数列经典讲义教师版

数列和数列的练习一、数列及其相关概念1． 数列：按照一定次序排列起来的一列数叫做数列，它可以有限，也可以无限．2．数列的项及通项：数列中的每个数叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（首项），第2项，…，第n 项． 数列的一般形式可以写成：123n a a a a ，，，，，或简记为{}n a ，其中n a 是数列的第n 项，又称为数列的通项． 3．数列的通项公式如果数列{}n a 的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个函数式()n a f n =来表示，则称这个公式为这个数列的通项公式． 4．数列的分类数列的分类方式一般有三种：（1）项数有限的数列称为有穷数列，项数无限的数列称为无穷数列；（2）从第2项起每一项都比它的前一项大的数列称为递增数列；从第2项起，每一项都比它的前一项小的数列称为递减数列；这两种数列统称为单调数列．各项都相等的数列称为常数列；既不是单调数列，又不是常数列的，称为摆动数列，即有些项小于它的前一项，有些项大于它的前一项；（3）如果数列的任一项的绝对值都小于某个正数，则称此数列为有界数列，否则称为无界数列． 5．数列的表示方法数列是定义域为正整数集（或它的一个有限子集{123}n ，，，，）的一类特殊的函数()f n ，数列的通项公式也就是函数的解析式．数列的表示方法通常有三种：（1）通项公式法（对应函数的解析式法）；（2）图象法（无限多个或有限多个孤立的点，取决于是无穷数列，还是有穷数列）； （3）列表法．6．数列和函数、集合的区别（1）数列和函数：数列是以正整数集*N (或它的有限子集){}1234n ，，，，，为定义域的函数()n a f n =． （2）数列和集合的区别和联系：集合是没有顺序的，数列是有顺序的7．数列的递推公式如果已知数列的第一项，且从第二项开始的任一项n a 与它的前一项1n a -间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫这个数列的递推公式．例如，1112(2)n n a a a n -==-，≥．给出递推公式和初始值的数列是一个确定的数列，所以递推公式也是给出数列的一种方法，即递推法． 8 数列的前n 项和数列{}n a 的前n 项和定义为：123n n S a a a a =++++．数列的前n 项和构成了一个新的数列{}n S ，且11(1)(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-⎩≥．一、数列的基本概念1. （2010年东城一模7） 已知数列{}n a 的通项公式3log ()1n na n n =∈+*N ，设其前n 项和为n S ，则使4n S <- 成立的最小自然数n 等于（ ）A ．83B ．82C ．81D ．802. （2011年海淀二模5）已知正项数列{}n a 中，11=a ，22=a ，222112(2)n n n a a a n +-=+≥，则6a 等于（ ）A.16 Ｂ.8 Ｃ.22 Ｄ.43. 数列{}n a 满足1111(2)3n n a a n n N a +-==-≥∈，，，则2008a 等于（ ）A ．13B ．3C ． 13- D ．-34. （2011年东城区期末理11）在数列{}n a 中，若12a =，且对任意的正整数,p q 都有q p q p a a a =+，则8a 的值为 ．5. （2010年东城二模6）已知函数6(3)3,7(),7.x a x x f x a x ---≤⎧=⎨>⎩，若数列{}n a 满足*()()n a f n n =∈N ，且{}n a 是递增数列，则实数a 的取值范围是 （ ）A ．9[3)4，B ．9(3)4，C ．（2，3）D ．（1，3）6. 已知()f x 是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的x y ∈R ，，都有()()()f x y xf y yf x ⋅=+成立．数列{}n a 满足(2)n n a f =()n ∈*N ，且12a =．则数列的通项公式n a =__________________ ．二、数列的递推公式7. （2006年重庆12）在数列{}n a 中，若11123(1)n n a a a n +==+≥，，则该数列的通项n a =8. 数列{}n a 中，11a =，对所有的2n ≥，都有2123n a a a a n ⋅⋅⋅⋅=，求数列{}n a 的通项公式n a ．9. 若数列{}n a 中，13a =，且2+1n n a a =（n 是正整数），则数列的通项公式时n a =10. 