二次函数1
二次函数_课件_第1课时
x1、x2 是抛物线与x轴交点的横坐标
初中数学
例1：将二次函数 y x2 2x 3 的图象向左
向下
3个单位后得到的函数表达式 为
表达式 a
顶点
平移前
平移后
y ( x 1)2 4 y ( x 1)2 1
a=-1
a=-1
（1,4）
（-1,1）
点(-1,y1),(2,y2),试比较y1和y2的大小:y1 > y2.
数形结合
初中数学
课堂小结
1. 梳理一下二次函数图象和性质有哪些？ 2. 体会数形结合思想在解决二次函数问题中的重要性.
初中数学
• 完成课后作业中的题目
作业
初中数学
谢谢
配方 法
b 4ac b2 ( 2a , 4a )
顶点式 y a( x h)2 k
(h, k)
函数最值
初中数学
4.二次函数的增减性 由开口方向和对称轴决定 当a>0时，左减右增 当a<0时，左增右减
初中数学
一般式
顶点式
交点式 （存在的情况下）
y ax2 bx c
y a(x h)2 k
2个单位， .
初中数学
练习：二次函数 y x2 2x 3 关于
y=3
函数表达式为
.
对称前
表达式 y ( x 1)2 4
a 顶点
a=-1 （1,4）
对称后
y = (x-1)2+2
a=1 （1,2）
的
数形结合
初中数学
（1）先将表达式化为顶点式 y a( x h)2 k 2 确定图象变换后的a和顶点坐标（h,k） 3 按顶点式写出变换后的函数表达式
二次函数1教案
第12部分 二次函数第1课时 二次函数的意义课标要求通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义. 中招考点二次函数的概念及意义.典型例题例1 下列函数中，哪些是二次函数？（1）02=-x y ； （2）2)1()2)(2(---+=x x x y ；（3）xx y 12+=； （4）322-+=x x y . 分析：形如y=ax 2+bx+c(a ，b ，c 为常数，且a ≠0)的函数是二次函数，在判别某个函数是否为二次函数时，必须先把它化成y=ax 2+bx+c 的形式，如果a ≠0，那么它就是二次函数；否则，就不是二次函数.例2 m 取哪些值时，函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数？分析：若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数，须满足的条件是：02≠-m m ．解：若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数，则 02≠-m m ． 解得0≠m 且1≠m ．因此，当0≠m 且1≠m 时，函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数．归纳反思形如c bx ax y ++=2的函数只有在0≠a 的条件下才是二次函数．探索：若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的一次函数，则m 取哪些值？ 例3 写出下列各函数关系，并判断它们分别是什么类型的函数？（1）写出正方体的表面积S （cm 2）与正方体棱长a （cm ）之间的函数关系；（2）写出圆的面积y （cm 2）与它的周长x （cm ）之间的函数关系；（3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y （元）与所存年数x 之间的函数关系；（4）菱形的两条对角线的和为26cm ，求菱形的面积S （cm 2）与一对角线长x （cm ）之间的函数关系．解：（1）由题意，得 )0(62>=a a S ，其中S 是a 的二次函数；（2）由题意，得 )0(42>=x x y π，其中y 是x 的二次函数； （3）由题意，得 10000%98.110000⋅+=x y （x ≥0且是正整数），其中y 是x 的一次函数；（4）由题意，得 )260(1321)26(212<<+-=-=x x x x x S ，其中S 是x 的二次函数． 例4 正方形铁片边长为15cm ，在四个角上各剪去一个边长为x （cm ）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．(1)求盒子的表面积S （cm 2）与小正方形边长x （cm ）之间的函数关系式；(2)当小正方形边长为3cm 时，求盒子的表面积．解:（1）)2150(4225415222<<-=-=x x x S ； （2）当x=3cm 时，189342252=⨯-=S （cm 2）．强化练习一、选择题：1．对于任意实数m ，下列函数一定是二次函数的是（ ）A ．22)1(x m y -=B ．22)1(x m y +=C ．22)1(x m y +=D ．22)1(x m y -=2．下列各式中，y 是x 的二次函数的是 （ ）A ．xy=x 2＋1 B.x 2+y –2= 0 C.y 2–ax =–2 D.x 2–y 2+1=03．若二次函数y =（m + 1）x 2 + m 2 – 2m – 3的图象经过原点，则m 的值必为 （ ）A ．– 1和3 B.– 1 C.3 D.无法确定4.对于抛物线y=x 2+2和y=x 2的论断：(1)开口方向不同；(2)形状完全相同；(3)对称轴相同.其中正确的有（ ）A ．0个B ．1个 输入x y=x+2 －2≤x ≤－1 y=x 2 －1＜x ≤1 y=x+2 1＜x ≤2输出y 值 第5题图C ．2个D ．3个5.根据如图的程序计算出函数值，若输 入的x 的值为32，则输出的结果为（ ）. A ．72 B.94 C.12 D.92二、填空题：6．当=m 时，函数m x m x m m y +-+--=)2()32(22是二次函数.7．当k 为 值时，函数1)1(2+-=+k k x k y 为二次函数.8．如果函数1)3(232++-=+-mx x m y m m 是二次函数，那么m 的值为 .9．已知函数72)3(--=m x m y 是二次函数，则m 的值为 ．10．已知抛物线y =（m – 1）x 2，且直线y = 3x + 3 – m 经过一、二、三象限，则m 的范围是 .11．若函数y =（m 2 – 1）x 3 +（m + 1）x 2的图象是抛物线，则m = .12．已知函数m m mx y -=2，当m= 时，它是二次函数；当m= 时，抛物线的开口向上；当m= 时，抛物线上所有点的纵坐标为非正数．13．抛物线9)1(22-++=k x k y ，开口向下，且经过原点，则k= ．14．点A （-2，a ）是抛物线2x y =上的一点，则a= ； A 点关于原点的对称点B 是 ；A 点关于y 轴的对称点C 是 ；其中点B 、点C 在抛物线2x y =上的是 ．15．若抛物线c x x y +-=42的顶点在x 轴上，则c 的值是 ．16．已知函数42)1(22-++-=m x x m y ．当m 时，函数的图象是直线；当m 时，函数的图象是抛物线；当m 时，函数的图象是开口向上且经过原点的抛物线．。
初中复习讲义--二次函数1(学生版)
初中复习讲义--二次函数（学生版）补：1.两条直线平行，21k k =，两条直线垂直，121-=⨯k k2.两点间距离公式;若点),(),,(n m B b a A 则22)()(||b n a m AB -+-=3.点到直线的距离公式：若直线l ：0=++c by ax ，点),(n m A ，则点A 到l 的距离h 为：||22ba c by am h +++=4.两条平行线之间的距离公式：若0:,0:2211=++=++c by ax l c by ax l ，则21,l l 间的距离为：||2221ba c c h +-=5.点在图像上满足函数解析式（重点）一、函数解析式求法问题一般我们根据题设条件来设函数解析式，分别从： 一般式：c bx ax y ++=2顶点式;b h x a y +-=2)(，二次函数的顶点坐标为：),(b h交点式（双根式）：))((21x x x x a y --=，二次函数与x 轴的交点为：)0,(),0,(21x x 对称式：c n x m x y +--=))((，二次函数的对称点为：),(),,(c n c m二、三角形问题研究1.三角形面积。
常采用方法：分割法（这里就有很多种分割方法，具体哪一种比较简单，需要同学们慢慢理解），直接法（点到直线的距离，一般是求三角形的高）例1：（2016•贵阳模拟改编）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A （﹣4，0），B （0，﹣4），C （2，0）三点． （1）求抛物线的解析式；（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．解：（1）满足交点式，则设函数解析式为：))((21x x x x a y --=，将A （﹣4，0），B （0，﹣4），C （2，0）带入得：4212-+=x x y （2）方法一：分割法：连接OM 则，S=S △AOM +S △OBM ﹣S △AOB 又点M 在二次函数上且横坐标为m ，则)421,(2-+m m m M ，且0<m 21|421|||2⨯-+⨯=∆m m AO S AOM ，21||||⨯⨯=∆m OB S OBM21|0|||⨯⨯=∆B OA S AOB ,带入数据得：4)2(4214421)(421)421(4222+--=--=⨯⨯-⨯-⨯+⨯+--⨯=m m m m m m S所以当2=m 时，S 取的最大值为4。
二次函数复习教案1-人教版正式版
课题；二次函数（1）教学目标：1．理解并掌握二次函数的性质，能熟练运用图象性质解决简单的数学问题.2．学会灵活应用待定系数法求二次函数关系式,能正确确定抛物线的对称轴和顶点.3．能利用二次函数解决实际问题，如：最大利润问题、最大高度问题、最大面积问题等.会通过建立坐标系来解决实际问题.4．理解一元二次方程与二次函数的关系，并能利用二次函数的图象，解决二次函数的综合应用.教学重、难点：重点：二次函数图象及其性质，应用二次函数分析和解决简单的实际问题．】难点：二次函数性质的灵活运用，能把相关应用问题转化为数学问题．教法与学法指导：本节课主要采用“解读考试要求----知识梳理----师生构建知识网络-----题组训练，夯实基础-----考点剖析----针对训练----回顾反思-----当堂检测----布置作业的课堂教学模式.在教学过程中，以学生总结为主，教师给予适当的指导.本节课我通过回顾知识点来巩固二次根式的主要内容，然后利用知识树,帮助学生梳理本章的内容，通过自主学习，小组合作及师生互动完成典型例题，揭示解题技巧,再通过变式训练得到发展和提高. 在整个复习过程中, 始终抓住中考这条主线, 从中考命题趋势分析入手,引导学生针对中考的热点问题复习回顾,让学生积极主动参与教学,真正体会到学习数学的成就感.课前准备：教师：导学案、课件.学生：课前完成学案：知识要点回顾，以及知识树的构建.教学过程：一、解读中考，弄清目标活动内容1：中考要求1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义.2．会运用描点法画出二次函数的图像，能从图像上认识二次函数的性质.3．会根据公式确定图像的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并解决简单的实际问题.4．会利用二次函数的图像求一元二次方程的近似解.5．知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数.}处理方式：先让学生独立思考，再小组交流，师生互动，补充完善，达成共识．设计意图：让学生明确中考对本节知识点的要求，使学生在复习过程中把握复习的方向,明确复习的重点，掌握解题的方法与技巧．二、知识梳理，厚积薄发（多媒体展示，课前学案完成）活动内容1：导入新课导语：华罗庚教授说：读书要从薄到厚，又从厚到薄。
二次函数(1)
