x, y) , 若 a ∥b ，则 （ ）A. x = 6, y = 15B. x = 3, y = 15/2C. x = 3, y = 15D. x = 6, y = 15/2 2、已知向量a = (-3, 2, 5) , b = (1, x, -1) , 且 a ·b =2，则x 的值为A. 3B. 4C. 5D. 6 3．若向量λμλμλ且向量和垂直向量R ∈+=,(,、则)0≠μ （ ） A ．n m //B ． n m ⊥C ．也不垂直于不平行于,D ．以上三种情况都可能4．设向量},,{c b a 是空间一个基底，则一定可以与向量b a q b a p -=+=,构成空间的另一个基底的向量是（ ）NB1A1BAA ．B ．C ．D ．或 5．对空间任意两个向量//),(,≠的充要条件是（ ）A ．b a =B ．b a -=C ．a b λ=D ．b a λ= 6．已知向量b a b a 与则),2,1,1(),1,2,0(--==的夹角为 （ ） A ．0° B ．45°C ．90°D ．180°7、3．如图，在一个60°的二面角的棱上有两个点A 、B ，直线AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，且垂直于AB 。
高二数学选修2-1空间向量与立体几何单元测试题
东升学校《空间向量与立体几何》单元测试题一、选择题（本大题8 小题 , 每小题 5 分，共 40 分）1、若a ,b , c是空间任意三个向量 ,R ,下列关系式中,不成立的是（）A．a b b a B． a b a bC．a b c a b c D．b a2、给出下列命题①已知 a b ,则 a b c c b a b c ;②A、B、M 、N 为空间四点 ,若BA, BM , BN不构成空间的一个基底 ,则 A、B、M、N 共面 ;③已知 a b ,则 a, b 与任何向量不构成空间的一个基底;④已知a,b, c 是空间的一个基底,则基向量a, b可以与向量m a c 构成空间另一个基底 .正确命题个数是（）A．1B．2C．3D．43、已知a, b均为单位向量 ,它们的夹角为 60 ,那么a3b 等于（）A．7B．10C．13D．44、a1, b 2, c a b, 且 c a ,则向量 a与b 的夹角为（）A．30B．60C．120D．1505、已知a3,2,5 , b 1, x, 1 , 且 a b 2 ,则x的值是（）A．3B．4C．5D．66、若直线 l 的方向向量为a ,平面的法向量为n,则能使l //的是（）A．a1,0,0 , n2,0,0B．a1,3,5 , n 1,0,1C．a0,2,1 , n1,0, 1D．a1, 1,3 , n0,3,17、在平面直角坐标系中 ,A( 2,3), B(3, 2) ,沿x轴把平面直角坐标系折成120第1页共15页的二面角后 ,则线段 AB 的长度为（）A．2B．2 11C．3 2D．4 2、正方体ABCD-AB11C1D1的棱长为 1,E 是 A中点 ,则 E 到平面 ABC的距离8 1 B11D1是（）A．3B．2C．1D．3 2223二、填空题（本大题共 6 小题，每空 5 分，共 30 分）9、已知F1i 2 j3k， F22i 3 j k ， F33i 4 j5k ，若 F1 , F2 , F3共同作用于一物体上，使物体从点M（1，-2，1）移动到 N（ 3，1，2），则合力所作的功是.10 、在平行六面体 ABCD-A1B1C1D1中 , 已知∠ BAD= ∠ A1AB= ∠A1AD=60 ,AD=4,AB=3,AA1=5, AC1 =.11、△ABC和△ DBC所在的平面互相垂直,且 AB=BC=BD,∠CBA=∠DBC=60,则 AD 与平面 BCD所成角的余弦值为.12、若直线l 的方向向量为(4,2,m),平面的法向量为 (2,1,-1),且 l⊥ ,则 m =.13、已知 A(-3,1,5),B(4,3,1),则线段 AB 的中点 M 的坐标为.三、解答题（本大题共 6 小题，共 80 分）14、(本题满分 12分 )设空间两个不同的单位向量a x1, y1 ,0,b x2 , y2 ,0 与向量 c1,1,1的夹角都等于 45 .(1)求x1y1和 x1 y1的值;(2)求a,b的大小 .15、(本题满分 12 分)已知四棱锥 P-ABCD的底面是边长为 a 的正方形 ,侧棱 PA⊥底面 ABCD,E为 PC上的点且 CE：CP=1：4,则在线段 AB上是否存在点 F 使 EF// 平面 PAD?第2页共15页17、(本题满分 14 分) 如图 ,四棱锥 S-ABCD的底面是矩形 ,AB=a,AD=2,SA=1,且SA ⊥底面 ABCD,若边 BC上存在异于 B,C的一点 P,使得PS PD .(1)求 a 的最大值 ;(2)当 a 取最大值时 ,求异面直线 AP 与 SD所成角的大小 ;(3)当 a 取最大值时 ,求平面 SCD的一个单位法向量n及点 P 到平面 SCD的距离 .18、 (本题满分14 分)已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直, AB2, AF=1,M是线段EF的中点.(1)求证： AM// 平面 BDE；(2)求证： AM⊥平面 BDF．第3页共15页19、(本题满分14 分)如图所示 ,矩形 ABCD 的边 AB=a,BC=2,PA⊥平面 ABCD,PA=2,现有数据 :① a 3;②a 1;③a 3 ;④ a 2 ;⑤ a 4 ; 2(1)当在 BC边上存在点⊥QD 时,a 可能取所给数据中的哪些值 ?请说明理由 ; Q,使 PQ(2)在满足 (1)的条件下 ,a 取所给数据中的最大值时,求直线 PQ与平面 ADP所成角的正切值 ;(3)记满足 (1)的条件下的Q 点为 Q n(n=1,2,3, ⋯ ),若 a 取所给数据的最小值时,这样的点Q n有几个 ?试求二面角Q n-PA-Q n+1的大小 ;20、 (本题满分14 分 )如图所示,在底面是菱形的四棱锥 P-ABCD中,∠ABC=60 ,PA=AC=a,PB=PD= 2a,点E在PD上,且PE：ED=2：1.(1)证明： PA⊥平面ABCD；(2)求以 AC 为棱 ,EAC与 DAC为面的二面角θ的大小；(3)棱 PC上是否存在一点F,使 BF∥平面 AEC?证明你的结论 .第4页共15页参考答案： 一、选择题题号 1 23 4 5 6 7 8 答案 DCCCCDBB二、 填空题题号 9 1011 121314答案1497302-212, 2,32三、 解答题x 12 y 121x2y 21x y611112 ；15、解：（ 1）依题意，x 1 y 12 x 1 y 16322x 1 y 114(2)∵单位向量 ax 1, y 1 ,0 ,bx 2 , y 2 ,0与向量 c 1,1,1 的夹角都等于45.x y 6x 162x 162112 4 或4 , ∴由x 1 y 11y 162 y 162444∴ a62 ,6 2,0 ,b62 ,6 2,04444x 1x 2y 1 y 26 2 6262 6 2 1由 cos a, b a b44442∴ a, b.316、解：建立如图所示的空间直角坐标系，设 PA=b ，则 A(0,0,0),B(a,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),P(0,0,b),则 CPa, a, b ,∵E 为 PC 上的点且 CE ： CP=1： 3,第5页共15页∴ CE1CP1a, a, b a , a , b44444∴由 CE AE AC AE CE AC3a , 3a , b,444设点 F 的坐标为 (x,0,0,) (0≤x≤a),则 EFx3a ,3a ,b,444又平面 PAD的一个法向量为AB a,0,0,依题意 , EF AB x3a a0 x3a ,443∴在线段 AB 上存在点 F,满足条件 ,点 F 在线段 AB 的处.17、解：建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为:A(0,,0,0),B(a,0,0),C(a,2,0),D(0,2,0),S(0,0,1),设 P(a,x,0). (0<x<2)(1) ∵PS a, x,1 , PD a, 2x,0∴由 PS PD 得: a2x(2 x)0即:a2x(2 x) (0 x 2)∴当且仅当 x=1 时,a 有最大值为 1.