最小二乘法原理之配方法推导
推导最小二乘法的两种方法
推导最小二乘法的两种方法最小二乘法是一种常见的数据拟合方法,用于找到一条直线,使得该直线与一组数据之间的最小距离等于零。
下面将介绍两种推导最小二乘法的方法。
方法一:基于样本点的距离我们可以从样本点出发,构造一条直线,使得该直线与样本点的距离等于零。
具体来说,设样本点为 (x_i, y_i),我们希望构造的直线为:y = ax + b其中 a 和 b 是待求的直线的参数。
为了找到 a 和 b,我们可以对样本点进行距离计算,得到:d = |y_i - ax_i + b|我们希望 d 等于零,即 y_i - ax_i + b = 0。
解这个方程,可以得到 a = (y_i - b) / x_i,b = y_i。
因此,我们得到一条直线的参数为:a = (y_i - b) / x_i,b = y_i该直线与样本点的距离就是:d = |y_i - ax_i + b| = |y_i - (y_i - b) / x_i + b| = (y_i - b) / x_i + b方法二:基于最小二乘法的公式另一种推导最小二乘法的方法是利用最小二乘法的公式。
最小二乘法的公式是:最小二乘法 = 1 / (n - 1) * Σ (y - y_i)^2 / (x - x_i)^2其中 n 是样本数,y_i 和 x_i 是样本点的坐标。
我们希望找到一条直线,使得该直线的斜率 k 满足:k * (x - x_i) = (y - y_i)即 k * (x - x_i) = y - y_i我们要求 k * (x - x_i) 最小,即要求 y - y_i 最小。
因此,我们可以构造一组数据,使得 y - y_i 最小。
具体来说,设 y_j = y_i + c,其中 c 是常数。
我们可以构造一条直线:k * (x - x_i) = y - y_i = y_j - c其中 k * (x - x_i) 就是直线的斜率。
该直线与样本点的距离就是:d = |y_i - ax_i + b| = |y_j - c - (ax_i + b)| = |ax_i - y_j - c|我们希望 d 最小,即要求 ax_i - y_j - c 最小。
最小二乘法的推导过程
最小二乘法的推导过程
最小二乘法是一种线性回归分析方法，用于解决当回归方程中的自变量与因变量之间存在一定误差时，如何求出最优解的问题。
其推
导过程如下：
1. 假设回归方程为y = β0 + β1x1 + β2x2 + ... + βkxk + ε，其中y为因变量，x1,x2,...,xk为自变量，β0,β1,...,βk为
回归系数，ε为误差项。
2. 根据最小二乘法的原理，我们需要求出使误差之和最小的回
归系数，即最小化残差平方和：Σ(yi - ŷi)^2，其中yi为实际值，ŷi为预测值。
3. 将回归方程中的自变量和误差项写成矩阵的形式，得到一个
线性模型：Y = Xβ + e，其中Y为n行1列的因变量向量，X为n行
k+1列的自变量矩阵，β为(k+1)行1列的回归系数向量，e为n行1
列的误差向量。
4. 利用最小二乘法的原理，将残差平方和对回归系数向量β求偏导数，并令其等于0，得到一个求解回归系数的正规方程组：X'Xβ = X'Y，其中X'为X矩阵的转置。
5. 解正规方程组，得到回归系数向量β的估计值：β =
(X'X)^-1X'Y。
6. 将得到的回归系数代入原始的回归方程中，即可得到最终的
线性回归方程。
通过以上推导过程，我们可以利用最小二乘法求解线性回归方程中的回归系数，从而预测因变量的值。
这种方法常用于统计学、金融学、经济学等领域，可以帮助我们更好地理解和分析数据。
高中数学最小二乘法公式推导
高中数学最小二乘法公式推导最小二乘法是一种用于拟合数据的统计方法，常用于数学建模和回归分析中。
它的目标是通过最小化观测值与拟合值之间的残差平方和，来找到一个最佳的拟合曲线或平面。
假设我们有一组数据点{(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)}，其中x是自变量，y是因变量。
我们希望找到一个线性模型来描述x和y之间的关系，即y = a + bx。
其中，a是直线的截距，b是直线的斜率。
而最小二乘法的思想就是，通过调整a和b的取值，使得拟合直线与实际观测点的残差平方和最小化。
残差可以定义为每个观测点的y值减去拟合直线的预测值，即ei = yi - (a + bxi)。
残差平方的和可以表示为：Sum(ei^2) = Sum((yi - (a + bxi))^2)，i从1到n求和。
我们的目标是找到a和b的取值，使得上述残差平方和最小化。
为了达到这个目标，我们需要对上述公式进行求导，并令导数等于0。
首先，我们对a求导，得到：(Sum(ei^2))/a = (Sum((yi - (a + bxi))^2))/a = -2Sum(yi - a - bxi) = 0。
化简上述表达式，我们可以得到：n * a + b * Sum(xi) = Sum(yi)。
接下来，我们对b求导，得到：(Sum(ei^2))/b = (Sum((yi - (a + bxi))^2))/b = -2Sum(xi(yi - a - bxi)) = 0。
化简上述表达式，我们可以得到：a * Sum(xi) +b * Sum(xi^2) = Sum(xi * yi)。
以上两个方程可以形成一个线性方程组，通过求解这个方程组，我们可以得到最佳拟合直线的截距a和斜率b的值。
在实际应用中，可以使用矩阵的方法来求解这个方程组，使得计算更加高效。
总结起来，最小二乘法是通过最小化残差平方和来找到一组参数值，使得拟合曲线或平面与观测数据最为接近。
最小二乘法公式的多种推导方法
最小二乘法公式的多种推导方法最小二乘法是统计学中用来求两个线性相关变量的回归直线方程的一种方法，因其推导方法比较复杂，高中数学《必修3》简单介绍了最小二乘法的思想，直接给出了回归直线斜率a和截距b的计算公式，省略了公式的推导过程。
中学数学教师没有引起足够的重视。
在文[1]中作者的困惑之一就是“公式推导，教不教？”，为了加强学生学习能力的培养和数学思想方法的渗透，让师生更好的了解数学发展的价值，公式推导，不仅要教，而且要好好的教。
下面给出几种公式推导的方法，供教学参考。
给出一组具有线性相关关系的数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），且实数xi不全相等，求回归直线y=ax+b的斜率a和截距b，使得所有点相对于该直线的偏差平方和达到最小。
设实数xi不全相等，所求直线方程为y=ax+b要确定a，b，使函数f（a，b）=∑ni=1（axi+b-yi）2最小。
