含有参数的一元二次方程专题
中考数学复习求含参数的一元二次方程(含答案)
求含参数的一元二次方程一、中考母题（共1题；共2分）1.（2017•广东）如果2是方程x2﹣3x+k=0的一个根，则常数k的值为（）A. 1B. 2C. ﹣1D. ﹣2二、单选题（共10题；共20分）2.若关于x的方程x2﹣4x+k=0的一个根为2﹣，则k的值为（）A. 1B. -1C. 2D. -23.若关于x的一元二次方程(k+2)x2+3x+k2－k－6＝0必有一根为0，则k的值是（）A. 3 或－2B. －3或2C. 3D. －24.若关于的方程有一个根为-1，则的值为( )A. B. C. D.5.已知关于x的方程x2﹣kx﹣6=0的一个根为x=3，则实数k的值为（）A. 1B. ﹣1C. 2D. ﹣26.已知关于x的方程x2-kx-3=0的一个根为3，则k的值为（）A. 1B. -1C. 2D. -27.若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（）A.k≥1B.k＞1C.k＜1D.k≤18.一元二次方程（1﹣k）x2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A. k＜2且k≠1B. k＞2且k≠1C. k＞2D. k＜29.已知关于x的二次方程x2+2x+k=0，要使该方程有两个不相等的实数根，则k的值可以是（）A. 0B. 1C. 2D. 310.（2017•苏州）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（）A. B. C. D.11.若二次函数y=ax2+bx+c（a＜0）的图象如图所示，且关于x的方程ax2+bx+c=k有两个不相等的实根，则常数k的取值范围是（）A. 0＜k＜4B. ﹣3＜k＜1C. k＜﹣3或k＞1D. k＜4三、填空题（共2题；共2分）12.（2016•上海）如果关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，那么实数k的值是________．13.（2015•徐州）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k=0有两个相等的实数根，则k值为________ .答案解析部分一、中考母题1.【答案】B【解析】【解答】解：∵2是一元二次方程x2﹣3x+k=0的一个根，∴22﹣3×2+k=0，解得，k=2．故选：B．【分析】把x=2代入已知方程列出关于k的新方程，通过解方程来求k的值．二、单选题2.【答案】A【解析】【解答】解：把x=2﹣代入方程得：7﹣4﹣8+4+k=0，解得：k=1．故选A．【分析】把已知方程的根代入方程计算即可求出k的值．3.【答案】C【解析】【解答】试题解析：把x=0代入(k+2)x2+3x+k2－k－6＝0得：k2-k-6=0，（k+2）（k-3）=0，解得：k1=-2，k2=3．又k+2≠0，即k≠-2∴k=3故选C．4.【答案】C【解析】【解答】∵若关于的x方程有一个根为-1∴解得：a=2．故答案为：C．【分析】利用一元二次方程的根的定义，代入方程中，即可求出a.5.【答案】A【解析】【解答】解：因为x=3是原方程的根，所以将x=3代入原方程，即32﹣3k﹣6=0成立，解得k=1．故选：A．【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．6.【答案】C【解析】【分析】x=3是该方程x2-kx-3=0的一个解，则有代入可得：9-3k-3=0，解得：k=2故选C.【点评】解答本题的关键是熟练掌握方程的解的定义：方程的解就是使方程左右两边相等的未知数的值。
含参数的一元二次不等式例题
含参数的一元二次不等式例题例题 1解不等式：x^2 2x + a > 0，其中a为参数。
解析：对于一元二次方程x^2 2x + a = 0，其判别式\Delta = 4 4a。
当\Delta 0，即4 4a 0，a > 1时，不等式的解集为R。
当\Delta = 0，即4 4a = 0，a = 1时，不等式化为(x 1)^2 > 0，解集为x ≠ 1。
当\Delta > 0，即4 4a > 0，a 1时，方程x^2 2x + a = 0的两根为x_1 = 1 \sqrt{1 a}，x_2 = 1 + \sqrt{1 a}，不等式的解集为x 1 \sqrt{1 a}或x > 1 + \sqrt{1 a}。
例题 2解不等式：ax^2 + 2x + 1 > 0，其中a为参数。
解析：当a = 0时，不等式化为2x + 1 > 0，解得x > \frac{1}{2}。
当a ≠ 0时，对于一元二次方程ax^2 + 2x + 1 = 0，其判别式\Delta = 4 4a。
若\Delta 0，即4 4a 0，a > 1，不等式的解集为R。
若\Delta = 0，即4 4a = 0，a = 1，不等式化为(x + 1)^2 > 0，解集为x ≠ 1。
若\Delta > 0，即4 4a > 0，a 1且a ≠ 0，方程ax^2 + 2x + 1 = 0的两根为x_1 = \frac{1 + \sqrt{1 a}}{a}，x_2 =\frac{1 \sqrt{1 a}}{a}。
当0 a 1时，不等式的解集为x \frac{1 \sqrt{1 a}}{a}或x > \frac{1 + \sqrt{1 a}}{a}。
当a 0时，不等式的解集为\frac{1 + \sqrt{1 a}}{a} x\frac{1 \sqrt{1 a}}{a}。
根与判别式含参数一元二次方程专项练习60题(有答案)ok
一元二次方程专项练习60题1．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有两个实数根x1和x2．（1）求实数m的取值范围；（2）当时，求m的值．2．关于x的方程2x2﹣（a2﹣4）x﹣a+1=0，（1）若方程的一根为0，求实数a的值；（2）若方程的两根互为相反数，求实数a的值．3．已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+k+2=0的两个实数根分别为x1和x2，且x12+x22=6，求k的值？4．已知关于x的方程kx2+2（k+1）x﹣3=0．（1）请你为k选取一个合适的整数，使方程有两个有理根，并求出这两个根；（2）若k满足不等式16k+3＞0，试讨论方程实数根的情况．5．已知方程2（m+1）x2+4mx+3m=2，根据下列条件之一求m的值．（1）方程有两个相等的实数根；（2）方程有两个相反的实数根；（3）方程的一个根为0．6．已知α，β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足+=﹣1，求m的值．7．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足，求m 的值．8．已知关于x的一元二次方程x2+2（2一m）x+3﹣6m=0．（1）求证：无论m取何实数，方程总有实数根；（2）若方程的两个实数根x l和x2满足x l+x2=m，求m的值．9．已知关于x的一元二次方程x2﹣（8+k）x+8k=0（1）求证：无论k取任何实数，方程总有实数根；（2）若等腰三角形的一边长为5，另两边长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．10．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（1﹣m）x+m2=0的两根为x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）若x12+12m+x22=10，求m的值．11．已知：关于x的一元二次方程kx2+（2k+1）x+k﹣2=0的两个实数根是x1和x2．（1）求k的取值范围；（2）若x12=11﹣x22，求k的值．12．已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m=0有两个实数根（1）求m的取值范围；（2）若x=﹣1是方程的一个根，求m的取值及方程的另一个根．13．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+2）x+m﹣2=0．（1）求证：无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根．（2）若方程的两实数根之积等于m2+9m﹣11，求的值．14．一元二次方程x2+kx﹣（k﹣1）=0的两根分别为x1，x2．且x12﹣x22=0，求k值．15．在正实数范围内，只存在一个数是关于x的方程的解，求实数k的取值范围．16．关于x的方程4kx2+4（k+2）x+k=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围．（2）是否存在实数k，使方程的两个实数根的倒数和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．17．已知关于x的二次方程a2x2+2ax+1=﹣3x的两个实数根的积为1，且关于x的二次方程x2+2（a+n）x﹣a2=4﹣6a﹣2n有小于2的正实根，求n的整数值．18．关于的方程2x3+（2﹣m）x2﹣（m+2）x﹣2=0有三个实数根分别为α、β、x0，其中根x0与m无关．（1）如（α+β）x0=﹣3，求实数m的值．（2）如α＜a＜b＜β，试比较：与的大小，并说明你的理由．19．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根，其满足（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）=﹣80．求实数a的所有可能值．20．已知关于x的方程x2+（2m﹣3）x+m2+6=0的两根x1，x2的积是两根和的两倍，①求m的值；②求作以为两根的一元二次方程．21．已知关于x的方程x2﹣（2k﹣3）x+k2+1=0．问：（1）当k为何值时，此方程有实数根；（2）若此方程的两实数根x1、x2，满足|x1|+|x2|=3，求k的值．22．已知，关于x的方程x2﹣2mx=﹣m2+2x的两个实数根x1、x2满足|x1|=x2，求实数m的值．23．设m为整数，且4＜m＜40，方程x2﹣2（2m﹣3）x+4m2﹣14m+8=0有两个整数根，求m的值．24．已知关于x的方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1=0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求k的取值范围；（2）是否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．25．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根的平方和为23，求m的值．26．已知关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2+4=0有两个实数根，且这两根的平方和比两根的积大21，求m的值．27．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有两个实数根x1和x2．（1）求实数m的取值范围；（2）当（x1+x2）•（x1﹣x2）=0时，求m的值．（友情提示：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则：，）28．关于x的方程有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）已知关于x的方程x2﹣（k+1）x+k+2=0的两个实数根的平方和等于6，求k的值．29．已知x1、x2是方程4x2﹣（3m﹣5）x﹣6m2=0的两根，且，求m的值．30．已知关于x的方程k有两个不相等的实数根．（1）求实数k的取值范围；（2）设方程的两实根为x1和x2（x1≠x2），那么是否存在实数k，使成立？若存在，请求出k的值；若不存在，请说明理由．31．已知：关于x的方程x2+kx+k﹣1=0（1）求证：方程一定有两个实数根；（2）设x1，x2是方程的两个实数根，且（x1+x2）（x1﹣x2）=0，求k的值．32．设关于x的二次方程（a2+1）x2﹣4ax+2=0的两根为x1，x2，若2x1x2=x1﹣3x2，试求a的值．33．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根x1，x2，（1）求a的取值范围；（2）若5x1+2x1x2=2a﹣5x2；求a的值．34．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k﹣3=0．