近独立粒子的最概然分布习题选解
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［5］近独立粒子的最概然分布习题选解
习题5.1 （教材,Ｐ.228,6.1题）
试根据式（6.2.1）证明,在体积V 试根据式（6.2.1）证明,在体积V内,在ε到 ε+dε的能量范围内,三维自由粒子的量子态数为 +dε的能量范围内,
2π V D (ε ) d ε = (2 m )3 / 2 ε 1/ 2dε h3
证明：在体积V内,动量大小在p到p+dp，动量方向在θ 证明：在体积V 动量大小在p p+dp，动量方向在θ 到θ+dθ，ϕ到ϕ+dϕ的范围内，自由粒子可能的状态数为 +dθ +dϕ的范围内，
π 2π V 2 4πV 2 D ( p ) dp = 3 p dp ∫0 sin θ ∫0 dϕ = 3 p dp h h
2 L m 1/ 2 D (ε ) d ε = ( ) dε h 2ε
习题5.3 （教材,Ｐ.228,6.4题）
在极端相对论情形下, 在极端相对论情形下,粒子的能量动量关系 为ε=cp，c为光速。试求在体积V内,在ε到ε+dε的 =cp， 为光速。试求在体积V 在体积 +dε 能量范围内三维自由粒子的量子态数。 能量范围内三维自由粒子的量子态数。
al =
ω
e
α + βε
l
l
− 1
时，玻耳兹曼统计,费 玻耳兹曼统计,
（2）由（1）可知，当 可知，
e − α 〉〉 1
米统计和玻色统计之间的差别消失。 米统计和玻色统计之间的差别消失。
习题5.5
设某种粒子可能的能量值为ε =0， 设某种粒子可能的能量值为ε1=0，ε2=ε0， ε3=2ε0 ， =2ε ε4=3ε0 ，…， ε1=能级的简并度为2，其余各能级均为 =3ε 能级的简并度为2 3。设由4个这样的粒子构成一近独立粒子系统，系统 设由4个这样的粒子构成一近独立粒子系统， 的总能量E=2 。（1 假设粒子是经典粒子， 的总能量E=2ε0。（1）假设粒子是经典粒子，粒子按 E=2ε 能级分布有哪几种，各含多少微观态？（2）假设粒子 ？（2 能级分布有哪几种，各含多少微观态？（ 是玻色子，粒子按能级分布有哪几种，又各含多少微 是玻色子，粒子按能级分布有哪几种， 观态？ 观态？
解：（1）在经典粒子情形中，粒子按能级分布有 ：（1 在经典粒子情形中， 两种。每种包含的微观态数如下： 两种。每种包含的微观态数如下：
Ω = N ! ⋅ ∏ a l!
l
∏
ω
a l
l
4! Ω1 = ⋅ 2 2 ⋅ 3 2 = 216 2!2!
Ω2
4! = ⋅ 2 3 ⋅ 3 1 = 96 3!1!
4π V 2 D (ε ) d ε = ε dε 3 ( ch )
习题5.4
解释玻耳兹曼统计,费米统计和玻色统计, 解释玻耳兹曼统计,费米统计和玻色统计,并回答 在什么情况下, 在什么情况下,上述三种类型的统计之间的差别变得不 重要? 重要?