方法1[2]由于f（a，b）=∑ni=1[yi-axi-（-a）+（-a）-b]2=∑ni=1{[yi-axi-（-a）]2+2[yi-axi-（-a）]×[（-a）-b]+[（-a）-b]2}=∑ni=1[yi-axi-（-a）]2+2∑ni=1[yi-axi-（-a）]×[（-a）-b]+n[（-a）-b]2，注意到∑ni=1[yi-axi-（-a）][（-a）-b]=（-a-b）∑ni=1[yi-axi-（-a）]=（-a-b）[∑ni=1yi-a∑ni=1xi-n（-a）]=（-a-b）[n-na-n（-a）]=0，因此f（a，b）=∑ni=1[yi-axi-（-a）]2+n[（-a）-b]2=a2∑ni=1（xi-）2-2a∑ni=1（xi-）（yi-）+∑ni=1（yi-）2+n（-a-b）2=n（-a-b）2+∑ni=1（xi-）2[a-∑ni=1（xi-）（yi-）∑ni=1（xi-）2]2-[∑ni=1（xi-）（yi-）]2∑ni=1（xi-）2+∑ni=1（yi-）2在上式中，后两项和a，b无关，而前两项为非负数，因此要使f取得最小值，当且仅当前两项的值均为0，即a=∑ni=1（xi-）（yi-）∑ni=1（xi-）2，b=-a（其中x=1n∑ni=1xi，y=1n∑ni=1yi，（x，y）称为样本点的中心。
最小二乘法公式推导
最小二乘法公式推导
最小二乘法是一种用于拟合数据的统计方法，通过最小化残差平方和来确定一组最佳的拟合系数。
以下是最小二乘法的公式推导：
假设有n个数据点(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)，
要用一条直线y=a+bx来拟合这些数据，其中a和b是未知
参数。
首先定义残差ei为第i个数据点的y值减去拟合直线在该
点的预测值：
ei=yi-(a+bxi)
然后，我们将残差平方和S定义为所有n个数据点的残差平
方的和：
S=Σ(ei^2)=Σ(yi-a-bxi)^2
要找到最佳的拟合系数a和b，我们需要将S最小化。
为了
实现这一点，我们可以将S分别对a和b求偏导，并令偏导数等
于0，得到以下两个方程：
∂S/∂a=-2Σ(yi-a-bxi)=0
∂S/∂b=-2Σ(xi)(yi-a-bxi)=0
将上述两个方程展开并整理，得到：
na+bΣ(xi)=Σ(yi)
bΣ(xi^2)+aΣ(xi)=Σ(xi)(yi)
这是一个包含两个未知数a和b的线性方程组，可以通过解方程组来求出最佳的拟合系数。
具体来说，我们可以使用矩阵求解法，将上述方程组转化为矩阵形式：
|nΣ(xi)||a||Σ(yi)|
|Σ(xi)Σ(xi^2)||b|=|Σ(xi)(yi)|
然后，可以使用矩阵的逆来求解a和b的值：
|a||nΣ(xi)|^-1|Σ(yi)|
|b|=|Σ(xi)Σ(xi^2)||Σ(xi)(yi)|
最终，得到的a和b就是最小二乘法所求的拟合系数，可以将其代入y=a+bx中，得到拟合直线的方程。
配方法的公式
配方法的公式
配方法是指将一个式子（包括有理式和超越式）或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和，这种方法称之为配方法。
配方法公式：（x+y）²=x²+2xy+y²。
在基本代数中，配方法是一种用来把二次多项式化为一个一次多项式的平方与一个常数的和的方法。
这种方法是把以下形式的多项式化为以上表达式中的系数a、b、c、d和e，它们本身也可以是表达式，可以含有除x以外的变量。
配方法通常用来推导出二次方程的求根公式。
用配方法解一元二次方程的步骤：
①把原方程化为一般形式;
②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边;
③方程两边同时加上一次项系数一半的平方;
④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数;
⑤进一步通过直接开平方法求出方程的解，如果右边是非负数，则方程有两个实根;如果右边是一个负数，则方程有一对共轭虚根。
配方法
配方法高考问题求解中的数学方法一般是指“配方法、换元法、待定系数法、反证法、数学归纳法、”等.有时在解决更小范围内的数学问题所使用的的具体方法是“代入法、消元法、比较法、割补法、等积法”等.配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简.何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方.有时也将其称为“凑配法”.配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ＝(a －b)2＋2ab ；a 2＋ab ＋b 2＝(a ＋b)2－ab ＝(a －b)2＋3ab ＝(a ＋b 2)2＋（32b ）2；a 2＋b 2＋c 2＋ab ＋bc ＋ca ＝12[(a ＋b)2＋(b ＋c)2＋(c ＋a)2] a 2＋b 2＋c 2＝(a ＋b ＋c)2－2(ab ＋bc ＋ca)＝(a ＋b －c)2－2(ab －bc －ca)＝…结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1＋sin2α＝1＋2sin αcos α＝（sin α＋cos α）2；x 2＋12x ＝(x ＋1x )2－2＝(x －1x)2＋2 ；解析几何中的韦达定理和弦长公式；…… 等等. 练一练： 1若实数a,b,c 满足,9222=++c b a 则()()()222a c c b b a -+-+-的最大值为2方程x 2＋y 2－4kx －2y ＋5k ＝0表示圆的充要条件是_____3 已知sin 4α＋cos 4α＝1，则sin α＋cos α的值为______4 函数y ＝log 12 (－2x 2＋5x ＋3)的单调递增区间是_____5. 已知方程x 2+(a-2)x+a-1=0的两根x 1、x 2，则点P(x 1,x 2)在圆x 2+y 2=4上，则实数a ＝_____ 6 双曲线 12222=-b y a x 的两个焦点F 1，F 2，点P 在双曲线上，若21PF PF ⊥，求P 到x 轴的距离.解析：1：如何求最大值，只有对所求值重新整理，凑用题设和配方切入，()()()()()()().27,2793222322222222222222所求最大值为∴≤++-⨯=+++++-++=---++=-+-+-c b a ca bc ab c b a c b a ca bc ab c b a a c c b b a2：配方成圆的标准方程形式(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，解r 2>0即可，k<14或k>1。
最小二乘法推导详细
