第六章近独立粒子的最概然分布
第六章近独立粒子的最概然分布
第六章近独立粒子的最概然分布6.1试根据式33d d d d d d d d d 2x y z x y z x y z L V n n n p p p p p p h π⎛⎫== ⎪⎝⎭h ，证明：在体积V 内，在ε到d ε+ε的能量范围内，三维自由粒子的量子态数为()()132232d 2d VD m hπεεεε=。
解：用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量：sin cos ;sin sin ;cos x y z p p p p p p θϕθϕθ===对动量积分，得在p 到d p p +范围内量子态数为：2233d sin d d 4d Vp Vp V p p h hθθϕΩ==⎰⎰⎰π 自由粒子的能量动量关系为：22p mε=，因此2,d p m p p md εε==得体积V 内，在ε到d εε+的能量范围内，粒子的量子态数为：()132232()d 2d VD m hεεεε=π6.2证明，一维自由粒子，在长度L 内，在ε到d εε+的能量范围内，量子态数为()2d d 2L mD h εεεε=解：一维自由粒子在μ空间体积元d d x x p 内可能的量子态数为：d d d xx x p n h=在长度L 内，动量大小在p 到d p p +范围内的量子态数为2d x L n p h=将能量动量关系：22p mε=，代入，即得()122d d 2L m D h εεεε⎛⎫= ⎪⎝⎭6.3证明二维自由粒子，在面积2L 内，在ε到d εε+的能量范围内，量子态数为()222L D d md hεεε=π。
解：二维自由粒子在μ空间体积元d d d d x y x y p p 内的量子态数为：3d d d d d d x yx y x y p p n n h=动量空间的极坐标,p θ描述粒子的动量，,p θ与,x y p p 的关系为cos ,sin x y p p p p θθ== 用极坐标描述时，二维动量空间的体积元为d d d V p p θ=在面积2L 内，在p 到d p p +，θ到d θθ+范围内，自由粒子可能的状态数为-22d d h L p p θ 对d θ积分，可得面积2L 内，p 到d p p +范围内，二维自由粒子可能的状态数为：2-22d L h p p π 将能量动量关系：()-122m p ε=，代入，即有()2-2d 2d D L h m εεε=π6.4在极端相对论情形下 cp ε=，试求在体积V 内，在ε到的能量范围内三维粒子的量子态数.解:在体积V 内，动量大小在p 到d p p +范围内三维自由粒子可能的状态数为234d V p p h π 将cp ε=带入，得V 内在能量ε到d εε+内，量子态数为：()()-32d 4d D V ch εεεε=π6.5系统有两种粒子，其粒子数分别为N 和N '。
热力学与统计物理学第六章(应用)_近独立粒子的最概然分布
al ln N E ln l al 0 l l al ln l 0 l 1,2,
l
al l e
l
或者
al
e
l
l
玻耳兹曼系统的最概然分布：麦克斯韦-玻耳兹曼分布（M.B) 拉氏乘子由下式确定：
不是独立变量
al 0
需满足条件：
N al 0
l
E l al 0
l
引入拉格朗日乘子 和
，建立辅助函数：
W (a1 , a2 , , al , ) ln N E
其全微分：
al ln N E ln l al 0 l l 26
l l
N ln N al ln al al ln l
当 al 有 al 的变化时，应有 ln 0
l l
ln ln al 1al ln lal
l l
25
的结论，因为
al ln ln l l
l
l
1
（经典极限条件或 所有的l 非简并性条件）
la
F . D.
l ! l l 1 l al 1 al ! ! l l a l ! l a l
l
M . B. al ! N!
l
l a
M . B. al ! N!
