高等代数第章多项式重因式与重根
线性代数：第一章多项式2
线性代数：第⼀章多项式2§6 重因式⼀、重因式的定义定义9 不可约多项式称为多项式的重因式,如果,但.如果，那么根本不是的因式；如果，那么称为的单因式；如果，那么称为的重因式.注意. 重因式和重因式是两个不同的概念,不要混淆.显然，如果的标准分解式为,那么分别是的重，重，… ,重因式.指数的那些不可约因式是单因式；指数的那些不可约因式是重因式.不可约多项式是多项式的重因式的充要条件是存在多项式,使得,且.⼆、重因式的判别设有多项式,规定它的微商（也称导数或⼀阶导数）是.通过直接验证,可以得出关于多项式微商的基本公式:同样可以定义⾼阶微商的概念.微商称为的⼀阶微商；的微商称为的⼆阶微商；等等. 的阶微商记为.⼀个次多项式的微商是⼀个次多项式；它的阶微商是⼀个常数；它的阶微商等于0.定理6 如果不可约多项式是多项式的⼀个重因式,那么是微商的重因式.分析: 要证是微商的重因式,须证,但.注意:定理6的逆定理不成⽴.如, ,是的2重因式,但根本不是是因式.当然更不是三重因式.推论1 如果不可约多项式是多项式的⼀个重因式,那么是，,…,的因式,但不是的因式.推论2 不可约多项式是多项式的重因式的充要条件是是与的公因式.推论3 多项式没有重因式这个推论表明，判别⼀个多项式有⽆重因式可以通过代数运算——辗转相除法来解决，这个⽅法甚⾄是机械的.由于多项式的导数以及两个多项式互素与否的事实在由数域过渡到含的数域时都⽆改变,所以由定理6有以下结论:若多项式在中没有重因式,那么把看成含的某⼀数域上的多项式时, 也没有重因式.例1 判断多项式有⽆重因式三、去掉重因式的⽅法设有重因式,其标准分解式为.那么由定理5此处不能被任何整除.于是⽤去除所得的商为这样得到⼀个没有重因式的多项式.且若不计重数, 与含有完全相同的不可约因式.把由找的⽅法叫做去掉重因式⽅法.例2 求多项式的标准分解式.§7 多项式函数到⽬前为⽌，我们始终是纯形式地讨论多项式，也就是把多项式看作形式表达式.在这⼀节，将从另⼀个观点，即函数的观点来考察多项式.⼀、多项式函数设(1)是中的多项式，是中的数，在(1)中⽤代所得的数称为当时的值,记为.这样，多项式就定义了⼀个数域上的函数.可以由⼀个多项式来定义的函数就称为数域上的多项式函数.因为在与数域中的数进⾏运算时适合与数的运算相同的运算规律，所以不难看出，如果那么定理7(余数定理)⽤⼀次多项式去除多项式，所得的余式是⼀个常数，这个常数等于函数值.如果在时函数值，那么就称为的⼀个根或零点.由余数定理得到根与⼀次因式的关系.推论是的根的充要条件是.由这个关系，可以定义重根的概念. 称为的重根，如果是的重因式.当时，称为单根；当时，称为重根.定理8 中次多项式在数域中的根不可能多于个，重根按重数计算.⼆、多项式相等与多项式函数相等的关系在上⾯看到，每个多项式函数都可以由⼀个多项式来定义.不同的多项式会不会定义出相同的函数呢？这就是问，是否可能有,⽽对于中所有的数都有由定理8不难对这个问题给出⼀个否定的回答.定理9 如果多项式,的次数都不超过,⽽它们对n+1个不同的数有相同的值即,,那么=.因为数域中有⽆穷多个数，所以定理9说明了，不同的多项式定义的函数也不相同.如果两个多项式定义相同的函数，就称为恒等，上⾯结论表明，多项式的恒等与多项式相等实际上是⼀致的.换句话说，数域上的多项式既可以作为形式表达式来处理，也可以作为函数来处理.但是应该指出，考虑到今后的应⽤与推⼴，多项式看成形式表达式要⽅便些.三、综合除法根据余数定理,要求当时的值,只需⽤带余除法求出⽤除所得的余式.但是还有⼀个更简便的⽅法,叫做综合除法.设并且设. (2)其中⽐较等式(2)中两端同次项的系数.得到这样,欲求系数,只要把前⼀系数乘以再加上对应系数,⽽余式也可以按照类似的规律求出.因此按照下表所指出的算法就可以很快地陆续求出商式的系数和余式:表中的加号通常略去不写.例1 ⽤除.例2 求使能被整除注意 :若缺少某⼀项,在作综合除法时该项系数的位置要补上零.四、拉格朗⽇插值公式已知次数的多项式在的值.设依次令代⼊,得这个公式叫做拉格朗⽇(Lagrange)插值公式.例3 求次数⼩于3的多项式,使.下⾯介绍将⼀个多项式表成⼀次多项式的⽅幂和的⽅法.所谓次多项式表成的⽅幂和，就是把表⽰成的形式.如何求系数，把上式改写成,就可看出就是被除所得的余数，⽽就是被除所得的商式.⼜因为.⼜可看出是商式被除所得的余式，⽽.就是被除所得商式.这样逐次⽤除所得的商式，那么所得的余数就是.例4 将展开成的多项式.解令，则.于是.问题变为把多项式表成（即）的⽅幂和,-2 | 1 2 -3 1 5+) -2 0 6 -14--------------------------------------------------------2 | 1 0 -3 7 | -9+) -2 4 -2-------------------------------------------------------2 | 1 -2 1 | 5+) -2 8------------------------------------------------2 | 1 -4 | 9+) -2----------------------------------1 | -6所以.注意：将表成的⽅幂和，把写在综合除法的左边，将的⽅幂和展开成的多项式，那么相当于将表成的⽅幂和，要把写在综合除法的左边.§8 复系数和实系数多项式的因式分解⼀、复系数多项式因式分解定理代数基本定理每个次数的复系数多项式在复数域中有⼀个根.利⽤根与⼀次因式的关系，代数基本定理可以等价地叙述为：每个次数的复系数多项式在复数域上⼀定有⼀个⼀次因式.由此可知，在复数域上所有次数⼤于1的多项式都是可约的.换句话说，不可约多项式只有⼀次多项式.于是，因式分解定理在复数域上可以叙述成：复系数多项式因式分解定理每个次数的复系数多项式在复数域上都可以唯⼀地分解成⼀次因式的乘积.因此，复系数多项式具有标准分解式其中是不同的复数，是正整数.标准分解式说明了每个次复系数多项式恰有个复根（重根按重数计算）.⼆、实系数多项式因式分解定理对于实系数多项式，以下事实是基本的：如果是实系数多项式的复根，那么的共轭数也是的根,并且与有同⼀重数.即实系数多项式的⾮实的复数根两两成对.实系数多项式因式分解定理每个次数的实系数多项式在实数域上都可以唯⼀地分解成⼀次因式与含⼀对⾮实共轭复数根的⼆次因式的乘积.实数域上不可约多项式,除⼀次多项式外,只有含⾮实共轭复数根的⼆次多项式.因此，实系数多项式具有标准分解式其中全是实数，,是正整数，并且是不可约的，也就是适合条件..代数基本定理虽然肯定了次⽅程有个复根，但是并没有给出根的⼀个具体的求法.