中科大固体物理1-2晶体结构

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固体物理学A(1)-1-2

固体物理学A(1)-1-2

22
2
a 1 a b a i j
32
2
a 1 a b c a i j k
12
2
a 1 a b c a i j k
22
2
a 1 a b c a i j k
32
2
体心立方的基矢和维格纳-赛茨原胞,后者是截角 八面体,或者说是一个十四面体。
2. 刚性原子的密堆积排列: 表面原子的这种排列可以用二维六角点阵表
述。
三维情况有两种方式: 按ABABAB 规律层状排列,形成六角( hexagonal close-packed, hcp )密堆积:
hcp结构中原子的配位数是多少? 它是点阵么?
hcp的配位数是12
具有密堆六方点阵排列的元素晶体有:
二维点阵的基矢和原胞
a2

a1 Ⅰ
a2 Ⅱ a1
a2 Ⅳ a1
a2 Ⅰ a1
这是一个二维简单斜方点阵,原胞和基矢的选取都 不是唯一的,但一定有相同的面积。一般我们选Ⅰ 为代表该点阵的原胞,称作斜方点阵。
另一标准选取法:Wigner-Seitz原胞
以格点为中心,取 和近邻格点连线垂 直平分线(面)围 成的面积(体积) 为原胞。
120, 90
NaCl结构中的原子排列
NaCl结构
CsCl结构
见 kittel p15
六. 体心和面心立方点阵的基矢和原胞
c
fcc:
a1
0
a2 b
a3 a
c
bcc:
a1
0
a2 b a
a3
a 1 b c a j k
12
2

中国科学院大学考研《固体物理》考试大纲知识分享

中国科学院大学考研《固体物理》考试大纲知识分享

中国科学院大学考研《固体物理》考试大纲中国科学院大学考研《固体物理》考试大纲本《固体物理》考试大纲适用于中国科学院凝聚态物理及相关专业的硕士研究生入学考试。

固体物理学是研究固体的微观结构、物理性质,以及构成物质的各种粒子的运动规律的学科,是凝聚态物理的最大分支。

本科目的考试内容包括晶体结构、晶格振动、能带理论和金属电子论等。

要求考生深入理解其基本概念,有清楚的物理图象,熟练掌握基本的物理方法,并具有综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。

一、考试形式(一)闭卷,笔试,考试时间180分钟,试卷总分150分(二)试卷结构第一部分:简答题,共50分第二部分:计算题、证明题,共100分二、考试内容(一)晶体结构1、单晶、准晶和非晶的结构上的差别2、晶体中原子的排列特点、晶面、晶列、对称性3、简单的晶体结构,二维和三维晶格的分类4、倒易点阵和布里渊区5、 X射线衍射条件、基元的几何结构因子及原子形状因子(二) 固体的结合1、固体结合的基本形式2、共价晶体,金属晶体,分子晶体与离子晶体,范德瓦尔斯结合,氢键,马德隆常数(三) 晶体中的缺陷和扩散1、晶体缺陷:线缺陷、面缺陷、点缺陷2、扩散及微观机理3、位错的物理特性4、离子晶体中的点缺陷和离子性导电(四) 晶格振动与晶体的热学性质1、一维链的振动:单原子链、双原子链、声学支、光学支、色散关系2、格波、简正坐标、声子、声子振动态密度、长波近似3、固体热容:爱因斯坦模型、德拜模型4、非简谐效应:热膨胀、热传导5、中子的非弹性散射测声子能谱(五) 能带理论1、布洛赫定理2、近自由电子模型3、紧束缚近似4、费密面、能态密度和能带的特点5、表面电子态(六) 晶体中电子在电场和磁场中的运动1、恒定电场作用下电子的运动2、用能带论解释金属、半导体和绝缘体,以及空穴的概念3、恒定磁场中电子的运动4、回旋共振、德·哈斯-范·阿尔芬效应(七) 金属电子论1、金属自由电子的模型和基态性质2、金属自由电子的热性质3、电子在外加电磁场中的运动、漂移速度方程、霍耳效应三、考试要求(一)晶体结构1. 理解单晶、准晶和非晶材料原子排列在结构上的差别2. 掌握原胞、基矢的概念,清楚晶面和晶向的表示,了解对称性3. 了解简单的晶体结构以及二维和三维晶格的分类4. 掌握倒易点阵和布里渊区的概念,能够熟练地求出倒格子矢量和布里渊区5. 了解X射线衍射条件、基元的几何结构因子及原子形状因子(二) 固体的结合1. 了解固体结合的几种基本形式2. 理解离子性结合、共价结合、金属性结合、范德瓦尔斯结合等概念(三) 晶体中的缺陷和扩散1. 掌握线缺陷、面缺陷、点缺陷的概念和基本的缺陷类型2. 了解扩散及微观机理3. 了解位错的物理特性4. 大致了解离子晶体中的点缺陷和离子性导电(四) 晶格振动与晶体的热学性质a) 熟练掌握并理解其物理过程,要求能灵活应用:一维链的振动(单原子链、双原子链)、声学支、光学支、色散关系b) 清楚掌握格波、简正坐标、声子、声子振动态密度、长波近似等概念c) 熟练掌握并理解其物理过程,要求能灵活应用:固体热容:爱因斯坦模型、德拜模型d) 了解非简谐效应:热膨胀、热传导e) 了解中子的非弹性散射测声子能谱(五) 能带理论a) 深刻理解布洛赫定理b) 熟练掌握并理解其物理过程,要求能灵活应用:近自由电子模型c) 熟练掌握并理解其物理过程,要求能灵活应用:紧束缚近似d) 深刻理解费密面、能态密度和能带的特点e) 了解电子表面态与晶体内部电子态的区别(六) 晶体中电子在电场和磁场中的运动a) 熟练掌握并理解其物理过程:恒定电场作用下电子的运动b) 能够用能带论解释金属、半导体和绝缘体,掌握空穴的概念c) 熟练掌握并理解其物理过程:恒定磁场中电子的运动d) 能够解释回旋共振、德·哈斯-范·阿尔芬效应(七) 金属电子论a) 熟练掌握金属自由电子的模型和基态性质b) 了解金属自由电子的热性质c) 熟练掌握并理解其物理过程:电子在外加电磁场中的运动、漂移速度方程、霍耳效应四、主要参考教材黄昆编著,《固体物理学》,第1版,北京大学出版社,2009年9月1日阎守胜编著,《固体物理基础》,第3版,北京大学出版社,2011年6月1日.小提示:目前本科生就业市场竞争激烈,就业主体是研究生,在如今考研竞争日渐激烈的情况下,我们想要不在考研大军中变成分母,我们需要:早开始+好计划+正确的复习思路+好的辅导班(如果经济条件允许的情况下)。

