近世代数考试复习

<近世代数复习题>

一、定义描述（8’）

1、群：设G是一个非空集合，是它的一个代数运算。如果满足以下条件：

（1）结合律成立，即对G中任意元素a，b，c都有（a b）c = a （b c）.

（2）G中有元素e.叫做G的左单位元，它对G中每个元素a都有e a = a .

（3）对G中每个元素a，在G中都有元素a-1，叫做a的左逆元，使a-1 a = e .

则称G对代数运算做成一个群。

2、正规子群：设N是群G的一个子群，如果对G中每个元素a都有aN=Na，即aNa-1=N ，

则称N是群G的一个正规子群（或不变子群）。

3、环：设非空集合R有两个代数运算，一个叫做加法并用加号+ 表示，另一个叫做乘法用

乘号表示，如果：

（1）R对加法作成一个加群；

（2）R对乘法满足结合律：（ab）c = a（bc）；

（3）乘法对加法满足左右分配率：a（b+c）= ab + ac ，（b+c）a = ba + ca .

其中a，b，c为R中任意元素，则称R对这两个代数运算作成一个环。

4、极大理想：设N是环R的一个理想，且N≠R .如果除R和N外，R中没有包含N的其它

理想，则称N为环R的一个极大理想。

5、惟一分解整环：设K是有单位元的整环。如果K中每个既不是零又不是单位的元素都能

惟一分解，则称K为惟一分解整环。整数环Z及域F上多项式环F[ x ]都是惟一分解整环。

6、欧氏环：设K是一个有单位元的整环，如果

（1）有一个从K的非零元集K – { 0}到非负整数集的映射ψ存在；

（2）这个ψ对K中任意元素a及b≠0，在K中有元素q，r使a=bq + r，r=0 或ψ（r）＜ψ（b），则称R关于ψ作成一个欧氏环。-------------

7、素理想：设R是一个交换环，P ?R .如果ab∈P => a∈P或b∈P，其中a，b∈R，则

称P是R的一个素理想。

显然，环R本身是R的一个素理想；又零理想{ 0}是R的素理想当且仅当R无零因子，亦即R是一个整环。

8、主理想：设R是一个环，任取a∈R，R中包含a的全部理想的交也是R的一个理想，且

是R的包含元素a的最小理想，并称其为R的由a生成的主理想，记为< a > .

9、理想：设N是环R的一个子加群，即对N中任意元素a，b，差a-b仍属于N，如果又有

r∈R，a∈N => ra∈N，则称N是环R的一个左理想；

如果r∈R，a∈N => ar∈N，则称N是环R的一个右理想；

如果N既是R的左理想又是右理想，则称N是环R的一个双边理想，简称理想，并用符号N ?R表示。否则记为N ?R .

10、商群：群G的正规子群N的全体陪集对于陪集的乘法作成一个群，称为G关于N的商

群，记为G/N .

11、主理想环：设K是一个有单位元的整环。如果K的每一个理想都是一个主理想，则称K

是一个主理想整环。整数环和域F上的多项式环F[ x]都是主理想整环。但是，整数环Z上的多项式环Z[ x]不是一个主理想整环。

二、填空（30’）

1、集合M的一个分类决定M的一个等价关系。

2、集合M的一个等价关系决定M的一个分类。

3、设G是一个半群，则G作为成群的充要条件是，对G中任意元素a、b，

方程ax=b , ya=b在G中都有解。

4、群G的一个非空子集H作成子群的充要条件是：

（1）a，b∈H => ab∈H ;

（2）a∈H => a-1∈H.

5、设H,k是群G的两个子群，则HK≤G HK=KH.

6、整数加群Z是无限循环群。

7、无限循环群有两个生成元，即a与a-1；n阶循环群有ψ（n）个生成元，

其中ψ（n）为Euler函数。

例如，4、5、6阶循环群分别有ψ（4）=2 ，ψ（5）=4 ，ψ（6）=2 个生成元。8、设是任意一个循环群。

（1）若|a|=∞，则与整数加群Z同构；

（2）若|a|=n，则与n次单位根群U n 同构。

9、循环群的子群仍为循环群。

10、不相连循环相乘时可以交换。

11、k—循环的阶为k；不相连循环乘积的阶为各因子的阶的最小公倍。

12、（https://www.360docs.net/doc/3416996552.html,grange，1736—1813）设H是有限群G的一个子群，则|G|=|H|（G：H）.从

而任何子集的阶和指数都是群G的阶的因数。

13、有限群中每个元素的阶都整除群的阶。

14、左陪集的重要性质

（1）a∈aH . （2）a∈H ? aH=H . （3）b∈aH ? aH=bH .

（4）aH=bH，即a与b同在一个左陪集中? a-1b∈H（或b-1a∈H）。

（5）若aH∩bH≠φ，则aH=bH .对任二陪集来说，要么相等要么无公共元素。

15、循环群的商群也是循环群。

16、（第一同构定理）设ψ是群G到G的一个同态满射，又KerψN ?G，N=ψ（N），

则G/N ≌G/N .

17、（第二同构定理）设G是群，又H≤G，N ?G .则H∩N ?H，并且HN/N≌H/(H∩N) .

18、（第三同构定理）设G是群，又N ?G，H≤G/N .则

（1）存在G的惟一子群H N，且H=H/N ；

（2）又当H ?G/N时，有惟一的H ?G使H=H/N且G/H≌G/N／H/N .

19、设G是一个群，a∈G，则

（1）σa：x —> axa-1（x∈G）是G的一个自同构，称为G的一个内自同构；

（2）G的全体内自同构作成一个群，称为群G的内自同构群，记为Inn G；

（3）Inn G ?Aut G .