⾼次⽅程求根的问题还远远没有解决.特别是应⽤⽅⾯，⽅程求根是⼀个重要的问题，这个问题是相当复杂的，它构成了计算数学的⼀个分⽀.三、次多项式的根与系数的关系.令(1)是⼀个(>0)次多项式,那么在复数域中有个根因⽽在中完全分解为⼀次因式的乘积:展开这⼀等式右端的括号,合并同次项,然后⽐较所得出的系数与(1)式右端的系数,得到根与系数的关系.其中第个等式的右端是⼀切可能的个根的乘积之和,乘以.若多项式的⾸项系数那么应⽤根与系数的关系时须先⽤除所有的系数,这样做多项式的根并⽆改变.这时根与系数的关系取以下形式:利⽤根与系数的关系容易求出有已知根的多项式.例1 求出有单根5与-2,有⼆重根3的四次多项式.例2. 分别在复数域和实数域上分解为标准分解式.§9 有理系数多项式作为因式分解定理的⼀个特殊情形，有每个次数≥1的有理系数多项式都能分解成不可约的有理系数多项式的乘积.但是对于任何⼀个给定的多项式，要具体地作出它的分解式却是⼀个很复杂的问题，即使要判别⼀个有理系数多项式是否可约也不是⼀个容易解决的问题，这⼀点是有理数域与复数域、实数域不同的.在这⼀节主要是指出有理系数多项式的两个重要事实：第⼀，有理系数多项式的因式分解的问题，可以归结为整（数）系数多项式的因式分解问题，并进⽽解决求有理系数多项式的有理根的问题.第⼆，在有理系数多项式环中有任意次数的不可约多项式.⼀、有理系数多项式的有理根设是⼀个有理系数多项式.选取适当的整数乘，总可以使是⼀个整系数多项式.如果的各项系数有公因⼦，就可以提出来，得到,也就是其中是整系数多项式，且各项系数没有异于±1的公因⼦.如果⼀个⾮零的整系数多项式的系数没有异于±1的公因⼦,也就是说它们是互素的,它就称为⼀个本原多项式.上⾯的分析表明，任何⼀个⾮零的有理系数多项式都可以表⽰成⼀个有理数与⼀个本原多项式的乘积，即.可以证明，这种表⽰法除了差⼀个正负号是唯⼀的.亦即，如果,其中都是本原多项式，那么必有因为与只差⼀个常数倍，所以的因式分解问题，可以归结为本原多项式的因式分解问题.下⾯进⼀步指出，⼀个本原多项式能否分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积与它能否分解成两个次数较低的整系数多项式的乘积的问题是⼀致的.定理10(Gauss 引理) 两个本原多项式的乘积还是本原多项式.定理11 如果⼀⾮零的整系数多项式能够分解成两个次数较低的有理系数多项式的乘积，那么它⼀定可以分解两个次数较低的整系数多项式的乘积.以上定理把有理系数多项式在有理数域上是否可约的问题归结到整系数多项式能否分解成次数较低的整系数多项式的乘积的问题.推论设，是整系数多项式，且是本原多项式，如果，其中是有理系数多项式，那么⼀定是整系数多项式.这个推论提供了⼀个求整系数多项式的全部有理根的⽅法.定理12 设是⼀个整系数多项式.⽽是它的⼀个有理根,其中互素,那么(1) ;特别如果的⾸项系数，那么的有理根都是整根，⽽且是的因⼦.(2)其中是⼀个整系数多项式.给了⼀个整系数多项式,设它的最⾼次项系数的因数是,常数项的因数是那么根据定理12,欲求的有理根,只需对有限个有理数⽤综合除法来进⾏试验.当有理数的个数很多时,对它们逐个进⾏试验还是⽐较⿇烦的.下⾯的讨论能够简化计算.⾸先,1和-1永远在有理数中出现,⽽计算与并不困难.另⼀⽅⾯,若有理数是的根,那么由定理12,⽽也是⼀个整系数多项式.因此商都应该是整数.这样只需对那些使商都是整数的来进⾏试验.(我们可以假定与都不等于零.否则可以⽤或除⽽考虑所得的商.)例1 求多项式的有理根.例2 证明在有理数域上不可约.⼆、有理数域上多项式的可约性定理13 (艾森斯坦(Eisenstein)判别法) 设是⼀个整系数多项式.若有⼀个素数,使得1. ;2. ;3. .则多项式在有理数域上不可约.由艾森斯坦判断法得到:有理数域上存在任意次的不可约多项式.例如.,其中是任意正整数.艾森斯坦判别法的条件只是⼀个充分条件.有时对于某⼀个多项式,艾森斯坦判断法不能直接应⽤,但把适当变形后,就可以应⽤这个判断法.例3 设是⼀个素数,多项式叫做⼀个分圆多项式,证明在中不可约.证明：令，则由于,,令，于是,由艾森斯坦判断法，在有理数域上不可约，也在有理数域上不可约.第⼀章多项式(⼩结)⼀元多项式理论,主要讨论了三个问题:整除性理论(整除,最⼤公因式,互素);因式分解理论(不可约多项式,典型分解式,重因式);根的理论(多项式函数,根的个数).其中整除性是基础,因式分解是核⼼.⼀、基本概念.1.⼀元多项式(零多项式),多项式的次数.多项式的相等,多项式的运算,⼀元多项式环.2．基本结论:(1) 多项式的加法,减法和乘法满⾜⼀些运算规律.(2)(3) 多项式乘积的常数项(最⾼次项系数)等于因⼦的常数项(最⾼次项系数)的乘积.⼆、整除性理论1.整除的概念及其基本性质.2.带余除法.(1) 带余除法定理.(2) 设.因此多项式的整除性不因数域的扩⼤⽽改变.3. 最⼤公因式和互素.(1) 最⼤公因式,互素的概念.(2) 最⼤公因式的存在性和求法------辗转相除法.(3) 设是与的最⼤公因式,则.反之不然.(4) .(5)三、因式分解理论1.不可约多项式(1) 不可约多项式的概念.(2) 不可约多项式p(x)有下列性质:(3) 整系数多项式在有理数域上可约它在整数环上可约.(4) 艾森斯坦判断法.2.因式分解的有关结果:(1) 因式分解及唯⼀性定理.(2) 次数⼤于零的复系数多项式都可以分解成⼀次因式的乘积.(3) 次数⼤于零的实系数多项式都可以分解成⼀次因式和⼆次不可约因式的乘积.3.重因式(1) 重因式的概念.(2) 若不可约多项式是的重因式,则是的重因式.(3) 没有重因式.(4) 消去重因式的⽅法:是⼀个没有重因式的多项式,它与具有完全相同的不可约因式.四、多项式根的理论1.多项式函数,根和重根的概念.2.余数定理.去除所得的余式为,则3.有理系数多项式的有理根的求法.4.实系数多项式虚根成对定理.5.代数基本定理.每个次复系数多项式在复数域中⾄少有⼀个根.因⽽次复系数多项式恰有个复根(重根按重数计算).6.韦达定理.7.根的个数定理.F[x]中次多项式在数域F中⾄多有个根.8.多项式函数相等与多项式相等是⼀致的.重点:⼀元多项式的因式分解理论.难点:最⼤公因式的概念,多项式的整除,互素和不可约多项式等概念之间的联系与区别.本章主要内容之间的内在联系可⽤下列图表表⽰:。
高等代数 第4章多项式 4.6 重因式与重根
k 1 k p p x f x , x 而 k N , 如果
f x。
p x 就称 f x 的单因式， 当k=1时， 当k>1时，p x 称为 f x 的重因式。
r an cbn1.
