计算物理随机游走

f ( x, y )


f ( x, t ) p( x, t )dx
p( x , t ) D 2 p( x , t ) t

╳
x，再积分。
p( x , t ) xp( x , t )dx x =0 x t dx t t
右边分布积分再代入边界条件：p( , t ) 0
p( x , t ) p( x , t ) p( x , t ) D x dx Dx D dx 0 2 x x x 2
8

x 0 t
由于在 t=0时，粒子在原点处，从而粒子 位置的平均值是不随时间变化的。
1 d2 1 d 2 2 2 xFx x ( mx ) mx 2 2 dt 2 dt
2
1 d2 1 d 2 2 2 xFx x ( mx ) mx 2 2 dt 2 dt
对颗粒总数进行平均：
涨落力平局值为零
2 k BT mx
1 d2 1 d 2 2 2 xFx mx mx x 2 2 dt 2 dt d2 2 d 2 2 k BT x x 2 dt m dt m
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pro=0.5 do i=1,nwalk x=0.0d0 do j=1,nstep call randomnum() if (rand .lt. pro) then x=x+1.0 else x=x-1.0 end if write(10,'(I15,F15.6)')j,x sumx(j)=sumx(j)+x sumx2(j)=sumx2(j)+x*x end do end do do i=1,nstep write(11,'(I15,2F15.6)') $ i,sumx(i)/dble(nwalk),sumx2(i)/dble(nwalk) end do
的粒子数即为粒子流密度：
J D
由粒子数守恒的Liouvill连续性方程：
J 0 t
p( x , t ) D 2 p( x , t ) t
p(x,t)dx为粒子在t时刻存在于x-x+dx之间的概率：
( x, t ) 0 p( x, t )
7
任意函数的平均值可以表示为：
i 1, i j
s s
i
n
j

i j i 1, j 1, i j
5
s s
n
x n si
i 1
2 xn si s j i 1 j 1 n n
n
xn 0
( s1 s2 ) ( s1 s2 ) s1 s1 s1 s2 s2 s1 s2 s2
x ( 0) 0
p( x , t ) D 2 p( x , t ) t 2 x (t ) 2 D t
x(t ) x(0) 0
╳
x2，再积分。
x 2 ( t ) 2 Dt
该结果与Brown 运动方程完全一致，说明Brown 运动
或RW 模型的随机行走就是描述了扩散的物理过程。
一 Brown运动
1827 年 植 物 学 家 Brown 观 察到水中的花粉等颗粒可以不 停的作无规则运动。
由于 Brown 颗粒的质量远较液体的分子大，我们将颗 粒看成是一个巨分子，它不停地受到周围环境中液体分子 的碰撞，这种碰撞的频率为每秒1019次，因此我们观察到的 Brown 颗粒的运动是大量碰撞的涨落的结果，它是一种完 全无规则的随机运动。
等步长h
其中，q0是在区域D的正则内点0上的函数q(x,y)的值。
12
1 0 (1 2 3 4 h2q0 ) 4
其中，1/4可以解释为概率。即有：
10
11
四 蒙特卡罗方法求解泊松方程
若泊松方程及其边界条件为
2 2 2 2 q( x , y ) y x F ( s )
Γ为求解区域D的边界， s为边界Γ上的点。
1 0 (1 2 3 4 h2q0 ) 4
正方形格点划分
由于指数项的幂系数 非常大，α/m≈107秒-1，当 时 间 t=10-6 秒时指数项可 以忽略。 将起始点放在原点，c2=0
x x
2

2 k BT

t c1e
t
m
c2
2
2 k BT

t 2 Dt
D为扩散系数。
3
二 醉汉行走问题 x
O s i 1
Person 在1905 年发表于《Nature》的论文中提出的： “一个人从θ点出发，沿直线走了l 码，然后他转了 一个角度后由沿第二条直线走了l 码，他重复了n 次这样 的过程。我想求出 n 次过程后此人位于离开起始点 r 到 r+dr 距离内的概率”

i j i 1, j 1, i j n
i 1, i j
Leabharlann Baidu
s s
i
n
j
s s

x
2 n
s n
i 1 2 i
n
x
2

2 k BT
t 2 Dt
1 D 2
6
三 扩散的物理
扩散是由于粒子浓度梯度的存在▽ρ形成粒子往低浓 度区域迁移的趋势，单位时间内通过某一方向垂直截面
4
醉汉的步长为1 向右行走的一步的几率为p=0.5
O
x
向左走一步的几率为q=1-p=0.5
向右走了nR步，向左走了nL
s i 1
s 1
2 i
总共走了n=nR+nL步
x n si
i 1
2 xn si s j i 1 j 1 n n
n
xn ( p q)n 0
1
在描述Brown 运动时，我们 将影响系统在相空间中轨迹的随 机力应用于决定性运动方程，也 就是把液体分子的自由度凝缩为
仅用随机力代表。
1907 年 由 Langevin 提 出 的 Brown 运动方程：
Fx x m x
f v为阻力
Fx为涨落力
2 d 1 d 2 2 ( xx ) x 2 x x x x dt 2 dt 2