高中数学第1章算法初步1.3算法案例新人教版
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解析答案
题型二 秦九韶算法的应用
例2 用秦九韶算法求多项式f(x)＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1当x＝
－2时的值.
解 f(x)＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1＝((((x＋5)x＋10)x＋10)x＋
5)x＋1.
当x＝－2时，有v0＝1； v1＝v0x＋a4＝1×(－2)＋5＝3； v2＝v1x＋a3＝3×(－2)＋10＝4； v3＝v2x＋a2＝4×(－2)＋10＝2； v4＝v3x＋a1＝2×(－2)＋5＝1； v5＝v4x＋a0＝1×(－2)＋1＝－1.
第一章 算法初步
1.3 算法案例
学习 目标
1.理解辗转相除法与更相减损术的含义，了解其执行过程. 2.理解秦九韶算法的计算过程，并了解它提高计算效率的实质. 3.理解进位制的概念，能进行不同进位制间的转化. 4.了解进位制的程序框图和程序.
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反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 用秦九韶算法计算多项式f(x)＝x6－12x5＋60x4－160x3＋
240x2－192x＋64当x＝2时的值.
解 根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：
f(x)＝(((((x－12)x＋60)x－160)x＋240)x－192)x＋64.
由内向外依次计算一次多项式当x＝2时的值；
＝…
先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1＝anx＋an－1，再由内向外 逐层计算一次多项式vk的值.
2.秦九韶算法的操作方法 (1)算法步骤如下：
第一步，输入多项式次数n、最高次项的系数an和x的值. 第二步，将v的值初始化为an，将i的值初始化为n－1. 第三步，输入i次项的系数ai. 第四步，v＝vx＋ai，i＝i－1. 第五步，判断i是否大于或等于0.若是，则返回第三步；否则，输出多 项式的值v.
(2)程序框图如图所示.
(3)程序如下：
INPUT “n＝”；n INPUT “an＝”；a INPUT “x＝”；x v＝a i＝n－1 WHILE i＞＝0
PRINT “i＝”；i INPUT “ai＝”；a v＝v*x＋a i＝i－1 WEND PRINT v END
知识点三 进位制 1.进位制的概念 进位制是为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定“满几进一” 就是几进制，几进制的基数(大于1的整数)就是几. 2.常见的进位制 (1)二进制： ①只使用0和1两个数学； ②满二进一，即1＋1＝10(2). (2)八进制； ①使用0,1,2,3,4,5,6,7这八个不同数学； ②满八进一，即7＋1＝10(8).
知识梳理 自主学习
知识点一 辗转相除法与更相减损术
1.辗转相除法
(1) 辗 转 相 除 法 ， 又 叫 欧 几 里 得 算 法 ， 是 一 种 求 两 最个大正公整约数数的
的古老而有效的算法.
(2)辗转相除法的算法步骤
第一步，给定两个正整数m，n 第二步，计算m除以n所得的余数r
. .
第三步， m＝n，n＝r
结果
(4)相减前要进行是否都是偶数的判断
(1)都是求两个正整数最大公约数的方法；
联系 (2)二者的实质都是递归的过程；
(3)二者都要用循环结构来实现
思考 实际应用更相减损术时要做的第一步工作是什么？
答 先判断a，b是否为偶数，若是，都除以2再进行.
答案
知识点二 秦九韶算法 1.秦九韶算法简介 (1)秦九韶算法要解决的问题是求多项式的值. (2)秦九韶算法的特点：
所以319与261的最大公约数为29. 87－58＝29，
58－29＝29，
29－29＝0，
所以319与261的最大公约数是29.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 用辗转相除法求80与36的最大公约数，并用更相减损术检 验你的结果. 解 80＝36×2＋8，36＝8×4＋4,8＝4×2＋0， 即80与36的最大公约数是4. 验证： 80÷2＝40,36÷2＝18；40÷2＝20,18÷2＝9； 20—9＝11,11－9＝2；9－2＝7,7－2＝5； 5－2＝3,3－2＝1；2－1＝1,1×2×2＝4； 所以80与36的最大公约数为4.