例1.7.1：求用 x 2 去除 f x x5 x3 2x2 8x 5 的商式和余式。 解：由综合除法
1 0
2 2
1
2
10
8
16
5
48
2
1
4 5
8
24
53
4 3 2 q x x 2 x 5 x 8x 24 因此
一阶导数 f x 的导数称为 f x 的二阶导数， 记为
f x
2018/10/5 高等代数
f x 的导数称为 f x 的三阶导数，记为 f
x
…………
f x 的k阶导数记为f
1、
(k )
x
多项式的求导法则：
f x g x f x g x ;
c f c F
映射f确定了数域F上的一个函数 f x , f x 被称 为F上的多项式函数。
2018/10/5 高等代数
当F=R时，f x 就是数学分析中所讨论的多项
式函数。
若 u x f x g x , v x f x g x , 则 u c f c g c , v c f c g c . 二、余式定理和综合除法 用一次多项式x-c去 定理1.7.1（余式定理）： 除多项式 f x , 所得的余式是 f c 。 则 r f c 。
高等代数第章多项式重因式与重根
解： f'x 5 x 4 1 2 x 3 3 x 2 1 0 x 6 ,
利用辗转相除法求得：
fx ,f'x x 2 2 x 1 x 1 2
把 f x 单因式化，得
fx f,x fx x 3 x 2 2 x 2 x 1 x 2 2 由于 fx,fxx12,
故 x 1 是 f x 的3重因式，x 2 2 是 f x 的单因式，
使 f 2 7 ,f 1 2 ,f2 1 。
解一（待定系数法）：设所求的多项式
fxax2bxc,
由已知条件得线性方程组：
4a 2b c 7
abc 2
4 a 2 b c 1
解之得
a
7 6
b
3 2
c
2 3
解二（利用Lagrange公式）：
利用Lagrange插值公式可得：
b0 a0 b 1
b 2 LL b n 1
r
于是得 q x b 0 x n 1 b 1 x n 2 L b n 2 x b n 1 ,
ran cbn1.
例1.7.1：求用 x 2 去除 fxx5 x3 2 x2 8 x 5
的商式和余式。 解：由综合除法
1 0 1 2 8 5 2
推论2：不可约多项式 p x 是 f x 的重因式的
充要条件是 p x 是 f x 与 f x 的公因式。
证：必要性由推论1立得。
充分性，若p x 是 f x 与 f ' x 的公因式，则
p x 不是 f x 的单因式（否则，由推论1知 p x 不是 f x 的因式），故 p x 是 f x 的重因式。
k1,L , ks 重。
要求 f x 的重因式，只要把 f x 的标准分解
第一章 高等代数多项式PPT课件
当且仅当f (x)与g(x)除以h(x)所得的余式相等。
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多项式
三、整除的性质
§3 整除的概念和性质
性质1 (a) 对任意的 f (x)∈P [x]，有 f (x) | f (x)； (b) 对任意的 f (x)∈P [x]， 有 f (x) | 0； (c) 对任意的 f (x)∈P [x]，a ≠ 0，有 a | f (x)；
( f ( x ) g ( x ) m ) ( f ( x ) a ( g ) ( x x ) , )
② (f( x ) g ( x ) ) (f( x ) ) ( g ( x ))
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多项式
§2 一元多项式的定义和运算
推论1：f (x)•g(x) = 0当且仅当f (x) = 0或 g(x) = 0。
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多项式
§1 数环和数域
根据数集对运算的封闭情况，可以得到两类数集：
数环和数域。
一、数环
定义1：若P是由一些复数组成的非空集合，若数集P对加、 减、乘三种运算都封闭，即对a，b∈P，总有a+b，a-b， a•b∈P，则称数集P是一个数环。
例如：整数集Z、有理数集Q、实数集R、复数集C都是数环。
问题：数域P上的多项式 f(x) 与 g(x) 的整除性是否会因为 数域的扩大而改变？
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多项式
§4 最大公因式
§4 最大公因式
一、两个多项式的最大公因式
定义1：对任意的f (x)，g(x)∈P [x]，若存在h(x)∈P [x] ， 使得
《高等代数》考研2021年考研考点归纳与典型题
《高等代数》考研2021年考研考点归纳与典型题第1章多项式1.1 考点归纳一、一元多项式1．数环与数域（1）数环设S是由一些复数组成的一个非空集合，如果对任何a，b∈S，总有a＋b，a－b，a·b∈S，则称S是一个数环．整数集Z，有理数集Q，实数集R，复数集C都是数环．（2）数域设P是由一些复数组成的集合，其中包括0与1，如果P中任意两个数（这两个数也可以相同）的和、差、积、商（除数不为零）仍然是P中的数，那么P就称为一个数域．有理数集Q，实数集R，复数集C是最重要的三个数域．2．一元多项式设x是一个符号（或称文字），n是一非负整数，形式表达式…，其中a0，a1，…，a n全属于数域P，称为系数在数域P中的一元多项式，或者简称为数域P上的一元多项式．n称为多项式的系数，f（x）的次数记为．3．一元多项式环所有系数在数域P中的一元多项式的全体，称为数域P上的一元多项式环，记为P[x]，P称为P[x]的系数域．二、整除的概念1．带余除法定义对于P[x]中任意两个多项式f（x）与g（x），其中g（x）≠0，一定有P[x]中的多项式q（x），r（x）存在，使f（x）＝q（x）g（x）＋r（x）成立，其中或者r（x）＝0，并且这样的q（x），r（x）是惟一决定的．带余除法中所得的q（x）通常称为g（x）除f（x）的商，r（x）称为g（x）除f （x）的余式．2．整除定义如果数域P上的多项式h（x）使等式f（x）＝g（x）h（x）成立，就称数域P上的多项式g（x）整除f（x），用“g（x）丨f（x）”表示；用g（x）不能整除f （x）则用“g（x）f（x）”表示．当g（x）丨f（x）时，g（x）就称为f（x）的因式，f（x）称为g（x）的倍式．3．整除性的判别对于数域P上的任意两个多项式f（x），g（x），其中g（x）≠0，g（x）丨f（x）的充分必要条件是g（x）除f（x）的余式为零．注意：任一个多项式f（x）一定整除它自身；任一个多项式f（x）都整除零多项式；零次多项式，也就是非零常数，能整除任一个多项式．4．整除性的常用性质（1）如果f（x）丨g（x），g（x）丨f（x），那么f（x）＝cg（x），其中c为非零常数；（2）如果f（x）丨g（x），g（x）丨h（x），那么f（x）丨h（x）（整除的传递性）；（3）如果f（x）丨g i（x），i＝1，2，…，r，那么f（x）丨（u1（x）g l（x）＋u2（x）g2（x）＋…＋u r（x）g r（x）），其中u i（x）是常数域P上任意的多项式．三、最大公因式1．公因式定义如果多项式既是f（x）的因式，又是g（x）的因式，那么就称为f（x）与g（x）的一个公因式．2．最大公因式（1）定义设f（x），g（x）是P[x]中两个多项式，若P[x]中多项式d（x）是f（x），g（x）的公因式且f（x），g（x）的公因式全是d（x）的因式，则称d（x）称为f（x），g（x）的一个最大公因式．两个多项式的最大公因式在可以相差一个非零常数倍的意义下是惟一确定的．（2）引理如果有等式f（x）＝q（x）g（x）＋r（x），成立，那么f（x），g（x）和g（x），r（x）有相同的公因式．