空间向量练习题
空间向量部分基础练习题
16一、选择题1.下列说法中不正确的是( )A. 平面α的法向量垂直于与平面α共面的所有向量B. 一个平面的所有法向量互相平行C. 如果两个平面的法向量垂直，那么这两个平面也垂直D. 如果a 、b 与平面α共面且n ⊥a ，n ⊥b ，那么n 就是平面α的一个法向量2.已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是( )A. 90°B. 60°C. 30°D. 0° 3.已知A 、B 、C 三点的坐标分别为A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，λ)，若AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ等于( ) A. 28 B. －28 C. 14 D. －144.若向量{a ，b ，c }是空间的一个基底，则一定可以与向量p ＝2a ＋b ，q ＝2a －b 构成空间的另一个基底的向量是( )A. aB. bC. cD. a ＋b5.若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，则能使l ∥α的是( )A. a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0)B. a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1)C. a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1)D. a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)6.已知a ，b 是两异面直线，A ，B ∈a ，C ，D ∈b ，AC ⊥b ，BD ⊥b 且AB ＝2，CD ＝1，则直线a ，b 所成的角为( )A. 30°B. 60°C. 90°D. 45° 7.已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若点F 是侧面CD 1的中心，且AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =AD⃗⃗⃗⃗⃗ +mAB ⃗⃗⃗⃗⃗ −nAA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 则m ，n 的值分别为( ) A.11,22- B. 11,22-- C. 11,22- D. 11,228.已知A (－1,1,2)，B (1,0，－1)，设D 在直线AB 上，且AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =2DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，设C (λ，13＋λ，1＋λ)，若CD ⊥AB ，则λ的值为( )A. 116B. －116C. 12D. 13 9.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝√2，E 、F 分别是面A 1B 1C 1D 1、面BCC 1B 1的中心，则E 、F 两点间的距离为( )A. 1B. √52C. √62D. 32 10.如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1，AB ＝1，BC ＝2，AA 1＝3，则点B 到直线A 1C 的距离为( )A. 27B. 2√357C. √357D. 111.如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E是棱AB 的中点，则点E 到平面ACD 1的距离为( )A. 12B. √22C. 13D. 16 12.如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是正方形ADD 1A 1和ABCD 的中心，G 是CC1的中点，设GF ，C 1E 与AB 所成的角分别为α，β，则α＋β等于( )A. 120°B. 60°C. 75°D. 90°二、填空题13.已知A (1,2,0)，B (0,1，－1)，P 是x 轴上的动点，当AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP⃗⃗⃗⃗⃗ 取最小值时，点P 的坐标为__________．14.已知正四棱台ABCD －A 1B 1C 1D 1中，上底面A 1B 1C 1D 1边长为1，下底面ABCD 边长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则异面直线AD 1与B 1C 所成角的余弦值为__________．15.三棱锥P －ABC 中，PA ＝PB ＝PC ＝AB ＝AC ＝1，∠BAC ＝90°，则直线PA 与底面ABC 所成角的大小为________________．16.已知矩形ABCD 中，AB ＝1，BC ＝，将矩形ABCD 沿对角线AC 折起，使平面ABC 与平面ACD 垂直，则B 与D 之间的距离为__________．三、解答题17.若e 1、e 2、e 3是三个不共面向量，则向量a ＝3e 1＋2e 2＋e 3，b ＝－e 1＋e 2＋3e 3，c ＝2e 1－e 2－4e 3是否共面？请说明理由．18.如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝2，AA1＝5，E、F分别为D1D、B1B上的点，且DE＝B1F ＝1.(1)求证：BE⊥平面ACF；(2)求点E到平面ACF的距离．19.如图，在四棱锥A－BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝√2．(1)证明：AC⊥平面BCDE；(2)求直线AE与平面ABC所成的角的正切值．20.如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，设AC与BD相交于点O，若∠DAB＝∠DBF＝60°，且F A＝FC．(1)求证：FC∥平面EAD；(2)求二面角A－FC－B的余弦值．21.如图，在四棱锥中，侧面为钝角三角形且垂直于底面，，点是的中点，，，.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）若直线与底面所成的角为60°，求二面角余弦值．22. 如图，在边长为4的菱形ABCD 中，60BAD ∠=，AC 与BD 交于点O ，将ADB ∆沿直线DB 折起到PDB ∆的位置（点P 不与A ，C 两点重合）.（1）求证：不论PDB ∆折起到何位置，都有BD ⊥平面PAC ；（2）当PO ⊥平面ABCD 时，点M 是线段PC 上的一个动点，若OM 与平面PBC 所成的角为30，求PM MC 的值.。
高二数学空间向量必刷的练习题
高二数学空间向量必刷的练习题在高二数学中，空间向量是一个重要而又复杂的概念，它在解决空间几何问题时起到了重要的作用。
为了帮助同学们更好地掌握和应用空间向量的知识，下面将介绍几道必刷的空间向量练习题。
练习题一：已知向量A=10A+6A+5A，向量A=A−A+3A，向量A=4A−2A+A，求向量A=(2A+5A−A)的模长。
解析：首先，计算向量A=(2A+5A−A)的具体数值。