最小二乘法推导详细最小二乘法是一种通用的回归分析方法，它所得模型可用于估计自变量和因变量之间的线性关系，适用于预测和探索走势。
最小二乘法原理是通过寻找最小化误差平方和的方法，来确定独立变量（即自变量）和被解释变量（即因变量）的关系。
假如存在一个二元线性回归问题，自变量为 x，因变量为 y，则最小二乘法所求得的回归方程为：y = β0 + β1x，其中β0 和β1 是截距和斜率。
最小二乘法可以应用于任何数学函数，只要函数可以近似描述数据集内的关系。
最小二乘法的推导过程包含以下几步骤：Step 1: 定义问题假设存在一组数据集 (x_i, y_i)，其中 x_i 为独立变量，y_i 为所要解释的变量。
我们要寻找一个线性方程y = β0 + β1x，其中β0 和β1 为待求解的系数，使得该方程能够最好地描述数据集内的关系。
Step 2: 确定模型模型的选择是最小二乘法中至关重要的一步。
在本例中，我们需要使用线性回归模型y = β0 + β1x。
这意味着当自变量 x 增加 1 个单位时，因变量 y 会增加β1 个单位。
Step 3: 求解系数我们要通过最小二乘法来求解方程的系数β0 和β1。
因为最小二乘法可最小化误差平方和，而误差即为样本数据集中观测值 y_i 与估计值 y_i^ 的差距。
因此，我们需要将这个差距（即残差）平方并求和。
最终我们需要得到误差的公式以及误差对系数的偏导数。
Step 4: 残差平方和的最小值在最后一步中，我们要用求导法将误差函数（即残差平方和）最小化，以得到系数β0 和β1 的最佳解。
为求得残差平方和的最小值，需要对误差函数对β0 和β1 分别求导。
推导过程如下：误差函数定义为：E(β0, β1) = Σ(y_i - (β0 + β1*x_i))^2对β0 求偏导得：dE/dβ0 = Σ2(y_i - β0 - β1*x_i)(-1) = -nβ0 - β1Σ(x_i) + Σ(y_i)对β1 求偏导得：dE/dβ1 = Σ2(y_i - β0 - β1*x_i)(-x_i) = -β0Σ(x_i) - β1Σ(x_i^2) + Σ(x_i*y_i)将上述两个偏导数设置为零，得到下式：Σ(y_i) = nβ0 + β1Σ(x_i)Σ(x_i*y_i) = β0Σ(x_i) + β1Σ(x_i^2)通过解这两个方程组，我们就可以得到β0 和β1 的值，即：β1 = [n*Σ(x_i*y_i) - Σ(x_i)*Σ(y_i)] /[n*Σ(x_i^2) - (Σ(x_i))^2]β0 = [Σ(y_i) - β1 * Σ(x_i)] / n最小二乘法就是通过上述方法来最小化误差平方和，以得出在给定数据集上最适合的线性方程的方法之一。
使用配方法解二次方程
使用配方法解二次方程二次方程是一种常见的数学方程，具有形如ax²+bx+c=0的标准形式，其中a、b、c为已知常数，x为未知数。
解二次方程最常用的方法之一就是配方法，本文将详细介绍如何使用配方法解二次方程。
一、配方法的原理配方法，又称乘法配方或补全法，其原理是通过乘以一个适当的系数，使得方程左边可以转化为一个完全平方。
这样做的好处是，方程左边可通过提取平方根得到一个简化的形式，从而更方便求解。
二、配方法的步骤使用配方法解二次方程的步骤如下：1. 确保方程是标准形式：ax²+bx+c=0。
2. 观察方程中常数项c，找到一个可以使得二次项和常数项的乘积等于这个数的系数d。
3. 在方程的两边同时加上d²。
4. 将左边的完全平方进行因式分解。
5. 整理方程，提取平方根。
6. 将方程分解为两个等式，分别求解。
7. 检验解是否满足原方程。
三、实例演示为了更好地理解配方法的具体操作步骤，我们以一个实例进行演示：例：解方程x²+6x+8=01. 方程已经是标准形式。
2. 乘积为8的两数之和为6，即2和4。
3. 在方程的两边同时加上2²=4。
得到方程x²+6x+12=4。
4. 左边的完全平方可以进行因式分解，即(x+3)²。
得到方程(x+3)²=4。
5. 整理方程，提取平方根。
得到方程x+3=±2。
6. 将方程分解为两个等式进行求解。
得到方程x=-3±2。
7. 检验解是否满足原方程。
将x的两个解分别代入原方程，验证结果。
四、注意事项在使用配方法解二次方程时需要注意以下几点：1. 方程必须为二次方程，且已经化为标准形式。
2. 在进行配方法时，需要观察常数项与二次项之间的关系，并找到适当的乘积。
3. 求解得到的解需进行验证，确保满足原方程。
五、总结配方法是解二次方程常用且有效的方法之一。
通过乘以适当的系数，转化方程为一个完全平方后进行因式分解和平方根的提取，可以更方便地求解二次方程。
第1讲-乘法公式进阶(配方法)
第1讲-乘法公式进阶（配方法）一、知二推二的应用 二、配方法1．配方法的步骤：①首先按某个字母的降幂排列——“化成一般式”．②分清二次项与一次项，把二次项系数化为1——“提系数”．③加上一次项系数一半的平方，再减去所加的数——“加上一次项系数一半的平方”． 2．配方法的基本应用： ①求最值；②非负性解不定方程． 【例1】（1）已知()()a a 200-198-=999，则()()a a 22200-+198-=________．（2）若()()x x 22+2+-3=13，则()()x x +23-=________．【答案】（1）， ，()()[()()]()()a a a a a a 222∴200-+198-=200--198-+2200-198-=2002;（2），所以，．【例2】若x y -=2，x y 22+=4，求x y 19921992+的值．【答案】由x y -=2平方得x xy y 22-2+=4②；又已知x y 22+=4，③③-②得xy xy 2=0⇒=0．所以x ，y 中至少有一个为0，但x y 22+=4． 因此x ，y 中只能有一个为0，另一个为2或-2． 无论哪种情况，都有()x y 19921992199219921992+==0+±2=2．(200)(198)999a a --=(200)(198)2a a ∴---=22(2)(3)x x ++-22(2)(3)x x =++-[]2(2)(3)2(2)(3)x x x x =++--+-252(2)(3)13x x =-+-=2(2)(3)12x x +-=(2)(3)6x x +-=【例3】（1）完成下列配方 ①_____()x x 22+4+= ②_____()x x 22+10+= ③_____()x x 22+7+= ④_____()x x 22+11+= ⑤_____()x x 22-9+= ⑥_____()x x 22-5+= ⑦_____()x x 22-13+=⑧_____()x x 22-15+=通过这道题，你得到的结论是：_____()x ax 22++= _____()x mx 22-+=（2）完成下列配方 ①_______()x x 222+4+= ②_______()x x 222+12+= ③________()x x 223+7+=④________()x x 223+11+= ⑤________()x x 22-+9+= ⑥________()x x 22--5+= ⑦________()x x 22-2-13+=⑧________()x x 22-3-15+=通过这道题，你得到的结论是：________()___()ax bx 22++== ________()___()ax bx 22-++==【答案】（1）①4，x +2；②25，x +5；③494，x 7+2；④1214，x 11+2；⑤814，x 9-2；⑥254，x 5-2；⑦1694，x 13-2；⑧2254，x 15-2．