二维随机变量函数的分布
3.6二维随机变量的函数的分布
Fmin (z) P{N z} 1 P{N z} 1 P{ X z,Y z} 1 P{ X z}P{Y z} 1 [1 P{ X z}][1 P{Y z}] 1 [1 FX (z)][1 FY (z)]
(2
2 z)2
,
z
0
.
0,
z0
二维随机变量的函数的分布
四、常见的二维随机变量的函数的分布
4、 Z XY 的分布
类似推导可得
fZ (z)
+
f
( x,
z) x
1 x
dx
当 X 与Y 独立时，
fZ (z)
+
fX (x)
fY
(
z) x
1 x
dx
二维随机变量的函数的分布
四、常见的二维随机变量的函数的分布
一、 二维随机变量的函数的分布引言
设( X ,Y )为一个二维随机变量，z g( x, y)为一个已知的二
元连续函数，则 Z g( x, y)是随机变量 X ,Y 的函数，它也是一
个随机变量.
边缘
分布
条件 分布
联合 分布
函数 分布
独立 性
二维随机变量的函数的分布
二、二维离散型随机变量的函数的分布
二维随机变量的函数的分布
推广到n个相互独立的随机变量，设 X1, X2 ,L , Xn是n个相互独立的随机变量
Fmax (z) FX1 (z)FX2 (z)L FXn (z) Fmin (z) 1 [1 FX1 (z)][1 FX2 (z)]L [1 FXn (z)]
当 X1, X 2 , , X n相互独立且具有相同分布函数F ( x)时，有
二维随机变量函数的分布
Fmin (z) 1 [1 FX1 (z)][1 FX2 (z)] [1 FXn (z)]. 若 X1, X2, , Xn相互独立且具有相同的分布函数 F(x) ,则
Fmax(z) [F (z)]n , Fmin (z) 1 [1 F (z)]n .
c
1
[
x
2
(2
x)
/
2]dx
=5c/24=1,
0
c =24/5
例1 设(X,Y)的概率密度是
cy(2 x), 0 x 1, 0 y x
f (x, y)
0,
其它
求 (1) c的值; (2) 两个边缘密度 注. 意积分限
y
解:
(2) fY
y=x
(
y
1
) y
24
24 y(2 5 y(3 2y
P{Z k} P{{ X 0,Y k} { X 1,Y k 1} { X k,Y 0}}
P{ X 0} P{Y k} P{ X 1} P{Y k 1}
P{ X k} P{Y 0}
k
P{ X m} P{Y k m}
m0
k
m
1 e1
km
Z
－1
0
1
pi 0.1344 0.7312 0.1344
(2)线性方程组只有零解，也就是Z≠0，故有
P{Z 0} 1 P{Z 0} 1 0.7312 0.2688
二、二维连续型随机变量的函数的分布
1、和的分布：Z=X+Y 设二维连续型随机变量(X，Y)的联合概率密度 为 f(x，y)，则Z=X+Y的分布函数为
§3.4二维随机变量函数的分布
fX ( x) fY (z x)dx
z e (zx)dx 1 e z，
0
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17
ii) when z 1，
fZ (z)
fX ( x) fY (z x)dx
1 e(zx)dx ez (e 1)。
0
所以 Z X Y 的密度函数为：
0，
z 0,
fZ
(z)
1 e z，
fZ (x)
FZ (z)
z ln
2 z
.
（4）总结 Z的密度函数
f
Z
(
z
)
z
ln
2 z
,
0 。z 2
0,
else。
2020/4/12
Hale Waihona Puke 11Z aX bY 、连续型卷积公式
例 ：设 X ,Y 的联合密度为 f (x, y)，Z aX bY。
求 Z 的密度函数（a, b为不全为0的实常数）。
（1） 确定Y 的取值范围R(Y)；
（2） 求出当 y R(Y ) 时Y 的分布函数 FY ( y) ：
FY ( y) P(Y y) P( g( X ) y) P( X G( y))
f ( x)dx；
G( y)
其中 G( y)是满足 g( X ) y 的X 的取值范围；
（3） 求出当 y R(Y ) 时Y 的密度函数 fY ( y) ：
0 z 1,
ez (e 1)， z 1。
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ZX Y
类似于前面的卷积公式，我们有
定理 设二维连续型随机变量（X,Y）的联合
密度函数为 f ( x, y)，则 Z X Y 的密度函数
二维随机变量的函数的分布
2 数值方法
根据函数的定义和已知分布，可以通过 求解方程来得到函数的分布。
当方程难以求解时，可以使用数值方法 如蒙特卡洛模拟来近似计算函数的分布。
常见的二维随机变量函数的分布
介绍一些常见的二维随机变量函数和它们的分布，以及它们在实际问题中的应用。
线性变换
对于服从正态分布的二维随机变量，经过线性 变换后，其分布也将趋于正态分布。
介绍二维随机变量函数的定义和应用场景，以及一些常见的例子。
定义
二维随机变量函数是将一个或多个随机变 量映射到另一个随机变量的数学函数。
例子
一个常见的二维随机变量函数的例子是计 算两个变量之间的相关性。
二维随机变量函数的分布求解方法
讲解如何通过求解方程或使用数值方法得到二维随机变量函数的分布。
1 方程求解
其他函数示例
还有许多其他类型的二维随机变量函数，如指 数函数、对数函数等。
函数转换法的应用与实例
通过实际应用案例，展示函数转换法在解决二维随机变量函数的分布问题中的应用。
1
应用实例
以金融市场中的投资组合优化问题为例，展示如何使用函数转换法来计算最优投 资组合的分布。
2
优势与局限
介绍函数转换法的优势和局限性，以及如何在实际问题中准确应用。
3
实用案例
分享其他实用案例，如信用评级、股票市场分析等，来展示函数转换法的广泛应 用。
二维随机变量的函数的分 布
随机变量及其函数的定义和性质介绍
二维随机变量的概念和例子
通过实际例子，介绍二维随机变量的定义和特点，以及它们在现实生活中的应用。
定义
二维随机变量是由两个随机变量构成，表示两 个相关事件的联合概率分布。
例子
二维随机变量的函数的分布
(2) 设连续型随机变量( X ,Y )的概率密度为f ( x, y) , 边缘概率密度分别为f X ( x) , fY ( y) ,则有
X 和Y 相互独立 f ( x, y) f X ( x) fY ( y).