将已知向量代入得到：A=2(10A+6A+5A)+5(A−A+3A)−(4A−2A+A)=20A+12A+10A+5A−5A+15A−4A+2A−A=21A+9A+24A然后，计算向量A的模长：|A|=sqrt((21A)^2+(9A)^2+(24A)^2)=sqrt(441A^2+81A^2+576A^2)练习题二：已知向量A=A−2A+2A，向量A=−A+4A−4A，向量A=A−6A+6A，求向量A=(A+2A−3A)的方向向量。
解析：首先，计算向量A=(A+2A−3A)的具体数值。
将已知向量代入得到：A=(A−2A+2A)+2(−A+4A−4A)−3(A−6A+6A)=A−2A+2A−2A+8A−8A−3A+18A−18A=−4A+24A−24A然后，根据向量的性质，可以知道向量A的方向与其具体数值无关，方向向量为：(−4, 24, −24)练习题三：已知三点A(1,2,3)、A(4,5,6)和A(7,8,9)，求向量AA和向量AA的数量积。
解析：首先，根据已知点的坐标，可以计算出向量AA和向量AA的具体数值：向量AA=(4−1,5−2,6−3)=(3,3,3)向量AA=(7−1,8−2,9−3)=(6,6,6)然后，计算向量AA和向量AA的数量积：AA·AA=3×6+3×6+3×6=54练习题四：已知三点A(-1,1,2)、A(2,3,4)和A(3,2,0)，求向量AA和向量AA的向量积。
空间向量与立体几何练习题(带答案)
空间向量与立体几何练习题（带答案）一、选择题1．若空间向量a与b不相等，则a与b一定()A．有不同的方向B．有不相等的模C．不可能是平行向量D．不可能都是零向量【解析】若a＝0，b＝0，则a＝b，这与已知矛盾，故选D．【答案】D图2－1－72．如图2－1－7所示，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1，在下列选项中，CD→的相反向量是()A.BA→B．A1C1→C.A1B1→D．AA1→【解析】由相反向量的定义可知，A1B1→是CD→的相反向量．【答案】C图2－1－83．在如图2－1－8所示的正三棱柱中，与〈AB→，AC→〉相等的是() A．〈AB→，BC→〉B．〈BC→，CA→〉C．〈C1B1→，AC→〉D．〈BC→，B1A1→〉【解析】∵B1A1→＝BA→，∴〈BA→，BC→〉＝〈AB→，AC→〉＝〈BC→，B1A1→〉＝60°，故选D．【答案】D4．在正三棱锥A-BCD中，E、F分别为棱AB，CD的中点，设〈EF→，AC→〉＝α，〈EF→，BD→〉＝β，则α＋β等于()A.π6B．π4C.π3D．π2【解析】如图，取BC的中点G，连接EG、FG，则EG∥AC，FG∥BD，故∠FEG＝α，∠EFG＝β.∵A－BCD是正三棱锥，∴AC⊥BD．∴EG⊥FG，即∠EGF＝π2.∴α＋β＝∠FEG＋∠EFG＝π2.【答案】D5．如图2－1－9所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点为向量端点的所有向量中，直线AB的方向向量有()图2－1－9A．8个B．7个C．6个D．5个【解析】与向量AB→平行的向量就是直线AB的方向向量，有AB→，BA→，A1B1→，B1A1→，C1D1→，D1C1→，CD→，DC→，共8个，故选A.【答案】A二、填空题6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则向量CE→和BD→的夹角为________．【解析】∵BD→为平面ACC1A1的法向量，而CE在平面ACC1A1中，∴BD→⊥CE→.∴〈BD→，CE→〉＝90°.【答案】90°7．下列命题正确的序号是________．①若a∥b，〈b，c〉＝π4，则〈a，c〉＝π4.②若a，b是同一个平面的两个法向量，则a＝B．③若空间向量a，b，c满足a∥b，b∥c，则a∥c.【解析】①〈a，c〉＝π4或3π4，①错；②a∥b；②错；③当c＝0时，推不出a∥c，③错；④由于异面直线既不平行也不重合，所以它们的方向向量不共线，④对．【答案】④8．在棱长为1的正方体中，S表示所有顶点的集合，向量的集合P＝{a|a ＝P1P2→，P1，P2∈S}，则在集合P中模为3的向量的个数为________．【解析】由棱长为1的正方体的四条体对角线长均为3知：在集合P 中模为3的向量的个数为8.【答案】8三、解答题图2－1－109．如图2－1－10所示，在长、宽、高分别为AB＝3、AD＝2、AA1＝1的长方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点的两点为始点和终点的向量中，(1)单位向量共有多少个？(2)试写出模为5的所有向量；(3)试写出与AB→相等的所有向量．【解】(1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的AA1→，A1A→，BB1→，B1B→，CC1→，C1C→，DD1→，D1D→这8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．(2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为5，故模为5的向量有AD1→，D1A→，A1D→，DA1→，BC1→，C1B→，B1C→，CB1→共8个．(3)与向量AB→相等的所有向量(除它自身之外)共有A1B1→，DC→及D1C1→3个．图2－1－1110．如图2－1－11所示，正四棱锥S－ABCD中，O为底面中心，求平面SBD的法向量与AD→的夹角．【解】∵正四棱锥底面为正方形，∴BD⊥AC，SO⊥AC又∵BD∩SO＝O∴AC⊥平面SBD．∴AC→为平面SBD的一个法向量．∴〈AC→，AD→〉＝45°.图2－1－1211．如图2－1－12，四棱锥P—ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD 为正方形且PD＝AD，E、F分别是PC、PB的中点．(1)试以F为起点作直线DE的一个方向向量；(2)试以F为起点作平面PBC的一个法向量．【解】(1)取AD的中点M，连接MF，连接EF，∵E、F分别是PC、PB的中点，∴EF綊12BC，又BC綊AD，∴EF綊12AD，则由EF綊DM知四边形DEFM是平行四边形，∴MF∥DE，∴FM→就是直线DE的一个方向向量．(2)∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥BC，又BC⊥CD，∴BC⊥平面PCD，∵平面PCD，∴DE⊥BC，又PD＝CD，E为PC中点，∴DE⊥PC，从而DE⊥平面PBC，∴DE→是平面PBC的一个法向量，由(1)可知FM→＝ED→，∴FM→就是平面PBC的一个法向量.。
空间向量练习卷
《空间向量》练习卷1、空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（）A．B．C．D．2、设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则k＝（）A．2 B．－4 C．－2 D．43、设点M是Z轴上一点,且点M到A（1,0,2）与点B（1,－3,1）的距离相等,则点M的坐标是( )A．（－3,－3, 0）B．（0,0,－3）C．（0,－3,－3）D．（0,0,3）4、已知空间四面体的每条边都等于1，点分别是的中点，则等于（）A．B．C．D．5、如图，在正方体，若，则的值为（）A．3 B．1 C．－1 D．－36、的三个内角的对边分别为，已知，向量，。