确定第 i 个粒子的力 学运动状态。
确定系统的微观运动状态需要
2 Nr
个变量。
qi1 ,, qir ; pi1 ,, pir i 1,2,, N
第六章近独立粒子的最概然分布
近独立粒子的最概然分布热力学和统计物理的关系：热力学是热运动的宏观理论，以实验总结的定律触发，经过严密的逻辑推理得到物体宏观热性质间的联系，宏观过程进行的方向和限度，从而结实热现象的有关规律。
而统计物理是热运动的微观理论，基本观点是认为宏观物质系统由大量微观粒子组成，宏观性质是大量微观粒子的集体表现，宏观热力学量则是相应微观力学量的统计平均值。
热力学验证统计物理，而统计物理揭示了热力学的本质。
μ空间：设粒子的自由度为r 。
经典力学中，粒子在任意时刻的力学运动状态由粒子的r 个广义坐标12r q ,q ,q 和与之共轭的r 个广义动量12r p ,p ,p 在该时刻的数值确定。
粒子的能量ε是其广义坐标和广义动量的函数：1r 1r (q ,q ;p ,p )ε=ε用1r 1r q ,q ;p ,p 共2r 个变量为直角坐标构成一个2r 维空间，称为μ空间。
粒子运动状态的经典描述和量子描述：① 一维谐振子在经典力学中，任一时刻，粒子的位置由它的位移x 确定，与之共轭的动量为p mx ∙=，它的能量是其动量和势能之和：222p 1m x 2m 2ε=+ω 在量子力学中，圆频率为ω的线性谐振子，能量的可能值为：n 1(n )2ε=ω+ ② 转子在经典力学中，用球极坐标(r,,)θϕ描述质点的位置： x rsin cos ,y rsin sin ,z rcos =θϕ=θϕ=ϕ.与坐标共轭的动量为222p mr ,p mr sin ∙∙θϕ=θ=θϕ质点的能量可以表示为22211(p p )2I sin θϕε=+θ在量子力学中，转子的能量是：2M 2Iε= 其中，2M 只能取分立值22M l(l 1),l 0,1,2,=+=③ 自由粒子在经典力学中，在三维空间中运动，在任意时刻的位置可由坐标(x,y,z)确定，与之共轭的动量为：x y z p mx,p my,p mz ∙∙∙=== 自由粒子的能量就是它的动能：222x y z 1(p p p )2mε=++. 在量子力学中，设粒子处在边长为的立方容器内，粒子三个动量分量的可能值为x x x 2p n ,n 0,1,2,L π==±± y y y 2p n ,n 0,1,2,L π==±± z z z 2p n ,n 0,1,2,Lπ==±± x y z n ,n ,n 就是表征三维自由粒子运动状态的量子数，三维自由粒子能量的可能取值为22222x y z 222x y z 2n n n 12(p p p )2m m L++πε=++=态密度：在体积V 内，动量大小在p 到p+dp 的范围内，自由粒子可能状态数为234V p dp h π，根据公式，算出，在体积V 内，在到的能量范围内，自由粒子可能的状态数为312232V D()d (2m)d hπεε=εε D()ε表示单位能量间隔内的可能状态数，称为态密度。
chapter6近独立粒子分布与微观状态3
单粒子状态的量子描述
3
分布和微观状态
例1 一维无限深势阱（宽L，粒子质量m）
4
8例4 转子
2
2
(1),0,1,2,... 212l l l l l g l I ε+===+=l 为角量子数
9
微观状态数
10
Boltzmann系统
粒子可以分辨，量子态容纳的粒子数不受限制Bose 系统
粒子不可以分辨，量子态容纳的粒子数不受限制，自旋量子数为整数，
Fermi系统
粒子不可以分辨，量子态容纳的粒子数最多为
1，自旋量子数为半整数
11
16
Bose system （确定量子态上粒子数）
Bose
1984.1.1-1974.2.4{}..(1)!!(1)!i i B E i i i i n g W n n g +−=−∏
17
Fermi system （确定量子态上粒子数）Pauli 不相容原理
Bose (1984-1974)
i i
g n ≥相当于从g i 个量子态中挑出n i 个来
为粒子所占据
!!()!i i
n i i g i i i g W C n g n ==−{}.!!()!i F D i i i i i g W n n g n =−∏
27
Bose分布（确定量子态上粒子数）
33
34
利用Lagrange待定乘子法
α，β由约束条件定，物理意义？
35
Fermi 分布
类似Bose分布
37
半经典分布
条件：
48。
第六章_近独立粒子的最概然分布
2017年3月24日星期五
第六章 近独立粒子的最概然分布
4．本章的知识结构体系：
力学描述 系统微观 经典描述 粒子运 几何描述 态的描述 动状态 定域系 系统运动状 的描述 量子描述 量子态 玻色系 态的描述 非定域系 费米系 分布 定域系 最概然 等概率 与微 玻色 分布 原理 观态 费米系 关系