结论：a 2⎛⎫⎪2⎝⎭，a x +2；m 2⎛⎫ ⎪2⎝⎭，m x -2．（2）①2，2，x +1；②18，2，x +3；③4912，3，x 7+6；④12112，3，x 11+6；⑤81⎛⎫- ⎪4⎝⎭，-1，x 9-2；⑥25⎛⎫- ⎪4⎝⎭，-1，x 5+2；⑦169⎛⎫- ⎪8⎝⎭，-2，x 13+4；⑧75⎛⎫- ⎪4⎝⎭，-3，x 5+2；结论：b a24，a ，b b x x a a 222++4，a ，b x a +2；b a 2⎛⎫- ⎪4⎝⎭，a -，b b x x a a 222-+4，a -，b x a -2．【例4】（1）23(2)5x -+的最小值是_________，22(3)7x -+-的最大值是_________．（2）求最值并求出取最值时各未知数的取值：①x x 2-4+1 ②x x 23+-6③x x 2--8+10 ④x x 25-+9 ⑤x x 22+4+7⑥x x 2-2+10【答案】（1）5，-7． （2）①原式()x 2=-2-3，当x =2时，取最小值为-3； ②原式x 2333⎛⎫=+- ⎪24⎝⎭，当x 3=-2，时取最小值33-4；③原式()x 2=-+4+26，当x =3时，取最大值26； ④原式x 2561⎛⎫=--+ ⎪24⎝⎭，当x 5=2时，取最大值614．⑤原式()()x x x 22=2+2+1+5=2+1+5，当x =-1时，有最小值5；⑥原式x x x 222525525⎛⎫⎛⎫=-2-5++=-2-+ ⎪ ⎪4222⎝⎭⎝⎭，当x 5=2时，有最大值252．【例5】（1）若()()x y 22-5++4=0，则x =_______，y =_______．（2）若x y x y 22+-4+6+13=0，则x =_________，y =_________．（3）已知x x y y 222-4+3-12+14=0，求x y xy -2⎛⎫+ ⎪⎝⎭．（4）已知x y z x y z 222++-2+4-6+14=0，求x y z ++的值．【答案】（1）5，-4；； （2）x y x y 22+-4+6+13=0，()()x x y y 22∴-4+4++6+9=0 ()()x y 22∴-2++3=0，x y =2⎧∴⎨=-3⎩．（3）x x y y 222-4+3-12+14=0，()()x x y y 22∴2-2+1+3-4+4=0()()x y 22∴2-1+3-2=0，,x x y y xy -2=1⎧⎛⎫+4∴∴=⎨ ⎪=29⎝⎭⎩．【例6】（1）已知a ab b a 222-2++4+4=0，则a =_________，b =_________．（2）已知x x y xy 222+6+=2-9，则y x =_________．（3）已知a b a b ab 2222+++16=10，那么a b 22+=___________．【答案】（1）-2，-2． （2）x x y xy 222+6+=2-9，()()x y xy x x 222∴+-2++6+9=0()()x y x 22∴-++3=0，x y =-3⎧∴⎨=-3⎩，y x 1∴=-27（3）a b a b ab 2222+++16=10()()（）（）（）a b ab a b ab ab a b a b ab a b a b ab 222222222∴-8+16++-2=0∴-4+-=0-=0⎧∴⎨=4⎩∴+=-+2=8【例7】（1）x xy y y 222-4+5-12+13的最小值是__________．（2）已知a ab b a 22-2+2+4+8=0，求ab ．【答案】（1）原式()x xy y y y 222=2-2++3-12+13 ()()()()x y y y x y y 2222=2-+3-4+4+1=2-+3-2+1∴当x y ==2时，原式有最小值1． （2）a ab b a 22-2+2+4+8=0，()a ab b a 22∴2-2+2+4+8=0，a ab b a 22∴2-4+4+8+16=0，a ab b a a 222∴-4+4++8+16=0，()()a b a 22∴-2++4=0，a ∴=-4，b =-2，ab ∴=8．【例8】若4a b +=，求22a b +和ab 的最值．【答案】法一：由题意知，b a =4-，()()a b a a a a a 222222∴+=+4-=2-8+16=2-2+8≥8， ()()ab a a a a a 22=4-=-+4=--2+4≤4．法二：[()()]()a b a b a b a b 2222211+=++-≥+=822，[()()]()ab a b a b a b 22211=+--≤+=444．【课后作业】 【练1】（1）若n 满足22(2010)(2012)1n n -+-=，则(2012)(2010)n n --=__________．（2）已知()()a a 10-7-=40，则()()a a 2210-+7-=________．【答案】（1）令2010n a -=，2012n b -=，则221a b +=、2a b +=， ∴222()()322a b a b ab +-+==． （2）89． 【练2】求最值：（1）xx 2+-43（2）x x 2--2+7 （3）x x 22+ （4）x x 2-4+16-1【答案】（1）最小值1-436；（2）最大值8；（3）最小值1-8；（4）最大值15． 【练3】（1）若x y x y 22+-8+4+20=0，则x =_________，y =_________．（2）已知x y z x y z 222++-6+8-10+50=0，则x y z ++=__________．【答案】（1）4，-2．（2）∵x y z x y z 222++-6+8-10+50=0， ∴()()()x y z 222-3++4+-5=0， 故x =3，y =-4，z =5，x y z ++=4． 【练4】（1）已知x xy y y 22-4+5+6+9=0，则y x -=_______________．