20、环R的非空子集S作成子环的充要条件是：

a，b∈S => a - b∈S ，a，b∈S => ab∈S .

21、如果p是素数，则环Z p是一个域；如果n是合数，则环Z n有零因子，从而不是域。

22、（环同态基本定理）设R与R是两个环，且R ~ R . 则

（1）这个同态核N，即零元的全体逆象，是R的一个理想；

（2）R/N ≌R．

23、设P是交换环R的一个理想。则P是R的素理想的充分与必要条件是，商环R/P无

零因子，即为整环。

24、整数环Z的理想N是Z的极大理想，当且仅当N是由素数生成的理想。

25、整环K中的元素一定是不可约元。

26、设K是任意一个惟一分解整环。则p是K的元素当且仅当p是K的不可约元。

27、设K是有单位元的整环。如果

（1）K中每个既不是零又不是单位的元素都可分为不可约元的乘积；

（2）K中的不可约元都是素元；

则K是一个惟一分解整环。

28、Gauss整环Z[ i]是主理想整环。

29、整数环Z是欧氏环。

30、域F上多项式环F[ x]是一个欧氏环。

31、欧氏环必是主理想环，因而是惟一分解整环。（反之不成立）

32、主理想整环是惟一分解整环。（反之不成立）

33、群G中关于子群H的互异的左（或右）陪集的个数，叫做H在G里的指数，记（G：H）.

34、设p∈K .p≠0，且p不是单位。如果p|ab就必有p|a或p|b，则称p是K的一个元素。

35、同态：反身、传递（不满足对称）；同构：反身、传递、对称。

例一、设σ=（14）（235），τ=（153）（24）. 求στσ-1 =？

解：由定理可知：

στσ-1 = （σ（1）σ（5）σ（3））（σ（2）σ（4））

= （425）（24）.

例二、证明：K={（1），（12）（34），（13）（24），（14）（23）} 作成交代群A4 的一个交换子群。这个群（以及与其同构的群）称为Klein（C.L.Klein，1849--1925）四元群。

证显然K4中的置换全为偶置换，而且除恒等置换外其余三个置换的阶都是2，而且其中任二个相乘等于第三个，即K4 对置换的乘法封闭。从而K4 是A4的一个子群，且显然是一个交换子群。（证毕）

例三、证明：Z[ i]={a + bi|a，b∈Z } 作成一个有单位元的整环（这个环称为Gauss整环），并且其单位群是{±1，±i } .

证Z[ i ]作成有单位元的整环显然。又显然±1，±i均为其单位。下证：Z[ i ]没有别的单位。

设ε=a + bi 是Z[ i]的任一单位，则有η∈Z[ i ]使εη=1，|ε|2|η|2 =1 .

这只有|ε|2 =a2 + b2=1，从而只有a=±1，b=0；或a=0，b=±1 .

即ε只能是±1及±i .

因此，±1和±i是环Z[ i ]的全部单位。故U（Z[ i ]）={±1，±i } .

例四、在模8剩余类环Z8 中，令< 4 >={ 0 , 4 }，< 2 >={0 , 2 ,4 , 6 }，则< 4 >不是Z8的素理想（因为2·2=4∈< 4 >，但是2∈< 4 >），也不是Z8的极大理想（因为< 4 > < 2 > Z8）.

但是，易知< 2 >既是Z8的素理想也是Z8的极大理想。

例五、设G=< a > 为6阶循环群。给出G的一切生成元和G的所有子群。

解：a，a5 ；ψ（6）=2 .

例六、试求下列各置换的阶：τ1=（1378）（24）；【4】τ2=（1372）（234）；【6】τ3= 1 2 3 4 5 6

例七、设τ=（327）（26）（14），σ=（134）（57）. 则

στσ-1 = （13）（2654）；σ-1τσ=（265）（34）.

三、判断（10’）

1、在环R中，当a不是左零因子时，则ab =ac ，a≠0 => b=c ；（1）

当a不是右零因子时，则ba= ca ，a≠0 => b=c . （2）

2、无零因子的交换环称为整环。

3、除环和域没有零因子。

4、Z n中非零元m如果与n互素，则为可逆元；如果不与n互素，则为零因子。

5、欧氏环主理想整环惟一分解整环有单位元整环

6、一个群的两个子群的乘积一般不再是子群。

7、正规子群的正规子群不一定是原群的正规子群。

8、群G的一个正规子群与一个子群的乘积是一个子群，两个正规子群的乘积仍是一个正规

子群。

9、理想的理想不一定是原环的理想，亦即理想也不具有传递性。

近世代数期末考试试卷及答案Word版

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（）是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（）不是群 A 、G 为整数集合，*为加法 B 、G 为偶数集合，*为加法 C 、G 为有理数集合，*为加法 D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ= （1324），则 3σ=（） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（）。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4 a 的阶等于------。 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。 6、若映射?既是单射又是满射，则称?为-----------------。 7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得

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多所高校近世代数题库一、（2011年近世代数）判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。（） 2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。（） 3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1-f 。（） 4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。（） 5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。（） 6、近世代数中，群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。（） 7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。（） 8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。（） 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。（） 10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整数环，()p 是由素数p 生成的主理想。（）二、（2011年近世代数）单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ??? 21到D 的一个映射，那么（） ①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；②n A A A ,,,21 的次序不能调换； ③n A A A ??? 21中不同的元对应的象必不相同； ④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算是二元运算（） ①在整数集Z 上，ab b a b a += ； ②在有理数集Q 上，ab b a = ； ③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。 3、设是整数集Z 上的二元运算，其中{}b a b a ,max = （即取a 与b 中的最大者），那么在Z 中（）