已知数列{}n a ，满足112311+2+3+1)(2)n n a a a a a n a n -==-≥，（，则{}n a 的通项 11)(2)n n a n =⎧=⎨≥⎩（11. 求满足下列条件的数列{}n a 的通项公式（1）已知{}n a 满足+11211+412n n a a a n ==-，，求n a （2）已知{}n a 满足+13n n n a a =，且13a =，求n a二、n a 与n S 的关系12. （2011年四川9）数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1113(1)n n a a S n -==≥，，则6a =（ ）A ．3 ×44B ．3 ×44+1C ．44D ．44+113. 设数列{}n a 的前n 项和为111,1(1)3n n n S a a S n +==≥，，则n a =______14. 已知下列个数列{}n a 的前n 项和n S 的公式，求{}n a 的通项公式 （1）=n n S n （-1)；（2）=32n n S -；（3）21=(2)1n n S n a n a ≥=，15. 已知下列个数列{}n a 的前n 项和n S 的公式，求{}n a 的通项公式 （1）2=231n S n n --（2）2=10n S n n -等差数列二、等差数列1．等差数列的定义：一般地，如果一个数列从第．．2．项起．．，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数．．，那么这个数列就叫等差数列．．．．，这个常数叫做等差数列的公差．．，公差通常用字母d 表示． 用递推公式表示为a n - a n - 1 = d (n ≥ 2)或a n + 1 - a n = d (n ∈ N *)． 2．等差数列的通项公式：a n = a 1 + (n - 1)d = a m + (n - m )d ． 3．等差中项的概念：定义：如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．．．．．其中2a bA +=． 说明：a ，A ，b 成等差数列 ⇔ 2a bA +=． 4．等差数列的前n 和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+．5．等差数列的性质：(1) 在等差数列{a n }中，从第2项起，每一项是它相邻两项的等差中项． (2) 在等差数列{a n }中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列． 如：a 1，a 3，a 5，a 7，…；a 3，a 8，a 13，a 18，…．(3) 在等差数列{a n }中，对任意m ，n ∈ N *，a n = a m + (n - m )d ，n ma a d n m-=-(n ≠ m )． (4) 在等差数列{a n }中，若m + n = s + t (m ，n ，s ，t ∈ N *)，则a m + a n = a s + a t ． (5) 等差数列{a n }中，公差为d ，若d > 0，则{a n }是递增数列；若d = 0，则{a n }是常数列；若d < 0，则{a n }是递减数列． 6．数列最值：(1) a 1 > 0，d < 0时，S n 有最大值；a 1 < 0，d > 0时，S n 有最小值． (2) S n 最值的求法：① 若已知S n ，可用二次函数最值的求法(n ∈ N *)； ② 若已知a n ，则S n 取最值时n 的值(n ∈ N *)可如下确定100n n a a +≥⎧⎨≤⎩或10n n a a +≤⎧⎨≥⎩．1. (1) 求等差数列8，5，2，…的第20项；(2) - 401是不是等差数列- 5，- 9，- 13，…的项？如果是，是第几项？ 解：(1) 由a 1 = 8，d = 5 - 8 = - 3，n = 20，得a 20 = 8 + (20 - 1) ⨯ (- 3) = - 49． (2) 由a 1 = - 5，d = - 9 - (- 5) = - 4，得数列通项公式为：a n = - 5 - 4(n - 1)，由题意可知，本题是要回答是否存在正整数n ，使得- 401 = - 5 - 4(n - 1)成立，解之得n = 100，即- 401是这个数列的第100项．2. (2011湖南理12)设S n 是等差数列{a n }(n ∈ N *)，的前n 项和，且a 1 =1，a 4 = 7，则S 5 = ．【答案】25【解析】由a 1 =1，a 4 = 7可得a 1 =1，d = 2，a 5 = 9，所以5(19)5252S +⨯==．