在f ( x, y) , f X ( x) , fY ( y)的一切连续点(x, y)处
Z=X+Y的概率密度。
解
fX (x)
1
x2
e 2,
2
fY ( y)
1
y2
e 2 ,( x, y )
2
fZ (z) fX ( x) fY (z x)dx
t 2(x z ) 2
1
x2
e2
2
1 e dx
(
z x 2
0.1 0.3 0.3 0.1 0.2
X与Y独立，X,Y取0,1,2，…，则Z=X+Y Z=max(X,Y)
的分布律
设X与Y独立，分别服从参数为 1 ，2 的泊松分布， 证明Z=X+Y服从参数为 1 2 的泊松分布。
【注】分布具有可加性
二项分布的可加性（P89）
二、 连续型随机变量的函数的分布
例2 设随机变量X和Y相互独立，且X和Y都是（0，a） 上的均匀分布，求Z=X+Y的概率密度。
例2 在一简单电路中，两电阻R1和R2串联联接，设
R1, R2相f (互x)独 立1，050它x 们, 的0 概x率密10度, 均为 z
0,
其 它.
求总电阻R=R1+R2的概率密度.
z=x+10 z=x
0,
, x 0, 其它.
二维随机变量函数的分布
V min{X1 ，X2 ， ，Xn} 的分布函数分别为
Fmax (u) FX1 (u)FX2 (u) FXn (u) ，
（3-34）
Fmin (v) 1 [1 FX1 (v)][1 FX2 (v)] [1 FXn (v)] ．
（3-35）
特别地，当 X1 ，X2 ， ，Xn 相互独立且有相同的分布函数 F(x) 时，有
0
0dt
z 1
z
1dt
z
；
0
当1
z 2 时， fZ (z)
z
z1 fX (t)dt
1
1dt
z 1
z 0dt 2 z ；
1
当 z
2 时， fZ (z)
z
z1 f X (t)dt
z 0dt 0 ．
z 1
综上所述，随机变量 Z X Y 的概率密度为
z ， 0 z 1， fZ (z) 2 z ， 1 z 2 ，
二维随机变量函数的分布
1.1 二维离散型随机变量函数的分布
因此， X Y 的分布律如表 3-13 所示．
表 3-13
X Y
0
1
2
3
3
7
5
1
P
16
16
16
16
（2）同理， XY 的分布律如表 3-14 所示．
表 3-14
XY
0
1
2
13
1
1
P
16
8
16
多维随机变量及其分布
二维随机变量函数的分布
1.1 二维离散型随机变量函数的分布
多维随机变量及其分布
二维随机变量函数的分布
1.2 二维连续型随机变量函数的分布
概率统计10——二维随机变量函数分布
特殊情况，如果X与Y具有相同分布，
重庆大学数理学院
FZ1 ( z) F ( z) F ( z) F ( z)
2
即FX(z)=FY(z)记为F(z)，则上述公式变为
FZ2 ( z) 1 [1 F ( z)][1 F ( z)] 1 [1 F ( z)]
2
推广： 若Z1=max(X1,X2,…,Xn), Z2=min(X1,X2,…,Xn),
P
14
14
16
18
18
1 12
重庆大学数理学院
( X,Y ) (-1,-1) (-1,0) (1,-1) (1,0) (2,-1) (2,0) -1 0 1 1 2 X +Y -2 X -Y XY
0
1 1
-1
0 0
2
-1 -1
1
0 0
3
-2 -1/2
2
0 0
Y/X
X+Y P
-2
-1
0
1
2
14
14
0
重庆大学数理学院
z x ( z x) xe ( z x)e dx, f Z ( z ) f ( x) f ( z x)dx 0 0, z3 z e , 6 0, z0 other z0 other
解：设 X i (i 1,2) 表示第i周需求量，且它们独立同分布， 则欲求 Y X1 X 2 的密度函数。
e
dx
1
2
e
z2 4
所以，X+Y～N(0, 2)。
一般地，X～N(μ1,σ12), Y～N(μ2,σ22), 则X+Y～N(μ1+μ2, σ12+σ22)。 称该性质为线性可加性，二项分布、泊松分布都 机变量的情形。
二维随机变量函数的分布
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例1 设随机变量 ( X, Y ) 的联合分布列如下
Y
X0
1
2
3
4
5
0
0
0.01
0.03
0.05
0.07
0.09
1
0.01
0.02
0.04
0.05
0.06
0.08
2
0.01
0.03
0.05
0.05
0.05
0.06
3
0.01
0.02
0.04
0.06
0.06
0.05
试求 ZXY 的分布列．
解 Z 所有可能的取值显然为 0，1，2, ···, 8 . 在联合分布列中对使 Z 可取同一值的X 与Y的取值概率进行归并, 即得Y 的分布律如下
退出
退出
退出
Z = X＋Y
1. 离散变量之和的分布列可用归并法求之
在离散量的分布列中, 对X , Y 所有能 使函数 Z 取同一值的全部取值概率进行 归并 ( 例如, 固定一个变量的取值, 然后 寻找另一变量与其之和为同一值的取值 概率), 所得之和即是函数 Z 在同一可取 之值上的取值概率.
