6第六章 近独立粒子的最概然分布

第六章 近独立粒子的最概然分布 青岛科大数理学院
考虑质点和原点的距离保持不变，r = 0 ，于是 1 ε = m(r 2θ 2 + r 2 sin 2 θφ 2 ) 2 转子是这样一个物体，它在任何时刻的位置可以由其主轴 的空间方位角θ，φ确定。 自由度：r =2， μ空间维数：4, 广义坐标： q1 = θ (0 ~ π ) q2 = φ (0 ~ 2π )
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§6.1 粒子运动状态的经典描述
粒子是指组成物质系统的基本单元。粒子的运动状态是指 它的力学运动状态。 如果粒子遵从经典力学的运动规律，对粒子运动状态的描 述称为经典描述。 如果粒子遵从量子力学的运动规律，对粒子运动状态的描 述称为量子描述。 设粒子的自由度为r，粒子在任一时刻的力学运动状态由粒子的 qr r个广义坐标 q1 , q2 , ,和相应的 r个广义动量 p1 , p2 , , pr在 该时刻的数值确定，粒子能量ε是其广义坐标和广义动量的函 数，即
自由粒子可能的量子态数 V 2 dn( p,θ , φ ) = 3 p sin θ dpdθ dφ h V = L3 , ( p ∼ p + dp ), 范围内自由粒子可能的量子态数
V π 2π 2 4π V dn( p ) = 3 ∫ ∫ p sin θ dpdθ dφ = 3 p 2 dp h 0 0 h V = L3 , (ε ∼ ε + d ε ), 范围内自由粒子可能的量子态数由
ε = p 2 2m , p 2 = 2mε
p = 2mε , dp = m 2ε d ε
2π V 得到 D (ε )d ε = 3 (2m)3 2 ε 1 2 d ε h D(ε )表示单位能量间隔内粒子可能的量子态数，称为态密度。如 果粒子的自旋不为零，以上量子态数公式需乘以2。
z
θ
x
O φ
r
A
y
z = r cos θ x = r sin θ cos φ + r sin θ sin φθ − r sin θ sin φφ
y = r sin θ sin φ + r cos θ sin φθ + r sin θ cos φφ
z = r cos θ − r sin θθ 1 ε = m(r 2 + r 2θ 2 + r 2 sin 2 θφ 2 ) 2
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V = L3 , ( px ∼ px + dpx ), ( p y ∼ p y + dp y ), ( pz ∼ pz + dpz ) 范围内
自由粒子可能的量子态数 L 3 V dnx dn y dnz = ( ) dpx dp y dpz = 3 dpx dp y dpz 2π h 对应于μ空间体积 Vdpx dp y dpz 中的量子态数，三维自由粒子 每个状态在μ空间占据h3相体积. 在动量空间用球坐标p,θ,φ描述粒子的动量和体元为
ε = ε (q1 , q2 , , qr , p1 , p2 , , pr )
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更一般表述为
ε = ε (qi , pi )
(i = 1, 2
, r)
在分析力学中，一般把以广义坐标和广义动量为自变量的 能量函数写成H（哈密顿）函数，即
ε = H (qi , pi )
2 广义动量： p1 = pθ = mr θ 1 1 动能： ε = ( pθ2 + 2 pφ2 ) 2I sin θ
p2 = pφ = mr 2 sin 2 θφ
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双原子分子的力学模型： 将双原子分子看作一根细棒的两端联结着质量为m1和m2的 两个质点绕其质心的转动。然后将两体问题转化为单体问题， m 即将公式中的m换成约化质量 μ m1m2 μ= ⇒ m1 + m2
2
l = 0,1, 2, ⋅⋅⋅
基态非简并，激发态简并，简并度为 2l + 1. （四）自由粒子 一维自由粒子 考虑处于长度为L的一维容器中自由粒子的运动状态。
L = nx λ
nx = 0,1, 2,ຫໍສະໝຸດ Baidu⋅⋅⋅
（周期性边界条件）