3. (2012辽宁理6)在等差数列{a n }中，已知a 4 + a 8 = 16，则该数列前11项和S 11 = ( B )A ．58B ．88C ．143D ．176 【解析】在等差数列中，∵a 1 + a 11 = a 4 + a 8 = 16，∴1111111()882a a S ⨯+==，答案为B ．4. (2012江西理12) 设数列{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1 + b 1 = 7，a 3 + b 3 = 21，则a 5 + b 5 = ．【答案】35【考点】本题考查等差数列的概念和运算．考查等差中项的性质及整体代换的数学思想． 【解析】(解法一)因为数列{a n }，{b n }都是等差数列，所以数列{a n + b n }也是等差数列．故由等差中项的性质，得(a 5 + b 5) + (a 1 + b 1) = 2(a 3 + b 3)，即(a 5 + b 5) + 7 = 2 ⨯ 21，解得a 5 + b 5 = 35． (解法二)设数列{a n }，{b n }的公差分别为d 1，d 2，因为a 3 + b 3 = (a 1 + 2d 1) + (b 1 + 2d 2) = (a 1 + b 1) + 2(d 1 + d 2) = 7 + 2(d 1 + d 2) = 21， 所以d 1 + d 2 = 7．所以a 5 + b 5 = (a 3 + b 3) + 2(d 1 + d 2) = 35．5. 等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 2 + a 4 + a 15的值是一个确定的常数，则数列{S n }中也为常数的项是( C )A ．S 7B ．S 8C ．S 13D ．S 15【解析】设a 2 + a 4 + a 15 = p (常数)，∴3a 1 + 18d = p ，即a 7 =31p ．∴S 13 =2)(13131a a +⨯= 13a 7 =313p ．6. (2012浙江理7)设S n 是公差为d (d ≠ 0)的无穷等差数列{a n }的前n 项和，则下列命题错误的是( C )A．若d < 0，则数列{S n}有最大项B．若数列{S n}有最大项，则d < 0C．若数列{S n}是递增数列，则对任意n∈N*，均有S n > 0D．若对任意n∈N*，均有S n > 0，则数列{S n}是递增数列【解析】选项C显然是错的，举出反例：- 1，1，3，5，7，…．满足数列{S n}是递增数列，但是S n > 0不恒成立．故选C．7.把正整数按下列方法分组：(1)，(2，3)，(4，5，6)，…，其中每组都比它的前一组多一个数，设S n表示第n组中所有各数的和，那么S21等于( B )A．1113 B．4641 C．5082 D．53361【分析】第21组共有21个数，构成一个等差数列，公差为1，首项比第20组的最后一个数大1，所以先求前20组一共有多少个数．解：因为第n组有n个数，所以前20组一共有1 + 2 + 3 + … + 20 = 210个数，于是第21组的第一个数为211，这组一共有21个数，S21 = 21 ⨯ 211 +21202⨯⨯ 1 = 4641，故选B．【说明】认真分析条件，转化为数列的基本问题．8.已知数列{a n}的前n项和S n = 10n-n2 (n∈N*)，又b n = | a n |，求b n的前n项和T n．解：由题可得：a1 = 9，当n > 1时a n = S n-S n- 1 = - 2n + 11，若使a n = - 2n + 11 ≥ 0，则n≤ 5.5，即数列的前5项非负，以后各项均负，∴当n≤ 5时，T n = S n = 10n-n2，当n≥ 6时，T n = a1 + a2 + … + a5- (a6 + a7 + … + a n)= 2(a1 + a2 + … + a5) - (a1 + a2 + … + a n)= 2S5-S n = 50- (10n-n2)，∴2210(0510505nn n nTn n n⎧-+<≤⎪=⎨-+>⎪⎩)()．故第n组的第一个数是(n2-n- 1) + 2 = n2-n + 1．9.设等差数列{a n}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为S n．(1) 若a11 = 0，S14 = 98，求数列{a n}的通项公式；(2) 若a1≥ 6，a11 > 0，S14≤ 77，求所有可能的数列{a n}的通项公式．