初三数学练习——二次函数（1）◆知识梳理1．二次函数的定义：形如c bx ax y ++=2（其中a ，b ，c 为常数，a ≠0）的函数叫做二次函数．（a ≠0，b 、c 可等于0．）2．二次函数的图象：是一条___________．4．画抛物线时，先确定顶点坐标，在顶点坐标的两边各取三点，即可画出其示意图； 5．当△=b 2－4ac >0时，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点，当△=b 2－4ac <0时，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴无交点， 当△=b 2－4ac =0时，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴只有一个交点．6．二次函数之间的平移关系： ①平移方法：②平移规律：h 值为正右移，为负左移；k 值为正上移，为负下移．即上加下减，左加右减．（注：平移要在顶点式的基础上进行平移，不是顶点式的要转化成顶点式） ◆典例精析【例题1】填空或选择：（1）抛物线y=（x +1）2的顶点坐标是______，对称轴是_____，当x ______时，y •随x 的增大而增大；当x______时，y随x的增大而减小．（2）已知函数y=（m+1）x2m m 是二次函数，且图象的开口向下，则m=______，当x_____时，y随x的增大而增大；当x_____时，y随x的增大而减小．（3）要用长20m的铁栏杆，一面靠墙（墙的长度是15m），围成一个矩形的花圃，如果设垂直于墙的一边长为x（m），矩形的面积为y（m2），则y与x的关系式为_______，x•的取值范围是_______，当x_______时，y 有最大值．（4）已知抛物线y=x2－2x+k－1，当k_____时，抛物线与x轴只有一个交点；•当k_____时，抛物线与x 轴有两个交点；当k______时，抛物线与x轴无交点．（5）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么abc，b2－4ac，2a+b，a+b+c，a－b+c，4a－2b+c这些代数式中，值为正的有个．（6）已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），•它们在同一坐标系中的大致图象是（）．【例题2】求抛物线的解析式．（1）如图，抛物线的图象经过A、B、C三点，求此抛物线的解析式、•顶点坐标、对称轴，并讨论它们的增减性.（2）已知抛物线经过A（－1，0），B（3，0）和C（0，－3），求此抛物线解析式．（3）已知抛物线经过点（0，1），且顶点是（－1，2），求此抛物线的解析式．◆中考演练 一、填空题: 1．抛物线y =13（x －2）2－3与x 轴的交点坐标是_______． 2．已知一个二次函数的图象开口向下，且与y 轴的负半轴相交，•请写出一个满足条件的二次函数的解析式____________．3．某二次函数满足下列表格中的x ，y 的值：则该二次函数的解析式为_________，对称轴是_________，顶点坐标是_______． 二、选择题:4．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，下列结论中：①abc >0； ②b=2a ； ③a+b+c <0； ④a －b+c >0； ⑤4a +2b+c <0． 正确的个数是（ ）．A ．5个B ．3个C ．2个D ．1个5．如图，将抛物线y=ax 2+bx+c 沿x 轴翻转到虚线位置，那么所得到的抛物线的解析式为（ ）．A ．y =－ax 2+bx+cB ．y =－ax 2－bx+cC ．y =－ax 2－bx －cD ．y=－ax 2+bx －c6．已知抛物线y=3x 2－2x+a 与x 轴有交点，则a 的取值范围是（ ）． A ．a <13 B ．a ≤13 C ．a ≤－13 D ．a ≥13三、解答题:7．已知正方形的对角线长为x ，面积为y ．（1）写y 与x 的函数关系；（2）画出这个函数的图象．8．已知抛物线12222-++-=m m mx x y ，随着m 取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化，请你通过计算说明，不论m 取任何实数，抛物线顶点头在一条固定的直线上．初三数学练习——二次函数（1）◆考点链接1．通过对实际问题的分析确定二次函数的关系式，了解二次函数的意义．2．能用描点法画出二次函数的示意图，能利用图象认识二次函数的性质，二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴、最大（小）值、•抛物线平移以及增减性． 3．求抛物线解析式的三种常用方法，并会灵活运用． ◆知识梳理1．二次函数的定义：形如c bx ax y ++=2（其中a ，b ，c 为常数，a ≠0）的函数叫做二次函数．（a ≠0，b 、c 可等于0．）2．二次函数的图象：是一条___________． 4．画抛物线时，先确定顶点坐标，在顶点坐标的两边各取三点，即可画出其示意图； 5．当△=b 2－4ac >0时，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴有两个交点，当△=b 2－4ac <0时，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴无交点， 当△=b 2－4ac =0时，抛物线c bx ax y ++=2与x 轴只有一个交点． 6．二次函数之间的平移关系： ①平移方法：②平移规律：h值为正右移，为负左移；k值为正上移，为负下移．即上加下减，左加右减．（注：平移要在顶点式的基础上进行平移，不是顶点式的要转化成顶点式）◆典例精析【例题1】填空或选择：（1）抛物线y=（x+1）2的顶点坐标是_（－1，_____，对称轴是_ x=－1____，当x_ >－1_____时，y•随x的增大而增大；当x__<－1____时，y随x的增大而减小．（2）已知函数y=（m+1）x2m m 是二次函数，且图象的开口向下，则m=__=－2____，当x_<0____时，y随x的增大而增大；当x_>0____时，y随x的增大而减小．（3）要用长20m的铁栏杆，一面靠墙（墙的长度是15m），围成一个矩形的花圃，如果设垂直于墙的一边长为x（m），矩形的面积为y（m2），则y与x的关系式为__ y=－2x2+20x _____，x•的取值范围是_52≤x≤10______，当x___ =5____时，y有最大值．（4）已知抛物线y=x2－2x+k－1，当k_=2____时，抛物线与x轴只有一个交点；•当k__<2___时，抛物线与x轴有两个交点；当k__>2____时，抛物线与x轴无交点．（5）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么abc，b2－4ac，2a+b，a+b+c，a－b+c，4a－2b+c这些代数式中，值为正的有 5 个．（6）已知一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），•它们在同一坐标系中的大致图象是（B ）．【例题2】求抛物线的解析式．（1）如图，抛物线的图象经过A、B、C三点，求此抛物线的解析式、•顶点坐标、对称轴，并讨论它们的增减性.解：设y=ax2+bx+c，再将A（－1，0），B（0，－3），C（4，5）代入可求得a=1，b=－2，c=－3．∴y=x2－2x－3，即y=（x－1）2－4．∴顶点（1，－4），对称轴是直线x=1，当x<1时，y随x的增大而减小；当x>1时，y随x的增大而增大．（2）已知抛物线经过A（－1，0），B（3，0）和C（0，－3），求此抛物线解析式．解：∵A （－1，0），B （3，0）在x 轴上，∴设y=a （x+1）（x －3），再将C （0，－3）代入得a=1，y=（x+1）（x －3）， 即y=x 2－2x －3．（3）已知抛物线经过点（0，1），且顶点是（－1，2），求此抛物线的解析式． 解：∵抛物线的顶点是（－1，2），∴设解析式为y=a （x+1）2+2，再将（0，1）代入得a=－1， ∴y=－（x+1）+2，即y=－x 2－2x+1． ◆中考演练 一、填空题: 1．抛物线y =13（x －2）2－3与x 轴的交点坐标是__（5，0），（－1，0）_____． 2．已知一个二次函数的图象开口向下，且与y 轴的负半轴相交，•请写出一个满足条件的二次函数的解析式_如：y=－x 2+3x －4 ___________．3．某二次函数满足下列表格中的x ，y 的值：则该二次函数的解析式为__ y=x 2－2x+1__，对称轴是__ x=1___，顶点坐标是__（1，0）_____． 二、选择题:4．如图是二次函数y=ax 2+bx+c 的图象，下列结论中：①abc >0； ②b=2a ； ③a+b+c <0； ④a －b+c >0； ⑤4a +2b+c <0． 正确的个数是（ A ）．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个5．如图，将抛物线y=ax 2+bx+c 沿x 轴翻转到虚线位置，那么所得到的抛物线的解析式为（ C ）． A ．y =－ax 2+bx+c B ．y =－ax 2－bx+c C ．y =－ax 2－bx －c D ．y=－ax 2+bx －c6．已知抛物线y=3x 2－2x+a 与x 轴有交点，则a 的取值范围是（ B ）． A ．a <13 B ．a ≤13 C ．a ≤－13 D ．a ≥13三、解答题:7．已知正方形的对角线长为x ，面积为y ．（1）写y 与x 的函数关系；（2）画出这个函数的图象．解：（1）)0(212222>=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x x y（2）画图象注意实际问题自变量的取值范围8．已知抛物线12222-++-=m m mx x y ，随着m 取值的不同，抛物线的顶点坐标也将发生变化，请你通过计算说明，不论m 取任何实数，抛物线顶点都在一条固定的直线上． 解：()122-+-=m m x y ∴顶点在12-=x y 上。
二次函数(一)
二次函数（一）
（2）用待定系数法求二次函数的解析式． ①当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解； ②当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解； ③当已知抛物线与 x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
练习题部分：
1．已知：二次函数 y＝ax2+bx+c 的图象如图，则下列答案正确的是？（ ）
A．y＝﹣x2﹣x+2 B．y＝x2+x﹣2
C．y＝x2+3x+2 D．y＝﹣x2+x+2
12．已知二次函数 y＝ax2+4x+c，当 x 等于﹣2 时，函数值是﹣1；当 x＝1 时，函数值是 5．则
此二次函数的表达式为（ ）
A．y＝2x2+4x﹣1
B．y＝x2+4x﹣2
C．y＝﹣2x2+4x+1
D．y＝2x2+4x+1
B．﹣1
C．﹣1 或 2
D．以上都不对
6．已知抛物线 y＝﹣x2+4x+3，则该抛物线的顶点坐标为（ ）
A．（﹣2，7） B．（2，7）
C．（2，﹣9） D．（﹣2，﹣9）
7．在函数 y＝（x﹣1）2+3 中，当 y 随 x 的增大而减小时，则 x 的取值范围是（ ）
A．x≥1
B．x＞0
C．x＜3
D．x≤1
2x2 相同，则这个二次函数的表达式是（ ）
二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质： ①当 a＞0 时，抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，
x＜﹣ 时，y 随 x 的增大而减小；x＞﹣ 时，y 随 x 的增大而增大；
二次函数(一)