固体物理1-2

固体物理1-2

a、六角密排晶体结构
Be、Mn、Zn具有六角密排晶格结构
b、面心立方晶体结构
Cu、Ag、Al具有面心立方晶格结构
配位数 配位数
一个原子周围最近邻的原子数,称为该 晶体的配位数,可以用来表征晶体中原 配位数 子的排列的紧密程度。 紧密程度 最紧密的堆积称为密堆积,密堆积对应 最大的配位数。 不论是六角密积还是立方密积,晶体的 配位数都是12。 简单立方的配位数? 简单立方 体心立方的配位数? 体心立方
固体物理
Solid State Physics
§1.2 密堆积 §1.2
一、简立方晶体结构
原子球的正方堆积 简单立方结构单元 简单立方堆积
二、体心立方晶体结构
体心立方堆积
体心立方结构单元
具有体心立方结构的金属如碱金属:Li、Na、K、Rb、C构
晶体由全同的一种粒子构成,将粒子看成小圆 全同的一种粒子 球,则这些小圆球最紧密的堆积称为密堆积。 密堆积

固体物理 第一章 晶体结构

固体物理 第一章 晶体结构


2 ( a1 a 2 )
倒格矢:Gh=h1b1+h2b2+h3b3
, h1、h2、h3都是整数。
晶胞(单胞)与轴矢坐标系
晶胞:既能反映晶格周期性(平移对称性)又能 反映晶体的对称性特征的重复单元,体积又尽可 能小。 晶胞基矢(轴矢):a、b、c 正格矢 Rl=l1a1+l2a2+l3a3 , l1、l2、l3为有理数
O
c

b a

晶格周期性:
晶格中的物理量都是晶格的周期函数
Q (r ) Q ( Rl r )
求致密度
求简立方结构的致密度
§1.3 晶列、晶面及其表示
晶 列
晶 面
一、晶列与晶列指数
晶列:三维晶格中的一维晶格 晶向:晶列的取向 沿晶向的位移:Rl=l1a+l2b+l3c l1 :l2 : l3=l : m : n
l、m、n 为互质整数 晶列指数: [l m n]
[011]
D
c b 0 a A
C3 (3)
C4 (4)
C6 (6)
对称轴的图示方法
反演对称操作 以某一点为坐标原点,经过使 r 变为-r 的操作后晶体不变,即晶体具有反演对称性。
旋转-反演对称操作(旋转与反演的复合操作)
n次旋转反演对称轴记为 n
对称性原理:
n 1、、、、 2 3 4 6
1 或i
2
或m
3
= 3+i
4、立方晶体中晶列[hkl]垂直于晶面(hkl);
等效晶面:{hkl}
(001) (010) (100)
等效晶面:{100}
§1.4 晶体的宏观对称性

