圆柱和圆锥等积变形
体积等积变形法计算公式
体积等积变形法计算公式体积等积变形法是一种用于计算物体体积的方法，它基于物体在变形过程中体积不变的原理。
这种方法在工程学、物理学和数学中都有广泛的应用，可以帮助人们更准确地计算物体的体积，从而在设计和制造过程中提高效率和质量。
体积等积变形法的基本原理是，当一个物体经历形状的变化时，其体积保持不变。
这意味着无论物体变成什么形状，其体积都是相同的。
利用这一原理，我们可以通过计算物体在不同形状下的体积来得到最终的体积。
下面我们将介绍一些常见的体积等积变形法的计算公式。
1. 圆柱体的体积计算公式。
圆柱体是一个常见的几何体，其体积可以通过体积等积变形法来计算。
圆柱体的体积公式为V=πr²h，其中V表示体积，π表示圆周率，r表示圆柱体的半径，h表示圆柱体的高。
2. 球体的体积计算公式。
球体是一个完全圆形的几何体，其体积也可以通过体积等积变形法来计算。
球体的体积公式为V=4/3πr³，其中V表示体积，π表示圆周率，r表示球体的半径。
3. 锥体的体积计算公式。
锥体是一个圆锥形的几何体，其体积同样可以通过体积等积变形法来计算。
锥体的体积公式为V=1/3πr²h，其中V表示体积，π表示圆周率，r表示锥体的底面半径，h表示锥体的高。
4. 直角三棱柱的体积计算公式。
直角三棱柱是一个底面为直角三角形的几何体，其体积也可以通过体积等积变形法来计算。
直角三棱柱的体积公式为V=1/2abH，其中V表示体积，a和b表示直角三角形的两条直角边的长度，H表示直角三棱柱的高。
5. 平行四边形棱柱的体积计算公式。
平行四边形棱柱是一个底面为平行四边形的几何体，其体积同样可以通过体积等积变形法来计算。
平行四边形棱柱的体积公式为V=Ah，其中V表示体积，A表示平行四边形的面积，h表示平行四边形棱柱的高。
以上是一些常见的几何体的体积计算公式，它们都可以通过体积等积变形法来计算。
在实际应用中，我们可以根据物体的形状和特点选择合适的计算公式，从而更准确地计算物体的体积。
等积变形的原理
等积变形的原理嘿，朋友！你有没有想过，一个东西的形状变了，可它占的地方大小却能不变呢？这就是等积变形的奇妙之处啦。
我记得小时候，我和小伙伴小明一起玩泥巴。
我们把一团泥巴捏成各种形状。
有时候捏成一个圆球，有时候又把它拍成一个扁扁的饼状。
我就好奇地问小明：“你说这泥巴一会儿圆一会儿扁的，它占的地儿是不是不一样啦？”小明挠挠头说：“我觉得好像不一样呢，圆的看起来小，扁的看起来大。
”其实啊，我们那时候不知道，这团泥巴不管变成啥形状，它的体积是不变的。
这就像是水在不同的容器里，不管是装在高高的瓶子里，还是矮矮的碗里，水的量，也就是体积，是不会变的。
那等积变形到底是咋回事呢？从数学的角度来讲，等积变形是基于一些基本的几何原理的。
比如说，对于一个长方体，它的体积公式是长×宽×高。
如果我们把这个长方体压一压，让它变矮了，但是同时它可能就会变长或者变宽，这样一调整，长×宽×高的结果，也就是体积，还是原来那个数。
这就好比是一群小动物住在房子里，房子的空间大小是固定的，要是把房间的高度降低一点，那房间的长度或者宽度就得变一变，好让小动物们住的地方还是那么大。
再看看圆柱和圆锥。
圆柱的体积是底面积×高，圆锥的体积是1/3×底面积×高。
要是我们把一个圆柱的材料用来做圆锥，你会发现这个圆锥肯定要比圆柱高很多，而且底面积也会有变化。
这就像把一堆沙子，原本堆成一个像圆柱那样的小沙堆，现在要把它重新堆成一个圆锥形状的沙堆，那这个圆锥沙堆肯定要比原来的圆柱沙堆高很多，而且底面的大小也不一样了，但是沙子的总体积是不变的呀。
我还有个朋友小红，她在做手工的时候也碰到了等积变形的事儿。
她用一些彩色的卡纸做立体图形。
她先做了一个正方体的小盒子，然后又想把这个正方体盒子改造成一个三棱柱的盒子。
她就很担心，这纸就这么多，能做成三棱柱吗？我就跟她说：“你放心吧，只要你在做的过程中没有多剪纸也没有少剪纸，那这个三棱柱的体积就和正方体的体积是一样的。
圆柱和圆锥中出现的问题
圆柱和圆锥》教学中存在的问题《圆柱和圆锥》这一单元的内容就快要教完了，可班上学生的学习状况却令我非常担忧。
这一单元知识内容表面上看好象没有多少难度，课堂上模型出示，实验演示，学生动手操作，亲自感知，知识内容距离学生生活也不是太远，课堂上也不是死气沉沉，书本上知识结论（各种公式）也简明易记，可学生实际的学习效果却恰恰相反，我总结存在的问题主要有三点：1、公式记不牢，一用就出错。