那么, 其和变量 Z = X1 + X2 + … + X k
也是泊松量，且有
k
Z ~ P ( i ) i1
返回
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例2-4 两[ 0 ,1 ]上的均匀量 X 与Y 相互独立, 试求和变量
ZXY的概率密度.
解 Q X ~ R ( 0 , 1 ) ,Y ~ R ( 0 , 1 ) , 且相互独立 , ∴概率密度
x ty z
[ f(ty,y)d t]d y
第三节 二维随机变量函数的分布
*第三节 二维随机变量函数的分布在实际应用中，有些随机变量往往是两个或两个以上随机变量的函数. 例如，考虑全国年龄在40岁以上的人群，用X 和Y 分别表示一个人的年龄和体重，Z 表示这个人的血压，并且已知Z 与X ，Y 的函数关系式),(Y X g Z =, 现希望通过),(Y X 的分布来确定Z 的分布. 此类问题就是我们将要讨论的两个随机向量函数的分布问题.在本节中，我们重点讨论两种特殊的函数关系: (i) Y X Z +=;(ii) },max{Y X Z =和},min{Y X Z =，其中X 与Y 相互独立.注：应指出的是，将两个随机变量函数的分布问题推广到n 个随机变量函数的分布问题只是表述和计算的繁杂程度的提高，并没有本质性的差异.内容分布图示★ 引言★ 离散型随机向量的函数的分布★ 例1 ★ 例2★ 例3 ★ 连续型随机向量的函数的分布 ★ 例4 ★ 连续型随机向量函数的联合概率密度 ★ 例5 ★ 和的分布 ★ 例6 ★ 例7 ★ 正态随机变量的线性组合★ 例8 ★ 例9 ★ 例10 ★ 商的分布 ★ 例11 ★ 积的分布 ★ 例12 ★ 最大、最小分布 ★ 例13 ★ 例14★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题3-3内容要点：一、 离散型随机变量的函数的分布设),(Y X 是二维离散型随机变量, ),(y x g 是一个二元函数, 则),(Y X g 作为),(Y X 的函数是一个随机变量, 如果),(Y X 的概率分布为),2,1,(},{ ====j i p y Y x X P ijj i设),(Y X g Z =的所有可能取值为 ,2,1,=k z k , 则Z 的概率分布为,},{}),({}{),(∑=======kj i z y x g jik k y Y x X P z Y X g P z Z P ,,2,1 =k二、 连续型随机变量的函数的分布设),(Y X 是二维连续型随机向量, 其概率密度函数为),(y x f , 令),(y x g 为一个二元函数, 则),(Y X g 是),(Y X 的函数.可用类似于求一元随机变量函数分布的方法来求),(Y X g Z =的分布.a) 求分布函数),(z F Z.),(}),{(}),({}{)(⎰⎰=∈=≤=≤=ZD Z Z dxdy y x f D Y X P z Y X g P z Z P z F其中, }.),(|),{(z y x g y x D Z ≤=b) 求其概率密度函数)(z f Z , 对几乎所有的z , 有).()(z F z f ZZ '= 定理1 设),(21X X 是具有密度函数),(21x x f 的连续型随机向量.(1) 设),(),,(21222111x x g y x x g y ==是2R 到自身的一一映射, 即存在定义在该变换的值域上的逆变换:);,(),,(21222111y y h x y y h x ==(2) 假设变换和它的逆都是连续的;(3) 假设偏导数)2,1,2,1(==∂∂j i y hi i 存在且连续;(4) 假设逆变换的雅可比行列式0),(2212211121≠∂∂∂∂∂∂∂∂=y h y h y h yh y y J , 即),(21y y J 对于在变换的值域中的),(21y y 是不为0的. 则21,Y Y 具有联合密度)).,(),,((||),(21221121y y h y y h f J y y w =定理2 设Y X ,相互独立，且),,(~211σμN X ).,(~222σμN Y 则Y X Z +=仍然服从正态分布，且).,(~222121σσμμ++N Z更一般地，可以证明：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布,即有定理3 若),,,2,1)(,(~2n i N X i i i =σμ且它们相互独立，则对任意不全为零的常数n a a a ,,,21 ，有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∑===n i i i n i i i ni i i a a N X a 1211,~σμ.三、 ),max(Y X M =及),min(Y X N =的分布设随机变量Y X ,相互独立,其分布函数分别为)(x F X 和)(y F Y , 由于),max(Y X M =不大于z 等价于X 和Y 都不大于z , 故有);()(}{}{},{}{)(z F z F z Y P z X P z Y z X P z M P z F Y X M =≤≤=≤≤=≤=类似地, 可得),min(Y X N =的分布函数)].(1)][(1[1}{}{1},{1}{1}{)(z F z F z Y P z X P z Y z X P z N P z N P z F Y X N ---=>>-=>>-=>-=≤=例题选讲：离散型随机变量的函数的分布例1 (讲义例1) 设随机变量),(Y X 的概率分布如下表解 由),(Y X 的概率分布可得与一维离散型随机变量函数的分布的求法相同, 把Z 值相同项对应的概率值合并可得: Y X Z +=)1(的概率分布为XY Z =)2(.例2 设X 和Y 相互独立, ,),(~),,(~21p n b Y p n b X 求Y X Z +=的分布. 解这里我们利用第二章中二项分布的直观解释求之. 