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[精华版]近世代数期末考试试卷及答案一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集( )是子群。 33,,,,aa,e,,e,a,,e,a,aA、 B、 C、 D、 2、下面的代数系统(G，*)中，( )不是群 A、G为整数集合，*为加法 B、G为偶数集合，*为加法 C、G为有理数集合，*为加法 D、G为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的,( ) A、a*b=a-b,,,B、 a*b=max{a,b} C、 a*b=a+2b D、a*b=|a-b| ,,,,,,3322114、设、、是三个置换，其中=(12)(23)(13)，=(24)(14)，= ,3(1324)，则=( ) 22,,,,,,122121A、 B、 C、 D、 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它( )。 A、不可能是群,,,B、不一定是群 C、一定是群 D、是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 4Gaa3、已知群中的元素的阶等于50，则的阶等于------。 4、a的阶若是一个有限整数n，那么G与-------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A?B=-----。 6、若映射既是单射又是满射，则称为-----------------。,,

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近世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题,每小题３分,共15分)在每小题列出得四个备选项中只有一个就就是符合题目要求得,请将其代码填写在题后得括号内。错选、多选或未选均无分。１、设Ａ＝Ｂ=R(实数集）,如果Ａ到Ｂ得映射:x→x+２,ｘ∈R,则就就是从Ａ到B得( ）Ａ、满射而非单射?B、单射而非满射 C、一一映射??? D、既非单射也非满射２、设集合Ａ中含有5个元素，集合B中含有２个元素,那么,Ａ与Ｂ得积集合A×B中含有( )个元素。 A、2 ??? B、5 Ｃ、7????D、10 ３、在群G中方程ａx=b,yａ=b, a,b∈Ｇ都有解,这个解就就是( ）乘法来说Ａ、不就就是唯一 B、唯一得 C、不一定唯一得Ｄ、相同得(两方程解一样) 4、当G为有限群,子群Ｈ所含元得个数与任一左陪集aH所含元得个数( ）Ａ、不相等Ｂ、0 C、相等 D、不一定相等。 5、n阶有限群G得子群Ｈ得阶必须就就是n得( ) A、倍数 B、次数Ｃ、约数 D、指数二、填空题(本大题共10小题,每空３分,共30分)请在每小题得空格中填上正确答案。错填、不填均无分。１、设集合；,则有------－--。 2、若有元素e∈R使每a∈A,都有ae＝ea=a,则e称为环R得-－-－---－。 3、环得乘法一般不交换。如果环Ｒ得乘法交换，则称Ｒ就就是一个-－－--－。 4、偶数环就就是-－----－--得子环。５、一个集合Ａ得若干个－-变换得乘法作成得群叫做Ａ得一个-----－－-。 6、每一个有限群都有与一个置换群－-------。 7、全体不等于0得有理数对于普通乘法来说作成一个群,则这个群得单位元就就是---,元ａ得逆元就就是------－。８、设与就就是环得理想且,如果就就是得最大理想，那么--－－-－--－。９、一个除环得中心就就是一个--－－---。三、解答题(本大题共3小题,每小题1０分,共30分) １、设置换与分别为:,，判断与得奇偶性,并把与写成对换得乘积。 2、证明:任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之与。３、设集合,定义中运算“”为ａｂ=(a+b)(modm),则(，)就就是不就就是群,为什么? 四、证明题(本大题共2小题，第1题1０分，第2小题１5分,共25分） 1、设就就是群。证明:如果对任意得,有,则就就是交换群。 2、假定R就就是一个有两个以上得元得环，Ｆ就就是一个包含R得域,那么F包含R得一个商域。近世代数模拟试题二一、单项选择题二、１、设Ｇ有6个元素得循环群,a就就是生成元,则Ｇ得子集( ）就就是子群。Ａ、 B、 C、 D、 2、下面得代数系统(G,*）中，（ )不就就是群Ａ、G为整数集合,*为加法 B、G为偶数集合,＊为加法

近世代数期末考试试卷

近世代数模拟试题二一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（）是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（）不是群 A 、G 为整数集合，*为加法 B 、G 为偶数集合，*为加法 C 、G 为有理数集合，*为加法 D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（） A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（）。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4a 的阶等于------。 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与-------同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=-----。 6、若映射?既是单射又是满射，则称?为-----------------。 7、α叫做域F 的一个代数元，如果存在F 的-----n a a a ,,,10 使得010=+++n n a a a αα 。

近世代数复习试题2010级

《近世代数》复习试题一填空题 1．12,,n A A A 是集合A 的子集，如果（1），（2），则称12,,n A A A 为A 的一个分类. 2．设},{21A =,},,,,{e d c b a B =,则有____个A 到B 的映射,_____个A 到B 的单射. 3. 设G 是一个群,G a ∈,且21||=a ,则=||6a __________. 4. 设G 是群,,,G b a ∈若1),(,||,||===n m n b m a ，而且ba ab =，则=||ab ______. 5. 在3S 中，)23()12)(123(1-= . 6. 模6的剩余类环6Z 的所有可逆元: . 7. 模6的剩余类环6Z 的所有零因子: . 8. R 是一个有单位元交换环,R a ∈,则由a 生成的主理想=)(a . 9. 设群G 的阶是45, a 是群G 中的一个元素,则a 的阶只可能是____________. 10. 高斯整环][i Z 的单位群])[(i Z U 的全部元素:____________________________. 二解答、证明题 1.设Z 是全体整数的集合，在Z 中规定： .,,2Z b a b a b a ∈?-+= 证明：),( Z 是一个交换群. 2.证明:群G 不能表示成两个真子群的并. 3.证明:r-循环为偶置换的充要条件是r 为奇数. 4.设p 为素数,||G =n p ，证明：G 一定有一个p 阶子群. 5.设G 是一个群，,,G K G H ≤≤证明：KH HK G HK =?≤. 6.设H G ≤，N G ，证明：HN G ≤. 7.设H G ≤，且2]:[=H G ，证明：.G H 8.证明:每个素数阶的群都是循环群. 9.设N 是群G 的子群，N 的阶是r （1）证明1()gNg g G -∈也是G 的一个子群.