此时 P 为 BC中点 ;(2)由(1)知 : AP (1,1,0), SD (0,2, 1),AP SD210,∴ cos AP, SD2 55AP SD∴异面直线 AP 与 SD所成角的大小为arc cos10 .5(3) 设n1x, y, z 是平面SCD的一个法向量,∵DC (1,0,0), SD(0, 2,1),第6页共15页∴由n1DC n1DC0x0x02 y z 0y 1 得 n1 (0,1, 2),n1SD n1SD0取 y1z2n11∴平面 SCD的一个单位法向量 n0,1,2n155又 CP CP n5(0, 1,0), 在 n 方向上的投影为1n∴点 P 到平面 SCD的距离为 5 .518、解：建立如图的直角坐标系，则各点的坐标分别为：O(0,0,0),A(0,1,0),B(-1,0,0),C(0,-1,0,),D(1,0,0,),E(0,-1,1),F(0,1,1),M(0,0,1).(1) ∵AM(0, 1,1),OE (0,1,1)∴ AM OE ,即AM//OE,又∵ AM平面BDE, OE平面BDE,∴A M// 平面 BDE;(2) ∵BD(2,0,0), DF(1,1,1),∴ AM BD 0, AM DF0,∴AM⊥BD,AM⊥DF,∴AM⊥平面BDF.19、解：建立如图所示的空间直角坐标系,则各点坐标分别为:A(0,0,0,),B(a,0,0),C(a,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2),设 Q(a,x,0).(0≤ x≤2)(1) ∵PQ a, x, 2 ,QD a,2x,0 ,∴由 PQ⊥QD 得PQ QD a2x(2x)0a2x(2 x)∵ x0, 2 , a2x(2x)0,1525 (0,,),555,5第7页共15页∴在所给数据中 ,a 可取 31两个值 .a和 a2(2) 由 (1)知 a 1,此时 x=1,即 Q 为 BC 中点 , ∴点 Q 的坐标为 (1,1,0)从而 PQ1,1, 2 , 又 AB 1,0,0为平面 ADP 的一个法向量 ,∴ cos PQ, ABPQ AB 1 6PQAB6 1,6∴ 直线 PQ 与平面 ADP 所成角的正切值为5 .5(3) 由(1)知 a31 或 x3,此时 x,,即满足条件的点 Q 有两个 ,222其坐标为 3 13 3Q 1, ,0 和Q 2 , ,02 22 2∵PA ⊥平面 ABCD,∴ PA ⊥AQ ⊥1,PA AQ 2,∴∠ Q 1AQ 2 就是二面角 Q 1-PA-Q 2 的平面角 .AQ 1 AQ 23 3 3由 cos AQ 1 , AQ 2 4 4AQ 1AQ 2 13,得∠Q 1AQ 2=30 ,2∴二面角 Q 12 的大小为 30 .-PA-Q20、解：（ 1） ∵PA=AC=a ，PB=PD= 2a∴ PA 2 AB 2 PB 2 , PA 2 AD 2 PD 2,∴ PA ⊥AB 且 PA ⊥AD ， ∴ PA ⊥平面 ABCD ，（ 2）∵底面 ABCD 是菱形， ∴ AC ⊥BD ，设 AC ∩ BD=O ，∴以 O 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标分别为：A 0, a,0 , B3a ,0,0 , C 0, a ,0 , D 3a,0,0 ,P 0,a, a ,22 222∵ 点 E 在 PD 上,且 PE ：ED=2：1.∴ DP3DE ，即： DP3 OEOD第8页共15页∴ OE3a, a , a ，即点 E 的坐标为 E 3a, a , a3 6 33 63又平面 DAC 的一个法向量为 n 10,0,1EAC 个 法 向 量 为 n 2x, y, z , OC0,a 设 平 面的 一 ,0 ，23 a aOEa,,36 3ay 02x 1n 2OCn 2 OC3a a由y， 得axyz 0n 2OEn 2 OE3 63z3取x=1n 2 1 , 0 , 3 ,n 1 n 2 3 3 ,n 2∴cos n 1, n 2n 21 2n 1 6n 1 2∴由图可知二面角 E-AC-D 的大小为.6（ 3）设在 CP 上存在点 F ，满足题设条件，由 CFCP (01) ，得 OF OCCP0,12 a, a2 ∴ BF0,12 a, a 3a,0,03 a,1 2 a, a2222依题意，则有 BFn 2∴3 a,1 2a, a 1,0, 3 03 a 3 a 012222∴点 F 为 PC 中点时 ,满足题设条件 .第9页共15页一 . 选择题： (10 小题共 40 分 )1. 已知 A、B、C 三点不共线，对平面ABC外的任一点O,下列条件中能确定点M与点 A、B、C 一定共面的是( )A. OM OA OB OCB. OM2OA OB OCC. OM OA 1OB1OC D. OM1OA1OB1OC 233332. 直三棱柱 ABC— A1B1C1中，若 CA a,CB b,CC1C,则 A1 B( )A. a b cB. a b cC. a b cD. a b c3. 若向量m垂直向量 a和 b,向量 na b( ,R且、0)则()A. m// nB. m nC.m不平行于 n, m也不垂直于 nD. 以上三种情况都可能4.以下四个命题中,正确的是( )A.若 OP 1 OA 1OB,则P、Ａ、Ｂ三点共线2 3B.设向量 { a,b, c} 是空间一个基底，则{ a +b ， b +c ， c + a }构成空间的另一个基底C. (a b) c a b cD. △ ABC是直角三角形的充要条件是AB AC05. 对空间任意两个向量a,b(b o), a // b 的充要条件是( )第10页共15页A. a bB. a bC. b aD. a b6.已知向量 a(0,2,1), b(1,1,2),则 a与 b 的夹角为()A.0 °B.45°C.90°D.180 °7.在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为 AC与 BD的交点，若A1 B1 a, A1D1b, A1 A c ，则下列向量中与B1M相等的是()A. 1 a 1 b1c B. 1 a 1 b1c C. 1 a1b c D.- 1 a1b c22222222228.已知a(1,0,2), b(6,21,2), 若 a // b, 则与的值分()A.11B.5 ，2C. 1 ,1D.-5 ， -2 5,2529.已知 a3i 2 j k, b i j2k, 则5a与 3b的数量积等于()A.-15B.-5C.-3D.-110. 在棱长为1 的正方体 ABCD— A1B1C1D1中， M和 N 分别为 A1B1和 BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是()A.2B.2C. 3D.1055510二. 填空题 : (4 小题共 16 分)11. 若 A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),c(m+3,n-3,9)三点共线，则m+n=.第11页共15页12. 已知 A（0，2，3），B（ -2 ，1，6），C（ 1，-1 ，5），若| a |3,且 a AB, a AC ,则向量 a的坐标为.13.已知a,b是空间二向量，若| a |3, | b | 2, | a b |7,则 a与b 的夹角为.14. 已知点G 是△ ABC 的重心， O 是空间任一点，若OA OB OC OG ,则的值为.三. 解答题 :(10+8+12+14=44 分 )15.如图： ABCD为矩形， PA⊥平面 ABCD， PA=AD， M、 N 分别是 PC、AB中点，(1)求证： MN⊥平面 PCD；(2) 求 NM与平面 ABCD所成的角的大小 .16. 一条线段夹在一个直二面角的两个面内，它和两个面所成的角都是300，求这条线段与这个二面角的棱所成的角的大小.17. 正四棱锥S— ABCD中，所有棱长都是2， P 为 SA的中点，如图.