（2）已知x xy y y 222-4+5-12+13=1，则x y -3⎛⎫=⎪⎝⎭___________．（3）已知x xy y y 228-12+5-4+8=0，求x y +．【答案】（1）x xy y y 22-4+5+6+9=0()()x xy y y y 222∴-4+4++6+9=0()()x y y 22∴-2++3=0，y ∴=-3，x =-6，y x -∴=-216． （2）x xy y y 222-4+5-12+13=1，()()x xy y y y 222∴2-2++3-4+4=0，（）（）x y y 22∴2-+3-2=0，x y ∴==2， x y -3⎛⎫∴=1 ⎪⎝⎭； （3）∵x xy y y 228-12+5-4+8=0， ∴x xy y y 2216-24+10-8+16=0，∴x xy y y y 22216-24+9+-8+16=0，即()()x y y 224-3+-4=0， ∴x =3，y =4， ∴x y +=7．【练5】求x y x y 22++10+8+50的最小值，并写出取得最小值时x 、y 的取值．【答案】9，此时x =-5，y =-4． 【练6】若4a b -=，求22a b +和ab 的最值．【答案】法一：[()()]()a b a b a b a b 2222211+=++-≥-=822，[()()]()ab a b a b a b 22211=+--≥--=-444．法二：由题意知，b a =-4，()()a b a a a a a 222222∴+=+-4=2-8+16=2-2+8≥8．。
(完整版)回归直线方程的三种推导方法
回归直线方程的三种推导方法 巴州二中母润萍回归直线方程是新课改新增内容之一，在必修数学3中对两个具有线性相关关系的变量利用回归分析的方法进行了研究，书中直接给出了回归直线方程系数的公式，在选修2-3中给出了回归直线方程的截距和斜率的最小二乘法估计公式的另一种形式的推导方法，根据所学知识，我总结了3种推导回归直线方程的方法：设x 与y 是具有线性相关关系的两个变量，且相应于样本的一组观测值的n 个点的坐标分别是：112233()()()()n n x y x y x y x y ，，，，，，，，，设所求的回归方程为i i y bx a =+，(123)i n =，，，，．显然，上面的各个偏差的符号有正、有负，如果将他们相加会相互抵消一部分，因此他们的和不能代表n 个点与回归直线的整体上的接近程度，因而采用n 个偏差的平方和Q 来表示n 个点与相应直线（回归直线）在整体上的接近程度，即Q =∑(y i −y i ̂)2ni=1=∑(y i −bx i −a )2ni=1求出当Q 取最小值时的a b ，的值，就求出了回归方程． 下面给出回归方程的推导方法一：一、先证明两个在变形中用到的公式公式（一）22211()nni ii i x x x nx ==-=-∑∑，其中12nx x x x n +++=证明：2222121()()()()ni n i x x x x x x x x =-=-+-++-∑∵22221212()2n n x x x x x x nxnxn+++=+++-+222222222212121()2()nnni i x x x nx nx x x x x nx==+++-+=+++=-∑22211()nni i i i x x x nx==-=-∑∑∴．公式（二）11()()nnii i i i i xx y y x y nx y==--=-∑∑证明：11221()()()()()()()()ni i n n i x x y y x x y y x x y y x x y y =--=--+--++--∑∵11221122()()n n n n x y x y x y x y y x x y y x x y y x nx y=+++-+++++++12121[()()]ni i n n i x y x x x y y y y x nx y==-++++++++∑12121()()n n n i i i x x x y y y x y n y x nx y n n=++++++⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦∑112nni i i i i i x y nxy nxy x y nxy===-+=-∑∑，11()()nni i i i i i x x y y x y nx y==--=-∑∑∴．二、推导：将Q 的表达式的各项先展开，再合并、变形 2222112233()()()()n n Q y bx a y bx a y bx a y bx a =--+--+--++--2222121122()[2()2()]n y y y y bx a y bx a =+++-+++展开222211111222n n nnni i i i ii i i i i i y b x y a y bxab x na ======--+++∑∑∑∑∑合并同类项22221111122nnii n n ni i i i i i i i i y x na na b b x b x y y nn =====⎛⎫ ⎪ ⎪=--+-+ ⎪ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑以a b ，的次数为标准整理22221112()2nn nii i i i i i na na y bx bxb x y y ====--+-+∑∑∑转化为平均数x y，22222111[()]()2nnnii i i i i i n a y bx n y bx bxb x y y ====----+-+∑∑∑配方法2222222111[()]22nnnii i i i i i n a y bx ny nbxy nb x bxb x y y ====---+-+-+∑∑∑展开222222111[()]()2()()nnni i i i i i i n a y bx b x nx b x y nxy y ny ====--+---++∑∑∑整理2222111[()]()2()()()nnnii i i i i i n a y bx bxx b x x y y y y ====--+----+-∑∑∑用公式（一）、（二）变形22212111()()[()]()()()ni i n ni i i nii i i x x y y n a y bx x x b y y x x ====⎡⎤--⎢⎥⎢⎥=--+--+-⎢⎥-⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑配方22212212211111()()()()()()()()()nni i i i n n i i i i n ni i i i i x x y y x x y y n a y bx x x b y y x x x x ======⎡⎤⎡⎤----⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥=--+---+-⎣⎦⎢⎥--⎢⎥⎣⎦∑∑∑∑∑∑配方法在上式中，共有四项，后两项与a b ，无关，为常数；前两项是两个非负数的和，因此要使得Q 取得最小值，当且仅当前两项的值都为0．