由力学知，粒子的运动状态是由能量来度量的。对近 独立粒子而言，粒子的能量仅与粒子本身状态有关而与其 它粒子的运动状态无关。 因此，近独立粒子系统的能量不包含粒子间的相互作 用能部分，而只是各粒子的动能之和。
2017年3月24日星期五 第六章 近独立粒子的最概然分布
一、粒子微观运动状态的经典描述
1．粒子运动状态的经典描述：
2017年3月24日星期五
第六章 近独立粒子的最概然分布
任何统计理论要涉及解决以下三个问题：
①研究对象是什么——引入何种假设、模型，如何描 述其研究对象的运动状态（力学、几何）； ②如何求出概率分布——这是核心； ③如何求出热力学量的统计表达式。 本章为7、8两章作准备，研究解决前两个问题。
2．本章研究的系统：
2017年3月24日星期五 第六章 近独立粒子的最概然分布
第六章 近独立粒子的最概然分布
1．统计物理的基本观点和方法：
基本观点：
①宏观物体是由大量微观粒子组成的。 ②物质的宏观热性质是大量微观粒子运动的集体表现， 宏观物理量是相应微观量的统计平均值。（例：温度）
方法：
深入到微观，从单个粒子的力学规律以及粒子间的相互 作用出发，对大量粒子组成的体系运用概率统计的方法。
就组成系统的各个微观粒子而言，它们是遵 守力学运动规律的。如果粒子遵守经典力学的运 动规律，对粒子运动的描述称为经典描述；如果 粒子遵守量子力学运动规律，对粒子运动状态的 描述就称为量子描述。本节先讨论粒子运动的经 典描述。
近独立粒子的最概然分布
空间：2维
px2
2m
0 x L
px
当粒子以一定的动量 px 在容器
中运动时，粒子运动状态代表 点在µ空间的轨道是平行于x轴 的一条直线。
空间的体积元：d dxdpx
MUSIC
2.三维自由运动粒子
r 3 x, y, z px, py , pz
px mx py my pz mz
（角动量=转动惯量X角速度）L=Iω
p , p 是转子角动量的两个分量
1 m（r2 2 r2 sin2 2）
2
I mr2
21I（p2
1 sin2
p2）
转子的总角动量: L r p 守恒(无外力)
选 Z 平行 L
=2，p
0
p2 L2
1 2m
px2
p
2 y
pz2
空间：6维
3个2维的子空间
空间的体积元：d dxdydzdpxdpydpz
MUSIC
（二）线性谐振子 质量m F Ax （谐振子受力方程）
F Ax mx
x A x 0 （ A）
m
m
r=1 x px 二维空间
对单粒子: 量子数的数目=粒子的自由度 数
MUSIC
二、举例
（一）线性谐振子
,
n
(n 1)
2
n 0,1,2……
n（振动量子数）：运动状态和能量的量子数.
1个量子数(n)
自由度
0
1 2
r=1
0——零点效应
能级间隔： =n+1 n （常数）
第六章：近独立粒子的最概然分布 热力学统计物理汪志诚
新课：§6.1 粒子运动状态的经典描述
1－d线性谐振子 自由度： 1 相空间维数：2 位置：x
动量：p mx
p2 1 m 2 x 2 能量： 2m 2
半长轴
a 2m
能量椭圆：
p2 x2 1 2 2m m 2
能量曲面包围的相体积：
( ) ab 2
例二、线性谐振子
自由度： 1 空间维数：2
位置：x
动量：p mx
p2 1 2 2 m x 能量： 2m 2
能量椭圆
p2 x2 1 2 2m m 2
p
x
新课：§6.1 粒子运动状态的经典描述小结
例三、转子 自由度：2
空间维数：4
z
, 位置：
p r 2 动量： p r 2 sin 2
新课：§6.1 粒子运动状态的经典描述
能量ε包围的相体积：
0 x L px
2 px px 2m 2m
V , 0
2 px
dxdpx dx
0
L
2 m
2 m
dpx 2 2m L
2m
新课：§6.1 粒子运动状态的经典描述
无外力矩时,转子的总角动 量守恒量
M rp r M 2 p mr p 0 z // M 选 则 2
1 1 1 1 2 2 2 ( p p ) ( p ) 2 2 2I sin 2 I sin
（2）三维自由粒子： 分解 自由度：r 3, r 6 位置：x y z 投影
动量：p x mx p y my
三个2－d子相空间
第六章 近独立粒子的最概然分布(复习要点)
第六章 近独立粒子的最概然分布(复习要点) 一、粒子微观运动状态的描述： 1、粒子运动状态的经典描述：①、相空间、自由度；广义坐标、广义动量；粒子微观状态()r r p p p q q q ,,,,,,2121⇔。
②、经典粒子的微观状态与μ空间体积元的对应关系： 对于经典系统，由于对坐标和动量的测量总存在一定的误差，假设0h p q =∆∆，这时经典系统的粒子运动状态不能用一个点表示，而必须用一个体积元表示，该体积元的大小rr rh p p qq 011=⋅δδδδ 即经典系统中粒子的一个微观状态在 μ 空间所占的体积。
