热统答案第六章 近独立粒子的最概然分布

1
内，量子态数为
2L ⎛ m ⎞ 2 D ( ε ) dε = ⎜ ⎟ dε . h ⎝ 2ε ⎠
解: 根据式（6.2.14） ，一维自由粒子在 µ 空间体积元 dxdpx 内可能的量子
101
态数为
dxdpx . h
在长度 L 内，动量大小在 p 到 p + dp 范围内（注意动量可以有正负两个可能的 方向）的量子态数为
第六章 近独立粒子的最概然分布
6.1 试根据式（6.2.13）证明：在体积 V 内，在 ε 到 ε + dε 的能量范围内，
3 1 2π V 2 ε 2 dε . 2 m ( ) 3 h
三维自由粒子的量子态数为
D ( ε ) dε =
解: 式（6.2.13）给出，在体积 V = L3 内，在 px 到 px + dpx , p y 到 p y + dp y , px 到
ln Ω ( 0) = ∑ ⎡ ⎣(ωl + al ) ln (ωl + al ) − al ln al − ωl ln ωl ⎤ ⎦+
l
∑⎡ ⎣ω ′ ln ω ′ − a′ ln a′ − (ω ′ − a′ ) ln (ω ′ − a′ )⎤ ⎦.
l l l l l l l l l
令各 al 和 al′ 有 δal 和 δal′ 的变化， ln Ω (0) 将因而有 δ ln Ω ( 0) 的变化，使用权 ln Ω (0) 为 极大的分布 {al } 和 al′ 必使
(
)
根据拉氏乘子法原理，每个 δal 和 δal′ 的系数都等于零，所以得
106
ln ln
ωl + al − α − βε l = 0, al ωl′ − al′ − α ′ − βε l′ = 0, ωl′ ω
即
al =wenku.baidu.comal ′ = e
l −α − βε l
−1
′
,
ωl ′ e −α ′− βεl + 1
px + dpx 的动量范围内，自由粒子可能的量子态数为 V dpx dp y dp z . h3
（1）
用动量空间的球坐标描述自由粒子的动量， 并对动量方向积分， 可得在体积 V 内，动量大小在 p 到 p + dp 范围内三维自由粒子可能的量子态数为
4πV 2 p dp. h3
（2）
上式可以理解为将 µ 空间体积元 4π Vp 2 dp （体积 V，动量球壳 4πp 2 dp ）除以相格 大小 h3 而得到的状态数. 自由粒子的能量动量关系为
解: 当系统含有 N 个玻色子， N ′ 个费米子，总能量为 E，体积为 V 时， 粒子的分布 {al } 和 al′ 必须满足条件
{ }
∑a
l l
l
= N,
∑ a ′ = N ′,
l
∑ ε a + ∑ ε ′a ′ = E
l l l l l l
（1）
才有可能实现.
105
玻色子处在分布 {al } ，费米子处在分布 al′ 时，其微观状态数分别为
但这些 δal 和 δal′ 不完全是独立的，它们必须满足条件
104
δN = ∑ δal = 0,
l
δN ′ = ∑ δal ′ = 0,
l
δE = ∑ ε l δal + ∑ ε l′δal′ = 0.
l l
用拉氏乘子 α , α ′ 和 β 分别乘这三个式子并从 δ ln Ω ( 0) 中减去，得
（4）
.
拉氏乘子 α , α ′ 和 β 由条件（1）确定. 式（4）表明，两种粒子分别遵从玻色 分布和费米分布，其中 α 和 α ′ 不同，但 β 相等.
107
Ω =∏
l
{ } )
(ωl + al − 1) ! , al !(ωl − 1)!
ωl ′ al′ ! ωl′ − al′ !
Ω′ = ∏
l
(
.
系统的微观状态数 Ω (0) 为
Ω ( 0) = Ω ⋅ Ω′.
（3）
平衡状态下系统的最概然分布是在满足式（1）条件下使 Ω ( 0) 或 l n Ω ( 0) 为极大的 分布. 将式（2）和式（3）取对数，利用斯特令公式可得
4π V 2 p dp. h3
（1）
将极端相对论粒子的能量动量关系
ε = cp
代入，可得在体积 V 内，在 ε 到 ε + dε 的能量范围内，极端相对论粒子的量子 态数为
D ( ε ) dε =
4πV
( ch )
3
ε 2dε .
（2）
6.5
设系统含有两种粒子， 其粒子数分别为 N 和 N ′ . 粒子间的相互作用
解: 根据式（ 6.2.14） ，二维自由粒子在 µ 空间体积元 dxdydpx dp y 内的量子 态数为
1 dxdydpx dp y . h2
（1）
用二维动量空间的极坐标 p, θ 描述粒子的动量， p, θ 与 px , p y 的关系为
px = p cos θ , p y = p sin θ .
很弱，可以看作是近独立的. 假设粒子可以分辨，处在一个个体量子态的粒 子数不受限制. 试证明，在平衡状态下两种粒子的最概然分布分别为
al = ω l e−α − βεl
和
103
al ′ = ωl′e−α ′− βεl′ ,
其中 ε l 和 ε l′ 是两种粒子的能级， ωl 和 ωl ′ 是能级的简并度. 解： 当系统含有两种粒子，其粒子数分别为 N 和 N ′ ，总能量为 E，体积 为 V 时，两种粒子的分布 {al } 和 al′ 必须满足条件
δ ln Ω ( ) − α δN − α ′δN ′ − β δE
0
⎛ a′ ⎞ ⎛ a ⎞ = − ∑ ⎜ ln l + α + βε l ⎟ δal − ∑ ⎜ ln l + α ′ + βε l′ ⎟ δal′ ⎜ ω′ ⎟ ωl l ⎝ l ⎠ ⎝ l ⎠ = 0.