所以b =∑(x i −x̅)(y i −y ̅)n i=1∑(x i−x̅)2n i=1 a ＝y ̅−bx̅ 或1221ni ii n i i x ynxyb x nx==-=-∑∑用公式（一）、（二）变形得上述推导过程是围绕着待定参数a b ，进行的，只含有i i x y ，的部分是常数或系数，用到的方法有： ① 配方法，有两次配方，分别是a 的二次三项式和b 的二次三项式； ② 形时，用到公式（一）、（二）和整体思想； ③ 用平方的非负性求最小值．④ 实际计算时，通常是分步计算：先求出x y，，再分别计算1()()nii i xx y y =--∑，21()nii xx =-∑或1ni ii x ynx y=-∑，221nii xnx=-∑的值，最后就可以计算出a b ，的值．推导方法二：Q =∑(y i −y i ̂)2ni=1=∑(y i −bx i −a )2ni=1=∑[y i −bx i −(y ̅−bx̅)+(y ̅−bx̅)−a ]2ni=1=∑{[y i −bx i −(y ̅−bx̅)]2+2[y i −bx i −(y ̅−bx̅)]∗[(y ̅−bx̅)−a ]+[(y ̅−bx̅)−a ]2}ni=1=∑[y i −bx i −(y ̅−bx̅)]2+2∑[y i −bx i −(y ̅−bx̅)]∗[(y ̅−bx̅)−a ]ni=1+n (y ̅−bx̅−a )2ni=1注意到∑[y i −bx i −(y ̅−bx̅)]∗[(y ̅−bx̅)−a ]=(y ̅−bx̅−a )∑[y i −bx i −(y ̅−bx̅)]ni=1ni=1=(y ̅−bx̅−a )[∑y i −b ∑x i −n (y ̅−bx̅)ni=1n i=1]=(y ̅−bx̅−a )[ny ̅−nbx̅−n (y ̅−bx̅)]=0因此，Q =∑[y i −bx i −(y̅−bx̅)]2+n (y ̅−bx̅−a )2n i=1 =b 2∑(x i −x̅)2ni=1−2b ∑(x i −x̅)(y i −y ̅)+∑(y i −y ̅)2ni=1ni=1+n (y ̅−bx̅−a )2=n (y ̅−bx̅−a )2+∑(x i −x̅)2[b −∑(x i −x̅)(y i −y ̅)n i=1∑(x i −x̅)2n i=1]2ni=1−[∑(x i −x̅)(y i −y ̅)n i=1]2∑(x i −x̅)2n i=1+∑(y i −y ̅)2ni=1在上式中，后面两项和a,b 无关，前两项为非负数，因此，要使Q 达到最小值，当且仅当前两项均为0，即有b =∑(x i −x̅)(y i −y ̅)n i=1∑(x i −x̅)2n i=1a ＝y ̅−bx̅ 总结：这种方法难想到为什么要这样处理，并且计算量很大。
最小二乘法超详细推导
最小二乘法超详细推导好，咱们聊聊最小二乘法，听起来是不是有点儿高大上？但其实它的原理就像是在生活中解决问题一样简单。
想象一下，你跟朋友约好一起去看电影，结果两个人的时间都不太对付，最后迟到了。
为了避免下次再犯错，你们想出一个办法：每次都提前半小时出门。
这就像最小二乘法，简单明了，追求一个更好的结果。
最小二乘法的基本思想就像是给一堆点点画线，想要找到一条“最佳”线，让这条线跟所有的点距离最小。
听上去有点抽象，但我给你举个例子。
假设你正在学习滑板，刚开始的时候，可能会摔得东倒西歪，根本控制不住。
你想要找出一个滑行的规律，比如，哪个角度、哪个姿势滑起来更顺畅。
于是你反复尝试，记录每次摔倒的位置，然后把所有这些点连起来，最后找到那个“最佳姿势”。
这就像是在求一个最小值，把每次摔倒的距离都尽量缩短。
让我们深入一点儿，最小二乘法的数学公式其实挺简单，咱们用y=ax+b来表示。
这里的y就像你想要达到的目标，比如说滑板的速度，x是你能控制的因素，比如滑板的角度。
a是斜率，代表你加速的程度，b则是你起步的高度。
听上去是不是有点像在调配一杯完美的饮料？如果把这几个变量调得刚刚好，恰到好处，那就能滑得又快又稳。
这时候，我们就要把所有的点放到图上，看看哪个点偏离得最多。
每个点到那条线的距离就像是你在追求完美的过程中产生的小失误。
咱们要做的，就是把这些距离的平方加起来，然后最小化，尽量让整体的偏差小到可忽略不计。
这个过程就像在追求一个完美的曲线，让你在滑板上飞翔的时候不再摔倒。
在实际操作中，我们往往需要用到一些数学工具，比如微积分。
听起来是不是有点吓人？别担心，其实就是为了找出那条最佳线的斜率和截距。
简单来说，就是要把所有的偏差搞清楚，给出一个准确的答案。
就像你在追求更好的生活方式，每天记录饮食和运动，最后找到那个最适合自己的节奏。
想象一下，咱们在找线的时候，就像在追寻自己的梦想。
每一次失败，每一次尝试，都是为了一条更完美的路径。
配方法因式分解
配方法因式分解介绍在数学中，多项式因式分解是将一个多项式表示为两个或多个较简单的多项式乘积的过程。
配方法因式分解是常用的一种因式分解方法，通过适当选择一个辅助的乘法因子，将原多项式转化为更容易分解的形式。
本文将介绍配方法因式分解的基本原理和步骤，并通过实例演示具体的计算过程。
配方法因式分解的基本原理配方法因式分解的基本原理是通过引入一个适当的辅助乘法因子，将原多项式转化为易于分解的形式。
这个辅助乘法因子可以是单项式或多项式，它的选择取决于原多项式的结构。
配方法因式分解的步骤下面是常见的配方法因式分解的步骤：1.将原多项式按照次数从高到低的顺序排列。
2.判断原多项式的首项系数是否为1，如果不是1，则需要提取公因子。
将整个多项式除以首项系数，确保首项系数为1。
3.针对原多项式中的二次项，找到一个适当的辅助乘法因子。
辅助乘法因子的形式通常是(x + a)或(x - a)，其中a是一个实数，选择a的目的是将原多项式中的二次项转化为(x + a)²或(x - a)²的形式。
选择a的方法是通过计算原多项式中二次项系数的平方根，并将其符号反转。
4.将原多项式中的二次项按照辅助乘法因子进行拆分，并进行展开。
5.整理展开后的表达式，将得到的多项式进行合并并化简，得到最终的因式分解。
示例计算接下来，我们通过一个具体的示例来演示配方法因式分解的计算过程。
假设我们要对多项式f(x) = x² + 4x + 4进行因式分解。