（1）求证：无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）当Rt△ABC的斜边长a=，且两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根时，求△ABC的周长．35．一元二次方程8x2﹣（m﹣1）x+m﹣7=0，（1）m为何实数时，方程的两个根互为相反数？（2）m为何实数时，方程的一个根为零？（3）是否存在实数m，使方程的两个根互为倒数？36．已知一元二次方程kx2+x+1=0（1）当它有两个实数根时，求k的取值范围；（2）问：k为何值时，原方程的两实数根的平方和为3？37．关于x的方程为x2+（m+2）x+2m﹣1=0．（1）证明：方程有两个不相等的实数根．（2）是否存在实数m，使方程的两个实数根互为相反数？若存在，求出m的值及两个实数根；若不存在，请说明理由．38．已知：关于的方程x2﹣kx﹣2=0．（1）求证：无论k为何值时，方程有两个不相等的实数根．（2）设方程的两根为x1，x2，若2（x1+x2）＞x1x2，求k的取值范围．39．已知：关于x的方程x2﹣2（m+1）x+m2﹣3=0．（1）当m为何值时，方程总有两个实数根？（2）设方程的两实根分别为x1、x2，当x12+x22﹣x1x2=78时，求m的值．40．已知x1，x2是关于x的方程x2﹣（2m+3）x+m2=0的两个实数根，且=1时求m的值．41．已知关于x的方程x2+（m+2）x+2m﹣1=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若方程有一根为2，求m的值，并求出此时方程的另一根．42．关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=7．求（x1﹣x2）2的值．43．已知方程x2+2（k﹣2）x+k2+4=0有两个实数根，且这两个实数根的平方和比两根的积大21，求k的值和方程的两个根．44．若关于x的一元二次方程4kx2+4（k+2）x+k=0有两个不相等的实数根，是否存在实数k，使方程的两个实数根之和等于0？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．45．已知关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+k=0的一个根是x=﹣2，求k的值以及方程的另一根．46．已知x1、x2是方程x2﹣2mx+3m=0的两根，且满足（x1+2）（x2+2）=22﹣m2，求m的值．47．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+1）x+2k﹣2=0．（1）求证：无论k为何值时，该方程总有实数根；（2）若两个实数根平方和等于5，求k的值．48．若关于x的方程x2+（m+1）x+m+4=0两实数根的平方和是2，求m的值．49．m为何值时，方程2x2+（m2﹣2m﹣15）x+m=0两根互为相反数？50．已知△ABC的两边AB、AC的长度是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+2）x+k2+2k=0的两个根，第三边长为10，问k为何值时，△ABC是等腰三角形？并求出这个等腰三角形的周长．51．已知关于x的一元二次方程x2﹣2（k﹣1）x+k2=0（1）当k取什么值时，原方程有实数根；（2）对k选取一个合适的数，使方程有两个实数根，并求出这两个实数根的平方和．52．已知x1，x2是关于x的方程x2+（2a﹣1）x+a2=0的两个实数根，（1）当a取何值时，方程两根互为倒数？（2）如果方程的两个实数根x1、x2满足|x1|=x2，求a的值．53．已知关于x的方程（1）若方程有两个相等的实数根，求m的值，并求出此时方程的根；（2）是否存在正数m，使方程的两个实数根的平方和等于224．若存在，求出满足条件的m的值；若不存在，请说明理由．54．已知一元二次方程8x2﹣（2m+1）x+m﹣7=0，根据下列条件，分别求出m的值：（1）两根互为倒数；（2）两根互为相反数；（3）有一根为零；（4）有一根为1．55．已知关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣（2a﹣3）x+a=0有实数根．（1）求a的取值范围；（2）设x1，x2是一元二次方程（a﹣1）x2﹣（2a﹣3）x+a=0的两个根，且x12+x22=9，求a的值．56．已知一元二次方程8y2﹣（m+1）y+m﹣5=0．（1）m为何值时，方程的一个根为零？（2）m为何值时，方程的两个根互为相反数？（3）证明：是否存在实数m，使方程的两个根互为倒数．57．已知一元二次方程（m+1）x2﹣x+m2﹣3m﹣3=0有一个根是1，求m的值及方程的另一个根．58．若关于x的方程（a2﹣3）x2﹣2（a﹣2）x+1=0的两个实数根互为倒数，求a的值．59．已知△ABC的一边为5，另外两边恰是方程x2﹣6x+m=0的两个根．（1）求实数m的取值范围．（2）当m取最大值时，求△ABC的面积．60．已知等腰三角形的一边长a=1，另两边b、c恰是方程x2﹣（k+2）x+2k=0的两根，求△ABC的周长．参考答案：1．解：（1）根据题意得△=（2m﹣1）2﹣4m2≥0，解得m ≤；（2）根据题意得x1+x2=﹣（2m﹣1），x1•x2=m2，∵，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2=7，∴（2m﹣1）2﹣2m2=7，整理得m2﹣2m﹣3=0，解得m1=3，m2=﹣1，∵m ≤，∴m=﹣12．解：（1）把x=0代入原方程得﹣a+1=0，解得a=1；（2）设方程两个为x1，x2，根据题意得x1+x2==0，解得a=±2，当a=﹣2时，原方程化为2x2+3=0，此方程无实数解，∴a=23．解：由根与系数的关系可得：x1+x2=k+1，x1•x2=k+2，又知x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=（k+1）2﹣2（k+2）=6 解得：k=±3．∵△=b2﹣4ac=（k+1）2﹣4（k+2）=k2﹣2k﹣7≥0，∴k=﹣34．解：（1）比如：取k=3，原方程化为3x2+8x﹣3=0．…（1分）即：（3x﹣1）（x+3）=0，解得：x1=﹣3，x2=；…（2分）（2）由16+k＞0，解得k ＞﹣．…（3分）∵当k=0时，原方程化为2x﹣3=0；解得：x=，∴当k=0时，方程有一个实数根…（4分）∵当k ＞﹣且k≠0时，方程kx2+2（k+1）x﹣3=0为一元二次方程，∴△=[2（k+1）]2﹣4×k×（﹣3）=4k2+8k+4+12k=4k2+20k+4=[（2k）2+2×2k×1+1]+（16k+3）=（2k+1）2+16k+3，…（5分）∵（2k+1）2≥0，16k+3＞0，∴△=（2k+1）2+16k+3＞0．…（6分）∴当k ＞﹣且k≠0时，一元二次方程kx2+2（k+1）x﹣3=0有两个不等的实数根5．解：（1）∵△=16m2﹣8（m+1）（3m﹣2）=﹣8m2﹣8m+16，而方程有两个相等的实数根，∴△=0，即﹣8m2﹣8m+16=0，求得m1=﹣2，m2=1；（2）因为方程有两个相等的实数根，所以两根之和为0且△≥0，则﹣=0，求得m=0；（3）∵方程有一根为0，∴3m﹣2=0，∴m=．6．解：根据条件知：α+β=﹣（2m+3），αβ=m2，∴+==﹣1，∴=﹣1，即：m2﹣2m﹣3=0，解得：m=3或﹣1，当m=3时，方程为x2+9x+9=0，此方程有两个不相等的实数根，当m=﹣1时，方程为x2+x+1=0，此方程无实根，不合题意，舍去，∴m=37．解：根据题意得△=（2m+3）2﹣4m2＞0，解得m ＞﹣；根据根与系数的关系得x1+x2=2m+3，则2m+3=m2，整理得m2﹣2m﹣3=0，即（m﹣3）（m+1）=0，解得m1=3，m2=﹣1，则m=38．（1）证明：方程根的判别式△=[2（2﹣m）]2﹣4×1×（3﹣6m）=4（4﹣4m+m2）﹣4（3﹣6m）=4（4﹣4m+m2﹣3+6m）=4（1+2m+m2）=4（m+1）2（4分）∵无论m为何实数，4（m+1）2≥0恒成立，即△≥0恒成立．（5分）∴无论m取何实数，方程总有实数根；（6分）（2）解：由根与系数关系得x1+x2=﹣2（2﹣m）（7分）由题知x1+x2=m，∴m=﹣2（2﹣m）（8分）解得m=4．9．解：（1）∵△=（8+k）2﹣4×8k=（k﹣8）2，∵（k﹣8）2，≥0，∴△≥0，∴无论k取任何实数，方程总有实数根；（2）解方程x2﹣（8+k）x+8k=0得x1=k，x2=8，①当腰长为5时，则k=5，∴周长=5+5+8=18；②当底边为5时，∴x1=x2，∴k=8，∴周长=8+8+5=2110．解：（1）△=[2（1﹣m）]2﹣4m2=4﹣8m，∵方程有两根，∴△≥0，即4﹣8m≥0，∴m ≤．（2）∵x1+x2=2（1﹣m），x1•x2=m2，且x12+12m+x22=10，∴m2+2m﹣3=0，解得 m1=﹣3，m2=1，又∵m ≤，∴m=﹣311．解：（1）∵方程有两个实数根，∴k≠0且△=（2k+1）2﹣4k（k﹣2）≥0，解得：k ≥﹣且k≠0，∴k的取值范围：k ≥﹣且k≠0．（2）∵一元二次方程kx2+（2k+1）x+k﹣2=0的两个实数根是x1和x2，∴x1+x2=﹣，x1x2=，∵x12=11﹣x22，∴x12+x22=11，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=11，∴﹣2（）=11，解得：k=﹣或k=1，∵k ≥﹣且k≠0，∴k=112．解：（1）∵方程x2+5x﹣m=0有两个实数根，∴△=25+4m≥0，解得：m ≥﹣；（2）将x=﹣1代入方程得：1﹣5﹣m=0，即m=﹣4，∴方程为x2+5x+4=0，设另一根为a，∴﹣1+a=﹣5，即a=﹣4，则m的值为﹣4，方程另一根为﹣413．解：（1）由题意得：△=[﹣（m+2）]2﹣4（m﹣2）=m2+12，∵无论m取何值时，m2≥0，∴m2+12≥12＞0即△＞0恒成立，∴无论m取何值时，方程总有两个不相等的实数根．（2）设方程两根为x1，x2，由韦达定理得：x1•x2=m﹣2，由题意得：m﹣2=m2+9m﹣11，解得：m1=﹣9，m2=1，∴14．解：∵x12﹣x22=0，∴（x1+x2）（x1﹣x2）=0，∴x1+x2=0或x1﹣x2=0，当x1+x2=0，则x1+x2=﹣k=0，解得k=0，原方程变形为x2+1=0，此方程没有实数根，当x1﹣x2=0，则△=k2﹣4（k﹣1）=0，解得k1=k2=2，∴k的值为215．解：原方程可化为2x2﹣3x﹣（k+3）=0，①（1）当△=0时，，满足条件；（2）若x=1是方程①的根，得2×12﹣3×1﹣（k+3）=0，k=﹣4；此时方程①的另一个根为，故原方程也只有一根；（3）当方程①有异号实根时，，得k＞﹣3，此时原方程也只有一个正实数根；（4）当方程①有一个根为0时，k=﹣3，另一个根为，此时原方程也只有一个正实根．综上所述，满足条件的k 的取值范围是或k=﹣4或k≥﹣316．解：（1）由△=[4（k+2）]2﹣4×4k•k＞0，∴k＞﹣1又∵4k≠0，∴k的取值范围是k＞﹣1，且k≠0；（2）不存在符合条件的实数k理由：设方程4kx2+4（k+2）x+k=0的两根分别为x1、x2，由根与系数关系有：x1+x2=﹣，x1•x2=，又==﹣=0，∴k=﹣2，由（1）知，k=﹣2时，△＜0，原方程无实解，∴不存在符合条件的k的值17．解：∵关于x的二次方程a2x2+2ax+1=﹣3x∴a2x2+2ax+3x+1=0，∵关于x的二次方程a2x2+2ax+1=﹣3x的两个实数根的积为1，∴=1，∴a=±1，∵12a+9≥0，∴a=1∴关于x的二次方程x2+2（a+n）x﹣a2=4﹣6a﹣2n可化简为：x2+2（1+n）x+（1+2n）=0∴x1=﹣1，x2=﹣1﹣2n，∵关于x的二次方程x2+2（a+n）x﹣a2=4﹣6a﹣2n有小于2的正实根，∴0＜﹣1﹣2n＜2，∴n的整数值为﹣118．解：（1）由2x3+（2﹣m）x2﹣（m+2）x﹣2=0得（x+1）（2x2﹣mx﹣2）=0，∴x0=﹣1，（2分）α、β是方程2x2﹣mx﹣2=0的根∴，∵（α+β）x0=﹣3，所以m=6（4分）（2）设T=﹣=（5分）∵a＜b，∴b﹣a＞0，又a2+1＞0，b2+1＞0，∴＞0（6分）设f（x）=2x2mx﹣2，所以α、β是f（x）=2x2mx﹣2与x轴的两个交点，∵α＜a＜b＜β∴，即∴ma+mb＞2a2+2b2﹣4（8分）∴4﹣4ab+ma+mb＞2（a﹣b）2＞0（9分）∴T＞0，即＞19．解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+（3a﹣1）x+2a2﹣1=0的两个实数根，∴△≥0，即（3a﹣1）2﹣4（2a2﹣1）=a2﹣6a+5≥0所以a≥5或a≤1．