固体物理 1.2_晶格的基本类型

固体物理 1.2_晶格的基本类型

所属点群
四方 三角 六角 立方
简单四方 体心四方
三角
六角
简单立方 体心立方 面心立方
a=b c
a= b == 90º
a=b=c
a= b = 90º
C4、S4、C4h、D4 C4V、D2d、D4h
C3、S6、D3 C3V、D3d
a=b c
C6、C3h、C6h、D6、
a= b = 90º, =120º C6V、D3h、D6h
第 1 章 晶体结构
1.2 晶格的基本类型
立方体的对称操作
对称操作 对称操作数
不动
1
6个2度轴
6
总的对称操作数:
4个3度轴
8
24+24=48
3个4度轴
9
旋转反演
24
15
第 1 章 晶体结构
1.2 晶格的基本类型
正四面体的对称操作
对称操作 对称操作数
不动
1
3个2度轴
3
4个3度轴
8
总旋转操作数 1+3+8=12
第 1 章 晶体结构
1.2 晶格的基本类型
点阵(或晶体)中的对称元素:
(a)转动轴: 1、2、3、4、6
(b)转动反演: 4
(c)对称心:

(d)镜面:

一种点阵可以同时存在若干种对称元素。对称操作的一种特 定的组合方式叫做点群。点群在“群论”中有严格的定义 ,点群代表的是点阵或晶体的对称性,也就是点阵或晶体 能进行什么样的对称操作。
第 1 章 晶体结构
1.2 晶格的基本类型
对称操作通常包括两大类: 平移对称操作
点对称操作
第 1 章 晶体结构

固体物理晶体结构2

固体物理晶体结构2

• 金刚石结构
面心立方原胞内还有4 个原子,这4个原子分别 位于空间对角线的1/4处 碳四面体结构
碳原子杂化示意图察看
C 一种原子,二个位置。
金刚石结构是个复式格子,由两个面心立方子晶格 彼此沿其空间对角线位移1/4的长度套构而成的。
半导体材料:锗Ge, 硅Si. 与金刚石结构相同。
• 闪锌矿结构,硫化锌ZnS
Γ(r)=Γ(r+l1a1+l2a2+l3a3) l1 , l2 , l3 整数 a1,a2 ,a3 重复单元的边长矢量,周期
结晶学
晶体学中的布喇菲原胞,按对称特点来选取。基矢在晶轴方向, 固体物理学中选取的原胞,不是任意重复单元,基矢方向和晶 轴方向还是有一定的相对取向。 结晶学中的立方晶系,布喇菲原胞




• 所以,倒格矢Kh的长度为:
kh

2 d h1h2 h3
• 晶面族(h1 h2 h3)中离原点的距离为 dh h h 的晶面 方程:
1 2 3

x
kh kh

简立方(SC)
体心立方(BCC)
面心立方(FCC)
三种格子的固体物理学原胞 简立方: 只含有8×1/8=1个原子 原胞的基矢:
a1=ia a2=ja a3=ka
a
体心立方(Body Centered Cubic) 含有8×1/8+1=2个原子 固体物理学原胞只要 求含有1个原子。 a1=–(a/2)i+(a/2)j+(a/2)k =a/2(–i+j+k)
原胞
一维的复式格子 b a
a
A,B两种原子组成一无限的周期性点列。 A 原子组成一个子晶格 原胞

固体物理学:第一章晶体结构1-2

固体物理学:第一章晶体结构1-2
4
——
a1
a 2
(
j
k)
a2
a 2
(k
i)
a3
a 2
(i
j)
晶胞中只包含4个格点
—— 晶胞体积是原胞的4倍
1. 2 简单格子和复式格子 我是哪种 简单格子——晶体的原胞只格含一子种?粒子,这些粒子的化
学成分和所处的化学环境相同
复式格子——晶体的原胞由两种或三种以上粒子组成
1. 2.1 体心立方结构晶体
复式格子
例子:立方系ZnS晶体的结构 化合物半导体 —— 锑化铟、砷化镓、磷化铟
Zn : 000, 0 1 1 , 1 0 1 , 1 1 0 22 2 2 22
S:1 1 1,1 3 3,31 3,3 31 444 444 444 444
1. 2.5 氯化钠结构
基元由Na+和Cl-结合而成 —— 一种典型的离子晶体(通过离
—— 描写晶体中粒子排列的紧密程度
密堆积 —— 晶体由全同一种粒子组成,将粒子看作小圆球 这些全同的小圆球最紧密的堆积
密堆积所对应的配位数 —— 晶体结构中最大的配位数
两种堆积方式 —— 六角密积,立方密积
六角密积
—— 全同小圆球平铺在平面上,任一个球都与6个球相切。 每三个相切的球的中心构成一等边三角形
格点动画
1. 1.3 布拉菲格子 布拉菲格子(空间晶格) ——格点在有规则周期性 排列构成的阵列
布拉菲格子+基元=晶体结构
1. 1.4 原胞与晶胞(动画114)
原胞——组成晶体的最小周期平移单元
原胞基矢——原胞的边长矢量 a1, a2, a3
晶胞——组成晶体的体积较大的结构重复单元
晶胞基矢——原胞的边长矢量