二次函数（一）主讲：黄冈中学数学高级教师李平友考点回顾：1、二次函数的概念一般地，形如y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数．2、二次函数的图像与性质（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像是一条抛物线，当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下；（2）抛物线的顶点坐标为；（3）抛物线的对称轴为；（4）当时，二次函数有最小值；当时，二次函数有最大值；3、二次函数一般有三种形式：（1）一般式：；（2）顶点式：y＝a(x－h)2＋k，顶点坐标为（h，k）；（3）交点式：，x1、x2为抛物线与x轴交点的横坐标．解题时，要根据所给的条件，灵活选择其中的一种表达形式．4、了解二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的联系．考点精讲精练：1、二次函数y＝－4x2＋2x＋的对称轴是直线__________．解：a＝－4，b＝2，c＝，对称轴直线是．或y＝－4x2＋2x＋＝－4（x－）2＋，所以对称轴直线是．答案：x＝变式练习11、抛物线y＝(x－2)2＋3的对称轴是（）A．直线x＝－3 B．直线x＝3C．直线x＝－2 D．直线x＝2答案：D2、二次函数的顶点坐标是（）A.(2，－11)B.（－2，7）C.（2，11）D. （2，－3）答案：A例2、将y＝3x2向左平移3个单位，再向下平移2个单位后，所得图像的函数表达式是_____．解：．答案：y＝3x2＋18x＋25变式练习21、把抛物线y＝3x2先向上平移2个单位，再向右平移3个单位，所得抛物线的函数表达式为（）A．y＝3(x＋3)2－2 B．y＝3(x＋3)2＋2C．y＝3(x－3)2－2 D．y＝3(x－3)2＋2答案：D2、二次函数的图象是由的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到的，则b＝ _____，c＝_____．解：依题意，把函数的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得的图象．把配方得．则，即 b＝－8，c＝7．答案：－8，7例3、已知二次函数的图象如图所示，则点在第_____象限．解：由图象知a<0，c＞0．又∵，∴b＜0．∴bc＜0，在第三象限．答案：三变式练习3在同一坐标系中，一次函数y＝ax＋b和二次函数y＝ax2＋bx的图象可能为（）答案：A例4、已知一抛物线与x轴的交点是A（－2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8）．（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标．解：（1）设这个抛物线的解析式为．由已知，抛物线过A（－2，0），B（1，0），C（2，8）三点，得解这个方程组，得a＝2，b＝2，c＝－4．∴所求抛物线的解析式为．也可以设二次函数解析式为交点式求解．（2）∴该抛物线的顶点坐标为变式练习4在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，－4），且过点B（3，0）．（1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标．解：（1）设二次函数解析式为，二次函数图象过点B（3，0），，得a＝1．∴二次函数解析式为，即．（2）令y＝0，得，解方程，得，．∴二次函数图象与x轴的两个交点坐标分别为（3，0）和（－1，0）．∴二次函数图象向右平移1个单位后经过坐标原点．平移后所得图象与轴的另一个交点坐标为（4，0）例5、函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，那么关于x的方程ax2＋bx＋c－3＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个异号的实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根答案：C- 返回 -备考模拟一、选择题1、在同一坐标系中，抛物线y＝4x2，y＝x2，y＝－x2的共同特点是（）A．关于y轴对称，开口向上B．关于y轴对称，y随x的增大而增大C．关于y轴对称，y随x的增大而减小D．关于y轴对称，顶点是原点2、把抛物线的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是，则有（）A．b＝3，c＝7 B．b＝－9，c＝－15C．b＝3，c＝3 D．b＝－9，c＝213、把抛物线向上平移1个单位，得到的抛物线是（）A. B.C. D.4、二次函数的图像与x轴的交点个数是（）A．0 B．1C．2 D．35、已知二次函数的顶点坐标（－1，－3.2）及部分图象(如图)，由图象可知关于的一元二次方程的两个根分别是（）A．－1.3 B．－2.3C．－0.3 D．－3.3二、综合题6、如图所示的抛物线是二次函数的图象，那么a的值是________．7、用配方法将二次函数化成的形式，那么y ＝________．8、二次函数的对称轴是x＝2，则b＝_______．9、一个函数具有下列性质：①图象过点（－1，2），②当＜0时，函数值随自变量的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是________（只写一个即可）．10、抛物线的顶点为C，已知直线过点C，则这条直线与两坐标轴所围成的三角形面积为________．隐藏答案答案：6、－17、y＝（x－6）2＋38、9、如等（答案不唯一）10、1三、综合题11、已知二次函数的部分图象如图所示，写出关于x的一元二次方程的解．隐藏答案答案：，12、如图，一桥拱呈抛物线状，桥的最大高度是16米，跨度是40米，求在线段AB上离中心M处5米的地方桥的高度．隐藏答案解：以直线AB、MC为坐标轴建立平面直角坐标系，抛物线解析式为，x＝5时，y＝15，即离中心M处5米的地方桥的高度为15米．13、已知二次函数图象的对称轴是，图象经过(1，－6)，且与y轴的交点为(0，).(1)求这个二次函数的解析式；(2)当x为何值时，这个函数的函数值为0?(3)当x在什么范围内变化时，这个函数的函数值随x的增大而增大?隐藏答案解：(1)设抛物线的解析式为，由题意可得，解得，所以(2)或－5(3)14、某种爆竹点燃后，其上升高度h（米）和时间t（秒）符合关系式（0＜t≤2），其中重力加速度g以10米/秒2计算．这种爆竹点燃后以v0＝20米/秒的初速度上升，（1）这种爆竹在地面上点燃后，经过多少时间离地15米？（2）在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，判断爆竹是上升，或是下降，并说明理由.隐藏答案解：（1）由已知得，，解得当时不合题意，舍去．所以当爆竹点燃后1秒离地15米．（2）由题意得，＝，可知顶点的横坐标，又抛物线开口向下，所以在爆竹点燃后的1.5秒至1.8秒这段时间内，爆竹在上升．15、如图，已知二次函数的图像经过点A和点B．（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离．隐藏答案解：（1）将x＝－1，y＝－1；x＝3，y＝－9分别代入得解得∴二次函数的表达式为．（2）对称轴为x＝2；顶点坐标为（2，－10）．（3）将（m，m）代入，得，解得m1＝－1，m2＝6．∵m＞0，∴不合题意，舍去．∴m＝6．∵点P与点Q关于对称轴对称，∴点Q到x轴的距离为6．-END-。
二次函数(1)课件_PPT
篮球运行的路线是什么曲线？ 怎样出手才能把球投进篮圈？ 起跳多高才能成功盖帽？等
函数: 在一个变化过程中,如果有两个
变量x与y, 并且对于x的每一个确定的 值,y都有唯一确定的值与其对应,那么 就说y是x的函数, x是自变量.
一次函数
函 数
y=kx+b (k≠0)
(正比例函数) y=kx (k≠0)
m2－7 例2. y=(m+3)x
(1) m取什么值时,此函数是正比例函数? (2) m取什么值时,此函数是反比例函数? (3) m取什么值时,此函数是二次函数?
看谁算得快!
1 2 k 2 k 1 0 1.函数 y (k ) x 是一次函数，求k的值。 2
2.函数 y (m 1) x 求m的值。
③式表示了两年后的产量y与计划增产的倍数x之间 的关系,对于x的每一个值, y都有一个对应值,即y是x的 函数.
观察
函数①②③有什么共同点?
y=6x2 ①
1 2 3 d n n② 2 2
y 20 x2 40 x 20③
y是x的函数吗？y是x的一次函数？反比例函数？
在上面的问题中,函数都是用自变量的二次式 表示的,
反比例函数
k y= x
(k≠0)
思考:
问题1：正方体的六个面是全等的正方形,设正方 形的棱长为x,表面积为y,显然对于x的每一个值,y 都有一个对应值,即y是x的函数,它们的具体关系可 y=6x2① 以表示为
思考:
问题2： 多边形的对角线数d与边数n有什么关系？ 由图可以想出,如果多边形有n条边,那么它有 n 个顶点,从 一个顶点出发,连接与这点不相邻的各顶点,可以作(n-3) 条
（4）x的取值范围是 任意实数 。
第1讲 二次函数的图像及性质
第1讲二次函数的图形及性质题型1：二次函数的概念1.下列函数表达式中，一定为二次函数的是（）A．y=5x−1B．y=ax2+bx+c C．y=3x2+1D．y=x2+1x题型2：利用二次函数定义求字母的值2.已知y=(m+1)x|m−1|+2m是y关于x的二次函数，则m的值为（）A．−1B．3C．−1或3D．0题型3：二次函数的一般形式3.二次函数y＝2x2﹣3的二次项系数、一次项系数和常数项分別是（）A．2、0、﹣3B．2、﹣3、0C．2、3、0D．2、0、3A．2B．﹣2C．﹣1D．﹣4题型4：根据实际问题列二次函数4.一个矩形的周长为16cm，设一边长为xcm，面积为y cm2，那么y与x的关系式是【变式4-1】如图，用长为20米的篱笆（AB+BC+CD=20），一边利用墙（墙足够长），围成一个长方形花圃．设花圃的宽AB为x米，围成的花圃面积为y米2，则y关于x的函数关系式是．【变式4-2】某商品的进价为每件20元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件．则每星期售出商品的利润y （单位：元）与每件涨价x（单位：元）之间的函数关系式是（）A．y＝（200﹣5x）（40﹣20＋x）B．y＝（200＋5x）（40﹣20﹣x）C．y＝200（40﹣20﹣x）D．y＝200﹣5x题型5：自变量的取值范围5.．若y=(a−2)x2−3x+4是二次函数，则a的取值范围是（）A．a≠2B．a>0C．a>2D．a≠0【变式5-1】函数y=√x+2的自变量取值范围是（）x−1A．x≥−2B．−2≤x<1C．x>1D．x≥−2且x≠1【变式5-2】若y=(m+1)x m2−2m−1是二次函数，则m=，其中自变量x的取值范围是．22.1.2二次函数y=ax2的图像和性质二次函数y=ax2(a≠0)的图象用描点法画出二次函数y=ax2（a≠0）的图象，如图，它是一条关于y轴对称的曲线，这样的曲线叫做抛物线.二次函数y=ax2(a ≠0)的图象的画法用描点法画二次函数y=ax 2（a≠0）的图象时，应在顶点的左、右两侧对称地选取自变量x 的值，然后计算出对应的y 值，这样的对应值选取越密集，描出的图象越准确.注意：用描点法画二次函数y=ax 2(a≠0)的图象，该图象是轴对称图形，对称轴是y 轴．画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点.题型1：利用描点法作函数图像1.在直角坐标系中，画出函数y ＝2x 2的图象（取值、描点、连线、画图）．【变式1-1】在如图所示的同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝2x 2，y ＝x 2，y ＝﹣2x 2与y ＝﹣x 2的图象．x y ＝2x 2 y ＝x 2 y ＝﹣2x 2 y ＝﹣x 2x ya>0a<0题型2：二次函数y=ax2的图像2.在同一坐标系中画出y1＝2x2，y2＝﹣2x2，y3＝x2的图象，正确的是（）A．B．C．D．【变式2-1】下列图象中，是二次函数y＝x2的图象的是（）A．B．C．D．【变式2-2】如图，在同一平面直角坐标系中，作出函数①y＝3x2；②y＝；③y＝x2的图象，则从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（）A．①②③B．①③②C．②③①D．③②①题型3：二次函数y=ax2的性质3.抛物线y＝﹣3x2的顶点坐标为（）A．（0，0）B．（0，﹣3）C．（﹣3，0）D．（﹣3，﹣3）【变式3-1】抛物线，y＝x2，y＝﹣x2的共同性质是：①都开口向上；②都以点（0，0）为顶点；③都以y轴为对称轴．其中正确的个数有（）A．0个B．1个C．2个D．3个【变式3-2】．对于函数y＝4x2，下列说法正确的是（）A．当x＞0时，y随x的增大而减小B．当x＞0时，y随x的增大而增大C．y随x的增大而减小D．y随x的增大而增大【变式3-3】二次函数y＝﹣3x2的图象一定经过（）A．第一、二象限B．第三、四象限C．第一、三象限D．第二、四象限题型4：函数图像位置的识别4.已知a≠0，b＜0，一次函数是y＝ax+b，二次函数是y＝ax2，则下面图中，可以成立的是（）A．B．C．D．【变式4-1】函数y＝ax2与y＝ax+a，在第一象限内y随x的减小而减小，则它们在同一平面直角坐标系中的图象大致位置是（）A．