（2）定理对于P[x]中任意两个多项式f（x），g（x），在P[x]中存在一个最大公因式d（x），且d（x）可以表成f（x），g（x）的一个组合，即有P[x]中多项式u（x），υ（x）使d（x）＝u（x）f（x）＋υ（x）g（x）可用辗转相除法来求最大公因式．3．多项式互素（1）定义P[x]中两个多项式f（x），g（x）满足（f（x），g（x））＝1，则称f（x）和g （x）互素（也称互质）．（2）性质①P[x]中两个多项式f（x），g（x）互素的充分必要条件是有P[x]中的多项式u（x），v（x）使u（x）f（x）＋υ（x）g（x）＝1；②如果（f（x），g（x））＝1，且f（x）丨g（x）h（x），那么f（x）丨h（x）；③如果f1（x）丨g（x），f2（x）丨g（x），且（f1（x），f2（x））＝1，那么f1（x）f2（x）丨g（x）；④如果（f（x），g（x））＝（f（x），h（x））＝1，则（f（x）g（x），h（x））＝1．四、因式分解定理1．不可约多项式（1）定义数域P上次数≥l的多项式p（x）如果不能表成该数域上的两个次数比p（x）的次数低的多项式的乘积，则称p（x）为域P上的不可约多项式．按照定义，一次多项式总是不可约多项式．（2）性质①如果p（x）是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式f（x），g（x），由p （x）丨f（x）g（x）一定推出p（x）丨f（x）或者p（x）丨g（x）．②如果不可约多项式p（x）整除一些多项式f1（x），f2（x），…，f s（x）的乘积f1（x），f2（x），…，f s（x），那么p（x）一定整除这些多项式之中的一个．2．因式分解及惟一性定理（1）惟一性定理数域P上每一个次数≥1的多项式f（x）都可以惟一地分解成数域P上一些不可约多项式的乘积．惟一性是指，如果有两个分解式f（x）＝p1（x）p2（x）…p s（x）＝q1（x）q2（x）…q t（x），那么必有s＝t，并且适当排列因式的次序后有p i（x）＝c i q i（x），i＝1，2，…，s，其中c（i＝1，2，…，s）是一些非零常数．（2）因式分解在多项式f（x）的分解式中，可以把每一个不可约因式的首项系数提出来，使它们成为首项系数为1的多项式，再把相同的不可约因式合并，于是f（x）的分解式成为其中c是f（x）的首项系数，p1（x），p2（x），…，p s（x）是不同的首项系数为1的不可约多项式，而r1，r2，…，r s是正整数，这种分解式称为多项式的标准分解式．五、重因式与多项式的根1．重因式定义如果不可约多项式p（x）满足（k≠0），而，则称p（x）为f（x）的k重因式，其中，若k＝1，那么p（x）称为f（x）的单因式．如果k ＝0，那么p（x）根本不是f（x）的因式．2．重因式的判别（1）如果不可约多项式p（x）是f（x）的k重因式（k≥1），那么它是微商f＇（x）的k-1重因式，也是f（x），f＇（x），…，f（k-1）（x）的因式，但不是f（k）（x）的因式．（2）不可约多项式p（x）是f（x）的重因式的充分必要条件为p（x）是f（x）与f＇（x）的公因式．（3）多项式f（x）没有重因式的充分必要条件是f（x）与f＇（x）互素．3．余数定理用一次多项式x－α去除多项式f（x），所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值f（α）．4．多项式的根α是f（x）的根的充分必要条件是（x－α）丨f（x）．若（x-α）是f（x）的k重因式，称α为f（x）的k重根，当k＝1时，α是单根；当k＞1是，α称为重根．六、复系数与实系数多项式的因式分解1．代数基本定理每个次数≥1的复系数多项式在复数域中有一根，等价于：每个次数≥1的复系数多项式，在复数域上一定有一个一次因式．由此可以推出，P[x]中n次多项式（n≥0）在数域P中的根不可能多于n个，重根按重数计算．2．复系数多项式因式分解定理每个次数≥1的复系数多项式在复数域上都可以惟一地分解成一次因式的乘积．复系数多项式具有标准分解式其中α1，α2，…，αs是不同的复数，l1，l2，…，l s是正整数．标准分解式说明了每个n次复系数多项式恰有n个复根（重根按重数计算）．3．实系数多项式因式分解定理每个次数≥l的实系数多项式在实数域上都可以惟一地分解成一次因式与二次不可约因式的乘积．。
高等代数第1章多项式
f(x)-g(x)q1(x)=f1(x) deg f1(x)n-1 f1(x)-g(x)q2(x)=f2(x) deg f2(x)n-2 fk(x)-g(x)qk+1(x)=fk+1(x) f1(x), f2(x),, fk(x)的次数渐减,直到小于g(x)的次数
上式可改写为 f(x) = f1(x) + g(x)q1(x) f1(x)= f2(x) +g(x)q2(x) +) fk(x)=fk+1(x)+g(x)qk+1(x) . f(x)=fk+1(x)+g(x)[q1(x)+q2(x)++qk+1(x)] 于是,令q(x)=[q1(x)+q2(x)++qk+1(x)], r(x)=fk+1(x), deg r(x)<deg g(x)或r(x)=0. 唯一性 假设另有q1(x)和r1(x),满足 f(x) = q1(x)g(x) + r1(x) 其中deg(r1(x))<deg(g(x))或者r1(x)=0
四、综合除法
• 指用一次多项式除任一多项式的简便方法 • 1、理论根据
• • • • • • •
设 f(x)=anxn+an-1xn-1++a1x+a0 (an0) 则f(x)被x-c除所得商式是一个n-1次多项式, 设为 q(x)=bn-1xn-1+bn-2xn-2++b1x+b0 所以 f(x)=(x-c)q(x)+r, 其中r为余数,即 f(x)=anxn+an-1xn-1++a1x+a0 =(x-c)(bn-1xn-1+bn-2xn-2++b1x+b0)+r 比较两边系数,得
高代-多项式（PDF）
第一章 多项式多项式是高等代数的重要组成部分一、基本概念1、一元多项式定义 设n 是一非负整数，形式表达式()111n n n n 0f x a x a x a x a −−=++++", (1)其中全属于数域n a a a ,,,10"P ，称为系数在数域P 中的一元多项式，或者简称为数域上的一元多项式.P 在多项式（1）中，称为i 次项，称为次项的系数. 称为常数项. 如果，那么称为多项式的首项，称为首项系数，n 称为多项式的次数.多项式的次数记为.系数全为零的多项式称为零多项式. 零多项式是唯一不定义次数的多项式.i i x a i a i 0a 0≠n a n n x a n a )(x f ))((x f ∂2、整除 设(),()[]f x g x P x ∈,若存在()[]h x P x ∈，使)()()(x h x g x f =，则称整除.记，其中称为的因式.)(x g )(x f )(|)(x f x g )(x g )(x f 3、最大公因式 设(),(),()[]f x g x d x P x ∈，若(i),即为与的一个公因式；()|(),()|()d x f x d x g x )(x d )(x f )(x g (ii)对与的任一公因式，都有，)(x f )(x g ()h x ()|()h x d x 则称为与的最大公因式.把首系数为1的最大公因式记作)(x d )(x f )(x g ()(),()f x g x .4、互素 设(),()[]f x g x P x ∈，若与除零次多项式外没有其它的公因式，则称与互素，记为())(x f )(x g )(x f )(x g (),()1f x g x =上述两个定义可推广到n 个多项式的情形.