这里0h 由测量精度决定的一个常数。
经典理论上00→h将μ空间划分为许多体积元lτ∆，以lε表示运动状态处在lτ∆内的粒子所具有的能量，则体积元lτ∆内粒子可能的运动状态数为r l lh 0τω∆=k l p p q q l r r l ,...2,1;)(11=∆∆∆∆=∆ τ其中2、粒子运动状态的量子描述：①、波粒二象性、波函数、量子力学中力学量的算符表示；薛定谔方程一组量子数波函数粒子微观运动状态↔↔这组量子数的数目等于粒子的自由度数（不考虑自旋，考虑自旋时应乘为自旋量子数，S S 12+）②、微观体积下，微观粒子的运动状态由波函数确定或由r （r 为自由度数。
空间自由度和一个自旋自由度）个量子确定。
并且微观粒子能量值和动量值的分离性很显著。
③、宏观体积下，量子态与相体积的关系---半经典近似如果粒子局域于宏观体积下运动，能量值和动量值是准连续的。
若粒子的自由度为r ，一个量子态占据的相体积为rh 。
在相体积元rrdp dp dq dq d ∙∙∙∙= 11τ内的可能微观量子态为rrr r h dp dp dq dq h d ∙∙∙∙= 11τ考虑r=3的六维相空间，相体积元zyxdp dp dxdydzdp d =τ内的微观量子态为33hdp dp dxdydzdp hd zy x =τ二、系统微观运动状态的描述1、全同粒子与近独立粒子系; ①、系统由具有完全相同属性（相同的质量、电荷、自旋等）的同类粒子组成。
热力学与统计物理教案：第六章 近独立粒子的最概然分布
为随机事件 A 出现可能性的客观量度，称为事件 A 发生的概率 PA ：
lim PA
N
NA N
PA 0 ， A 不可能发生； PA 1， A 肯定发生
显然 0 PA 1 。事实上，试验的次数不可能无限多，但是，只要试验次数足够多，我们就可
以用 NA 来表示事件发生的概率。如掷一质量均匀的硬币，若只掷少数几次，正面向上和背 N
统计物理中讨论的系统是由大量微观粒子组成的，大约有1023 数量级。描述大量粒子组
成的系统的宏观性质的物理量称为宏观量，描述单个粒子性质的物理量称为微观量。 粒子（指微观粒子）的运动状态是指它的力学运动状态。如果粒子遵从经典力学的运动
规律，对粒子运动状态的描述称为经典描述。如果粒子遵从量子力学规律，对粒子运动状态 的描述称为量子描述。当然，从本质上讲，微观粒子遵从量子力学规律，不过在一定极限条 件下，经典理论还是有意义的。 粒子运动状态的经典描述
相体积。 统计物理中的几个例子
（1）自由粒子
当自由粒子在三维空间中运动时，其自由度 3 ，所以相空间是 6 维的，粒子在任一时刻 的位置由坐标 x, y, z 确定，共轭的动量分别为 px mx ， py my ， pz mz ，
相空间坐标分别为 x, y, z, px , py , pz 。
微观粒子服从量子力学规律。
波粒二象性： 粒子 波
， p k
, p 粒子量，
,
k
波量
普朗克常量 h 1.0551034 J S ， 2
量纲： T E L P M
海森堡不确定关系 qp ~ h
经典：粒子沿轨道运动。
量子：无轨道， x, p 不能同时确定。
量子态——量子力学中微观粒子的运动状态。 量子态数的计算，量子态的描述
热力学统计物理第六章近独立粒子及其最概然分布22P课件
L nx ,
nx 0,1,2,
又 ：k x
2
kx
2
L
nx , nx
0,1,2,
代入德布罗意关系式：px kx
px
2
L
nx
因此，一维自由粒子的量子数：1 nx
nx
px2 2m
2 22
m
nx2 L
nx 0,1,2,
b.三维
2
px L nx
N
E i
i 1
二.经典物理中微观运动状态的描述
1）可分辨 （可跟踪的经典轨道运动）
2）描述方式： 相空间中N个点。
三.量子物理中微观运动状态的描述
1）不可分辨 （物质波的非轨道几率运动）
2）描述方式： a.对于某一个粒子的各个量子态 b.对应于每一个量子态的粒子数
3）.玻色子与费米子 a)费米子：自旋量子数为半整数的基本粒子或复合粒子。 如：电子、质子、中子等。
py
2
L
ny
pz
2
L
nz
nx 0,1,2,
量子数：3个
nx , ny , nz
n
p2 2m
p
2 x
p
2 y
2m
pz2
2 22
m
nx2
n
2 y
nz2
L3
简并度：6
.量子状态数与态密度
例五、求V=L3内在Px到Px+dPx， Py到Py+dPy， Pz到Pz+dPz间的自由粒子的量子态数与态密度。
b）玻色子：自旋量子数为整数的基本粒子或复合粒子。 如：光子、Л介子等。
c）泡利不相容原理：对于含有多个全同近独立的费米子 的系统中，一个个体量子态最多能容纳一个费米子。
第章--近独立粒子的最概然分布PPT课件
.