若，则角的大小为（）A．B．C．D．7、在ΔABC中，已知＝(2,4,0),＝(－1,3,0)，则∠ABC大小为（）.A．45°B．90°C．120°D．135°8、已知向量=（2，4，x），=（2，y，2），若||=6，⊥，则x+y的值是（）A．－3或1 B．3或－1 C．－3 D．19、如果正方体的棱长为，那么四面体的体积是：A．B．C．D．10、已知向量a=(3，5，-1)，b=(2，2，3)，c=(4，-1，-3)，则向量2a-3b+4c的坐标为( )A．(16，0，-23) B．(28，0，-23) C．(16，-4，-1) D．(0，0，9)分卷II 注释一、填空题(每小题5分共25分)11、已知，则的最小值是___ ____________．12、与A(-1，2，3)，B(0，0，5)两点距离相等的点P(x，y，z)的坐标满足的条件为__________．13、已知，且//(),则k=__ ____.14、正方体的棱长为，若动点在线段上运动，则的取值范围是______________.15、已知正方体中，E为的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为 .二、解答题(12+12+12+12+13+14)16、如图，在直四棱柱中，底面为平行四边形，且，，，为的中点.（Ⅰ）证明：∥平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.17、如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点. （1）求的长；（2）求cos< >的值；（3）求证：A1B⊥C1M.18、长方体中，（1）求直线所成角；（2）求直线所成角的正弦.19、在边长是2的正方体-中，分别为的中点.应用空间向量方法求解下列问题.(1)求EF的长(2)证明：平面；(3)证明: 平面.20、如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，BC⊥侧面AA1C1C，AC=BC=1，CC1=2，∠CAA1=，D、E分别为AA1、A1C的中点．（1）求证：A1C⊥平面ABC；（2）求平面BDE与平面ABC 所成角的余弦值．21、如图所示，四边形为直角梯形，，，为等边三角形，且平面平面，，为中点．（1）求证：；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；（3）在内是否存在一点，使平面，如果存在，求的长；如果不存在，说明理由．。
高二数学空间向量的练习题
高二数学空间向量的练习题在高二数学学习中，空间向量是一个重要的知识点，它与平面向量有许多相似之处，同时也具备一些特殊的性质和运算规则。
为了提高对空间向量的理解和应用能力，以下是一些空间向量的练习题，供大家进行巩固和练习。
练习题一：已知空间向量 a = 3i + 4j - 2k，b = i - 2j + 5k，c = 2i - j + 3k，求：1. a + b - c；2. |a × b|；3. ∠(a, b) 的大小。
练习题二：已知平面内的向量 u = 3i + 4j - k，v = 2i - 6j + 3k，w = -7i + 8j - k，求：1. u × v 的大小和方向；2. 建立平面向量 u, v, w 的三角形 ABC，求三角形 ABC 的面积。
练习题三：已知空间向量 a = 3i - j + 4k，b = 2i + 3j - 5k，c = ai + bj + ck，且 |c| = √27，则 a, b, c 为何种关系？练习题四：已知空间向量 d = 4i + 2j - k，e = 3i - j + k，f = 5i + 3j + 2k，求实数λ，使得 d + λe = λf。
练习题五：已知空间向量 a = 3i + 4j - k，b = 2i - j - 4k，c = 4i + 2j - 2k，d = 2i + j + 2k，求向量组 {a, b, c, d} 的线性相关性与线性无关性。
练习题六：已知空间向量 a, b, c 满足 |a| = 3，|c| = 2，且 a × b = c，则向量组 {a, b, c} 的线性相关性与线性无关性如何？练习题七：已知空间向量 a = i + j - k，b = 2i + 3j + k，c = xi + yj + zk，如果向量组 {a, b, c} 线性无关，则实数 x 和 y 的取值范围是什么？练习题八：已知空间向量 a = 2i + j + 4k，b = i + 3j + k，c = 3i - 2j + 5k，d = xi + yj + zk，且向量组 {a, b, c, d} 线性相关，则实数 x 和 y 的取值范围是什么？练习题九：已知坐标为 A(1, 2, -1)，B(-3, 5, 6)，C(2, -1, 3)，求向量 BA × BC 的大小和方向。
空间向量练习题
空间向量练习题1一、选择题：1．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是（ ）A ．OM ++=B ．OM --=2C ．3121++= D ．313131++=2．若向量λμλμλ且向量和垂直向量R b a n b a m ∈+=,(,、则)0≠μ （ ）A ．n m //B ． n m ⊥C ．也不垂直于不平行于,D ．以上三种情况都可能3．设向量},,{是空间一个基底，则一定可以与向量-=+=,构成空间的另一个基底的向量是（ ）A ．B ．C ．D ．或4．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足0,0,0=⋅=⋅=⋅AD AC AD AB AC AB 则△BCD 是（ ）A ．钝角三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．不确定5．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（ ）A ．52-B ．52C ．53D ．1010二．解答题：6．如图：ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，M、N分别是PC、AB中点，求证：MN⊥平面PCD7．一条线段夹在一个直二面角的两个面内，它和两个面所成的角都是30°，求这条线段与这个二面角的棱所成的角。
8．长方体1111ABCD A B C D -中，4AB BC ==，E 为11A C 与11B D 的交点，F 为1BC 与1B C 的交点，又AF BE ⊥，求长方体的高1BB ．9．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1、D 1B 1的中点， 求证：EF ⊥平面B 1AC_1_ A _A _B_ G_ F_ E_ A _ B_ C_ D_ A _1_ B _1 _ C _1_ D _1AC BPEF10．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11A B 的中点，求异面直线1D E 和1BC 间的距离.11．已知边长为ABC 中，E 、F 分别为BC 和AC 的中点，PA ⊥面ABC ，且2PA =，设平面α过PF 且与AE 平行，求AE 与平面α间的距离.。
高二空间向量练习题及答案
高二空间向量练习题及答案空间向量是高中数学的一个重要内容，掌握空间向量的概念和运算方法对于解决几何问题有着重要的作用。
下面是一些高二空间向量的练习题及其答案，帮助大家巩固和提升空间向量的学习。
一、选择题1. 设向量a=2i-j+3k，向量b=-3i+j+2k，则a·b的值为：A. -11B. 11C. -9D. 9答案：A2. 设向量a=2i-3j+k，向量b=-i+2j-3k，则a与b的夹角为：A. 60°B. 90°C. 120°D. 150°答案：C3. 已知向量a=2i-j+3k，向量b=3i+2j-4k，则a与b的数量积等于：A. -17B. 17C. -3D. 3答案：B4. 设向量a=3i+4j-2k，向量b=i-3j+5k，则a×b的结果为：A. 23i+2j-13kB. -23i-12j+13kC. 23i-12j+13kD. -23i+2j+13k答案：C5. 向量a=3i+j+k，向量b=2i-4j-2k，求向量a与向量b的和向量c，并求c的模长。
