第6章热传导问题的有限元法教程文件
冶金传输原理-第6章导热讲法
导热系数
导热系数是材料导热性的重要参数，代表了任意物质在其内部传热的难易程度。了解导热系数可以帮助我们 更好地优化系统设计，以达到最佳传热效果。
金属材料的导热系数
绝缘材料的导热系数
金属材料通常具有比较高的导热系数，其中银、铜、 铝等材料的导热系数最高，一些非金属材料如陶瓷 的导热系数则远低于金属。
除了分子间的能量传递外，热也可以通过物体中的 扩散来传递。这种方法在固体导热中尤其常见。
辐射传输
导热基本概念
导热的基本概念包括温度、传热速率和传热时间常数等。要理解这些概念的物理意义，可以更好地分析材料导 热的过程。
温度
温度是物体吸收热量与释放 热量的平衡状态的表现。温 度差是导热的推动力。
传热速率
隔热计法的测试结果
隔热计法用于测试材料的隔热性能，根据热源的加 热功率、升温速度和温度分布，得出样品的热导率。
导热系数的测定方法
热导率是材料导热的一个基本参数，测定导热系数的方法有多种，如静态方法、动态方法和绝缘法等。
静态测定法
静态测定法基于四极杆热流计或梯度热流计，在稳 态下进行导热测量。这种方法精度较高，适用于测 定各种材料的导热性质。
导热材料的连接方式
选择合适的连接方式对于导热效率至关重要，常见的方法包括银焊法、压接法和夹紧法等。
材料的热稳定性
对于在长时间高温环境下工作的材料，它的热稳定性变得尤为重要。
导热介质的均匀性
在进行导热设计时，我们需要考虑材料内部导热介质的均匀性。例如在冶金领域，铜被广泛用作 导热介质，因其在受热情况下有助于传递中间的热量。
太阳能热水器技术
材料不同热传输的效率不同，在采用太阳能热水器 时，必须合理安装材料，以增强其太阳能辐射吸收 和热传导等效果。
13第6章热传导问题有限元
§6-3
稳态二维热传导
根据有限元部分的§2-1 节的第（ 2-1-2a）式， 3 节点有限元的插值函数为
1 Ni ai bi x c i y （ i, j , m ） 2A
对于任一单元 ijm ，可将插值函数求导代入式（6-2-3a） ，得到热传导矩阵元素
190
k k K1(ije) x bi b j y c i c j 4A 4A
q kxA
T x
（ 6-1-1）
其中 k x 是 x 方向上材料的导热系数； A 是垂直于 x 方向热流通过的面积； T 是温度。 （ 2） 对流 定义：对流是固体与周围物体之间进行热能传递的过程。 对流的热流速率可表示为
q hA T T
（ 3） 辐射 定义：辐射热传导是在服从电磁学定律的两个表面之间的热能交换过程。 辐射热流速率由下述关系确定单元热传导矩阵为源自（6-3-1） K
( e) 1
bi bi bi b j kx b jbj 4A sym
bi bm c c ci c j k y i i b j bm c jc j 4A bmbm sym
ci c m c j cm cm cm
如果物体处于没有任何热源的稳定状态，则方程（ 6-1-7）可简化为拉普拉斯方程
2 2 2 T T T 2 2 0 2 x y z
（6-1-10）
由于微分方程（6-1-6 ）或（6-1-7 ）是二阶的，所以需要规定两个边界条件。可能的边界条件是 在 T x , y, z, t T0 1 上： 在 2 上： k x （ 6-1-11a）
2 2 2 1 T T T T k k k 2 q c T dV x y z ~ V 2 x y z t
有限元线法空间曲线单元在热传导问题中的运用
有限元线法空间曲线单元在热传导问题中的运用热传导问题是工程和科学领域中常见的一类问题，涉及到热量在物体内部的传递和分布。
为了解决这类问题，工程师和科学家们提出了各种数值计算方法。
其中，有限元法是一种常用的方法，而有限元线法空间曲线单元是有限元法的一个重要组成部分。
有限元法是一种将连续问题离散化为有限个简单子问题的数值计算方法。
它将复杂的问题划分为许多小的子区域，称为有限元，通过对这些有限元的数学描述和计算，得到整个问题的解。
有限元法适用于各种工程和科学领域，包括结构力学、流体力学、电磁场等。
它的优点是能够处理复杂几何形状和边界条件，并且能够提供高精度的解。
在热传导问题中，有限元法可以用于计算物体内部的温度分布和热流量。
其中，有限元线法空间曲线单元是一种特殊的有限元形式。
它适用于一维空间曲线上的问题，比如管道、电缆等。
有限元线法空间曲线单元将空间曲线离散化为一系列节点和单元，通过对节点和单元的数学描述和计算，得到问题的解。
这种方法能够有效地处理一维问题，并且具有较高的计算精度。
有限元线法空间曲线单元在热传导问题中的运用可以通过以下步骤进行。
首先，将问题的几何形状离散化为一系列节点和单元。
然后，根据热传导方程和边界条件，建立节点和单元的数学模型。
接下来，通过求解节点和单元的数学模型，得到温度分布和热流量。
最后，对计算结果进行分析和验证。
有限元线法空间曲线单元在热传导问题中的运用具有许多优点。
首先，它能够处理复杂的几何形状和边界条件，适用范围广。
其次，它具有较高的计算精度，能够提供准确的解。
此外，它还能够分析不同参数对问题的影响，为工程和科学研究提供重要参考。
综上所述，有限元线法空间曲线单元是热传导问题中常用的数值计算方法。
它能够有效地处理一维问题，并且具有较高的计算精度。
在工程和科学领域中，热传导问题的解决对于设计和分析具有重要意义。
通过应用有限元线法空间曲线单元，可以得到准确的温度分布和热流量，为工程和科学研究提供有力支持。
第六讲热传导过程有限元分析
元计算技术部
传热学是研究温差引起的热能传递规律的科学。热力学第二定律指出：凡是有温差存在的地方，就有 热能自发地从高温物体向低温物体传递。本讲针对热传导问题从其基本方程、有限元分析、ELAB工程建 模等几个方面来介绍其仿真过程。
基本方程 ELAB模型向导实现 有限元脚本文件分析
➢有限元分析
针对二维问题，根据上面的瞬态热传导方程可得其积分形式为：
V
(c
u t
x
(kx
u ) x
y
(ky
u ) y
Q udV
V
其中，δu为温度的虚位移
V
(c
u t
u
kx
u x
u x
ky
u y
u )dV y
Q udV
V
(nxkx
u x
nyky
u ) ud y
将边界条件代入上式(注意，对于已知温度边界条件，虚位移δu为0，可得 :
单元刚度矩阵：
dist = +[gu_i;gu_i]*ek*vol (其中gu是一向量，其分量为vect gu gux guy gu的表达式在该fde中对应：
@l grad.xy f fe @w gu fe 也就是未知量对x和y的导数。
)
u x
u x
ky
u y
u y
单元质量矩阵：
mass %1 ec*vol
温度场u分布云图
热流场x方向分布云图
热流场y方向分布云图
➢有限元语言描述文件
为生成该问题有限元计算的所有程序源代码，针对之前的ELAB有限元分析得到的微分方程弱 形式，ELAB软件提供简洁的有限元语言描述文件，包括微分方程描述文件、多物理场描述文件以 及求解命令流控制文件。
传热问题有限元分析
【问题描述】本例对覆铜板模型进行稳态传热以及热应力分析，图I所示的是铜带以及基板的俯视图，铜带和基板之间由很薄的胶层连接，可以认为二者之间为刚性连接，这样的模型不包含胶层，只有长10mm的铜带（横截面2mm×0.1mm）和同样长10mm的基板（横截面2mm×0.2mm）。
材料性能参数如表1所示，有限元分析模型为实体——实体单元，单元大小0.05mm，边界条件为基板下表面温度为100℃，铜带上表面温度为20℃，通过二者进行传热。
图I 铜带与基板的俯视图表1 材料性能参数名称弹性模量泊松比各向同性导热系数基板 3.5GPa 0.4 300W/(m·℃)铜带110GPa 0.34 401W/(m·℃)【要求】在ANSYS Workbench软件平台上，对该铜板及基板模型进行传热分析以及热应力分析。
1.分析系统选择（1）运行ANSYS Workbench，进入工作界面，首先设置模型单位。
在菜单栏中找到Units下拉菜单，依次选择Units>Metric（kg,m,s,℃，A，N,V）命令。
（2）在左侧工具箱【Toolbox】下方“分析系统”【Analysis Systems】中双击“稳态热分析”【Steady-State Thermal】系统，此时在右侧的“项目流程”【Project Schematic】中会出现该分析系统共7个单元格。
