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二项式定理高考题(含答案)精选全文

精选全文完整版（可编辑修改）二项式定理高考题(含答案)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN2二项式定理高考真题一、选择题1.（2012·四川高考理科·Ｔ1）相同7(1)x +的展开式中2x 的系数是（ D ）（A ）42 （B ）35 （C ）28 （D ）212.（2011·福建卷理科·Ｔ6）(1+2x )5的展开式中，x 2的系数等于（ B ）（A ）80 （B ）40 （C ）20 （D ）103.（2012·天津高考理科·Ｔ5）在5212x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的二项展开式中，x 的系数为（ D ） (A)10 (B)-10(C)40 (D)-40 4.（2011.天津高考理科.T5）在6的二项展开式中，2x 的系数为（ C ）（A ）154- （B ）154（C ）38- （D ）38 5.（2012·重庆高考理科·Ｔ4）821⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中常数项为( B ) (A)1635 (B)835 (C)435 (D)105 6.（2012·重庆高考文科·Ｔ4）5)31(x -的展开式中3x 的系数为( A )(A)270- (B)90- (C)90 (D)2707. (2013·大纲版全国卷高考理科·T7)()()8411++x y 的展开式中22x y 的系数是 ( D )A.56B.84C.112D.1688.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ8）512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ D ）（A ）-40 （B ）-20 （C ）20（D ）409. (2011·重庆高考理科·T4)n x )31(+(其中n N ∈且6≥n )的展开式中5x 与6x 的系数相等,则=n ( B ) (A)6 (B)7 (C)8(D)93 10．（2011·陕西高考理科·T4）6(42)x x --（x ∈R ）展开式中的常数项是（C ）（A ）20- （B ）15- （C ）15 （D ）20二、填空题11. （2013·天津高考理科·Ｔ10）6x ⎛- ⎝ 的二项展开式中的常数项为 15 . 12.（2011·湖北高考理科·T11）18x ⎛ ⎝的展开式中含15x 的项的系数为 17 .13.（2011·全国高考理科·Ｔ13）20的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为 0 .14.（2011·四川高考文科·Ｔ13）91)x +（的展开式中3x 的系数是 84 （用数字作答）.15.(2011·重庆高考文科·T11)6)21(x +的展开式中4x 的系数是 240 . 16.（2011·安徽高考理科·Ｔ12）设2121221021)1x a x a x a a x ++++=- （，则1110a a += 0 .17.（2011·广东高考理科·Ｔ10）72()x x x-的展开式中，4x 的系数是___84___ (用数字作答)18.（2011·山东高考理科·Ｔ14）若62x x ⎛- ⎝⎭的展开式的常数项为60，则常数a 的值为 4 .19.（2012·大纲版全国卷高考理科·Ｔ15）若n xx )1(+的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中21x的系数为__56_____. 20.（2013·安徽高考理科·Ｔ11）若8⎛+ ⎝x 的展开式中4x 的系数为7，则实数a ____12_____。

二项式定理高考试题及其答案总

高三数学二项式定理与性质试题答案及解析

高三数学二项式定理与性质试题答案及解析1.在二项式的展开式中，含的项的系数是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由二项式定理可知，展开式的通项为，则令得，所以含项的系数为，故选【考点】二项式定理.2.已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8等于()A．180B．90C．－5D．5【答案】A【解析】(1＋x)10＝[2－(1－x)]10，其通项公式为Tr＋1＝210－r·(－1)r(1－x)r，a8是r＝8时，第9项的系数．∴a8＝22(－1)8＝180.故选A.3.二项式(2－)6的展开式中所有有理项的系数和等于________．(用数字作答)【答案】365【解析】Tr＋1＝·(2)6－r·(－1)r·x－r＝(－1)r·26－r，r＝0,1,2,3,4,5,6，当r＝0,2,4,6时，Tr＋1＝(－1)r26－r为有理项，则所有有理项的系数和为26＋24＋22＋20＝365.4.已知(1＋kx2)6(k是正整数)的展开式中，x8的系数小于120，则k＝________.【答案】1【解析】由Tr＋1＝ (kx2)6－r＝k6－r x2(6－r)，得x8的系数为k4＝15k4，由15k4<120得k4<8，因为k为正整数，所以k＝1.5.的展开式中，的系数为15，则a=________.(用数字填写答案)【答案】【解析】因为，所以令，解得，所以=15，解得.【考点】本小题主要考查二项式定理的通项公式，求特定项的系数，题目难度不大，属于中低档. 6.的二项展开式中，的系数等于．【答案】15【解析】,时，,此时的系数等于.【考点】二项式系数7.二项式的展开式中系数最大的项是第项．【答案】9【解析】因为，而组合数中最大，所以展开式中系数最大的是，即第9项.【考点】组合数性质8.若（的展开式中第2项与第4项的二项式系数相等，则直线y=nx与曲线y=x2围成的封闭区域面积为（）A．B．12C．D．36【答案】C【解析】展开式中第二项与第四项的二项式系数相等，所以,那么,与围成的封闭图形区域为,故选C.【考点】1.二项式系数；2.定积分.9.的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为A．-40B．-20C．20D．40【答案】D【解析】令x=1得a=1.故原式=。

（完整版）二项式定理高考题（带答案）

1.2018年全国卷Ⅲ理】的展开式中的系数为A. 10B. 20C. 40D. 80【答案】C【解析】分析：写出，然后可得结果详解：由题可得，令,则，所以故选C.2.【2018年浙江卷】二项式的展开式的常数项是___________．【答案】7【解析】分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第r+1项，再根据项的次数为零解得r，代入即得结果.详解：二项式的展开式的通项公式为,令得，故所求的常数项为3.【2018年理数天津卷】在的展开式中，的系数为____________. 【答案】决问题的关键．4．【山西省两市2018届第二次联考】若二项式中所有项的系数之和为，所有项的系数的绝对值之和为，则的最小值为（）A. 2B.C.D. 【答案】B5．【安徽省宿州市2018届三模】的展开式中项的系数为__________．【答案】-132【解析】【解析】分析：分析：由题意结合二项式展开式的通项公式首先写出展开式，由题意结合二项式展开式的通项公式首先写出展开式，然后结合然后结合展开式整理计算即可求得最终结果.详解：的展开式为：，当，时，，当，时，，据此可得：展开式中项的系数为.6.【2017课标1，理6】621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为的系数为 A ．15 B ．20 C ．30 D ．35 【答案】C 【解析】试题分析：因为6662211(1)(1)1(1)(1)x x x x x++=⋅++⋅+，则6(1)x +展开式中含2x 的项为2226115C x x ⋅=，621(1)x x ⋅+展开式中含2x 的项为44262115C x x x⋅=，故2x 前系数为151530+=，选C. 情况，尤其是两个二项式展开式中的r 不同. 7.7.【【2017课标3，理4】()()52x y x y +-的展开式中x 3y 3的系数为的系数为A ．80- B ．40-C ．40 D ．80【答案】C 【解析】8.【2017浙江，13】已知多项式()1x +3()2x +2=5432112345xa x a x a x a x a +++++，则4a =________，5a =________．【答案计数. 9.【2017山东，理1111】】已知()13nx +的展开式中含有2x 项的系数是54，则n = . 【答案】4【解析】试题分析：由二项式定理的通项公式()1C3C 3rrr r rr nnx x +T ==⋅⋅，令2r =得：22C 354n⋅=，解得4n =．【考点】二项式定理10.【2015高考陕西，理4】二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =（）A ．4B ．5C ．6D ．7 【答案】C【解析】二项式()1nx +的展开式的通项是1C rr r nx +T=，令2r =得2x 的系数是2C n，因为2x 的系数为15，所以2C 15n=，即2300n n --=，解得：6n =或5n =-，因为n +∈N ，所以6n =，故选C ．【考点定位】二项式定理．【名师点晴】【名师点晴】本题主要考查的是二项式定理，本题主要考查的是二项式定理，本题主要考查的是二项式定理，属于容易题．属于容易题．属于容易题．解题时一定要抓住重解题时一定要抓住重要条件“n +∈N ”，否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是二项式定理，即二项式()na b +的展开式的通项是1C kn kkk n ab -+T =．11.【2015高考新课标1，理10】25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为( )（A ）10 （B ）20 （C ）30 （D ）60 【答案】C12.【2015高考湖北，理3】已知(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（）A.122 B．112 C ．102D ．92【答案】D【解析】因为(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以73nn C C =，解得10=n ，所以二项式10(1)x +中奇数项的二项式系数和为9102221=⨯.13.【2015高考重庆，理12】5312xx ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中8x 的系数是________(用数字作答). 【答案】52【解析】二项展开式通项为71535215511()()()22k k kkkk k T C x C xx--+==，令71582k -=，解得2k =，因此8x 的系数为22515()22C =.14.【2015高考广东，理9】在4)1(-x 的展开式中，x 的系数为 . 【答案】6．【解析】由题可知()()()44214411r rr rrr r T CxC x--+=-=-，令412r-=解得2r =，所以展开式中x 的系数为()22416C -=，故应填入6．【名师点睛】涉及二项式定理的题，一般利用其通项公式求解.15.【2015高考天津，理12】在614xx ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为 . 【答案】1516【解析】614xx ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为6621661144r rr r r rr T C x C x x --+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由622r -=得2r =，所以222236115416T C x x ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，所以该项系数为1516. 16.【2015高考新课标2，理15】4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，则a =__________．【答案】3【解析】由已知得4234(1)1464x x x x x +=++++，故4()(1)a x x ++的展开式中x 的奇数次幂项分别为4ax ，34ax ，x ，36x ，5x ，其系数之和为441+6+1=32a a ++，解得3a =．【考点定位】二项式定理．17.【2015高考湖南，理6】已知5ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中含32x 的项的系数为30，则a =（）A.3B.3-C.6 D-6 【答案】D.18.【2015高考上海，理11】在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为（结果用数值表示）．【答案】45【解析】因为10101019102015201520151111(1)(1)(1)x x x C x x x x ⎛⎫⎛⎫++=++=++++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭L ，所以2x 项只能在10(1)x +展开式中，即为8210C x ，系数为81045.C =19.（2016年北京高考）在6(12)x -的展开式中，2x 的系数为__________________.（用数字作答）字作答）【答案】60.20.（2016年山东高考）若（a x2+1x）5的展开式中x5的系数是—80，则实数a=_______. 【答案】-221.（2016年上海高考）在nxx⎪⎭⎫⎝⎛-23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________ 【答案】11222.（2016年四川高考）设i为虚数单位，则6(i)x+的展开式中含x4的项为的项为（A）－15x4（B）15x4（C）－20i x4（D）20i x4【答案】A23.（2016年天津高考）281()xx-的展开式中x2的系数为__________.(用数字作答)【答案】56-24.（2016年全国I高考）5(2)x x+的展开式中，x3的系数是的系数是 .（用数字填写答案）案）【答案】10。