根据拉氏乘子法原理，每个 δal 和 δal′ 的系数都等于零，所以得
ln ln
al + α + βε l = 0, ωl al′ + α ′ + βε l′ = 0, ωl ′ al = ω l e−α − βεl
′ al′ = ω l′e −α ′− βεl .
即 （4）
拉氏乘子 α , α ′ 和 β 由条件（1）确定. 式（4）表明，两种粒子各自遵从玻耳 兹曼分布. 两个分布的 α 和 α ′ 可以不同， 但有共同的 β . 原因在于我们开始就 假设两种粒子的粒子数 N , N ′ 和能量 E 具有确定值，这意味着在相互作用中两 种粒子可以交换能量，但不会相互转化. 从上述结果还可以看出，由两个弱 相互作用的子系统构成的系统达到平衡时，两个子系统有相同的 β . 6.6 同上题，如果粒子是玻色子或费米子，结果如何？
ε= p2 . 2m
因此
p = 2mε , pdp = md ε .
将上式代入式（2） ，即得在体积 V 内，在 ε 到 ε + d ε 的能量范围内，三维自由 粒子的量子态数为
D (ε )dε =
3 1 2πV 2 ε 2 dε . 2 m ( ) h3
（3）
6.2
试证明，对于一维自由粒子，在长度 L 内，在 ε 到 ε + dε 的能量范围
2L dp. h
（1）
将能量动量关系
ε= p2 2m
代入，即得
1
2L ⎛ m ⎞ 2 D ( ε ) dε = ⎜ ⎟ dε . h ⎝ 2ε ⎠
（2）
6.3
试证明，对于二维的自由粒子，在面积 L2 内，在 ε 到 ε + dε 的能量范
2πL2 md ε . h2
围内，量子态数为
D (ε ) dε =
可得在面积 L2 内，动量大小在 p 到 p + dp 范围内（动量方向任意） ，二维自由粒
2πL2 pdp. h2
（3）
将能量动量关系
ε= p2 2m
代入，即有
D ( ε ) dε =
2πL2 mdε . h2
（4）
6.4
在极端相对论情形下，粒子的能量动量关系为
ε = cp.
试求在体积 V 内，在 ε 到的能量范围内三维粒子的量子态数. 解:式（6.2.16）已给出在体积 V 内，动量大小在 p 到 p + dp 范围内三维自 由粒子可能的状态数为
l l l l
为求使 ln Ω (0) 为极大的分布，令 al 和 al′ 各有 δ al 和 δ al ′ 的变化， ln Ω (0) 将因而有
δ ln Ω ( 0) 的变化. 使 ln Ω ( 0) 为极大的分布 {al } 和 al′ 必使 δ ln Ω
(0)
{ }
= 0,
即
⎛a δ ln Ω ( 0) = − ∑ ln ⎜ l l ⎝ ωl ⎛ a′ ⎞ ⎞ l δ a − ln ⎟ δal′ = 0. ⎟ l ∑ ⎜ ⎜ ⎟ ′ l ⎠ ⎝ ωl ⎠
l
{ }
N ′! Ω′ = ωl′al′ . ∏ ∏ al′ ! l
l
（2）
系统的微观状态数 Ω (0) 为
Ω ( 0) = Ω ⋅ Ω′.
（3）
平衡状态下系统的最概然分布是在满足式（1）的条件下使 Ω ( 0) 或 In Ω (0) 为极大 的分布. 利用斯特令公式，由式（3）可得
In Ω ( 0) = ln ( Ω ⋅ Ω ′ ) = N ln N − ∑ al ln al + ∑ al ln ωl + N ′ ln N ′ − ∑ al′ ln al′ + ∑ al′ ln ωl′,
{ }
l
∑a
l l
=N ,
∑ a ′ = N ′,
l l l
（1）
∑ εl al + ∑ εl′al′ = E
才有可能实现. 在粒子可以分辨，且处在一个个体量子态的粒子数不受限制的情形下， 两种粒子分别处在分布 {al } 和 al′ 时各自的微观状态数为
Ω= N! ωlal , ∏ ∏ al ! l
l
δE = ∑ ε l δal + ∑ ε l′δal′ = 0.
l l
用拉氏乘子 α , α ′ 和 β 分别乘这三个式子并从 δ ln Ω ( 0) 中减去，得
δ ln Ω ( 0) − α δN − α ′δN ′ − β δE ⎛ ω′ −a′ ⎞ l l ⎛ (ωl + al ) ⎞ ⎜ ′ = − ∑ ⎜ ln − α − βε l ⎟ δal + ∑ ⎜ ln − α ′ − βε l ⎟ δal′ ⎟ a ′ l ⎝ l ⎜ al l ⎠ ⎟ ⎝ ⎠ = 0.
δ ln Ω ( 0) = 0,
{ }
即
δ ln Ω
(0)
ωl ′ − al ′ ln (ωl + al ) =∑ δal + ∑ ln δal′ a ′ l l al l
= 0.
(
)
但这此致 δal 和 δal′ 不完全是独立的，它们必须满足条件
δN = ∑ δal = 0,
l
δN ′ = ∑ δal ′ = 0,
用极坐标描述时，二维动量空间的体积元为
pdpdθ .
在面积 L2 内，动量大小在 p 到 p + dp 范围内，动量方向在 θ 到 θ + dθ 范围内，二 维自由粒子可能的状态数为
L2 pdpdθ . h2
（2）
对 dθ 积分，从 0 积分到 2π ，有
102
∫
子可能的状态数为
2π
0
dθ = 2π.