相关界面如图1所示。
图1 Workbench中设置稳态热分析系统（3）拖动左侧工具箱中“分析系统”【Analysis Systems】中的“静力分析”【Static Structural】系统进到稳态热分析系统的【Solution】单元格中，为之后热应力分析做准备。
完成后的相关界面如图2所示。
图2 热应力分析流程图2.输入材料属性（1）在右侧窗口的分析系统A中双击工程材料【Engineering Data】单元格，进入工程数据窗口。
有限元 二维热传导
有限元二维热传导
有限元方法是一种数值计算方法，用于求解偏微分方程的近似解。
在二维热传导问题中，我们考虑一个矩形区域内的热传导问题，假设该区域的边界条件已知，我们需要求解该区域内的温度分布。
假设矩形区域的大小为L×H，我们将其划分为若干个小单元，每个小单元的大小为Δx×Δy。
我们用节点来表示每个小单元的顶点，每个节点的温度可以用一个未知数来表示。
因此，我们需要求解的未知数有L/Δx+1个，H/Δy+1个。
对于每个小单元，我们可以建立一个局部方程来描述其温度分布，例如：
k(x,y)ΔxΔy(∂T/∂x) + k(x,y)ΔxΔy(∂T/∂y) = Q(x,y)
其中，k(x,y)是该小单元内的热传导系数，Q(x,y)是该小单元内的热源或热汇。
将所有小单元的局部方程组合起来，可以得到整个区域的方程。
通过求解该方程，我们可以得到该区域内的温度分布。
有限元方法的优点是可以处理复杂的边界条件和非均匀的材料特性，但需要进行数值计算，计算量较大。
热传导问题的有限元法59页PPT
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热传导问题的有限元法
31、园日涉以成趣，门虽设而常关来自 32、鼓腹无所思。朝起暮归眠。 33、倾壶绝余沥，窥灶不见烟。
34、春秋满四泽，夏云多奇峰，秋月 扬明辉 ，冬岭 秀孤松 。 35、丈夫志四海，我愿不知老。
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
《高等有限元方法-张年梅》2.6二维稳态热传导问题
2.6 二维稳态热传导问题一、稳态热传导有限元的一般格式 具有内热源的二维稳态热传导问题的基本方程为ðððððð�aa xx ððððððxx �+ðððððð�aa ðððððððððð�+QQ cccc=00 按照有限元法公式推导的标准步骤，首先将求解区域A 离散为有限个单元体，在每个单元体内用伽辽金法选择权函数，得到：∬NN ii �ððððxx �aa xx ððððððxx �+ðððððð�aa ðððððððððð�+QQcccc �dddd dd ee=00 ii =11，⋯，nn （2.6.1） 上式中：dd ee 为单元面积，nn 为每个单元的节点个数，NN ii �xx ，ðð�为插值函数，它同样具有以下性质：NN ii �xx jj ，ððjj �=�00当jj ≠ii 时11当jj =ii 时和 ∑NN ii =11每个单元内各点的温度TT 可以近似地用单元节点温度ððii 插值得到：TT =�NN ii �xx ，ðð�ððii nnii =11=[NN ]{ðð}ee式中：[NN ]=[NN 11NN 22⋯NN nn ]，{ðð}ee 为单元节点温度列阵。
有限元法及其应用 pdf
有限元法及其应用 pdf标题：有限元法及其应用引言概述：有限元法是一种数值分析方法，广泛应用于工程领域。
本文将介绍有限元法的基本原理和应用领域，并详细阐述其在结构分析、流体力学、热传导、电磁场和生物力学等方面的具体应用。
正文内容：1. 结构分析1.1 结构力学基础1.1.1 杆件和梁的有限元分析1.1.2 平面和空间框架的有限元分析1.1.3 壳体和板的有限元分析1.2 结构动力学分析1.2.1 振动问题的有限元分析1.2.2 地震响应分析1.2.3 结构非线性分析2. 流体力学2.1 流体流动的有限元分析2.1.1 稳态流动问题的有限元分析2.1.2 非稳态流动问题的有限元分析2.1.3 多相流动问题的有限元分析2.2 流体结构耦合分析2.2.1 气动力和结构响应的有限元分析2.2.2 液固耦合问题的有限元分析2.2.3 流体流动与热传导的有限元分析3. 热传导3.1 热传导方程的有限元分析3.1.1 稳态热传导问题的有限元分析3.1.2 非稳态热传导问题的有限元分析3.1.3 辐射传热问题的有限元分析3.2 热结构耦合分析3.2.1 热应力分析3.2.2 热变形分析3.2.3 热疲劳分析4. 电磁场4.1 静电场和静磁场的有限元分析4.1.1 静电场的有限元分析4.1.2 静磁场的有限元分析4.2 电磁场的有限元分析4.2.1 电磁场的有限元分析方法4.2.2 电磁场与结构的耦合分析4.2.3 电磁场与流体的耦合分析5. 生物力学5.1 生物组织的有限元分析5.1.1 骨骼系统的有限元分析5.1.2 软组织的有限元分析5.1.3 生物材料的有限元分析5.2 生物力学仿真5.2.1 运动学分析5.2.2 力学分析5.2.3 生物仿真与设计总结：有限元法是一种广泛应用于工程领域的数值分析方法。
本文从结构分析、流体力学、热传导、电磁场和生物力学五个大点详细阐述了有限元法的应用。
通过对各个领域的具体应用介绍，我们可以看到有限元法在工程领域中的重要性和广泛性。
基于杂交基本解的正交各向异性材料热传导问题有限元法
文章编号： 1009 − 444X （2020）04 − 0305 − 09基于杂交基本解的正交各向异性材料热传导问题有限元法仇文凯 ，王克用（上海工程技术大学 机械与汽车工程学院，上海 201620）摘要：采用基于杂交基本解的有限元法（HFS-FEM ）对二维正交各向异性材料进行热传导分析. 单元域内和单元边界上的温度分布由两个温度场独立描述. 采用基本解的线性组合来近似单元内部温度场，采用标准一维线单元形函数来定义网线温度场. 利用修正变分泛函和散度定理导得相应的有限元列式，通过2个算例与ABAQUS 结果对比，验证了该方法具有有效性. 数值结果表明，该方法在单元形状极度扭曲情形下仍能保持良好的精度，这是区别于传统有限元法的显著特点.关键词：热传导；有限元法；基本解；坐标变换；正交各向异性材料中图分类号： O 343.1 文献标志码： AHybrid Fundamental-Solution-Based FEM for Heat ConductionProblems in Orthotropic MaterialsQIU Wenkai ，WANG Keyong（ School of Mechanical and Automotive Engineering, Shanghai University of Engineering Science, Shanghai 201620, China ）Abstract ：A heat conduction analysis of two-dimensional orthotropic materials was carried out by the hybrid fundamental-solution-based finite element method (HFS-FEM). Temperature distributions within the element domain and on the element boundary were independently described by two temperature fields. A linear combination of fundamental solutions was utilized to approximate the intra-element temperature field while standard one-dimensional shape functions were employed to define the frame temperature field. By virtue of the modified variational functional and divergence