统计学之抽样与总体参数的估计
统计学中的参数估计方法
统计学中的参数估计方法统计学中的参数估计方法是研究样本统计量与总体参数之间关系的重要工具。
通过参数估计方法，可以根据样本数据推断总体参数的取值范围，并对统计推断的可靠性进行评估。
本文将介绍几种常用的参数估计方法及其应用。
一、点估计方法点估计方法是指通过样本数据来估计总体参数的具体取值。
最常用的点估计方法是最大似然估计和矩估计。
1. 最大似然估计（Maximum Likelihood Estimation）最大似然估计是指在给定样本的条件下，寻找最大化样本观察值发生的可能性的参数值。
它假设样本是独立同分布的，并假设总体参数的取值满足某种分布。
最大似然估计可以通过求解似然函数的最大值来得到参数的估计值。
2. 矩估计（Method of Moments）矩估计是指利用样本矩与总体矩的对应关系来估计总体参数。
矩估计方法假设总体参数可以通过样本矩的函数来表示，并通过求解总体矩与样本矩的关系式来得到参数的估计值。
二、区间估计方法区间估计是指根据样本数据来估计总体参数的取值范围。
常见的区间估计方法有置信区间估计和预测区间估计。
1. 置信区间估计（Confidence Interval Estimation）置信区间估计是指通过样本数据估计总体参数，并给出一个区间，该区间包含总体参数的真值的概率为预先设定的置信水平。
置信区间估计通常使用标准正态分布、t分布、卡方分布等作为抽样分布进行计算。
2. 预测区间估计（Prediction Interval Estimation）预测区间估计是指根据样本数据估计出的总体参数，并给出一个区间，该区间包含未来单个观测值的概率为预先设定的置信水平。
预测区间估计在预测和判断未来观测值时具有重要的应用价值。
三、贝叶斯估计方法贝叶斯估计方法是一种基于贝叶斯定理的统计推断方法。
贝叶斯估计将先验知识与样本数据相结合，通过计算后验概率分布来估计总体参数的取值。
贝叶斯估计方法的关键是设定先验分布和寻找后验分布。
概率与统计中的抽样与估计知识点总结
概率与统计中的抽样与估计知识点总结在概率与统计学中，抽样与估计是重要的概念和方法，用以对总体进行推断和估计。
通过抽取样本，可以从整体中获得一些信息，并通过估计方法对总体参数进行推断。
本文将对概率与统计中的抽样与估计知识点进行总结，包括抽样方法、估计方法以及其应用。
一、抽样方法抽样是从总体中选择一定数量的个体进行研究，目的是为了通过样本的观察或实验来推断总体的特征。
常见的抽样方法有以下几种：1. 简单随机抽样（simple random sampling）：每个个体有相等的机会被选入样本，适用于总体中个体相似的场景。
2. 系统抽样（systematic sampling）：在总体中选择一个起始个体，之后按照一定的间隔选择其他个体，适用于总体有规律排列的情况。
3. 分层抽样（stratified sampling）：将总体划分为若干层，并在每层中进行简单随机抽样，适用于总体有明显不同的子群体。
4. 整群抽样（cluster sampling）：将总体划分为若干群体，随机选择若干群体进行抽样，适用于总体个体难以触达时。
二、估计方法估计是利用样本数据对总体参数进行估计，常见的估计方法有以下几种：1. 点估计（point estimation）：通过样本数据估计总体参数的一个单一值，例如样本均值作为总体均值的估计。
2. 区间估计（interval estimation）：通过样本数据给出总体参数一个置信区间，例如给出总体均值的一个置信区间。
3. 最大似然估计（maximum likelihood estimation）：通过最大化样本数据出现的概率来估计总体参数值，尤其适用于大样本情景。
4. 贝叶斯估计（Bayesian estimation）：基于贝叶斯定理，将观测数据与先验知识结合，获得总体参数的后验分布。
三、应用抽样与估计在概率与统计学中具有广泛的应用，下面列举一些常见的应用场景：1. 调查研究：在社会科学和市场调研中，通过抽样与估计方法可以从小部分样本中推断出总体的特征，例如进行民意调查或市场调研。
统计学中的样本与总体
统计学中的样本与总体在统计学中，样本和总体是两个重要的概念。
样本是指从总体中抽取的一部分观察对象或数据，而总体是指包含所有感兴趣的观察对象或数据的集合。
在进行统计分析时，对样本的研究可以推断出总体的一些特征。
1. 样本的选择与抽样方法选择一个合适的样本是进行统计研究的重要一步。
样本应代表总体的特征，因此需要使用合适的抽样方法。
常见的抽样方法包括简单随机抽样、分层抽样和系统抽样。
简单随机抽样是指每个观察对象被选中的机会相等，而分层抽样是根据总体的不同层次进行分层，然后从每个层次中随机选择样本。
系统抽样是按照某种规律从总体中选取样本。
2. 样本容量与抽样误差样本容量指样本中观察对象或数据的数量。
样本容量越大，对总体的推断越准确。
抽样误差是指样本统计量与总体参数之间的差异。
当样本容量较小时，抽样误差会较大，因此在选择样本容量时需要根据具体问题和资源限制进行权衡和决策。
3. 样本统计量与总体参数样本统计量是对样本数据的总结和描述，例如样本均值、样本标准差等。
总体参数是对总体的特征的度量，例如总体均值、总体标准差等。
样本统计量可以用来估计总体参数，并通过抽样误差的控制来增强估计的准确性。
通过抽样方法和统计推断的方法，可以通过样本来推断总体参数的范围和分布。