（完整版）二项式定理（习题含答案）

（完整版）⼆项式定理（习题含答案）⼆项式定理⼀、求展开式中特定项 1、在的展开式中，的幂指数是整数的共有（） A ．项 B ．项 C ．项 D ．项【答案】C 【解析】，，若要是幂指数是整数，所以0，6，12，18，24，30，所以共6项，故选C ．3、若展开式中的常数项为．（⽤数字作答）【答案】10【解】由题意得，令，可得展⽰式中各项的系数的和为32，所以，解得，所以展开式的通项为，当时，常数项为， 4、⼆项式的展开式中的常数项为．【答案】112【解析】由⼆项式通项可得，（r=0,1,,8）,显然当时，，故⼆项式展开式中的常数项为112.5、的展开式中常数项等于________．【答案】．【解析】因为中的展开式通项为，当第⼀项取时，，此时的展开式中常数为；当第⼀项取时，，此时的展开式中常数为；所以原式的展开式中常数项等于，故应填． 6、设，则的展开式中常数项是．【答案】 332，30x 4567()r r rrr r x C x x C T 6515303303011--+?==30......2,1,0=r =r 2531()x x+1x =232n =5n =2531()x x+10515r rr T C x -+=2r =2510C=82)x3488838122rrr r rr r x C xx C --+-=-=)()()(T 2=r 1123=T 41(2)(13)x x--1441(2)(13)x x--4(13)x -4C (3)r rx -204C 1=21x-14C (3)12x -=-12141420sin 12cos 2x a x dx π=-+()622x ??+ ?332=-()200sin 12cos sin cos (cos sin )202x a x dx x x dx x x πππ??=-+=+=-+= ??的展开式的通项为，所以所求常数项为．⼆、求特定项系数或系数和7、的展开式中项的系数是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由通式，令，则展开式中项的系数是．8、在x （1+x ）6的展开式中，含x 3项的系数是．【答案】15【解】的通项，令可得．则中的系数为15.9、在的展开式中含的项的系数是．【答案】-55【解析】的展开式中项由和两部分组成，所以的项的系数为． 10、已知，那么展开式中含项的系数为．【答案】135【解析】根据题意，，则中，由⼆项式定理的通项公式，可设含项的项是，可知，所以系数为．11、已知，则等于（）A ．－5B ．5C ．90D ．180【答案】D 因为，所以等于选Ｄ．12、在⼆项式的展开式中，只有第5项的⼆项式系数最⼤，则________；展开式中的第4项＝_______．6(=6663166((1)2r r r r r rr r T C C x ---+==-??3633565566(1)22(1)2T C C --=-??+-?332=-8()x 62x y 5656-2828-r r r y x C )2(88--2=r 62x y 56)2(228=-C ()61x +16r r r T C x +=2r =2615C =()61x x +3x 6(1)(2)x x -?-3x 6(1)(2)x x -?-3x 336)(2x C -226)(x -x C -?）（3x 552-2636-=-C C dx xn 16e 1=nx x ）（3-2x 66e111ln |6e n dx x x=?==n x x ）（3-1r n r r r n T C a b -+=2x 616(3)r rr r T C x -+=-2r =269135C ?=()()()()10210012101111x a a x a x a x +=+-+-++-L 8a 1010(1)(21)x x +=-+-8a8210(2)454180.C -=?=1)2nx =n【答案】，．【解析】由⼆项式定理展开通项公式，由题意得，当且仅当时，取最⼤值，∴，第4项为． 13、如果，那么的值等于（）（A ）－1 （B ）－2 （C ）0 （D ）2 【答案】A【解析】令，代⼊⼆项式，得，令，代⼊⼆项式，得，所以，即，故选A ．14、（﹣2）7展开式中所有项的系数的和为【答案】-1 解：把x=1代⼊⼆项式，可得（﹣2）7 =﹣1， 15、（x ﹣2）（x ﹣1）5的展开式中所有项的系数和等于【答案】0 解：在（x ﹣2）（x ﹣1）5的展开式中，令x=1，即（1﹣2）（1﹣1）5=0，所以展开式中所有项的系数和等于0. 16、在的展开式中，所有项的系数和为，则的系数等于．【答案】【解析】当时，，解得，那么含的项就是，所以系数是-270. 17、设，若，则．【答案】0. 【解析】由81937x -21()(2)33111()()22n r n r r r r r r r nn T C x x C x -++=-?=-4n =r n C 8n =119(163)333381()72C x x +-=-7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 017a a a +++L 1x =7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 70127(12)1 a a a a -=++++=-L 0x =7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 70(10)1a -==12711a a a ++++=-L 1272a a a +++=-L *3)()n n N -∈32-1x 270-1=x ()322--=n5=n x1()x x C 1270313225-=-(sin cos )k x x dx π=-?8822108)1(x a x a x a a kx ++++=-K 1238a a a a ++++=0(sin cos )(cos sin )k x x dx x x ππ=-=--?，令得：，即再令得：，即所以18、设（5x ﹣）n 的展开式的各项系数和为M ，⼆项式系数和为N ，若M ﹣N=240，则展开式中x 的系数为 . 【答案】150解：由于（5x ﹣）n 的展开式的各项系数和M 与变量x ⽆关，故令x=1，即可得到展开式的各项系数和M=（5﹣1）n =4n ．再由⼆项式系数和为N=2n ，且M ﹣N=240，可得 4n ﹣2n =240，即 22n ﹣2n ﹣240=0. 解得 2n =16，或 2n =﹣15（舍去），∴n=4. （5x ﹣）n 的展开式的通项公式为 T r+1=（5x ）4﹣r ？（﹣1）r ？=（﹣1）r ？54﹣r ？．令4﹣=1，解得 r=2，∴展开式中x 的系数为（﹣1）r54﹣r=1×6×25=150，19、设，则．【答案】【解析】，所以令，得到，所以三、求参数问题20、若的展开式中第四项为常数项，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据⼆项式展开公式有第四项为，第四项为常数，则必有，即，所以正确选项为B. 21、⼆项式的展开式中的系数为15，则（）(cos sin )(cos0sin 0)2ππ=-----=1x =80128(121)a a a a -?=++++K 01281a a a a ++++=K 0x =80128(120)000a a a a -?=+?+? ++?K 01a =12380a a a a ++++=8877108)1(x a x a x a a x ++++=-Λ178a a a +++=L 255178a a a +++=L 87654321a a a a a a a a +-+-+-+-1-=x =82876543210a a a a a a a a a +-+-+-+-2551256-20887654321=-==+-+-+-+-a a a a a a a a a nn =456725333342)21()(---==n nn nxC xx C T 025=-n 5=n )()1(*N n x n ∈+2x =nA 、5B 、 6C 、8D 、10 【答案】B【解析】⼆项式的展开式中的通项为，令，得，所以的系数为，解得；故选B ． 22、(a ＋x)4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a ＝________．【答案】2【解析】∵，∴当，即时，． 23、若的展开式中的系数为10，则实数（） A1 B ．或1 C ．2或 D ．【答案】B．【解析】由题意得的⼀次性与⼆次项系数之和为14，其⼆项展开通项公式，∴或，故选B ． 24、设，当时，等于（）A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】C ．【解析】令，则可得，故选C ．四、其他相关问题25、20152015除以8的余数为( ) 【答案】7【解析】试题分析：先将幂利⽤⼆项式表⽰，使其底数⽤8的倍数表⽰，利⽤⼆项式定理展开得到余数．试题解析：解：∵20152015=2015=？20162015﹣？20162014+20162013﹣20162012+…+2016﹣，故20152015除以8的余数为﹣=﹣1，即20152015除以8的余数为7，)()1(*N n x n ∈+k n kn k x C T -+?=12=-k n 2-=n k 2x 152)1(22=-==-n n C C n n n 6=n 4r+14T =C r r r a x-43r -=1r =133324T =C 48,2ax ax x a ==∴=()()411x ax ++2x a =53-53-4(1)ax +14r r rr T C a x +=22144101C a C a a +=?=53-23(1)(1)(1)(1)n x x x x ++++++++2012n n a a x a x a x =++++012254n a a a a ++++=n 1x =2 312(21)22222225418721n nn n n +-++++==-=?+=?=-。

高考专题二项式定理(全解析)