theorem, the resultant finite element formulation was derived. The effectiveness of the proposed method was verified by comparing two numerical examples with ABAQUS result. The numerical results demonstrate that the proposed method can still keep excellent accuracy even when the element shape degenerates to a situation of extreme distortion. This is one of marked features which differs from conventional finite element methods.Key words ：heat conduction ；finite element method （FEM ）；fundamental solution ；coordinate transformation ；orthotropic materials材料按照性质和内部结构，一般可分为各向同性材料和各向异性材料. 各向同性材料具有简单、优良的特性，在材料工程领域得到广泛的应用[1 − 3]. Wang 等[1]采用基于杂交基本解的有限元收稿日期： 2020 − 06 − 01基金项目： 上海市自然科学基金资助项目（19ZR1421400）作者简介： 仇文凯（1994−），男，在读硕士，研究方向为杂交有限元法. E-mail ：*****************通信作者： 王克用（1975−），男，副教授，博士，研究方向为Trefftz 有限元法和多孔介质传热. E-mail ：*******************第 34 卷 第 4 期上 海 工 程 技 术 大 学 学 报Vol. 34 No. 42020 年 12 月JOURNAL OF SHANGHAI UNIVERSITY OF ENGINEERING SCIENCEDec. 2020方法（HFS-FEM）研究各向同性材料的热传导问题. Gao[2]提出一种求解各向同性材料热传导问题的无网格边界元方法. 目前，在汽车、造船、机械加工、航空航天、军工等工程领域中，许多各向同性材料还不能满足性能需求，因此，研究各向异性材料仍具有重要的理论和实际意义.在热传导问题[4 − 5]中，各向异性材料可分为一般各向异性材料和正交各向异性材料[6 − 9]. 各向异性材料的导热系数在各个方向上是不同的：一般各向异性材料导热系数张量中的所有元素都不为零，而正交各向异性材料导热系数张量中只有主对角线上的元素不为零. 根据导热系数的不同形式，正交各向异性材料可以进一步细分为常系数或变系数两种情况. 目前，关于用边界元法研究正交各向异性热传导问题的报道有很多. Perez 等[10]研究一般积分方程公式并用于求解均匀正交各向异性位势问题. Divo等[11]推导正交各向异性问题基本解的形式. Zhou等[12]针对二维正交各向异性位势问题，建立一个新的势导数边界积分方程，称为自然边界积分方程（NBIE）. 通过边界元法以及其他数值方法分析此类问题已经开展了许多工作，而利用杂交基本解有限元法分析正交各向异性热传导问题的报道却非常少.杂交基本解有限元法是基于杂交Trefftz法的一种高效数值方法. Trefftz方法是由Trefftz于1926年提出的，利用满足控制方程的叠加函数来求解边值问题. 随后，Jirousek等[13]于1977年提出杂交Trefftz有限元法，将边界概念推广到单元间边界，并在单元内部构造满足非齐次Lagrange方程的坐标函数. 目前，杂交Trefftz有限元法已成功地应用于许多工程问题，如位势问题[14 − 15]、平面弹性问题[16]、夹杂分析[17 − 18]、接触问题[19]、轴对称问题[20 − 21]等. Wang等[22]采用杂交Trefftz有限元法（HT-FEM），以T-完备函数作为内部插值函数，研究轴对称位势问题. Wang等[23]基于完备解系提出分析正交各向异性位势问题的杂交Trefftz 有限元模型. 王克用等[24]利用杂交完备解有限元法分析功能梯度材料位势问题. 刘博等[25]利用含有特解的Poisson方程分析杂交Trefftz有限元法的轴对称问题. 杂交基本解有限元法的原始思想由Kompiš等[26]提出，其利用基本解近似位移场和应力场，并利用网线函数来实现相邻单元之间的连接. 高可乐等[27]采用杂交基本解有限元法分析考虑体力项的轴对称弹性问题，与杂交Trefftz 完备解有限元法相比，该方法可避免T-完备函数项选取困难，直接利用基本解来构造满足控制微分方程的单元内部插值函数. 此外，与边界元法相比，该方法消除了积分奇异性的缺点，在网格畸变方面表现出良好性能[28].本文基于文献[10 − 12, 23]的研究工作，利用杂交基本解有限元法分析正交各向异性材料的热传导问题.1 问题描述及基本方程u Qk=[k11k12k21k22]设为温度；为内部热源；k为各向异性材料的导热系数张量，，二维各向异性k12=k21=0k11 k22 0Q=0当，，时，式（1）可表示为式（2）即为二维正交各向异性热传导问题的控制方程. 考虑Dirichlet和Neumann两类边界条件，为¯u¯q n x n yΓ=Γu∪Γq 式中：和分别为给定的温度和热流；和分别为边界上任意点外法线向量的分量；为求解区域的整个边界.2 假定温度场与杂交Trefftz有限元法类似，杂交基本解有限元法采用两套假定的温度场来建立有限元模型，包括非协调单元内部温度场和辅助协调网线场. 精确满足控制方程的单元内部温度场，可保证单元内各点的计算精度，而相邻单元之间则由独立定义在单元边界上的辅助协调网线场连接，与杂交Trefftz有限元法不同的是，单元内部温度场由已知的基本解而不是T-完备函数构造.· 306 ·上海工程技术大学学报第 34 卷2.1 非协调单元内部温度场对于正交各向异性热传导问题，非协调的单元内部温度场可以表示为n s c e j N e (x ,y j )Ωe Γe 式中：为每个单元的源点个数；为待定参数；为二维正交各向异性热传导问题的基本解；为边界包围的单元域. 问题的基本解[10 − 12]应完全满足方程其中r =√(x P −x Q )2k 11+(y P −y Q )2k 22x P y P x Q y Q 式中：、和分别为场点坐标；和分别为源点坐标. x 向和y 向的采用以下关系确定源点的布局，为x c x b λ式中：为单元形心；为单元边界上的点；为无量纲参数. 特殊单元的源点分布如图1所示.中心点yxu e = N e c e (单元域内场)~~u e = N e d e (辅助网线场)源点节点图 1 两个假定温度场及其源点Fig. 1 Two assumed temperature fields with source points2.2 辅助协调网线温度场为保证相邻2个单元之间的连续性，在单元边界上建立一个辅助协调的网线温度场，为Ne (x )d e 式中：为形函数向量；为由单元的节点自由度组成的向量. 两节点单元边上的形函数如图2所示.12−1(1 + ξ)2−1(1 − ξ)2ξ = −1ξ = 0ξ = +1N 2~N 1~图 2 两节点单元边上的形函数Fig. 2 Shape functions on each two-node side of an element沿单元每两节点边上的温度分布为N 1 N 2ξ∈[−1,1]其中，和为在自然坐标系中定义的一维形函数，可表示为相应地，热流可表示为其中3 杂交基本解有限元列式3.1 修正的变分泛函∏m =∑e∏me∏me热传导问题总的杂交变分泛函可以通过得到，其中每个单元上的泛函可表示为第 4 期仇文凯 等：基于杂交基本解的正交各向异性材料热传导问题有限元法· 307 ·K ε=G T εH −1εG εP ε式中：为单元刚度矩阵；为等效的节点矢量.3.2 刚体运动的恢复为保证矩阵满秩，在计算单元内部场变量时，需要恢复舍弃的刚体运动项. 