根据步骤1，我们将多项式按照次数从高到低的顺序排列，得到f(x) = x² + 4x + 4。
根据步骤2，判断首项系数是否为1，由于首项系数为1，无需提取公因子。
根据步骤3，我们需要找到一个适当的辅助乘法因子。
将原多项式中二次项系数的平方根取反，即 a = -(2) = -2。
因此，辅助乘法因子为(x - 2)。
根据步骤4，我们将原多项式的二次项按照辅助乘法因子进行拆分，并展开得到：f(x) = (x - 2)² + 4(x - 2) + 4展开后的表达式为：f(x) = x² - 4x + 4 + 4x - 8 + 4根据步骤5，我们将展开后的表达式进行合并和化简，得到最终的因式分解：f(x) = x² - 8因此，多项式f(x) = x² + 4x + 4的因式分解为f(x) = (x - 2)²。
最小二乘法及其应用
（3-3-6）
其中 yT [ y1, y1,..., y p ], xT [ x1, x2..., xn ]T
a11 a1 p A an1 anp
Y=XA
（3-3-8）
其中Y为 m p 矩阵，X为 m n 矩阵。当 上述方程无解时，问题就转化成为求A使 下列非负定矩阵达到极小：
（ J A）（Y - XA） Y - XA） min （
T
（3-3-9）
问题（3-3-9）可以用配方法来求解：
（ J A） Y T Y AT X T Y Y T XA AT X T XA
( x, em )=( a k ek , em )=a m
ak (x,ek ) ck
时，式(3-1-2)成立。
（3-1-4）
这种求解方法称为投影法，它是最小 二乘法的第一种表现形式。第二种方法是 求导法，仍以上面的问题为例来说明。记 泛函
f (a1 , a2 ) || x ak ek ||
|| x || c ( ak ck ) 2
2 k 1 2 k k 1
min ak ck ,
k 1, 2 （3-1-5）
以上三种方法都称为最小二乘法。在 实际应用中，他们各有各的优势和缺陷， 我们并不能通过简单的比较来说明他们谁 优谁劣，因为衡量一种方法好坏的标准是 多方面的。因此，在不同的场合根据不同 的需要和可能，灵活选择和使用合适的方 法，是掌握最小二乘法的关键。
|| x ak ek ||=min
k 1
（3-1-2）
最小二乘法推导过程
最小二乘法推导过程最小二乘法是一种常用的回归分析方法，其核心思想是通过最小化残差平方和来拟合数据，并找到最优的拟合曲线或拟合平面。
下面详细介绍最小二乘法的推导过程，包括以下五个步骤：一、建立数学模型我们考虑一个简单的线性回归模型，即根据自变量 x 预测因变量 y 的值，假设有 n 个样本数据，则模型可以表示为：y_i = β_0 + β_1 * x_i + ε_i其中，β_0 和β_1 分别表示截距和斜率，ε_i 是误差项，表示模型无法完美拟合所有数据的部分。
二、最小化残差平方和我们的目标是最小化残差平方和：SSR = ∑ ε_i^2其中，SSR 表示残差平方和，也可以理解为误差的总和，ε_i 表示实际值与预测值之间的差距。
三、求残差平方和的一阶导数为了找到最优的拟合曲线或拟合平面，需要求解残差平方和 SSR 的一阶导数，即：∂ SSR / ∂ β_0 = -2 ∑ ε_i∂ SSR / ∂ β_1 = -2 ∑ ε_i * x_i在推导过程中，我们使用了求导公式：d(a * x) / dx = a * d(x) / dxd(x^n) / dx = n * x^(n-1)d(e^x) / dx = e^x四、求解最优拟合参数β_0 和β_1通过将上述一阶导数等于 0，得到拟合曲线或拟合平面的最优解：β_1 = ∑(x_i - x_mean) * (y_i - y_mean) / ∑(x_i - x_mean)^2β_0 = y_mean - β_1 * x_mean其中，x_mean 和 y_mean 分别表示自变量和因变量的均值。
五、检验拟合效果最后，我们需要检验拟合效果，可以计算残差平方和 SSR 和总平方和SST：SST = ∑(y_i - y_mean)^2然后，计算 R^2 值，也称为拟合优度，其计算公式为：R^2 = 1 - SSR / SSTR^2 取值范围在 0 到 1 之间，当值越接近 1 时，拟合效果越好。
最小二乘法的公式推导
最小二乘法的公式推导嘿，咱们今天来好好唠唠最小二乘法的公式推导。
咱们先来说说为啥要研究这个最小二乘法。
就像我之前带的一个学生，小明，他特别喜欢研究植物的生长。
他每天都仔细地记录下植物的高度变化，想找出植物生长的规律。
这时候，最小二乘法就能派上用场啦。
那最小二乘法到底是个啥呢？简单来说，就是在一堆数据中找到一条最能“贴合”这些数据的直线或者曲线。
比如说，咱们有一组数据点（x1, y1），（x2, y2），（x3, y3）…… 那怎么找到那条最合适的线呢？咱们假设这条线的方程是 y = a + bx 。
那对于每个数据点（xi, yi），它到这条直线的垂直距离就是 yi - （a + bxi）。
这时候，咱们要让所有这些距离的平方和最小，这就是“最小二乘”的意思啦。
那怎么让这个和最小呢？这就得用到一些数学知识啦。
咱们先算这个距离平方和S = ∑（yi - （a + bxi））²。
接下来，咱们要分别对 a 和 b 求偏导数，让这两个偏导数都等于 0 。
对 a 求偏导数，得到：∂S/∂a = 2∑（yi - （a + bxi））（-1）。
让它等于 0 ，就有∑（yi - （a + bxi）） = 0 。
对 b 求偏导数，得到：∂S/∂b = 2∑（yi - （a + bxi））（-xi）。
让它等于 0 ，就有∑（yi - （a + bxi））xi = 0 。
把上面两个式子整理一下，就能得到关于 a 和 b 的方程组啦。
经过一番计算，咱们就能求出 a 和 b 的值，也就得到了那条最合适的直线的方程。
说回小明，他用最小二乘法处理他记录的植物生长数据，成功找到了植物生长高度和时间的关系，可把他高兴坏了。
所以啊，最小二乘法在处理数据、寻找规律方面可真是个厉害的工具。
不管是在科学研究，还是在日常生活中的数据分析，它都能帮咱们大忙。
咱们再深入琢磨琢磨。
假设咱们有另一组数据，比如说学生的考试成绩和他们的学习时间。
一文让你彻底搞懂最小二乘法(超详细推导)
一文让你彻底搞懂最小二乘法（超详细推导）要解决的问题在工程应用中，我们经常会用一组观测数据去估计模型的参数，模型是我们根据先验知识定下的。
比如我们有一组观测数据 ( x i , y i ) (x_i,y_i) (xi,yi)（一维），通过一些数据分析我们猜测 y y y和 x x x之间存在线性关系，那么我们的模型就可以定为： f ( x ) = k x + b f(x)=kx+bf(x)=kx+b这个模型只有两个参数，所以理论上，我们只需要观测两组数据建立两个方程，即可解出两个未知数。