1 / 4二项式定理一、选择题1．（求项的系数）5(2x +的展开式中，4x 的系数是( )A ．40B ．60C ．80D ．100【答案】C【解析】5(2x二项展开式的通项为5552155(2)2k k kkk kk T C x C x---+=⋅⋅=⋅⋅．令542k-=，得2k =．因此，二项展开式中4x 的系数为235280C ⋅=，故选C ．2．（知常数项求某一项的系数）若在(a +3x )(1−√x 3)8关于x 的展开式中，常数项为4，则x 2的系数是（） A ．56 B ．-56 C ．112 D ．-112【答案】B【解析】由题意得(1−√x 3)8展开式的通项为T r+1=C 8r (−√x 3)r=(−1)r C 8r x r3，r =0,1,2,⋯,8， ∴(a +3x )(1−√x 3)8展开式的常数项为(−1)0C 8⋅a =a =4， ∴(4+3x )(1−√x 3)8展开式中x 2项为4⋅(−1)6C 86x 63+3x ⋅(−1)3C 83x 33=−56x 2∴展开式中x 2的系数是−56. 故选B3．（直常数项求参数）若6ax ⎛- ⎝展开式的常数项为60，则a 值为( )A ．4B ．4±C ．2D ．2±【答案】D【解析】因为6ax ⎛ ⎝展开式的通项为()()3666622166T 11k k k k k k k k k k C a x x C a x -----+=-=-，令3602k -=，则4k =，所以常数项为()44646160C a --=，即21560a =，所以2a =±. 故选D2 / 44．（奇数项系数的和）记6260126(1)(1)(1)...(1)x a a x a x a x -=+++++++，则0246a a a a +++=（）A ．81B ．365C ．481D ．728【答案】B【解析】令x=0得1=0126...a a a a ++++，令x=-2得601234563=a a a a a a a -+-+-+，所以0246a a a a +++=1+729=3652. 故选B5．（由系数二项式系数的和求参数）已知n的展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于 A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【答案】C【解析】二项式n的各项系数的和为()1+34n n=，二项式n的各项二项式系数的和为()1+12n n=，因为各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，所以4=2642n nn =，6n =，故选C ．二、填空题6．（集合关系判断）若)22nx -展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是____．【答案】180【解析】因为)22nx -展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以10n =，展开式的通项公式为5510221101022r rrr rrr r TC xC x---+=⋅⋅⋅=⋅⋅，令5502r-=，解得3 / 42r，所以展开式的常数项为22101280C ⋅=.7．（求系数最大项）61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，系数最大的项为第__________项．【答案】3或5【解析】61x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中系数与二项式系数只有符号差异，又中间项的二项式系数最大，中间项为第4项其系数为负，则第3，5项系数最大. 8．（二项展开式系数的性质应用）在()()25132x x +-的展开式中，所有的奇次幂的系数和为__________．【答案】478- 【解析】设()()25223456701234567132x x a a x a x a x a x a x a x a x +-=+++++++令1x =，得：0123456716a a a a a a a a =+++++++……① 令1x =-，得：01234567972a a a a a a a a =-+-+-+-……② ①-②得：()13579562a a a a -=+++ 解得：1357478a a a a +++=- 本题正确结果：478-9．（二项式与数列）已知数列{}n a 满足11a k=，k *∈N ，[]n a 表示不超过n a 的最大整数（如[]1,61=，记[]n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n T ）.①若数列{}n a 是公差为1的等差数列，则4T =__________； ②若数列{}n a 是公比为1k +的等比数列，则n T =__________．【答案】6 ()211nk kn k+--【解析】①若数列{}n a 是公差为1的等差数列，且11a k =，*2k k N ≥∈，，则11(1,)n a n n n k=+-∈-，所以[]1n n b a n ==-，则401236T =+++=；故填6.4 / 4②若数列{}n a 是公比为1k +的等比数列，且11a k=，*2k k N ≥∈，，则 1112131211(1)(1)n n n n n n n a k k C k C kk k------=⋅+=⋅+++⋅⋅⋅+，则213111n n k n n n b k C k C -----=++⋅⋅⋅+， 221311101(2)(33)()n n k n n n T k k k k C k C -----=+++++++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+22223332341451[123(1)](1?)(1)n n n n C C C k C C C k---=+++⋅⋅⋅+-++++⋅⋅+++++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+3422(1))2n n n n n n n C k C k C k --=+++⋅⋅⋅+ 223321()n n n n n C k C k C k k =++⋅⋅⋅+ 21[(1)1]n k nk k =+--；故填21[(1)1]n k nk k+--. 10．（二项式与函数）已知二进制和十进制可以相互转化，例如65432108912021212020212=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，则十进制数89转化为二进制数为2(1011001).将n 对应的二进制数中0的个数，记为n a （例如：24(100)=，251(110011)=，289(1011001)=，则42a =，512a =，893a =），记()2n a f n =，则2018201820182019(2)(21)(22)...(21)f f f f ++++++-=__________．【答案】20183【解析】由题意得20182018201820192212221++-，，，，共201920182018222-=个数中所有的数转换为二进制后，总位数都为2019，且最高位都为1而除最高位之外的剩余2018位中，每一位都是0或者1 设其中的数x ，转换为二进制后有k 个0（0k 2018≤≤） ∴()2kf x =在这20182个数中，转换为二进制后有k 个0的数共有2018kC 个 ∴()()()()201820182018201820192018022122 (2)12k kk f f f f C =++++++-=∑由二项式定理，()201820182018201802123k kk C ==+=∑。

高三数学二项式定理与性质试题答案及解析

高三数学二项式定理与性质试题答案及解析1. S＝＋＋…＋除以9的余数为()A．8B．7C．6D．5【答案】B【解析】依题意S＝＋＋…＋＝227－1＝89－1＝(9－1)9－1＝×99－×98＋…＋×9－－1＝9(×98－×97＋…＋)－2.∵×98－×97＋…＋是正整数，∴S被9除的余数为7.2.的二项展开式中，的系数等于．【答案】15【解析】,时，,此时的系数等于.【考点】二项式系数3.的二项展开式中，常数项为______．【答案】【解析】二项式的通项，令，得，故展开式中常数项为．【考点】二项式定理．4.设，若，则（）A．-1B．0C．l D．256【答案】B【解析】，令，则有，又令得，，故．【考点】定积分，二项展开式的系数．)的展开式中含有常数项的最小的n为( )5.使n(n∈N＋A．4B．5C．6D．7【答案】B【解析】T＋1＝3x)n－r＝3n－r xn－r，当T r＋1是常数项时，n－r＝0，当r＝2，rn＝5时成立．6.使的展开式中含有常数项的最小的n为( )A．4B．5C．6D．7【答案】B【解析】此二项式之通项为若是常数，则，即．当，1时，，不满足条件；当时,,所以常数项的最小的．7.已知二项式的展开式中第2项为常数项，其中，且展开式按的降幂排列．（1）求及的值．（2）数列中，，，，求证：能被4整除．【答案】（1），；（2）)证明过程详见解析.【解析】（1）由展开式中第2项为常数项，则可根据二项式展开式的第2项展开式中未知数的指数为0，从而求出的值，将的值代回第2项展式可求出的值；（2）可利用数学归纳法来证明，①当时，，，能被4整除，显然命题成立；②假设当n=k时，能被4整除，即．那么当n =k+1时，===显然是非负整数，能被4整除．由①、②可知，命题对一切都成立．试题解析：（1）， 2分故，，． 4分（2）证明：①当时，，，能被4整除．②假设当n=k时，能被4整除，即，其中p是非负整数．那么当n =k+1时，===显然是非负整数，能被4整除．由①、②可知，命题对一切都成立． 10分【考点】1.二项式定理；2.数学归纳法.8.已知展开式各项的系数和比各项的二次式系数和大992，则展开式中系数最大的项是第项．【答案】5【解析】各项的系数和令,为,二项式系数和为,所以,解得,设展开式中第项的系数最大，则,, 所以,故是第5项.【考点】二项式展开式的系数与二项式系数9.在(x－)10的展开式中，x6的系数是________．【答案】1890【解析】T＋1＝x10－r(－)r，令10－r＝6，r＝4，T5＝9x6＝1890x6.r10.已知关于的展开式中，二项式系数和等于512，则展开式的系数之和为 .【答案】【解析】因为展开式中二项式系数和等于512，所以因此展开式的系数之和为【考点】二项展开式中二项式系数及项的系数11.已知关于的展开式中，只有第项的二项式系数最大，则展开式的系数之和为 .【答案】【解析】因为只有第项的二项式系数最大，所以因此展开式的系数之和为【考点】二项式系数性质12.在的二项展开式中，按的降幂排列，只有第项的系数最大，则各项的二项式系数之和为________（答案用数值表示）.【答案】256【解析】由的二项展开式中，项的系数与二项式系数相等，因为只有第项的系数最大.即第五项的二项式系数最大.所展开式中共有9项，即.各项的二项式系数之和为.【考点】1.二项式定理展开式公式.2.二项式系数与二次项系数的关系.3.二项式系数的大小分布.13.二项式的展开式中的常数项是 .【答案】15【解析】二项式的展开式中的常数项是.【考点】二项式定理.14.的展开式中，常数项是______________.【答案】【解析】由二项式定理得，，令，得，故展开式中的常数项为．【考点】二项式定理.15. (2x-1)5的展开式x3项的系数是__________.(用数字作答)【答案】80【解析】根据二项式定理可得(2x-1)5的第项展开式为,则n=3时，得到展开式x3项为,所以系数为80，故填80【考点】二项式定理16.二项展开式中的常数项为( )A．56B．-56C．112D．-112【答案】C【解析】∵，∴令，即，∴常数项为，选C.【考点】二项式定理.17.设(1+x)n=a0+a1x+…+anx n,若a1+a2+…+an=63,则展开式中系数最大的项是()A．15x2B．20x3C．21x3D．35x3【答案】B【解析】令x=1,则(1+1)n=++…+=64.∴n=6.故(1+x)6的展开式中系数最大的项为T4=x3=20x3.18. (x ＋2)8的展开式中x 6的系数是( ) A ．28 B ．56C ．112D ．224【答案】C【解析】该二项展开式的通项为T r ＋1＝x 8－r 2r ＝2rx 8－r ，令r ＝2，得T 3＝22x 6＝112x 6，所以x 6的系数是112. 19. 设的展开式的各项系数之和为，二项式系数之和为，若，则展开式中的常数项_________．【答案】-20 【解析】依题意，，解得，．令得．故常数项为．故填-20【考点】二项式定理 20. 5展开式中的常数项为( )．A ．80B ．－80C ．40D ．－40【答案】C【解析】T r ＋1＝C 5r (x 2)5－rr＝C 5r (－2)r x 10－5r ，令10－5r ＝0得r ＝2.∴常数项为T 3＝C 52(－2)2＝40.21. 若（其中、为有理数），则 .【答案】169【解析】应用二项式定理把展开化简即可得，．【考点】二项式定理．22. 若4＝a ＋b (a ，b 为有理数)，则a ＋b ＝( )． A ．36 B ．46 C ．34D ．44【答案】D【解析】二项式的展开式为1＋()1＋()2＋()3＋()4＝1＋4＋18＋12＋9＝28＋16，所以a ＝28，b ＝16，a ＋b ＝28＋16＝44.23. 设(1－x )(1＋2x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，则a 2＝________. 【答案】30【解析】(1＋2x )5的展开式的通项公式为T k ＋1＝(2x )k ＝·2k ·x k ，所以x 2的系数为1×·22－·21＝30，即a 2＝30. 24. 若展开式的常数项是60，则常数a 的值为．【答案】4 【解析】展开式的常数项是.【考点】二项式定理.25.二项式的展开式中，含的项的系数是___________.【答案】-126【解析】利用二项展开式通项公式可得，，令，可得，代入可得所求系数为．【考点】二项展开式通项公式．26.二项式的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，则其常数项是．【答案】70【解析】因为二项式的展开式中，仅有第5项的二项式系数最大，所以，由的展开式中，常数项为，令，，所以，常数项是，答案为.【考点】二项式定理，二项式系数的性质.27.在的展开式中，若第项的系数为，则 .【答案】【解析】由可得.【考点】二项式定理展开式28.若展开式中各项的二项式系数之和为32，则该展开式中含的项的系数为【答案】－80【解析】由题意可知，，所以n=5，T=，由解得，所以该展开式中含的项的系数为=-80.【考点】二项定理及其性质.29.设函数,则当时,表达式的展开式中常数项为（）A．-15B．20C．-20D．15【答案】C【解析】当时, .所以常数项为.【考点】二项式定理.30.若展开式的常数项是，则常数的值为 .【答案】4【解析】，由,得，所以,解得.【考点】二项式定理.31.求展开式中的常数项．【答案】15【解析】在二项式展开式的通项中，令的指数为0，可求得常数项所在的项数，进而求出常数项.试题解析：展开式的通项公式为，令,得，故该展开式中的常数项为．【考点】二项式定理.32.在二项式的展开式中，常数项为_________. （用数字作答）【答案】160【解析】通项，令，则，故常数项为.【考点】二项式定理.33.二项式的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )A．180B．90C．45D．360【答案】A【解析】因为的展开式中只有第六项的二项式系数最大，所以，，令，则，.【考点】1.二项式定理；2.组合数的计算.34.的展开式中含的项的系数为 (用数字作答).【答案】.【解析】的展开式中第项为，令，解得，故的展开式中含的项的系数为.【考点】二项式定理35.若，则的值为（）A．40B．-40C．80D．-80【答案】B【解析】即，所以，-40，故选B。