…（3分）∴x1+x2=﹣（3a﹣1），x1•x2=2a2﹣1，∵（3x1﹣x2）（x1﹣3x2）=﹣80，即3（x12+x22）﹣10x1x2=﹣80，∴3（x1+x2）2﹣16x1x2=﹣80，∴3（3a﹣1）2﹣16（2a2﹣1）=﹣80，整理得，5a2+18a﹣99=0，∴（5a+33）（a﹣3）=0，解得a=3或a=﹣，当a=3时，△=9﹣6×3+5=﹣4＜0，故舍去，当a=﹣时，△=（﹣）2﹣6×（﹣）+6=（）2+6×+6＞0，∴实数a 的值为﹣20．解：（1）∵原方程有两实根∴△=（2m﹣3）2﹣4（m2+6）=﹣12m﹣15≥0得①…（3分）∵x1+x2=﹣（2m﹣3）x1x2=m2+6…（4分）又∵x1x2=2（x1+x2），∴m2+6=﹣2（2m﹣3）整理得m2+4m=0解得m=0或m=﹣4…（6分）由①知m=﹣4…（7分）（2）∵…（9分），…（11分）由韦达定理得所求方程为…21．解：（1）若方程有实数根，则△=（2k﹣3）2﹣4（k2+1）≥0，∴k ≤，∴当k ≤，时，此方程有实数根；（2）∵此方程的两实数根x1、x2，满足|x1|+|x2|=3，∴（|x1|+|x2|）2=9，∴x12+x22+2|x1x2|=9，∴（x1+x2）2﹣2x1x2+2|x1x2|=9，而x1+x2=2k﹣3，x1x2=k2+1，∴（2k﹣3）2﹣2（k2+1）+2（k2+1）=9，∴2k﹣3=3或﹣3，∴k=0或3，k=3不合题意，舍去；∴k=022．解：方程整理为x2﹣2（m+1）x+m2=0，∵关于x的方程x2﹣2mx=﹣m2+2x的两个实数根x1、x2，∴△=4（m+1）2﹣4m2≥0，解得m ≥﹣；∵|x1|=x2，∴x1=x2或x1=﹣x2，当x1=x2，则△=0，所以m=﹣，当x1=﹣x2，即x1+x2=2（m+1）=0，解得m=﹣1，而m≥﹣，所以m=﹣1舍去，∴m 的值为﹣23．解：∵a=1，b=﹣2（2m﹣3），c=4m2﹣14m+8，∴△=b2﹣4ac=4（2m﹣3）2﹣4（4m2﹣14m+8）=4（2m+1）．∵方程有两个整数根，∴△=4（2m+1）是一个完全平方数，所以2m+1也是一个完全平方数．∵4＜m＜40，∴9＜2m+1＜81，∴2m+1=16，25，36，49或64，∵m为整数，∴m=12或24．代入已知方程，得x=16，26或x=38，52．综上所述m为12，或2424．解：（1）方程（k﹣1）x2+（2k﹣3）x+k+1=0有两个不相等的实数根x1，x2，可得k﹣1≠0，∴k≠1且△=﹣12k+13＞0，可解得且k≠1；（2）假设存在两根的值互为相反数，设为 x1，x2，∵x1+x2=0，∴，∴，又∵且k≠1∴k不存在25．解：设关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根分别为x1，x2，则：x1+x2=m，x1•x2=2m﹣1，∵关于x的一元二次方程x2﹣mx+2m﹣1=0的两个实数根的平方和为23，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=m2﹣2（2m﹣1）=m2﹣4m+2=23，解得：m1=7，m2=﹣3，当m=7时，△=m2﹣4（2m﹣1）=﹣3＜0（舍去），当m=﹣3时，△=m2﹣4（2m﹣1）=37＞0，∴m=﹣326．解：设x的方程x2+2（m﹣2）x+m2+4=0有两个实数根为x1，x2，∴x1+x2=2（2﹣m），x1x2=m2+4，∵这两根的平方和比两根的积大21，∴x12+x22﹣x1x2=21，即：（x1+x2）2﹣3x1x2=21，∴4（m﹣2）2﹣3（m2+4）=21，解得：m=17或m=﹣1，∵△=4（m﹣2）2﹣4（m2+4）≥0，解得：m≤0．故m=17舍去，∴m=﹣127．解：∵x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有两个实数根x1和x2，∴△=（2m﹣1）2﹣4m2=1﹣4m≥0，解得：m ≤；（2）∵x的一元二次方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有两个实数根x1和x2，∴x1+x2=1﹣2m，x1x2=m2，∴（x1+x2）•（x1﹣x2）=0，当1﹣2m=0时，1﹣2m=0，解得m=（不合题意）．当x1=x2时，（x1+x2）2﹣4x1x2=4m2﹣4m+1﹣4m2=0，解得：m=．故m 的值为：28．解：（1）依题意得△=（k+2）2﹣4k •＞0，解之得k＞﹣1，又∵k≠0，∴k的取值范围是k＞﹣1，且k≠0；（2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，则x1+x2=k+1，x1•x2=k+2，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=6，即（k+1）2﹣2（k+2）=6，解得：k=±3，当k=3时，△=16﹣4×5＜0，∴k=3（舍去）；当k=﹣3时，△=4﹣4×（﹣1）＞0，∴k=﹣329．解：∵a=4，b=5﹣3m，c=﹣6m2，∴△=（5﹣3m）2+4×4×6m2=（5﹣3m）2+96m2，∵5﹣3m=0与m=0不能同时成立．△=（5﹣3m）2+96m2＞0则：x1x2≤0，又∵，∴，又∵，，∴，∴，解得：m1=1，m2=530．解：（1）由＞0，解得k＞﹣1，又∵k≠0，∴k的取值范围是k＞﹣1且k≠0；（2）不存在符合条件的实数k，理由如下：∵，，又，∴，解得经检验k=﹣是方程的解．由（1）知，当时，△＜0，故原方程无实根∴不存在符合条件的k的值31．（1）证明：△=k2﹣4（k﹣1）=k2﹣4k+4=（k﹣2）2，∵（k﹣2）2≥0，即△≥0，∴方程一定有两个实数根；（2）根据题意得x1+x2=﹣k，x1•x2=k﹣1，∵（x1+x2）（x1﹣x2）=0，∴x1+x2=0或x1﹣x2=0，当x1+x2=0，则﹣k=0，解得k=0，当x1﹣x2=0，则△=0，即（k﹣2）2=0，解得k=2，∴k的值为0或232．解：∵关于x的二次方程（a2+1）x2﹣4ax+2=0的两根为x1，x2，∴①，②∵2x1x2=x1﹣3x2，∴2x1x2+（x1+x2）=2（x1﹣x2），平方得4（x1x2）2+4x1x2（x1+x2）=3（x1+x2）2﹣16x1x2，将式①、②代入后，解得a=3，a=﹣1，当a=3时，原方程可化为10x2﹣12x+2=0，△=122﹣4×10×2=64＞0，原方程成立；当a=﹣1时，原方程可化为2x2+4x+2=0，△=42﹣4×2×2=0，原方程成立．∴a=3或a=﹣133．解：（1）根据题意得a﹣1≠0且△=4﹣4（a﹣1）＞0，解得a＜2且a≠1；（2）根据题意得x1+x2=，x1•x2=，∵5x1+2x1x2=2a﹣5x2，∴5（x1+x2）+2x1x2=2a，∴+=2a，整理得a2﹣a﹣6=0，解得a1=3，a2=﹣2，∵a＜2且a≠1，∴a=﹣234．解：（1）关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4k ﹣3=0，△=（2k+1）2﹣4（4k﹣3）=4k2﹣12k+13=4+4＞0恒成立，故无论k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根；（2）根据勾股定理得：b2+c2=a2=31①因为两条直角边b和c恰好是这个方程的两个根，则b+c=2k+1②，bc=4k﹣3③，因为（b+c）2﹣2bc=b2+c2=31，即（2k+1）2﹣2（4k﹣3）=31，整理得：4k2+4k+1﹣8k+6﹣31=0，即k2﹣k﹣6=0，解得：k1=3，k2=﹣2（舍去），则b+c=2k+1=7，又因为a=，则△ABC的周长=a+b+c=+7．35．解：（1）∵一元二次方程8x2﹣（m﹣1）x+m﹣7=0的两个根互为相反数，∴x1+x2==0，解得m=1；（2）∵一元二次方程8x2﹣（m﹣1）x+m﹣7=0的一个根为零，∴x1•x2==0，解得m=7；（3）设存在实数m，使方程8x2﹣（m﹣1）x+m﹣7=0的两个根互为倒数，则x1•x2==1，解得m=15；则原方程为4x2﹣7x+4=0，△=49﹣4×4×4=﹣15＜0，所以原方程无解，这与存在实数m，使方程8x2﹣（m﹣1）x+m﹣7=0有两个根相矛盾．故不存在这样的实数m36．解：（1）∵方程有两个实数根，∴△=1﹣4k≥0且k≠0．故k ≤且k≠0．（2）设方程的两根分别是x1和x2，则：x1+x2=﹣，x1x2=，x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2，=﹣=3，整理得：3k2+2k﹣1=0，（3k﹣1）（k+1）=0，∴k1=，k2=﹣1．∵k ≤且k≠0，∴k=（舍去）．故k=﹣137．（1）证明：△=（m+2）2﹣4（2m﹣1）=m2﹣4m+8=（m ﹣2）2+4，∵（m﹣2）2≥0，∴（m﹣2）2+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．（2）存在实数m，使方程的两个实数根互为相反数．由题知：x1+x2=﹣（m+2）=0，解得：m=﹣2，将m=﹣2代入x2+（m+2）x+2m﹣1=0，解得：x=，∴m的值为﹣2，方程的根为x=38．解：（1）证明：由方程x2﹣kx﹣2=0知a=1，b=﹣k，c=﹣2，∴△=b2﹣4ac=（﹣k）2﹣4×1×（﹣2）=k2+8＞0，∴无论k为何值时，方程有两个不相等的实数根；（2）∵方程x2﹣kx﹣2=0．的两根为x1，x2，∴x1+x2=k，x1x2=﹣2，又∵2（x1+x2）＞x1x2，∴2k＞﹣2，即k＞﹣139．解：（1）∵△≥0时，一元二次方程总有两个实数根，△=[2（m+1）]2﹣4×1×（m2﹣3）=8m+16≥0，m≥﹣2，所以m≥﹣2时，方程总有两个实数根．（2）∵x12+x22﹣x1x2=78，∴（x1+x2）2﹣3x1x2=78，∵x1+x2=﹣，x1•x2=，∴﹣[2（m+1）]2﹣3×1×（m2﹣3）=78，解得m=5或﹣13（舍去），故m的值是m=540．解：∵关于x的方程x2﹣（2m+3）x+m2=0有两个实数根，∴△≥0，即（2m+3）2﹣4m2≥0，解得：m ≥﹣，∵+=1，∴=1，∴2m+3=m2，∴m2﹣2m﹣3=0，∴m1=3，m2=﹣1（舍去）．故可得m=341．（1）证明：∵△=（m+2）2﹣4×1×（2m﹣1）=（m﹣2）2+4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．（2）解：把x=2代入方程，得22+2（m+2）+2m﹣1=0 解得m=﹣，设方程的另一根为x1，则2x1=2×（﹣）﹣1，解得x1=﹣42．解：∵x1+x2=m，x1x2=2m﹣1，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=m2﹣2（2m﹣1）=7；解可得m=﹣1或5；当m=5时，原方程即为x2﹣5x+9=0的△=﹣11＜0无实根，当m=﹣1时，原方程即为x2+x﹣3=0的△=1+12=13＞0，有两根，则有（x1﹣x2）2=（x1+x2）2﹣4x1x2=13．答：（x1﹣x2）2的值为1343．解：∵方程x2+2（k﹣2）x+k2+4=0有两个实数根，∴△=4（k﹣2）2﹣4（k2+4）≥0，∴k≤0，设方程的两根分别为x1、x2，∴x1+x2=﹣2（k﹣2）…①，x1•x2=k2+4…②，∵这两个实数根的平方和比两根的积大21，即x12+x22=x1•x2+21，即（x1+x2）2﹣3x1•x2=21，把①、②代入得，4（k﹣2）2﹣3（k2+4）=21，∴k=17（舍去）或k=﹣1，∴k=﹣1，∴原方程可化为x2﹣6x+5=0，解得x1=1，x2=544．解：不存在实数k，使方程的两个实数根之和等于0．理由如下：设方程两个为x1，x2，则x1+x2=﹣∵一元二次方程4kx2+4（k+2）x+k=0有两个不相等的实数根，∴4k≠0且△=16（k+2）2﹣4×4k×k＞0，∴k的取值范围为k＞﹣1且k≠0，当x1+x2=0，∴﹣=0，∴k=﹣2，而k＞﹣1且k≠0，∴不存在实数k，使方程的两个实数根之和等于0 45．解：把x=﹣2代入原方程得4﹣2（k+3）+k=0，解得k=﹣2，所以原方程为x2+x﹣2=0，设方程另一个根为t，则t+（﹣2）=﹣1，解得t=1，即k的值为﹣2，方程的另一根为146．解：∵x1、x2是方程x2﹣2mx+3m=0的两根，∴x1+x2=2m，x1x2=3m．又（x1+2）（x2+2）=22﹣m2，∴x1x2+2（x1+x2）+4=22﹣m2，3m+4m+4=22﹣m2，m2+7m﹣18=0，（m﹣2）（m+9）=0，m=2或﹣9．当m=2时，原方程为x2﹣4x+6=0，此时方程无实数根，应舍去，取m=﹣947．