第12页共15页(1)求二面角 B— SC— D 的大小； (2) 求 DP与 SC所成的角的大小 .18.如图，直三棱柱 ABC— A1B1C1，底面△ ABC中， CA=CB=1，∠ BCA=90°，棱 AA1=2，M、 N分别是 A1B1， A1A 的中点；(1)求 BN的长 ;(2)求 cos BA1 , CB1的值 ;(3)求证 : A1B C1M .(4)求 CB1与平面 A1ABB1所成的角的余弦值 .第13页共15页高中数学选修2-1 测试题 (10)—空间向量 (1) 参考答案DDBB DCDA AB 11.012.(1， 1，1)13.60014.315.(1)略016.45017.(1)1(2)45(2)318.(1)3(2)30(3)略310 10(4)1018.如图，建立空间直角坐标系O— xyz. （ 1）依题意得 B（ 0， 1，0）、 N（ 1，0， 1）∴| BN |=(1 0)2(0 1)2(1 0)23.（ 2）依题意得 A （ 1，0， 2）、B（ 0， 1，0）、 C（ 0， 0， 0）、 B （ 0，1， 2）11∴ BA ={－1，－1，2}， CB ={0，1，2，}， BA · CB =3，| BA |= 6 ，11111| CB1 |= 5 ∴cos< BA1， CB1>=BA1 CB11|BA1 | |CB1 |30 .10图第14页共15页1,1， C1M ={1,1（ 3）证明：依题意，得 C（ 0，0，2）、M（，2），A1B ={ －1，1，2}，1222211⊥ C1M ，∴AB⊥CM.0}. ∴A1B·C1M =－+0=0，∴A1B2211评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识. 考查空间两向量垂直的充要条件.第15页共15页。
(易错题)高中数学高中数学选修2-1第二章《空间向量与立体几何》检测题(含答案解析)
一、选择题1．已知平行六面体''''ABCD A B C D -中，4AB =，3AD =，'5AA =，90BAD ∠=，''60BAA DAA ∠=∠=．则'AC 的长为（ ）A ．85B ．97C ．12D ．2302．正方体''''ABCD A B C D -棱长为6，点P 在棱AB 上，满足PA PB =，过点P 的直线l 与直线''A D 、'CC 分别交于E 、F 两点，则EF =（ ） A ．313B ．95C ．18D ．213．如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有以下结论:①AN GC ⊥，②CF 与EN 所成的角为60︒,③BD //MN ，④二面角E BC N --的大小为45︒,其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．阅读材料：空间直角坐标系O ﹣xyz 中，过点P （x 0，y 0，z 0）且一个法向量为＝（a ，b ，c ）的平面α的方程为a （x ﹣x 0）+b （y ﹣y 0）+c （z ﹣z 0）＝0；过点P （x 0，y 0，z 0）且一个方向向量为d ＝（u ，v ，w ）（uvw≠0）的直线l 的方程为000x x y y z z u v w---==，阅读上面材料，并解决下面问题：已知平面α的方程为x+2y ﹣2z ﹣4＝0，直线l 是两平面3x ﹣2y ﹣7＝0与2y ﹣z+6＝0的交线，则直线l 与平面α所成角的大小为（ ） A ．arcsin 1414 B ．arcsin 421C ．arcsin51442D ．arcsin123773775．如图：在直棱柱111ABC A B C -中，1AA AB AC ==，AB AC ⊥，,,P Q M 分别是A 1B 1,BC,CC 1的中点，则直线PQ 与AM 所成的角是（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π6．如图，在正方体1111ABCD A B C D ﹣中，1A H ⊥平面11AB D ，垂足为H ，给出下面结论：①直线1A H 与该正方体各棱所成角相等； ②直线1A H 与该正方体各面所成角相等；③过直线1A H 的平面截该正方体所得截面为平行四边形； ④垂直于直线1A H 的平面截该正方体，所得截面可能为五边形， 其中正确结论的序号为（ ）A ．①③B ．②④C ．①②④D ．①②③7．如图，在大小为45°的二面角A -EF -D 中，四边形ABFE ，CDEF 都是边长为1的正方形，则B ，D 两点间的距离是( )A ．3B ．2C ．1D ．32-8．如图，在空间四边形OABC 中，点E 为BC 中点，点F 在OA 上，且2OF FA =, 则EF 等于（ ）A ．121+232OA OB OC - B ．211+322OA OB OC -+ C ．111222OA OB OC +- D ．211322OA OB OC -- 9．侧棱长都都相等的四棱锥P ABCD -中，下列结论正确的有（ ）个①P ABCD -为正四棱锥；②各侧棱与底面所成角都相等； ③各侧面与底面夹角都相等；④四边形ABCD 可能为直角梯形 （ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．如图，在平行六面体1111ABCD A BC D -中，M 为11AC 与11B D 的交点．若AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的向量是（ ）A ．11+22+a b c B ．1122a b c -+ C ．1122-++a b c D ．1122+-a b c 11．如图，在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，DC ＝2，DA ＝DD 1＝1，点M 、N 分别为A 1D 和CD 1上的动点，若MN ∥平面AA 1C 1C ，则MN 的最小值为（ ）A 5B ．23C 5D 512．如图，在四棱柱1111ABCD A BC D -中，底面ABCD 为正方形，侧棱1AA ⊥底面ABCD ，3AB =，14AA =，P 是侧面11BCC B 内的动点，且1AP BD ⊥，记AP 与平面11BCC B 所成的角为θ，则tan θ的最大值为（ ）A ．43B ．53C ．2D ．259二、填空题13．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -中，12AB AA ==，,M N 分别为1,CC BC 的中点，点P 在直线11A B 上且满足111().A P A B R λλ=∈若平面PMN 与平面ABC 所成的二面角的平面角的大小为45，则实数λ的值为______．14．如图，在矩形ABCD 中，4,2AB AD ==，E 为AB 的中点．将ADE 沿DE 翻折，得到四棱锥1A DEBC -．设1AC 的中点为M ，在翻折过程中，有下列三个命题：①总有BM ∥平面1A DE ； ②线段BM 的长为定值；③存在某个位置，使DE 与1AC 所成的角为90°． 其中正确的命题是_______．（写出所有正确命题的序号）15．在三棱锥S －ABC 中，△ABC 是边长为6的正三角形，SA ＝SB ＝SC ＝15，平面DEFH 分别与AB ，BC ，SC ，SA 交于点D ，E ，F ，H.且D ，E 分别是AB ，BC 的中点，如果直线SB ∥平面DEFH ，那么四边形DEFH 的面积为________．16．正四棱锥S ABCD -的八条棱长都相等，SB 的中点是E ，则异面直线AE ，SD 所成角的余弦为__________．17．已知空间向量(1,0,0)a =，13(,,0)22b =，若空间向量c 满足2c a ⋅=，52c b ⋅=，且对任意,x y R ∈，()()00001(,)c xa yb c x a y b x y R -+≥-+=∈，则c =__________. 18．如图所示，三棱锥O ABC -中，OA a =，OB b =，OC c =，点M 在棱OA 上，且2OM MA =，N 为BC 中点，则MN =__________．（用a ，b ，c 表示）19．