线性代数向量空间自测题

《第四章 向量空间》 自测题 (75分钟)

一、选择、填空(20分,每小题4分)

1、 下列向量集合按向量的加法与数乘运算构成R 上一个向量空间的就是( )。

(A)R n 中,分量满足x 1+x 2+…+x n =0的所有向量; (B)R n 中,分量就是整数的所有向量;

(C)R n 中,分量满足x 1+x 2+…+x n =1的所有向量;

(D)R n 中,分量满足x 1=1,x 2,…,x n 可取任意实数的所有向量。 2.设R 4 的一组基为,,,,4321αααα令

414433322211,,,ααβααβααβααβ+=+=+=+=,

则子空间}4,3,2,1,|{44332211=∈+++=i F k k k k k W i ββββ的维数为 ,它的一组基为 。 3、 向量空间R n 的子空间 },0|)0,,,,{(1121121R x x x x x x x W n n ∈=+=--ΛΛ的维数为 , 它的一组基为 。

4、 设W 就是所有二阶实对称矩阵构成的线性空间,即⎪⎭

⎪

⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=R a a a

a a W ij 2212

1211,则它的维数为 ,一组基为 。

5.若A=⎥⎥⎥⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-100021

021b a 为正交矩阵,且|A|=－1,则a = ,b = 。

二、计算题(60分) 1、(15分)设R 3的两组基为:

T T T )1,1,0(,)0,1,1(,)1,0,1(321===ααα与T T T )1,2,1(,)2,1,1(,)1,1,1(321===βββ,

向量α=(2,3,3)T

(1)求由基321,,ααα到基321,,βββ的过渡矩阵。 (2)求α关于这两组基的坐标。

(3)将321,,βββ化为一组标准正交基。

2、 (15分)在R 4 中,求下述齐次线性方程组的解空间的维数与基,

⎪⎩⎪

⎨⎧=+-+=-+-=+-+0

1113530333045234321

43214321x x x x x x x x x x x x 3.(20分)已知321,,ααα就是3维向量空间R 3的一组基,向量组321,,βββ满足

3132322132131,,ααββααββαααββ+=++=+++=+

(1)证明:321,,βββ就是一组基。

(2)求由基321,,βββ到基321,,ααα的过渡矩阵。 (3)求向量3212αααα-+=关于基321,,βββ的坐标。 4.(10分)已知A 就是2k+1阶正交矩阵,且|A|=1,求|A －E|。 三、证明题(20分)

1、 (5分)设0321=++γβαk k k ,且031≠k k 。证明:),(),(γββαL L =。

2、 (5分)设A 为正交矩阵,证明:A *为正交矩阵。

3.(10分)设A 、B 为n 阶正交矩阵,且|A|≠|B|。证明:A+B 为不可逆矩阵。

参考答案

一、选择、填空

1． A

2． dimW=3,一组基为.,,321βββ

3． dimW=n-2,一组基为T n T T )0,1,0,,0,0(,)0,0,,1,0,0(,)0,0,,0,1,1(221ΛΛΛ==-=-ααα

4． dimW ＝3,一组基为⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0110,1000,0001。

5． a =

2

1

,b =

2

1 二、计算题

1.(1)基321,,ααα到基321,,βββ的过渡矩阵:⎥⎥⎥⎥⎥

⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡112110210121

(2) α关于321,,ααα的坐标就是(0,1,1)

α关于321,,βββ的坐标就是(1,1,2) (3)⎪⎪⎪⎪⎪

⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛-

-

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝

⎛02121,626161,313131。 2.解空间的维数就是2,一组基为T T )1,0,3

7,92(,)0,1,38

,91(21-=-=αα。

3.(1)提示:证明321,,βββ与321,,ααα等价,从而r(321,,βββ)=3,线性无关。 (2)基321,,βββ到基321,,ααα的过渡矩阵为⎥⎥⎥

⎦

⎤⎢⎢⎢⎣⎡--001211010

。

(3)向量α关于基321,,βββ的坐标为(2,-5,1)。

4. ()

()0)1(121=-⇒--=--=--=-=-=-+-E A E A E A E A A E A E A E A T

k T T 。

三、证明题

1、 提示:证明两个向量组等价,即},{},{γββα≅,则生成子空间),(),(γββαL L =。

2、 证明: ()

()

E AA A A A A A A A A A T T

T

T ====----1

12

1

1*)(*。

3.提示:0111=+⇒+-=+=+=+---B A B A B A B A B A E A B A