1-2 常见的晶体结构及其原胞、晶胞

1-2 常见的晶体结构及其原胞、晶胞

§1-2 常见的晶体结构及其原胞、晶胞1) 简单晶体的简单立方(simple cubic, sc) 它所构成的晶格为布喇菲格子。

例如氧、硫固体。

基元为单一原子结构的晶体叫简单晶体。

其特点有: 三个基矢互相垂直(),重复间距相等,为a,亦称晶格常数。

其晶胞=原胞;体积= ;配位数(第一近邻数) =6。

(见图1-7)图1-7简单立方堆积与简单立方结构单元2) 简单晶体的体心立方( body-centered cubic, bcc ) , 例如,Li,K,Na,Rb,Cs,αFe,Cr,Mo,W,Ta,Ba等。

其特点有:晶胞基矢, 并且,其惯用原胞基矢由从一顶点指向另外三个体心点的矢量构成:(见图1-9 b)(1-2)其体积为;配位数=8;(见图1-8)图1-8体心立方堆积与体心立方结构单元图1-9简单立方晶胞(a)与体心立方晶胞、惯用原胞(b)3) 简单晶体的面心立方( face-centered cubic, fcc ) , 例如,Cu,Ag,Au,Ni,Pd,Pt,Ne, Ar, Xe, Rn, Ca, Sr, Al等。

晶胞基矢,并且每面中心有一格点, 其原胞基矢由从一顶点指向另外三个面心点的矢量构成(见图1-10 b):(1-3)其体积=;配位数=12。

,(见图1-10)图1-10面心立方结构(晶胞)(a)与面心立方惯用原胞(b)4) NaCl结构(Sodium Chloride structure),复式面心立方(互为fcc),配位数=6(图1-11 a)。

表1-1 NaCl结构晶体的常数5) CsCl结构(Cesuim Chloride structure),复式简单立方(互为sc),配位数=8(图1-11 b)。

表1-2 CsCl结构晶体的常数图1-11 NaCl结构和CsCl结构6) 金刚石结构(Diamond structure), 两套fcc格子相互沿对角线位移1/4处套合。

中国科技大学研究生课程《固体物理》讲义 复习1-4

中国科技大学研究生课程《固体物理》讲义 复习1-4

va = a1 ⋅ a2 × a3
2. 晶格原胞:晶格最小的重复单元 晶格原胞: 3. Wigner-Seitz原胞:由各格矢的垂直平分面所围成的 - 原胞: 各格矢的垂直平分面所围成的 原胞 最小封闭体积 包含原点在内的最小 包含原点在内的最小封闭体积 晶格的分类: 晶格的分类: 简单晶格:每个晶格原胞中只含有一个原子 一个原子, 简单晶格:每个晶格原胞中只含有一个原子,即晶格中 所有原子在化学、 所有原子在化学、物理和几何环境完全等同 化学 等晶格) (如:Na、Cu、Al等晶格) 。 、 、 等晶格 复式晶格:每个晶格原胞中含有两个或两个以上的原子, 复式晶格:每个晶格原胞中含有两个或两个以上的原子, 即晶格中有两种或两种以上的等同原子( 即晶格中有两种或两种以上的等同原子(或 离子)。如 等晶格。 离子)。如:Zn、Mg、金刚石、NaCl等晶格。 )。 、 、金刚石、 等晶格
14种Bravais格子(了解) 种 格子( 格子 了解) 立方晶系的基矢: 立方晶系的基矢:
fcc: :
a a1 = 1 ( b + c ) = ( j + k ) 2 2 1 (c + a ) = a (k + i ) a2 = 2 2 1 (a + b) = a (i + j ) a3 = 2 2
第三章 晶格振动和晶体的热学性质
一、晶格振动的运动方程,格波方程和色散关系,格波 晶格振动的运动方程,格波方程和色散关系, 的概念; 的概念; 二、光学波和声学波的物理图象 光学波的物理图象:原胞内不同原子间基本上作相对振 光学波的物理图象: 动,当q→0时,原胞内不同原子完 → 时 全作反位相振动。 全作反位相振动。 声学波的物理图象:原胞基本上作为一个整体振动, 声学波的物理图象:原胞基本上作为一个整体振动,当 q→0时,原胞内各原子的振动(包 → 时 原胞内各原子的振动( 括振幅和位相)完全相同。 括振幅和位相)完全相同。