为
止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约
数.
答案
3.辗转相除法和更相减损术的区别与联系：
名称
辗转相除法
更相减损术
(1)以除法为主；
(1)以减法为主；
(2)两个整数的差值较大 (2)两个整数的差值较大时，运算次数
区别 时，运算次数较少； 较多；
(3)相除，余数为0时得 (3)相减，减数与差相等时得结果；
思考 任何进位制中都要用到的数字是什么？ 答 0和1.
答案
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题型一 求两个正整数的最大公约数
例1 分别用辗转相除法和更相减损术求261wk.baidu.com319的最大公约数.
解 方法一 (辗转相除法) 319÷261＝1(余58)， 261÷58＝4(余29)， 58÷29＝2(余0)，
方法二 (更相减损术) 319－261＝58， 261－58＝203， 203－58＝145， 145－58＝87，
通过一次式的反复计算，逐步得到高次多项式的值，即将一个n次多项 式的求值问题归结为重复计算n个一次多项式的值的问题.
(3)秦九韶算法的原理：
将f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0改写为： f(x)＝(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0 ＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0
v0＝1； v2＝－10×2＋60＝40； v4＝－80×2＋240＝80； v6＝－32×2＋64＝0. 所以当x＝2时，多项式的值为0.
v1＝1×2－12＝－10； v3＝40×2－160＝－80； v5＝80×2－192＝－32；
.
第 四 步 ， 若 r ＝ 0 ， 则 m ， n 的 最 大 公 约m数 等 于
第；二否步则 ， 返
答案
2.更相减损术
第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数 .若是2，用
约简；若不是，执行第二步
.
第二步，以较大 的数较减小去
的 数 ， 接 着 把较所小得 的 差 与
的数比较，并以大数减小数.继续这个操作，直相到等所得的数
题型二 秦九韶算法的应用
例2 用秦九韶算法求多项式f(x)＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1当x＝
－2时的值.
解 f(x)＝x5＋5x4＋10x3＋10x2＋5x＋1＝((((x＋5)x＋10)x＋10)x＋
5)x＋1.
当x＝－2时，有v0＝1； v1＝v0x＋a4＝1×(－2)＋5＝3； v2＝v1x＋a3＝3×(－2)＋10＝4； v3＝v2x＋a2＝4×(－2)＋10＝2； v4＝v3x＋a1＝2×(－2)＋5＝1； v5＝v4x＋a0＝1×(－2)＋1＝－1.
第一章 算法初步
1.3 算法案例
学习 目标
1.理解辗转相除法与更相减损术的含义，了解其执行过程. 2.理解秦九韶算法的计算过程，并了解它提高计算效率的实质. 3.理解进位制的概念，能进行不同进位制间的转化. 4.了解进位制的程序框图和程序.
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反思与感悟
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跟踪训练2 用秦九韶算法计算多项式f(x)＝x6－12x5＋60x4－160x3＋
240x2－192x＋64当x＝2时的值.
解 根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：
f(x)＝(((((x－12)x＋60)x－160)x＋240)x－192)x＋64.
由内向外依次计算一次多项式当x＝2时的值；
＝…
先计算最内层括号内一次多项式的值，即v1＝anx＋an－1，再由内向外 逐层计算一次多项式vk的值.
2.秦九韶算法的操作方法 (1)算法步骤如下：
第一步，输入多项式次数n、最高次项的系数an和x的值. 第二步，将v的值初始化为an，将i的值初始化为n－1. 第三步，输入i次项的系数ai. 第四步，v＝vx＋ai，i＝i－1. 第五步，判断i是否大于或等于0.若是，则返回第三步；否则，输出多 项式的值v.
(2)程序框图如图所示.
