三角函数的图像和性质 测试题及解析

三角函数的图象与性质

函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象

(时间：80分钟 满分：100分)

一、选择题(每小题5分，共40分) 1．函数y ＝sin ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫4x ＋32π的周期是( )．

A ．2π

B ．π C.π2 D ．π

4 解析 T ＝2π4＝π

2. 答案 C

2．函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

x ＋π2(x ∈R )是( )．

A ．奇函数

B ．偶函数

C ．非奇非偶函数

D ．无法确定 解析 ∵y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫

x ＋π2＝－sin x ，∴此函数为奇函数．

答案 A

3．函数y ＝cos x 图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y ＝cos ωx ，则ω的值为( )．

A ．2

B ．12

C ．4

D ．1

4

解析 由已知y ＝cos x 的图象经变换后得到y ＝cos 12x 的图象，所以ω＝1

2. 答案 B

4．函数y ＝－x sin x 的部分图象是( )．

解析 考虑函数的奇偶性并取特殊值．函数y ＝－x sin x 是偶函数，当x ∈⎝ ⎛

⎭⎪⎫0，π2时，y <0. 答案 C

5．在下列区间上函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

x ＋π4为增函数的是( )．

A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2 B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3π4，π4 C ．[－π，0] D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤

－π4，3π4 解析 由2k π－π2≤x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )得2k π－3π4≤x ≤2k π＋π

4(k ∈Z )，当k ＝0时，－3π4≤x ≤π

4，故选B. 答案 B

6．已知简谐运动f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ⎝ ⎛

⎭⎪⎫|φ|<π2的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最

小正周期T 和初相φ分别为( )．

A ．T ＝6，φ＝π6

B ．T ＝6，φ＝π3

C ．T ＝6π，φ＝π6

D ．T ＝6π，φ＝π

3 解析 将(0,1)点代入f (x )可得sin φ＝1

2. ∵|φ|<π2，∴φ＝π6，T ＝2π π 3

＝6.

答案 A

7．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的一部分图象如图所示，如果A >0，ω>0，|φ|<π

2，

A ．A ＝4

B ．ω＝1

C ．φ＝π

6 D ．B ＝4 解析 由图象可知，A ＝2，14T ＝5π12－π6＝π

4，T ＝π， ω＝2.∵2×π6＋φ＝π2，∴φ＝π

6，故选C. 答案 C

8．若函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)对任意的x 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫

π3等于( )．

A ．3或0

B ．－3或0

C ．0

D ．－3或3 解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫

π3－x ，

∴f (x )关于直线x ＝π

3对称， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫

π3应取得最大值或最小值． 答案 D

二、填空题(每小题5分，共20分)

9．函数y ＝cos x 在区间[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________． 解析 ∵y ＝cos x 在[－π，0]上为增函数，

又在[－π，a ]上递增，∴[－π，a ]⊆[－π，0]，∴a ≤0. 又∵a >－π，∴－π

10．函数y ＝tan x ，x ∈⎣⎢⎡

⎦⎥⎤0，π4的值域是________．

解析 ∵y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上单调递增， ∴0≤tan x ≤1，即y ∈[0,1]．

11．已知函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)在一个周期内当x ＝π

12时，有最大值2，当x ＝7π

12时有最小值－2，则ω＝________.

解析 由题意知T ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫

7π12－π12＝π.∴ω＝2πT ＝2.

答案 2

12．函数y ＝6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

14x －π6的初相是________，图象最高点的坐标是________．

解析 初相为－π6，当14x －π6＝π2＋2k π，即x ＝8π

3＋8k π(k ∈Z )时，函数取得最大值6. 答案 －π

6

⎝ ⎛⎭

⎪⎫

8π3＋8k π，6(k ∈Z ) 三、解答题(每小题10分，共40分)

13．用“五点法”作出函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

x －π3＋3的图象，并指出它的周期、频率、

相位、初相、最值及单调区间． 解 (1)列表：

(2)将函数在一个周期内的图象向左、向右两边扩展，得y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

x －π3＋3的图

象．

由图象知，周期T ＝2π，频率f ＝1T ＝1

2π，

相位为x －π3，初相为－π

3

，最大值为5，最小值为1，

函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤

5π6＋2k π，11π6＋2k π，k ∈Z ，单调递增区间为

⎣⎢⎡⎦

⎥⎤

－π6＋2k π，5π6＋2k π，k ∈Z . 14．求函数y ＝－2tan ⎝ ⎛

⎭⎪⎫3x ＋π3的定义域、值域，并指出它的周期、奇偶性和单调

性．

解 由3x ＋π3≠π2＋k π，得x ≠π18＋k π3(k ∈Z )，∴函数y ＝－2tan ⎝ ⎛

⎭

⎪⎫3x ＋π3的定义

域为⎩⎨⎧

x ⎪⎪⎪⎭

⎬⎫x ≠π18＋k π

3(k ∈Z ).它的值域为R ，周期为T ＝π

3，它既不是奇函数，

也不是偶函数．由－π2＋k π<3x ＋π3<π2＋k π(k ∈Z )，得－5π18＋k π3

3(k ∈Z )，所以函数y ＝－2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π3在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－5π18＋k π3，π18＋k π3(k ∈Z )上单调递减． 15．设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋φ⎝ ⎛

⎭⎪⎫0<φ<π2，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π4.

(1)求φ；

(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．

解 (1)∵x ＝π

4是y ＝f (x )的图象的一条对称轴， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫

12×π4＋φ＝±1，∴π8＋φ＝k π±π2，k ∈Z ，

∵0<φ<π2，∴φ＝3π8.