专题三：弹簧类问题

专题三：弹簧类问题

一、弹簧弹力大小问题

弹簧弹力的大小可根据胡克定律计算（在弹性限度内），即F=kx，其中x是弹簧的形变量（与原长相比的伸长量或缩短量，不是弹簧的实际长度）。

高中研究的弹簧都是轻弹簧（不计弹簧自身的质量，也不会有动能的）。

不论弹簧处于何种运动状态（静止、匀速或变速），轻弹簧两端所受的弹力一定等大反向。证明如下：以轻弹簧为对象，设两端受到的弹力分别为F1、F2，根据牛顿第二定律，F1+F2=ma，由于m=0，因此F1+F2=0，即F1．F2一定等大反向。

弹簧的弹力属于接触力，弹簧两端必须都与其它物体接触才可能有弹力。如果弹簧的一端和其它物体脱离接触，或处于拉伸状态的弹簧突然被剪断，那么弹簧两端的弹力都将立即变为零。

在弹簧两端都保持与其它物体接触的条件下，弹簧弹力的大小F=kx与形变量x成正比。由于形变量的改变需要一定时间，因此这种情况下，弹力的大小不会突然改变，即弹簧弹力大小的改变需要一定的时间。（这一点与绳不同，高中物理研究中，是不考虑绳的形变的，因此绳两端所受弹力的改变可以是瞬时的。）

例1．质量分别为m和2m的小球P、Q用细线相连，P用轻弹簧悬挂在天花板下，开始系统处于静止。下列说法中正确的是：

A．若突然剪断细线，则剪断瞬间P、Q的加速度大小均为g

B．若突然剪断细线，则剪断瞬间P、Q的加速度大小分别为0和g

C．若突然剪断弹簧，则剪断瞬间P、Q的加速度大小均为g

D．若突然剪断弹簧，则剪断瞬间P、Q的加速度大小分别为3g和0

分析与解：剪断细线瞬间，细线拉力突然变为零，弹簧对P的拉力仍为

3mg竖直向上，因此剪断瞬间P的加速度为向上2g，而Q的加速度为向下g；剪断弹簧瞬间，弹簧弹力突然变为零，细线对P、Q的拉力也立即变为零，因此P、Q的加速度均为竖直向下，大小均为g。选C。

例2．如图所示，小球P、Q质量均为m，分别用轻弹簧b和细线c悬挂在天花板下，再用另一细线d、e与左边的固定墙相连，静止时细线d、e水平，b、c与竖直方向夹角均为θ=37?。下列判断正确的是：

A．剪断d瞬间P的加速度大小为0．6g

B．剪断d瞬间P的加速度大小为0．75g

C．剪断e前c的拉力大小为0．8mg

D．剪断e后瞬间c的拉力大小为1．25mg

分析与解：剪断d瞬间弹簧b对小球的拉力大小和方向都未来得及发生变化，因此重力和弹簧拉力的合力与剪断前d对P的拉力大小相等，为0．75mg，因此加速度大小为0．75g，水平向右；剪断e前c的拉力大小为1．25mg，剪断e后，沿细线方向上的合力充当向心力，因此c的拉力大小立即减小到0．8mg。选B。

二、临界问题

两个相互接触的物体被弹簧弹出，这两个物体在什么位置恰好分开？这属于临界问题。“恰好分开”既可以认为已经分开，也可以认为还未分开。认为已分开，那么这两个物体间的弹力必然为零；认为未分开，那么这两个物体的速度、加速度必然相等。同时利用这两个结论，就能分析出当时弹簧所处的状态。

特点：1．接触；2．还没分开所以有共同的速度和加速度；3．弹力减小为零。

这种临界问题又分以下两种情况：

1．仅靠弹簧弹力将两物体弹出，那么这两个物体必然是在弹簧原长时分开的。

例3．如图所示，两个木块A、B叠放在一起，B与轻弹簧相连，弹簧下端固定在水平面上，用竖直向下的力F压A，使弹簧压缩量足够大后，停止压缩，系统保持静止。这时，若突然撤去压力F，A、B将被弹出且分离。下列判断正确的是：

A．木块A、B分离时，弹簧的长度恰等于原长

B．木块A．B分离时，弹簧处于压缩状态，弹力大小等于B的重力

C．木块A、B分离时，弹簧处于压缩状态，弹力大小等于A、B的总重力

D．木块A、B分离时，弹簧的长度可能大于原长

分析与解：以A为对象，既然已分开，那么A就只受重力，加速度竖直向下，大小为g；又未分开，A、B加速度相同，因此B的加速度也是竖直向下，大小为g，说明B受的合力为重力，所以弹簧对B没有弹力，弹簧必定处于原长。选A。此结论与两物体质量是否相同无关。

