2015届广东省深圳市高三第一次五校联考理科数学试卷

2015届广东省深圳市高三第一次五校联考理科数学试卷本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效．4. 作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5. 考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）1. 已知a b R ∈，，是虚数单位，若a i -与2bi +互为共轭复数，则()2a bi +＝（ ）A ．54i -B ．54i +C ．34i -D ．34i + 2. 设集合{} 12A x R x =∈-<，{}2,x B y R y x R =∈=∈，则AB ＝（ ）A ．∅B ．[)0 3，C ．()0 3，D ．()1 3-， 3. 函数()2ln =-f x x x的零点所在的区间为（ ） A ．()0 1，B ．()1 2，C ．()2 3，D ．()3 4， 4. 已知m (),2a =-，n ()1,1a =-，则 “a ＝2”是“m //n ”的（ ）A ．充要条件B ．充分而不必要条件C ．必要而不充分条件D ．既不充分也不必要条件5. 一个多面体的三视图如右图所示，则该多面体的体积为（ ）A ．233 B ．223C ．6D ． 76. 在《爸爸去哪儿》第二季第四期中，村长给6位“萌娃”布置一项搜寻空投食物的任务. 已知：①食物投掷地点有远、近两处； ②由于Grace 年纪尚小，所以要么不参与该项任务，但此时另需一位小孩在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；③所有参与搜寻任务的小孩须被均分成两组，一组去远处，一组去近处。

则不同的搜寻方案有（ ）（第5题图）A ．40种B ．70种C ．80种D ．100种 7. 已知数列{}n a 的首项为11a =，且满足对任意的*n N ∈，都有12nn n a a +-≤，232nn n a a +-≥⨯成立，则2014a =（ ）A ．201421-B ．20142+1C ．201521-D ．201521+ 8. 已知函数()3sin f x x x x =--+，当02πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，恒有()()2cos 2sin 220f m f m θθ++-->成立，则实数m 的取值范围（ ）A ．1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦ C ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ D ．1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭二、填空题（本大题共7小题，其中第9~第13题为必做题，第14~第15题为选做题，考生从中任选一题作答，两题均选按第14题给分，每小题5分，总分30分）9. 右图是一个算法的程序框图，若输出的结果是31，则判断框中的正整数．．．M 的值是___________．10.若二项式()*1(n n N x+∈的展开式中的第5项是常数项，则n =___________．11. 若实数x y 、满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥++≥+-≤022022y x y x x ，则目标函数y x z +=2的最大值为___________．12. 已知m 、n 是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题，其中所有正确命题的序号是___________．①若m ∥β，n ∥β，m 、n ⊂α，则α∥β . ②若α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝m ，n ⊂γ，则m ⊥n . ③若m ⊥α，α⊥β，m ∥n ，则n ∥β . ④若n ∥α，n ∥β，α∩β＝m ，那么m ∥n .13. 若不等式21x x a <-+的解集是区间()33-，的子集，则实数a 的范围为__________． 14.（参数方程与极坐标）已知在直角坐标系中曲线1C 的参数方程为2211x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（为参数且0t ≠），在以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立的极（第9题图）坐标系中曲线2C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，则曲线1C 与2C 交点的直角坐标为__________．15.（几何证明选讲）如图，PT 切圆O 于点T ,PA 交圆O 于A B 、两点，且与直径CT 交于点D ，若236CD AD BD ===，，，则PB =___________． （第15题图）三、解答题（本大题共6小题，满分80分，解答过程须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （本小题满分12分）已知()()()23sin cos 02f x x x x ππωωωω⎛⎫=+--> ⎪⎝⎭的最小正周期为T π=.（1）求23f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）在ABC ∆中，角A B C 、、所对应的边分别为a b c 、、，若有()2cos cos a c B b C -=，则求角B 的大小以及()f A 的取值范围.17. （本小题满分12分）已知一个袋子里有形状一样仅颜色不同的6个小球，其中白球2个，黑球4个. 现从中随机取球，每次只取一球. （1）若每次取球后都放回．．袋中，求事件“连续取球四次，至少取得两次白球”的概率； （2）若每次取球后都不．放回．．