换元积分法

1 4
(
2x 3
2x 1)dx
1 4
2x
3dx
1 4
2x 1dx
1 8
2
x
3d(2
x
3)
1 8
2x 1d(2x 1)
1
31
3
2x 3 2x 1 C.
12
12
14
例12. 求 tan3 x dx tan2 x tan x dx
(sec2 x 1)tan x dx
a2 x2
a
18
例17. 求
解:
1 1 x2 a2 2a
(x a) (x a) ( x a)( x a)
1( 1 2a x a
1) xa
∴
原式
=
1 2a
dx xa
dx
x
a
1 2a
d( x a) xa
d( x a) xa
1 ln
2a
xa
ln
xa
C 1 ln 2a
xa xa
)
1 2
1
1 x
2
d(1
x2
)
u 1 x2
1 2
1du u
1 ln u C 2
1 ln(1 x2 ) C . 2
例2 x 1 x2dx 1 1 x2d(-x2 ) 2
1 2
1 x2d(1 x2 ) u 1 x2 1
2
udu
1
2
3
u2
C
1
3
u2
C
1
(1
x
2
)
3 2
29
小结
1、常用的几种凑微分形式:
1
(1) f (ax b)dx a
d(ax b)
(2) f (xn )xn1 dx 1 n
(3)
f
(x n
)1 x
dx
1 n
dxn
万 能
凑
1 xn
dxn
幂 法
(4) f (sin x)cos xdx
dsin x
(5) f (cos x)sin xdx
1 ln 1 sin x C 2 1 sin x
21
解法 2
(sec x tan x) secx tan x
sec2 x secx
secx tan tan x
x
dx
d(sec x tan x)
secx tan x
同样可证
csc xdx ln csc x cot x C
22
cot x csc x C .
8
例8
x(1
dx 2ln
x)
1 x
1
1 2 ln
dx x
1
1 2 ln
d(ln x
x)
1 2
1
1 2 ln
d(2 x
ln
x)
1 2Βιβλιοθήκη 11 2 lnd(1 x
2
ln
x)
1 ln1 2ln x C . 2
例9
1 x (1
x)
dx
1 1 dx x (1 x)
第四节 换元积分法
第五章
一、第一类换元法（凑微分法） 二、第二类换元法
1
直接利用基本积分表和分项积分法所能计算的 不定积分是非常有限的，为了求出更多的积分，需 要引进更多的方法和技巧，本节和下节就来介绍求 积分的两大基本方法——换元积分法和分部积分法。
在微分学中，复合函数的微分法是一种重要的 方法，不定积分作为微分法的逆运算，也有相应 的方法。利用中间变量的代换，得到复合函数的 积分法——换元积分法。通常根据换元的先后， 把换元法分成第一类换元和第二类换元。
x)
2 e3 x C
3
例14. 求 sec6 xdx .
解: 原式 = sec4 x sec2 xdx (tan2 x 1)2d tan x
(tan4 x 2tan2 x 1) dtan x
1 tan5 x 2 tan3 x tan x C
5
3
16
例15. 求
解:
11
x
1 2
[
1dx
sin
x
1
cos
d(sin x
x
cos
x)]
1
( x ln sin x cos x ) C .
2
24
例23
sin2
x
dx
1 2
1
cos 2xdx
1 2
[
1dx
1 2
cos
2
x
d(2 x )]
说明: 三角函数为偶次幂时,
1 (x 1 sin2x) C . 22
可用倍角公式降低三 角函数的幂次.
6
例5
sin x x dx sin
x
1 dx x
2 sin xd x 2 cos x C .
例6
tan x dx
sin cos
x x
dx
1 cos
d x
cos
x
ln cos x C ln secx C
tan x dx ln secx C .
类似地， cot x dx ln csc x C .
2
1 1
x
d
1
x 2 1 (
d x )2
x
2arctan x C .
9
常用凑微分公式：
dx 1 d(kx b) ( k 0 )； xdx 1 dx2 ；
k
2
1 dx 2d x ； 1 dx dln x ；
x
x
sin xdx d cos x ；cos xdx dsinx ；
sec2 xdx d tan x ；csc2 xdx d cot x ；
1
1 x
2
dx
d
arctan
x
；
1 dx d arcsin x ； 1 x2
或 1 dx d arccos x ； 等等.
1 x2
10
练习：
1. xex2dx 1 e x2 C . 2
2. x4 cos x5dx 1 sin x5 C . 5
3.
x dx 1 dx2 1 arcsin x2 C .
dcos x
30
(6) f (tan x)sec2 xdx
dtan x
(7) f (ex )exdx
de x
(8)
f (ln x)1dx x
dln x
更多的凑微分方法可参考P212
2、常用简化技巧:
(1) 分项积分: 利用积化和差; 分式分项;
1 sin2 x cos2 x 等
(2) 降低幂次: 利用倍角公式 , 如
ln(1 e x ) ln[e x (ex 1)] 两法结果一样
20
例19. 求
解法1
1 cos
x
dx
cos x cos2 x
dx
d sin x 1 sin2 x
1 2
1 1 sin x
1 1 sin x
d sin
x
1 ln 1 sin x ln 1 sin x C 2
例24 sin3 x dx sin2 x sin x dx
sin2 x dcos x
(1 cos2 x)dcos x
cos x 1 cos3 x C . 3
说明: 三角函数为奇次幂时, 拿出一次去凑微分.