例4．如图所示，轻弹簧左端固定在竖直墙上，右端与木块B相连，木块A紧靠木块B放置，A、B与水平面间的动摩擦因数均为μ。用水平力F向左压A，使弹簧被压缩一定程度后，系统保持静止。若突然撤去水平力F，A、B向右运动，下列判断

正确的是：

A．A、B一定会在向右运动过程的某时刻分开

B．若A、B在向右运动过程的某时刻分开了，当时弹簧一定是原长

C．若A、B在向右运动过程的某时刻分开了，当时弹簧一定比原长短

D．若A、B在向右运动过程的某时刻分开了，当时弹簧一定比原长长

分析与解：若撤去F前弹簧的压缩量很小，弹性势能小于弹簧恢复原长过程A、B克服摩擦阻力做的功，那么撤去F后，A、B虽能向右滑动，但弹簧还未恢复原长A、B就停止滑动，没有分离。

只要A、B在向右运动过程的某时刻分开了，由于分离时A、B间的弹力为零，因此A 的加速度是a A=μg；而此时A、B的加速度相同，因此B的加速度a B=μg，即B受的合力只能是滑动摩擦力，所以弹簧必然是原长。选B。

例5．如图所示，轻弹簧的一端固定在地面上，另一端与木块B相连，木块A放

在木块B上，两木块质量均为m，在木块A上施有竖直向下的力F，整个装置处于静

止状态。

（1）突然将力F撤去，若运动中A、B不分离，则A、B共同运动到最高点时，B对

A的弹力有多大？

（2）要使A 、B 不分离，力F 应满足什么条件？

【点拨解疑】力F 撤去后，系统作简谐运动，该运动具有明显的对称性，该题利用最高点与最低点的对称性来求解，会简单的多．

（1）最高点与最低点有相同大小的回复力，只有方向相反，这里回复力是合外力．在最低点，即原来平衡的系统在撤去力F 的瞬间，受到的合外力应为F /2，方向竖直向上；当到达最高点时，A 受到的合外力也为F /2，但方向向下，考虑到重力的存在，所以B 对A 的弹力为2F mg -。

（2）力F 越大越容易分离，讨论临界情况，也利用最高点与最低点回复力的对称性．最高点时，A 、B 间虽接触但无弹力，A 只受重力，故此时恢复力向下，大小位mg 。那么，在最低点时，即刚撤去力F 时，A 受的回复力也应等于m g ，但根据前一小题的分析，此时回复力为F /2，这就是说F /2=mg 。则F =2mg ．因此，使A 、B 不分离的条件是F ≤2mg 。

2．除了弹簧弹力，还有其它外力作用而使相互接触的两物体分离。那么两个物体分离时弹簧必然不一定是原长。（弹簧和所连接的物体质量不计分离时是弹簧的原长，但质量考虑时一定不是弹簧的原长，）可看成连接体。

例6．一根劲度系数为k ，质量不计的轻弹簧，上端固定，下端系一质量为m 的物体，有一水平板将物体托住，并使弹簧处于自然长度。如图所示。现让木板由静止开始以加速度a 且（a

分析与解：设物体与平板一起向下运动的距离为x 时，物体受重力mg ，

弹簧的弹力F=kx 和平板的支持力N 作用。据牛顿第二定律有：

mg-kx-N=ma 得N=mg-kx-ma

当N=0时，物体与平板分离，所以此时k

a g m x )(-= 因为221at x =，所以ka

a g m t )(2-=。 例7．如图所示，一个弹簧台秤的秤盘质量和弹簧质量都不计，盘内放一个物体P 处于静止，P 的质量m=12kg ，弹簧的劲度系数k=300N/m 。现在给P 施加一个竖直向上的力F ，使P 从静止开始向上做匀加速直线运动，已知在t=0．2s 内F 是变力，在0．2s 以后F 是恒力，g=10m/s 2，则F 的最小值是 ，F 的最大值是 。

分析与解：因为在t=0．2s 内F 是变力，在t=0．2s 以后F 是恒力，所以

在t=0．2s 时，P 离开秤盘。此时P 受到盘的支持力为零，由于盘和弹簧的质

量都不计，所以此时弹簧处于原长。在0～0．2s 这段时间内P 向上运动的距

离：x=mg/k=0．4m

因为221at x =，所以P 在这段时间的加速度22/202s m t

x a == 当P 开始运动时拉力最小，此时对物体P 有N-mg+Fmin=ma ，又因此时N=mg ，所以有Fmin=ma=240N ．