4. 中心极限定理与样本分布中心极限定理是统计学中的重要定理之一。
它指出，当样本容量足够大时，样本均值的分布将近似于正态分布，无论总体分布是什么样的。
这意味着即使总体不服从正态分布，通过大样本的方法仍然可以进行统计分析。
中心极限定理为统计学提供了重要的理论基础，使得在实际应用中可以更准确地从样本推断总体的特征。
5. 样本推断与置信区间样本推断是统计学中的一个重要任务，它使用样本数据来对总体进行推断和估计。
置信区间是样本统计量的一个范围，对总体参数的值给予一定的置信水平。
例如，可以用样本均值和标准误差来构建样本均值的置信区间，用于估计总体均值的范围。
6. 样本假设检验与显著性水平样本假设检验是判断样本数据是否支持某个假设的一种方法。
统计学 第 6 章 抽样与参数估计
第6章抽样与参数估计第6章抽样与参数估计6.1抽样与抽样分布6.2参数估计的基本方法6.3总体均值的区间估计6.4总体比例的区间估计6.5样本容量的确定学习目标理解抽样方法与抽样分布估计量与估计值的概念点估计与区间估计的区别评价估计量优良性的标准总体均值的区间估计方法总体比例的区间估计方法样本容量的确定方法参数估计在统计方法中的地位统计推断的过程6.1抽样与抽样分布什么是抽样推断概率捕样方法抽样分布抽样方法抽样方法概率抽样(probabilitysampling)也称随机抽样特点按一定的概率以随机原则抽取样本抽取样本时使每个单位都有一定的机会被抽中每个单位被抽中的概率是已知的，或是可以计算出来的当用样本对总体目标量进行估计时，要考虑到每个样本单位被抽中的概率简单随机抽样(simplerandomsampling)从总体N个单位中随机地抽取n个单位作为样本，每个单位入抽样本的概率是相等的最基本的抽样方法，是其它抽样方法的基础特点简单、直观，在抽样框完整时，可直接从中抽取样本用样本统计量对目标量进行估计比较方便局限性当N很大时，不易构造抽样框抽出的单位很分散，给实施调查增加了困难没有利用其它辅助信息以提高估计的效率分层抽样(stratifiedsampling)将抽样单位按某种特征或某种规则划分为不同的层，然后从不同的层中独立、随机地抽取样本优点保证样本的结构与总体的结构比较相近，从而提高估计的精度组织实施调查方便既可以对总体参数进行估计，也可以对各层的目标量进行估计系统抽样(systematicsainplmg)将总体中的所有单位(抽样单位)按一定顺序排列，在规定的范闱内随机地抽取一个单位作为初始单位，然后按爭先规定好的规则确定其它样本单位先从数字1到k之间随机抽取一个数字r作为初始单位，以后依次取r+k,r+2k…等单位优点：操作简便，可提高估计的精度缺点：对估计量方差的估计比较困难整群抽样(clustersampling)将总体中若干个单位合并为组(群)，抽样时直接抽取群，然后对中选群中的所有单位全部实施调查特点抽样时只需群的抽样框，可简化工作量调查的地点相对集中，节省调查费用，方便调查的实施缺点是估计的精度较差抽样分布总体中各元素的观察值所形成的分布分布通常是未知的可以假定它服从某种分布总体分布(populationdistribution)一个样本中各观察值的分布也称经验分布当样本容屋n逐渐增大时，样本分布逐渐接近总体的分布样本分布(sampledistribution)抽样分布的概念(samplingdistribution)抽样分布是指样本统计屋的分布，即把某种样本统计量看作一个随机变量，这个随机变屋的全部可能值构成的新的总体所形成的分布即为某种统计量的抽样分布.统计量:样本均值，样本比例，样本方差等样本统计量的概率分布是一种理论概率分布随机变量是样本统计量样本均值，样本比例，样本方差等结果来自容量相同的所有可能样本提供了样本统计量长远稳定的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据对抽样分布的理解抽样分布:即不是总体分布，也不是样本分布，是根据所有可能样本计算的统计量的全部可能取值形成的分布样本均值的抽样分布容量相同的所有町能样本的样本均值的概率分布一种理论概率分布进行推断总体均值的理论基础样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布（例题分析）【例】设一个总体，含有4个元素（个体），即总体单位数N=4。
抽样与参数统计
4
4,1
4,2
4,3
4,4
19 5-
统计学
STATISTICS
样本均值旳抽样分布
(例题分析)
计算出各样本旳均值，如下表。并给出样本均 值旳抽样分布
16个样本旳均值（x）
第一种 第二个观察值
观察值 1
2
3
4
1
1.0 1.5 2.0 2.5
2
1.5 2.0 2.5 3.0
3
2.0 2.5 3.0 3.5
=10
n= 4
x 5
n =16 x 2.5
= 50 X
总体分布
x 50
x
抽样分布
22 5-
统计学
STATISTICS
中心极限定理
(central limit theorem)
中心极限定理：设从均值为 ，方差为 2旳一种任意 总体中抽取容量为n旳样本，当n充分大时，样本均值 旳抽样分布近似服从均值为μ、方差为σ2/n旳正态分布
统计学
STATISTICS
第 5 章 抽样与参数估计
1 5-
统计学 第 5 章 抽样与参数估计
STATISTICS
5.1 抽样及其分布 5.2 抽样方法 5.3 参数估计
5.4 样本容量旳拟定 5.5 Excel旳应用
2 5-
统计学
STATISTICS
学习目的