如果单纯叫学生背圆的周长和面积计算公式，可能不费什么事。
但是遇到几个基本公式综合在一起或者基本公式又会产生变形的情况，如S圆柱侧面积=πdh或2πrh，S圆柱表面积=πdh+2πr²或Ch+2πr²，V圆柱=Sh或πr²h，V圆锥=1/3Sh 或1/3πr²h，学生却容易产生遗忘和混淆，在实际做题时，往往随便拉来一个公式，把题中的数字往上一填，就开始计算了，结果往往是错误连连。
经课堂提问表明，许多学生在学了复杂的表面积和体积计算公式后，反而前面的简单公式却记不得了。
2、计算心不细，中途频出错。
在圆柱侧面积、表面积、体积，圆锥的体积计算题中，往往要涉及到多位小数在一起相乘，有时还牵涉到取近似值的问题，计算步骤一多，学生就会心烦意乱，只要中途一个环节稍有疏忽，就会“全军覆没”。
就连一些数学思维能力出众，计算基本功较好的学生也频频栽跟头，学困生就干脆“缴械投降”了。
于是一看到那么多的数字在一起相乘或相加，学生心里就直发毛。
3、分析能力弱，应用题“卡壳”。
学了《圆柱和圆锥》这一单元后，一些诸如“圆柱与圆锥之间体积、底面积和高三者之间变与不变”而产生的新问题把学生绕得头脑虚昏，无所适从。
对于一些实际应用的题目中故意设置的小“陷阱”如：单位名称不统一，标准公式中的一个条件必须通过题中的条件转换以后才能得到，还有一些将立体图形展开以后再需要在头脑中还原等第题目学生感到十分头疼。
我觉得学生的空间想象能力和抽象思维能力还没有发展到如此高的程度4：审题不清，思路判断失误如求无盖水桶的铁皮面积时用底面积乘2如用铁皮的面积去成每升水重1千克如把压路机压过的路面面积算成表面积2、记忆公式和运用公式的差别圆锥的体积公式是“底面积×高÷3”，如果我要问圆锥的体积公式是什么，我相信全班的学生都会回答，并且准确无误，但是在具体算圆锥的体积时候，就有相当一部分学生忘记“除以3”。
人教版数学六年级下册体积的等积变形
人教版数学六年级下册第三单元《圆柱与圆锥》“等积变形”教学预案永川区望城路小学何开莲教材分析数学六年级下册第三单元《圆柱与圆锥》是整个小学阶段最后一个“几何与图形”的内容。
包括圆柱圆锥的认识、圆柱的表面积、圆柱的体积和圆锥体积。
圆柱、圆锥是人们在生产、生活中经常遇到的几何形体。
教学这一部分内容，有利于发展学生的空间观念，为进一步应用几何知识解决实际问题打下基础。
几何知识一向是小学生学习的难点。
特别是圆柱的表面积、圆柱圆锥体积的应用问题更是让学生忘而却步。
造成这种现象的原因除了计算复杂繁琐外，就是学生对立体图形的空间思维能力差。
不能根据文字叙述想象立体图形的样子，找不到解题的关键。
我的思考本次教研主题是“提高立体图形空间思维能力”。
围绕这个主题，我确定从“等积变形”思想方法来落实。
“等积变形”是小学阶段要渗透落实的重要思想方法之一。
生活中大量存在其身影。
在实际生活中有些物质如金属、橡皮泥、或装在容器里的液体等，可以通过熔铸、锻造、重塑或更换容器等改变原来的形状，在这个变换的过程中物体的形状发生了变化，体积不变，这就是形体的“等积变形”。
围绕“等积变形”，我设计“面积变形”和“体积变形（重点）”两个内容。
“面积变形”是为了使计算简便。
“体积变形”设计为稍复杂的体积变形：不规则物体体积计算（看图计算）和未完全浸没（解决问题）。
利用“化曲为直”、“动画重现”“割补剪拼”、“移花接木”“数形结合”等方式，让学生体会转化思想在数学中的广泛应用，提高学生的立体图形空间观念。
教学目标1.优化圆柱体表面积计算公式，能够解决稍复杂的体积的“等积变形”问题。
2.在不同情境中，找准“形变”与“体积不变”的关系，在变化中找不变的量，抓住解决问题的关键，从而正确解决实际问题。
3.发展空间观念，提高学生立体图形空间思维能力。
体会转化的思想价值。
教学重、难点重点：运用多种方法通过“等积变形”解决实际问题。
难点：在不同题目情境中，找准不变的量，抓住“等积”这一解题关键。
圆柱与圆锥的等积变形(课件)北师大版六年级下册数学
度。
S底=3.14×52=78.5(cm2)
V圆锥=13×3.14×62h×=130 76.8÷78.5
= 37.68×10 =4.8(cm)
=376.8(cm3)
答:圆柱内水面的高度为4.8厘米。
变式1： 在一个底面直径是8厘米，高10厘米的圆柱 形量杯内放入一些水，水面高是8厘米。把 一个小球浸没在量杯里，水满后还溢出 12.56克。求小球的体积。（每立方厘米水 重1克）