袋中，且规定取完所有白球或取球次数达到五次就终止游戏，记游戏结束时一共取球X 次，求随机变量X 的分布列与期望18. （本小题满分14分）如图，三棱柱111C B A ABC -侧棱与底面垂直，且所有棱长都为4，D 为CC 1中点． （1）求证：BD A AB11平面⊥； （2）求二面角B D A A --1的余弦值．（第18题图） 19. （本小题满分14分）已知数列{}n a 满足13=2a ，()11=22n n a n a --≥，n S 是数列{}n b 的前n 项和，且有1=12n n S n b n-+.（1）证明：数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列；（2）求数列{}n b 的通项公式； （3）设nn na cb =，记数列{}n c 的前n 项和n T ，求证：1n T <.20. （本小题满分14分）已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>， 12F F ，分别是它的左、右焦点，A ()1,0-是其左顶点，且双曲线的离心率为2e =. 设过右焦点2F 的直线与双曲线C 的右支交于P Q 、两点，其中点P 位于第一象限内. （1）求双曲线的方程；（2）若直线AP AQ 、分别与直线12=x 交于M N 、两点，求证：22MF NF ⊥； （3）是否存在常数λ，使得22PF A PAF λ∠=∠恒成立？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由.（第20题图）21. （本小题满分14分）已知函数()()2ln 0f x x a x x a =--≠.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若0a >，设()11A x y ，，()22B x y ，是函数()f x 图像上的任意两点（12x x <），记直线AB 的斜率为k ，求证：'1223x x f k +⎛⎫>⎪⎝⎭.2015届高三年级第一次五校联考理科数学试卷参考答案9、 4 10、 6 11、 8 12、 ②④13、 (]5-∞，14、 （2，2） 15、 15 三、解答题：16. （本小题满分12分）已知()()()23sin cos 02f x x x x ππωωωω⎛⎫=+--> ⎪⎝⎭的最小正周期为T π=.（1）求23f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （2）在ABC ∆中，角A B C 、、所对应的边分别为a b c 、、，若有()2cos cos a c B b C -=，则求角B 的大小以及()f A 的取值范围.解：（1）()2cos cos f x x x x ωωω=- ……1分112cos 222x x ωω=-- ……2分 1sin 262x πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ……3分()y f x =的最小正周期为T π= ，即：212ππωω=⇒= ……4分 ()1sin 262f x x π⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭ ……5分22171sin 2sin 1336262f ππππ⎛⎫⎛⎫∴=⨯--=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ……6分 （2）()2cos cos a c B b C -=∴由正弦定理可得：()2sin sin cos sin cos A C B B C -= ……7分()()2sin cos sin cos cos sin sin sin sin A B B C B C B C A A π⇒=+=+=-= ……8分 1sin 0 cos 2A B >∴=()0 3B B ππ∈∴=， ……9分 22 033A C B A πππ⎛⎫+=-=∴∈ ⎪⎝⎭， ……10分72666A πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭， 1sin 2,162A π⎛⎫⎛⎤∴-∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦ ……11分 ()11sin 21,622f A A π⎛⎫⎛⎤∴=--∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦ ……12分17. （本小题满分12分）已知一个袋子里有形状一样仅颜色不同的6个小球，其中白球2个，黑球4个. 现从中随机取球，每次只取一球. （1）若每次取球后都放回．．袋中，求事件“连续取球四次，至少取得两次白球”的概率； （2）若每次取球后都不．放回．．袋中，且规定取完所有白球或取球次数达到五次就终止游戏，记游戏结束时一共取球X 次，求随机变量X 的分布列与期望.解：（1）记事件i A 表示“第i 次取到白球”（*i N ∈），事件B 表示“连续取球四次，至少取得两次白球”，则：12341234123412341234=++++B A A A A A A A A A A A A A A A A A A A A . ……2分()()()()()()12341234123412341234P B P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A =++++4342416466627⎛⎫⎛⎫=+⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……4分 ()()11127P B P B ∴=-=……5分 或者：记随机变量ξ表示连续取球四次，取得白球的次数. 