若),,(~1p n b X 则X 是在1n 次独立重复试验中事件A 出现的次数, 每次试验中A 出现的概率都为.p同样, Y 是在2n 次独立重复试验中事件A 出现的次数, 每次试验中A 出现的概率为,p 故Y X Z +=是在1n 2n +次独立重复试验中事件A 出现的次数, 每次试验中A 出现的概率为,p 于是Z 是以),(21p n n +为参数的二项随机变量, 即).,(~21p n n b Z +例 3 (讲义例2) 若X 和Y 相互独立, 它们分别服从参数为21,λλ的泊松分布, 证明Y X Z +=服从参数为21λλ+的泊松分布.解 !}{11i e i X P iλλ-==;,1,0 =i !}{22j e j Y P j λλ-== ,1,0=j由离散型卷积公式得 ∑=-====ri i r Y i X P r Z P 0},{}{)!(!2121i r ei ei r iri -⋅=--=-∑λλλλir i ri i r i r r e -=+-∑-=210)()!(!!!21λλλλ,)(!21)(21r r e λλλλ+=+- ,1,0=r即Z 服从参数为21λλ+的泊松分布.连续型随机变量的函数的分布例 4 (讲义例3) 设随机变量X 与Y 相互独立, 且同服从]1,0[上的均匀分布, 试求||Y X Z -=的分布函数与密度函数.解先求Z 的分布函数}|{|)(z Y X P x F Z ≤-=⎪⎩⎪⎨⎧≥<<≤-≤-≤=1,110},{0,0z z z Y X z P z ,1,110,)1(10,02⎪⎩⎪⎨⎧≥<<--≤=z z z z 于是||Y X Z -=的概率密度为 ⎩⎨⎧<<-='=.,010),1(2)()(其它x z z F z f Z Z例5 设),(21X X 的密度函数为).,(21x x f 令212211,X X Y X X Y -=+=试用f 表示1Y 和2Y 的联合密度函数.和的分布：设X 和Y 的联合密度为),(y x f , 求Y X Z +=的密度.卷积公式: 当X 和Y 独立时, 设),(Y X 关于Y X ,的边缘密度分别为),(),(y f x f Y X 则上述两式化为⎰⎰∞∞-∞∞--=-=dxx z f x f z f dyy f y z f z f Y X Z Y X Z )()()()()()(以上两个公式称为卷积公式.解令,211x x y +=,212x x y -= 则逆变换为,2211y y x +=,2212y y x -= ,02/12/12/12/12/1),(21≠-=-=y y J故由定理1知, 1Y 和2Y 的联合密度函数为.2,221),(212121⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=y y y y f y y w例6 设X 和Y 是两个相互独立的随机变量. 它们都服从)1,0(N 分布, 其概率密度为.,21)(,,21)(2/2/22∞<<∞-=∞<<∞-=--y ey f x e x f y Y x X ππ.的概率密度求Y X Z +=解 由卷积公式得⎰+∞∞--=dx x z f x f z f Y X Z )()()(⎰∞+∞----⋅=dxe e x z x 2)(22221π⎰∞+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛---=dx e e z x z 222421πdt e ez x t tz ⎰∞+∞----=224212/π,21214422z z e e --==πππ 即).2,0(~N Z例7 (讲义例5) 设某种商品一周的需要量是一个随机变量, 其概率密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>=-.,0,0,)(其它时当x xe x f x如果各周的需要量相互独立, 求两周需要量的概率密度函数.解 分别用X 和Y 表示第一、二周的需求量 则,,00,)(⎩⎨⎧>=-其它x xe x f x X ,,00,)(⎩⎨⎧>=-其它y ye y f y Y从而两周需求量,Y X Z += 利用卷积公式计算.当0≤z 时, 若,0>x 则,0<-x z ;0)(=-x z f Y 若,0≤x 则,0)(=x f X 从而;0)(=z f Z 当0>z 时, 若,0≤x 则;0)(=x f X 若,0≤-x z 即,x z ≤ 则,0)(=-x z f Y 故⎰⎰---+∞∞--=-zx z x Y X dx e x z xe dx x z f x f 0)()()()(,63z e z -= 从而⎪⎩⎪⎨⎧>=-.,00,6)(3其它z e z z f z Z例8 设X 与Y 相互独立, 均服从标准正态分布, 求Y X Z +=的概率密度函数. 解 由卷积公式,对,+∞<<-∞z 有 dx eez f x z x Z 2)(2222121)(---∞+∞-⎰=ππ,212)(22⎰∞+∞--+-=dx ex z x π因为,422)(2222z z x x z x +⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+ 所以⎰∞+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛---=dx e e z f z x z Z 222421)(π作变量代换, 令),2/(2z x t -= 则,212121)(424222z t z Z edt ee zf -∞+∞---==⎰ππ它表明).2,0(~N Z注: 进一步可以证明, 设),,(~211σμN X ),,(~222σμN X 且X 和Y 相互独立, 则).,(~222121σσμμ+++=N Y X Z例9 设21,X X 相互独立且分别服从参数为βαβα,;,21的Γ分布(分别记成212211,),,(~),,(~X X X X βαβαΓΓ的概率密度分别为⎪⎩⎪⎨⎧>=--Γ其它,00,1)(/1)(1111x ex x f x X βαααβ⎪⎩⎪⎨⎧>Γ=--其它,00,)(1)(/12222y e y y f y X βαααβ试证明21X X +服从参数为βαα,21+的Γ分布.