固体物理1 晶体的结构图文

固体物理1 晶体的结构图文
复排列而成的。
所有晶体的结构可以用空间点阵来描述,这种晶格的每个 阵点上附有一群原子,这样的一个原子群称为基元,基元在空 间周期性重复排列就形成晶体结构。
1.基元、格点和晶格
(a)
(b)
(c)
(1)基元
在晶体中适当选取某些原子作为一个基本结构单元,这个
基本结构单元称为基元,基元是晶体结构中最小的重复单元,
平均每个晶胞包含2个格点。
固体物理学原胞的体积 Ω a1 a2 a3 1 a3 2
复式格 (1)氯化铯结构
Cl
Cs
氯化铯结构是由两个简立方子晶格沿体对角线位移1/2的 长度套构而成。 Cl-和Cs+分别组成简立方格子,其布喇菲晶
格为简立方,氯化铯结构属简立方。
每个原胞包含1个格点,每个晶胞包含1个格点。基元由一 个Cl-和一个Cs+组成。
222222????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????cnlbnkanhcnlbnkanhkx222222????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????cnlbnkanhcnlbnkanhkx2222????????????????????????????????????????????????????????????????????cnlbnkanhbnkanhky2222????????????????????????????????????????????????????????????????????cnlbnkanhcnlanhkz??????????????????????????nlcknkbknhakzyx??????12222????????????????????????????????????????????????????????cnlbnkanhanh??与对应的衍射方向表示成

固体物理基础第1章-晶体结构

固体物理基础第1章-晶体结构

ˆ a3 ck
*
*
一个原胞中包含A层
和B层原子各一个 共两个原子
六角密排晶格的原胞和单胞一样
第一讲回顾
什么是固体? 研究固体的思路?复杂到简单
为什么从研究晶体开始? 原胞的选取唯一吗?
1-3 晶格的周期性
1.3.3 复式晶格
• 简单晶格:原胞中仅包含1个原子,所有原子的几何位置和化 学性质完全等价 • 复式晶格:包含两种或更多种等价的原子(或离子) * 两种不同原子或离子构成:NaCl, CsCl * 同种原子但几何位置不等价:金刚石结构、六方密排结构
管原子是金或银还是铜,不管原子之间间距的大小,那他们是完全相 同的,就是他们的结构完全相同!

数学方法抽象描写:不区分物理、化学成分,每个原子都是不可区分
的,只有原子(数学上仅仅是一个几何点)的相对几何排列有意义。
1-2 晶格
• 理想晶体:实际晶体的数学抽象 以完全相同的基本结构单元(基元)规则地,重复的以完 全相同的方式无限地排列而成 • 格点(结点):基元位置,代表基元的几何点 • 晶格(点阵):格点(结点)的总和
1-4 晶向和晶面
1.4.1 晶向
晶向指数
晶向指数
1-4 晶向和晶面
1.4.1 晶向 简单立方晶格的主要晶向
# 立方边OA的晶向
立方边共有6个不同的晶向<100>
# 面对角线OB的晶向
面对角线共有12个不同的晶向<110>
# 体对角线OC晶向
体对角线共有?个不同的晶向<111>
1-4 晶向和晶面
1-3 晶格的周期性
Wigner-Seitz 原胞
以某个格点为中心,作其与邻近格点的中垂面,这些 中垂面所包含最小体积的区域为维格纳-赛兹原胞

固体物理第1课晶体结构 ppt课件

固体物理第1课晶体结构 ppt课件
返回
体心立方晶格(bcc)示意图3
R 3a 4
单个原子体积
V 4 R3 3 a3
3பைடு நூலகம்
16
由于晶胞中含两个原子,因此晶胞体积
为a3,两个原子占据体积为 3 a 3 8
面心立方晶格(fcc)示意图1
原子铺排方式:密排面,ABCABC…… 返回
面心立方晶格(fcc)示意图2
晶胞
中含 4个 原子
4. 解理性:当晶体受到敲打、剪切、撞击等外 界作用时,可有沿某一个或几个具有确定方 位的晶面劈裂开来的性质。劈裂的晶面称为 解理面 (示意图) (云母)。
5. 各向异性:晶体的物理性质随观察方向而变 的现象(示意图)
在不同带轴上,晶体的物理性质不一样。 其弹性常数、压力常数、介电常数、电阻率不再是 常数,需要用张量来表示。
a、c: 113°08′
返回
各项异性和对称性示意图
σx σz σx=σy
返回
均匀性示意图
a1 a a
2 3
a( 2 a
2 a
2
i (i (i
j j j
k) k) k)
返回
原胞的体积V
V a 1 ( a 2 a 3 ) a 3 /2
a是晶胞的边长,又称晶格常数。 可见原胞体积是晶胞体积的一半,一个晶胞
对应两个格点,一个原胞只对应一个格点。
复式晶格中格点不等价的原因:
格点本身代表不同的原子(见图)。 格点附近空间结构不对称(见图) 。
1.3.5 三维布拉菲晶格
❖ 简立方晶格(sc)(示意图)(演示) 原胞 晶胞 Li、Na、K、Rb、Cs、F
❖ 体心立方晶格(bcc)(示意图) (演示1) (演示2) 晶胞 原胞 体积 Li、Na、K、Rb、