为获得单元内任意点的真实温度，根据现有研究[1, 18 − 19]提出的方法，可以很容易地恢复单元内温度场中舍弃的刚体运动项. 因此，温度的最终表达式为c 0u e ˜u ei 式中：为刚体运动参数，该参数可由单元所有节点处的和的最小二乘匹配确定，可写成c 0进一步地，刚体运动参数可表示为m 式中：为单元节点数.4 数值算例ε为定量理解计算精度，对任意变量f 引入相对误差()，可得f HFS −FEM f reference 式中：和分别为杂交基本解有限元解和参考解.为方便表达，算例中所有参数都采用无量纲（没有单位的物理量）的形式表示.4.1 方形区域内的热传导k 11=1k 22=2u =0u =10q =10在第1个算例中，考虑边长为0.1的正方形区域，其中材料的导热系数为和. 对正方形区域左右边界分别施加温度和；上部边界施加热流，下部边界假设为绝热；将整个模型划分为16个四节点四边形单元进行求解计算，如图3所示.yq = −10u = 0u = 10q = 0x4 × 4网格图 3 正方形区域、边界条件和有限元网格Fig. 3 Square domain, boundary conditions andfinite element mesh· 308 ·上 海 工 程 技 术 大 学 学 报第 34 卷γ=e /l γ=0为验证杂交基本解有限元法对网格畸变的不敏感性，定义5种网格变形方案，畸变参数()分别为0.1、0.3、0.5、0.7和0.9，与规则网格（，不变形）的计算结果对比如图4所示. 温度u 和热流q x ε(u )ε(q x )分量的相对误差如图5所示. 从图4中可以看出，即使对于γ = 0.9的极度扭曲网格，的最大值仍低于0.6%，且低于3%，这在工程实践中是可以接受的. 不同畸变程度下相同点的温度结果见表1.(a) γ = 0.1(b) γ = 0.3(c) γ = 0.5(d) γ = 0.7(e) γ = 0.9el图 4 网格畸变方案Fig. 4 Mesh distortion schemes1.0γ(a) 温度 u 的相对误差0.10.20.30.40.50.60.70.80.90.80.60.40.20Point 1 (0.050, 0.025)Point 2 (0.025, 0.025)Point 3 (0.035, 0.075)Point 4 (0.075, 0.075)Point 5 (0.015, 0.045)γ(b) 热流分量 q x 的相对误差0.10.20.30.40.50.60.70.80.94.03.53.02.52.01.51.00.50Point 1 (0.050, 0.025)Point 2 (0.025, 0.025)Point 3 (0.035, 0.075)Point 4 (0.075, 0.075)Point 5 (0.015, 0.045)q x 图 5 温度u 和热流分量的相对误差u q xFig. 5 Relative errors of temperature and heat flux component综上表明，该方法具有对网格畸变不敏感的优点. 将利用有限元软件ABAQUS 在划分841个单元网格时的计算结果作为参考解，杂交基本解有限元法在16个单元网格下的计算结果与之对比，两者能够较好地吻合，如图6所示.4.2 带圆孔的三角陀螺区域内的热传导在此算例中，研究包含圆孔的三角陀螺域的热传导，如图7所示. 模型中，圆孔半径0.1，小弧半径0.1，大弧半径0.4. 外边界上给定温度为u = 20，内边界上给定温度为u = 0. 考虑两种网格划分，分第 4 期仇文凯 等：基于杂交基本解的正交各向异性材料热传导问题有限元法· 309 ·k 11=1k 22=3别包含147和1 960个四节点四边形单元. 材料的导热系数为和. 三角陀螺域的温度云图如图8所示. 在粗网格下（含147个单元），杂交基本解有限元计算结果与ABAQUS 计算结果相差不大. 而与1 960个单元下的ABAQUS 计算结果相比，该方法可以在不牺牲精度的前提下，用粗网格（147个单元）计算出几乎相同的结果，这表明了该方法的有效性.q x q y 热流分量和云图分别如图9和图10所示.结果表明，用147个单元的杂交基本解有限元计算结果与用1 960个单元的ABAQUS 解更接近.对比表明，在相同条件下杂交基本解有限元法表现出更好的性能.5 结 语本文利用基于杂交基本解有限元法研究正交各向异性介质中的热传导问题. 该方法采用基本解的线性组合来近似单元域内的温度场，并引入定义在单元边界上的网线场来保证单元间的连续性. 借鉴文献[10 − 12]的工作，构建正交各向异性热传导问题的基本解，通过修正变分泛函，将两个假定的温度场关联起来，并利用高斯散度定理和驻值定理，从而导得单元刚度方程. 该方法在处理一些工程问题和物理问题时，由于其高效灵活的特点受到广泛关注和应用.数值算例表明，该方法具有计算精度高，对网格畸变不敏感且收敛速度快的优势. 虽然该方法解决了稳态正交各向异性热传导问题，但是仍然可以方便地推广至瞬态情形.表 1 不同网格畸变下选定5个点的温度结果Table 1 Results of temperatures at selected five points under different mesh distortions坐标γ=0γ=0.1γ=0.3γ=0.5γ=0.7γ=0.9(0.05,0.025) 5.077 8 5.077 1 5.078 8 5.080 9 5.080 1 5.059 6(0.025,0.025) 2.538 6 2.547 8 2.550 8 2.552 5 2.552 3 2.548 7(0.035,0.075) 3.636 1 3.639 3 3.633 2 3.643 9 3.647 1 3.626 8(0.075,0.075)7.627 57.620 57.628 07.621 67.627 57.635 6(0.015,0.045)1.541 51.540 81.540 11.543 01.547 21.550 9NT1110.0009.1678.3337.5006.6675.8335.0004.1673.3332.5001.6670.8330.000(a) ABAQUS 841网格(b) HFS-FEM 16网格10.0009.1678.3337.5006.6675.8335.0004.1673.3332.5001.6670.8330.000图 6 方形区域温度云图Fig. 6 Cloud maps of temperature in square domainu = 20147网格1 960网格u = 0R 1R 2R 3xy图 7 三角陀螺域，边界条件及有限元网格Fig. 7 Trigonometric gyroscopic domain, boundary conditionsand finite element mesh· 310 ·上 海 工 程 技 术 大 学 学 报第 34 卷(a) ABAQUS 147网格(b) HFS-FEM 147网格(c) ABAQUS 1 960网格20.000NT11NT1118.33316.66715.00013.33311.66710.0008.3336.6675.0003.3331.6670.00020.00018.33316.66715.00013.33311.66710.0008.3336.6675.0003.3331.6670.00020.00018.33316.66715.00013.33311.66710.0008.3336.6675.0003.3331.6670.000图 8 三角陀螺域温度云图Fig. 8 Cloud maps of temperature in the trigonometric gyroscopic domain(a) ABAQUS 147网格(b) HFS-FEM 147网格(c) ABAQUS 1 960网格315.036260.176205.316150.45595.59540.735−14.125−68.986−123.846−178.706−233.566−288.426−343.287387.894323.319258.744194.168129.59365.0180.443−64.133−128.708−193.283−257.859−322. 