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<近世代数复习题> 一、定义描述（8’） 1、群：设G是一个非空集合，是它的一个代数运算。如果满足以下条件：（1）结合律成立，即对G中任意元素a，b，c都有（a b）c = a （b c）. （2）G中有元素e.叫做G的左单位元，它对G中每个元素a都有e a = a . （3）对G中每个元素a，在G中都有元素a-1，叫做a的左逆元，使a-1 a = e . 则称G对代数运算做成一个群。 2、正规子群：设N是群G的一个子群，如果对G中每个元素a都有aN=Na，即aNa-1=N ，则称N是群G的一个正规子群（或不变子群）。 3、环：设非空集合R有两个代数运算，一个叫做加法并用加号+ 表示，另一个叫做乘法用乘号表示，如果：（1）R对加法作成一个加群；（2）R对乘法满足结合律：（ab）c = a（bc）；（3）乘法对加法满足左右分配率：a（b+c）= ab + ac ，（b+c）a = ba + ca . 其中a，b，c为R中任意元素，则称R对这两个代数运算作成一个环。 4、极大理想：设N是环R的一个理想，且N≠R .如果除R和N外，R中没有包含N的其它理想，则称N为环R的一个极大理想。 5、惟一分解整环：设K是有单位元的整环。如果K中每个既不是零又不是单位的元素都能惟一分解，则称K为惟一分解整环。整数环Z及域F上多项式环F[ x ]都是惟一分解整环。 6、欧氏环：设K是一个有单位元的整环，如果（1）有一个从K的非零元集K – { 0}到非负整数集的映射ψ存在；（2）这个ψ对K中任意元素a及b≠0，在K中有元素q，r使a=bq + r，r=0 或ψ（r）＜ψ（b），则称R关于ψ作成一个欧氏环。------------- 7、素理想：设R是一个交换环，P ?R .如果ab∈P => a∈P或b∈P，其中a，b∈R，则称P是R的一个素理想。显然，环R本身是R的一个素理想；又零理想{ 0}是R的素理想当且仅当R无零因子，亦即R是一个整环。 8、主理想：设R是一个环，任取a∈R，R中包含a的全部理想的交也是R的一个理想，且是R的包含元素a的最小理想，并称其为R的由a生成的主理想，记为< a > . 9、理想：设N是环R的一个子加群，即对N中任意元素a，b，差a-b仍属于N，如果又有

近世代数期末考试试卷及答案

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群，a 是生成元，则G 的子集（ c ）是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、{} 3 ,,a a e 2、下面的代数系统（G ，*）中，（ D ）不是群 A 、G 为整数集合，*为加法 B 、G 为偶数集合，*为加法 C 、G 为有理数集合，*为加法 D 、G 为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N 上，下列哪种运算是可结合的？（ B ） A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、2σ、3σ是三个置换，其中1σ=（12）（23）（13），2σ=（24）（14），3σ=（1324），则3σ=（ B ） A 、1 2σ B 、1σ2σ C 、2 2 σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群，它（ A ）。 A 、不可能是群 B 、不一定是群 C 、一定是群 D 、是交换群二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说：任一个子群都同一个----变换群------同构。 2、一个有单位元的无零因子-交换环----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50，则4 a 的阶等于----25--。 4、a 的阶若是一个有限整数n ，那么G 与---模n 剩余类加群----同构。 5、A={1.2.3} B={2.5.6} 那么A ∩B=---｛2｝--。 6、若映射?既是单射又是满射，则称?为----双射-------------。

近世代数期末试题

近世代数试卷一、判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”；每小题1分，共10分） 1、设A 与B 都是非空集合，那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。（） 2、设A 、B 、D 都是非空集合，则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。（） 3、只要f 是A 到A 的一一映射，那么必有唯一的逆映射1 -f 。（） 4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶是无限的，则G 与整数加群同构。（） 5、如果群G 的子群H 是循环群，那么G 也是循环群。（） 6、群G 的子群H 是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。（） 7、如果环R 的阶2≥，那么R 的单位元01≠。（） 8、若环R 满足左消去律，那么R 必定没有右零因子。（） 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。（） 10、若域E 的特征是无限大，那么E 含有一个与()p Z 同构的子域，这里Z 是整数环，()p 是由素数p 生成的主理想。（）二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、设n A A A ,,,21 和D 都是非空集合，而f 是n A A A ??? 21到D 的一个映射，那么（） ①集合D A A A n ,,,,21 中两两都不相同；②n A A A ,,,21 的次序不能调换； ③n A A A ??? 21中不同的元对应的象必不相同； ④一个元()n a a a ,,,21 的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算是二元运算（） ①在整数集Z 上，ab b a b a += ； ②在有理数集Q 上，ab b a = ； ③在正实数集+R 上，b a b a ln = ；④在集合{}0≥∈n Z n 上，b a b a -= 。 3、设是整数集Z 上的二元运算，其中{}b a b a ,max = （即取a 与b 中的最大者），那么在Z 中（） ①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。