1-2晶体结构和固体结合重点

1-2晶体结构和固体结合重点
2、化合键:
(1) 共价键: Ge、Si (2) 混合键: GaAs
1、金刚石型结构和共价键
化Hale Waihona Puke 键: 构成晶体的结合力每个原子和周围 四个原子组成四 个共价键
共价键
由同种晶体组成的元素半导
体,其原子间无负电性差,它们
通过共用一对自旋相反而配对
的价电子结合在一 起。
金刚石型结构的特点:每个原
子周围都有四个最邻近的原子,共 价 键 的 特 点
一些常见的杂化轨道如表所示
2024/7/6
sp杂化轨道电子云模型
25
2024/7/6
26
对于由N个原子组成的晶体,由于轨道杂化的结果,价电子形 成两个能带,中间隔一禁带。两个能带并不分别与s和p相对应 ,而是上下两能带分别包含2N个状态。根据电子先填充低能 级原理,共有4N个价电子填满下面的能带,通常称为满带(价 带),上面的能带是空的就是导带,二者之间是不允许电子状 态存在的禁区——禁带。
K=0时能量极值,所以 (dE / dk)k0 0 ,因而
2024/7/6
42
令:
1 h2
d2E dk 2
k 0
1 mn*
mn*
称为电子的有效质量
由(3)式可以看到:
对能带顶: E(k ) E(0) mn* 0 电子有效质量为负
对能带底: E(k ) E(0) mn* 0 电子有效质量为正
体积小、热惯性小、寿命长,广泛应用于自动控制。
2024/7/6
2
温差电偶:由温度差产生电势差
热端
电子或空穴密度 小
运动速度

n型

p型

冷端 大 小 负 正
T1 热端

1固体物理-晶体结构2

1固体物理-晶体结构2
/rotation-symmetry.html
32个点群

Cn (for cyclic)
n 主轴的重(次,度)数 h 含有水平镜面 (垂直于主轴) v 含有垂直镜面(包含主轴) i 含有中心反演
32个点群

பைடு நூலகம்
Sn (Spiegel, German for mirror)
Symmetry Elements and Operations
Symmetry Elements and Operations
对称操作元素间的依赖关系