（1）证明：△=（k+1）2﹣4（2k﹣2）=k2﹣6k+9=（k﹣3）2，∵（k﹣3）2≥0，即△≥0，∴无论k为何值时，该方程总有实数根；（2）解：设方程两根为x1，x2，则x1+x2=k+1，x1•x2=2k﹣2，∵x12+x22=5，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2=5，∴（k+1）2﹣2（2k﹣2）=5，∴k1=0，k2=248．解：设方程的两根为x1，x2，∴x1+x2=﹣（m+1），x1•x2=m+4，而x12+x22=2，∴（x1+x2）2﹣2x1•x2=2，∴（m+1）2﹣2（m+4）=2，解得m1=3，m2=﹣3，当m=3时，方程变形为x2+4x+7=0∵△=16﹣4×7＜0，∴此方程无实数根；当m=﹣3时，方程变形为x2﹣2x+1=0∵△=4﹣4×1=0，∴此方程有实数根，∴m=﹣349．解：若两根互为相反数，则△＞0，x1+x2=0，于是（m2﹣2m﹣15）2﹣4×2m≥0，又∵x1+x2=0，∴﹣=0，即m2﹣2m﹣15=0，解得，m=3，或m=5．当m=3时，（32﹣2×3﹣15）2﹣4×2×3=120＞0，符合题意；当m=5时，（52﹣2×5﹣15）2﹣4×2×5=﹣40＜0，不符合题意．故答案为：350．解：∵△ABC的两边AB、AC的长度是关于x的一元二次方程x2﹣（2k+2）x+k2+2k=0的两个根，则AB+AC=2k+2，AC×AB=k2+2k，分为三种情况：①若AB=AC时，则2AB=2k+2，AB2=k2+2k，AB=k+1，代入得：（k+1）2=k2+2k，此方程无解，即AB≠AC；②若AB=BC=10，则10+AC=2k+2，10AC=k2+2k，即AC=2k+2﹣10，代入得：10（2k+2﹣10）=k2+2k，解得：k1=10，k2=8，∴AC=12或8，③若AC=BC=10时，与②同法求出k=10或8，∴当AC=12，AB=10，BC=10时，△ABC的周长=12+10+10=32，∴当AC=8，AB=10，BC=10时，△ABC的周长=10+10+8=28，∴当k=10或k=8时，△ABC为等腰三角形，△ABC的周长为32或2851．解：（1）△=4（k﹣1）2﹣4k2=4（k2﹣2k+1）﹣4k2=﹣8k+4≥0，∴k ≤，故当k ≤时，原方程有实数根；（2）选k=0，则原方程化为：x2+2x=0，设两实数根为：x1，x2，由根与系数的关系：x1+x2=﹣2，x1x2=0，∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2，=4﹣0=452．解：（1）方程两根互为倒数，根据根与系数的关系x1•x2=1，即a2=1，a=±1，当a为1或﹣1时，方程两根互为倒数；（2）∵|x1|=x2，∴x1=x2或x1=﹣x2，当x1=x2时△=0，即（2a﹣1）2﹣4a2=0﹣4a+1=0，a=﹣，当x1=﹣x2时，2a﹣1=0，a=．∴方程的两个实数根x1、x2满足|x1|=x2，a 的值是﹣或53．解：：（1）∵a=，b=﹣（m﹣2），c=m2方程有两个相等的实数根，∴△=0，即△=b2﹣4ac=[﹣（m﹣2）]2﹣4××m2=﹣4m+4=0，∴m=1．原方程化为：x2+x+1=0 x2+4x+4=0，（x+2）2=0，∴x1=x2=﹣2．（2）不存在正数m使方程的两个实数根的平方和等于224．∵x1+x2=﹣=4m﹣8，x1x2==4m2x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（4m﹣8）2﹣2×4m2=8m2﹣64m+64=224，即：8m2﹣64m﹣160=0，解得：m1=10，m2=﹣2（不合题意，舍去），又∵m1=10时，△=﹣4m+4=﹣36＜0，此时方程无实数根，∴不存在正数m使方程的两个实数根的平方和等于224．54．解：设原方程的两根为x1、x2（1）∵两根互为倒数，∴两根之积为1x1•x2==1，解得m=15，（2）∵两根互为相反数，∴x1+x2==0，∴m=﹣，（3）当有一根为零时，∴m﹣7=0，∴m=7，（4）当有一根为1时，∴8﹣2m﹣1+m﹣7=0，解得m=055．解：（1）当a﹣1=0即a=1时，方程不是一元二次方程；当a≠1时，由△=b2﹣4ac≥0，得（2a﹣3）2﹣4a（a﹣1）≥0，解得a ≤，∵a﹣1≠0，∴a≠1，则a的取值范围是a ≤且a≠1，（2）∵x1，x2是一元二次方程（a﹣1）x2﹣（2a﹣3）x+a=0的两个根，∴x1+x2=，x1x2=．又∵x12+x22=9，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=9．（）2﹣2×=9．整理，得7a2﹣8a=0，a（7a﹣8）=0．∴a1=0，a2=（舍去）．经检验0是方程的根．故a=056．解：（1）若方程的一个根为零，则m﹣5=0，解得m=5，（2）若方程的两个根互为相反数，则两根之和为0，故=0，解得m=﹣1，（3）若方程两根互为倒数，则=1，解得m=13，当m=13时，方程是8y2﹣14y+8=0，即4y2﹣7y+4=0，根的判别式△=﹣15＜0，故不存在实数m，使方程的两个根互为倒数57．解：设另一根为x，∵一元二次方程（m+1）x2﹣x+m2﹣3m﹣3=0有一个根是1，∴m+1﹣1+m2﹣3m﹣3=0，解得m=3或﹣1（舍去），故m=3，∴x+1==，∴x=﹣，故另一根为﹣．58．解：设方程的两根为x1，x2，∵关于x的一元二次方程（a2﹣3）x2﹣2（a﹣2）x+1=0的两个实数根互为倒数，∴a2﹣3≠0，x1•x2==1，∴a2=4，∴a=2或﹣2，当a=2时，原方程变形为x2+1=0，△=﹣4＜0，此方程无实数根，∴a=﹣2．即a的值是﹣259．解：（1）设另两边为x1，x2，且x1＞x2．∴由韦达定理，得x1+x2=6，x1•x2，=m；根据三边关系得：x1+x2=6＞5 ①；∴x1﹣x2==＜5；解得，m ＞；又∵△=36﹣4m≥0，解得，m≤9，∴m 的取值范围是：＜m≤9；（2）当m取最大值，即m=9时，由原方程得x2﹣6x+9=0，即（x﹣3）2=0，解得，x1=x2=3，过点A作AD⊥BC于点D．∴AD=∴S△ABC =．60．解：x2﹣（k+2）x+2k=0（x﹣2）（x﹣k）=0，∴x1=2，x2=k，∵当k=2时，b=c=2，周长为5，∴当k=1时，1+1=2，不能构成三角形，∴周长为5。
含参的一元二次方程例题
含参的一元二次方程例题在一元二次方程的世界里，咱们就像在一场冒险，挺有意思的。
想象一下，生活中总有一些事情让人摸不着头脑，像是突然遇到一道方程，脑海中顿时一片混乱，真是让人抓狂。
你知道的，标准的一元二次方程看起来就像这样：( ax^2 + bx + c = 0 )。
这时候，你可能会想：“哎呀，字母多得跟我家里的衣服似的，怎么搞呀？”别急，咱们来一点一点捋清楚。
咱们要搞明白这些字母代表啥。
( a ) 可是个关键角色，只有它不等于零，方程才会是个一元二次方程，简直就像你今天出门必须穿鞋，不然可真是“光脚不怕穿鞋的”。
接下来是 ( b ) 和 ( c )，它们各自扮演着自己的小角色。
人生就像这些字母，你永远不知道它们会带你到哪里。
咱们在解方程的时候，最常用的工具就是“求根公式”啦。
这个公式就像是打开宝藏的钥匙，尤其当你不知道该如何着手的时候。
听着，公式是这样的：( x = frac{b pm sqrt{b^2 4ac{2a )。
听起来复杂？其实就像看一部悬疑电影，慢慢品味，总能找到线索的。
关键是，方程里的每一个部分都是有意义的。
再说说那个“判别式”，也就是 ( b^2 4ac )，这可是决定方程命运的关键。
要是判别式大于零，那恭喜你，方程有两个不同的实数解，简直是中了大奖！就像买彩票，一下子中俩，心里美得不要不要的。
要是它等于零，那就是完美的一对解，相遇的缘分，难得一见。
可是要是小于零，那就没办法了，只能在虚数的世界里徘徊，像个幽灵一样，无影无踪。
咱们还可以用图形来理解这玩意儿。
想象一下抛物线，就像是大自然中的一个美丽弧度，随风摇曳，宛如跳舞的精灵。
图像和方程之间的关系就像是两位老朋友，彼此呼应。
抛物线的开口方向取决于 ( a ) 的正负，开口向上，生活就有希望，开口向下，那就得小心点了。
你知道吗？生活中的问题，很多时候都可以用一元二次方程来描述。
比如，你想知道一块地的面积，或者是抛物线的最高点，咱们都可以通过这个方程来解决，简直是万能钥匙。
含参一元二次方程的解法-讲义
学科：数学专题：含参一元二次方程的解法重难点易错点解析当系数中含有字母时，注意有实解的判断。
题一题面：(x －m )2=n ．(n 为正数)金题精讲题一题面：解关于x 的一元二次方程1. x 2＋2mx =n ．(n ＋m 2≥0)．2. x 2－2mx ＋m 2－n 2=0．3. .04222=-+-b a ax x 4. abx 2－(a 2＋b 2)x ＋ab =0．(ab ≠0)解含参的一元二次方程：配方法、因式分解满分冲刺题一题面：解关于x 的一元二次方程1. ()()()b a a c x c b x b a ≠=-+-+-022. ()()()01222≠--=-b a x b a x 3. ()()()0222222≠+-=-++b a b a bx a b ax解含参的一元二次方程：因式分解题二题面：解关于x 的方程kx 2－(k ＋1)x ＋1=0．解含参的方程，分类讨论。
题三题面：已知关于x 的方程x 2－2ax －a ＋2b ＝0，其中a ，b 为实数．(1)若此方程有一个根为2a (a ＜0)，判断a 与b 的大小关系并说明理由；(2)若对于任何实数a ，此方程都有实数根，求b 的取值范围．一元二次方程的解，判别式。
讲义参考答案重难点易错点解析题一 答案：.,21m n x m n x +-=+=金题精讲题一答案：1. .,2221n m m x n m m x +--=++-= 2. x 1＝m ＋n ，x 2＝m －n .3. .2,221b a x b a x +=-= 4. ⋅==ba x ab x 21, 满分冲刺题一答案：(1)121,c a x x a b -==- (2) 12,1a ab x a x b+==- (3)当b=0时，120x x ==；当b ≠0时，无实根。
题二答案：k ＝0时，x ＝1；k ≠0时，.1,121==x kx 题三答案：解：(1)∵方程x 2－2ax －a ＋2b ＝0有一个根为2a ，∴4a 2－4a 2－a ＋2b ＝0． 整理，得2a b =． ∵0<a ，∴2a a <，即b a < (2)△＝4a 2－4(－a ＋2b )＝4a 2＋4a －8b ．∵对于任何实数a ，此方程都有实数根，∴对于任何实数a ，都有4a 2＋4a －8b ≥0，即a 2＋a －2b ≥0．∴对于任何实数a ，都有⋅+≤22a a b∵,81)21(21222-+=+a a a 当21-=a 时，22a a +有最小值81-． ∴b 的取值范围是81-≤b。
含参数的一元二次方程
解含参数的一元二次型不等式讨论策略南昌十三中 周荣分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点.解分类讨论问题，需要学生有一定的分析能力，一定的分类技巧，有利于对学生能力的考查.下面结合解关于含参数的一元二次型不等式时对参数讨论进行举例说明.一、对二次项系数a 的讨论：若二次项系数x 2项的系数a 含有参数，则须对a 的符号分类，即分a >0,a=0,a <0.例3解关于x 的不等式ax 2+(1-a)x-1>0(a >-1)解析：二次项系数含有参数,因此对a 须在0点处分开讨论.若a ≠0原不等式ax 2+(1-a)x-1>0等价于(x-1)(ax+1)>0. 其对应方程的根为﹣1a与1.又∵a >-1，则 (1)当a=0时，原不等式为x-1>0，∴原不等式的解集为{x|x >1}.(2)当a >0时，﹣1a <1，∴原不等式的解集为{x|x >1或x <-1a}. (3)当-1<a <0时，﹣1a >1，∴原不等式的解集为{x|1<x <﹣1a}. 二、对判别式△的讨论若判别式△=b 2-4ac 中含有参数，则须对判别式△的符号分类，即分△>0，△=0，△<0.例2 解关于x 的不等式2x 2+ax+2>0解析：由于判别式△=a 2-16=(a-4)(a+4)中含有参数，因此须对△的符号进行讨论，即对a 在-4点与4点处分开讨论，则①当a >4或a <-4时，△>0，方程2x 2+ax+2=0的两根为：x 1=14(-a-a 2-16),x 2=14(-a+a 2-16), ∴原不等式的解集为：{x|x <14(-a-a 2-16)或x >14(-a+a 2-16)}. ②当a=±4时，△=0，原不等式解集为：{x|x ≠﹣a 4}, ③当-4<a <4时，当△<0，时，原不等式解集为R.三、对根的大小的讨论若不等式对应的方程的根为x 1，x 2中含有参数,则须对x 1，x 2的大小来分类，即分x 1<x 2,x 1=x 2,x 1>x 2. 例3解关于x 的不等式x 2-2x+1-a 2≥0.解：(x-1)2-a 2≥0，(x-1-a)(x-1+a)≥0.其对应的根为1+a 与1﹣a.由(1+a)-(1﹣a)=2a ，得①当a >0时，1+a >1-a ，∴原不等式的解集为{x|x ≥1+a 或x ≤1-a}. ②当a=0时，1+a =1-a ，∴原不等式的解集为全体实数R.③当a <0时，1-a >1+a ，∴原不等式的解集为{x|x ≥1-a 或x ≤1+a}.四、即有对判别式讨论又有对根的大小的讨论例3解关于x 的不等式：.012<-+ax ax解：.012<-+ax ax )(*（1）0=a 时，.01)(R x ∈⇔<-⇔*（2）0≠a 时，则0042>⇔≥+=∆a a a 或4-≤a ， 此时两根为a a a a x 2421++-=，aa a a x 2422+--=. ①当0>a 时，0>∆，⇔*∴)(<<+--x a a a a 242aa a a 242++-； ②当04<<-a 时，0<∆，R x ∈⇔*∴)(；③当4-=a 时，0=∆，21)(-≠∈⇔*∴x R x 且； ④当4-<a 时，0>∆，⇔*∴)(或a a a a x 242++->aa a a x 242+--<. 综上，可知当0>a 时，解集为(a a a a 242+--,aa a a 242++-)； 当04≤<-a 时，解集为R ；当4-=a 时，解集为(21,-∞-)⋃(+∞-,21); 当4-<a 时，解集为(a a a a 24,2+--∞-)⋃(+∞++-,242aa a a ).。