434−387.009387.894323.319258.744194.168129.59365.0180.443−64.133−128.708−193.283−257.859−322.434−387.009HFL, HFL1(Avg: 75%)HFL, HFL1(Avg: 75%)图 9 三角陀螺域热流分量q x 云图q x Fig. 9 Cloud maps of heat flux component in the trigonometric gyroscopic domain第 4 期仇文凯 等：基于杂交基本解的正交各向异性材料热传导问题有限元法· 311 ·参考文献：WANG H, QIN Q H. Hybrid FEM with fundamentalsolutions as trial functions for heat conduction simulation ［J ］ . Acta Mechanica Solida Sinica ，2009，22（5）：487 − 498.［ 1 ］GAO X W. A meshless BEM for isotropic heat conductionproblems with heat generation and spatially varying conductivity ［J ］ . International Journal for Numerical Methods in Engineering ，2006，66（9）：1411 − 1431.［ 2 ］KASSAB A J, DIVO E. A generalized boundary integralequation for isotropic heat conduction with spatially varying thermal conductivity ［J ］ . Engineering Analysis with Boundary Elements ，1996，18（4）：273 − 286.［ 3 ］WANG Z, YAN P, GUO Z, et al. BEM/FDM conjugateheat transfer analysis of a two-dimensional air-cooled turbine blade boundary layer ［J ］ . Journal of Thermal Science ，2008，17（3）：199 − 206.［ 4 ］DUDA P, Institute of Thermal Power Engineering, Facultyof Mechanical Engineering, et al. Finite element method formulation in polar coordinates for transient heat conduction problems ［J ］ . Journal of Thermal Science ，［ 5 ］2016，25（2）：188 − 194.MERA N S, ELLIOTT L, INGHAM D B, et al. Acomparison of boundary element method formulations for steady state anisotropic heat conduction problems ［J ］ .Engineering Analysis with Boundary Elements ，2001，25（2）：115 − 128.［ 6 ］PEREZ M M, WROBEL L C. Use of isotropicfundamental solutions for heat conduction in anisotropic media ［J ］ . International Journal of Numerical Methods for Heat and Fluid Flow ，1993，3（1）：49 − 62.［ 7 ］GAO X W. Source point isolation boundary elementmethod for solving general anisotropic potential and elastic problemswithvaryingmaterialproperties ［J ］.Engineering Analysis with Boundary Elements ，2010，34（12）：1049 − 1057.［ 8 ］WANG H M, QIN Q H, KANG Y L. A new meshlessmethod for steady-state heat conduction problems in anisotropic and inhomogeneous media ［J ］ . Archive of Applied Mechanics ，2005，74（8）：563 − 579.［ 9 ］PEREZ M M, WROBEL L C. A general integral equationformulation for homogeneous orthotropic potential problems ［J ］ . Engineering Analysis with Boundary［10］763.936661.674559.412457.151354.889252.627150.36548.104−54.158−156.420−258.682−360.944−463.205821.233710.815600.397489.980379.562269.144158.72748.309−62.109−172.526−282. 944−393.362−503.780821.233710.815600.397489.980379.562269.144158.72748.309−62.109−172.526−282 944−393.362−503.780HFL, HFL2(Avg: 75%)HFL, HFL2(Avg: 75%)(a) ABAQUS 147网格(b) HFS-FEM 147网格(c) ABAQUS 1 960网格图 10 三角陀螺域热流分量q y 云图q y Fig. 10 Cloud maps of heat flux component in trigonometric gyroscopic domain· 312 ·上 海 工 程 技 术 大 学 学 报第 34 卷Elements ，1992，10（4）：323 − 332.DIVO E, KASSAB A J. A generalized boundary-elementmethod for steady-state heat conduction in heterogeneous anisotropic media ［J ］ . Numerical Heat Transfer, Part B: Fundamentals ，1997，32（1）：37 − 61.［11］ZHOU H L, TIAN Y, YU B, et al. The natural boundaryintegral equation of the orthotropic potential problem ［J ］ .Engineering Analysis with Boundary Element ，2016，62：186 − 192.［12］JIROUSEK J, LEON N. A powerful finite element forplate bending ［J ］ . Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering ，1977，12（1）：77 − 96.［13］WANG K Y, ZHANG L Q, LI P C. A four-node hybrid-Trefftz annular element for analysis of axisymmetric potential problems ［J ］ . Finite Elements in Analysis and Design ，2012，60：49 − 56.