需要注意的是，个多项式(2n n >)12(),(),()n f x f x f x "互素时，它们不一定两两互素.5、不可约多项式 中次数大于零的多项式不能表示成数域上的两个次数比的次数低的多项式的乘积，则称为数域上不可约多项式.换句话说，在中只有平凡因式.[]P x )(x p P )(x p )(x p P )(x p []P x 对此需注意两点，其一对零和零多项式不定义它们的可约性；其二多项式的可约性依赖于系数域.6、重因式 设是数域上的不可约多项式，且，但， )(x p P )(|)(x f x p k )(|)(1x f x p k /+则称是的重因式.特别地，当)(x p )(x f k 1k =时，称是的单因式.)(x p )(x f 7、多项式的微商 设1110()[]n n n n f x a x a x a x a P x −−=++++∈"，规定它的微商(也称导数或一阶导数)是1211)1()(a x n a nx a x f n n n n ++−+=′−−−"此定义不是用函数与极限概念给出的，而是借用于数学分析中函数的导数形式的定义.上述诸定义都是把多项式看作形式表达式给出的，并且定义2～7都限制在数域上一元多项式环中讨论.多项式的重要性在于它是最基本的函数，用它可去逼近一个比较复杂的函数，这对数学分析、微分方程等学科，在理论和实际求解上有重要意义.因此下面我们将从函数观点来讨论多项式.P []P x 8、多项式函数 设0111)(a x a x a x a x f n n n n ++++=−−" (2)是中的多项式，][x P α是中的数，在(2)中用P α代x 所得的数0111a a a a n n n n ++++−−ααα"称为当)(x f α=x 时的值,记为)(αf .这样，多项式就定义了一个数域上的函数.可以由一个多项式来定义的函数就称为数域上的多项式函数.)(x f 9、本原多项式 系数互素的整系数多项式.二、基本理论1、次数定理：设(),()[]f x g x P x ∈(i) )))(()),((max())()((x g x f x g x f ∂∂≤+∂(ii) 若，则0)(,0)(≠≠x g x f 0)()(≠x g x f ，且))(())(())()((x g x f x g x f ∂+∂=∂2、整除性质：(1) 任一多项式都能整除零多项式0.)(x f (2) ，,都有∀0c ≠∀()[]g x P x ∈|(),()|()c f x cf x f x(3) 若，则.(整除的传递性))(|)(),(|)(x h x g x g x f )(|)(x h x f (4) 若，则)(|)(),(|)(x f x g x g x f )()(x cg x f =,其中c 为非零常数.(5) 若，则()|(),()|()h x f x h x g x ()()|()()h x f x g x ±(6) 若，对，则()|()h x f x ∀()[]g x P x ∈()|()()h x f x g x (7) ，对都有()|()i h x f x ∀()[]i g x P x ∈()11()|()()()()r r h x f x g x f x g x ±±"，其中 1,2,,i r =".3、带余除法: 对于中任意两个多项式与，其中，一定有中的多项式存在，使][x P )(x f )(x g 0)(≠x g ][x P )(),(x r x q )()()()(x r x g x q x f += (3)成立，其中或者))(())((x g x r ∂<∂0)(=x r ，并且这样的是唯一决定的. )(),(x r x q 多项式和称为除的商式和余式.)(x q )(x r )(x g )(x f 因此得到两个推论(1)()|()()0g x h x r x ⇔=(2) 多项式的整除性不因数域的扩大而改变.4、最大公因式存在唯一定理：中任意两个多项式与一定有最大公因式，除相差一个零次因式外，与的最大公因式是唯一的.][x P )(x f )(x g )(x f )(x g 需注意的是两个多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变，但它们的公因式却不然.5、倍式和定理: 对于的任意两个多项式，，在中存在一个最大公因式，且可以表成，的一个组合，即有中多项式使][x P )(x f )(x g ][x P )(x d )(x d )(x f )(x g ][x P )(),(x v x u )()()()()(x g x v x f x u x d +=6、互素判别: 中两个多项式，互素][x P )(x f )(x g ⇔1))(),((=x g x f ⇔(),()[]u x v x P x ∃∈,使1)()()()(=+x g x v x f x u互素性质：(1) 如果，且,那么.1))(),((=x g x f )()(|)(x h x g x f )(|)(x h x f (2) 如果,1))(),((1=x g x f 1))(),((2=x g x f ,那么1))(),()((21=x g x f x f (3) 如果，且)(|)(),(|)(21x g x f x g x f 1))(),((21=x f x f ,那么. )(|)()(21x g x f x f 此性质可推广大有限多个多项式的情形.7、不可约多项式的判别：在上不可约的充要条件是在中任一分解式)(x f P )(x f ][x P 12()()()f x f x f x =中的因式1()f x 与2()f x 总有一个是零次的 不可约多项式的性质:(1) 若是不可约多项式，则)(x p )0)((≠c x cp 也是不可约多项式.即不可约多项式的相伴元仍是不可约的.(2) 若是不可约多项式，对)(x p ∀()[]f x P x ∈，则有或者或者)(|)(x f x p 1))(),((=x f x p (3) 若是不可约多项式，对于)(x p ∀(),()[]f x g x P x ∈，有，则或)()(|)(x g x f x p )(|)(x f x p )(|)(x g x p 8、多项式因式分解唯一定理：数域上次数的多项式都可以唯一地分解成数域P 1≥)(x f P 上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说，如果有两个分解式)()()()()()()(2121x q x q x q x p x p x p x f t s ""==,那么必有，并且适当排列因式的次序后有t s =s i x q c x p i i i ,,2,1,)()("==.其中是一些非零常数.),,2,1(s i c i "=一般地有(4))()()()(2121x p x p x cp x f s r s r r "=其中其中c 是的首项系数，是互不相同的首项系数为1的不可约多项式，而是正整数.这种分解式称为的标准分解式或典型分解式.)(x f )(,),(),(21x p x p x p s "s r r r ,,,21")(x f9、重因式的判别：(1) 如果不可约多项式是的一个重因式,那么是的重因式.)(x p )(x f )1(≥k k )(x p )(x f ′1−k (2) 如果不可约多项式是的一个重因式, 那么是，,…,)的因式,但不是的因式. )(x p )(x f )1(≥k k )(x p )(x f )(x f ′()1(x f k −)()(x f k 特别，当时不是的因式.反之，若，且为的重因式，则是的重因式1k =)(x p )(x f ′()|()p x f x )(x p )(x f ′1k −)(x p )(x f )1(≥k k (3) 不可约多项式是的重因式的充要条件是是与的公因式)(x p )(x f )(x p )(x f )(x f ′(4) 无重因式)(x f 1))(),((=′⇔x f x f .由此可知无重因式不因数域扩大而改变.同时当形如(4)式，则)(x f )(x f ()12'()()()()()(),()s f x q x cp x p x p x f x f x ==" 即与有完全相同的不可约多项式，且都是单因式.()q x )(x f 10、余式定理：设()[]f x P x ∈，P α∈，用x α−除所得余式是常数)(x f ()f α11、因式定理：()()0x f x f αα−⇔=12、中次多项式在数域中的根不可能多于个，重根按重数计算. ][x P n )0(≥n P n 13、。