证明 由卷积公式, 知当0≤z 时, 21X X Z +=的概率密度.0)(=z f Z 当0>z 时, 21X X Z +=的概率密度⎰+∞∞--=dx x z f x f z f X X Z )()()(21)(1)(12/101211αβαβαβααΓΓ=--⎰x ze x dx e x z x z βα/)(12)(----⋅ ⎰-+-ΓΓ=zz dx xe 0121/221)()(αααβααβ⎰--+--+-ΓΓ=11121/1212121)1()()(dt t t e z zt x z ααααβααααβ记为 ,/121βααz e Az --+ 其中,)1()()(11011212121⎰--+-ΓΓ=dt t t A ααααααβ 再来计算.A 由概率密度性质, 有⎰+∞=)(1dz z f Z )/()/(/012121ββββααααz d e z A x -+∞-++⎰=),(2121ααβαα+Γ=+A即有.)(12121ααβαα+Γ=+A 于是,,00,)(1)(/1212121⎪⎩⎪⎨⎧>+Γ=--++其它z e z z f z Z βααααααβ 亦即21X X Z +=服从参数为,21αα+β的Γ分布, 即).,(~2121βαα+Γ+X X例10 在一简单电路中, 两电阻1R 和2R 串联连接, 设21,R R 相互独立,它们的概率密度均为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-=.,0100,5010)(其它x x x f求总电阻21R R R +=的概率密度.解R 的概率密度为.)()()(⎰+∞∞--=dx x z f x f z f R易知仅当,100100⎩⎨⎧<-<<<x z x 即⎩⎨⎧<<-<<zx z x 10100时上述积分的被积函数不等于零(如图), 由此即得,,02010,)()(100,)()()(10100⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤-<≤-=⎰⎰-其它z dx x z f x f z dx x z f x f z f z zR 将)(x f 的表达式代入上式得.,02010,15000/)20(100,15000/)60600()(332⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤+-=其它z z z z z z z f R商的分布：设二维随机向量),(Y X 的密度函数为),(y x f , 求YXZ =的密度函数. 例11 设X 与Y 相互独立, 它们都服从参数为λ的指数分布. 求Y XZ =的密度函数.解依题意, 知,0,00,)(⎩⎨⎧<≥=-x x e x f x X λλ,0,00,)(⎩⎨⎧<≥=-y y e y f y Y λλ 因X 与Y 相互独立, 故).()(),(y f x f y x f Y X = 由商的分布, 知,)()(||)(⎰+∞∞-=dy y f yz f y z f Y X Z 当0≤z 时, ;0)(=z f Z 当0>z 时,,)1/(1)(2)1(2z ydy ez f z y Z +==⎰+∞+-λλ故Z 的密度函数为.0,00,)1/(1)(2⎩⎨⎧≤>+=z z z z f Z积的分布： 设),(21X X 具有密度函数),(21x x f , 则21X X Y =的概率密度为.||1,)(⎰∞∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛=dz z z y z f y f Y例12 设二维随机向量),(Y X 在矩形}10,20|),{(≤≤≤≤=y x y x G 上服从均匀分布, 试求边长为X 和Y 的矩形面积S 的密度函数)(s f .解法1二维随机变量),(Y X 的密度函数为,),(,0),(,2/1),(⎩⎨⎧∉∈=G y x Gy x y x f 令)(s F 为S 的分布函数, 则}{)(s S P s F ≤=,),(⎰⎰≤=sxy dxdy y x f显然0≤s 时, ;0)(=s F 2≥s 时, ;1)(=s F 而当20<<s 时(如图), 有⎰⎰≤sxy dxdy y x f ),(⎰⎰-=1/2211xs sdy dx ),ln 2ln 1(2s s-+=于是,2,120,2/)ln 2ln 1(0,0)(⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-+≤=s s s s s s F从而.,020,2/)ln 2(ln )()(⎩⎨⎧<<-='=其它s s s F s f 解法2二维随机变量),(Y X 的密度函数为,),(,0),(,2/1),(⎩⎨⎧∉∈=G y x Gy x y x f 于是⎰∞+∞-⎪⎭⎫ ⎝⎛=.||1,)(dz z z s z f s f S 因为仅当,20≤<z 10≤≤z s 时, ,0,≠⎪⎭⎫⎝⎛z s z f 所以 dz z dz z s z f s f s S ⎰⎰∞+∞-⋅=⎪⎭⎫⎝⎛=2121,)(),ln 2(ln 21s -=20<<s其它情形, .0)(=s f S例13 (讲义例6) 设随机变量21,X X 相互独立, 并且有相同的几何分布:2,1,,2,1,}{1====-i k pq k X P k i ，p q -=1求),max(21X X Y =的分布.解一 }},{max{}{21n X X P n Y P ===},{},{1221n X n X P n X n X P <=+≤== ∑∑-=--=--+=1111111n k k n nk k n pqpqpqpqqqqp qqqp n n nn --+--=---111111212).2(11----=n n n q q pq解二 }1{}{}{-≤-≤==n Y P n Y P n Y P }1},{max{}},{max{2121-≤-≤=n X X P n X X P}1,1{},{2121-≤-≤-≤≤=n X n X P n X n X P 2111211⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=∑∑-=-=-n k k n k k pq pq212221111⎥⎦⎤⎢⎣⎡---⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=-q q p q q p n n 212)1()1(----=n n q q ).2(11----=n n n q q pq例14 设系统L 由两个相互独立的子系统21,L L 联接而成，联接方式分别为串联、并联、备用（当系统1L 损坏时，系统2L 开始工作），如图3—3—6所示. 