《近世代数》模拟试题1及答案

近世代数模拟试题一. 单项选择题(每题5分，共25分) 1、在整数加群（Z，＋）中，下列那个是单位元（）. A. 0 B. 1 C. －1 D. 1/n，n是整数 2、下列说法不正确的是（）. A . G只包含一个元g，乘法是gg＝g。G对这个乘法来说作成一个群; B . G是全体整数的集合，G对普通加法来说作成一个群; C . G是全体有理数的集合，G对普通加法来说作成一个群; D. G是全体自然数的集合，G对普通加法来说作成一个群. 3. 如果集合M的一个关系是等价关系，则不一定具备的是( ). A . 反身性 B. 对称性 C. 传递性 D. 封闭性 4. 对整数加群Z来说，下列不正确的是（）. A. Z没有生成元. B. 1是其生成元. C. －1是其生成元. D. Z是无限循环群. 5. 下列叙述正确的是（）。 A. 群G是指一个集合. B. 环R是指一个集合. C. 群G是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，逆元存在. D. 环R是指一个非空集合和一个代数运算，满足结合律，并且单位元，

逆元存在. 二. 计算题(每题10分，共30分) 1. 设G 是由有理数域上全体2阶满秩方阵对方阵普通乘法作成的群，试求中G 中下列各个元素1213,,0101c d cd ???? == ? ?-????，的阶. 2. 试求出三次对称群 {}3(1),(12),(13),(23),(123),(132)S = 的所有子群.

3. 若e是环R的惟一左单位元，那么e是R的单位元吗？若是，请给予证明. 三. 证明题(第1小题10分，第2小题15分，第3小题20分，共45分). 1. 证明: 在群中只有单位元满足方程

《近世代数》考试卷

xx师范大学05级《近世代数》考试卷 (xx学年第二学期) 考试类别考试使用学生数理学院数学xx级初阳综合理科xx级考试时间150分钟出卷时间xx年6月10日说明：考生应将全部答案写在答题纸上，否则作无效处理．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。一、选择题( 每小题2分，共20分) 1．设A＝{a，b，c}，在下列运算表所给出的A的代数运算中，不满足结合律的是( )。 A B D 2．设A，B是两个集合，且|A |＝4，|B |＝3，那么，| 2A×B |＝( )。 A．12 B．48 C．64 D．81 3．设S是一个半群，那么，在下列关于半群S的叙述中，正确的是( )。 A．S必定有左单位元e L或者有右单位元e R B．S中消去律必定成立 C．如果S是一个交换半群，那么，S一定存在单位元 D．如果S至少有两个不同的左单位元，那么，S必定没有右单位元 4．设G1，G2是两个循环群，且G1＝(a)，G2＝(b)，那么，下列结论成立的是( )。 A．必存在G1到G2的同态映射f B．必存在G1到G2的同态满射f C．必存在G1到G2的同态单射f D．必存在G1到G2的同构映射f

5．设G是一个群，H1，H2是G的两个子群，在下列各式中一定成立的是( )。 A．H1H2＝H1B．H1H2＝H1∪H2 C．H1H2＝H1∩H2D．H1H1＝H1 6．设G是一个有限群，H是G的一个不变子群，在下列叙述中，正确的是( )。 A．?a，b∈G，有aba－1∈H B．?a∈H，?b∈G，有aba－1∈H C．?a∈G，?b∈H，有aba－1∈H D．如果aH＝bH，则ab－1＝b－1a 7．设R是一个环，a，b∈R，n∈Z，在下列等式恒成立的是( )。 A．n(ab)＝(na)b＝a(nb) B．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2 C．(ab)2＝a2b2D．(a＋b)(a－b)＝a2－b2 8．设Z15是以15为模的剩余类环，那么，Z15的子环共有( ) 个。 A．2 B．4 C．6 D．15 9．设R是一个环，X是环R的一个非空子集，[ X ]表示由子集X生成的子环，( X )表示由子集X生成的理想，那么，下列集合之间的关系一定成立的是( )。 A．[ X ]?( X ) B．[ X ]?( X ) C．[ X ]＝( X ) D．[ X ] ≠( X ) 10．设R是一个环，I是R的一个理想，在下列关于环的叙述中，正确的是( )。 A．如果I是R的一个素理想，则I必定是R的一个极大理想 B．如果I是R的一个极大理想，则I必定是R的一个素理想 C．如果R是一个无零因子环，则零理想{0}是R的一个素理想 D．如果R是一个无零因子环，则零理想{0}是R的一个极大理想

近世代数期末试题

近世代数试卷一、判断题(下列命题您认为正确的在题后括号内打“√”,错的打“×”;每小题1分,共10分) 1、设A 与B 都就是非空集合,那么{}B A x x B A ∈∈=?x 且。 ( ) 2、设A 、B 、D 都就是非空集合,则B A ?到D 的每个映射都叫作二元运算。( ) 3、只要f 就是A 到A 的一一映射,那么必有唯一的逆映射1-f 。 ( ) 4、如果循环群()a G =中生成元a 的阶就是无限的,则G 与整数加群同构。 ( ) 5、如果群G 的子群H 就是循环群,那么G 也就是循环群。 ( ) 6、群G 的子群H 就是不变子群的充要条件为H Hg g H h G g ?∈?∈?-1;,。 ( ) 7、如果环R 的阶2≥,那么R 的单位元01≠。 ( ) 8、若环R 满足左消去律,那么R 必定没有右零因子。 ( ) 9、)(x F 中满足条件0)(=αp 的多项式叫做元α在域F 上的极小多项式。 ( ) 10、若域E 的特征就是无限大,那么E 含有一个与()p Z 同构的子域,这里Z 就是整数环,()p 就是由素数p 生成的主理想。 ( ) 二、单项选择题(从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案,并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者,该题无分。每小题1分,共10分) 1、设n A A A ,,,21Λ与D 都就是非空集合,而f 就是n A A A ???Λ21到D 的一个映射,那么( ) ①集合D A A A n ,,,,21Λ中两两都不相同;②n A A A ,,,21Λ的次序不能调换; ③n A A A ???Λ21中不同的元对应的象必不相同; ④一个元()n a a a ,,,21Λ的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算就是二元运算( ) ①在整数集Z 上,ab b a b a +=ο; ②在有理数集Q 上,ab b a =ο; ③在正实数集+R 上,b a b a ln =ο;④在集合{}0≥∈n Z n 上,b a b a -=ο。 3、设ο就是整数集Z 上的二元运算,其中{}b a b a ,m ax =ο(即取a 与b 中的最大者),那么ο在Z 中( ) ①不适合交换律;②不适合结合律;③存在单位元;④每个元都有逆元。 4、设()ο,G 为群,其中G 就是实数集,而乘法k b a b a ++=οο:,这里k 为G 中固定