［14］王克用, 岑皓, 李培超. 位势问题Trefftz 有限元法的研究进展［J ］ . 上海工程技术大学学报，2017，31（3）：204 −209.［15］WANG K Y. A four-node hybrid-Trefftz plane elasticityelement with fundamental analytical solutions ［J ］ .Advanced Materials Research ，2011，279：194 − 199.［16］SHE Z, WANG K Y, LI P C. Hybrid Trefftz polygonalelements for heat conduction problems withinclusions/voids ［J ］ . Computers & Mathematics with Applications ，2019，78（6）：1978 − 1992.［17］SHE Z, WANG K Y, LIU H. Thermal analysis of ellipticalfiber-reinforced composites by the hybrid Trefftz finite element method ［J ］ . International Journal of Heat and Mass Transfer ，2019，144：118596.［18］WANG K Y, QIN Q H, KANG Y L, et al. A directconstraint-Trefftz FEM for analysing elastic contact problems ［J ］ . International Journal for Numerical Methods in Engineering ，2005，63（12）：1694 − 1718.［19］ZHOU J C, WANG K Y, LI P C, et al. Hybrid fundamentalsolution based finite element method for axisymmetric potential problems ［J ］ . Engineering Analysis with Boundary Elements ，2018，91：82 − 91.［20］高可乐, 王克用. 轴对称热弹性问题杂交基本解Trefftz有限元分析［J ］ . 上海工程技术大学学报，2020，34（1）：54 − 58, 75.［21］WANG K Y, HUANG Z M, LI P C, et al. Trefftz finiteelement analysis of axisymmetric potential problems in orthotropic media ［J ］ . Applied Mathematics and Mechanics ，2013，34（5）：462 − 469.［22］WANG K Y, LI P C, WANG D Z. Trefftz-type FEM forsolving orthotropic potential problems ［J ］ . Latin American Journal of Solids and Structures ，2014，11（14）：2537 − 2554.［23］王克用, 李培超. 变系数位势问题的Trefftz 有限元法［J ］ . 上海工程技术大学学报，2014，28（1）：58 − 62,67.［24］刘博, 王克用, 王明红. 轴对称Poisson 方程的Trefftz 有限元解法［J ］ . 应用数学和力学，2015，36（2）：140 − 148.［25］KOMPIŠ V, BÚRY J. Hybrid-Trefffz finite elementformulations based on the fundamental solution [C ] //Proceedings of IUTAM Symposium on Discretization Methods in Structural Mechanics, Solid Mechanics and its Applications. Dordrecht: Springer, 1999: 181-187.［26］高可乐, 王克用, 李培超. 考虑体力的轴对称弹性问题杂交基本解有限元法［J ］ . 轻工机械，2020，38（1）：5 − 11,17.［27］CAO L L, WANG H, QIN Q H. Fundamental solutionbased graded element model for steady-state heat transfer in FGM ［J ］ . Acta Mechanica Solida Sinica ，2012，25（4）：377 − 392.［28］（编辑：韩琳）第 4 期仇文凯 等：基于杂交基本解的正交各向异性材料热传导问题有限元法· 313 ·。
稳态热传导问题有限元法
6. 稳态热传导问题的有限元法本章的内容如下：6.1热传导方程与换热边界6.2稳态温度场分析的一般有限元列式 6.3三角形单元的有限元列式 6.4温度场分析举例6.1热传导方程与换热边界在分析工程问题时，经常要了解工件内部的温度分布情况，例如发动机的工作温度、金属工件在热处理过程中的温度变化、流体温度分布等。
物体内部的温度分布取决于物体内部的热量交换，以及物体与外部介质之间的热量交换，一般认为是与时间相关的。
物体内部的热交换采用以下的热传导方程（Fourier 方程）来描述，Q z T z y T y x T x t T c+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂z y x λλλρ （6-1）式中ρ为密度，kg/m 3； c 为比热容，K)J/(kg ⋅；z y x λλλ,,为导热系数，)k m w ⋅；T 为温度，℃；t 为时间，s ；Q 为内热源密度，w/m 3。
对于各向同性材料，不同方向上的导热系数相同，热传导方程可写为以下形式，Q zTy T x T t T c 222222+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂λλλρ（6-2）除了热传导方程，计算物体内部的温度分布，还需要指定初始条件和边界条件。
初始条件是指物体最初的温度分布情况，() z y,x,T T 00t ==（6-3）边界条件是指物体外表面与周围环境的热交换情况。
在传热学中一般把边界条件分为三类。
1）给定物体边界上的温度，称为第一类边界条件。
物体表面上的温度或温度函数为已知，s s T T =或),,,(t z y x T T s s =（6-4）2）给定物体边界上的热量输入或输出，称为第二类边界条件。
已知物体表面上热流密度，s sz z y y x xq n z T n y T n x T =∂∂+∂∂+∂∂)(λλλ或),,,()(t z y x q n zT n y T n x T s sz z y y x x=∂∂+∂∂+∂∂λλλ（6-5）3）给定对流换热条件，称为第三类边界条件。
6 稳态热传导问题的有限元法
6. 穩態熱傳導問題的有限元法本章的內容如下：6.1熱傳導方程與換熱邊界6.2穩態溫度場分析的一般有限元列式 6.3三角形單元的有限元列式 6.4溫度場分析舉例6.1熱傳導方程與換熱邊界在分析工程問題時，經常要瞭解工件內部的溫度分佈情況，例如發動機的工作溫度、金屬工件在熱處理過程中的溫度變化、流體溫度分佈等。
物體內部的溫度分佈取決於物體內部的熱量交換，以及物體與外部介質之間的熱量交換，一般認為是與時間相關的。
物體內部的熱交換採用以下的熱傳導方程（Fourier 方程）來描述，Q z T z y T y x T x tT c+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂z y x λλλρ （6-1）式中ρ為密度，kg/m 3； c 為比熱容，K)J/(kg ⋅；z y x λλλ,,為導熱係數，)k m w ⋅；T 為溫度，℃；t 為時間，s ；Q 為內熱源密度，w/m 3。