25
例25 sin2 x cos5 x dx sin2 x cos4 x cos xdx
1 4
(
3 2
2 cos
2x
1 2
cos 4x)
cos4 x dx
1 4
(
3 2
2
cos
2
x
1 2
cos
4x)
dx
3
2
dx
cos
2
x
d(
2x)
1 8
cos 4x d(4x)
28
第一类换元积分法在积分中是经常使用的方法， 不过如何适当地选取代换却没有一般的规律可循， 只能具体问题具体分析。要掌握好这种方法，需要熟 记一些函数的微分公式，并善于根据这些微分公式对 被积表达式做适当的微分变形，拼凑出合适的微分因 子。
x
d(sin
x
cos
x)
ln sin x cos x C . 23
例22
sin
sin x
x cos
x
dx
1 2
sin
x
cos sin
x x
sin cos
x x
cos
x
dx
1 2
(1
sin sin
x x
cos cos
x )dx x
1 2
[ 1dx
sin sin
x x
cos cos
x dx]
sin2xdx 2 sin2xd(2x)
1
2 cos 2x C.
解（二） sin2xdx 2 sin x cos xdx
2 sin xd(sinx) sin x2 C; 解（三） sin2xdx 2 sin x cos xdx
2 cos xd(cos x) cos x2 C.
sec2 x tan x dx tan x dx
tan x dtan x tan x dx
1 tan2 x ln sec x C . 2
tan x dx ln secx C .
15
例13.
求
e3 x
dx . x
解: 原式 = 2
e3 x d
x2 3
e3 x d( 3
1 x4
2 1 x4 2
4.
x2 1 x6
dx
1 3
dx 3 1 x6
1 arctan x3 3
C
.
5.
102arccosx dx
1
102arccosx d(2 arccos x)
1
x2
2
102arccosx
C
.
11
2 ln 10
例10
x
(1 x)3 dx
x 11 (1 x)3 dx
x
dx
2(arctan x ) 2
1 2
ln(1
x2
)
C
.
(4) e4x2 ln x dx e4x2 x dx 1 e4x2 C .
8
27
（5）
解: cos4 x (cos2 x)2 (1 cos 2x )2
2
1 4
(1
2cos 2x
cos2
2x)
1 4
(1
2cos 2x
) 1cos4 x 2
例20
cos3x cos2x dx
1 2
(cos
x
cos
5
x)
dx
1 2
[
cos
xdx
1 5
cos
5
xd(5
x)]
1 sin x 1 sin5x C .
2
10
cos cos 1 [cos( ) cos( )]
2
例21
sin sin
x x
cos cos
x x
dx
sin
x
1
cos
2
一、第一类换元法 定理1. 设 f (u) 有原函数F(u), u (x)可导,
则
f (( x))d( x)
u ( x) f (u)du F(u) C
F(( x)) C
(也称配元法 , 凑微分法)
3
例1
x
1
1
1 x2 dx 1 x2 xdx 2
1
1 x
2
d(
x
2
a2
1
(
x a
)2
dx
1
a
1x
1
(
x a
)2
d(
a
)
想到公式
1
1 u2
d
u
arctan u C
a2
1
x 2 dx
1 a
arctan
x a
C
.
17
例16. 求
解:
1
dx
a
1
(
x a
)2
1
1
(
x a
)2
d
(
x a
)
想到
1 d u arcsin u C
1 u2
1 dx arcsin x C .
2 sin5 x 5
1 sin7 x C .
7
26
练习：求下列不定积分
(1)
3x3
1 x4
dx
3 4
1 1 x4
dx 4
3 ln1 4
x4
C
.
(2) tan10 x sec2 x dx tan10 x d tan x 1 tan11 x C . 11
(3)
4arctan x 1 x2
1
1
[ (1
x)2
(1
x)3
]dx
1
1
(1 x)2 dx (1 x)3 dx
1
1
(1 x)2 d(1 x) (1 x)3d(1 x)
1
1
x
2(1
1
x)2
C.
12
例11.
求
x2
dx x
2
(
x
1 2)(
x
dx 1)
1 3
(
x
1
2
1 )dx x1
1 3
[
x
1
2
dx
31
万能凑幂法
f (xn )xn1 dx 1n f (xn ) d xn
1 dx] x1
1 3
[
1 x
2
d( x
2)
1 x
1
d( x
1)]
1 [ln x 2 ln x 1] C 3
1 ln x 2 C . 3 x1
注意：分式拆项是常用的技巧13
例求
1 2x 3
dx. 2x 1
原式 (
2x 3
2x 3 2x 1)(
2x 1 2x 3
dx 2x 1)
7
例7
dx
dx
1 cos x 2cos2 x
1 2
sec2
x 2
dx
2
sec2 x d( x ) tan x C .
22
2
或解
dx
1 cos x
1 cos x 1 cos2 x dx
1 cos x
sin2 x dx
(csc2 x cot x csc x)dx
sin2 x cos4 x d(sinx) 说明：当被积函数是
sin2 x(cos2 x)2 d(sinx)
sin2 x (1 sin2 x)2 d(sinx)
三角函数相乘 时，拆开奇次 项去凑微分.
(sin2 x 2sin4 x sin6 x)d(sin x)
1 sin3 x 3
C
dx 1 x a
x2
a2
ln 2a
xa
C
.
19
例18.
求