解:(1)玻耳兹曼统计:对定域系，粒子是可分辨 :(1)玻耳兹曼统计 对定域系， 玻耳兹曼统计: 的，每一个单粒子量子态上所容纳的粒子数不受限制。 每一个单粒子量子态上所容纳的粒子数不受限制。 能级ε 能级εl上的平均粒子数为
解：在体积V内,动量在p到p+dp的范围内，自由粒子 在体积V 动量在p p+dp的范围内， 的范围内 可能的状态数为
4π V D ( p ) dp = p 2 dp h3
将p=ε/c代入上式可得，在体积V内,在ε到ε+dε的能量范围 p=ε/c代入上式可得，在体积V 代入上式可得 +dε 内,三维自由粒子的量子态数为
al = ω le
其中ω 为能级ε 的简并度。 其中ωl为能级εl的简并度。
− α − βε
lห้องสมุดไป่ตู้
（2）费米统计：对于费米子组成的体系，粒子不可分 费米统计：对于费米子组成的体系， 辨，满足泡利不相容原理，能级εl上的平均粒子数为 满足泡利不相容原理，能级ε
al =
ω
e
α + βε
l
l
+ 1
玻色统计：对于玻色子组成的体系，粒子不可分辨， 玻色统计：对于玻色子组成的体系，粒子不可分辨， 每一个单粒子量子态上所容纳的粒子数不受限制， 每一个单粒子量子态上所容纳的粒子数不受限制，能 级ει上的平均粒子数为
/2m代入上式可得 在体积V 代入上式可得， +dε 将ε=p2/2m代入上式可得，在体积V内,在ε到ε+dε的能量范 围内, 围内,三维自由粒子的量子态数为
2π V D (ε ) d ε = (2 m )3 / 2 ε 1/ 2dε h3
习题5.2 （教材,Ｐ.228,6.2题）
试证明,对于一维自由粒子，在长度L 试证明,对于一维自由粒子，在长度L内,在ε 到ε+dε的能量范围内,量子态数为 +dε的能量范围内,
2L m 1/2 D (ε ) d ε = ( ) dε h 2ε
证明：在长度L内,动量大小在p到p+dp的范围内， 动量大小在p p+dp的范围内， 证明：在长度L 的范围内 自由粒子可能的状态数为
2L D( p )dp = dp h
/2m代入上式可得 代入上式可得， 将ε=p2/2m代入上式可得，一维自由粒子的量子态数为
（2）在玻色粒子情形中，粒子按能级分布有两种。每 在玻色粒子情形中，粒子按能级分布有两种。 种包含的微观态数如下： 种包含的微观态数如下：
Ω B−E =
∏
l
(ω l − 1 + a l )! a l ! (ω l − 1)!
Ω
'
B−E
3! 4! = ⋅ = 18 2!1! 2!2!
Ω
"
B−E
4 ! 3! = ⋅ = 12 3!1! 1!2 !
习题5.1 （教材,Ｐ.228,6.1题）
试根据式（6.2.1）证明,在体积V 试根据式（6.2.1）证明,在体积V内,在ε到 ε+dε的能量范围内,三维自由粒子的量子态数为 +dε的能量范围内,
2π V D (ε ) d ε = (2 m )3 / 2 ε 1/ 2dε h3
证明：在体积V内,动量大小在p到p+dp，动量方向在θ 证明：在体积V 动量大小在p p+dp，动量方向在θ 到θ+dθ，ϕ到ϕ+dϕ的范围内，自由粒子可能的状态数为 +dθ +dϕ的范围内，
π 2π V 2 4πV 2 D ( p ) dp = 3 p dp ∫0 sin θ ∫0 dϕ = 3 p dp h h
2 L m 1/ 2 D (ε ) d ε = ( ) dε h 2ε
习题5.3 （教材,Ｐ.228,6.4题）
在极端相对论情形下, 在极端相对论情形下,粒子的能量动量关系 为ε=cp，c为光速。试求在体积V内,在ε到ε+dε的 =cp， 为光速。试求在体积V 在体积 +dε 能量范围内三维自由粒子的量子态数。 能量范围内三维自由粒子的量子态数。
al =
ω
e
α + βε
l
l
− 1
时，玻耳兹曼统计,费 玻耳兹曼统计,
（2）由（1）可知，当 可知，
e − α 〉〉 1
米统计和玻色统计之间的差别消失。 米统计和玻色统计之间的差别消失。
习题5.5
设某种粒子可能的能量值为ε =0， 设某种粒子可能的能量值为ε1=0，ε2=ε0， ε3=2ε0 ， =2ε ε4=3ε0 ，…， ε1=能级的简并度为2，其余各能级均为 =3ε 能级的简并度为2 3。设由4个这样的粒子构成一近独立粒子系统，系统 设由4个这样的粒子构成一近独立粒子系统， 的总能量E=2 。（1 假设粒子是经典粒子， 的总能量E=2ε0。（1）假设粒子是经典粒子，粒子按 E=2ε 能级分布有哪几种，各含多少微观态？（2）假设粒子 ？（2 能级分布有哪几种，各含多少微观态？（ 是玻色子，粒子按能级分布有哪几种，又各含多少微 是玻色子，粒子按能级分布有哪几种， 观态？ 观态？
解：（1）在经典粒子情形中，粒子按能级分布有 ：（1 在经典粒子情形中， 两种。每种包含的微观态数如下： 两种。每种包含的微观态数如下：
Ω = N ! ⋅ ∏ a l!