分析:放入小球前水的高度是8cm，还没达到量 杯的高度，放入小球后，水满溢出，水不仅升高 了10-8=2（cm）,还有水溢出，
溢出水的体积：12.56÷1=12.56（cm³）
3.14×（8÷2）²×（10-8）+12.56
=100.48+12.56 =113.04（cm³）
答：小球的体积是113.04cm³。
1250 20 100（0 毫升)
5 厘米
20 5
答：瓶内有饮料1000毫升。
20
厘 米
8、把一个正方体木块削成一个最大的圆 锥。正方体木块的棱长是6 dm，被削 去部分的体积是多少立方分米？
63－
1 3
×3.14×(6÷2)2×6＝159.48(dm3)
答：被削去部分的体积是159.48 dm3。
半径:15.7÷3.14÷2=2.5（dm） 体积：3.14×2.5²×2=39.25（dm³） 高：39.25×3÷10=11.775（dm）
答：圆锥的高是11.775 分米。
3、把一个体积是282.6立方厘米的铁块熔
铸成一个底面半径是6厘米的圆锥形机器零
件，求圆锥零件的高。
282.6÷（3.14×62× 1 ）
3-2.4= 0.6（分米）
圆柱与圆锥的等积变形问题
圆柱与圆锥的等积变形问题1.一个圆柱的底面周长减少25%，要使体积增加1/3，现在的高和原来的高度比是多少？2.把三角形ABC沿着边AB或BC分别旋转一周，得到两个圆锥（如图1、图2），（单位：厘米）谁的体积大？大多少立方厘米？3.一个圆锥形钢锭，底面直径6分米，高5分米，体积多少？如果每立方分米重3千克，这个钢锭重几千克？4.两个盛满水的底面半径为10厘米、高30厘米的圆锥形容器，将它们盛的水全部倒入一个底面半径为20厘米的圆柱形容器中，求水深。
5、有一个圆柱形钢材。
它的高是1.2米，它的侧面积是7.536平方米。
问：它的质量是多少吨？（每立方厘米钢重7.8克，得数保留整数吨）6、有一卷紧紧缠绕在一起的塑料薄膜，薄膜直径为20厘米，中间有一直径为8厘米的卷轴，以知薄膜的厚度为0.04厘米，则薄膜展开后的长度为多少厘米？7 、有一种饮料瓶的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是30立方分米。
现在瓶中装有一些饮料，正放时饮料高度为20厘米，倒放时空余部分的高度为5厘米（见右图）。
问：瓶内现有饮料多少立方分米？8、皮球掉进一个盛有水的圆柱形水桶中。
皮球的直径为15厘米，水桶底面直径厘米。
皮球又4/5的体积浸在水里，问：皮球吊进水中后，水桶中的水面升高了多少厘米？（半径为r的球的体积是4/3∏r³。
）9、有一个下面是圆柱体，上面是圆锥体的容器，圆柱体的高度是10厘米，圆锥体的高度是6厘米，容器内的液面高度是7厘米。
当将这个容器倒过来放时，从圆锥的见到液面的高是多少厘米？10有一种酒瓶，容积为495立方厘米，当酒瓶瓶口向上时，瓶内酒的高度是15厘米，瓶口向下时，余下部分的高是5厘米，求瓶内酒有多少立方厘米？11、一个封闭的圆柱体容器横放时长12厘米，侧面圆直径4厘米，现里面水位高2厘米，若竖放水位多高？12.一个圆锥与一个圆柱的底面积比是3:2，体积比是2:5，如果圆柱的高与圆锥之和是36厘米，求圆锥的高是多少厘米？。
圆锥与圆柱的体积与表面积变化
圆锥与圆柱的体积与表面积变化圆锥和圆柱是几何学中的基本形状，它们的体积和表面积在不同的变化条件下会发生改变。
本文将探讨圆锥和圆柱的体积和表面积随着形状和尺寸的变化而变化的规律。
一、圆锥的体积与表面积变化圆锥的体积和表面积是根据底面半径和高度进行计算的。
1. 圆锥的体积圆锥的体积公式为V = (1/3)πr²h，其中V代表体积，π代表圆周率，r代表底面半径，h代表高度。
由于圆锥的体积与底面半径的平方和高度成正比，当底面半径或高度增加时，圆锥的体积也会增加。
相反地，当底面半径或高度减小时，圆锥的体积也会减小。
2. 圆锥的表面积圆锥的表面积公式为S = πr² + πrl，其中S代表表面积，l代表母线的长度。
圆锥的表面积包括底面积和侧面积两部分。
底面积等于圆的面积，侧面积由与底面相切的每一条母线的曲面构成。
与体积类似，圆锥的表面积也和底面半径以及母线的长度成正比。
增加底面半径或母线的长度会导致圆锥的表面积增加，减小底面半径或母线的长度会导致圆锥的表面积减小。
二、圆柱的体积与表面积变化圆柱的体积和表面积同样是根据底面半径和高度进行计算的。