若向量()()()1,1,,1,2,1,1,1,1a x b c ===，满足条件()()·22c a b -=-，则x = __________．20．已知平行六面体中，则____．三、解答题21．如图，平面ABCDE ⊥平面CEFG ，四边形CEFG 为正方形，点B 在正方形ACDE 的外部，且5,4AB BC AC ===．（1）证明：AD CF ⊥．（2）求平面BFG 与平面ABCDE 所成锐二面角的余弦值．22．如图所示，在多面体ABCDE 中，//DE AB ，AC BC ⊥，平面DAC ⊥平面ABC ，24BC AC ==，2AB DE =，DA DC =，点F 为BC 的中点．（1）证明：EF ⊥平面ABC ；（2）若直线BE 与平面ABC 所成的角为60︒，求平面DCE 与平面ADC 所成的锐二面角的余弦值．23．在多面体ABCDE 中，平面ACDE ⊥平面ABC ，四边形ACDE 为直角梯形，//CD AE ，AC AE ⊥，AB BC ⊥，1CD =，2AE AC ==，F 为DE 的中点，且点E 满足4EB EG =.（1）证明：//GF 平面ABC .（2）当多面体ABCDE 的体积最大时，求二面角A BE D --的余弦值.24．如图，已知三棱柱111ABC A B C -的底面是正三角形，侧面11BB C C 是矩形，,M N 分别为11,BC B C 的中点，P 为AM 上一点，过11B C 和P 的平面交AB 于E ，交AC 于F ．（1）证明：平面111A AMN EB C F ⊥；（2）设O 为111A B C △的中心，若//AO 平面11EB C F ，且AO AB =，求直线1B E 与平面1A AMN 所成角的正弦值．25．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，1AB BC CA AA ===，D 为AB 的中点．（1）求证：1//BC 平面1DAC ；（2）求平面1DAC 与平面11AAC C 所成的锐二面角．．．．的余弦值． 26．如图，在多面体EF ABCD -中，AD //BC ，CD //EF ，1AD DC DE ===，2BC EF ==，2CDE CDA π∠=∠=.（1）若M 为EF 中点，求证：CD ⊥BM ； （2）若二面角A DC E --的平面角为3π，求直线AE 与平面EFB 所成角的大小.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A 【分析】用空间向量基本定理表示出AC '，然后平方后转化为数量积的运算求得． 【详解】记a AB =，b AD =，c AA '=，则43cos900a b ⋅=⨯⨯︒=，同理152b c ⋅=，10a c ⋅=，由空间向量加法法则得AC a b c '=++，∴22222()222AC a b c a b c a b b c a c'=++=+++⋅+⋅+⋅222154352210852=+++⨯+⨯=， ∴85AC '=85AC '=． 故选：A ． 【点睛】方法点睛：本题考查求空间线段长，解题方法是空间向量法，即选取基底，用基底表示出向量，然后利用向量模的平方等于向量的平方转化为向量的数量积进行计算．2．C解析：C 【分析】画图分析可得过P 的直线l 与直线''A D 、'CC 的交点E 、F 在线段''D A 、'C C 的延长线上.再建立空间直角坐标系求解即可. 【详解】画图分析可得过P 的直线l 与直线''A D 、'CC 的交点E 、F 在线段''D A 、'C C 的延长线上.以A 为坐标原点建立如图空间直角坐标系,则设(,0,6)E e ,(6,6,)F f ,(0,3,0)P又,,E P F 共线,则EP PF λ=,故(,3,6)(6,3,)e f λ--=,故6133666e e f f λλλλ-==⎧⎧⎪⎪=⇒=-⎨⎨⎪⎪-==-⎩⎩.故(6,0,6)E -,(6,6,6)F -,则222(12)6(12)18EF =++=.故选：C 【点睛】本题主要考查了利用空间直角坐标系求解共线问题的方法等,属于中等题型.3．C解析：C 【分析】根据题意画出正方体直观图，建立空间直角坐标系，计算0AN GC ⋅=，由此判断①正确.根据线线角的知识，判断②正确.根据线线的位置关系，判断③错误.根据二面角的知识，判断④正确. 【详解】画出正方体的直观图，如下图所示，设正方体边长为2，以,,DA DC DG 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.则()()()()2,0,0,0,2,2,0,0,2,0,2,0A N G C ，所以()()2,2,20,2,20AN GC ⋅=-⋅-=，所以AN GC ⊥，故①正确.由于//EN AC ，所以CF 与EN 所成的角为FCA ∠，而在FAC ∆中，AF FC CA ==，也即FAC ∆是等边三角形，故60FCA ∠=，所以②正确.由于//EN AC ，而AC 与BD 相交，故,BD MN 不平行，③错误.由于,EB BC FB BC ⊥⊥，所以EBF ∠即是二面角E BC N --的平面角.EBF ∆是等腰直角三角形，所以45EBF ∠=，故④正确. 综上所述，正确的命题个数为3个. 故选：C.【点睛】本小题主要考查空间线线、面面的位置关系有关命题的真假性判断，属于中档题.4．B解析：B 【分析】先根据两个平面的方程，求出平面交线的方向向量，结合已知平面的方程确定平面的法向量，然后求解. 【详解】平面α的法向量为n ＝（1，2，﹣2），联立方程组3270260x y y z --=⎧⎨-+=⎩，令x ＝1，得y ＝﹣2，z ＝2，令x ＝3，得y ＝1，z ＝8，故点P （1，﹣2，2）和点Q （3，1，8）为直线l 的两个点，∴PQ ＝（2，3，6）为直线l 的方向向量， ∵44cos ,3721||||PQ n PQ n PQ n ⋅-<>===-⨯ ，∴直线l 与平面α所成角的正弦值为421，【点睛】本题主要考查直线和平面所成角的正弦，属于信息提供题目，理解题中所给的信息是求解关键.5．D解析：D【分析】建立空间直角坐标系，结合直线的方向向量确定异面直线所成的角即可.【详解】以点A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -，设2AB =，则()()()()0,0,0,1,0,2,1,1,0,0,2,1A P Q M ，据此可得：()()0,1,2,0,2,1PQ AM =-=，0PQ AM ⋅=，故PQ AM ⊥，即直线PQ 与AM 所成的角是2π. 本题选择D 选项.【点睛】本题主要考查空间向量的应用，异面直线所成的角的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6．D解析：D【解析】【分析】由A 1C ⊥平面AB 1D 1，直线A 1H 与直线A 1C 重合，结合线线角和线面角的定义，可判断①②；由四边形A 1ACC 1为矩形，可判断③；由垂直于直线A 1H 的平面与平面AB 1D 1平行，可判断④．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，A1H⊥平面AB1D1，垂足为H，连接A1C，可得A1C⊥AB1，A1C⊥AD1，即有A1C⊥平面AB1D1，直线A1H与直线A1C重合，直线A1H与该正方体各棱所成角相等，均为2①正确；直线A1H与该正方体各面所成角相等，均为arctan22，故②正确；过直线A1H的平面截该正方体所得截面为A1ACC1为平行四边形，故③正确；垂直于直线A1H的平面与平面AB1D1平行，截该正方体，所得截面为三角形或六边形，不可能为五边形．故④错误．故选：D．【点睛】本题考查线线角和线面角的求法，以及正方体的截面的形状，考查数形结合思想和空间想象能力，属于中档题．7．D解析：D【分析】由DB ED FE BF=++，利用数量积运算性质展开即可得到答案【详解】BD ED FE BF=++,22222221112 BD BF FE ED BF FE FE ED BF ED∴=+++++=++故32BD=-故选D【点睛】本题是要求空间两点之间的距离，运用空间向量将其表示，然后计算得到结果，较为基础．