解：(1) 由S14 = 98，得2a1 + 13d = 14，又a11 = a1 + 10d = 0，解得d = - 2，a1 = 20，所以数列{a n}的通项公式是：a n = 22 - 2n．(2) 由14111776Saa≤⎧⎪>⎨⎪≥⎩，得111213111006a da da+≤⎧⎪+>⎨⎪≥⎩，即111213112200212a da da+≤⎧⎪--<⎨⎪-≤-⎩①②③由① + ②得- 7d < 11，即117d>-，① + ③得113d≤-，∴111713d-<≤-，又d∈Z，∴d = - 1，从而得10 < a1≤ 12，由a1∈Z，得a1 = 11或a1 = 12，故所有可能的数列{a n}的通项公式是：a n = 12 -n和a n = 13 -n．等比数列三、等比数列1．等比数列的定义：一般地，如果一个数列从第．2．项起．．，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数．．，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比．公比通常用字母q 表示(q ≠ 0)，即：a n + 1∶a n = q (q ≠ 0)．注意条件“从第2项起”、“常数”q ．由定义可知：等比数列的公比和项都不为零． 2．等比数列的通项公式为：a n = a 1q n - 1 (a 1 ≠ 0，q ≠ 0)．说明：(1) 由等比数列的通项公式可知：当公比q = 1时，该数列既是等比数列也是等差数列； (2) 由等比数列的通项公式知：若{a n }为等比数列，则nma a = q n - m ，即a n = a m q n - m ． 3．等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项．其中G 2 = ab，即G = 说明：两个符号相同的非零实数，都有两个等比中项，它们互为相反数．4．等比数列前n 项和公式：11,1,(1), 1.1n n na q S a q q q=⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩(错位相减法)．说明：(1) a 1，q ，n ，S n 中已知三个可求第四个；(2) 注意求和公式中是q n ，通项公式中是q n - 1，不要混淆； (3) 应用求和公式时，必要时应分q ≠ 1和q = 1的情况讨论． 5．等比数列的性质：(1) 等比数列任意两项间的关系：如果a n 是等比数列的第n 项，a m 是等比数列的第m 项，公比为q ，则有a n = a m q n - m ． (2) 对于等比数列{a n }，若m + n = s + t (m ，n ，s ，t ∈ N *)，则a m ⋅ a n = a s ⋅ a t ．(3) 若{a n }是等比数列，S n 是其前n 项的和，m ∈ N *，那么当q ≠ -1或m 为奇数时，S m ，S 2m - S m ，S 3m - S 2m 成等比数列．(4) 等比数列{a n }中，a n + 1 = a n q ，a n + 12 = a n a n + 2． (5) 等比数列{a n }中，若公比为q ，则① 当a 1 > 0，q > 1或a 1 < 0，0 < q < 1时为递增数列； ② 当a 1 < 0，q > 1或a 1 > 0，0 < q < 1时为递减数列；③ 当q < 0时为摆动数列； ④ 当q = 1时为常数列．10. 求下列各等比数列的通项公式：(1) a 1 = - 2，a 3 = - 8； (2) a 1 = 5，且2a n + 1 = - 3a n ．解：(1) a 3 = a 1q 2 ⇒ q 2 = 4 ⇒ q = ± 2，∵a n = a 1q n - 1，∴a n = - 2n ，或a n = (- 2)n ．(2) ∵132n n a q a +==-，又a 1 = 5，∴135()2n n a -=⨯-．11. 已知a 1，a 2，a 3，…，a 8是各项均为正数的等比数列，公比q ≠ 1，则( A )A ．a 1 + a 8 > a 4 + a 5B ．a 1 + a 8 < a 4 + a 5C ．a 1 + a 8 = a 4 + a 5D ．a 1 + a 8与a 4 + a 5的大小关系不确定【分析】比较两数大小用到作差比较法．解：a 1 + a 8 = a 1 + a 1q 7 = a 1(1 + q 7)，a 4 + a 5 = a 1q 3 + a 1q 4 = a 1(q 3 + q 4)，a 1 + a 8 - (a 4 + a 5) = a 1(1 + q 7) - a 1(q 3 + q 4)= a 1(1 + q 7 - q 3 - q 4) = a 1(1 - q 3) (1 - q 4)．