1. 圆柱的体积圆柱的体积公式为V = πr²h，其中V代表体积，π代表圆周率，r代表底面半径，h代表高度。
不同于圆锥，圆柱的体积只和底面半径的平方和高度成正比。
当底面半径或高度增加时，圆柱的体积会增加；反之，当底面半径或高度减小时，圆柱的体积会减小。
2. 圆柱的表面积圆柱的表面积公式为S = 2πr² + 2πrh，其中S代表表面积。
圆柱的表面积由底面积和侧面积两部分构成。
底面积等于圆的面积乘以2，侧面积等于矩形的周长乘以高度。
圆柱的表面积和底面半径以及高度成正比。
增加底面半径或高度会导致圆柱的表面积增加，减小底面半径或高度会导致圆柱的表面积减小。
综上所述，圆锥和圆柱的体积与表面积随着形状和尺寸的变化而变化。
了解这种变化规律有助于我们在实际问题中进行计算和应用。
圆柱和圆锥体积中的典型题等积变形
圆柱和圆锥中的典型题
讲解：
【例1】把一块高为9cm的圆锥形钢坯浸在一个底面 积为28.26cm2的圆柱形水桶内，水面上升了2cm，这 个圆柱形钢坯的底面积是多少平方厘米？
解：上升的水的体积： 26.26×2=50.24（cm3）
圆锥的底面积： 50.24 ×3÷9=18.84（ cm2）
答：这个圆锥形钢坯的底面积是18.84 圆锥形零件有多 高？（单位：cm，结果保留整数）
·10
正方体零件熔铸成圆柱形零件
10 10
10 4
长方体零件熔铸成圆锥形零件
10 20
14
10
【例2】如图，圆柱形零件有多高？圆锥形零件有多 高？（单位：cm，结果保留整数）
5
正方体零件熔铸成圆柱形零件
10 10
解：正方体的体积： 10×10×10=1000（cm3）
圆柱的底面积： 3.14×52 =78.5（cm3）
圆柱的高： 1000 ÷78.5 ≈13（cm） 答：圆柱形零件的高是13厘米。
本内容仅供参考,如需使用，请根据自己实际情况更改后使用！
放映结束 感谢各位批评指导！
谢 谢！
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等积变形题目圆锥熔铸成圆柱
等积变形题目圆锥熔铸成圆柱
等积变形是一种有趣的几何变形，它可以将一个几何体变形成另一个几何体，使其体积保持不变。
这种变形可以发生在多种几何图形之间，其中最常见的是圆锥熔铸成圆柱，即将一个圆锥体通过熔铸变形成一个圆柱体，而且它们的体积保持不变。
这种等积变形的原理是，圆锥体和圆柱体的体积公式是相同的，即V = π r2 h，其中r 是圆的半径，h是高度。
因此，如果圆柱的高度和圆锥的高度相同，那么两者的体积也必须相同，也就是说，在高度h相同的情况下，圆柱的半径必须与圆锥的半径r相同，这就是等积变形的原理。
圆锥熔铸成圆柱的实际变形过程是，首先将圆锥放入熔炉内，熔炉的温度调到适当的温度，当圆锥融化时，将圆锥熔铸成圆柱。
这种过程需要调整熔炉的温度，以保证圆锥和圆柱的体积相等。
熔铸成圆柱的过程具有许多优势，例如，可以节省材料，可以减少制造时间，可以降低成本等。
由于圆锥和圆柱的体积相等，因此可以在不改变体积的前提下，将原材料熔铸成更加结实坚固的圆柱，从而节省材料，减少制造时间，降低成本。
等积变形是一种有趣的几何变形，它可以将一个几何体变形成另一个几何体，使其体积保持不变。
本文主要讨论了将圆锥熔铸成圆柱的等积变形，并介绍了它的原理以及实际变形过程，以及其优点。
希望本文能够对读者有所帮助。
圆柱圆锥练习等积变形
8、一个圆锥形沙堆，占地面积为15平方米， 高2米，把这堆沙铺在宽8米的路上，平 均厚度5厘米，能铺路多少米？
2厘米=0.02米
a×0.2= 10×π×0.4 a= 62.8
6、一个长方体钢坯，长50厘米，宽20厘 米，高10厘米，铸造成一个底面直径是 20厘米的圆柱形钢柱，高多少厘米？ （得数保留整数）
7、一个棱长为5分米的正方体油桶装满油， 倒入一个底面积是10平方米的圆柱形油桶 中，正好倒满，这个油桶高多少分米？
解：设圆锥的高为h。 体积不变：圆柱体积 圆锥体 h=6
3、一个圆锥形沙堆底面直径8米，高12分 米，把这些沙子铺在一条长31.4米，宽8米 的道路上，能铺多厚？
解：设能铺h米厚。 体积不变：长方体体积=圆锥体积
10×π×8×h= 16×π×0.4 8÷2=4米 12分米=1.2米 10×π×8×h= 16×π×0.4 5×h= 0.4 h= 0.08
等积变形问题