设21,L L 的寿命分别为Y X ,,已知它们的概率密度分别为⎩⎨⎧≤>=-,0,0,0,)(x x e x f x X αα ⎩⎨⎧≤>=-,0,0,0,)(y y e y f y Y ββ其中0,0>>βα且.βα≠ 试分别就以上三种联接方式写出L 寿命Z 的概率密度.解 (1)串联的情况由于当21,L L 中有一个损坏时, 系统L 就停止工作, 所以这时L 的寿命为},min{Y X Z =由题设知Y X ,的分布函数分别为⎩⎨⎧≤>-=-,0,00,1)(x x e x F x X α⎩⎨⎧≤>-=-,0,00,1)(y y e y F x Y β 于是},min{Y X Z =的分布函数为)](1)][(1[1)(min y F x F z F Y X ---=⎩⎨⎧≤>-=+-,0,00,1)(z z e z βα},min{Y X Z =的概率密度为.0,00)()()(min ⎩⎨⎧≤>+=+-z z e z f z βαβα(2) 并联的情况由于当且仅当21,L L 都损坏时, 系统L 才停止工作, 所以这时L 的寿命.},max{Y X Z =于是},max{Y X Z =的分布函数为)()()(max z F z F z F Y X =,0,00),1)(1(⎩⎨⎧≤>--=--z z e e z z βα于是},max{Y X Z =的概率密度为.0,00,)()()(max ⎩⎨⎧≤>+-+=+---z z e e e z f z z z βαβαβαβα(3) 备用的情况由于这时系统1L 损坏时系统2L 才开始工作, 故整个系统L 的寿命Z 是21,L L 两者寿命之和, 即,Y X Z += 故当0>z 时, Y X Z +=的概率密度为⎰+∞∞--=dy y f y z f z f Y X Z )()()(⎰---=zy y z dy e e 0)(βαβα⎰---=z y z dy e e 0)(αβααβ.][z z e e βααβαβ----=而当0≤z 时, ,0)(=z f Z 于是Y X Z +=的概率密度为.0,00],[)(⎪⎩⎪⎨⎧≤>--=--z z e e z f z z Z βααβαβ课堂练习1. 已知),(Y X 的分布律为求: （1）Z = （2）;XY Z = （3）();2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+=Y X Z π （4）},max{Y X Z =的分布律.2. 若X 和Y 独立, 具有共同的概率密度⎩⎨⎧≤≤=其它,010,1)(x x f求Y X Z +=的概率密度.。
二维随机变量函数的分布函数推导
二维随机变量函数的分布函数推导
要推导二维随机变量函数的分布函数，首先需要明确二维随机变量函数的定义。
假设有两个随机变量X和Y，它们的联合分布函数为F(X,Y)。
现在定义一个新的二维随机变量函数Z = g(X,Y)，其中g是一个实值函数。
要推导Z的分布函数，可以分为以下步骤：
1. 确定Z的取值范围：根据函数g的定义，确定Z的取值范围。
例如，如果g(X,Y) = X + Y，则Z的取值范围为实数。
2. 计算Z的分布函数：对于任意给定的实数z，计算Z ≤ z的概率，即P(Z ≤ z)。
可以利用联合分布函数F(X,Y)来计算这个概率。
- 首先，找到所有满足g(X,Y) ≤ z的(X,Y)对。
这相当于找到所有满足g(X,Y) ≤ z的(X,Y)对在联合分布函数F(X,Y)中的概率。
- 然后，对这些概率进行求和，即求P(g(X,Y) ≤ z) = ∑∑[F(x,y)]，其中∑∑表示对所有满足g(X,Y) ≤ z的(X,Y)对求和。
3. 得到Z的分布函数：根据步骤2中计算出的P(Z ≤ z)，可以得到Z的分布函数Fz(z) = P(Z ≤ z)。
推导二维随机变量函数的分布函数需要根据具体的函数g的定义进行计算，上述步骤可以用来指导推导的过程。
二维随机变量函数的分布
6
4
5
(3,3) (3,4)
0
0
6
7
(X,Y) P
(1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,1) (2,2) (2,3) 0.1 0.05 0.15 0.1 0.1 0.15 0.1
(2,4) (3,1) (3,2)
0
0.15 0.1
(3,3) (3,4)
0
0
W=
2
3
4
5
3
4
5
6
4
5
6
1<z≤2
2<z
2y 1x0 ,1y0 f(x,y) 0 其它
FZ(z} f (x, y)dxdy
x yz
1
1 当 z0 时 ,
f(x,y) =2y
FZ(z)0
0
1
f(x,y) =0
2 当 0 z 1时 ,
FZ(z} f (x, y)dxdy x yz
2ydxdy 三角形
1 f(x,y) =2y
f(x,zx)dx
由对称性可得
fz(z)
f(zy,y)dy
如果（X，Y）的联合分布密度函数为f(x,y)，则Z=X+Y的分布密度函数为
fZ(z)
f(x, zx)dx
或
f(zy,y)dy
例题讲解
例1：设二维随机变量X与Y相互独立，其概率密度分别为
1 fX(x) 0
0其 x它 1,fY(x) 0 2y
0.1 0.05 0.15 0.1 0.1 0.15 0.1
0 0.15 0.1
0
0
1
1
1
1
1
2
2
2
第三章02二维随机向量函数的分布
i 1
e
1
i=0,1,2,… j=0,1,2,…
P ( Z r ) P ( X i）P（Y r i )
i 0
r
e-1
i 0
r
i 1
i!