近世代数期末考试试卷及答案

一、单项选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个就是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设G 有6个元素的循环群,a 就是生成元,则G 的子集( )就是子群。 A 、{}a B 、{}e a , C 、{}3,a e D 、 {}3,,a a e 2、下面的代数系统(G,*)中,( )不就是群 A 、G 为整数集合,*为加法 B 、G 为偶数集合,*为加法 C 、G 为有理数集合,*为加法 D 、G 为有理数集合,*为乘法 3、在自然数集N 上,下列哪种运算就是可结合的？( ) A 、a*b=a-b B 、a*b=max{a,b} C 、 a*b=a+2b D 、a*b=|a-b| 4、设1σ、 2σ、3σ就是三个置换,其中1σ=(12)(23)(13),2σ=(24)(14),3σ=(1324),则3σ=( ) A 、12σ B 、1σ2σ C 、22σ D 、2σ1σ 5、任意一个具有2个或以上元的半群,它( )。 A 、不可能就是群 B 、不一定就是群 C 、一定就是群 D 、就是交换群二、填空题(本大题共10小题,每空3分,共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、凯莱定理说:任一个子群都同一个----------同构。 2、一个有单位元的无零因子-----称为整环。 3、已知群G 中的元素a 的阶等于50,则4a 的阶等于------。 4、a 的阶若就是一个有限整数n,那么G 与-------同构。 5、A={1、2、3} B={2、5、6} 那么A ∩B=-----。 6、若映射?既就是单射又就是满射,则称?为-----------------。 7、α叫做域F 的一个代数元,如果存在F 的-----n a a a ,,,10Λ使得 010=+++n n a a a ααΛ。 8、a 就是代数系统)0,(A 的元素,对任何A x ∈均成立x a x =ο,则称a 为

近世代数期末考试题库45962

近世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设A ＝B ＝R(实数集)，如果A 到B 的映射?：x →x ＋2，?x ∈R ，则?是从A 到B 的（） A 、满射而非单射 B 、单射而非满射 C 、一一映射 D 、既非单射也非满射 2、设集合A 中含有5个元素，集合B 中含有2个元素，那么，A 与B 的积集合A ×B 中含有（）个元素。 A 、2 B 、5 C 、7 D 、10 3、在群G 中方程ax=b ，ya=b ， a,b ∈G 都有解，这个解是（）乘法来说 A 、不是唯一 B 、唯一的 C 、不一定唯一的 D 、相同的(两方程解一样) 4、当G 为有限群，子群H 所含元的个数与任一左陪集aH 所含元的个数（） A 、不相等 B 、0 C 、相等 D 、不一定相等。 5、n 阶有限群G 的子群H 的阶必须是n 的（） A 、倍数 B 、次数 C 、约数 D 、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、设集合{}1,0,1-=A ；{}2,1=B ，则有=?A B ---------。 2、若有元素e ∈R 使每a ∈A ，都有ae=ea=a ，则e 称为环R 的--------。 3、环的乘法一般不交换。如果环R 的乘法交换，则称R 是一个------。 4、偶数环是---------的子环。 5、一个集合A 的若干个--变换的乘法作成的群叫做A 的一个--------。 6、每一个有限群都有与一个置换群--------。 7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是---，元a 的逆元是-------。 8、设I 和S 是环R 的理想且R S I ??，如果I 是R 的最大理想，那么---------。 9、一个除环的中心是一个-------。三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、设置换σ和τ分别为：??? ???=6417352812345678σ，? ? ? ???=2318765412345678τ，判断σ和τ的奇偶性，并把σ和τ写成对换的乘积。 2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。

近世代数10套试题

《近世代数》试卷1（时间120分钟）二、判断题（对打“√”，错打“×”，每小题2分，共20分） 1. （）循环群的子群是循环子群。 2. （）满足左、右消去律的有单位元的半群是群。 3. （）存在一个4阶的非交换群。 4. （）素数阶的有限群G的任一子群都是G的不变子群。 5. （）无零因子环的特征不可能是2001。 6. （）无零因子环的同态象无零因子。 7. （）模97的剩余类环Z97是域。 8. （）在一个环中，若左消去律成立，则消去律成立。 9. （）域是唯一分解整环。 10. （）整除关系是整环R的元素间的一个等价关系。一、填空题（共20分，第1、4、6小题各4分，其余每空2分） 1. 设A、B是集合，| A |＝3，| B |＝2，则共可定义个从A到B的映射，其中有个单射，有个满射，有个双射。 2. 设群G是24阶群，G中元素a的阶是6，则元素a2的阶为，子群H=< a3>的在G中的指数是。 3. 设G＝< a>是10阶循环群，则G的非平凡子群的个数是。 4. 在模12的剩余环R=｛[0], [1], ……, [11]｝中，［5］＋［10］＝，［5］·［10］＝，方程x2＝[1]的所有根为。 5. 环Z6的全部零因子是。 6. 整环Z[√-3 ]不是唯一分解整环，因为它的元素α＝在Z[√-3 ]中有两种本质不同的分三、解答题（共3０分） 1.设S3是3次对称群，a=（123）∈S3．（１）写出H＝< a>的所有元素．（２）计算H的所有左陪集和所有右陪集．（３）判断H是否是S3的不变子群，并说明理由．