1、一辆货车箱是一个长方体，它的长是4 米，宽是1.5米，高是4米，装满一车沙， 卸后沙堆成一个高是1.5米的圆锥形，它的 底面积是多少平方米？
沙的体积不变
2、把一个底面积是12.56平方分米，高是 4.5分米的圆柱形钢材熔铸成一个底面直 径是6分米的圆锥，这个圆锥的高是多少 分米？
4、一个圆锥形沙堆，底面积是3.6平方米， 高是3米。将这堆沙装在一个底面积是2.4 的圆柱形沙坑里，能装多高？
解：设能铺h米厚。 体积不变：圆柱体积=圆锥体积
5、一个圆锥形沙堆，底面积是31.4平方米， 高是1.2米。用这堆沙在10米宽的公路上， 铺上2厘米厚的路，能铺多少米长？
解：设能铺a米长。 体积不变：长方体体积=圆锥体积
数学北师大版六年级下册圆柱与圆锥的体积延伸---等积变形
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知识应用
一个圆柱与一个圆锥的底面积和体积分别相 等。 已知圆柱的高是4dm，圆锥的高是多少？ 想一想:当一个圆柱与一个圆锥 的底面积和体积分别相等时，圆 锥的高与圆柱的高又是什么关系 呢？
4× 3＝12（dm）
答：圆锥的高是12dm 。
A
B
C
D
E
圆锥( )与圆柱( )的体积相等
等积变形
勉县定军山镇中心小学教师 张玉华
看看想想:
圆柱和圆锥的底和高有什
么关系?
圆柱和ห้องสมุดไป่ตู้锥等底等高
你发现了什么?
圆柱的体积是与它等底 等高圆锥体积的3倍. 圆柱的体积是与它等底 1 等高圆锥体积的 3 .
圆柱体积＝底面积 圆锥体积＝
高
圆柱体积＝底面积 圆锥体积＝底面积
高 高
1 3
圆柱体积＝底面积 圆锥体积＝底面积
高 高
1 3
努 力 吧 ！
绿色圃中小学教育网
因为体积相等， 底面积相等， 所以圆锥的高应是圆柱的3倍： 因为体积相等， 高相等， 所以圆锥的底面积应是圆柱的3 倍
实践活动：
一个圆柱形橡皮泥，底面积是12 平方厘米，高是5厘米。 （1）如果把它捏成同样底面大 小的圆锥，这个圆锥的高是多少？
（2）如果把它捏成同样高的圆 锥，这个圆锥的底面积是多少？
第①小题：因为体积不变， 底面积不变， 所以圆锥的高应是圆柱的3倍： 5× 3＝15cm 第②小题：因为体积不变， 高不变， 所以圆锥的底面积应是圆柱的3 2 倍：12× 3＝36cm
圆柱和圆锥体积中的典型题-等积变形
例2
一个圆锥的底面半径为4cm，高为 6cm，将其等积变形为一个长方体， 求长方体的体积。
05 等积变形问题的解题技巧
灵活运用公式
1 2
熟练掌握圆柱和圆锥的体积公式
V=πr²h（圆柱）和V=1/3πr²h（圆锥）。
理解等积变形的含义
等积变形是指形状改变，但体积保持不变。
3
正确运用等积Leabharlann 形定理在等积变形中，高度和半径的比值保持不变。
方程求解等。
等积变形问题的发展趋势
随着数学和物理学理论的不断发展，等积变形问题也在不断演变。未来， 这类问题可能会更加复杂和多样化，涉及到更多的几何形状和物理现象。
未来解决等积变形问题的方法可能会更加多样化和创新。例如，可能会 引入更高级的数学工具，如微分几何、线性代数等，来更好地描述和解 决这类问题。
等积变形问题的发展趋势还表现在实际应用中。随着科技的不断进步， 这类问题在工程、机械、建筑等领域的应用越来越广泛。未来，等积变 形问题可能会成为解决实际问题的重要工具之一。
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重要性及应用场景
等积变形问题在数学竞赛、高考数学中频繁出现，是考察学生数学综合素质的重 要题型之一。
等积变形问题不仅有助于培养学生的空间想象能力和几何变换能力，还可以为解 决实际问题提供思路和方法，如建筑设计、机械制造等领域中需要进行形状变换 的问题。
02 等积变形的概念
定义与性质
定义
等积变形是指两个或多个几何形 状的体积相等，但形状可能不同 。
03 圆柱等积变形问题
圆柱等积变形的基本类型
圆柱的底面半径不变， 高发生变化的等积变 形。
圆柱的底面半径和高 同时发生变化的等积 变形。
6.6.2柱、锥、台的体积(等积变换求三棱锥的体积)课件(北师大版)
§ 6.6.2柱、锥、台的体积
（专题课：等积变换求三棱锥的体积）
总的原则
对于三棱锥的体积问题，可以任选一面
作底面，然后求出已知该底面对应的
高．转换原则是换底高易求或底面放在
已知几何体的某一面上.