2023年高考数学真题分训练排列组合、二项式定理(理)(含答案含解析)

专题 30 排列组合、二项式定理（理）年份题号考点考查内容2011 理 8 二项式定理二项式定理的应用，常数项的计算 2023 理 2排列与组合简单组合问题卷 1 理 9 二项式定理二项式定理的应用以及组合数的计算 2023卷 2理 5 二项式定理二项式定理的应用卷 1 理 13 二项式定理二项式展开式系数的计算2023卷 2 理 13 二项式定理二项式展开式系数的计算卷 1 理 10 二项式定理三项式展开式系数的计算2023卷 2 理 15 二项式定理二项式定理的应用卷 1 理 14 二项式定理二项式展开式指定项系数的计算卷 2 理 5 排列与组合计数原理、组合数的计算2023卷 3理 12 排列与组合计数原理的应用卷 1 理 6 二项式定理二项式展开式系数的计算卷 2 理 6 排列与组合排列组合问题的解法2023卷 3理 4 二项式定理二项式展开式系数的计算卷 1 理 15 排列与组合排列组合问题的解法2023 卷 3 理 5 二项式定理二项式展开式指定项系数的计算2023卷 3 理 4 二项式定理利用展开式通项公式求展开式指定项的系数卷 1 理 8 二项式定理利用展开式通项公式求展开式指定项的系数2023 卷 3理 14二项式定理利用展开式通项公式求展开式常数项考点出现频率2023 年预测考点 102 两个计数原理的应用 23 次考 2 次考点 103 排列问题的求解 23 次考 0 次考点 104 组合问题的求解23 次考 4 次考点 105 排列与组合的综合应用 23 次考 2 次考点 106 二项式定理23 次考 11 次命题角度：(1)分类加法计数原理；(2)分步乘法计数原理；(3)两个计数原理的综合应用．核心素养：数学建模、数学运算考点102 两个计数原理的应用1．(2023 全国II 理)如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为A．24 B．18 C．12 D．9（答案）B（解析）由题意可知E →F 有6 种走法，F →G 有3 种走法，由乘法计数原理知，共有6 ⨯ 3 = 18 种走法，应选B．2．(2023 新课标理1 理)4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为A.18B.3824 - 2 7C.58D.78（答案）D（解析）P ==．24 83．(2023 湖北理)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数．如22，121，3443，94249 等．显然2位回文数有9 个：11，22，33，…，99．3 位回文数有90 个：101，111，121，…，191，202，…，999．则(Ⅰ)4 位回文数有个；(Ⅱ) 2n +1 (n ∈N+) 位回文数有个．（解析）(Ⅰ)4 位回文数只用排列前面两位数字，后面数字就可以确定，但是第—位不能为0，有9(1~9)种情况，第二位有10(0~9)种情况，所以4 位回文数有9 ⨯10 = 90 种．答案：90(Ⅱ)解法一：由上面多组数据研究发觉，2n +1 位回文数和2n + 2 位回文数的个数相同，所以可以算出2n + 2位回文数的个数．2n + 2 位回文数只用看前n +1位的排列情况，第—位不能为0 有9 种情况，后面n 项每项有10 种情况，所以个数为9 ⨯10n ．解法二：可以看出2 位数有9 个回文数，3 位数90 个回文数。

(完整版)二项式定理(习题含答案)

二项式定理一、求展开式中特定项1、在30的展开式中，x 的幂指数是整数的共有（）A ．4项 B ．5项 C ．6项 D ．7项【答案】C【解析】()r r rrr r x C x x C T 6515303303011--+⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅=，30......2,1,0=r ，若要是幂指数是整数，所以=r 0，6，12，18，24，30，所以共6项，故选C ． 3、若2531()x x +展开式中的常数项为．（用数字作答）【答案】10【解】由题意得，令1x =，可得展示式中各项的系数的和为32，所以232n =，解得5n =，所以2531()x x +展开式的通项为10515r r r T C x -+=，当2r =时，常数项为2510C =，4、二项式82x的展开式中的常数项为．【答案】112【解析】由二项式通项可得，3488838122rrr r rr r x C xx C --+-=-=)()()(T （r=0,1,,8）,显然当2=r 时，1123=T ，故二项式展开式中的常数项为112.5、41(23)x x--的展开式中常数项等于________．【答案】14．【解析】因为41(2)(13)x x--中4(13)x -的展开式通项为4C (3)r r x -，当第一项取2时，04C 1=，此时的展开式中常数为2；当第一项取1x-时，14C (3)12x -=-，此时的展开式中常数为12；所以原式的展开式中常数项等于14，故应填14．6、设20sin 12cos 2x a x dx π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰，则()622x ⎛-⋅+ ⎝的展开式中常数项是．【答案】332=-332()200sin 12cos sin cos (cos sin )202x a x dx x x dx x x πππ⎛⎫=-+=+=-+= ⎪⎝⎭⎰⎰，6(=6的展开式的通项为663166((1)2r r rr r r r r T C C x ---+==-⋅⋅，所以所求常数项为3633565566(1)22(1)2T C C --=-⋅⋅+-⋅332=-．二、求特定项系数或系数和7、8()x -的展开式中62x y 项的系数是（）A ．56B ．56-C ．28D ．28-【答案】A【解析】由通式r r r y x C )2(88--，令2=r ，则展开式中62x y 项的系数是56)2(228=-C ．8、在x （1+x ）6的展开式中，含x 3项的系数是．【答案】15【解】()61x +的通项16r rr T C x +=，令2r =可得2615C =．则()61x x +中3x 的系数为15.9、在6(1)(2)x x -⋅-的展开式中含3x 的项的系数是．【解析】6(1)(2)x x -⋅-的展开式中3x 项由336)(2x C -和226)(x -x C -⋅）（两部分组成，所以3x 的项的系数为552-2636-=-C C ．10、已知dx x n 16e 1⎰=，那么nxx （3-展开式中含2x 项的系数为．【答案】135【解析】根据题意，66e111ln |6e n dx x x=⎰==，则n x x ）（3-中，由二项式定理的通项公式1r n r rr n T C a b -+=，可设含2x 项的项是616(3)r r r r T C x -+=-，可知2r =，所以系数为269135C ⨯=．11、已知()()()()10210012101111x a a x a x a x +=+-+-++-L ，则8a 等于（）A ．－5B ．5C ．90D ．180【答案】D 因为1010(1)(21)x x +=-+-，所以8a 等于8210(2)454180.C -=⨯=选Ｄ．12、在二项式1)2nx -的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则=n ________；展开式中的第4项＝_______．【答案】8，1937x -．【解析】由二项式定理展开通项公式21()(2)33111()()22n r n r r r r r rr nn T C x x C x -++=-⋅=-，由题意得，当且仅当4n =时，rn C 取最大值，∴8n =，第4项为1193)333381()72C x x +-=-．13、如果7270127(12)x a a x a x a x -=++++ ，那么017a a a +++ 的值等于（）（A ）－1 （B ）－2 （C ）0 （D ）2【解析】令1x =，代入二项式7270127(12)x a a x a x a x -=++++ ，得70127(12)1a a a a -=++++=- ，令0x =，代入二项式7270127(12)x a a x a x a x -=++++ ，得70(10)1a -==，所以12711a a a ++++=- ，即1272a a a +++=- ，故选A ．14、（﹣2）7展开式中所有项的系数的和为【答案】-1 解：把x=1代入二项式，可得（﹣2）7 =﹣1，15、（x﹣2）（x﹣1）5的展开式中所有项的系数和等于【答案】0解：在（x﹣2）（x﹣1）5的展开式中，令x=1，即（1﹣2）（1﹣1）5=0，所以展开式中所有项的系数和等于0.16、在*3)()n n N ∈的展开式中，所有项的系数和为32-，则1x 的系数等于．【答案】270-【解析】当1=x 时，()322--=n，解得5=n ，那么含x1的项就是()x x C 1270313225-=-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯，所以系数是-270.17、设0(sin cos )k x x dx π=-⎰，若8822108)1(x a x a x a a kx ++++=- ，则1238a a a a +++⋅⋅⋅+= ．【答案】0.【解析】由0(sin cos )(cos sin )k x x dx x x ππ=-=--⎰(cos sin )(cos 0sin 0)2ππ=-----=，令1x =得：80128(121)a a a a -⨯=++++ ，即01281a a a a ++++= 再令0x =得：80128(120)000a a a a -⨯=+⨯+⨯++⨯ ，即01a =所以12380a a a a +++⋅⋅⋅+=18、设（5x﹣）n 的展开式的各项系数和为M ，二项式系数和为N ，若M﹣N=240，则展开式中x 的系数为 .【答案】150解：由于（5x﹣）n 的展开式的各项系数和M 与变量x 无关，故令x=1，即可得到展开式的各项系数和M=（5﹣1）n =4n ．再由二项式系数和为N=2n ，且M﹣N=240，可得 4n ﹣2n =240，即 22n ﹣2n ﹣240=0.解得 2n =16，或 2n =﹣15（舍去），∴n=4.（5x﹣）n 的展开式的通项公式为 T r+1=？（5x ）4﹣r ？（﹣1）r ？=（﹣1）r？54﹣r ？．令4﹣=1，解得 r=2，∴展开式中x 的系数为（﹣1）r？54﹣r =1×6×25=150，19、设8877108)1(x a x a x a a x ++++=- ，则178a a a +++= ．【答案】255【解析】178a a a +++= 87654321a a a a a a a a +-+-+-+-，所以令1-=x ，得到=82876543210a a a a a a a a a +-+-+-+-，所以2551256-20887654321=-==+-+-+-+-a a a a a a a a a 三、求参数问题20、若n的展开式中第四项为常数项，则n =（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】根据二项式展开公式有第四项为2533333342)21()(---==n nn nxC xx C T ，第四项为常数，则必有025=-n ，即5=n ，所以正确选项为B.21、二项式)()1(*N n x n ∈+的展开式中2x 的系数为15，则=n （）A 、5 B 、 6 C 、8 D 、10【答案】B【解析】二项式)()1(*N n x n ∈+的展开式中的通项为k n kn k x C T -+⋅=1，令2=-k n ，得2-=n k ，所以2x 的系数为152)1(22=-==-n n C C n n n ，解得6=n ；故选B ．22、(a ＋x)4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a ＝________．【答案】2【解析】∵4r+14T =C r r r a x -，∴当43r -=，即1r =时，133324T =C 48,2ax ax x a ==∴=．23、若()()411x ax ++的展开式中2x 的系数为10，则实数a =（）A1 B ．53-或1 C ．2或53- D．【答案】B．【解析】由题意得4(1)ax +的一次性与二次项系数之和为14，其二项展开通项公式14r r rr T C a x +=，∴22144101C a C a a +=⇒=或53-，故选B ．24、设23(1)(1)(1)(1)n x x x x ++++++⋅⋅⋅++2012n n a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+，当012254n a a a a +++⋅⋅⋅+=时，n 等于（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】C．【解析】令1x =，则可得2312(21)22222225418721n nn n n +-+++⋅⋅⋅+==-=⇒+=⇒=-，故选C ．四、其他相关问题25、20152015除以8的余数为( )【答案】7【解析】试题分析：先将幂利用二项式表示，使其底数用8的倍数表示，利用二项式定理展开得到余数．试题解析：解：∵20152015=2015=？20162015﹣？20162014+？20162013﹣20162012+…+？2016﹣，故20152015除以8的余数为﹣=﹣1，即20152015除以8的余数为7，。