A. 向量c=5i-3j-k，|c|=√35B. 向量c=5i-3j-k，|c|=√33C. 向量c=5i-5j-3k，|c|=√31D. 向量c=5i-3j-k，|c|=√31答案：D二、填空题1. 向量a=2i+3j-4k，向量b=5i-2j+k，求a+b的结果为________。
答案：7i+j-3k2. 向量a=2i-3j+k，向量b=-i+j+2k，求a与b的夹角的余弦值为________。
答案：-1/√143. 设向量a=3i-4j+2k，向量b=2i-3j+k，求a×b的结果为________。
答案：-5i-4j-1k4. 设向量a=-i+2j+k，d是一条过点A(1，2，3)且与向量a垂直的直线方程，则d的方程为_______。
答案：x-2y+z-3=05. 已知平行四边形的两条对角线的向量分别为a=2i-j+k和b=-3i+4j-2k，求平行四边形的面积为_______。
空间向量练习题
1．若A（0，2，），B（1，﹣1，），C（﹣2，1，）是平面α内的三点，设平面α的法向量=（x，y，z），则x：y：z=（）A．2：3：（﹣4）B．1：1：1 C．﹣：1：1 D．3：2：42．若=（1，﹣2，2）是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α法向量的是（）A．（1，﹣2，0）B．（0，﹣2，2） C．（2，﹣4，4）D．（2，4，4）3．已知平面α的法向量为=（2，﹣2，4），=（﹣3，1，2），点A不在α内，则直线AB与平面的位置关系为（）A．AB⊥αB．AB⊂αC．AB与α相交不垂直D．AB∥α4．若平面α、β的法向量分别为=（2，﹣3，5），=（﹣3，1，﹣4），则（）A．α∥βB．α⊥βC．α、β相交但不垂直D．以上均不正确5．平面α的法向量为（1，0，﹣1），平面β的法向量为（0，﹣1，1），则平面α与平面β所成二面角的大小为．6．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥AB，AB=2AA1，M是AB的中点，△A1MC1是等腰三角形，D为CC1的中点，E为BC上一点．（1）若DE∥平面A1MC1，求；（2）求直线BC和平面A1MC1所成角的余弦值．7．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=2，AA1=2，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且CO⊥ABB1A1平面．（1）证明：BC⊥AB1；（2）若OC=OA，求直线CD与平面ABC所成角的正弦值．8．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=4，AA1=6，点M时BB1中点．（1）求证；平面A1MC⊥平面AA1C1C；（2）求点A到平面A1MC的距离．9．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，∠BAD=，AB=1，CD=3，M为PC上一点，MC=2PM．（Ⅰ）证明：BM∥平面PAD；（Ⅱ）若AD=2，PD=3，求点D到平面PBC的距离．10．如图，已知平面QBC与直线PA均垂直于Rt△ABC所在平面，且PA=AB=AC．（Ⅰ）求证：PA∥平面QBC；（Ⅱ）PQ⊥平面QBC，求二面角Q﹣PB﹣A的余弦值．11．如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F．（Ⅰ）证明：EF∥B1C；（Ⅱ）求二面角E﹣A1D﹣B1的余弦值．12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，边长为1，E为CC1上一点，且EC=（1）证明：B1D1∥平面BDE；（2）求二面角E﹣BD﹣C大小；（3）证明：平面ACC1A1⊥平面BDE．13．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，∠ABC=45°．（1）求直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）若D是AC的中点，求异面直线BD与A1C所成的角．14．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（1）证明：BC1⊥面A1B1CD；（2）求直线A1B和平面A1B1CD所成的角．15．如图，正方形ABED、直角梯形EFGD、直角梯形ADGC所在平面两两垂直，AC∥DG∥EF．且DA=DE=DG=2，AC=EF=1．（Ⅰ）求证：四点B、C、G、F共面；（Ⅱ）求二面角D﹣BC﹣F的大小．16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AC=AA1=2，∠ABC=．（1）证明：AB⊥A1C；（2）求二面角A﹣A1C﹣B的正弦值．17．如图，在四棱锥O﹣ABCD中，OA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，OA=2，M、N、Q分别为OA、BC、CD的中点．（Ⅰ）证明：DN⊥平面OAQ；（Ⅱ）求点B到平面DMN的距离．18．如图，在棱长AB=AD=2，AA1=3的长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是平面BCC1B1内动点，点F是CD的中点．（Ⅰ）试确定E的位置，使D1E⊥平面AB1F；（Ⅱ）求平面AB1F与平面ABB1A1所成的锐二面角的大小．19．如图，边长为1的正三角形SAB所在平面与直角梯形ABCD所在平面垂直，且AB∥CD，BC⊥AB，BC=1，CD=2，E、F分别是线段SD、CD的中点．（I）求证：平面AEF∥平面SBC；（Ⅱ）求二面角S﹣AC﹣F的大小．20．如图，在三棱锥D﹣ABC中，△ADC，△ACB均为等腰直角三角形AD=CD=，∠ADC=∠ACB=90°，M为线段AB的中点，侧面ADC⊥底面ABC．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；（Ⅱ）求异面直线BD与CM所成角的余弦值；（Ⅲ）求二面角A﹣CD﹣M的余弦值．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=6，PD=3，E、F分别是PB、CB上靠近点B的一个三等分点．（Ⅰ）求证：AC⊥DE；（Ⅱ）求EF与平面PAB所成角的正弦值．22．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1和A1B1的中点．（1）求异面直线AE和BF所成角的余弦值；（2）求平面BDD1与平面BFC1所成二面角的正弦值．23．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1．AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点F为BD1中点．（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线；（2）求点D1到面BDE的距离．24．