B．C．D．【变式4-2】在图中，函数y＝﹣ax2与y＝ax+b的图象可能是（）A．B．C．D．题型5：函数值的大小比较5.二次函数y1＝﹣3x2，y2＝﹣x2，y3＝5x2，它们的图象开口大小由小到大的顺序是（）A．y3＜y1＜y2B．y3＜y2＜y1C．y1＜y2＜y3D．y2＜y1＜y3题型6：简单综合-三角形面积6.求直线y＝3x+4与抛物线y＝x2的交点坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形面积．22.1.3二次函数y=a（x-h）²+k的图像和性质二次函数y=ax2+c(a≠0)的图象（1）（2）0 a>0 a<题型1：二次函数y=ax²+k的图象1.建立坐标系，画出二次函数y＝﹣x2及y＝﹣x2+3的图象．向上向下题型2：二次函数y=ax²+k的性质2.抛物线的开口方向是（）A．向下B．向上C．向左D．向右【变式2-2】抛物线y＝2x2+1的对称轴是（）A．直线x＝B．直线x＝﹣C．直线x＝2D．y轴题型3：二次函数y=a（x-h）²的图象3.画出二次函数（1）y＝（x﹣2）2（2）y＝（x+2）2的图象．课堂总结：题型4：二次函数y=a（x-h）²的性质4.对于二次函数y＝﹣（x﹣1）2的图象，下列说法不正确的是（）A．开口向下B．对称轴是直线x＝1C．顶点坐标为（1，0）D．当x＜1时，y随x的增大而减小题型5：二次函数y=a（x-h ）²+k 的图象和性质5.对于二次函数y ＝﹣5（x +4）2﹣1的图象，下列说法正确的是（ ） A ．图象与y 轴交点的坐标是（0，﹣1） B ．对称轴是直线x ＝4C ．顶点坐标为（﹣4，1）D ．当x ＜﹣4时，y 随x 的增大而增大 【变式5-1】再同一直角坐标系中画出下列函数的图象 （1）y ＝（x ﹣2）2+3 （2）y ＝（x +2）2﹣3【变式5-2】画函数y ＝（x ﹣2）2﹣1的图象，并根据图象回答： （1）当x 为何值时，y 随x 的增大而减小．（2）当x 为何值时，y ＞0．【变式5-3】写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1）y ＝5（x +2）2﹣3；（2）y ＝﹣（x ﹣2）2+3；（3）y ＝（x +3）2+6．二次函数的平移 1.平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式，确定其顶点坐标； ⑵ 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法如下： ()2y a x h k =-+()h k ，2y ax =()h k ，2.平移规律：在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左h k加右减，上加下减”．题型6：二次函数几种形式之间的关系（平移）6.将抛物线y＝（x﹣3）2﹣4先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（）A．y＝（x﹣4）2﹣6B．y＝（x﹣1）2﹣3C．y＝（x﹣2）2﹣2D．y＝（x﹣4）2﹣2【变式6-1】将抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，能得到抛物线y ＝2（x﹣2）2+3的是（）A．y＝2（x﹣1）2+1B．y＝2（x﹣3）2+1C．y＝﹣2（x﹣1）2+1D．y＝﹣2x2﹣1【变式6-2】将二次函数y＝x2﹣3的图象向右平移3个单位，再向上平移5个单位后，所得抛物线的表达式是．题型7：利用增减性求字母取值范围7.抛物线y＝（k﹣7）x2﹣5的开口向下，那么k的取值范围是（）A．k＜7B．k＞7C．k＜0D．k＞0【变式7-1】已知点（x1，y1）、（x2，y2）是函数y＝（m﹣3）x2的图象上的两点，且当0＜x1＜x2时，有y1＞y2，则m的取值范围是（）A．m＞3B．m≥3C．m≤3D．m＜3【变式7-2】二次函数y＝（x﹣h）2+k（h、k均为常数）的图象经过P1（﹣3，y1）、P2（﹣1，y2）、P3（1，y3）三点．若y2＜y1＜y3，则h的取值范围是．题型8：识别图象位置8.如果二次函数y＝ax2+c的图象如图所示，那么一次函数y＝ax+c的图象大致是（）A．B．C．D．【变式8-1】在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx与y＝ax+b的图象不可能是（）A．B．C．D．【变式8-2】已知m是不为0的常数，函数y＝mx和函数y＝mx2﹣m2在同一平面直角坐标系内的图象可以是（）A．B．C．D．题型9：比较函数值的大小9.已知二次函数y＝（x﹣1）2+h的图象上有三点，A（0，y1），B（2，y2），C（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＝y2＜y3B．y1＜y2＜y3C．y1＜y2＝y3D．y3＜y1＝y2题型10：简单综合问题10.已知抛物线y＝（x﹣5）2的顶点为A，抛物线与y轴交于点B，过点B作x轴的平行线交抛物线于另外一点C．（1）求A，B，C三点的坐标；（2）求△ABC的面积；（3）试判断△ABC 的形状并说明理由．【变式10-1】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+3与y 轴交于点A ，过点A 与x 轴平行的直线交抛物线y ＝x 2于点B 、C ，求BC 的长度．【变式10-2】在同一坐标系内，抛物线y ＝ax 2与直线y ＝x +b 相交于A ，B 两点，若点A 的坐标是（2，3）．（1）求B 点的坐标；（2）连接OA ，OB ，AB ，求△AOB 的面积．22.1.4 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象与性质二次函数一般式与顶点式之间的相互关系 1.顶点式化成一般式从函数解析式我们可以直接得到抛物线的顶点(h ，k)，所以我们称为顶点式，将顶点式去括号，合并同类项就可化成一般式． 2.一般式化成顶点式． 2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2()y a x h k =-+2y ax bx c =++2222222b b b b y ax bx c a x x c a x x c a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦22424b ac b a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用．题型1：一般式化成顶点式-配方法1.将二次函数y=x2−4x+5用配方法化为y=(x−ℎ)2+k的形式，结果为（）A．y=(x−4)2+1B．y=(x−4)2−1C．y=(x−2)2−1D．y=(x−2)2+1题型2：一般式化成顶点式-应用2.已知：二次函数y＝x2﹣2x﹣3．将y＝x2﹣2x﹣3用配方法化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，并求此函数图象与x轴、y轴的交点坐标．题型3：公式法求顶点坐标及对称轴3.已知二次函数 y =−12x 2+bx +3 ，当 x >1 时，y 随x 的增大而减小，则b 的取值范围是（ ） A ．b ≥−1B ．b ≤−1C ．b ≥1D ．b ≤10a >0a <题型4：二次函数y=ax2+bx+c图像与性质4.若二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列说法不正确的是()A．当1<x<3时，y>0B．当x=2时，y有最大值C．图像经过点(4，−3)D．当y<−3时，x<0【变式4-2】二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，当x>0时，函数值y的取值范围是()A．y⩽9B．y⩽2C．y<2D．y⩽3 4题型5：利用二次函数的性质比较函数值5.函数y＝﹣x2﹣2x+m的图象上有两点A（1，y1），B（2，y2），则（）A．y1＜y2B．y1＞y2几种常考的关系式的解题方法题型6：二次函数y=ax2+bx+c图像与系数的关系6.已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数），如果a＞b＞c，且a+b+c＝0，则它的图象可能是（）A．B．C．D．【变式6-1】已知函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=−4．若x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两个根，且x1<x2，1<x2<2，则下列说法正确的是A．x1x2>0B．−10<x1<−9C．b2−4ac<0D．abc>0【变式6-2】如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）经过点(2，0)，，有下列结论：①b<0；②a+b>0；③4a+2b+3c<0；④无且对称轴为直线x=12，0)．其中正确结论有（）论a，b，c取何值，抛物线一定经过(c2aA．1个B．2个C．3个D．4个【变式6-3】如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C；对称轴为直线x=−1，点B的坐标为(1，0)，则下列结论：①AB=4；②b2−4ac>0；③b>0；④a−b+c<0，其中正确的结论有（）个.A．1个B．2个C．3个D．4个7.二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中x，y的部分对应值如下表：x…﹣2﹣1012…y…0﹣4﹣6﹣6﹣4…则该二次函数图象的对称轴为（）A．y轴B．直线x=12C．直线x＝1D．直线x=32题型8：利用二次函数的性质求字母的范围8.已知二次函数y＝x2+bx+1当0<x<12的范围内，都有y≥0，则b的取值范围是A．b≥0B．b≥﹣2C．b≥﹣52D．b≥﹣32a题型9：利用二次函数的性质求最值9.二次函数y=−x2+2x+4的最大值是.题型10：给定范围内的最值问题10.已知二次函数y=ax2+bx+1.5的图象（0≤x≤4）如图，则该函数在所给自变量的取值范围内，最大值为，最小值为.。
二次函数(第一课时)
例1 下列函数中哪些是二次函数？为什么？（x是自
变量）
① y=ax2+bx+c
不一定是，缺少a≠0的条 件.
② y=3-2x²
③y=x2
④ y= 1
x2
不是，右边是 分式.
解： 由题意得： m2 9 0
∴m≠±3
3.若函数y (m 1)xm2 2m1 (m 3)x 4
是二次函数， 那么m取值范围是什么？
解：由题意得：
m2 2m 1 2 m 1 0
m的取值范围是m 3
【解题小结】本题考查正比例函数和二次函数的概 念，这类题需紧扣概念的特征进行解题.
问题2:用总长为60m的篱笆围成矩形场地,场地面积S(m²) 与矩形一边长x(m)之间的关系是什么? s x(30 x)
x2 30x
问题3:某商店1月份的利润是2万元,2、3月份利润逐月增 长,这两个月利润的月平均增长率为x,3月份的利润为y
y 2(1 x)2
以上三个关系式有什么共同特点? 请归纳出二次函数的概念
x2 30x
【总结】二次函数自变量的取值范围一般是全体实数， 但是在实际问题中，自变量的取值范围应使实际问题 有意义.
6.写出下列各函数关系，判断它们是什么类型的函
数，并求出自变量的取值范围.
（1）写出正方体的表面积S(cm2)与正方体棱长a（
cm）之间的函数关系； S 6a2(a 0)
（2）写出圆的面积y(cm2)与它的周长x(cm)之间的函
3.一元二次方程的一般形式是什么？ ax2+bx+c=0 (a≠0)
二次函数复习(1) 课件
上的最 高 点.
3.抛物线
y 2( x 3) 4
2
可看做是抛物线
y 2x ,
2
先向 右 平移 3 个单位,再向 上 平移 4 个单位得到
4.二次函数 条 抛物线 是
y ax bx c(a 0)
2
的图象是一 ,顶点坐标
b 4ac b ( , ) 2a 4a
b 直线x ,它的对称轴是 2a 2
2
2.二次函数 的图象如图,试根据图 象所给的信息,确定a,b,c的正负性，并说明理由． y y
y ax2 bx c
Ｏ
3.函数
2
x
-1 Ｏ
1
P
x
y x ax b
的图象如图所示.