《高等代数》课程教学大纲
《高等代数》课程教学大纲(Higher Algebra)学时数: 72 学分: 4 适用专业: 小学教育(数学与科学方向)一课程的性质、目的和任务1. 课程性质：高等代数是小学教育本科专业的一门重要的专业基础课程。
它不仅是应用学科的重要工具课，而且在近代数学理论中也是一门很重要的理论基础课。
2. 教学目的：通过本课程的学习使学生掌握为进一步提高专业知识水平所必需的代数基础理论和基本方法，以加深对初等数学内容的理解，并为进一步学习其它课程打下良好的基础。
同时培养学生独立思考、科学抽象思维、正确的逻辑推理和迅速准确的运算能力，以及树立辩证唯物论观点。
从而为培养合格的中小学数学教师和各种高级专门人才奠定基础。
3. 教学任务：通过本课程的教学与实践，使学生初步系统掌握高等代数的基本内容和利用代数手段处理问题的基本方法；进一步提高学生的抽象思维能力和严格的逻辑推理能力；促进学生对具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系的理解；培养和提高学生独立提出问题、分析问题和解决问题的能力及运用所学理论指导中小学教学实践和其它工作的能力。
同时注意加强对学生的数学基本素养的培养，为今后做一名合格的中小学数学教师和继续学习深造奠定基础。
二课程教学的基本要求1. 通过本课程教学的主要环节, 使学生了解多项式、行列式、矩阵、线性方程组理论、向量空间、线性变换和欧氏空间等高等代数中的基本概念和基本原理.2. 使学生在了解基本概念和基本原理的基础上, 理解高等代数中各种概念和原理的深刻内涵和它们之间的相互联系.3. 要突出传授数学思想和数学方法，使学生初步掌握运用高等代数的概念和原理分析问题和解决问题的方法.三课程教学的内容和要求第一章多项式理论【教学内容】§1.1 数环与数域§1.2 一元多项式§1.3 多项式的整除性§1.4 最大公因式§1.5 多项式的因式分解§1.6 重因式和重根§1.7 特殊域上的多项式【教学要求】（1）了解数环和数域的概念和判别方法，理解数域的最小性；（2）理解一元多项式的定义、运算、运算律、次数和次数定理；（3）掌握带余除法定理及其应用；理解多项式整除概念和性质，了解其与带余除法的区别（4）理解最大公因式的存在性，掌握最大公因式的求法和表示法；（5）掌握多项式互素的概念和性质；（6）掌握不可约多项式的概念、性质和唯一分解定理；（7）理解并掌握重因式的概念和多项式有无重因式的判别法；（8）掌握多项式函数的概念，理解多项式相等和多项式函数相等的区别与联系；（9）掌握复数和实数域上的多项式的因式分解定理以及不可约多项式的类型。
高代第一章
一个公因式。 最大公因式: 设 d（x）如果它同时满足 d（x）是 f（x） ，g（x）的因式，f，g，的公因式是 d 的因式，那它就是 f 与 g 的最大公因式。 最大公因式的求法:如果有等式 f（x）=q（x）g（x）+r（x）成立，那么 f，g 和 g，r 有相同的公因式。即 g，r 的最大公因 式同样是 f，g 的最大公因式。其中辗转相除法参考课本 p15. 最大公因式的表示：对于一元多项式环中两个多项式 f（x） ，g（x） ，在环中存在一个最大公 因式 d（x） ，即有环中多项式 u（x） ，v（x）使 d（x）=u（x）f（x）+v（x）g（x）.(3) （f（x） ，g（x） ）表示首项系数是 1 的最大公因式。 互素：P[x]中两个多项式 f（x） ，g（x）称为互素（也成为互质）的，如果（f（x） ，g（x） ） =1 互素的判定：两多项式互素的充要条件是，存在 p[x]中的多项式 u（x） ，v（x） ，使 u（x）f（x）+v（x）g（x）=1 互素应用一：如果 f，g 互素，且 f 整除 g（x）h（x） ，那么 f 整除 h。 互素应用二：如果 f1 整除 g，f2 整除 g，且 f1，f2 互素，那么 f1f2 整除 g。 不可约多项式：数域 P 上次数≥1 的多项式，p（x）称为 P 上的不可约多项式，如果它不 能 ． 表示成数域 P 上两个次数比 p（x）的次数低的多项式的乘积。 不可约多项式性质：如果 p（x）是一个不可约多项式，那么对于任意两个多项式 f（x） ，g （x） ，由 p（x）整除 f，g 的乘积一定推出 p 整除 f 或者 p 整除 g。 因式分解及唯一性定理:数域 P 上的每一个次数≥1 的多项式 f（x）都可以唯一地分解成数 域 P 上一些不可约多项式的乘积，所谓的唯一性是说，如果有两个分解式 f（x）=p1（x）p2（x）…ps（x）=q1（x）q2（x）…qt（x）, 那么必有 s=t，并且适当排列因式的次序后有 Pi（x）=ciqi（x）,i=1,2,…,s, 其中 ci（i=1,2…s）是一些非零常数。 标准分解式：在多项式 f（x）的分解式中，可以把每一个不可约因式的首项系数提出来，使 它们成为首项系数为 1 的不可约多项式，再把相同的不可约因式合并，于是 f（x）的分解式 成为 f（x）=cp1r1（x）p2r2（x）…psrs（x）, 其中 c 是 f（x）的首项系数，p1（x） ，p2（x）…ps（x）是不同的首项系数为 1 的不可约多项 式，而 r1,r2,…,rs 是正整数，这种分解式称为标准分解式。 重因式：不可约多项式 p（x）称为多项式 f（x）的 k 重因式，如果 pk（x）整除 f（x） ，而 k+1 p （x）不整除 f（x） 。 如果 k=0，那么 p（x）根本就不是 f（x）的因式；如果 k=1，那么 p（x）称为 f（x）的单因 式，如果 k＞1，那么 p（x）称为 f（x）的重因式。 微商：也称导数。 重因式性质：如果不可约多项式 p（x）是 f（x）的 k 重因式（k≥1） ，那么它是微商 f ’（x） 的 k-1 重因式。 性质推论 1：如果不可约多项式 p（x）是 f（x）的 k 重因式（k≥1） ，那么 p（x）是 f（x） ， （k） (k-1) f ’（x）,…,f （x）的因式，但不是 f （x）的因式。 性质推论 2：不可约多项式 p（x）是 f（x）的重因式的充分必要条件为 p（x）是 f（x）与 f ’ （x）的公因式。 性质推论 3：多项式 f（x）没有重因式的充分必要条件是 f（x）与 f ’（x）互素。
高等代数 第三版§1.7 多项式函数
x 1 为 f ( x )的三重根．
ii) 若 r1 ( x ) 0, t 15 0, 即 t 15 , 4 4
则
f ( x ), f ( x ) x 1 2
此时， f ( x ) 有重根，
x 1 为 f ( x )的二重根． 2
定理8
此时对 P , 有 f ( ) c 0. 即 f ( x )有0个根.
f ( x ) n 时，由因式分解及唯一性定理，
f ( x ) 可分解成不可约多项式的乘积，
由推论， f ( x ) 的根的个数等于 f ( x ) 分解式中
一次因式的个数，重根按重数计算，且此数 n.
