高三第一轮复习讲义【24】-数列综合3

2018届高三第一轮复习讲义【24】-数列综合3（简单的参数取整问题）一、同步知识梳理1、2个连续正整数的乘积一定是偶数；2、奇数±奇数=偶数，偶数±偶数＝偶数，奇数±偶数＝奇数，偶数⨯偶数＝偶数，奇数⨯偶数＝偶数，奇数⨯奇数＝奇数；3、若正整数n k >，则1+≥n k ，同理：若n k <，则1-≤n k ；4、若p 、q 、r 分别为三个正整数，且r q p <<，1≥-p q ，2≥-p r ；5、奇数的平方都可以表示成18+m 的兴衰，偶数的平方可以表示成m 8或48+m 的形式；6、若有限个整数之积为奇数，则其中每个整数都是奇数；若有限个整数之积为偶数，则这些整数中至少有一个是偶数；两个整数的和与差具有相同的奇偶性；偶数的平方根若是整数，它必为偶数。

7、平方数的个位数字只可能是0,1，4,5，6,9； 8、偶数的平方数是4的倍数，奇数的平方数被8除余1 9、任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数。

10、1°0,1122==→+=n m n m ；2°1,2222==→+=n m n m ；以此类推…… 同理，3的指数也如此：1,2633==→+=y x y x 。

11、()()12111-++++-=-n naa a a a ；12、()()1212122+-=-n n n；13、质素：有且只有2个素因数，1和身；合数：除了1和本身之外还有第三个因素； 14、被2整除，末尾是2的倍数； 15、被3整除，数字之和是3的倍数；16、被5整除，末尾数字是0或者5，或者最后2位数字组合为（00,25,50,75）； 17、被7整除，①割尾法：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。

如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。

②末三法：这个数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（反过来也行）能被7、11、13整除。

这个数就能被7、11、13整除。

二、同步例题精讲例1、已知直角三角形的三边长都是整数且其面积与周长在数值上相等，那么这样的直角三角形有…（ ）．.A 0； .B 1； .C 2； .D 3分析：设直角三角形两直角边的边长分别为：b a ,，则根据已知条件可得：ab b a b a 2122=+++，化简可得：484-+=b a ，根据整除性：8,4,2,14=-b ； 故可得2组解：10,8,6；13,12,5；所以选C ；例2、不等式2(1)(43)0x x x +-+>有多种解法，其中有一种方法如下，在同一直角坐标系中作出11y x =+和2243y x x =-+的图像然后进行求解，请类比求解以下问题：设,a b Z ∈，若对任意0x ≤，都有2(2)(2)0ax x b ++≤，则a b +=；答案：1-；分析：若0<a ，则根据图像，在0≤x 部分无法使得2(2)(2)0ax x b ++≤恒成立， 故0>a ，所以在0x ≤二次函数与一次函数共同过与x 的交点，把ax 2-=代入得： 12,122-=+⇒-==⇒-=b a b a ab ； 例3、已知数列{}n a 的各项均为正整数，对于1,2,3,...n =，有135,,2n n n n n k a a a a a ++⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，其中k 为使1n a +为奇数的正整数；若存在*m N ∈，当n m >且n a 为奇数时，n a 恒为常数p ，则p 的值为； 答案：1p =或5分析：令n a p =，则135n a p +=+，2352n k p a p ++==，所以523k p =-，因为p 是奇数，所以235k-=或1，则3k =或2，符合题意，于是1p =或5。

例4、若,a b 是函数2()f x x px q =-+(0,0)p q >>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于（ ） A. 1 B. 4 C. 5 D. 9 答案：D分析：根据韦达定理0a b p ab q +=>⎧⎨=>⎩可知0,0a b >>，所以是,2,a b -成等比，所以4ab =，令a b >，则2,,b a -成等差，于是22a b -=，解得41a b =⎧⎨=⎩，所以54p q =⎧⎨=⎩时，所以选D 。