2. 求模18的剩余类加群(Z18,+,[0])的所有子群及这些子群的生成元。 3. 在整数环Z中，求由200４，125生成的理想A=（2004，125）。四、证明题（共30分） 1.设G是一个阶为偶数的有限群，证明（１）G中阶大于2的元素的个数一定为偶数；（２）G中阶等于2的元素的个数一定为奇数。 2. 设φ是环（R，+，·，0，1）到环（R，+，·，0/，1/）的同态满射。N=Kerφ={x|x∈R且φ（x）=0/}, 证明：φ是同构映射当且仅当N={0}。 3. 证明：非零整环R只有有限个理想当且仅当R是域。

近世代数期末考试真题

近世代数期末练习题一、判断题（在括号里打上 √ 或 ? ） 1、一个阶是11的群只有两个子群。( ) 2、循环群的子群是循环子群。( ) 3、在一个环中，若右消去律成立，则左消去律成立。( ) 4、消去律在无零因子环中一定成立。( ) 5、在环中，逆元一定不是零因子。( ) 6、在一个域中一定不存在零因子。( ) 7、模99的剩余类环99Z 是一个域。( ) 8、模19的剩余类环19Z 是一个整环。( ) 9、整除关系是整数集Z 的元素间的一个等价关系。( ) 10、同余关系是整数集Z 的元素间的一个等价关系。( ) 11、群G 的两个子群的交还是子群。( ) 12、环R 的一个子环和一个理想的交一定是R 的子环。( ) 13、群G 的不变子群也是G 的子群，环R 的理想也是R 的子环。( ) 14、设群G 与群G'同态，则G 的不变子群的同态像是G'的不变子群。 ( ) 15、一个域一定是一个整环。( ) 二、填空题 1、在3次对称群3S 中，元素（123）的阶为，（123）的逆元为，（123）所生成的子群在3S 中的指数为，该子群是否3S 的不变子群？。 2、环Z 6的全部零因子是，全部可逆元是。 3、在环Z 10中，[6]+[7]= ，[6][7]= ，[6]-[7]= ，[6]3= ， [7]-1= 。三、证明：（1）若群G 的元a 的阶为2, 则a – 1 = a . （2）若群G 的元 a 的阶大于2, 则a – 1 ≠ a . （3）在群G 中, 元 a 与逆元a –1有相同的阶. 四、证明：设群G 中元a 的阶为n . 证明a s = a t ? n | ( s – t ) . 五、设R 是一个环，证明R 是交换环当且仅当(a+b) 2=a 2+2ab+b 2。六、设G 是一个群，证明G 是交换群当且仅当(ab) -1=a -1b -1。

近世代数期末考试题库

世代数模拟试题一一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1、设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射：x→x＋2，x∈R，则是从A到B的（ c ） A、满射而非单射 B、单射而非满射 C、一一映射 D、既非单射也非满射 2、设集合A中含有5个元素，集合B中含有2个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有（ d ）个元素。 A、2 B、5 C、7 D、10 3、在群G中方程ax=b，ya=b， a,b∈G都有解，这个解是（b ）乘法来说 A、不是唯一 B、唯一的 C、不一定唯一的 D、相同的(两方程解一样) 4、当G为有限群，子群H所含元的个数与任一左陪集aH所含元的个数（c ） A、不相等 B、0 C、相等 D、不一定相等。 5、n阶有限群G的子群H的阶必须是n的（d ） A、倍数 B、次数 C、约数 D、指数二、填空题(本大题共10小题，每空3分，共30分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1、设集合；，则有。 2、若有元素e∈R使每a∈A，都有ae=ea=a，则e称为环R的单位元。 3、环的乘法一般不交换。如果环R的乘法交换，则称R是一个交换环。 4、偶数环是整数环的子环。 5、一个集合A的若干个--变换的乘法作成的群叫做A的一个变换全。 6、每一个有限群都有与一个置换群同构。 7、全体不等于0的有理数对于普通乘法来说作成一个群，则这个群的单位元是1，元a的逆元是a-1。 8、设和是环的理想且，如果是的最大理想，那么---------。 9、一个除环的中心是一个-域-----。三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分） 1、设置换和分别为：，，判断和的奇偶性，并把和写成对换的乘积。 2、证明：任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。奇1、解：把和写成不相杂轮换的乘积：可知为奇置换，为偶置换。和可以写成如下对换的乘积： 2解：设A是任意方阵，令，，则B是对称矩阵，而C是反对称矩阵，且。若令有，这里和分别为对称矩阵和反对称矩阵，则，而等式左边是对称矩阵，右边是反对称矩阵，于是两边必须都等于0，即：，，所以，表示法唯一。 3、设集合，定义中运算“”为ab=(a+b)(modm),则（，）是不是群，为什么？四、证明题（本大题共2小题，第1题10分，第2小题15分，共25分） 1、设是群。证明：如果对任意的，有，则是交换群。 2、假定R是一个有两个以上的元的环，F是一个包含R的域，那么F包含R的一个商域。 1、对于G中任意元x，y，由于，所以（对每个x，从可得）。 2、证明在F里有意义，作F的子集显然是R的一个商域证毕。近世代数模拟试题二一、单项选择题二、1、设G 有6个元素的循环群，a是生成元，则G的子集（c ）是子群。 A、B、C、D、 2、下面的代数系统（G，*）中，（d ）不是群 A、G为整数集合，*为加法 B、G为偶数集合，*为加法 C、G为有理数集合，*为加法 D、G为有理数集合，*为乘法 3、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（ b ） A、a*b=a-b B、a*b=max{a,b} C、a*b=a+2b D、a*b=|a-b| 4、设、、是三个置换，其中=（12）（23）（13），=（24）（14），=（1324），则=（b ）