(1)求a,b的值；（２）求图象与x轴的另一个交点p.
例2.已知抛物线
(3)说出该函数的对称轴,顶点坐标,最值情况.
例3.已知二次函数
y x 2kx k k 2
2 2
(1)当k为何值时，函数图象经过原点？ (2)当k在什么范围取值时，图象的顶点在第四象限？
1.将二次函数 y x 2 x 3 的图象向左平移1个单位, 再向下平移2个单位,求平移后抛物线解析式.
x 4x 的对称轴是(
2
2
A )
A.直线x=2
B.直线x=-2 C.直线4
D.直线x=-4
5.函数 y x px q 的图象是以(3,2)为顶点的抛物 线,则这个函数的关系式是( Ｃ ）
A. y x 6 x 11 C. y x 2 6 x 11
2
B. y x 2 6 x 11 2 D. y x 6 x 7
二次函数(1)导学案
mm xm y -+=2)1(二次函数——导学案一、学习目标：1、理解并掌握二次函数的概念；2、会用描点法和平移法画出二次函数2ax y =的图象；3、结合图像归纳并记住二次函数2ax y =性质；二、学前准备 （一）梳理知识点1、概念：二次函数：我们把形如 (其中a,b,c 是常数，a ≠0)的函数叫做二次函数。
其中：ax 2叫做 ，a ，bx 叫做 ;b 为 ;c 为2、思考：（1）“一元二次方程”和“二次函数”在形式上有什么异同？ （2）二次函数y=ax²+bx+c(其中a,b,c 是常数，a ≠0)中，为什么要规定a ≠0，b 和c 是否可以为零？（3）二次函数y=ax²+bx+c(其中a,b,c 是常数，a ≠0) 当a,b,c 满足什么条件时(1)它是二次函数? (2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？ 3、下列函数中,哪些是二次函数?(1)y=3x 3+2x 2; (2)y=2x 2-2x+1; (3)y=x 2-x(1+x); (4)y=x -2+x. (5)y ＝(x ＋2)(2-x) (6) 652++=x x y (7)12312++=x x y 4、说出下列二次函数的二次项系数a ，一次项系数b 和常数项c ． (1)y=x 2中a= ,b= ,c= ; (2)y=5x 2+2x 中a= ,b= ,c= ; (3)y=(2x-1)2中a= ,b= ,c= ;例1: 关于x 的函数是二次函数求m 的值.（一） 自主探究：利用描点法画二次函数2x y =、221x y =和22x y =的图像。
注意：列表时自变量取值要均匀和对称。
练习：画二次函数2x y -=、221x y -=和22x y -=的图像。
… -2 -1 0 1 2 …2x y -=22x y -=221x y -=… -2 -1 0 1 2 … 2x y =22x y =221x y =结合所画图像填空： 1、二次函数图像形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做 ；这些抛物线都关于 轴对称， 轴是它的对称轴；对称轴与抛物线的交点叫做 。
二次函数1
二次函数【学习目标】1．了解二次函数的有关概念．2．会确定二次函数关系式中各项的系数．3．确定实际问题中二次函数的关系式． 【学习过程】 一、复习回顾： 1．若在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值， y 都有唯一的值与它对应，那么就说y 是x 的 ，x 叫做 ．2．形如___________y =0)k ≠（的函数是一次函数，当______0=时，它是 函数二、自主学习：1．用16m 长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y (m 2)与长方形的长x (m )之间的函数关系式为 ．分析：在这个问题中，可设长方形生物园的长为x 米，则宽为 米，如果将面积记为y 平方米，那么y 与x 之间的函数关系式为y ＝ ，整理为y ＝ ．2．n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_______________________．3．用一根长为40cm 的铁丝围成一个半径为r 的扇形，求扇形的面积S 与它的半径r 之间的函数关系式是 ．4．观察上述函数函数关系有哪些共同之处？． 5．归纳：一般地，形如 ，(a ，b ，c 是常数，且a )的函数为二次函数．其中x 是自变量，a 是__________，b 是___________，c 是_____________． 三、合作交流：(1)二次项系数a 为什么不等于0？答： ． (2)一次项系数b 和常数项c 可以为0吗？答： ． 四、巩固练习1．观察：①26y x =；②235y x =-+；③y ＝200x 2＋400x ＋200；④32y x x =-；⑤213y x x=-+；⑥()221y x x =+-．这六个式子中二次函数有 ．(只填序号) 2．2(1)31m my m xx -=+-+ 是二次函数，则m 的值为______________．3．若物体运动的路段s (米)与时间t (秒)之间的关系为252s t t =+，则当t ＝4秒时，该物体所经过的路程为 ．4．二次函数23y x bx =-++．当x ＝2时，y ＝3，则这个二次函数解析式为 ． 5．为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙(墙长25m )的空地上修建一个矩形绿化带ABCD ，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围住(如图)．若设绿化带的BC 边长为x m ，绿化带的面积为y m 2．求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．二次函数2y ax =的图象 (一)画二次函数y ＝x 2的图象．在图(3)中描点，并连线2．归纳1：① 由图象可知二次函数2x y =的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，即抛出物体所经过的路线，所以这条曲线叫做 线；②抛物线2x y =是轴对称图形，对称轴是 ；③2x y =的图象开口_______；④抛物线2x y =的顶点坐标是 ；它是抛物线的最 点(填“高”或“低”)，即当x ＝0时，y 有最 值等于0． ⑤在对称轴的左侧，图象从左往右呈 趋势，在对称轴的右侧，图象从左往右呈趋势；即x ＜0时，y 随x 的增大而 ，x ＞0时，y 随x 的增大而 ．(二)例1在图(4)中，画出函数221x y =，2x y =，22x y =的图象． 归纳2：抛物线22x y =，2x y =，22x y =的图象的形状都是 ；顶点都是__________；对称轴都是_________；二次项系数a _______0；开口都 ；顶点都是抛物线的最_________点(填“高”或“低”) ． 归纳3：抛物线221x y -=，2x y -=，22x y -=的的图象的形状都是 ；顶点都是__________；对称轴都是_________；二次项系数a _______0；开口都 ；顶点都是抛物线的最_________点(填“高”或“低”) ．请在图(4)中画出函数221x y -=，2x y -=，22x y -=的图象．三、合作交流：归纳：抛物线2ax y =的性质0的增大而 ；在对称轴的右侧，即 0时y 随x 的增大而 ．3．在前面图(4)中，关于x 轴对称的抛物线有 对，它们分别是哪些？答： ．由此可知和抛物线2ax y =关于x 轴对称的抛物线是 ． 4．当a ＞0时，a 越大，抛物线的开口越___________；当a ＜0时，a 越大，抛物线的开口越_________；因此，a越大，抛物线的开口越________． 四、课堂训练 1．函数273x y =的图象顶点是__________，对称轴是________，开口向_______，当x ＝___________时，有最_________值是_________．2． 函数26x y -=的图象顶点是__________，对称轴是________，开口向_______，当x ＝___________时，有最_________值是_________．3． 二次函数()23x m y -=的图象开口向下，则m ___________．4． 二次函数y ＝mx22-m 有最高点，则m ＝___________．5． 二次函数y ＝(k ＋1)x 2的图象如图所示，则k 的取值范围为___________． 6．若二次函数2ax y =的图象过点(1，－2)，则a 的值是___________． 7抛物线①25x y -=②22x y -= ③25x y =④27x y = 开口从小到大排列是___________________________________；其中关于x 轴对称的两条抛物线是 和．8．点A (21，b )是抛物线2x y =上的一点，则b ＝ ；过点A 作x 轴的平行线交抛物线另一点B 的坐标是 ．9．如图，A 、B 分别为2ax y =上两点，且线段AB ⊥y 轴于点(0,6)，若AB ＝6，则该抛物线的表达式为 ．10． 当m ＝ 时，抛物线mmx m y --=2)1(开口向下．11．二次函数2ax y =与直线32-=x y 交于点P (1，b )．(1)求a 、b 的值；(2)写出二次函数的关系式，并指出x 取何值时，该函数的y 随x 的增大而减小．二次函数k ax y +=2的图像一、知识链接：直线12+=x y 可以看做是由直线x y 2= 得到的．练：若一个一次函数的图象是由x y 2-=平移得到，并且过点(－1,3)，求这个函数的解析式． 解：由此你能推测二次函数2x y =与22-=x y 的图象之间又有何关系吗？ 猜想： ． 二、自主学习(一)在同一直角坐标系中，画出二次函数2x y =，12+=x y ，12-=x y 的图象．2．可以发现，把抛物线2x y =向______平移______个单位，就得到抛物线12+=x y ；把抛物线2x y =向_______平移______个单位，就得到抛物线12-=x y ．3．抛物线2x y =，12+=x y ，12-=x y 的形状_____________．开口大小相同． 三、知识梳理：(一)抛物线k ax y +=2特点：1．当0a >时，开口向 ；当0a <时，开口 ；2． 顶点坐标是 ；3． 对称轴是 ． (二)抛物线k ax y +=2与2y ax =形状相同，位置不同，k ax y +=2是由2y ax = 平移得到的．二次函数图象的平移规律：上 下 ．(三)a 的正负决定开口的 ；a 决定开口的 ，即a 不变，则抛物线的形状 ．因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线a 值 ． 三、巩固练习：1．抛物线22x y =向上平移3个单位，就得到抛物线__________________； 抛物线22x y =向下平移4个单位，就得到抛物线__________________．2．抛物线232+-=x y 向上平移3个单位后的解析式为 ，它们的形状__________，当x ＝ 时，y 有最 值是 ．3．由抛物线352-=x y 平移，且经过(1,7)点的抛物线的解析式是 ，是把原抛物线向 平移 个单位得到的．4． 写出一个顶点坐标为(0，－3)，开口方向与抛物线2x y -=的方向相反，形状相同的抛物线解析式____________________________．5． 抛物线142+=x y 关于x 轴对称的抛物线解析式为______________________． 6．二次函数k ax y +=2()0≠a 的经过点A (1，－1)、B (2，5)．⑴求该函数的表达式；⑵若点C (－2，m ),D (n ，7)也在函数的上，求m 、n 的值．。
第二讲 二次函数(一)
第二讲 二次函数（一）知识点一 二次函数c bx ax y ++=2中，a 、b 、c 符号的确定1、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则a 、b 、c 满足（ ） A 、0,0,0><<c b a B 、0,0,0<<<c b a C 、0,0,0>><c b a D 、0,0,0><>c b a2、二次函数c x a y +-=2)1(的图象如图2所示，则直线c ax y --=不经过（ ） A 、 第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 3、小明从二次函数c bx ax y ++=2图象（图3）中，观察得出了下面的五条信息： ①0<a ，②c=0，③函数的最小值为—3，④当0<x 时0>y ，⑤当2021<<<x x 时，21y y >；你认为其中正确的个数为（ ）A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 4、已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图4所示，则在“①0<a ，②b>0，③c<0， ④042>-ac b ”中正确的判断是（ ）A 、① ② ③ ④B 、④C 、① ② ③D 、① ④5、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图5所示，若c b a M ++=24，c b a N +-=，c b a P +-=24，则（ ） A 、0,0,0>>>P N M B 、0,0,0><>P N M C 、0,0,0>><P N M D 、0,0,0><<P N M6、已知二次函数c bx ax y ++=2，且0<a ，0>+-c b a ，则一定有（ ）A 、042>-ac bB 、042=-ac bC 、042<-ac bD 、042≤-ac b7、关于二次函数c bx ax y ++=2的图象有下列命题：①当c=0时，函数的图象经过原点； ②当 c>0且函数的图象开口向下时,方程02=++c bx ax 必有两个不相等的实数根;③函数图象有最高点; ④当b=0时,函数的图象关于y 轴对称.其中正确命题的个数是( )A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 8如图所示，已知二次函数c ++=bx ax y 2的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，对称轴为直线x=1.直线y=-x+c 与抛物线c ++=bx ax y 2交于C 、D 两点，D 点在x 轴下方且横坐标小于3，下列结论：①2a+b+c ＞0；②a-b+c ＜0；x （ax+b ）≤a+b ；④a ＜-1其中正确的有（ ）A 、4 个 B 、3个 C 、2个 D 、1个9、若二次函数c x x y +-=42的图象与x 轴没有交点，其中c 为整数，则c= （只要求写出一个）。
二次函数(1)PPT课件(人教版)
第二十二章 二次函数
22．1 二次函数的图象和性质
22．1.1 二次函数
1．一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 是常数，a≠0)的函数，叫做 __二__次__函__数_，其中 x 是自变量，a，b，c 分别是函数解析式的_二__次__项___系数、 一__次__项___系数和常数项．
14．边长为4 m的正方形中间挖去一个边长为x(m)(x＜4)的小正方形，剩 余的四方框的面积为y(m2)，则y与x之间的函数关系式为y_＝__1_6_－__x_2_(_0_＜__x_＜_，4) 它是_二__次____函数．
15．若y＝(m－1)xm2＋2m－1＋3. (1)m取什么值时，此函数是二次函数？ (2)m取什么值时，此函数是一次函数？
解 ： 降 低 x 元 后 ， 所 销 售 的 件 数 是 (500 ＋ 100x) ， 则 y ＝ (13.5 － 2.5 － x)(500＋100x)，即y＝－100x2＋600x＋5500(0＜x≤11)
18．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 mm，BC＝24 mm，动点P 从点A开始沿边AB向B以2 mm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开 始沿边BC向C以4 mm/s的速度移动(不与点C重合)．如果P，Q分别从A，B 同时出发，设运动的时间为x s，四边形APQC的面积为y mm2.