1． 了解抽样和抽样分布旳基本概
念
2． 了解点估计旳概念和估计量旳
30 5-
统计学
STATISTICS
样本百分比旳抽样分布
(数学期望与方差)
• 样本百分比旳数学期望
E( p)
• 样本百分比旳方差
第六章抽样与参数估计
（1）验证 E(x) X
（2）计算重复抽样及不重复抽样的抽样平均误差。 24
第2节 参数估计的基本方法
参数估计——以实际观察的样本数据所计算的统计量作为未 知总体参数的估计值。
一、点估计(Point estimate) 点估计也称定值估计，就是直接以样本统计量作为总体参数
29
大样本(n≥30)下总体均值的区间估计
区间估计就是根据样本求出总体未知参数的估计区间，并使其 可靠程度达到预定要求。
（1） 总体方差σ 2已知时
由于 α ，有
z
x
/
n
N(0,1) ，所以对于给定的置信度1-
P {z 2
x/nz2}1
即
Px z/2
7
抽样法的特点：随机原则 部分估计总体 存在误差并可以控制
抽样法的应用：对某些不可能进行全面调查 而又需要了解其 全面情况的社会经济现象， 必须应用抽样法。（破坏性试验、总体过大、 单位过于分散，实际调查不可能的）
8
第1节 抽样与抽样分布
一、有关抽样的基本概念
总体（母体）(Population) 样本（子样）(Sample) 总体指标(总体参数)（Population parameter） 样本指标(样本统计量)（Sample statistic）
2、某工厂共生产新型聚光灯2000只，随机抽选400只进行耐 用时间调查，结果平均寿命为4800小时，标准差为300小时。 求抽样误差。
3、从某校学生中随机抽选400名，发现戴眼镜的有80人。计 算求抽样误差。
统计学(李荣平)2014-5
P{t>tα(n)}= h(t;n)dt
t (n)
的数tα(n)为t(n)分布的上α分为点。 例：查表求：t0.05（8）， t0.95（8）
o
t (n)
第一节 抽样分布
（三）F 分布
设 U ~ 2(n1 ),V ~ 2(n2 ), 且设 U,V 独立，则称随机变量
F U / n1 V / n2
保证质量，规定σ≤0.6mm时，认为生产过程处于良好控制
状态。为此，每隔一定时间抽取20个零件作为一个样本，并
计算样本方差S2。若P{S2≥c } ≤0.01（此时σ=0.6mm），
则认为生产过程失去控制，必须停产检查，问：
（1）C为何值时，S2≥c的概率才小于或等于0.01？ （2）若取得的一个样本的标准差S=0.84，生产过程是
第五章 抽样分布与参数估计
主
第一节 抽样分布
要 内
第二节 参数点估计
容
第三节 区间估计
第一节 抽样分布
一、随机样本
总体与个体：试验全部可能的观测值叫总体；试验的 每一个观测值叫个体。
样本容量与样本个数：样本中包含的单位数叫样本容 量；从一个总体中可能抽取多少个样本叫样本个数。
总体容量：总体中所包含的个体数。 有限总体和无限总体：总体容量可数的称有限总体， 不可数的称无限总体。 重置抽样（重复抽样）和无重置抽样（不重复抽样）
X
1 n
n i 1
Xi
为样本均值；称统计量
S 2
1 n1
n i1
(Xi
X )2
为 样本方差 ，称统计量 S
S2
1n
( X X ) 2 为样本标准差 ；统计量
n 1 i1 i
统计学课件05第5章抽样与参数估计
反映样本数据的集中趋势和平均水平。
样本方差
定义
样本方差是每个样本数据与样本均值差的平方和的平均值，即 $s^2 = frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} (x_i - overline{x})^2$。
计算方法
先计算每个样本数据与样本均值的差，然后将差平方，最后求和平 均。
作用
反映样本数据的离散程度和波动情况。
样本量的确定
根据调查目的和精度要求确定样 本量：精度要求越高，需要的样
本量越大。
根据总体规模和抽样方法确定样 本量：总体规模越大，需要的样 本量越大；分层或整群抽样较简 单随机抽样需要的样本量更大。
根据调查资源确定样本量：资源 有限时，需要在满足调查目的和 精度要求的前提下，合理确定样
本量。
02 参数估计
大数定律的数学表达
设随机变量X1,X2,...,Xn是相互独立的，且具有相同的分布函数F(x)，则对于任意正实数ε，有 lim(n->∞)P(|X1+X2+...+Xn/n-E(X))/ε)=0，其中E(X)是随机变量X的期望值。
大数定律的实例
在抛硬币实验中，随着实验次数的增加，正面朝上的频率将趋近于0.5。
中心极限定理
中心极限定理定义
中心极限定理是指在大量独立同分布的随机变量中，不论 这些随机变量的分布是什么，它们的平均值的分布总是趋 近于正态分布。
中心极限定理的数学表达
设随机变量X1,X2,...,Xn是相互独立的，且具有相同的分布 函数F(x)，则对于任意实数x，有lim(n->∞)P(∑Xi≤x)=∫(∞->x)F(t)dt。
样本分布的性质
无偏性
如果样本统计量的数学期 望等于总体参数，则该统 计量是无偏的。
抽样与估计知识点
抽样与估计知识点抽样与估计是统计学中的重要概念，它们在数据分析和统计推断中起着关键作用。
通过合适的抽样方法和有效的估计技术，我们可以从一个总体中获取有关特征的信息，并对未知参数进行推断。
本文将介绍抽样与估计的基本概念和相关知识点。
一、抽样方法1. 简单随机抽样简单随机抽样是最基本的抽样方法之一。