8．D解析：D【解析】分析：利用向量多边形与三角形法则即可求出，首先分析题中各选项都是由从O出发的三个向量表示的，所以将待求向量用从O出发的向量来表示，之后借助于向量的差向量的特征以及中线向量的特征，求得结果.详解：由题意可得21()32EF OF OE OA OB OC =-=-+ 211322OA OB OC =--，故选D. 点睛：该题考查的是有关空间向量基本定理，考查了用向量表示几何的量，向量的线性运算，解题的关键是根据图形把所研究的向量用三个基向量表示出来，本题是向量的基础题. 9．A解析：A【解析】分析：紧扣正四棱锥的概念，即可判定命题的真假.详解：由题意，当四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为一个矩形时，设AC BD O ⋂=且PO ⊥底面ABCD ，此时可得PA PB PC PD ===，而四棱锥此时不是正四棱锥，所以①不正确的，同时各个侧面与底面所成的角也不相等，所以③不正确的；因为四棱锥P ABCD -满足PA PB PC PD ===，所以顶点P 在底面ABCD 内的射影O 为底面ABCD 的外心，而直角梯形ABCD 没有外接圆，所以底面不可能是直角梯形，所以④不正确；设四棱锥P ABCD -满足PA PB PC PD ===，所以顶点P 在底面ABCD 内的射影O 为底面ABCD 的外心，所以各条测量与底面ABCD 的正弦值都相等，所以②正确的， 综上，故选A.点睛：本题主要考查了正四棱锥的概念，我们把底面是正方形，且顶点在底面上的射影是底面正方形的中心的四棱锥，叫做正四棱锥，其中紧扣正棱锥的概念是解答的关键. 10．C解析：C【分析】根据空间向量的运算法则，化简得到11122BM AB AD AA =-++，即可求解. 【详解】由题意，根据空间向量的运算法则，可得1111112BM BB B M AA B D =+=+ 1111111111111()()222222AA A D A B AA AD AB AB AD AA a b c =+-=+-=-++=-++. 故选：C.【点睛】在空间向量的线性运算时，要尽可能转化为平行四边形或三角形中，运用平行四边形法则、三角形法则，以及利用三角形的中位线、相似三角形等平面几何的性质，把未知向量转化为已知向量有直接关系的向量来解决.11．A解析：A【分析】先建立空间坐标系，设出(),0,M m m ，()0,22,N n n -+，转化条件得1m n +=，利用函数即可得解.【详解】如图建系，由题意可设(),0,M m m ，()0,22,N n n -+，∴(),22,MN m n n m =---，又 ()10,0,1AA =，()1,2,0AC =-，∴平面11AAC C 的法向量()2,1,0n =，又 //MN 面11AACC ，∴=0MN n ⋅即1m n +=， ∴()()2222222941MN m n n m m m =+-+-=-+，∴MN 最小值为5 故选：A.【点睛】本题考查了空间向量的应用，考查了转化化归和函数思想，属于中档题. 12．B解析：B【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线面角的正切值的最大值.【详解】以1,,DA DC DD 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设(,3,)P x z ，则1(3,3,),(3,3,4)AP x z BD =-=--，11,0AP BD AP BD ⊥∴⋅=，33(3)3340,4x z z x ∴---⨯+=∴=, 22225||(3)6916BP x z x x ∴=-+=-+225488191625255x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， ||5tan ||3AB BP θ∴=， tan θ∴的最大值为53. 故选：B .【点睛】本题主要考查的是线面所成角，解题的关键是找到线面所成角的平面角，是中档题.二、填空题13．【分析】从二面角的大小入手利用空间向量求解【详解】以N 为坐标原点NCNA 所在直线分别为x 轴y 轴建立空间直角坐标系如图则由可得设为平面的一个法向量则即令可得易知平面ABC 的一个法向量为因为平面与平面所 解析：2-【分析】从二面角的大小入手，利用空间向量求解.【详解】以N 为坐标原点，NC,NA 所在直线分别为x 轴，y 轴建立空间直角坐标系，如图则()()()()()10,0,0,1,0,1,1,0,0,3,0,3,2N M B A A - ,由111A P A B λ=可得()11111133,2NP NA A P NA A B NA AB λλλλ=+=+=+=-, ()1,0,1NM =,设(),,n x y z =为平面PMN 的一个法向量，则00n NM n NP ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即)03120x z x y z λλ+=⎧⎪⎨--+=⎪⎩， 令1z =-，可得()()321,,131n λλ⎛⎫+=- ⎪ ⎪-⎝⎭，易知平面ABC 的一个法向量为()0,0,1m =. 因为平面PMN 与平面ABC 所成的二面角的平面角的大小为45， 所以1cos45n m n m n ⋅︒==，即2n =，所以21211231λλ+⎛⎫++= ⎪-⎝⎭，解得2λ=-. 【点睛】本题主要考查空间向量的应用，利用二面角求解参数.二面角的求解和使用的关键是求解平面的法向量，把二面角转化为向量的夹角问题.14．①②【分析】取D 的中点N 连接MNEN 根据四边形MNEB 为平行四边形判断①②假设DE ⊥C 得出矛盾结论判断③【详解】取D 的中点N 连接MNEN 则MN 为△CD 的中位线∴MN ∥CD 且MN=CD 又E 为矩形ABC解析：①②【分析】取1A D 的中点N ，连接MN ，EN ，根据四边形MNEB 为平行四边形判断①，②，假设DE ⊥1A C 得出矛盾结论判断③．【详解】取1A D 的中点N ，连接MN ，EN ，则MN 为△1A CD 的中位线，∴MN ∥12CD ，且MN=12CD 又E 为矩形ABCD 的边AB 的中点，∴BE ∥12CD ，且BE=12CD ∴MN ∥BE ，且MN=BE 即四边形MNEB 为平行四边形，∴BM ∥EN ，又EN ⊂平面A 1DE ，BM ⊄平面A 1DE ，∴BM ∥平面1A DE ，故①正确；由四边形MNEB 为平行四边形可得BM ＝NE ，而在翻折过程中，NE 的长度保持不变，故BM 的长为定值，故②正确；取DE 的中点O ，连接1A O ，CO ，由1A D ＝1A E 可知1A O ⊥DE ，若DE ⊥1A C ，则DE ⊥平面1A OC ，∴DE ⊥OC ，又∠CDO ＝90°﹣∠ADE ＝45°，∴△OCD 为等腰直角三角形，故而CD 2=OD ， 而OD 12=DE 2=，CD ＝4，与CD 2=OD 矛盾，故DE 与1A C 所成的角不可能为90°． 故③错误．故答案为①②．【点睛】本题考查命题真假，线面平行的判定，线面垂直的判定与性质，空间想象和推理运算能力，属于中档题．15．【解析】【分析】利用平面可以得到从而为中点同理可得为中点再根据三棱锥为正三棱锥得到故四边形为矩形从而可计算其面积【详解】因为故在底面上的射影为底面三角形的外心又为等边三角形故在底面上的射影为底面三角 解析：452【解析】【分析】利用SB 平面DEFH 可以得到DHSB ，从而H 为SA 中点，同理可得F 为SC 中点，再根据三棱锥S ABC -为正三棱锥得到AC SB ⊥，故四边形HDEF 为矩形，从而可计算其面积．【详解】因为SA SB SC ==，故S 在底面上的射影为底面三角形的外心，又ABC ∆为等边三角形，故S 在底面上的射影为底面三角形的中心，所以三棱锥S ABC -为正三棱锥，所以SB AC ⊥．因SB 平面DEFH ，SB ⊂平面ABS ，平面ABS平面DEFH DH =，故SB DH ，因AD DB =，故AH HS =，1,2DH BS DH BS =，同理1,2EF BS EF BS =， 故,DH EF DH EF =，所以四边形DEFH 为平行四边形，又由,D E 为中点可得DEAC ，故DH DE ⊥，故四边形DEFH 为矩形． 