f ( x ) x 3 3 x 2 tx 1 有重根． 例2 求 t 值，使
解：
3 2
f ( x )
15 4
f ( x)
x
3 x2 6 x t
x 3 3 x 2 tx 1
1 3
1 x 3
3x 2 3 x 2
x 3 2 x 2 1 tx 3 x 2 2 tx 1 3 x2 2 x 1 t 3
Higher Algebra
主要内容
一、多项式函数与根 二、多项式函数的有关性质
一、多项式函数与根
1. 多项式函数
n n1 设 f ( x ) a0 x a1 x an , 数 p, 将 f ( x )的表示式里的 x 用 代n ,
但
1 f ( 1) 1 1 5 0, 3
1 不是 f ( x )的根，从而不是 f ( x ) 的3重根．
例4
( x 1)2 | Ax 4 Bx 2 1, 求 A, B . 若
完整版高等代数习题解答(第一章)
完整版高等代数习题解答(第一章)高等代数题解答第一章多项式补充题1.当a,b,c取何值时，多项式f(x)=x-5与g(x)=a(x-2)^2+b(x+1)+c(x^2-x+2)相等？提示：比较系数得a=-1,b=-1,c=6.补充题2.设f(x),g(x),h(x)∈[x]，f^2(x)=xg^2(x)+x^3h^2(x)，证明：假设f(x)=g(x)=h(x)不成立。
若f(x)≠0，则∂(f^2(x))为偶数，又g^2(x),h^2(x)等于或次数为偶数，由于g^2(x),h^2(x)∈[x]，首项系数（如果有的话）为正数，从而xg^2(x)+x^3h^2(x)等于或次数为奇数，矛盾。
若g(x)≠0或h(x)≠0，则∂(xg^2(x)+x^3h^2(x))为奇数，而f^2(x)为偶数，矛盾。
综上所证，f(x)≠g(x)或f(x)≠h(x)。
1.用g(x)除f(x)，求商q(x)与余式r(x)：1）f(x) =x^3-3x^2-x-1，g(x) =3x^2-2x+1；2）f(x) =x^4-2x+5，g(x) =x^2-x+2．1）解法一：待定系数法。
由于f(x)是首项系数为1的3次多项式，而g(x)是首项系数为3的2次多项式，所以商q(x)必是首项系数为1的1次多项式，而余式的次数小于2.于是可设q(x)=x+a,r(x)=bx+c。
根据f(x)=q(x)g(x)+r(x)，即x^3-3x^2-x-1=(x+a)(3x^2-2x+1)+bx+c，右边展开，合并同类项，再比较两边同次幂的系数，得a=-1/3,b=-2/3,c=-1，故得q(x)=x-1/3,r(x)=-x-1/3.2）解法二：带余除法。
用长除法得商q(x)=x^2+x-1，余式r(x)=-5x+7.2.m,p,q适合什么条件时，有1）x^2+mx-1/x^3+px+q;2）x^2+mx+1/x^4+px^2+q.解：1）将x^3+px+q除以x^2+mx-1得商为x+m+1/(x+m-1)，所以当m≠1时有解。
高等代数多项式46重因式与重根
2x
2
x
1
x2
2
由于 f x, f x x 12 ,
故 x 1 是 f x的3重因式，x2 2是 f x 的单因式，
故 f x 在Q上的标准分解式为
f x x 13 x2 2
2020/7/12
高等代数
问题：多项式 f x 在 F x 中没有重因式， f x 在 F x 中是否也没有重因式？
因而不是f (k) x的因式。
推论2：不可约多项式 p x 是 f x 的重因式的
充要条件是 p x 是 f x与 f x 的公因式。
证：必要性由推论1立得。
充分性，若p x是 f x 与 f ' x 的公因式，则
p x不是 f x 的单因式（否则，由推论1知 p x 不是 f x 的因式），故 p x 是 f x 的重因式。
推论1： 若不可约多项式 p x 是 f x 的k重因式
（k>1），则 p x 是 f x, f ' x, , f (k1) x 的因式，但 不是 f (k) x 的因式。
证： p x 是 f x 的k-1重因式，
p x 是 f x 的k-2重因式，
……………
2020/7/12
高等代数
p x 是f (k1) x的（k-(k-1)=1）单因式，
f x x5 3x4 x3 5x2 6x 2
在Q上的标准分解式。
2020/7/12
高等代数
解： f ' x 5x4 12x3 3x2 10x 6,
利用辗转相除法求得：
f x, f ' x x2 2x 1 x 12
把 f x单因式化，得
f
f x,
x f
x
高等代数教案.docx
《高等代数》教案第一章多项式关键知识点：最大公因式，互素，不可约多项式,重因式（重根），本原多项式，对称多项式; 最大公因式存在性定理（定理2, P13），因式分解及唯一性定理（P20）,高斯引理（定理10, P30）, 艾森斯坦因判别定理（定理13, P33）,对称多项式基本定理（定理15）.1.1 设 /（x ） = x 3 4-（1 + r ）x 2 +2x + 2u,g （x ） = x 3 +tx^-u 的最大公因式是一个二次多 项式，求r 上的值.详解作辗转相除得如下关系式：/（x ） = 4 （兀）g （兀）+ 厂| （兀）,g （x ） = %（兀）斤（兀）+ 丫2（X ），其屮o ] /_2创(x) = 1,斤(x) = (1 + t)x 2+(2-t)x + w,q 2(x) = -~-x + ————为使最大公因式是二次,必须：r^x ） = 0,解得u = 0,r = -4.1.2 证明:(/(x)/t(x),g(x)/i(x)) = (/(兀),g (兀))加兀),(/?(%)的首项系数等于1)・ 略证(/,g) I 几(/,g) I g => (/,g)h | fh 、(f,g)h\gh,又设(p\fhw\ gh, 则(/,g) = uf + "g => (/,gM = ujh + vgh^>(p\(f,g)h.1.3 证明：若(/(兀),g (兀))=l,(/(AMx)) = l,则(f(x\g(x)h(x)) = 1 ・ 提示 u } f + v l （g = l,w 2/ + v 2h = 1 => w/ + vgh = 1 （相乘所得）.1.4 设（/ （x ）, gJ （x ）） = 1, Q = 1,2,…,m;丿=1,2,…,71）,求证:（Z （兀）九（兀）…九（兀），S 1 （x ）g 2 （兀）…g n （x ）） = 1.详证先证（/1 （兀）,g\（兀息（兀）…S n （兀））=1 ⑴・对n 作归纳.n = 1时成立.假设n -1时成立.下证n 时也成立， 设（£（兀）,g/（兀））= 1，（J = 1,2,…，刃-1,刃），由归纳假设，则（/| （%），g ］⑴弘（兀）…Sn-l W ）= 1，l + r (1 + r)2)兀+ 1-上二I （1 +川丿u (注：1 + /工0?).由题1.3,贝”1)成立.同理(/ (x), g I (x)g2(兀)…久(劝)= 1,0 = 2,3,…,加).最后，对于加，仍用最先所证方法即得要证问题.或提示反证，设(口Z(x)，H g/ (X)) = d(x)工1,存在不可约多项式/=! ；=1p(x)\d(x)t推出矛盾.1・5 证明:若(/(尢),g(兀))=1,贝'j(/(x)g(x),/(x) + g(x)) = 1 .提示证(/(x),/(x) + g(x)) = l.问题(/(兀),/⑴ + g(x)) = (/(x), g(x)) ?(参见题1 • 2).1.6求多项式/(x) = x3 + px + q有重根的条件.详解广(x) = 3x2 + p，由于/(%)是一个三次多项式，那么/⑴有重根o /(兀)有重因式o (/(x),/*(x))^l.作辗转相除得：/U) = q{ (x)广(x) + r{ O),广(X)= ?2(x)r i(X)+ 厂2 ⑴'其中沁)斗,2=詁+心心？"半,W卄料3 3 2p 4/r 「4p上述运算中，若p = 0，则必须q = 0 (否则(/(小广⑴)= 1),若卩5可运算到最后，为使必须矗)"即P+篇“总之，必须4/Z+27/ =0.y- Y】・7证明")十“亍…+万不能有重根.略证反证，设有重根为Q=> /(a) = 0,/'(a) = 0 => a = 0 =>/(a) = 1, 矛盾.问题x x(1)/(兀)=1—兀+—+…+ (_1丫一是否有重根？2! nl兀2 x f)(2)f(x) = 1 + X + —+ ••• + ——(〃素数)在Q上是否不可约？(利用艾2! pl森斯坦因判别定理).1.8若。
高等代数教案(北大版)第一章 多项式
第一章多项式多项式理论是高等代数研究得基本对象之一，在整个高等代数课程中既相对独立，又贯穿其它章节，换句话说，多项式理论得讨论可以不依赖于高等代数得其他内容而自成体系，却可为其它章节的内容提供范例和理论依据。
本章主要讨论多项式的基本概念和基本性质，包括数域的概念、一元多项式的定义与运算规律、整除性、因式分解及根等概念。
教学目的：通过本章的学习，要使学生了一元多项式及运算、整除、最大公因式、(不)可约多项式、重因式等基本概念，领会因式分解定理的基本内容及复数域和实数域上的因式分解的具体内容，掌握多项式的最大公因式的求法、因式分解的方法、重因式的求法及有理系数多项式的可约性的判定。
教学重点：最大公因式的求法、因式分解定理及其应用教学难点：有理系数多项式教学方法与手段：1. 理论课教学以讲授为主，部分介绍性内容用多媒体。
2．习题课以多媒体教学为主。
教学内容：§1 一元多项式的定义和运算1. 多项式的定义令R是一个数环, 并且R含有数1, 因而R含有全体整数。
在这一章里, 凡是说到数环, 都作这样的约定, 不再每次重复。
先讨论R上一元多项式。
定义1 数环R上一个文字x的多项式或一元多项式指的是形式表达式a0+a1x+ a2x2+…+ a n x n (1)这里n是非负整数而a0, a1, a2, …, a n都是R中的数。
在多项式 (1)中, a0叫做零次项或常数项, a1x叫做一次项, 一般地，a i x i叫做第i次项, a i叫做第i次项的系数。
一元多项式常用符号f(x), g(x), …来表示。
2. 相等多项式:定义2 若是数环R上两个一元多项式f(x)和g(x)有完全相同的项, 或者只差一些系数为零的项, 那么f(x)和g(x)说是相等;f (x)=g(x)定义3a n x n叫做多项式a0+a1x+ a2x2+…+ a n x n, ( a n≠0)的最高次项，非负整数n叫做多项式a0+a1x+…+ a n x n, (a n≠0)的次数。
高等代数课件(北大版)第一章_多项式§1.1
又对 x, y Q( 2), 设 x a b 2, y c d 2, a,b,c,d Q, 则有
x y (a c) (b d ) 2 Q( 2),
x y (ac 2bd ) (ad bc) 2 Q( 2)