3
二. 几个例子 1. 自由粒子 自由度：r=3
μ空间维数：6
广义坐标：q1 x, q2 y, q3 z
广义动量： p1 px mx, p2 py my, p3 pz mz,
动能：
1 2m
( px2
p
2 y
pz2 )
相迹：以一维为例
px
(6.1.3)
.
x
4
Lx
2. 一维线性谐振子 one dimension linear harmonic oscillator
(6.2.4)
能级非简并
What about 3D?
3. 转子
Degenerate !
量子理论要求角动量平方和角动量z分量是量子化的
M 2 l(l 1)2 ,
l 0,1,2
M z m,
m l,l 1,,l 1,l
自由度为2，等于量子数个数：l, m
转子能量：
E M 2 l(l 1)2
2I
质量: m
电荷： e
自旋角动量量子数：1/2
自旋磁矩：
自旋角动量：S
e
Sm
沿z方向加外磁场B，角动量S在z方向上有两个独立分量
Sz ms
自旋磁矩和势能为
z
e m
ms
e 2m
B
ms
1 2
E
eB m
ms
e 2m
B
描述自旋状态只要一个量子数 ms .
12
2. 线性谐振子
n
(n
1 ), 2
n 0,1,2
代表点的轨道是如下椭圆：
p2 2m
x2 2
1
.
m2
5
第6章 近独立粒子的最概然分布
西北师范大学物理与电子工程学院
6.1
粒子运动状态的经典描述
（2）、线性谐振子（自由度为1）
p2 1 ;能量ε 坐标x;动量p x mx mω2 x 2 2m 2
p
能量椭圆：
p2 x2 1 2ε 2m ε mω2
n=2 n=1 n=0 x
（3）、转子(自由度为2)
坐标θ , φ;动量pθ mr θ , pφ mr sin θ φ;
西北师范大学物理与电子工程学院
6.3
系统微观运动状态的描述
（3)、玻耳兹曼系统、玻色系统、费米系统 玻耳兹曼系统：由可分辨的全同近独立粒子组成，且处在一 个个体量子态上的粒子数不受限制的系统。 玻色系统：由不可分辨的全同近独立玻色子组成，且处在一个 个体量子态上的粒子数不受限制的系统。 费米系统：由不可分辨的全同近独立费米子组成，且处在一个 个体量子态上的粒子数最多只能为1，受泡利不相容原理的限制。
自旋角动量在外磁场方向上的投影Sz只能取两个值： S z 在外磁场方向的投影相应为： Z 在外磁场B中的势能为： μB
e 2m
1 2
e B 2m
将S z 表为S z m S , 描述粒子的自旋状态只 要一个量子数 m s， 1 它只能取两个分立的值 。 2
3
L 量子态数为： dn x dn y dnz dp x dp y dpz 2 π
由测不准关系：pq h 对应μ空间的一个体积元，量子相格。
自由度为r，相格大小为： q1， ，qr p1， ，pr hr
因此dnx dn y dnz 表示：Vdpx dp y dpz除以相格大小 hr而得到的 三维自由粒子在 Vdpx dp y dpz内的量子态数
热力学统计物理_第六章_近独立粒子的最概然分布
11
则 q p
或 E t
2
2
３ 波函数描写态
微波观函粒数子描的述状r态和：p 不(r能,t同)2时表具示有t确时定刻值r—处—粒不子是出轨现道的运概动率。密用度。
４状态的分立性
量子力学中，微观粒子的运动状态称为量子态。它由一 组量子数来表征，其数目等于粒子的自由度数。
pk
k
2
h
2
h—普朗克常数，它的量纲是
[时间] ·[能量]=[长度] ·[动量]=[角动量]
常称为作用量子——经典描述或量子描述的判据.