高三数学二项式定理与性质试题答案及解析

高三数学二项式定理与性质试题答案及解析1.若则= .【答案】【解析】由于是展开式中第四项的系数，而.所以，=.【考点】二项式定理.2.的展开式中的系数是___________.【答案】56【解析】原二项式展开式的通项公式为令r＝2，得，系数为56.考点:二项式定理3.在的展开式中，含项的系数为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，所以含项的系数为15.选C【考点】二项式定理.4.（5分）（2011•重庆）（1+2x）6的展开式中x4的系数是．【答案】240【解析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项；令x的指数为4，求出展开式中x4的系数．解：展开式的通项为Tr+1=2r C6r x r令r=4得展开式中x4的系数是24C64=240故答案为：240点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．5.在二项式的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是（）A．－56B．－35C．35D．56【答案】A【解析】在二项式的展开式中恰好第5项的二项式系数最大，即只有第5项的二项式系数最大即.所以二项式的展开式的通项为．.所以项的系数是.故选A【考点】1.二项式定理.2.归纳推理的数学思想.3.组合数的计算.6.的展开式的中间一项是__________．【答案】-20【解析】展开式的中间一项为.【考点】二项式定理.7.若＝x n＋…＋ax3＋bx2＋…＋1（n∈N*），且a∶b＝3∶1，那么n=_____．【答案】11【解析】，由已知有．8.若，则= .【答案】【解析】令，由通项公式可得，令，=（）==.【考点】1二项式定理；2赋值法。

9.二项式的展开式中含项的系数值为_______________.【答案】35【解析】.依题意可得.所以展开式中含项的系数值为35.【考点】1.二项式定理的展开式.2.项的系数的概念.10.若展开式中所有项的二项式系数之和为64，则展开式中含项的系数是（）A．192B．182C．-192D．-182【答案】C【解析】由题意可知，得，则二项展开式的通项公式为，令，得，含项的系数是.【考点】二项式定理.11.在的二项展开式中，按的降幂排列，只有第项的系数最大，则各项的二项式系数之和为________（答案用数值表示）.【答案】256【解析】由的二项展开式中，项的系数与二项式系数相等，因为只有第项的系数最大.即第五项的二项式系数最大.所展开式中共有9项，即.各项的二项式系数之和为.【考点】1.二项式定理展开式公式.2.二项式系数与二次项系数的关系.3.二项式系数的大小分布.12.在的二项展开式中，按的降幂排列，只有第项的系数最大，则各项的二项式系数之和为________（答案用数值表示）.【答案】256【解析】由的二项展开式中，项的系数与二项式系数相等，因为只有第项的系数最大.即第五项的二项式系数最大.所展开式中共有9项，即.各项的二项式系数之和为.【考点】1.二项式定理展开式公式.2.二项式系数与二次项系数的关系.3.二项式系数的大小分布.13.二项式的展开式中的常数项是 .【答案】15【解析】二项式的展开式中的常数项是.【考点】二项式定理.14.展开式中只有第六项二项式系数最大，则展开式中的常数项是（）A．180B．90C．45D．360【答案】A【解析】因为的展开式中只有第六项二项式系数最大，所以，则由，令，解得，所以展开式中的常数项是，故正确答案选A.【考点】二项式理及展开式通项公式.15.的展开式中x3的项的系数是＿＿＿＿（用数字作答）【答案】80【解析】∵，令，∴，∴.【考点】二项式定理.16.二项式展开式中的常数项是( )A．第7项B．第8项C．第9项D．第10项【答案】C【解析】根据二项式定理可得的第项展开式为,要使得为常数项,要求,所以常数项为第9项.【考点】二项式定理17.二项展开式中的常数项为( )A．56B．-56C．112D．-112【答案】C【解析】∵，∴令，即，∴常数项为，选C.【考点】二项式定理.18.若(1－2x)2 013＝a0＋a1x＋…＋a2 013x2 013(x∈R)，则＋＋…＋的值为()A．2B．0 C．－1D．－2【答案】C【解析】令x＝0，则a＝1；令x＝，则a＋＋＋…＋＝0.∴＋＋…＋＝－1.19. 5展开式中的常数项为()．A．80B．－80 C．40D．－40【答案】C【解析】Tr＋1＝C5r (x2)5－r r＝C5r(－2)r x10－5r，令10－5r＝0得r＝2.∴常数项为T3＝C52(－2)2＝40.20.n展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式的常数项是()．A．360B．180C．90D．45【答案】B【解析】二项式系数为，只有第六项最大，即最大，则n＝10，所以Tr＋1＝ ()10－rr＝，由5－r＝0得r＝2，故常数项为T3＝22＝180.21.若展开式中存在常数项,则n的值可以是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】二项展开式的通向，当时，为常数项。