C．y＝12(x－1)(x＋4)不是二次函数 D．在 y＝1－ 2x2 中，一次项系数为 1
3．若y＝(a＋3)x2－3x＋2是二次函数，则a的取值范围是__a_≠_－__3___． 4．对于二次函数y＝1－3x＋2x2，其二次项系数、一次项系数及常数 项的和是__0__． 5．已知两个变量x，y之间的关系式为y＝(a－2)x2＋(b＋2)x－3. (1)当___a≠__2____时，x，y之间是二次函数关系； (2)当___a_＝__2_且__b_≠_－__2_____时，x，y之间是一次函数关系．
第十二课时二次函数(一)
已知点A（-3，y1）、B（-1，y2)、C（2，y3）都在抛物线y=a(x-1)2+c(a
＜0）上，则y1、y2、y3的大小关系是
（用＜连接）
在下列函数图象上任取不同两点 P1（x1，y1）、P2（x2，y2），一定能使
＜0 成立的是
（） A．y＝3x﹣1（x＜0） C．y＝﹣ （x＞0）
B．y＝﹣x2+2x﹣1（x＞0） D．y＝x2﹣4x﹣1（x＜0）
(2019·温州中考)已知二次函数y＝x2－4x＋2，关于该函数在－1≤x≤3的取
值范围内，下列说法正确的是(
)
A. 有最大值－1，有最小值－2 B. 有最大值0，有最小值－1
C. 有最大值7，有最小值－1
D. 有最大值7，有最小值－2
知识点4 二次函数图象的平移
1. 二次函数一般式平移：
平移前的 解析式
第12课时 二次函数的图象和性 质(一)
课时目标
1. 通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义． 2. 会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质． 3. 会用配方法将二次函数的解析式化为y＝a(x－h)2＋k的形式，并能由此得到 二次函数图象的顶点坐标，知道图象的开口方向，会画出图象的对称轴，知道 二次函数的增减性，并掌握二次函数图象的平移规律.
考点六 二次函数与几何的综合运用 例6 (2019·玉林中考改编)已知抛物线C：y＝12(x－1)2－1，顶点为D，将C沿水平
方向向右(或向左)平移m个单位长度，得到抛物线C1，顶点为D1，C与C1相交 于点Q.若∠DQD1＝60°，求m的值．
[方法归纳] 本题是抛物线的平移、中点坐标公式、等边三角形的判定、平面直角坐标系中 两点间距离公式的综合运用，用含m的代数式表示出点D，D1，Q的坐标是解题的关键．
九年级数学 第二章 二次函数（一）
第2章二次函数第1课时二次函数（1）【知识要点】1．形如y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，a ≠0)的函数，叫二次函数．2．在函数y=ax 2+bx+c 中，a,b,c 分别是二次项系数、一次项系数及常数项． 课内同步精练●A 组 基础练习1．某工厂第一年的利润为20（万元），第三年的利润y （万元），与平均年增长率x 之间的函数关系式是 .2．在下列函数关系式中，哪些是二次函数（是二次函数的在括号内打上“√”，不是的打“x ”).(l ）y=-2x 2 ( )(2）y=x-x 2 ( )(3）y=2(x-1)2+3 ( )(4）y=-3x 2-3 ( )(5) s=a(8-a) ( )3．说出下列二次函数的二次项系数a ，一次项系数b 和常数项c ．(1)y=x 2中a= ,b= ,c= ;(2)y=5x 2+2x 中a= ,b= ,c= ;(3)y=(2x-1)2中a= ,b= ,c= ;4．已知二次函数y=x 2+bx-c,当x=-1时，y=0；当x=3时，y=0，则b= ；c= .●B 组 提高训练5.已知正方形边长为3，若边长增加x ，那么面积增加y ，则y 与x 的函数关系式是 .6.在半径为4cm 的圆面上，从中挖去一个半径为x 的同心圆面，剩下一个圆环的面积为ycm 2，则y 与x 的函数关系式为 .课外拓展练习●A 组 基础练习1.当m 是何值时，下列函数是二次函数，并写出这时的函数关系式．(1)y =234m m mx -+,m = ,y = ;(2) y =2(1)m m m x ++,m = ,y = ;(3) y =232(4)mm m x -+-,m = ,y = . 2.函数y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数)问当a,b,c 满足什么条件时：(l ）它是二次函数 ；(2）它是一次函数 ；(3）它是正比例函数 ；●B 组 提高训练3．已知二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0),若x=0时y=1；x=1时y=1；x=2时y=-1.求这个二次函数关系式.4．已知二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0),若x=1时y=3；x=-1时y=4；x=-2时y=3.求这个二次函数关系式.第2课时二次函数的图象（1）【知识要点】1.函数y=ax 2的图象是一条抛物线，它的对称轴是y 轴，图像的顶点是(0,0)2.函数y=ax 2,当a>0时，抛物线的开口向上；当a<0时，抛物线开口向下.3.函数y=ax 2,当a>0时，对称轴的左侧y 随x 的增大而减小，对称轴的右侧y 随x 的增大而增大；当x=0时函数y 有最小值0.课内同步精练●A 组 基础练习1．函数y=ax 2(a ≠0)的图象叫做 ，它关于 轴对称，它的顶点是 .2．当a>0时，y=ax 2在x 轴上的 (其中顶点在 轴上),它的开口 并且向上无限 .3.函数212y x =-的对称轴是 ，顶点坐标是 ，对称轴的右侧y 随x 的增大而 ，当x= 时，函数y 有最 值，是 .4.函数y=3x 2与函数y=-3x 2的图象的形状 ，但 不同.●B 组 提高训练5.一个函数的图象是一条以y 轴为对称轴，以原点为顶点的抛物线，且经过点A （-2,8).(l ）求这个函数的解析式；(2）画出函数图象；(3）写出抛物线上与点A 关于y 轴对称的点B 的坐标，并计算△OAB 的面积．课外拓展练习●A 组 基础练习1.抛物线y=ax 2与y=2x 2形状相同，则a= .2.已知函数y=ax 2当x=1时y=3，则a= , 对称轴是 ，顶点是 . 抛物线的开口 ，在对称轴的左侧，y 随x 增大而 ，当x= 时，函数y 有最 值，是 .3.若抛物线y=ax 2经过点P ( l ，-2 )，则它也经过 （ ）A. P 1(-1，-2 )B. P 2(-l, 2 )C.P 3( l, 2)D.P 4(2, 1) ●B 组 提高训练4.有一桥孔形状是一条开口向下的抛物线214y x =- (1)作出这条抛物线；(2)利用图象，当水面与抛物线顶点的距离为4m 时，求水面的宽；(3）当水面宽为6m 时，水面与抛物线顶点的距离是多少？第3课时二次函数的图像（2）【知识要点】函数y=a(x+m)2+k(a,m,k 是常数，a ≠0).①当a>0时，图像开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 ，右侧y 随x 的增大而 ，当x= 时，y 有最 值，是 .②当a<0时，图像开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 ，右侧y 随x 的增大而 ，当x= 时，y 有最 值，是 .课内同步精练●A 组 基础练习1.函数y=2(x+1)2是由y=2x 2向 平移 单位得到的.2.函数y=-3(x-1)2+1是由y —3x 2向 平移 单位，再向 平移 单位得到的.3.函数y=3(x-2)2的对称轴是 ，顶点坐标是 ，图像开口向 ，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x 时，函数y 有最 值，是 .4.函数y=-(x+5)2+7的对称轴是 ，顶点坐标是 ，图象开口向 ，当x 时， y 随x 的增大而减小，当 时，函数y 有最 值，是 .●B 组 提高训练6.在同一坐标系内，画出函数y=2x 2和y=2(x-1)2+1的图象，并说出它们的相同点和不同点．课外拓展练习●A 组 基础练习1. 二次函数y=(x-1)2-2的顶点坐标是（ ）A.(-1,-2)B.(-1,2)C.(1,-2)D.(1,2)2. 把y= -x 2-4x+2化成y= a (x+m)2 +n 的形式是（ ）A.y= - (x-2 )2 -2B.y= - (x-2 )2 +6C. y = - (x+2 )2 -2D. y= - (x+2 )2 +6●B 组 提高训练3. 图象的顶点为(-2，-2 )，且经过原点的二次函数的关系式是（ ） A.y=12(x+2 )2 -2 B.y=12(x-2 )2 -2 C. y = 2(x+2 )2 -2 D. y= 2(x-2 )2 -2 4. 经过配方，画出函数y=-3x 2+6x-4的图象，并说出它的对称轴及顶点坐标，当x 时， y 随x 的增大而减小，当x 时，函数y 有最 值，是 .第4课时二次函数的图像（3）【知识要点】函数y=ax 2+bx+c (a ，b ，c 是常数a ≠0).①当a>0时，函数y 有最小值，是 . ② 当a< 0时，函数y 有最大值，是 .课内同步精练●A 组 基础练习1. 函数y=2x 2-8x+1，当x= 时，函数有最 值，是 .2. 函数213523y x x =---，当x= 时，函数有最 值，是 . 3. 函数y=x 2-3x-4的图象开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而 ，当x 时，函数y 有最 值，是 .●B 组 提高训练4. 把40表示成两个正数的和，使这两个正数的乘积最大，则这两个数分别是 .5. 如图，用长20m 的篱笆，一面靠墙围成一个长方形的园子，怎么围才能使园子的面积最大？最大面积是多少？课外拓展练习●A 组 基础练习1. 把二次函数215322y x x =++的图象向右平移2个单位，再向上平移3个单位，所得到图象的函数解析式是 （ ）A .21(5)12y x =-+ B.21(1)52y x =+- C.21322y x x =++ D. 21722y x x =+- 2. 抛物线y=2x 2-5x+3与坐标轴的交点共有 （ ）A . 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个3. 二次函数y=(x-3)(x+2)的图象的对称轴是 ( ) A.x=3 B.x=-2 C.x=-12 D.x=124. 二次函数y=-2x 2+4x-9的最大值是A.7B.-7C.9D.-9●B 组 提高训练5. 己知直角三角形的两直角边的和为2，求斜边长的最小值，以及当斜边长达到最小值时的两条直角边的长．第5课时二次函数的性质【知识要点】1．若已知抛物线的顶点为（0, 0)，则二次函数的关系式可设为y=ax 2(a ≠0 ).2．