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AD=a，AB=2a，E为A1B1的中点在．（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；（II）求二面角D﹣BE﹣C的余弦值．1．若A（0，2，），B（1，﹣1，），C（﹣2，1，）是平面α内的三点，设平面α的法向量=（x，y，z），则x：y：z=（）A．2：3：（﹣4）B．1：1：1 C．﹣：1：1 D．3：2：4选A．2．若=（1，﹣2，2）是平面α的一个法向量，则下列向量能作为平面α法向量的是（）A．（1，﹣2，0）B．（0，﹣2，2） C．（2，﹣4，4）D．（2，4，4）选C．3．已知平面α的法向量为=（2，﹣2，4），=（﹣3，1，2），点A不在α内，则直线AB与平面的位置关系为（）A．AB⊥αB．AB⊂αC．AB与α相交不垂直D．AB∥α选：D．4．若平面α、β的法向量分别为=（2，﹣3，5），=（﹣3，1，﹣4），则（）A．α∥βB．α⊥βC．α、β相交但不垂直D．以上均不正确选；C．5．平面α的法向量为（1，0，﹣1），平面β的法向量为（0，﹣1，1），则平面α与平面β所成二面角的大小为或．解：设平面α的法向量为=（1，0，﹣1），平面β的法向量为=（0，﹣1，1），则cos＜，＞==﹣，∴＜，＞=．∵平面α与平面β所成的角与＜，＞相等或互补，∴α与β所成的角为或．6．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⊥AB，AB=2AA1，M是AB的中点，△A1MC1是等腰三角形，D为CC1的中点，E为BC上一点．（1）若DE∥平面A1MC1，求；（2）求直线BC和平面A1MC1所成角的余弦值．解：（1）取BC中点N，连结MN，C1N，…（1分）∵M，N分别为AB，CB中点∴MN∥AC∥A1C1，∴A1，M，N，C1四点共面，且平面BCC1B1∩平面A1MNC1=C1N，又DE∩平面BCC1B1，且DE∥平面A1MC1，∴DE∥C1N，∵D为CC1的中点，∴E是的中点，∴．（2）连结B1M，因为三棱柱ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，∴AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥AB，即四边形ABB1A1为矩形，且AB=2AA1，∵M是AB的中点，∴B1M⊥A1M，又A1C1⊥平面ABB1A1，∴A1C1⊥B1M，从而B1M⊥平面A1MC1，∴MC1是B1C1在平面A1MC1内的射影，∴B1C1与平面A1MC1所成的角为∠B1C1M，又B1C1∥BC，∴直线BC和平面A1MC1所成的角即B1C1与平面A1MC1所成的角…（10分）设AB=2AA1=2，且三角形A1MC1是等腰三角形∴，则MC 1=2，，∴cos=，∴直线BC和平面A1MC1所成的角的余弦值为．…（12分）7．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB=2，AA1=2，D是AA1的中点，BD与AB1交于点O，且CO⊥ABB1A1平面．（1）证明：BC⊥AB1；（2）若OC=OA，求直线CD与平面ABC所成角的正弦值．【解答】（I）证明：由题意，因为ABB1A1是矩形，D为AA1中点，AB=2，AA1=2，AD=，所以在直角三角形ABB1中，tan∠AB1B==，在直角三角形ABD中，tan∠ABD==，所以∠AB1B=∠ABD，又∠BAB1+∠AB1B=90°，∠BAB1+∠ABD=90°，所以在直角三角形ABO中，故∠BOA=90°，即BD⊥AB1，又因为CO⊥侧面ABB1A1，AB1⊂侧面ABB1A1，所以CO⊥AB1所以，AB1⊥面BCD，因为BC⊂面BCD，所以BC⊥AB1．（Ⅱ）解：如图，分别以OD，OB1，OC所在的直线为x，y，z轴，以O为原点，建立空间直角坐标系，则A（0，﹣，0），B（﹣，0，0），C（0，0，），B1（0，，0），D（，0，0），又因为=2，所以所以=（﹣，，0），=（0，，），=（，，），=（，0，﹣），设平面ABC的法向量为=（x，y，z），则根据可得=（1，，﹣）是平面ABC的一个法向量，设直线CD与平面ABC所成角为α，则sinα=，所以直线CD与平面ABC所成角的正弦值为．…（12分）8．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠ABC=90°，AB=4，AA1=6，点M时BB1中点．（1）求证；平面A1MC⊥平面AA1C1C；（2）求点A到平面A1MC的距离．【解答】证明：（1）以B为原点，BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系，由题意A1（0，4，6），M（0，0，3），C（4，0，0），A（0，4，0），=（0，4，3），=（4，0，﹣3），=（0，0，6），=（4，﹣4，0），设平面A1MC的法向量为=（x，y，z），则，取x=3，得=（3，﹣3，4），设平面AA1C1C的法向量=（a，b，c），∴平面A1MC⊥平面AA1C1C．解：（2）∵=（0，0，6），平面A1MC的法向量=（3，﹣3，4），∴点A到平面A1MC的距离：d===．9．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，∠BAD=，AB=1，CD=3，M为PC上一点，MC=2PM．（Ⅰ）证明：BM∥平面PAD；（Ⅱ）若AD=2，PD=3，求点D到平面PBC的距离．【解答】证明：（1）过M作MO⊥CD，交CD于O，连结BO，∵四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥CD，∠BAD=，AB=1，CD=3，M为PC上一点，MC=2PM，∴MO∥PD，OD=，∴OD AB，∴AD∥BO，∵AD∩PD=D，BO∩MO=O，AD、PD⊂平面ADP，BO、MO⊂平面BOM，∴平面ADP∥平面BOM，∵BM⊂平面BOM，∴BM∥平面PAD．解：（2）∵AD=2，PD=3，AB∥CD，∠BAD=，AB=1，CD=3，∴BD==，∴BD2+AB2=AD2，以D为原点，DB为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，B（，1，0），P（0，0，3），C（0，3，0），D（0，0，0），=（），=（），=（0，3，﹣3），设平面PBC的法向量=（x，y，z），∴点D到平面PBC的距离d===．10．图，已知平面QBC与直线PA均垂直于Rt△ABC所在平面，且PA=AB=AC．（Ⅰ）求证：PA∥平面QBC；（Ⅱ）PQ⊥平面QBC，求二面角Q﹣PB﹣A的余弦值．解：（I）证明：过点Q作QD⊥BC于点D，∵平面QBC⊥平面ABC，∴QD⊥平面ABC，又∵PA⊥平面ABC，∴QD∥PA，又∵QD⊂平面QBC，PA⊄平面QBC，∴PA∥平面QBC．（Ⅱ）方法一：∵PQ⊥平面QBC，∴∠PQB=∠PQC=90°，又∵PB=PC，PQ=PQ，∴△PQB≌△PQC，∴BQ=CQ．∴点D是BC的中点，连接AD，则AD⊥BC，∴AD⊥平面QBC，∴PQ∥AD，AD⊥QD，∴四边形PADQ是矩形．设PA=2a，∴，PB=2a，∴．过Q作QR⊥PB于点R，∴QR==，==，取PB中点M，连接AM，取PA的中点N，连接RN，∵PR=，，∴MA∥RN．∵PA=AB，∴AM⊥PB，∴RN⊥PB．∴∠QRN为二面角Q﹣PB﹣A的平面角．连接QN，则QN===．又，∴cos∠QRN===．即二面角Q﹣PB﹣A的余弦值为．（Ⅱ）方法二：∵PQ⊥平面QBC，∴∠PQB=∠PQC=90°，又∵PB=PC，PQ=PQ，∴△PQB≌△PQC，∴BQ=CQ．