二项式定理高考试题及其答案

二项式定理历年高考试题荟萃(一)一、选择题 ( 本大题共 58 题)1、二项式的展开式中系数为有理数的项共有………（）A.6项B.7项C.8项D.9项2、对于二项式（＋x3）n（n∈N），四位同学作出了四种判断：…（）①存在n∈N，展开式中有常数项；②对任意n∈N，展开式中没有常数项；③对任意n∈N，展开式中没有x的一次项；④存在n∈N，展开式中有x的一次项.上述判断中正确的是（A）①与③（B）②与③（C）②与④（D）④与①3、在（+x2）6的展开式中，x3的系数和常数项依次是…………（）（A）20，20 （B）15，20（C）20，15 （D）15，154、（2x3－）7的展开式中常数项是………………………………………………………（）A.14B.－14C.42D.－425、已知(x－)8展开式中常数项为1120,其中实数a是常数,则展开式中各项系数的和是……………………………………………………………()(A)28 (B)38 (C)1或38 (D)1或286．若（+）n展开式中存在常数项,则n的值可以是…………（）A.8B.9C.10D.127 .(2x+)4的展开式中x3的系数是……………………………………()A.6B.12C.24D.488、（－）6的展开式中的常数项为…………………………………（）A.15B.－15C.20D.－209、（2x3－）7的展开式中常数项是…………………………………………（）A.14B.－14C.42D.－4210、若（+）n展开式中存在常数项,则n的值可以是………………（）A.8B.9C.10D.1211、若展开式中含项的系数与含项的系数之比为－5，则n等于A．4 B．6 C．8 D．1012、的展开式中，含x的正整数次幂的项共有（）A.4项B.3项C.2项D.1项13.(x-y)10的展开式中x6y4项的系数是（A）840 （B）-840 （C）210 （D）-21014.的展开式中，含x的正整数次幂的项共有（）A．4项 B．3项 C．2项 D．1项15、若展开式中含的项的系数等于含x的项的系数的8倍，则n等于（）A.5B.7C.9D.1116、3.若的展开式中的系数是( )A B C D17、在的展开式中的系数是（）A.－14B.14C.－28D.2818、如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（）（A）7 （B）（C）21 （D）19、如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（）（A）7 （B）（C）21 （D）20、设k=1,2,3,4,5,则（x+2）5的展开式中x k的系数不可能是（A）10 （B）40 （C）50 （D）8021、7.在()n的二项展开式中，若常数项为60，则n等于A.3B.6C.9D.1222、已知()的展开式中第三项与第五项的系数之比为，则展开式中常数项是(A)-1 (B)1 (C)-45 (D)4523、的展开式中，x的幂的指数是整数的项共有A．3项 B．4项 C．5项 D．6项24、在二项式(x+1)6的展开式中，含x3的项的系数是(A)15 (B)20 (C)30 (D)4025、(若多项式,则（A）9 （B）10 （C）-9 （D）-10 26、(的值为（）Ａ．61 Ｂ．62 Ｃ．63 Ｄ．6427、在(x-)2006的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x=时，S等于 A．23008 B．-23008 C．23009 D．-2300928.在（）24的展开式中，x的幂的指数是整数的项共有A．3项 B.4项 C.5项 D.6项29、的展开式中含x的正整数指数幂的项数是（A）0 （B）2 （C）4 （D）630、在（x-）的展开公式中，x的系数为（A）-120 （B）120 （C）-15 （D）1531、（2x-3）5的展开式中x2项的系数为（A）-2160 （B）-1080 （C）1080 （D）216032．若(ax-1)5的展开式中x3的系数是80，则实数a的值是A．-2 B．2 C． D．233、的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（A）－540 （B）－162 （C）162 （D）54034、已知的展开式中第三项与第五项的系数之比为-，其中i2＝-1，则展开式中常数项是(A)-45i (B)45i (C)-45 (D)4535.若对于任意的实数x，有x3=a0+a1（x-2）+a2（x-2）2+a3（x-2）3，则a2的值为A.3B.6C.9D.136、在的二项展开式中，若只有的系数最大，则A.8B. 9C. 10D.1137、.的展开式中，常数项为15，则n=A.3B.4C.5D.638、若(x+)n展开式的二项式系数之和为64,则展开式的常数项为A.10B.20C.30D.12039、.已知(＋)n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n等于A.4B.5C.6D.740、设(x2＋1)(2x＋1)9＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x＋2)2＋…＋a11(x＋2)11，则a0＋a1＋a2＋…＋a11的值为A.－2B.－1C.1D.241、展开式中的常数项是(A) -36 (B)36 (C) -84 (D) 8442、如果的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为A.3B.5C.6D.1043、如果的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为A.10B.6C.5D.344、((2x+1)6展开式中x2的系数为(A)15 (B)60 (C)120 (D)24045、（-）12展开式中的常数项为（A）-1320 （B）1320 （C）-220 (D)22046、在的展开式中，含的项的系数是（A）-15 （B）85 （C）-120 （D）27447、展开式中的常数项为A．1 B． C． D．48、在(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的展开式中，含x4的项的系数是（A）-15 （B）85 （C）-120 （D）27449、设则中奇数的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5 50、的展开式中含的项的系数为（A）4 （B）6 （C）10 （D）1251、展开式中的常数项为A．1 B．46 C．4245 D．424652、的展开式中的系数是（）A． B． C．3 D．453、的展开式中含的项的系数为（A）4 （B）6 （C）10 （D）1254、的展开式中的系数为（）A．10 B．5 C． D．155、的展开式中的系数是（）A． B． C．3 D．456、设则中奇数的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．557、若(x+)n的展开式中前三项的系数成等差数列,则展开式中x4项的系数为( )A.6B.7C.8D.958、的展开式中常数项是A.210B.C.D.-105二项式定理历年高考试题荟萃(一)答案一、选择题 ( 本大题共 58 题, 共计 290 分)1、D2、D3、C4、A5、C6、C7、C8、A9、A10、C11、B解析：设展开式的第r1+1项含，第r2+1项含，则由已知得r、r2、n∈N*，试根得n=6.112、B解析：由通项T r+1=C x.x=C x，其中r=0，1，2， (12)为正整数，∴r=0，6，12.13、A解析：由通项公式T r+1=C x10－r（－y）r=（－）r·C x10－r y r，当r=4时，T r+1=（－）4·C·x6y4=840x6y4.14、B解析：由通项T r+1=C x.x=C x，其中r=0，1，2， (12)为正整数，∴r=0，6，12.15、A解析：通项T r+1=C1n－r·（2x）r=2 r C x r.依题有：23C=8·2C，即C=2n.易知n=5.16、B解析：（x－1）（x+1）8=（x－1）（1+x）8，∴含x5的项为x·C x4+（－1）C x5=14x5，∴x5的系数是14，故选B.17、B解析：（x－1）（x+1）8=（x－1）（1+x）8，∴含x5的项为x·C x4+（－1）C x5=14x5，∴x5的系数是14，故选B.18、C解析：令x=1得展开式各项系数之和为（3－1）n=128，∴n=7.则（3x－）7展开式的通项公式T r+1=C（3x）7－r·（－）r令7－r=－3，解得r=6.故的系数是（－1）6·C·37－6=7×3=21.19、C解析：令x=1得展开式各项系数之和为（3－1）n=128，∴n=7.则（3x－）7展开式的通项公式T=C（3x）7－r·（－）r令7－r=－3，解得r=6.r+1故的系数是（－1）6·C·37－6=7×3=21.20、C解析：（2+x）5展开式的通项公式T r+1=C·25－r·x r.当k=1，即r=1时，系数为C·24=80;当k=2，即r=2时，系数为C·23=80;当k=3，即r=3时，系数为C·22=40;当k=4，即r=4时，系数为C·2=10;当k=5，即r=5时，系数为C·20=1.综合知，系数不可能是50.21、B解析：设常数项为T r+1=()n-r·=·2r·x=2r··x=60∴…①∵为非负整数∴r=0,1,2当r=0时：①式左边=1，右边=60，左≠右（舍去）当r=1时：①式左边=3，右过=30，左≠右（舍去）当r=2时：①式左边=15，右边=15，左=右.故选（B）22、D解析：依题可得：化简解得n=10 n=-5（舍）∴通项Tr+1=令20-r=0 r=8 ∴常数项为T9=C·（-1）8=45.23、C解析：由通项公式T r+1=C r24·=C r24x显然r=0,6,12,18,24.24、B解：设T r+1项含x3则T r+1=C x6-r1r∵6-r=3 ∴r=3∴x3的系数为C=2025、D解析：解得a9=-1026、B解析：∵C06+ C16+ C26+ C36+ C46+ C56+ C66= 26故C16+ C26+ C36+ C46+ C56= 26- 2=6227、B 解析：当x=时，S=C20062005（-）1+C32006（-）2003·（）3+…+C1（-）2005=（C2006+C32006+…+C）（-2）1003=·22006（-2）1003=-23008，故选B28、C解析：由通项公式T r+1=C r24·=C r24x显然r=0,6,12,18,24.29、B解析：通项T r-1= ()10-r·(-)r=(-)r·=(-)r·试根易得B.30、C解析：该展开式中通项为令10-2r=4，∴r=3 故x4的系数为（-）3C=-1531、B解析：利用T r+1=a n-r b r代入相应数值即可.32、D (ax-1)5的展开式x3的系数为80∴T r+1=(ax)5-r(-1)r当r=2时有T3=a3x3其系数a3=80∴a=233、A解析：令x=1，得2n=64，得n=6.设常数项为T r+1= C r6（3）6-r·（-）r=C r636-r·（-1）r·x3-r令3-r=0得r=3.∴常数项T4=-540.34、D解析：解得n=10，n=-5（舍）∴（x2+）10和通项Tr+1=C（x）10-r·（i·x）r=C·i r·x令20-r=0r=8 ∴T9=C·i8=C=45.35、B解析:x3=［(x－2)+2］3= (x－2)3·20+ (x－2)2·21+ (x－2)1·22+ (x －2)0·23,∴a2=·21=6.36、C解析：x5的系数是C，当只有C最大时，n=10.37、答案:D解析:T r+1==(－1)r,∵常数项为15,∴r=n.∴=15代入验证即可.38、答案：B解析：(x+)n展开式的二项式系数和为C+C+C+…+C=2n=64，∴n=6. 设T r+1为展开式常数项，则T r+1=C x6－r·()r=C·x6－2r，∴6－2r=0.∴r=3.∴T r+1=T4=C=20.39、答案:C解析:由题意知=64,即=64,∴n=6.40、A解析:令x=－1,a0+a1+…+a11=－2.41、C解析:T r+1=()9－r(－)r=(－x)–r=(－1)r·,令Tr +1=0,得r=3,∴T4=(－1)3=－84.42、答案：B解析：T r+1=C3n－r(－2)r x2n－5r，∴2n－5r=0.∴r=.∵r是整数，∴n最小是5.43、C解析：T r+1=C3n－r(－2)r x2n－5r，∴2n－5r=0.∴r=.∵r是整数，∴n最小是5.44、B解析：T r+1=C(2x)6－r.令6－r=2，得r=4.∴含x2项的系数为C4622=60.45、C 解析:由通项公式T()r=(-1)r,令12r=0解得r=9.∴T10=-220.选C46、A 解析：x4系数(-1)+(-2)+(-3)+(-4)+(-5)=-15.47、D原式=(1++x+1)10=(+)20,设通项为()20-r()r,则r-20+r=0,则r=10.∴常数项为.48、A x4系数(-1)+(-2)+(-3)+(-4)+(-5)=-15.49、A∵(1+x)8=+x1+x2+…+x8=a0+a1x+…+a8x8,∴a0,a1,a2,…,a8,即为,,,…,.∴奇数的个数为,共2个.50、答案：C解析：，故展开式中含项的系数为.51、D解析：由二项式定理及多项式乘法知常数项分别为()0··()0=1,()3··()4=4 200,()6··()8=45,∴原式常数项为1+4 200+45=4 246.52、 A(1-)4(1+)4=［(1-)(1+)］4=x4-4x3+6x2-4x+1,∴x的系数为-4.53、答案：C解析：，故展开式中含项的系数为.54、C(1+)5的展开式中通项为T r+1=()r=·()r·x r.当r=2时,T3=··x2,系数为.55、B 解析:化简原式=［(1-)4(1+)4］·(1-)2=［(1-)(1+)］4·(1-)2=(1-x)4·(1-)2=(1-4x+6x2-4x3+x4)(1-2+x).故系数为1-4=-3,选B.56、A解析：∵(1+x)8=+x1+x2+…+x8=a0+a1x+…+a8x8,∴a0,a1,a2,…,a8,即为,,,…,.∴奇数的个数为,共2个.57、答案：B 由二项式定理知:T1=1,T2=T3=,由题意知:2T2=T1+T3,即n=1+,解之,得n=8或n=1(舍去).故二项式的通项为·x8-r·()r=·x8-2r·2-r=·2-r·x8-2r, 令8-2r=4,则r=2.故含x4的项的系数为·2-2=7.58、B ∵T r+1=(2x3)10-r(-)r=(-)r210-r x30-5r,令30-5r=0r=6,∴常数项为(-)624=.。