专题二次函数根的分布问题、含参数一元二次不等式(原卷版)
专题09 二次函数根的分布问题、含参数一元二次不等式【考点预测】1、实系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的实根符号与系数之间的关系 （1）方程有两个不等正根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=->⎨⎪⎪=>⎪⎩（2）方程有两个不等负根12,x x ⇔212124000b ac b x x a c x x a ⎧⎪∆=->⎪⎪+=-<⎨⎪⎪=>⎪⎩（3）方程有一正根和一负根，设两根为12,x x ⇔120cx x a=< 2、一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根的分布问题 一般情况下需要从以下4个方面考虑： （1）开口方向；（2）判别式；（3）对称轴2bx a=-与区间端点的关系；（4）区间端点函数值的正负．设12,x x 为实系数方程20(0)ax bx c a ++=>的两根，则一元二次20(0)ax bx c a ++=>的根的分布与其限定条件如表所示． 根的分布图像限定条件12m x x <<2()0b m a f m ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⎪>⎩ 12x m x <<()0f m <12x x m <<02()0b m a f m ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⎪>⎩ 在区间(,)m n 内 没有实根0∆<12120x x m x x m∆==≤=≥或02()0b m a f m ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⎪≥⎩02()0b n a f n ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⎪≥⎩()0()0f m f n ≤⎧⎨≤⎩ Onm yxOnmyxOnm yxOnm yxOnm yx在区间(,)m n 内 有且只有一个实根()0()0f m f n >⎧⎨<⎩()0()0f m f n <⎧⎨>⎩在区间(,)m n 内 有两个不等实根02()0()0b m n a f m f n ∆>⎧⎪⎪<-<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩ 3、解含参数的一元二次不等式需要对字母的取值进行分类讨论，常用的分类方法有以下三种：（1）按二次项系数a 的符号分类，即0,0,0a a a >=<； （2）按判别式的符号分类，即0,0,0∆>∆=∆<；（3）按方程20ax bx c ++=的根1x 、2x 的大小分类，即121212,,x x x x x x >=<． 【典型例题】例1．（2022·辽宁·营口市第二高级中学高一期末）已知关于x 的不等式2320(R)ax x a ++>∈. (1)若2320ax x ++>的解集为{}1x b x <<，求实数,a b 的值； (2)求关于x 的不等式2321ax x ax -+>-的解集.例2．（2022·全国·高一专题练习）已知关于x 的不等式ax 2﹣x +1﹣a ＜0．OnmyxOn m yxOn myx(1)当a ＝2时，解关于x 的不等式； (2)当a ＞0时，解关于x 的不等式．例3．（2022·河南·高一阶段练习）（1）若不等式210ax bx +-<的解集是113x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭∣，求,a b的值；（2）若31b a =--，且关于x 的方程210+-=ax bx 有两个不同的负根，求a 的取值范围.例4．（2022·全国·高一课时练习）已知关于x 的方程220x x a -+=． (1)当a 为何值时，方程的一个根大于1，另一个根小于1？(2)当a 为何值时，方程的一个根大于1-且小于1，另一个根大于2且小于3？ (3)当a 为何值时，方程的两个根都大于0？例5．（2022·全国·高一单元测试）求实数m 的范围，使关于x 的方程()221?260.x m x m +-++= (1)有两个实根，且一个比2大，一个比2小； (2)有两个实根 αβ，，且满足014αβ<<<<； (3)至少有一个正根.【过关测试】一、单选题1．（2022·湖北·华中师大一附中高一开学考试）关于x 的方程()2290ax a x a +++=有两个不相等的实数根12,x x ，且121x x ，那么a 的取值范围是（ ） A ．2275a -<<B ．25a > C ．27a <-D ．2011a -<<2．（2022·全国·高一课时练习）关于x 的方程()22210x m x m +-+-=恰有一根在区间()0,1内，则实数m 的取值范围是（ ） A ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．12,23⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．1,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．{}12,6723⎛⎤⋃- ⎥⎝⎦3．（2022·江苏·高一专题练习）关于x 的方程222(1)0x m x m m +-+-=有两个实数根α，β，且2212αβ+=，那么m 的值为（ ） A ．1-B ．4-C ．4-或1D ．1-或44．（2022·江苏·高一）已知关于x 的方程230x kx k -++=有两个正根，那么两个根的倒数和最小值是（ ） A ．-2B ．23C ．89D ．15．（2022·全国·高一专题练习）已知方程240x x a -+=的两根都大于1，则a 的取值范围是（ ） A ．34a <≤ B ．14a <≤ C ．1a >D ．4a ≤6．（2022·全国·高一期中）若关于x 的不等式()2330x m x m -++<的解集中恰有3个整数，则实数m 的取值范围为（ ） A ．(]6,7B ．[)1,0-C ．[)(]1,06,7-⋃D ．[]1,7-7．（2022·上海·高一专题练习）关于x 的不等式2320ax x -+>的解集为{|1x x <或}x b >，则关于x 的不等式2()0ax ac b x bx -++>，以下结论正确的是（ ） A ．当0c >时，解集为{}|0x x c << B ．当0c 时，解集为R C ．当0c <时，解集为{|x x c <或0}x >D ．以上都不正确8．（2022·全国·高一课时练习）若关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集中恰有两个整数，则实数a 的取值范围是 A ．{}34a a << B ．{|21a a -<<-或}34a << C ．{}34a a < D ．{|21a a -<-或}34a <二、多选题9．（2022·湖南·株洲二中高一开学考试）已知关于x 的不等式组222802(27)70x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩仅有一个整数解，则k 的值可能为（ ） A ．5-B ．3-C ．πD ．510．（2022·江苏·高一专题练习）已知函数23y ax bx =+-，则下列结论正确的是（ ）A ．关于x 的不等式230ax bx +-<的解集可以是{}3x x >B ．关于x 的不等式230ax bx +->的解集可以是∅C ．函数23y ax bx =+-在()0,∞+上可以有两个零点D ．“关于x 的方程230ax bx +-=有一个正根和一个负根”的充要条件是“0a >”11．（2022·湖南·长沙市实验中学高一期中）已知关于x 的方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0，下列结论正确的是（ ）A ．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有实数根的充要条件是m ∈{m |m <1或m >9}B ．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有一正一负根的充要条件是m ∈{m |m <0}C ．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有两正实数根的充要条件是m ∈{m |0<m ≤1}D ．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0无实数根的必要条件是m ∈{m |m >1}12．（2022·湖南·新化县教育科学研究所高一期末）已知a Z ∈，关于x 的一元二次不等式x 2-8x +a ≤0的解集中有且仅有3个整数，则a 的值可以是（ ） A ．13 B ．14 C ．15 D ．17三、填空题13．（2022·全国·高一单元测试）方程()2250x a x a --+-=的两根都大于2，则实数a 的取值范围是_____．14．（2022·全国·高一专题练习）方程()2110mx m x --+=在区间()0,1内有两个不同的根，m 则的取值范围为__．15．（2022·全国·高一专题练习）已知方程()()22110x a x a a -+++=的两根分别在区间()0,1，()1,3之内，则实数a 的取值范围为______．16．（2022·安徽·泾县中学高一开学考试）记关于x 的不等式220x x a a -+-≤的解集为A ，集合{}12B x x =-≤<，若A B ，则实数a 的取值范围为___________. 四、解答题17．（2022·四川成都·高一期末）设函数()()()3f x x x a =--，R a ∈. (1)解关于x 的不等式()0f x <；(2)当()3x ∈+∞，时，不等式()9f x ≥-恒成立，求a 的取值范围.18．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()()21f x x x a a =++-，(1)当2a =时，求不等式()0f x <的解集.(2)求不等式()2f x x <的解集.19．（2022·江苏省天一中学高一期末）已知二次函数()()222,R f x ax bx b a a b =++-∈，当()1,3x ∈-时，()0f x >；当()(),13,x ∈-∞-⋃+∞，()0f x <. (1)求a ，b 的值；(2)解关于x 的不等式：()()220R ax b c x c c +-+>∈.20．（2022·湖南·高一课时练习）当k 为何值时，关于x 的方程()22340x k x k +-+=分别满足：(1)无实数根？ (2)有两正实根？21．（2022·全国·高一单元测试）关于x 的方程2220x mx m +++=分别满足下列条件： (1)当4m =时，两根分别为1x 、2x ，求2212x x +的值； (2)m 为何值时，有一正根一负根； (3)m 为何值时，有两个不相等的正根．22．（2022·全国·高一专题练习）已知关于x 的方程2(21)70x m x m -+++=有两个不等的实根1x ，2x ．（1）两根一个根大于1，一个根小于1，求参数m 的取值范围； （2）113x <<，24x >，求参数m 的取值范围．。