①如果一个物体有两个镜面,则两镜面的交线是该物体的 一个转轴,若镜面夹角是π/n,则该轴为n度转轴 ②如果一个物体有一个n度转轴和包含该轴的一个镜面, 则该物体必有n个包含该轴的镜面,相邻镜面夹角为π/n ③如果一个物体有两个二度转轴,则必有与之垂直的转轴, 若两个二度转轴的夹角为π/n,则与之垂直的转轴为n度转 轴 ④如果一个物体有一个n度转轴,和一个与之垂直的二度 轴,则该物体必有与该n度轴垂直的n个二度轴,相邻两个 二度轴的交角为π/n ⑤一个偶数度轴、一个垂直于该轴的镜面以及一个反演中 心,若存在其中的两个,则必然存在第三个。
Number of Point Groups 2 3 3 5 7 7 5
Herman-Mauguin Point Group 1,1 2, m, 2/m 222, mm2, mmm 3,3, 32, 3m,3m 6,6, 6/m, 622, 6mm,62m, 6mm 4,4, 4/m, 422, 4mm,42m, 4/mmm 23, m3, 432,432, m3m
element symmetry plane operation reflection through plane symbol σ/m
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三维例子: 正点阵为简 单点阵,倒 易点阵也是 简单点阵。
正格子空间中长 的基矢a3对应于 倒格子空间短的 基矢b3,反之亦 然。推广,正格 子空间长的线条 对应于倒格子空 间短的线条。
正点阵为有心点阵时,倒易点阵也是有心点阵, 但有心类型可能不同,例如:体心立方点阵的倒格子 为面心立方点阵。
而面心立方点阵的倒格子为体心立方点阵。
倒易点阵仍是简立方点阵:
2π r 2π r 2π r b1 = i , b2 = j , b3 = k, a a a
所以倒格子也是布拉菲格子。 六角点阵: 六角点阵的倒易点阵: 见Ashcroft p88 c 轴方向不变,a 轴在垂直于c 轴的 平面上旋转30度。
正格子空间六方结构,在倒格子空间亦为六方结 构。不过其基矢尺寸关系发生变化,基矢方向也转了 一个角度。
现在定义 3个新的基矢 r r r b1 , b2 , b3构成一个新点阵: ( h,k,l 是整数。) 位移矢量
v v v a 2 × a3 b1 = 2π v v v a1 ⋅ (a2 × a3 ) v v v a3 × a1 b2 = 2π v v v a1 ⋅ (a 2 × a3 ) v v v a1 × a 2 b3 = 2π v v v a1 ⋅ (a2 × a3 )
1.4 倒易点阵和布里渊区
(Reciprocal lattice; Brillouin zones)
一. 定义 二. 倒易点阵和晶体点阵的关系 三. 倒易点阵的物理意义 四. 倒易点阵实例 五. 布里渊区
参考:黄昆书 1.3 节;p175-179; Kittel 8版 2.3 节
r r r 一. 定义:假设 a1 , a 2 , a 3 是一个晶体点阵的基矢,该点阵的 u r r r r r r r 格矢为:R n = n1 a1 + n1 a 2 + n1 a 3 原胞体积是: Ω = a1 g( a 2 × a 3 )
见黄昆书图4-13 (p179)
倒易点阵和14种晶体点阵是一一对应的,因 此也只有14种类型的倒易点阵和14种不同形状的 第一布里渊区。第一布里渊区的形状只与晶体的 布拉菲点阵的几何性质有关,与晶体的化学成分、 晶胞中的原子数目无关。 布里渊区是一个对称性原胞,它保留了相应 的布拉菲点阵的点群对称性。因此第一布里渊区 里依然可以划分为几个完全等同的区域。 对一种晶体来说,它的所有布里渊区都有同 样大小的体积,利用平移对称性可以找出第一布 里渊区和所有较高的布里渊区之间的全等性。
r b2
r a2 r a1 r b1
左图是一个二维斜方点阵和它的
r r r r 倒易点阵, b1 ⊥ a 2 , b 2 ⊥ a1 ,
r r r ur b 2 ga 2 = a 1 gb1 = 2π r r r r b1 ga 2 = b2 ga1 = 0
简立方点阵: r r r a1 = ai, a2 = a j, a3 = ak
ur r r r G hkl = hb1 + kb2 + lb3
就构成上面点阵的
倒易点阵,上面变换公式中出现的 2π 因子,对于晶体学 家来说并没有多大用处,但对于固体物理研究却带来了极 大的方便。倒易点阵的概念是Ewald 1921年在处理晶体X 射线衍射问题时首先引入的,对我们理解衍射问题极有帮 助,更是整个固体物理的核心概念。
1. 证明:根据矢量运算规则,从倒格矢定义即可说明。 2. 证明:
= 2π (n1h + n2 k + n3l ) = 2π m
u r ur r r r r r r R n gG hkl = (n1 a1 + n1 a 2 + n1 a 3 )g(hb1 + kb 2 + lb3 )
(m 为整数)
六方点阵布里渊区图
见黄昆书图4-24 (p194)
Kittel
(p28)
黄昆书图4-12(p179)
见黄昆书图4-12 (p179)
体心立方的Wigner-Seitz原胞及第一布里渊区
面心立方的Wigner-Seitz原胞及第一布里渊区
Kittel (p29),黄昆书图4-13(p179)
二. 倒易点阵和晶体点阵之间的关系:
倒易点阵是从晶体点阵(以后简称正点阵)中定义出的, 可以方便地证明它和正点阵之间有如下关系: v v b i ⋅ a j = 2 πδ ij 1. 两个点阵的基矢之间: 1, i = j δ ij = 0, i ≠ j