２ 不确定关系(测不准原理)
微观粒子的坐标和动量不可能同时具有确定的值。
用Δq 表示粒子坐标的不确定值, Δp 表示动量不确定值,
热统
而
Sz
2
（自旋方向取向量子化）
所以
z
e 2m
B2 em Bm sem B
即外场中的电子自旋状态只需要一个量子数 m s
即可描写其状态，它取两个分立值
1 2
热统
13
2 自由粒子
（1）一维自由粒子：
自由运动的粒子被限制在边长为L的一维容器中。波函数 要满足一定的边界条件，采用周期性条件，即
px
能级为 n 12， n0,1,2,
相邻两个状态之间所夹的面积为
热统
x
L
x
21
2 n 1 n 2 (n 1 1 2 ) (n 1 2 ) h
推广之：粒子的一个状态在 空间中占有的体积为相格 h r
研究对象: 大量微观粒子组成的宏观物质系统。 (微观粒子：如分子、原子、自由电子、光子等)
第六章 近独立粒子的最概然分布(复习要点)
第六章 近独立粒子的最概然分布(复习要点) 一、粒子微观运动状态的描述： 1、粒子运动状态的经典描述：①、相空间、自由度；广义坐标、广义动量；粒子微观状态()r r p p p q q q ,,,,,,2121⇔。
②、经典粒子的微观状态与μ空间体积元的对应关系： 对于经典系统，由于对坐标和动量的测量总存在一定的误差，假设0h p q =∆∆，这时经典系统的粒子运动状态不能用一个点表示，而必须用一个体积元表示，该体积元的大小rr rh p p qq 011=⋅δδδδ 即经典系统中粒子的一个微观状态在 μ 空间所占的体积。
这里0h 由测量精度决定的一个常数。
经典理论上00→h将μ空间划分为许多体积元lτ∆，以lε表示运动状态处在lτ∆内的粒子所具有的能量，则体积元lτ∆内粒子可能的运动状态数为r l lh 0τω∆=k l p p q q l r r l ,...2,1;)(11=∆∆∆∆=∆ τ其中2、粒子运动状态的量子描述：①、波粒二象性、波函数、量子力学中力学量的算符表示；薛定谔方程一组量子数波函数粒子微观运动状态↔↔这组量子数的数目等于粒子的自由度数（不考虑自旋，考虑自旋时应乘为自旋量子数，S S 12+）②、微观体积下，微观粒子的运动状态由波函数确定或由r （r 为自由度数。
空间自由度和一个自旋自由度）个量子确定。
并且微观粒子能量值和动量值的分离性很显著。
③、宏观体积下，量子态与相体积的关系---半经典近似如果粒子局域于宏观体积下运动，能量值和动量值是准连续的。
若粒子的自由度为r ，一个量子态占据的相体积为rh 。
在相体积元rrdp dp dq dq d ∙∙∙∙= 11τ内的可能微观量子态为rrr r h dp dp dq dq h d ∙∙∙∙= 11τ考虑r=3的六维相空间，相体积元zyxdp dp dxdydzdp d =τ内的微观量子态为33hdp dp dxdydzdp hd zy x =τ二、系统微观运动状态的描述1、全同粒子与近独立粒子系; ①、系统由具有完全相同属性（相同的质量、电荷、自旋等）的同类粒子组成。
热力学与物理统计第六章03讲述
第六章 近独立粒子的最概然分布
经典力学中，粒子同时具有确定的动量和坐标，因 此可以用某一时刻粒子的动量和坐标描述粒子的运 动状态。
量子力学中，粒子不可能同时具有确定的动量和坐 标，那么，该如何描述粒子的运动状态？
在量子力学中，微观粒子的运动状态称为量子态。 量子态是用一组量子数表征，且这组量子数的数目 等于粒子的自由度数。
S 2 s(s 1) 2
其中s称为自旋量子数，可以是整数或半整数。 例如电子的自旋量子数为1/2 对自旋状态的描述还需要知道自旋角动量在其 本征方向（z轴）上的投影Sz。
共2s+1个可能的值。对于电子，有2个可能值。
第六章 近独立粒子的最概然分布
自旋角动量与自旋磁矩 质量为 m ，电荷为 - e 的电子，
在py到py+dpy可能的py有dny个
在pz到pz+dpz可能的pz有dnz个