含参一元二次方程计算100题+详解
含参一元二次方程计算100题使用说明：本专题的制作目的是提高学生在含参一元二次方程这一部分的计算能力。
主要有以下几个模块：①公共根；②整数根；③有理根；④已知根的情况求参数；⑤已知根的范围求参数；⑥已知参数范围求根的范围；共100题。
建议先仔细研究方法总结、易错总结和例题解析，再进行巩固练习。
模块一公共根方法总结：①设公共根②代入两方程，联立成方程组③得到新方程④解方程⑤将公共根代入原方程易错总结：最后结果注意代入检验一下是否正确例题解析：已知两方程x2+mx+n=0，x2+nx+m=0有且仅有一个公共根，求m，n的关系．解：设a为两方程的公共根，则……【设公共根】{a2+ma+n=0①a2+na+m=0②，……【将公共根代入两方程，联立】①−②得(m−n)a+(n−m)=0，(m−n)(a−1)=0．……【得到新方程】∵有且只有一个公共根，则m−n≠0．∴a=1，即x=1．……【解出x】将x=1代入原方程得，m+n=−1且m≠n．……【得出m、n关系】巩固练习：1.已知关于x的方程x2+px+q=0与x2+qx+p=0(p≠q)有一个公共根，求(p+q)2012的值．2.已知方程x2+a1x+a2a3=0与方程x2+a2x+a1a3=0有且只有一个公共根．求证：这两个方程的另两根(除公共根外)是方程x2+a3x+a1a2=0的根．3.若方程x2+bx+1=0与方程x2−x−b=0至少有一个相同的实数根，求实数b的值．4.设c是实数，已知x2−3x+c=0的一个解的相反数是方程x2+3x−c=0的一个解，求方程x2−3x+c=0的解．5.已知a>2，b>2，试判断关于x的方程x2−(a+b)x+ab=0与x2−abx+(a+b)=0有没有公共根，请说明理由．6.当p是什么实数时，方程x2+px−3=0与方程x2−4x−(p−1)=0有一个公共根．7.三个二次方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0有公共根．求证:a+b+ c=0；8.若方程a2x2+ax−1=0和x2−ax−a2=0有公共根，求a的值．9.定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，我们称这两个方程为“友好方程”．如果关于x的一元二次方程x2−4x+5m=mx+5与x2+√2x+m−1=0互为“友好方程”，求m的值．10.定义：若两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根，则称这两个方程为“友好方程”，已知关于x的一元二次方程x2−2x=0与x2+3x+m−1=0为“友好方程”，求m的值．11.若一元二次方程x2+kx−1=0，x2+x+(k−2)=0有相同的根，求k的值，并求两个方程的根．12.已知m为非负实数，当m取什么值时，关于x的方程x2+mx−1=0与x2+x+m−2=0仅有一个相同的实数根？13.试求满足方程x2−kx−7=0与x2−6x−(k+1)=0有公共根的所有的k值及所有公共根和所有相异根．模块二整数根方法总结：①讨论二次项系数；（如题干限定为“方程”，则要讨论二次项系数是否为0两种情况；如题干限定为“一元二次方程”，则二次项系数必须不等于0）②根据根的情况确定参数范围及参数的取值；③求出方程的整数解。
含参数的一元二次不等式的解法专题训练
含参数的一元二次不等式的解法专题训练本文讲解含参数的一元二次不等式的解法。
解这类不等式通常需要分类讨论，常用的分类方法有三种：一、按$x$ 项的系数$a$ 的符号分类，即$a>0$，$a=0$，$a<0$。
举例来说，对于不等式 $ax+(a+2)x+1>2$，我们可以先分析二次项系数含有参数的情况，即 $\Delta=(a+2)-4a=a+4>0$，因此只需要对二次项系数进行分类讨论。
当 $a>0$ 时，解集为 $x>x_1$ 或 $x<x_2$，其中 $x_1$ 和$x_2$ 是方程 $ax+(a+2)x+1=0$ 的两根。
当 $a=0$ 时，不等式为 $2x+1>0$，解集为 $x>-1/2$。
当 $a<0$ 时，解集为 $x_2<x<x_1$。
二、按判别式 $\Delta$ 的符号分类，即 $\Delta>0$，$\Delta=0$，$\Delta<0$。
举例来说，对于不等式 $x+ax+4>0$，因为 $x$ 的系数大于 $0$，所以只需考虑 $\Delta$ 与根的情况。
当 $\Delta<0$ 时，解集为 $x\in\mathbb{R}$；当 $\Delta=0$ 时，解集为 $x\in\mathbb{R}$ 且 $x\neq a/2$；当 $\Delta>0$ 时，解集为 $x>a_1$ 或 $x<a_2$，其中$a_1$ 和 $a_2$ 是方程 $x+ax+4=0$ 的两根。
三、按不等式左侧的表达式分类，即 $ax^2+bx+c$。
举例来说，对于不等式 $m+1x-4x+1\geq 0$，因为$m+1>0$，所以只需考虑 $\Delta$ 的情况。
当 $\Delta=0$，即 $m=-3$ 或 $m=3$ 时，解集为 $x=1/2$；当 $\Delta>0$，即 $-3(2+m)/(m+2)$ 或 $x<(2-m)/(m+2)$；当 $\Delta3$ 时，解集为 $x\in\mathbb{R}$。
含参数的一元二次方程整数解
含参数的一元二次方程整数解知识定位对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c=0(a≠0)的实根情况，可以用判别式Δ=b 2-4ac 来判别，但是对于一个含参数的一元二次方程来说，要判断它是否有整数根或有理根，那么就没有统一的方法了，只能具体问题具体分析求解，当然，经常要用到一些整除性的性质。
知识梳理1、一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的实数根，是由它的系数a, b, c 的值确定的.根公式是：x=aac b b 242-±－. (b 2－4ac ≥0)2、根的判别式① 实系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有实数根的充分必要条件是：b 2－4ac ≥0.② 有理系数方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有有理数根的判定是：b 2－4ac 是完全平方式⇔方程有有理数根.③整系数方程x 2+px+q=0有两个整数根⇔p 2－4q 是整数的平方数. 3、设x 1, x 2 是ax 2+bx+c=0的两个实数根，那么③ ax 12+bx 1+c=0 (a ≠0，b 2－4ac ≥0)， ax 22+bx 2+c=0 (a ≠0， b 2－4ac ≥0)；④ x 1=a ac b b 242-＋－， x 2=aac b b 242-－－ (a ≠0, b 2－4ac ≥0)；⑤ 韦达定理：x 1+x 2= a b －, x 1x 2=ac(a ≠0, b 2－4ac ≥0). 4、方程整数根的其他条件整系数方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0)有一个整数根x 1的必要条件是：x 1是c 的因数. 特殊的例子有： C=0⇔x 1=0 ，a+b+c=0⇔x 1=1 ，a －b+c=0⇔x 1=－1.例题精讲【试题来源】【题目】b 为何值时, 方程x 2 - bx - 2 = 0 和x 2 - 2x - b (b - 1) = 0有相同的整数根?并且求出它们相同的整数根.．【答案】1；2【解析】解：设相同的整数根为x 0, 由根的定义, 知x20- bx0 - 2 = 0, ①x20- 2x0-b(b - 1) = 0. ②① - ②并整理, 得(2 - b)[x0-(1 + b)]=0,②∴b = 2 或x0 = b + 1.当b = 2 时, 两方程均为x2-2x-2 = 0, 但无整数根;当x0 = b + 1 时, 代入①或②, 解之得b = 1, 于是公共根x0 =b + 1 = 2.【知识点】含参数的一元二次方程整数解【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】设二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2，记S1=x1+1993x2，S2=x12+1993x22，…，Sn=x1n+1993x2n，则aS1993+bS1992+cS1991=【答案】0【解析】解：∵x1、x2是方程ax2+bx+c=0的两根，∴ax12+bx1+c=0， ax22+bx2+c=0。
专题 一元二次方程含参数问题
专题 一元二次方程含参数问题一般地，式子 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示它，即Δ＝b 2－4ac.当Δ 0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个_____的实数根；当Δ 0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有两个 的实数根；当Δ 0时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)_____ 实数根.1、把方程x x 342=-化为一般式为_______________，它的判别式△=________________，该方程有_____个_____的实数根.2、用公式法解下列方程：（1）0232=--y y （2）)1)(1()3(2+-=-x x x x1.已知关于x 的一元二次方程x 2﹣4mx +4m 2﹣9＝0．求证：此方程有两个不相等的实数根；2．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣ax +a ﹣1＝0．求证：该方程总有两个实数根；3、关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m ﹣1＝0（1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（2）若方程没有实数根，求m 的取值范围；（3）若方程有两个相等的实数根，求m 的值； （4）若方程有两个实数根，求m 的取值范围.4、关于x 的一元二次方程04)2(-22=++k x k x 有两个相等的实数根，则k 的取值是________.5、若关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋m ＋1＝0有两个实数根，则m 的取值范围是________.6、已知关于x 的一元二次方程x 2+(2k+1)x +(k-2)2=0方程有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是________.7、关于x 的一元二次方程kx 2＋2x －1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是______________.8、若关于x 的一元二次方程012)1(2=+++x x k 有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是___________________.9、已知关于x 的方程x 2—ax ＋a －2＝0.（1）求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.（2)若该方程的一个根为1，求a 的值及该方程的另一个根；。
含有参数的一元二次方程专题
含参一元二次方程专题复习一、基础知识梳理㈠、一元二次方程根的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程根或解.㈡、24b ac ∆=-叫作一元二次方程的判别式：⑴0∆>方程有两个不相等的实数根12b x a -+=，22b x a--=; ⑵0∆=方程有两个相等的实数根122b x x a==-; ⑶0∆<方程没有实数根. ㈢、韦达定理：一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的两个根1x 、2x ， 则122b x x a +=-；12c x x a= . 二、基本技能习得㈠、分析系数对方程的影响，对方程要深入理解，并灵活应用；㈡、要分清楚题目条件是“一元二次方程”还是“方程”；㈢、注意隐含条件，如三角形、等腰三角形等，表示方程的根为正数，而且还有相等的根.三、基本思想导航注重数学思想方法渗透，如方程思想、转化思想、数形结合思想、分类思想. ㈠、方程思想，在例3中利用勾股定理建立方程，再实际操作中使用配方法和韦达定理解决问题。