又153,2DE DH ==，故矩形DEFH 的面积为452． 【点睛】 （1）正三棱锥中，对棱是相互垂直的，且顶点在底面的投影是底面正三角形的中心． （2）通过线面平行可以得到线线平行，注意利用线面平行这个条件时，要合理构建过已知直线的平面（该平面与已知平面有交线）．16．【解析】以正方形的中心为原点平行于的直线为轴平行于的直线为轴为轴建立如图所示空间直角坐标系设四棱锥棱长为则所以∴故异面直线所成角的余弦值为 解析：33【解析】以正方形ABCD 的中心O 为原点，平行于AB 的直线为x 轴，平行于AD 的直线为y 轴， SO 为z 轴建立如图所示空间直角坐标系O xyz -，设四棱锥S ABCD -棱长为2，则(1,1,0)A --，(1,1,0)B -，2)S ，(1,1,0)D -，112,,222E ⎛- ⎝⎭，所以312,22AE ⎛= ⎝⎭，(1,1,2)SD =--，∴311cos,AE SD-+-==故异面直线AE，SD所成角的余弦值为3．17．【分析】设空间向量由已知条件可得的值由对任意得：进而得到答案【详解】解：空间向量设空间向量空间向量又由对任意则故故答案为：【点睛】本题考查的知识点是空间向量的数量积运算空间向量的模属于中档题解析：【分析】设空间向量(),,c m n z=，由已知条件可得m、n的值，由对任意x，y R∈，00|()||()|1c xa yb c x a y b-+-+=得：||1z=，进而得到答案．【详解】解：空间向量(1,0,0)a=，13(,22b=，设空间向量(),,c m n z=，2c a⋅=，52c b⋅=，2m∴=，1522m =2m∴=，3n=，∴空间向量()2,3,c z=，又由对任意x，y R∈，()()001c xa yb c x a y b-+≥-+=，则||1z=，故(22c=+=故答案为：【点睛】本题考查的知识点是空间向量的数量积运算，空间向量的模，属于中档题．18．【解析】解析：211322a b c-++【解析】MN MA AB BN=++11()32OA OB OA BC =+-+ 21()32OA OB OC OB =-++- 211322OA OB OC =-++ 211322a b c =-++． 19．2【解析】因为向量所以则解之得应填答案解析：2【解析】因为向量(1,1,),(1,2,1),(1,1,1)a x b c ===，所以(0,0,1),2(2,4,2)c a x b -=-=，则()(2)222c a b x -⋅=-=-，解之得2x =，应填答案2。
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第三章 单元质量评估(二)时限：120分钟满分：150分第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的)1．已知空间四边形ABCD ，G 是CD 的中点，连接AG ，则AB →＋12(BD →＋BC →)＝( )A.AG →B.CG →C.BC→ D.12BC →解析：在△BCD 中，因为G 是CD 的中点，所以BG →＝12(BD →＋BC →)，从而AB →＋12(BD →＋BC →)＝AB→＋BG →＝AG →，故选A. 答案：A2．设l 1的方向向量为a ＝(1,2，－2)，l 2的方向向量为b ＝(－2,3，m )，若l 1⊥l 2，则m 等于( )A ．1B ．2 C.12D ．3解析：∵l 1⊥l 2，∴a ·b ＝0，代入可解得m ＝2. 答案：B3．已知i ，j ，k 为单位正交基底，a ＝3i ＋2j －k ，b ＝i －j ＋2k ，则5a 与3b 的数量积等于( )A ．－15B ．－5C ．－3D ．－1解析：∵i ，j ，k 两两垂直且|i |＝|j |＝k |＝1，∴5a ·3b ＝(15i ＋10j －5k )·(3i －3j ＋6k )＝45－30－30＝－15.答案：A4．已知二面角α—l —β的大小为60°，m ，n 为异面直线，且m ⊥α，n ⊥β，则m ，n 所成的角为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°解析：设m ，n 的方向向量分别为m ，n .由m ⊥α，n ⊥β知m ，n 分别是平面α，β的法向量． ∵|cos 〈m ，n 〉|＝cos60°＝12，∴〈m ，n 〉＝60°或120°. 但由于两异面直线所成的角的范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2， 故异面直线m ，n 所成的角为60°. 答案：B5．已知向量a ＝(1,2,3)，b ＝(－2，－4，－6)，|c |＝14，若(a ＋b )·c ＝7，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解析：设向量a ＋b 与c 的夹角为α，因为a ＋b ＝(－1，－2，－3，)，|a ＋b |＝14，cos α＝(a ＋b )·c |a ＋b ||c |＝12，所以α＝60°.因为向量a ＋b 与a 的方向相反，所以a 与c 的夹角为120°.故选C.答案：C6．如图，空间四边形OABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝2GN .设OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ，y ，z 的值分别为( )A.13，13，13B.13，13，16C.13，16，13D.16，13，13解析：∵MG ＝2GN ，∴MG →＝23MN →. 故OG →＝OM →＋MG →＝OM →＋23(ON →－OM →) ＝13OM →＋23ON →＝13×12OA →＋23⎣⎢⎡⎦⎥⎤12(OB →＋OC →)＝16OA →＋13OB →＋13OC →.答案：D7．如图，在空间直角坐标系中有直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，CA ＝CC 1＝2CB ，则直线BC 1与直线AB 1夹角的余弦值为( )A.55B.53C.255D.35解析：不妨设CB ＝1，则CA ＝CC 1＝2.由题图知，A 点的坐标为(2,0,0)，B 点的坐标为(0,0,1)，B 1点的坐标为(0,2,1)，C 1点的坐标为(0,2,0)．所以BC 1→＝(0,2，－1)，AB 1→＝(－2,2,1)． 所以cos 〈BC 1→，AB 1→〉＝0×(－2)＋2×2＋(－1)×135＝55. 答案：A8．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是CD ，CC 1的中点，则异面直线A 1M 与DN 所成角的大小是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°解析：如图，以D 为原点，DA ，DC ，DD 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系．设该正方体的棱长为2，则A 1(2,0,2)，M (0,1,0)，N (0,2,1)．∴A 1M →＝(－2,1，－2)，DN →＝(0,2,1)，∴cos 〈A 1M →，DN →〉＝A 1M →·DN →|A 1M →|·|DN →|＝0.∴异面直线A 1M 与DN 所成角的大小是90°.答案：D9．如图所示，在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝23a ，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．垂直D ．不能确定解析：在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中， ∵|A 1B |＝|AC |＝2a ， ∴A 1M →＝13A 1B →，AN →＝13AC →，MN →＝MA 1→＋A 1A →＋AN →＝－13A 1B →＋A 1A →＋AN → ＝－13A 1A →－13A 1B 1→＋A 1A →＋13AD →＋13A 1B 1→ ＝23A 1A →＋13AD →＝23B 1B →＋13B 1C 1→. 