使用的原则
利用等积法不仅可以求三棱锥 的体积，
还可以求点到平面的距离及直线与平面
1
3
1
3
三棱锥 − 的体积 = × × = ×
3
.故选A.
6
3
×
4
12 × 2 =
环节三
最值背景下
1.如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上运动(不
与A，B重合)，PA⊥平面ABC，若AB=2，二面角 −
− 等于 60∘ ,则三棱锥 − 体积的最大值
1
− = − = ×
3
1
2 1
× 1 = × × ×
3
2 2
×
2
2
1
×1=
2
12
1
3
= ×
2
1
2
× ×
在棱长为1的正方体中，E是棱BC上的一点，
则三棱锥D1-B1C1E的体积等于
1−1 1 = −111
1 1
1
2
= × ×1 ×1=
1
3 1
其体积为 x x
3 2
2
3
= ，
12
3
1
，底面积为 ，故
2
2
2.正方体（长方体）中合理选择底面易求三棱锥的体积
1.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F
等积变形法
等积变形法等积变形法是指几何形体的形状发生变化后，变化后的物体和原物体相比较，体积与原来相等。
练习：1、一个圆柱形铁块的底面半径是10厘米，高是5厘米，把它熔铸成一个底面积是157平方厘米的圆锥形铁块，圆锥形铁块的高是多少厘米？2、一个圆锥形的沙堆，底面积是12.56平方米，高是6米。
用这堆沙在10米宽的公路上铺20厘米厚的路面，能铺多少米长？3、一个圆锥形的麦堆，底面半径为2米，高1.5米，如果把这些小麦装入一个圆柱形粮囤里，只占粮囤容积的94。
已知粮囤底面积是9平方米，粮囤的高是多少米？4、将一个底面半径是20厘米，高是27厘米的圆锥形铝材和一个底面半径是30厘米，高是20厘米的圆柱形铝材熔铸成一个底面半径是15厘米的圆柱形铝材，这个圆柱形铝材的高是多少厘米？5、一个圆柱形容器与一个圆锥形容器的底面积都是15平方厘米，用圆锥形容器盛水倒入圆柱形容器中，4次正好装满。
已知圆锥形容器的高是9厘米，圆柱形容器的高是多少？6、把一块长为18.84厘米，宽为8.4厘米，高为6厘米的长方体铝块和一块底面直径为8.4厘米，高为10厘米的圆柱形铝块，熔铸成一个底面半径为4.2厘米的圆锥形铝块，这块圆锥形铝块的高是多少厘米？不规则物体体积的计算方法1、一个圆柱形量杯，底面直径是10厘米，杯中浸没一块不规则的铁块，当铁块取出时，水面下降了4厘米，这块铁块的体积是多少立方厘米？2、在一个圆柱形水桶里，把一段底面是5厘米的圆柱形钢材全部放入水中，水面就上升9厘米。
把圆柱形钢材竖着拉出水面8厘米长后，水面就下降4厘米。
这个圆柱形钢材的体积是多少？3、如下图，a、b是两个棱长为8厘米的正方体盒子。
a盒中放入一个直径为8厘米、高为8厘米的圆柱形铁块，b盒中放入四个直径为4厘米、高为8厘米的圆柱形铁块。
现在把两个盒子注满水，哪个盒子中的水多？。
人教版数学6年级下册 第3单元(圆柱和圆锥)专项训练《等积变形》(含答案)
人教版六年级数学下册第三单元专项训练《等积变形》（含答案）1．把一个圆柱底面平均分成若千个扇形，沿高切开拼成一个近似长方体。
这个长方体的宽是4厘米，高是20厘米，这个圆柱的体积是多少？2．把一个棱长是8分米的正方体铁块熔铸成一个底面直径是10分米的圆柱，这个圆柱的高大约是多少？（得数保留一位小数）3．一个圆柱形水池装满水，它的底面积是12.56平方米，深3米，将水池的水全部倒入一个长8米、宽3米、深2米的长方体水池，长方体的水面高是多少米？4．把一个棱长8分米的正方体木块加工成一个最大的圆柱，圆柱的体积是多少立方分米？5．一个圆柱体，如果把它的高截短2厘米，它的表面积就减少94.2平方厘米，这个圆柱体的体积减少多少立方厘米？6．将一个底面直径是20厘米，高为12厘米的金属圆锥体，全部浸没在直径是20厘米的圆柱形水槽中，水槽水面会升高多少厘米？7．一个圆锥形沙堆，底面积12.56平方米，高1.2米。
用这堆沙在10米宽的公路上铺2厘米厚的路面，能铺多少米？8．一个圆锥形沙堆，底面积是24平方米，高是1.8米。