∵a 1，a 2，a 3，…，a 8的各项均为正数，∴a 1 > 0，q > 0．当q > 1时有q 3 > 1，q 4 > 1，a 1(1 - q 3) (1 - q 4) > 0；当0 < q < 1时有q 3 < 1，q 4 < 1，也有a 1(1 - q 3) (1 - q 4) > 0，∴对任意正数q ≠ 1都有a 1 + a 8 - (a 4 + a 5) > 0，即a 1 + a 8 > a 4 + a 5，故选A ．12. (2012浙江理13)设公比为q (q > 0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 2 = 3a 2 + 2，S 4 = 3a 4 + 2，则q =______________． 【答案】32【解析】将S 2 = 3a 2 + 2，S 4 = 3a 4 + 2两个式子全部转化成用a 1，q 表示的式子，即111233*********a a q a q a a q a q a q a q +=+⎧⎨+++=+⎩，两式作差得：a 1q 2 + a 1q 3 = 3a 1q (q 2 - 1)，∵a 1 ≠ 0，q ≠ 0，∴q + q 2 = 3(q 2 - 1)，又q > 0，∴可得q = 3(q - 1)，解之得：32q =． 13. 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5a 6 = 9，则log 3a 1 + log 3a 2 + …+ log 3a 10 = ( B )A ．12B ．10C ．8D ．2 + log 35【解析】log 3a 1 + log 3a 2 + …+ log 3a 10 = log 3(a 1a 2…a 10) = log 3(a 5a 6)5 = log 395 = 10．14. 若等比数列{a n }的公比q < 0，前n 项和为S n ，则S 8a 9与S 9a 8的大小关系是( A )A ．S 8a 9 > S 9a 8B ．S 8a 9 < S 9a 8C ．S 8a 9 = S 9a 8D ．不确定【解析】由等比数列通项公式与前n 项和公式得S 8·a 9 - S 9·a 8 = -q q a --1)1(81·a 1q 8 -q q a --1)1(91·a 1q 7 =qa q q q a ----1)]()[(16716821 =qq q a --1)(7821= - a 12q 7． 又q < 0，则S 8·a 9 - S 9·a 8 > 0，即S 8·a 9 > S 9·a 8．15. (2012辽宁理14)已知等比数列{a n }为递增数列，且25a = a 10，2(a n + a n + 2) = 5a n + 1，则数列{a n }的通项公式为a n = ______________．【答案】2n【考点】本题主要考查等比数列的通项公式及方程思想和逻辑推理能力，属于中档题．【解析】∵25a = a 10，∴ (a 1q 4)2 = a 1q 9，∴a 1 = q ，故a n = q n ，∵2(a n + a n + 2) = 5a n + 1，∴2a n (1 + q 2) = 5a n q ，∴2(1 + q 2) = 5q ，解得q = 2或q =12(舍去)，∴a n = 2n ． 16. (2011北京理11) 在等比数列{a n }中，若112a =，a 4 = - 4，则公比q = ；| a 1 | + | a 2 | + … + | a n | = ．【答案】- 2；1122n ． 【解析】由{a n }是等比数列得a 4 = a 1q 3，又112a =，a 4 = - 4，所以- 4 =12q 3 ⇒ q = - 2， {| a n |}是以12为首项，以2为公比的等比数列， | a 1 | + | a 2 | + … + | a n | 11(12)122122n n --==--．17.(2011江西理18) 已知两个等比数列{a n}，{b n}，满足a1 = a (a > 0)，b1-a1 = 1，b2-a2 = 2，b3-a3 = 3．(1) 若a = 1，求数列{a n}的通项公式；(2) 若数列{a n}唯一，求a的值．解：(1) 当a = 1时，设{a n}的公比为q，则b1 = 1 + a = 2，b2 = 2 + aq = 2 + q，b3 = 3 + aq2 = 3 + q2，又{b n}为等比数列，则b1，b2，b3成等比数列，得(2 + q)2 = 2(3 + q2)，即q2- 4q + 2 = 0，解得q1，或q2 = 2 ，所以：a n)n- 1，或a n = (2 )n- 1．