∴点D是BC的中点，连AD，则AD⊥BC．∴AD⊥平面QBC，∴PQ∥AD，AD⊥QD，∴四边形PADQ是矩形．分别以AC、AB、AP为x、y、z轴建立空间直角坐标系O﹣xyz．不妨设PA=2，则Q（1，1，2），B（0，2，0），P（0，0，2），设平面QPB的法向量为．∵=（1，1，0），=（0，2，﹣2）．∴令x=1，则y=z=﹣1．又∵平面PAB的法向量为．设二面角Q﹣PB﹣A为θ，则|cosθ|===又∵二面角Q﹣PB﹣A是钝角∴．11．如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F．（Ⅰ）证明：EF∥B1C；（Ⅱ）求二面角E﹣A1D﹣B1的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：∵B1C=A1D且A1B1=CD，∴四边形A1B1CD为平行四边形，∴B1C∥A1D，又∵B1C⊄平面A1EFD，∴B1C∥平面A1EFD，又∵平面A1EFD∩平面B1CD1=EF，∴EF∥B1C；（Ⅱ）解：以A为坐标原点，以AB、AD、AA1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系A﹣xyz 如图，设边长为2，∵AD1⊥平面A1B1CD，∴=（0，2，2）为平面A1B1CD的一个法向量，设平面A1EFD的一个法向量为=（x，y，z），又∵=（0，2，﹣2），=（1，1，0），∴，，取y=1，得=（﹣1，1，1），∴cos＜，＞==，∴二面角E﹣A1D﹣B1的余弦值为．12．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1，边长为1，E为CC1上一点，且EC=（1）证明：B1D1∥平面BDE；（2）求二面角E﹣BD﹣C大小；（3）证明：平面ACC1A1⊥平面BDE．【解答】（1）证明：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1，DD1∥BB1且DD1=BB1则：四边形DD1B1B是平行四边形．BD∥B1D1B1D1⊄平面BDE，BD⊂平面BDE，所以：B1D1∥平面BDE．（2）连接AC和BD交于点O，连接OE，所以：AC⊥DB，又EC⊥平面ABCD，DB⊂平面ABCD 所以：BD⊥平面COE则：OE⊥BD则：∠EOC是二面角E﹣BD﹣C的平面角．由于正方体的边长为1，EC=，解得：则：tan∠EOC=1则：∠EOC=45°即二面角E﹣BD﹣C大小为45°．（3）在正方体中，A1A⊥平面ABCD，AC⊥BD，则：BD⊥平面A1ACC1BD⊂平面BDE所以：平面ACC1A1⊥平面BDE．13．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，∠ABC=45°．（1）求直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积；（2）若D是AC的中点，求异面直线BD与A1C所成的角．解：（1）∵AB=AC=2，∠ABC=45°，∴∠BAC=90°，∴．又AA1=2，∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=S△ABC×AA1=2×2=4．∴直三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积为4．（2）取AA1的中点M，连接DM，BM，∵D是AC的中点，∴DM∥A1C，∴∠BDM是异面直线BD与A1C所成的角．在△BDM中，，．即．∴异面直线BD与A1C所成的角为．14．（2014秋•XX期中）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，（1）证明：BC1⊥面A1B1CD；（2）求直线A1B和平面A1B1CD所成的角．解：（1）连接B1C交BC1于点O，连接A1O．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中因为A1B1⊥平面BCC1B1．所以A1B1⊥BC1．又∵BC1⊥B1C，又BC1∩B1C=O∴BC1⊥平面A1B1CD（2）因为BC1⊥平面A1B1CD，所以A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影，所以∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角．设正方体的棱长为a在RT△A1BO中，A1B=a，BO=a，所以BO=A1B，∠BA1O=30°，即直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°．15．如图，正方形ABED、直角梯形EFGD、直角梯形ADGC所在平面两两垂直，AC∥DG∥EF．且DA=DE=DG=2，AC=EF=1．（Ⅰ）求证：四点B、C、G、F共面；（Ⅱ）求二面角D﹣BC﹣F的大小．【解答】（Ⅰ）证明：取DG的中点M，连接AM，∵正方形ABED、直角梯形EFGD、直角梯形ADGC所在平面两两垂直，AC∥DG∥EF．且DA=DE=DG=2，AC=EF=1∴BF∥AM，AM∥CG，∴BF∥CG，∴四点B、C、G、F共面．（Ⅱ）以DE为x轴，以DG为y轴，以DA为z轴，建立空间直角坐标系，∵正方形ABED、直角梯形EFGD、直角梯形ADGC所在平面两两垂直，AC∥DG∥EF．且DA=DE=DG=2，AC=EF=1∴D（0，0，0），B（2，0，2），C（0，1，2）F（2，1，0），∴，，，，设平面DBC的法向量，则，，∴，解得=（1，2，﹣1），设平面FBC的法向量，则，，∴，解得=（1，2，1），设二面角D﹣BC﹣F的平面角为θ，则cosθ=|cos＜，＞|=||=．∴二面角D﹣BC﹣F的大小为arccos．16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=2，AC=AA1=2，∠ABC=．（1）证明：AB⊥A1C；（2）求二面角A﹣A1C﹣B的正弦值．解：（1）证明：在△ABC中，由正弦定理可求得∴AB⊥AC以A为原点，分别以AB、AC、AA1为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图则A（0，0，0）B（2，0，0）即AB⊥A1C．（2）由（1）知设二面角A﹣A1C﹣B的平面角为α，=∴17．如图，在四棱锥O﹣ABCD中，OA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，OA=2，M、N、Q分别为OA、BC、CD的中点．（Ⅰ）证明：DN⊥平面OAQ；（Ⅱ）求点B到平面DMN的距离．解：（Ⅰ）由题意，可知AO，AB，AD两两垂直，于是可如图建立空间直角坐标系，从而可得以下各点的坐标：A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），O（0，0，2），M（0，0，1），N（2，1，0），Q（1，2，0），∵．∴．即AQ⊥DN．又知OA⊥DN，∴DN⊥平面OAQ．（Ⅱ）设平面DMN的法向量为，由．得即，令x=1，得平面DMN的法向量，∴点B到平面DMN的距离．18．如图，在棱长AB=AD=2，AA1=3的长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是平面BCC1B1内动点，点F是CD的中点．（Ⅰ）试确定E的位置，使D1E⊥平面AB1F；（Ⅱ）求平面AB1F与平面ABB1A1所成的锐二面角的大小．