用这堆沙子去填一个长7.5米、宽4米的长方体沙坑，沙坑里沙子的厚度是多少厘米？9．把一个长、宽、高分别是7厘米、3厘米、9厘米的长方体铁块和一个棱长是5厘米的正方体铁块，熔铸成一个底面直径是10厘米的圆柱，这个圆柱的高是多少？10．机灵狗有一块体积是753.6立方厘米的绿色橡皮泥，它用这块橡皮泥捏成了等底等高的一个圆柱体和一个圆锥体。
则这个圆柱体体积是多少立方分米？11．在底面半径为5厘米、高为18厘米的圆柱形玻璃缸中，放入一个底面半径3厘米、高为10厘米的圆锥形铅块，放水将铅块全部淹没。
当铅块取出后，玻璃缸中的水面下降了多少厘米？12．学校的跳远沙池长6.28米，宽2米，学校运来一堆沙子（堆放如图）。
如果把这些沙子均匀地铺在跳远沙池中，可以铺多厚？13．把一个棱长6分米的正方体木块削成一个最大的圆锥，需要削去多少立方分米的木头？14．把一个长是10厘米，宽和高都是5厘米的长方体铁块和一个棱长是4厘米的正方体铁块，一起熔铸成一个底面周长是314厘米的圆柱。
圆柱和圆锥等积变形
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添加目录项标题 圆柱和圆锥等积变形的性 质 圆柱和圆锥等积变形的实 例分析
圆柱和圆锥等积变形的基 本概念
圆柱和圆锥等积变形的实 现方法
圆柱和圆锥等积变形的未 来发展
01
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02
圆柱和圆锥等积变 形的基本概念
圆柱和圆锥的体积公式
圆柱的体积公式：V=πr²h 圆锥的体积公式：V=(1/3)πr²h 等积变形：在保持体积不变的情况下，将圆柱或圆锥进行形状变化
基本概念：等积变形是几何学中一个重要的概念，涉及到形状的变化而不改变其体积
等积变形的定义和条件
定义：在几何形状的变换过程中，保持体积不变的变形称为等积变形。
条件：等积变形需要满足一定的条件，即变形前后体积相等。
应用：等积变形在几何学、物理学和工程学等领域有广泛的应用。
举例：圆柱和圆锥等积变形是等积变形的一个实例，通过变换可以得到圆锥的体积等于圆柱的 体积。
理论计算方法
圆柱和圆锥的体积公式 等积变形的条件：体积不变 变形前后体积相等的证明 变形过程中的变量关系和调整方法
实验测试方法
准备等积变形所需的圆柱和圆 锥模型
测量并记录圆柱和圆锥的初始 体积
对圆柱和圆锥进行变形操作， 使其变为等积形状
再次测量并记录变形后的体积， 验证是否相等
数值模拟方法
定义：通过数 学模型和计算 机技术模拟物 理现象的方法
案例分析结果和结论
圆柱和圆锥等积变形的实例分析表明，等积变形是可能的，但需要满足一定的条件。
实例分析中，我们发现变形后的圆锥体积与原圆柱体积相等，证明了等积变形的可行性。
实例分析还表明，等积变形的过程需要保持连续性和稳定性，以避免产生裂缝或变形。
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一、 填空。
1、 一个圆柱和一个圆锥等底等高。
已知圆柱的体积是9立方米，圆锥的体积是（ ）立方米。
2、 一个圆锥的体积是1.2立方分米，和它底面直径相等，高也相等的圆柱的体积是（ ）立方分米。
二、 选择。
1、 把一个圆柱形状的木块切削成一个和它等底等高的圆锥形状的木块。
削掉的部分是这个圆柱体积的（ ）
A ．31 B. 3
2 C.3倍 2、一个圆柱好一个圆锥体积相等，底面积也相等。
如果圆柱的高是2.4厘米，那么圆锥的高是（ ）厘米。
A.7.2
B.2.4
C.0.8
3、把一个棱长为4厘米的正方体铸件切削成尽可能大的圆柱形状的机器零件。
这个零件的体积是（ ）立方厘米。
A.5.024
B.50.24
C.200.96
一、填空。
3、 一个圆柱和一个圆锥等底等高。
已知圆柱的体积是9立方米，圆锥的体积是（ ）立方米。
4、 一个圆锥的体积是1.2立方分米，和它底面直径相等，高也相等的圆柱的体积是（ ）立方分米。
二、选择。
2、 把一个圆柱形状的木块切削成一个和它等底等高的圆锥形状的木块。
削掉的部分是这个圆柱体积的（ ）
A ．31 B. 3
2 C.3倍 2、一个圆柱好一个圆锥体积相等，底面积也相等。
如果圆柱的高是2.4厘米，那么圆锥的高是（ ）厘米。
A.7.2
B.2.4
C.0.8