(2) 设{a n}的公比为q，则由(2 + aq)2 = (1 + a)(3 + aq2)，得aq2- 4aq + 3a- 1 = 0，∵a > 0，∴△ = (4a)2- 4a(3a- 1) = 4a(a + 1) > 0，故方程有两个不同的实根，∵{a n}唯一，∴方程必有一根为0，将q = 0代入方程得，13a=．等差、等比数列综合18. (2010北京文16) (本小题共13分) 已知{a n }为等差数列，且a 3 = - 6，a 6 = 0．(Ⅰ)求{a n }的通项公式；(Ⅱ)若等比数列{b n }满足b 1 = - 8，b 2 = a 1 + a 2 + a 3，求{b n }的前n 项和公式． 解：(Ⅰ) 设等差数列{a n }的公差为d ．因为a 3 = - 6，a 6 = 0，所以112650a d a d +=-⎧⎨+=⎩，解得a 1 = - 10，d = 2， 所以a n = - 10 + 2(n - 1) = 2n - 12．或：由a 6 = a 3 + 3d ，及a 3 = - 6，a 6 = 0，得d = 2，a n = a 6 + 2(n - 6) = 2n - 12．或a n = a 3 + 2(n - 3) = 2n - 12．(Ⅱ) 设等比数列{b n }的公比为q ，因为b 2 = a 1 + a 2 + a 3 = - 24，b 1 = - 8，所以- 8q = - 24，即q = 3，所以{b n }的前n 项和公式为1(1)1n n b q S q-=-= 4(1 - 3n )．19. 等差数列{a n }中，a 4 = 10且a 3，a 6，a 10成等比数列，求数列{a n }前20项的和S 20．解：设数列{a n }的公差为d ，则a 3 = a 4 - d = 10 - d ，a 6 = a 4 + 2d = 10 + 2d ，a 10 = a 4 + 6d = 10 + 6d ．由a 3，a 6，a 10成等比数列得a 3a 10 = a 62，即(10 - d )(10 + 6d ) = (10 + 2d )2，整理得10d 2 - 10d = 0，解得d = 0或d = 1．当d = 0时，S 20 = 20a 4 = 200．当d = 1时，a 1 = a 4 - 3d = 10 - 3 ⨯ 1 = 7，于是2012019202S a d ⨯=+= 20 ⨯ 7 + 190 = 330．20. (2012广东理19) (本小题满分14分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足2S n = a n + 1 - 2n + 1 + 1，n ∈ N *，且a 1，a 2 + 5，a 3成等差数列．(1) 求a 1的值；(2) 求数列{a n }的通项公式；(3) 证明：对一切正整数n ，有1211132n a a a +++<． 【解析】本题考查由数列的递推公式求通项公式，不等式证明问题，考查了学生的运算求解能力与推理论证能力，难度一般．(1) 解：2S n = a n + 1 - 2n + 1 + 1，2S n + 1 = a n + 2 - 2n + 2 + 1，相减得：a n + 2 = 3a n + 1 + 2n + 1，2S 1 = a 2 - 3 ⇒ a 2 = 2a 1 + 3，a 3 = 3a 2 + 4 = 6a 1 + 13，a 1，a 2 + 5，a 3成等差数列⇒ a 1 + a 3 = 2(a 2 + 5) ⇒ a 1 = 1．(2) 解：a 1 = 1，a 2 = 5，得a n + 1 = 3a n + 2n 对∀n ∈ N *均成立，a n + 1 = 3a n + 2n ⇒ a n + 1 + 2n + 1 = 3(a n + 2n )，∴{a n + 2n }是以a 1 + 21 = 3为首项，以3 为公比的等比数列，∴a n + 2n = 3n ，即a n = 3n - 2n ．(3) 证明：当n = 1时，11312a =<， 当n ≥ 2时，233()()222n ≥> ⇔ 3n > 2 ⨯ 2n ⇔ 112n n a <． ∴231211111111311222222n n n a a a +++<++++=+-<， 综上得：对一切正整数n ，有1211132n a a a +++<． 或：∵a n = 3n - 2n = 3 ⨯ 3n - 1 - 2n = 3n - 1 + 2(3n - 1 - 2n - 1) ≥ 3n - 1，∴1113n n a -≤， ∴21121111111131331(1)132233313n n n n a a a --+++<++++==-<-．。