它要求从总体中随机地选择样本，每个样本有相同的机会被选中。
简单随机抽样可以保证样本的代表性和独立性，但其实施过程相对繁琐。
2. 系统抽样系统抽样是指按照一定的规则和顺序从总体中选择样本。
例如，我们可以按照每隔k个元素选取一个样本的原则进行抽样。
系统抽样是一种简便有效的抽样方法，在满足一定条件下可以得到具有代表性的样本。
3. 分层抽样分层抽样是将总体划分为若干个相似的层次，然后分别从每个层次中进行简单随机抽样或系统抽样。
通过分层抽样，我们可以充分考虑总体的异质性，提高估计的准确性和可靠性。
二、估计方法1. 点估计点估计是根据样本数据，通过某种统计量来估计总体参数的值。
常见的点估计方法包括样本均值估计总体均值、样本比率估计总体比率等。
点估计给出了参数的一个具体值，但其估计结果可能存在偏差和不确定性。
2. 区间估计区间估计是利用抽样数据，通过构造一个置信区间来估计总体参数的范围。
置信区间表示总体参数落在一定范围内的概率，通过选择合适的置信水平和估计方法，我们可以得到较为准确的参数估计结果。
3. 假设检验假设检验是根据样本数据，对总体参数的某个假设进行推断和判断。
通过设置假设和选择适当的检验统计量，我们可以判断总体参数的真实情况。
假设检验可用于检验差异、关联和拟合等方面的假设。
三、误差与效应1. 抽样误差抽样误差是指抽取样本所引入的随机误差，它是由样本本身的随机变动和抽样方法的影响所引起的。
抽样误差是不可避免的，但可以通过增大样本容量和改善抽样方法来减小。
2. 非抽样误差非抽样误差是指除抽样误差外的其他误差源所引起的误差。
（抽样检验）抽样与参数估计最全版
（抽样检验）抽样与参数估计最全版（抽样检验）抽样与参数估计抽样和参数估计推断统计：利⽤样本统计量对总体某些性质或数量特征进⾏推断。
从数据得到对现实世界的结论的过程就叫做统计推断(statisticalinference)。
这个调查例⼦是估计总体参数（某种意见的⽐例）的壹个过程。
估计(estimation)是统计推断的重要内容之壹。
统计推断的另壹个主要内容是本章第⼆节要介绍的假设检验(hypothesistesting)。
因此本节内容就是由样本数据对总体参数进⾏估计，即：学习⽬标：了解抽样和抽样分布的基本概念理解抽样分布和总体分布的关系了解点估计的概念和估计量的优良标准掌握总体均值、总体⽐例和总体⽅差的区间估计第⼀节抽样和抽样分布回顾相关概念：总体、个体和样本抽样推断：从所研究的总体全部元素(单位)中抽取壹部分元素(单位)进⾏调查,且根据样本数据所提供的信息来推断总体的数量特征。
总体(Population)：调查研究的事物或现象的全体参数个体(Itemunit)：组成总体的每个元素样本(Sample)：从总体中所抽取的部分个体统计量样本容量(Samplesize)：样本中所含个体的数量壹般将样本单位数不少于三⼗个的样本称为⼤样本，样本单位数不到三⼗个的样本称为⼩样本。
壹、抽样⽅法及抽样分布1、抽样⽅法（1）、概率抽样：根据已知的概率选取样本①、简单随机抽样：完全随机地抽选样本，使得每壹个样本都有相同的机会（概率）被抽中。
注意：在有限总体的简单随机抽样中，由抽样是否具有可重复性，⼜可分为重复抽样和不重复抽样。
⽽且，根据抽样中是否排序，所能抽到的样本个数往往不同。
②、分层抽样：总体分成不同的“层”（类），然后在每壹层内进⾏抽样③、整群抽样：将壹组被调查者（群）作为壹个抽样单位④、等距抽样：在样本框中每隔壹定距离抽选壹个被调查者（2）⾮概率抽样：不是完全按随机原则选取样本①、⾮随机抽样：由调查⼈员⾃由选取被调查者②、判断抽样：通过某些条件过滤来选择被调查者（3）、配额抽样：选择壹群特定数⽬、满⾜特定条件的被调查者2、抽样分布壹般地，样本统计量的所有可能取值及其取值概率所形成的概率分布，统计上称为抽样分布（samplingdistribution）。
第六章 抽样与总体参数的估计
两个结论 :
2 (1)设有两个总体X和Y, X ~ N( µ1 , σ 12 ), Y ~ N( µ 2 , σ 2 ), 且X和Y相互
独立。X 1 , X 2 ,..., X n1 是来自总体X的样本容量为n 1 , Y1 , Y2 ,..., Yn 2 是 来自总体Y样本容量为n 2的随机样本，
6.1 抽样与抽样分布 6.1.1 总体、个体和样本
总体(Population)--要研究的事物或现象的总体。 个体(Item unit)--组成总体的每个元素(成员)。 总体容量(Population size)--一个总体中所含个体的数量。 (Sample)-样本(Sample)--从总体中抽取的部分个体。 样本容量(Sample size)--样本中所含个体的数量。 抽样(Sampling)--为推断总体的某些重要特征，需要从总体 中按一定抽样技术抽取若干个体的过程。 统计量(Statistic)--由样本构造,用来估计总体参数的函数。统 计量是样本的函数，只依赖于样本；统计量不含任何参数。 样本均值、样本方差等都是统计量。
2)
4) E ( χ 2 ( n )) = n ,
D ( χ 2 ( n )) = 2 n
卡方分布表给出了卡方变 量在不同自由度下的临界 值. 2 2
P ( χ > χα (n)) = α
0
2 χα ( n)
当n很大时,
2 χ 2 ( n)
近似服从 N ( 2n − 1,1)
2 p
1 实用上,n>45时, χ (n) ≈ (u p + 2n − 1) 2 2
态变量的个数.