對於各向同性材料，不同方向上的導熱係數相同，熱傳導方程可寫為以下形式，Q zT yT xT tT c222222+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂λλλρ （6-2）除了熱傳導方程，計算物體內部的溫度分佈，還需要指定初始條件和邊界條件。
初始條件是指物體最初的溫度分佈情況，() z y,x,T T00t ==（6-3）邊界條件是指物體外表面與周圍環境的熱交換情況。
在傳熱學中一般把邊界條件分為三類。
1）給定物體邊界上的溫度，稱為第一類邊界條件。
物體表面上的溫度或溫度函數為已知，s sT T=或 ),,,(t z y x T Ts s=（6-4）2）給定物體邊界上的熱量輸入或輸出，稱為第二類邊界條件。
已知物體表面上熱流密度，s sz zy yx xq n zT n yT n xT =∂∂+∂∂+∂∂)(λλλ或),,,()(t z y x q n zT n yT n xT s sz zy yx x=∂∂+∂∂+∂∂λλλ（6-5）3）給定對流換熱條件，稱為第三類邊界條件。
第6章--Simulation有限元分析【可编辑全文】
可编辑修改精选全文完整版目录第六章 Simulation有限元分析 (2)6.1 Simulation基础知识 (2)6.1.1 有限元法概述 (2)6.1.2 Simulation概述 (2)6.1.3 Simulation使用指导 (4)6.1.4 Simulation有限元分析的一般步骤 (8)6.2 SimulationXPress应力分析 (10)6.3 Simulation结构有限元分析 (16)6.3.1 轴静态分析 (16)6.3.2 夹钳装配体静态分析 (36)6.4 Simulation优化分析 (50)6.4.1 优化设计概述 (50)6.4.2 优化设计基础知识 (51)6.4.3 轴的优化分析 (51)6.5 小结 (59)第六章 Simulation有限元分析在制造业中，为了缩短产品设计周期，提高产品质量，广泛采用计算机辅助工程（Computer Aided Engineering,CAE），机械设计已逐渐实现了由静态、线性分析向动态、非线性分析的过渡，由经验类比向最优设计的过渡。
CAE在产品开发研制中显示出了无与伦比的优越性，使其成为现代企业在日趋激烈的竞争中取胜的一个重要条件，因而越来越受到科技界和工程界的重视。
在CAE技术中，有限元分析（Finite Element Analysis，FEA）是应用最为广泛、最为成功的一种数值分析方法。
SolidWorks Simulation即是一款基于有限元（即FEA数值）技术的分析软件，通过与SolidWorks的无缝集成，在工程实践中发挥了愈来愈大的作用。
6.1 Simulation基础知识6.1.1 有限元法概述有限元法（Finite Element Method，FEM）是随着计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法，是一种求解关于场问题的一系列偏微分方程的数值方法。
有限元分析的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。
工程有限元方法温度场有限元分析PPT(31页)
由上式得出稳态热传导问题的变分原理如下
0
1
2
k
x
2
1 2
k
y
2
1 2
k
z
2
Q d
qd q
3
ha
1 2
h2
d
稳态热传导分析有限元列式
• 温度插值
将空间域 离散为有限个单元体，在典型单元内各点的温度 可以近似的用单
元的节点温度 i 插值得到
ne
Ni (x, y)i Ni i 1
方程
c
t
x
kx
x
y
ky
y
z
kz
z
Q
0
升温需要的热量
由x, y, z方向传入的热量
内部热源产生的热量
导热系数 k, W/ m K
物体内部的 热源密度
Q, W/kg
比热容 c, J/ kg K
密度 , kg/m3
热传导基本方程
• 热传导问题的边界条件
域的 边界条件 1 2 3
在分析工程问题时，经常要了解工件内部的温度分布情况，例如发动机的 工作温度、金属工件在热处理过程中的温度变化、流体温度分布等。物体 内部的温度分布取决于物体内部的热量交换，以及物体与外部介质之间的 热量交换，一般认为是与时间相关的。在一般三维问题中，瞬态温度场的
场变量 x, y, z,t 在直角坐标中应满足下述热传导（Fourier热传导）微分
k x nx k y ny k z nz k n q
k
x
nx
k
y
ny
k
z
nz
k
n
h(a
)
在 2 边界上 在 3 边界上
热传导问题的有限元法
变分原理：即泛函极值与求解特定微分方程及其 边界条件等价的原理。
即：满足微分方程及其边界条件的函数，一定使 泛函取极值；使泛函取极值的必要条件就是对 应的微分方程及其边界条件。
[例] 最速降线问题。
平面上两点A和B，不在同一水平线上，也不在同 一铅垂线上。现有一物体从A沿某条曲线y = f (x) 滑到B。求解使物体下滑速度最快或时间最短的 曲线y =f (x)。不计物体与曲线间的摩擦力。
（5）根据变分基本定理，在δy满足一般性条件 时，即可得出： δI = 0 或I取极值的条件 （）=0
对于一个场的描述有两种方法：1）积分法；
2）微分法。
两种方法的求解基本思路：
（1）积分法 假设场变量的变化模式。这种变化 方式可以用多项式或三角函数多项式表达，它 含有若干待定系数，即每一项前的系数。
6 热传导问题的有限元法
本章应用变分原理，将求解域的微分方程，转化 为泛函，然后通过求泛函的极值，找到原问 题的解。
6-1 问题的提出
前面对于力学问题，采用直接法或者虚功原理， 建立了有限元的求解格式。
但是对于非结构问题，必须借助数学工具：变分 原理分析，求泛函的极值。
比如，热传导中稳定温度场的求解是工程中经常 遇到的问题。
上式称为定解问题。
除非几何形状特别简单，如无限大平面，半无限 大平面，圆平面，一般无法得到解析解。为此 要采用数值方法。有限元法即是其中的一种可 选的方法。
有限元法求解偏微分方程的思路：1）利用变分 原理将偏微分方程转化为等价的泛函；2）假 设单元上的场变量变化形式，即插值函数或试 探函数；3）寻找试探函数的系数—节点场变 量，以使泛函取极值。
点附近的变化方式，比泛函中的自变函数的变
热传导问题的有限元方法
02 有限元方法的基本原理
有限元方法的基本思想
将连续的求解区域离散成有限个小的 子区域（即有限元），在每个子区域 上选择合适的基函数，通过基函数的 线性组合来逼近真实解。
通过在子区域上定义的边界条件和初 始条件，将所有子区域的解联立起来 ，形成一组线性方程组，求解该方程 组即可得到原问题的近似解。
大规模计算
对于非常大的问题，有限元方法可能 需要大量的计算资源，这可能导致计 算时间较长。
处理复杂边界和界面条件
对于具有复杂边界和界面条件的问题， 有限元方法的实现可能变得复杂和困 难。
有限元方法的应用范围
传热问题
有限元方法广泛应用于传 热问题的数值模拟，如热 传导、热对流和热辐射等 。
结构分析
在结构工程中，有限元方 法用于分析结构的静态和 动态行为，如应力、应变 和振动等。
流体动力学
在流体动力学中，有限元 方法用于模拟流体流动和 传热，如流体动力学分析 和计算流体动力学(CFD) 。
电磁场理论
在电磁场理论中，有限元 方法用于分析电磁场的行 为，如电磁波的传播和散 射等。
05 热传导问题有限元方法的 发展趋势与展望
热传导问题有限元方法的研究热点
复杂几何形状的热传导问 题
03 热传导问题的有限元方法
热传导问题的有限元离散化
将连续的热传导问题离散化为 有限个单元，每个单元内的温 度和热流分布用数学模型表示。
单元之间的热量传递通过节点 传递，节点之间的热量传递用 耦合条件表示。
离散化后的方程组可以用矩阵 形式表示，方便进行数值求解。
热传导问题的有限元求解
01
通过迭代法或直接法求解离散化后的方程组，得到每个节点 的温度值。
有限元方法的数学基础
热传导问题的有限元方法
焊接过程仿真分析的简明求解