若已知抛物线的顶点在y 轴上，则二次函数的关系式可设为y=ax 2+k(a ≠0 ).3．若已知抛物线的顶点在x 轴上，则二次函数的关系式可设为y=a(x+m)2 (a ≠0 ).4．若已知抛物线的顶．汽为（ m , k ）则二次函数的关系式可设为y = a ( x-m ）2+k （a ≠0 ) .课内同步精练●A组基础练习1. 已知函数y=(m-1)x2+2x+m,当m= 时，图象是一条直线；当m 时，图象是抛物线；当m 时，抛物线过坐标原点．2. 函数y=2x2的图象向平移5个单位，得到y=2（x+5）2的图象，再向平移个单位．得到y=2x2+20x+56的图象．3. 二次函数y=2x2-4x-3，当x= 时，有最大值，是 .4. 已知抛物线y=x2-kx-8经过点P (2, -8), 则k= ，这条抛物线的顶点坐标是 .5. 用配方法把二次函数y=-2x2+8x-5化成y=a(x+m)2+n的形式，即y= ,它的对称轴是，顶点坐标是 .6. 一个二次函数，当x=0时，y=-5；当x=-1时，y=-4；当x=-2时，y=5，则这个二次函数的关系式是（）A.y=2x2-x-5B.y=2x2+x+5C. y=2x2-x+5D. y=2x2+x-57. 已知二次函数y=ax2+bx+c (a≠0）的顶点坐标为M (2，-4 )，且其图象经过点A (0, 0 )，则a, b , c的值是（）A .a=l, b=4, c=0 B.a=1,b=-4,c=0 C.a=-1,b=-1,c=0 D.a=1,b=-4,c=8●B组提高训练8. 己知二次函数y=-x2+bx+c的顶点坐标为（-1，- 3 )，求b，c的值．9. 已知二次函数y =ax2 +bx-1的图象经过点 (2，-1)，且这个函数有最小值-3 ，求这个函数的关系式．课外拓展练习●A组基础练习1. 已知二次函数y=ax2-4x-13a有最小值-17，则a= .2. 已知抛物线与x轴交点的横坐标分别为3, l；与y轴交点的纵坐标为6，则二次函数的关系式是 .3. 抛物线y=-x2+4x-1的顶点坐标是，在对称轴x=2的侧y随x的增大而减小．4. 二次函数y =ax2+bx+c的图象的形状 ( )A．只与a有关 B. 只与b有关 C. 只与a, b有关 D．与 a , b，c都有关5. 二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴位置 ( )A．只与a有关 B. 只与b有关 C. 只与a, b有关 D．与 a , b，c都有关●B 组 提高训练6. 已知关于x 的二次函数的图象的顶点坐标为（一 l , 2 ) ，且图象过点（ l ，一 3 ) .(1)求这个二次函数的关系式；(2)写出它的开口方向、对称轴；第6课时 二次函数的应用（1） 【知识要点】 运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值，首先用应当求出函数解析式和自变量的取值范围，求得的最大值或最小值对用的字变量的值必须在自变量的取值范围内. 课内同步精练●A 组 基础练习1. 二次函数y=x 2-3x-4的顶点坐标是 , 对称轴是直线 ，与x 轴的交点是 ，当x= 时，y 有最 ，是 .2. 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则a 的符号是 ，b 的符号是 ，c 的符号是 .当x 时， y ＞0，当x 时，y=0,当x 时，y < 0 .3. 若二次函数y=mx 2-3x+2m-m 2的图象经过原点，则m 的值是（ ）A .1 B. 0 C. 2 D. 0或24. 下列各图中有可能是函数y=ax 2+c,(0,0)a y a c x=≠>的图象是（ ）●B 组 提高训练5. 心理学家发现，学生对概念的接受能力y 与提出概念所用的时间x （单位：分）之间满足函数关系y=-0.1x 2+2.6x +43（0≤x ≤30）.y 值越大，表示接受能力越强．(l) x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？(2)某同学思考10分钟后提出概念，他的接受能力是多少？(3)学生思考多少时间后再提出概念，其接受能力最强？课外拓展练习●A 组 基础练习1. 抛物线y=ax 2+bx ，当a>0,b<0时，它的图象象经过第 象限.2. 抛物线y=2x 2+4x 与x 轴的交点坐标分别是A( ),B( ).3. 已知二次函数y=-x 2+mx+2的最大值为94，则m= ． 4. 正方形边长为 2 ，若边长增加x ，那么面积增加y ，则y 与二的函数关系式 .5. 二次函数y=4x 2-x+1的图象与x 轴的交点个数是（ ）A. l 个B.2个C. l 个D.无法确定6. 已知二次函数y=x 2-4x-5，若y>0,则（ ）A . x>5 B.-l ＜x ＜5 C. x>5或x ＜-1 D. x>1或2x<-5●B 组 提高训练7. 学开车的人不仅需要熟悉交通规则、掌握驾驶要领，还要掌握为使车子停止前进而刹车后汽车继续滑行的距离．资料显示，当路况良好、路面于燥时，刹车后汽车滑行的距离与车速之间的对应关系如表所示：车速（km/h ） 4864 80 96 112 滑行距离(m)22.5 36 52.5 72 94.5 (1)绘制汽车滑行的距离(2)证明汽车滑行的距离s （单位：m ）及车速v （单位： km / h ）之间有如下的关系：23316512s v v =+ (3)利用以上信息估计上表所未填出的车速及所对应的汽车滑行的距离．(4)在路况不良时，表中的滑行距离须分别修正为 45, 72, 105, 144及189m ，在这种情况下， (2)中的函数关系应如何调整？第7课时二次函数的应用（2）【知识要点】利用二次函数来解实际问题，体会实际问题转化为数学模型的过程，课内同步精练●A组基础练习1. 有一座抛物线型拱桥（如图），正常水位时桥下河面宽20m，河面距拱顶4m.(l)在如图所示的平面直角坐标系中，求出抛物线解析式；(2)为了保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m．求水面在正常水位基础上涨多少m时，就会影响过往船只？2. 小明在网上交了一个新朋友，新朋友告诉他：“我在公元x2年时是x岁．”小明今年14岁，小明对这位新朋友该“称兄”还是“道弟”?●B组提高训练3. 一高尔夫球的飞行路线为如图抛物线．(l)请用解析法表示球飞行过程中y关于x的函数关系式；(2)高尔夫球飞行的最大距离为多少m？最大高度为多少m?(3)当高尔夫球的高度到达5m 时，它飞行的水平距离为多少m ?课外拓展练习●A组基础练习1. 如图，一根粗细均匀的杠杆AB，支点在杠杆的一端A，力点在杠杆的另一端B，在距支点A0.lm处C挂着49kg重物，而杠杆本身每米重5kg，求杠杆使用起来最省力的AB长．2. 如图，这是某市一处十字路口立交桥的横断面在平面直角坐标系中的示意图，横断面的地平线为x轴，横断面的对称轴为y轴．桥拱的DGD/部分为一段抛物线，顶点G的高度为8m , AD和A 'D/是两根高为5.5m 的支柱．OA和OA/为两个方向的汽车通行区，宽都为15m，线段CD和C'D/为两段对称的上桥斜坡，其坡度为1∶4.（1）求桥拱DGD/所在抛物线的解析式及线段CC/的长；(2)BE和B/E/为支撑斜坡的立柱，其高都为4m，相应的AB和A/B/为两个方向的行人及非机动车通行区．试求AB和 A/B/的宽；(3)按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于0.4m，今有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4m ，车载大型设备的顶部与地面的距离均为7m．它能否从OA（或O/A/）区域安全通过？请说明理由．●B组提高训练3.小明代表班级参加校运动会的铅球项目，他想：“怎样才能将铅球推得更远呢？”于是找来小刚做了如下的探索：小明手持铅球在控制每次推出时用力相同的条件下，分别沿与水平线成300, 450, 600方向推了三次，铅球推出后沿抛物线运动．如图所示，小明推铅球时的出手点距地面2m . 以铅球出手点所在竖直方向为y轴、地平线为x轴建立直角坐标系，分别得出有关数据如下表：推针专球的方向与水平线的夹角300 450 600铅球运行所得到的抛物线解析式y=-0.06(x-3)2+2.5 y= (x-4)2+3.6 y=-0.22(x-3)2+4 估测铅球在最高点的坐标P1(3,2.5) P2(4, 3.6) P3(3, 4) 铅球落点到小明站立处的水平距9.5m m 7.3m离(1)请你求出表格中两横线上的数据，写出计算过程，并将结果填人表格中的横线上；(2)请根据以上数据，对如何将铅球推得更远提出你的建议．第8课时二次函数的应用（3）【知识要点】二次函数是刻划现实生活中某些情境的数学模型.课内同步精练●A 组 基础练习1. 某瓜果基地市场部为指导该基地某种蔬菜的生产和销售，在对历年市场行情和生产的情况进行调查的基础上．对今年这种蔬菜上市后的市场售价和生产成本进行了预测，得到了以下图象：请你根据图象提供的信息说明：(1)在3月份出售这种蔬菜，每千克的收益是多少？（收益=售价-成本）(2)哪个月出售这种蔬菜，每克的收益最大？请说明理由．●B 组 提高训练2. 如图，今有网球从斜坡OA 的点O 处抛出．网球的抛物路线的函数关系是2142y x x =-，斜坡的函数关系是12y x =，其中，y 是垂直高度（m ），x 是与点O 的水平距离（m ）. (l)网球落在斜坡的点A ，写出点A 的垂直高度，以及点A 与点O 的水平距离；(2)在图象中，标出网球所能达到的最高点B,并求OB 与水平线Ox 之间夹角的正切值．课外拓展练习●A组基础练习1. 金苹果商场的某种商品价格下降x成（1成=110），则销售量增px成（p为大于l的常数）.(1)当x在什么范围内取值时，售出的总金额有所增加？(2)当x为何值时，才能使出售出的总金额达到最大值？●B组提高训练2. 某高科技发展公司500万元，成功研制出一种市场需求量较大的高科技替代产品，并投入资金1500 万元进行批量生产．已知生产每件产品的成本为40元．在销售过程中发现，当销售单价定为100元时，年销售量为20万件，销瞥单价每增加10元，年销售量将减少1万件．设销售单价为x（元），年销售量为y（万件），年获利（年获利=年销售额一生产成本一）为z（万元）(l)试写出y与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）;(2)试写出z与x之间的函数关系式（不必写出x的取值范围）;(3)公司计划：在第一年按年获利最大确定的销售单价进行销售，第二年年获利不低于1130万元．请你借助函数的大致图象说明，第二年的销售单价x（元）应确定在什么范围？