卡方分布的特点: 1)卡方分布是一个正偏态分布。随自由度n的不同，其分布曲 线的形状不同， n小，分布偏斜； n很大，接近于正态分布。 当自由度df=n +∞时，卡方分布即为正态分布。
统计学复习(抽样分布、参数估计、假设检验)
两个样本均值之差的抽样分布 （1）如： ） 抽样
X1 − N(µ1,σ12 ), X2 − N(µ2 ,σ2 ),
2
则 x1 − x2 ) ~ N(µ1 − µ2 , (
σ12 σ22
n1 + n2
)
抽样
σ12 N1 − n1 σ22 N2 − n2 (x1 − x2 ) ~ N[(µ1 − µ2 , ( )+ ( )] n1 N1 −1 n2 N2 −1
对于无限总体， 对于无限总体， 一个估计 如果对任意 量如能完 ε＞ˆ 0 满足条件 全地包含 LimP(|θn −θ |≥ ε ) = 0 未知参数 n→∞ 信息， 信息，即 则称 θˆ 是 θ 为充分量 的一致估计。 的一致估计。
点估计
常用的求点估计量的方法
用样本的数字特征 1.数字特征法: 1.数字特征法:当样本容量增大时 ,用样本的数字特征 数字特征法 去估计总体的数字特征。 去估计总体的数字特征。 例如，我们可以用样本平均数(或成数 和样本方差来估 例如，我们可以用样本平均数 或成数)和样本方差来估 或成数 计总体的均值(或比率 和方差。 或比率)和方差 计总体的均值 或比率 和方差。
样本均值的抽样分布（简称均值的分布） 样本均值的抽样分布（简称均值的分布） 抽样
均值µ=∑Xi/N 均值
均值 X = Σxi
n
样本均值是样本的函数， 故样本均值是一个统计量， 样本均值是样本的函数， 故样本均值是一个统计量， 统计量 统计量是一个随机变量 随机变量， 统计量是一个随机变量， 样本均值的概率分布称为 样本均值的抽样分布。 样本均值的抽样分布。
2
n
总体均值 （µ） ）
X ± tα
2
( n −1 )
第5章抽样分布与参数估计
第5章抽样分布与参数估计在统计学中，抽样分布与参数估计是重要的概念。
抽样分布是指从总体中随机抽取样本，计算样本统计量，然后将这些统计量进行分布的过程。
参数估计是通过样本数据对总体参数进行估计的方法。
首先，我们来了解抽样分布。
在统计学中，我们通常很难直接获得总体数据，因为总体数据往往很大，难以收集。
因此，我们采用抽样的方式来获取样本数据，并通过样本数据来推断总体特征。
抽样分布是指在重复抽取样本的过程中得到的统计量的分布。
抽样分布的中心趋于总体参数，而抽样分布的形状可以通过中心极限定理进行描述。
中心极限定理认为，当样本数量足够大时，样本均值的抽样分布近似服从正态分布，且均值等于总体均值。
这对于统计推断和参数估计具有重要意义。
其次，我们来了解参数估计的概念及其方法。
参数估计是指根据样本数据对总体参数进行估计的统计方法。
常见的参数包括总体均值、总体方差等。
参数估计可以分为点估计和区间估计两种方法。
点估计是指通过样本数据计算得到的单个数值来估计总体参数。
常用的点估计方法包括最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是基于样本的观测值选择使得观测值出现的概率最大的参数值作为估计值的方法。
矩估计是通过样本矩与总体矩的对应关系来估计总体参数的方法。
区间估计是指对总体参数给出一个区间估计值，该区间包含了真实参数值的概率。
常用的区间估计方法包括置信区间估计和预测区间估计。
置信区间估计是通过样本数据计算得到的一个区间，可以包含真实参数值的概率。
置信区间的置信水平是指在多次重复抽样中，这个区间包含了真实参数值的概率。
预测区间估计是在给定自变量取值的情况下，通过样本数据对应的因变量的取值的一个区间估计。
总之，抽样分布与参数估计是统计学中重要的概念和方法。
通过抽样分布可以了解样本统计量的分布情况，而参数估计可以通过样本数据对总体参数进行估计。
这些概念和方法对于数据分析和决策具有重要的实际应用价值。
统计学计算公式抽样估计
统计学计算公式抽样估计在统计学中，抽样估计是一种用样本数据来估计总体参数的方法。
通过对样本数据进行分析和计算，可以得到对总体参数的估计值。
抽样估计是统计学中非常重要的一个概念，它可以帮助我们更好地了解总体特征，并且可以用来进行决策和预测。
在本文中，我们将介绍一些常见的统计学计算公式，以及如何利用这些公式进行抽样估计。
一、样本均值的抽样估计。
在统计学中，样本均值是对总体均值的估计。
样本均值的计算公式为：\[\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}\]其中，\(\bar{x}\)表示样本均值，\(x_i\)表示第i个样本数据，n表示样本容量。
通过计算样本均值，我们可以得到对总体均值的估计值。
通常情况下，样本容量越大，样本均值对总体均值的估计越准确。
二、样本方差的抽样估计。
样本方差是对总体方差的估计。
样本方差的计算公式为：\[s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i \bar{x})^2}{n-1}\]其中，\(s^2\)表示样本方差，\(x_i\)表示第i个样本数据，\(\bar{x}\)表示样本均值，n表示样本容量。
样本方差可以帮助我们了解样本数据的离散程度，通过样本方差的计算，我们可以得到对总体方差的估计值。
三、总体比例的抽样估计。
在一些情况下，我们需要对总体比例进行估计。
总体比例的计算公式为：\[p = \frac{x}{n}\]其中，p表示总体比例，x表示总体中满足某一条件的个体数，n表示总体容量。
通过对总体中的个体进行抽样，我们可以得到对总体比例的估计值。
四、抽样误差的计算。
在进行抽样估计时，我们需要考虑抽样误差。
抽样误差是指样本估计值与总体参数之间的差异。