例5、已知数列{}n a 的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列. 设数列{}n a 的前n 项和为,n S 且满足43934.a S a a a ==+，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若12,k k k a a a ++=求正整数k 的值； （3）是否存在正整数k ，使得221kk S S -恰好为数列{}n a 的一项？若存在，求出所有满足条件的正整数k ；若不存在，请说明理由．解析：（1）设{}n a 的奇数项构成的等差数列的公差为,d 偶数项构成的等比数列的 公比为,q 则12121(1),2.n n n a n d a q --=+-= 由已知，得2(2)22,14(1)2 3.q d d d d q q =++=⎧⎧⇒⎨⎨+=++=⎩⎩故数列{}n a 的通项公式为：22,(.23,(n n n n a n -⎧⎪=⎨⎪⋅⎩当为奇数)当为偶数)（2）当k 为奇数时，由12,k k k a a a ++=得 112222323.2k k k k k k--+⋅⋅=+⇒=由于1223,22k k N k k k-*+∈=而仅在时为正整数，与为奇数矛盾！当k 为偶数时，由12,k k k a a a ++=得 22223+123 2.k kk k -⋅⋅=⋅⇒=（）综上，得 2.k =（3）由(1)可求得[]212213(21)2(1333)31,k k k S k k -=+++-+++++=+- 1221223 1.k k k k S S a k --=-=+-若221kk S S -为数列{}n a 中的一项，则22222121()23().m k k k k S S m m m S S ---==⋅为正奇数，或为正偶数 （i ）若221()k k S m m S -=为正奇数，则2121231(3)3(1)(1).31k k k k m m m k k --+-=⇒-=--+- 当1k =时，3m =，结论成立；当1k ≠时，1231,13k m k m --=--由12310,0,13,13k m m k m-->><<--得解得 由于m 为正奇数，故此时满足条件的正整数k 不存在.（ii ）若2222123(),m kk S m S --=⋅为正偶数显然1k ≠，则2222212122222122231323123(323)3(1)(231).311323m m m m k k k m k k k k k --------+-⋅-=⋅⇒-⋅=-⋅-⇒=+---⋅ 由1k >得2212222232310,0123 3.1323m m k m k ----⋅->>⇒<⋅<--⋅得 22,23m m -⋅由为正偶数得为正偶数，因此22232m -⋅=，从而1122313 1.1k k k k --=⇒=-- 121223133 1.k k k k k k --==-≥>-当时，；下面用数学归纳法证明：当时，①12331k k k -=>-当时，显然；②123311l k l l k l -=≥>-=+假设当时，有；当时，2222(1)112233(1)(1)1(1)(4)0,3333(1)(1) 1.l l l l l l l l l +--⎡⎤≥--+-=-+->⎣⎦=⋅>->+-由得故即1k l =+当时，结论成立.由①，②知：1233 1.k k k -≥>-当时，例6.已知数列{}n a 是各项均不为0的等差数列，公差为d ，n S 为其前n 项和，且满足221n n a S -=，n *N ∈．数列{}n b 满足11n n n b a a +=⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和．（1）求数列{}n a 的通项公式n a 和数列{}n b 的前n 项和n T ；（2）若对任意的n *N ∈，不等式8(1)n n T n λ<+⋅-恒成立，求实数λ的取值范围； （3）是否存在正整数,m n (1)m n <<，使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有,m n 的值；若不存在，请说明理由． 答案：（1）21n a n =-，21n nT n =+． （2）21λ<-． （3）分析： 依题意得，11,,32121m n m n T T T m n ===++， 若1,,m n T T T 成等比数列，则21()()21321m nm n =++，即2244163m n m m n =+++． 此时，m ，n 2个字母当做函数y x ,2个变量一样对待即可，于是用m 来表示n 可得：142322++-=m m m n （这其实就是函数()二次二次=x f 的模式），于是可变化为： 因为：0>n 且1,>∈*n N n ，故22410m m -++>，解得：11m <<， 在这个范围内，满足条件的只有2=n ；另：此题也可以转化为二次函数配方来控制变量的取值范围，道理都一样！例7.在数列{}n a 中，已知12=a ，前n 项和为n S ，且2)(1a a n S n n -=.（其中*N n ∈） （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求2limnS n n +∞→；（3）设nn n a b 31lg +=，问是否存在正整数p 、q （其中q p <<1），使得1b ，p b ，q b 成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组),(q p ；否则，说明理由.