因此MN →，B 1B →，B 1C 1→共面． 又∵MN ⊄平面BB 1C 1C ， ∴MN ∥平面BB 1C 1C . 答案：B10．正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都相等，则AC 1和平面BB 1C 1C 所成角的余弦值为( )A.104B.66C.62D.102解析：设正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的所有棱长均为1，以B 为原点，建立空间直角坐标系(如图)，则C 1(0,1,1)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，0，AC 1→＝⎝⎛⎭⎪⎫－32，12，1，又平面BB 1C 1C 的一个法向量n ＝(1,0,0)，所以AC 1与平面BB 1C 1C 所成的角θ的正弦值sin θ＝|AC 1→·n ||AC 1→|·|n |＝322×1＝64，得cos θ＝1－sin 2θ＝104.答案：A11．如图，在四面体P —ABC 中，PC ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝CA ＝PC ，那么二面角B —AP —C 的余弦值为( )A.22B.33 C ．－77D.57解析：如图，作BD ⊥AP 于D ，作CE ⊥AP 于E . 设AB ＝1，则易得CE ＝22，EP ＝22， P A ＝PB ＝2，可以求得BD ＝144， ED ＝24.∵BC →＝BD →＋DE →＋EC →，∴BC →2＝BD →2＋DE →2＋EC →2＋2BD →·DE →＋2DE →·EC →＋2EC →·BD →，∴EC →·BD →＝－14，∴cos 〈BD →，EC →〉＝－77，故选C.12．如图，四棱锥P —ABCD 中，PB ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝AD ＝PB ＝3，点E 在棱P A 上，且PE ＝2EA ，则平面ABE 与平面BED 的夹角的余弦值为( )A.23 B.66 C.33D.63解析：以B 为原点，BC ，BA ，BP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Bxyz ，则B (0,0,0)，A (0,3,0)，P (0,0,3)，D (3,3,0)，E (0,2,1)，∴BE→＝(0,2,1)，BD →＝(3,3,0)． 设平面BED 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎨⎧n ·BE→＝0，n ·BD →＝0，即⎩⎨⎧2y ＋z ＝0，3x ＋3y ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12z ，y ＝－12z .令z ＝1，则n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，1.又平面ABE 的一个法向量为m ＝(1,0,0)，∴cos 〈n ，m 〉＝66，即平面ABE 与平面BED 的夹角的余弦值为66.第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填写在题中横线上)13．如图，在空间四边形ABCD 中，AC 和BD 为对角线，G 为△ABC 的重心，E 是BD 上一点，BE ＝3ED ，以{AB →，AC →，AD →}为基底，则GE→＝________.解析：GE →＝GA →＋AD →＋DE →＝－13(AB →＋AC →)＋AD →＋14(AB →－AD →)＝－112AB →－13AC →＋34AD →.答案：－112AB →－13AC →＋34AD →14．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，已知DA ＝DC ＝4，DD 1＝3，则异面直线A 1B 与B 1C 所成角的余弦值为________．解析：以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系(如图所示)，则A 1(4,0,3)，B (4,4,0)，B 1(4,4,3)，C (0,4,0)，得A 1B →＝(0,4，－3)，B 1C →＝(－4,0，－3)．故cos 〈A 1B →，B 1C →〉＝A 1B →·B 1C →|A 1B →||B 1C →|＝925. 答案：92515．已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1，P ，M 为空间任意两点，如果有PM →＝PB 1→＋6AA 1→＋7BA →＋4A 1D 1→，那么M 点一定在平面________内．解析：∵B 1M →＝PM →－PB 1→＝BA →＋6BA →＋6AA 1→＋4A 1D 1→＝BA →＋6BA 1→＋4A 1D 1→＝B 1A 1→＋2BA 1→＋4BD 1→，∴B 1M →－B 1A 1→＝2BA 1→＋4BD 1→，即A 1M →＝2BA 1→＋4BD 1→.故A 1M →，BA 1→，BD 1→共面，即M 点在平面A 1BCD 1内．答案：A 1BCD 116．等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角C —AB —D 的余弦值为33，M ，N 分别是AC ，BC 的中点，则EM ，AN 所成角的余弦值等于________．解析：设AB ＝2，作CO ⊥平面ABDE ，OH ⊥AB ，连接CH ，则CH ⊥AB ，∠CHO 为二面角C —AB —D 的平面角，CH ＝3，OH ＝CH ·cos ∠CHO ＝1.结合等边△ABC 与正方形ABDE 可知四棱锥C —ABDE 为正四棱锥，则AN ＝EM ＝CH ＝3，AN →＝12(AC →＋AB →)，EM→＝12AC →－AE →，AN →·EM →＝12(AB →＋AC →)·⎝ ⎛⎭⎪⎫12AC →－AE →＝12，故EM ，AN 所成角的余弦值为AN →·EM →|AN →|·|EM →|＝16. 答案：16三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．)17．(10分)如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．(1)化简：A 1O →－12AB →－12AD →；(2)设E 是棱DD 1上的点，且DE →＝23DD 1→，若EO →＝xAB →＋yAD →＋zAA 1→，试求实数x ，y ，z 的值． 解：(1)A 1O →－12(AB →＋AD →)＝A 1O →－AO →＝A 1A →.(2)∵EO →＝AO →－AE →＝12(AB →＋AD →)－AD →－23AA 1→＝12AB →－12AD →－23AA 1→，∴x ＝12，y ＝－12，z ＝－23.18．(12分)在长方体OABC —O 1A 1B 1C 1中，OA ＝2，AB ＝3，AA 1＝2，E 是BC 的中点．(1)求直线AO 1与B 1E 所成角的余弦值；(2)作O 1D ⊥AC 于点D ，求点O 1到点D 的距离．解：(1)建立如图的空间直角坐标系，则O (0,0,0)，A (2,0,0)，B (2,3,0)，C (0,3,0)，E (1,3,0)，O 1(0,0,2)，A 1(2,0,2)，B 1(2,3,2)，C 1(0,3,2)，∴AO 1→＝(－2,0,2)，B 1E →＝(－1,0，－2)，∴cos 〈AO 1→，B 1E →〉＝AO 1→·B 1E →|AO 1→||B 1E →|＝－2210＝－1010. 故直线AO 1与B 1E 所成角的余弦值为1010.(2)设D (x 0，y 0,0)，O 1D →＝(x 0，y 0，－2)，AC →＝(－2,3,0)，AD →＝(x 0－2，y 0,0)．