例3第2小问，求解中利用等腰三角形的两腰相等建立方程，使问题得到解决；㈡、转化思想：例2中在求12||A x x =-最值时，通过平方，把问题绝对值去掉转化成二次函数的最值问题，利用配方法求解；㈢、数形结合思想：在例3中，解题过程中充分利用几何图形的代数表现形式，从而实现了几何和代数的沟通；㈣、分类思想：要分清楚题目条件是“一元二次方程”还是“方程”，如果是“方程”要分“一元一次方程”和“一元二次方程”；根的判别是都要分类，认清楚是“有实数根”（0∆≥）还是“不相等的实数根” （0∆>）如例1、例3和例4.在解题的过程中不是单一的数学思想方法的运用，而是综合使用数学思想方法解决问题。
在本节中没有例题都有体现，特别是例3.四、典型例题经验例1、已知常数k 为实数，讨论关于x 的方程2(3)(21)0k x k x k -+-+=的实数根的个数情况。
一元二次方程含参问题
一元二次方程含参问题
例如，我们考虑如下形式的一元二次方程：
ax^2 + bx + c = 0。
其中a、b、c是参数，可以是任意实数或复数。
这种方程的解
取决于参数的具体取值。
从多个角度来看，我们可以讨论以下几个方面：
1. 解的存在性和唯一性，对于一元二次方程，解的存在性和唯
一性取决于判别式的值。
判别式Δ = b^2 4ac可以用来判断解的情况。
如果Δ>0，则方程有两个不同实数解；如果Δ=0，则方程有两
个相同实数解；如果Δ<0，则方程有两个共轭复数解。
2. 参数对解的影响，改变参数a、b、c的值会对方程的解产生
影响。
例如，改变a的值可以改变抛物线的开口方向；改变b的值
可以改变抛物线的位置；改变c的值可以改变抛物线与x轴的交点。
3. 特殊情况的讨论，在一元二次方程含参问题中，可能会遇到
一些特殊的情况。
例如，当参数a=0时，方程变为一元一次方程；
当参数b=0时，方程变为一元二次方程的特殊形式；当参数c=0时，方程的解可以简化。
4. 参数的取值范围，在实际问题中，参数的取值范围可能有一
定的限制。
例如，对于某些物理问题，参数可能需要满足一些物理
规律或条件。
总之，一元二次方程含参问题是一个涉及参数的一元二次方程
求解的问题。
通过分析参数对解的影响、讨论特殊情况以及考虑参
数的取值范围，我们可以全面理解和解决这类问题。
专题29 含参 “一元二次不等式”的解法
【高考地位】解含参一元二次不等式，常涉及对参数的分类讨论以确定不等式的解，这是解含参一元二次不等式问题的一个难点. 在高考中各种题型多以选择题、填空题等出现，其试题难度属中高档题.【方法点评】类型一 根据二次不等式所对应方程的根的大小分类使用情景：一元二次不等式可因式分解类型解题模板：第一步 将所给的一元二次不等式进行因式分解；第二步 比较两根的大小关系并根据其大小进行分类讨论； 第三步 得出结论.例1 解关于的不等式：2(1)10(0)ax a x a ---<<. 【答案】详见解析.考点：解含参的一元二次不等式【点评】解含参的一元二次不等式，第一步先讨论二次项前的系数，此题为0<a ，所以先不讨论，第一步，先将式子分解因式，整理为1()(1)0x x a +->，第二步，ax 11-=，12=x ，讨论两根的大小关系，从而写出解集的形式．【变式演练1】解关于x 的不等式01)1(2>++-x a ax （a 为常数且0≠a ）.【答案】0<a 时不等式的解集为)1,1(a ； 10<<a 时不等式的解集为),1()1,(+∞-∞a；1=a 时不等式的解集为),1()1,(+∞-∞ ；1>a 时不等式的解集为),1()1,(+∞-∞ a.若1>a ，110<<a ，不等式的解集为),1()1,(+∞-∞ a【解析】若1=a ，不等式的解集为),1()1,(+∞-∞ ； 若1>a ，110<<a ，不等式的解集为),1()1,(+∞-∞ a； 考点：1.一元二次不等式的解法；2.含参不等式的解法.【变式演练2】已知0a <，解关于x 的不等式2(2)20ax a x ---<． 【答案】当2a <-时，2{x | x x 1}a＜-或＞；当2a =-时，{}1x x ≠；当20a -<<时，2{x |x 1x }a＜或＞-．【解析】试题分析：先将一元二次不等式用十字相乘法分解因式，可得方程等于0的两根．注意讨论两根的大小，再根据函数图象开口向下，可解得不等式． 试题解析：原式可化为：(2)(1)0ax x +-<方程(2)(1)0ax x +-<的两根为：122,1x x a-== 当2a <-时，∵21a >-，∴其解集为2{x | x x 1}a＜-或＞．当2a =-时，∵21a -=，且原不等式可化为2(1)0x ->，其解集为1x ≠ 当20a -<<时，∵21a ->，∴其解集为2{x |x 1x }a＜或＞-综上所述：当2a <-时，2{x | x x 1}a＜-或＞当2a =-时，{}1x x ≠当20a -<<时，2{x |x 1x }a＜或＞- 考点：一元二次不等式．【变式演练3】已知二次函数2()23f x mx x =--，关于实数的不等式()0f x ≤的解集为[]1,n -．（1）当0a >时，解关于的不等式：21(1)2ax n m x ax ++>++；（2）是否存在实数(0,1)a ∈，使得关于的函数1()3x x y f a a +=-（[]1,2x ∈）的最小值为5-？若存在，求实数的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）当01a <≤时，原不等式的解集为2|2x x x a ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或；当1a >时，原不等式的解集为2|2x x x a ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或．（2）512a -= 【解析】试题分析：（1）由二次不等式解集与二次方程根的关系得：2230mx x --=的两根为1-和，且0m >，从而21,3(1),n mn m ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-⨯=-⎪⎩，解得1,3.m n =⎧⎨=⎩，再化简不等式，因式分解：(2)(2)0x ax -->，最后根据两根2与2a大小关系，分三种情况讨论不等式解集（2）先化简函数，为一元二次函数12()3(32)3xx x x y f a aa a a +=-=-+-2(32)3t a t =-+-，其中2a t a ≤≤，再根据对称轴与定义区间位置关系研究函数最小值：因为322a a +<，所以当t a =时，y 取最小值。
专题26 含参数的一元二次分类讨论方法(解析版)-2021年高考数学导数中必考知识专练
专题26：含参数的一元二次分类讨论方法(解析版）三个两次之间的关系含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ; 例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项系数进行分类讨论。
解：∵()044222>+=-+=∆a a a解得方程 ()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=aa a x 24222++--=∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21|x x 当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22例2 解不等式()00652≠>+-a a ax ax分析 因为0≠a ，0>∆，所以我们只要讨论二次项系数的正负。
解 ()()032)65(2>--=+-x x a x x a∴当0>a 时，解集为{}32|><x x x 或；当0<a 时，解集为{}32|<<x x二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆； 例3 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。
解：∵162-=∆a∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ； 当4±=a 即Δ＝0时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a x R x x 且； 当4>a 或4-<a 即0>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，21622---=a a x ，显然21x x >,∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或例4 解不等式()()R m x x m ∈≥+-+014122解 因,012>+m ()()2223414)4(m m -=+--=∆所以当3±=m ，即0=∆时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧=21|x x ； 当33<<-m ，即0>∆时，解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+--+-+>1321322222m m x m m x x 〈或； 当33>-<m m 或，即0<∆时，解集为R 。
含参数一元二次方程课件
参数对解的取值范围的影响
总结词
参数影响解的取值范围
详细描述
参数的取值会影响一元二次方程解的取值范围。例如，当参数a（二次项系数）的取值 大于0时，方程的解为正值或负值；当a的取值小于0时，方程的解为复数。此外，参数 b（一次项系数）和c（常数项）的取值也会影响解的取值范围。因此，参数的变化会
影响解的取值范围。
详细描述
配方法是将一元二次方程转化为完全平方形式的方法。通过移项、配方和开方等步骤，可以将方程转 化为 (x^2 + bx + c = 0) 的形式，从而求得方程的解。配方法在求解一元二次方程时具有简便性和直 观性。
03
参数对解的影响
参数对解的个数的影响
总结词
参数影响解的个数
VS
详细描述
当参数的取值不同时，一元二次方程的解 的个数也会发生变化。当判别式$Delta = b^{2} - 4ac$大于0时，方程有两个不 相等的实数解；当$Delta = 0$时，方程 有两个相等的实数解（重根）；当$Delta < 0$时，方程没有实数解，但在复数范 围内有解。因此，参数的变化会影响判别 式的值，进而影响解的个数。
参数影响
一元二次方程的解受到参数a、b、c 的影响，参数的变化会导致解的变 化。
展望一元二次方程未来的研究方向和应用领域
研究方向
未来对于一元二次方程的研究将更加 深入，包括对解的性质的深入研究、 对解的算法的优化等。
应用领域
一元二次方程在现实生活中有着广泛 的应用，如物理学、工程学、经济学 等，未来随着科学技术的发展，一元 二次方程的应用领域将更加广泛。
THANKS
方程的背景和重要性
总结词
方程在数学和其他领域中有着广泛的应用，是解决问题的重要工具。
综合算式专项练习解含参数的一元二次方程
综合算式专项练习解含参数的一元二次方程一、背景介绍一元二次方程是数学中重要的概念之一，它的解法在实际问题的建模和解决中起着重要的作用。
在解一元二次方程的过程中，我们常会遇到含有参数的算式，这时候需要灵活运用方程的解法和参数的性质来求解方程。
本文将针对含参数的一元二次方程进行综合算式专项练习解析，旨在帮助读者深入理解参数对方程解的影响。
二、含参数的一元二次方程的基本形式含参数的一元二次方程可表示为：ax^2 + bx + c = 0其中，a、b、c为实数常数，a≠0。
三、参数对一元二次方程解的影响1. 参数a的影响：- 当a>0时，方程开口向上，拥有最小值，对应的二次函数图像为开口向上的抛物线。
- 当a<0时，方程开口向下，拥有最大值，对应的二次函数图像为开口向下的抛物线。
2. 参数b的影响：- b决定了方程的一阶系数，即一次项的系数。
当b=0时，方程的一次项消失，解的性质由a和c决定。
- 当b>0时，抛物线整体向左平移，即方程的根向左偏移。
- 当b<0时，抛物线整体向右平移，即方程的根向右偏移。
3. 参数c的影响：- c决定了方程的常数项，即常数的值。
参数c的正负决定了方程的解的符号。
- 当c>0时，方程在x轴上的交点均为正数。
- 当c<0时，方程在x轴上的交点均为负数。
四、综合算式专项练习解析我们来看几个具体的例子，以更好地理解含参数的一元二次方程。
例一：解方程x^2 + 4ax + 3a^2 = 0按照求解一元二次方程的一般方法，可以得到：Δ = (4a)^2 - 4 * 1 * 3a^2 = 16a^2 - 12a^2 = 4a^2根据判别式Δ的值，我们可以得到以下结论：1. 当a>0且a≠0时，方程有两个不相等的实根。