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2π kx = nx k = 2π λ L 由德布罗意关系 p= k
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相迹：以一维自由粒子为例，以x,px为直角坐标，构成二维的μ空 间，设一维容器的长度为L 。粒子的一个运动状态(x,px)可以用μ 空间在一定范围内的一点代表。
px px
O
p
x
x
L
（二）一维线性谐振子 质量为m的粒子在弹性力f = -Ax作用下，将在原点附近作圆频 率为 ω = A m 的简谐振动，称为线性谐振子。 自由度：r = 1, μ空间维数：2, 广义坐标：q = x 广义动量： p = px = mx
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M2 ε= = 2I 2I
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pφ2
r
p
§6.2 粒子运动状态的量子描述
微观粒子普遍具有波粒二象性。 其中
ε = ω p = k 德布罗意关系 = h 2π = 1.055 ×10−34 J ⋅ s ( h 和 都称为普朗克常数)
普朗克常数被称为基本的作用量子。这个作用量子成为判别采用 经典描述或量子描述的判据。当一个物质系统的任何具有作用量 纲（角动量）的物理量具有与普朗克常数相比拟的数值时，这个 物质系统就是量子系统。反之，如果物质系统的每一个具有作用 量纲的物理量用普朗克常数来量度都非常大时，这个系统就可以 用经典力学来研究。 ΔqΔp ≈ h 测不准关系 它揭示：量子在客观上不能同时具有确定的坐标位置及相应的动 量，因此这生动地说明微观粒子的运动不是轨道运动，微观粒子 的运动状态不是用坐标和动量来描述的，而是用波函数或量子数 来描述的。
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能量
1 2π 2 2 2 2 ε= ( px + p y + pz ) = m 2m
2
2 2 nx + ny + nz2
L2
（1）在微观体积下，粒子的动量值和能量值的分离性很显著， 2 2 2 n + n + n 粒子运动状态由三个量子数表征。能量值决定于 x y z ， 2 2 2 如对于nx + n y + nz = 1 的能级有六个量子态与之对应，(0,0,1), (0,0,-1), (0,1,0), (0,-1,0), (1,0,0), (-1,0,0).所以该能级为六度简并， 而基态为非简并。 （2）在宏观体积下 (V = L3 ) ，粒子的动量值和能量值是准连 续的，自由粒子可能的量子态数 。 L dnx = dpx ( px ∼ px + dpx ) 2π L dn y = dp y ( p y ∼ p y + dp y ) 2π L dnz = dpz ( pz ∼ pz + dpz ) 2π
(i = 1, 2
, r)
粒子的运动满足正则运动方程 ∂H ∂H qi = pi = − ∂pi ∂qi
(i = 1, 2
, r)
当某一初始时刻t0给定了qi 0 , pi 0之后，由正则运动方程可确定在 任何相继时刻t, qi , pi 的数值，因而这个力学系统的运动状态就 完全确定了。所以一组数值 qi , pi 完全确定了这个系统的一个 运动状态，这就是微观运动状态。
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1 其中 ms = ± 为自旋量子数，这时自旋磁矩m和势能不 2 连续为
e e μ z = ms = ± 2m m e B e E= ms = ± B 2m m
能级为非简并。 （二）线性谐振子 ε n = ω (n + 1 2) 圆频率为ω的线性谐振子的能量可能值为， n=0，1，2，所有能级等间距均为 ω 。能级为非简并。 （三）转子 转子的能量 量子理论要求 M2 ε= 2I