r
e-2
例5 设( X , Y )服从区域D {( x, y ) | 0 x 2, 0 y 1} 0 上的均匀分布，Z 1
1 f ( x, y ) 2 0
X Y X Y
, 求Z的概率分布。
解 ( X , Y )的密度函数为 ( x, y )D 1 其他
f Z ( z ) f X ( x) fY ( z x)dx
这两个公式称为卷积公式 . 下面我们用卷积公式来求 Z=X+Y的概率密度
例8 设随机变量 X 与Y 相互独立，X ~ N 0， 1，Y ~ N 0， 1，
令 Z X Y，试求随机变量 Z 的密度函数．
2
P{Z 0} P{ X Y }
x y
f ( x, y )dxdy (
0
1
1
x
1 1 dy )dx 2 4
3 P{Z 1} 1 P{Z 0} 4
可知Z 服从0 1分布。
1 2
若(X,Y)为连续型二维随机变量，并且Z=g(X,Y) 也是连续型随机变量，则需要由(X,Y)的密度函 数f(x,y)求随机变量Z的密度函数，通常采用分布 函数法。一般步骤为：
证： 由二项分布知
i pi q n1 i , i 0,1, 2, , n P{ X i} C 1 n1
概率论与数理统计(二维随机变量函数的分布)
将上述x与z的关系描绘在xOz平面上便是图中的阴 影部分．
3.5.2
二维连续型随机变量函数的分布
e y , y 0 , 1 , 0 x 1 , fY ( y ) fX ( x) 0 , 其它 , 0 , 其它,
fZ ( z )
f X ( x ) fY ( z x )dx
定理3.1（正态分布的重要性质）若X1，X2 ，…，Xn 为相互独立的随机变量，且 X i ~ N (i , i 2 ), i 1,2,...,n C1，C2，…，Cn为n个任意常数，则
C X
i 1 i
n
i
~ N ( C i i , C i i )
2 2 i 1 i 1
i 1 n
3.5.2
二维连续型随机变量函数的分布
(2) 将Xi共同的分布函数F(x)代入(1)的结果中， 得 n
FY ( y) [F ( y)] FZ ( z ) 1 [1 F ( z )]n
(3) Y和Z的分布函数仍为上述两式，概率密度可 由上述两式分别对y和z求导得到
fY ( y) n[F ( y)]n1 f ( y) fZ ( z ) n[1 F ( z )]n1 f ( z )
二维连续型随机变量函数的分布
【例3.22】（和的分布）设(X，Y)的概率密度为
f(x，y)，求Z = X + Y的概率密度．
解：事件X + Y Z所占有的区域如图，
由 FZ ( z ) P{ X Y z }
x y z
f ( x, y)dxdy
f ( x, y)dx]dy
t 2
2.5 概率论——二维随机变量函数的分布
二、c.r.v.函数的分布
设c.r.v. ( X ,Y ) ~ f ( x, y), g( x, y)为一连续函数，令 Z g( X ,Y ), 则Z 的分布函数为
FZ (z) P(Z z) P( g( X ,Y ) z) P(( X ,Y ) D) (D : g( X ,Y ) z)
Xi
~
N
(i
,
2 i
)
则有
n
n
X1 L Xn ~ N (
i ,
2 i
)
i1 i1
此为正态分布的可加性
更有
n
n
n
ai X i ~ N (
aii ,
ai2
2 i
).
i 1
i 1
i 1
独立正态变量的线性组合仍为正态变量(Cf.P101)
特别地，X1,K , Xn 相互独立同正态分布 N (, 2 ),
0, z 0或 z 2
fZ
(z)
z,
0 z1
2
z,
1 z2
1
2 x
例7 已知 ( X ,Y ) 的联合 d.f.为
3 x, 0 x 1, 0 y x
f
(x,
y)
0,
其他
Z = X + Y ,求 f Z (z)
解法一 （图形定限法）
由公式（1）
fZ (z)
f (x, z x)dx
f
X
(
x)
1, 0,
0 x1 其他
fY
(
y)
1, 0,
0 y1 其他
z
fZ (z) fX (x) fY (z x)dx 2
4.2二维随机变量函数的分布
z x t
z1
z
z
fY (t)d t z1 fY (t)d t
z
2t d t , 0 z 1 z2
0
,0 z 1
1
2t d t , 1 z 2
2z
z2
,1 z2
z1
0
, 其它
0
, 其它
概率统计（ZYH）
定理1
设X
~
N
(
1
,
2 1
),
Y
~
N
(
2
,
2 2
)
且相互独立,
0,
x 0,
e βy , y 0
fY
(
y)
0,
y0
概率统计（ZYH）
X+Y
-1
01
0
12
max(X,Y ) 0
01
1
11
min(X,Y ) -1
00
-1
01
概率统计（ZYH）
pi j (X ,Y) X+Y
0.1 0.2 0.2 0.1 0.1 0.3
(0,-1) (0,0) (0,1) (1,-1) (1,0) (1,1),Y ) 0
01
1
X1
3
pi• 0.3 0.7
Y2 4 p• j 0.6 0.4
求随机变量 Z=X+Y 的分布律.