高二数学二项式定理与性质试题答案及解析

高二数学二项式定理与性质试题答案及解析1.已知，则.【答案】31【解析】令，可得；令，可得；两式结合可得.【考点】二项式定理的应用.2.在的二项式展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则A．6B．7C．8D．9【答案】C【解析】因为在的二项式展开式中，只有第5项的二项式系数最大所以由此可得：，即所以即.【考点】二项式系数的应用.3.在二项式的展开式中（1）求展开式中含项的系数；（2）如果第项和第项的二项式系数相等，试求的值.【答案】（1）264；（2）或【解析】（1）写出二项式的展开式的特征项，当x的指数是3时，把3代入整理出的值，就得到这一项的系数的值．（2）根据上一问写出的特征项和第项和第项的二项式系数相等，表示出一个关于的方程，解方程即可．解题的关键是写出展开式的特征项，利用特征项的特点解决问题，注意代数式的整理，特别是当分母上带有变量时，注意整理．试题解析：（1）展开式第项：令，解得，∴展开式中含项的系数为（2）∵第项的二项式系数为，第项的二项式系数∴故或解得或【考点】（1）展开式项的系数；（2）二项式系数.4.在的展开式中，x6的系数是（）A．﹣27B．27C．﹣9D．9【答案】D【解析】在的展开式中通项为,故x6为r=6，即第7项．代入通项公式得系数为.,故选D．【考点】二项式定理及二项式系数的性质.5.展开式中的常数项为．（用数字作答）【答案】40【解析】由二项式定理可知为常数项,则即,所以常数项为,答案为40.【考点】二项式定理)的展开式中含有常数项为第( )项6.(n∈N＋A．4B．5C．6D．7【答案】B【解析】由二项展开式公式：，当，即时,为常数项,所以常数项为第5项.故选B【考点】二项展开式的应用.7.如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（）A．-2835B．2835C．21D．-21【答案】A【解析】由二项式定理可知展开式中各项系数和为解得，，由得，因此系数为，答案选A。

高中数学2二项式定理（带答案）

高中数学2二项式定理（带答案）高中数学2二项式定理(带答案)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN二项式定理一．二项式定理1.右边的多项式叫做()na b +的二项展开式2.各项的系数rn C 叫做二项式系数3.式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，它是二项展开式的第1r +项，即1(0,1,2,,).r n r r r n T C a b r n -+==4.二项展开式特点：共1r +项；按字母a 的降幂排列，次数从n 到0递减；二项式系数rnC 中r 从0到n 递增，与b 的次数相同；每项的次数都是.n 二．二项式系数的性质性质1 ()na b +的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即m n m n n C C -=性质2 二项式系数表中，除两端以外其余位置的数都等于它肩上两个数之和，即11m m m n n n C C C -++=性质3 ()na b +的二项展开式中，所有二项式系数的和等于2n ，即012.nn nn n C C C +++=（令1a b ==即得，或用集合的子集个数的两种计算方法结果相等来解释）性质4 ()na b +的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即022132112.rr n nn n n n n C C C C C C +-++++=++++=（令1,1a b ==-即得）性质5 ()na b +的二项展开式中，当n 为偶数时，中间一项的二项式系数2n nC 取得最大值；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数12,n nC -12n nC+相等，且同时取得最大值.（即中间项的二项式系数最大）【题型精讲】题型一、展开式中的特殊项1．21()n x x-的展开式中，常数项为15，则n =A ．3B ．4C ．5D ．62.在()()1nx n N *+∈的二项展开式中，若只有5x 的系数最大，则n =A ．8B . 9 C. 10 D .113．如果2323nx x ??- ??的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（）Ａ．3 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．10题型二、展开式的系数和 1.已知()()()()100210001210012111.x a a x a x a x +=+-+-++-求：（1）0a ；（2）012100a a a a ++++（3）13599a a a a ++++；2.（江西理4）已知n展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于（）Ａ．4 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．73.（江西文5）设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++，则01211a a a a ++++的值为（）Ａ．2-Ｂ．1-Ｃ．1Ｄ．24.(安徽文12)已知45235012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++, ())(531420a a a a a a ++++ 的值等于 .题型三、一项展开:拆成两项1.233除以9的余数是（）A ．1B ．2C ．4D ．8题型四、多项展开： 1.（|x |＋||1x －2）3展开式中的常数项是（） A ．12B ．－12C ．20D ．－202.求()()()2111nx x x ++++++ 展开式中3x 项的系数.二项式定理1、展开式中的特殊项1．解．21()n x x-的展开式中，常数项为15，则223331()()15n n nn C x x -=，所以n 可以被3整除，当n=3时，13315C =≠，当n=6时，2615C =，选D 。

二项式定理-高考题(含答案)汇编

二项式定理高考真题一、选择题1.（2012·四川高考理科·Ｔ1）相同7(1)x 的展开式中2x 的系数是（ D）（A ）42（B ）35（C ）28（D ）212.（2011·福建卷理科·Ｔ6）(1+2x )5的展开式中，x 2的系数等于（ B ）（A ）80 （B ）40 （C ）20 （D ）103.（2012·天津高考理科·Ｔ5）在5212x x 的二项展开式中，x 的系数为（ D ）(A)10 (B)-10 (C)40 (D)-404.（2011.天津高考理科.T5）在62()2x x 的二项展开式中，2x 的系数为（ C ）（A ）154（B ）154（C ）38（D ）385.（2012·重庆高考理科·Ｔ4）821xx 的展开式中常数项为( B )(A)1635(B)835(C)435(D)1056.（2012·重庆高考文科·Ｔ4）5)31(x 的展开式中3x 的系数为( A )(A)270(B)90(C)90(D)2707. (2013·大纲版全国卷高考理科·T7)8411+x y 的展开式中22x y 的系数是( D )A.56B.84C.112D.1688.（2011·新课标全国高考理科·Ｔ8）512ax x x x 的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（ D ）（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）409. (2011·重庆高考理科·T4)n x)31((其中nN 且6n )的展开式中5x 与6x 的系数相等,则n ( B ) (A)6(B)7(C)8(D)910．（2011·陕西高考理科·T4）6(42)x x （x R ）展开式中的常数项是（C ）（A ）20（B ）15（C ）15 （D ）20二、填空题11. （2013·天津高考理科·Ｔ10）61x x 的二项展开式中的常数项为15 .12.（2011·湖北高考理科·T11）1813x x 的展开式中含15x 的项的系数为17 .13.（2011·全国高考理科·Ｔ13）(1-x )20的二项展开式中，x 的系数与x 9的系数之差为0 .14.（2011·四川高考文科·Ｔ13）91)x （的展开式中3x 的系数是84 （用数字作答）.15.(2011·重庆高考文科·T11)6)21(x 的展开式中4x 的系数是240 . 16.（2011·安徽高考理科·Ｔ12）设2121221021)1x a x a x a a x （，则1110a a = 0 . 17.（2011·广东高考理科·Ｔ10）72()x x x的展开式中，4x 的系数是___84___ (用数字作答)18.（2011·山东高考理科·Ｔ14）若62ax x 的展开式的常数项为60，则常数a 的值为 4 .19.（2012·大纲版全国卷高考理科·Ｔ15）若n x x )1(的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中21x的系数为__56_____. 20.（2013·安徽高考理科·Ｔ11）若83ax x 的展开式中4x 的系数为7，则实数a =____12_____。