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在量子力学中，微观粒子的运动状态称为量子态。量子态由 一组量子数来表征。这组量子数的数目等于粒子的自由度数。 在量子力学中，微观粒子的能量是不连续的，不连续的能 量用能级表示。如果一个能级的量子态不止一个，该能级就称 为简并的。一个能级的量子态数称为该能级的简并度。如果一 个能级只有一个量子态，该能级称为非简并的。 （一）自旋 一质量为m, 电荷为-e，自旋角动量量子数为1/2，自旋磁 矩m和粒子的自旋角动量S之比为 μ e =− S m 沿z方向加外磁场B，角动量S在方向z有两个独立分量为 S z = ms
nx = 0, ±1, ±2, ⋅⋅⋅ （两个传播方向） 2π px = nx nx = 0, ±1, ±2, ⋅⋅⋅ L 2 px 2π 2 2 2 nx = 0, ±1, ±2, ⋅⋅⋅ 能量 ε nx = = nx 2 2m mL 能量值决定于 nx 。基态非简并，激发态为二度简并。 三维自由粒子 粒子限制在一个边长为L的方盒子中运动 2π px = nx L 2π py = ny L 2π pz = nz L nx = 0, ±1, ±2, ⋅⋅⋅ n y = 0, ±1, ±2, ⋅⋅⋅ nz = 0, ±1, ±2, ⋅⋅⋅
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使用粒子的坐标和动量的描述方法叫做微观描述法，也可以借 q1 , q2 , , qr , 助几何表示法讨论力学体系运动状态，用 p1 , p2 , , pr 为直角坐标构成一个2r维空间，这个空间称为μ空 间。 μ空间任何一点代表力学体系一个运动状态，这个点称为 代表点。当粒子运动状态随时间改变时，代表点相应地在μ空 间中移动，描画出一条轨迹称为相迹。 （一）自由粒子 自由粒子是不受力的作用而作自由运动的粒子。 q1 = x, q2 = y, q3 = z 自由度：r =3, μ空间维数：6, 广义坐标： 广义动量： p1 = px = mx, p2 = p y = my, p3 = pz = mz 动能： 1 2 2 ( px ε= + py + pz2 ) 2m
a = 2mε 和 b = 2ε mω ,
2
p
ε1
o
x
ε2
面积为 S = 2πε ω 。
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（三）转子 考虑质量为m的质点A被具有一定长度的轻杆系于原点O 时所作的运动。 质点在直角坐标下的能量： 1 ε = m( x 2 + y 2 + z 2 ) 2 用球坐标表示： x = r sin θ cos φ y = r sin θ sin φ
px = p sin θ cos φ p y = p sin θ sin φ pz = p cos θ
pz
θ
O
p
A
d μ = p sin θ dpdθ dφ
2
px
φ
py
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V = L3 , ( p ∼ p + dp ),
(θ ∼ θ + dθ ),
(ϕ ∼ ϕ + dϕ ) 范围内
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能量：
p2 1 p2 A 2 + mω 2 x 2 ε= + x = 2m 2 2m 2
相迹：以x和p为直角坐标，可构成二维的μ空间，振子在任一 时刻运动状态由μ空间中的一点表示。如果给定振子的能量， 对应点的轨迹就由如下的椭圆方程决定： p2 x2 + =1 2 2mε 2ε mω 椭圆的长轴和短轴分别为
2
m1
质心
根据经典力学，在没有外力作用的情形下，转子的总角动量 M = r × p 是一个守恒量，其大小和时间都不随时间改变。由于r 垂直于M，质点的运动是在垂直于 M 的平面内运动。如果选择z 轴平行于 M ，质点的运动必在xy平面上，这时 θ = π 2, pθ = 0 ， 能量简化为
M
1 2 1 ε = ( pθ + 2 pφ2 ) 2I sin θ
M 2 = l (l + 1)
2
l = 0,1, 2,
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对于一定的l，角动量在z方向的投影Mz只能取分离值： Mz = m
m = −l , −l + 1, ⋅⋅⋅,0, ⋅⋅⋅l − 1, l
共 2l + 1 个可能的值。在量子理论中自由度为二的转子的运 动状态由两个量子数l和m表征。转子的能量 l (l + 1) εl = 2I