设 a b 2 0, 于是 a b 2 也不为0．
第一章 多项式
§1 数域 §2 一元多项式 §3 整除的概念 §4 最大公因式 §5 因式分解 §6 重因式
§7 多项式函数 §8 复、实系数多项式
的因式分解 §9 有理系数多项式 §10 多元多项式 §11 对称多项式
2020/2/9
数学科学学院
一、数域 二、数域性质定理
§1.1 2020/2/9 数域
ac a2
2bd 2b2
ad bc a2 2b2
2 Q.
Q( 2)为数域．
Gauss数域
类似可证 Q(i) a bi a,b Q, i 1 是数域.
§1.1 2020/2/9 数域
数学科学学院
例2．设P是至少含两个数的数集，证明：若P中任 意两个数的差与商（除数≠0）仍属于P，则P为一
数学科学学院
作业
1．若 P1, P2为数域，证明：P1 I P2也为数域．
§1.1 2020/2/9 数域
数学科学学院
数学科学学院
一、数域
定义 设P是由一些复数组成的集合，其中包括
0与1，如果P中任意两个数的和、差、积、商（除 数不为0）仍是P中的数，则称P为一个数域．
常见数域： 复数域C；实数域R；有理数域Q；
（注意：自然数集N及整数集Z都不是数域．）
§1.1 2020/2/9 数域
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p k 1 x k p x g x p x g x
px gx,px p x,
px pxgx, 从而 p x k p x g x p x g x ,
于是 p x 是 f x 的k-1重因式。
推论1： 若不可约多项式 p x 是 f x 的k重因式
2、 cf x cfx;
3、 fx g x fxg x fxg x;
4、 fmxm fm1xfx.
定理1.6.1： 若不可约多项式 p x 是 f x
的k重因式（k>1），则 p x 是 f x 的k-1重因
式，特别多项式 f x 的单因式不是 f x 的因
式。
证： fxpkxgx,
一、多项式函数
1. 定义：设 fx a 0 a 1 x L a n x n F x ,对
c F , 数 fc a 0 a 1 c L a n c n F称为当
x c 时 f x 的值，若 f c 0, 则称c为 f x 在
F中的根或零点。
2. 定义（多项式函数）：设 f xFx, 对
的最大公因式 d x , f x 的重因式的重数恰好是 d x
中重因式的重数加1。此法不能求 f x 的单因式。 2、分离重因式，即求 f x 的所有不可约的单
因式：
fxa nffx x ,fxp 1xp 2xLp sx
例1.6.1 在 Q x 中分解多项式
fx x 4 2 x 3 1 1 x 2 1 2 x 3 6
fxx22x32
例1.6.2：求多项式 f x3pxq有重因式的条件。
p0 3x 9q
2p
3x2 p
3x2 9q x 2p
x3 pxq 1 x
x3 p x
3
3
9q x p 2p
9q x 27q2
r1
x
2p 3
x
q
23pr1
x
x
3q 2p
2p 4p2
p
27q2 4 p2
1. 当 r1 x 0 时，即 p q 0,
这时f有重因式 x 3
2. 当 p 0 时，即 4p327q2 0时，
欲 fxx3pxq有重因式，
只需 p
27q2 4 p2
0,
即
4p327q2 0,
重因式是
2p 3
x
q
2
例1.6.3：用分离因式法（单因式化法）求多项式
fx x 5 3 x 4 x 3 5 x 2 6 x 2
在Q上的标准分解式。
推论2：不可约多项式 p x 是 f x 的重因式的
充要条件是 p x 是 f x 与 f x 的公因式。
证：必要性由推论1立得。
充分性，若p x 是 f x 与 f ' x 的公因式，则
p x 不是 f x 的单因式（否则，由推论1知 p x 不是 f x 的因式），故 p x 是 f x 的重因式。
定义1： 不可约多项式 p x 称为 f x 的k重因式
k N , 如果pk x f x,而 pk1x f x。 当k=1时，p x 就称 f x 的单因式，
当k>1时，p x 称为 f x 的重因式。 如果 f x 的标准分解式为：
fx a n p 1 k 1x p 2 k 2x L p s k sx , 则 p1x,L,psx分别是 f x 的因式，且分别为
由定理1得：
fx p 1 k 1 1 x p 2 k 2 1 x L p s k s 1 x g x ,
故
f x ,f x p 1 k 1 1 x p 2 k 2 1 x L p s k s 1 x .
于是：
1、判别 f x 有没有重因式，只要求 f x, fx
解： f'x 5 x 4 1 2 x 3 3 x 2 1 0 x 6 ,
利用辗转相除法求得：
fx ,f'x x 2 2 x 1 x 1 2
把 f x 单因式化，得
fx f,x fx x 3 x 2 2 x 2 x 1 x 2 2 由于 fx,fxx12,
故 x 1 是 f x 的3重因式，x 2 2 是 f x 的单因式，
fx a 1 2 a 2 x L n a n x n 1 （形式定义） 一阶导数 f x 的导数称为 f x 的二阶导数，记为
f x
f x 的导数称为 f x 的三阶导数，记为f x
…………
f x 的k阶导数记为f (k ) x
多项式的求导法则：
1、 fxgxfxgx;
推论3： 多项式 f x 无重因式的充要条件是
f x 与 f x 互素。
推论3表明，判别一个多项式有没有重因式，可以 利用辗转相除法得到。
在讨论与解方程有关的问题时，常常要求所讨论多 项式有没有重因式。
设多项式 f x 的标准分解式为：
fx a n p 1 k 1x p 2 k 2x L p s k sx ,
（k>1），则 p x 是 fx,f'x,L,f(k 1 )x的因式，但
不是 f (k ) x 的因式。
证： p x 是 f x 的k-1重因式，
p x 是 f x 的k-2重因式，
……………
p x 是f (k1) x 的（k-(k-1)=1）单因式，
因而不是f (k ) x 的因式。
k1,L , ks 重。
பைடு நூலகம்
要求 f x 的重因式，只要把 f x 的标准分解
式写出即可。但我们还没有一般的方法把一个多项
式分解为不可约因式的乘积。
因此我们应该找一种直接判断多项式是否有重因 式的方法。为此目的要引入多项式导数的概念。
定义2：多项式 fxa 0a 1x La nxn
的一阶导数指的是多项式：
故 f x 在Q上的标准分解式为
fxx13x22
问题：多项式 f x 在 F x 中没有重因式，
f x 在 F x 中是否也没有重因式？
由于多项式 f x 的导数以及两个多项式互素
与否在由数域F过渡到含F的数域 F 时并无改变，
故 f x 有没有重因式不因数域的扩大而改变。