2018年高中数学北师大版选修4-4参数方程题型总结课件

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������ π + 2 4
物线. 又因为 x= cos + sin = 2sin , 0<θ<2π,所以 0≤x≤ 2. 所以方程为 x2=2y(0≤x≤ 2),表示抛物线的一部分.
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专题一
专题二
专题二
曲线参数方程的应用
曲线的参数方程通过参数反映坐标变量 x,y 之间的间接关系,其中的 参数一般具有相应的几何意义或物理意义.利用参数来表示曲线的方程时, 要充分注意参数的合理选择,用参数方程可以求轨迹,解决最值问题,也可以 证明恒等式. 【应用 1】 化参数方程 ������ = ������ + , ������ =
π 2 1 4 2sin ������1 2sin ������2 1 · =- . 4cos ������1 4cos ������2 4
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(2)设 PQ 的中点为(x,y), ������ = 2(cos ������1 + cos ������2 ), 则 ������ = sin ������1 + sin ������2 .
������2 2 所以 +y =(cos 4
θ1+cos θ2)2+(sin θ1+sin θ2)2 =2+2cos(θ1-θ2)=2. 所以
������2 PQ 中点的轨迹方程为 8 ������2 + =1. 2
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专题一
Baidu Nhomakorabea
专题二
【应用 3】 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ������ = ������cos������, ������ = cos������, ������ = sin������ (φ 为参数),曲线 C2 的参数方程为 ������ = ������sin������ (a>b>0,φ 为参数). 在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 l:θ=α 与 C1,C2 各有 π 一个交点.当 α=0 时,这两个交点间的距离为 2,当 α= 时,这两个交点重合. (1)分别说明 C1,C2 是什么曲线,并求出 a 与 b 的值; π π (2)设当 α= 时,l 与 C1,C2 的交点分别为 A1,B1,当 α=- 时,l 与 C1,C2 的交 点分别为 A2,B2,求四边形 A1A2B2B1 的面积. 是关键.
1 (1 + sin������) 2 ������ 2 ������ 2
,
(θ 为参数,0<θ<2π)表示什么曲
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解:因为 x =
2
������ ������ 2 cos + sin =1+sin 2 2 ������ 2 ������ 2
θ=2y,所以普通方程为 x2=2y,为抛
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参数方程和普通方程的互化
在求出曲线的参数方程后,通常利用消参法得出普通方程.一般地,消参 数经常采用的是代入法和三角公式法.但将曲线的参数方程化为普通方程, 不只是把其中的参数消去,还要注意 x,y 的取值范围在消参前后应该是一 致的,也就是说,要使得参数方程与普通方程等价,即它们二者要表示同一曲 线. 【应用】 参数方程 线? 提示:化参数方程为普通方程,求出 x 的取值范围,进行判断. ������ = cos + sin ������ =
2 2
则这点到直线 y=2x+1 的距离 d=
2 15+ 5 . 5 3 ������
5
=
5

|2 3+1| 5
=
等号成立时,t= ,即 t2=3,所以 t=± 3. 当 t= 3时,
4 3 , 4 3 2 3 3 所以 P , . 3 3 2 3 ������ = , 3 4 3 ������ = , 4 3 2 3 3 所以 P ,3 3 2 3 ������ = , 3
1 ������ 1 ������������
(t 为参数)为普通方程,在该曲线上
求出一点 P,使它到直线 y=2x+1 的距离最小,并求此最小距离. 提示:两式平方相减可消去参数 t,再将点代入直线方程求距离表达式, 从而求出距离的最小值.
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������2 ������2 解:根据题意,x -y =4,即 − =1 为曲线的普通方程. 4 4 1 1 设曲线上任一点的坐标为 ������ + ,t- , ������ ������ 2 1 3 2������+ ������ -t+ ������ +1 ������+ ������ +1
������ =
当 t=- 3时,
.
4 3 2 3 , 3 3
所以曲线上到直线 y=2x+1 距离最小的点为 距离的最小值为
2 15+ 5 . 5
或 -
4 3 2 3 ,3 3
,
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������2 ������2 【应用 2】 椭圆 + =1 上有 16 4 1 率分别为 kOP,kOQ,且 kOP· kOQ=- . 4
P,Q 两点,O 为椭圆中心,OP,OQ 的斜
(1)求|OP|2+|OQ|2 的值; (2)求线段 PQ 中点的轨迹方程.
提示:利用椭圆的参数方程,设出 P,Q 的坐标,再依题意求解. 解:(1)设 P(4cos θ1,2sin θ1),Q(4cos θ2,2sin θ2). 因为 kOP· kOQ=- ,所以 所以 cos(θ1-θ2)=0. 所以 θ1-θ2=kπ+ (k∈Z). 所以 sin2θ1=cos2θ2,cos2θ1=sin2θ2. 所以|OP|2+|OQ|2=16cos2θ1+4sin2θ1+16cos2θ2+4sin2θ2=20,即 |OP|2+|OQ|2=20.
4 4 2
提示:由曲线的参数方程判断出曲线的形状,结合曲线的几何性质解题
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参数方程的概念 直线的参数方程 直线和圆锥曲线的参数方程 圆的参数方程 椭圆的参数方程 双曲线的参数方程 参数方程 参数方程与普通方程的互化 平摆线 平摆线和渐开线 渐开线 参数方程化成普通方程 普通方程化成参数方程
平摆线的概念 平摆线的参数方程 渐开线的概念 渐开线的参数方程
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