解 因X与Y 独立, 所以 P{X xi ,Y y j } pi• p• j
P{X xi ,Y y j } 0.18 0.12
0.42
0.28
( X ,Y )
(1, 2) (1, 4) (3, 2) (3, 4)
FY
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第三章多维随机变量及其分布
第五节
二维随机变量的函数分布
复习：已知一维随机变量X 的概率特性——分布函数或概率密度（分布律）
Y = g ( X )
求随机变量Y的概率特性
方法：将与Y有关的事件转化成X的事件
如果g (x k )中有一些是相同的,则Y 取该值的概率为所有g (x i )所对应的P i 之和.
一般，若X 是离散型r.v ，X 的概率函数为
X
n n p p p x x x 21
21
～则Y=g (X )～
n n p p p x g x g x g 21
21)()()
(一维离散型随机变量函数的分布
一维连续型随机变量函数的分布
X f x Y =g X 设为连续型随机变量,其概率密度为,则的概率密度的求解可通过求其分布函数得到.一般过程为:
方法一:分布函数法
Y 1.求出的分布函数.
1
-Y F y =P Y y =P g x y =P x g y
1-g y -=f x dx.
一、离散型分布的情形
问题: 已知二维离散型随机变量(X,Y )的分布律, g (x,y )为已知的二元函数, 则Z =g (X,Y )也是离散型随机变量,求Z 的分布律.
1k
k k i
j .Z =z =g x ,y
2.k k
i j k
k k k i j g x ,y =z P Z =z =
P X =x ,Y =y k =1,2,…
设X ~B (n 1, p ), Y ~B (n 2, p ), 且独立，具有可加性的两个离散分布 设X ~ P ( 1), Y ~ P ( 2), 且独立，则X + Y ~ B ( n 1+n 2,p )
则X + Y ~ P ( 1+ 2)
二、连续型分布的情形
问题：已知二维随机变量( X ,Y )的概率密度，g(x,y)为已知的二元函数，Z = g( X ,Y )求：Z 的概率密度函数.
方法：
1）从求Z 的分布函数出发，将Z 的分布函数转化为( X ,Y )的事件的概率(分布函数法). 2）代公式(公式法).
•z
•
z += z
x
（通过分布函数）
则
),
(z
F
Z
2,()
z F z
时
x 1
y o
解法二（公式法-------图形定限法）
其他,
02,10,3),(x
z x x x x z x f
dx
x z x f z f Z ),()(由公式（1）
其他,
00,10,3),(x
y x x y x f
正态随机变量的情形
1）若X ,Y 相互独立,)
,(~),,(~22
221
1 N Y N X 则),(~2221
21 N Y X 2）若(X ,Y ));,;,(~22
2211 N 则)
2,(~22
2121
21 N Y X n
i N X i
i i ,,2,1),,(~2 若n X X X ,,,21 相互独立
则
)
,(~1
21
1
n
i i
n i i n i i N X
(3)M=max(X,Y) 及N=min(X,Y) 的分布
设X，Y是两个相互独立的随机变量,它们的分布
函数分别为F
X (x)和F
Y
(y),我们来求:
M=max(X,Y)及N=min(X,Y)
的分布函数.
由于M=max(X,Y)不大于z等价于X和Y都不大于z，故有
P(M≤z)=P(X≤z,Y≤z)
又由于X和Y相互独立,于是得到M=max(X,Y)的分布函数为:
即有
F M (z )= F X (z )F Y (z )
F M (z )=P (M ≤z )=P (X ≤z )P (Y ≤z )=P (X ≤z ,Y ≤z )类似地，可得N=min(X ,Y )的分布函数是：F N (z )=P (N ≤z )=1-P (N >z )
=1-P (X >z ,Y >z )=1-P (X >z )P (Y >z )
即有
F N (z)= 1-[1-F X (z )][1-F Y (z )]
推广:设X 1,…,X n 是n 个相互独立的随机变量,它们的分布函数分别为求M=max(X 1,…,X n )和N=min(X 1,…,X n )的分布函数,则：
)(x F i X (i =0,1，…, n ),N=min(X 1,…,X n )的分布函数为:
M=max(X 1,…,X n )的分布函数为:
111()[()]N X F z F z …1[()]
n X F z 1()()M X F z F z ()
n X F z …
特别，当X 1,…,X n 相互独立且具有相同分布函数F (x )时，有
F M (z )=[F (z )] n , F N (z )=1-[1-F (z )] n 若X 1,…,X n 是连续型随机变量，在求得M=max(X 1,…,X n )和N=min(X 1,…,X n )的分布函数后，不难求得M 和N 的密度函数.
例3设系统L 由相互独立的n 个元件组成，连接方式为:(1) 串联；(2) 并联；如果n 个元件的寿命分别为12,,,n X X X 12~(),,,,i X E i n 且求在以上2种组成方式下，系统L 的寿命X 的密度函数.解
0,(),
i x
X e x f x
其它10
0,(),
i x
X e x F x
其它
(1)
}
,,,min{21n X X X X n
i X X x F x F i 1
))
(1(1)(
,
00,
)(x x e
n x f x
n X
,
1,0,
)(1x x e x F x
X i (2)
}
,,,max{21n X X X X n
i X X x F x F i 1)()(
,0,
0,
)1(x x e n
x
,
00,
)1()(1
x x e e
n x f n x x
X
y=
y=
z
•z
•z
x +y =
z
z -11x
1•z
•z
1
x
y
z
2 2
1
x
= 1
-
z
= 1
-
z。