高考数学《二项式定理》真题含答案

高考数学《二项式定理》真题含答案一、选择题1．(x ＋1)6的展开式中的第二项为( )A ．6xB ．15x 2C ．6x 5D ．15x 4答案：C2.⎝⎛⎭⎫x 2－2x 3 5 的展开式中的常数项为( ) A ．80 B ．－80C ．40D ．－40答案：C解析：由二项展开式通项知T k ＋1＝(－2)k C k 5 ·(x 2)5－k ⎝⎛⎭⎫1x 3 k＝(－2)k C k 5 x 10－5k ，令10－5k ＝0，得k ＝2.∴常数项为T 3＝(－2)2C 25 ＝40.3．(多选)已知(a ＋2b )n 的展开式中第6项的二项式系数最大，则n 的值可能为( )A ．8B ．9C ．10D ．11答案：BCD4．若(x ＋2)⎝⎛⎭⎫a x －x 5 展开式中的常数项为80，则a ＝( )A ．－2B ．2C ．±2D ．4答案：B解析：⎝⎛⎭⎫a x －x 5 的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 5 ·(－1)k ·a 5－k ·x 2k －5，显然，2k －5为奇数，故(x ＋2)⎝⎛⎭⎫a x －x 5 展开式中的常数项为C 25 ·a 3＝80，所以a ＝2. 5．若(x －2y )6的展开式中的二项式系数和为S ，x 2y 4的系数为P ，则P S为( ) A ．152 B ．154C ．120D ．240答案：B解析：由题意得S ＝26＝64，P ＝C 46 (－2)4＝15×16＝240，∴P S ＝24064 ＝154. 6．在二项式⎝⎛⎭⎫x ＋3x n 的展开式中，各项系数之和为A ，各项二项式系数之和为B ，且A ＋B ＝72，则展开式中常数项的值为( )A ．6B ．9C ．12D ．18答案：B解析：在⎝⎛⎭⎫x ＋3x n的展开式中令x ＝1，得A ＝4n ，各项二项式系数之和为B ＝2n ，由 4n ＋2n ＝72，得n ＝3，∴⎝⎛⎭⎫x ＋3x n ＝⎝⎛⎭⎫x ＋3x 3 ，其通项为T k ＋1＝C k 3 (x )3－k ⎝⎛⎭⎫3x k ＝3k C k 3 x 3－3k 2，令3－3k 2＝0，得k ＝1，故展开式的常数项为T 2＝3C 13 ＝9. 7.⎝⎛⎭⎫x ＋y 2x (x ＋y )5的展开式中x 3y 3的系数为( ) A ．5 B ．10C ．15D ．20答案：C解析：要求⎝⎛⎭⎫x ＋y 2x (x ＋y )5的展开式中x 3y 3的系数，只要分别求出(x ＋y )5的展开式中x 2y 3和x 4y 的系数再相加即可，由二项式定理可得(x ＋y )5的展开式中x 2y 3的系数为C 35 ＝10，x 4y 的系数为C 15 ＝5，故⎝⎛⎭⎫x ＋y 2x (x ＋y )5的展开式中x 3y 3的系数为10＋5＝15.故选C. 8．设S ＝(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4(x －1)＋1，则S ＝( )A ．(x －2)4B ．(x －1)4C ．x 4D ．(x ＋1)4答案：C解析：S ＝C 04 (x －1)4＋C 14 (x －1)3＋C 24 (x －1)2＋C 34 (x －1)1＋C 44 (x －1)0＝(x －1＋1)4＝x 4.9．(多选)已知(2＋x )(1－2x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5＋a 6x 6，则( )A ．a 0的值为2B ．a 5的值为16C ．a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6的值为－5D ．a 1＋a 3＋a 5的值为120答案：ABC解析：对于A ，令x ＝0，得a 0＝2×1＝2，故A 正确；对于B ，(1－2x )5的展开式的通项T k ＋1＝C k 5 (－2x )k ＝(－2)k C k 5 x k ，所以a 5＝2×(－2)5C 55 ＋1×(－2)4C 45 ＝－64＋80＝16，故B 正确；对于C ，令x ＝1，得(2＋1)(1－2×1)5＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6 ①，即a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝－3－a 0＝－3－2＝－5，故C 正确；对于D ，令x ＝－1，得(2－1)[1－2×(－1)]5＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6 ②，由①②解得a 1＋a 3＋a 5＝－123，故D 不正确．综上所述，选ABC.二、填空题10．[2024·全国甲卷(理)](13＋x )10的展开式中，各项系数中的最大值为______．答案：5解析：方法一二项式(13 ＋x )10的展开式的通项为T k ＋1＝C k 10 (13)10－k x k . 由⎩⎨⎧Ck 10 （13）10－k >C k －110 （13）11－k ，C k 10 （13）10－k >C k ＋110 （13）9－k ，解得294 <k <334. 又k ∈N *，所以k ＝8.所以所求系数的最大值为C 810 (13 )2＝5.方法二展开式中系数最大的项一定在下面的5项中：C 510 (13 )5x 5，C 610 (13)4x 6，C 710 (13 )3x 7，C 810 (13 )2x 8，C 910 (13 )1x 9，计算可得，所求系数的最大值为C 810 (13)2＝5. 11．在二项式(2 ＋x )9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是______________.答案：162 5解析：该二项展开式的第k ＋1项为T k ＋1＝C k 9 (2 )9－k x k ，当k ＝0时，第1项为常数项，所以常数项为(2 )9＝162 ；当k ＝1，3，5，7，9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5.12．在(x －1x)7的展开式中，系数最大的是第________项．答案：5解析：二项式⎝⎛⎭⎫x －1x 7的展开式的通项为T k ＋1＝C k 7 ·x 7－k ·(－1)k x －k ＝(－1)k C k 7 x 7－2k ，故第k ＋1项的系数为(－1)k C k 7 ，当k ＝0，2，4，6时，系数为正，因为C 07 <C 67 <C 27 <C 47 ，所以当k ＝4时，系数最大，是第5项．。

高三数学二项式定理与性质试题答案及解析

高三数学二项式定理与性质试题答案及解析1.已知(－)n的展开式中，前三项系数的绝对值依次成等差数列．(1)证明：展开式中没有常数项；(2)求展开式中所有的有理项．【答案】（1）见解析（2）T1＝x4，T5＝x，T9＝x－2.【解析】依题意，前三项系数的绝对值是1， ()1， ()2，且2·＝1＋ ()2，即n2－9n＋8＝0，∴n＝8(n＝1舍去)．(1)若Tr＋1为常数项，当且仅当＝0，即3r＝16.∵r∈Z，∴这不可能．∴展开式中没有常数项．(2)若Tr＋1为有理项，当且仅当为整数，∵0≤r≤8，r∈Z，∴r＝0,4,8，即展开式中的有理项共有三项，它们是T1＝x4，T5＝x，T9＝x－2.2. (x-2)的展开式中的系数为 .（用数字作答）【答案】-160【解析】Tr+1=C，由6-r=3得，r=3，所以展开式中x3的系数为=-8×20=-160.【考点】二项式定理.3.用代表红球，代表蓝球，代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由的展开式表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“”表示取出一个红球，面“”用表示把红球和篮球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是A．B．C．D．【答案】A【解析】依题意所有的篮球都取出或都不取出.所以要有或不含的式子.所以符合.故选A.【考点】1.新定义.2.二项式展开式.4.设是大于1的自然数，的展开式为.若点的位置如图所示，则.【答案】【解析】由图易知，则，即，解得.【考点】1.二项展开式的应用.5.（5分）（2011•湖北）（x﹣）18的展开式中含x15的项的系数为．（结果用数值表示）【答案】17【解析】利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的指数为15，求出展开式中含x15的项的系数．解：二项展开式的通项为令得r=2所以展开式中含x15的项的系数为故答案为17点评：本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．6.二项式的展开式中含一次幂的项是第项．【答案】8【解析】因为，所以由得因此二项式的展开式中含一次幂的项是第8项．【考点】二项式定理7.二项式的展开式中常数项为（）A．－15B．15C．－20D．20【答案】B【解析】二项展开式的通项为，令，得，故常数项为．【考点】二项式定理.8.的二项展开式中，常数项为______．【答案】【解析】二项式的通项，令，得，故展开式中常数项为．【考点】二项式定理．9.对于，将表示为，当时，，当时，为0或1.记为上述表示中为0的个数，（例如，：故）则（1）（2）【答案】（1）2；（2）【解析】（1）因，故；（2）在2进制的位数中，没有0的有1个，有1个0的有个，有2个0的有个，……有个0的有个，……有个0的有个。

高三数学二项式定理与性质试题答案及解析

高三数学二项式定理与性质试题答案及解析1.已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8等于()A．180B．90C．－5D．5【答案】A【解析】(1＋x)10＝[2－(1－x)]10，其通项公式为Tr＋1＝210－r·(－1)r(1－x)r，a8是r＝8时，第9项的系数．∴a8＝22(－1)8＝180.故选A.2. (1＋x)10(1＋)10展开式中的常数项为()A．1B．()2C．D．【答案】D【解析】因为(1＋x)10(1＋)10＝[(1＋x)(1＋)]10＝(2＋x＋)10＝(＋)20(x>0)，所以Tr＋1＝()20－r·()r＝x10－r，由10－r＝0，得r＝10，故常数项为T11＝，选D.3.已知(－)n的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14∶3，求展开式中的常数项．【答案】180【解析】依题意∶＝14∶3，即3＝14，∴＝，∴n＝10.设第r＋1项为常数项，又Tr＋1＝ ()10－r(－)r＝(－2)r令＝0，得r＝2.∴T3＝ (－2)2＝180，即常数项为180.4.用代表红球，代表蓝球，代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个篮球中取出若干个球的所有取法可由的展开式表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“”表示取出一个红球，面“”用表示把红球和篮球都取出来.以此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的篮球都取出或都不取出的所有取法的是A．B．C．D．【答案】A【解析】依题意所有的篮球都取出或都不取出.所以要有或不含的式子.所以符合.故选A.【考点】1.新定义.2.二项式展开式.5.的展开式中的常数项为，则直线与曲线围成图形的面积为；【答案】=，【解析】的展开式的通项公式为 Tr+1令3r-3=0，r=1，故展开式的常数项为 a=3．则直线y=ax即 y=3x，由求得直线y=ax与曲线y=x2围成交点坐标为（0，0）、（3，9），故直线y=ax与曲线y=x2围成图形的面积为=，故选C．【考点】二项式定理；定积分在求面积中的应用．6.设，使的展开式中含有常数项的最小的为（）A．4B．5C．6D．7【答案】B【解析】由可得.所以可化为，展开式的通项公式可得.依题意可得到.因为.所以当时n的最小值为5.故选B.【考点】1.定积分的概念.2.二项展开式的公式.3.整除问题.7.设函数则当x>0时,表达式的展开式中常数项为( )A．－20B．20C．－15D．15【答案】A【解析】当x>0时，f，所以，其展开式的通项为,所以由题意知，,即,所以展开式中常数项为．8. 1．若，则的值为（）A．1B．－1C．0D．2【答案】A【解析】∵令,则令,则∴．9.已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝________．【答案】－1【解析】已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为＋a·＝5，解得a＝－110.设，则的值是．【答案】40【解析】由题意【考点】二项式定理。

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(a
x )n
Cn0a n x0
Cn1a n 1x
C
2 n
a
n
2 x2
L
C
n n
a
0
x
n
a0 a1x 1 a 2 x 2
( x a)n
Cn0a 0 xn
Cn1ax n 1
C
2 n
a
2
x
n
2
L
C
n n
a
n
x
0
an xn L
a2 x2
令 x 1, 则 a0 a1 a2 a3L an (a 1)n
①
令 x 1,则 a0 a1 a2 a3 L an (a 1)n
②
① ②得 , a0 a2 a4 L
n
n
an (a 1) ( a 1) (奇数项的系数和 )
2
① ②得 , a1 a3 a5L
an ( a 1)n (a 1)n (偶数项的系数和 ) 2
L anx n a1x1 a0
（ 5）二项式系数的最大项：如果二项式的指数 n 是偶数时，则中间项为第（ n 1）项的二项式 2
（ 6）系数的最大、最小项的求法：求 (a bx) n 展开式中最大、最小项，一般采用待定系数
法。设展开式中各项系数分别为 A1 , A2 , , An 1 ，设第 r 1 项系数最大，应有：
Ar 1 Ar 且 Ar 1 Ar 2 ；如果设第 r 1 项系数最小，应有 Ar 1 Ar 且 Ar 1 Ar 2 ，从而解出 r 的范围。
与 (b a)n 的二项展开式是不同的。
（ 3）二项式项数共有 (n 1) 项，是关于 a 与 b 的齐次多项式。
（ 4）二项式系数：展开式中各项的系数为

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