易知1~4,3B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭……2分则()()()0413014412121121011333327P P P C C ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥=-=-==--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……5分（2）易知：随机变量X 的取值分别为2，3，4，5 ……6分()22261215C P X C ∴===， ()112426123415C C P X C ==⨯=()12243611435C C P X C ==⨯=， ()121351151555P X ==---= ……10分∴随机变量X 的期望为：12121023451515553EX =⨯+⨯+⨯+⨯=……12分 18. （本小题满分14分）如图，三棱柱111C B A ABC -侧棱与底面垂直，且所有棱长都为4，D 为CC 1中点． （1）证明：BD A AB 11平面⊥； （2）求二面角B D A A --1的余弦值．解法一：（向量法）（1）取BC 中点O ，连结AO ．取11C B 中点1O ，AO BC AB AC =∴⊥ 11 OO AO OO ABC ⊥∴⊥面111 AO OO BC O BCC B =∴⊥面 故：以O 为原点，以1,,OB OO OA 分别为,,x y z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -. ……2分则：()()()()()0,4,2,32,0,0,32,4,0,0,2,2,0,0,211B A A D B - ……3分()()()32,4,2,0,2,4,32,4,211-=-=-=∴BA BD AB ……4分 0,0111=⋅=⋅BA AB AB ，111,BA AB AB ⊥⊥∴． ……6分 1BDBA B = ⊥∴1AB 平面1A BD ． ……7分（2）设平面AD A 1的法向量为()z y x ,,=．()()12,2,230,4,0AD AA =--=，． ,,1AA ⊥⊥⎩⎨⎧==-+-∴0403222y z y x令1=z 得()1,0,3-=为平面AD A 1的一个法向量． ……10分由（1）可知：()32,4,21-=AB 为平面1A BD 的法向量． ……11分1116cos ,=n AB n AB n AB ⋅∴<>=-⋅． ……13分 二面角B D A A --1是锐角 ∴二面角B D A A --1……14分 解法二：（传统几何法）（1）取BC 中点O ，连结AO 和O B 1，AO BC AB AC =∴⊥ 11 CC AO CC ABC ⊥∴⊥面111 AO CC BC C BCC B =∴⊥面 ……2分AO BD ∴⊥ ……3分在正方形11BCC B 中，O D ，分别为1BC CC ，的中点， 由正方形性质知：BD O B ⊥1， ……4分111 BD AOB AOB O O AB BD =∴⊥∴⊥面………5分又在正方形11ABB A 中，11AB A B ⊥， ………6分1A BBD B =⊥∴1AB 平面1A BD ． ……7分（2）设AB 1与A 1B 交于点G ，在平面A 1BD 中，作D A GF 1⊥于F ，连结AF ， 由（1）得BD A AB 11平面⊥． 11AB A D ∴⊥11 AB GF G A D AGF ⊥=∴⊥面 D A AF 1⊥∴AFG ∠∴为二面角B D A A --1的平面角． ………10分在1AA D △中，由等面积法可求得558=AF ， ………12分又22211==AB AG ，GF ∴== ………13分cos GF AFG AF ∴∠==． 所以二面角B D A A --1……14分19. （本小题满分14分） 已知数列{}n a 满足13=2a ，()11=22n n a n a --≥，n S 是数列{}n b 的前n 项和，且有()21=2n n n S b n-+.（1）证明：数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭为等差数列； （2）求数列{}n b 的通项公式； （3）设nn na cb =，记数列{}n c 的前n 项和n T ，求证：1n T <. （1）证明：()1121=2n n n a a n a ---≥ 111121111n n nn n a a a a a ------∴-=-= ……1分 ()()111111111121111n n n n n n a a n a a a a ------+∴===+≥---- 即： ()1111211n n n a a -∴-=≥-- ……3分 ∴数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是以1121a =-为首项，1为公差的等差数列. ……4分 （2）解：当2n ≥时，112224221n n n n n n n b S S b b n n ----⎛⎫⎛⎫=-=+-+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭……5分 112224211n n n n n b n n b b b b n n n n ----=-⇒=--， 即：()1221n n b nn b n -=≥- ……6分 1324123112223242......21231n n n n b b b b b n n b b b b n b --⨯⨯⨯⨯∴⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯⇒=⋅- ……8分 当1n =时，112b S == ∴2n n b n =⋅ ……9分（3）由（1）知：()121111n n n a =+-⨯=+-1+21 11n n n a a n n ∴-=∴=++ ……10分 ()()121112212n n n n nn a n c b n n n n -+∴===-+⋅⋅+ ……12分 ()()112111111111...1122223221212nn i n n n i T c n n n -=⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴==-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⨯⨯⨯⋅+⋅+⋅⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑...14分20. （本小题满分14分）已知双曲线()2222100:,x y C a b a b-=>>， 12F F ，分别是它的左、右焦点，A ()1,0-是其左顶点，且双曲线的离心率为2e =. 