答案：（1）12-=n a n ； （2）21lim2=+∞→n S n n ；（3）分析：假设存在正整数p 、q ，使得1b ，p b 、q b 成等比数列，则1lg b ，p b lg 、q b lg 成等差数列，故qp q p 33132+=，① 由于右边大于31，则3132>p p ，即613>p p ．考查数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧p p 3的单调性，因为032133111<-=-+++p p p p p p ，所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧p p 3为单调递减数列． 当2=p 时，61923>=p p ，代入①式得913=q q ，解得3=q ；当3≥p 时，913≤p p （舍）． 综上得：满足条件的正整数组),(q p 为)3,2(．总结：这题很巧妙的运用了单调数列来说了，是不是显得很高大上的感觉，呵呵！综合（i ），（ii ）得：存在两个正整数k ,k =1或2，使221k k SS -为数列{}n a 中的项.例8、已知数列{a n }满足761-=a ，12110n n a a a a +++++-λ= (其中λ≠0且λ≠–1，n ∈N*)，n S 为数列{a n }的前n 项和． (1) 若3122a a a ⋅=，求λ的值； (2) 求数列{a n }的通项公式n a ；(3) 当13λ=时，数列{a n }中是否存在三项构成等差数列，若存在，请求出此三项；若不存在，请说明理由． 答案：（1）67-=λ； （2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥+=-=-.2)1(71,1762n n a n n λλλ（3）分析：因为31=λ所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥⋅=-=-.2473,1762n n a n n假设数列{a n }中存在三项a m 、a k 、a p 成等差数列，①不防设m >k >p ≥2，因为当n ≥2时，数列{a n }单调递增，所以2a k =a m +a p 即：2⨯(37)⨯4k –2 = 37⨯4m –2 + 37⨯4p –2，化简得：2⨯4k - p = 4m –p +1 即22k –2p +1=22m –2p +1若此式成立，必有：2m –2p =0且2k –2p +1=1，总结：()*∈+=N y x y x ,2220，这样的搭配有且只要一种：0,1==y x ； 故有：m=p=k ，和题设矛盾；②假设存在成等差数列的三项中包含a 1时， 不妨设m =1，k >p ≥2且a k >a p ，所以2a p = a 1+a k ， 2⨯(37)⨯4p –2 = –67+ (37)⨯4k –2，所以2⨯4p –2= –2+4k –2，即22p –4 = 22k –5 – 1 因为k >p ≥ 2，所以当且仅当k =3且p =2时成立因此，数列{a n }中存在a 1、a 2、a 3或a 3、a 2、a 1成等差数列三、课堂练习1、若三个互不相等的实数成等差数列，适当交换这三个数的位置后变成一个等比数列，则此等比数列的公比为____________（写出一个即可）．2、数列{}n a 的前n 项和记为n S ，且满足12-=n n a S ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设有m 项的数列{}n b 是连续的正整数数列，并且满足：)lg(log )11lg()11lg()11lg(2lg 221m ma b b b =+++++++ ．问数列{}n b 最多有几项？并求这些项的和．3、等比数列．．．．{}n c 满足11410-+⋅=+n n n c c ，*N n ∈，数列{}n a 满足n an c 2=． （1）求{}n a 的通项公式； （2）数列{}n b 满足11n n n b a a +=⋅，n T 为数列{}n b 的前n 项和．求n n T ∞→lim ；（3）是否存在正整数(),1m n m n <<，使得1,,m n T T T 成等比数列？若存在，求出所有,m n 的值；若不存在，请说明理由．4、设3()=f x x ，等差数列{}n a 中3=7a ，123++=12a a a，记=n S f ，令=n n n b a S ，数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T . （1）求{}n a 的通项公式和n S ； （2）求证：1<3n T ； （3）是否存在正整数m ，n ，且1<<mn ，使得1T ，m T ，n T 成等比数列？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由.四、回顾与总结（1）方法与题型总结1、用函数思想来控制变量范围2、用单调性来控制变量范围3、用夹逼定理来控制变量范围； 我们先来了解学习下夹逼定理： 夹逼定理：如果数列{}n x 、{}n y 以及{}n z 满足下列条件：（1）从某项起，即当0n n ＞（其中0n N ∈），有n n n x y z ≤≤（123n = ，，）；（2）lim n n x a →∞=且lim n n z a →∞=；那么数列{}n y 的极限也存在，且lim n n y a →∞=。