3、把一个棱长为4厘米的正方体铸件切削成尽可能大的圆柱形状的机器零件。
这个零件的体积是（ ）立方厘米。
A.5.024
B.50.24
C.200.96
三、 填空。
5、 一个圆柱和一个圆锥等底等高。
已知圆柱的体积是9立方米，圆锥的体积是（ ）立方米。
6、 一个圆锥的体积是1.2立方分米，和它底面直径相等，高也相等的圆柱的体积是（ ）立方分米。
四、 选择。
3、 把一个圆柱形状的木块切削成一个和它等底等高的圆锥形状的木块。
削掉的部分是这个圆柱体积的（ ）
A ．31 B. 3
2 C.3倍 2、一个圆柱好一个圆锥体积相等，底面积也相等。
如果圆柱的高是2.4厘米，那么圆锥的高是（ ）厘米。
A.7.2
B.2.4
C.0.8
3、把一个棱长为4厘米的正方体铸件切削成尽可能大的圆柱形状的机器零件。
这个零件的体积是（ ）立方厘米。
A.5.024
B.50.24
C.200.96
一、填空。
7、 一个圆柱和一个圆锥等底等高。
已知圆柱的体积是9立方米，圆锥的体积是（ ）立方米。
8、 一个圆锥的体积是1.2立方分米，和它底面直径相等，高也相等的圆柱的体积是（ ）立方分米。
二、选择。
4、 把一个圆柱形状的木块切削成一个和它等底等高的圆锥形状的木块。
削掉的部分是这个圆柱体积的（ ）
A ．31 B. 3
2 C.3倍 2、一个圆柱好一个圆锥体积相等，底面积也相等。
如果圆柱的高是2.4厘米，那么圆锥的高是（ ）厘米。
A.7.2
B.2.4
C.0.8
3、把一个棱长为4厘米的正方体铸件切削成尽可能大的圆柱形状的机器零件。
这个零件的体积是（ ）立方厘米。
A.5.024
B.50.24
C.200.96
三、解决问题。
1、一个圆锥形麦堆，底面周长是25.12米，高3米。
把这些小麦装入一个底面直径是4米的圆柱形粮囤内，正好装满。
这个粮囤的高是多少米？
2、一个底面直径为20厘米的圆柱形的玻璃杯装有一些水，水中放着一个底面直径为6厘米、高20厘米您的圆锥形铅锤。
当取出铅锤后，杯里的水下降几厘米？
3、把50个底面直径都是30厘米，高20厘米的圆锥形钢坯，熔铸成一根底面直径是60厘米的圆柱形钢材。
求钢材长多少厘米？
4、一个圆锥形的沙堆的沙堆，底面积是12.56平方米，高是1.2米。
用这堆沙在10米宽的公路上铺2厘米厚的路面，能铺多少米？
三、解决问题。
1、一个圆锥形麦堆，底面周长是25.12米，高3米。
把这些小麦装入一个底面直径是4米的圆柱形粮囤内，正好装满。
这个粮囤的高是多少米？
2、一个底面直径为20厘米的圆柱形的玻璃杯装有一些水，水中放着一个底面直径为6厘米、高20厘米您的圆锥形铅锤。
当取出铅锤后，杯里的水下降几厘米？
3、把50个底面直径都是30厘米，高20厘米的圆锥形钢坯，熔铸成一根底面直径是60厘米的圆柱形钢材。
求钢材长多少厘米？
4、一个圆锥形的沙堆的沙堆，底面积是12.56平方米，高是1.2米。
用这堆沙在10米宽的公路上铺2厘米厚的路面，能铺多少米？
三、解决问题。
1、一个圆锥形麦堆，底面周长是25.12米，高3米。
把这些小麦装入一个底面直径是4米的圆柱形粮囤内，正好装满。
这个粮囤的高是多少米？
2、一个底面直径为20厘米的圆柱形的玻璃杯装有一些水，水中放着一个底面直径为6厘米、高20厘米您的圆锥形铅锤。
当取出铅锤后，杯里的水下降几厘米？
3、把50个底面直径都是30厘米，高20厘米的圆锥形钢坯，熔铸成一根底面直径是60厘米的圆柱形钢材。
求钢材长多少厘米？
4、一个圆锥形的沙堆的沙堆，底面积是12.56平方米，高是1.2米。
用这堆沙在10米宽的公路上铺2厘米厚的路面，能铺多少米？
三、解决问题。
1、一个圆锥形麦堆，底面周长是25.12米，高3米。
把这些小麦装入一个底面直径是4米的圆柱形粮囤内，正好装满。
这个粮囤的高是多少米？
2、一个底面直径为20厘米的圆柱形的玻璃杯装有一些水，水中放着一个底面直径为6厘米、高20厘米您的圆锥形铅锤。
当取出铅锤后，杯里的水下降几厘米？
3、把50个底面直径都是30厘米，高20厘米的圆锥形钢坯，熔铸成一根底面直径是60厘米的圆柱形钢材。
求钢材长多少厘米？
4、一个圆锥形的沙堆的沙堆，底面积是12.56平方米，高是1.2米。
用这堆沙在10米宽的公路上铺2厘米厚的路面，能铺多少米？。