过右焦点2F 的直线与双曲线C 的右支交于、P Q 两点，设点P 位于第一象限内. （1）求双曲线的方程；（2）若直线、AP AQ 分别与直线12=x 交于、M N 两点，求证：22⊥MF NF ； （3）是否存在常数λ，使得22PF A PAF λ∠=∠恒成立？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由.解：（1）由题可知：1a = ……1分2 2ce c a==∴=……2分 222a b c b +=∴= ∴双曲线C 的方程为：2213y x -= ……3分 （2）设直线的方程为：2=+x ty ，另设：()()1122,,、P x y Q x y()2222131129032⎧-=⎪⇒-++=⎨⎪=+⎩y x t y ty x ty ……4分 1212221293131-∴+==--，t y y y y t t ……5分 又直线AP 的方程为()1111=++y y x x ，代入12=x ()1131221⎛⎫⇒ ⎪ ⎪+⎝⎭，y M x ……6分同理，直线AQ 的方程为()2211=++y y x x ，代入12=x ()2231221⎛⎫⇒ ⎪ ⎪+⎝⎭，y N x ……7分 ()()1222123333 221221⎛⎫⎛⎫∴== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，-，，-y y MF NF x x ()()()()()12121222212121212999999441144334439∴⋅=+=+=+++++⎡⎤+++⎣⎦y y y y y y MF NF x x ty ty t y y t y y2222999993109124444393131⨯-=+=-=-⎛⎫⨯+⨯+ ⎪--⎝⎭t t t t t t22∴⊥MF NF ……9分（3）当直线的方程为2=x 时，解得()23,P . 易知此时2∆AF P 为等腰直角三角形，其中2224ππ∠=∠=，AF P PAF ，即222∠=∠AF P PAF ，也即：=2λ. ……10分 下证：222∠=∠AF P PAF 对直线存在斜率的情形也成立.()()1112122222221111221221211111⨯+∠+∠====-∠-+-⎛⎫- ⎪+⎝⎭tan tan tan PAPAy y x PAF k x PAF PAF k x yy x ……11分()222211111 313-=⇒=-y x y x()()()()()()1111122211111212122122131++∴∠===--+--+--tan y x y x y PAF x x x x x ……12分 2122122∴∠=-=-=∠-tan tan PF y AF P k PAF x ……13分 ∴结合正切函数在022πππ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,,上的图像可知，222∠=∠AF P PAF ……14分21. 已知函数()()2ln 0f x x a x x a =--≠.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若0a >，设()11A x y ，，()22B x y ，是函数()f x 图像上的任意两点（12x x <），记直线AB 的斜率为k ，求证：'1223x x f k +⎛⎫>⎪⎝⎭. （1）解：()()2'2210a x x af x x x x x--=--=> ……1分（i ）当18a ≤-时，220x x a --≥ 恒成立，即()'0f x ≥恒成立，故函数()f x 的单增区间为()0+∞，，无单减区间. ……2分 （ii ）当108a -<<时，()'2020f x x x a >⇒-->，解得：x x ><∵0x >，∴函数()f x 的单增区间为0⎛ ⎝，+⎫∞⎪⎪⎭，单减区间为. ……4分（iii ）当0a >时，由()'0fx >解得：x x ><.∵0x >0≤，∴函数()f x 的单增区间为+⎫∞⎪⎪⎭，单减区间为0⎛ ⎝. ……6分 综上所述：（i ）当18a ≤-时，()f x 的单增区间为()0+∞，，无单减区间.（ii ）当108a -<<时，()f x 的单增区间为0⎛ ⎝，+⎫∞⎪⎪⎭，单减区间为.（iii ）当0a >时，()f x的单增区间为+⎫∞⎪⎪⎭，单减区间为0⎛ ⎝. ……7分（2）证明：()'21a f x x x =-- ()12'12122+2+23133+2x x x x a f x x ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭ 由题，()()()()12212121212212121212lnln ln 1x a x x a x x x x y y x k x x x x x x x x ------===+-----则：()()112'122121212ln2+2+23+33+2x a x x x x x a f k x x x x x x ⎛⎫-=--+ ⎪-⎝⎭12121212ln33+2x a x x x ax x x x -=-+- ……9分 注意到2103x x ->，故欲证'1223x x f k +⎛⎫> ⎪⎝⎭，只须证明：121212ln3+2x a x a x x x x >-. ……10分 因为0a >，故即证：()11122211112122122231ln33ln ln +2+2+2x x x x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭>⇔<⇔<- ……11分 令()120,1x t x =∈，()()31ln +2t g t t t -=-……12分 则：()()()()()'2214190+2+2t t g t tt t t --=-=> 故()g t 在()0,1上单调递增.所以：()()10g t g <= ……13分即：()31ln +2t t t -<，即：12112231ln +2x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭<所以：'12+23x x f k ⎛⎫> ⎪⎝⎭. ……14分。