ur u r 2. 两个点阵的格矢之积是 2π 的整数倍: G h g R n = 2π m
ur r r r 4. 证明:先证明倒格矢 G h1 ,h2 ,h3 = h1 a1 + h2 a 2 + h3 a 3
与正格子的晶面系 ( h1h2 h3 ) 正交。 如图所示,晶面系 ( h1h2 h3 ) 中最靠近原点的晶面(ABC) r r r r r r 在正格子基矢 a1 , a 2 , a 3 的截距分别为: a1 , a 2 , a 3 h1 h2 h3
3. 两个点阵原胞体积之间的关系是:
4.
3 r r r (2 π ) Ω * = b1 g ( b 2 × b 3 ) = Ω ur 正点阵晶面族 ( h,k,l) 与倒易点阵格矢 G hkl 相互垂直,
ur r r r G hkl = hb1 + kb2 + lb3
且有:
d hkl
2π = ur G hkl
1.5 晶体结构的实验研究
一. 晶体中的衍射现象 二. 晶体衍射的几何理论 三. 实验方法简介 四. 影响衍射强度的因素 五. 研究实例 六. 电子衍射和中子衍射 七. 原子结构的直接观察: 参考 Kittel 8版 2.1 2.2 2.4 节
一. 晶体中的衍射现象:
虽然点群和空间群理论以及晶体点阵学说都是19世纪提出 的,但直到1912年Laue发现了晶体X射线衍射现象之后才得以从 实验上观测到晶体结构并证实了上述理论。普通光学显微镜受分 辨率的限制,无法观测原子排列,使用X光源,至今又没有可以 使X光聚焦的透镜,所以只能依靠衍射现象来间接观测晶体中的 原子排列。1982年扫描电子显微镜发明以来,直接观察晶体中 的原子排列已成为可能,但又由于物质对电子的强烈吸收作用, 目前也只能用于观察晶体表面原子的分布,所以至今为止,晶体 内部结构的观测还需要依靠衍射现象来进行。 目前常使用的方法,除去X射线衍射外,还有中子衍射和电 子衍射,三种方法原理相同,但各有所长,经常互相配合使用。 晶体衍射现象的重要性可以从多次获得Nobel物理学奖说明: 1914 Laue;1915 Bragg父子;1937 Davisson;1986 Binnig和 Rohrer;1994 Brockhouse和Shull.
ur uuu r G h1h2h3 2π = OAg ur = ur G h1h2h3 G h1h2h3
由此我们得出结论:倒易点阵的一个基矢是和正点阵晶格中 的一族晶面相对应的,它的方向是该族晶面的法线方向,而 它的大小是该族晶面面间距倒数的2π倍。又因为倒易点阵基 矢对应一个阵点,因而可以说:晶体点阵中的晶面取向和晶 面面间距这 2 个参量在倒易点阵里只用一个点阵矢量(或说 阵点)就能综合地表达出来。
上述第4点的图示。见Blakemore p70
r r r 5. 正点阵和倒易点阵是互易的:由正点阵 a1 , a 2 , a 3 给出倒易 r r r r r r 点阵 b1 , b 2 , b3 现假定 b1 , b 2 , b3 为正点阵,则其
倒易点阵根据定义为:
2π r r c1 = * (b2 × b3 ) Ω u r u r ur u r u r ur ur u ru r 利用三重矢积公式: A × ( B × C ) = B( AgC ) − C ( Ag B )
五. 布里渊区: 第一布里渊区的确定:取法和正点阵中Wigner-Seitz 原胞取法相同。它是倒易点阵的原胞。
布里渊区定义:在倒易点阵中,以某一格点为坐标原点,做所有 倒格矢的垂直平分面,倒易空间被这些平面分成许多包围原 点的多面体区域,这些区域称作布里渊区,其中最靠近原点 的平面所围成的区域称作第一布里渊区,第一布里渊区界面 与次远垂直平分面所围成的区域称作第二布里渊区,依次类 推得到二维正方格子的布里渊区图见下页。
于是:
ur uuu r uur uuu r 同理 G h1h2h3 gCB = 0 而且 CA, CB 都在(ABC)面上,
ur 所以 G h1h2h3 与晶面系 ( h1h2h3 ) 正交。
ur 晶面系的面间距就是原点到ABC面的距离,由于 G h1h2h3 ⊥ ( ABC )
可以证明:
d h1h2h3
2π r r (2π )2 r 可以得到: r r 2π r r b 2 × b3 = ( a 3 × a1 ) × ( a1 × a 2 ) = a1 Ω Ω Ω
*
r r r r r 2 3 Ω ⋅ Ω = b g ( b × b ) ⋅ Ω = (2 π ) ( a g b ) = (2 π ) 1 2 3 1 1 又因为:
r 用 k 表示从原点出发、端点落在布里渊区界面上的倒易空
间矢量,它必然满足方程: r ur
ur 由于布里渊区界面是某倒格矢 G 的垂直平分面,如果 1 2 k gG = G 2
该方程称作布里渊区的界面方程
正方点阵布里渊区
第二到第九Brillouin区约化到第一布里渊区
各布里渊区的形状,不管被分成多少部分,对原点都是对称的
四. 倒易点阵实例:
r r r r r r 显然 : b1 ⊥ a 2 , a 3 , b 2 ⊥ a 3 , a1 , r r r b 3 ⊥ a1 , a 2 ,
倒格子基矢是从点阵基矢引出的,它们之间的联系需要我 v v 们通过具体实例来理解:根据右面定义, v a2 × a3
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