第六章 近独立粒子的最概然分布
体积V=L3内，在px到px+dpx，py到py+dpy，pz到 pz+dpz的动量范围内自由粒子的量子态数
p
由于不确定关系，xp h 。
p p
即在体积元 h 内的各运动状态，
p
它们的差别都在测量误差之内，
其自旋磁矩 μ 与自旋角动量 S 大小的比值为：
e
S
m
当存在外磁场时，自旋角动量的本征方向沿外
磁场方向。以z表示外磁场方向，B为磁感应强
度。电子自旋角动量在z投影为
第六章 近独立粒子的最概然分布
自旋磁矩在z投影为
电子在外磁场中能量为
第六章 近独立粒子的最概然分布
三、系统微观运动状态的描述
系统的微观运动状态就是指它的力学运动状态。这 里讨论由全同和近独立粒子组成的系统
第六章 近独立粒子的最概然分布教案资料
热力学与统计物理课程教案第六章 近独立粒子的最概然分布 6.1 粒子运动状态的经典描述首先介绍如何描述粒子的运动状态。
这里说的粒子是指组成宏观物质系统的基本单元，例如气体的分子，金属的离子或电子，辐射场的光子等等。
粒子的运动状态是指它的力学运动状态。
如果粒子遵从经典力学的运动规律，对粒子运动状态的描述称为经典描述；如果粒子遵从量子力学的运动规律，对粒子运动状态的描述称为量子描述。
1、粒子运动状态经典描述的两种方法设粒子的自由度为r 。
经典力学告诉我们，粒子在任一时刻的力学运动状态由粒子的r 个广义坐标r q q q ,,,21 和与之共轭的r 个广义动量r p p p ,,,21 在该时刻的数值确定。
粒子能量ε是其广义坐标和广义动量的函数：()r r p p p q q q εε,,,;,,,2121 = 如果存在外场，ε还是描述外场参量的函数。
为了形象地描述粒子的力学运动状态，用r q q q ,,,21 ；r p p p ,,,21 共r 2个变量为直角坐标，构成一个r 2维空间，称为μ空间。
粒子在某一时刻的力学运动状态（r q q q ,,,21 ；r p p p ,,,21 ）可以用μ空间中的一点表示，称为粒子力学运动状态的代表点。
当粒子运动状态随时间改变时，代表点相应地在μ空间中移动，描画出一条轨道。
2、下面介绍统计物理中用到的几个例子 （1）、自由粒子：自由粒子不受力的作用而自由运动，当在三维空间中运动时，它的自由度为3。
粒子在任一时刻的位置可由坐标z y x ,,确定，与之共轭的动量为：⋅⋅⋅===z m p y m p x m p z y x ,, 自由粒子的能量就是它的动能：()22221z y x p p p mε++=， 对应的μ空间是6维的。
（2）线性谐振子对于自由度为1的线性谐振子，在任一时刻，粒子的位置由它的位移x 确定，与之共轭的动量为⋅=x m p x ，它的能量是其动能和势能之和：2222221222x m m p x A m p ωε+=+=以x 和p 为直角坐标，可构成二维的μ空间，振子在任一时刻运动状态由μ空间中的一点表示。
t6-近独立粒子的最概然分布
如果自由度为r，相格大小为：
q1 qr p1 pr h r
对动量采用球坐标：
pz
o
p x p sin cos p y p sin sin p z p cos
px
py
dpx dpy dpz p 2 sin dpdd
体积V内，动量 大小在p 到p dp， 方向在 到 d， 到 d的范围内， 自由粒子的量子态数为 :
量子数：3个
能量的可能值为
nx , ny , nz
2 2 2 2 2 2 p 2 px p y pz 2 2 2 nx n y nz n 2m 2m m L3
2 2 2 能量值决定于： nx n y nz
基态能级为非简并，激发态为6度简并。 比如对于：
dnx dny dnz
Vdp x dpy dpz h3
右边表示在μ空间中以h3为单位的相格的个数，左边表示量子态的数目。 一个相格h3 内只有一个量子态
进一步说明：