l
∏
ω
a l
l
4! Ω1 = ⋅ 2 2 ⋅ 3 2 = 216 2!2!
Ω2
4! = ⋅ 2 3 ⋅ 3 1 = 96 3!1!
4π V 2 D (ε ) d ε = ε dε 3 ( ch )
习题5.4
解释玻耳兹曼统计,费米统计和玻色统计, 解释玻耳兹曼统计,费米统计和玻色统计,并回答 在什么情况下, 在什么情况下,上述三种类型的统计之间的差别变得不 重要? 重要?
解:(1)玻耳兹曼统计:对定域系，粒子是可分辨 :(1)玻耳兹曼统计 对定域系， 玻耳兹曼统计: 的，每一个单粒子量子态上所容纳的粒子数不受限制。 每一个单粒子量子态上所容纳的粒子数不受限制。 能级ε 能级εl上的平均粒子数为
解：在体积V内,动量在p到p+dp的范围内，自由粒子 在体积V 动量在p p+dp的范围内， 的范围内 可能的状态数为
4π V D ( p ) dp = p 2 dp h3
将p=ε/c代入上式可得，在体积V内,在ε到ε+dε的能量范围 p=ε/c代入上式可得，在体积V 代入上式可得 +dε 内,三维自由粒子的量子态数为
al = ω le
其中ω 为能级ε 的简并度。 其中ωl为能级εl的简并度。
− α − βε
lห้องสมุดไป่ตู้
（2）费米统计：对于费米子组成的体系，粒子不可分 费米统计：对于费米子组成的体系， 辨，满足泡利不相容原理，能级εl上的平均粒子数为 满足泡利不相容原理，能级ε
al =
ω
e
α + βε
l
l
+ 1
玻色统计：对于玻色子组成的体系，粒子不可分辨， 玻色统计：对于玻色子组成的体系，粒子不可分辨， 每一个单粒子量子态上所容纳的粒子数不受限制， 每一个单粒子量子态上所容纳的粒子数不受限制，能 级ει上的平均粒子数为
/2m代入上式可得 在体积V 代入上式可得， +dε 将ε=p2/2m代入上式可得，在体积V内,在ε到ε+dε的能量范 围内, 围内,三维自由粒子的量子态数为
2π V D (ε ) d ε = (2 m )3 / 2 ε 1/ 2dε h3
习题5.2 （教材,Ｐ.228,6.2题）
试证明,对于一维自由粒子，在长度L 试证明,对于一维自由粒子，在长度L内,在ε 到ε+dε的能量范围内,量子态数为 +dε的能量范围内,
2L m 1/2 D (ε ) d ε = ( ) dε h 2ε
证明：在长度L内,动量大小在p到p+dp的范围内， 动量大小在p p+dp的范围内， 证明：在长度L 的范围内 自由粒子可能的状态数为
2L D( p )dp = dp h
/2m代入上式可得 代入上式可得， 将ε=p2/2m代入上式可得，一维自由粒子的量子态数为
（2）在玻色粒子情形中，粒子按能级分布有两种。每 在玻色粒子情形中，粒子按能级分布有两种。 种包含的微观态数如下： 种包含的微观态数如下：
Ω B−E =
∏
l
(ω l − 1 + a l )! a l ! (ω l − 1)!
Ω
'
B−E
3! 4! = ⋅ = 18 2!1! 2!2!
Ω
"
B−E
4 ! 3! = ⋅ = 12 3!1! 1!2 !