抽样误差的计算公式为：\[E = \frac{Z \times \sigma}{\sqrt{n}}\]其中，E表示抽样误差，Z表示置信水平对应的Z值，\(\sigma\)表示总体标准差，n表示样本容量。
第六章 抽样分布及总体平均数的估计
• 对总体参数的一种看法 总体参数包括总体均值、比例、方差等 分析之前必需陈述
三 假设检验的基本原理
2、什么是假设检验？
1）概念 事先对总体参数或分布形式作出某种假设， 然后利用样本 信息来判断原假设是否成立。 2） 类型 参数假设检验 非参数假设检验 3）特点 采用逻辑上的反证法 依据统计上的小概率原理
二 总体平均数的估计
（3）区间估计（interval estimation)
根据估计量以一定可靠程度推断总体参数所在的区间 范围，用数轴上一段距离表示未知参数可能落入的范围， 虽不具体指出总体参数等于什么，但能指出未知总体参数 落入某一区间的概率有多大。
（4）置信区间（confidence interval）
一 抽样分布与平均数抽样分布
3、样本平均数与总体平均数离差的形态
（2）总体方差未知 总体正态，样本平均数与总体平均数的离差统 计量呈 t 分布； 总体非正态，但满足n>30这一条件，样本平均 数与总体平均数的离差统计量 近似t 分布。
t分布
t 分布（t-distribution)是统计分析中应用较多 的一种随机变量函数的分布，是统计学者高赛特 1908年以笔名“Student”发表的论文中推导出来 的一种分布，又叫学生氏分布。这种分布是一种 左右对称，峰态比较高狭，分布形状随样本容量 n-1的变化而变化的一组分布。
二 总体平均数的估计
4 总体方差σ2未知时，总体平均数μ的估计 用样本的无偏方差作为总体方差的估计值，样本 平均数的分布为t分布，应查t值表，包括以下两 种情况：
（1）总体的分布为正态时，可不管n值大小。 （2）总体分布为非正态，只有n>30，才能用概率对其样本 分布进行解释。
抽样方法与总体分布的估计
抽样方法与总体分布的估计概述：抽样是统计学中非常重要的概念，它可以帮助我们从一个庞大的总体中选择出一部分个体，从而对总体的特征进行推断和估计。
在实际应用中，我们很难对整个总体进行研究，因此抽样方法能够帮助我们通过研究抽取的样本来对总体进行估计和推断。
抽样方法：1.简单随机抽样：简单随机抽样是指从总体中随机地选择一部分个体作为样本，每个个体被选中的概率是相等的。
这种抽样方法能够减少主观因素的干扰，得到较为可靠的估计结果。
2.分层抽样：分层抽样是将总体分成若干个互不重叠的子总体，然后在每个子总体中进行简单随机抽样。
这样可以保证样本的代表性，并且可以在不同子总体中设置不同的抽样比例，更好地反映总体的各个特征。
3.系统抽样：系统抽样是按照一定的规则从总体中选择个体作为样本，例如每隔k个个体选取一个个体。
这种抽样方法适用于总体中个体之间的顺序关系比较明显，具有方便和高效的特点。
4.整群抽样：整群抽样是将总体划分为若干个群体，然后随机地选择几个群体，对选择的群体进行抽样。
这种抽样方法在样本容量较小时，能够减少抽样误差，提高估计结果的可靠性。
总体分布的估计：估计总体分布是指通过样本推断总体的概率分布情况。
常见的总体分布估计方法有以下几种：1.参数估计：根据样本统计量的分布特征，推断总体分布中的参数值。
例如，通过样本均值来估计总体均值，通过样本方差来估计总体方差等。
2.核密度估计：核密度估计通过考虑每个样本点附近一定范围内的密度来估计总体分布的概率密度函数。
该方法可以克服一些分布假设的限制，更加灵活地估计总体分布。
3.经验分布函数：经验分布函数通过计算累积概率来估计总体的分布。
该方法不对总体的具体分布形式进行假设，适用于对总体分布不了解或不确定的情况。
4.模型拟合：模型拟合是指将已知的概率分布模型与样本进行拟合，从而得到总体的估计分布。
常用的拟合方法包括最大似然估计和贝叶斯估计等。
总结：抽样方法和总体分布的估计是统计学中重要的内容。
概率统计中的抽样与估计
概率统计中的抽样与估计在概率统计学中，抽样与估计是两个重要的概念。
抽样是指从总体中选择一部分个体进行观察和测量，而估计则是根据样本数据对总体参数进行推断和预测。
本文将从抽样方法、估计方法以及其在实际应用中的意义等方面展开讨论。
一、概述抽样是概率统计学中的基本概念，是为了从总体中获取一部分观察数据以推断总体特征的方法。
通过合理的抽样方法可以保证样本的代表性和可靠性，并使得统计推断具备一定的科学性和准确性。
常见的抽样方法包括简单随机抽样、系统抽样、分层抽样等，每种方法都有其适用的场景和假设条件。
二、抽样方法1. 简单随机抽样简单随机抽样是指从总体中独立地随机选择每个个体作为样本的一种方法。
其中，每个个体被选中的概率相等且相互独立。
简单随机抽样的优点是易于实施，适用于总体规模较小且属性较均匀的情况。
2. 系统抽样系统抽样是指按照一定的规则从总体中选择样本，其中每个个体之间具有相同的间隔。
例如，从总体中每隔k个个体选择一个样本个体。
系统抽样的优点是简单方便，但是需要确保总体个体之间的排列没有规律性，否则可能导致样本的偏倚。
3. 分层抽样分层抽样是根据总体的某些特征将总体划分为若干个层次，然后从每个层次中随机选择样本个体。
这种抽样方法可以保证样本在不同层次上的分布特征，兼顾总体的多样性。
三、估计方法在抽样后，我们需要利用样本数据来对总体特征进行估计。
常见的估计方法包括点估计和区间估计。
1. 点估计点估计是根据样本数据对总体参数进行点估计，即给出一个最有可能的参数值作为总体参数的估计值。
常见的点估计方法有样本均值估计总体均值、样本方差估计总体方差等。
2. 区间估计区间估计是在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该范围可以包含真实总体参数值的概率较高。
常见的区间估计方法有置信区间估计、预测区间估计等。
四、实际应用抽样与估计在实际应用中具有重要的意义。
通过合理的抽样方法和估计方法，可以通过分析样本数据来推断总体的特征和趋势，为决策和预测提供科学依据。