类似的，假如模型有n n n个参数，我们只需要观测 n n n组数据就可求出参数，换句话说，在这种情况下，模型的参数是唯一确定解。
但是在实际应用中，由于我们的观测会存在误差（偶然误差、系统误差等），所以我们总会做多余观测。
比如在上述例子中，尽管只有两个参数，但是我们可能会观测 n n n组数据( x 1 , y 1 ) . . , ( x n , y n ) (x_1, y_1)..,(x_n, y_n) (x1,y1)..,(xn,yn)，这会导致我们无法找到一条直线经过所有的点，也就是说，方程无确定解。
于是这就是我们要解决的问题：虽然没有确定解，但是我们能不能求出近似解，使得模型能在各个观测点上达到“最佳“拟合。
那么“最佳”的准则是什么？可以是所有观测点到直线的距离和最小，也可以是所有观测点到直线的误差（真实值-理论值）绝对值和最小，也可以是其它，如果是你面临这个问题你会怎么做？早在19世纪，勒让德就认为让“误差的平方和最小”估计出来的模型是最接近真实情形的。
为什么是误差平方而不是另一个？就连欧拉和拉普拉斯都没能成功回答这个问题。
后来高斯建立了一套误差分析理论，从而证明了系统在误差平方和最小的条件下是最优的。
证明这个理论并不难。
我写了另一篇关于最小二乘法原理理解的博客。
相信你了解后会对最小二乘法有更深的理解。
最小二乘法公式推导过程
最小二乘法公式推导过程最小二乘法是一种最常用的数据拟合方法，主要用于回归分析和曲线拟合等数据处理领域中。
其核心思想是通过最小化残差平方和，找到一条最佳拟合直线（或曲线），使预测结果与实际观测值间的误差最小化。
最小二乘法的具体应用可以分为两个步骤。
第一步是建立模型，根据实际数据的分布情况建立数学模型。
常见的模型有线性回归模型、多项式回归模型、指数回归模型等等。
第二步则是通过最小化残差平方和来求解使模型拟合结果最优的参数。
下面我们就来具体了解一下最小二乘法的公式推导过程。
首先，我们先给出一个简单的线性回归模型：y = ax + b，其中x 为自变量，y为因变量，a和b是待求解的参数。
假设我们有n个数据点，其中第i个数据点的实际观测值为yi，预测值为a xi + b，那么第i个数据点的残差 ei=yi-a xi -b。
我们的目标是通过最小化所有数据点残差平方和来找到最佳拟合直线（或曲线）的参数。
即最小化S=∑(ei)²，其中i=1,2,…,n。
下面是最小二乘法的公式推导过程：（1）将S展开：S=(e1)²+(e2)²+...+(en)²=(y1-a x1-b)²+(y2-a x2-b)²+...+(yn-a xn-b)²=(y1²-2a x1 y1-2b y1+a² x1²+2a b x1+b²)+(y2²-2a x2 y2-2b y2+a² x2²+2a b x2+b²)+...+(yn²-2a xn yn-2b yn+a² xn²+2a bxn+b²)=(y1²+y2²+...+yn²)+(a² x1²+a² x2²+...+a² xn²)+(n b²)-2a(x1 y1+x2 y2+...+xn yn)-2b(y1+y2+...+yn)a+2(n a b x1+...+n a b xn)（2）将S对a、b分别求偏导：∂S/∂a=2(a x1²+a x2²+...+a xn²)-2(x1 y1+x2 y2+...+xn yn)-2(n a b x1+...+n a b xn)∂S/∂b=2(n b)-2(y1+y2+...+yn)+2(a x1+...+a xn)（3）令∂S/∂a=0，∂S/∂b=0，我们可以得到两个方程：a=(n∑xy-∑x∑y)/(n∑x²-(∑x)²)b=(∑y-a∑x)/n其中，∑表示sigma符号，∑xy为x和y的乘积之和，∑x²为x 的平方和，∑y²为y的平方和，∑x和∑y分别为x和y的和，n为数据点的数量。
高一必修3“最小二乘法公式推导”
高一必修 3 ：最小二乘法公式推导高中必修 3 变量间的有关关系一节中，回归直线方程的求解过程省略了推导过程，先推倒以下：na) 2求 Q(a, b)( y i bx i（ a 、b 为变量）的最小值i 1思路：用配方法求 Q (a, b) 的最小值 .n a)2Q (a, b)i 1 ( y ibx innnnny i 2x i 2 b 2 n a 22 x i y ib 2 y ia 2 x iabi 1 i 1 i 1i 1i 1nnny i 2x i 2 b 2 n a 22 x i y ib 2n y a 2nx abi 1i 1i1[ a 2n2 b 2nn2 （将 a 视作“主元” ）n 2( y b x)a]x i2x i y i by ii 1i 1i 1n2nnn [ a22( y b x)a ( y b x)2]x in( y bx)22x i y i b2b2y ii 1i 1 i 1n2nn22n [ a ( ybx)]2(2b22(x i y inx y) b(x inx ) y in y )i 1i1i1（达成对“主元”a 的配方后，再着手对节余的b 配方）n2n2x i y inx yn [ a ( ybx)] 2(2bi 1x inx )n22i 1n xi 1x inn x y) 2n22(x i y ii 1(n y )y in2i 12x in xi 1n2n2x i y inx yn [ a ( ybx)] 2(2bi 1x inx )n22i 1n xi 1x in22n( x i x)2因为x inx0 ，所以上式取最小值当且仅当i 1i 1nx i y inx ybi 1n 2，2x inxi 1a y bx这就是要获得的公式 .拓展推行：上 述 公 式 推 导 过 程 关 注 的 是 Q (a,b) “ 何 时 ” 取 最 小 值 ， 而 这 个 “ 最 小 值 ”n x i y i n xy) 2n22(( y ii 1仿佛没关紧急，果然这样吗？我们知道，刻画两个变量的线n y )n22i 1x i nxi 1n22(y iny 性有关问题，除了回归方程外，还要考虑线性有关的程度，即“最小值”占) 的比i 1n 22例 . 所以，将这个“最小值”除以( y i n y ) ，就能够获得i 1nnx y) 2n(x i y i2x i y i nx y1i 11 r （﹡），此中 ri 1.n2n2nn(2y i 222( x i2y i2x inx )(in y )nx )(n y )i 11i 1i 1n)2n22n22( , )( 0 由y ibx ia ， y in y( y i y) 0 ，知 1 r0 ，所Qa bi 1i 1 i 1以有 r1，且 r 越大，（﹡）式越靠近于 0 ， x 、 y 的线性有关性越强，这个r 即是用来刻画 x 、y 线性有关程度的重要参数，即教材“阅读资料”中所说的有关系数.。