(3)程序如下：
INPUT “n＝”；n INPUT “an＝”；a INPUT “x＝”；x v＝a i＝n－1 WHILE i＞＝0
PRINT “i＝”；i INPUT “ai＝”；a v＝v*x＋a i＝i－1 WEND PRINT v END
知识点三 进位制 1.进位制的概念 进位制是为了计数和运算方便而约定的记数系统，约定“满几进一” 就是几进制，几进制的基数(大于1的整数)就是几. 2.常见的进位制 (1)二进制： ①只使用0和1两个数学； ②满二进一，即1＋1＝10(2). (2)八进制； ①使用0,1,2,3,4,5,6,7这八个不同数学； ②满八进一，即7＋1＝10(8).
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知识点一 辗转相除法与更相减损术
1.辗转相除法
(1) 辗 转 相 除 法 ， 又 叫 欧 几 里 得 算 法 ， 是 一 种 求 两 最个大正公整约数数的
的古老而有效的算法.
(2)辗转相除法的算法步骤
第一步，给定两个正整数m，n 第二步，计算m除以n所得的余数r
. .
第三步， m＝n，n＝r
结果
(4)相减前要进行是否都是偶数的判断
(1)都是求两个正整数最大公约数的方法；
联系 (2)二者的实质都是递归的过程；
(3)二者都要用循环结构来实现
思考 实际应用更相减损术时要做的第一步工作是什么？
答 先判断a，b是否为偶数，若是，都除以2再进行.
答案
知识点二 秦九韶算法 1.秦九韶算法简介 (1)秦九韶算法要解决的问题是求多项式的值. (2)秦九韶算法的特点：
所以319与261的最大公约数为29. 87－58＝29，
58－29＝29，
29－29＝0，
所以319与261的最大公约数是29.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练1 用辗转相除法求80与36的最大公约数，并用更相减损术检 验你的结果. 解 80＝36×2＋8，36＝8×4＋4,8＝4×2＋0， 即80与36的最大公约数是4. 验证： 80÷2＝40,36÷2＝18；40÷2＝20,18÷2＝9； 20—9＝11,11－9＝2；9－2＝7,7－2＝5； 5－2＝3,3－2＝1；2－1＝1,1×2×2＝4； 所以80与36的最大公约数为4.
为
止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约
数.
答案
3.辗转相除法和更相减损术的区别与联系：
名称
辗转相除法
更相减损术
(1)以除法为主；
(1)以减法为主；
(2)两个整数的差值较大 (2)两个整数的差值较大时，运算次数
区别 时，运算次数较少； 较多；
(3)相除，余数为0时得 (3)相减，减数与差相等时得结果；
思考 任何进位制中都要用到的数字是什么？ 答 0和1.
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题型探究 重点突破
题型一 求两个正整数的最大公约数
例1 分别用辗转相除法和更相减损术求261wk.baidu.com319的最大公约数.
解 方法一 (辗转相除法) 319÷261＝1(余58)， 261÷58＝4(余29)， 58÷29＝2(余0)，
方法二 (更相减损术) 319－261＝58， 261－58＝203， 203－58＝145， 145－58＝87，
通过一次式的反复计算，逐步得到高次多项式的值，即将一个n次多项 式的求值问题归结为重复计算n个一次多项式的值的问题.
(3)秦九韶算法的原理：
将f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0改写为： f(x)＝(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0 ＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0
v0＝1； v2＝－10×2＋60＝40； v4＝－80×2＋240＝80； v6＝－32×2＋64＝0. 所以当x＝2时，多项式的值为0.
v1＝1×2－12＝－10； v3＝40×2－160＝－80； v5＝80×2－192＝－32；
.
第 四 步 ， 若 r ＝ 0 ， 则 m ， n 的 最 大 公 约m数 等 于
第；二否步则 ， 返
答案
2.更相减损术
第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是偶数 .若是2，用
约简；若不是，执行第二步
.
第二步，以较大 的数较减小去
的 数 ， 接 着 把较所小得 的 差 与
的数比较，并以大数减小数.继续这个操作，直相到等所得的数