第2章单元过关测试一、选择题1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图，下列结论中，正确的结论的个数有 ( )① a + b + c>0 ② a - b + c＜0 ③ abc < 0 ④ b =2a ⑤ b >0A. 5个B. 4个 C .3个 D. 2个2.抛物线y=x2-ax+a-2与坐标轴的交点个数有（）A.3个B.2个C.1个D.0个3.下列过原点的抛物线是 ( )A.y=2x2-1B. y=2x2+1C. y=2(x+1)2D. y=2x2+x4.已知抛物线过A(-1, 0）和B (3, 0）两点，与y轴交于点C，且BC=32，则这条抛物线的解析式为（）A.y=-x2+2x+3B. y=x2-2x-3C. y=x2+2x-3 或y= -x2+2x+3D. y= -x2+2x+3或y= x2-2x-35.二次函数y= a (x+m)2-m (a≠0)无论m为什么实数，图象的顶点必在 ( )A.直线y=-x上B. 直线y=x上C.y轴上D.x轴上6.如图，在直角三角形AOB中，ABOB，且OB=AB=3，设直线:l x t ，截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为 ( )7. 关于二次函数y=ax2+bx+c的图象有下列命题：①当c=0时，函数的图象经过原点；②当c＞0且函数的图象开口向下时，方程ax2+bx+c=0必有两个不等实根；③函数图象最高点的纵坐标是244ac ba;④当b=0时，函数的图象关于y轴对称．其中正确的命题的个数有 ( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个8. 若一抛物线y=ax2与四条直线x=1，x=2, y =1, y =2 围成的正方形有公共点，则a的取值范围是 ( )二、填空题9.抛物线y=-2(x+1)2+1的顶点坐标是 .10.将y=2x2的函数图象向左平移3个单位，再向上平移2个单位，得到二次函数解析式为 .11.抛物线y=(1-k)x2-2x-1与x轴有两个交点，则k的取值范围是 .12.已知二次函数y=x2+kx-12的图象向右平移4个单位后，经过原点，则k的值是13.写出一个二次函数的解析式，使它的顶点恰好在直线y=x+2上，且开口向下，则这个二次函数解析式可写为 .14.二次函数 y=ax2+c(a,c为已知常数），当x取值x1,x2时（x1≠x2），函数值相等，则当x取x1+x2时，函数值为 .三、解答题15.根据下列不同条件，求二次函数的解析式：(l）二次函数的图象经过A (1, l)，B（l, 7), C(2,4）三点；(2）已知当x=2时，y有最小值3,且经过点(l,5 );(3）图象经过（-3,0),(l,0), (-l，4)三点．16.画出函数y=x2-2x-3象，利用图象回答下列问题：(l)x取何值时，y随x的增大而减小？(2)当x取何值时， y=0， y>O, y<0?(3)若x1＞x2＞x3＞1 时，比较y l, y2, y3的大小17.已知二次函数y=-2x2，怎样平移这个函数图象，才能使它经过（0,0）和（1，6 ）两点？18.某广告公司设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形－边长为x（m) ，面积为S(m2）.(l）求出S与t之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围；(2）请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用．19.某跳水运动员进行IO m跳台跳水的训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为己知条件）．在跳某个规定动作时，正确情况下，该运动员在空中的最高处距水面2103m，入水处与池边的距离为4m, 同时，运动员在距水面高度为5m以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．(l)求这条抛物线的解析式；(2)在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中调整好入水姿势时，距池边的水平距离为335，问：此次跳水会不会失误？通过计算说明理由．。
1.26.1二次函数的基本概念(1)教案
2、多边形的对角线数 d 与边数 n 有什么关系？
3、某工厂一种产品现在的年产量是 20 件，计划今后两年增加产量。如果每
年都比上一年的产量增加 x 倍，那么两年后这种产品的产量 y 将随计划所定的 x
求出 Y 与 X 的函数关系式，并按所求的函数关系式计算出售定价为 80 元时所得
利润
２、二次函数
，当 x=0 时，y=-2；当 y=-2 时，x=0，求 y=2 时，
x 的值。
y ax2 c
(2)它是一次函数？ (3)它是正m比2－例7函数？
例 1、判断：下列函数是否为二次函数，如果是，指出其中常数 a.b.c 的值.
(1) y＝ax2＋bx＋c
(2)y＝x(x－5)
(3) y＝3x(2－x)＋ 3x2
(4) y＝ x4＋2x2－1
(5)y＝
(6) y＝
例 2. y=(m+3)x (1) m 取什么值时,此函数是正比例函数? (2) m 取什么值时,此函数是反比例函数? (3) m 取什么值时,此函数是二次函数?
)
26.1 二次函数（1）
教学目标：
（1）能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变 量的取值范围。
（2）注重学生参与，联系实际，丰富学生的感性认识，培养学生的良好的学 习习惯
重点难点：
能够根据实际问题，熟练地列出二次函数关系式，并求出函数的自变量的取 值范围。
教学过程：
一、试一试 1、正方形的六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为 x，表面积为 y，显
)
做 x 的二次函数，a 叫做二次函数的系数，b 叫做一次项的系数，c 叫作常数项．
二次函数1图象与性质
二次函数 1知识点结构：1、二次函数的定义；2、二次函数的图象及性质。
知识点一 二次函数的定义二次函数定义：形如y=ax 2+bx+c (a 、b 、、c 是常数，a ≠0)的函数叫做x 的二次函数，a 叫做二次函数的系数，b 叫做一次项的系数，c 叫作常数项．例题：例1 下列函数是二次函数的有（ ）12)5(;)4();3()3(;2)2(;1)1(222+=++=-==-=x y c bx ax y x x y xy x y ; (6) y=2(x+3)2－2x 2 A 、1个； B 、2个； C 、3个； D 、4个 例2 若()mmx m m y -+=22是二次函数， m=______。
例3 一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，通过仪器观察得到小球滚动的距离s （米）与时间t （秒）的数据如下表：写出用t 表示s 的函数关系式。
课堂练习：1、下列函数表达式中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各项对应项的系数．（1）y ＝1－3x 2（2）y ＝3x 2＋2x（3）y ＝x (x －5)＋2 （4）y ＝x ＋1x2、函数y ＝(m －2)x 2＋mx －3（m 为常数）． 当m__________时，该函数为二次函数； 当m__________时，该函数为一次函数．3、在一定条件下，若物体运动的路段s （米）与时间t （秒）之间的关系为 s ＝5t 2＋2t ，则当t ＝4秒时，该物体所经过的路程为（ ） A ．28米 B ．48米 C ．68米 D ．88米 4．n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m 与球队数n 之间的关系式_________________． 5．已知y 与x 2成正比例，并且当x ＝－1时，y ＝－3．求：（1）函数y 与x 的函数关系式；（2）当x ＝4时，y 的值；（3）当y ＝－13 时，x 的值．知识点二 二次函数的图象与性质1、.函数y=ax 2的图象与性质2、函数y＝ax2＋k的图象与性质234a＞0当x ＝____时，y 有最_____值，是______．x____时，y 随x 的增大而增大；x____时，y随x 的增大而减小； a ＜0当x ＝____时，y 有最_____值，是______．x____时，y 随x 的增大而减小；x____时，y随x 的增大而增大；备注：｜a ｜ 越大，抛物线的开口越________，反之，｜a ｜ 越小，抛物线的开口越________． 5、函数图象的平移规律： “左加右减，上加下减”．向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2+ky=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 2例题：例1 足球守门员大脚开出去的球的高度随时间的变化而变化，这一过程可近似地用下列哪幅图表示（ ）AB C D例2 若抛物线y=ax 2经过点P ( l ，-2 )，则它也经过 （ ） A. P 1(-1，-2 ) B. P 2(-l, 2 ) C.P 3( l, 2) D.P 4(2, 1)例3 已知a ＜－1，点（a －1，y 1）、（a ，y 2）、（a ＋1，y 3）都在函数y= —x 2的图象上，则（ ） A.y 1＜y 2＜y 3 B ．y 1＜y 3＜y 2 C ．y 3＜y 2＜y 1 D ．y 2＜y 1＜y 3例4 将抛物线y ＝2 (x ＋1)2－3向右平移1个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的表达式为______________．例5 完成下列表格：y ＝3x 2 y ＝－x 2＋1y ＝12(x ＋2)2 y ＝－4 (x －5)2－3开口方向顶点 对称轴 最值增减性 （对称轴左侧）例6 如图 ① y ＝ax 2② y ＝bx 2③ y ＝cx 2④ y ＝dx 2 比较a 、b 、c 、d 的 大小，用“＞”连接．___________________________________例7 写出一个顶点坐标为（0，－3），开口方向与抛物线y ＝－x 2的方向相反， 形状相同的抛物线解析式____________________________．例8 函数y=-3(x-1)2+1是由y=-3x 2向 平移 单位，再向 平移 单位得到的.其对称轴是 ，顶点坐标是 ，图像开口向 ，当x 时，y 随x 的增大而减小，当x 时，函数y 有最 值，是 .例9 一个函数的图象是一条以y 轴为对称轴，以原点为顶点的抛物线，且经过点A （2,-8). (l ）求这个函数的解析式； (2）画出函数图象；(3）观察函数图象，写出这个函数所具有的性质。