微观粒子的运动必须遵守不确定性关系，不可能同时具有确定的动量和 坐标，所以量子态不能用空间的一点来描述，如果硬要沿用广义坐标和广义 动量描述量子态，那么一个状态必然对应于空间中的一个体积元（相格）， 而不是一个点，这个体积元称为量子相格。 自由度为1的粒子，相格大小为普朗克常数：qp h
由此得到能量 :
2 nx L
2 px 2π 2 2 2 nx nx ; nx 0,1,2, 2 2m L
基态能级为非简并，激发态为二度简并。
三维自由粒子
考虑处于长度为L的三维容器中自由粒子的运动状态。 假设此粒子限制在一个边长为L的方盒子中运动，仿照一维粒子的情 形，该粒子在三个方向动量的可能值为： 2 px nx L 2 nx , ny , nz 0,1,2, py ny L 2 pz nz L
第六章 近独立粒子的最概然分布 - 副本
2 kx nx L
2 px nx L
L ny
L ny
2 kz nz L
pz 2 nz L
2 ky ny L
2 py ny L
能
量：
2 2 2 2 x nx 2 mL
2 2 2 2 y ny 2 mL
2 2 2 2 z nz 2 mL
相空间 2维 2r 维
p2 A 2 p2 1 能量 是其动能和势能之和 m 2 x 2 x 2m 2 2m 2
中北大学
物理系
以x和p为直角坐标，可构成二维的μ空间，振子在任一时 刻运动状态由μ空间中的一点表示。 如果给定振子的能量ε，对应点的轨迹就由如下方程确定：
p2 2 m x2 2 m 2 1
由测不准关系可知，坐标和动量不能同时取确定的值，所 以量子态不能用相空间的一点来描述，而应用一个体积元， 称为相格,相格的大小为h.
一、经典描述 设粒子的自由度为r，粒子在任一时刻的力学运动状态由粒子 的r个广义坐标q1、q2、…qr和相应的r个广义动量p1、p2、…pr在该 时刻的数值确定，粒子能量ε是其广义坐标和广义动量的函数 即 更一般 ε = ε （ q1、q2、…qr ， p1、p2、…pr） ε = ε （qi、pi、λi ） （i = 1、2、…r） λ为非参量
上式给出的能量值是分立的。分立的能量称为能级。
线性谐振子的能级是等间距的，相邻两能级的能量差为 ħ ，其大小取决于振子的圆频率。
中北大学
物理系
（三）自由粒子 空间中一个自由运动的粒子，假设此粒子限制在一个边 长为L的方盒子中运动。
y
A' 0 A
在量子力学中粒子的运动满足薛定谔方程：
热统第六章讲稿部分
例如r=3,则粒子的运动状态由x.y.z, px . py . pz 或 r. .. pr . p . p 描写(6个参量) 粒子能量
(q1.q2 ...qr , p1. p2 ... pr )
2 2 2 nx ny nz 不同,能量不同, →存在简并
2 2 2 n n n 1既 时 2 mL
2 x 2 y 2 z
nx 1, ny nz 0
ny 1, nx nz 0
2 nz 1, ny nx 0 都对应nx2 ny nz2 1
(c)能量的可能值
2 px 1 4 2 2m 2m L2 2
2 2 n m
2 x
2
2 nx L2
nx 0, 1, 2...
(6.2.6)
nx不同,一维自由粒子的动量.能量不同
2.三维自由粒子
设粒子处在长度为L的立方容器中,由前知,粒子的三个动量分量为:
(a)动量的可能值
2 nx L 2 Py ny L 2 Pz nz L Px
2 2 2 p p pz 1 m 1 y 2 2 2 2 2 2 x m(vx v y vz ) ( 2 2 2 ) ( px py pz ) 2 2 m m m 2m
(6.1.3)
2.当粒子在一维空间中运动时, 空间的维数是2维. px → x. px 为直角坐标构成 设一维容器的长度为L, 则 0 X L
(qi . pi ) 的函授
空间
→为形象描写粒子的运动状态而引入
以r个广义坐标和r个广义动量(2r维)作为直角坐标所构造的 空间. 例如r=3,