高中数学必修3第一章 1.1.1

§1.1算法与程序框图

1.1.1算法的概念

学习目标

1.了解算法的含义和特征.

2.会用自然语言描述简单的具体问题的算法.

知识点一算法的概念

思考解决一个问题的算法是唯一的吗？

答案不唯一.如解二元一次方程组的算法有加减消元法和代入消元法两种，但不同的算法有优劣之分.

梳理算法的概念

12世纪的算法是指用阿拉伯数字进行算术运算的过程

数学中的算法通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤

现代算法通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题

知识点二算法的特征

算法的五个特征

(1)有限性：一个算法的步骤是有限的，它应在有限步操作之后停止.

(2)确定性：算法中的每一步应该是确定的，并且能有效地执行且得到确定的结果，而不是模棱两可的.

(3)逻辑性：算法从初始步骤开始，分为若干个明确的步骤，前一步是后一步的前提，只有完成前一步，才能进行下一步，而且每一步都是正确无误的，从而组成具有很强逻辑性的步骤序列.

(4)普遍性：一个确定的算法，应该能够解决一类问题.

(5)不唯一性：求解某一个问题的算法不一定只有唯一的一个，也可以有不同的算法.

特别提醒：判断一个问题是不是算法，关键是明确算法的含义及算法的特征.

知识点三算法的设计

思考自然语言是唯一描述算法的语言吗？

答案不是.描述算法可以有不同的方式，常用的有自然语言、框图(流程图)、程序设计语言等.

梳理(1)设计算法的目的

设计算法的目的实际上是寻求一类问题的解决方法，它可以通过计算机来完成.设计算法的关键是把过程分解成若干个明确的步骤，然后用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来，从而达到让计算机执行的目的.

(2)设计算法的要求

①写出的算法必须能解决一类问题.

②要使算法尽量简单、步骤尽量少.

③要保证算法步骤有效，且计算机能够执行.

1.算法是解决一个问题的方法.(×)

2.一个算法可以产生不确定的结果.(×)

3.算法的步骤必须是明确的、有限的.(√)

类型一算法概念的理解

例1下列关于算法的说法，正确的个数有()

①求解某一类问题的算法是唯一的；

②算法必须在有限步操作之后停止；

③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊；

④算法执行后一定产生确定的结果.

A.1

B.2

C.3

D.4

考点算法的概念

题点 算法概念的辨析 答案 C

解析 由于算法具有有限性、确定性等特点，因而②③④正确，而解决某类问题的算法不一定唯一，从而①错.

反思与感悟 算法实际上是解决问题的一种程序性方法，它通常用来解决某一个或某一类问题，在用算法解决问题时，体现了特殊与一般的数学思想.

跟踪训练1 下列说法中是算法的有________.(填序号) ①从上海到拉萨旅游，先坐飞机，再坐客车；

②解一元一次不等式的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1； ③求以A (1,1)，B (－1，－2)两点为端点的线段AB 的中垂线方程，可先求出AB 的中点坐标，再求k AB 及中垂线的斜率，最后用点斜式方程求得线段AB 的中垂线方程；

④求1×2×3×4的值，先计算1×2＝2，再计算2×3＝6,6×4＝24，得最终结果为24； ⑤1

2x ＞2x ＋4. 考点 算法的概念 题点 算法的步骤问题 答案 ①②③④

解析 ①说明了从上海到拉萨的行程安排； ②给出了解一元一次不等式这类问题的解法； ③给出了求线段的中垂线的方法及步骤； ④给出了求1×2×3×4的值的过程并得出结果. 故①②③④都是算法. 类型二 算法的阅读理解

例2 下面算法要解决的问题是__________________________________________________. 第一步，输入三个数，并分别用a ，b ，c 表示.

第二步，比较a 与b 的大小，如果a

答案输入三个数a，b，c，并按从大到小的顺序输出

解析第一步是给a，b，c赋值.

第二步运行后a>b.

第三步运行后a>c.

第四步运行后b>c，所以a>b>c.

第五步运行后，显示a，b，c的值，且从大到小排列.

反思与感悟一个算法的作用往往并不显而易见，这需要我们结合具体数值去执行一下才知道.

跟踪训练2 下面给出了一个问题的算法： 第一步，输入a .

第二步，若a ≥3，则执行第三步，否则执行第四步. 第三步，输出a ＋5. 第四步，输出3a ＋4.

这个算法解决的问题是_________________________________________________________. 考点 算法的特点 题点 具体问题的算法设计

答案 求函数f (x )＝⎩

⎪⎨⎪⎧

x ＋5，x ≥3，

3x ＋4，x <3

当x ＝a 时的函数值f (a ). 类型三 算法的设计与应用

命题角度1 直接应用数学公式设计算法

例3 有一个底面半径为3，母线为5的圆锥，写出求该圆锥体积的算法. 考点 算法的设计与应用 题点 数值型的算法设计

解 如图，先给r ，l 赋值，计算h ，再根据圆锥体积公式V ＝1

3

πr 2h 计算V ，然后输出结果.

第一步，令r ＝3，l ＝5. 第二步，计算h ＝

l 2－r 2.

第三步，计算V ＝1

3πr 2h .

第四步，输出运算结果.