解：（Ⅰ）以A为原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，A（0，0，0），F（1，2，0），B1（2，0，3），D1（0，2，3），设E（2，y，z），则，．（4分）由D1E⊥平面AB1F∴∴E（2，1，）为所求．…（6分）（Ⅱ）方法一：当D1E⊥平面AB1F时，=，又是平面A 1AB1的法向量，且．（8分）．∴面AB1F与平面ABB1A1所成的锐二面角的大小．（12分）方法二：取AB的中点G，可证：FG⊥平面ABB1A1，过点G作GH⊥AB1于H点，连接FH，则FH⊥AB1，所以∠GHF为所求二面角的平面角．…（9分）在△GHF中，FG=2，FH．∴面AB1F与平面ABB1A1所成的锐二面角的大小．（12分）19．如图，边长为1的正三角形SAB所在平面与直角梯形ABCD所在平面垂直，且AB∥CD，BC⊥AB，BC=1，CD=2，E、F分别是线段SD、CD的中点．（I）求证：平面AEF∥平面SBC；（Ⅱ）求二面角S﹣AC﹣F的大小．【解答】证明：（Ⅰ）∵fF别是CD的中点，∴FC=CD=1．又AB=1，所以FC=AB．∵FC∥AB，∴四边形ABCF四边形．∴AF∥BC∵E是SD的中点∴EF∥SC又∵AF∩EF=F，BC∩SC=C∴平面AEF∥平面SBC解：（II）取AB的中点O，连接SO，∵SO⊥△SAB，以O为原点，建立如图所示的空间坐标系O﹣xyz则有A（0，﹣，0），C（1，，0），S（0，0，），F（1，﹣，0），=（1，1，0），=（0，，），（7分）设平面SAC的法向量为=（x，y，z），由，即取x=1，，得=（1，﹣1，），平面FAC的法向量为=（0，0，1）．（10分）∴cos＜m，n＞==而二面角二面角S﹣AC﹣F的大小为钝角，∴二面角二面角S﹣AC﹣F的大小为π﹣arccos．20．如图，在三棱锥D﹣ABC中，△ADC，△ACB均为等腰直角三角形AD=CD=，∠ADC=∠ACB=90°，M为线段AB的中点，侧面ADC⊥底面ABC．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACD；（Ⅱ）求异面直线BD与CM所成角的余弦值；（Ⅲ）求二面角A﹣CD﹣M的余弦值．解：（Ⅰ）证明：因为AC⊥BC，平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC=AC，BC⊂平面ABC，所以BC⊥平面ACD．（Ⅱ）取AC的中点为O，连接DO，OM．建立空间直角坐标系O﹣xyz如图所示．则A（1，0，0），C（﹣1，0，0），D（0，0，1），B（﹣1，2，0），M（0，1，0）．，所以异面直线BD与CM所成角的余弦值为（Ⅲ）平面ACD的法向量为，设平面MCD的法向量为，，由，得，取x=﹣1，得y=z=1，所以所以，二面角A﹣CD﹣M的余弦值为21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=6，PD=3，E、F分别是PB、CB上靠近点B的一个三等分点．（Ⅰ）求证：AC⊥DE；（Ⅱ）求EF与平面PAB所成角的正弦值．【解答】证明：（Ⅰ）∵PD⊥面ABCD，AC⊂面ABCD∴PD⊥AC∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC又∵PD∩BD=D，PD，BD⊂面PBD∴AC⊥面PBD又∵DE⊂面PBD∴AC⊥DE（Ⅱ）以点O为坐标原点，OB、OC所在的直线为x轴、y轴，建立空间直角坐标系，则∵AC=6，BD=6，PD=3，E、F分别是PB、CB上靠近点B的一个三等分点．∴P（﹣3，0，3），A（0，﹣3，0），B（3，0，0），C（0，3，0），∴==（2，0，﹣），==（﹣1，，0），∴=+=（1，，﹣），设平面PAB的法向量=（x，y，z），由=（3，﹣3，﹣3），=（6，0，﹣3）得，，即令z=2，则=（，，2）则EF与平面PAB所成角θ满足sinθ===，即为EF与平面PAB所成角的正弦值…（8分）22．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是A1D1和A1B1的中点．（1）求异面直线AE和BF所成角的余弦值；（2）求平面BDD1与平面BFC1所成二面角的正弦值．解：以A为坐标原点，AB，AD，AA1分别为X，Y，Z轴正方向，建立空间坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则A（0，0，0），B（2，0，0），E（0，1，2），F（1，0，2），C1（2，2，2）（1）则=（0，1，2），=（﹣1，0，2）设异面直线AE和BF所成角为θ则cosθ==即异面直线AE和BF所成角的余弦值为（2）∵=（2，0，0）为平面BDD1的一个法向量，设向量为平面BFC 1的一个法向量则，即令z=1，则向量为平面BFC1的一个法向量∵cos==∴sin=∴平面BDD1与平面BFC1所成二面角的正弦值为23．已知正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1．AB=1，AA1=2，点E为CC1中点，点F为BD1中点．（1）证明EF为BD1与CC1的公垂线；（2）求点D1到面BDE的距离．解：（1）取BD中点M．连接MC，FM．∵F为BD1中点，∴FM∥D1D且FM=D1D．又EC CC1且EC⊥MC，∴四边形EFMC是矩形∴EF⊥CC1．又FM⊥面DBD1．∴EF⊥面DBD1．∵BD1⊂面DBD1．∴EF⊥BD1．故EF为BD1与CC1的公垂线．（Ⅱ）解：连接ED1，有V E﹣DBD1=V D1﹣DBE．由（Ⅰ）知EF⊥面DBD1，设点D1到面BDE的距离为d．则．∵AA 1=2，AB=1．∴，，∴．∴故点D1到平面DBE的距离为．24．如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AD=a，AB=2a，E为A1B1的中点在．（Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；（II）求二面角D﹣BE﹣C的余弦值．解：（Ⅰ）证明：∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BC⊥侧面ABB1A1，AE⊂侧面ABB1A1，∴AE⊥BC，在△ABE中，AB=2a，a，则有AB2=AE2+BE2，∴∠AEB=90°，∴AE⊥EB，又BC∩EB=B∴AE⊥平面BCE（6分）（II）以点D为坐标原点，建立如图所示的坐标系D﹣xyz．则D（0，0，0），B（2a，a，0），E（a，a，a，），A（0，a，0），=（a，a，a），设平面BDE的法向量为，则由=0，得，，令x=1，得，又由（I）AE⊥平面BCE，=（a，0，a）为平面BCE的法向量，cos＜即所求二面角D﹣BE﹣C的余弦值为..。
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空间向量的概念解析
例1、下列说法中正确的是（ ）
A.若｜a ｜=｜b ｜，则a,b 的长度相同，方向相同或相反
B.若向量a 是向量b 的相反向量，则｜a ｜=｜b ｜
C.空间向量的减法满足结合律
D.在四边形ABCD 中，一定有AB AD AC +=
练习
1、给出下列命题：①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点相同；③若空间向量a,b 满足｜a ｜=｜b ｜，则a=b ；④若空间向量m,n,p 满足m=n,n=p,则m=p ；⑤空间中任意两个单位向量必相等，其中正确命题的个数为（ ）
A.4
B.3
C.2
D.1
2、下列四个命题：