2. 当a=0时，方程变为3a^2 = 0，只有一个实根x = 0。
3. 当a<0时，方程无实根。
例二：解方程(x + 2a)(3x - a) = 0根据零乘积法则得到：x + 2a = 0 或者 3x - a = 01. 当x + 2a = 0时，解得x = -2a，此时方程有一个实根。
2含参的一元二次方程
含参一元二次不等式例1.解关于x 的不等式 2(1)0x a x a a -++∈＜（R ）{}{}1;1x x a a x x a a a x a x ∅不等式可变形为(-1)(-)＞0当＞1，不等式解集为＜＜;当=1，不等式解集为当＜1，不等式解集为＜＜例2.解关于x 的不等式22210()x x a a R ++-≤∈{}{};1;1x a x a a x a x a a x a x a x a ≤=--+不等式可变形为(+1-)(+1+)0当＞0，-1-＜＜-1+当=0，当＜0，＜＜-1-例3.求不等式R a a ax x ∈-2212＞的解集。
()()124304300004334aa x a x a x x a a a a a x a x x x a x x x +-=-=⎧⎫⎧⎫=≠--⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭＞当时，当＞时，＜或＞当＜时，＜或＞例4.01)1(2<++-x aa x11(1)1,01{|};(2)1;(3)1,10{|}a a x a x a a a x x a a aφ<-<<<<=±>-<<<<当或时，当时，当或时，1.已知不等式2(1)60a x x --+≥的解集是{}32x x -≤≤，求a 的值。
Ɑ=22. 已知不等式012<--mx mx 对一切实数x 都成立，求m 的取值范围 -4<M ≤03.. 不等式0)1(2>+++b x ab ax 的解集为}21|{<<x x ，则b a ,的值为 。
4.. 不等式012)1(2>-++-a x a x 对任意实数x 都成立，求a 的取值范围。
1<ɑ<5秒杀秘籍：二次项系数为1的一元二次不等式（1）分解因式得到12x x x x (-)(-)，求出两个根21,x x ；（2）比较两个根的大小，21x x =；21x x >；21x x <，并分别进行讨论。
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含参一元二次方程专题复习一、基础知识梳理㈠、一元二次方程根的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程根或解.㈡、24b ac ∆=-叫作一元二次方程的判别式：⑴0∆>方程有两个不相等的实数根12b x a -+=，22b x a--=; ⑵0∆=方程有两个相等的实数根122b x x a==-; ⑶0∆<方程没有实数根. ㈢、韦达定理：一元二次方程20ax bx c ++=（0a ≠）的两个根1x 、2x ， 则122b x x a +=-；12c x x a= . 二、基本技能习得㈠、分析系数对方程的影响，对方程要深入理解，并灵活应用；㈡、要分清楚题目条件是“一元二次方程”还是“方程”；㈢、注意隐含条件，如三角形、等腰三角形等，表示方程的根为正数，而且还有相等的根.三、基本思想导航注重数学思想方法渗透，如方程思想、转化思想、数形结合思想、分类思想. ㈠、方程思想，在例3中利用勾股定理建立方程，再实际操作中使用配方法和韦达定理解决问题。
例3第2小问，求解中利用等腰三角形的两腰相等建立方程，使问题得到解决；㈡、转化思想：例2中在求12||A x x =-最值时，通过平方，把问题绝对值去掉转化成二次函数的最值问题，利用配方法求解；㈢、数形结合思想：在例3中，解题过程中充分利用几何图形的代数表现形式，从而实现了几何和代数的沟通；㈣、分类思想：要分清楚题目条件是“一元二次方程”还是“方程”，如果是“方程”要分“一元一次方程”和“一元二次方程”；根的判别是都要分类，认清楚是“有实数根”（0∆≥）还是“不相等的实数根” （0∆>）如例1、例3和例4.在解题的过程中不是单一的数学思想方法的运用，而是综合使用数学思想方法解决问题。
在本节中没有例题都有体现，特别是例3.四、典型例题经验例1、已知常数k 为实数，讨论关于x 的方程2(3)(21)0k x k x k -+-+=的实数根的个数情况。
【解析】此题是对一元二次方程定义和其判别式应用的小综合考查，解决此题学生要有分类的数学思想又一定的感悟。
在分类基础上运用一元一次不等式和一元一次方程的知识解决问题.【解答】当30k -=，即3k =时原方程为530x +=，35x =-原方程只有一个实数根当30k -≠，即3k ≠时原方程为一元二次方程，其判别式当18k >-，且3k ≠原方程有两个不相等的实数根； 当18k =-，原方程有两个相等的实数根； 当18k <-，原方程没有实数根. 【解法】先分一元二次方程、一元一次方程两类，再根据判别式和30k -=，求出k 的值。
例2、方程2(4)0x m x m ---=的两个根分别是1x 、2x ，⑴试判断方程的根的情况；⑵设12||A x x =-则是否存在最大值或最小值？若存在，求出这个值；若不存在说明理由.【解析】通过判别式224[(4)]41()b ac m m ∆=-=---⨯⨯-的进行必要的变形后，由关于m 的代数式的值来确定方程根的情况。
直接求12||A x x =-最值比较困难，但题目给出方程有两个实数根，而12||A x x =-的形式来看，它一个对称式，这两点提示我们用韦达定理来求解。
沿着这个思路，通过平方，把绝对值去掉。
由222121212||()4A x x x x x x =-=+-可把2A 转化为关于m 的代数式，从而求解.【解答】⑴由题意得：22[(4)]41()(2)12m m m ∆=---⨯⨯-=-+∴方程一定存在两个不等实数根 .⑵124x x m +=-，12x x m =-，12||A x x =-222221*********||2()4A x x x x x x x x x x ∴=-=-+=+-，即22[(4)]41()(2)12m m m ---⨯⨯-=-+，2(2)0m -≥ 2(2)1212m ∴-+≥，当2m =时代数式2(2)12m ∴-+有最小值12，即2A 有最小值12，又12||0A x x =-≥，212A =时，A ==12||A x x ∴=-存在最小值，且最小值为【解法】在判断∆的符号时和讨论2A 的最值时，都用到了配方法，可见在配方法是初中数学的常用方法.在解决第⑵小时，用到了转化的思想，表面上看，12||A x x =-最值和韦达定理没有联系，但是通过两边平方之后，将问题转化为2A 的最值，使问题得到顺利解决.例3、△ABC 的两边AB 、AC 的长是关于的一元二次方程()2223320k k k x x ++++=-的两个实数根，第三边BC 的长为5 .⑴k 为何值时，△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形?⑵k 为何值时，△ABC 是等腰三角形？并求△ABC 的周长。
【解析】⑴根据题意得出AB 、AC 的长，再由根与系数的关系得出k 的值；⑵根据等腰三角形的性质，分三种情况讨论：①AB ＝AC ，②AB ＝BC ，③BC ＝AC ；后两种情况相同，则可有另种情况，再由根与系数的关系得出k 的值．【解答】⑴∵△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形，5BC ＝2225AB AC ∴+＝， ∵AB 、AC 的长是关于x 的一元二次方程()2223320k k k x x ++++=-的两个实数根，∴22332AB AC k AB AC k k ++++＝，＝，∴()2222AB AC AB AC AB AC ++＝﹣， 即22332AB AC k AB AC k k ++++＝，＝，()()222323225k k k +++﹣＝，解得2k ＝或5﹣（不符合题意舍去）.⑵∵△ABC 是等腰三角形；∴当AB AC ＝时，240b ac ∆＝﹣＝，∴()()2223432k k k +++﹣=0解得k 不存在；当AB BC ＝时，即5AB ＝， ∴523AC k ++＝， 2532AC k k ++＝， 解得3k ＝或4，∴4AC ＝或6， ∴△ABC 的周长为14或16．【解法】本题是一元二次方程根与几何问题相结合的实际应用典型例题。
在解答时，应注意把几何知识用代数符号表示如：勾股定理（2225AB AC +＝）；三角形三边关系（①AB ＝AC ，②AB ＝BC ，③BC ＝AC ）结合韦达定理和判别式求解。
同时，综合运用分论讨论、数形结合和方程的思想。
例4、m 是什么整数时，方程()()221631720m x m x ---＋＝有两个不相等的正整数根．【解析】首先根据已知条件可得m 2﹣1≠0，进而得到m ≠±1，然后根据根的判别式△＞0，可得m ≠3；再利用求根公式用含m 的式子表示x ，因为，方程有两个不相等的正整数根，所以分情况讨论m 的值即可．【解答】解法1首先，()221013630m m m -≠≠±∆=-，．＞，所以3m ≠，用求根公式可得：161x m =-、2121x m =+， 由于12x x ，是正整数， 所以，1123611234612m m -=+=，，， ; ，，，，，; 解得2m =这时126,4x x ==。
解法2首先，2101m m -≠≠±，。
设两个不相等的正整数根为12x x ，，则由根与系数的关系知：212346891218243672m -=，，，，，，，，，，，即234579101319253773m =，，，，，，，，，，，只有24925m =，，才有可能，即235m =±±±，，。
经检验，只有2m =时方程才有两个不同的正整数根．【解法】说明一般来说，可以先把方程的根求出来(如果比较容易求解)，然后利用整数的性质以及整除性理论，就比较容易求解问题，解法1就是这样做的。
有时候也可以利用韦达定理，得到两个整数，再利用整除性质求解，解法2就是如此，这些都是最自然的做法。
综上来说，此题主要考查了一元二次方程的二次项系数不能为0，根的判别式和求方程的整数解的综合运用，还用到了数学中的分类讨论思想，综合性较强．五、模块练习提升A 级1．（2019.盐城）关于x的一元二次方程x2+kx﹣2＝0（k为实数）根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定2．（2019年淄博市）若x1+x2＝3，x12+x22＝5，则以x1，x2为根的一元二次方程是（）A．x2﹣3x+2＝0B．x2+3x﹣2＝0C．x2+3x+2＝0D．x2﹣3x﹣2＝0 3.（2019.潍坊）关于x的一元二次方程x2+2mx+m2+m＝0的两个实数根的平方和为12，则m的值为（）A．m＝﹣2B．m＝3C．m＝3或m＝﹣2D．m＝﹣3或m＝2 4.（2019.苍南）若一元二次方程230-+=有两个相等的实数根，则c的值x x c是．5．（2019.白银）关于x+=有两个相等的实数根，则mx的一元二次方程210的取值为．6．（2019.邵阳）关于x的一元二次方程220--=有两个不相等的实数根，则x x mm的最小整数值是．7．（2018.成都）若关于x的一元二次方程22-++=有两个不相等的实x a x a(21)0数根，求a的取值范围．8．（2019.黄石）已知关于x的一元二次方程26(41)0-++=有实数根．x x m（1）求m 的取值范围；（2）若该方程的两个实数根为1x 、2x ，且12||4x x -=，求m 的值．B 级9．（2019．广元）若关于x 的一元二次方程210(0)4ax x a --=≠有两个不相等的实数根，则点(1,3)P a a +--在第 象限．10．（2019.罗湖区）在等腰ABC ∆中，三边分别为a ，b ，c ，其中2a =，若关于x 的方程2(1)10x b x b +-+-=有两个相等的实数根，则ABC ∆的周长是 ．11．（2018．绥化）已知关于x 的一元二次方程2520x x m -+=有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）当52m =时，方程的两根分别是矩形的长和宽，求该矩形外接圆的直径．C 级12．（2019．沙坪坝）从4-，2-，1-，0，1，2，4，6这八个数中，随机抽一个数，记为a ．若数a 使关于x 的一元二次方程222(4)0x a x a --+=有实数解，且关于y 的分式方程1311y a y y +-=--有整数解，(则符合条件的a 的值的和是 ) A ．6- B ．4- C ．2- D ．213．（2017．西城）已知关于x 的方程23(1)230mx m x m -+++=．（1）求证：无论m 取任何实数，该方程总有实数根；（2）若0m ≠，关于x 的方程23(1)230mx m x m -+++=的解是整数解，求m 的整数值．。