将三维模型简化为二维甚至一维。 简化构件几何和加载。 将非线性热弹性-粘塑性模型简化为线性热弹性。 将瞬态过程简化为准稳态过程。 使热过程和力学过程分离。 忽略缺陷和裂纹的形成。 忽略高温发生的熔化，凝固相，以及随后在低屈服 应力的相变过程。 对屈服规律进行简化。 简化坡口形状和焊层结构。 用给定温度范围内与温度无关的平均值取代与温度 相关的材料特征值。
力学模型的网格划分
热学部分的网格划分较为密集，这是由于如 果其网格密度过于粗大，就会导致低温现象出现， 即这个模型最低温度远远低于常温20℃，与实际 情况差别较大，从而造成误差。然而，对于结构 模拟分析，倘若网格过于密集会导致计算时间过 长，在结构分析中将模型重新划分网格。
环焊缝的ANSYS仿真实例 环焊缝的ANSYS仿真实例 ANSYS
(0 ≤ ξ ≤ 1)
用加权余量法建立两点循环公式
由于采用近似插值，在时间域 ∆t 内，方程将产 生余量，对于这一时间区域，典型的加权余量格式 可以表示为如下形式
∫
1
0
& & ω[C( N nφn + N n +1φn +1 ) + K ( N nφn + N n +1φn +1 ) − P]dξ = 0
环焊缝的ANSYS仿真实例 环焊缝的ANSYS仿真实例 ANSYS
动画演示
难点和工作安排
难点
1 2 3 4
计算时间长、需要硬盘空间大 计算时间长、
需要详细的焊接方案 热源模型的建立 材料属性
难点和工作安排
有限元热传导问题右端项处理
有限元热传导问题右端项处理
在有限元热传导问题中，右端项通常表示为热源或热流密度。
处理右端项可以有不同的方法，以下列出了几种常见的方法：
1. 离散化：将右端项在有限元网格上进行离散化，变成节点上的热源或热流密度，然后根据有限元方法求解矩阵方程。
2. 代数平滑：对右端项进行代数平滑处理，将其变得更加光滑，有助于提高数值解的精度和稳定性。
3. 非线性补偿：对于某些非线性问题，可以采用非线性补偿的方法对右端项进行处理，使其更符合实际情况。
4. 模型简化：对于一些较为复杂的问题，可以采用模型简化的方法，将右端项进行适当的简化，以便进行数值计算。
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（3）使泛函取极值的条件
I 0 0
（4）展开上式，将其中的δy设法从变分中分离 出来。这个过程要用到分步积分。最后形成
I0 ydx
（5）根据变分基本定理，在δy满足一般性条件 时，即可得出： δI = 0 或I取极值的条件 （）=0
对于一个场的描述有两种方法：1）积分法；
2）微分法。
两种方法的求解基本思路：
下面首先简要介绍变分、泛函，然后推导有限元 格式。
6-2 泛函与变分的基本概念
函数：z = f (x)，x变，z变。
泛函：平面上两点A、B之间的距离I
xB
I
1
dy2
dx
xA
dx
y变，I变。I是y的泛函—函数的函数。
y
y yx
BxB , yB
O
AxA , y A
x
一 泛函
定义：函数值因另外一个或几个函数确定，这个 函数称为泛函。
积分法和微分法的联系
微分方程是泛函取极值的必要条件，但它对函数 性态的要求稍高。
七 变分原理
变分原理：即泛函极值与求解特定微分方程及其 边界条件等价的原理。
即：满足微分方程及其边界条件的函数，一定使 泛函取极值；使泛函取极值的必要条件就是对 应的微分方程及其边界条件。
[例] 最速降线问题。
平面上两点A和B，不在同一水平线上，也不在同 一铅垂线上。现有一物体从A沿某条曲线y = f (x) 滑到B。求解使物体下滑速度最快或时间最短的 曲线y =f (x)。不计物体与曲线间的摩擦力。
dx
泛函取极值的条件： I
四 变分
x
0
，
称为变分。
函数微分
dz fxx f'xd， x为任意小的
0
可以用来研究函数z在x处的变化。
类似，泛函在某点y的变化，可以通过对泛函的 变分
IIyxy
来观察。I—泛函，ε—任意小的正数。
五 泛函取极值的条件 函数在x0处取极值的条件：
dzfx0x00
泛函I=I[y(x)]在y=y 0 (x)处取极值的必要条件是 δI=0，即
mgy，获得的动能为1/2 mv2。
由能量守恒定律
A0,0xLeabharlann mgy 1 mv 22
或 v 2 gy
y
x2 x1
x2 x1
yd
F y'
x2 x1
d dx
F y
'
ydx
带入前式
Ixx12F yddx F y'ydx0
由变分基本定理知，一维泛函取极值的条件
F y
ddxFy'
0
上面的过程可以总结为
（1）写出泛函表达式 I Fdx ；
（2）设使泛函取得极值的自变函数为y，那么，
异于y的自变函数可写成y+ε δy，它的高阶项为 y’+ε δy’；
二 泛函的极值
函数z = f (x)有极值问题。如果 dz 0 dx
表明，z相对于x的变化具有局部稳定性，z向 左也不是，向右也不是，此时，z取极值。
泛函I也有极值。使泛函取极值的自变函数ｙ称为
泛函的极值点，它使泛函在该处的值具有稳定 性。
当然，使泛函取得极值的自变函数ｙ的变化要复
杂的多。
三 变分法 函数取极值的条件：dz 0 ，d 称为微分。
IIy0xy00
上式的含义是：异于y0 (x)的y都使I偏离最大值 点或最小值点，此时，I处于“左也不是，右也 不是”的状态。
可见，函数取极值的必要条件和泛函取极值的必 要条件是类似的。只不过函数的自变量在极值 点附近的变化方式，比泛函中的自变函数的变 化方式要简单一些而已。
六 变分法预备定理
设函数F(x)在[x1, x2]连续，对于δy(x)，如果有
（1）积分法 假设场变量的变化模式。这种变化 方式可以用多项式或三角函数多项式表达，它 含有若干待定系数，即每一项前的系数。
将这一多项式带入泛函积分表达式中。根据系统 达到的最终状态，就是能量最小状态（泛函极 值的条件），可以求出多项式前的各系数，这 样即可求出对原问题的近似解。
（2）微分法 假设场变量的值y，写出空间某点y 的变化率，y的解与边界条件有关。
第6章热传导问题的有限元法
除非几何形状特别简单，如无限大平面，半无限 大平面，圆平面，一般无法得到解析解。为此 要采用数值方法。有限元法即是其中的一种可 选的方法。
有限元法求解偏微分方程的思路：1）利用变分 原理将偏微分方程转化为等价的泛函；2）假 设单元上的场变量变化形式，即插值函数或试 探函数；3）寻找试探函数的系数—节点场变 量，以使泛函取极值。
IIyxy00
其中，y使I取极值，y+ε δy是一个微小的变化。
I
Iyx
y
x2 x1
Fx,
y
y,
y'
y'dx
x2 x1
y
yFx,
y
y,
y'
y'
y
y
y' y'Fx, yy, y' y'y'y'dx
x2 x1
y
y
F
x,
y
y,
y'
y'
y
y
y'
y'
Fx,
y
y,
y'
y'
y'
y'dx
x2 x1
y
x2 Fxydx0 x1
则 F x 0 ,x 1 ,x 2 。 δy(x)是y的变分。
δy(x)的条件：一阶或若干阶可微，在x1, x2处为 零；
| δy |< ε 或 | δy |及| δy’ |< ε，等。
这些话的意思是：y是连续区间[x1, x2]中一段曲 线。该曲线的变分，就是说它可以变化。这种 变化可以是：值的变化，一阶导数的变化，高 阶导数的变化等。
下面证明：一维泛函（只与一个函数有关）取极 值的条件。
设有泛函
Iyxxx12Fx,yx,y'xdx
其中：泛函中的自变函数y(x)（平面上的曲线） 在积分区间[x1, x2]的端点x1, x2处的值是已知的， 即
y x 1 y 1 ,y x 2 y 2
认为函数 F x,yx,y'x 三阶可微。
根据变分的定义，要使泛函取极值，则
[解] 分析：物体从A点到达B点所花的时间t与路径 y =f (x)有关。可以将时间t看成是路径y的泛函， y是自变量函数。物体下滑时间最短，意味着求 泛函t的极值。
问题的关键：建立时间t与路径y的一般表达式。
设A点与坐标原点重合，B点的坐标为B(x1,y1)。 从A点到达任意点P的速度为v，失去的位能为
Fx,
y
y,
y'
y'
y
y'
F
x,
y
y,
y'
y'
y'dx
令ε = 0，则（y成为使I取极值的点）
I Iyx y 0 x x 1 2 F yy F y'y' d x
上式右端中，因为
x 2 F y ' dx x 2 F d y
x1 y '
x1 y '
F y
'