（1）方向相反的两个向量是相反向量
（2）若a,b 满足｜a ｜＞｜b ｜，且a,b 同向，则a ＞b
（3）不相等的两个空间向量的模必不相等
（4）对于任何向量a,b ，必有｜a+ b ｜≤｜a ｜+｜b ｜
其中正确命题的序号为（ ）
A.（1）（2）（3）
B.（4）
C.（3）（4）
D.（1）（4）
空间向量的线性运算
例1、 已知长方体ABCD-A ’B ’C ’D ’,化简下列向量表达式，并标出化简结果的向量
（1）AA CB '-（2）AB B C C D '''''++（3）
111222
AD AB A A '+- 练习
1、如图所示，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，下列各式中运算的结果为向量的共有（ ） ①1()AB BC CC ++②11111()AA A D DC ++ ③111()AB BB BC ++④11111()AA A B BC ++
A.1个
B.2个
C.3个
D.4 个
2、如图所示，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若
11111,,A B a A D b A A c ===，则下列向量中与1B M 相等的向量是（ ） A.1122a b c -++ B. 1122a b c ++ C. 1122a b c -+ D.1122
a b c --+
用已知向量表示未知向量
例1、已知ABCD 为正方形，P 是ABCD 所在平面外一点，P 在平面ABCD 上的射影恰好是正方形ABCD 的中心O ，Q 是CD 的中点，求下列各式中x,y 的值：
（1）OQ PQ xPC yPA =++
（2）PA xPO yPQ PD =++
练习：
1、本例中若PQ xBA yBC zBP =++，则x,y,z 为何值？
2、如图所示，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中, 1,,AB a AD b AA c
===M 是C 1D 1的中点，点N 是CA 1上的点，且CN:NA 1=4：1，用a, b, c 表示以下向量：
（1）AM （2）AN
共线向量定理
例1、 如图所示，已知四边形ABCD,ABEF 都是平行四边形且不共面，M,N 分别是AC,BF 的
中点，判断CE 与MN 是否共线
练习： 1、已知空间向量a,b ，且2,56,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=-，则一定共线的三点是（ ）
A. A,B,D
B.A,B,C
C.B,C,D
D.A,C,D
2、已知四边形ABCD 是空间四边形，E,H 分别是边AB,AD 的中点，F,G 分别是边CB,CD 上的点，且22,33
CF CB CG CD ==求证：四边形EFGH 是梯形
共面向量定理
例1、 对于任意空间四边形ABCD ，E,F 分别是AB,CD 的中点，试证：EF 与,BC AD 共面 _
练习： 1、 在下列条件下，使M 与A,B,C 一定共面的是（ ）
A. 32OM OA OB OC =--
B. 0OM OA OB OC +++=
C. 0MA MB MC ++=
D. 1142
OM OB OA OC =-+ 2、已知A,B,C 三点不共线，平面ABC 外一点M 满足111333OM OA OB OC =
++ （1）判断,,MA MB MC 三个向量是否共面
（2）判断M 是否在平面ABC 内
基底的判断
例1、若｛a, b, c ｝是空间的一个基底，试判断｛a+b,b+c,c+a ｝能否作为该空间的一个基底
练习：
1、设x=a+b,y=b+c,z=c+a,且｛a, b, c ｝是空间的一个基底，给出下列向量组：
①｛a, b, x ｝, ②｛x, y, z ｝, ③｛b, c, z ｝, ④｛x, y, a+b+c ｝
其中可以作为空间的基底的向量组有______个
2、已知｛e 1, e 2, e 3｝是空间的一个基底，且1231232,32OA e e e OB e e e =+-=-++123,OC e e e =+-，试判断{}
,,OA OB OC 能否作为空间的一个基底?
空间向量分解定理及应用
例1、空间四边形OABC 中，G,H 分别是△ABC ，△OBC 的重心，设,,OA a OB b OC c ===，试用向量a,b,c 表示向量OG GH 和
练习
1、本例题中条件不变，若E 为OA 的中点，试用a,b,c 表示DE EG 和
2、四棱锥P-OABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC,设,,OA a OC b OP c ===，E,F 分别是PC 和PB 的中点，试用a,b,c 表示：,,,BF BE AE EF
数量积的运算
例1、如图所示，已知正四面体OABC 的棱长为1，点E,F 分别是OA,OC 的中点，求下列向量的数量积：
（1）OA OB • （2）EF CB • （3）()()OA OB CA CB +•+
练习
1、如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a,点E,F,G 分别是AB 、AD 、DC 的中点，
则下列向量的数量积等于a 2的是（ ）
.2.2.2.2A BA AC
B AD BD
C FG CA
D EF CB
••••
2、已知长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=AA 1=2，AD=4，E 为侧面AA 1B 1B 的中心，F 为A 1D 1的中心，求下列向量的数量积11(1);(2)BC ED BF AB ••
用数量积求夹角
例1、如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠ABC=90°，AB=BC=1，AA 1
,求异面直角BA 1与AC 所成角的余弦值
练习：
1、已知a,b 是异面直线，A ∈a,B ∈a,C ∈b,D ∈b,AC ⊥b,BD ⊥b,且AB=2，CD=1，则a 与b 所成的角是（ ）
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
2、已知空间四边形OABC 各边及对角线长相等，E 、F 分别为AB 、OC 的中点，求OE BF 与所成角的余弦值
利用数量积求两点间距离
例1、如图所示，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,从同一顶点出发的三条棱的长都等于1，且
彼此的夹角都是60°，求对角线AC1和BD1的长
练习：
1、如图，已知PA⊥平面ABC,∠ABC=120°，PA=AB=BC=6，则PC等于（）
A.
2、在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，∠ACD=90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD
成60°角，求B,D间的距离
利用数量积证明垂直问题
例1、已知空间四边形ABCD中，AB⊥CD,AC⊥BD,求证：AD⊥BC
练习：1、已知向量a,b是平面α内两个不相等的非零向量，非零向量c在直线l 上，则==
且是l⊥α的（）
c a c b
0,0
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2、已知空间四边形OABC中，∠AOB=∠BOC=∠AOC，且OA=OB=OC,M,N分别是OA、BC的中点，G是M、N的中点，求证：OG⊥BC。