抽样与参数估计统计学实验报告
抽样与参数估计统计学实验报告抽样与参数估计统计学实验报告概述本实验以抽样与参数估计统计学为主题，研究了参数估计、抽样方法、统计识别等内容。
实验目的1. 熟悉参数估计和统计分析的基本原理和方法;2. 掌握抽样的基本原理，熟悉抽样方法的运用;3. 掌握统计模型识别的方法，进行统计分析和决策;实验介绍1. 参数估计：参数估计是统计分析过程中重要的一步，它是识别某个实际系统的一个重要参数，以此据估计出实际系统的精确参数，估计准确的参数是统计模型的建立的前提。
2. 抽样方法：抽样方法就是从一个总体中取样，所取样的水平表现出一定的代表性，从而能推算出总体的概况，抽样方法有分层抽样、系统抽样、整群抽样等多种。
3. 统计模型识别：是用统计技术进行模型识别，它是利用概率模型来分析数据，建立有效的模型，从而进行有效的分析。
数据分析1. 针对参数估计，我们使用假设检验，通过比较估计值和真实值，进行检验，从而得出参数的准确度。
2. 针对抽样方法，我们使用分层抽样，将总体划分成不同的层，可以更好地表征总体，进行有效抽样。
3. 针对统计模型识别，我们使用多种模型进行比较，根据其检验概率和显著性水平，选择出最有效的模型进行识别。
结论1. 通过假设检验，得出了参数估计的准确度；2. 通过分层抽样得出了较好的抽样结果；3. 通过多种模型进行比较，选择出最有效的模型进行识别。
建议在下次实验中，为了提高参数估计的精度，应该进行更加精细的假设检验；为了增加抽样的可靠性，应该采用更为严谨的抽样方法；此外，要多尝试不同的统计模型，以期得到更好的结果。
分析统计中的抽样与总体
分析统计中的抽样与总体在统计学中，抽样和总体是两个重要的概念。
抽样是指从总体中选择一部分个体进行研究或调查的过程，而总体则表示研究对象的全部个体或事项。
本文将从各个角度分析统计中的抽样与总体的相关内容。
一、抽样的概念和目的抽样是统计学中常用的数据收集方法，其目的在于通过对样本的研究来推断总体的特征和规律。
通过恰当地选择样本，可以准确、高效地推断总体的信息，从而节省研究成本和时间，提高研究的可行性和效果。
抽样方法有多种，如简单随机抽样、系统抽样、分层抽样等，根据具体的研究目的和条件，选择适用的抽样方法十分重要。
二、抽样误差在进行抽样调查时，由于样本的随机性等因素，样本结果可能与总体结果有所偏差，这就是抽样误差。
抽样误差是不可避免的，但可以通过增加样本容量和合理控制其他偏倚因素来减小误差。
其中，样本容量的大小对抽样误差的控制至关重要，较大的样本容量可以提高结果的可靠性和稳定性。
三、抽样方法的选择选择适当的抽样方法是保证研究结果准确性的关键。
常见的抽样方法包括简单随机抽样、系统抽样和分层抽样等。
简单随机抽样是最基本、最常见的抽样方法，其特点是每个个体都有相同的被选中概率。
系统抽样是按照固定的规则从总体中选取样本，相对简单但可能引入一些偏倚。
分层抽样将总体划分为若干层次，从每层中抽取一定数量的样本，能够更好地反映总体的特征。
四、总体参数的估计通过对样本的观察与分析，可以对总体参数进行估计。
常见的总体参数包括均值、比例和方差等。
而样本均值、样本比例和样本方差等统计量可以作为总体参数的估计量，通过合理计算和推断，可以得到对总体参数的有一定程度的准确估计。
在进行参数估计时，需要考虑样本容量的大小和抽样方法的选择。
五、抽样调查的优缺点抽样调查是一种常用的统计研究方法，具有一定的优点和局限性。
其优点包括节约时间和成本、提高调查效率、减少数据量等。
而缺点主要表现在可能引入抽样误差、样本代表性不足、样本容量不大等方面。
概率与统计中的抽样与估计
概率与统计中的抽样与估计在数学领域中，概率与统计是两个密不可分的概念。
概率是通过数学方法来研究随机事件发生的可能性，而统计是通过收集、整理和分析数据来推断总体特征的学科。
在概率与统计的学习过程中，抽样与估计是其中重要的内容之一。
本文将深入讨论在概率与统计中的抽样与估计的概念与应用。
一、抽样方法在统计学中，抽样是指从总体中选择一部分个体进行研究或者数据收集的过程。
合理的抽样方法可以确保研究结果的可靠性和有效性。
常见的抽样方法包括随机抽样、系统抽样、分层抽样和群集抽样等。
1. 随机抽样随机抽样是指通过随机选择个体形成样本的方法。
随机抽样可以避免主观因素对样本的影响，保证样本的代表性。
常用的随机抽样方法包括简单随机抽样、整群抽样和系统抽样等。
2. 系统抽样系统抽样是指按照某种系统性的方法选择样本的过程。
例如，在调查问卷中，可以选择每隔一定间隔的受访者进行调查，这就是一种系统抽样。
系统抽样适用于总体有规律排列的情况下，可以简化样本的选择过程。
3. 分层抽样分层抽样是指将总体分为若干个不同层次的子总体，在每个子总体中进行随机抽样。
这种抽样方法可以更好地代表总体的特征。
分层抽样常用于大规模调查和研究中，比如根据地理位置、年龄、性别等进行层次划分，再在每个层次中进行抽样。
4. 群集抽样群集抽样是指将总体划分为若干个群集，然后随机选择若干个群集，再对每个群集进行全员调查或者抽样调查。
群集抽样适用于总体分布广泛，难以直接访问的情况下，例如对某个地区的农户进行调查。
二、点估计点估计是指通过样本数据推断总体参数的数值估计。
在概率与统计中，常用的点估计方法有最大似然估计和矩估计。
1. 最大似然估计最大似然估计是一种常用的点估计方法，它假设样本数据是从已知分布中独立抽取得到的。
通过构建似然函数，寻找使得似然函数最大化的参数值，从而对总体参数进行估计。
最大似然估计具有无偏性和一致性的性质。
2. 矩估计矩估计是另一种常用的点估计方法，它基于样本矩与总体矩之间的关系进行求解。
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设X1,X2,…,Xn为某总体中抽取的随机样本, X1,X2,…,Xn为相 互独立,且与总体有相同分布的随机变量.