近世代数期末复习

m m m m m 1、模m 的剩余类环的理想都是主理想。证明，首先是循环环，则的理想就是的子加群。而的子加群都是循环群，是一个元素生成的。所以也是主理想。 0||,,0,0.I a I a I I a I a b I q r b qa r r a I r b qa I a r b qa I I a I a >∈?<> =<>?∈∈=+≤<=-∈==∈?<>=<> 2、证明：是主理想整环。显然，是整环。所以我们只证的理想都是主理想。设，则存在，使得是中元素最小的。显然我们证明，，事实上，对。由带余除法，存在使得因为是理想，则但根据的选取，必有则所以，则，即的任何理想都是主理想。 22112211221212121212112212121203|,,,|000(1)(2)(1)-0000000a b x R a b c I x c R I R a b a b a b a b a a b b R R c c c c c c a b a b a a a b c c ?????????=∈=∈???????????????? --???????????∈=∈??????????-??????? ???????=???????? 、设证明是的子环是的理想证：对，，则121222000000(2),-0000000000000000000000000000b c R c c R x y x y x y I I a b x a b x ax R I I c c x a b cx I c I R ?+??∈??? ?-???????????∈=∈???????????????????? ???????????∈?∈=∈???????????????????? ??????=∈???????????? 则是的子环。，对，，则是的加法子群，I R 且是左理想和又理想。故是的理想。 4R R I R I I R I R I R I I ?、证明：是主理想整环，是的一个理想，则是域当且仅当是由素元生成的主理想。证明：是域是的极大理想。而在主理想整环中，极大理想和素元生成的主理想是等价的。则是域当且仅当是由素元生成的主理想

近世代数期末考试题库包括模拟卷和1套完整题

多所高校近世代数题库一、（2011年近世代数）判断题（下列命题你认为正确的在题后括号内打，错的打“X” ；每小题1分，共10 分） 1、设A与B都是非空集合，那么A_. B」xx?A且B：。（） 2、设A、B、D都是非空集合，则A B到D的每个映射都叫作二元运算。（） 3、只要f是A到A的一一映射，那么必有唯一的逆映射f」。（） 4、如果循环群G = a中生成元a的阶是无限的，贝U G与整数加群同构。（） 5、如果群G的子群H是循环群，那么G也是循环群。（） 6、近世代数中，群G的子群H是不变子群的充要条件为-g ? G,-h? H;g'Hg H 。（） 7、如果环R的阶_2，那么R的单位元1-0。（） 8若环R满足左消去律，那么R必定没有右零因子。（） 9、F（x）中满足条件p（「）=0的多项式叫做元［在域F上的极小多项式。（） 10、若域E的特征是无限大，那么E含有一个与%p）同构的子域，这里Z是整数环，（p ）是由素数p生成的主理想。（）二、（2011年近世代数）单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其号码写在题干后面的括号内。答案选错或未作选择者，该题无分。每小题1分，共10分） 1、设A,A2,…，A n和D都是非空集合，而f是A1 A2… A n到D的一个映射，那么（） ①集合A,A2,…，A n,D中两两都不相同；② A1,A2/ , A n的次序不能调换； ③A1A2A n中不同的元对应的象必不相同； ④一个元a1,a2,…，a n的象可以不唯一。 2、指出下列那些运算是二元运算（） ①在整数集Z上，a °b = —b；②在有理数集Q上，a°b = Jab ； ab 、 ③在正实数集R*上，a ^b=alnb:④在集合｛n^Zn^。｝上，a"b=a — b。 3、设是整数集Z上的二元运算，其中a ^max：a,b?（即取a与b中的最大者），那么?在Z中（） ①不适合交换律；②不适合结合律；③存在单位元；④每个元都有逆元。 4、设G,为群，其中G是实数集，而乘法:a ^a b k，这里k为G中固定的常数。那么群G/中的单位元e和元x的逆元分别是（） ①0和-x ；②1和0 ；③k和x-2k ；④-k和-（x 2k）。 5、设a,b,c和x都是群G中的元素且x2a =bxc」，acx =xac，那么x=（） ① bc J a 4；② c °a '；③ a J bc J；④ b 'ca。 6、设H是群G的子群，且G有左陪集分类 5 , aH ,bH ,cH ｝。如果6,那么G的阶G =（） ①6；②24；③10 ；④12。 7、设f ：G1 > G2是一个群同态映射，那么下列错误的命题是（） ①f的同态核是G1的不变子群；②G2的不变子群的逆象是G1的不变子群；③G1的子群的象是G2的子群；④G1的不变子群的象是G2的不变子群。 8设f :尺> R2是环同态满射，f（a）二b，那么下列错误的结论为（） ①若a是零元，则b是零元；②若a是单位元，则b是单位元； ③若a不是零因子，则b不是零因子；④若R2是不交换的，则R1不交换。 9、下列正确的命题是（） ①欧氏环一定是唯一分解环；②主理想环必是欧氏环； ③唯一分解环必是主理想环；④唯一分解环必是欧氏环。 10、若I是域F的有限扩域，E是I的有限扩域，那么（） ①E:I = E:I I :F ；② F:E=I:FE:I ； ③ I:…E:FF:I ；④ E:…E:II:F。