∵O 1D →⊥AC →且AD →∥AC →，∴⎩⎨⎧ －2x 0＋3y 0＝0，3(x 0－2)＋2y 0＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 0＝1813，y 0＝1213，∴O 1D →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1813，1213，－2，∴|O 1D →|＝228613， ∴点O 1到点D 的距离为228613.19．(12分)如图，已知正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面边长AB＝2，侧棱BB1的长为4，过点B作B1C的垂线交侧棱CC1于点E，交B1C于点F.(1)求证：A1C⊥平面BED；(2)求A1B与平面BDE所成的角的正弦值．解：(1)证明：如图，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D—xyz，则D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，A1(2,0,4)，B1(2,2,4)，C1(0,2,4)，D1(0,0,4)．设E(0,2，t)，则BE→＝(－2,0，t)，B1C→＝(－2,0，－4)．∵BE ⊥B 1C ，∴BE →·B 1C →＝4＋0－4t ＝0，即t ＝1.故E (0,2,1)，BE→＝(－2,0,1)． 又∵A 1C →＝(－2,2，－4)，DB →＝(2,2,0)，∴A 1C →·BE →＝4＋0－4＝0，且A 1C →·DB →＝－4＋4＋0＝0. 因此A 1C →⊥DB →且A 1C →⊥BE →，即A 1C ⊥BD 且A 1C ⊥BE .故A 1C ⊥平面BDE .(2)由(1)知A 1C →＝(－2,2，－4)是平面BDE 的一个法向量，又∵A 1B →＝(0,2，－4)，∴cos 〈A 1C →，A 1B →〉＝A 1C →·A 1B →|A 1C →||A 1B →|＝306. 故A 1B 与平面BDE 所成角的正弦值为306.20．(12分)如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝a ，AD ＝2a ，P A ⊥平面ABCD ，PD 与平面ABCD 成30°角．(1)若AE ⊥PD ，E 为垂足，求证：BE ⊥PD ；(2)求平面P AB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值．解：(1)证明：∵P A ⊥平面ABCD ，∴AB ⊥P A .又∵AB ⊥AD ，AD ∩AP ＝A ，∴AB ⊥平面P AD .∴PD ⊥AB .又∵PD ⊥AE ，AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面ABE ，∴BE ⊥PD .(2)∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥AD ，P A ⊥AB .又AB ⊥AD ，∴AP ，AB ，AD 两两垂直．如图，以A 为原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，C (a ，a,0)，D (0,2a,0)，AD→＝(0,2a,0)．∵P A ⊥平面ABCD ，∴∠ADP 是PD 与平面ABCD 所成的角．∴∠ADP ＝30°.∵AD ＝2a ，∴P A ＝2a tan30°＝233a ，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，0，233a .∴PC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a ，－233a ，，PD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2a ，－233a . 设n ＝(x ，y ，z )为平面PCD 的一个法向量，则⎩⎨⎧ n ·PC →＝0，n ·PD →＝0，即⎩⎨⎧ ax ＋ay －233az ＝0，2ay －233az ＝0.取x ＝1，则n ＝(1,1，3)是平面PCD 的一个法向量．易知AD→＝(0,2a,0)为平面P AB 的一个法向量， ∴cos 〈n ，AD →〉＝n ·AD →|AD →|·|n |＝55. ∴平面P AB 与平面PCD 所成锐二面角的余弦值为55.21．(12分)如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，C 1C ＝CB ＝CA ＝2，AC ⊥CB ，D ，E 分别为棱C 1C ，B 1C 1的中点．(1)求点B 到平面A 1C 1CA 的距离；(2)求二面角B —A 1D —A 的余弦值；(3)在线段AC 上是否存在一点F ，使得EF ⊥平面A 1BD ？若存在，确定其位置并证明结论；若不存在，说明理由．解：(1)∵三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱， ∴CC 1⊥底面ABC ，∴CC 1⊥BC .∵AC ⊥CB ，∴BC ⊥平面A 1C 1CA ，∴BC 的长即为点B 到平面A 1C 1CA 的距离． ∵BC ＝2，∴点B 到平面A 1C 1CA 的距离为2.(2)∵三棱柱ABC —A 1B 1C 1为直三棱柱，C 1C ＝CB ＝CA ＝2，AC ⊥CB ，D ，E 分别为C 1C ，B 1C 1的中点，建立如图的空间直角坐标系，得C (0,0,0)，B (0,2,0)，A (2,0,0)，C 1(0,0,2)，B 1(0,2,2)，A 1(2,0,2)，D (0,0,1)，E (0,1,2)，∴BD →＝(0，－2,1)，BA 1→＝(2，－2,2)． 设平面A 1BD 的法向量为n ＝(λ，1，μ)，则⎩⎨⎧ n ·BD →＝0，n ·BA 1→＝0，即⎩⎨⎧ －2＋μ＝02λ－2＋2μ＝0，解得⎩⎨⎧ μ＝2λ＝－1，∴n ＝(－1,1,2)由(1)知平面ACC 1A 1的法向量为CB →＝(0,1,0)，cos 〈n ，CB →〉＝16＝66，即二面角B －A 1D －A 的余弦值为66.(3)设在线段AC 上存在一点F (x,0,0)，使得EF ⊥平面A 1BD .欲使EF ⊥平面A 1BD ，由(2)知当且仅当n ∥FE→. ∵FE→＝(－x,1,2)，∴x ＝1，故存在唯一一点F (1,0,0)满足条件，F 为AC 的中点．22．(12分)如图，在三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，H 是正方形AA 1B 1B 的中心，AA 1＝22，C 1H ⊥平面AA 1B 1B ，且C 1H ＝ 5.(1)求异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值；(2)求二面角A —A 1C 1—B 1的正弦值；(3)设N 为棱B 1C 1的中点，点M 在平面AA 1B 1B 内，且MN ⊥平面A 1B 1C 1，求线段BM 的长．解：如图所示，建立空间直角坐标系，点B 为坐标原点． 依题意得A (22，0,0)，B (0,0,0)，C (2，－2，5)，A 1(22，22，0)，B 1(0,22，0)，C 1(2，2，5)．(1)易得AC →＝(－2，－2，5)，A 1B 1→＝(－22，0,0)，于是cos〈AC →，A 1B 1→〉＝AC →·A 1B 1→|AC →||A 1B 1→|＝43×22＝23， 所以异面直线AC 与A 1B 1所成角的余弦值为23. (2)易知AA 1→＝(0,22，0)，A 1C 1→＝(－2，－2，5)．设平面AA 1C 1的法向量m ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧ m ·A 1C 1→＝0，m ·AA 1→＝0，即⎩⎨⎧ －2x －2y ＋5z ＝0，22y ＝0. 不妨令x ＝5，可得m ＝(5，0，2)．同样地，设平面A 1B 1C 1的法向量n ＝(x ，y ，z )，。