(1)当总体为正态分布N(, 2)时,X的抽样分布仍为正态分
布,
E(X ) , X
D(
X
)
2 X
2
n
,
X
~
N
,
2
n
当ｎ越来越大时,X的 离散程度越来越小, 即用X估计越准确。
(2)当总体的分布不是正态分布时，只要样本容量ｎ足 够大时，样本均值的分布总是近似正态分布，此时要 求总体方差2有限。
1
( 2 2 ... 2 ) n 2
2
n2
n2
n
2 D(X )
X
n
中心极限定理(Central Limit theorem): 设从均值为，方差为2(有限)的任意一个总体中抽 取大小为ｎ的样本,当ｎ充分大时(n30),样本均值X 的抽样分布近似服从均值为，方差为2/ｎ的正态分 布。
假定总体均值为，方差为2
E X
E
n
Xi
i 1
n
1 n
EX1
X2
...
Xn
1 n
E( X1)
E( X 2 )
...
E(X n )
1 n
(
...
)
n
n
D( X )
D
n
Xi
i 1
n
1 n2
n
D(
i 1
Xi)
1 n2
D( X1)
D( X 2 ) ...
D(X n )
x
X
什么叫ｎ充分大呢？
总体偏离正态越远，则要求ｎ就越 大。在实际应用中常要求ｎ30。
例6.1 从一个均值=8，=0.6的总体中随机选取容 量为ｎ＝25的样本。假定该总体不是很偏的，
求：(1) 样本均值 X 小于7.9的近似概率;
(2) X 超过7.9的近似概率; (3) X 在总体均值=8附近0.1范围内的概率.
6.1 抽样与抽样分布
6.1.1 总体、个体和样本
总体(Population)--要研究的事物或现象的总体。 个体(Item unit)--组成总体的每个元素(成员)。 总体容量(Population size)--一个总体中所含个体的数量。 样本(Sample)--从总体中抽取的部分个体。 样本容量(Sample size)--样本中所含个体的数量。 抽样(Sampling)--为推断总体的某些重要特征，需要从总体
在整群抽样中,总体首先被分成称作群的独立的元素组,总体中的每一 元素属于且仅属于某一群。抽取一个以群为元素的简单随机样本， 样本中的所有元素组成样本。在理想状态下，每一群是整个总体小
范围内的代表。
（4）系统抽样(Systematic sampling)
又称等距抽样。从前k个元素中随机选一个，然后在样本框中每隔一 定距离抽取一个。
(2)
P( X 7.9) 1 P( X 7.9) 1 P( X 7.9) 1 0.2033
0.7967
(3)Βιβλιοθήκη P(7.9 X 8.1) P(7.9 8 X 8 8.1 8) P(0.83 Z 0.83)
0.12 0.12 0.12
2P(0 Z 0.83) 2 0.2967 0.5934
解: 根据中心极限定理,在总体不很偏的情况下,
8, X
0.6 0.12,
X n 25
X ~ N ( , 2 ) N (8,0.122 ), XX
(1)
P( X 7.9) P( X 8 7.9 8) P(Z 0.83)
0.12 0.12
P(Z 0.83) 0.5 P(0 Z 0.83) 0.5 0.2967 0.2033
完全随机地选取样本,要求有一个完美的抽样框或有总体中每一个个 体的详尽名单。可以采取抽签或随机数字表的办法实现。
（2）分层抽样(Reduced sampling)
先将总体分成不同的“ 层”, 然后,在每一“ 层”内进行简单随机 抽样。可防止简单随机抽样造成的样本构成与总体构成不成比例的 现象。
（3）整群抽样(Cluster Sampling)
抽样方法分为两类：概率抽样和非概率抽样
1、概率抽样 •根据已知的概率选取被调查者； •最理想、最科学的抽样方法； •能保证样本数据对总体的代表性； •能有效控制抽样误差，将其限制在一定范围内； •缺点是：相对非概率抽样，花费较大。 概率抽样的几种形式:
（1）简单随机抽样(Simple random sampling)
6.1.3 样本均值的分布与中心极限定理
1、样本均值X分布的含义
采用随机抽样的方法，从总体中抽取大小为n的一个样本,计 算出它的平均值X1,然后将这些个体放回总体去,再抽取n个个 体,又可以计算出平均值X2,… 再将n个个体放回去,再抽取n个 个体,如此可以计算出无限个X,这些样本均值X所有可能值的 概率分布叫均值X的抽样分布.
2、非概率抽样
不是完全按随机原则选取样本。
（1）方便抽样(Convenience sampling)
由调查人员自由、方便地选择被调查者的非 随机选样。
（2）判断抽样(Judgement sampling)
通过某些条件过滤选择某些被调查者参与调 查的判断抽样法。
建议使用概率抽样方法：简单随机抽样、分层抽样、整群抽样或系统 抽样。从所估总体特征与样本结果的接近程度上讲，公式可用于估计 抽样结果的“ 优良性”。而用方便抽样和判断抽样方法不能对该“ 优 良性”进行估计。因而，当解释由非概率抽样方法得到的结果时，要 特别小心。
第六章 抽样与总体参数的估计
统计推断是统计学研究的重要内容。抽样是进行统计 统计推断的基础工作。参数估计是统计推断的重要内 容之一。 6.1 抽样与抽样分布 6.2 参数的估计方法 6.3 总体均值和总体比例的区间估计 6.4 两个总体均值及两个总体比例之差的估计 6.5 正态总体方差及两个正态总体方差比的区间估计 6.6 相关系数的区间估计
中按一定抽样技术抽取若干个体的过程。 统计量(Statistic)--由样本构造,用来估计总体参数的函数。统
计量是样本的函数，只依赖于样本；统计量不含任何参数。 样本均值、样本方差等都是统计量。
6.1.2 抽样方法 抽样设计与全面调查相比有如下特点:
(1)节省人力及费用; (2) 节省时间,提高调查研究的时效性; (3)保证研究结果的准确性。